مقالات

1.1: الأعداد الحقيقية - أساسيات الجبر - الرياضيات


أهداف التعلم

  • صنف الرقم الحقيقي على أنه رقم طبيعي أو كامل أو عدد صحيح أو منطقي أو غير منطقي.
  • قم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام ترتيب العمليات.
  • استخدم الخصائص التالية للأرقام الحقيقية: تبادلي ، ترابطي ، توزيعي ، معكوس ، وهوية.
  • قيم التعبيرات الجبرية.
  • بسّط التعابير الجبرية.

كثيرا ما يقال أن الرياضيات هي لغة العلم. إذا كان هذا صحيحًا ، فإن لغة الرياضيات هي الأرقام. حدث أول استخدام للأرقام (100 ) قرون مضت في الشرق الأوسط لحساب أو تعداد العناصر. استخدم المزارعون ورجال الماشية والتجار القطع النقدية أو الأحجار أو العلامات للإشارة إلى كمية واحدة - على سبيل المثال حزمة من الحبوب أو رأس ماشية أو قطعة قماش بطول ثابت ، على سبيل المثال. أدى القيام بذلك إلى جعل التجارة ممكنة ، مما أدى إلى تحسين الاتصالات وانتشار الحضارة.

منذ ثلاثة إلى أربعة آلاف سنة ، أدخل المصريون الكسور. استخدموها في البداية لإظهار المعاملة بالمثل. في وقت لاحق ، استخدموها لتمثيل الكمية عند تقسيم الكمية إلى أجزاء متساوية.

ولكن ماذا لو لم يكن هناك ماشية للتجارة أو فُقد محصول كامل من الحبوب في الفيضان؟ كيف يمكن لشخص ما أن يشير إلى وجود لا شيء؟ منذ العصور القديمة ، كان الناس يفكرون في "الحالة الأساسية" أثناء العد واستخدموا رموزًا مختلفة لتمثيل هذا الشرط الفارغ. ومع ذلك ، لم يتم إضافة الصفر إلى نظام الأرقام حتى القرن الخامس الميلادي تقريبًا في الهند واستخدامه كرقم في العمليات الحسابية.

من الواضح أن هناك حاجة أيضًا إلى الأرقام لتمثل الخسارة أو الديون. في الهند ، في القرن السابع الميلادي ، تم استخدام الأرقام السالبة كحلول للمعادلات الرياضية والديون التجارية. وسعت أضداد أرقام العد نظام الأرقام إلى أبعد من ذلك.

نظرًا لتطور نظام الأرقام ، يمكننا الآن إجراء عمليات حسابية معقدة باستخدام هذه الفئات وغيرها من فئات الأرقام الحقيقية. في هذا القسم ، سوف نستكشف مجموعات من الأرقام ، والحسابات بأنواع مختلفة من الأرقام ، واستخدام الأرقام في التعبيرات.

تصنيف رقم حقيقي

الأرقام التي نستخدمها للعد أو تعداد العناصر هي الأرقام الطبيعية: (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ) وهكذا. نصفهم في مجموعة الرموز كـ ( {1،2،3 ، ... } ) حيث تشير علامة القطع (( cdots) ) إلى أن الأرقام تستمر إلى ما لا نهاية. الأعداد الطبيعية ، بالطبع ، تسمى أيضًا أرقام العد. في أي وقت نقوم بتعداد أعضاء الفريق ، أو حساب العملات المعدنية في مجموعة ، أو حساب الأشجار في بستان ، فإننا نستخدم مجموعة الأرقام الطبيعية. مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الطبيعية زائد الصفر: ( {0،1،2،3، ... } ).

تضيف مجموعة الأعداد الصحيحة أضداد الأعداد الطبيعية إلى مجموعة الأعداد الصحيحة: ( { cdots، -3، -2، -1،0،1،2،3، cdots } ). من المفيد ملاحظة أن مجموعة الأعداد الصحيحة تتكون من ثلاث مجموعات فرعية متميزة: الأعداد الصحيحة السالبة ، والصفر ، والأعداد الصحيحة الموجبة. بهذا المعنى ، فإن الأعداد الصحيحة الموجبة هي مجرد أرقام طبيعية. طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة.

[ start {array} {ccc} [4pt] text {عدد صحيح سالب} & نص {صفر} & نص {أعداد صحيحة موجبة} [4pt] [4pt] cdots، -3، -2، -1 & 0 & 1، 2، 3، cdots [4pt] end {array} ]

تمت كتابة مجموعة الأرقام المنطقية على أنها ( {mn متوازي نص {m و n عدد صحيح و} n مكافئ 0 } ). لاحظ من التعريف أن الأرقام المنطقية هي كسور (أو حاصل قسمة) تحتوي على أعداد صحيحة في كليهما البسط والمقام ، والمقام ليس أبدًا (0 ). يمكننا أيضًا أن نرى أن كل عدد طبيعي ، وعدد صحيح ، وعدد صحيح هو عدد نسبي مقامه (1 ).

نظرًا لأنها كسور ، يمكن أيضًا التعبير عن أي رقم نسبي في شكل عشري. يمكن تمثيل أي رقم منطقي على النحو التالي:

  1. علامة عشرية نهائية: ( frac {15} {8} = 1.875 ) ، أو
  2. رقم عشري متكرر: ( frac {4} {11} = 0.36363636 cdots = 0. bar {36} )

نستخدم خطًا مرسومًا فوق كتلة الأرقام المتكررة بدلاً من كتابة المجموعة عدة مرات.

مثال ( PageIndex {1} ): كتابة الأعداد الصحيحة كأرقام منطقية

اكتب كلًا مما يلي في صورة عدد نسبي. اكتب كسرًا مع العدد الصحيح في البسط و (1 ) في المقام.

  1. (7)
  2. (0)
  3. (-8)

المحلول

  1. (0 = فارك {0} {1} )
  2. (- 8 = فارك {8} {1} )

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب كلًا مما يلي في صورة عدد نسبي.

  1. (11)
  2. (3)
  3. (-4)
إجابه
  1. ( فارك {11} {1} )
  2. ( فارك {3} {1} )
  3. (- فارك {4} {1} )

مثال ( PageIndex {2} ): تحديد الأعداد الصحيحة

اكتب كلًا من الأرقام المنطقية التالية إما على شكل رقم عشري نهائي أو متكرر.

  1. (- frac {5} {7} )
  2. ( فارك {15} {5} )
  3. ( فارك {13} {25} )

المحلول

  1. ( frac {15} {5} = 3 ) (أو (3.0 )) ، علامة عشرية نهائية
  2. ( frac {13} {25} = 0.52 ) ، رقم عشري نهائي

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب كلًا من الأرقام المنطقية التالية إما على شكل رقم عشري نهائي أو متكرر.

  1. ( فارك {68} {17} )
  2. ( فارك {8} {13} )
  3. (- frac {13} {25} )
إجابه
  1. (4 ) (أو (4.0 )) منتهي
  2. (0. overline {615384} ) ، تكرار
  3. (- 0.85 ) ، منتهي

أرقام غير منطقية

في مرحلة ما من الماضي القديم ، اكتشف أحدهم أن ليست كل الأرقام أرقامًا منطقية. قد يكون المنشئ ، على سبيل المثال ، قد وجد أن قطر المربع مع جوانب الوحدة لم يكن (2 ) أو حتى (32 ) ، ولكنه كان شيئًا آخر. أو ربما لاحظ صانع الملابس أن نسبة المحيط إلى قطر لفة القماش كانت أكبر قليلاً من (3 ) ، لكنها لا تزال عددًا غير منطقي. يقال أن هذه الأرقام غير منطقية لأنه لا يمكن كتابتها على شكل كسور. تشكل هذه الأرقام مجموعة الأعداد غير النسبية. لا يمكن التعبير عن الأعداد غير المنطقية ككسر من عددين صحيحين. من المستحيل وصف هذه المجموعة من الأرقام بقاعدة واحدة باستثناء القول بأن الرقم غير منطقي إذا لم يكن منطقيًا. لذلك نكتب هذا كما هو موضح.

[{h mid text {h ليس رقمًا منطقيًا}} ]

مثال ( PageIndex {3} ): التفريق بين الأعداد الصحيحة وغير النسبية

حدد ما إذا كان كل رقم من الأرقام التالية منطقيًا أم غير منطقي. إذا كان منطقيًا ، فحدد ما إذا كان عددًا عشريًا نهائيًا أم متكررًا.

  1. ( sqrt {25} )
  2. ( فارك {33} {9} )
  3. ( sqrt {11} )
  4. ( فارك {17} {34} )
  5. (0.3033033303333…)

المحلول

  1. ( sqrt {25} ): يمكن تبسيط هذا كـ ( sqrt {25} = 5 ) ، لذلك ، ( sqrt {25} ) منطقي.
  2. ( frac {33} {9} ): نظرًا لأنه كسر ، فإن ( frac {33} {9} ) عدد نسبي. بعد ذلك ، بسّط واقسم. [ frac {33} {9} = إلغاء { frac {33} {9}} nonumber ] إذن ، ( frac {33} {9} ) منطقي وكسر عشري متكرر.
  3. ( sqrt {11} ): لا يمكن تبسيط هذا أكثر من ذلك. لذلك ، ( sqrt {11} ) عدد غير نسبي.
  4. ( frac {17} {34} ): نظرًا لأنه كسر ، فإن ( frac {17} {34} ) عدد نسبي. بسّط واقسم. [ frac {17} {34} = 0.5 nonumber ] إذن ، ( frac {17} {34} ) منطقي وعشري نهائي.
  5. (0.3033033303333… ) ليس رقمًا عشريًا نهائيًا. لاحظ أيضًا أنه لا يوجد نمط متكرر لأن مجموعة (3s ) تزداد في كل مرة. لذلك فهو ليس رقمًا نهائيًا ولا عددًا عشريًا متكررًا ، وبالتالي فهو ليس رقمًا منطقيًا. إنه رقم غير منطقي.

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان كل رقم من الأرقام التالية منطقيًا أم غير منطقي. إذا كان منطقيًا ، فحدد ما إذا كان عددًا عشريًا نهائيًا أم متكررًا.

  1. ( frac {7} {77} )
  2. ( sqrt {81} )
  3. (4.27027002700027…)
  4. ( فارك {91} {13} )
  5. ( sqrt {39} )
إجابه
  1. عقلاني وإنهاء ؛
  2. عقلاني ومتكرر.
  3. غير منطقي

أرقام حقيقية

بالنظر إلى أي رقم (n ) ، نعلم أن (n ) إما عقلاني أو غير منطقي. لا يمكن أن يكون كلاهما. تشكل مجموعتي الأعداد المنطقية وغير المنطقية معًا مجموعة الأعداد الحقيقية. كما رأينا مع الأعداد الصحيحة ، يمكن تقسيم الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات فرعية: الأعداد الحقيقية السالبة ، والصفر ، والأرقام الحقيقية الموجبة. تتضمن كل مجموعة جزئية كسورًا وكسور عشرية وأرقامًا غير منطقية وفقًا لعلامتها الجبرية (+ أو -). لا يعتبر الصفر إيجابيا ولا سلبيا.

يمكن تصور الأرقام الحقيقية على خط أرقام أفقي مع اختيار نقطة عشوائية كـ (0 ) ، مع وجود أرقام سالبة على يسار (0 ) وأرقام موجبة على يمين (0 ). ثم يتم استخدام مسافة وحدة ثابتة لتمييز كل عدد صحيح (أو قيمة أساسية أخرى) على جانبي (0 ). أي رقم حقيقي يتوافق مع موضع فريد على خط الأعداد ، والعكس صحيح أيضًا: كل موقع على خط الأعداد يتوافق مع رقم حقيقي واحد بالضبط. يُعرف هذا بالمراسلات الفردية. نشير إلى هذا باعتباره خط الرقم الحقيقي كما هو موضح في الشكل ( ( PageIndex {1} ))

مثال ( PageIndex {4} ): تصنيف الأعداد الحقيقية

صنف كل رقم على أنه إما موجب أو سالب وإما عقلاني أو غير منطقي. هل يقع الرقم على يسار أو يمين (0 ) على خط الأعداد؟

  1. (- فارك {10} {3} )
  2. (- sqrt {5} )
  3. (- 6π )
  4. (0.615384615384…)

المحلول

  1. (- frac {10} {3} ) سلبي ومنطقي. تقع على يسار (0 ) على خط الأعداد.
  2. (- sqrt {5} ) موجب وغير منطقي. تقع على يمين (0 ).
  3. (- sqrt {289} = - sqrt {17 ^ 2} = -17 ) سلبي ومنطقي. تقع على يسار (0 ).
  4. (- 6π ) سالب وغير منطقي. تقع على يسار (0 ).
  5. (0.615384615384… ) عدد عشري متكرر لذا فهو منطقي وموجب. تقع على يمين (0 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

صنف كل رقم على أنه إما موجب أو سالب وإما منطقي أو غير منطقي. هل يقع الرقم على يسار أو يمين (0 ) على خط الأعداد؟

  1. ( sqrt {73} )
  2. (-11.411411411…)
  3. ( فارك {47} {19} )
  4. (- frac { sqrt {5}} {2} )
  5. (6.210735)
إجابه
  1. إيجابي ، غير عقلاني
  2. صحيح سلبي وعقلاني
  3. ترك إيجابي وعقلاني
  4. صحيح سلبي ، غير منطقي
  5. ترك إيجابيًا وعقلانيًا ؛ حق

مجموعات الأرقام كمجموعات فرعية

بدءًا من الأعداد الطبيعية ، قمنا بتوسيع كل مجموعة لتشكيل مجموعة أكبر ، مما يعني أن هناك علاقة مجموعة فرعية بين مجموعات الأرقام التي واجهناها حتى الآن. تصبح هذه العلاقات أكثر وضوحًا عند النظر إليها على أنها رسم تخطيطي ، مثل الشكل ( ( PageIndex {2} )).

مجموعات من الأرقام

تتضمن مجموعة الأعداد الطبيعية الأرقام المستخدمة في العد: ( {1،2،3 ، ... } ).

مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الطبيعية زائد الصفر: ( {0،1،2،3، ... } ).

تضيف مجموعة الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية السالبة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة: ( {... ، - 3 ، -2 ، -1،0،1،2،3 ، ... } ).

تتضمن مجموعة الأرقام المنطقية كسورًا مكتوبة كـ ( {mn متوازي نص {m و n عدد صحيح و} n eq 0 } ).

مجموعة الأرقام غير المنطقية هي مجموعة الأرقام غير المنطقية وغير المكررة وغير المنتهية: ( {h متوازي نص {h ليس رقمًا منطقيًا} } ).

مثال ( PageIndex {5} ): التمييز بين مجموعات الأعداد

صنف كل رقم على أنه عدد طبيعي (N) ، عدد صحيح (W) ، عدد صحيح (I) ، رقم منطقي (Q) ، و / أو رقم غير نسبي (Q ′).

  1. ( الجذر التربيعي {36} )
  2. ( frac {8} {3} )
  3. ( sqrt {73} )
  4. (-6)
  5. (3.2121121112…)

المحلول

ندبليوأناسس '
أ. ( الجذر التربيعي {36} = 6 )XXXX
ب. ( frac {8} {3} = 2. overline {6} )X
ج. ( sqrt {73} )X
د. (- 6 )XX
ه. (3.2121121112 ... )X

تمرين ( PageIndex {5} )

صنف كل رقم على أنه عدد طبيعي (N) ، عدد صحيح (W) ، عدد صحيح (I) ، رقم منطقي (Q) ، و / أو رقم غير نسبي (Q ′).

  1. (- frac {35} {7} )
  2. (0)
  3. ( sqrt {169} )
  4. ( sqrt {24} )
  5. (4.763763763...)
إجابه
ندبليوأناسس '
أ. (- frac {35} {7} )XX
ب. (0 )XXX
ج. ( sqrt {169} )XXXX
د. ( sqrt {24} )X
ه. (4.763763763 ... ).X

إجراء العمليات الحسابية باستخدام ترتيب العمليات

عندما نضرب رقمًا في نفسه ، نربعه أو نرفعه إلى أس (2 ). على سبيل المثال ، (4 ^ 2 = 4 times4 = 16 ). يمكننا رفع أي رقم لأي قوة. بشكل عام ، فإن التدوين الأسي يعني أن الرقم أو المتغير (أ ) يُستخدم كعامل (n ) مرات.

[a ^ n = a cdot a cdot a cdots a qquad text {n factor} nonumber ]

في هذا الترميز ، يُقرأ (a ^ n ) على أنه (n ^ {th} ) قوة (a ) ، حيث يُطلق على (a ) اسم القاعدة ويسمى (n ) الأس. قد يكون المصطلح في التدوين الأسي جزءًا من تعبير رياضي ، وهو مزيج من الأرقام والعمليات. على سبيل المثال ، (24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 ) تعبير رياضي.

لتقييم تعبير رياضي ، نقوم بإجراء العمليات المختلفة. ومع ذلك ، فإننا لا ننفذها بأي ترتيب عشوائي. نستخدم ترتيب العمليات. هذه سلسلة من القواعد لتقييم مثل هذه التعبيرات.

تذكر أننا في الرياضيات نستخدم الأقواس () والأقواس [] والأقواس {} لتجميع الأرقام والتعبيرات بحيث يتم التعامل مع أي شيء يظهر داخل الرموز كوحدة. بالإضافة إلى ذلك ، يتم التعامل مع أشرطة الكسور والجذور وأشرطة القيمة المطلقة كرموز تجميع. عند تقييم تعبير رياضي ، ابدأ بتبسيط التعبيرات ضمن رموز التجميع.

الخطوة التالية هي معالجة أي دعاة أو أصول. بعد ذلك ، نفذ عمليات الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين وأخيراً الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.

دعونا نلقي نظرة على التعبير المقدم.

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

لا توجد رموز تجميع ، لذلك ننتقل إلى الأس أو الجذور. يتم رفع الرقم (4 ) إلى أس (2 ) ، لذا قم بتبسيط (4 ^ 2 ) كـ (16 ).

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

[24 + 6 مرات dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

بعد ذلك ، نفذ عملية الضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين.

[24 + 6 مرات dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

[24 + 4-16 بلا رقم ]

أخيرًا ، قم بإجراء الجمع أو الطرح ، من اليسار إلى اليمين.

[24 + 4−16 عدد غير رقم ]

[28-16 نونمبر ]

[12 العدد ]

وبالتالي،

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 = 12 nonumber ]

بالنسبة لبعض التعبيرات المعقدة ، ستكون هناك حاجة إلى عدة تمريرات عبر ترتيب العمليات. على سبيل المثال ، قد يكون هناك تعبير جذري داخل الأقواس يجب تبسيطه قبل تقييم الأقواس. يضمن اتباع ترتيب العمليات أن أي شخص يبسط نفس التعبير الرياضي سيحصل على نفس النتيجة.

ترتيب العمليات

يجب تقييم العمليات في التعبيرات الرياضية بترتيب منهجي يمكن تبسيطه باستخدام الاختصار بمداس:

  • ص(قوس)
  • ه(xponents)
  • م (ultiplication) و د(ivision)
  • أ(ddition) و س(الطرح)

كيف: إعطاء تعبير رياضي ، قم بتبسيطه باستخدام ترتيب العمليات.

  1. تبسيط أي تعبيرات ضمن رموز التجميع.
  2. بسّط أي عبارات تحتوي على أسس أو جذور.
  3. نفذ عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين.
  4. نفذ أي عملية جمع وطرح بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين.

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام ترتيب العمليات

استخدم ترتيب العمليات لتقييم كل من التعبيرات التالية.

  1. ( dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} )
  2. ( dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} )
  3. (7 مرات (5 مرات 3) −2 مرات [(6−3) −4 ^ 2] +1 )

المحلول

  1. [ begin {align *} (3 times2) ^ 2-4 times (6 + 2) & = (6) ^ 2-4 times (8) && qquad text {Simplify parentheses} & = 36-4 times8 && qquad text {Simplify exponent} & = 36-32 && qquad text {تبسيط الضرب} & = 4 && qquad text {تبسيط الطرح} end { محاذاة *} ]
  2. [ begin {align *} dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {9} && qquad text {تبسيط رموز التجميع (جذري)} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} -3 && qquad text {Simplify Radical} & = dfrac {25-4} { 7} -3 && qquad text {Simplify exponent} & = dfrac {21} {7} -3 && qquad text {تبسيط الطرح في البسط} & = 3-3 && qquad text {تبسيط القسمة} & = 0 && qquad text {Simplify طرح} end {align *} ]

لاحظ أنه في الخطوة الأولى ، يتم التعامل مع الجذر كرمز تجميع ، مثل الأقواس. أيضًا ، في الخطوة الثالثة ، يعتبر شريط الكسر رمزًا للتجميع ، لذلك يعتبر البسط مجمعًا.

  1. [ begin {align *} 6- mid 5-8 mid +3 times (4-1) & = 6- | -3 | +3 times3 && qquad text {تبسيط رموز التجميع الداخلي} & = 6-3 + 3 times3 && qquad text {تبسيط القيمة المطلقة} & = 6-3 + 9 && qquad text {تبسيط الضرب} & = 3 + 9 && qquad text {تبسيط الطرح} & = 12 && qquad text {Simplify plus} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} & = dfrac {14-3 times2} {2 times5-9} && qquad text { تبسيط الأس} & = dfrac {14-6} {10-9} && qquad text {Simplify products} & = dfrac {8} {1} && qquad text {تبسيط الاختلافات} & = 8 && qquad text {تبسيط الحاصل} end {align *} ]

في هذا المثال ، يفصل شريط الكسر البسط والمقام ، ونبسطه بشكل منفصل حتى الخطوة الأخيرة.

  1. [ start {align *} 7 ​​times (5 times3) -2 times [(6-3) -4 ^ 2] + 1 & = 7 times (15) -2 times [(3) -4 ^ 2] +1 && qquad text {تبسيط داخل الأقواس} & = 7 times (15) -2 times (3-16) +1 && qquad text {Simplify exponent} & = 7 times (15) -2 times (-13) +1 && qquad text {Subtract} & = 105 + 26 + 1 && qquad text {Multiply} & = 132 && qquad text {إضافة} end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم ترتيب العمليات لتقييم كل من التعبيرات التالية.

  1. ( sqrt {5 ^ 2-4 ^ 2} +7 times (5-4) ^ 2 )
  2. (1+ dfrac {7 times5-8 times4} {9-6} )
  3. (| 1.8-4.3 | +0.4 مرات sqrt {15 + 10} )
  4. ( dfrac {1} {2} times [5 times3 ^ 2-7 ^ 2] + dfrac {1} {3} times9 ^ 2 )
  5. ([(3-8^2)-4]-(3-8))
إجابه
  1. (10)
  2. (2)
  3. (4.5)
  4. (25)
  5. (26)

استخدام خواص الأعداد الحقيقية

بالنسبة لبعض الأنشطة التي نقوم بها ، لا يهم ترتيب عمليات معينة ، ولكن ترتيب العمليات الأخرى مهم. على سبيل المثال ، لا يحدث فرق إذا وضعنا الحذاء الأيمن قبل اليسار أو العكس. ومع ذلك ، لا يهم ما إذا كنا نرتدي الأحذية أو الجوارب أولاً. نفس الشيء ينطبق على العمليات في الرياضيات.

الخصائص التبادلية

تنص الخاصية التبادلية للإضافة على أنه يمكن إضافة الأرقام بأي ترتيب دون التأثير على المجموع.

[أ + ب = ب + أ ]

يمكننا رؤية هذه العلاقة بشكل أفضل عند استخدام الأعداد الحقيقية.

((- 2) +7 = 5 نص {and} 7 + (- 2) = 5 )

وبالمثل ، فإن خاصية تبادلية الضرب تنص على أنه يمكن مضاعفة الأرقام بأي ترتيب دون التأثير على المنتج.

[أ مرات ب = ب مرات أ ]

مرة أخرى ، فكر في مثال بأرقام حقيقية.

((- 11) مرات (−4) = 44 ) و ((- 4) مرات (−11) = 44 )

من المهم ملاحظة أنه لا يوجد أي من الطرح أو القسمة تبادلي. على سبيل المثال ، (17−5 ) ليس هو نفسه (5−17 ). وبالمثل ، (20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20 ).

الخصائص النقابية

تخبرنا الخاصية الترابطية للضرب أنه لا يهم كيف نجمع الأعداد عند الضرب. يمكننا تحريك رموز التجميع لتسهيل الحساب ، ويظل المنتج كما هو.

[a (bc) = (ab) c ]

تأمل هذا المثال.

((3 times4) times5 = 60 text {and} 3 times (4 times5) = 60 )

تخبرنا الخاصية الترابطية للإضافة أنه يمكن تجميع الأرقام بشكل مختلف دون التأثير على المجموع.

[أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج ]

يمكن أن تكون هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع الأعداد الصحيحة السالبة. تأمل هذا المثال.

([15 + (- 9)] + 23 = 29 نص {و} 15 + [(- 9) +23] = 29 )

هل الطرح والقسمة ترابطية؟ راجع هذه الأمثلة.

[ begin {align *} 8- (3-15) overet {؟} {=} & (8-3) -15 8 - (- 12) overset {؟} {=} & 5-15 20 eq & 20-10 64 div (8 div 4) overet {؟} {=} & (64 div 8) div 4 64 div 2 overset {؟} {=} & 8 div 4 32 eq & 2 end {align *} ]

كما نرى ، لا يعتبر الطرح أو القسمة ترابطيًا.

خاصية التوزيع

تنص الخاصية التوزيعية على أن حاصل ضرب العامل في المجموع هو مجموع العامل في كل مصطلح في المجموع.

[أ مرات (ب + ج) = أ مرات ب + أ مرات ج ]

تجمع هذه الخاصية بين الجمع والضرب (وهي الخاصية الوحيدة التي تقوم بذلك). دعنا نأخذ مثالا.

لاحظ أن (4 ) خارج رموز التجميع ، لذلك نوزع (4 ) بضربها في (12 ) ، وضربها في (- 7 ) ، وإضافة المنتجات.

مثال ( PageIndex {7} )

لنكون أكثر دقة عند وصف هذه الخاصية ، نقول إن الضرب يوزع على الجمع. العكس ليس صحيحًا كما نرى في هذا المثال.

[ begin {align *} 6+ (3 times5) overet {؟} {=} & (6 + 3) times (6 times5) 6+ (15) overset {؟} {= } & (9) times (11) 21 مكافئ & 99 نهاية {محاذاة *} ]

لا يوزع الضرب على الطرح ، والقسمة توزع على لا الجمع ولا الطرح.

تحدث حالة خاصة لخاصية التوزيع عندما يتم طرح مجموع المصطلحات.

[أ − ب = أ + (- ب) ]

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الفرق (12− ​​(5 + 3) ). يمكننا إعادة كتابة الفرق بين الحدين (12 ) و ((5 + 3) ) بتحويل تعبير الطرح إلى جمع المقابل. فبدلاً من طرح ((5 + 3) ) نضيف العكس.

(12 + (- 1) مرات (5 + 3) ])

الآن ، قم بتوزيع (- 1 ) وتبسيط النتيجة.

[ تبدأ {محاذاة *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 1) مرات (5 + 3) & = 12 + [(- 1) times5 + (- 1) times3] & = 12 + (- 8) & = 4 نهاية {محاذاة *} ]

يبدو أن هذا يمثل الكثير من المتاعب مقابل مبلغ بسيط ، لكنه يوضح نتيجة قوية ستكون مفيدة بمجرد تقديم المصطلحات الجبرية. لطرح مجموع المصطلحات ، قم بتغيير علامة كل مصطلح وإضافة النتائج. مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا إعادة كتابة المثال الأخير.

[ start {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 5-3) & = 12-8 & = 4 end {align *} ]

خصائص الهوية

ال خاصية هوية الإضافة ينص على وجود رقم فريد يسمى الهوية المضافة ((0) ) والتي ، عند إضافتها إلى رقم ، ينتج عنها الرقم الأصلي.

[أ + 0 = أ ]

ال هوية خاصية الضرب ينص على وجود رقم فريد يسمى الهوية المضاعفة ((1) ) والتي عند ضربها برقم ينتج عنها الرقم الأصلي.

[أ مرات 1 = أ ]

على سبيل المثال ، لدينا ((−6) + 0 = −6 ) و (23 times1 = 23 ). لا توجد استثناءات لهذه الخصائص ؛ تعمل مع كل رقم حقيقي ، بما في ذلك (0 ) و (1 ).

خصائص معكوسة

تنص الخاصية العكسية للإضافة على أنه ، لكل رقم حقيقي a ، يوجد رقم فريد يسمى المقلوب الجمعي (أو العكس) ، والمشار إليه (- a ) ، والذي ، عند إضافته إلى الرقم الأصلي ، ينتج عنه مادة مضافة الهوية ، (0 ).

[أ + (- أ) = 0 ]

على سبيل المثال ، إذا (أ = −8 ) ، فإن المعكوس الجمعي هو (8 ) ، منذ ((- 8) + 8 = 0 ).

تنطبق الخاصية العكسية للضرب على جميع الأعداد الحقيقية باستثناء (0 ) لأن مقلوب (0 ) غير محدد. تنص الخاصية على أنه ، لكل رقم حقيقي (أ ) ، يوجد رقم فريد ، يسمى معكوس الضرب (أو مقلوب) ، والمشار إليه (1 أ ) ، أنه عند ضرب الرقم الأصلي ، ينتج عنه المضاعف الهوية ، (1 ).

[a times dfrac {1} {a} = 1 ]

على سبيل المثال ، إذا كان (a = - dfrac {2} {3} ) ، فإن المعاملة بالمثل ، والمشار إليها ( dfrac {1} {a} ) ، هي (- dfrac {3} {2} ) لان

(a⋅ dfrac {1} {a} = left (- dfrac {2} {3} right) times left (- dfrac {3} {2} right) = 1 )

خصائص الأرقام الحقيقية

تحتوي الخصائص التالية على أرقام حقيقية (أ ) و (ب ) و (ج ).

جدول ( PageIndex {1} )
إضافةعمليه الضرب
خاصية التبديل (أ + ب = ب + أ ) (أ مرات ب = ب مرات أ )
ملكية مشتركة (أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج ) (أ (ق.م) = (أب) ج )
خاصية التوزيع

(أ مرات (ب + ج) = أ مرات ب + أ مرات ج )

خاصية الهوية

يوجد رقم حقيقي فريد يسمى الهوية المضافة ، 0 ، مثل أي رقم حقيقي أ

(أ + 0 = أ )

يوجد رقم حقيقي فريد يسمى الهوية المضاعفة ، 1 ، مثل أي رقم حقيقي أ

(أ مرات 1 = أ )

الملكية المعكوسة

كل رقم حقيقي أ له مقلوب جمعي ، أو عكسه ، يُشار إليه بـ –a ، على هذا النحو

(أ + (- أ) = 0 )

كل رقم حقيقي غير صفري له معكوس ضربي ، أو مقلوب ، يُرمز إليه 1 أ ، على هذا النحو

(a times left ( dfrac {1} {a} right) = 1 )

مثال ( PageIndex {8} ): استخدام خصائص الأعداد الحقيقية

استخدم خصائص الأعداد الحقيقية لإعادة كتابة وتبسيط كل تعبير. اذكر الخصائص التي تنطبق.

  1. (3 مرات 6 + 3 مرات 4 )
  2. ((5+8)+(−8))
  3. (6−(15+9))
  4. ( dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) )
  5. (100 مرة [0.75 + (- 2.38)] )

المحلول

  1. [ begin {align *} 3 times6 + 3 times4 & = 3 times (6 + 4) qquad text {Distributive property} & = 3 times10 qquad text {Simplify} & = 30 qquad text {Simplify} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} (5 + 8) + (- 8) & = 5+ [8 + (- 8)] qquad text {Associative property of add} & = 5 + 0 qquad نص {الخاصية العكسية للإضافة} & = 5 qquad text {Identity property of add} end {align *} ]
  3. [ begin {align *} 6- (15 + 9) & = 6 + [(- 15) + (- 9)] qquad text {خاصية التوزيع} & = 6 + (- 24) qquad text {Simplify} & = - 18 qquad text {Simplify} end {align *} ]
  4. [ begin {align *} dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) & = dfrac {4} { 7} times left ( dfrac {7} {4} times dfrac {2} {3} right) qquad text {الخاصية التبادلية للضرب} & = left ( dfrac {4} {7} times dfrac {7} {4} right) times dfrac {2} {3} qquad text {Associative property of multiplication} & = 1 times dfrac {2} {3 } qquad text {الخاصية العكسية للضرب} & = dfrac {2} {3} qquad text {Identity property of multiplication} end {align *} ]
  5. [ begin {align *} 100 times [0.75 + (- 2.38)] & = 100 times0.75 + 100 times (-2.38) qquad text {خاصية التوزيع} & = 75 + (- 238) qquad text {Simplify} & = - 163 qquad text {Simplify} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم خصائص الأعداد الحقيقية لإعادة كتابة وتبسيط كل تعبير. اذكر الخصائص التي تنطبق.

  1. ( left (- dfrac {23} {5} right) times left [11 times left (- dfrac {5} {23} right) right] )
  2. (5 مرات (6.2 + 0.4) )
  3. (18-(7-15))
  4. ( dfrac {17} {18} + left [ dfrac {4} {9} + left (- dfrac {17} {18} right) right] )
  5. (6 مرات (-3) +6 مرات 3 )
إجابه
  1. (33 ) خاصية التوزيع
  2. ( dfrac {4} {9} ) ، الخاصية التبادلية للإضافة ، الخاصية الترابطية للإضافة ، الخاصية العكسية للإضافة ، خاصية الهوية للإضافة
  3. (0 ) ، خاصية التوزيع ، الخاصية العكسية للجمع ، خاصية الهوية للجمع

إيجاد قيمة المقادير الجبرية

حتى الآن ، تضمنت التعبيرات الرياضية التي رأيناها أعدادًا حقيقية فقط. في الرياضيات ، قد نرى تعبيرات مثل (x +5 ) أو ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) أو ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) . في التعبير (x +5 ) ، (5 ) يسمى أ مستمر لأنه لا يختلف ويسمى (س ) أ عامل لأنه يفعل. (عند تسمية المتغير ، تجاهل أي أسس أو جذور تحتوي على المتغير) تعبير جبري هي مجموعة من الثوابت والمتغيرات المرتبطة ببعضها البعض من خلال العمليات الجبرية للجمع والطرح والضرب والقسمة.

لقد رأينا بالفعل بعض أمثلة الأرقام الحقيقية للتدوين الأسي ، وهي طريقة مختصرة لكتابة منتجات من نفس العامل. عند استخدام المتغيرات ، تعامل الثوابت والمتغيرات بنفس الطريقة.

[ start {align *} (-3) ^ 5 & = (- 3) times (-3) times (-3) times (-3) times (-3) Rightarrow x ^ 5 = س مرات x مرات x مرات x مرات x (2 times7) ^ 3 & = (2 times7) times (2 times7) times (2 times7) qquad ؛ ؛ Rightarrow (yz) ^ 3 = (yz) times (yz) times (yz) end {align *} ]

في كل حالة ، يخبرنا الأس عن عدد عوامل الأساس التي يجب استخدامها ، سواء كان الأساس يتكون من ثوابت أو متغيرات.

يمكن لأي متغير في تعبير جبري أن يأخذ قيمًا مختلفة أو يتم تعيينها. عندما يحدث ذلك ، تتغير قيمة التعبير الجبري. لتقييم تعبير جبري يعني تحديد قيمة التعبير لقيمة معينة لكل متغير في التعبير. استبدل كل متغير في التعبير بالقيمة المحددة ، ثم قم بتبسيط التعبير الناتج باستخدام ترتيب العمليات. إذا كان التعبير الجبري يحتوي على أكثر من متغير واحد ، فاستبدل كل متغير بالقيمة المخصصة له وقم بتبسيط التعبير كما كان من قبل.

مثال ( PageIndex {9} ): وصف التعبيرات الجبرية

اكتب الثوابت والمتغيرات لكل تعبير جبري.

  1. (س + 5 )
  2. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 )
  3. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )

المحلول

الثوابتالمتغيرات
أ. (س + 5 )(5) (س )
ب. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) ( dfrac {4} {3} ) ، ( pi ) (ص )
ج. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )(2) (م ) ، (n )

تمرين ( PageIndex {8} )

اكتب الثوابت والمتغيرات لكل تعبير جبري.

  1. (2 (L + W) )
  2. (4 سنوات ^ 3 + ص )
إجابه
الثوابتالمتغيرات
أ. (2 بي ص (ص + ح) ) (2 ) ، ( بي ) (ص ) ، (ح )
ب. (2 (L + W) )(2) (L ) ، (W )
ج. (4 سنوات ^ 3 + ص )(4) (ص )

مثال ( PageIndex {10} ): تقييم تعبير جبري بقيم مختلفة

احسب التعبير (2x − 7 ) لكل قيمة من أجل (x ).
  1. (س = 0 )
  2. (س = 1 )
  3. (س = 12 )
  4. (س = -4 )

المحلول

  1. استبدل (0 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (0) -7 & = 0-7 & = -7 end {align *} ]
  2. استبدل (1 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (1) -7 & = 2-7 ​​ & = -5 end {align *} ]
  3. استبدل ( dfrac {1} {2} ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 left ( dfrac {1} {2} right) -7 & = 1-7 & = -6 end {align * } ]
  4. استبدل (- 4 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (-4) -7 & = -8-7 & = -15 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {9} )

احسب التعبير (11−3y ) لكل قيمة من أجل (y ).

  1. (ص = 2 )
  2. (ص = 0 )
  3. (y = dfrac {2} {3} )
  4. (ص = −5 )
إجابه
  1. (11)
  2. (26)

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد قيمة التعبيرات الجبرية

قيم كل تعبير للقيم المعطاة.

  1. (س + 5 ) من أجل (س = -5 )
  2. ( dfrac {t} {2t-1} ) من أجل (t = 10 )
  3. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) من أجل (r = 5 )
  4. (أ + أب + ب ) من أجل (أ = 11 ) ، (ب = -8 )
  5. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) من أجل (م = 2 ) ، (n = 3 )

المحلول

  1. استبدل (- 5 ) من أجل (س ). [ start {align *} x + 5 & = (-5) +5 & = 0 end {align *} ]
  2. استبدل (10 ​​) بـ (t ). [ begin {align *} dfrac {t} {2t-1} & = dfrac {(10)} {2 (10) -1} & = dfrac {10} {20-1} & = dfrac {10} {19} end {align *} ]
  3. استبدل (5 ) بـ (r ). [ begin {align *} dfrac {4} {3} pi r ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (5) ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (125) & = dfrac {500} {3} pi end {align *} ]
  4. استبدل (11 ) بـ (a ) و (- 8 ) بـ (b ). [ تبدأ {محاذاة *} أ + أب + ب & = (11) + (11) (- 8) + (- 8) & = 11-88-8 & = -85 النهاية {محاذاة *} ]
  5. استبدل (2 ) بـ (m ) و (3 ) بـ (n ). [ start {align *} sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} & = sqrt {2 (2) ^ 3 (3) ^ 2} & = sqrt {2 (8) (9)} & = sqrt {144} & = 12 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {10} )

قيم كل تعبير للقيم المعطاة.

  1. ( dfrac {y + 3} {y-3} ) لـ (y = 5 )
  2. (7-2t ) من أجل (t = -2 )
  3. ( dfrac {1} {3} pi r ^ 2 ) لـ (r = 11 )
  4. ((p ^ 2 q) ^ 3 ) لـ (p = -2 ) ، (q = 3 )
  5. (4 (m-n) -5 (n-m) ) لـ (m = dfrac {2} {3} ) (n = dfrac {1} {3} )
إجابه
  1. (4)
  2. (11)
  3. ( dfrac {121} {3} pi )
  4. (1728)
  5. (3)

الصيغ

المعادلة هي بيان رياضي يشير إلى أن تعبيرين متساويين. يمكن أن تكون التعبيرات عددية أو جبرية. المعادلة ليست صحيحة أو خاطئة بطبيعتها ، ولكنها مجرد اقتراح. تم العثور على القيم التي تجعل المعادلة صحيحة ، الحلول ، باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية والنتائج الأخرى. على سبيل المثال ، المعادلة (2x + 1 = 7 ) لها الحل الفريد (3 ) لأننا عندما نستبدل (3 ) بـ (x ) في المعادلة ، نحصل على العبارة الصحيحة ( 2 (3) + 1 = 7 ).

الصيغة هي معادلة تعبر عن علاقة بين الكميات الثابتة والمتغيرة. في كثير من الأحيان ، تكون المعادلة وسيلة لإيجاد قيمة كمية واحدة (غالبًا متغير واحد) من حيث كميات أخرى أو كميات أخرى. أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا هو صيغة إيجاد مساحة (A ) دائرة بدلالة نصف قطر (r ) الدائرة: (A = pi r ^ 2 ). لأي قيمة من (r ) ، يمكن العثور على المنطقة (A ) من خلال تقييم التعبير ( pi r ^ 2 ).

مثال ( PageIndex {12} ): استخدام صيغة

تحتوي الأسطوانة الدائرية اليمنى بنصف قطر (r ) وارتفاع (ح ) على مساحة السطح (S ) (بالوحدات المربعة) المعطاة بالصيغة (S = 2 pi r (r + h) ). راجع الشكل ( PageIndex {3} ). أوجد مساحة سطح أسطوانة نصف قطرها (6 ) بوصة وارتفاعها (9 ) بوصة. اترك الإجابة من حيث ( pi ).

قم بتقييم التعبير (2 pi r (r + h) ) لـ (r = 6 ) و (h = 9 ).

المحلول

[ start {align *} S & = 2 pi r (r + h) & = 2 pi (6) [(6) + (9)] & = 2 pi (6) ( 15) & = 180 pi end {محاذاة *} ]

مساحة السطح (180 pi ) بوصة مربعة.

تمرين ( PageIndex {11} )

توضع الصورة ذات الطول (L ) والعرض (W ) في ماتي بالعرض (8 ) سم (سم). تم العثور على مساحة ماتي (بالسنتيمتر المربع ، أو (سم ^ 2 ) لتكون (A = (L + 16) (W + 16) - L ) ⋅Wانظر الشكل ( PageIndex {4} ). أوجد مساحة غير لامع لصورة فوتوغرافية بطول (32 ) سم وعرض (24 ) سم.

إجابه

(1152 سم ^ 2 )

تبسيط التعابير الجبرية

في بعض الأحيان يمكننا تبسيط تعبير جبري لتسهيل عملية التقييم أو استخدامه بطريقة أخرى. للقيام بذلك ، نستخدم خصائص الأعداد الحقيقية. يمكننا استخدام نفس الخصائص في الصيغ لأنها تحتوي على تعبيرات جبرية.

مثال ( PageIndex {13} ): تبسيط التعبيرات الجبرية

بسّط كل تعبير جبري.

  1. (3 س -2 ص + س -3 ص -7 )
  2. (2 ص -5 (3-ص) +4 )
  3. ( left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) )
  4. (2 مليون -5 م + 3 مليون + n )

المحلول

  1. [ begin {align *} 3x-2y + x-3y-7 & = 3x + x-2y-3y-7 && qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = 4x-5y-7 && qquad text {Simplify} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} 2r-5 (3-r) + 4 & = 2r-15 + 5r + 4 && qquad qquad qquad text {خاصية التوزيع} & = 2r + 5y-15 + 4 && qquad qquad qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = 7r-11 && qquad qquad qquad text {Simplify} end {align *} ]
  3. [ start {align *} left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) & = 4t- dfrac { 5} {4} s- dfrac {2} {3} t-2s && qquad text {خاصية التوزيع} & = 4t- dfrac {2} {3} t- dfrac {5} {4 } s-2s && qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = dfrac {10} {3} t- dfrac {13} {4} s && qquad text {Simplify} end {محاذاة *} ]
  4. [ start {align *} 2mn-5m + 3mn + n & = 2mn + 3mn-5m + n && qquad text {Commutative property of add} & = 5mn-5m + n && qquad text {تبسيط } end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {12} )

بسّط كل تعبير جبري.

  1. ( dfrac {2} {3} y − 2 left ( dfrac {4} {3} y + z right) )
  2. ( dfrac {5} {t} −2− dfrac {3} {t} +1 )
  3. (4 ص (ف − 1) + ف (1 / ف) )
  4. (9 ص (ث + 2 ص) + (6 / ث) )
إجابه
  1. (- 2y − 2z ) أو (- 2 (y + z) )
  2. ( dfrac {2} {t} −1 )
  3. (3pq − 4p + q )
  4. (7 ص − 2 ث + 6 )

مثال ( PageIndex {14} ): تبسيط صيغة

مستطيل بطول (L ) وعرض (W ) له محيط (P ) معطى بواسطة (P = L + W + L + W ). بسّط هذا التعبير.

المحلول

[ begin {align *} P & = L + W + L + W P & = L + L + W + W && qquad text {خاصية الإضافة التبادلية} P & = 2L + 2W && qquad text {Simplify} P & = 2 (L + W) && qquad text {خاصية التوزيع} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {13} )

إذا تم إيداع المبلغ (P ) في حساب يدفع فائدة بسيطة (r ) للوقت (t ) ، يتم إعطاء القيمة الإجمالية للإيداع (A ) بواسطة (A = P + Prt ). تبسيط التعبير. (سيتم استكشاف هذه الصيغة بمزيد من التفصيل لاحقًا في الدورة.)

إجابه

(A = P (1 + rt) )

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام أرقام حقيقية.

  • بسّط التعبير
  • تقييم تعبير 1
  • تقييم تعبير 2

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن كتابة الأرقام المنطقية على شكل كسور أو إنهاء أو تكرار الكسور العشرية. انظر المثال والمثال.
  • حدد ما إذا كان الرقم منطقيًا أم غير منطقي عن طريق كتابته في صورة عدد عشري. انظر المثال.
  • تشكل الأعداد المنطقية والأعداد غير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية. انظر المثال. يمكن تصنيف الرقم على أنه طبيعي أو كامل أو عدد صحيح أو منطقي أو غير منطقي. انظر المثال.
  • يتم استخدام ترتيب العمليات لتقييم التعبيرات. انظر المثال.
  • الأعداد الحقيقية تحت عمليات الجمع والضرب تخضع للقواعد الأساسية ، والمعروفة باسم خصائص الأعداد الحقيقية. هذه هي الخصائص التبادلية ، والخصائص الترابطية ، والخصائص التوزيعية ، وخصائص الهوية ، والخصائص العكسية. انظر المثال.
  • تتكون التعبيرات الجبرية من ثوابت ومتغيرات يتم دمجها باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. انظر المثال. تأخذ قيمة عددية عند تقييمها عن طريق استبدال المتغيرات بثوابت. انظر مثال ومثال ومثال
  • الصيغ هي معادلات يتم فيها تمثيل كمية واحدة من حيث الكميات الأخرى. يمكن تبسيطها أو تقييمها على أنها أي تعبير رياضي. انظر المثال والمثال.

شفهي

هل ( sqrt {2} ) مثال على إنهاء عقلاني أو تكرار منطقي أو عدد غير نسبي؟ قل لماذا يناسب هذه الفئة.

عدد غير نسبي. لا ينتهي الجذر التربيعي لاثنين ولا يكرر نمطًا. لا يمكن كتابته كحاصل قسمة عددين صحيحين ، لذلك فهو غير منطقي.

ما هو ترتيب العمليات؟ ما الاختصار المستخدم لوصف ترتيب العمليات ، وماذا تعني؟

ماذا تسمح لنا الخصائص الترابطية بالقيام به عند اتباع ترتيب العمليات؟ اشرح اجابتك.

تنص الخصائص الترابطية على أنه يمكن تجميع مجموع أو حاصل ضرب أرقام متعددة بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة. هذا لأنه يتم تنفيذ العملية نفسها (إما الجمع أو الطرح) ، لذلك يمكن إعادة ترتيب المصطلحات.

رقمي

للتمارين التالية ، بسّط التعبير المعطى.

جبري

بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد قيمة المتغير.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتبسيط التعبير.

تطبيقات العالم الحقيقي

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: يكسب فريد 40 دولارًا من جز العشب. ينفق 10 دولارات على ملفات mp3 ، ويضع نصف ما تبقى في حساب توفير ، ويحصل على 5 دولارات أخرى لغسيل سيارة جاره.

اكتب التعبير الذي يمثل عدد الدولارات التي يحتفظ بها فريد (ولا يضعها في حساب التوفير الخاص به). تذكر ترتيب العمليات.

كم من المال يحتفظ به فريد؟

بالنسبة للتمارين التالية ، حل المشكلة المحددة.

وفقًا للنعناع الأمريكي ، يبلغ قطر الربع 0.955 بوصة. محيط الربع هو القطر مضروبًا في ، فهل محيط الربع هو عدد صحيح أم نسبي أم عدد غير نسبي؟

قررت جيسيكا ورفيقتها في السكن ، أدريانا ، مشاركة وعاء تغيير للنفقات المشتركة. وضعت جيسيكا نقودها الفضفاضة في الجرة أولاً ، ثم أدخلت أدريانا التغيير في البرطمان. نحن نعلم أنه لا يهم ترتيب إضافة التغيير إلى الجرة. ما خاصية الإضافة تصف هذه الحقيقة؟

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: هناك كومة من الحصى في المحجر. طوال اليوم ، يتم إضافة 400 رطل من الحصى إلى التل. تم بيع أمرين بقيمة 600 جنيه وإزالة الحصى من الكومة. في نهاية اليوم ، تحتوي الكومة على 1200 رطل من الحصى.

اكتب المعادلة التي تصف الموقف.

للتمرين التالي ، حل المشكلة المحددة.

يدير رامون قسم التسويق في شركته. يحصل قسمه على ميزانية كل عام ، وفي كل عام ، يجب أن ينفق الميزانية بالكامل دون تجاوز. إذا كان ينفق أقل من الميزانية ، فسيحصل قسمه على ميزانية أصغر في العام التالي. في بداية هذا العام ، حصل رامون على 2.5 مليون دولار لميزانية التسويق السنوية. يجب أن ينفق الميزانية مثل 2500000 x = 0 ما خاصية الجمع تخبرنا ما هي قيمة x يجب أن يكون؟

خاصية معكوسة للجمع

تكنولوجيا

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية لحلها x. قرب الإجابات لأقرب جزء من مائة.

ملحقات

إذا لم يكن العدد الصحيح عددًا طبيعيًا ، فماذا يجب أن يكون؟

حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة: المعكوس الضربي للرقم الكسري هو أيضًا منطقي.

تحديد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة: يكون حاصل ضرب عدد منطقي وغير منطقي دائمًا غير منطقي.

حدد ما إذا كان التعبير المبسط منطقيًا أم غير منطقي: −18−4 (5) (- 1) ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

حدد ما إذا كان التعبير المبسط نسبيًا أم غير منطقي: −16 + 4 (5) + 5‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

ما هو نوع العدد دائمًا من قسمة عددين صحيحين؟

ما خاصية الأعداد الحقيقية التي من شأنها تبسيط التعبير التالي: 4 + 7 (x − 1)؟

قائمة المصطلحات

تعبير جبري
الثوابت والمتغيرات مجتمعة باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة
الملكية الترابطية للإضافة
يمكن تجميع ثلاثة أرقام بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة ؛ بالرموز ، أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج
الخاصية الترابطية للضرب
يمكن تجميع ناتج ثلاثة أرقام بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، a⋅ (b⋅c) = (a⋅b) ⋅c
قاعدة
في التدوين الأسي ، التعبير الذي يتم ضربه
خاصية التبديل من إضافة
يمكن إضافة رقمين في أي من الترتيب دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، أ + ب = ب + أ
خاصية تبادلية الضرب
يمكن ضرب رقمين بأي ترتيب دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، a⋅b = b⋅a
مستمر
كمية لا تغير قيمتها
خاصية التوزيع
حاصل ضرب العامل في المجموع هو مجموع العامل ضرب كل مصطلح في المجموع ؛ في الرموز ، a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
معادلة
بيان رياضي يشير إلى أن تعبيرين متساويين
الأس
في التدوين الأسي ، الرقم المرتفع أو المتغير الذي يشير إلى عدد مرات ضرب الأساس
الأسية
طريقة مختصرة لكتابة منتجات من نفس العامل
معادلة
معادلة تعبر عن علاقة بين الكميات الثابتة والمتغيرة
خاصية هوية الإضافة
يوجد رقم فريد يسمى الهوية المضافة 0 ، والتي عند إضافتها إلى رقم ينتج عنها الرقم الأصلي ؛ في الرموز ، أ + 0 = أ
هوية خاصية الضرب
يوجد رقم فريد يسمى الهوية المضاعفة 1 ، والتي عند ضربها برقم ينتج عنها الرقم الأصلي ؛ في الرموز ، a⋅1 = a
أعداد صحيحة
المجموعة المكونة من الأعداد الطبيعية وأضدادها و 0: {…، ،3، −2، −1،0،1،2،3،…}
خاصية معكوسة للجمع
لكل رقم حقيقي أ ، يوجد رقم فريد يسمى مقلوب الجمع (أو العكس) ، ويُشار إليه بـ أ ، والذي ينتج عنه الهوية المضافة ، عند إضافته إلى الرقم الأصلي ، 0 ؛ في الرموز ، أ + (- أ) = 0
الخاصية العكسية للضرب
لكل رقم حقيقي غير صفري أ ، يوجد رقم فريد يسمى معكوس الضرب (أو مقلوب) ، يُرمز إليه 1 أ ، والذي عند ضربه في الرقم الأصلي ، ينتج عنه هوية المضاعفة ، 1 ؛ في الرموز ، a⋅1a = 1
أرقام غير منطقية
مجموعة جميع الأرقام غير المنطقية ؛ لا يمكن كتابتها على أنها رقم عشري منتهي أو متكرر ؛ لا يمكن التعبير عنها في صورة كسر من عددين صحيحين
الأعداد الطبيعية
مجموعة أرقام العد: {1،2،3 ، ...}
ترتيب العمليات
مجموعة من القواعد التي تحكم كيفية تقييم التعبيرات الرياضية ، وتحديد الأولويات للعمليات
أرقام نسبية
مجموعة من جميع الأرقام من formmn ، مكان الأعداد الصحيحة و n 0. يمكن كتابة أي رقم منطقي ككسر أو كسر عشري منتهي أو متكرر.
خط الرقم الحقيقي
خط أفقي يستخدم لتمثيل الأعداد الحقيقية. يتم اختيار نقطة ثابتة عشوائية لتمثيل 0 ؛ الأعداد الموجبة تقع على يمين 0 والأرقام السالبة على اليسار.
أرقام حقيقية
مجموعتي الأعداد المنطقية والأعداد غير المنطقية معًا
عامل
كمية قد تتغير قيمتها
الأعداد الكلية
المجموعة المكونة من 0 بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية: {0،1،2،3 ، ...}

1.1: الأعداد الحقيقية - أساسيات الجبر - الرياضيات

الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس] هو ثابت رياضي مهم ، يساوي تقريبًا [اللاتكس] 2.71828 [/ اللاتكس]. عند استخدامه كأساس للوغاريتم ، فإننا نطلق على ذلك اللوغاريتم اللوغاريتم الطبيعي ونكتبه كـ [اللاتكس] ln x [/ اللاتكس].

أهداف التعلم

التعرف على خصائص واستخدامات عدد [لاتكس] ه [/ لاتكس]

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • اللوغاريتم الطبيعي ، المكتوب [اللاتكس] f (x) = ln (x) [/ latex] ، هو القوة التي يجب أن يرفع إليها [اللاتكس] e [/ اللاتكس] للحصول على [اللاتكس] x [/ اللاتكس].
  • يمكن تعريف الثابت بعدة طرق ، يتضمن معظمها حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال ، هو حد التسلسل المصطلح العام الذي يكون [اللاتكس] (1+ <1 over n>) ^ n [/ latex]. وهو أيضًا الرقم الفريد بحيث تكون المنطقة الواقعة أسفل المنحنى [اللاتكس] y = <1 over x> [/ latex] من [اللاتكس] x = 1 [/ اللاتكس] إلى [اللاتكس] x = e [/ اللاتكس ] هي [لاتكس] 1 [/ لاتكس] وحدة مربعة.

الشروط الاساسية

  • ه: قاعدة اللوغاريتم الطبيعي ، 2.718281828459045 ...
  • اللوغاريتم: اللوغاريتم للرقم هو الأس الذي يجب أن ترفع بواسطته قيمة ثابتة أخرى ، الأساس ، لإنتاج هذا الرقم.

الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس]

الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس] ، الذي يُطلق عليه أحيانًا الرقم الطبيعي ، أو رقم أويلر & # 8217s ، هو ثابت رياضي مهم يساوي تقريبًا 2.71828. عند استخدامه كأساس للوغاريتم ، يُطلق على اللوغاريتم المقابل اللوغاريتم الطبيعي ، ويتم كتابته كـ [اللاتكس] ln (x) [/ اللاتكس]. لاحظ أن [latex] ln (e) = 1 [/ latex] وأن [latex] ln (1) = 0 [/ latex].

هناك عدد من التعريفات المختلفة لعدد [لاتكس] ه [/ لاتكس]. معظمهم يتضمن حساب التفاضل والتكامل. أحدهما هو أن [اللاتكس] e [/ اللاتكس] هو حد التسلسل الذي يكون المصطلح العام الخاص به هو [اللاتكس] (1+ <1 over n>) ^ n [/ latex]. آخر هو أن [اللاتكس] e [/ اللاتكس] هو الرقم الفريد بحيث تكون المنطقة الواقعة تحت المنحنى [اللاتكس] y = 1 / x [/ اللاتكس] من [اللاتكس] x = 1 [/ اللاتكس] إلى [اللاتكس] x = e [/ latex] هي [latex] 1 [/ latex] وحدة مربعة.

تعريف آخر لـ [اللاتكس] e [/ اللاتكس] يتضمن السلسلة اللانهائية [اللاتكس] 1+ frac <1> <1!> + frac <1> <2!> + frac <1> <3!> + فارك <1> <4! > + & # 8230. [/ لاتكس]. يمكن إظهار أن مجموع هذه السلسلة هو [لاتكس] ه [/ لاتكس].

أهمية [اللاتكس] ه [/ اللاتكس]

الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس] مهم جدًا في الرياضيات ، جنبًا إلى جنب مع [اللاتكس] 0، 1، i، ، text ، pi. [/ latex] تلعب كل هذه الأرقام الخمسة أدوارًا مهمة ومتكررة عبر الرياضيات ، وهي الثوابت الخمسة التي تظهر في صياغة هوية Euler & # 8217s ، والتي (بشكل مثير للدهشة) تنص على أن [اللاتكس] e ^+ 1 = 0. [/ اللاتكس] مثل الثابت [اللاتكس] pi [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] e [/ اللاتكس] غير عقلاني (لا يمكن كتابته كنسبة من الأعداد الصحيحة) ، وهو متعالي (هو ليس جذرًا لأي كثيرة حدود غير صفرية ذات معاملات عقلانية).

الفائدة المركبة

من بين الأماكن العديدة التي يلعب فيها الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس] دورًا في الرياضيات في صيغة الفائدة المركبة. اكتشف جاكوب برنولي هذا الثابت من خلال طرح أسئلة تتعلق بمبلغ المال في الحساب بعد عدد معين من السنوات ، إذا كانت الفائدة تتضاعف [اللاتكس] n [/ اللاتكس] مرات في السنة. لقد كان قادرًا على التوصل إلى صيغة مفادها أنه إذا كان معدل الفائدة هو [اللاتكس] r [/ اللاتكس] في المائة ويحسب [اللاتكس] n [/ اللاتكس] مرة في السنة ، والحساب يحتوي في الأصل على [اللاتكس] P [/ اللاتكس] بالدولار ، ثم المبلغ في الحساب بعد سنوات [اللاتكس] t [/ اللاتكس] يُعطى بواسطة [اللاتكس] A = P (1+)^. [/ اللاتكس] عند السؤال عما يحدث عندما يكبر حجم [اللاتكس] n [/ اللاتكس] بشكل تعسفي ، كان قادرًا على ابتكار صيغة للفائدة المركبة باستمرار ، وهي [اللاتكس] A = Pe ^. [/ لاتكس]


الجبر لا معنى له

"كتب المساومة" هي عناصر جديدة تمامًا بها عيوب جسدية طفيفة بسبب الشحن أو المناولة والتي لا تؤثر على استخدام العنصر. تُباع جميع كتب الصفقة كما هي وجميع المبيعات نهائية (لا يمكن إرجاعها أو استبدالها أو إلغائها). ستبقى كتب الصفقات في عربة التسوق لمدة تصل إلى 12 ساعة وسيتم إزالتها بعد ذلك إذا لم يكتمل الطلب. يمكن شراء الطلبات التي تتكون من عناصر عادية وعناصر مساومة عن طريق بطاقة الائتمان أو PayPal ويتم شحنها معًا (مع قسيمتي تعبئة).

هذا البند هو ملف تنزيل رقمي و ليس منتج مطبوع أو مادي. عند الانتهاء من تسجيل الخروج ، ستتلقى رسالة بريد إلكتروني تحتوي على رابط لتنزيل الملف وحفظه على جهازك المحلي. يرجى ملاحظة أن الكتب الإلكترونية وتنزيلات الوسائط الرقمية الأخرى غير قابلة للإرجاع وأن جميع المبيعات نهائية.

وصف المنتج:

من مدرس الرياضيات في أمريكا ، ريتشارد دبليو فيشر ، يأتي بأسلوب مباشر ومنطقي للغاية لإتقان المفاهيم الجبرية. من بداية الكتاب إلى نهايته ، يعتمد كل درس على المعرفة السابقة بطريقة "لا معنى لها". الكتاب مقسم إلى فصول أدوات الجبر وحل المعادلات والرسوم البيانية وتحليل المعادلات الخطية وحل المتباينات والرسوم البيانية وأنظمة المعادلات والمتباينات الخطية ومتعددة الحدود والتعبيرات المنطقية والتعبيرات الجذرية والهندسة والمعادلات التربيعية ومشاكل الكلمات الجبرية. ينقسم كل فصل إلى دروس ، ويتكون كل درس من صفحة إلى صفحتين ويتبع نفس الشكل والمقدمة والشرح ، وتلميحات مفيدة ، وأمثلة ، وتمارين مكتوبة ، ومراجعة. حتى أن هناك امتحانًا نهائيًا لتقييم فهم الطالب. يتضمن قسم المراجع في الجزء الخلفي من الكتاب قوائم بالصيغ والرموز وجدول الضرب والأرقام الأولية والمربعات والجذور ومكافئات الكسر / العشرية ومفتاح الإجابة (وليس الحلول).

يقدم المؤلف 6 خطوات لاستخدام هذا الكتاب حتى يكون أكثر فاعلية. 1) اقرأ المقدمة التي تحتوي على معلومات أساسية عن الموضوع وتتضمن مصطلحات وتعريفات وتفسيرات مهمة. 2) اقرأ قسم "تلميحات مفيدة" الذي يقدم النصائح والاختصارات. 3) راجع الأمثلة عن طريق كتابتها على ورقتك الخاصة ، مما سيساعد في فهم أفضل. 4) قم بإجراء التمارين ، وارجع إلى "التلميحات المفيدة" حسب الحاجة. 5) أكمل قسم المراجعة. 6) تصحيح عملك. يبدو من السهل جدا!

المكافأة لهذا الكتاب هي دروس الفيديو المجانية عبر الإنترنت. سيقوم السيد فيشر ، مدرس الرياضيات في أمريكا ، بسرد الطلاب من خلال مفهوم كل درس حيث تظهر الكتابة على السبورة البيضاء. يعمل من خلال بعض الأمثلة (تختلف عن تلك الموجودة في الكتاب) باستخدام المطالبات المرئية وتقديم اقتراحات لطرق التذكر. يقترح أن يشاهد الطالب درس الفيديو قبل الذهاب إلى درس الكتاب. يمكن لهذه الدروس الموجزة والمكتفية ذاتيا أن تغير عالم الجبر لطالبك. 280 ص / ب.


أظهر أن التسلسل $ left ( frac <1> right) $ هو تسلسل كوشي.

نريد أن نبين أن $ forall epsilon & gt 0 $ يوجد $ N in mathbb$ مثل هذا $ forall m ، n ≥ N $ ، ثم $ mid x_n - x_m mid & lt epsilon $.

دعنا نعطي $ epsilon & gt 0 $ واختر $ N in mathbb$ مثل أنه إذا كان $ m ، n ≥ N $ ثم $ biggr rvert frac <1> - فارك <1> biggr rvert & lt epsilon $.

اختر $ N & gt frac <2> < epsilon> $. لذلك إذا كان $ m ، n ≥ N $ ثم $ n ≥ N & gt frac <2> < epsilon> $ يعني أن $ frac <1> ≤ فارك <1> & lt frac < epsilon> <2> $ و $ m ≥ N & gt frac <2> < epsilon> $ يعني أن $ frac <1> ≤ فارك <1> & lt frac < epsilon> <2> $ وهكذا بالنسبة إلى $ m ، n ≥ N $ لدينا:


حدد أوراق عمل الرياضيات للصف الأول حسب الموضوع

استكشف أكثر من 2200 ورقة عمل للرياضيات للصف الأول

تقدم الصور في مجموعتين مجموعة رائعة من معادلات الجمع لأطفال الصف الأول. عد الصور في المجموعتين بشكل منفصل ، ثم اجمعهما لإيجاد العدد الإجمالي.

احصل على القواديس الصغيرة لرسم قفزات على خطوط الأرقام في أوراق عمل الرياضيات للصف الأول القابلة للطباعة وإكمال معادلات الطرح التي تتضمن أرقامًا حتى 10.

طور وعي الأطفال بالنمط باستخدام هذه المجموعة من أوراق عمل pdf. ادرس النمط وحدد جوهر النمط أو المصطلحات التي تتكرر بنفس الترتيب وقم بالتنبؤ المنطقي لما سيأتي بعد ذلك.

الطلاقة مع الأرقام أمر حيوي في رياضيات الصف الأول. قم بتكليف الأطفال بإلقاء نظرة على الجزء العلوي من هذا المخطط القابل للطباعة ، وتحديد وقراءة الأرقام من 1 إلى 25 بشكل متكرر ، ونسخها لإكمال الجدول.

من السهل تصور الأرقام باستخدام كتل القيمة المكانية أو كتل الأساس 10. اجعل الأطفال يحسبون الوحدات والقضبان في الكتل العشرة الأساسية ويكتبون الأرقام العشرة الأساسية.

يعد كسر ملفات PDF الخاصة بورقة عمل الرياضيات للصف الأول مقياسًا حقيقيًا لمهارات القيمة المكانية لديك. قارن الأعداد المكونة من رقمين باستخدام الرموز الموجودة في الجزء أ. ضع دائرة حول الرقم الأكبر في الجزء ب ، والرقم الأصغر في الجزء ج.

ترتيب الأشياء بثلاثة أحجام مختلفة من الأقصر إلى الأطول ، وترقيمها 1 و 2 و 3 على التوالي ، هو كل ما هو متوقع من أطفال الصف الأول.

مع أوراق عمل رياضيات pdf هذه لأطفال الصف الأول تحت تصرفك ، حان الوقت لممارسة ساعات القراءة لمعرفة الوقت في ساعات كاملة ، واختيار وجه الساعة الذي يصور الوقت المحدد.

طور مهاراتك في عد الدايمات والتعبير عن المبلغ بالدولار ، وتداول الدايمات بالدولار ، والتحويل فيما بينها في المسائل الكلامية مع هذه المجموعة من أوراق عمل الرياضيات للصف الأول.

لنعد بالزمن إلى الوراء ونتدرب على العد باستخدام علامات العد. أطفال الصف الأول لديهم قراءة رائعة وإحصاء كل مجموعة من علامات العد وكتابة القيمة التي تمثلها.

هل يمكن للمعماريين الصغار في الصف الأول التمييز بين المستطيل والمربع؟ شاهدهم يتعرفون على الأشكال ثنائية الأبعاد وتحقق من الخيار المناسب الذي يصف كل منها على أفضل وجه.

تحتوي هذه المجموعة من أوراق عمل الرياضيات للصف الأول على قفزات مرسومة مسبقًا على خطوط الأرقام. نقطة البداية للقفزات ، وعدد القفزات هما الإضافتان ونقطة النهاية هي المجموع.

افحص القفزات الموجودة على خط الأعداد وحدد المطروح الثانوية والفرق. بمجرد الانتهاء من ذلك ، فإن إكمال جملة الطرح ليس بالأمر الصعب!

أضف شرارة من المرح مع أنماط الصور المتكررة في هذه الحزمة من أوراق عمل الرياضيات القابلة للطباعة لأطفال الصف الأول. افهم النمط ، واقطع الرسومات وألصق الرسم الذي يأتي بعد ذلك بالترتيب.

تجعل حلزونات العدد الزاحفة الأطفال على الفور يحفظون الأرقام من 1 إلى 25. مخطط العرض والإخبار هذا الذي يتكون من أصداف الحلزونات المنقوشة بالأرقام هو طباعة قهرية.


الأعداد الصحيحة والأرقام النسبية

الأعداد الطبيعية هي جميع الأعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 ... إنها الأرقام التي تحسبها عادةً وستستمر إلى ما لا نهاية.

الأعداد الصحيحة كلها أعداد طبيعية بما في ذلك 0 على سبيل المثال 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ...

تشمل الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الصحيحة ونظيرتها السالبة على سبيل المثال ... -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0،1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...

جميع الأعداد الصحيحة تنتمي إلى الأعداد المنطقية. الرقم المنطقي هو رقم

حيث أ و ب كلاهما عدد صحيح.

الرقم 4 هو عدد صحيح وكذلك عدد نسبي. لأنه يمكن كتابته بدون مكون عشري ، فإنه ينتمي إلى الأعداد الصحيحة. إنه رقم منطقي لأنه يمكن كتابته على النحو التالي:

هو رقم منطقي ولكن ليس عددًا صحيحًا.

يمكن أن ينتهي الرقم المنطقي المكتوب في شكل عشري كما في:

جميع الأعداد المنطقية تنتمي إلى الأعداد الحقيقية.

إذا نظرت إلى خط رقمي

تلاحظ أن جميع الأعداد الصحيحة ، وكذلك جميع الأعداد المنطقية ، تقع على مسافة محددة من 0. هذه المسافة بين العدد x و 0 تسمى القيمة المطلقة للرقم. يظهر مع الرمز

إذا كان رقمان على نفس المسافة من 0 كما في حالة 10 و -10 فإنهما يطلق عليهما الأضداد. الأضداد لها نفس القيمة المطلقة لأن كلاهما على نفس المسافة من 0.


عواقب متواليات الأعداد الحقيقية

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تسلسل الأعداد الطبيعية $ (n) = (1، 2، 3،.) $. أحد تبعيات الأعداد الطبيعية هو تسلسل جميع الأعداد الطبيعية الزوجية $ (2n) = (2، 4، 6،.) $ حيث $ n_1 = 2 $، $ n_2 = 4 $، & # 8230، $ n_k = 2k $ آخر من التالي من الأعداد الطبيعية هو تسلسل جميع الأعداد الطبيعية الفردية $ (2n - 1) = (1، 3، 5،.) $ حيث $ n_1 = 1 $ ، $ n_2 = 3 $ ، & # 8230 ، $ n_k = 2k - 1 $.

نلاحظ أنه في كلتا الحالتين أعلاه ، يتم الاحتفاظ بترتيب شروط هذه البنود اللاحقة منذ $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $. على سبيل المثال ، التسلسل $ (4، 2، 6، 8،.) $ ليس نتيجة تالية لـ $ (n) $ منذ $ n_1 = 4 $ و $ n_2 = 2 $ ومن الواضح $ n_1 neq & lt n_2 $.

سنلقي نظرة الآن على بعض النظريات المهمة فيما يتعلق بالآتي:

  • دليل - إثبات: لنفترض أن $ (a_n) $ هو تسلسل متقارب مثل $ lim_ a_n = دولار. نريد أن نظهر أن $ lim_ أ_ = دولار.
  • بما أن $ (a_n) $ هو تسلسل متقارب ، فإن $ forall epsilon & gt 0 $ يوجد $ N in mathbb$ مثل أنه إذا كان $ n ≥ N $ ثم $ mid a_n - A mid & lt epsilon $. نلاحظ أنه منذ $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $ عبارة عن سلسلة متزايدة من الأعداد الطبيعية ، والتي هي أيضًا $ n_k ≥ k $. إذا اخترنا $ k ≥ N $ فسنحصل على $ n_k ≥ k ≥ N $ وهكذا $ mid a_ - A mid & lt epsilon $ وهكذا $ lim_ أ_ = دولار. $ blacksquare $

النظرية 1 أعلاه أسهل في الفهم بصريًا. ضع في اعتبارك التسلسل التالي $ (a_n) $ الموضح أدناه:

لاحظ أن أي تتابعات من التسلسل الموضح أعلاه يجب أن تتقارب أيضًا مع نفس الحد $ A $. يظهر هذا مع التآمر التاليين التاليين. المتتالية اللاحقة على اليسار هي كل الشروط الزوجية للتسلسل الأصلي ، بينما اللاحقة على اليمين هي كل المصطلحات الفردية للتسلسل الأصلي:

مع وضع هذه الفكرة في الاعتبار ، يمكننا أيضًا وصف ذيل التسلسل ليكون لاحقًا خاصًا. نلاحظ أنه إذا كان $ (a_n) $ متقاربًا مع $ A $ ، فإن أي $ m $ -tail من $ (a_n) $ هو نتيجة لاحقة تتقارب أيضًا مع الرقم الحقيقي $ A $.


13 نكت سيجدها كل مهوس رياضيات مضحكة

نتيجة لذلك ، تلعب النكات الرياضية دورًا أساسيًا في تاريخ الإنترنت.

من أقدم سلاسل رسائل يوزنت إلى أكثر المنتديات الفرعية تقنية ، كانت نكات الرياضيات العبقري غريب الأطوار - بعض الضربات الشديدة الضمنية في تخصصات أقل نقاءً ، أو تورية أخرى أو مسرحيات على كلمات ذات مفاهيم مختلفة - جزءًا رئيسيًا من التاريخ الحديث للرياضيات.

ما هو أكثر من ذلك ، أن هذه japes لها أيضًا تأثير في جعل أولئك الذين لم يحصلوا على النكتة ينظرون إلى ما يجعلها مضحكة ، وتعليم الناس بعض المفاهيم الأكثر غموضًا.

فيما يلي عدد قليل من أفضلها. عند الضرورة ، سنفعل ما لا يمكن تصوره ومبتذل ونوضح النكتة.

نكتة # 1

يخرج ثلاثة إحصائيين للصيد معًا. بعد فترة اكتشفوا أرنبًا منفردًا. يأخذ الإحصائي الأول الهدف ويتخطى. الهدف الثاني والبراعم. صاح الثالث: "لقد أوصلناه!"

نكتة # 2

كان هناك متغيرين عشوائيين يتحدثان في شريط. ظنوا أنهم كانوا منفصلين لكنني سمعت حديثهم باستمرار .

توضيح: عندما تقوم برمي نرد ، تحصل إما على 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. نظرًا لوجود عدد محدود من الاحتمالات ، فإن الإحصاء المتضمن يسمى المتغير العشوائي المنفصل. عندما تحدد أي رقم حقيقي من بين 0 و 1 ، فهناك عدد لا حصر له من السحوبات الممكنة. الإحصاء المتضمن يسمى متغير عشوائي مستمر.

نكتة # 3

كان هناك إحصائي غرق وهو يعبر نهرًا. كان عمقها 3 أقدام في المتوسط.

اكتب التعبير عن حجم البيتزا ذات القشرة السميكة بارتفاع "أ" ونصف قطرها "ع".

توضيح: صيغة الحجم هي π · (نصف القطر) 2 · (الارتفاع). في هذه الحالة ، pi · z · z · a.

نكتة # 5

ج: "ما هو جزء لا يتجزأ من 1 / المقصورة؟"

ج: "لا ، المركب - لقد نسيت C."

توضيح: نحن نتعامل مع "المقصورة" متغير.

تكامل 1 / x هو السجله(خ).

ومع ذلك ، نظرًا لأنه تكامل ، يجب عليك إضافة ثابت.

لذلك ∫ (1 / الكابينة) = السجله(الكابينة) + c ، أو "الكابينة الخشبية بالإضافة إلى البحر".

نكتة # 6

ج: الجواب تافه ويترك كتمرين للقارئ.

توضيح:

هذه لازمة شائعة موجودة في نصوص الرياضيات.

يعتبر على نطاق واسع من قبل طلاب الرياضيات الكسالى على وجه الخصوص من ضروب الاستفزاز الخبيث لأستاذ جامعي.

نكتة # 7

س: كم عدد علماء الرياضيات التي يتطلبها تغيير المصباح الكهربائي؟

ج: أولاً: أعطته لثلاثة علماء فيزيائيين ، وبذلك اختصرته إلى مشكلة تم حلها بالفعل.

توضيح: يحاول علماء الرياضيات تقليل مشكلة لم يتم حلها إلى شكل تم حله بالفعل من قبل. بمجرد الانتهاء من ذلك ، تعتبر كاملة ، حيث يتم اعتبار الصيغة المشتقة مسبقًا كما هي مكتوبة.

هناك العديد من النكات حول علماء الفيزياء. يتم ترك العثور على العديد كتدريبات للقارئ.

نكتة # 8

فيزيائي وعالم أحياء وعالم رياضيات يجلسون على مقعد مقابل منزل. يشاهدون شخصين يدخلان إلى المنزل ، وبعد ذلك بقليل ، يخرج ثلاثة أشخاص.

يقول الفيزيائي: "القياس الأولي كان غير صحيح".

يقول عالم الأحياء ، "يجب أن يكونوا قد استنساخ."

ويقول عالم الرياضيات ، "إذا دخل شخص واحد بالضبط ذلك المنزل ، فسيكون فارغًا."

نكتة # 9

يمثل B في Benot B. Mandelbrot موقف Benot B. Mandelbrot.

التفسير: مجموعة ماندلبروت هي كسورية. عندما تقوم بتكبير أجزاء من الفراكتل ، سترى صورة ذاتية النسخ. لذا فإن التناقض اللامتناهي في النكتة هو صراخ للمشكلة. فيما يلي مثال لما نتحدث عنه مع صورة gif لتكبير نقطة من التعقيد اللانهائي في مجموعة Mandelbrot:

نكتة # 10

Explanation: هذه إشارة إلى سلسلة لانهائية متقاربة.

حدود هذا:

من n = 0 إلى Σ (1/2 ن) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +. = 2

نكتة # 11

يدخل عدد لا حصر له من علماء الرياضيات في الحانة. الأول يطلب بيرة. الثانية تطلب نصف بيرة. الثالث يطلب ثلث بيرة. قال النادل ، "أخرج من هنا ، هل تحاول تدميرني؟"

شرح: هذا إشارة مرحة أخرى إلى سلسلة لانهائية - السلسلة التوافقية - التي ليست متقاربة ولكنها تتباعد إلى ما لا نهاية.

من ن = 1 إلى ∞ Σ (1 / ن) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. =

نكتة # 12

عندما يجتاز الإحصائي فحص أمن المطار ، يكتشف قنبلة في حقيبته. هو يوضح. "تظهر الإحصاءات أن احتمال وجود قنبلة على متن طائرة هو 1/1000. ومع ذلك ، فإن احتمال وجود قنبلتين في طائرة واحدة هو 1/1000000. لذا ، فأنا أكثر أمانًا."

توضيح: في حين أن هذا الإحصائي محق في أن الاحتمال المشترك لوجود قنبلتين على متن طائرة هو 1 / 1،000،000 ، فإن إحضاره لقنبلتين لا يغير الاحتمال السابق بأنه لا تزال هناك فرصة بنسبة 1/1000 لأن تكون رحلته هي الرحلة العشوائية قنبلة.

نكتة # 13

ماذا تحصل عندما تعبر بعوضة مع متسلق جبال؟

لا شئ. لا يمكنك عبور متجه وعددي.

توضيح: المتجه هو كيان رياضي له المقدار والاتجاه في أي عدد من الأبعاد. يمكنك أخذ حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين لتشكيل متجه جديد ، مشابه لضرب الأعداد الحقيقية.

العدد القياسي هو مجرد رقم حقيقي ، مقدار بلا اتجاه في الفضاء المتجه. لا يمكنك أن تأخذ حاصل ضرب عددي ومتجه.

وبالتالي ، لا يمكنك عبور بعوضة (ناقل مرض) ومتسلق جبال (عددي).


جامعة شمال إلينوي مسائل الرياضيات

الرياضيات مفيدة جدًا في الحياة اليومية. يمكن أن تساعدنا الرياضيات في القيام بالعديد من الأشياء المهمة في حياتنا اليومية. فيما يلي بعض المهام اليومية التي تعتبر الرياضيات مهمة لها:

  • إدارة الأموال $$
  • موازنة دفتر الشيكات
  • التسوق بأفضل الأسعار
  • تحضير الطعام
  • معرفة المسافة والوقت والتكلفة للسفر
  • فهم قروض السيارات والشاحنات والمنازل والمدارس أو أغراض أخرى
  • فهم الرياضة (كونك لاعبًا وإحصائيات الفريق)
  • عزف موسيقى
  • الخبز
  • تزيين المنزل
  • خياطة
  • البستنة وتنسيق الحدائق

يمكن للوالدين مساعدة المراهقين على ربط الرياضيات التي تعلموها في المدرسة وحياتهم اليومية. بصفتك أحد الوالدين ، يمكنك التحدث إلى ابنك المراهق حول كيفية استخدامك للرياضيات في حياتك اليومية. يمكنك أيضًا أن تسأل أفراد العائلة والأصدقاء عن كيفية استخدامهم للرياضيات في حياتهم اليومية. يرجى التحدث مع أبنائك المراهقين حول اتصالات الرياضيات هذه بالعالم الحقيقي. شارك مع طفلك أمثلة على تطبيقات الرياضيات اليومية المدرجة أدناه. عندما يسمع أبناؤك كيف يمكن استخدام الرياضيات كل يوم ، فمن المرجح أن ينظروا إلى الرياضيات على أنها مهمة وقيمة. قد يصبحون أيضًا أكثر اهتمامًا بالرياضيات. تذكر أنك بصفتك أحد الوالدين يمكن أن تؤثر بشكل كبير على طريقة تفكير طفلك في الرياضيات.

تقدم الشهادات المدرجة في هذا الموقع أمثلة موجزة عن كيفية استخدام الناس للرياضيات في حياتهم اليومية. يرجى مشاهدة هذه. يمكنك مشاركة المعلومات من مقاطع الفيديو هذه مع ابنك المراهق.

أمثلة على صلات الرياضيات بالحياة اليومية

إدارة الأموال

سيتعلم ابنك المراهق مهارات في فصل الجبر ستساعده في الحصول على المال. إحدى المهارات المهمة التي سيتعلمونها هي كيفية حساب الفائدة والفائدة المركبة. يمكن أن يستخدم ابنك المراهق هذه المهارة لإدارة أمواله الآن وعندما يكبر. ستساعدهم هذه المهارة أيضًا في اختيار أفضل حساب مصرفي. سيساعدهم أيضًا في تحديد بطاقة الائتمان الأفضل امتلاكها. يحتاج الأشخاص الذين يقترضون إلى فهم الفائدة. سيساعدهم أيضًا على اكتشاف أفضل الطرق لتوفير واستثمار الأموال.

رياضة ترفيهية

يمكن أن تساعد الهندسة وعلم المثلثات المراهقين الذين يرغبون في تحسين مهاراتهم في الرياضة. يمكن أن يساعدهم في العثور على أفضل طريقة لضرب الكرة أو صنع سلة أو الركض حول المسار. تساعد المعرفة الأساسية بالرياضيات أيضًا في تتبع النتائج الرياضية.

تزيين المنزل وإعادة البناء

حساب المناطق هو مهارة مهمة. سيكون مفيدًا لمراهقك في إعادة تصميم المنازل والشقق المستقبلية. سيساعد ابنك المراهق في العثور على كمية الطلاء التي يحتاج إلى شرائها عند إعادة طلاء الغرفة. إنها أيضًا مهارة مهمة لأي شخص يريد تركيب بلاط جديد في الحمام أو المطبخ. يمكن أن تساعد معرفة كيفية حساب المحيطات طفلك عند تحديد كمية الخشب التي يجب شراؤها لتقليم الأرضية أو السقف.

طبخ

يستخدم الناس المعرفة الرياضية عند الطهي. على سبيل المثال ، من الشائع جدًا استخدام نصف وصفة أو ضعفها. في هذه الحالة ، يستخدم الأشخاص النسب والنسب لإجراء حسابات صحيحة لكل مكون. إذا كانت الوصفة تتطلب ثلثي كوب دقيق ، فيجب على الطاهي أن يحسب مقدار نصف أو ضعف كوبين. ثم يجب أن يمثل الطباخ الكمية باستخدام المقاييس القياسية المستخدمة في الخبز ، مثل & # 188 كوب ، 1/3 كوب ، & # 189 كوب أو 1 كوب.

التسوق

سيستخدم ابنك المراهق الرياضيات عند شراء عناصر مختلفة. عند شراء جهاز كمبيوتر جديد ، سيحتاج طفلك إلى معرفة المتجر الذي يقدم أفضل سعر أو أفضل تمويل. الرياضيات مفيدة في العثور على أفضل صفقة للمواد الغذائية. على سبيل المثال ، سيحتاج ابنك المراهق إلى تحديد عبوة الصودا التي يجب شراؤها عند اختيار 20 أوقية أو 2 لتر أو 12 عبوة أو 24 عبوة. غالبًا ما تحتوي المتاجر على مبيعات تعطي نسبة مئوية من السعر الأصلي. من المفيد للأشخاص معرفة كيفية معرفة المدخرات. تعد مهارة الرياضيات هذه مفيدة للغاية لأنها تساعدنا في حساب الخصومات حتى نتمكن من شراء عنصر بأفضل سعر معروض.


ثم تأتي "الأعداد الصحيحة" وهي صفر ، والأعداد الطبيعية وسلبيات العناصر الطبيعية:

النوع التالي من الأعداد هو الأعداد "المنطقية" أو الكسرية ، والتي تعتبر تقنيًا نسبًا (أقسامًا) للأعداد الصحيحة. بمعنى آخر ، يتكون الكسر من خلال قسمة عدد صحيح على عدد صحيح آخر.

لاحظ أن كل نوع جديد من الأرقام يحتوي على النوع السابق بداخله. الأعداد هي مجرد القيم الطبيعية التي يتم طرح الصفر فيها. الأعداد الصحيحة هي فقط الأعداد الكاملة التي تحتوي على السلبيات. والكسور هي مجرد أعداد صحيحة مع كل أقسامها. (تذكر أنه يمكنك تحويل أي عدد صحيح إلى كسر عن طريق وضع على الرقم 1. على سبيل المثال ، العدد الصحيح 4 هو أيضًا الكسر.)

بمجرد أن تتعرف على الكسور ، يوجد تصنيف رئيسي آخر للأرقام: تلك التي لا يمكن كتابتها في صورة كسور. تذكر أن الكسور (المعروفة أيضًا بالأرقام المنطقية) يمكن كتابتها على أنها نهاية (إنهاء) أو تكرار الكسور العشرية ، على سبيل المثال ، 0.5 = و 0.76 = ، عبارة عن كسور عشرية نهائية ، بينما 0.333333. = و 0.538461538461. = يتم تكرار الكسور العشرية. من ناحية أخرى ، لدينا كل تلك الأرقام الأخرى التي يمكن كتابتها كأعداد عشرية غير متكررة وغير منتهية ، وهذه الأرقام غير منطقية (أي لا يمكن كتابتها ككسور) ، لذلك يطلق عليها "غير عقلانية" . من الأمثلة على ذلك ("الجذر التربيعي لاثنين") أو الرقم ("3.14159." ، من الهندسة). المبررات وغير المنطقية نوعان منفصلان تمامًا من الأرقام ولا يوجد تداخل.

إن وضع هذين التصنيفين الرئيسيين ، الأسس المنطقية وغير المنطقية ، معًا في مجموعة واحدة ، يمنحك الأرقام "الحقيقية". ما لم تكن قد تعاملت مع الأعداد المركبة (الأرقام التي تحتوي على " أنا "فيها ، مثل 4 & ndash 3أنا ) ، فكل رقم رأيته كان رقمًا "حقيقيًا". "ولكن لماذا" ، تسأل ، "هل تسمى أرقامًا" حقيقية "؟ هل هناك أرقام" تخيلية "؟" حسنًا ، نعم ، هناك بالفعل ، على الرغم من تسميتها فعليًا بالأرقام "الخيالية" ، إلا أنها ما يتم استخدامها لتكوين الأعداد المركبة ، و & quotimaginary & quot هو ما أنا " تمثل.

السؤال الأكثر شيوعًا الذي أسمعه بشأن أنواع الأرقام هو شيء على غرار "هل الرقم الحقيقي غير منطقي ، أم أن الرقم غير المنطقي حقيقي أم لا. أم كلاهما؟" ما لم تكن تعرف عن المجمعات ، فإن كل ما فعلته قد استخدم أرقامًا حقيقية. ما لم يكن الرقم يحتوي على " أنا "فيه ، إنه حقيقي.

فيما يلي بعض الأسئلة النموذجية من نوع الأرقام (بافتراض أنك لم تتعلم بعد عن التخيلات والمجمعات):

صواب أم خطأ: العدد الصحيح هو أيضًا عدد نسبي.

نظرًا لأنه يمكن تنسيق أي عدد صحيح على هيئة كسر بوضعه على 1 ، فإن هذه العبارة صحيحة.

صواب أم خطأ: الرقم المنطقي هو أيضًا عدد صحيح.

ليس بالضرورة أن يكون العدد الصحيح 4 عددًا منطقيًا ، ولكن ، على سبيل المثال ، الرقم المنطقي ليس أيضًا عددًا صحيحًا. إذن هذا البيان خاطئ.

صواب أو خطأ: الرقم هو إما رقم نسبي أو عدد غير نسبي ، ولكن ليس كلاهما.

حقيقي! في الشكل العشري ، يكون الرقم إما غير منتهي وغير مكرر (لذا فهو غير منطقي) أو أنه ليس كذلك (لذا فهو عقلاني) لا يوجد تداخل بين هذين النوعين من الأرقام!

صنف وفقًا لنوع الرقم ، قد تكون بعض الأرقام من أكثر من نوع واحد.

هذا رقم عشري نهائي ، لذا يمكن كتابته في صورة كسر:. نظرًا لأن هذا الكسر لا يتقلص إلى عدد صحيح ، فهو ليس عددًا صحيحًا أو عددًا طبيعيًا. وكل شيء حقيقي ، لذا فإن الجواب هو: عقلاني ، حقيقي

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

ربما تتعرف على هذا على أنه & pi ، على الرغم من أن هذا قد يكون منازل عشرية أكثر مما تستخدمه عادةً. ومع ذلك ، فإن النقطة هي أن العلامة العشرية لا تتكرر ، لذا فإن & pi هو عدد غير منطقي. وكل شيء (تعرفه حتى الآن) حقيقي ، لذا فإن الإجابة هي: غير منطقي ، حقيقي

3.14159

لا تدع هذا يخدعك! نعم ، غالبًا ما تستخدم شيئًا كهذا كتقريب لـ & pi ، لكنه ليس & pi! هذا تقريب عشري مستدير ، وبما أن هذا التقريب ينتهي ، فهذا في الواقع منطقي ، على عكس & pi نفسه ، وهو غير منطقي! الجواب: عقلاني ، حقيقي

من الواضح أن هذا رقم عد. هذا يعني أنه أيضًا عدد صحيح وعدد صحيح. اعتمادًا على النص والمعلم (هناك بعض التناقض) ، يمكن اعتبار هذا أيضًا عقلانيًا ، وهو كذلك من الناحية الفنية. وبالطبع إنه حقيقي أيضًا. الجواب: طبيعي ، كامل ، عدد صحيح ، عقلاني (ربما) ، حقيقي

هذا كسر ، لذا فهو جزء منطقي. إنها أيضًا حقيقية ، لذا فإن الإجابة هي: عقلاني ، حقيقي

يمكن كتابة هذا أيضًا كـ ، وهو نفس المشكلة السابقة. الجواب: عقلاني ، حقيقي

قد يكون الدافع الأول هو القول إن هذا غير منطقي ، لأنه جذر تربيعي ، لكن لاحظ أن هذا الجذر التربيعي يبسط: وهو مجرد عدد صحيح. الجواب: عدد صحيح ، عقلاني ، حقيقي

تم تحديد هذا الرقم على أنه كسر ، لكن لاحظ أنه يقلل إلى & ndash3 ، لذلك قد يتم اعتباره أيضًا عددًا صحيحًا. الجواب هو: عدد صحيح (ربما) ، منطقي ، حقيقي

باستثناء قسم في كتابك حيث يتعين عليك تصنيف الأرقام وفقًا للنوع ، فلن تحتاج حقًا إلى أن تكون على دراية بهذا التسلسل الهرمي. من المهم معرفة ما تعنيه المصطلحات عندما تسمعها. على سبيل المثال ، إذا تحدث معلمك عن "الأعداد الصحيحة" ، فيجب أن تعلم أن المصطلح يشير إلى أرقام العد وسلبياتها وصفر.


الرياضيات التنموية

للتثبيت في نظام إدارة التعلم (LMS) ، تم تطوير هذه الدورة للطلاب الذين يسعون جاهدين لتلبية المتطلبات الأساسية للالتحاق بالكلية. يخصص التقييم المسبق التكيفي مسار المتعلم من خلال مواضيع الحساب والجبر الابتدائي والمتوسط ​​والإحصاء والهندسة وعلم المثلثات.

نلقي نظرة فاحصة

نهج تربوي

وصف البرنامج

تم تصميم NROC Developmental Math ليتم استخدامها مع الطلاب الذين يسعون جاهدين لتلبية متطلبات الالتحاق بالكلية. يتيح هذا البرنامج متعدد الوسائط للمتعلمين إنشاء وتيرتهم ومسارهم من خلال الرياضيات التنموية.

قد يبدأ كل متعلم وحدة عن طريق إجراء تقييم مسبق تكيفي يوجههم إلى مسار مخصص من خلال المحتوى المطلوب لسد فجوات الكفاءة لديهم. يقدم البرنامج مقاطع فيديو وصوت ومحاكاة تفاعلية ومناهج تعليمية أخرى تستخدم مجموعة متنوعة من أنماط التعلم والمواقف.

يقدم هذا البرنامج ، الذي يتم تنظيمه موضعياً ، وحدات مرنة تتناول المفاهيم والمهارات التي يتم تدريسها في تسلسل الرياضيات التنموي التقليدي للحساب ، وبدء الجبر ، والجبر المتوسط. تماشياً مع اقتراح AMATYC لنهج رياضي تنموي جديد ، يتضمن هذا البرنامج موضوعات توفر مقدمة أساسية عالية المستوى للإحصاء والهندسة وعلم المثلثات.

مكونات الوسائط الغنية والمتنوعة

  • تسخين: سلسلة من المشاكل لتقييم المعرفة السابقة ، مما أدى إلى توصيات مخصصة للمراجعة.
  • عرض: عرض تقديمي غني بالوسائط يقدم مفهوم الموضوع مع أمثلة مصورة ونص اختياري مغلق [CC] باللغتين الإنجليزية والإسبانية.
  • أمثلة عملية: عرض مُروَى ، خطوة بخطوة لإجراءات حل المشكلات.
  • مشاكل الممارسة: المشكلات الرمزية والكلامية المصممة في مجموعات قابلة للتكيف ، مما يوفر للطلاب الممارسة والتغذية الراجعة.
  • نص الموضوع: يوفر الكتاب المدرسي المتكامل تغطية شاملة لكل مفهوم تعليمي ضمن كل موضوع ، وهو متوفر باللغتين الإنجليزية والإسبانية.
  • إعادة النظر: اختبار ذاتي للفهم قبل الانتقال إلى الموضوع التالي.
  • مشروع: الواجبات التعاونية في تقليد التعلم القائم على المشاريع التي تستخدم مشاكل العالم الحقيقي.
  • محاكاة المعلم: يوفر نشاط الوحدة التراكمي للطلاب إرشادات موجهة في حل مشكلة تطبيق متعددة الأوجه في العالم الحقيقي.
  • الموضوع / تقييمات الوحدة: التقييمات التكوينية والختامية المصممة لتوجيه تقدم المتعلم.
  • التقييمات المسبقة: يحدد التشخيص الاختياري إتقان المتعلم لمفاهيم معينة ، مما يؤدي إلى مسار مخصص عبر كل وحدة

إمكانية الوصول

النموذج التطوعي لإمكانية الوصول إلى المنتج (VPAT) هو مستند يقيم مدى إمكانية الوصول إلى منتج معين وفقًا لمعايير القسم 508. إنه مستند إفصاح ذاتي تم إنتاجه بواسطة البائع يوضح بالتفصيل كل جانب من جوانب متطلبات القسم 508 وكيف يدعم المنتج كل معيار.


شاهد الفيديو: طريقة رائعة وذكية لـ ضرب الأعداد بسرعة و بكل سهولة - جدول الضرب! (شهر نوفمبر 2021).