مقالات

1: المقدمات الجبرية


الصورة المصغرة: موازية. (CC BY-SA 3.0 ؛ Startswithj عبر ويكيبيديا)


10- المقدمات الجبرية

طوال الوقت ، من المفترض أن القارئ لديه بالفعل معرفة جيدة (عملية) بالجبر الأساسي في المرحلة الجامعية الأولى. لسهولة الرجوع إليها ، يجب أن نتذكر أولاً بعض التعريفات المركزية والنتائج الأولية المفيدة المتعلقة بالمجموعات والحلقات والحقول والوحدات والمسافات المتجهة والجبر. للحصول على نظرية أساسية إضافية وتفاصيل كاملة والمزيد ، يرجى الرجوع ، على سبيل المثال ، إلى Serge Lang's Algebra [126].

علاوة على ذلك ، في بعض النقاط سنحتاج إلى بعض النتائج من نظرية المجال ونظرية الأعداد الجبرية ، وكذلك من الجبر متعدد الخطوط ، خاصة فيما يتعلق بمجالات العدد الحلقي ومنتجات الموتر. في كل حالة من هذه الحالات ، سنقدم مقدمة موجزة ونوضح النتائج المطلوبة. للحصول على تفاصيل كاملة والمزيد ، يرجى الرجوع إلى المراجع 125 ، 126 ، 127. عرضنا لهذه الموضوعات (بشكل فضفاض) يتبع لانغ [126] ، ما لم ينص على خلاف ذلك.

أخيرًا ، سنحتاج إلى نتائج من نظرية الحقول الوظيفية الجبرية (في متغير واحد) على الحقول المحدودة ، أي المنحنيات الجبرية على الحقول المحدودة. تم تأجيل هذا إلى القسم 12.7. على وجه التحديد ، سيكون التركيز هناك على مجموعات المنحنيات مع العديد من النقاط المنطقية المقاربة. سنقدم مقدمة شاملة عن هذا الموضوع المضمّن ذاتيًا من حيث أنه يفترض كخلفية فقط المواد الموجودة في الجبر الأساسي التي تمت تغطيتها سابقًا. للحصول على معالجة كاملة للنظرية الأساسية لحقول الوظيفة الجبرية ، بالإضافة إلى النتائج مثل تلك المشار إليها سابقًا ، نشير إلى حقول ورموز الوظائف الجبرية لهينينج ستيشتنوث [172]. باستثناء ما يتم ذكره بشكل مختلف ، فإن عرضنا يتبع Stichtenoth [172] ، وتحديداً أجزاء من الفصول 1 و 3 و 5 و 7. البراهين الكاملة في الغالب خارج نطاق هذه المقدمة. في بعض الأحيان يتم تقديم رسم تخطيطي. ومع ذلك ، يجب أن نذكر جميع النتائج المطلوبة لأغراضنا.

التعريفات والنتائج الأساسية التي يتم تناولها بالتفصيل الكامل من قبل معظم الكتب المدرسية التمهيدية القياسية مذكورة دون مرجع (ولكن في بعض الأحيان يتم تقديم دليل). في حال اشتبهنا في أن النتيجة التي اقتبسناها ليس من السهل البحث عنها في مكان آخر بالتفصيل الكامل (على سبيل المثال ، إذا كانت مقنعة كحالة خاصة لنظرية أكثر تقدمًا أو مخفية في تمارين) ، فإننا نقدم إشارة صريحة إلى نص مناسب .

في أماكن قليلة من النص ، سنقدم المراجع المناسبة عند مناقشة جوانب خوارزمية معينة (متقدمة) معينة.


طرق الهندسة الجبرية

"هذا المجلد هو الجزء الأول من العمل المصمم بحيث يوفر حسابًا مناسبًا لأسس وطرق الهندسة الجبرية المودم." تشرح هذه الكلمات من مقدمة المؤلفين نطاق المجلد الحالي وتفسر اختيار الموضوعات التي تمت معالجتها. لقد أصبح من الواضح بشكل متزايد في السنوات الأخيرة أن المعالجة الصارمة للهندسة الجبرية يجب أن تستند ، إلى حد أكبر بكثير من الحسابات الكلاسيكية للموضوع ، على المبادئ الجبرية. لذلك ليس من المستغرب أن يكون أكثر من ثلث المجلد قيد المناقشة جبريًا بحتًا. تشكل الفصول الأربعة الأولى ، في الواقع ، مقدمة واضحة وموجزة لنظرية الحقول الجبرية ومتعددة الحدود والمصفوفات (على حقل أرضي ليس بالضرورة تبادليًا). هذا الحساب في حد ذاته هو الأكثر قيمة ، نظرًا لأن وجهة نظر المودم في الجبر لا توجد في العديد من الأعمال الإنجليزية ، على الرغم من نشر العديد من الحسابات في الولايات المتحدة.

طرق الهندسة الجبرية

بقلم البروفيسور دبليو في دي هودج دكتور دي بيدوي. المجلد. 1. الكتاب الأول: المقدمات الجبرية الكتاب 2: الفضاء الإسقاطي. ص. viii + 440 (كامبريدج: في مطبعة الجامعة ، 1947.) 30س. صافي.


مسح الجبر والاحتمالات: MAT 101

يستمر خط الأعداد إلى الأبد في كلا الاتجاهين. نحدد نقطة واحدة لتمثيل "صفر" ، (0 ، ) ونستخدمها كنقطة مرجعية. بعد ذلك ، نختار "وحدة" قياس. الرقم (1 ) هو "وحدة" واحدة على يمين الصفر. الرقم (2 ) هو مسافة وحدتين على يمين الصفر وهكذا. تمثل ، (1، 2، 3، dots text <،> ) وحدات كاملة من المسافات إلى يمين (0. ) The، (- 1، -2، -3، dots يمثل النص <،> ) وحدات كاملة من المسافات على يسار (0. ) بعض الحقائق التي يجب ملاحظتها هي:

عندما ننتقل إلى اليمين على خط الأعداد ، تزداد قيمة الأعداد الصحيحة.

  • (3 ) أكبر من (2 نص <.> ) لاحظ أنه على يمين (2 ) على خط الأعداد.
  • لكن (- 2 ) أكبر من (- 3 ) لأنه على يمين (- 3 ) على خط الأعداد.

تذكر أن إضافة عدد صحيح ينتج عنه الانتقال إلى حق ( rightarrow ) على خط الأعداد.

مثال 0.0.1. أضف (3 ) إلى (1 ).

ارسم (1 + 3 text <:> ) ابدأ من (1 ) على خط الأعداد

انقل ثلاثة أماكن إلى اليمين

حلنا: (4 checkmark ) (عرفنا ذلك!)

وبالمثل ، فإن إضافة عدد صحيح ينتج عنه الانتقال إلى متبقى ( leftarrow ) على خط الأعداد.

مثال 0.0.2. أضف (- 2 ) إلى (- 1 ).

مؤامرة ((- 1) + (- 2) نص <:> ) ابدأ من (- 1 ) على خط الأعداد

لاحظ في المثال 0.0.2 أن إضافة رقمين سالبين تعادل جمع الرقمين الموجبين المتوافقين ، لكن النتيجة النهائية سلبية: (1 + 2 = 3 ) و (- 1 + (- 2) = - 3 نص <.> )

مثال 0.0.3. أضف عددين صحيحين سالبين.

إذا كنت سترسم خط أرقام لحل المثال 0.0.3 ، فستبدأ من (- 4 ) ثم تحرك يسارًا (11 ) مواضع. ستنتهي النتيجة عند (- 15 text <.> )

لنفكر الآن في جمع عددين بإشارات متعاكسة.

مثال 0.0.4. أضف (- 3 ) إلى (1 ).

ارسم (1 + (- 3) نص <:> ) ابدأ من (1 ) على خط الأعداد

انقل ثلاثة أماكن إلى اليسار

عند إضافة الأعداد الصحيحة ذات العلامات المعاكسة باستخدام الأعداد الصحيحة الموجبة المقابلة ، فإننا نطرح الأصغر من الأكبر ، ثم نستخدم الإشارة من الرقم الأكبر في النتيجة. هذا يعني أنه إذا كان الرقم الأكبر موجبًا ، تكون الإجابة موجبة. إذا كان الرقم الأكبر سالبًا ، تكون الإجابة سالبة. تأمل الأمثلة التالية:

مثال 0.0.5. أضف أعدادًا صحيحة من الإشارات المختلفة.
مثال 0.0.6. أضف أعدادًا صحيحة من الإشارات المختلفة.

لطرح رقم موقع ، نحن أضف العكس من العدد بعد علامة الطرح باستخدام قواعد الجمع الموضحة أعلاه.

مثال 0.0.7. اطرح الأعداد الصحيحة: اجمع المقابل.
مثال 0.0.8. اطرح الأعداد الصحيحة: اجمع المقابل.
نقطة تفتيش 0.0.9.

القسم الفرعي 0.0.2 الضرب الصحيح والقسمة

فكر في ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة كجمع متكرر. لاحظ أنه يمكننا إضافة (4 ) ثلاث مرات:

كيف يعمل هذا مع الأعداد الصحيحة السالبة؟ فكر في الطرح المتكرر. يمكننا طرح (2 ) خمس مرات

مع وجود رقمين صحيحين سالبين ، يمكننا إما طرح (- 4 ) مرتين

لاحظ النمط عند الضرب: حاصل ضرب عددين لهما نفس العلامة موجب. حاصل ضرب عددين بإشارات متقابلة هو سلبي. لا نحتاج إلى الضرب بكتابة عمليات الجمع أو الطرح. فقط اضرب الأعداد واجعل النتيجة سالبة إذا كان أحدهما موجبًا والآخر سالبًا. خلاف ذلك ، تكون النتيجة إيجابية.

مثال 0.0.10. تتضاعف.
مثال 0.0.11. تتضاعف.

قواعد القسمة هي نفسها قواعد الضرب. لمعرفة السبب ، ضع في اعتبارك (6 div -2. ) نتيجة القسمة هي العدد الصحيح الذي ينتج عند ضربه في (- 2 ) (6. ) للحصول على عدد صحيح موجب عند ضرب عدد صحيح سالب يتطلب الضرب في عدد صحيح سالب آخر. بما أن (- 2 cdot -3 = 6، ) إجابة القسمة هي (6 div -2 = -3. ) وبالمثل ، (- 6 div -2 = 3 ) منذ ( -2 cdot 3 = -6. )

ومن ثم ، فإن حاصل قسمة عددين لهما نفس العلامة موجب. حاصل قسمة عددين بعلامات متقابلة هو سالب.

مثال 0.0.12. يقسم.
مثال 0.0.13. يقسم.
نقطة تفتيش 0.0.14.

هناك حالة خاصة يجب أن نأخذها بعين الاعتبار. العدد الصحيح صفر ليس موجبًا ولا سالبًا. إنه ليس يمينًا ولا يسارًا. عندما نفكر في الضرب في صفر ، فهذا يعني إضافة العدد الصحيح الآخر إلى نفسه صفر مرة. إذا لم يكن هناك شيء يمكن إضافته ، فالنتيجة هي صفر. على سبيل المثال: (0 cdot 3 = 0. ) أو يمكننا إضافة صفر إلى نفسه (3 ) مرات ، (3 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0. ) في كلتا الحالتين ، الضرب في صفر ينتج صفر.

ماذا عن القسمة على الصفر؟ بالنسبة إلى (0 div 5، ) منذ (5 cdot 0 = 0 ) الإجابة هي (0 div 5 = 0. ) ومع ذلك ، إذا قسمنا على صفر ، لدينا مشكلة. ضع في اعتبارك (8 div 0. ) يجب أن تكون الإجابة هي العدد الصحيح الذي يضرب الصفر لإعطاء (8. ) لا يمكن لأي رقم أن يضرب (0 ) ليعطي (8. ) نظرًا لعدم وجود إجابة لـ (8 div 0، ) من المعتاد أن نقول أن التعبير هو

نقطة تفتيش 0.0.15.

تستخدم للدلالة على الضرب المتكرر لعدد مرات نفسه. نسمي رقم الأس.

مثال 0.0.16. الأسس: قيم (6 ^ 2 ).
مثال 0.0.17. الأسس: قيم ((- 5) ^ 4 ).

قارن المثال أعلاه بالمثال التالي ولاحظ الفرق الذي تحدثه الأقواس.

مثال 0.0.18. الأسس: قيم (- 5 ^ 4 ).

كن حذرًا عند التعامل مع الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، قارن التعبير (- 3-8 ) مع (- 3 (-8) text <.> ) التعبير الثاني منتج. إذا لم يكن هناك رمز عملية بين الأقواس ، فإننا نفترض أننا نضرب. من ناحية أخرى ، فإن التعبير (- 3-8 ) هو طرح.

احرص أيضًا على عدم الخلط بين قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة مع قواعد ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال ، (- 3 + (- 7) = - 10 نص <،> ) لكن ((- 3) (- 7) = 21 نص <.> )

القسم الفرعي 0.0.3 عمليات الأعداد

عند تبسيط التعبير ، من المهم أن نقوم بالعمليات بالترتيب الصحيح. ضع في اعتبارك أن المشكلة التالية تم تنفيذها بطريقتين مختلفتين:

مثال 0.0.19. تحذير! 0 فقط حل واحد أدناه صحيح:.

يوضح المثال السابق 0.0.19 أنه إذا تم إجراء نفس المشكلة بطريقتين مختلفتين ، فسنصل إلى حلين مختلفين. ومع ذلك ، يمكن أن تكون طريقة واحدة فقط صحيحة. اتضح أن الطريقة الثانية ، مع الحل (17 نص <،> ) هي الطريقة الصحيحة. هذه القائمة إذن هي ترتيب العمليات التي سنستخدمها لتبسيط التعابير.

ترتيب العمليات:
أقواس (تجميع)
الدعاة
الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين)
إضافة وطرح (من اليسار إلى اليمين)

الضرب والقسمة على نفس المستوى لأنهما نفس العملية (القسمة تتضاعف بالمقلوب). هذا يعني أنه يجب أن يتم إجراؤها من اليسار إلى اليمين ، لذا سنقسم بعض المشكلات أولاً ، والبعض الآخر سنضرب أولاً. وينطبق الشيء نفسه على الجمع والطرح (الطرح هو مجرد إضافة العكس). غالبًا ما يستخدم الطلاب الكلمة لتذكر ترتيب العمليات ، حيث أن الحرف الأول من كل عملية ينشئ الكلمة. ومع ذلك ، فإن اقتراح المؤلف هو التفكير في كلمة عمودية مكتوبة على النحو التالي:

لذلك لا ننسى أن الضرب والقسمة يتم من اليسار إلى اليمين (نفس الشيء مع الجمع والطرح). هناك طريقة أخرى يتذكر بها الطلاب ترتيب العمليات وهي التفكير في عبارة مثل "Please Excuse My Dear Aunt Sally" حيث تبدأ كل كلمة بنفس الأحرف التي يبدأ بها ترتيب العمليات.

مثال 0.0.20. ترتيب العمليات.

الخطأ الأكثر شيوعًا الذي يمكن ارتكابه في مشكلة مثل هذه هو إضافة (2 ) و (3 ) أولاً. ضع في اعتبارك أن الضرب يجب أن يتم قبل الجمع.

نقطة تفتيش 0.0.21.

كما يوضح المثال التالي ، من المهم جدًا تذكر الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين!

مثال 0.0.22. ترتيب العمليات.
مثال 0.0.23. ترتيب العمليات: الدعاة وعلامات الطرح.

يوضح هذا المثال نقطة مهمة حول الأس. ينطبق الدعاة فقط على الرقم المرتبطون به. هذا يعني أنه عندما نرى (- 4 ^ 2 text <،> ) فقط مربع (4 ) ، مما يعطينا (- (4 ^ 2) ) أو (- 16 نص <.> ) ولكن عندما يكون السالب بين قوسين ، مثل ((- 5) ^ 2 ) فإن السالب هو جزء من الرقم ومربع أيضًا يعطينا حلاً موجبًا ، (25 text <.> )

إذا كان هناك العديد من الأقواس في مشكلة ، فسنبدأ بأقواس داخلية كثيرة ونعمل على الخروج.

مثال 0.0.24. ترتيب العمليات.

كما يوضح المثال أعلاه ، يمكن أن يستغرق الأمر عدة خطوات لتبسيط التعبير. مفتاح اتباع ترتيب العمليات بنجاح هو أن تأخذ الوقت الكافي لإظهار عملك والقيام بخطوة واحدة في كل مرة. سيؤدي ذلك إلى تقليل فرصة ارتكاب خطأ على طول الطريق.

سنحتاج في الجبر غالبًا إلى تبسيط تعبير ما لتسهيل استخدامه. هناك ثلاثة أشكال أساسية للتبسيط سنراجعها هنا.

القسم الفرعي 0.0.4 العمل مع المتغيرات

يمكننا إيجاد قيمة التعبير عندما نعرف الرقم الذي يمثله كل متغير في التعبير. نستبدل كل متغير بالرقم المكافئ ونبسط ما تبقى باستخدام ترتيب العمليات.

مثال 0.0.25. تقييم التعبير.

عندما يتم استبدال رقم سالب في تعبير ، قد يكون من المفيد وضعه بين قوسين بحيث تكون خطوات المحاكاة واضحة.

مثال 0.0.26. تقييم التعبير.
نقطة تفتيش 0.0.27.

سيكون أكثر شيوعًا في دراستنا للجبر أننا لا نعرف قيمة المتغيرات. في هذه الحالة ، علينا تبسيط ما نستطيع وترك المتغيرات في الحل النهائي.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها تبسيط المقادير هي الجمع. "المصطلحات المتشابهة" هي المصطلحات التي تتطابق فيها المتغيرات تمامًا (بما في ذلك الأسس). على سبيل المثال ، (3x ^ 2y ) و (- 7x ^ 2y ) متشابهة حيث أن المتغيرات وصلاحياتها هي نفسها ، لكن (4xy ) ليس له نفس الصلاحيات وليس مصطلحًا مشابهًا مع الآخرين. لاحظ أن (3x ^ 2y ) يعني أن هناك ثلاثة (x ^ 2y ) s و (- 7x ^ 2y ) تعني سالب سبعة (x ^ 2y ) s. إذا قمنا بدمج الحدود المتشابهة ، فهناك سالب أربعة (x ^ 2y ) s: (3x ^ 2y + (-7x ^ 2y) = -4x ^ 2y text <.> )

لدمج المصطلحات المتشابهة ، اجمع (أو اطرح) الأرقام الموجودة أمام المتغيرات ، ثم احتفظ بالمتغيرات كما هي. هذا موضح في الأمثلة التالية:

مثال 0.0.28. اجمع بين الشروط المتشابهة.
مثال 0.0.29. اجمع بين الشروط المتشابهة.
WeBWorK: دخول الدعاة.

عندما نجمع الحدود المتشابهة فإننا نفسر علامات الطرح كجزء من المصطلح. هذا يعني أن المصطلح التالي هو مصطلح سلبي ، وتبقى الإشارة دائمًا مع المصطلح. ثم نجمع الحدود معًا.

أسلوب تبسيط آخر يستخدم.

ترد أدناه عدة أمثلة على استخدام خاصية التوزيع.

مثال 0.0.30. توزيع موجب.
مثال 0.0.31. توزيع سلبي.

في المثال السابق 0.0.31 ، استخدمنا مرة أخرى حقيقة أن العلامة تنطبق على الرقم التالي. هذا يعني أننا نتعامل مع (- 6 ) كرقم سالب ، وهذا يعطي ((- 7) (- 6) = 42 نص <،> ) عددًا موجبًا. الخطأ الأكثر شيوعًا في التوزيع هو خطأ تسجيل. كن حذرا جدا مع علاماتك!

من الممكن توزيع سالب فقط من خلال الأقواس. إذا كان لدينا سالب أمام الأقواس ، فيمكننا التفكير في الأمر مثل (- 1 ) في المقدمة وتوزيع (- 1 ) حتى النهاية.

مثال 0.0.32. توزيع سلبي.

قد نحتاج إلى استخدام خاصية التوزيع والجمع بين الحدود المتشابهة لتبسيط التعبير. يخبرنا ترتيب العمليات أن نضرب (توزيع) أولاً ثم نجمع أو نطرح أخيرًا (ضم الحدود المتشابهة). هكذا نبسط على خطوتين ، ثم نوزع ثم نجمع.

مثال 0.0.33. تبسيط.
مثال 0.0.34. تبسيط.

في المثال السابق 0.0.34 قمنا بتوزيع (- 2 text <،> ) ليس فقط (2 text <.> ) هذا لأن الإشارة السالبة تتطابق مع الرقم الذي يليها. لاحظ أن (- 2 ) مرات (- 5 ) موجب (10. )

نقطة تفتيش 0.0.35.

فيما يلي المزيد من الأمثلة المتضمنة لتوزيع المصطلحات المتشابهة والجمع بينها.


1: المقدمات الجبرية

افترض أننا مهتمون ببناء نموذج منفصل لنظام فيزيائي يقع في فضاء إقليدي محدد. نشعر أن نموذجًا شبكيًا مفرط التكعيبي يقوم بهذا بطريقة ما. ولكن كيف يمكننا الحصول على فهم أفضل لهذه العملية؟
نبدأ ببعض التعريفات ، مما يؤدي إلى إنشاء شبكة شبكية مفرطة التكعيبية قابلة للتعميم.

دع E يكون فضاء إقليدي ذو أبعاد d.
مجموعة فرعية S من E. محدود محليا إذا كانت كل كرة محدودة في E تحتوي على عدد محدود من عناصر S.
(وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة محدودة محليًا على الخط الحقيقي.)

أ مستوي مفرط h في E هو فضاء فرعي ذو أبعاد d-1 لـ E.

لاحظ أن طائرتين فائقتين إما متوازيتان ، أو تتقاطعان في فضاء فرعي ذو أبعاد d-2 لـ E ، وهكذا.
دعونا نكتب h_ لتقاطع المراتب الفائقة h_a و h_b.

أي زوج مميز من النقاط في E يحدد خطًا بينهما ، وبالتالي فإن المستوى الفائق h يكون عموديًا على الخط الفاصل بينهما ، وعلى بعد متساوٍ من كل منهما.

أي طائرة مفرطة في الفضاء E تقسم E إلى جزأين (مفتوحين طوبولوجيًا) ، تسمى المسافات النصفية ، بالإضافة إلى المستوى الفائق نفسه.

مجموعة فرعية من E المحددة بواسطة عدد محدود من المسافات النصفية (مفتوحة / مغلقة) تسمى (مفتوحة / مغلقة) بوليتوب محدب.

مجمع الخلايا (أو مجمع الخلية الخطي متعدد العناصر) في E هو.
. مجموعة C من polytopes محدبة (خلايا) في E مثل ذلك
(1) إذا تقاطعت الأجزاء الداخلية لخليتين ، فهما نفس الخلية
(2) حدود الخلية هي اتحاد من الخلايا
(2 ') كل وجه من كل عنصر في C موجود في C.
(3) إذا تقاطعت الخلايا c و c ، فإن هذا التقاطع يكون خلية
(3 ') أن التقاطع هو وجه لكليهما.
(CF. [Moise77] الفصل 17 لمزيد من المعلومات عن هذا التعريف الآن!)

ال مجمع فورونوي V (S) لمجموعة فرعية محدودة محليًا S من E هو تقسيم E إلى أجزاء مختلفة على النحو التالي.
لكل مجموعة فرعية غير فارغة S 'من S ، حدد v (S') كمجموعة من النقاط قريبة بشكل متساوٍ من كل s في S ، وأقرب إلى هذه من أي نقطة أخرى في S.
حدد V (S) كمجموعة غير فارغة v (S ').
إذا كانت v (S ') غير فارغة ، فيُسمى d + 1- | S' | -facet of V (S).

المطالبة: المجموعة V (S) عبارة عن قسم من E إلى polytopes محدبة مفتوحة.

من الواضح أنه لا يوجد v (s) فارغ. تحدد النقطة s المستوى الفائق h كما هو مذكور أعلاه مع كل نقطة أخرى t في S ، و v (s) هي تقاطع جميع المسافات النصفية المقابلة التي تحتوي على s. الاتحاد U_s v (s) هو مجموعة جميع النقاط في E الأقرب بشكل فريد إلى نقطة واحدة في S.
حدود v (s) (بالمعنى الواضح) هي اتحاد مجموعات فرعية من بعض الطائرات الفائقة المرتبطة بـ s (NB ، وليس بشكل عام جميع الطائرات الفائقة المرتبطة بـ s). المجموعة v (s ، t) هي تقاطع s ، t-hyperplane مع إغلاق v (s). (إذا كانت v (s ، t) غير فارغة فهي وجه d-1.)

أمثلة: في d = 2 ، v (s) عبارة عن مضلع محدب مفتوح (ربما غير محدود) إذا كانت v (s ، t) غير فارغة فهي جزء من خط ، جزء من حدود v (s) إذا كانت v (s) ، t ، u) غير فارغ ، إنها نقطة (مركز دائرة محددة بالنقاط s ، t ، u). إذا كانت v (s ، t ، u) فارغة ، فقد يكون ذلك لأن هذه النقطة أقرب إلى بعض w الأخرى في S ، أو لأن s ، t ، u هي قيم خطية.
إذا كانت v (s ، t ، u ، w) غير فارغة فهي نقطة ، والنقاط s ، t ، u. كلها تقع على نفس الدائرة (أي أنها ليست في "الوضع العام" في E).

تمامًا كما تقسم الطائرة المفردة المفردة المساحة E إلى نصفين ، بالإضافة إلى المستوى الفائق نفسه ، كذلك فإن مجموعة H من الطائرات الفائقة تقسم المساحة إلى أبعد من ذلك. يمكننا تمييز القسم P (H) من E المحدد بواسطة H بعدة طرق.
(يجب أن نفترض أن H بحيث أن عددًا محدودًا من الطائرات الفائقة يمر عبر أي نقطة معينة من E.)

أولاً ، دع E H تشير إلى المجموعة الفرعية من E مع إزالة جميع الطائرات الفائقة. يتم تقسيم هذا بشكل طبيعي إلى أقصى مكوناته المتصلة المفتوحة. تسمى هذه الأجزاء d-dimensional ، أو الحجرات ، من P (H).
ثم بالنسبة لكل طائرة مفرطة h ، يمكن أيضًا تقسيم المجموعة h (H h) إلى مكونات متصلة مفتوحة. اتحاد هؤلاء لكل h في H هو الأجزاء أو الجدران ذات الأبعاد d-1 ، لـ P (H).
ليس لدينا بعد قسم كامل لـ E ، بشكل عام ، لأنه لم يتم بعد تضمين أي نقطة ملقاة على أكثر من طائرة مفرطة واحدة. لذلك نواصل.
تقاطعات المستوي الفائق المختلفة (h_ وما إلى ذلك) يمكن تقسيمها بالمثل إلى أجزاء مختلفة منخفضة الأبعاد (عبر المجموعة h_(ح ح_) وهكذا).
تلك الأجزاء من البعد تسمى i-facets.
تنتهي هذه العملية بافتراضنا. لدينا بعد ذلك تقسيم كامل لـ E.
لاحظ أن إغلاق الغرفة c يتقاطع مع بعض المجموعات الفرعية من مجموعة الجدران في P (H). هذه تسمى جدران ج.

هناك طريقة أخرى للنظر إليها وهي ملاحظة أن كل جزء في P (H) هو تقاطع مجموعة معينة من المسافات النصفية والطبقات الفائقة.
ملاحظة: بشكل عام ، ليس كل مستوى مفرط في H ضروريًا لتحديد جزء بهذه الطريقة (على سبيل المثال ، الطائرة الفائقة زائدة عن الحاجة في مواصفات جزء إذا كان إغلاق الجزء يقع بالكامل في أحد مسافاته النصفية).

لاحظ أنه يجب أن يكون الشكل المتعدد المحدب المحدب ذي البعد الكامل (أي واحد من حجم زائد محدود) تقاطعًا على الأقل d + 1 نصف مسافات.

على سبيل المثال في 2D يمكن أن يكون لدينا polytopes مثلثة (مضلعات) أو رباعي الأضلاع وهكذا.

مجموعة H المختارة بشكل مناسب من الطائرات الفائقة تقسم الفضاء E إلى مكعبات مفرطة.
على وجه الخصوص ، تقوم مجموعة مناسبة من الخطوط بتقسيم المستوى إلى مربعات (ومقاطع خطية ونقاط).

هل يمكننا الآن الانتقال من مثل هذا القسم إلى رسم بياني؟

لاحظ أن polytope المحدب عبارة عن مجموعة محدبة بها العديد من النقاط القصوى (أو لا). تتطابق النقاط القصوى مع النقاط التي تلتقي فيها الطائرات الفائقة المحيطة - الجوانب 0 من polytope.
لاحظ أن البوليتوب المحدب المحدد يتم تعريفه من خلال نقاطه القصوى.
لاحظ أن أزواجًا معينة من النقاط القصوى من البوليتوب المحدب قد تقع على نفس الوجه الأول للغرفة. تسمى هذه الأزواج أزواج متجاورة.
لكل بوليتوب p قد نحدد بالتالي رسمًا بيانيًا G (p) برؤوس النقاط القصوى ، ويحيط الخطوط بين أزواج متجاورة من النقاط القصوى.
بالنسبة لمجموعة من polytopes P ، ربما مع وجود جوانب مشتركة ، نحدد الرسم البياني G (P) عن طريق أخذ الاتحاد غير المنفصل للرسوم البيانية لكل من polytopes.

لاحظ الآن أننا قد نعتبر P (H) كمجموعة من polytopes ، وبالتالي نربط رسمًا بيانيًا بها.

على سبيل المثال ، الرسم البياني للقسم الفائق التكعيبي هو شعرية مفرطة التكعيبية.

قد يعتبر المرء أن كل رسم بياني مستو متصل (مع تضمين محدد في المستوى) هو نوع من التقريب للمستوى. لكن ليس كل رسم بياني مستوٍ يظهر في بنائنا حتى الآن.
هل يمكننا تعميم بنائنا بحيث ينشأ على الأقل كل رسم بياني مستو مترابط محدود؟

لاحظ أن اتحاد غرفتين تشتركان في جدار مشترك (مع هذا الجدار) سيظل متعدد الأطوار محدبًا. وهذا يعني أن هذا الاختلاط يحدد قسمًا أكثر صرامة لـ E (لا يزال في polytopes محدبة). مزيد من عمليات الاختلاط هذه قد (أو لا) تستمر في الحفاظ على التحدب. يتم الحصول على تقسيم أكثر عمومية لـ E إلى polytopes (محدبة) من قسم من النموذج P (H) عن طريق عمليات الخلط المتكررة (المحدبة).
لاحظ أن فكرة الجدار لا تنجو من هذا التعميم.
في الوقت الحالي ، سيكون الجدار جزءًا من الأبعاد d-1 مشتركًا في حدود الغرفتين
(قد يكون هذا جدارًا صارمًا لإحدى الغرف ، ولكن ربما يكون جزءًا فقط من جدار الآخر).


الدوال الجبرية

موقع الويب هذا يدور حول فئة معينة من الوظائف متعددة القيم وهو حاليًا قيد الإنشاء. عند اكتماله ، سيوفر للقراء دليلًا عمليًا لفهم ماهية الوظائف الجبرية ، وكيفية رسم وتوضيح وتحليل تكاملات الكنتور عليها ، وشرح كيفية حساب توسعات الطاقة لهذه الوظائف ، وشرح وتنفيذ وتشفير خوارزمية نيوتن بوليغون ، و أظهر كيف يمكن تطبيق الأساس الكامل للتحليل المركب للوظائف ذات القيمة الفردية على الدوال الجبرية. على سبيل المثال ، كيف يمكن تطبيق نظرية لوران على الدوال الجبرية؟ كيف يمكن أن يمتد توسع القدرة (المتقارب) لوظيفة جبرية عبر نقاط مفردة متعددة؟ الأقسام التالية تجيب على هذه الأسئلة. يُنصح القارئ بقراءة الأقسام بترتيب تسلسلي حيث يبني كل قسم ويشير بشكل متكرر إلى الأقسام السابقة.

البرنامج المستخدم في هذا الموقع هو Mathematica.

التكرارات هي إضافة جديدة إلى موقع الويب هذا وستقوم بتوثيق عملي باستخدام التعبيرات المتكررة.

  • القسم 0: مقدمات
  • القسم 1: مقدمة
  • القسم 2: طريقة الرسم المحسن
  • القسم 3: تطبيق نظرية لوران على الدوال الجبرية
  • القسم 4: تطبيق نظرية المخلفات على الدوال الجبرية
  • القسم 5: كود الرياضيات
  • القسم 6: سلسلة Puiseux (خلفية)
  • القسم 7: سلسلة Puiseux (أمثلة)
  • القسم 8: التصميم doPuiseux
  • القسم 9: متسلسلة القدرة المحدودة (كثيرات الحدود)
  • القسم 10: نصف قطر تقارب سلسلة القدرة الجبرية
  • القسم 11: سطوح ريمان
  • القسم 12: تقييم نموذج غير محدد
  • القسم 13: تحليل تكاملات لوران الحلقية
  • القسم 14: تحليل سلسلة Laurent Puiseux الحلقيّة

ستحتوي صفحة كود الرياضيات على الكود الكامل لتنفيذ تطبيق نيوتن المضلع والمفاهيم الأخرى التي تمت مراجعتها.


اختبارات الجبر المجانية 1 التشخيصية

الجبر 1 هي دورة مصممة لإعطاء الطلاب فهمًا راسخًا للمعادلات الرياضية التي تتضمن المتغيرات ، وكذلك لتعليمهم أساسيات الرسم البياني ومعالجة الوظائف البسيطة. عادةً ما يأخذ الطلاب الجبر الأول في الصف الثامن أو التاسع تقريبًا ، على الرغم من أن البعض قد يأخذ الفصل في وقت مبكر أو بعد ذلك ، بعد أن يكون قد حصل على دورة في ما قبل الجبر ، ولكن قبل محاولة موضوعات مثل الجبر الثاني أو الهندسة أو فصول الرياضيات الأكثر صعوبة. من خلال إنشاء قاعدة صلبة في الجبر 1 ، يمكن للطلاب إعداد أنفسهم للنجاح في دورات الرياضيات والعلوم اللاحقة ، والتي تفترض جميعها معرفة بالمفاهيم الجبرية. سواء كنت بحاجة إلى مدرسين كبار في Algebra 1 في بوسطن ، أو مدرسين لـ Algebra 1 في ديترويت ، أو أفضل معلمي Algebra 1 في دالاس فورت وورث ، فإن العمل مع محترف قد يأخذ دراستك إلى المستوى التالي.

عادة ، أول شيء يتعلمه الطلاب كيفية القيام به في الجبر الأول هو حل معادلة ذات متغير واحد و mdasht أي ، معادلة يوجد فيها متغير واحد فقط ، & ldquox. & rdquo ثم يتعلم الطلاب الرسم البياني للوظائف الخطية في تنسيق & ldquoy = mx + b & rdquo يقدم هذا الجزء من الدورة التدريبية مفاهيم الميل ، وتقاطع y ، وتقاطع x ، ويعلم الطلاب رسم المعادلات الخطية بالرسم البياني. يتمثل جزء كبير من الجبر 1 في تعلم كيفية تحويل المعلومات من المعادلات إلى الرسوم البيانية ومن الرسوم البيانية إلى المعادلات ، وفهم كيفية تحليل المعادلات والرسوم البيانية حيث أن المفاهيم ذات الصلة جزء أساسي من الدورة التدريبية. على سبيل المثال ، بعض المشكلات في الجبر قد أقدم للطلاب نقطتين على مستوى إحداثي ، ثم أطلب منهم العثور على معادلة الخط الذي يربط النقطتين ، وتحديد معادلات الخطوط المتوازية والعمودية على هذا الخط ، على التوالي . يقدم Varsity Tutors موارد مثل اختبارات Algebra 1 التشخيصية المجانية للمساعدة في دراستك الذاتية ، أو قد ترغب في التفكير في مدرس الجبر 1.

يتم تدريس عدم المساواة أيضًا في الجبر 1 بنفس طريقة المعادلات و mdasht أي ، مع التركيز على تمثيلها على خطوط الأرقام أو رسمها بيانيًا. بعد تعلم كيفية حل ورسم الدوال الخطية البسيطة وعدم المساواة ، يتعلم الطلاب كيفية حل أنظمة المعادلات أو عدم المساواة باستخدام تقنيات الاستبدال والحذف.

بمجرد أن يتقن الطلاب المعادلات الخطية ، ينتقل الفصل لمعالجة المعادلات التربيعية ، التي تشكل الرسوم البيانية لها قطوع مكافئة. يركز Algebra I على حل الدوال التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية و FOIL ، بالإضافة إلى رسم القطع المكافئة ومعالجة مظهرها من خلال التغييرات التي تم إجراؤها على معادلة المصدر.

المفاهيم الأخرى التي يمكن تقديمها في نقاط مختلفة داخل فئات الجبر 1 هي الإحصاء والاحتمال ، النسبة المئوية ، والتغير في المائة. على الرغم من أن هذه المفاهيم لا ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالأفكار الشاملة للمعادلات والوظائف والرسوم البيانية ، إلا أنه يمكن تدريسها بطريقة تعكس منطق ذهابًا وإيابًا المستخدم لتعليم الطلاب حول الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم. على سبيل المثال ، يكون التركيز عند تعلم النسب المئوية هو كيفية تحويل النسبة المئوية إلى رقم عشري والعكس صحيح ، وعند التعبير عن احتمال وقوع حدث ما ، يتعرف الطلاب أيضًا بالضرورة على احتمال عدم وقوع الحدث.

تشكل المفاهيم الرياضية التي يتقنها الطلاب في الجبر 1 جوهر فهمهم الرياضي في العديد من الفصول اللاحقة في الرياضيات والعلوم. لهذا السبب ، من الأهمية بمكان أن يكتسب الطلاب فهمًا قويًا للمفاهيم الجبرية قبل الانتقال إلى فصول الرياضيات عالية المستوى. إذا كنت ترغب في بدء تعلم أو مراجعة مادة Algebra I في الوقت الحالي ، يمكنك استخدام اختبارات Varsity Tutors & rsquo Free Algebra I Practice للقيام بذلك. يتم تقديم كل اختبار تدريبي مؤلف من اثني عشر سؤالًا مثل اختبار قصير متعدد الاختيارات يتطرق إلى العديد من المفاهيم التي يتم تدريسها في صفوف الجبر 1. بعد الانتهاء من الاختبار ، لا يمكنك فقط رؤية درجاتك الأولية ، ولكن أيضًا كيف تتراكم درجاتك مقابل نتائج الآخرين و rsquo على أساس سؤال بسؤال. يمكن أن يوفر هذا بعض العزاء إذا فاتتك المشكلات التي وجدها الآخرون أيضًا صعبة للغاية ، أو بعض الدوافع إذا لاحظت أنك تفوت أسئلة وجدها الآخرون سهلة. جميع أسئلة Varsity Tutors & rsquo Algebra I تأتي أيضًا مع تفسيرات كاملة ، حتى تتمكن من التعلم من الأسئلة التي تخطئ فيها. بالإضافة إلى اختبارات Algebra 1 Practice و Algebra 1 ، قد ترغب أيضًا في التفكير في أخذ بعض بطاقات Algebra 1 Flashcards الخاصة بنا.

قد ترغب أيضًا في بدء عملية المراجعة من خلال إجراء اختبار كامل لممارسة الجبر الأول مجانًا. يمكن أن يساعدك الشكل الموسع لهذه الاختبارات التدريبية في اكتشاف مستوى إجادتك الحالي ووتيرة خوض الاختبار. بعد الانتهاء من الاختبار ، ستزودك صفحة النتائج بنفس المقاييس الإعلامية ، والتفسيرات الشاملة ، وموارد المراجعة الإضافية التي تقدمها اختبارات الممارسة الخاصة بالمفهوم. يمكن أن تساعدك اختبارات التدريب عبر الإنترنت هذه أيضًا على ضبط خطتك المخصصة لدراستها في الجبر من خلال إظهار المفاهيم التي تحتاج إلى أكبر قدر من الاهتمام. بعد قضاء بعض الوقت في المراجعة ، يمكنك تقييم تقدمك من خلال العودة لإجراء اختبار آخر لممارسة الجبر كامل الطول.

باستخدام Varsity Tutors & rsquo free Algebra I Practice Tests وغيرها من موارد Algebra I المجانية ، يمكنك تعزيز معرفتك في Algebra I وإتقان محتوى الموضوع و rsquos في أي وقت من الأوقات! سيعطيك هذا أساسًا رائعًا للمعرفة الرياضية والعلمية التي ستكتسبها في الدورات المستقبلية.


1: المقدمات الجبرية

نبذة مختصرة

تبين أن الجبر ، الذي تم إنشاؤه بواسطة مصفوفات i كما قدمها ديراك لوصف سلوك الإلكترونات ، هو تمثيل مصفوفة أمين لجبر كليفورد الحقيقي لزمان مينكوفسكي رباعي الأبعاد م. Hestenes من الممكن بالفعل إعطاء معالجة خالية من المصفوفة للمجالات الكهرومغناطيسية والمجالات الكهربية الضعيفة. في هذا البحث نقدم مسحًا للتركيبات الجبرية لجبر كليفورد لـ M. تستند نظريات المجال الحالية إلى مثل هذه الهياكل. في القسم 1 نناقش هياكل المنتج والارتفاعات. في القسم 2 تمت مناقشة الهياكل المعقدة. وهي تستند إلى اختيار وحدة ثابتة كاذبة و ampquot (& ampquotorientation & ampquot). في القسم 3 ، نتحرى عن الهياكل الجبرية اعتمادًا على اختيار متجه ثابت زمنيًا e (ومحور ampquottime & ampquot). نجد أن الجبر الكاذب su (2) و su (2) X u (l) متشابهان مع البنى التحتية لجبر كليفورد. يمكن تقديم الجبر الكاذب su (3) عن طريق الانحراف Hermitean جزء لا يمكن تتبعه من ناتج موتر من bivectors. في القسم 4 ، تمت مناقشة الحد الأدنى من المُثُل التي تعتمد على اختيار الفضاء الثابت

لإرسال طلب تحديث أو إزالة لهذه الورقة ، يرجى إرسال طلب تحديث / تصحيح / إزالة.

المقالات المقترحة

روابط مفيدة

الكتابة عن CORE؟

اكتشف مخرجات أبحاثنا واذكر عملنا.

CORE هي خدمة غير هادفة للربح تقدمها الجامعة المفتوحة وجيسك.


Chapter 1: Mathematical Preliminaries

Much of this chapter is devoted to describing and deriving some of the properties of the one-sided Laplace transform. The Laplace transform is the engineer's most important tool for analyzing the stability of linear, time-invariant, continuous-time systems. The Laplace transform is defined as:

We often write F( س) for the Laplace transform of F( t). It is customary to use lower-case letters for functions of time, t, and to use the same letter but in its upper-case form for the Laplace transform of the function throughout this book, we follow this practice.

We assume that the functions F( t) are of exponential type that they satisfy an inequality of the form />. If the real part of س, />, satisfies />? ؟ , then the integral that defines the Laplace transform converges. The Laplace transform usefulness comes largely from the fact that it allows us to convert differential and integro-differential equations into algebraic equations.

We now calculate the Laplace transform of some functions. We start with the unit step function (also known as the Heaviside [1] function):

From the definition of the Laplace transform, we find that:

Denote the real part of س by ? and its imaginary part by ? . Continuing our calculation, we find that:


If you never studied linear algebra or machine learning, then your past experience with math probably consisted of thinking about one number at a time. And, if you ever balanced a checkbook or even paid for dinner at a restaurant then you already know how to do basic things like adding and multiplying pairs of numbers. For example, the temperature in Palo Alto is (52) degrees Fahrenheit. Formally, we call values consisting of just one numerical quantity scalars. If you wanted to convert this value to Celsius (the metric system’s more sensible temperature scale), you would evaluate the expression (c = frac<5><9>(f - 32)) , setting (f) to (52) . In this equation, each of the terms— (5) , (9) , and (32) —are scalar values. The placeholders (c) and (f) are called variables and they represent unknown scalar values.

In this book, we adopt the mathematical notation where scalar variables are denoted by ordinary lower-cased letters (e.g., (x) , (y) , and (z) ). We denote the space of all (continuous) real-valued scalars by (mathbb) . For expedience, we will punt on rigorous definitions of what precisely space is, but just remember for now that the expression (x in mathbb) is a formal way to say that (x) is a real-valued scalar. The symbol (in) can be pronounced “in” and simply denotes membership in a set. Analogously, we could write (x, y in <0, 1>) to state that (x) and (y) are numbers whose value can only be (0) or (1) .

A scalar is represented by a NDArray with just one element. In the next snippet, we instantiate two scalars and perform some familiar arithmetic operations with them, namely addition, multiplication, division, and exponentiation.


  1. Groups: Basic group theory Group actions Abelian groups Group presentations.
  2. Rings: Basic ring theory Localization Unique factorization Polynomial rings.
  3. Modules: Basic definitions Operations Free and projective modules.
  4. Tensor products of modules and algebras.
  5. Representation Theory: Matrix algebras Semisimple rings Representation theory of finite groups.
  6. Field Extensions: Algebraic extensions Galois Theory Solvability.

General Background Required

  1. Undergraduate real analysis, as covered in MAT 25 and MAT 125A, B.
  2. Main concepts of complex analysis, as covered in MAT 185A. Minimum requirement: operations in the complex number system.
  3. Main concepts of topology, as covered in MAT 147. Topological spaces, bases, product topology, limit points, continuity, metric spaces, complete, connected, compact spaces.
  4. Graduate analysis, as covered in MAT 201A, B, and C.

The exam is based on the material covered in the textbook "Applied Analysis" by Hunter and Nachtergaele, and the textbook "Analysis" Chapters 1, 2, and 4-8 by Lieb and Loss. The Hunter and Nachtergaele text is available for free as a PDF File (Applied Analysis) or for purchase through Amazon Books (World Scientific, ISBN-10 #9810241917, $92.00). The Lieb and Loss text can also be purchased through Amazon Books (AMS, 2nd Edition, ISBN-10 #0821827839, $35.00).


شاهد الفيديو: شرح مادة توبولوجي باللغة العربية Topology. الدرس الأول (شهر نوفمبر 2021).