مقالات

8.3: الدوال المثلثية المعكوسة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • افهم واستخدم الدوال المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل.
  • أوجد القيمة الدقيقة للتعبيرات التي تتضمن دوال الجيب العكسي وجيب التمام والظل.
  • استخدم الآلة الحاسبة لتقييم الدوال المثلثية العكسية.
  • أوجد القيم الدقيقة للدوال المركبة ذات الدوال المثلثية العكسية.

بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية ، بالنظر إلى زاوية أخرى وطول أحد أضلاعه ، يمكننا معرفة الزوايا والأضلاع الأخرى. لكن ماذا لو أعطينا ضلعين فقط في مثلث قائم الزاوية؟ نحتاج إلى إجراء يقودنا من نسبة الأضلاع إلى الزاوية. هذا هو المكان الذي تلعب فيه فكرة معكوس الدالة المثلثية. في هذا القسم ، سوف نستكشف الدوال المثلثية العكسية.

فهم واستخدام الدوال المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل

من أجل استخدام الدوال المثلثية العكسية ، نحتاج إلى فهم أن الدالة المثلثية العكسية "تبطل" ما "تفعله" الدالة المثلثية الأصلية ، كما هو الحال مع أي دالة أخرى ومعكوسها. بمعنى آخر ، مجال الدالة العكسية هو نطاق الوظيفة الأصلية ، والعكس صحيح ، كما تم تلخيصه في الشكل ( PageIndex {1} ).

على سبيل المثال ، إذا (f (x) = sin space x ) ، فسنكتب (f ^ {- 1} (x) = { sin} ^ {- 1} x ). اعلم أن ({ sin} ^ {- 1} x ) لا يعني ( dfrac {1} { sin space x} ). توضح الأمثلة التالية الدوال المثلثية العكسية:

  • بما أن ( sin left ( dfrac { pi} {6} right) = dfrac {1} {2} ) ، ثم ( dfrac { pi} {6} = { sin} ^ {−1} left ( dfrac {1} {2} right) ).
  • بما أن ( cos ( pi) = - 1 ) ، إذن ( pi = { cos} ^ {- 1} (- 1) ).
  • بما أن ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، ثم ( dfrac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ).

في الأقسام السابقة ، قمنا بتقييم الدوال المثلثية بزوايا مختلفة ، لكن في بعض الأحيان نحتاج إلى معرفة الزاوية التي ستنتج قيمة جيب أو جيب تمام أو ظل معين. لهذا ، نحتاج إلى دوال عكسية. تذكر أنه بالنسبة لدالة واحد لواحد ، إذا (f (a) = b ) ، فإن الدالة العكسية ترضي (f ^ {- 1} (b) = a ).

ضع في اعتبارك أن دوال الجيب وجيب التمام والظل ليست وظائف فردية. الرسم البياني لكل دالة سيفشل في اختبار الخط الأفقي. في الواقع ، لا يمكن أن تكون أي دالة دورية واحدة لواحد لأن كل ناتج في نطاقها يتوافق مع إدخال واحد على الأقل في كل فترة ، وهناك عدد لا حصر له من الفترات. كما هو الحال مع الوظائف الأخرى التي لا تكون فردية ، سنحتاج إلى تقييد ملف نطاق من كل دالة لإعطاء وظيفة جديدة واحدة لواحد. نختار مجالًا لكل دالة تتضمن الرقم 0. يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) الرسم البياني لوظيفة الجيب التي تقتصر على ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) والرسم البياني لوظيفة جيب التمام مقصوران على ([0، pi] ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني لوظيفة الظل التي تقتصر على ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right) ).

هذه الخيارات التقليدية للمجال المقيد اعتباطية إلى حد ما ، لكن لها خصائص مهمة ومفيدة. يتضمن كل مجال الأصل وبعض القيم الإيجابية ، والأهم من ذلك ، ينتج عن كل مجال دالة رأس برأس قابلة للعكس. يحتوي الاختيار التقليدي للمجال المقيد لوظيفة الظل أيضًا على خاصية مفيدة تمتد من واحد الخط المقارب الرأسي إلى الجزء التالي بدلاً من تقسيمه إلى جزأين بواسطة خط مقارب.

في هذه المجالات المقيدة ، يمكننا تحديد الدوال المثلثية العكسية.

  • دالة الجيب العكسية (y = { sin} ^ {- 1} x ) تعني (x = sin space y ). تسمى دالة الجيب العكسية أحيانًا بـ قوس وظيفة ، وتم تدوينها ( arcsin space x ).

    (y = { sin} ^ {- 1} x ) له مجال ([- 1،1] ) ونطاق ( يسار [- frac { pi} {2} ، frac { pi} {2} right] )

  • دالة جيب التمام العكسية (y = { cos} ^ {- 1} x ) تعني (x = cos space y ). تسمى دالة جيب التمام العكسي أحيانًا بـ أركوزين وظيفة ، وتم تدوينها ( arccos space x ).

    (y = { cos} ^ {- 1} x ) له مجال ([- 1،1] ) ونطاق ([0، π] )

  • دالة الظل العكسي (y = { tan} ^ {- 1} x ) تعني (x = tan space y ). تسمى أحيانًا دالة الظل العكسية قوس ظل وظيفة ، وتم تدوينها ( arctan space x ).

    (y = { tan} ^ {- 1} x ) له مجال ((- infty، infty) ) ونطاق ( left (- frac { pi} {2}، frac { pi} {2} right) )

تظهر الرسوم البيانية للدوال العكسية في الأشكال ( PageIndex {4} ) - ( PageIndex {6} ). لاحظ أن ناتج كل من هذه الدوال المعكوسة هو a عدد، زاوية في راديان. نرى أن ({ sin} ^ {- 1} x ) له نطاق ([−1،1] ) ونطاق ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، ({ cos} ^ {- 1} x ) له مجال ([−1،1] ) ونطاق ([0، pi] ) ، و ({ tan} ^ {- 1} x ) له نطاق لجميع الأرقام الحقيقية ونطاق ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} حق)). للعثور على مجال ونطاق الدوال المثلثية العكسية ، بدّل مجال ونطاق الدوال الأصلية. كل رسم بياني للدالة المثلثية العكسية هو انعكاس للرسم البياني للدالة الأصلية حول الخط (y = x ).

العلاقات الخاصة بوظائف الجيب والجيب والظل المعكوس

للزوايا في الفاصل ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، إذا ( sin y = x ) ، ثم ( { sin} ^ {- 1} س = ص ).

للزوايا في الفاصل ([0، pi] ) ، إذا ( cos y = x ) ، ثم ({ cos} ^ {- 1} x = y ).

للزوايا في الفاصل ( left (- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right) ) ، إذا ( tan y = x ) ، ثم ( { tan} ^ {- 1} x = y ).

مثال ( PageIndex {1} ): كتابة علاقة لدالة معكوسة

بالنظر إلى ( sin left ( dfrac {5 pi} {12} right) ≈0.96593 ) ، اكتب علاقة تتضمن معكوس الجيب.

المحلول

استخدم علاقة الجيب المعكوس. إذا كان ( sin y = x ) ، إذن ({ sin} ^ {- 1} x = y ).

في هذه المشكلة ، (x = 0.96593 ) و (y = dfrac {5 pi} {12} ).

({ sin} ^ {- 1} (0.96593) ≈ dfrac {5 pi} {12} )

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى ( cos (0.5) ≈0.8776 ) ، اكتب علاقة تتضمن معكوس جيب التمام.

إجابه

( arccos (0.8776) ≈0.5 )

إيجاد القيمة الدقيقة للتعبيرات التي تتضمن دوال الجيب وجيب التمام والظل المعكوسة

الآن بعد أن تمكنا من تحديد الدوال العكسية ، سنتعلم كيفية تقييمها. بالنسبة لمعظم القيم في نطاقاتها ، يجب علينا تقييم الدوال المثلثية العكسية باستخدام آلة حاسبة ، أو الإقحام من جدول ، أو باستخدام بعض الأساليب العددية الأخرى. تمامًا كما فعلنا مع الدوال المثلثية الأصلية ، يمكننا إعطاء قيم دقيقة للدوال العكسية عندما نستخدم الزوايا الخاصة ، على وجه التحديد ( dfrac { pi} {6} ) (30 درجة) ، ( dfrac { pi} {4} ) (45 درجة) و ( dfrac { pi} {3} ) (60 درجة) وانعكاساتها في الأرباع الأخرى.

بإعطاء قيمة إدخال "خاصة" ، قم بتقييم دالة مثلثية عكسية.

  1. أوجد الزاوية (x ) التي لها ناتج للدالة المثلثية الأصلية يساوي المدخلات المعطاة للدالة المثلثية العكسية.
  2. إذا لم يكن (x ) في النطاق المحدد للمعكوس ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في النطاق المحدد ولها نفس الجيب أو جيب التمام أو الظل مثل (x ) ، اعتمادًا على أي زاوية يتوافق مع دالة عكسية معينة.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم الدوال المثلثية المعكوسة لقيم الإدخال الخاصة

قم بتقييم كل مما يلي.

  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  2. ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
  4. ({ tan} ^ {- 1} (1) )

المحلول

  1. تقييم ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) هو نفسه تحديد الزاوية التي سيكون لها قيمة جيب ( dfrac {1} { 2} ). بمعنى آخر ، ما الزاوية (x ) التي تحقق ( sin (x) = dfrac {1} {2} )؟ هناك قيم متعددة ترضي هذه العلاقة ، مثل ( dfrac { pi} {6} ) و ( dfrac {5 pi} {6} ) ، لكننا نعلم أننا بحاجة إلى الزاوية في الفاصل ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، لذا ستكون الإجابة ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} ). تذكر أن المعكوس دالة ، لذلك سنحصل على خرج واحد بالضبط لكل إدخال.
  2. لتقييم ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ) ، نعلم أن ( dfrac {5 pi} {4} ) و ( dfrac {7 pi} {4} ) كلاهما لهما قيمة جيبية لـ (- dfrac { sqrt {2}} {2} ) ، لكن كلاهما ليس في الفاصل ( يسار [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ). لذلك ، نحتاج إلى الزاوية السالبة مع ( dfrac {7 pi} {4} ): ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} { 2} right) = - dfrac { pi} {4} ).
  3. لتقييم ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ) ، نبحث عن زاوية في الفاصل ([0، pi] ) بقيمة جيب التمام (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). الزاوية التي تحقق ذلك هي ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} ).
  4. بتقييم ({ tan} ^ {- 1} (1) ) ، نبحث عن زاوية في الفاصل ( left (- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} { 2} right) ) بقيمة ظلية لـ (1 ). الزاوية الصحيحة هي ({ tan} ^ {- 1} (1) = dfrac { pi} {4} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

قم بتقييم كل مما يلي.

  1. ({ sin} ^ {- 1} (- 1) )
  2. ({ tan} ^ {- 1} (- 1) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} (- 1) )
  4. ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
الإجابة أ

(- dfrac { pi} {2} )

الجواب ب

(- dfrac { pi} {4} )

الجواب ج

( بي )

الجواب د

( dfrac { pi} {3} )

استخدام الآلة الحاسبة لتقييم الدوال المثلثية المعكوسة

لتقييم الدوال المثلثية العكسية التي لا تتضمن الزوايا الخاصة التي تمت مناقشتها سابقًا ، سنحتاج إلى استخدام آلة حاسبة أو أي نوع آخر من التكنولوجيا. تحتوي معظم الآلات الحاسبة العلمية وتطبيقات محاكاة الآلة الحاسبة على مفاتيح أو أزرار محددة للوظائف المعكوسة للجيب وجيب التمام والظل. قد يتم تصنيفها ، على سبيل المثال ، SIN-1 أو ARCSIN أو ASIN.

في الفصل السابق ، عملنا مع حساب المثلثات على مثلث قائم الزاوية لإيجاد أضلاع مثلث بمعلومية جانب واحد وزاوية إضافية. باستخدام الدوال المثلثية العكسية ، يمكننا إيجاد زوايا مثلث قائم الزاوية بمعلومية ضلعين ، ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم لأقرب عدة منازل عشرية.

في هذه الأمثلة والتمارين ، سيتم تفسير الإجابات على أنها زوايا وسنستخدم ( theta ) كمتغير مستقل. قد تكون القيمة المعروضة على الآلة الحاسبة بالدرجات أو الراديان ، لذا تأكد من ضبط الوضع المناسب للتطبيق.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد قيمة الجيب المعكوس في الآلة الحاسبة

أوجد قيمة ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ) باستخدام الآلة الحاسبة.

المحلول

نظرًا لأن ناتج الدالة العكسية عبارة عن زاوية ، فإن الآلة الحاسبة ستعطينا قيمة درجة إذا كانت في وضع الدرجة وقيمة راديان إذا كانت في وضع الراديان. تستخدم الآلات الحاسبة أيضًا نفس قيود المجال على الزوايا التي نستخدمها.

في وضع الراديان ، ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈1.3252 ). في وضع الدرجة ، ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈75.93 ° ). لاحظ أنه في حساب التفاضل والتكامل وما بعده ، سنستخدم الراديان في جميع الحالات تقريبًا.

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد قيمة ({ cos} ^ {- 1} (- 0.4) ) باستخدام الآلة الحاسبة.

إجابه

(1.9823 ) أو (113.578 ^ { circ} )

إذا أخذنا ضلعين في مثلث قائم الزاوية مثل المثلث الموضح في الشكل 8.4.7 ، فأوجد زاوية.

  1. إذا كان أحد الأضلاع هو وتر الطول (h ) وكان ضلع الطول (أ ) المجاور للزاوية المرغوبة ، فاستخدم المعادلة ( theta = { cos} ^ {- 1} يسار ( dfrac {a} {h} right) ).
  2. إذا كان أحد الأضلاع هو وتر الطول (h ) وكان ضلع الطول (p ) المقابل للزاوية المرغوبة ، فاستخدم المعادلة ( theta = { sin} ^ {- 1} يسار ( dfrac {p} {h} right) ).
  3. إذا تم إعطاء الساقين (الضلع المجاور للزاوية اليمنى) ، فاستخدم المعادلة ( theta = { tan} ^ {- 1} left ( dfrac {p} {a} right) ) .

مثال ( PageIndex {4} ): تطبيق معكوس جيب التمام على مثلث قائم الزاوية

حل المثلث في الشكل ( PageIndex {8} ) للزاوية ( theta ).

المحلول

نظرًا لأننا نعرف الوتر والضلع المجاور للزاوية ، فمن المنطقي أن نستخدم دالة جيب التمام.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {9} {12} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {9} {12} right) qquad text {تطبيق تعريف المعكوس} theta & almost 0.7227 qquad text {or about} 41.4096 ^ { circ} text {Evaluate} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

حل المثلث في الشكل ( PageIndex {9} ) للزاوية ( theta ).

إجابه

({ sin} ^ {- 1} (0.6) = 36.87 ° = 0.6435 ) راديان

إيجاد القيم الدقيقة للدوال المركبة ذات الدوال المثلثية المعكوسة

هناك أوقات نحتاج فيها إلى تكوين دالة مثلثية بدالة مثلثية معكوسة. في هذه الحالات ، يمكننا عادةً العثور على قيم دقيقة للتعبيرات الناتجة دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة. حتى عندما يكون الإدخال إلى الدالة المركبة متغيرًا أو تعبيرًا ، يمكننا غالبًا العثور على تعبير للمخرج. للمساعدة في فرز الحالات المختلفة ، دع (f (x) ) و (g (x) ) هما وظيفتان مثلثيتان مختلفتان تنتمي إلى المجموعة { ( sin (x) ) ، ( cos () x) ) و ( tan (x) )} وليكن (f ^ {- 1} (y) ) و (g ^ {- 1} (y) ) مقلوب لهم.

تقييم تركيبات النموذج (f (f ^ {- 1} (y)) ) و (f ^ {- 1} (f (x)) )

لأي دالة مثلثية ، (f (f ^ {- 1} (y)) = y ) لجميع (y ) في المجال المناسب للدالة المحددة. يأتي هذا من تعريف المعكوس ومن حقيقة أن نطاق (f ) تم تعريفه ليكون مطابقًا لمجال (f ^ {- 1} ). ومع ذلك ، يجب أن نكون أكثر حرصًا مع التعبيرات ذات الشكل (f ^ {- 1} (f (x)) ).

تكوينات الوظيفة المثلثية وعكسها

[ begin {align *} sin ({ sin} ^ {- 1} x) & = x qquad text {for} -1 leq x leq 1 cos ({ cos} ^ {-1} x) & = x qquad text {for} -1 leq x leq 1 tan ({ tan} ^ {- 1} x) & = x qquad text {for} - infty

سؤال وجواب

هل صحيح أن ({ sin} ^ {- 1} ( sin x) = x )؟

لا. هذه المعادلة صحيحة. ifx x ينتمي إلى المجال المقيد ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) ، ولكن الجيب معرّف للجميع قيم الإدخال الحقيقية ، وبالنسبة إلى (x ) خارج الفاصل الزمني المقيّد ، فإن المعادلة غير صحيحة لأن معكوسها دائمًا ما يعرض قيمة في ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi } {2} right] ). الوضع مشابه لجيب التمام والظل وانعكاساتهما. على سبيل المثال ، ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {3 pi} {4} right) right) = dfrac { pi} {4} ) .

إعطاء تعبير بالصيغة (f ^ {- 1} (f ( theta)) ) حيث (f ( theta) = sin theta ) أو ( cos theta ) أو ( tan theta ) ، قم بالتقييم.

  1. إذا كان ( theta ) في المجال المقيد لـ (f ) ، إذن (f ^ {- 1} (f ( theta)) = theta ).
  2. إذا لم يكن كذلك ، فابحث عن زاوية ( phi ) داخل المجال المقيد خارج f بحيث (f ( phi) = f ( theta) ). ثم (f ^ {- 1} (f ( theta)) = phi ).

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام الدوال المثلثية المعكوسة

قم بتقييم ما يلي:

  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) )
  2. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  3. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  4. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) )

المحلول

  1. ( dfrac { pi} {3} ) موجود في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، لذلك ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  2. ( dfrac {2 pi} {3} ) ليس في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، ولكن (sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) = sin left ( dfrac { pi} {3} right) ) ، لذلك ({ sin} ^ {- 1} يسار ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  3. ( dfrac {2 pi} {3} ) موجود في ([0، pi] ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac { 2 pi} {3} right) right) = dfrac {2 pi} {3} ).
  4. (- dfrac { pi} {3} ) ليس في ([0، pi] ) ، ولكن ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) ) لأن جيب التمام هو دالة زوجية. ( dfrac { pi} {3} ) موجود في ([0، pi] ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

تقييم ({ tan} ^ {- 1} left ( tan left ( dfrac { pi} {8} right) right) ) و ({ tan} ^ {- 1} يسار ( tan left ( dfrac {11 pi} {9} right) right) ).

إجابه

( dfrac { pi} {8} ) ؛ ( dfrac {2 pi} {9} )

تقييم تركيبات النموذج (f ^ {- 1} (g (x)) )

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تكوين دالة مثلثية بعكسها ، يمكننا استكشاف كيفية تقييم تركيبة دالة مثلثية وعكس دالة مثلثية أخرى. سنبدأ بتراكيب من النموذج (f ^ {- 1} (g (x)) ). للقيم الخاصة لـ (x ) ، يمكننا بالضبط تقييم الوظيفة الداخلية ثم الدالة الخارجية العكسية. ومع ذلك ، يمكننا العثور على نهج أكثر عمومية من خلال النظر في العلاقة بين الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية حيث يكون أحدهما ( theta ) ، مما يجعل الآخر ( dfrac { pi} {2} - theta ضع في اعتبارك الجيب وجيب التمام لكل زاوية من زوايا المثلث القائم في الشكل ( PageIndex {10} ).

لأن ( cos theta = dfrac {b} {c} = sin left ( dfrac { pi} {2} - theta right) ) ، لدينا ({ sin} ^ {- 1} ( cos theta) = dfrac { pi} {2} - theta ) إذا (0≤ theta≤ pi ). إذا لم يكن ( theta ) في هذا المجال ، فسنحتاج إلى إيجاد زاوية أخرى لها نفس جيب التمام مثل ( theta ) وتنتمي إلى المجال المقيد ؛ ثم نطرح هذه الزاوية من ( dfrac { pi} {2} ). وبالمثل ، ( sin theta = dfrac {a} {c} = cos left ( dfrac { pi} { 2} - theta right) ) ، لذلك ({ cos} ^ {- 1} ( sin theta) = dfrac { pi} {2} - theta ) إذا (- dfrac { pi} {2} ≤ theta≤ dfrac { pi} {2} ). هذه فقط علاقات الوظيفة المشتركة معروضة بطريقة أخرى.

بالنظر إلى دوال النموذج ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) ) و ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) ) ، قم بتقييمهما.

  1. إذا كان (x ) في ([0، pi] ) ، إذن ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} −x ) .
  2. إذا لم يكن (x ) في ([0، pi] ) ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في ([0، pi] ) بحيث ( cos y = cos س ).

    [{ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} −y ]

  3. إذا كان (x ) في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، إذن ({ cos} ^ {- 1 } ( sin x) = dfrac { pi} {2} −x ).
  4. إذا لم يكن (x ) في ( left [- dfrac { pi} {2} ، dfrac { pi} {2} right] ) ، فابحث عن زاوية أخرى (y ) في ( left [- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2} right] ) بحيث ( sin y = sin x ).

    [{ cos} ^ {- 1} ( sin x) = dfrac { pi} {2} −y ]

مثال ( PageIndex {6} ): تقييم تكوين الجيب المعكوس باستخدام جيب التمام

تقييم ({ sin} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) )

  1. عن طريق التقييم المباشر.
  2. بالطريقة الموصوفة سابقًا.

المحلول

  1. هنا ، يمكننا مباشرة تقييم الجزء الداخلي من التكوين. [ begin {align *} cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} +2 pi right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} right) & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ] الآن ، يمكننا تقييم دالة عكسية كما فعلنا سابقًا. [{ sin} ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} ]
  2. لدينا (x = dfrac {13 pi} {6} ) و (y = dfrac { pi} {6} ) و [ begin {align *} { sin} ^ { -1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) & = dfrac { pi} {2} - dfrac { pi} {6} & = dfrac { pi} {3} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

تقييم ({ cos} ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

إجابه

( dfrac {3 pi} {4} )

تقييم تركيبات النموذج (f (g ^ {- 1} (x)) )

لتقييم التراكيب من النموذج (f (g ^ {- 1} (x)) ) ، حيث (f ) و (g ) هما أي من الدالتين الجيب ، أو جيب التمام ، أو الظل و ( x ) هو أي إدخال في مجال (g ^ {- 1} ) ، لدينا صيغ دقيقة ، مثل ( sin ({ cos} ^ {- 1} x) = sqrt {1− س ^ 2} ). عندما نحتاج إلى استخدامها ، يمكننا اشتقاق هذه الصيغ باستخدام العلاقات المثلثية بين زوايا وأضلاع مثلث قائم الزاوية ، جنبًا إلى جنب مع استخدام علاقة فيثاغورس بين أطوال الأضلاع. يمكننا استخدام متطابقة فيثاغورس ، ({ sin} ^ 2 x + { cos} ^ 2 x = 1 ) ، لحل واحدة عند إعطاء الأخرى. يمكننا أيضًا استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد التركيبات التي تتضمن تعبيرات جبرية.

مثال ( PageIndex {7} ): تقييم تكوين الجيب باستخدام جيب التمام المعكوس

ابحث عن قيمة دقيقة لـ ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

المحلول

بداية من الداخل ، يمكننا القول أن هناك زاوية ما مثل ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ) ، مما يعني ( cos theta = dfrac {4} {5} ) ونحن نبحث عن ( sin theta ). يمكننا استخدام متطابقة فيثاغورس للقيام بذلك.

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {استخدم قيمتنا المعروفة لجيب التمام} { sin} ^ 2 theta + { يسار ( dfrac {4} {5} right)} ^ 2 & = 1 qquad text {Solve for sine} { sin} ^ 2 theta & = 1- dfrac {16} {25} sin theta & = pm dfrac {9} {25} & = pm dfrac {3} {5} end {align *} ]

بما أن ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ) في الربع الأول ، يجب أن يكون ( sin theta ) موجبًا ، لذا الحل هو (35 ). راجع الشكل ( PageIndex {11} ).

نعلم أن جيب التمام العكسي يعطي دائمًا زاوية على الفترة ([0، pi] ) ، لذلك نعلم أن جيب هذه الزاوية يجب أن يكون موجبًا ؛ لذلك ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin theta = dfrac {3} {5} ) .

تمرين ( PageIndex {7} )

تقييم ( cos left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {5} {12} right) right) ).

إجابه

( فارك {12} {13} )

مثال ( PageIndex {8} ): تقييم تكوين الجيب باستخدام الظل المعكوس

ابحث عن قيمة دقيقة لـ ( sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

المحلول

بينما يمكننا استخدام أسلوب مشابه كما في المثال ( PageIndex {6} ) ، سنعرض أسلوبًا مختلفًا هنا. من الداخل ، نعلم أن هناك زاوية مثل ( tan theta = dfrac {7} {4} ). يمكننا أن نتصور هذا على أنه الضلع المقابل والمجاور لمثلث قائم الزاوية ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {12} ).

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا إيجاد وتر هذا المثلث.

[ ابدأ {محاذاة *}
4 ^ 2 + 7 ^ 2 & = {الوتر} ^ 2
وتر المثلث & = sqrt {65}
text {الآن ، يمكننا حساب جيب الزاوية على أنه الضلع المقابل مقسومًا على الوتر.}
sin theta & = dfrac {7} { sqrt {65}}
text {هذا يعطينا التكوين المطلوب.}
sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) & = sin theta
& = dfrac {7} { sqrt {65}}
& = dfrac {7 sqrt {65}} {65}
النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {8} )

قيِّم ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

إجابه

( dfrac {4 sqrt {2}} {9} )

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد جيب تمام الجيب المعكوس لتعبير جبري

ابحث عن تعبير مبسط لـ ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) ) من أجل (- 3≤x≤3 ).

المحلول

نعلم أن هناك زاوية ( theta ) مثل ( sin theta = dfrac {x} {3} ).

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Use the Pythagorean Theorem} { left ( dfrac {x} {3} right)} ^ 2 + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Solve for cosine} { cos} ^ 2 theta & = 1- dfrac {x ^ 2} {9} cos theta & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {9}} & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3}} end { محاذاة *} ]

نظرًا لأننا نعلم أن الجيب العكسي يجب أن يعطي زاوية على الفاصل ([- dfrac { pi} {2}، dfrac { pi} {2}] ) ، يمكننا استنتاج أن جيب التمام لتلك الزاوية يجب أن تكون إيجابية.

(cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3}} )

تمرين ( PageIndex {9} )

ابحث عن تعبير مبسط لـ ( sin ({ tan} ^ {- 1} (4x)) ) لـ (- dfrac {1} {4} ≤x≤ dfrac {1} {4} ) .

إجابه

( dfrac {4x} { sqrt {16x ^ 2 + 1}} )

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع الدوال المثلثية العكسية.

  • تقييم التعبيرات التي تتضمن الدوال المثلثية المعكوسة

قم بزيارة هذا الموقع للحصول على أسئلة تدريب إضافية من Learningpod.

المفاهيم الرئيسية

  • الوظيفة العكسية هي الوظيفة التي "تبطل" وظيفة أخرى. مجال الدالة العكسية هو نطاق الوظيفة الأصلية ونطاق الدالة العكسية هو مجال الوظيفة الأصلية.
  • نظرًا لأن الدوال المثلثية ليست واحدة لواحد في مجالاتها الطبيعية ، يتم تعريف الدوال المثلثية العكسية للمجالات المقيدة.
  • لأي دالة مثلثية (f (x) ) ، إذا (x = f ^ {- 1} (y) ) ، ثم (f (x) = y ). ومع ذلك ، فإن (f (x) = y ) يعني فقط (x = f ^ {- 1} (y) ) إذا كان (x ) في المجال المقيد لـ (f ). راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • الزوايا الخاصة هي مخرجات الدوال المثلثية العكسية لقيم المدخلات الخاصة ؛ على سبيل المثال ، ( frac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ) و ( frac { pi} {6} = { sin} ^ {- 1 } ( frac {1} {2}) ). انظر المثال ( PageIndex {2} ).
  • ستعيد الآلة الحاسبة زاوية داخل المجال المقيد للدالة المثلثية الأصلية. راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • تسمح لنا الدوال العكسية بإيجاد زاوية عند إعطاء ضلعين في مثلث قائم الزاوية. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • في تكوين الدالة ، إذا كانت الدالة الداخلية دالة مثلثية عكسية ، فهناك تعبيرات دقيقة ؛ على سبيل المثال ، ( sin ({ cos} ^ {- 1} (x)) = sqrt {1 − x ^ 2} ). راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • إذا كانت الدالة الداخلية دالة مثلثية ، فإن التوليفات الممكنة الوحيدة هي ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = frac { pi} {2} −x ) إذا (0≤ x≤ pi ) و ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) = frac { pi} {2} −x ) إذا (- frac { pi} {2} ≤x≤ frac { pi} {2} ). راجع المثال ( PageIndex {6} ) والمثال ( PageIndex {7} ).
  • عند تقييم تكوين الدالة المثلثية باستخدام دالة مثلثية عكسية ، ارسم مثلثًا مرجعيًا للمساعدة في تحديد نسبة الجوانب التي تمثل ناتج الدالة المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {8} ).
  • عند تقييم تركيب دالة مثلثية بدالة مثلثية عكسية ، يمكنك استخدام متطابقات حساب المثلثات للمساعدة في تحديد نسبة الأضلاع. راجع المثال ( PageIndex {9} ).

الدوال المثلثية المعكوسة


دع & # 8217s يجعل الأمر بسيطًا ومستقيمًا. الكميات مثل ( sin <> ^ <-1> alpha ) ، ( cos <> ^ <-1> alpha ) ، ( tan <> ^ <-1> alpha ) ، & # 8230 دوال مثلثية معكوسة. نسميها أيضًا الدوال الدائرية أو الدائرية المعكوسة. هذه تستخدم على نطاق واسع من بين أمور أخرى في الهندسة والملاحة.

قد تختار أن تبدأ بـ: قياس الزوايا

إذن ، ( sin <> ^ <-1> alpha ) زاوية. على وجه التحديد ، يشير إلى أصغر زاوية يكون جيبها ( ألفا ). بمعنى ، إذا ( sin theta = alpha ) ، إذن ( sin <> ^ <-1> alpha ) يساوي أصغر زاوية (( theta) ) التي ترضي العلاقة . قد تكون الزاوية موجبة أو سالبة.

نحن نعلم أنه بالنسبة لـ ( sin theta = alpha ) حيث ( alpha ) هي كمية محددة معروفة ، (( theta) ) ليست زاوية محددة معروفة ولكنها واحدة من سلسلة من الزوايا.

  • ( sin <> ^ <-1> alpha ) ، ( tan <> ^ <-1> alpha ) ، ( csc <> ^ <-1> alpha ) و ( cot <> ^ <-1> alpha ) تقع دائمًا بين (- 90 <°> ) و (+ 90 <°> )
  • عندما يكون ( alpha ) (+ ) ve، ( sin <> ^ <-1> alpha ) يقع بين (0 <°> ) و (+ 90 <°> )
  • عندما ( alpha ) هو (- ) ve، ( sin <> ^ <-1> alpha ) يقع بين (- 90 <°> ) و (0 <°> ) و
  • ( cos <> ^ <-1> alpha ) و ( sec <> ^ <-1> alpha ) تقع دائمًا بين (0 <°> ) و (180 <°> ) ).

يجب أن يكون واضحًا الآن أن ( sin <> ^ <-1> alpha ) لا يساوي ( frac <1> < sin ( alpha)> ). في الواقع ، إذا أردنا ، قد نكتب لاحقًا كـ (( sin alpha) ^ <-1> ). علاوة على ذلك ، نكتب أيضًا ( sin <> ^ <-1> alpha ) ، ( cos <> ^ <-1> alpha ) ، ( tan <> ^ <-1> alpha ) ، & # 8230 كـ ( arcsin (x) ) ، ( arccos (x) ) ، ( arctan (x) ) ، & # 8230


محتويات

توجد عدة رموز للدوال المثلثية العكسية. الاصطلاح الأكثر شيوعًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام قوس- بادئة: arcsin (x) ، arccos (x) ، أركتان (x) ، وما إلى ذلك. بحاجة لمصدر ] عند القياس بالراديان ، بزاوية θ راديان سوف يتوافق مع قوس طوله ص، أين ص هو نصف قطر الدائرة. وهكذا في دائرة الوحدة ، "القوس الذي يكون جيب تمامه x"هو نفس" الزاوية التي يكون جيب تمامها x"، لأن طول قوس الدائرة في نصف القطر هو نفس قياس الزاوية بالراديان. [12] في لغات برمجة الكمبيوتر ، غالبًا ما تسمى الدوال المثلثية المعكوسة بالصيغ المختصرة asin ، acos ، atan. [13]

الرموز الخطيئة −1 (x) ، cos −1 (x) ، تان −1 (x) ، وما إلى ذلك ، كما قدمها جون هيرشل في عام 1813 ، [14] [15] غالبًا ما تُستخدم أيضًا في مصادر اللغة الإنجليزية [6] - اختراعات تتفق مع تدوين الدالة العكسية. قد يبدو أن هذا يتعارض منطقيًا مع الدلالات الشائعة لتعبيرات مثل الخطيئة 2 (x) ، التي تشير إلى القوة الرقمية بدلاً من تكوين الوظيفة ، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين المقلوب الضربي أو المقلوب المقلوب والتركيبي. [16] يتم تخفيف الالتباس إلى حد ما من خلال حقيقة أن كل دالة من الدوال المثلثية المتبادلة لها اسمها الخاص - على سبيل المثال ، (cos (x)) −1 = ثانية (x). ومع ذلك ، ينصح بعض المؤلفين بعدم استخدامه لغموضه. [6] [17] هناك اصطلاح آخر يستخدمه عدد قليل من المؤلفين وهو استخدام الحرف الأول بأحرف كبيرة ، جنبًا إلى جنب مع الحرف العلوي 1: Sin −1 (x) ، كوس −1 (x) ، Tan −1 (x) ، إلخ. [18] من المحتمل أن يتجنب هذا الالتباس مع معكوس الضرب ، والذي يجب تمثيله بالخطيئة −1 (x) ، cos −1 (x) ، إلخ.

منذ عام 2009 ، حدد معيار ISO 80000-2 بادئة "القوس" فقط للوظائف العكسية.

تحرير القيم الأساسية

نظرًا لعدم وجود أي من الدوال المثلثية الست واحدة لواحد ، يجب تقييدها من أجل الحصول على وظائف عكسية. لذلك ، فإن نطاقات الوظائف العكسية هي مجموعات فرعية مناسبة لمجالات الوظائف الأصلية.

يتم سرد الانعكاسات الرئيسية في الجدول التالي.

اسم التدوين المعتاد تعريف مجال x < displaystyle x> للحصول على نتيجة حقيقية نطاق القيمة الأساسية المعتادة
(راديان)
نطاق القيمة الأساسية المعتادة
(درجات)
قوس ص = arcsin ⁡ (س) x = الخطيئة (ذ) - 1 س ≤ 1 - π 2 ≤ y ≤ π 2 <2>> leq y leq <2> >> - 90 ∘ ≤ y ≤ 90 ∘ leq y leq 90 ^ >
أركوزين ص = arccos ⁡ (x) x = كوس (ذ) - 1 س ≤ 1 0 ≤ y π 0 ∘ ≤ y ≤ 180 ∘ leq y leq 180 ^ >
قوس ظل ص = أركتان ⁡ (س) x = تان (ذ) كل الأعداد الحقيقية - π 2 & lt y & lt π 2 < displaystyle - < frac < pi> <2>> & lty & lt < frac < pi> <2> >> - 90 ∘ & lt y & lt 90 ∘ < displaystyle -90 ^ < circ> & lty & lt90 ^ >
ظل القوس y = arccot ​​⁡ (x) (خ)> x = سرير (ذ) كل الأعداد الحقيقية 0 & lt y & lt π 0 ∘ & lt y & lt 180 ∘ < displaystyle 0 ^ < circ> & lty & lt180 ^ >
قوس قزح y = arcsec ⁡ (x) (خ)> x = ثانية (ذ) س ≤ - 1 أو س ≥ 1 > x geq 1> 0 ≤ y & lt π 2 أو π 2 & lt y ≤ π < displaystyle 0 leq y & lt < frac < pi> <2>> < text > < frac < pi> <2>> & lty leq pi> 0 ∘ ≤ y & lt 90 ∘ أو 90 ∘ & lt y ≤ 180 ∘ < displaystyle 0 ^ < circ> leq y & lt90 ^ < circ> < text > 90 ^ < circ> & lty leq 180 ^ < دائرة >>
arccosecant y = arccsc ⁡ (x) (خ)> x = csc (ذ) س ≤ - 1 أو س ≥ 1 > x geq 1> - π 2 ≤ y & lt 0 أو 0 & lt y ≤ π 2 <2>> leq y & lt0 > 0 & lty leq < 2 >>> - 90 ∘ ≤ y & lt 0 ∘ أو 0 & lt y ≤ 90 ∘ < displaystyle -90 ^ < circ> leq y & lt0 ^ < circ> < text > 0 ^ & lty leq 90 ^ < دائرة >>

تحرير حلول المعادلات المثلثية الأولية

كل دالة من الدوال المثلثية دورية في الجزء الحقيقي من حجتها ، حيث تمر عبر جميع قيمها مرتين في كل فترة 2 of < displaystyle 2 pi>:

تنعكس هذه الدورية في المقلوب العامة ، حيث k هي بعض الأعداد الصحيحة.


الدوال المثلثية العكسية

الدوال المعكوسة للدوال المثلثية. تتوافق الدوال المثلثية الأساسية الست مع الدوال المثلثية العكسية الست. These are called arcussine, arcuscosine, arcustangent, arcuscotangent, arcussecant, arcuscosecant, and are denoted, respectively, by $ < mathop< m Arc>sin > x $, $ < mathop< m Arc>cos > x $, $ < mathop< m Arc>mathop < m tan>> x $, $ < mathop< m Arc>mathop < m cotan>> x $, $ < mathop< m Arc>mathop < m sec>> x $, $ < mathop< m Arc>cosec > x $. The functions $ < mathop< m Arc>sin > x $ and $ < mathop< m Arc>cos > x $ are defined (in the real domain) for $ | x | leq 1 $ $ < mathop< m Arc>mathop < m tan>> x $ and $ < mathop< m Arc>mathop < m cotan>> x $ for all real $ x $ $ < mathop< m Arc>mathop < m sec>> x $ and $ < mathop< m Arc>cosec > x $ for $ | x | geq 1 $ the last two functions are seldom used. Other notations are $ sin ^ <->1 x $, $ cos ^ <->1 x $, etc.

Since the trigonometric functions are periodic, their inverses are many-valued. The single-valued branches (principal branches) of these functions are denoted by $ < mathop< m arc>sin > x $, $ < mathop< m arc>cos > x ,dots $. Namely, $ < mathop< m arc>sin > x $ is the branch of $ < mathop< m Arc>sin > x $ for which $ - pi / 2 leq < mathop< m arc>sin > x leq pi / 2 $. Similarly, $ < mathop< m arc>cos > x $, $ < mathop< m arc>mathop < m tan>> x $ and $ < mathop< m arc>mathop < m cotan>> x $ are defined by the conditions $ 0 leq < mathop< m arc>cos > x leq pi $, $ - pi / 2 leq < mathop< m arc>mathop < m tan>> x leq pi / 2 $, $ 0 < < mathop< m arc>mathop < m cotan>> x < pi $.

The figures show the graphs of $ y = < mathop< m Arc>sin > x $, $ y = < mathop< m Arc>cos > x $, $ y = < mathop< m Arc>mathop < m tan>> x $, $ y = < mathop< m Arc>mathop < m cotan>> x $ the principal branches are distinguished by a heavy line.

The functions $ < mathop< m Arc>sin > x dots $ are easily expressed in terms of $ < mathop< m arc>sin > x dots $ for example:

The inverse trigonometric functions are related by

Hence $ < mathop< m arc>cos > x $ and $ < mathop< m arc>mathop < m cotan>> x $ are not included in the following formulas.

The inverse trigonometric functions are infinitely differentiable and can be expanded in a series in a neighbourhood of any interior point of their domain of definition. The derivatives, integrals and series expansions are:

The inverse trigonometric functions of a complex variable are defined as the analytic continuations to the complex plane of the corresponding real functions.

The inverse trigonometric functions can be expressed in terms of the logarithmic function:

تعليقات

Other notations for $ mathop < m tan>^ <->1 x $ and $ mathop < m cotan>^ <->1 x $ are $ mathop < m tg>^ <->1 x $ and $ mathop < m ctg>^ <->1 x $, respectively.


Inverse Sine Function

Inverse functions do the opposite of their original function. The input and output of the function are reversed for an inverse function. For example, the domain of the sine function is the angle and the range is the ratio of the coordinates of a point on the unit circle. Inverse sine’s domain is the ratio and the range is the angle. Inverse Trigonometric Functions are used to find angles.

Graphically, inverse functions are reflections over the line ذ = x. Take the graph of ذ = sin x في Figure 2a, then reflect it over ذ = x to form the inverse as in Figure 2b. Notice the inverse fails the vertical line test and thus is not a function. Mathematics works better with functions, so we will limit the inverse sine function to one section as in Figure 3.

Figure 2a: ذ = sin x Figure 2b: Reflection of ذ = sin x خلال ذ = x. Figure 3: (y = sin^ <-1>x)

is written (y = sin^ <–1>x) or (y = arcsin x) where x is the ratio of the coordinates on a circle and ذ is the angle. The domain is [–1, 1] and the range is (left[–frac<π><2>, frac<π><2> ight]). To evaluate, find the ratio on the unit circle and find the corresponding angle. Remember the angle must be between (–frac<π><2>) and (frac<π><2>). يرى Figure 4.

Figure 4: Range of (sin^<–1>) on the unit circle.

Example 1: Evaluate Inverse Sine

Find the exact value of sin –1 1.

المحلول

Find where sin &theta = 1 on the unit circle. This occurs at (frac<π><2>), so (sin^ <–1>1 = frac<π><2>).


2.4.1: Inverse Trig Functions

A right triangle has legs that measure 2 units and (2 sqrt<3>) units. What are the measures of the triangle's acute angles?

Inverse of Trigonometric Functions

We have used the trigonometric functions sine, cosine and tangent to find the ratio of particular sides in a right triangle given an angle. In this concept we will use the inverses of these functions, (sin^<-1>), (cos^<-1>) and ( an^<-1>), to find the angle measure when the ratio of the side lengths is known. When we type (sin 30^) into our calculator, the calculator goes to a table and finds the trig ratio associated with (30^), which is 12. When we use an inverse function we tell the calculator to look up the ratio and give us the angle measure. For example: (sin^<-1>left(dfrac<1><2> ight)=30^). On your calculator you would press (2^ SIN) to get (sin^<-1>() and then type in (dfrac<1><2>), close the parenthesis and press ENTER. Your calculator screen should read (sin^<-1>left(dfrac<1><2> ight)) when you press ENTER.

Let's find the measure of angle (A) associated with the following ratios and round answers to the nearest degree.

Using the calculator we get the following:

Now, let's find the measures of the unknown angles in the triangle shown and round answers to the nearest degree.

Figure (PageIndex<1>)

We can solve for either (x) or (y) first. If we choose to solve for (x) first, the 23 is opposite and 31 is adjacent so we will use the tangent ratio.

Recall that in a right triangle, the acute angles are always complementary, so (90^ &minus37^ =53^), so (y=53^). We can also use the side lengths an a trig ratio to solve for y:

Finally, let's solve the right triangle shown below and round all answers to the nearest tenth.

Figure (PageIndex<2>)

We can solve for either angle (A) or angle (B) first. If we choose to solve for angle B first, then 8 is the hypotenuse and 5 is the opposite side length so we will use the sine ratio.

Now we can find A two different ways.

Method 1: We can using trigonometry and the cosine ratio:

Method 2: We can subtract (mangle B) from (90^) : (90^ &minus38.7^ =51.3^) since the acute angles in a right triangle are always complimentary.

Either method is valid, but be careful with Method 2 because a miscalculation of angle B would make the measure you get for angle (A) incorrect as well.

Earlier, you were asked to find the measures of the triangle's acute angles.

First, let's find the hypotenuse, then we can solve for either angle.

One of the acute angles will have a sine of (dfrac<2><4>=dfrac<1><2>).

Now we can find B by subtracting (mangle A) from (90^): (90^ &minus30^ =60^) since the acute angles in a right triangle are always complimentary.

Find the measure of angle (A).

Find the measure of angle (A).

Find the measure of angle (A).

Find the measures of the unknown angles in the triangle shown. Round answers to the nearest degree.

Figure (PageIndex<3>)

Solve the triangle. Round side lengths to the nearest tenth and angles to the nearest degree.

الشكل ( PageIndex <4> )

Review

Use your calculator to find the measure of (angle B). Round answers to the nearest degree.

  1. ( an B=0.9523)
  2. (sin B=0.8659)
  3. (cos B=0.1568)
  4. (sin B=0.2234)
  5. (cos B=0.4855)
  6. ( an B=0.3649)

Find the measures of the unknown acute angles. Round measures to the nearest degree.


  1. الشكل ( PageIndex <5> )

  2. الشكل ( PageIndex <6> )
  3. Figure (PageIndex<7>)
  4. Figure (PageIndex<8>)
  5. Figure (PageIndex<9>)
  6. Figure (PageIndex<10>)

Solve the following right triangles. Round angle measures to the nearest degree and side lengths to the nearest tenth.


  1. Figure (PageIndex<11>)
  2. Figure (PageIndex<12>)
  3. Figure (PageIndex<13>)

Class: 12th
Subject: الرياضيات
Chapter : Ch-2 Inverse Trignometric Functions Page No- Update soon
مجلس ISC
Writer ML Aggarwal ISC Understanding Vol-1
Publications APC Arya Publications

Inverse Trigonometric Functions: Trigonometric functions are many-one functions but we know that inverse of function exists if the function is bijective. If we restrict the domain of trigonometric functions, then these functions become objective and the inverse of trigonometric functions are defined within the restricted domain. The inverse of f is denoted by ‘f -1 ‘.
Let y = f(x) = sin x, then its inverse is x = sin -1 y.

Domain and Range of Inverse Trigonometric Functions

cosec -1 (cosecθ) = 0 ∀ θ ∈ , θ ≠ 0

cosec(cosec -1 x) = x, ∀ x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Note: sin -1 (sinθ) = θ sin -1 x should not be confused with (sinx) -1 = or sin -1 x = sin -1 () land similarly for other trigonometric functions.

The value of an inverse trigonometric function, which lies in the range of principal value branch, is called the principal value of the inverse trigonometric function.
Note: Whenever no branch of an inverse trigonometric function is mentioned, it means we have to consider the principal value branch of that function.

Properties of Inverse Trigonometric Functions


Inverse trigonometric functions

Imagine you were told that in triangle (ABC) , the side opposite (C) has length (quantity<5>) , the side opposite (A) has length (quantity<3>) and angle (A= frac<6>) . Think about how you would calculate angle (C) .

At some point in your calculation you might obtain (sin C= frac<5><6>) , but what exactly does this tell you about (C) ?

You may have heard of inverse trigonometric functions, such as (arcsin x) or (sin^<-1>x) or the phrase “inverse sine”. In principle, inverse trigonometric functions should be functions that undo the effects of functions such as (sin x) , (cos x) and ( an x) . But we need to be careful because these functions are are not one-to-one in fact they are periodic, so for instance there are infinitely many values of (x) that give the same value of (sin x) .

You might wonder where the names such as ‘arcsin’ come from.

Recall that in a circle of radius (r) , the arc length subtended by an angle ( heta) radians has length (r, heta) . So on a unit circle the length of an arc and the size of the angle which subtends it are equal. This is probably where the words come from.

Please note that (arcsin) and (sin^<-1>) mean the same thing and both are widely used in books and online, but note that (sin^<-1>x) is not the same as ( frac<1>) ! Similarly, (arccos) means the same as (cos^<-1>) , and (arctan) means the same as ( an^<-1>) . We’ll use (arctan) , (arccos) and (arcsin) in this resource.

Although we started with a situation where we were thinking about an inverse for (sin x) , we’ll think briefly about ( an x) first before moving back to (sin x) and (cos x) . Some of the issues that arise for an inverse of ( an x) also arise for (sin x) and (cos x) , but we’ll see that we have to be even more careful for these functions.

Recall from Making inverse functions that if we want to produce an inverse for a many-to-one function, we need to restrict the domain so that the function is one-to-one on its restricted domain. We also need the range of the restricted function to be the same as the range of the original function.

How could we restrict the domain to make the function one-to-one whilst keeping its range unchanged?

Is there more than one way to do this?

The function ( an x) is periodic with period (pi) . Restricting the domain to any one period will not change the range of the function.

From the graph of (y= an x) we can see that the function is always increasing. If we choose a domain between two adjacent asymptotes, such as the interval (left(-frac<2>, frac<2> ight)) , the function will be one-to-one and its range will still include all real numbers.

We could choose any interval of the form (left( frac<(2n-1)pi><2>, frac<(2n+1)pi><2> ight)) for integer values of (n) , but it seems most natural to choose the interval that includes zero.

The following graphs shows how we could restrict the domain of ( an x) and the resulting function (arctan x) .

So although the equation ( an x = sqrt<3>) has infinitely many solutions, we say (arctan sqrt<3>) has the single value ( frac<3>) , and this is called the principal value for the equation ( an x = sqrt<3>) . It is the value of (x) in the interval (left(- frac<2>, frac<2> ight)) such that ( an x=sqrt<3>) . The interval (left(- frac<2>, frac<2> ight)) is known as the principal value range of the function (arctan) .

We can use the symmetry and periodicity of the ( an x) graph to express all solutions of ( an x=sqrt<3>) in terms of (arctan sqrt<3>) .

We’ll now return to thinking about (sin x) and (cos x) .

The period of (sin x) is (2 pi) , but within any interval of length (2pi) , there are two values of (x) that give the same value of (sin x.) In other words, (sin x) is not one-to-one or injective over its period. So in order to define an inverse we need to restrict to a smaller interval.

If we restrict the domain of (sin x) to the interval (left[- frac<2>, frac<2> ight]) , then the resulting function is one-to-one and its range is the same as that of the unrestricted function. Its inverse is (arcsin x) which has domain ([-1,1]) .

The situation for (cos x) is very similar to that for (sin x) but we need to restrict to a different interval.

If we restrict the domain of (cos x) to ([0,pi]) , then the range is still ([-1,1]) and (cos x) is now one-to-one. We use this domain to define (arccos x) with domain ([-1,1]) and range ([0,pi]) . Note that both (cos x) (restricted to this domain) and (arccos x) are decreasing functions.

So (arctan a) , (arcsin a) and (arccos a) give the principal values for the equations ( an x=a) , (sin x=a) and (cos x=a) respectively, and we can work from these to find all possible solutions. You can see more about this in General solutions and in Inverse or not?.

Going back to our original triangle problem, we had (sin C= frac<5><6>) . The inverse function will give us the principal value (in radians) as [C=arcsin frac<5><6>approx0.985.] But there is more than one value of (C) that would satisfy our equation. We must always consider other possibilities when using inverse trigonometric functions.

Since we are talking about an angle in a triangle we need only consider values in the interval ([0,pi]) . There is one more possible value which is [pi-arcsin frac<5><6>approx2.156.]


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

In the previous section, we learned how to solve basic trigonometric equations like (sin( heta)=1/2 ext<.>) In this section, we will consider more complicated trig equations and explore how to solve these equations for all possible solutions as well as solutions on a given interval.

Subsection Solving More Complicated Trig Equations

Example 73

Solve the trigonometric equation (2sin(3 heta)=1) for all possible values of ( heta ext<.>)

Similar to the examples in the previous section, we can sketch a graph of (f( heta)=2sin(3 heta)) to see where it intersects with the line (y=1 ext<.>) Just like before, the angles that correspond to the intersection points of these two functions are the solutions to the equation (2sin(3 heta)=1 ext<.>) If we look at the graph, we can see that there are an infinite number of solutions to this equation.

The key difference between this example and examples that we've seen before is that we now have an input of (3 heta) instead of just ( heta) into our sine function. To solve this equation, we need to identify all angles, ( heta ext<,>) such that (2sin(3 heta)=1 ext<.>)

To solve this problem, we can first isolate the sine function by dividing each side of the equation by 2, which gives us

While we know what angles have a sine value of (1/2 ext<,>) it is less clear how to proceed when we have (3 heta) as our input. To make the problem more familiar, we can introduce a new variable (phi) and set (phi=3 heta ext<.>) Then, substituting (phi) into our equation, we get

In Example66, we found that the solutions to this equation are

Since we want to solve for all possible values of ( heta ext<,>) we can use our substitution and replace (phi) with (3 heta) in the solutions above. Therefore, we have that

Our final step in solving for ( heta) is to divide each side of the equations by 3, so we have

Notice that when we divide the right side of our equations by 3, we must divide each term by 3 in order to simplify the equations. Therefore, we end up adding multiples of (2pi/3) to our initial solutions instead of multiples of (2pi ext<.>) Also note that the sine function we are dealing with, (f( heta)=2sin(3 heta) ext<,>) has a period of (2pi/3 ext<.>)

Subsection Solutions on a Given Interval

In our previous examples, we have solved trigonometric equations for all solutions. However, we can also find a finite number of solutions on a given interval. The next example addresses this situation.

Example 74

Solve the trigonometric equation (2sin(3 heta)=1) for all values of ( heta) in the interval ([-pi,pi] ext<.>)

We solved this equation in the previous example above for all possible values of ( heta ext<.>) We found that

To find values of ( heta) in the interval ([-pi,pi] ext<,>) we must test values of (k ext<.>) To better organize our work, we will create a "(k)-table" where we can keep track of different values of (k ext<,>) the angle ( heta) they yield, and whether or not that angle is in the interval ([-pi,pi] ext<.>)

Notice that for both positive and negative values of (k ext<,>) we stopped as soon as we reached a value of ( heta) that was outside of the interval ([-pi,pi] ext<.>) This is because for positive values of (k ext<,>) ( heta) was getting larger, so once ( heta) was greater than (pi) it would always be greater than (pi ext<.>) Similarly, when (k) was negative, ( heta) was getting more negative, so once it was less than (-pi) it would always be less than (-pi ext<.>) Therefore from the table we can see that there are exactly six solutions in the interval ([-pi,pi] ext<:>)

We can also use more complex algebraic techniques, such as factoring, to solve trigonometric equations. Consider the function (f(x) = 2x^2+x ext<.>) If you were asked to solve (f(x) = 0 ext<,>) you could use algebra to arrive at two solutions.

First, we set ( 2x^2+x = 0 ) and factor, which gives us

Now, since the terms ( x ) and ( 2x+1 ) multiply together to equal 0, we know that either ( x=0 ) or ( 2x+1=0 ext<.>) Therefore, we get the two solutions

Following the same steps, we can solve the equation (f( heta) = 0) where (f( heta) = 2sin^2( heta) + sin( heta) ext<.>) We get that

Like before, we have two terms that multiply together to get 0. Therefore, we know that either

We must now solve each of these equations to get a complete set of solutions.

Solving the equation ( sin( heta) = 0 ) gives us the solutions (. -pi,0,pi,2pi. ) which can be represented as the solution set

Solving the equation ( 2sin( heta) + 1 = 0 ) we get (displaystyle sin( heta) = -frac<1> <2> ext<,>) which gives us the solution set

Therefore, the solutions to the original equation ( 2sin^2( heta) + sin( heta) = 0 ) are

Example 75

Solve ( 3sec^2( heta) - 5sec( heta) = 2 ) for all solutions with (0 leq heta leq 2pi ext<.>)

Consider the function (f(x)=3x^2-5x ext<.>) If you were asked to find all solutions to (f(x)=2 ext<,>) you could use algebra to arrive at two solutions:

Therefore, we get the two solutions

Following these steps as above with (sec( heta)) instead of (x ext<,>) we know that either

There are no solutions to the equation (cos( heta)=-3 ext<,>) so we need only consider (cos( heta)=frac<1><2> ext<.>) Solving the equation (cos( heta)=frac<1><2> ext<,>) we get two solution sets. First,

Using symmetry, the other solution set for (cos( heta)=frac<1><2>) has base angle (-frac<3> ext<,>) which gives

Finally, we need to determine which solutions lie in the interval (0le hetale 2pi ext<.>) We will do this by constructing a table of (k)-values, starting at (k=0) and increasing (k) until we are outside of the interval, and then at (k=-1) and descreasing until we are outside of the interval.


8.3: Inverse Trigonometric Functions - Mathematics

So far we have seen that it sometimes helps to replace a subexpression of a function by a single variable. Occasionally it can help to replace the original variable by something more complicated. This seems like a "reverse'' substitution, but it is really no different in principle than ordinary substitution.

Example 8.3.1 Evaluate $dsint sqrt<1-x^2>,dx$. Let $x=sin u$ so $dx=cos u,du$. Then $ int sqrt<1-x^2>,dx=intsqrt<1-sin^2 u>cos u,du= intsqrtcos u,du. $ We would like to replace $ds sqrt$ by $cos u$, but this is valid only if $cos u $ is positive, since $ds sqrt$ is positive. Consider again the substitution $x=sin u$. We could just as well think of this as $u=arcsin x$. If we do, then by the definition of the arcsine, $-pi/2le ulepi/2$, so $cos uge0$. Then we continue: $eqalign< intsqrtcos u,du&=intcos^2u,du=int <1+cos 2uover2>,du = ++Ccr &=++C.cr >$ This is a perfectly good answer, though the term $sin(2arcsin x)$ is a bit unpleasant. It is possible to simplify this. Using the identity $sin 2x=2sin xcos x$, we can write $ds sin 2u=2sin ucos u=2sin(arcsin x)sqrt<1-sin^2 u>= 2xsqrt<1-sin^2(arcsin x)>=2xsqrt<1-x^2>.$ Then the full antiderivative is $ +<2xsqrt<1-x^2>over4>= +over2>+C. $

This type of substitution is usually indicated when the function you wish to integrate contains a polynomial expression that might allow you to use the fundamental identity $ds sin^2x+cos^2x=1$ in one of three forms: $ cos^2 x=1-sin^2x qquad sec^2x=1+ an^2x qquad an^2x=sec^2x-1. $ If your function contains $ds 1-x^2$, as in the example above, try $x=sin u$ if it contains $ds 1+x^2$ try $x= an u$ and if it contains $ds x^2-1$, try $x=sec u$. Sometimes you will need to try something a bit different to handle constants other than one.

Example 8.3.3 Evaluate $dsintsqrt<1+x^2>,dx$. Let $x= an u$, $ds dx=sec^2 u,du$, so $ intsqrt<1+x^2>,dx=int sqrt<1+ an^2 u>sec^2u,du= intsqrtsec^2u,du. $ Since $u=arctan(x)$, $-pi/2le ulepi/2$ and $sec uge0$, so $ds sqrt=sec u$. Then $intsqrtsec^2u,du=int sec^3 u ,du.$ In problems of this type, two integrals come up frequently: $ds intsec^3u,du$ and $intsec u,du$. Both have relatively nice expressions but they are a bit tricky to discover.

First we do $intsec u,du$, which we will need to compute $ds intsec^3u,du$: $eqalign< intsec u,du&=intsec u,,ducr &=int,du.cr >$ Now let $w=sec u + an u$, $ds dw=sec u an u + sec^2u,du$, exactly the numerator of the function we are integrating. Thus $eqalign< intsec u,du=int,du&= int<1over w>,dw=ln |w|+Ccr &=ln|sec u + an u|+C.cr >$

Now for $ds intsec^3 u,du$: $eqalign< sec^3u&=+=+<( an^2u+1)sec uover 2>cr &=++= +.cr >$ We already know how to integrate $sec u$, so we just need the first quotient. This is "simply'' a matter of recognizing the product rule in action: $int sec^3u+sec u an^2u,du=sec u an u.$


شاهد الفيديو: الدرس 8-4 الدوال المثلثية العكسية. رياضيات 4 (شهر نوفمبر 2021).