مقالات

5.1: الحدود - الرياضيات


لنفترض أن (A subset mathbb {R} ) واجعل (x ) نقطة حد لـ (A. ) في ما يلي ، سنسمح لـ (S (A، x) ) بالإشارة إلى مجموعة من كل التسلسلات المتقاربة ( يسار {x_ {n} يمين } _ {n في I} ) مثل (x_ {n} in A ) للجميع (n in I ، x_ {n} neq x ) للجميع (n in I، ) و ( lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = x. ) سنسمح لـ (S ^ { +} (A، x) ) هي مجموعة فرعية من (S (A، x) ) من التسلسلات ( left {x_ {n} right } _ {n in I} ) التي لها (x_ {n}> x ) للجميع (n in I ) و (S ^ {-} (A، x) ) تكون مجموعة فرعية من (S (A، x) ) من التسلسلات ( left {x_ {n} right } _ {n in I} ) التي (x_ {n}

تعريف

لنفترض أن (D مجموعة فرعية mathbb {R} ، f: D rightarrow mathbb {R} ، L in mathbb {R} ، ) ونفترض أن (a ) هو نقطة حد لـ (D. ) نقول إن حد (f ) عندما يقترب (x ) من (أ ) هو (L ، ) يُشار إليه

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = L، ]

إذا كان لكل تسلسل ( يسار {x_ {n} يمين } _ {n في I} في S (D ، a) ) ،

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = L. ]

إذا كان (S ^ {+} (D، a) neq emptyset، ) نقول الحد من يمين (f ) عندما يقترب (x ) من (a ) هو (L ، ) يعني

[ lim _ {x rightarrow a +} f (x) = L، ]

إذا كان لكل تسلسل ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S ^ {+} (D، a) ) ،

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = L، ]

وإذا كان (S ^ {-} (D، a) neq emptyset ، ) نقول الحد من يسار (f ) عندما يقترب (x ) من (a ) هو ( L ، ) يُشار إليها

[ lim _ {x rightarrow a-} f (x) = L، ]

إذا كان لكل تسلسل ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S ^ {-} (D، a) ) ،

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = L. ]

قد نشير أيضا

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ]

عن طريق الكتابة

[f (x) rightarrow L text {as} x rightarrow a. ]

وبالمثل ، قد نشير

[ lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = L ]

عن طريق الكتابة

[f (x) rightarrow L text {as} x downarrow a ]

و

[ lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = L ]

عن طريق الكتابة

[f (x) rightarrow L text {as} x uparrow a ]

نسمح أيضا

[f (a +) = lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) ]

و

[f (a -) = lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x). ]

يجب أن يكون واضحًا أنه إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و (S ^ {+} (D، a) neq emptyset، ) ثم (f ( أ +) = L ). وبالمثل ، إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و (S ^ {-} (D، a) neq emptyset، ) ثم (f (a-) = L ).

الاقتراح ( PageIndex {1} )

افترض أن (D subset mathbb {R} و f: D rightarrow mathbb {R} و ) و (a ) هي نقطة حد لـ (D ). إذا (f (a -) = f (a +) = L، ) ثم ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ).

دليل - إثبات

افترض ( left {x_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} in S (D، a). ) دعنا

[J ^ {-} = يسار {n: n in mathbb {Z}، x_ {n}

و

[J ^ {+} = left {n: n in mathbb {Z}، x_ {n}> a right }. ]

افترض أن (J ^ {-} ) فارغًا أو محدودًا ودع (k = m-1 ) إذا (J ^ {-} = emptyset ) وإلا فلنكن (k ) أكبر عدد صحيح في (J ^ {-}. ) ثم ( left {x_ {n} right } _ {n = k + 1} ^ { infty} في S ^ {+} (D ، أ) ، ) وهكذا

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = f (a +) = L. ]

تظهر حجة مماثلة أنه إذا كان (J ^ {+} ) فارغًا أو محدودًا ، إذن

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = f (a -) = L. ]

إذا لم يكن (J ^ {-} ) ولا (J ^ {+} ) محددًا أو فارغًا ، فعندئذٍ ( left {x_ {n} right } _ {n in J} - ) و ( left {x_ {n} right } _ {n in J} + ) هي تكرارات ( left {x_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ) مع ( left {x_ {n} right } _ {n in J ^ {-}} in S ^ {-} (D، a) ) و ( يسار {x_ {n} يمين } _ {n في J +} في S ^ {+} (D، a). ) ومن ثم ، نظرًا لأي ( epsilon> 0 ، ) قد نجد أعدادًا صحيحة (N ) و (م ) من هذا القبيل

[ left | f left (x_ {n} right) -L right | < epsilon ]

في أي وقت (n in left {j: j in J ^ {-}، j> N right } ) و

[ left | f left (x_ {n} right) -L right | < epsilon ]

عندما (n in left {j: j in J ^ {+}، j> M right }. ) لنكن (P ) أكبر من (N ) و (M . ) بما أن (J ^ {-} cup J ^ {+} = left {j: j in mathbb {Z} ^ {+}، j geq m right }، ) يتبع ذلك

[ left | f left (x_ {n} right) -L right | < epsilon ]

كلما (n> P. ) ومن هنا ( lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = L، ) وهكذا ( lim _ {x rightarrow a } و (س) = L ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {2} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a ) نقطة حد لـ (D، ) و (f: D rightarrow mathbb {R} ). إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و ( alpha in mathbb {R}، ) إذن

[ lim _ {x rightarrow a} alpha f (x) = alpha L. ]

دليل - إثبات

افترض ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S (D، a). ) ثم

[ lim _ {n rightarrow infty} alpha f left (x_ {n} right) = alpha lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = alpha L. ]

ومن هنا ( lim _ {x rightarrow a} alpha f (x) = alpha L ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {3} )

لنفترض أن (D subset mathbb {R}، a ) هي نقطة حد لـ (D ، f: D rightarrow mathbb {R} ، ) و (g: D rightarrow mathbb {R} . ) إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = M، ) إذن

[ lim _ {x rightarrow a} (f (x) + g (x)) = L + M. ]

دليل - إثبات

افترض ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S (D، a). ) ثم

[ lim _ {n rightarrow infty} left (f left (x_ {n} right) + g left (x_ {n} right) right) = lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) + lim _ {n rightarrow infty} g left (x_ {n} right) = L + M. ]

ومن هنا ( lim _ {x rightarrow a} (f (x) + g (x)) = L + M ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {4} )

لنفترض أن (D subset mathbb {R}، a ) هي نقطة حد لـ (D ، f: D rightarrow mathbb {R} ، ) و (g: D rightarrow mathbb {R} . ) إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = M، ) ثم

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) g (x) = L M. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

إثبات الاقتراح السابق.

الاقتراح ( PageIndex {5} )

لنفترض أن (D مجموعة فرعية mathbb {R} ، a ) هي نقطة حد لـ (D ، f: D rightarrow mathbb {R} ) ، (g: D rightarrow mathbb {R} ، ) و (g (x) neq 0 ) للجميع (x in D. ) إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ، lim _ {x السهم الأيمن a} g (x) = M، ) و (M neq 0، ) ثم

[ lim _ {x rightarrow a} frac {f (x)} {g (x)} = frac {L} {M}. ]

تمرين ( PageIndex {2} )

إثبات الاقتراح السابق.

الاقتراح ( PageIndex {6} )

لنفترض أن (D مجموعة فرعية mathbb {R} ، a ) هي نقطة حد لـ (D ، f: D rightarrow mathbb {R} ، ) و (f (x) geq 0 ) لـ all (x in D. ) If ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L، ) ثم

[ lim _ {x rightarrow a} sqrt {f (x)} = sqrt {L}. ]

تمرين ( PageIndex {3} )

إثبات الاقتراح السابق.

بالنظر إلى (D subset mathbb {R} ، f: D rightarrow mathbb {R} ، ) و (A subset D ، ) سمحنا

[f (A) = {y: y = f (x) text {للبعض} x in A }. ]

على وجه الخصوص ، يشير (f (D) ) إلى نطاق (f ).

الاقتراح ( PageIndex {7} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، E subset mathbb {R}، a ) هي نقطة حد لـ (D، g: D rightarrow mathbb {R} )، (f: E rightarrow mathbb {R}، ) و (g (D) المجموعة الفرعية E. ) علاوة على ذلك ، افترض ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = b ) وبالنسبة للبعض ( epsilon> 0 )، (g (x) neq b ) للجميع (x in (a- epsilon، a + epsilon) cap D. ) إذا ( lim _ { x rightarrow b} f (x) = L ، ) ثم

[ lim _ {x rightarrow a} f circ g (x) = L. ]

دليل - إثبات

افترض ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S (D، a). ) ثم

[ lim _ {n rightarrow infty} g left (x_ {n} right) = b. ]

دع (N in mathbb {Z} ^ {+} ) مثل ( left | x_ {n} -a right | < epsilon ) كلما (n> N. ) ثم

[ left {g left (x_ {n} right) right } _ {n = N + 1} ^ { infty} in S (E، b)، ]

وبالتالي

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (g left (x_ {n} right) right) = L. ]

وهكذا ( lim _ {x rightarrow a} f circ g (x) = L ). ( رباعي ) Q.E.D.

مثال ( PageIndex {1} )

يترك

[g (x) = left { begin {array} {ll} {0،} & { text {if} x neq 0،} {1،} & { text {if} x = 0.} end {array} right. ]

إذا (f (x) = g (x) ، ) إذن

[f circ g (x) = left { begin {array} {ll} {1،} & { text {if} x neq 0،} {0،} & { text { إذا} x = 0.} end {array} right. ]

ومن هنا ( lim _ {x rightarrow 0} f circ g (x) = 1، ) بالرغم من ( lim _ {x rightarrow 0} g (x) = 0 ) و ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) = 0 ).

5.1.1 حدود كثيرات الحدود والوظائف المنطقية

مثال ( PageIndex {2} )

إذا تم إعطاء (c in mathbb {R} ) و (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) بواسطة (f (x) = c ) للجميع (x in mathbb {R} ) ، ثم بوضوح ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = c ) لأي (a in mathbb {R} ).

مثال ( PageIndex {3} )

لنفترض أن (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) تم تعريفه بواسطة (f (x) = x ) لجميع (x in mathbb {R}. ) إذا ، من أجل أي (a in mathbb {R} ، left {x_ {n} right } _ {n in I} in S ( mathbb {R}، a)، ) ثم

[ lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = lim _ {n rightarrow infty} x_ {n} = a. ]

ومن هنا ( lim _ {x rightarrow a} x = a ).

مثال ( PageIndex {4} )

افترض أنه تم تعريف (n in mathbb {Z} ^ {+} ) و (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) بواسطة (f (x) = x ^ {n } ). ثم

[ lim _ {x rightarrow a} f (x) = lim _ {x rightarrow a} x ^ {n} = prod_ {i = 1} ^ {n} lim _ {x rightarrow a } س = أ ^ {n}. ]

تعريف

إذا كانت (n in mathbb {Z}، n geq 0، ) و (b_ {0}، b_ {1}، ldots، b_ {n} ) أرقامًا حقيقية مع (b_ {n } neq 0، ) ثم نسمي الوظيفة (p: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) المحددة بواسطة

[p (x) = b_ {n} x ^ {n} + b_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + b_ {1} x + b_ {0} ]

كثير حدود الدرجة (n ).

تمرين ( PageIndex {4} )

أظهر أنه إذا كان (f ) متعدد الحدود و (a in mathbb {R}، ) ثم ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = f (a) ).

تعريف

افترض أن (p ) و (q ) كثيرات الحدود و

[D = {x: x in mathbb {R}، q (x) neq 0 }. ]

نسمي الوظيفة (r: D rightarrow mathbb {R} ) المعرفة بواسطة

[r (x) = frac {p (x)} {q (x)} ]

دالة عقلانية.

تمرين ( PageIndex {5} )

أظهر أنه إذا كانت (f ) دالة منطقية و (a ) تقع في مجال (f، ) ثم ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = f (a) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a in D ) هي نقطة حد لـ (D، ) و ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ). إذا تم تعريف (E = D شرطة مائلة عكسية {a } ) و (g: E rightarrow mathbb {R} ) بواسطة (g (x) = f (x) ) للجميع ( x in E، ) أظهر أن ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = L. )

تمرين ( PageIndex {7} )

تقييم

[ lim _ {x rightarrow 1} frac {x ^ {5} -1} {x ^ {3} -1}. ]

تمرين ( PageIndex {8} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a ) نقطة حد لـ (D، f: D rightarrow mathbb {R}، g: D rightarrow mathbb {R} )، ( h: D rightarrow mathbb {R}، ) و (f (x) leq h (x) leq g (x) ) للجميع (x in D. ) إذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) و ( lim _ {x rightarrow a} g (x) = L، ) أظهر أن ( lim _ {x rightarrow a} h (x) = L. ) (هذه هي نظرية الضغط لحدود الوظائف.)

لاحظ أن النتائج أعلاه التي تم ذكرها للحدود ستحافظ أيضًا على الحدود المناسبة من جانب واحد ، أي الحدود من اليمين أو من اليسار.

تمرين ( PageIndex {9} )

يفترض

[f (x) = left { begin {array} {ll} {x + 1،} & { text {if} x <0،} {4،} & { text {if} x = 0، {x ^ {2}،} & { text {if} x> 0.} end {array} right. ]

قم بتقييم (f (0) و f (0 -) و ) و (f (0+). ) هل ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) ) موجود؟

5.1.2 التعاريف المتكافئة

الاقتراح ( PageIndex {8} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a ) نقطة حد لـ (D، ) و (f: D rightarrow mathbb {R} ). ثم ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ) إذا وفقط إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) وجود ( delta> 0 ) مثل ذلك

[| f (x) -L | < epsilon text {when} x neq a text {and} x in (a- delta، a + delta) cap D. ]

دليل - إثبات

افترض ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L. ) لنفترض وجود ( epsilon> 0 ) بحيث يوجد لكل ( delta> 0 ) (x in (a- delta، a + delta) cap D، x neq a، ) التي (| f (x) -L | geq epsilon ). من أجل (n = 1،2،3 ، ldots ، ) اختر

[x_ {n} in left (a- frac {1} {n}، a + frac {1} {n} right) cap D ، ]

(x_ {n} neq a، ) مثل ( left | f left (x_ {n} right) -L right | geq epsilon. ) ثم ( left {x_ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty} in S (D، a)، ) ولكن ( left {f left (x_ {n} right) right } _ {n = 1} ^ { infty} ) لا يتقارب مع (L، ) يتعارض مع الافتراض بأن ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L ).

افترض الآن أنه لكل ( epsilon> 0 ) يوجد ( delta> 0 ) مثل (| f (x) -L | < epsilon ) كلما (x neq a ) و (x in (a- delta، a + delta) cap D. ) دعنا ( left {x_ {n} right } _ {n in I} in S (D، a ). ) معطى ( epsilon> 0 ) ، دع ( delta> 0 ) يكون هكذا (| f (x) -L | < epsilon ) كلما (x neq a ) و (x in (a- delta، a + delta) cap D. ) اختر (N in mathbb {Z} ) بحيث ( left | x_ {n} -a right | < delta ) متى (n> N. ) ثم ( left | f left (x_ {n} right) -L right | < epsilon ) للجميع (n> N. ) ومن هنا ( lim _ {n rightarrow infty} f left (x_ {n} right) = L، ) وهكذا ( lim _ {x rightarrow a} f (x) = L . ) ( رباعي ) QED

البراهين على الافتراضين التاليين متشابهة.

الاقتراح ( PageIndex {9} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a ) نقطة حد لـ (D، f: D rightarrow mathbb {R}، ) و (S ^ {-} (D، a) neq emptyset. ) ثم ( lim _ {x rightarrow a ^ {-}} f (x) = L ) إذا وفقط إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) ( delta> 0 ) مثل ذلك

[| f (x) -L | < epsilon text {when} x in (a- delta، a) cap D. ]

الاقتراح ( PageIndex {10} )

افترض أن (D subset mathbb {R}، a ) نقطة حد لـ (D، f: D rightarrow mathbb {R}، ) و (S ^ {+} (D، a) neq emptyset. ) ثم ( lim _ {x rightarrow a ^ {+}} f (x) = L ) إذا وفقط إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) ( delta> 0 ) مثل ذلك

[| f (x) -L | < epsilon text {when} x in (a، a + delta) cap D. ]

5.1.3 أمثلة

مثال ( PageIndex {5} )

حدد (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) من خلال

[f (x) = left { begin {array} {ll} {1،} & { text {if} x text {is reason،}} {0،} & { text { if} x text {غير منطقي. }} end {array} right. ]

دعونا (a in mathbb {R}. ) بما أن كل فاصل زمني مفتوح يحتوي على أرقام منطقية وغير منطقية ، لأي ( delta> 0 ) وأي اختيار لـ (L in mathbb {R} ، ) سيكون هناك (x in (a- delta، a + delta)، ) (x neq a، ) بحيث

[| f (x) -L | geq frac {1} {2}. ]

ومن ثم فإن ( lim _ {x rightarrow a} f (x) ) غير موجود لأي رقم حقيقي (a ).

مثال ( PageIndex {6} )

حدد (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) من خلال

[f (x) = left { begin {array} {ll} {x،} & { text {if} x text {is reason،}} {0،} & { text { if} x text {غير منطقي. }} end {array} right. ]

ثم ( lim _ {x rightarrow 0} f (x) = 0 ) منذ ذلك الحين ، معطى ( epsilon> 0 ، | f (x) | < epsilon ) مقدم (| x | < epsilon ).

تمرين ( PageIndex {9} )

أظهر أنه إذا كان (f ) كما هو معطى في المثال السابق و (a neq 0 ) ، فإن ( lim _ {x rightarrow a} f (x) ) غير موجود.

تمرين ( PageIndex {11} )

حدد (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) من خلال

[f (x) = left { begin {array} {ll} { frac {1} {q}،} & { text {if} x text {منطقي و} x = frac { p} {q}،} {0،} & { text {if} x text {is irrational،}} end {array} right. ]

حيث يتم أخذ (p ) و (q ) ليكونا أعداد صحيحة أولية نسبيًا مع (q> 0، ) ونأخذ (q = 1 ) عندما (x = 0 ) أظهر ذلك ، لأي رقم حقيقي (a، lim _ {x rightarrow a} f (x) = 0 ).

مثال ( PageIndex {7} )

حدد ( varphi: [0،1] rightarrow [-1،1] ) من خلال

[ varphi (x) = left { begin {array} {ll} {4 x،} & { text {if} 0 leq x leq frac {1} {4}،} {2-4 x،} & { text {if} frac {1} {4}

بعد ذلك حدد (s: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) من خلال (s (x) = varphi (x- lfloor x rfloor) ، ) حيث ( lfloor x rfloor ) يشير إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي (x ) (أي ، ( lfloor x rfloor ) هو أرضية (x )). الوظيفة (s ) هي مثال على وظيفة سن المنشار. راجع الرسوم البيانية لـ ( varphi ) و (s ) في الشكل (5.1 .1. ) لاحظ أنه لأي (n in mathbb {Z} ) ،

[s ([n، n + 1]) = [- 1،1]. ]

الآن دعونا (D = mathbb {R} backslash {0 } ) وحدد ( sigma: D rightarrow mathbb {R} ) بواسطة

[ sigma (x) = s left ( frac {1} {x} right). ]

انظر الرسم البياني لـ ( sigma ) في الشكل (5.1 .2. ) لاحظ أنه لأي (n in mathbb {Z} ^ {+} ) ،

[ sigma left ( left [ frac {1} {n + 1} ، frac {1} {n} right] right) = s ([n، n + 1]) = [- 1 ، 1]. ]

ومن ثم لأي ( epsilon> 0، sigma ((0، epsilon)) = [- 1،1]، ) وهكذا ( lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} sigma ( x) ) غير موجود. وبالمثل ، لا يوجد ( lim _ {x rightarrow 0 ^ {-}} sigma (x) ) ولا ( lim _ {x rightarrow 0} sigma (x) ).

مثال ( PageIndex {8} )

لنفترض أن (s ) هي دالة سن المنشار للمثال السابق ونسمح (D = mathbb {R} backslash {0 }. ) تعريف ( psi: D rightarrow mathbb {R} ) بواسطة

[ psi (x) = x s left ( frac {1} {x} right). ]

انظر الشكل 5.1.2 للرسم البياني لـ ( psi. ) ثم بالنسبة للجميع (س في د ) ،

[- | x | leq psi (x) leq | x | ، ]

وهكذا ( lim _ {x rightarrow 0} psi (x) = 0 ) من خلال نظرية الضغط.

تعريف

لنفترض أن (D مجموعة فرعية mathbb {R} ) و (f: D rightarrow mathbb {R}. ) نقول (f ) مقيد إذا كان هناك رقم حقيقي (B ) مثل هذا (| f (x) | leq B ) للجميع (x in D ).

تمرين ( PageIndex {12} )

افترض أن (f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ) مقيد. بيّن أن ( lim _ {x rightarrow 0} x f (x) = 0 ).


حدود الرياضيات

المؤلفون: تشيتين، جريجوري ج.

شراء هذا الكتاب

  • ردمك 978-1-85233-668-4
  • شحن مجاني للأفراد في جميع أنحاء العالم
  • يجب على العملاء المؤسسيين التواصل مع مدير حساباتهم
  • عادة ما تكون جاهزة للإرسال في غضون 3 إلى 5 أيام عمل ، إذا كانت متوفرة
  • ردمك 978-1-4471-1121-4
  • شحن مجاني للأفراد في جميع أنحاء العالم
  • يجب على العملاء المؤسسيين التواصل مع مدير حساباتهم
  • عادة ما تكون جاهزة للإرسال في غضون 3 إلى 5 أيام عمل ، إذا كانت متوفرة

عندما كان مراهقًا ، أنشأ جريج بشكل مستقل عن Kolmogorov و Solomonoff ، ما نسميه اليوم نظرية المعلومات الخوارزمية ، وهو أحد العناصر الفرعية التي يعد المهندس الرئيسي لها. لا تزال ورقته البحثية عام 1965 حول تجارب gedanken على الآلات الآلية ، والتي كتبها عندما كان في المدرسة الثانوية ، موضع اهتمام حتى اليوم. كما كان منخرطًا بشكل كبير في شركة IBM ، حيث عمل لما يقرب من ثلاثين عامًا ، في تطوير تقنية RISC. يتم اقتباس نتائج جريج على نطاق واسع. يمكن العثور على صورتي المفضلة لجريج في كتاب جون هورغان - كاتب في مجلة Scientific American - كتاب The End 01 Science لعام 1996. حصل جريج على العديد من الأوسمة. كان ضيفًا على شخصيات بارزة مثل بريغوجين ، ملك وملكة بلجيكا ، وولي عهد اليابان. فقط للإيجاز ، اسمح لي بإعادة صياغة Bette Davis في All About Eve. قالت ، "اربطوا أحزمة المقاعد ، سيكون حديث وعر!" سيداتي وسادتي جريج تشيتين! [ضحك وتصفيق] كريستيان كالود يقدم غريغوري شايتين في اجتماع DMTCS'96 في جامعة أوكلاند.


دالة أسية

ان النمو الأسي أو وظيفة الاضمحلال هي دالة تنمو أو تتقلص بمعدل نمو ثابت بالنسبة المئوية. يمكن كتابة المعادلة بالصيغة [latex] f (x) = a (1+ r) ^ x [/ latex] أو [latex] f (x) = ab ^ x [/ latex] حيث [اللاتكس] b = 1 + ص. [/ لاتكس]

  • [اللاتكس] a [/ اللاتكس] هي القيمة الأولية أو الأولية للوظيفة
  • [اللاتكس] r [/ اللاتكس] هو النسبة المئوية لمعدل النمو أو الانحلال ، مكتوبًا في صورة عدد عشري
  • [اللاتكس] ب [/ اللاتكس] هو عامل النمو أو مضاعف النمو. نظرًا لأن قوى الأعداد السالبة تتصرف بشكل غريب ، فإننا نقصر b على القيم الموجبة.

مثال 1

بلغ عدد سكان الهند 1.14 مليار في عام 2008 ويتزايد بنحو 1.34٪ كل عام. اكتب دالة أسية لسكان الهند ، واستخدمها للتنبؤ بعدد السكان في عام 2020.

باستخدام عام 2008 باعتباره وقت البدء [اللاتكس] (t = 0) ، [/ اللاتكس] سيكون تعدادنا الأولي 1.14 مليار. نظرًا لأن معدل النمو في المائة كان 1.34٪ ، فإن قيمة [اللاتكس] r [/ اللاتكس] هي 0.0134.

باستخدام الصيغة الأساسية للنمو الأسي [اللاتكس] f (x) = a (1+ r) ^ x [/ latex] يمكننا كتابة الصيغة ، [اللاتكس] f (t) = 1.14 (1+ 0.0134) ^ t [ / اللاتكس]

لتقدير عدد السكان في عام 2020 ، قمنا بتقييم الوظيفة عند [اللاتكس] t = 12 ، [/ اللاتكس] منذ عام 2020 هي 12 عامًا بعد عام 2008.

[لاتكس] f (12) -1.14 (1 + 0.0234) ^ 12 حوالي 1.337 نص <مليار شخص في عام 2020> [/ لاتكس] ≈ مليار شخص في عام 2020

مثال 2

شهادة الإيداع (CD) هي نوع من أنواع حسابات التوفير التي تقدمها البنوك ، وعادةً ما تقدم سعر فائدة أعلى مقابل فترة زمنية محددة ستترك فيها أموالك مستثمرة. إذا قدم البنك قرصًا مضغوطًا مدته 24 شهرًا بمعدل فائدة سنوي يبلغ 1.2٪ مركب شهريًا ، فما مقدار استثمار 1000 دولار أمريكي إلى أكثر من 24 شهرًا؟

أولاً ، يجب أن نلاحظ أن معدل الفائدة هو معدل سنوي ، ولكنه يتراكم شهريًا ، أي يتم احتساب الفائدة وإضافتها إلى الحساب شهريًا. للعثور على معدل الفائدة الشهري ، نقسم المعدل السنوي 1.2٪ على 12 نظرًا لوجود 12 شهرًا في السنة: 1.2٪ / 12 = 0.1٪. كل شهر سوف نكسب 0.1٪ فائدة. من هذا ، يمكننا إعداد دالة أسية ، بمبلغنا الأولي 1000 دولار ومعدل نمو r = 0.001 ، ومدخلاتنا m تقاس بالأشهر.

بعد 24 شهرًا ، سينمو الحساب إلى

مثال 3

البزموت 210 هو نظير يتحلل إشعاعيًا بحوالي 13٪ كل يوم ، مما يعني أن 13٪ من البزموت 210 المتبقي يتحول إلى ذرة أخرى (بولونيوم 210 في هذه الحالة) كل يوم. إذا بدأت بـ 100 مجم من البزموت 210 ، فكم تبقى بعد أسبوع واحد؟

مع الاضمحلال الإشعاعي ، بدلاً من زيادة الكمية بمعدل النسبة المئوية ، تتناقص الكمية بمعدل النسبة المئوية. الكمية الأولية لدينا هي [اللاتكس] a = 100 mg [/ latex] ، وسيكون معدل النمو لدينا سالبًا 13٪ ، لأننا في تناقص: [latex] r = -0.13. [/ latex] هذا يعطي المعادلة:
$ Q (d) = 100 (1-0.13) ^ d = 100 (0.87) ^ d $
يمكن تفسير ذلك أيضًا من خلال الاعتراف بأنه في حالة انحلال 13٪ ، يبقى 87٪.

بعد أسبوع واحد ، 7 أيام ، ستكون الكمية المتبقية
[اللاتكس] Q (7) = 100 (0.87) ^ 7 = 37.73 [/ لاتكس] مليجرام من بقايا البزموت 210.

مثال 4

يمثل [اللاتكس] T (q) [/ latex] إجمالي عدد عقود الهواتف الذكية التي تعمل بنظام Android ، بالآلاف ، والتي تحتفظ بها منطقة متجر Verizon معينة تم قياسها كل ثلاثة أشهر منذ 1 يناير 2010. فسر جميع أجزاء المعادلة [اللاتكس] ر (2) = 86 (1.64) ^ 2 = 231.3056 [/ لاتكس]

بتفسير هذا من الصيغة الأسية الأساسية ، نعلم أن 86 هي القيمة الأولية. هذا يعني أنه في 1 يناير 2010 ، كان لهذه المنطقة 86000 عقد هاتف ذكي يعمل بنظام Android. نظرًا لأن [اللاتكس] b = 1 + r = 1.64 ، [/ latex] نعلم أن عدد عقود الهواتف الذكية ينمو بنسبة 64٪ كل ربع سنة. [اللاتكس] T (2) = 231.3056 [/ latex] يعني أنه في الربع الثاني (أو في نهاية الربع الثاني) كان هناك ما يقرب من 231305 عقدًا للهواتف الذكية التي تعمل بنظام Android.

عند العمل مع الأسي ، هناك ثابت خاص يجب أن نتحدث عنه. ينشأ عندما نتحدث عن الأشياء التي تنمو باستمرار ، مثل التركيب المستمر ، أو الظواهر الطبيعية مثل التحلل الإشعاعي الذي يحدث باستمرار.


أمثلة مع وظائف تربيعية

مشكلة 3. باستخدام تعريف الحد ، أظهر أن lim x & # x2192 1 x 2 = 1 س ^ <2> = 1 >>.

بالطريقة الموضحة في تفسير. الأهم من ذلك ، بإضافة اثنين إلى المتباينة التي لدينا

الآن ، يمكن كتابة دليلنا.

المشكلة 4. باستخدام تعريف النهاية ، أظهر أن lim x & # x2192 2 3 x 2 = 12 3 س ^ <2> = 12 >>.

بناءً على المشكلة السابقة ، دعنا نختار & # x03B4 = 1 . إذن لدينا


قائمة بالحدود المشتركة

لأي أعداد حقيقية a و c ، l ⁢ i m x → a ⁢ c = c.

لأية أرقام حقيقية a و n ، lim x → a ⁡ x n = a n (ثبت هنا (http://planetmath.org/ContinuityOfNaturalPower) لـ n عدد صحيح موجب)

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 (ثبت هنا (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracsinXxAsXApproaches0))

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0 (ثبت هنا (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFrac1CosXxAsXApproaches0))

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ x x = 1 (ثبت هنا (http://planetmath.org/LimitExamples))

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 (ثبت هنا (http://planetmath.org/DerivativeOfExponentialFunction))

بالنسبة لـ a & gt 0 ، lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a (تم إثباته هنا (http://planetmath.org/LimitOfDisplaystyleFracax1xAsXApproaches0)).

بالنسبة إلى b & gt 1 وأي رقم حقيقي ، lim x → ∞ ⁡ x a b x = 0 (تم إثباته هنا (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction)).

lim x → 0 + x x = 1 (ثبت هنا (http://planetmath.org/FunctionXx))

lim x → 0 + ⁡ x ⁢ ln ⁡ x = 0 (ثبت هنا (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 (ثبت هنا (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → ∞ ⁡ x 1 x = 1 (ثبت هنا (http://planetmath.org/GrowthOfExponentialFunction))

lim x → 0 ⁡ (1 + sin ⁡ x) 1 x = e (قوة e ، l’Hôpital’s rule (http://planetmath.org/LHpitalsRule))

ليم س → ∞ ⁡ (س - س 2 - أ 2) = 0 (ثبت هنا (http://planetmath.org/Hyperbola))

من أجل a & gt 0 و n عدد صحيح موجب ، lim x → a ⁡ x - a x n - a n = 1 n ⁢ a n - 1.

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = 1 2 (بواسطة قاعدة l’Hôpital (http://planetmath.org/LHpitalsRule))

بالنسبة إلى q & gt 0 ، lim x → ∞ ⁡ (log ⁡ x) p x q = 0

tan ⁡ (x + π 2) = lim ξ → π 2 ⁡ tan ⁡ x + tan ⁡ ξ 1 - tan ⁡ x ⁢ tan ⁡ ξ = lim ξ → π 2 ⁡ sec 2 ⁡ ξ - tan ⁡ x ⁢ sec 2 ⁡ ξ = - cot ⁡ x (بواسطة قاعدة l'Hôpital (http://planetmath.org/LHpitalsRule))
أي ، tan ⁡ x ⁢ tan ⁡ (x + π 2) = - 1 ، مما يشير إلى تعامد المنحدرات التي تمثلها تلك الدوال.

للحصول على ثابت حقيقي أو معقد c ومتغير z ،
lim n → ∞ ⁡ n n + 1 z n + 1 ⁢ (c + n z) - (n + 1) = e - c ⁢ z.

بالنسبة إلى x حقيقي (أو معقد) ، lim n → ∞ ⁡ n ⁢ (x n - 1) = log ⁡ x (تم إثباته هنا (http://planetmath.org/HalleysFormula) لـ x الحقيقي).


حدود الطبقة

يمكن تعريف حدود الفئة على أنها حد الفصل الفعلي لفاصل الفصل.

للتصنيف المتداخل أو التصنيف المتبادل الذي يستبعد حدود الطبقة العليا مثل 1

تتطابق حدود الفصل مع حدود الفصل.

عادة ما يتم ذلك لمتغير مستمر. ومع ذلك ، بالنسبة للتصنيف غير المتداخل أو الشامل المتبادل الذي يتضمن كلا من حدود الفئة مثل

التي تنطبق عادة على متغير منفصل لدينا

حيث D هو الفرق بين LCL لفاصل الفصل التالي و UCL لفاصل الفصل المحدد.

بالنسبة للبيانات الواردة في الجدول أعلاه ، LCB لفاصل الدرجة الأولى هو

و UCB المقابل هو

بصرف النظر عن حد فئة الأشياء وحدود الفئة ، دعونا نلقي نظرة على نقطة المنتصف لفاصل فئة. & # xa0


تحديد قيمة الوظيفة

نفترض أن x متغير حقيقي ، و a ثابت حقيقي و f (x) دالة ذات قيمة واحدة لـ x.

إذا اقتربت x تدريجيًا من قيم افتراضية أكبر من a وإذا كانت القيم المقابلة لـ f (x) موجودة وكانت هذه القيم تقترب تدريجيًا من ثابت محدود ، فإن $ latexl_1 $ يُطلق عليه القيمة المحددة لليد اليمنى لـ f (x) أو حد اليد اليمنى لـ f (x) ويتم الإشارة إليه بواسطة ،

مرة أخرى ، إذا اقتربت x تدريجيًا من قيم افتراضية أقل من a وإذا كانت القيم المقابلة لـ f (x) موجودة واقتربت هذه القيم تدريجيًا من ثابت محدود $ latexl_2 $ ، فإن $ latexl_2 $ يسمى القيمة المحددة لليد اليسرى لـ f (x) أو الحد الأيسر لـ f (x) ويُشار إليه بالرمز ،

عندما تقترب x من قيم افتراضية أكبر من أو أقل من a وتفترض f (x) قيمًا محدودة لكل قيمة x وإذا اقتربت قيم f (x) تدريجيًا من ثابت محدود l ، فإن l تسمى القيمة المحددة لـ و (خ). يرمز له ،

يوجد حد الوظيفة فقط في حالة وجود (حد اليد اليمنى) و (حد اليد اليسرى) ، أي إذا


مثال عملي

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


الحدود: مقدمة وحدود من جانب واحد

يتم الإشارة إلى حد الدالة f (x) عندما تقترب x من بعض القيمة التعسفية a بواسطة:


ويقرأ "حد f (x) عندما تقترب x من a يساوي L". لذا ، عندما تقترب قيمة x من قيمة a ، فإن قيمة f (x) تقترب من L. ومن المهم ملاحظة أن النهاية لا تشمل حيث x = a ولكن فقط القيم القريبة من a وعلى جانبيها.

خذ الدالة f (x) = x + 2 x & # x2212 1 عندما تقترب من 1. يسرد الجدول قيم f (x) بالقرب من x = 0.

يوضح الجدول أنه عندما تقترب x من 0 من اليسار أو اليمين ، فإن قيمة f (x) تقترب من -2. من هذا يمكننا أن نستنتج أن نهاية f (x) = x + 2 x & # x2212 1 عندما تقترب x من 0 هي -2:

بينما يبدو أن حد الدالة f (x) = x + 2 x & # x2212 1 يقترب من -2 عندما تقترب x من 0 إما من اليسار أو اليمين ، فإن بعض الوظائف لها حدود من جانب واحد فقط. يستخدم الترميز التالي للدلالة على حدود اليد اليسرى واليمنى.

lim x & # x2192 a & # x2212 f (x) lim x & # x2192 a + f (x)

حد اليد اليسرى حد اليد اليمنى

دعنا نلقي نظرة على بعض حدود الدالة الموضحة أدناه.

الحد عندما تقترب x من 1 من اليسار ، lim x & # x2192 1 & # x2212 f (x) ، هي 3 بينما الحد عندما تقترب x من 1 من اليمين ، lim x & # x2192 1 + f (x) ، هي 1. بما أن النهاية اليسرى واليمنى عندما تقترب x من 1 مختلفة ، فإن النهاية عندما تقترب x من 1 غير موجودة.

الآن ، لننظر إلى النهايتين عندما يقترب x من 2. فالنهاية عندما يقترب x من 2 من اليسار هي 0.5 ، والنهاية عندما يقترب x من 2 من اليمين هي 0.5. إذن ، النهاية عندما تقترب x من 1 من أي اتجاه هي 0.5.

لاحظ أنه عندما تكون x = 2 تكون قيمة الوظيفة 4. وبالتالي فإن الحد لا يهتم بالقيمة عندما تكون x = 2 ولكن القيمة فقط عند تقييم x 2.

حد اليد اليسرى: lim x & # x2192 1 & # x2212 f (x) = 3

حد اليد اليمنى: lim x & # x2192 1 + f (x) = 1

الحد الإجمالي: lim x & # x2192 1 f (x) = DNE

حد اليد اليسرى: lim x & # x2192 2 & # x2212 f (x) = 0.5

حد اليد اليمنى: lim x & # x2192 2 + f (x) = 0.5

الحد الإجمالي: lim x & # x2192 2 f (x) = 0.5

لنجد الحدود في مثالين.

الخطوة 1: ارسم الوظيفة.

الخطوة 2: قم بإنشاء جدول قيم بالقرب من وعلى جانبي 2.


حساب التفاضل والتكامل

تأتي كلمة حساب التفاضل والتكامل من اللاتينية التي تعني "الحجر الصغير" ،
لأنه يشبه فهم شيء من خلال النظر إلى قطع صغيرة.

حساب التفاضل يقطع شيئًا ما إلى قطع صغيرة لمعرفة كيف يتغير.

حساب التكامل يربط (يدمج) القطع الصغيرة معًا لمعرفة مقدارها.

اقرأ مقدمة في حساب التفاضل والتكامل أو "ما السرعة فى الحال?"


احسب حدود التعبير

الحد هو قيمة معينة تقترب منها الدالة. عادة ما يعني إيجاد نهاية إيجاد قيمة y عندما يقترب x من رقم معين. يمكنك أن تصوغه بشكل نموذجي على أنه شيء مثل "حد الدالة f (x) هو 7 عندما تقترب x من اللانهاية. على سبيل المثال ، تخيل منحنى مثل أنه عندما تقترب x من اللانهاية ، يقترب هذا المنحنى من y = 0 بينما لا الوصول إلى هناك بالفعل. إذن ، كيف يمكننا إيجاد هذا النهاية جبريًا؟ إحدى الطرق لإيجاد النهاية هي بواسطة طريقة الاستبدال.

على سبيل المثال ، حد الرسم البياني التالي هو 0 عندما تقترب x من اللانهاية ، ويُرى بوضوح عندما يقترب الرسم البياني من الصفر كما يلي:

الآن ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة حيث يمكننا إيجاد حدود الدوال الحقيقية:

مثال أ

أوجد نهاية (f (x) = 4x ) عندما تقترب x من 3.

1) استبدل x بـ 3.
2) تبسيط.

(f (x) = 4x ) يصبح (f (3) = 4 (3) = 12 ).

لذا ، فإن نهاية (f (x) = 4x ) عندما تقترب x من 3 هي 12.

في هذه الحالة ، كان الحل واضحًا ، لأن الوظيفة لا تقترب فقط من 12 ولكنها تمر عبرها مباشرةً!

مثال ب: أوجد الحد:

اتبع نفس الخطوات المذكورة أعلاه.

إذن ، فإن حد (x ^ 2 + 5x - 3 ) عندما تقترب x من 1 هو 3.

ومع ذلك ، لن تعمل طريقة الاستبدال دائمًا. بالنسبة للمثال ج أدناه ، يجب أن تحلل البسط أولاً قبل تطبيق طريقة الاستبدال.

المثال ج:

إذا عوضنا بـ 0 عن x في المثال C ، فسننشئ قسمة على صفر غير موجودة أو غير محددة. هذا هو سبب وجوب أن تكون عملية التحليل هي خطوتنا الأولى في هذه العينة. علينا تنظيفها قليلاً حتى لا تكون هناك قسمة على صفر.

تحليل البسط إلى عوامل x ، وهو مشترك لكلا الحدين ، يعطينا:

ألغينا العامل x في البسط والمقام ، لتبقى لنا حدًا بسيطًا:

الآن ، يمكننا التعويض بـ 0 عن x لإيجاد النهاية -7:

ملاحظة: على الرغم من أننا كنا قادرين على تبسيط الوظيفة في العينة ج عن طريق التحليل ، لا يمكننا التظاهر بأن ذلك لم يحدث. تذكر أننا وجدنا النهاية عندما اقتربت x من 0 ، ولم نحاول إيجاد قيمة الدالة AT x = 0. لا تزال الوظيفة غير معرّفة عند x = 0. ومع ذلك ، لديها حدود. فقط النسخة المبسطة لها حل عند x = 0. فقط بعد التحليل ، في بعض الحالات ، يمكننا تطبيق التعويض لإيجاد النهاية.


شاهد الفيديو: تعريف كثيرات الحدود (ديسمبر 2021).