مقالات

3.1E: تمارين - حل النظم بالجبر - الرياضيات


حل المشاكل التالية.

1) حدد ما إذا كان (0 ، 5) هو حل للنظام.

6 س - 2 ص = -10

3 س + ص = 8

2) حدد ما إذا كان (-3، 2) حل للنظام.

-4 س - 3 ص = 6

2 س + 5 ص = 4

3) حل هذا النظام باستخدام الرسوم البيانية.

ص = 3 س + 4

ص = 5 س - 2

4) حل هذا النظام باستخدام الرسوم البيانية.

س - 2 ص = -6

ص = -2 س - 7

5) حل هذا النظام باستخدام التعويض.

ص = 3 س - 1

2 س + ص = 4

6) حل هذا النظام باستخدام التعويض.

2 س + ص = 9

3 س - 2 ص = -4

7) حل هذا النظام باستخدام الحذف عن طريق الجمع.

3 س - 7 ص = -1

2 س + 7 ص = -24

8) حل هذا النظام باستخدام الحذف عن طريق الجمع.

2 س - 3 ص = 4

3 س - 4 ص = 5

9) منحنيات العرض والطلب لمنتج ما هي: العرض y = 2000x - 6500
الطلب y = - 1000x + 28000 ،
حيث x هو السعر و y هو عدد العناصر. بأي سعر سيتم توفير طلب متساوٍ وكم عدد العناصر التي سيتم إنتاجها بهذا السعر؟

10) منحنيات العرض والطلب لمنتج ما
توريد y = 300x - 18000 و
الطلب y = - 100x + 14000 ،
حيث x هو السعر و y هو عدد العناصر. بأي سعر سوف يقدم طلبًا متساويًا ، وكم عدد العناصر التي سيتم إنتاجها بهذا السعر؟

11) تقدم شركة تأجير السيارات خطتين للتأجير في اتجاه واحد.
تتقاضى الخطة الأولى 36 دولارًا في اليوم و 17 سنتًا لكل ميل. تتقاضى الخطة الثانية 24 دولارًا في اليوم و 25 سنتًا لكل ميل.

  1. إذا كنت ستقود 300 ميل في اليوم ، فما الخطة الأفضل؟
  2. ما المسافة المقطوعة كلا المعدلين متساويين؟

12) منحنى الطلب على منتج ما هو عدد العناصر التي سيشتريها المستهلك بأسعار مختلفة. بسعر 2 دولار ، يمكن لمتجر بيع 2400 نوع معين من شاحنات اللعب. بسعر 8 دولارات ، يمكن للمتجر بيع 600 شاحنة من هذا القبيل. إذا كان x يمثل سعر الشاحنات و y عدد العناصر المباعة ، فاكتب معادلة لمنحنى الطلب.

13) منحنى العرض لمنتج ما هو عدد العناصر التي يمكن إتاحتها بأسعار مختلفة. يمكن لمصنِّع شاحنات اللعب توفير 2000 شاحنة إذا تم بيعها مقابل 8 دولارات لكل منها ؛ يمكنها توفير 400 شاحنة فقط إذا تم بيعها مقابل 4 دولارات لكل منها. إذا كان x هو السعر و y عدد العناصر ، فاكتب معادلة لمنحنى العرض.

14) سعر التوازن هو السعر الذي يتساوى فيه العرض مع الطلب. من منحنيات العرض والطلب التي تم الحصول عليها في المشكلتين السابقتين ، أوجد سعر التوازن ، وحدد عدد العناصر التي يمكن بيعها بهذا السعر.

15) نقطة التعادل هي نقطة تقاطع دالة التكلفة ودالة الإيرادات ، أي حيث تساوي التكلفة الإجمالية الإيرادات والربح صفر. يتم توفير تكلفة وإيرادات متجر السيدة جونز لملفات تعريف الارتباط ، بالدولار ، لعدد x من ملفات تعريف الارتباط بواسطة C = .05x + 3000 و R = .80x. ابحث عن عدد ملفات تعريف الارتباط التي يجب بيعها لتحقيق التعادل.

16) يتم تحديد إيرادات الشركة وتكلفتها بالدولار من خلال R = 225x و C = 75x + 6000 ، حيث x هو عدد العناصر. ابحث عن عدد العناصر التي يجب إنتاجها لتحقيق التعادل.

17) الشركة المنتجة للجوارب لها تكلفة ثابتة تبلغ
20000 دولار وتكلفة متغيرة 2 دولار لكل زوج من الجوارب. دع x = عدد أزواج الجوارب. ابحث عن نقطة التعادل إذا بيعت الجوارب بسعر 4.50 دولار لكل زوج.

18) تخطط Whackemhard Sports لإدخال خط جديد من مضارب التنس. التكاليف الثابتة للخط الجديد 25000 دولار والتكلفة المتغيرة لإنتاج كل مضرب 60 دولارًا.
x هو عدد المضارب ؛ y بالدولار.
إذا بيع المضرب بمبلغ 80 دولارًا ، فكم عدد المضارب التي يجب بيعها من أجل تحقيق التعادل؟

19) تكلف 1200 دولار لإنتاج 50 رطلاً من مادة كيميائية وتكلف 2200 دولار لإنتاج 150 رطلاً. تباع المادة الكيميائية مقابل 15 دولارًا للرطل
x هي كمية المادة الكيميائية ؛ y بالدولار.

  1. ابحث عن دالة التكلفة.
  2. ما هي التكلفة الثابتة؟
  3. كم جنيه يجب بيعها لتحقيق التعادل؟
  4. أوجد التكلفة والعائد عند نقطة التعادل.

3.1E: تمارين - حل النظم بالجبر - الرياضيات

فيما يلي بعض الأنشطة في الجبر.
العناصر المميزة بعلامات هي مساهمات المشاركين في صيف 2000.

محتويات هذه الصفحة
مشكلة الموقف الممتلئ
نشاط مثلث باسكال
رسم الأرقام غير النسبية
فتح الصندوق البناء
المستوى الإحداثي
مطابقة الخاصية

الغرض من هذه المشكلة هو التحقيق في عملية التفكير في إجراء الرياضيات واستكشاف مشكلة بعدة طرق. هيا نبدأ!

ساحة انتظار كاملة: جميع أماكن وقوف السيارات العشرين في موقف السيارات المفضل لدي ممتلئة. بعضها مشغول بالدراجات النارية والبعض الآخر بالسيارات. بعض الناس يعدون إلى 10 عندما يغضبون ، لكن ذلك لم يكن كافياً. لقد عدت العجلات - 66 على وجه الدقة. كم عدد السيارات وكم عدد الدراجات النارية التي غزت أرضي؟

يمكنك حل هذه المشكلة ، مع الأخذ في الاعتبار أن هناك أكثر من نهج واحد. أسئلة مثل مشكلة ساحة الانتظار مثيرة جدًا لعلماء الرياضيات لأن هناك العديد من الاستراتيجيات المختلفة جدًا التي تؤدي إلى حل. ربما تم استخدام الاستراتيجيات التالية لحل مشكلة معينة.

خمن واختبر: خمن الحل واختبر ما إذا كانت الإجابة تتطابق مع جميع الشروط.

ما هي الافتراضات التي تضعها حول عدد العجلات؟ ماذا تعرف عن عدد المركبات؟ خمن! اختبر الآن حلك المحتمل. إذا خمنت 10 سيارات و 10 دراجات نارية واختبرت هذه القيم ، فقد كتبت (10 × 4) + (10 × 2) = 40 + 20 = 60 عجلة. هذه القيمة منخفضة جدًا لذا يجب أن يكون هناك المزيد من السيارات.

إذا كان هناك 12 سيارة و 8 دراجات نارية ، نحصل على (12 × 4) + (8 × 2) = 48 + 16 = 64 عجلة.

إذا اختبرنا 13 سيارة و 7 دراجات نارية ، نحصل على الحل الصحيح: (13 × 4) + (7 × 2) = 66 عجلة.

ارسم صورة: هل يمكنك تخيل موقف السيارات؟ ليس عليك رسم المركبات ، فقط العجلات.

ليس عليك أن تكون فنانًا لتتمكن من توضيح أماكن وقوف السيارات والعجلات. يمكنك استخدام حقيقة أن هناك 20 مركبة والتركيز على عدد العجلات.

ضع عجلتين في كل مساحة.

ضع اثنتين إضافيتين في كل مساحة بقدر ما تستطيع ، حتى تصل إلى 66 عجلة.

لا يمثل هذا الرسم البياني الأخير المشكلة بصريًا فحسب ، بل يعرض أيضًا إجابة 13 سيارة و 7 دراجات نارية.

لاحظ المنطق المستخدم - نظرًا لأن كل مساحة كانت مشغولة ، كانت هناك عجلتان على الأقل في كل مكان. هذا يستهلك 40 عجلة. ثم يستمر إضافة 2 إلى كل مساحة حتى يتم الوصول إلى 66 (عدد العجلات).

إذا رسمت 80 عجلة في البداية ، فستحتاج إلى طرح أزواج من العجلات في كل مساحة حتى تصل إلى 66 عجلة.

اكتب معادلة: استخدم إما عدد السيارات أو عدد الدراجات النارية كمتغير لكتابة معادلة تمثل المشكلة.

لكتابة معادلة ، نحتاج إلى متغير. لنبدأ بالنظر إلى جدول لإعطائنا فهمًا أفضل لكيفية تغير الكميات. قد نتمكن أيضًا من رؤية نمط يساعدنا في اختيار ما يجب أن يمثله المتغير.

افحص المعلومات الواردة في الجدول. في عمود Car Wheels ، يبقى الرقم 4 كما هو. لماذا ا؟ لاحظ أن 4 مضروب في رقم مختلف في كل مرة - عدد السيارات في ذلك الصف. انظر إلى الأعمدة والصفوف الأخرى. هل ترى أنماطًا بعد الآن؟ هل الرقم نفسه مستخدم في أكثر من عمود؟

إذا كان الحرف C يمثل عدد السيارات ، فأكمل التعبير الجبري الذي يصف كل عمود.

يمكننا أن نرى أنه نظرًا لوجود 20 مركبة ، إذا كان هناك 10 سيارات ، فسيكون هناك 10 دراجات نارية. إذا كان هناك 12 سيارة ، فسيكون هناك 20-12 ، أو 8 دراجات نارية. وبالتالي إذا كان C هو عدد السيارات ، فإن 20 - C هو عدد الدراجات النارية.

تتم كتابة المعادلة باستخدام عدد العجلات: 4 (ج) + 2 (20 - ج) = 66

يؤدي حل المعادلة إلى حل 13. إذن هناك 13 سيارة و 7 دراجات نارية.

اكتب نظام المعادلات: استخدم عدد السيارات كمتغير واحد وعدد الدراجات النارية كمتغير ثان. اكتب معادلتين تمثلان العلاقات بين عدد السيارات وعدد الدراجات النارية.

في بعض الأحيان يكون من الأسهل وجود متغير لكل كمية غير معروفة. انظر إلى الجدول التالي وابحث مرة أخرى عن الأنماط وأنت تنتقل من عمود إلى عمود ومن صف إلى صف.

إذا تركنا C يمثل عدد السيارات و M يمثل عدد الدراجات النارية ، فيمكننا الوصول إلى معادلتين.

هناك عدة طرق يمكن من خلالها حل هذه المعادلات ، بما في ذلك الاستبدال والحذف والرسوم البيانية واستخدام المصفوفات واستخدام المحددات. بغض النظر عن استراتيجية حل المشكلات التي تستخدمها ، من المهم فهم موقف المشكلة وتنظيم المعلومات لحل المشكلات بنجاح.

كان بليز باسكال عالم رياضيات فرنسيًا ولد عام 1623 وتوفي عام 1662. أمضى وقتًا في استكشاف مثلث حسابي نقله علماء الرياضيات الصينيون قبل عدة قرون. اكتشف بليز العديد من الخصائص الجديدة للمثلث واستخدمه لحل المشكلات التي أصبح يعرف بها المثلث باسم "مثلث باسكال".

أكمل الصف الثالث التالي من مثلث باسكال.

لاحظ باسكال أن الأرقام في هذا المثلث هي بالضبط نفس الأرقام التي تحدث كمعامِلات في التوسع ذي الحدين (x + y) ن .

(س + ص) 0 = 1
(س + ص) 1 = س + ص
(س + ص) 2 = س 2 + 2 س ص + ص 2
(س + ص) 3 = س 3 + 3 س 2 ص + 3 س ص 2 + ص 3

أوجد التوسع ذي الحدين.

انشر المجموع ذي الحدين (x + 2) 3.

المعاملات ذات الحدين في الصف 3 لمثلث باسكال هي 1 ، 3 ، 3 ، 1. لاحظ أن الرقم العلوي للمثلث هو الصف 0. التوسع على النحو التالي.

(س + 2) 3 = (1) × 3 + (3) × 2 (2) + (3) × (2 2) + (1) (2 3)
= x 3 + 6x 2 + 12x + 8

أوجد التوسع ذي الحدين.

قم بتوسيع الفرق ذي الحدين (3 س - ص) 4

المعاملات ذات الحدين في الصف 4 من مثلث باسكال هي 1 ، 4 ، 6 ، 4 ، 1. التوسع على النحو التالي.

(3x - ص) 4 = (1) (3x) 4 + (4) (3x) 3 (-y) + (6) (3x) 2 (-y) 2 + (4) (3x) (- ص) 3 + (1) (- ص) 4
= 81 س 4-108 س 3 ص + 54 س 2 ص 2-12 س ص 3 + س ص 4

أوجد التوسع ذي الحدين.

بمساهمة أودري سمالي

  • بوصلة
  • تقويم
  1. ارسم خط الأعداد. عند 3 ، قم ببناء قطعة مستقيمة عمودية بطول وحدة واحدة. ارسم قطعة الخط من 0 على خط الأعداد إلى النقطة بمقدار وحدة واحدة لأعلى على الخط العمودي بالألوان. قم بتسمية ذلك ج.
  2. باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكنك إظهار أن طول الوتر يساوي sqr (10) وحدات.
    ص 2 = أ 2 + ب 2
    ص 2 = 12 + 32
    ص 2 = 10
    ج = sqr (10)
  3. افتح البوصلة على طول القطعة التي رسمتها بالألوان. برأس البوصلة عند 0 ، ارسم قوسًا يتقاطع مع خط الأعداد عند B. المسافة من 0 إلى B تساوي 10 وحدات مربعة.

هذا نشاط يمكن استخدامه في معظم مستويات منهج الرياضيات في المدرسة الإعدادية / الثانوية. إنه نشاط عملي يتضمن مهارات الرياضيات المكتسبة على مختلف المستويات ويشجع على استخدام التكنولوجيا. كما أنه بمثابة وسيلة لتوليد بعض الإحصائيات للدراسة.

وصف المشكلة:
يرغب مُصنِّع الصناديق في صنع صناديق مفتوحة القمة عن طريق قطع مربعات متساوية من زوايا ورقة مستطيلة من الورق المقوى ثم تقليب الجوانب. ما حجم المربعات التي يجب قطعها من الزوايا لإعطاء الأحجام المطلوبة.

المواد المطلوبة:
ورق مقوى (بنفس الحجم) ، مقص ، مسطرة ، شريط سكوتش

  1. ناقش العملية.
  2. ناقش حدود حجم المربع.
  3. قم بعمل جدول فارغ (مخطط T) على السبورة أو فوقها حيث سيسجل الطلاب بياناتهم.
  4. يختار كل طالب حجمًا فريدًا للمربع لقصه وتسجيله على الرسم البياني.
  5. أشر إلى أن المربعات المقطوعة سيتم حفظها لمزيد من الدراسة الممكنة.
  1. أي مربع يحتوي على أكبر / أقل حجم؟
  2. أي مربع يتضمن أكثر / أقل هدرًا؟
  3. ما الذي يحدد مقدار الحجم؟
  4. هل يوجد أكثر من صندوق بنفس الحجم؟ توضيح.
  5. هل يمكن رسم العلاقة بين حجم وحجم المربع كما هو موضح في الجدول على مستوى الإحداثي؟
  6. كيف سيبدو الرسم البياني إذا قمت بتوصيل النقاط من اليسار إلى اليمين؟
  7. هل هذه دالة بالتعريف؟
  8. ما هو البعد الموجود على الصندوق الذي يحدد الحجم؟
  9. اكتب دالة للحجم بدلالة طول ضلع المربع. (قم بتضمين القيود المفروضة على حجم المربع).
  10. هل يمكنك تحديد حجم حجم مربع معين من الرسم البياني؟ من الوظيفة؟ توضيح.
  11. بالنظر إلى حجم معين ، هل يمكنك تحديد حجم المربع المراد قطعه من الرسم البياني؟ من الوظيفة؟ توضيح.
  12. إذا قمت بالفعل برسم الوظيفة ، بدون قيود ، على آلة حاسبة بيانية أو كمبيوتر ، فكيف يمكن مقارنة الرسم البياني بتلك الموجودة في الجدول مع القيود المرفقة؟ توضيح.
  13. هل ستكون هناك وظيفة منطقة لمواد النفايات؟ يمتد.
  14. ما الملاحظات التي يمكن إجراؤها إذا كانت الرسوم البيانية لوظيفة المساحة ووظيفة الحجم موضوعة فوق بعضها البعض؟

بمساهمة من رودني س. كارجالا

عادة ما يكون النشاط المختار لصف ما قبل الجبر أو الجبر الأول. ومع ذلك ، اعتمادًا على منهج منطقة المدرسة ، يمكن استخدامه على مستوى أدنى. سيتم استخدامه عند تقديم الرسوم البيانية على مستوى الإحداثيات. سيحدد النشاط بشكل أفضل كيفية ظهور المستوى الإحداثي.

نشاط:
اطلب من الطلاب الدخول في أزواج مع ظهورهم لبعضهم البعض. (ربما يحتاج الطلاب إلى تعيينهم من قبل المعلم). امنح طالبًا من كل زوج ورقة من الورق العادي عليها نقطة أو ملصق أو علامة ما. امنح الطالب الآخر من الزوج ورقة عادية. اطلب من أحد الطلاب أن يصف للطالب الآخر موقع العلامة أو النقطة أو الملصق بينما يحاول الطالب الثاني وضع علامة X على الموقع على الورقة العادية من الوصف المقدم. كرر النشاط مع الطالب الآخر الذي يقوم بالوصف.

عند الانتهاء ، ناقش مدى سهولة أو صعوبة المهمة. أشر إلى أن طريقة القيام بهذا النشاط بمزيد من النجاح والدقة تم تطويرها بواسطة رينيه ديكارت ، عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي الذي عاش من 1596 إلى 1650. تقول القصة أنه ذات مرة ، بينما كان مريضًا في السرير ، لاحظ ذبابة على السقف. لقد توصل إليه أنه يجب أن تكون هناك طريقة لوصف موقع الذبابة بدقة لشخص آخر ، مثل ممرضته. من المفترض ، من هذا الفكر ، أنه طور مستوى الإحداثيات الديكارتية مع إحداثيات لتحديد الموقع الدقيق للنقاط على متن الطائرة.

يناقش المستوى الإحداثي والمفردات المرتبطة به. تأكد من الإشارة إلى معنى الأصل ، والخطوط المتقاطعة ، والاتجاهات الإيجابية / السلبية ، والترتيب ، والأزواج المرتبة ، والإحداثيات ، والإحداثيات ، والرسم البياني ، إلخ.

اجمع كل الأوراق التي عليها الملصقات أو العلامات وقم بخلطها وإعادة توزيعها. امنح كل طالب أيضًا ورقة ، أو شفافية ، مع وجود الطائرة الديكارتية عليها حتى يتمكنوا من وضعها على ورقتهم. كرر النشاط واطلب من الطلاب تحديد الموقع الدقيق.

يمكن أن تتبع الأنشطة الأخرى مثل ربط النقاط ، ورسم بعض الإحصائيات ، وإيجاد الطلاب لأمثلة خاصة بهم ، والخرائط ، وإحضار المعلم للأمثلة ذات الصلة ، وما إلى ذلك. الأمل هو أن يجعل النشاط الطلاب يدركون أهمية الشيء الذي كان موجودًا من أجل وقت طويل جدًا ومقدار استخدامه. يرى المرء أمثلة مثل النمو السكاني ، وتقلب سوق الأوراق المالية ، وأسعار الزراعة ، وتغيرات أسعار الفائدة ، وتكلفة التعليم الجامعي ، وما إلى ذلك. هذا النشاط سيكون بمثابة أساس لفهم أفضل للمفاهيم في دورات الرياضيات المستقبلية.

بمساهمة من رودني س. كارجالا

موضوعي: لدعم ومراجعة تعلم الطلاب للخصائص الحسابية الأساسية

قد تشمل الخصائص:
حيادي الجمعأ + 0 = 0 + أ = أ
الهوية المضاعفةأ 1 = 1 أ = أ
خاصية الضرب للصفرa0 = 0a = 0
خصائص أخرى: معكوس مضاعف ، الملكية الانعكاسية للمساواة ، الملكية المتماثلة للمساواة ، الملكية الانتقالية للمساواة ، الملكية البديلة للمساواة ، الملكية التوزيعية (الضرب على الإضافة والإفراط في الطرح) ، الملكية التبادلية ، الملكية النقابية

مستوى:
الرياضيات العامة وما قبل الجبر والجبر 1

المواد:
بالنسبة للجدران (أو المحطات): لافتة واحدة لكل عقار مغطى ، مع إدراج اسم العقار وإظهار الخاصية في تدوين رمزي.

للطلاب: سيحتاج كل طالب أو زوج إلى قائمة تحتوي على مثال رقمي واحد لتوضيح كل خاصية. لتجنب اتباع الطلاب لبعضهم البعض في جميع أنحاء الغرفة ، يمكن إعداد هذه القوائم وتقطيعها إلى شرائح فردية من الورق ، كل منها يحتوي على مثال واحد. يمكن تجميع هذه الشرائط وتدبيسها مسبقًا ، مع تغيير الترتيب في كل حزمة بحيث لا يتطابق الطلاب الذين لديهم نفس الخاصية في شريط واحد مرة أخرى في الشريط التالي. يجب على الطلاب أيضًا حمل أقلام رصاص لتسمية كل شريط حيث تم العثور على اسم الخاصية الصحيح.

ملاحظات تاريخية:
يُنسب وصف الملكية الترابطية إلى السير ويليام روان هاملتون ، عالم الرياضيات الأيرلندي الذي عاش من عام 1805 إلى عام 1865. وقد تم تضمينه في ورقة نُشرت عام 1848. تضمنت تلك الورقة عملاً من عام 1843 إلى عام 1847 ، ويُعتقد أن هاملتون أدرك أهمية قانون الجمعيات أثناء العمل على أوكتافات Graves في عام 1844.

وصف عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا جوزيف سيرفوا ، الذي عاش من 1768 إلى 1847 ، الخصائص التبادلية والتوزيعية. وصفت مذكراته ، التي نُشرت عام 1814 ، التوزيع على الإضافة والتبديل من أجل الضرب.

من غير الواضح متى أصبحت الخصائص الأخرى التي نأخذها كأمر مسلم به أو كحقيقة مقبولة بشكل مشترك. ومع ذلك ، فإن مناقشة التاريخ الحديث نسبيًا لإضفاء الطابع الرسمي على هذه الخصائص يمكن أن تدفع الطلاب إلى فهم أفضل للطبيعة المتزايدة والمتغيرة للرياضيات. الخصائص التي قد تبدو الآن واضحة أو حقيقية لم يتم افتراضها دائمًا. وفقًا لذلك ، قد تصبح الموضوعات التي قد تبدو محيرة لطلابك الآن هي معلوماتهم الأساسية المفترضة في وقت قصير.

يثبت:
قم بإعداد مواد الطالب كما هو موضح أعلاه. ضع لافتات الملكية في أماكن مرئية حول الغرفة. سيحتاج الطلاب إلى الانتقال إلى كل علامة. يمكن للطلاب العمل بشكل فردي أو تكليفهم بالعمل في أزواج. يجب أن يحصل كل طالب أو زوج على حزمة واحدة من شرائط الملكية قبل البدء.

نشاط:
يجب أن يبدأ الطلاب من مكاتبهم. ثم عندما يقول المعلم "ابدأ" ، يجد كل طالب العلامة المقابلة للمثال الموجود على شريط الملكية الأول الخاص به ، ويذهب إلى تلك العلامة. يمكن للطلاب مقارنة الشرائط عند وصولهم ، للتأكد من أن كل طالب عند علامته ينتمي هناك. يمكن للطلاب كتابة اسم الخاصية الصحيح على الشريط الأول. يجب أن يكون المعلم مستعدًا للتوسط في حالة الخلاف. إذا كان هناك أحد المساعدين في الغرفة ، فقد يقوم هذا الشخص بالتعميم للتحقق من استجابات الطلاب.

بعد ذلك ، يمكن للمدرس أن يقول ، موافق ، انتقل إلى الشريط التالي. جاهز وتحرك. يتكرر الإجراء حتى يتعرف كل طالب على مثال لكل خاصية.

مناقشة:
ناقش الخصائص التي كانت صعبة ، والتي تم الخلط بينها وبين بعضها البعض ، ولماذا. تحقق من أن جميع الطلاب حصلوا على تصنيف صحيح لجميع الخصائص. قد تعمل شرائط الخصائص هذه كدليل دراسة ، أو كأداة مساعدة للاختبار.

    قم بإعداد محطات العمل مع كل علامة خاصية. ثم بعد أن يحدد الطلاب الخاصية الصحيحة ، سيكون لديهم عدد صغير (4-6) من المشكلات المتعلقة بهذه الخاصية لإكمالها. يمكن تحضير هذه المشكلات مسبقًا ، ونسخها على نصف ورقة ، وتكديسها في كل محطة.


3.1E: تمارين - حل النظم بالجبر - الرياضيات

فيما يلي مجموعة من مشاكل الممارسة لفصل أنظمة المعادلات في ملاحظات الجبر.

  1. إذا كنت ترغب في الحصول على مستند بتنسيق pdf يحتوي على الحلول ، فإن علامة التبويب "تنزيل" أعلاه تحتوي على روابط لملفات pdf تحتوي على حلول للكتاب والفصل والقسم بالكامل. في الوقت الحالي ، لا أعرض ملفات pdf للحصول على حلول للمشكلات الفردية.
  2. إذا كنت ترغب في عرض الحلول على الويب ، فانتقل إلى صفحة الويب الخاصة بمجموعة المشكلات ، وانقر فوق ارتباط الحل لأي مشكلة وسيأخذك إلى حل هذه المشكلة.

لاحظ أن بعض الأقسام ستواجه مشاكل أكثر من غيرها وبعضها سيواجه أكثر أو أقل من مجموعة متنوعة من المشاكل. يجب أن تحتوي معظم الأقسام على مجموعة من مستويات الصعوبة في المشكلات على الرغم من أن هذا سيختلف من قسم إلى آخر.

فيما يلي قائمة بجميع الأقسام التي تمت كتابة مشاكل الممارسة الخاصة بها بالإضافة إلى وصف موجز للمادة التي تمت تغطيتها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم المحدد.

الأنظمة الخطية ذات المتغيرين - في هذا القسم سنحل أنظمة من معادلتين ومتغيرين. سنستخدم طريقة الاستبدال وطريقة الحذف لحل الأنظمة في هذا القسم. سنقدم أيضًا مفاهيم أنظمة المعادلات غير المتسقة وأنظمة المعادلات التابعة.

الأنظمة الخطية ذات المتغيرات الثلاثة - في هذا القسم سنعمل على بعض الأمثلة السريعة التي توضح كيفية استخدام طريقة الاستبدال وطريقة الحذف المقدمة في القسم السابق لأنها تنطبق على أنظمة من ثلاث معادلات.

المصفوفات المعززة - في هذا القسم سنلقي نظرة على طريقة أخرى لحل الأنظمة. سوف نقدم مفهوم المصفوفة المعززة. سيسمح لنا ذلك باستخدام طريقة حذف Gauss-Jordan لحل أنظمة المعادلات. سنستخدم الطريقة مع أنظمة من معادلتين وأنظمة من ثلاث معادلات.

المزيد عن المصفوفة المعززة - في هذا القسم سوف نعيد النظر في حالات الحلول غير المتسقة والتابعة للأنظمة وكيفية التعرف عليها باستخدام طريقة المصفوفة المعززة.


أوراق عمل الرياضيات للصف التاسع

هل تبحث عن أوراق عمل وأنشطة الرياضيات للصف التاسع القابلة للطباعة مجانًا لمساعدة الطالب على الاستعداد لدورة الرياضيات للصف التاسع؟

هل تريد قياس معرفة طالب الصف التاسع & # 8217s بمفاهيم الرياضيات وتقييم استعدادهم للامتحان؟ إذا كان الأمر كذلك، ثم ننظر إلى أبعد. فيما يلي مجموعة شاملة من أوراق عمل الرياضيات للصف التاسع المجانية القابلة للطباعة والتي من شأنها أن تساعد الطلاب في إعداد وممارسة الرياضيات للصف التاسع.

قم بتنزيل أوراق عمل الرياضيات المجانية للصف التاسع في الرياضيات.

هام: شروط حقوق الطبع والنشر: لا يجوز تحميل أوراق العمل على الإنترنت بأي شكل ، بما في ذلك الفصول الدراسية / مواقع الويب الشخصية أو محركات أقراص الشبكة. يمكنك تنزيل أوراق العمل وطباعتها بقدر ما تحتاج. لديك إذن لتوزيع النسخ المطبوعة على الطلاب والمعلمين والمعلمين والأصدقاء.

ليس لديك إذن بإرسال أوراق العمل هذه إلى أي شخص بأي شكل من الأشكال (عبر البريد الإلكتروني أو الرسائل النصية أو طرق أخرى). يجب عليهم تنزيل أوراق العمل بأنفسهم. يمكنك إرسال عنوان هذه الصفحة إلى الطلاب والمعلمين والأصدقاء ، إلخ.


الرياضيات التوضيحية للصف الثامن ، الوحدة الرابعة ، الدرس 13: حل أنظمة المعادلات

يوضح الرسم البياني التالي كيفية حل أنظمة المعادلات باستخدام الجبر.

الدرس 13.1 صواب أم خطأ: سطرين

استخدم السطور لتقرر ما إذا كانت كل جملة صحيحة أم خطأ. كن مستعدًا لشرح أسبابك باستخدام السطور.

  1. حل 8 = -x + 10 هو 2.
  2. حل العدد 2 = 2 س + 4 هو 8.
  3. الحل لـ -x + 10 = 2x + 4 هو 8.
  4. الحل لـ -x + 10 = 2x + 4 هو 2.
  5. لا توجد قيم x و y تجعل y = -x + 10 و y = 2x + 4 صحيحًا في نفس الوقت.

الدرس 13.2 مطابقة الرسوم البيانية مع الأنظمة

فيما يلي ثلاثة أنظمة معادلات مرسومة على مستوى إحداثيات:

  1. طابق كل رقم بأحد أنظمة المعادلات الموضحة هنا.
  2. ابحث عن الحل لكل نظام ثم تحقق من أن الحل الخاص بك معقول على الرسم البياني.
  • لاحظ أن المنزلقات تحدد قيم المعامل والحد الثابت في كل معادلة.
  • قم بتغيير المنزلقات إلى قيم المعامل والحد الثابت في زوج المعادلات التالي.
  • انقر فوق المكان الذي تتقاطع فيه الخطوط ويجب أن تظهر نقطة معنونة. افتح التطبيق الصغير

الدرس 13.3 أكوام الأكواب

سيعطيك معلمك صفحة بها 6 أنظمة من المعادلات.

  1. ارسم كل نظام من المعادلات بكتابة كل زوج من المعادلات في التطبيق الصغير ، واحدًا تلو الآخر.
  2. صف كيف يبدو الرسم البياني لنظام المعادلات عندما يكون كذلك. . .
    أ. 1 حل
    ب. 0 حل
    ج. عدد لا نهائي من الحلول
    افتح التطبيق الصغير
    استخدم التطبيق الصغير لتأكيد إجابتك على السؤال 2.

هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

الفأس + بمقدار - 15 = الفأس - بمقدار - 9
2 أ + ب - 15 = 2 أ - ب - 9
2 ب = 6
ب = 2

الدرس 13 مشاكل الممارسة

  1. أ. اكتب معادلات للخطوط المعروضة.
    ب. صف كيفية إيجاد الحل للنظام المقابل بالنظر إلى الرسم البياني.
    ج. صف كيفية إيجاد حل النظام المقابل باستخدام المعادلات.
  2. حل جملة المعادلات هو (5 ، -19). اختر معادلتين قد تكونا النظام.
  3. حل نظام المعادلات:
    ص = 4x - 3
    ص = -2 س + 9
  4. حل نظام المعادلات:
    ص = 5/4 س - 2
    ص = -1/4 س + 19
  5. هنا معادلة:
    أ. حل المعادلة باستخدام خاصية التوزيع أولًا.
    ب. حل المعادلة بدون استخدام خاصية التوزيع.
    ج. تحقق من الحل الخاص بك.

يمكن تنزيل منهج الرياضيات من Open Up Resources مجانًا من موقع Open Up Resources على الويب ومتاح أيضًا من Illustrative Mathematics.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


3.1E: تمارين - حل النظم بالجبر - الرياضيات

سيكون هذا قسمًا قصيرًا إلى حد ما بمعنى أنه سيتألف فقط من بضعة أمثلة لتوضيح كيفية أخذ الطرق من القسم السابق واستخدامها لحل نظام خطي بثلاث معادلات وثلاثة متغيرات.

لذا ، فلنبدأ بمثال.

سنحاول إيجاد قيم (x ) و (y ) و (z ) التي ستلبي جميع المعادلات الثلاثة في نفس الوقت. سنستخدم الحذف لإزالة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات واثنين من المتغيرات من معادلة أخرى. سيكون سبب القيام بذلك واضحًا بمجرد قيامنا بذلك بالفعل.

ستعمل طريقة الحذف في هذه الحالة بشكل مختلف قليلاً عن معادلتين. كما هو الحال مع معادلتين ، سنقوم بضرب العديد من المعادلات التي نحتاجها حتى نتمكن من حذف أحد المتغيرات إذا بدأنا في إضافة أزواج من المعادلات.

في هذه الحالة ، يبدو أنه إذا ضربنا المعادلة الثانية في 2 ، فسيكون من السهل جدًا إزالة الحد (y ) من المعادلة الثانية والثالثة عن طريق إضافة المعادلة الأولى لكليهما. لذلك ، دعونا أولاً نضرب المعادلة الثانية في اثنين.

[يبدأ x-2y + 3z & = 7 & underrightarrow < text> hspace <0.1in> & & x-2y + 3z & = 7 2x + y + z & = 4 & underrightarrow < times ، ، 2> hspace <0.1in> & & 4x + 2y + 2z & = 8 -3x + 2y-2z & = -10 & underrightarrow < text> hspace <0.1in> & & -3x + 2y-2z & = -10 end]

الآن ، مع هذا النظام الجديد ، سنستبدل المعادلة الثانية بمجموع المعادلتين الأولى والثانية وسنستبدل المعادلة الثالثة بمجموع المعادلتين الأولى والثالثة.

هنا نظام المعادلات الناتج.

لذا ، فقد استبعدنا أحد المتغيرات من اثنتين من المعادلات. نحتاج الآن إلى حذف إما (x ) أو (z ) من المعادلتين الثانية أو الثالثة. مرة أخرى ، سوف نستخدم الإزالة للقيام بذلك. في هذه الحالة سنضرب المعادلة الثالثة في -5 لأن هذا سيسمح لنا بحذف (z ) من هذه المعادلة بإضافة الثانية إلى هي.

الآن ، استبدل المعادلة الثالثة بمجموع المعادلة الثانية والثالثة.

الآن ، في هذه المرحلة ، لاحظ أنه يمكن حل المعادلة الثالثة بسرعة لإيجاد ذلك (س = 2 ). بمجرد أن نعرف ذلك ، يمكننا التعويض عن ذلك في المعادلة الثانية وهذا سيعطينا معادلة يمكننا حلها من أجل (z ) على النحو التالي.

[يبدأ5 يسار (2 يمين) + 5z & = 15 10 + 5z & = 15 5z & = 5 z & = 1 نهاية]

أخيرًا ، يمكننا استبدال كل من (x ) و (z ) في المعادلة الأولى التي يمكننا استخدامها لحل (y ). هنا هذا العمل.

[يبدأ2 - 2y + 3 left (1 right) & = 7 - 2y + 5 & = 7 - 2y & = 2 y & = - 1 end]

إذن ، حل هذا النظام هو (س = 2 ) ، (ص = - 1 ) و (ض = 1 ).

كان هذا قدرًا معقولًا من العمل وفي هذه الحالة كان هناك عمل أقل من المعتاد لأنه في كل حالة كان علينا فقط ضرب معادلة واحدة للسماح لنا باستبعاد المتغيرات.

في القسم التالي ، سنلقي نظرة على طريقة ثالثة لحل الأنظمة والتي تعد في الأساس طريقة مختصرة لما فعلناه في المثال السابق. سيكون العمل باستخدام هذه الطريقة فوضويًا أيضًا ، ولكن سيكون من الأسهل القيام به بمجرد أن تتعطل.

في المثال السابق ، كان كل ما فعلناه هو استخدام طريقة الحذف حتى نتمكن من البدء في حل المتغيرات ثم إعادة استبدال القيم المعروفة للمتغيرات في المعادلات السابقة للعثور على المتغيرات غير المعروفة المتبقية.

لا يستخدم كل نظام خطي به ثلاث معادلات وثلاثة متغيرات طريقة الحذف حصريًا ، لذلك دعونا نلقي نظرة على مثال آخر حيث يتم استخدام طريقة الاستبدال ، جزئيًا على الأقل.

قبل أن نبدأ في عملية الحل ، لا تتشوق لحقيقة أن المعادلة الثانية بها متغيرين فقط. هذا أمر شائع إلى حد ما عندما يكون لدينا أكثر من معادلتين في النظام.

في الواقع ، سنستفيد من حقيقة أنه يحتوي على متغيرين فقط أحدهما ، وهو (y ) ، له معامل -1. يتم حل هذه المعادلة بسهولة للحصول على (ص ) ،

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا في المعادلة الأولى والثالثة على النحو التالي ،

[يبدأ2x - 4 يسار (<4x + 5> right) + 5z & = - 33 - 2x + 2 left (<4x + 5> right) - 3z & = 19 end]

الآن ، إذا فكرت في الأمر ، فهذا مجرد نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين ( (x ) و (z )) ونعرف كيفية حل هذه الأنواع من الأنظمة من عملنا في القسم السابق .

أولاً ، سنحتاج إلى تبسيط بسيط للنظام.

تبدو النسخة المبسطة تمامًا مثل الأنظمة التي كنا نحلها في القسم السابق. حسنًا ، إنه تقريبًا نفس الشيء. المتغيرات هذه المرة هي (x ) و (z ) بدلاً من (x ) و (y ) ، لكن هذا ليس فرقًا في الحقيقة. سيكون العمل على حل هذا هو نفسه.

يمكننا استخدام طريقة التعويض أو طريقة الحذف لحل هذا النظام الجديد المكون من معادلتين خطيتين.

إذا أردنا استخدام طريقة الاستبدال ، فيمكننا بسهولة حل المعادلة الثانية لـ (z ) (ترى لماذا سيكون من الأسهل حل المعادلة الثانية لـ (z ) صحيح؟) واستبدالها في المعادلة الأولى. سيسمح لنا هذا بالعثور على (x ) ويمكننا بعد ذلك العثور على (z ) و (y ).

ومع ذلك ، لتوضيح النقطة التي نستخدمها غالبًا كلا الطريقتين في حل أنظمة من ثلاث معادلات خطية ، فلنستخدم طريقة الحذف لحل نظام المعادلتين. سنحتاج فقط إلى ضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 5. وهذا يعطينا ،

[يبدأ -14x + 5z & = -13 & underrightarrow < times ، ، 3> hspace <0.5in> & -42x + 15z = -39 6x-3z & = 9 & underrightarrow < times ، ، 5> hspace <0.5in> & تسطير < hspace <0.25in> 30x-15z = 45> & & & hspace <0.5in> -12x = 6 end]

يمكننا الآن بسهولة إيجاد (x ) للحصول على (x = - frac <1> <2> ). المعاملات في المعادلة الثانية أصغر ، لذا دعنا نعوض بهذا في تلك المعادلة ونحل من أجل (z ). هنا هذا العمل.

[يبدأ6 يسار (<- frac <1> <2>> يمين) - 3z & = 9 - 3 - 3z & = 9 - 3z & = 12 z & = - 4 end]

أخيرًا ، نحتاج إلى تحديد قيمة (y ). هذا من السهل جدا القيام به. تذكر في الخطوة الأولى استخدمنا التعويض وفي هذه الخطوة استخدمنا المعادلة التالية.

نظرًا لأننا نعرف قيمة (س ) كل ما علينا فعله هو إدخال ذلك في هذه المعادلة والحصول على قيمة (ص ).

لاحظ أنه في العديد من الحالات التي استخدمنا فيها الاستبدال في الخطوة الأولى ، ستحتوي المعادلة التي ستحصل عليها في هذه الخطوة على كل من (x ) 's و (z ) ، وبالتالي ستحتاج إلى كلتا القيمتين للحصول على المتغير الثالث.

حسنًا ، لإنهاء هذا المثال هنا هو الحل: (x = - frac <1> <2> ) ، (y = 3 ) و (z = - 4 ).

كما رأينا في المثالين أعلاه ، هناك مجموعة متنوعة من المسارات التي يمكننا اختيار اتباعها عند حل نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات. سيكون هذا هو الحال دائما. لا يوجد طريق حقيقي واحد لحل هذه. ومع ذلك ، بعد قولي هذا ، غالبًا ما يكون هناك مسار يسمح لك بتجنب بعض الفوضى التي يمكن أن تنشأ في حل هذه الأنواع من الأنظمة. Once you work enough of these types of problems you’ll start to get a feel for a “good” path through the solution process that will (hopefully) avoid some of the mess.

Interpretation of solutions in these cases is a little harder in some senses. All three of these equations in the examples above are equations of planes in three dimensional space and solution to this systems in the examples above is the one point that all three of the planes have in common.

Note as well that it is completely possible to have no solutions to these systems or infinitely many solutions as we saw in the previous section with systems of two equations. We will look at these cases once we have the next section out of the way.


3 Answers 3

Write your system in the form $xy-(x+y)^2=c-c^2$ and $-xy(x+y)=3c^2$ Substituting $x+y=a$ $xy=b$ so you will get $b-a^2=c-c^2$ and $-ab=3c^2$ Can you proceed? Eliminating $b$ you will get for $a$: $0=a^3+a(c-c^2)+3c^2$

There is a classical 'trick' one can use for these types of systems of equations, namely Vieta's formulas. Note that $ (lambda - x)(lambda - y)(lambda - z) = lambda^3 - (x + y + z) lambda^2 + (xy +yz + xz)lambda - xyz. $ Hence, $x, y, z$ are the three roots of the polynomial equation $ lambda^3 + (c - c^2) lambda - 3c^2 = 0. $ Denoting the roots of this equation by $lambda_1,lambda_2, lambda_3$ , this shows that the only solutions of the original system of equations are permutations of $(lambda_1, lambda_2, lambda_3)$ . Moreover, as there is an explicit (albeit rather complicated) expression for the roots of a cubic polynomial, one can find the solutions of the above equation.

Let $z=-x-y$. Substitute this into the second and third equation. Multiplying the second by $y$ and subtracting the third we obtain $ 2xy^2 + c(cy + 3c - y)=0. $ For $y=0$ we have $x=y=c=0$. Otherwise we can substitute $x=-c(cy+3c-y)/(2y^2)$. This yields only one polynomial equation in $y$ and $c$, namely, $ c^3( - y^2 - 6y - 9) + 2c^2y(y + 3) + cy^2(2y^2 - 6y - 1) - 2y^4=0. $ I doesn't get easier than that. But it can be solved over the complex numbers. One particular solution is $c=1$ and $2y^3+3=0$, $z=3/y^2$, $x=-3/(2y^2)$. However, it is not correct that a non-linear system in $n$ variables with $n$ equations has a unique solution.

Related

Hot Network Questions


ال elimination method of solving systems of equations is also called the addition method. To solve a system of equations by elimination we transform the system such that one variable "cancels out".

Example 1: Solve the system of equations by elimination

$ egin 3x - y &= 5 x + y &= 3 end $

In this example we will "cancel out" the y term. To do so, we can add the equations together.

Now we can find: $x = 2$

In order to solve for y, take the value for x and substitute it back into either one of the original equations.

The solution is $(x, y) = (2, 1)$.

Example 2: Solve the system using elimination

$ egin x + 3y &= -5 4x - y &= 6 end $

Look at the x - coefficients. Multiply the first equation by -4, to set up the x-coefficients to cancel.

Now we can find: $y = -2$

Take the value for ذ and substitute it back into either one of the original equations.

$ egin x + 3y &= -5 x + 3cdot(color<-2>) &= -5 x - 6 &= -5 x &= 1 end $

The solution is $(x, y) = (1, -2)$.

Example 3: Solve the system using elimination method

$ egin 2x - 5y &= 11 3x + 2y &= 7 end $

In this example, we will multiply the first row by -3 and the second row by 2 then we will add down as before.


Digital Pixel Art Math Solving Equations Algebra 1 Distance Learning

Students will solve 18 algebraic equations using Google™ Sheets.

THREE levels provide easy differentiation.

Level 1: Solving Two-Step Equations

Level 2: Solving Multi-Step Equations

Level 3: Solving Equations with Variables on Both Sides

(Note: This differentiated resource is designed for each student to complete just one out of the three levels as the pixel art image and some answers are the same on every level in order to minimize student awareness of which levels their peers are working on.)

Correct answers will be indicated by the text color changing from red to black and students will be rewarded with colored pixels appearing in the mystery image.

Incorrect answers will be indicated by the text color staying red and colored pixels will not be rewarded.

The mystery pixel art image will be revealed upon answering all 18 problems correctly.

Love Digital Pixel Art? Now available in the following topics:

  • Adding and Subtracting Decimals
  • Adding and Subtracting Fractions
  • ضرب الكسور
  • Dividing Fractions
  • Converting Fractions, Decimals, Percents
  • Adding and Subtracting Integers
  • Order of Operations
  • Order of Operations
  • Order of Operations (Thanksgiving)
  • Solving Proportions
  • Area and Circumference of Circles
  • Identifying Points on the Coordinate Plane
  • Pythagorean Theorem

EXPRESSIONS

  • Combining Like Terms
  • Distributive Property
  • Distributive Property (Winter)
  • Evaluating Algebraic Expressions
  • Solving One Step Equations
  • Solving Two-Step Equations
  • Solving Two-Step Equations (Valentines)
  • Solving Two-Step Equations (Winter)
  • Solving Multi-Step Equations
  • Equations with Variables on Both Sides
  • Solving Equations

INEQUALITIES

LINEAR FUNCTIONS

  • Finding Slope
  • Finding Slope given Two Points or a Linear Equation
  • Linear Equations: Identifying Key Features
  • Writing in Slope Intercept Form
  • Writing Linear Equations from Graphs
  • Writing Linear Equations given a Point and Slope or Two Points
  • Writing Linear Equations from Graphs
  • Writing Equations in Slope-Intercept Form

SYSTEMS OF EQUATIONS

POLYNOMIALS

QUADRATIC FUNCTIONS

  • Quadratic Equations: Key Attributes
  • Solving using the Quadratic Formula
  • حل المعادلات التربيعية
  • Solving Quadratic Equations by Factoring

This resource works well as independent practice, collaborative practice, homework, extra credit or even as an assignment to leave for the substitute!

Download includes a PDF with link to access the Google Drive resources and Step-by-Step Teacher Instructions.

Made for Google Drive: Interactive. Paperless. Instant Feedback. No Prep.

ALGEBRA ACCENTS TOU:

© Copyright Marie De Los Reyes, "Algebra Accents."

All rights reserved by author. This product is to be used by the original purchaser only. Non-transferrable. Copying for more than one teacher or classroom, or for an entire department, school, or school system is prohibited. Intended for single classroom and personal use only. This product may not be distributed or displayed digitally for public view, uploaded to school or district websites, distributed via email, or submitted to any file sharing sites unless password protected for student use only. Failure to comply is a copyright infringement and a violation of the Digital Millennium Copyright Act (DMCA).


Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

By Math Beach Solutions

أهلا بك! I'm Allison, the founder of Math Beach Solutions.

When I first started teaching, I didn't have a textbook - just the standards and ideas for a curriculum framework. I was swamped with creating notes, practice worksheets, and tests on top of the never-ending grading and paperwork teachers are all too familiar with.

With time, I realized that implementing textbook-based resources is just as frustrating. They were supposedly standards-aligned, but contained many extraneous topics and lacked instruction of any kind for some topics! I was still spending my evenings creating new resources or desperately searching for a quick lesson for the next day.

Over the years, I invested in studying standards, sequencing curriculum, and developing standards-aligned resources for use in my own classroom.

I dreamed of developing a curriculum with time-saving standards-alignment guides to ease the burden of delivering standards-aligned instruction.

The dream behind Math Beach Solutions was brought to fruition in 2018 when I began my journey as a full-time teacher-author.

I am committed to creating engaging resources that enrich student learning while saving precious time when lesson planning.

I strive to provide students with a balanced approach to note-taking by reducing time spent copying problems and definitions, instead, placing emphasis on showing steps and verbalizing understanding of mathematical concepts.

Providing opportunities for movement, purposeful discussion, or a change in routine is another classroom principle I value. Sometimes students really do need time for skills practice, but that doesn't mean they have to stay stuck in their seat silently completing a worksheet!


3.1E: Exercises - Solving Systems with Algebra - Mathematics

It is often desirable or even necessary to use more than one variable to model situations in many fields. We write and solve a system of equations in order to answer questions about the situation.


If a system of linear equations has at least one solution, it is consistent . If the system has no solutions, it is inconsistent . If the system has an infinity number of solutions, it is dependent . Otherwise it is independent .


A linear equation in three variables is an equation equivalent to the equation


where A, B, C, and D are real numbers and A, B, C, and D are not all 0. This is the equation of a plane.


Work the following problems. Click on Solution , if you want to review the solutions.


A total of $50,000 is invested in three funds paying 6%, 8%, and 10% simple interest. The yearly interest is $3,700. Twice as much money is invested at 6% as invested at 10%. How much is invested in each of the funds.


The standard equation of a circle is x 2 + y 2 + Ax + By + C =0. Find the equation of the circle that passes through the points , , and


Your company has three acid solutions on hand: 30%, 40%, and 80% acid. It can mix all three to come up with a 100-gallons of a 39% acid solution. If it interchanges the amount of 30% solution with the amount of the 80% solution in the first mix, it can create a 100-gallon solution that is 59% acid. How much of the 30%, 40%, and 80% solutions did the company mix to create a 100-gallons of a 39% acid solution?


Five hundred tickets were sold for a certain music concert. The tickets for the adults sold for $7.50, the tickets for the children sold for $4.00, and tickets for senior citizen sold for $3.50. The revenue for the Monday performance was $3,025. Twice as many adult tickets were sold as children tickets. How many of each ticket was sold?


Solve the following system of equations for x, y and z:


Solve the following system of equations for x, y and z:

If you would like to return to the beginning of the two by two system of equations, click on start .


If you would like to review three-variable systems example, click on ثلاثة.