مقالات

5.3: العمليات على كثيرات الحدود


تم إنشاء الصفحة للمرفق الجديد

تصنيف كثيرات الحدود

يتم تصنيف متعدد الحدود وفقًا لعدد المصطلحات والدرجة الحالية. المعادلات متعددة الحدود هي المعادلة التي تحتوي على أحادي ، وثنائي الحد ، وثلاثي الحدود ، وكذلك متعدد الحدود ذو الرتبة الأعلى. شكل المونومال هو تعبير حيث n هو عدد صحيح غير سالب. المتغير "أ" يسمى معامل و n هو درجة المونوميل. استنادًا إلى القيمة ، يُطلق على مصطلح واحد اسم monomial (عندما n = 1) ، ومتعدد الحدود من درجتين (عندما n = 2) ومتعدد الحدود ثلاثي الدرجات (عندما n = 3).

مثال: يتم تصنيف كثير الحدود حسب عدد المصطلحات على النحو التالي:


5.3 رسوم بيانية لوظائف كثيرة الحدود

يوفر المخطط التالي إستراتيجية جيدة لتحليل كثيرات الحدود.

مع التدريب يأتي الإتقان

تعرف على الطريقة المناسبة واستخدمها لتحليل كثير الحدود إلى عوامل تمامًا.

الهدف 2: حل معادلة تربيعية بالتحليل (IA 6.5.2)

تنص خاصية المنتج الصفرية على أنه إذا كانت أ ب = 0 أ ب = 0 ، فإن أ = 0 أ = 0 ، أو ب = 0 ب = 0 ، أو كلاهما.

يمكننا استخدام هذه الخاصية لحل المعادلات.

كيف

كيفية استخدام خاصية المنتج الصفري

  1. الخطوة 1. ضع كل عامل مساويًا للصفر.
  2. الخطوة 2. حل المعادلات الخطية.
  3. الخطوة 3. تحقق.

مثال 1

حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

المحلول

4 x - 1 o r x + 6 = 0 4 x = 1 x = - 6 x = 1 4 4 x - 1 o r x + 6 = 0 4 x = 1 x = - 6 x = 1 4

مع التدريب يأتي الإتقان

مثال 2

حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

المحلول

كيف تختلف هذه المشكلة عن ممارسة المسائل 8 و 9 أعلاه؟ ماذا يجب أن تكون خطوتنا الأولى؟

مع التدريب يأتي الإتقان

حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل.

استخدم خاصية عامل الصفر لحل كل من التمارين التالية.

يتم عرض الإيرادات بملايين الدولارات لشركة الكابلات الخيالية من عام 2006 حتى عام 2013 في الجدول 1.

عام 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
الإيرادات 52.4 52.8 51.2 49.5 48.6 48.6 48.7 47.1

يمكن نمذجة الإيرادات من خلال دالة كثيرة الحدود

التعرف على خصائص الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود

الدوال متعددة الحدود من الدرجة 2 أو أكثر لها رسوم بيانية ليس لها زوايا حادة تذكر أن هذه الأنواع من الرسوم البيانية تسمى منحنيات ناعمة. تعرض الدوال متعددة الحدود أيضًا الرسوم البيانية التي لا تحتوي على فواصل. تسمى المنحنيات بدون فواصل متصلة. يوضح الشكل 1 رسمًا بيانيًا يمثل دالة كثيرة الحدود ورسمًا بيانيًا يمثل دالة ليست كثيرة الحدود.

مثال 1

التعرف على وظائف كثيرة الحدود

أي من الرسوم البيانية في الشكل 2 يمثل دالة كثيرة الحدود؟

المحلول

هل جميع الدوال متعددة الحدود لها جميع الأعداد الحقيقية في مجالها؟

نعم فعلا. أي رقم حقيقي هو إدخال صالح لدالة كثيرة الحدود.

استخدام التحليل لإيجاد أصفار دوال كثيرة الحدود

  1. يمكن تحليل كثير الحدود إلى عوامل باستخدام الطرق المعروفة: أكبر عامل مشترك وعوامل ثلاثية الحدود.
  2. يتم إعطاء كثير الحدود في شكل عامل.
  3. تستخدم التكنولوجيا لتحديد الاعتراضات.

كيف

مثال 2

العثور على x- اعتراضات دالة كثيرة الحدود عن طريق التحليل

أعثر على x- تداخلات f (x) = x 6 - 3 x 4 + 2 x 2. و (س) = س 6 - 3 × 4 + 2 × 2.

المحلول

يمكننا محاولة تحليل كثير الحدود هذا لإيجاد حلول لـ f (x) = 0. f (x) = 0.

هذا يعطينا خمسة x- التداخلات: (0 ، 0) ، (1 ، 0) ، (−1 ، 0) ، (2 ، 0) ، (0 ، 0) ، (1 ، 0) ، (1 ، 0) ، (2 ، 0) و (- 2 ، 0). (- 2 ، 0). انظر الشكل 3. يمكننا أن نرى أن هذه دالة زوجية لأنها متماثلة حول ذ-محور.

مثال 3

العثور على x- اعتراضات دالة كثيرة الحدود عن طريق التحليل

أعثر على x- تداخلات f (x) = x 3-5 x 2 - x + 5. f (x) = x 3-5 x 2 - x + 5.

المحلول

أوجد حلول f (x) = 0 f (x) = 0 بالتحليل إلى عوامل.

مثال 4

العثور على ذ- و x- اعتراضات كثيرة الحدود في شكل عامل

أعثر على ذ- و x- تداخلات g (x) = (x - 2) 2 (2 x + 3). ز (س) = (س - 2) 2 (2 س + 3).

المحلول

ال ذ-يمكن إيجاد التقاطع بتقييم g (0). ز (0).

لذلك ذ- التقاطع هو (0 ، 12). (0 ، 12).

ال x- يمكن إيجاد التداخلات من خلال حل g (x) = 0. g (x) = 0.

التحليلات

يمكننا دائمًا التحقق من أن إجاباتنا معقولة باستخدام آلة حاسبة بيانية لرسم كثير الحدود كما هو موضح في الشكل 5.

مثال 5

العثور على x- اعتراضات دالة كثيرة الحدود باستخدام رسم بياني

أعثر على x- تداخلات h (x) = x 3 + 4 x 2 + x - 6. h (x) = x 3 + 4 x 2 + x - 6.

المحلول

هذا كثير الحدود ليس في شكل عوامل ، وليس له عوامل مشتركة ، ولا يبدو أنه قابل للتحليل باستخدام التقنيات التي تمت مناقشتها سابقًا. لحسن الحظ ، يمكننا استخدام التكنولوجيا للعثور على الاعتراضات. ضع في اعتبارك أن بعض القيم تجعل الرسم اليدوي صعبًا. في هذه الحالات ، يمكننا الاستفادة من أدوات الرسم البياني.

بالنظر إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة ، كما هو موضح في الشكل 6 ، يبدو أن هناك x- التداخلات عند x = −3 و −2 و x = 3 و −2 و 1. 1.

يمكننا التحقق مما إذا كانت هذه القيم صحيحة بالتعويض بهذه القيم عن x x والتحقق من ذلك

بما أن h (x) = x 3 + 4 x 2 + x - 6، h (x) = x 3 + 4 x 2 + x - 6 ، لدينا:

كل x- يقابل التقاطع صفرًا من دالة كثيرة الحدود وكل صفر ينتج عنه عامل ، لذلك يمكننا الآن كتابة كثير الحدود في شكل عامل.

أعثر على ذ- و x- تداخلات الدالة f (x) = x 4-19 x 2 + 30 x. و (س) = س 4-19 × 2 + 30 س.

تحديد الأصفار وتعددها

الرسوم البيانية تتصرف بشكل مختلف في مختلف x- اعتراضات. في بعض الأحيان ، يعبر الرسم البياني المحور الأفقي عند التقاطع. في أحيان أخرى ، سوف يلمس الرسم البياني المحور الأفقي و "يرتد".

لنفترض ، على سبيل المثال ، أننا نرسم الوظيفة الموضحة.

لاحظ في الشكل 7 أن سلوك الوظيفة في كل من x- اعتراضات مختلفة.

بالنسبة للأصفار ذات المضاعفات الزوجية ، فإن الرسوم البيانية لمس. اتصال. صلة أو ماسة ل x-محور. بالنسبة للأصفار ذات التعدد الفردي ، فإن الرسوم البيانية تعبر أو تتقاطع مع x-محور. انظر الشكل 8 للحصول على أمثلة على الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود ذات التعددية 1 و 2 و 3.

بالنسبة للقوى الزوجية الأعلى ، مثل 4 و 6 و 8 ، سيستمر الرسم البياني في ملامسة المحور الأفقي وارتداده ، ولكن لكل قوة زوجية متزايدة ، سيظهر الرسم البياني أكثر انبساطًا عندما يقترب من المحور الأفقي ويتركه. x-محور.

بالنسبة للقوى الفردية الأعلى ، مثل 5 و 7 و 9 ، سيستمر الرسم البياني في العبور من خلال المحور الأفقي ، ولكن لكل قوة فردية متزايدة ، سيظهر الرسم البياني أكثر انبساطًا عندما يقترب من x-محور.

السلوك الرسومي لكثيرات الحدود في x- اعتراضات

سوف يلمس الرسم البياني لوظيفة كثيرة الحدود x-المحور عند الأصفار مع تعدد حتى. سوف يعبر الرسم البياني x- المحور عند الأصفار مع تعدد فردي.

مجموع المضاعفات هو درجة دالة كثيرة الحدود.

كيف

إعطاء رسم بياني لدالة متعددة الحدود من الدرجة ن ، ن ، التعرف على الأصفار وتعددها.

  1. إذا كان الرسم البياني يتقاطع مع x-المحور ويبدو خطيًا تقريبًا عند التقاطع ، فهو صفر واحد.
  2. إذا لمس الرسم البياني x-المحور والارتداد عن المحور ، فهو صفر مع تعدد زوجي.
  3. إذا كان الرسم البياني يتقاطع مع x-المحور عند الصفر ، فهو صفر مع تعدد فردي.
  4. مجموع المضاعفات ن. ن .

مثال 6

تحديد الأصفار وتعددها

استخدم الرسم البياني لوظيفة الدرجة 6 في الشكل 9 لتحديد أصفار الدالة ومعدلاتها المحتملة.

المحلول

دالة كثيرة الحدود هي من الدرجة 6. يجب أن يكون مجموع المضاعفات 6.

استخدم الرسم البياني لدالة الدرجة 9 في الشكل 10 لتحديد أصفار الدالة ومضاعفاتها.

تحديد سلوك النهاية

كما تعلمنا بالفعل ، سلوك الرسم البياني لوظيفة كثيرة الحدود في النموذج

فهم العلاقة بين الدرجة العلمية ونقاط التحول

بالإضافة إلى السلوك النهائي ، تذكر أنه يمكننا تحليل السلوك المحلي لوظيفة كثيرة الحدود. قد يكون هناك نقطة تحول حيث يتغير الرسم البياني من الزيادة إلى النقصان (الارتفاع إلى الهبوط) أو التناقص إلى الزيادة (الهبوط إلى الارتفاع). انظر إلى الرسم البياني للدالة متعددة الحدود f (x) = x 4 - x 3 - 4 x 2 + 4 xf (x) = x 4 - x 3-4 x 2 + 4 x في الشكل 12. للرسم البياني ثلاثة دوران نقاط.

تفسير نقاط التحول

نقطة التحول هي نقطة في الرسم البياني حيث يتغير الرسم البياني من زيادة إلى تناقص (من ارتفاع إلى هبوط) أو يتناقص إلى زيادة (هبوط إلى ارتفاع).

مثال 7

إيجاد الحد الأقصى لعدد نقاط الدوران باستخدام درجة دالة متعددة الحدود

أوجد الحد الأقصى لعدد نقاط التحول لكل دالة كثيرة الحدود.

المحلول

أولاً ، أعد كتابة دالة كثيرة الحدود بترتيب تنازلي: f (x) = 4 x 5 - x 3 - 3 x 2 + 1 f (x) = 4 x 5 - x 3 - 3 x 2 + 1

حدد درجة دالة كثيرة الحدود. هذه الدالة كثيرة الحدود من الدرجة 5.

الحد الأقصى لعدد نقاط التحول هو 5 - 1 = 4. 5 - 1 = 4.

أولاً ، حدد المصطلح الرئيسي لوظيفة كثيرة الحدود إذا تم توسيع الدالة.

ثم حدد درجة دالة كثيرة الحدود. هذه الدالة كثيرة الحدود من الدرجة 4.

الحد الأقصى لعدد نقاط التحول هو 4-1 = 3. 4-1 = 3.

رسم بياني لدوال كثيرة الحدود

يمكننا استخدام ما تعلمناه عن المضاعفات والسلوك النهائي ونقاط التحول لرسم رسوم بيانية للدوال متعددة الحدود. دعونا نجمع كل هذا معًا ونلقي نظرة على الخطوات المطلوبة لرسم وظائف كثيرة الحدود.

كيف

ارسم الرسم البياني عند إعطاء دالة كثيرة الحدود.

  1. ابحث عن الاعتراضات.
  2. تحقق من التماثل. إذا كانت الوظيفة دالة زوجية ، فإن رسمها البياني متماثل حول محور y - y ، أي f (- x) = f (x). و (- س) = و (س). إذا كانت الوظيفة دالة فردية ، فإن رسمها البياني متماثل حول الأصل ، أي f (- x) = - f (x). و (- س) = - و (س).
  3. استخدم تعدد الأصفار لتحديد سلوك كثير الحدود عند تقاطعات x - x -.
  4. حدد السلوك النهائي من خلال فحص المصطلح الرئيسي.
  5. استخدم سلوك النهاية والسلوك عند التقاطعات لرسم رسم بياني.
  6. تأكد من أن عدد نقاط التحول لا يتجاوز درجة واحدة أقل من كثير الحدود.
  7. اختياريًا ، استخدم التكنولوجيا للتحقق من الرسم البياني.

المثال 8

رسم مخطط دالة متعددة الحدود

ارسم رسمًا بيانيًا لـ f (x) = −2 (x + 3) 2 (x - 5). و (س) = 2 (س + 3) 2 (س - 5).

المحلول

ال ذتم العثور على التقاطع من خلال تقييم f (0). و (0).

لرسم هذا ، نعتبر أن:

في مكان ما بعد هذه النقطة ، يجب أن يتراجع الرسم البياني لأسفل أو يبدأ في التناقص باتجاه المحور الأفقي لأن الرسم البياني يمر عبر التقاطع التالي عند (5 ، 0). (5 ، 0). انظر الشكل 15.

باستخدام التكنولوجيا ، يمكننا إنشاء الرسم البياني لوظيفة كثيرة الحدود ، كما هو موضح في الشكل 16 ، والتحقق من أن الرسم البياني الناتج يبدو مثل مخططنا في الشكل 15.

ارسم رسمًا بيانيًا لـ f (x) = 1 4 x (x - 1) 4 (x + 3) 3. و (س) = 1 4 س (س - 1) 4 (س + 3) 3.

باستخدام نظرية القيمة المتوسطة

بعبارة أخرى ، تخبرنا نظرية القيمة المتوسطة أنه عندما تتغير دالة كثيرة الحدود من قيمة سالبة إلى قيمة موجبة ، يجب أن تعبر الدالة محور س - س. يوضح الشكل 17 أن هناك صفرًا بين a و b. ب .

نظرية القيمة المتوسطة

المثال 9

باستخدام نظرية القيمة المتوسطة

المحلول

لقد أوضحنا أن هناك صفرين حقيقيين على الأقل بين x = 1 x = 1 و x = 4. x = 4.

التحليلات

يمكننا أيضًا أن نرى في الرسم البياني للدالة في الشكل 18 أن هناك صفرين حقيقيين بين x = 1 x = 1 و x = 4. x = 4.

كتابة الصيغ لوظائف كثيرة الحدود

الآن بعد أن عرفنا كيفية إيجاد أصفار دوال كثيرة الحدود ، يمكننا استخدامها لكتابة الصيغ بناءً على الرسوم البيانية. لأن دالة كثيرة الحدود المكتوبة في شكل عامل سيكون لها x-التقاطع حيث يكون كل عامل مساويًا للصفر ، يمكننا تكوين دالة تمر عبر مجموعة من x-التداخلات بإدخال مجموعة مقابلة من العوامل.

شكل عامل من كثيرات الحدود

كيف

بالنظر إلى رسم بياني لدالة كثيرة الحدود ، اكتب صيغة للدالة.

  1. التعرف على x- مفاهيم الرسم البياني لإيجاد عوامل كثير الحدود.
  2. افحص سلوك الرسم البياني في x- مداخل لتحديد تعدد كل عامل.
  3. أوجد كثير الحدود من الدرجة الأقل التي تحتوي على جميع العوامل الموجودة في الخطوة السابقة.
  4. استخدم أي نقطة أخرى على الرسم البياني (ملف ذقد يكون التقاطع أسهل) لتحديد عامل التمدد.

المثال 10

كتابة صيغة لوظيفة كثيرة الحدود من الرسم البياني

اكتب صيغة لدالة كثيرة الحدود الموضحة في الشكل 19.

المحلول

لتحديد عامل التمدد ، نستخدم نقطة أخرى على الرسم البياني. سنستخدم تقاطع y - y (0، - 2)، (0، - 2) لإيجاد قيمة a. أ .

يبدو أن كثير الحدود الرسومي يمثل الدالة f (x) = 1 30 (x + 3) (x - 2) 2 (x - 5). و (س) = 1 30 (س + 3) (س - 2) 2 (س - 5).

جربه # 5

بالنظر إلى الرسم البياني الموضح في الشكل 20 ، اكتب صيغة للدالة المعروضة.

باستخدام Extrema المحلية والعالمية

باستخدام التربيعية ، تمكنا جبريًا من إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة من خلال إيجاد الرأس. بالنسبة إلى كثيرات الحدود العامة ، فإن إيجاد نقاط التحول هذه غير ممكن بدون تقنيات أكثر تقدمًا من حساب التفاضل والتكامل. حتى مع ذلك ، فإن العثور على مكان حدوث القيم القصوى لا يزال يمثل تحديًا جبريًا. في الوقت الحالي ، سنقدر مواقع نقاط التحول باستخدام التكنولوجيا لإنشاء رسم بياني.

تمثل كل نقطة تحول حدًا أدنى أو أقصى محلي. في بعض الأحيان ، تكون نقطة التحول هي أعلى أو أدنى نقطة على الرسم البياني بأكمله. في هذه الحالات ، نقول أن نقطة التحول هي الحد الأقصى العالمي أو الحد الأدنى العالمي. يشار إلى هذه أيضًا باسم القيم القصوى والدنيا المطلقة للدالة.

إكستريما المحلية والعالمية

الحد الأقصى العالمي أو الحد الأدنى العالمي هو الناتج عند أعلى أو أدنى نقطة للدالة. إذا كان للوظيفة حد أقصى عالمي عند a ، a ، فإن f (a) ≥ f (x) f (a) ≥ f (x) لجميع x. x. إذا كان للوظيفة حد أدنى عالمي عند a ، a ، ثم f (a) ≤ f (x) f (a) ≤ f (x) لكل x. x.

يمكننا أن نرى الفرق بين القيم القصوى المحلية والعالمية في الشكل 21.

هل كل دوال كثيرة الحدود لها حد أدنى أو أقصى عالمي؟

لا. فقط الدوال متعددة الحدود ذات الدرجة الزوجية لها حد أدنى أو أقصى عالمي. على سبيل المثال ، لا تملك f (x) = x f (x) = x حدًا أقصى عالميًا ولا حدًا أدنى عالميًا.

المثال 11

استخدام Local Extrema لحل التطبيقات

يتم إنشاء صندوق مفتوح من خلال قطع المربعات من كل زاوية من صفيحة بلاستيكية مقاس 14 سم × 20 سم ثم طي الجوانب. ابحث عن حجم المربعات التي يجب قطعها لتكبير الحجم المحاط بالصندوق.

المحلول

سنبدأ هذه المشكلة برسم صورة مثل تلك في الشكل 22 ، مع وضع علامة على عرض المربعات المقطوعة باستخدام متغير ، w. ث.


نص العرض التقديمي

5.3 العمليات على وظائف كثيرة الحدود الأهداف: تعلم إضافة وظائف كثيرة الحدود وفرعها ومضاعفتها

مثال 1 أضف (5x2 + 3x + 4) + (3x2 + 5) = 8x2 + 3x + 9

مثال 2 يضيف. (2x4 - 5x2 + 4x + 5) + (5x4 + 7x3 - 2x2 - 2x) 2x4 + 0x3 - 5x2 + 4x + 5 5x4 + 7x3 - 2x2 - 2x + 0 7x4 + 7x3 - 7x2 + 2x + 5

ممارسة يضيف. 1) (-2 م 3 - 5 م 2 - 2 م - 4) + (م 4 - 6 م 2 + 7 م - 10)

مثال 1 طرح او خصم. (5x2 + 3x - 2) - (2x2 + 1) = 5x2 + 3x - 2 - 2x2 - 1 = 3x2 + 3x - 3

ممارسة طرح او خصم. 1) (5 × 4 + 4) - (2 × 2-1) 2) (-7 م 3 + 2 م + 4) - (-2 م 3 - 4)

مثال 2 طرح او خصم. (8x3 + 6x2 - 3x + 5) - (5x3 - 3x2 + 2x - 4) 8x3 + 6x2 - 3x + 5 -5x3 + 3x2 - 2x + 4 3x3 + 9x2 - 5x + 9

ممارسة طرح او خصم. 1) (-2 م 3 - 5 م 2 - 2 م - 4) - (م 4 - 6 م 2 + 7 م - 10)

مثال 1 تتضاعف. (س + 1) (س 2 + س + 1) = (س) (س 2 + س + 1) + (1) (س 2 + س + 1) = (س 3 + س 2 + س) + (س 2 + س + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

مثال 2 تتضاعف. (2x + 3) (x2 + 4x + 5) = (2x) (x2 + 4x + 5) + (3) (x2 + 4x + 5) = (2x3 + 8x2 + 10x) + (3x2 + 12x + 15) = 2x3 + 11x2 + 22x + 15

ممارسة تتضاعف. 1) (× 2 + 5) (× 2 + 3 × - 4)

مثال 3 تتضاعف. (5x2 + 3x + 2) (3x2 + 2x - 1) 15x4 + 10x3 - 5x2 9x3 - 3x + 6x2 6x2 + 4x - 2 15x4 + 19x3 + 7x2 + x - 2


5.3: العمليات على كثيرات الحدود

في بعض الأحيان ، يسمى الحقل المحدود أيضًا حقل جالوا. سميت بهذا الاسم تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي فاريست جالوا. الوا هو أول من أسس النظرية الأساسية التالية حول وجود الحقول المحدودة:

أمر- ن يوجد مجال محدود إذا وفقط إذا ن = ص م لبعض الاولي ص ( ص تسمى خاصية هذا المجال المحدود) وبعض الأعداد الصحيحة الموجبة م .

في الواقع ، أمر- ن المجال المحدود فريد من نوعه (حتى تماثل الشكل). جميع الحقول المحدودة من نفس الترتيب متطابقة هيكليًا. نحن نستخدم عادة GF ( مساء ) لتمثيل مجال النظام المحدود مساء . كما أوضحنا أعلاه ، فإن مقياس الجمع والضرب هو عدد أولي ص تشكل مجالا محدودا. ترتيب المجال هو ص 1 . ومع ذلك ، لن يسمح لنا الحساب المعياري بمفرده ببناء حقل محدد بترتيب مساء إلى عن على م & GT 1. على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ، ونحن نعلم بالفعل ( ض 8 ، + ، *) ليس حقلاً. طريقة واحدة لبناء مجال محدود مع م & gt1 يستخدم ملف أساس متعدد الحدود . تم إنشاء الحقل كمجموعة من مساء كثيرات الحدود مع عمليتين كثيرات الحدود.

هنا كثير الحدود و (خ) هو تعبير رياضي في الشكل أنx n + aن -1x n-1 +. + أ0 . أعلى أس x هل الدرجة العلمية من كثير الحدود. على سبيل المثال ، درجة × 5 + 3 × 3 + 4 هي 5. في كثير الحدود ، أن، أن -1و. ، أ0 وتسمى المعاملات . إذا كانت في كثير الحدود ، فإن المعاملات أن، أن -1و. ، أ1 كلها 0 ، أو بعبارة أخرى ، كثير الحدود في شكل أ0 ، نسمي هذا كثير الحدود أ مستمر . يمكننا جمع وطرح كثيرات الحدود من خلال دمج الحدود في كثيرات الحدود التي لها نفس القوى. فمثلا:

إضافة كثيرة الحدود: ( × 5 + 3 × 3 + 4 )+( 6 × 6 + 4 × 3 ) = 6 س 6 + س 5 + 7 س 3 + 4

الطرح متعدد الحدود: ( × 5 + 3 × 3 + 4 )-( 6 × 6 + 4 × 3 ) = -6 س 6 + س 5-س 3 + 4

يمكننا أيضًا ضرب اثنين من كثيرات الحدود. القاعدة العامة هي أن كل حد في كثير الحدود الأول يجب أن يضرب كل حد في كثير الحدود الثاني ، ثم نجمع كثيرات الحدود الناتجة. فمثلا:

الضرب متعدد الحدود: ( × 5 + 3 × 3 + 4 )*( 6 × 6 + 4 × 3 ) = 6x 11 + 18x 9 + 4x 8 + 36x 6 + 16x 3

يمكننا أيضًا قسمة كثيرات الحدود باستخدام القسمة المطولة. فمثلا:

تقسيم متعدد الحدود: (6x 11 + 18x 9 + 4x 8 + 36x 6 + 16x 3) (x 5 + 3x 3 + 4) = 6 × 6 + 4 × 3

لكن في كثير من الحالات لا يمكن للمقسمات تقسيم الأرباح ، مما يعني أنه سيكون لديك باقٍ. فمثلا:

قسمة كثيرة الحدود مع الباقي: (3x 6 + 7x 4 + 4x 3 + 5) (x 4 + 3x 3 + 4) = 3x 2-9x + 34 مع الباقي -98x 3-12x 2 + 26x -131

إذا كانت كثيرة الحدود قابلة للقسمة على نفسها والثوابت فقط ، فإننا نسمي هذا كثير الحدود كثير الحدود غير قابل للاختزال. سنرى لاحقًا أن كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال لها خصائص مشابهة للأعداد الأولية.

إذا كانت المعاملات مأخوذة من حقل F ، ثم نقول إنه أ كثير الحدود على F. مع كثيرات الحدود على المجال GF ( ص ) ، يمكنك إضافة ومضاعفة كثيرات الحدود تمامًا كما فعلت دائمًا ولكن يجب تقليل المعاملات ص . على سبيل المثال ، قارن النتائج أعلاه مع كثيرات الحدود GF (11):

( × 5 + 3 × 3 + 4 )+( 6 × 6 + 4 × 3 ) = 6 س 6 + س 5 + 7 س 3 + 4

( × 5 + 3 × 3 + 4 )-( 6 × 6 + 4 × 3 ) = 5x 6 + x 5 + 10x 3 + 4

( × 5 + 3 × 3 + 4 )*( 6 × 6 + 4 × 3 ) = 6x 11 + 7x 9 + 4x 8 + 3x 6 + 5x 3

(3x 6 + 7x 4 + 4x 3 + 5) (x 4 + 3x 3 + 4) = 3x 2 + 3x + 3 مع الباقي x 3 + 10x 2 + 4x +1

على غرار الأعداد الصحيحة ، يمكنك إجراء عمليات حسابية معيارية مع كثيرات الحدود فوق حقل. الآن المعاملات والمعامل متعدد الحدود. يترك F ( x )= أنx n + aن -1x n-1 +. + أ0 و ز ( x )= بمس م + بم -1x م -1 +. + ب0 يكونا متعددي الحدود فوق حقل F ، إذن هناك كثير حدود فريد ص ( x ) بدرجة أصغر من م وكثير حدود فريدة أخرى ح ( x ) ، على حد سواء F ، مثل ذلك F ( x ) = ح (س) * ز (س) + ص (خ) . كثير الحدود ص (خ) يسمى ما تبقى من و (خ) مودولو ز (س) . بالنسبة إلى كثيرات الحدود أ (خ) ، ب (خ) و ز (س) التي هي في نفس المجال ، نقول فأس) هو متطابق مع ب (خ) مودولو ز (س) مكتوبة أ (خ) & # 8801 ب (خ) عصري ز (س) ، لو م (س) يقسم فأس) - ب (خ) . على سبيل المثال (انتهت جميع كثيرات الحدود GF (3)):

تذكر دائمًا أن هناك نوعان من المعاملين: معامل كثير الحدود ومعامل عدد صحيح. تحتاج إلى تقليل النتيجة من العمليات كثيرة الحدود عن طريق مقياس معامل كثير الحدود ثم تقليل معامل المعاملات إلى معامل العدد الصحيح. خذ أحد الأمثلة أعلاه: 2x 2 + x 4 = x 4 + 2x 2 ، يمكنك تقليل هذه النتيجة بالقسمة على x 2-1:

يتم بعد ذلك تقليل الباقي 3 بالمقياس 3: 3 & # 8801 0 mod 3. وبالتالي فإن النتيجة النهائية هي 2 x 2 + x 4 & # 8801 0 mod ( x 2 -1).


الجبر الخطي لتعلم الاستفسار القائم على الفريق

النشاط 5.3.1.

المصفوفة القابلة للانعكاس (M ) ومعكوسها (M ^ <-1> ) مذكورة أدناه:

أي مما يلي يساوي ( det (M) det (M ^ <-1>) text <؟> )

حقيقة 5.3.2.

لكل مصفوفة قابلة للعكس (م نص <،> )

علاوة على ذلك ، تكون المصفوفة المربعة (M ) قابلة للعكس إذا وفقط إذا ( det (M) ليس = 0 نص <.> )

الملاحظة 5.3.3.

ضع في اعتبارك التحويل الخطي (A: IR ^ 2 rightarrow IR ^ 2 ) المعطى بواسطة المصفوفة (A = left [ start 2 & أمبير 2 0 & أمبير 3 نهاية right] text <.> )

من السهل أن نرى ذلك هندسيًا

إنه أقل وضوحًا (ولكن يسهل التحقق منه بمجرد العثور عليه) ذلك

التعريف 5.3.5.

اسمحوا (A in M_ text <.> ) إن لـ (A ) هو متجه ( vec in IR ^ n ) بحيث يكون (A vec) يوازي ( vec نص <.> )

بمعنى آخر ، (A vec= لامدا vec) لبعض الحجمي ( lambda text <.> ) إذا كان ( vec x not = vec 0 text <،> ) فإننا نقول ( vec x ) هو a ونحن ندعو هذا ( لامدا ) أحد (أ نص <.> )

النشاط 5.3.7.

إيجاد القيم الذاتية ( لامدا ) التي ترضي

بالنسبة لبعض المتجهات الذاتية غير البديهية ( vec x ) تعادل إيجاد حلول غير صفرية لمعادلة المصفوفة

أي مما يلي يجب أن يكون صحيحًا لأي قيمة ذاتية؟

ال نواة للتحويل مع المصفوفة القياسية (A- lambda I ) يجب أن يحتوي المتجه الصفري، لذلك (A- lambda أنا ) هو غير قابل للعكس.

ال نواة للتحويل مع المصفوفة القياسية (A- lambda I ) يجب أن يحتوي متجه غير صفري، لذلك (A- lambda أنا ) هو غير قابل للعكس.

ال صورة للتحويل بالمصفوفة القياسية (A- lambda I ) يجب أن يحتوي المتجه الصفري، لذلك (A- lambda أنا ) هو غير قابل للعكس.

ال صورة للتحويل بالمصفوفة القياسية (A- lambda I ) يجب أن يحتوي متجه غير صفري، لذلك (A- lambda أنا ) هو غير قابل للعكس.

حقيقة 5.3.8.

قيم eigenvalues ​​ ( lambda ) للمصفوفة (A ) هي القيم التي تجعل (A- lambda I ) غير قابل للعكس.

وبالتالي فإن قيم eigenvalues ​​ ( lambda ) للمصفوفة (A ) هي حلول المعادلة

التعريف 5.3.9.

التعبير ( det (A- lambda I) ) يسمى (A text <.> )

على سبيل المثال ، عندما (A = left [ begin1 & amp 2 3 & amp 4 النهاية right] text <،> ) لدينا

وبالتالي فإن خاصية كثير الحدود المميزة لـ (A ) هي

وقيمها الذاتية هي حلول ​​( lambda ^ 2-5 lambda-2 = 0 text <.> )

النشاط 5.3.10.

احسب ( det (A- lambda I) ) لتحديد خاصية كثير الحدود المميزة لـ (A text <.> )

عيّن متعدد الحدود المميز هذا مساويًا للصفر والعامل لتحديد القيم الذاتية لـ (A text <.> )

النشاط 5.3.11.

أوجد كل القيم الذاتية للمصفوفة (A = left [ begin 3 & amp -3 2 & amp -4 end حق] نص <.> )

النشاط 5.3.12.

أوجد كل قيم eigenvalues ​​للمصفوفة (A = left [ begin 1 & amp -4 0 & amp 5 النهاية حق] نص <.> )

النشاط 5.3.13.

أوجد كل قيم eigenvalues ​​للمصفوفة (A = left [ begin 3 & amp -3 & amp 1 0 & amp -4 & amp 2 0 & amp 0 & amp 7 end حق] نص <.> )


5.3: العمليات على كثيرات الحدود

(ثانيا) القوانين النقابية: لجميع أ ، ب ، ج و ،

(ثالثا) القوانين التبادلية: لجميع أ ، ب و ،

(رابعا) قوانين التوزيع: لجميع أ ، ب ، ج و ،

(الخامس) عناصر الهوية: تحتوي المجموعة F على عنصر هوية مضاف ، يُشار إليه بالرقم 0 ، بحيث يكون لكل F ،

تحتوي المجموعة F أيضًا على عنصر هوية مضاعف ، يُشار إليه بالرمز 1 (ويفترض أنه مختلف عن 0) بحيث يكون لكل F ،

(السادس) العناصر المعكوسة: لكل a F المعادلات

لها حل x F ، يسمى المعكوس الجمعي لـ a ، ويُرمز لها بـ -a.
لكل عنصر غير صفري a F ، المعادلات

لها حل x F ، يسمى معكوس الضرب لـ a ، ويُرمز إليه بـ -1. 4.1.4. تعريف. دع F يكون حقلا. اذا كانم، أم -1 و. . . ، أ1، أ0 F ، ثم أي تعبير عن النموذج

يسمى كثير الحدود على F في غير محدد x مع المعاملات أم، أم -1و. . . ، أ0. يتم الإشارة إلى مجموعة جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات في F بواسطة F [x].
إذا كانت n هي أكبر عدد صحيح غير سالب مثل aن 0 ، ثم نقول أن كثيرة الحدود

لديها درجة n ، مكتوبة deg (f (x)) = n ، و aن يسمى المعامل الرئيسي لـ f (x).
إذا كان المعامل الرئيسي هو 1 ، فيُقال إن f (x) مونيك.

تتساوى كثيرات الحدود بحكم التعريف إذا كانت لهما نفس الدرجة وجميع المعاملات المقابلة متساوية. من المهم التمييز بين كثير الحدود f (x) كعنصر من F [x] ودالة كثيرة الحدود المقابلة من F إلى F المحددة باستبدال عناصر F بدلاً من x. إذا كانت f (x) = aمx m + & # 183 & # 183 & # 183 + أ0 و c F ، ثم f (c) = aمج م + & # 183 & # 183 & # 183 + أ0. في الواقع ، إذا كانت F حقلاً محدودًا ، فمن الممكن أن يكون لديك متعددتي حدود مختلفتين تحددان نفس وظيفة كثيرة الحدود. على سبيل المثال ، دع F يكون الحقل ض 5 واعتبر كثيرات الحدود x 5 -2x + 1 و 4x + 1. لأي ج ض 5، وفقًا لنظرية فيرما ، لدينا c 5 c (mod 5) ، وهكذا

ص 5 -2c + 1 -c + 1 4c + 1 (mod 5) ،

مما يدل على أن x 5 -2x + 1 و 4x + 1 متطابقان كوظائف.


يتم تحديد مجموع f (x) و g (x) بمجرد إضافة المعاملات المقابلة. يتم تعريف المنتج f (x) g (x) على أنه

المعامل جك من x k في f (x) g (x) يمكن وصفها بالصيغة

يتوافق هذا التعريف للمنتج مع ما نتوقع الحصول عليه باستخدام نهج ساذج: قم بتوسيع المنتج باستخدام قانون التوزيع بشكل متكرر (يرقى هذا إلى ضرب كل مصطلح في كل مصطلح آخر) ثم جمع المصطلحات المماثلة.

4.1.5. اقتراح. إذا كانت f (x) و g (x) ذات حدود غير صفرية في F [x] ، فإن f (x) g (x) تكون غير صفرية و

4.1.6. اللازمة - النتيجة. إذا لم تكن f (x) و g (x) و h (x) F [x] و f (x) هي كثيرة الحدود الصفرية ، إذن

f (x) g (x) = f (x) h (x) تعني g (x) = h (x).

4.1.7. تعريف. دع f (x) ، g (x) F [x]. إذا كانت f (x) = q (x) g (x) لبعض q (x) F [x] ، فإننا نقول إن g (x) عامل أو مقسوم على f (x) ، ونكتب g (x) ) | و (خ).
سيتم الإشارة إلى مجموعة جميع كثيرات الحدود القابلة للقسمة على g (x) بواسطة & lt g (x) & gt.

4.1.8. ليما. لأي عنصر c F وأي عدد صحيح موجب k ،

4.1.9. نظرية. [نظرية الباقي] لنفترض أن f (x) F [x] تكون كثيرة حدود غير صفرية ، ولنفترض أن c F. ثم يوجد كثير الحدود q (x) F [x] بحيث

علاوة على ذلك ، إذا كانت f (x) = q1(x) (x - c) + k حيث q1(x) F [x] و k F ثم q1(x) = q (x) و k = f (c).

4.1.10. تعريف. دع f (x) = aمx m + & # 183 & # 183 & # 183 + أ0 و [س]. يُطلق على العنصر c F جذر كثير الحدود f (x) إذا كانت f (c) = 0 ، أي إذا كانت c حلًا للمعادلة متعددة الحدود f (x) = 0.

4.1.11. اللازمة - النتيجة. لنفترض أن f (x) F [x] تكون كثيرة حدود غير صفرية ، ولنفترض أن c F. ثم c هي جذر f (x) إذا وفقط إذا كان x-c عاملًا لـ f (x). هذا هو،

f (c) = 0 إذا وفقط إذا (x-c) | و (خ).

4.1.12 نتيجة طبيعية. كثير حدود من الدرجة n مع معاملات في الحقل F لها جذور مميزة في معظمها n في F.

4.2.1. نظرية. [خوارزمية التقسيم] لأي كثيرات حدود f (x) و g (x) في F [x] ، مع g (x) 0 ، توجد كثيرات حدود فريدة q (x) ، r (x) F [x] بحيث

حيث درجة (r (x)) & lt deg (g (x)) أو r (x) = 0.

4.2.2. النظرية دعني أكون مجموعة فرعية من F [x] التي تفي بالشروط التالية: (1) أنا تحتوي على كثير حدود غير صفري

(iii) إذا كانت f (x) I و q (x) F [x] ، إذن q (x) f (x) I. إذا كانت d (x) هي أي كثيرة حدود غير صفرية في I من الدرجة الدنيا ، إذن

4.2.3. تعريف. كثير الحدود الأحادي d (x) F [x] يسمى القاسم المشترك الأكبر لـ f (x)، g (x) F [x] if (i) d (x) | f (x) و d (x) | ز (خ) و

(ii) إذا كانت h (x) | و (س) وح (س) | g (x) لبعض h (x) F [x] ، ثم h (x) | د (خ). يُشار إلى القاسم المشترك الأكبر لـ f (x) و g (x) بواسطة gcd (f (x)، g (x)).
إذا كانت gcd (f (x)، g (x)) = 1 ، فإن كثيرات الحدود f (x) و g (x) يقال إنها أولية نسبيًا.

4.2.4. نظرية. لأي كثيرات حدود غير صفرية f (x) و g (x) F [x] يوجد القاسم المشترك الأكبر gcd (f (x) و g (x)) ويمكن التعبير عنه كمجموعة خطية من f (x) و g ( x) في الشكل

مثال. 4.2.3. (الخوارزمية الإقليدية لكثيرات الحدود) لنفترض أن f (x)، g (x) F [x] تكون متعددة الحدود غير صفرية. يمكننا استخدام خوارزمية القسمة في الكتابة

    إذا كانت r (x) = 0 ، فإن g (x) هي مقسوم على f (x) ، وبالتالي gcd (f (x) ، g (x)) = cg (x) ، بالنسبة لبعض c F.

يمكن العثور عليها تمامًا كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة (انظر الخوارزمية الإقليدية للأعداد الصحيحة).

4.2.5. اقتراح. لنفترض أن p (x) و f (x) و g (x) F [x]. إذا كان gcd (p (x)، f (x)) = 1 و p (x) | f (x) g (x) ، ثم p (x) | ز (خ).

4.2.6. تعريف. يقال إن كثير الحدود غير الثابت (أي متعدد الحدود بدرجة موجبة) غير قابل للاختزال في الحقل F إذا كان لا يمكن تحويله إلى عوامل في F [x] إلى منتج متعدد الحدود من الدرجة الأدنى. يقال أنه يمكن اختزاله على F إذا كان هذا العامل موجودًا.

4.2.7. اقتراح. كثير الحدود من الدرجة 2 أو 3 غير قابل للاختزال فوق الحقل F إذا وفقط إذا لم يكن له جذور في F.

4.2.8 ليما. كثير الحدود غير الثابت p (x) F [x] غير قابل للاختزال على F إذا وفقط إذا كان لجميع f (x) و g (x) F [x] ،

ص (س) | (f (x) g (x)) تعني p (x) | f (x) أو p (x) | ز (خ).

4.2.9. نظرية. [عامل فريد] يمكن التعبير عن أي كثير حدود غير ثابت مع معاملات في الحقل F كعنصر من F مضروبًا في منتج متعدد الحدود الأحادي ، وكل منها غير قابل للاختزال في الحقل F. هذا التعبير فريد باستثناء الترتيب الذي تحدث به العوامل.

4.2.10. تعريف. دع f (x) F [x]. يُقال أن العنصر c F هو جذر التعددية n 1 لـ f (x) إذا

(س - ج) ن | و (س) ولكن (س - ج) ن + 1 و (س).

4.2.11. اقتراح. كثير الحدود غير ثابت f (x) فوق المجال ر من الأعداد الحقيقية ليس لها عوامل متكررة إذا وفقط إذا كانت gcd (f (x)، f '(x)) = 1 ، حيث f' (x) هي مشتق f (x).

مثال. 4.2.4. (الكسور الجزئية) دع f (x) / g (x) دالة كسرية. تتمثل الخطوة الأولى في تحقيق التحلل الجزئي للكسر لـ f (x) / g (x) في استخدام النظرية 4.2.9 لكتابة g (x) كمنتج للعديد من الحدود غير القابلة للاختزال.
إذا كانت g (x) = p (x) q (x) ، حيث تكون p (x) و q (x) أولية نسبيًا ، فبموجب النظرية 4.2.4 توجد كثيرات الحدود a (x) و b (x) مع

القسمة على p (x) q (x) تسمح لنا بالكتابة

f (x) / g (x) = (f (x) a (x)) / q (x) + (f (x) b (x)) / p (x).

يمكن تمديد هذه العملية عن طريق الاستقراء حتى تتم كتابة f (x) / g (x) كمجموع من الوظائف المنطقية ، حيث يكون المقام في كل حالة قوة متعددة الحدود غير قابلة للاختزال.

الخطوة التالية في تحليل الكسر الجزئي هي توسيع حدود النموذج h (x) / p (x) n. باستخدام خوارزمية القسمة ، يمكننا الكتابة

حيث درجة (r (x)) & lt deg (p (x) n). ثم يمكننا قسمة r (x) على p (x) n-1 للحصول عليها

حيث درجة (c (x)) & lt deg (p (x) n-1). هذا يعطينا

في أي درجة (ب (س)) و لتر درجة (ص (س)). يمكن أن يستمر هذا عن طريق الاستقراء ، للحصول على

فيها البسط ب (س). جميع t (x) لها درجة أقل من p (x).

بناء الحقول الإرشادية

4.4.2. تعريف. لنفترض أن F حقل ، ونفترض أن p (x) تكون كثيرة حدود ثابتة على F. إذا كانت a (x) ، b (x) F [x] ، فإننا نقول إن a (x) و b (x) هما نمطان متطابقان ع (خ) ، مكتوب

يُطلق عليه فئة التطابق a (x) ، ويُرمز إليه بـ [a (x)].
سيتم الإشارة إلى مجموعة جميع فئات التطابق modulo p (x) بواسطة

4.4.3. اقتراح. لنفترض أن F حقل ، ولنفترض أن p (x) تكون كثيرة حدود غير صفرية في F [x]. بالنسبة لأي (x) F [x] ، تحتوي فئة التطابق [a (x)] modulo p (x) على ممثل فريد r (x) مع deg (r (x)) & ltdeg (p (x)) أو r (س) = 0.

4.4.4. اقتراح. لنفترض أن F حقل ، ولنفترض أن p (x) تكون كثيرة حدود غير صفرية في F [x]. بالنسبة لأي كثيرات الحدود a (x) و b (x) و c (x) و d (x) في F [x] ، يتم الاحتفاظ بالشروط التالية: (أ) إذا كانت a (x) c (x) (mod p ( x)) و b (x) d (x) (mod p (x)) ، ثم

4.4.5. اقتراح. لنفترض أن F حقل ، ولنفترض أن p (x) تكون كثيرة حدود غير صفرية في F [x]. لأي (x) F [x] ، فئة التطابق [a (x)] لها معكوس مضاعف في F [x] / & ltp (x) & gt if وفقط إذا كان gcd (a (x)، p (x) ) = 1.

4.4.6. نظرية. لنفترض أن F حقلاً ، وليكن p (x) متعدد حدود غير ثابت على F. ثم F [x] / & ltp (x) & gt هو حقل إذا وفقط إذا كانت p (x) غير قابلة للاختزال على F.

4.4.7. تعريف. دع F1 و F2 تكون الحقول. وظيفة: F1 - & GT F2 يسمى تماثل الحقول إذا (1) هو واحد لواحد وعلى ،

(2) (أ + ب) = (أ) + (ب) ، لجميع أ ، ب و1، و

(3) (أب) = (أ) (ب) لجميع أ ، ب و1. 4.4.8 نظرية. [Kronecker] لنفترض أن F حقلاً ، ونفترض أن f (x) تكون أي كثيرة حدود غير ثابتة في F [x]. ثم يوجد حقل امتداد E لـ F وعنصر u E مثل f (u) = 0.

4.4.9 نتيجة طبيعية. لنفترض أن F حقلاً ، ونفترض أن f (x) تكون أي كثيرة حدود غير ثابتة في F [x]. ثم يوجد حقل امتداد E لـ F يمكن من خلاله تحويل f (x) إلى منتج من العوامل الخطية.

كثيرات الحدود أكثر س, ر، و ج

4.3.2. تعريف. تسمى كثيرة الحدود ذات المعاملات الصحيحة بالبدائية إذا كان القاسم المشترك الأكبر لجميع معاملاتها هو 1.

4.3.3 ليما. لنفترض أن p عددًا أوليًا ، ولنفترض أن f (x) = g (x) h (x) ، حيث f (x) = aمx m + & # 183 & # 183 & # 183 + أ1x + أ0، ز (س) = بنx n + & # 183 & # 183 & # 183 + ب1س + ب0، و ح (س) = جكx k + & # 183 & # 183 & # 183 + ج1س + ج0. إذا بس وجر هي معاملات g (x) و h (x) لأقل مؤشر غير قابل للقسمة على p ، ثم as + t هو معامل f (x) لأقل مؤشر لا يقبل القسمة على p.

4.3.4. نظرية. [Gauss's Lemma] The product of two primitive polynomials is itself primitive.

4.3.5. Theorem. A polynomial with integer coefficients that can be factored into polynomials with rational coefficients can also be factored into polynomials of the same degree with integer coefficients.

4.3.6. Theorem. [Eisenstein's Irreducibility Criterion] Let

be a polynomial with integer coefficients. If there exists a prime number p such that

أن 0 (mod p) and a0 0 (mod p 2 ),

then f(x) is irreducible over the field of rational numbers.

4.3.7 Corollary. If p is prime, then the polynomial

is irreducible over the field of rational numbers.

A.5.2 Theorem. [DeMoivre] For any positive integer n,

( cos + i sin ) n = cos(n ) + i sin(n ).

A.5.3. Corollary. For any positive integer n, the equation z n = 1 has n distinct roots in the set of complex numbers.

تعريف. The roots in ج of the polynomial x n -1 are called the complex n th roots of unity .
A complex nذ root of unity is said to be primitive if it is a root of the polynomial x n -1, but is not a root of x m -1 for any positive integer m<n.

Example. A.5.3. If z n = u, then (z ) n = u, where is any nذ root of unity. Thus if all nذ roots of unity are already known, it is easy to find the nذ roots of any complex number. In general, the nذ roots of r(cos + i sin ) are

r 1/n (cos (( + 2k )/n) + i sin (( + 2k )/n)),

A.5.4. Theorem. [Fundamental Theorem of Algebra] Any polynomial of positive degree with complex coefficients has a complex root.

A.5.5. Corollary. Any polynomial f(z) of degree n > 0 with complex coefficients can be expressed as a product of linear factors, in the form

If z = a+bi is a complex number, then its complex conjugate , denoted by z*, is z* = a-bi. Note that zz* = a 2 + b 2 and z+z* = 2a are real numbers, whereas z-z* = (2b)i is a purely imaginary number. Furthermore, z = z* if and only if z is a real number ( i.e., b = 0). It can be checked that (z+w)* = z*+w* and (zw)* = z*w*.

A.5.6. Proposition. Let f(x) be a polynomial with real coefficients. Then a complex number z is a root of f(x) if and only if z* is a root of f(x).

A.5.7. Theorem. Any polynomial with real coefficients can be factored into a product of linear and quadratic terms with real coefficients.

A.5.8. Corollary. Any polynomial of odd degree that has real coefficients must have a real root.


Simplify (x 3 + 3x 2 + 5x &ndash 4) &ndash (3x 3 &ndash 8x 2 &ndash 5x + 6)

The first thing I have to do is take that "minus" sign through the parentheses containing the second polynomial. Some students find it helpful to put a " 1 " in front of the parentheses, to help them keep track of the minus sign.

Here's what the subtraction looks like, when working horizontally:

And here's what the subtraction looks like, when going vertically:

In the horizontal addition (above), you may have noticed that running the negative through the parentheses changed the sign on each and every term inside those parentheses. The shortcut when working vertically is to not bother writing in the subtaction sign or the parentheses instead, write the second polynomial in the second row, and then just flip all the signs in that row, "plus" to "minus" and "minus" to "plus".

I'll change all the signs in the second row (shown in red below), and add down:

Either way, I get the answer:

Simplify (6x 3 &ndash 2x 2 + 8x) &ndash (4x 3 &ndash 11x + 10)

Here's the subtraction, done horizontally:

Going vertically, I'll write out the polynomials, leaving gaps as necessary:

Then I'll flip all of the signs in the second line, and then add down:

Either way, I get the same answer:

Are we limited to only adding or subtracting pairs of polynomials? No, not at all. Especially once you get to calculus, it is very likely that it will be necessary to combine three or more polynomials, some of which are added and others which are subtracted. Just take care to write things out neatly, and don't try to do too much in any one step.

Simplify: (3x 2 &ndash 5x &ndash 1) &ndash (x 3 &ndash 2x 2 + 4) + (9x 3 + 5x 2 &ndash 3x &ndash 2)

Okay to make this easier on myself, I'm first going to flip all of the signs for the second parenthetical, because there's currently a "minus" sign in front of that polynomial. So that middle polynomial becomes:

Then I'll set up my simplification (which now involves only addition) in the vertical format:

You can use the Mathway widget below to practice adding and subtracting polynomials. Try the entered exercise, or type in your own exercise. Then click the button and select "Add" or "Subtract the Expressions" to compare your answer to Mathway's.

(Click "Tap to view steps" to be taken directly to the Mathway site for a paid upgrade.)


5.3: Operations on Polynomials

College Algebra
Tutorial 6: كثيرات الحدود

  1. Identify a term, coefficient, constant term, and polynomial.
  2. Tell the difference between a monomial, binomial, and trinomial.
  3. Find the degree of a term and polynomial.
  4. اجمع بين الشروط المتشابهة.
  5. Add and subtract polynomials.
  6. Multiply any polynomial times any other polynomial.
  7. Use the FOIL method to multiply a binomial times a binomial.
  8. Use special product rules to multiply a binomial squared and a product of a sum and difference of two terms.

Examples of terms are , z.

Here are the coefficients of the terms listed above:

Examples of constant terms are 4, 100, and -5.

أين ن is a non-negative integer.

is called the leading coefficient.

An example of a polynomial expression is .

For example, the degree of the term would be 1 + 1 = 2. The exponent on أ is 1 and on ب is 1 and the sum of the exponents is 2.

The degree of the term would be 3 since the only variable exponent that we have is 3.

Degree of the Polynomial

Also note that a polynomial can be “missing” terms. For example, the polynomial written above starts with a degree of 5, but notice there is not a term that has an exponent of 4. That means the coefficient on it is 0, so we do not write it.


Some Types of Polynomials

اكتب تعريف مثال
Monomial A polynomial with واحد مصطلح 5 x
Binomial A polynomial with اثنين terms 5 x - 10
Trinomial A polynomial with ثلاثة terms

مثال 1 : Find the degree of the polynomial and indicate whether the polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or none of these: .

Since there are three terms, this is a trinomial.

مثال 2 : Find the degree of the polynomial and indicate whether the polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or none of these: .

Make sure that you don’t fall into the trap of thinking it is always the degree of the first term. This polynomial is not written in standard form (descending order). So we had to actually go to the second term to get the highest degree.

Since there are two terms, this is a binomial.

مثال 3 : Find the degree of the polynomial and indicate whether the polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or none of these: -20.

Since there is one term, this is a monomial.

You can only combine terms that are like terms. You can think of it as the reverse of the distributive property.

It is like counting apples and oranges. You just count up how many variables you have the same and write the number in front of the common variable part.

Adding and Subtracting Polynomials

If there is a - in front of the ( ), then distribute it by multiplying every term in the ( ) by a -1 (or you can think of it as negating every term in the ( )).

Example 4 : Perform the indicated operation and simplify: .

مثال 5 : Perform the indicated operation and simplify: .


ضرب كثيرات الحدود

On this page we will look at some of the more common types of polynomials to illustrate this idea.

مثال 6 : Find the product .

مثال 7 : Find the product .

One way to keep track of your distributive property is to use the FOIL method. Note that this method only works on (Binomial)(Binomial).

F First terms
ا Outside terms
أنا Inside terms
إل Last terms

This is a fancy way of saying to take every term of the first binomial times every term of the second binomial. In other words, do the distributive property for every term in the first binomial.

المثال 8 : Find the product .

Special product rule for
a binomial squared:

Any time you have a binomial squared you can use this shortcut method to find your product.

This is a special products rule. It would be perfectly ok to use the foil method on this to find the product. The reason we are showing you this form is that when you get to factoring, you will have to reverse your steps. So when you see , you will already be familiar with the product it came from.

المثال 9 : Find the product .

المثال 10 : Find the product .

Example 11 : Find the product .

Any time you have a binomial cubed you can use this shortcut method to find your product.

Example 12 : Find the product .

To get the most out of these, you should work the problem out on your own and then check your answer by clicking on the link for the answer/discussion for that problem. At the link you will find the answer as well as any steps that went into finding that answer.

Practice Problems 1a - 1c: Find the degree of the polynomial and indicate whether the polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or none of these.


Practice Problems 2a - 2e: Perform the indicated operation.


شاهد الفيديو: العمليات على كثيرات الحدود رياضيا3 (شهر نوفمبر 2021).