مقالات

3.11.E: مشاكل في حدود التسلسل (تمارين)


انظر أيضا الفصل 2 ، §13.

تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت أنه إذا كان (x_ {m} rightarrow 0 ) وإذا كان ( left {a_ {m} right } ) مقيدًا بـ (E ^ {1} ) أو (C، ) من ثم
[
أ_ {m} x_ {m} rightarrow 0.
]
هذا صحيح أيضًا إذا كانت (x_ {m} ) متجهات و (a_ {m} ) حجمي (أو العكس بالعكس).
[تلميح: إذا تم تقييد ( left {a_ {m} right } ) ، فهناك (K in E ^ {1} ) مثل
[
( forall m) quad left | a_ {m} right | ]
كـ (x_ {m} rightarrow 0 ) ،
[
( forall varepsilon> 0) ( موجود ك) ( forall m> k) quad left | x_ {m} right | < frac { varepsilon} {K} ( mathrm {why}؟) و
]
لذلك ( left | a_ {m} x_ {m} right | < varepsilon.] )

تمرين ( PageIndex {2} )

إثبات نظرية 1 (( text {ii}) ).
[تلميح: بواسطة Corollary 2 (ii) (iii) في §14 ، يجب أن نوضح أن (a_ {m} x_ {m} -a w rightarrow 0 ). الآن
[
a_ {m} x_ {m} -a q = a_ {m} left (x_ {m} -q right) + left (a_ {m} -a right) q.
]
حيث (x_ {m} -q rightarrow 0 ) و (a_ {m} -a rightarrow 0 ) بواسطة النتيجة الطبيعية 2 من §14. ومن ثم بالمشكلة 1 ،
[
a_ {m} left (x_ {m} -q right) rightarrow 0 text {and} left (a_ {m} -a right) q rightarrow 0
]
(تعامل مع (q ) كتسلسل ثابت واستخدم النتيجة الطبيعية 5 في §14). الآن طبق النظرية 1 (( mathrm {i}).] )

تمرين ( PageIndex {3} )

أثبت أنه إذا (a_ {m} rightarrow a ) و (a neq 0 ) في (E ^ {1} ) أو (C ، ) إذن
[
( موجود varepsilon> 0) ( موجود ك) ( forall m> k) quad left | a_ {m} right | geq varepsilon.
]
(نقول بإيجاز أن (a_ {m} ) محصور بعيدًا عن (0، ) من أجل (m> k.) ) ومن ثم إثبات حدود ( left { frac {1} {a_ {m}} right } ) لـ (m> k ).
[تلميح: بالنسبة للجزء الأول ، تابع كما في إثبات النتيجة الطبيعية 1 في (§14، text {with} x_ {m} = a_ {m}، ) (p = a، ) and ( ف = 0. )
بالنسبة للجزء الثاني ، عدم المساواة
[
( forall m> k) quad left | frac {1} {a_ {m}} right | leq frac {1} { varepsilon}
]
يؤدي إلى النتيجة المرجوة. (] )

تمرين ( PageIndex {4} )

أثبت أنه إذا (a_ {m} rightarrow a neq 0 ) في (E ^ {1} ) أو (C ، ) إذن
[
frac {1} {a_ {m}} rightarrow frac {1} {a}.
]
استخدم هذه والنظرية 1 (( text {ii) لإثبات النظرية} 1 ( text {iii) ، مع ملاحظة ذلك} )
[
frac {x_ {m}} {a_ {m}} = x_ {m} cdot frac {1} {a_ {m}}.
]
[تلميح: استخدم الملاحظة 3 والمشكلة 3 للعثور على ذلك
[
( forall m> k) quad left | frac {1} {a_ {m}} - frac {1} {a} right | = frac {1} {| a |} left | a_ {م} -أ الحق | frac {1} { left | a_ {m} right |} ،
]
حيث ( left { frac {1} {a_ {m}} right } ) مقيد و ( frac {1} {| a |} left | a_ {m} -a right | rightarrow 0. ) (لماذا؟)
ومن ثم ، من خلال المشكلة (1، left | frac {1} {a_ {m}} - frac {1} {a} right | rightarrow 0. ) تابع. (] )

تمرين ( PageIndex {5} )

إثبات المتلازمين 1 و 2 بطريقتين:
(ط) استخدم التعريف 2 من الفصل 2 ، الفقرة 13 من أجل النتيجة الطبيعية (1 (أ) ، ) لمعالجة الحدود اللانهائية بشكل منفصل ؛ ثم تثبت (ب) بافتراض العكس وإظهار التناقض مع ((أ). )
(2) إثبات (ب) أولاً باستخدام النتيجة الطبيعية 2 والنظرية 3 من الفصل 2 ، §13 ؛ ثم نستنتج (أ) بالتناقض.

تمرين ( PageIndex {6} )

إثبات النتيجة الطبيعية 3 بطريقتين (راجع المشكلة 5).

تمرين ( PageIndex {7} )

أثبت النظرية 4 كما هو مقترح ، وأيضًا بدون استخدام النظرية 1 (( mathrm {i}) ).

تمرين ( PageIndex {8} )

إثبات نظرية 2.
[تلميح: If ( overline {x} _ {m} rightarrow overline {p}، ) ثم
[
( forall varepsilon> 0) ( موجود ف) ( forall m> q) quad varepsilon> left | overline {x} _ {m} - overline {p} right | geq left | x_ {m k} -p_ {k} right | . quad ( mathrm {لماذا}؟)
]
وبالتالي حسب التعريف (x_ {m k} rightarrow p_ {k}، k = 1،2، ldots، n ).
على العكس ، إذا كان الأمر كذلك ، فاستخدم النظرية 1 (( mathrm {i}) ( text {ii}) ) للحصول على
[
sum_ {k = 1} ^ {n} x_ {mk} vec {e} _ {k} rightarrow sum_ {k = 1} ^ {n} p_ {k} vec {e} _ {k} و
]
مع ( vec {e} _ {k} ) كما في النظرية 2 من §§1-3].

تمرين ( PageIndex {8 '} )

في المشكلة (8، ) اثبت الجزء العكسي من التعريفات. (( text {Fix} varepsilon> 0، text {etc}) )

تمرين ( PageIndex {9} )

ابحث عن الحدود التالية في (E ^ {1}، ) بطريقتين: (1) باستخدام النظرية 1 ، لتبرير كل خطوة ؛ (2) استخدام التعاريف فقط.
[
start {array} {ll} { text {(a)} lim _ {m rightarrow infty} frac {m + 1} {m}؛} & { text {(b)} lim _ {m rightarrow infty} frac {3 m + 2} {2 m-1}} { text {(c)} lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {1+ n ^ {2}}؛} & { text {(d)} lim _ {n rightarrow infty} frac {n (n-1)} {1-2 n ^ {2}}} end {مجموعة مصفوفة}
]
([ text {Solution of} ( mathrm {a}) text {بالطريقة الأولى: Treat} )
[
frac {m + 1} {m} = 1 + frac {1} {m}
]
كمجموع (x_ {m} = 1 ) (ثابت) و
[
y_ {m} = frac {1} {m} rightarrow 0 text {(ثبت في} § 14).
]
وبالتالي من خلال النظرية 1 (( mathrm {i}) ) ،
[
frac {m + 1} {m} = x_ {m} + y_ {m} rightarrow 1 + 0 = 1.
]
الطريقة الثانية: Fix ( varepsilon> 0 ) وابحث عن (k ) مثل ذلك
[
( forall m> k) quad left | frac {m + 1} {m} -1 right | < varepsilon.
]
يوضح حل (m، ) أن هذا ينطبق إذا (m> frac {1} { varepsilon}. ) لذلك خذ عددًا صحيحًا (k> frac {1} { varepsilon} ، ) لذلك
[
( forall m> k) quad left | frac {m + 1} {m} -1 right | < varepsilon.
]
تحذير: لا يمكن تطبيق النظرية 1 (iii) مباشرة ، مع معاملة ((m + 1) / m ) على أنه حاصل قسمة (x_ {m} = m + 1 ) و (a_ {m} = m ، ) لأن (x_ {m} ) و (a_ {m} ) يتباعدان في (E ^ {1}. ) (النظرية 1 لا تنطبق على الحدود اللانهائية.) كعلاج ، نقسم أولاً البسط والمقام بقوة مناسبة لـ (m ( text {or} n).] )

تمرين ( PageIndex {10} )

اثبت ذلك
[
يسار | x_ {m} يمين | rightarrow + infty text {in} E ^ {*} text {iff} frac {1} {x_ {m}} rightarrow 0 quad left (x_ {m} neq 0 right).
]

تمرين ( PageIndex {11} )

إثبات ذلك إذا
[
x_ {m} rightarrow + infty text {and} y_ {m} rightarrow q neq- infty text {in} E ^ {*}،
]
من ثم
[
x_ {m} + y_ {m} rightarrow + infty.
]
هذا هو مكتوب بشكل رمزي
[
"+ infty + q = + infty text {if} q neq- infty."
]
افعل ايضا
[
"- infty + q = - infty text {if} q neq + infty."
]
يثبت ذلك بالمثل
[
"(+ infty) cdot q = + infty text {if} q> 0"
]
و
[
"(+ infty) cdot q = - infty text {if} q <0."
]
[تلميح: معالجة الحالات (q in E ^ {1} ، q = + infty ، ) و (q = - infty ) بشكل منفصل. استخدم التعاريف.]

تمرين ( PageIndex {12} )

ابحث عن الحد (أو ( underline { lim} ) و ( overline { lim} )) للتسلسلات التالية في (E ^ {*}: )
(أ) (x_ {n} = 2 cdot 4 cdots 2 n = 2 ^ {n} n! ) ؛
(ب) (x_ {n} = 5 n-n ^ {3} ؛ )
(ج) (x_ {n} = 2 n ^ {4} -n ^ {3} -3 n ^ {2} -1 ) ؛
(د) (x_ {n} = (- 1) ^ {n} n! ) ؛
(هـ) (x_ {n} = frac {(- 1) ^ {n}} {n!} ).
[تلميح لـ (( mathrm {b}): x_ {n} = n left (5-n ^ {2} right)؛ ) استخدم المشكلة 11.]

تمرين ( PageIndex {13} )

استخدم النتيجة الطبيعية 4 في §14 ، للعثور على ما يلي:
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {(- 1) ^ {n}} {1 + n ^ {2}} ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1-n + (- 1) ^ {n}} {2 n + 1} ).

تمرين ( PageIndex {14} )

اعثر على الاتي.
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1 + 2 + cdots + n} {n ^ {2}} ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {k ^ {2}} {n ^ {3} +1} ) ؛
(ج) ( lim _ {n rightarrow infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {k ^ {3}} {n ^ {4} -1} ).
[تلميح: احسب ( sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} ) باستخدام المشكلة 10 من الفصل 2 ، §§5-6.]
ما الخطأ في "الحل" التالي لـ ((a): frac {1} {n ^ {2}} rightarrow 0، frac {2} {n ^ {2}} rightarrow 0، ) إلخ.؛ ومن ثم الحد هو 0 (؟ )

تمرين ( PageIndex {15} )

لكل عدد صحيح (م جيك 0 ، ) دعونا
[
S_ {m n} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + cdots + n ^ {m}.
]
يثبت عن طريق الاستقراء على (م ) ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {S_ {m n}} {(n + 1) ^ {m + 1}} = frac {1} {m + 1}.
]
[تلميح: أولاً أثبت ذلك
[
(م + 1) S_ {mn} = (n + 1) ^ {m + 1} -1- sum_ {i = 0} ^ {m-1} left ( begin {array} {c} {m +1} {i} end {array} right) S_ {mi}
]
من خلال جمع التوسعات ذات الحدين ((k + 1) ^ {m + 1} ، k = 1 ، ldots ، n.] )

تمرين ( PageIndex {16} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} q ^ {n} = + infty text {if} q> 1؛ quad lim _ {n rightarrow infty} q ^ {n} = 0 text {if} | q | <1؛ رباعي ليم _ {n rightarrow infty} 1 ^ {n} = 1.
]
[تلميح: إذا (q> 1، ) ضع (q = 1 + d، d> 0. ) من خلال التوسيع ذي الحدين ،
[
q ^ {n} = (1 + d) ^ {n} = 1 + n d + cdots + d ^ {n}> n d rightarrow + infty. quad ( mathrm {لماذا؟})
]
إذا (| q | <1، ) ثم ( left | frac {1} {q} right |> 1 ؛ ) لذا ( lim left | frac {1} {q} صحيح | ^ {n} = + infty؛ ) استخدم مشكلة (10.] )

تمرين ( PageIndex {17} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {n} {q ^ {n}} = 0 text {if} | q |> 1، text {and} lim _ {n rightarrow infty} frac {n} {q ^ {n}} = + infty text {if} 0 ]
[تلميح: إذا (| q |> 1، ) استخدم ذات الحدين كما في المشكلة 16 للحصول عليها
[
| q | ^ {n}> frac {1} {2} n (n-1) d ^ {2}، n geq 2، text {so} frac {n} {| q | ^ {n }} < frac {2} {(n-1) d ^ {2}} rightarrow 0.
]
استخدم النتيجة الطبيعية 3 مع
[
x_ {n} = 0 ، left | z_ {n} right | = frac {n} {| q | ^ {n}} ، text {and} y_ {n} = frac {2} {( ن -1) د ^ {2}}
]
للحصول على ( left | z_ {n} right | rightarrow 0؛ ) ومن ثم أيضًا (z_ {n} rightarrow 0 ) بواسطة Corollary 2 (( text {iii) of} §14. نص {In case} 0

تمرين ( PageIndex {18} )

دع (r، a in E ^ {1}. ) اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} n ^ {r} a ^ {- n} = 0 text {if} | a |> 1.
]
[تلميح: إذا (r> 1 ) و (a> 1، ) استخدم المشكلة 17 مع (q = a ^ {1 / r} ) للحصول على (na ^ {- n / r} rightarrow 0. ) As
[
0 ]
الحصول على (n ^ {r} a ^ {- n} rightarrow 0 ).
إذا (r <1، ) ثم (n ^ {r} a ^ {- n}

تمرين ( PageIndex {19} )

(متسلسلة هندسية.) أثبت أنه إذا (| q | <1، ) إذن
[
lim _ {n rightarrow infty} left (a + a q + cdots + a q ^ {n-1} right) = frac {a} {1-q}.
]
[تلميح:
[
أ يسار (1 + q + cdots + q ^ {n-1} right) = a frac {1-q ^ {n}} {1-q} ،
]
حيث (q ^ {n} rightarrow 0، ) حسب المشكلة (16.] )

تمرين ( PageIndex {20} )

دع (0 [
lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {c} = 1.
]
( left [ text {تلميح: If} c> 1، text {put} sqrt [n] {c} = 1 + d_ {n}، d_ {n}> 0. text {Expand} c = left (1 + d_ {n} right) ^ {n} text {لإظهار ذلك} right. )
[
0 ]
لذلك (d_ {n} rightarrow 0 ) بواسطة Corollary (3.] )

تمرين ( PageIndex {21} )

تحقق من التسلسلات التالية للرتابة ، ( underline { lim} ) ، ( overline { lim} ) ، و ( lim ). (في كل حالة ، ابحث عن صيغة أو صيغ مناسبة للمصطلح العام.)
(أ) (2،5،10،17،26 ، ldots ) ​​؛
(ب) (2، -2،2، -2، ldots ) ​​؛
(ج) (2، -2، -6، -10، -14، ldots؛ )
(د) (1،1، -1، -1،1،1، -1، -1، ldots؛ )
(هـ) ( frac {3 cdot 2} {1} ، frac {4 cdot 6} {4} ، frac {5 cdot 10} {9} ، frac {6 cdot 14} { 16} ، ldots ).

تمرين ( PageIndex {22} )

حل مشكلة 21 للتسلسلات التالية.
(أ) ( frac {1} {2 cdot 3} ، frac {-8} {3 cdot 4} ، frac {27} {4 cdot 5} ، frac {-64} {5 cdot 6}، frac {125} {6 cdot 7}، ldots؛ )
(ب) ( frac {2} {9} ، - frac {5} {9} ، frac {8} {9} ، - frac {13} {9} ، ldots ؛ )
(ج) ( frac {2} {3} ، - frac {2} {5} ، frac {4} {7} ، - frac {4} {9} ، frac {6} {11 } ، - frac {6} {13} ، ldots )
(د) (1،3،5،1،1،3،5،2،1،3،5،3، ldots، 1،3،5، n، ldots؛ )
(هـ) (0.9،0.99،0.999 ، ldots ) ​​؛
(و) (+ infty، 1، + infty، 2، + infty، 3، dots؛ )
(( mathrm {g}) - infty، 1، - infty، frac {1} {2}، ldots، - infty، frac {1} {n}، ldots ).

تمرين ( PageIndex {23} )

حل المشكلة 20 على النحو التالي: إذا (c geq 1، { sqrt [n] {c} } downarrow. ( mathrm {Why}؟) ) By Theorem (3، ) (p = lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {c} ) موجود و
[
( forall n) quad 1 leq p leq sqrt [n] {c}، text {ie،} 1 leq p ^ {n} leq c.
]
حسب المشكلة (16 ، ف ) لا يمكن أن يكون (> 1 ، ) لذا (ع = 1 ).
في حالة (0

تمرين ( PageIndex {24} )

أثبت وجود ( lim x_ {n} ) وابحث عنه عندما يتم تعريف (x_ {n} ) استقرائيًا بواسطة
(i) (x_ {1} = sqrt {2}، x_ {n + 1} = sqrt {2 x_ {n}} ) ؛
(ii) (x_ {1} = c> 0، x_ {n + 1} = sqrt {c ^ {2} + x_ {n}} ) ؛
(iii) (x_ {1} = c> 0، x_ {n + 1} = frac {c x_ {n}} {n + 1}؛ ) ومن ثم استنتج أن ( lim _ {n rightarrow infty} frac {c ^ {n}} {n!} = 0 ).
[تلميح: أظهر أن التسلسلات رتيبة ومحددة بـ (E ^ {1} ) (النظرية 3).
على سبيل المثال ، في (2) غلة الحث
[
x_ {n} ]
وبالتالي ( lim x_ {n} = lim x_ {n + 1} = p ) موجود. لإيجاد (p، ) قم بتربيع المعادلة
[
x_ {n + 1} = sqrt {c ^ {2} + x_ {n}} quad ( text {Given})
]
واستخدم النظرية 1 للحصول عليها
[
ص ^ {2} = ج ​​^ {2} + ص. quad ( mathrm {لماذا؟})
]
حل من أجل (p ) (مع ملاحظة أن (p> 0) ، ) الحصول عليها
[
p = lim x_ {n} = frac {1} {2} left (1+ sqrt {4 c ^ {2} +1} right) ؛
]
بالمثل في الحالات (1) و (3). (] )

تمرين ( PageIndex {25} )

ابحث عن ( lim x_ {n} ) في (E ^ {1} ) أو (E ^ {*} ) (إن وجد) ، بالنظر إلى ذلك
(أ) (x_ {n} = (n + 1) ^ {q} -n ^ {q} ، 0 (ب) (x_ {n} = sqrt {n} ( sqrt {n + 1} - sqrt {n}) ) ؛
(ج) (x_ {n} = frac {1} { sqrt {n ^ {2} + k}} ) ؛
(د) (x_ {n} = n (n + 1) c ^ {n}، ) مع (| c | <1 ) ؛
(هـ) (x_ {n} = sqrt [n] { sum_ {k = 1} ^ {m} a_ {k} ^ {n}} ، ) مع (a_ {k}> 0 ) ؛
(f) (x_ {n} = frac {3 cdot 5 cdot 7 cdots (2 n + 1)} {2 cdot 5 cdot 8 cdots (3 n-1)} ).
[تلميحات:
(أ) (0 (ب) (x_ {n} = frac {1} {1+ sqrt {1 + 1 / n}} ، ) حيث (1 < sqrt {1+ frac {1} {n}} <1+ frac {1} {n} rightarrow 1، ) لذا (x_ {n} rightarrow frac {1} {2}. ) (لماذا؟)
(ج) تحقق من ذلك
[
frac {n} { sqrt {n ^ {2} + n}} leq x_ {n} leq frac {n} { sqrt {n ^ {2} +1}} ،
]
لذلك (x_ {n} rightarrow 1 ) بواسطة Corollary 3. (قدِّم دليلًا.)
(د) انظر المشكلتين 17 و 18.
(هـ) دع (a = max left (a_ {1}، ldots، a_ {m} right). ) أثبت أن (a leq x_ {n} leq a sqrt [n] {م}. ) مشكلة الاستخدام (20.] )
فيما يلي بعض المشكلات الصعبة ولكنها مفيدة ذات الأهمية النظرية.
يجب أن تجعلها التلميحات الصريحة ليست صعبة للغاية

تمرين ( PageIndex {26} )

دع ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}. ) أثبت أنه إذا (x_ {n} rightarrow p ) في (E ^ {1}، ) ثم ايضا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = p
]
(على سبيل المثال ، (p ) هو أيضًا حد تسلسل الوسائل الحسابية لـ (x_ {n}). )
[الحل: Fix ( varepsilon> 0. ) ثم
[
( موجود ك) ( forall n> k) quad p- frac { varepsilon} {4} ]
مضيفا (n-k ) عدم المساواة ، احصل على
[
(nk) left (p- frac { varepsilon} {4} right) < sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ {i} <(nk) left (p + frac { varepsilon} {4} right).
]
مع (ك ) ثابتًا جدًا ، لدينا بالتالي
[
( forall n> k) quad frac {nk} {n} left (p- frac { varepsilon} {4} right) < frac {1} {n} left (x_ {k + 1} + cdots + x_ {n} right) < frac {nk} {n} left (p + frac { varepsilon} {4} right).
]
هنا ، مع (k ) و ( varepsilon ) ثابت ،
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {n-k} {n} left (p- frac { varepsilon} {4} right) = p- frac { varepsilon} {4}.
]
ومن ثم ، مثل (p- frac {1} {2} varepsilon [
left ( forall n> k ^ { prime} right) quad p- frac { varepsilon} {2} < frac {nk} {n} left (p- frac { varepsilon} { 4} حق).
]
بصورة مماثلة،
[
يسار ( موجود k ^ { prime prime} right) يسار ( forall n> k ^ { prime prime} right) quad frac {nk} {n} left (p + frac { varepsilon} {4} right)

]
بدمج هذا مع (i) ، لدينا ، لـ (K ^ { prime} = max left (k، k ^ { prime}، k ^ { prime prime} right) ) ،
[
left ( forall n> K ^ { prime} right) quad p- frac { varepsilon} {2} < frac {1} {n} left (x_ {k + 1} + cdots + x_ {n} right)

]
الآن مع (ك ) ثابت ،
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} left (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {k} right) = 0.
]
بالتالي
[
يسار ( موجود K ^ { prime prime} right) يسار ( forall n> K ^ { prime prime} right) quad- frac { varepsilon} {2} < frac { 1} {n} left (x_ {1} + cdots + x_ {k} right) < frac { varepsilon} {2}.
]
دعونا (K = max left (K ^ { prime}، K ^ { prime prime} right). ) ثم ندمج مع (ii) ، لدينا
[
( forall n> K) quad p- varepsilon < frac {1} {n} left (x_ {1} + cdots + x_ {n} right)

]
والنتيجة تتبع.

تمرين ( PageIndex {26 '} )

أظهر أن نتيجة المشكلة 26 تنطبق أيضًا على الحدود اللانهائية (p = pm infty in E ^ {*}. )

تمرين ( PageIndex {27} )

أثبت أنه إذا (x_ {n} rightarrow p ) في (E ^ {*} left (x_ {n}> 0 right) ، ) إذن
[
lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} = p.
]
[تلميح: دعنا أولاً (0

0 ، ) استخدم الكثافة لإصلاح ( delta> 1 ) قريبة جدًا من 1
[
ف- varepsilon < frac {p} { delta}

]
كـ (x_ {n} rightarrow p ) ،
[
( موجود ك) ( forall n> k) quad frac {p} { sqrt [4] { delta}} ]
تابع كما في المشكلة (26 ، ) استبدال ( varepsilon ) ب ( دلتا ، ) والضرب بالجمع (أيضًا الطرح بالقسمة ، إلخ ، كما هو موضح أعلاه). ابحث عن حل مشابه للحالة (p = + infty. ) لاحظ نتيجة المشكلة 20.]

تمرين ( PageIndex {28} )

دحض من خلال الأمثلة المضادة الآثار العكسية في المسائل 26 و (27. ) على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسلات
[
1 ، -1 ، 1 ، -1 ، نقاط
]
و
[
frac {1} {2}، 2، frac {1} {2}، 2، frac {1} {2}، 2، ldots
]

تمرين ( PageIndex {29} )

اثبت ما يلي.
(i) إذا ( left {x_ {n} right } subset E ^ {1} ) و ( lim _ {n rightarrow infty} left (x_ {n + 1} - x_ {n} right) = p ) في (E ^ {*}، ) ثم ( frac {x_ {n}} {n} rightarrow p ).
(ii) إذا ( left {x_ {n} right } المجموعة الفرعية E ^ {1} left (x_ {n}> 0 right) ) وإذا ( frac {x_ {n + 1}} {x_ {n}} rightarrow p in E ^ {*}، ) ثم ( sqrt [n] {x_ {n}} rightarrow p ).
دحض العبارات المعاكسة من خلال الأمثلة المضادة.
[تلميح: لـ (( mathrm {i}) ، ) let (y_ {1} = x_ {1} ) و (y_ {n} = x_ {n} -x_ {n-1} ، n = 2،3، ldots ) ​​ثم (y_ {n} rightarrow p ) و
[
frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} = frac {x_ {n}} {n} ،
]
لذلك تنطبق المسائل 26 و (26 ^ { prime} ).
بالنسبة إلى (2) ، استخدم المشكلة (27. ) انظر المشكلة 28 للحصول على أمثلة. (] )

تمرين ( PageIndex {30} )

استنتج ذلك من المشكلة 29
(أ) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {n!} = + infty ) ؛
(ب) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {n + 1} {n!} = 0 ) ؛
(ج) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] { frac {n ^ {n}} {n!}} = e )؛
(د) ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} sqrt [n] {n!} = frac {1} {e} ) ؛
(هـ) ( lim _ {n rightarrow infty} sqrt [n] {n} = 1 ).

تمرين ( PageIndex {31} )

اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = frac {a + 2 b} {3} ،
]
معطى
[
x_ {0} = a، x_ {1} = b، text {and} x_ {n + 2} = frac {1} {2} left (x_ {n} + x_ {n + 1} right ).
]
[تلميح: أظهر أن الاختلافات (dn = x_ {n} -x_ {n-1} ) تشكل تسلسلًا هندسيًا ، مع النسبة (q = - frac {1} {2} ، ) و ( x_ {n} = a + sum_ {k = 1} ^ {n} d_ {k}. ) ثم استخدم نتيجة المشكلة (19.] )

تمرين ( PageIndex {32} )

( Rightarrow 32. ) لأي تسلسل ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}، ) أثبت ذلك
[
تسطير { lim} x_ {n} leq underline { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq overline { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq overline { lim} x_ {n}.
]
ومن ثم إيجاد حل جديد للمسألتين 26 و (26 ^ { prime}. )
[إثبات لـ ( overline { lim} ): إصلاح أي (k in N. ) ضع
[
c = sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} text {and} b = sup _ {i geq k} x_ {i}.
]
تحقق من أن
[
( forall n> k) quad x_ {k + 1} + x_ {k + 2} + cdots + x_ {n} leq (n-k) ب.
]
أضف (c ) على كلا الجانبين واقسم على (n ) للحصول على
[
( forall n> k) quad frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq frac {c} {n} + frac {nk} {n } ب.
]
الآن أصلح أي ( varepsilon> 0، ) ودع أولاً (| b | <+ infty. ) كـ ( frac {c} {n} rightarrow 0 ) و ( frac {nk } {n} b rightarrow b، ) يوجد (n_ {k}> k ) مثل
[
left ( forall n> n_ {k} right) quad frac {c} {n} < frac { varepsilon} {2} text {and} frac {nk} {n} b ]
وهكذا بواسطة ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ) ،
[
يسار ( forall n> n_ {k} right) quad frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq varepsilon + b.
]
ينطبق هذا أيضًا بوضوح إذا (b = sup _ {i geq k} x_ {i} = + infty. ) ومن ثم أيضًا
[
sup _ {n geq n_ {k}} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq varepsilon + sup _ {i geq k} x_ { أنا}.
]
نظرًا لأن (k ) و ( varepsilon ) كانا تعسفيين ، فقد نسمح أولاً (k rightarrow + infty ، ) ثم ( varepsilon rightarrow 0 ، ) للحصول على
[
تسطير { lim} frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} leq lim _ {k rightarrow infty} sup _ {i geq k} x_ {i} = overline { lim} x_ {n}. رباعي ( نص {شرح!})]
]

تمرين ( PageIndex {33} )

( Rightarrow 33. ) معطى ( left {x_ {n} right } subseteq E ^ {1}، x_ {n}> 0، ) أثبت ذلك
[
تسطير { lim} x_ {n} leq underline { lim} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} text {and} overline { lim} sqrt [n] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}} leq overline { lim} x_ {n}.
]
ومن ثم الحصول على حل جديد للمشكلة (27. )
[تلميح: تابع كما هو مقترح في المشكلة (32 ، ) مع استبدال الجمع بالضرب.]

تمرين ( PageIndex {34} )

معطى (x_ {n}، y_ {n} in E ^ {1} left (y_ {n}> 0 right)، ) مع
[
x_ {n} rightarrow p in E ^ {*} text {and} b_ {n} = sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} rightarrow + infty،
]
اثبت ذلك
[
lim _ {n rightarrow infty} frac { sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} { sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i}} = ص.
]
لاحظ أن المشكلة 26 هي حالة خاصة من المشكلة 34 (خذ الكل (y_ {n} = 1) ). [تلميح إلى (p: ) محدود (p: ) تابع كما في المشكلة (26. ) ومع ذلك ، قبل إضافة (n-k ) عدم المساواة ، اضرب في (y_ {i} ) واحصل على
[
يسار (p- frac { varepsilon} {4} right) sum_ {i = k + 1} ^ {n} y_ {i} < sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ { i} y_ {i} < left (p + frac { varepsilon} {4} right) sum_ {i = k + 1} ^ {n} y_ {i}.
]
( operatorname {Put} b_ {n} = sum_ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ) وأظهر ذلك
[
frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = k + 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = 1- frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} y_ {i} ،
]
حيث (b_ {n} rightarrow + infty ( text {افتراضيا}) ، ) لذلك
[
frac {1} {b_ {n}} sum_ {i = 1} ^ {k} x_ {i} y_ {i} rightarrow 0 quad text {(for a fixed} k).
]
يتابع. ابحث عن دليل لـ (p = pm infty.] )

تمرين ( PageIndex {35} )

حل المشكلة 34 بالنظر في ( underline { lim} ) و ( overline { lim} ) كما في المشكلة 32.
( left [ text {تلميح: استبدال} frac {c} {n} text {by} frac {c} {b_ {n}} ، text {where} b_ {n} = sum_ { i = 1} ^ {n} y_ {i} rightarrow + infty. right] )

تمرين ( PageIndex {36} )

أثبت أنه إذا (u_ {n}، v_ {n} in E ^ {1}، ) مع ( left {v_ {n} right } uparrow ) (بشكل صارم) و (v_ {n} rightarrow + infty، ) وإذا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}} = p quad left (p in E ^ {*}حق)،
]
ثم ايضا
[
lim _ {n rightarrow infty} frac {u_ {n}} {v_ {n}} = p،
]
[تلميح: نتيجة المشكلة (34 ، ) مع
[
x_ {n} = frac {u_ {n} -u_ {n-1}} {v_ {n} -v_ {n-1}} text {and} y_ {n} = v_ {n} -v_ { ن -1}.
]
يؤدي إلى النتيجة النهائية. (] )

تمرين ( PageIndex {37} )

من المشكلة 36 الحصول على حل جديد للمشكلة (15. ) وإثبات ذلك أيضًا
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( frac {S_ {mn}} {n ^ {m + 1}} - frac {1} {m + 1} right) = frac {1} {2}.
]
[تلميح: بالنسبة للجزء الأول ، ضع
[
u_ {n} = S_ {m n} text {and} v_ {n} = n ^ {m + 1}.
]
للمرة الثانية ، ضع
[
u_ {n} = (m + 1) S_ {m n} -n ^ {m + 1} text {and} v_ {n} = n ^ {m} (m + 1). ]
]

تمرين ( PageIndex {38} )

لنفترض (0 [
a_ {n + 1} = sqrt {a_ {n} b_ {n}} text {and} b_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n } right) ، n = 1،2 ، ldots
]
ثم (a_ {n + 1} [
b_ {n + 1} -a_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n} right) - sqrt {a_ {n} b_ {n}} = frac {1} {2} left ( sqrt {b_ {n}} - sqrt {a_ {n}} right) ^ {2}> 0.
]
استنتج ذلك
[
أ ]
لذلك ( left {a_ {n} right } uparrow ) و ( left {b_ {n} right } downarrow. ) حسب النظرية (3، a_ {n} rightarrow p ) و (b_ {n} rightarrow q ) للبعض (p، q in E ^ {1}. ) أثبت أن (p = q، ) أي ،
[
lim a_ {n} = lim b_ {n}.
]
(هذا هو الوسط الحسابي والهندسي لغاوس لـ (أ ) و (ب) )
[تلميح: ضع حدودًا لكلا الجانبين في (b_ {n + 1} = frac {1} {2} left (a_ {n} + b_ {n} right) ) لتحصل على (q = frac {1} {2} (p + q).] )

تمرين ( PageIndex {39} )

اسمح (0 [
a_ {n + 1} = frac {2 a_ {n} b_ {n}} {a_ {n} + b_ {n}} ، text {and} b_ {n + 1} = frac {1} { 2} يسار (a_ {n} + b_ {n} يمين) ، رباعي n = 1،2 ، ldots
]
اثبت ذلك
[
sqrt {a b} = lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} b_ {n}.
]
[تلميح: تابع كما في المشكلة 38.]

تمرين ( PageIndex {40} )

إثبات استمرارية الضرب النقطي ، أي إذا
[
overline {x} _ {n} rightarrow overline {q} text {and} overline {y} _ {n} rightarrow overline {r} text {in} E ^ {n}
]
(* أو في فضاء إقليدي آخر ؛ انظر الفقرة 9) ، إذن
[
overline {x} _ {n} cdot overline {y} _ {n} rightarrow overline {q} cdot overline {r}.
]


شاهد الفيديو: PS2 FreeDVDBoot SCPH-9004 (شهر نوفمبر 2021).