مقالات

2.2.E: مشاكل الأعداد الطبيعية والاستقراء (تمارين) - الرياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

أكمل التفاصيل المفقودة في الأمثلة (( mathrm {a}) و ( mathrm {b}) و ) و (( mathrm {d}) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

إثبات النظرية 2 بالتفصيل.

تمرين ( PageIndex {3} )

افترض (x_ {k} (أ) ( sum_ {k = 1} ^ {n} x_ {k} < sum_ {k = 1} ^ {n} y_ {k} )
(ب) إذا كانت all (x_ {k}، y_ {k} ) أكبر من صفر ، إذن
[
prod_ {k = 1} ^ {n} x_ {k} < prod_ {k = 1} ^ {n} y_ {k}
]

تمرين ( PageIndex {4} )

يثبت ذلك بالاستقراء
(ط) (1 ^ {n} = 1 ) ؛
(ii) (a 0 ).
ومن ثم نستنتج ذلك
(iii) (0 leq a ^ {n} <1 ) if (0 leq a <1 )؛
(iv) (a ^ {n} 0؛ ) إثبات بالتناقض.

تمرين ( PageIndex {5} )

إثبات متباينات برنولي: لأي عنصر ( varepsilon ) في حقل مرتب ،
(i) ((1+ varepsilon) ^ {n} geq 1 + n varepsilon ) if ( varepsilon> -1 ) ؛
(ii) ((1- varepsilon) ^ {n} geq 1-n varepsilon ) if ( varepsilon <1؛ n = 1،2،3، ldots )

تمرين ( PageIndex {6} )

لأية عناصر حقل (أ ، ب ) وأرقام طبيعية (م ، ن ، ) إثبات ذلك
[
start {array} {ll} { text {(i)} a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n}؛} & { text {(ii)} left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {mn}} { text {(iii)} (ab) ^ {n} = a ^ {n} b ^ {n}؛} & { نص {(iv)} (m + n) a = m a + na} { text {(v)} n (ma) = (nm) cdot a؛} & { text {(vi)} n (a + b) = n a + nb} end {array}
]
[تلميح: بالنسبة للمشكلات التي تتضمن رقمين طبيعيين ، أصلح (م ) واستخدم الاستقراء في (n] ).

تمرين ( PageIndex {7} )

إثبات ذلك في أي مجال ،
[
أ ^ {n + 1} -b ^ {n + 1} = (ab) sum_ {k = 0} ^ {n} a ^ {k} b ^ {nk}، quad n = 1،2،3 ، ldots
]
ومن ثم لـ (r neq 1 )
[
sum_ {k = 0} ^ {n} a r ^ {k} = a frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}
]
(مجموع (n ) شروط متسلسلة هندسية).

تمرين ( PageIndex {8} )

من أجل (n> 0 ) حدد
[
left ( start {array} {l} {n} {k} end {array} right) = left { begin {array} {ll} { frac {n!} {k! (nk)!}،} & {0 leq k leq n} {0،} & { text {وإلا}} end {array} right.
]
تحقق من قانون باسكال ،
[
يسار ( تبدأ {مجموعة} {l} {n + 1} {k + 1} نهاية {مجموعة} يمين) = يسار ( تبدأ {مجموعة} {l} {n} {k } end {array} right) + left ( start {array} {c} {n} {k + 1} end {array} right).
]
ثم اثبت عن طريق الاستقراء في (n ) ذلك
(i) (( forall k | 0 leq k leq n) left ( start {array} {l} {n} {k} end {array} right) in N؛ ) و
(2) لأي عناصر حقل (أ ) و (ب ) ،
[
(أ + ب) ^ {n} = sum_ {k = 0} ^ {n} left ( start {array} {l} {n} {k} end {array} right) a ^ {k} b ^ {nk}، quad n in N text {(نظرية ذات الحدين). }
]
ما القيمة التي يجب أن تأخذها (0 ^ {0} ) لـ (ii) لتتسع لجميع (a ) و (b؟ )

تمرين ( PageIndex {9} )

بيّن بالاستقراء أنه في الحقل المرتب (F ) أي تسلسل محدد (x_ {1} ، ldots ، x_ {n} ) له مصطلح أكبر وأقل (والذي لا يلزم أن يكون (x_ {1}) ) أو (x_ {n}). ) استنتج أن كل (N ) مجموعة لا نهائية ، في أي حقل مرتب.

تمرين ( PageIndex {10} )

أثبت في (E ^ {1} ) ذلك
(i) ( sum_ {k = 1} ^ {n} k = frac {1} {2} n (n + 1) ) ؛
(ii) ( sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = frac {1} {6} n (n + 1) (2 n + 1) ) ؛
(iii) ( sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = frac {1} {4} n ^ {2} (n + 1) ^ {2} ) ؛
(iv) ( sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {4} = frac {1} {30} n (n + 1) (2 n + 1) left (3 n ^ {2 } +3 n-1 right) ).


شاهد الفيديو: السابع - رياضيات - حل تمارين ضرب و قسمة الأعداد الصحيحة (شهر نوفمبر 2021).