مقالات

2.1: المتتاليات


تعريف

لنكن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) سلسلة من الأرقام الحقيقية. نقول ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) يتقارب ، وله حد (L ، ) إذا كان لكل رقم حقيقي ( epsilon> 0 ) هناك يوجد عدد صحيح (N ) من هذا القبيل

[ left | a_ {i} -L right | < epsilon text {every} i> N. ]

نقول تسلسلاً ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) لا يتقارب.

التعاريف: التسلسلات غير المتناقصة وغير المتزايدة

  • نقول التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) هو غير تناقص إذا (a_ {i + 1} geq a_ {i} ) لكل (i in I ) وتزداد إذا (a_ {i + 1}> a_ {i} ) لكل (i في أنا ).
  • نقول التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) هو غير متزايد إذا (a_ {i + 1} leq a_ {i} ) لكل (i in I ) ويتناقص إذا (a_ {i + 1}

التعريف: متتاليات محدودة

نقول إن المجموعة (A subset mathbb {R} ) محدودة إذا كان هناك رقم حقيقي (M ) بحيث يكون (| a | leq M ) لكل (a in A. ) نقول إن التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) للأرقام الحقيقية هو المحصورة في حالة وجود رقم حقيقي (M ) مثل ( left | a_ {i} right | leq M ) للجميع (i in I. )

نظرية ( PageIndex {1} )

إذا كان ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) عبارة عن سلسلة غير متناقصة من الأرقام الحقيقية ، إذن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) تتقارب.

دليل - إثبات

بما أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) محدود ، فإن مجموعة (A = left {a_ {i}: i in I right } ) له سيادة. دعونا (L = sup A. ) لأي ( epsilon> 0 ، ) يجب أن يكون هناك (N in I ) بحيث (a_ {N}> L- epsilon ) (أو آخر (L- epsilon ) سيكون حدًا أعلى لـ (A ) وهو أصغر من (L )). لكن بعد ذلك

[L- epsilon

للجميع (i geq N ، ) أي ،

[ left | a_ {i} -L right | < epsilon ]

للجميع (i geq N. ) وبالتالي يتقارب ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) و

[L = lim _ {i rightarrow infty} a_ {i}. ]

Q.E.D.

نستنتج من النظرية السابقة أن كل تسلسل غير متناقص للأرقام الحقيقية إما له حد أو غير محدد ، أي غير محدود.

تمرين ( PageIndex {1} )

بيّن أن تسلسلًا محدودًا وغير متزايد من الأرقام الحقيقية يجب أن يتقارب.

تعريف

لنكن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) سلسلة من الأرقام الحقيقية. إذا كان لكل رقم حقيقي (M ) يوجد عدد صحيح (N ) مثل (a_ {i}> M ) كلما (i> N ، ) فإننا نقول التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) ينحرف إلى اللانهاية الموجبة ، يُرمز إليها بـ

[ lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = + infty. ]

وبالمثل ، إذا كان لكل رقم حقيقي (M ) يوجد عدد صحيح (N ) مثل (a_ {i} N ، ) فإننا نقول التسلسل ( يسار {a_ {i} right } _ {i in I} ) ينحرف إلى اللانهاية السلبية ، يُرمز إليها بـ

[ lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = - infty. ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أظهر أن التسلسل غير المتناقص للأرقام الحقيقية إما يتقارب أو يتباعد إلى اللانهاية الموجبة.

تمرين ( PageIndex {3} )

أظهر أن التسلسل غير المتزايد للأرقام الحقيقية إما يتقارب أو يتباعد إلى اللانهاية السالبة.

2.1.1 الأعداد الحقيقية الممتدة

من الملائم إضافة الرموز (+ infty ) و (- infty ) إلى الأرقام الحقيقية ( mathbb {R}. ) على الرغم من عدم وجود (+ infty ) أو (- ) infty ) هو رقم حقيقي ، فنحن نوافق على الاتفاقيات التشغيلية التالية:

1. إعطاء أي رقم حقيقي (r، - infty

2. لأي رقم حقيقي (r ) ،

[r + (+ infty) = r - (- infty) = r + infty = + infty، ]

[r + (- infty) = r - (+ infty) = r- infty = - infty، ]

و

[ frac {r} {+ infty} = frac {r} {- infty} = 0. ]

3. لأي رقم حقيقي (r> 0 ، r cdot (+ infty) = + infty ) و (r cdot (- infty) = - infty ).

4. لأي رقم حقيقي (r <0، r cdot (+ infty) = - infty ) و (r cdot (- infty) = + infty ).

5. إذا (a_ {i} = - infty، i = 1،2،3، ldots، ) إذن ( lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = - infty ) .

6. إذا كان (a_ {i} = + infty، i = 1،2،3، ldots، ) ثم ( lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = + infty ) .

لاحظ أنه مع علاقة الترتيب المحددة بهذه الطريقة ، يكون (+ infty ) أعلى

ملزم و (- infty ) هو الحد الأدنى لأي مجموعة (A مجموعة فرعية mathbb {R} ). وبالتالي ، إذا لم يكن (A subset mathbb {R} ) له حد أعلى محدد ، فإن ( sup A = + infty؛ ) بالمثل ، إذا (A subset mathbb {R} ) ليس له حد أدنى منتهي ، ثم infty (A = - infty ).

عند العمل بأرقام حقيقية ممتدة ، نشير إلى عناصر ( mathbb {R} ) كأرقام حقيقية محدودة والعناصر (+ infty ) و (- infty ) كأرقام حقيقية غير محدودة.

تمرين ( PageIndex {4} )

هل تشكل الأعداد الحقيقية الممتدة حقلاً؟

2.1.2 حد الأعلى والأدنى

تعريف

لنكن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) سلسلة من الأرقام الحقيقية ولكل (i in I، ) دعنا (u_ {i} = sup left {a_ {j}: j geq i right }. ) إذا (u_ {i} = + infty ) لكل (i in I ، ) سمحنا

[ limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = + infty؛ ]

خلاف ذلك ، دعونا

[ limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = inf left {u_ {i}: i in I right }. ]

في كلتا الحالتين ، نسمي ( liminf _ {n rightarrow infty} a_ {n} ) الحد الأدنى من التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I } ).

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ، ) عرّف ( left {u_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {l_ {i} right } _ {i in I} ) كما في التعريفين السابقين. اظهر ذلك

[ limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} u_ {i} ]

و

[ liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} l_ {i}. ]

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن ( limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} ) و ( liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} ) عن التسلسلات ( left {a_ {i } right } _ {i = 1} ^ { infty} ) كما هو موضح أدناه.

أ. (أ_ {i} = (- 1) ^ {i} )

ب. (أ_ {i} = أنا )

ج. (أ_ {i} = 2 ^ {- i} )

د. (a_ {i} = frac {1} {i} )

غالبًا ما يُطلق على الاقتراح التالي اسم نظرية الضغط.

الاقتراح ( PageIndex {2} )

افترض ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ، left {b_ {j} right } _ {j in J} ، ) و ( left {c_ {k} right } _ {k in K} ) هي سلاسل من الأرقام الحقيقية التي يوجد لها عدد صحيح (N ) مثل (a_ {i} leq c_ {i} leq b_ {i} ) كلما (i> N. ) إذا

[ lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} b_ {i}، ]

من ثم

[ lim _ {i rightarrow infty} c_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} b_ {i}. ]

دليل - إثبات

لنفترض أن (L = lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} b_ {i}. ) لنفترض أن (L ) محدود. بالنظر إلى ( epsilon> 0 ، ) يوجد عدد صحيح (م ) مثل ذلك

[ left | a_ {i} -L right | < frac { epsilon} {3} ]

و

[ left | b_ {i} -L right | < frac { epsilon} {3} ]

كلما (أنا> م. ) ثم

[ left | a_ {i} -b_ {i} right | leq left | a_ {i} -L right | + left | L-b_ {i} right | < frac { epsilon} {3} + frac { epsilon} {3} = frac {2 epsilon} {3} ]

كلما (i> M. ) دع (K ) أكبر من (N ) و (م. ) ثم

[ left | c_ {i} -L right | leq left | c_ {i} -b_ {i} right | + left | b_ {i} -L right | leq left | a_ {i} -b_ {i} right | + left | b_ {i} -L right | < frac {2 epsilon} {3} + frac { epsilon} {3 } = إبسيلون ]

كلما (i> K. ) وبالتالي lim (c_ {i} = L. ) تكون النتيجة عندما يكون (L ) غير محدود نتيجة للتمرينين التاليين. ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {7} )

افترض أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {c_ {k} right } _ {k in K} ) متتابعتان التي يوجد لها عدد صحيح (N ) مثل (a_ {i} leq c_ {i} ) كلما (i> N. ) أظهر أنه إذا ( lim _ {i rightarrow infty } a_ {i} = + infty، ) ثم ( lim _ {i rightarrow infty} c_ {i} = + infty. )

تمرين ( PageIndex {8} )

افترض أن ( left {b_ {j} right } _ {j in J} ) و ( left {c_ {k} right } _ {k in K} ) متتابعتان التي يوجد لها عدد صحيح (N ) مثل (c_ {i} leq b_ {i} ) كلما (i> N. ) أظهر أنه إذا ( lim _ {i rightarrow infty } ب_ {i} = - infty، ) ثم ( lim _ {i rightarrow infty} c_ {i} = - infty. )

تمرين ( PageIndex {9} )

افترض أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {b_ {j} right } _ {j in J} ) متتابعتان من الأعداد الحقيقية مع (a_ {i} leq b_ {i} ) لجميع (i ) أكبر من بعض الأعداد الصحيحة (N. ) بافتراض تقارب كلا التسلسلين ، أظهر ذلك

[ lim _ { mathfrak {i} rightarrow infty} a_ {i} leq lim _ {i rightarrow infty} b_ {i}. ]

تمرين ( PageIndex {10} )

أظهر ذلك لأي تسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) ،

[ liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} leq limsup _ {i rightarrow infty} n_ {i}. ]

الاقتراح ( PageIndex {3} )

لنفترض أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل له

[ limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i}. ]

ثم

[ lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i}. ]

دليل - إثبات

دع (u_ {i} = sup left {a_ {k}: k geq i right } ) و (l_ {i} = inf left {a_ {k}: k geq i right }. ) ثم (l_ {i} leq a_ {i} leq u_ {i} ) للجميع (i in I. ) الآن

[ lim _ {i rightarrow infty} l_ {i} = liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} = limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} u_ {i} ، ]

لذا فإن النتيجة تأتي من نظرية الضغط. ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {11} )

لنفترض أن (u ) رقم حقيقي مثل (u geq 0 ) و (u < epsilon ) لأي رقم حقيقي ( epsilon> 0. ) أظهر ذلك (u = 0 ) ).

2.1.3 الاكتمال

تعريف

لنفترض أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل في ( mathbb {R}. ) نتصل بـ ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) تسلسل كوشي إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) عدد صحيح (N ) بحيث

[ left | a_ {i} -a_ {j} right | < epsilon ]

كلما كلاً من (i> N ) و (j> N ).

نظرية ( PageIndex {4} )

لنفترض أن ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل كوشي في ( mathbb {R}. ) ثم ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) يتقارب إلى حد (L in mathbb {R} ).

دليل - إثبات

دع (u_ {i} = sup left {a_ {k}: k geq i right } ) و (l_ {i} = inf left {a_ {k}: k geq i right }. ) نظرًا لأي ( epsilon> 0 ) ، يوجد (N in mathbb {Z} ) مثل ( left | a_ {i} -a_ {j} right | < epsilon ) للجميع (i، j> N. ) وبالتالي ، بالنسبة للجميع (i، j> N ) ، (a_ {i}

[a_ {i} leq inf left {a_ {j} + epsilon: j geq i right } = l_ {i} + epsilon ]

للجميع (i> N. ) بما أن ( left {l_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل غير متناقص ،

[a_ {i} leq sup left {l_ {i} + epsilon: i in I right } = liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} + epsilon ]

للجميع (i> N. ) ومن ثم

[u_ {i} = sup left {a_ {k}: k geq i right } leq liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} + epsilon ]

للجميع (أنا> لا. ) وهكذا

[ limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = inf left {u_ {i}: i in I right } leq liminf _ {i rightarrow infty} a_ { i} + إبسيلون. ]

بما أن ( liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} leq limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i}، ) يتبع ذلك

[ left | limsup _ {i rightarrow infty} a_ {i} - liminf _ {i rightarrow infty} a_ {i} right | leq إبسيلون. ]

نظرًا لأن هذا ينطبق على كل ( epsilon> 0، ) لدينا ( lim sup _ {i rightarrow infty} a_ {i} = lim _ {i rightarrow infty} inf a_ { i}، ) وهكذا ( left {a_ {i} right } _ {i in I} ) يتقارب من خلال Proposition (2.1 .3. ) ( quad ) QED

كنتيجة للنظرية السابقة ، نقول أن ( mathbb {R} ) مساحة مترية كاملة.

تمرين ( PageIndex {12} )

افترض (A subset mathbb {R}، A neq emptyset، ) و (s = sup A. ) أظهر وجود تسلسل ( left {a_ {i} right ) } _ {i = 1} ^ { infty} ) مع (a_ {i} in A ) مثل ( lim _ {i rightarrow infty} a_ {i} = s ).

تمرين ( PageIndex {13} )

بإعطاء رقم حقيقي (x geq 0، ) أظهر وجود رقم حقيقي (s geq 0 ) مثل (s ^ {2} = x ).

ندع ( sqrt {x} ) للإشارة إلى الرقم (s ) في التمرين السابق ، الجذر التربيعي لـ (x ).

2.1.4 بعض النتائج الأساسية حول التسلسلات

الاقتراح ( PageIndex {5} )

لنفترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل متقارب في ( mathbb {R} ، alpha ) هو رقم حقيقي ، و (L = lim _ {i rightarrow infty} x_ {i}. ) ثم التسلسل ( left { alpha x_ {i} right } _ {i in I} ) oonverges and

[ lim _ {i rightarrow infty} alpha x_ {i} = alpha L. ]

دليل - إثبات

إذا كان ( alpha = 0، ) ثم ( left { alpha x_ {i} right } _ {i in I} ) يتقارب بوضوح مع (0. ) لذا افترض ( alpha neq 0. ) معطى ( epsilon> 0 ، ) اختر عددًا صحيحًا (N ) بحيث

[ left | x_ {i} -L right | < frac { epsilon} {| alpha |} ]

كلما (i> N. ) ثم لأي (i> N ) لدينا

[ left | alpha x_ {i} - alpha L right | = | alpha | left | x_ {i} -L right | <| alpha | frac { epsilon} {| alpha |} = epsilon. ]

وبالتالي ( lim _ {i rightarrow infty} alpha x_ {i} = alpha L ). ( رباعي ) Q.E.D.

الاقتراح ( PageIndex {6} )

افترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {y_ {i} right } _ {i in I} ) متقاربان التسلسلات في ( mathbb {R} ) مع (L = lim _ {i rightarrow infty} x_ {i} ) و (M = lim _ {i rightarrow infty} y_ {i }. ) ثم يتقارب التسلسل ( left {x_ {i} + y_ {i} right } _ {i in I} ) و

[ lim _ {i rightarrow infty} left (x_ {i} + y_ {i} right) = L + M. ]

تمرين ( PageIndex {14} )

إثبات الاقتراح السابق.

الاقتراح ( PageIndex {7} )

افترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {y_ {i} right } _ {i in I} ) متقاربان التسلسلات في ( mathbb {R} ) مع (L = lim _ {i rightarrow infty} x_ {i} ) و (M = lim _ {i rightarrow infty} y_ {i }. ) ثم يتقارب التسلسل ( left {x_ {i} y_ {i} right } _ {i in I} ) و

[ lim _ {i rightarrow infty} x_ {i} y_ {i} = L M. ]

تمرين ( PageIndex {15} )

إثبات الاقتراح السابق.

الاقتراح ( PageIndex {8} )

افترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i in I} ) و ( left {y_ {i} right } _ {i in I} ) متقاربان التسلسلات في ( mathbb {R} ) مع (L = lim _ {i rightarrow infty} x_ {i}، M = lim _ {i rightarrow infty} y_ {i}، ) و (y_ {i} neq 0 ) للجميع (i in I. ) If (M neq 0، ) ثم التسلسل ( left { frac {x_ {i}} {y_ {i}} right } _ {i in I} ) تتقارب و

[ lim _ {i rightarrow infty} frac {x_ {i}} {y_ {i}} = frac {L} {M}. ]

دليل - إثبات

منذ (M neq 0 ) و (M = lim _ {i rightarrow infty} y_ {i} ، ) قد نختار عددًا صحيحًا (N ) بحيث

[ left | y_ {i} right |> frac {| M |} {2} ]

عندما (i> N. ) لنفترض (B ) أن يكون الحد الأعلى لـ ( left { left | x_ {i} right |: i in I right } cup left { left | y_ {i} right |: i in I right }. ) بالنظر إلى أي ( epsilon> 0 ، ) قد نختار عددًا صحيحًا (P ) بحيث

[ left | x_ {i} -L right | < frac {M ^ {2} epsilon} {4 B} ]

و

[ left | y_ {i} -M right | < frac {M ^ {2} epsilon} {4 B} ]

كلما (i> P. ) لنكن (K ) أكبر من (N ) و (P. ) ثم ، لأي (i> K ، ) لدينا

[ start {align} left | frac {x_ {i}} {y_ {i}} - frac {L} {M} right | & = frac { left | x_ {i} M-y_ {i} L right |} { left | y_ {i} M right |} & = frac { left | x_ {i} M-x_ {i} y_ {i} + x_ {i} y_ {i} -y_ {i} L right |} { left | y_ {i} M right |} & leq frac { left | x_ {i} right | left | M-y_ {i} right | + left | y_ {i} right | left | x_ {i} -L right |} { left | y_ {i} M right |} & < frac {B frac {M ^ {2} epsilon} {4 B} + B frac {M ^ {2} epsilon} {4 B}} { frac {M ^ {2}} {2}} & = epsilon. نهاية {محاذاة} ]

هكذا

[ lim _ {i rightarrow infty} frac {x_ {i}} {y_ {i}} = frac {L} {M}. ]

Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {16} )

أ. أظهر أن ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} = 0 ).

ب. أظهر ذلك ( lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n ^ {2}} = 0 ) من خلال (i) استخدام تعريف الحد مباشرة ثم (ii) باستخدام النتائج السابقة.

تمرين ( PageIndex {17} )

أظهر ذلك لأي عدد صحيح موجب (ك ) ،

[ lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n ^ {k}} = 0. ]

مثال ( PageIndex {1} )

قد نقوم بدمج خصائص هذا القسم لحساب

[ start {align} lim _ {n rightarrow infty} frac {5 n ^ {3} +3 n-6} {2 n ^ {3} +2 n ^ {2} -7} & = lim _ {n rightarrow infty} frac {5+ frac {3} {n ^ {2}} - frac {6} {n ^ {3}}} {2+ frac {2} {n} - frac {7} {n ^ {3}}} & = frac { lim _ {n rightarrow infty} 5 + 3 lim _ {n rightarrow infty} frac { 1} {n ^ {2}} - 6 lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n ^ {3}}} { lim _ {n rightarrow infty} 2 + 2 lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n} -7 lim _ {n rightarrow infty} frac {1} {n ^ {3}}} & = frac {5+ 0 + 0} {2 + 0 + 0} & = frac {5} {2}. نهاية {محاذاة} ]

تمرين ( PageIndex {18} )

تقييم

[ lim _ {n rightarrow infty} frac {3 n ^ {5} +8 n ^ {3} -6 n} {8 n ^ {5} +2 n ^ {4} -31} ، ]

تظهر بعناية كل خطوة.

الاقتراح ( PageIndex {9} )

لنفترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i in I} ) هو تسلسل متقارب من الأرقام الحقيقية غير السالبة مع (L = lim _ {i rightarrow infty} x_ {i }. ) ثم يتقارب التسلسل ( { sqrt {x_ {i}} } _ {i in I} ) و

[ lim _ {i rightarrow infty} sqrt {x_ {i}} = sqrt {L}. ]

دليل - إثبات

دعونا نعطي ( epsilon> 0 ). افترض (L> 0 ) ولاحظ ذلك

[ left | x_ {i} -L right | = | sqrt {x_ {i}} - sqrt {L} || sqrt {x_ {i}} + sqrt {L} | ]

يعني ذلك

[| sqrt {x_ {i}} - sqrt {L} | = frac { left | x_ {i} -L right |} {| sqrt {x_ {i}} + sqrt {L } |} ]

لأي (i in I. ) اختر عددًا صحيحًا (N ) مثل ذلك

[ left | x_ {i} -L right | < sqrt {L} epsilon ]

كلما (i> N. ) ثم ، لأي (i> N ) ،

[| sqrt {x_ {i}} - sqrt {L} | = frac { left | x_ {i} -L right |} {| sqrt {x_ {i}} + sqrt {L } |} < frac { sqrt {L} epsilon} { sqrt {L}} = epsilon. ]

ومن هنا ( lim _ {i rightarrow infty} sqrt {x_ {i}} = sqrt {L} ).

إذا (L = 0، lim _ {i rightarrow infty} x_ {i} = 0، ) لذلك قد نختار عددًا صحيحًا (N ) مثل ( left | x_ {i} right | < epsilon ^ {2} ) للجميع (i> N. ) ثم

[| sqrt {x_ {i}} | < epsilon ]

كلما (i> N، ) لذا ( lim _ {i rightarrow infty} sqrt {x_ {i}} = 0 ). ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {19} )

تقييم

[ lim _ {n rightarrow infty} frac { sqrt {3 n ^ {2} +1}} {5 n + 6}، ]

تظهر بعناية كل خطوة.

تمرين ( PageIndex {20} )

بالنظر إلى الأرقام الحقيقية (r> 0 ) و ( alpha، ) أظهر أن (( mathrm {a}) alpha r 1 ).

الاقتراح ( PageIndex {10} )

إذا (x in mathbb {R} ) و (| x | <1، ) إذن

[ lim _ {n rightarrow infty} x ^ {n} = 0. ]

دليل - إثبات

نفترض أولاً (x geq 0 ). إذاً فإن التسلسل ( left {x ^ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty} ) لا يتزايد ويحده من الأسفل بـ 0. ومن ثم يتقارب التسلسل. دعونا (L = lim _ {n rightarrow infty} x ^ {n}. ) ثم

[L = lim _ {n rightarrow infty} x ^ {n} = x lim _ {n rightarrow infty} x ^ {n-1} = x L، ]

من الذي يتبع ذلك (L (1-x) = 0. ) منذ (1-x> 0 ، ) يجب أن يكون لدينا (L = 0 ). تأتي نتيجة (x <0 ) من التمرين التالي. ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {21} )

أظهر ذلك ( lim _ {n rightarrow infty} left | a_ {n} right | = 0 ) فقط إذا وفقط إذا ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ).

2.1.5 العواقب

تعريف

بالنظر إلى التسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}، ) افترض ( left {n_ {k} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) هو تسلسل متزايد من الأعداد الصحيحة ذات

[m leq n_ {1}

ثم نسمي التسلسل ( left {x_ {n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) التالي ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. )

مثال ( PageIndex {2} )

التسلسل ( left {x_ {2 k} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) هو نتيجة لاحقة للتسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = 1} ^ { infty}. ) على سبيل المثال ، ( left { frac {1} {2 i} right } _ {i = 1} ^ { infty} ) هو اللاحقة لـ ( left { frac {1} {i} right } _ {i = 1} ^ { infty} ).

تمرين ( PageIndex {22} )

افترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) يتقارب مع ( lim _ {i rightarrow infty} x_ {i} = L. ) بيّن أن كل نتيجة لاحقة ​​( left {x_ {n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) من ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) تتقارب أيضًا و ( lim _ {k rightarrow infty} x_ {n_ {k}} = L ).

تمرين ( PageIndex {23} )

افترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) تباعد إلى (+ infty. ) أظهر أن كل اللاحقة ​​( left {x_ { n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) من ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) يتباعد أيضًا إلى (+ infty ).

تمرين ( PageIndex {24} )

لنفترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) تباعد إلى (- infty. ) أظهر أن كل اللاحقة ​​( left {x_ { n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) من ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) يتباعد أيضًا إلى (- infty ).

تعريف

بالنظر إلى التسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ، ) نسمي أي رقم حقيقي ممتد ( lambda ) وهو حد التكرار التالي من ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) حد لاحق لـ ( left {x_ {i} right } _ {i = م} ^ { infty} ).

مثال ( PageIndex {3} )

(- 1 ) و 1 كلاهما حدود لاحقة لـ ( left {(- 1) ^ {i} right } _ {i = 0} ^ { infty} ).

تمرين ( PageIndex {25} )

افترض أن التسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) غير مقيد. أظهر أن إما (- infty ) أو (+ infty ) هو حد لاحق لـ ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. ).

الاقتراح ( PageIndex {11} )

افترض أن ( Lambda ) هي مجموعة جميع الحدود التبادلية اللاحقة للتسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. ) ثم ( Lambda neq emptyset ).

دليل - إثبات

من خلال التمرين السابق ، يكون الاقتراح صحيحًا إذا لم يكن ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) مقيدًا. لنفترض أن ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) مقيد واختر أرقامًا حقيقية (a ) و (b ) بحيث يكون ( أ leq x_ {i} leq b ) للجميع (i geq m ). أنشئ التسلسلات ( left {a_ {i} right } _ {i = 1} ^ { infty} ) و ( left {b_ {i} right } _ {i = 1} ^ { infty} ) على النحو التالي: دع (أ_ {1} = أ ) و (ب_ {1} = ب ). لـ (i geq 1، ) دعنا

[c = frac {a_ {i-1} + b_ {i-1}} {2}. ]

في حالة وجود عدد صحيح (N ) مثل (a_ {i-1} leq x_ {j} leq c ) للجميع (j> N ، ) let (a_ {i} = a_ {i-1} ) و (b_ {i} = c؛ ) وإلا فلنسمح (a_ {i} = c ) و (b_ {i} = b_ {i-1}. ) دعنا (n_ {1} = m ) ول (k = 2،3،4، ldots، ) لنكن (n_ {k} ) أصغر عدد صحيح له (n_ {k}> n_ {k-1} ) و (a_ {k} leq x_ {n_ {k}} leq b_ {k} ) ثم ( left {x_ {n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) هو تسلسل كوشي الذي هو نتيجة لاحقة لـ ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. ) وبالتالي ( left {x_ {n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) يتقارب و ( Lambda neq 0. ) ( quad ) QED

تمرين ( PageIndex {26} )

افترض (A subset mathbb {R} ) و (B subset mathbb {R} ) مع (a leq b ) لكل (a in A ) و (b ) في ب. ) أظهر ذلك ( sup A leq inf B ).

الاقتراح ( PageIndex {12} )

لنفترض أن ( Lambda ) هو مجموعة الحدود اللاحقة للتسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. ) ثم

[ limsup _ {i rightarrow infty} x_ {i} = sup Lambda. ]

دليل - إثبات

دعنا (s = sup Lambda ) ولـ (i geq m، u_ {i} = sup left {x_ {j}: j geq i right }. ) الآن منذ ذلك الحين (x_ {j} leq u_ {i} ) للجميع (j geq i، ) يتبع ذلك ( lambda leq u_ {i} ) لكل ( lambda in Lambda ) و (i geq m. ) ومن ثم ، من التمرين السابق ، (s leq inf left {u_ {i}: i geq m right } = limsup _ {i rightarrow infty} x_ {i} ).

افترض الآن (s < limsup _ {i rightarrow infty} x_ {i} ). ثم يوجد رقم حقيقي (t ) مثل (s t . ) بالنسبة إلى (k = 2،3،4، ldots، ) دعنا (n_ {k} ) أصغر عدد صحيح له (n_ {k}> n_ {k-1} ) و (x_ {n_ {k}}> t. ) ثم ( left {x_ {n_ {k}} right } _ {k = 1} ^ { infty} ) هي نتيجة لاحقة لـ ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty} ) الذي له حد لاحق ( lambda geq t ). بما أن ( lambda ) هو أيضًا حد لاحق لـ ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}، ) لدينا ( lambda in Lambda ) و ( lambda geq t> s ، ) يتعارض (s = sup Lambda. ) ومن ثم يجب أن يكون لدينا ( lim sup _ {i rightarrow infty} x_ {i } = sup Lambda. ) ( quad ) QED

تمرين ( PageIndex {27} )

لنفترض أن ( Lambda ) هو مجموعة الحدود اللاحقة للتسلسل ( left {x_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}. ) أظهر ذلك

[ liminf _ {i rightarrow infty} x_ {i} = inf Lambda. ]


إصدار التحميلات آخر تحديث
2.2.1 30𧍙 25.06.2020
2.2.0 48𧆺 03.06.2019
2.1.0 135𧏡 10.07.2017
2.0.0 3𧋜 18.05.2017
1.0.1 100𧅡 19.02.2012
  • آخر تحديث 25.06.2020
  • موقع المشروع
  • /> مستودع المصدر
  • الترخيص: MIT
  • أصحاب الاتصال
  • نقل
  • تحميل الحزمة (24.04 كيلو بايت)
  • تحميل الرموز (6.95 كيلو بايت)
  • افتح في Package Explorer
  • /> فتح في FuGet Package Explorer

كيفية التحقق من التسلسل هو تربيعي

أ تسلسل هي قائمة مرتبة من الأرقام ويسمى كل رقم في التسلسل أ مصطلح. كل مصطلح في تسلسل تربيعي مرتبط بنفس الشيء الفرق الثاني المشترك. يطلق عليه & # 8217s اسمًا مشتركًا ثانيا فرق (أو فرق من الدرجة الثانية) لأنه عليك إيجاد الفرق بين كل مصطلح مرتين. دائمًا ما تكون الاختلافات من الدرجة الثانية في التسلسل التربيعي ثابتة. لذلك ، للتحقق من أن تسلسل معين تربيعي ، ابحث عن الاختلاف الثاني المشترك وتحقق من أن هذه الاختلافات ثابتة.

مثال على سؤال: تحقق من التسلسل
3 ، 12 ، 25 ، 42 63 ، هيليب
تربيعية:

الخطوة 1: اطرح كل مصطلح من التالي (أي اطرح المصطلح الثاني من الأول ، والثالث من الثاني ، وهكذا):

الخطوة 2: ابحث عن الفرق بين المصطلحات التي وجدتها في الخطوة 1 (9 ، 13 ، 17 ، 21 ، hellip)

الفرق الثاني المشترك هو ثابت (4) ، لذا 3 ، 12 ، 25 ، 42 63 ، و hellip هو تسلسل تربيعي.


أجب على هذا السؤال

مساعدة الرياضيات من فضلك؟ (تحقق من عملي؟)

1. أوجد المصطلحات الثلاثة التالية في التسلسل. 3 ، 12 ، 21 ، 30 ،. . . (نقطة واحدة) 40 ، 50 ، 60 *** 38 ، 46 ، 54 39 ، 48 ، 57 36 ، 32 ، 39 2. حدد المتتالية على أنها حسابية أو هندسية أو لا. 1.6 ، 0.8 ، 0.4 ، 0.2 ،. . . (نقطة واحدة)

حدد ما إذا كانت كل سلسلة حسابية أو هندسية. أوجد المصطلحات الثلاثة التالية. 1. 14 ، 19 ، 24 ، 29 ،. . . (نقطة واحدة) هندسي ، 34 ، 39 ، 44 حسابيًا ، 32 ، 36 ، 41 حسابيًا ، 34 ، 39 ، 44 *** التسلسل ليس هندسيًا

هندسية حسابية

حدد ما إذا كانت كل متتالية هندسية حسابية أم لا إذا كان التسلسل حسابيًا ، فأعطِ الفرق المشترك إذا أعطت الهندسة النسبة المشتركة 1. 6 ، 18 ، 54 ، 162 ، 2. 4 ، 10 ، 16 ، 22 3. 1،1 ، 2 ، 3 ، 5،8 4. 625،125،25،5 5.

الجبر

حدد ما إذا كانت كل سلسلة حسابية أو هندسية. أوجد المصطلحات الثلاثة التالية. 14 ، 19 ، 24 ، 29 ،. . . أ - هندسي ، 34 ، 39 ، 44 ب ، حسابي ، 32 ، 36 ، 41 ج. حسابي ، 34 ، 39 ، 44 د ، التسلسل ليس هندسي ولا

هل يستطيع احد مساعدتي؟!

الحدود الأول والخامس والثالث عشر من المتتالية الحسابية هي أول ثلاثة حدود من متوالية هندسية ذات نسبة مشتركة 2. إذا كان الحد 21 من المتتابعة الحسابية هو 72 ، فاحسب مجموع أول 10 حدًا من

حساب التفاضل والتكامل

ضع في اعتبارك السلسلة 1/4 + 1/6 + 1/9 + 2/27 + 4/81 +. هل السلسلة تتقارب أم تتباعد؟ هل المتسلسلة حسابية أم هندسية أم لا أم هندسية ذات قيمة مطلقة للحصة المشتركة أكبر / أقل من 1؟

حدد التسلسل على أنه حسابي أو هندسي أو كليهما أو لا شيء. 7،9،11،13. أ) حسابي ب) هندسي ج) كلاهما د) ولا كذلك

رياضيات

تشكل الحدود الأول والثالث والتاسع من المتتالية الحسابية مصطلحات المتتالية الهندسية. أوجد النسبة المشتركة للتتابعات الهندسية. أ ، أ + 2 د ، أ + 8 د أ + 2 د / أ = أ + 8 د / أ + 2 د؟

الحد الأول والخامس والثالث عشر من المتتالية الحسابية هي أول 3 حدود من المتتالية الهندسية بنسبة مشتركة 2. إذا كان الحد 21 من المتتابعة الحسابية هو 72 ، فاحسب مجموع أول 10 حدًا من المتتالية الهندسية

7. إنك تجري مناقشة حول التسلسلات مع زميلك في الفصل. تصر على أن التسلسل 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 12 يجب أن يكون إما حسابيًا أو هندسيًا. هل هي صحيحة أم خاطئة؟ يشرح.

الرياضيات ، يرجى التحقق

1. اكتب قاعدة للتسلسل. 8 ، -1 ، -10 ، -19. أ. ابدأ بالرقم 8 وأضف -9 بشكل متكرر B. قم بنجمة بـ -9 وأضف 8 بشكل متكرر ج. ابدأ بالرقم 8 وأضف 9 بشكل متكرر D. ابدأ بالرقم 8 واطرح -9 بشكل متكرر --- 3. ما هو الرقم السابع

32،48،72،108. حسابي أم هندسي أعتقد أنه حسابي ثم ابحث عن الفرق المشترك أم مضاعف النسبة 12؟ ما هي المصطلحات الثلاثة التالية 120،132،144 ما هو الحد "صفر" 12 لست متأكدًا مما يعنيه هذا على الرغم من ما هو


الرياضيات المتقطعة: مقدمة مفتوحة ، الطبعة الثالثة

لديك مجموعة كبيرة من (1 مرات 1 ) المربعات و (1 مرات 2 ) الدومينو. تريد ترتيبها لعمل شريط (1 مرات 15 ). كم عدد الطرق التي يمكنك القيام بها؟

ابدأ بجمع البيانات. كم عدد شرائط الطول (1 مرات 1 ) التي يمكنك صنعها؟ كم عدد (1 مرات 2 ) شرائط؟ كم عدد (1 مرات 3 ) شرائط؟ وهكذا.

كيف ترتبط الشرائط (1 مرات 3 ) و (1 مرات 4 ) بالشرائح (1 مرات 5 )؟

كم عدد (1 مرة 15 ) شرائط يمكنك صنعها؟

ماذا لو طلبت منك إيجاد عدد (1 ضرب 1000 ) شرائط؟ هل الطريقة التي استخدمتها لحساب عدد (1 مرة 15 ) الشرائط مفيدة؟

A هي ببساطة قائمة مرتبة من الأرقام. على سبيل المثال ، إليك تسلسل: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ،…. هذا يختلف عن المجموعة ( N ) لأنه في حين أن التسلسل عبارة عن قائمة كاملة لكل عنصر في مجموعة الأرقام الطبيعية ، فإننا نهتم كثيرًا في التسلسل بترتيب الأرقام. لهذا السبب ، عندما نستخدم المتغيرات لتمثيل المصطلحات في تسلسل سيبدو كما يلي:

للإشارة إلى بأكمله تسلسل في وقت واحد ، سنكتب ((a_n) _) أو ((a_n) _ text <،> ) أو في بعض الأحيان إذا كنا متقلبين ، فقط ((a_n) ) (في هذه الحالة نفترض أننا نبدأ التسلسل بـ (a_0 )).

قد نستبدل (a ) بحرف آخر ، وأحيانًا نحذف (a_0 text <،> ) بدءًا من (a_1 text <،> ) وفي هذه الحالة سنستخدم ((a_n) _) للإشارة إلى التسلسل ككل. تسمى الأرقام الموجودة في الأحرف المنخفضة (جمع).

في حين أننا غالبًا ما نفكر في التسلسل كقائمة مرتبة من الأرقام ، إلا أنه في الحقيقة نوع من الوظائف. على وجه التحديد ، التسلسل ((a_n) _) هي وظيفة ذات مجال ( N ) حيث (a_n ) هي صورة الرقم الطبيعي (n نص <.> ) لاحقًا سنتعامل مع التسلسلات بنفس الطريقة التي تعاملت بها مع الوظائف في الجبر أو حساب التفاضل والتكامل. يمكننا إزاحة التسلسل لأعلى أو لأسفل ، أو إضافة تسلسلين ، أو طلب معدل تغير التسلسل. تتم هذه تمامًا كما تفعل مع الوظائف.

ومع ذلك ، في حين أن الحفاظ على التعريف الرياضي الدقيق في الاعتبار أمر مفيد ، فإننا غالبًا ما نصف التسلسلات عن طريق كتابة المصطلحات القليلة الأولى.

مثال 2.1.1.

هل يمكنك العثور على المصطلح التالي في التسلسلات التالية؟

  1. (displaystyle 7،7،7،7،7، ldots )
  2. ( displaystyle 3، -3، 3، -3، 3، ldots )
  3. ( displaystyle 1، 5، 2، 10، 3، 15، ldots )
  4. ( displaystyle 1، 2، 4، 8، 16، 32، ldots )
  5. ( displaystyle 1، 4، 9، 16، 25، 36، ldots )
  6. ( displaystyle 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، ldots )
  7. ( displaystyle 1، 3، 6، 10، 15، 21، ldots )
  8. ( displaystyle 2، 3، 5، 7، 11، 13، ldots )
  9. ( displaystyle 3، 2، 1، 0، -1، ldots )
  10. ( displaystyle 1، 1، 2، 6، ldots )

لا لا يمكنك. قد تخمن أن المصطلحات التالية هي:

في الواقع ، هذه هي المصطلحات التالية من التسلسلات التي كنت أفكر فيها عندما قمت بتكوين المثال ، لكن لا توجد طريقة للتأكد من صحتها.

ومع ذلك ، سنفعل هذا في كثير من الأحيان. بالنظر إلى الحدود القليلة الأولى من المتتالية ، يمكننا أن نسأل عن النمط في المتسلسلة الذي يشير إلى الحدود التالية.

نظرًا لعدم وجود عدد من المصطلحات الأولية في تسلسل ما يكفي لتحديد التسلسل الذي نتعامل معه بشكل مؤكد ، نحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى لتحديد تسلسل. نحن نعتبر طريقتين للقيام بذلك:

صيغة مغلقة.

A للتسلسل ((a_n) _) هي صيغة لـ (a_n ) باستخدام عدد محدد ومحدود من العمليات على (n text <.> ) هذا ما تفكر به عادةً كصيغة في (n text <،> ) تمامًا كما لو كنت تحدد دالة من حيث (n ) (لأن هذا هو بالضبط ما تفعله).

تعريف تكراري.

A (تسمى أحيانًا an) للتسلسل ((a_n) _) يتكون من: معادلة تتعلق بمصطلح من التسلسل بالمصطلحات السابقة (المصطلحات ذات الفهرس الأصغر) و: قائمة ببعض مصطلحات التسلسل (واحد أقل من عدد المصطلحات في علاقة التكرار).

من الأسهل فهم ما يجري هنا بمثال:

مثال 2.1.2.

فيما يلي بعض الصيغ المغلقة للتسلسلات:

لاحظ في كل صيغة ، إذا تم إعطاؤك (n text <،> ) يمكنك حساب (a_n ) مباشرة: فقط قم بتوصيل (n text <.> ) على سبيل المثال ، للعثور على (a_3 ) في التسلسل الثاني ، فقط احسب (a_3 = frac <3 (3 + 1)> <2> = 6 text <.> )

فيما يلي بعض التعريفات العودية للتسلسلات:

  • (أ_ = 2 أ_) مع (a_0 = 1 نص <.> )
  • (أ_ = 2 أ_) مع (a_0 = 27 نص <.> )
  • (أ_ = أ_ + أ) مع (a_0 = 0 ) و (a_1 = 1 نص <.> )

في هذه الصيغ ، إذا تم إعطاؤك (n text <،> ) لا يمكنك حساب (a_n ) مباشرة ، فأنت بحاجة أولاً إلى العثور على (a_) (أو (أ_) و (أ_)). في التسلسل الثاني ، للعثور على (a_3 ) ، يجب أن تأخذ (2a_2 text <،> ) ولكن للعثور على (a_2 = 2a_1 ) سنحتاج إلى معرفة (a_1 = 2a_0 text <.> ) نحن نعلم هذا ، لذا يمكننا تتبع هذه المعادلات لإيجاد (a_1 = 54 text <،> ) (a_2 = 108 ) وأخيراً (a_3 = 216 text <.> )

قد تتساءل عن سبب اهتمامنا بالتعريفات العودية للتسلسلات. بعد كل شيء ، من الصعب العثور على (a_n ) بتعريف تعاودي أكثر من إيجاد صيغة مغلقة. هذا صحيح ، ولكن من الصعب أيضًا العثور على صيغة مغلقة للتسلسل بدلاً من العثور على تعريف تعاودي. لذا للعثور على صيغة مفيدة ومغلقة ، قد نجد أولاً التعريف العودي ، ثم نستخدمه لإيجاد الصيغة المغلقة.

هذا لا يعني أن التعريفات العودية ليست مفيدة في إيجاد (a_n text <.> ) يمكنك دائمًا حساب (a_n ) بالنظر إلى تعريف تعاودي ، فقد يستغرق الأمر بعض الوقت.

مثال 2.1.3.

ابحث عن (a_6 ) في التسلسل المحدد بواسطة (a_n = 2a_ - أ_) مع (a_0 = 3 ) و (a_1 = 4 نص <.> )

نعلم أن (a_6 = 2a_5 - a_4 text <.> ) لذا للعثور على (a_6 ) نحتاج إلى إيجاد (a_5 ) و (a_4 text <.> ) حسنًا

لذلك إذا تمكنا فقط من العثور على (a_3 ) و (a_2 ) فسنكون جاهزين. بالطبع بكل تأكيد

لذلك نحتاج فقط إلى إيجاد (a_1 ) و (a_0 text <.> ) لكننا معطينا هذين. هكذا

لاحظ أنه يمكننا الآن تخمين صيغة مغلقة للمصطلح (n ) من التسلسل: (a_n = n + 3 text <.> ) للتأكد من أن هذا سيعمل دائمًا ، يمكننا إدخال هذه الصيغة في علاقة التكرار:

هذا لا يكفي تمامًا ، نظرًا لأنه يمكن أن يكون هناك العديد من الصيغ المغلقة التي ترضي نفس علاقة التكرار ، يجب علينا أيضًا التحقق من أن الصيغة المغلقة توافق على الشروط الأولية للتسلسل. نظرًا لأن (a_0 = 0 + 3 = 3 ) و (a_1 = 1 + 3 = 4 ) هما الشرطان الأوليان الصحيحان ، يمكننا الآن أن نستنتج أن لدينا الصيغة المغلقة الصحيحة.

إن العثور على الصيغ المغلقة ، أو حتى التعريفات العودية ، للتسلسلات ليس بالأمر الهين. لا توجد طريقة واحدة للقيام بذلك. كما هو الحال في تقييم التكاملات أو حل المعادلات التفاضلية ، من المفيد أن يكون لديك مجموعة من الحيل يمكنك تطبيقها ، ولكن في بعض الأحيان لا توجد إجابة سهلة.

تتمثل إحدى الطرق المفيدة في ربط تسلسل معين بتسلسل آخر نعرف الصيغة المغلقة له بالفعل. للقيام بذلك ، نحتاج إلى عدد قليل من "المتواليات المعروفة" لمقارنة التسلسلات الغامضة بها. هنا القليل من الجيد معرفته سوف نتحقق من الصيغ الخاصة بها في الأقسام القادمة.

المتواليات المشتركة.

ال . التسلسل ((s_n) _) لديه صيغة مغلقة (s_n = n ^ 2 )

ال . التسلسل ((T_n) _) له صيغة مغلقة (T_n = frac<2> نص <.> )

ال . التسلسل ((أ_) _) بصيغة مغلقة (a_n = 2 ^ n text <.> )

(أو متوالية فيبوناتشي) ، مُعرَّفة بشكل متكرر بواسطة (F_n = F_ + F_) مع (F_1 = F_2 = 1 نص <.> )

مثال 2.1.4.

استخدم الصيغ (T_n = frac<2> ) و (a_n = 2 ^ n ) للعثور على الصيغ المغلقة التي تتوافق مع التسلسلات التالية. افترض أن كل مصطلح أول يتوافق مع (n = 0 text <.> )

((b_n) text <:> ) (1، 2، 4، 7، 11، 16، 22، ldots text <.> )

((c_n) text <:> ) (3، 5، 9، 17، 33، ldots text <.> )

((d_n) text <:> ) (0، 2، 6، 12، 20، 30، 42، ldots text <.> )

((e_n) text <:> ) (3، 6، 10، 15، 21، 28، ldots text <.> )

((f_n) text <:> ) (0، 1، 3، 7، 15، 31، ldots text <.> )

((g_n) ) (3، 6، 12، 24، 48، ldots text <.> )

((h_n) text <:> ) (6، 10، 18، 34، 66، ldots text <.> )

((j_n) text <:> ) (15، 33، 57، 87، 123، ldots text <.> )

نرغب في مقارنة هذه التسلسلات بالأرقام المثلثية ((0، 1، 3، 6، 10، 15، 21، ldots) text <،> ) عندما نبدأ بـ (n = 0 text <، > ) وقوى 2: ((1، 2، 4، 8، 16، ldots) text <.> )

((1، 2، 4، 7، 11، 16، 22، ldots) text <.> ) لاحظ أنه في حالة طرح 1 من كل مصطلح ، نحصل على التسلسل ((T_n) text <.> ) إذن لدينا (b_n = T_n + 1 text <.> ) لذلك فإن الصيغة المغلقة هي (b_n = frac <2> + 1 text <.> ) يؤكد الفحص السريع للأول القليلة (n ) أننا على صواب.

((3، 5، 9، 17، 33، ldots) text <.> ) كل حد في هذا التسلسل يزيد بمقدار واحد عن قوة 2 ، لذلك قد نخمن أن الصيغة المغلقة هي (c_n = a_n +1 = 2 ^ n + 1 text <.> ) إذا حاولنا ذلك ، فسنحصل على (c_0 = 2 ^ 0 + 1 = 2 ) و (c_1 = 2 ^ 1 + 1 = 3 text <.> ) نحن متوقفون عن العمل بسبب تغيير المؤشرات. ما نريده حقًا هو (c_n = a_+1 ) إعطاء (c_n = 2 ^ + 1 نص <.> )

( (0، 2، 6، 12، 20، 30، 42، ldots )). لاحظ أن كل هذه الشروط متساوية. ماذا يحدث إذا أخرجنا 2 إلى عوامل؟ نحصل على ((T_n) text) بتعبير أدق ، نجد أن (d_n / 2 = T_n text <،> ) لذا فإن هذا التسلسل قد أغلق الصيغة (d_n = n (n + 1) text <.> )

((3، 6، 10، 15، 21، 28، ldots) text <.> ) هذه كلها أرقام مثلثة. ومع ذلك ، فإننا نبدأ بـ 3 كمصطلح أولي بدلاً من الحد الثالث. لذلك إذا تمكنا من التعويض بـ 2 بدلاً من 0 في صيغة (T_n text <،> ) فسنكون قد وضعنا. لذلك فإن الصيغة المغلقة هي (e_n = frac <(n + 2) (n + 3)> <2> ) (حيث (n + 3 ) أتت من ((n + 2) +1 ) ). بالتفكير في التسلسلات كوظائف ، فإننا نقوم بإزاحة أفقية بمقدار 2: (e_n = T_) مما يؤدي إلى إزاحة الرسم البياني بمقدار وحدتين إلى اليسار.

((0، 1، 3، 7، 15، 31، ldots) text <.> ) حاول إضافة 1 لكل مصطلح ونحصل على قوى من 2. قد تخمن هذا لأن كل مصطلح يزيد قليلاً عن ضعف الحد السابق (قوى 2 هي بالضبط ضعف المدة السابقة). صيغة مغلقة: (f_n = 2 ^ - 1 نص <.> )

((3، 6، 12، 24، 48، ldots) text <.> ) هذه الأرقام تتضاعف أيضًا في كل مرة ، ولكنها أيضًا جميع مضاعفات 3. قسمة كل منها على 3 يعطي 1 ، 2 ، 4 ، 8 ،…. اها. نحصل على الصيغة المغلقة (g_n = 3 cdot 2 ^ نص <.> )

((6، 10، 18، 34، 66، ldots) text <.> ) للانتقال من مصطلح إلى آخر ، نقوم بمضاعفة كل مصطلح تقريبًا. لذا ربما يمكننا إعادة ربط هذا بـ (2 ^ n text <.> ) نعم ، كل مصطلح يزيد بمقدار 2 عن قوة 2. لذلك نحصل على (h_n = 2 ^ + 2 ) ( (n + 2 ) لأن المصطلح الأول هو 2 أكثر من (2 ^ 2 text <،> ) وليس (2 ^ 0 )). بدلاً من ذلك ، كان بإمكاننا ربط هذا التسلسل بالتسلسل الثاني في هذا المثال: بدءًا من 3 ، 5 ، 9 ، 17 ، ... نرى أن هذا التسلسل هو ضعف حد هذا التسلسل. كان لهذا التسلسل صيغة مغلقة (c_n = 2 ^ + 1 نص <.> ) سيكون تسلسلنا هنا ضعف هذا ، لذا (h_n = 2 (2 ^ n + 1) text <،> ) وهو نفس ما حصلنا عليه من قبل.

((15، 33، 57، 87، 123، ldots) text <.> ) حاول قسمة كل حد على 3. هذا يعطي التسلسل (5، 11، 19، 29، 41، ldots text <.> ) أضف الآن 1 لكل مصطلح: (6، 12، 20، 30، 42، ldots text <،> ) وهو ((d_n) ) في هذا المثال ، باستثناء البدء بالرقم 6 بدلاً من 0. لنبدأ بالصيغة (d_n = n (n + 1) text <.> ) للبدء بـ 6 ، نحول: ((n + 2) (n + 3) text <.> ) لكن هذا عدد كبير جدًا ، لذا اطرح 1: ((n + 2) (n + 3) - 1 text <.> ) هذا يعطينا التسلسل ، لكن مقسومًا على 3. إذن نحن تريد (j_n = 3 ((n + 2) (n + 3) - 1) text <.> )

المبالغ الجزئية.

تنشأ بعض التسلسلات بشكل طبيعي كمجموع مصطلحات تسلسل آخر.

مثال 2.1.5.

تتعقب Sam عدد عمليات الضغط التي تقوم بها كل يوم من "القيام بالكثير من تمارين الضغط". دعونا ((أ_) _) هو التسلسل الذي يصف عدد عمليات الدفع التي تم إجراؤها في يوم (n ) التحدي. يبدأ التسلسل

وصف التسلسل ((b_n) _) يصف العدد الإجمالي لعمليات الدفع التي قام بها سام بعد (n ) اليوم.

يمكننا إيجاد حدود هذه المتتابعة بسهولة كافية.

هنا (b_1 ) هو فقط (a_1 text <،> ) ولكن بعد ذلك

هناك عدة طرق يمكننا من خلالها وصف (b_n ) بشكل عام. يمكننا القيام بذلك بشكل متكرر ،

نظرًا لأن العدد الإجمالي لعمليات الدفع التي تم إجراؤها بعد (n ) يومًا سيكون العدد الذي تم إجراؤه بعد (n-1 ) يومًا ، بالإضافة إلى العدد الذي تم إجراؤه في اليوم (n text <.> )

لشيء أقرب إلى صيغة مغلقة ، يمكننا الكتابة

أو نفس الشيء باستخدام تدوين الجمع:

ومع ذلك ، لاحظ أن هذه ليست صيغًا مغلقة حقًا لأنه حتى لو كان لدينا صيغة لـ (a_n text <،> ) ، فسيظل لدينا عدد متزايد من العمليات الحسابية للقيام بها مع زيادة (n ).

معطى أي تسلسل ((a_n) _ text <،> ) يمكننا دائمًا تكوين تسلسل جديد ((b_n) _) بواسطة

نظرًا لأن مصطلحات ((b_n) ) هي مجموع الجزء الأولي من التسلسل ((a_n) ) طرق استدعاء ((b_n) ) the. سنرى قريبًا أنه من الممكن أحيانًا العثور على صيغة مغلقة لـ ((b_n) ) من الصيغة المغلقة لـ ((a_n) text <.> )

لتبسيط كتابة هذه المبالغ ، سنستخدم غالبًا تدوينًا مثل ( d sum_^ n a_k text <.> ) هذا يعني إضافة ما يصل إلى (a_k ) حيث يتغير (k ) من 1 إلى (n text <.> )

مثال 2.1.6.

استخدم الترميز ( sum ) لإعادة كتابة المجاميع:

  1. ( displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + cdots + 100 )
  2. ( displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 + cdots + 2 ^ <50> )
  3. (6 + 10 + 14 + cdots + (4n - 2) text <.> )

إذا أردنا مضاعفة (a_k ) بدلاً من ذلك ، فيمكننا كتابة ( d prod_^ n a_k text <.> ) على سبيل المثال ، ( d prod_^ n ك = n! نص <.> )

تمارين تمارين

ابحث عن الصيغة المغلقة لكل من المتتاليات التالية عن طريق ربطها بتسلسل معروف جيدًا. افترض أن المصطلح الأول المعطى هو (a_1 text <.> )

( displaystyle 2، 5، 10، 17، 26، ldots )

( displaystyle 0، 2، 5، 9، 14، 20، ldots )

( displaystyle 8، 12، 17، 23، 30، ldots )

( displaystyle 1، 5، 23، 119، 719، ldots )

لاحظ أننا إذا طرحنا 1 من كل حد ، فسنحصل على الأعداد المربعة. وهكذا (a_n = n ^ 2 + 1 text <.> )

هذه تبدو مثل الأرقام المثلثية ، وقد تم إزاحتها بمقدار 1. نحصل على: (a_n = frac <2> - 1 نص <.> )

إذا طرحت 2 من كل حد ، فستحصل على أرقام مثلثة ، تبدأ فقط بالرقم 6 بدلاً من 1. لذلك يجب أن ننتقل رأسيًا وأفقيًا. (a_n = frac <(n + 2) (n + 3)> <2> + 2 text <.> )

يبدو أن هذه تنمو بسرعة كبيرة. علاوة على ذلك ، إذا أضفنا 1 لكل مصطلح ، فسنجد العوامل ، على الرغم من أننا نبدأ بـ 2 بدلاً من 1. وهذا يعطي ، (a_n = (n + 1)! - 1 ) (حيث (n! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots n )).

لكل تسلسل مذكور أدناه ، ابحث عن صيغة مغلقة لـ (a_n text <،> ) الحد (n ) من التسلسل (افترض أن المصطلحات الأولى هي (a_0 )) عن طريق ربطها بتسلسل آخر التي تعرفها بالفعل الصيغة. في كل حالة ، قل بإيجاز كيف حصلت على إجاباتك.

0 ، 2 ، 7 ، 15 ، 26 ، 40 ، 57 ، ... (تلميح خفي: قد يُطلق على هذه "أرقام المنازل")

اكتب المصطلحات الخمسة الأولى (بدءًا من (a_0 )) من كل من التسلسلات الموضحة أدناه. ثم قم بإعطاء إما صيغة مغلقة أو تعريف تعاودي للتسلسل (أيهما لم يرد في المشكلة).

(أ_ = 2 أ_ - أ_) مع (a_0 = 0 ) و (a_1 = 1 نص <.> )

(a_0 = 0 text <،> ) (a_1 = 1 text <،> ) (a_2 = 3 text <،> ) (a_3 = 6 ) (a_4 = 10 text <.> ) تم وصف التسلسل بصيغة مغلقة. هذه هي الأعداد المثلثة. التعريف العودي هو: (a_n = a_ + n ) مع (a_0 = 0 text <.> )

هذا تعريف متكرر. نتابع (a_2 = 2 text <،> ) (a_3 = 3 text <،> ) (a_4 = 4 text <،> ) (a_5 = 5 text <،> ) وهكذا. الصيغة المغلقة هي (a_n = n text <.> )

لدينا (a_0 = 1 text <،> ) (a_1 = 1 text <،> ) (a_2 = 2 text <،> ) (a_3 = 6 text <،> ) (a_4 = 24 text <،> ) (a_5 = 120 text <،> ) وهكذا. الصيغة المغلقة هي (a_n = n! text <.> )

ضع في اعتبارك التسلسل ((a_n) _) التي تبدأ (1، 3، 5، 7، 9، ldots ) ​​(أي الأرقام الفردية بالترتيب).

أعط تعريفًا تعاوديًا وصيغة مغلقة للتسلسل.

اكتب التسلسل ((b_n) _) لمجموع جزئية من ((a_n) text <.> ) اكتب التعريف العودي لـ ((b_n) ) وخمن في الصيغة المغلقة.

التعريف العودي هو (a_n = a_ + 2 ) مع (a_1 = 1 text <.> ) الصيغة المغلقة هي (a_n = 2n-1 text <.> )

تسلسل المجاميع الجزئية هو (1، 4، 9، 16، 25، 36، ldots text <.> ) التعريف العودي (كما هو الحال دائمًا) (b_n = b_ + a_n ) وهو في هذه الحالة (b_n = b_ + 2n-1 text <.> ) يبدو أن الصيغة المغلقة هي (b_n = n ^ 2 )

تسلسل فيبوناتشي هو (0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، ldots ) ​​(حيث (F_0 = 0 )).

اكتب المصطلحات القليلة الأولى من تسلسل المجاميع الجزئية: (0 نص <،> ) (0 + 1 نص <،> ) (0 + 1 + 1 نص <،> ) ...

خمن صيغة لتسلسل المجاميع الجزئية معبراً عنها برقم فيبوناتشي واحد. على سبيل المثال ، قد تقول (F_0 + F_1 + cdots + F_n = 3F_^ 2 + n text <،> ) بالرغم من أن هذا غير صحيح بالتأكيد.

ضع في اعتبارك التسلسلات الثلاثة أدناه. لكل منها ، ابحث عن تعريف تعاودي. كيف ترتبط هذه التسلسلات؟

  1. (2، 4، 6، 10، 16، 26، 42، ldots text <.> )
  2. (5، 6، 11، 17، 28، 45، 73، ldots text <.> )
  3. (0، 0، 0، 0، 0، 0، 0، ldots text <.> )

كل التسلسلات لها نفس علاقة التكرار: (a_n = a_ + أ) (نفس أرقام فيبوناتشي). الاختلاف الوحيد هو الشروط الأولية.

اكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل المعطى بواسطة (a_1 = 3 text <> ) (a_n = 2a_ + 4 text <.> ) ثم ابحث عن تعريف تعاودي للتسلسل (10، 24، 52، 108، ldots text <.> )

(3 ، 10 ، 24 ، 52 ، 108 ، ldots text <.> ) التعريف العودي لـ (10 ​​، 24 ، 52 ، ldots ) ​​هو (a_n = 2a_ + 4 ) مع (a_1 = 10 text <.> )

اكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل المعطى بواسطة (a_n = n ^ 2 - 3n + 1 text <.> ) ثم ابحث عن صيغة مغلقة للتسلسل (بدءًا من (a_1 )) (0 ، 2 ، 6 ، 12 ، 20 ، النقاط نص <.> )

(- 1، -1، 1، 5، 11، 19، ldots ) ​​وبالتالي فإن التسلسل (0، 2، 6، 12، 20، ldots ) ​​قد أغلق الصيغة (a_n = (n + 1 ) ^ 2 - 3 (n + 1) + 2 text <.> )

أظهر أن (a_n = 3 cdot 2 ^ n + 7 cdot 5 ^ n ) هو حل لعلاقة التكرار (a_n = 7a_ - 10 أ_ text <.> ) ما هي الشروط الأولية التي يجب أن تكون حتى تكون الصيغة المغلقة للتسلسل؟

هذه الصيغة المغلقة سيكون لها (a_ = 3 cdot 2 ^ + 7 cdot 5 ^) و (أ_ = 3 cdot 2 ^ + 7 cdot 5 ^ text <.> ) ثم لدينا

لذا فإن الصيغة المغلقة تتفق مع علاقة التكرار. الصيغة المغلقة لها مصطلحات أولية (a_0 = 10 ) و (a_1 = 41 text <.> )

أظهر أن (a_n = 2 ^ n - 5 ^ n ) هو أيضًا حل لعلاقة التكرار (a_n = 7a_ - 10 أ_ text <.> ) ما هي الشروط الأولية التي يجب أن تكون حتى تكون الصيغة المغلقة للتسلسل؟

ابحث عن صيغة مغلقة للتسلسل بتعريف تعاودي (a_n = 2a_ - أ_) مع (a_1 = 1 ) و (a_2 = 2 نص <.> )

سترغب في كتابة التسلسل ، تخمين صيغة مغلقة ، ثم التحقق من صحتك.

أعط تعريفين متكررين مختلفين للتسلسل مع الصيغة المغلقة (a_n = 3 + 2n text <.> ) أثبت أنك على صواب. يجب أن يستخدم أحد التعريفات العودية على الأقل مصطلحين سابقين ولا يستخدم أي ثوابت.

اكتب التسلسل ، وخمن تعريفًا تعاوديًا ، وتحقق من أن الصيغة المغلقة هي حل لذلك التعريف العودي.

استخدم تدوين الجمع ( ( sum )) أو المنتج ( ( prod )) لإعادة كتابة ما يلي.

  1. (2 + 4 + 6 + 8 + cdots + 2n text <.> )
  2. (1 + 5 + 9 + 13 + cdots + 425 نص <.> )
  3. (1 + frac <1> <2> + frac <1> <3> + frac <1> <4> + cdots + frac <1> <50> text <.> )
  4. (2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2n text <.> )
  5. (( frac <1> <2>) ( frac <2> <3>) ( frac <3> <4>) cdots ( frac <100> <101>) text <.> )
  1. ( د مجموع_^ n 2 كيلو نص <.> )
  2. ( د مجموع_^ <107> (1 + 4 (ك -1)) نص <.> )
  3. ( د مجموع_^ <50> فارك <1> نص <.> )
  4. ( د المنتج_^ n 2 كيلو نص <.> )
  5. ( د المنتج_^ <100> فارك نص <.> )

قم بتوسيع المجاميع والمنتجات التالية. هذا هو ، اكتبهم بعيدًا.

  1. ( د مجموع_^ <100> (3 + 4k) نص <.> )
  2. ( د مجموع_^ n 2 ^ ك نص <.> )
  3. ( د مجموع_^ <50> فارك <1> <(ك ^ 2 - 1)> نص <.> )
  4. ( د المنتج_^ <100> فارك<(ك ^ 2-1)> نص <.> )
  5. ( د المنتج_^ n (2 + 3 ك) نص <.> )
  1. ( د مجموع_^ <100> (3 + 4k) = 7 + 11 + 15 + cdots + 403 نص <.> )
  2. ( د مجموع_^ n 2 ^ k = 1 + 2 + 4 + 8 + cdots + 2 ^ n text <.> )
  3. ( د مجموع_^ <50> frac <1> <(k ^ 2 - 1)> = 1 + frac <1> <3> + frac <1> <8> + frac <1> <15> + cdots + فارك <1> <2499> نص <.> )
  4. ( د المنتج_^ <100> فارك<(k ^ 2-1)> = frac <4> <3> cdot frac <9> <8> cdot frac <16> <15> cdots frac <10000> <9999> text <.> )
  5. ( د المنتج_^ n (2 + 3k) = (2) (5) (8) (11) (14) cdots (2 + 3n) text <.> )

افترض أنك ترسم (n ) خطوطًا في المستوى بحيث يتقاطع كل زوج من الخطوط (لا توجد خطوط متوازية) ولا تتقاطع ثلاثة خطوط في نفس النقطة. سيؤدي هذا إلى إنشاء عدد من المناطق في المستوى ، بما في ذلك بعض المناطق غير المحدودة. اتصل بعدد المناطق (R_n text <.> ) ابحث عن صيغة متكررة لعدد المناطق التي تم إنشاؤها بواسطة (n ) الأسطر ، وتبرير سبب صحة العودية.

جرب مثالاً: عندما ترسم الخط الرابع ، سوف يتقاطع مع ثلاثة خطوط أخرى ، لذلك سيتم تقسيمه إلى أربعة أجزاء ، اثنان منها غير متناهيتين. سيقسم كل جزء المنطقة السابقة إلى قسمين.

السلسلة عبارة عن سلسلة من 0 و 1 و 2. تمامًا مثل سلسلة صغيرة ، ولكن بثلاثة رموز.

دعنا نسمي سلسلة ثلاثية جيد شريطة ألا يحتوي أبدًا على 2 متبوعًا مباشرة بـ 0. دع (G_n ) هو عدد السلاسل الجيدة من الطول (n text <.> ) على سبيل المثال ، (G_1 = 3 text <،> ) و (G_2 = 8 ) (منذ الأوتار التسعة الثلاثية بطول 2 ، واحد فقط ليس جيدًا).

ابحث ، مع التبرير ، عن صيغة متكررة لـ (G_n text <،> ) واستخدمها لحساب (G_5 text <.> )

ضع في اعتبارك ثلاث حالات: الرقم الأخير هو 0 ، أو 1 ، أو 2. يجب أن يكون من السهل حساب اثنتين من هذه الحالات ، لكن السلاسل المنتهية في 0 لا يمكن متابعتها بـ 2 ، لذلك تتطلب المزيد من العمل.

ضع في اعتبارك سلاسل البت ذات الطول (l ) والوزن (ك ) (لذا سلاسل (ل ) 0 و 1 ، بما في ذلك (ك ) 1). نحن نعرف كيفية حساب عدد هذه من أجل ثابت (l ) و (k text <.> ) الآن ، سنقوم بحساب عدد السلاسل التي من أجلها مجموع الطول والوزن ثابت. على سبيل المثال ، دعنا نحسب جميع سلاسل البت التي من أجلها (l + k = 11 text <.> )

ابحث عن أمثلة لهذه الأوتار ذات الأطوال المختلفة. ما هو أطول سلسلة ممكنة؟ ما هو الاقصر؟

كم عدد السلاسل الموجودة لكل من هذه الأطوال. استخدم هذا لحساب العدد الإجمالي للسلاسل (مع مجموع 11).

الطريقة الأخرى: دع (n = l + k ) يختلف. كم عدد السلاسل التي تحتوي على مجموع (n = 1 text <؟> ) كم عدد السلاسل التي تحتوي على مجموع (n = 2 text <؟> ) وهكذا. ابحث وشرح علاقة التكرار للتسلسل ((a_n) ) التي تعطي عدد السلاسل مع الجمع (n text <.> )

صِف ما وجدته أعلاه من حيث مثلث باسكال. ما هو النمط الذي اكتشفته؟

عندما يلعب النحل الشطرنج ، فإنهم يستخدمون لوحة سداسية مثل تلك الموضحة أدناه. يمكن للملكة أن تتحرك مسافة واحدة في كل مرة إما مباشرة إلى اليمين أو بزاوية لأعلى - لليمين أو لأسفل - لليمين (ولكن لا يمكنها أبدًا التحرك لليسار). كم عدد المسارات المختلفة التي يمكن للملكة أن تسلكها من السداسي الأيسر العلوي إلى السداسي الأيمن السفلي؟ اشرح اجابتك وهذا يتعلق بالسؤال السابق. (على سبيل المثال ، هناك ثلاثة مسارات للوصول إلى الشكل السداسي الثاني في الصف السفلي.)

فكر بشكل متكرر ، كما فعلت في مثلث باسكال.

دع (t_n ) يشير إلى عدد الطرق لقطع (2 مرات n ) رقعة الشطرنج باستخدام (1 مرات 2 ) الدومينو. اكتب المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل ((t_n) _) ثم إعطاء تعريف تعاودي. اشرح سبب صحة الصيغة العودية.

توجد طريقة واحدة فقط لقطع لوحة (2 مرات 1 ) وطريقتان لقطع لوحة (2 مرات 2 ) (يمكنك توجيه قطع الدومينو بطريقتين). بشكل عام ، ضع في اعتبارك طريقتين يمكن توجيه الدومينو التي تغطي الزاوية اليسرى العليا.


رسم الخرائط على القوائم

إحدى العمليات المفيدة للغاية هي تطبيق بعض التحويل على كل عنصر في قائمة وإنشاء قائمة النتائج. على سبيل المثال ، تقوم وظيفة الإجراء التالية بقياس كل رقم في قائمة بعامل معين:

أصلي جافا سكريبت
(حدد (عامل عناصر قائمة المقياس) (إذا (العناصر الفارغة) لا شيء (سلبيات (* (عناصر السيارة) عامل) (عامل قائمة المقياس (عناصر cdr))))) مقياس_الوظيفة (العناصر ، العامل)

يمكننا تجريد هذه الفكرة العامة والتقاطها كنمط شائع يتم التعبير عنه كإجراء ذي ترتيب أعلى ، وظيفة ، تمامًا كما في القسم 1.3. تسمى وظيفة الإجراء ذات الترتيب الأعلى هنا الخريطة. الخريطة تأخذ خريطة الوظيفة كوسيطات دالة إجرائية لوسيطة واحدة وقائمة ، وتعيد قائمة بالنتائج التي تم إنتاجها من خلال تطبيق وظيفة الإجراء على كل عنصر في القائمة: [8]

أصلي جافا سكريبت
(حدد (عناصر عملية الخريطة) (إذا كانت (عناصر؟ فارغة) لا شيء (سلبيات (عمليات (عناصر السيارة)) (إجراءات الخريطة (عناصر cdr))))) خريطة الوظيفة (المرح ، العناصر)
أصلي جافا سكريبت
(خريطة القيمة المطلقة (قائمة -10 2.5 -11.6 17)) (10 2.5 11.6 17) الخريطة (القيمة المطلقة ، القائمة (-10 ، 2.5 ، -11.6 ، 17)) [10 ، [2.5 ، [11.6 ، [17 ، فارغة]]]]
أصلي جافا سكريبت
(خريطة (lambda (x) (* x x)) (قائمة 1 2 3 4)) (1 4 9 16) الخريطة (x => x * x، list (1، 2، 3، 4)) [1، [4، [9، [16، null]]]]

يمكننا الآن تقديم تعريف جديد لقائمة مقياس الرسم البياني من حيث الخريطة:

أصلي جافا سكريبت
(حدد (عامل عناصر قائمة المقياس) (خريطة (لامدا (س) (* عامل س)))) دالة scale_list (عناصر ، عامل) <خريطة العودة (x => x * factor ، items)>

الخريطة تعد خريطة الوظيفة بناءًا مهمًا ، ليس فقط لأنها تلتقط نمطًا مشتركًا ، ولكن لأنها تنشئ مستوى أعلى من التجريد في التعامل مع القوائم. في التعريف الأصلي لقائمة المقياس ، scale_list ، تلفت البنية العودية للبرنامج الانتباه إلى معالجة القائمة عنصرًا تلو الآخر. يؤدي تحديد scale_list - list من حيث الخريطة إلى منع هذا المستوى من التفاصيل والتأكيد على أن القياس يحول قائمة من العناصر إلى قائمة من النتائج. لا يتمثل الاختلاف بين التعريفين في أن الكمبيوتر يقوم بعملية مختلفة (وهو ليس كذلك) ولكننا نفكر في العملية بشكل مختلف. في الواقع ، تساعد الخريطة في إنشاء حاجز تجريد يعزل تنفيذ وظائف الإجراءات التي تحول القوائم من تفاصيل كيفية استخراج عناصر القائمة ودمجها. مثل الحواجز الموضحة في الشكل 2.1 ، الشكل 2.2 ، يمنحنا هذا التجريد المرونة لتغيير التفاصيل منخفضة المستوى لكيفية تنفيذ التسلسلات ، مع الحفاظ على الإطار المفاهيمي للعمليات التي تحول التسلسلات إلى متواليات. يتوسع القسم 2.2.3 في استخدام التسلسلات كإطار لتنظيم البرامج.


التحليل الأساسي الأول والثاني: مقدمة في التحليل الحقيقي ، المجلدان الأول والثاني

التحليل هو في الأساس حول اتخاذ الحدود. إن أبسط أنواع الحد هو حد سلسلة من الأعداد الحقيقية. لقد رأينا بالفعل التسلسلات المستخدمة بشكل غير رسمي. دعونا نعطي التعريف الرسمي.

التعريف 2.1.1.

أ تسلسل (من الأرقام الحقيقية) هي دالة (x Colon N to R text <.> ) بدلاً من (x (n) text <،> ) نشير عادةً إلى (n ) العنصر العاشر في التسلسل بواسطة (x_n text <.> ) نستخدم التدوين ( text <،> ) أو بشكل أكثر دقة

التسلسل ( ) هو المحصورة إذا كان هناك (B in R ) مثل ذلك

بمعنى آخر ، التسلسل () يتم تقييدها عندما يتم تقييد المجموعة ( ( ) ، أو بشكل مكافئ عندما يتم تقييدها كدالة.

عندما نحتاج إلى إعطاء تسلسل ملموس ، فإننا غالبًا ما نعطي كل مصطلح كصيغة من حيث (n text <.> ) على سبيل المثال ، ( < nicefrac <1> >_^ infty text <،> ) أو ببساطة ( < nicefrac <1> > text <،> ) يشير إلى التسلسل (1، nicefrac <1> <2>، nicefrac <1> <3>، nicefrac <1> <4>، nicefrac <1> < 5>، ldots text <.> ) التسلسل ( < nicefrac <1> > ) هو تسلسل محدود ( (ب = 1 ) يكفي). من ناحية أخرى ، يشير التسلسل ( ) إلى (1،2،3،4 ، ldots text <،> ) وهذا التسلسل غير محدد (لماذا؟).

في حين أن تدوين التسلسل يشبه 1 للمجموعة ، فإن المفاهيم مختلفة. على سبيل المثال ، التسلسل ( <(- 1)> ^ n > ) هو التسلسل (- 1،1 ، -1،1 ، -1،1 ، ldots text <،> ) في حين أن مجموعة القيم ، فإن نطاق التسلسل، هي فقط المجموعة ( <-1 ، 1 > نص <.> ) يمكننا كتابة هذه المجموعة كـ ( <<(- 1)> ^ n: n in N > text <.> ) عندما يظهر الغموض ، نستخدم الكلمات تسلسل أو تعيين للتمييز بين المفهومين.

مثال آخر على التسلسل هو ما يسمى تسلسل ثابت. هذا تسلسل ( = c ، c ، c ، c ، ldots ) ​​يتكون من ثابت واحد (c in R ) يتكرر إلى أجل غير مسمى.

نصل الآن إلى فكرة حد التسلسل. سنرى في الاقتراح 2.1.6 أن الملاحظة أدناه محددة جيدًا. بمعنى ، إذا كان هناك حد ، فهو فريد. لذلك من المنطقي التحدث عنها ال حد التسلسل.

التعريف 2.1.2.

يُقال أن التسلسل ( ) تتلاقى إلى رقم (x in R text <،> ) إذا كان لكل ( epsilon & gt 0 text <،> ) (M in N ) مثل هذا ( عضلات المعدة & lt epsilon ) للجميع (n geq M text <.> ) يُقال أن الرقم (x ) هو حد من ( نص <.> ) نكتب

يُقال أن التسلسل الذي يتقارب هو متقاربة. خلاف ذلك ، نقول التسلسل يتباعد أو هذا هو متشعب.

من الجيد أن تعرف بشكل حدسي ما تعنيه الحدود. هذا يعني أنه في النهاية يكون كل رقم في التسلسل قريبًا من الرقم (x text <.> ) بشكل أكثر دقة ، يمكننا الاقتراب بشكل تعسفي من الحد ، بشرط أن نذهب بعيدًا بدرجة كافية في التسلسل. هذا لا يعني أننا نصل إلى الحد الأقصى. من الممكن ، والشائع جدًا ، عدم وجود (x_n ) في التسلسل الذي يساوي الحد (x text <.> ) نوضح المفهوم في الشكل 2.1. في الشكل ، نفكر أولاً في التسلسل كرسم بياني ، لأنه دالة لـ ( N text <.> ) ثانيًا ، نرسمه أيضًا كسلسلة من النقاط المعنونة على الخط الحقيقي.

الشكل 2.1. رسم توضيحي للتقارب. في الأعلى ، النقاط العشر الأولى من التسلسل كرسم بياني مع علامة (M ) والفاصل الزمني حول الحد (س ). في الأسفل ، تم تمييز نقاط نفس التسلسل على خط الأعداد.

عندما نكتب ( lim ، x_n = x ) لبعض الأرقام الحقيقية (x text <،> ) فإننا نقول شيئين. أولاً ، هذا ( ) متقارب ، وثانيًا أن الحد هو (x text <.> )

التعريف أعلاه هو أحد أهم التعريفات في التحليل ، ومن الضروري فهمه بشكل كامل. النقطة الأساسية في التعريف هي تلك المعطاة أي ( epsilon & gt 0 text <،> ) يمكننا العثور على (M text <.> ) يمكن أن يعتمد (M ) على ( epsilon text <،> ) لذلك نحن فقط اختر (M ) بمجرد أن نعرف ( epsilon text <.> ) دعنا نوضح هذا المفهوم في بعض الأمثلة.

مثال 2.1.3.

التسلسل الثابت (1،1،1،1 ، ldots ) ​​متقارب والحد هو 1. لكل ( epsilon & gt 0 text <،> ) نختار (M = 1 text < .> )

مثال 2.1.4.

مطالبة: التسلسل ( < nicefrac <1> > ) متقارب و

الدليل: بالنظر إلى ( epsilon & gt 0 text <،> ) نجد (M in N ) بحيث (0 & lt nicefrac <1> & lt epsilon ) (ممتلكات أرخميدس في العمل). ثم للجميع (n geq M ) لدينا ذلك

مثال 2.1.5.

التسلسل ( <<(- 1)> ^ n > ) متشعب. الدليل: إذا كان هناك حد (x text <،> ) إذن بالنسبة لـ ( epsilon = frac <1> <2> ) نتوقع (M ) الذي يلبي التعريف. افترض أن مثل هذا (M ) موجود ، ثم نقوم بحساب (n geq M ) الزوجي

وهذا تناقض.

الاقتراح 2.1.6.

التسلسل المتقارب له حد فريد.

يُظهر إثبات هذا الاقتراح تقنية مفيدة في التحليل. العديد من البراهين تتبع نفس المخطط العام. نريد أن نظهر أن كمية معينة تساوي صفرًا. نكتب الكمية باستخدام متباينة المثلث كمكمتين ، ونقدر كل واحدة بأعداد صغيرة عشوائية.

دليل - إثبات .

افترض أن التسلسل ( ) له حدود (x ) و (y text <.> ) خذ تعسفيًا ( epsilon & gt 0 text <.> ) من التعريف ابحث عن an (M_1 ) مثل هذا للجميع (n geq M_1 text <،> ) ( abs & lt nicefrac < epsilon> <2> text <.> ) بالمثل ، ابحث عن (M_2 ) بحيث يكون لدينا للجميع (n geq M_2 ) لدينا ( abs & lt nicefrac < epsilon> <2> text <.> ) الآن خذ (n ) مثل (n geq M_1 ) وأيضًا (n geq M_2 text <،> ) وتقدير

كـ ( abs & lt epsilon ) للجميع ( epsilon & gt 0 text <،> ) ثم ( abs = 0 ) و (y = x نص <.> ) ومن ثم يكون الحد (إن وجد) فريدًا.

الاقتراح 2.1.7.

التسلسل المتقارب ( ) محدود.

دليل - إثبات .

لنفترض أن ( ) يتقارب مع (x text <.> ) وبالتالي يوجد (M in N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (n geq M ) لدينا (عضلات المعدة & lt 1 text <.> ) دعنا (B_1: = abs+1 ) ولاحظ أنه بالنسبة لـ (n geq M ) لدينا

المجموعة ( < القيمة المطلقة، عضلات المعدة، ldots، abs<>> > ) هي مجموعة محدودة وبالتالي دعونا

دعونا (B: = max text <.> ) ثم للجميع (n in N ) لدينا

يوضح التسلسل ( <(- 1)> ^ n > ) أن العكس لا يصمد. التسلسل المحدود ليس بالضرورة متقاربًا.

مثال 2.1.8.

دعونا نظهر التسلسل ( left < frac right > ) تتقارب و

معطى ( epsilon & gt 0 text <،> ) ابحث عن (M in N ) بحيث ( frac <1> & lt epsilon text <.> ) ثم لأي (n geq M ) لدينا

لذلك ، ( lim frac = 1 نص <.> ) يوضح هذا المثال أنه في بعض الأحيان للحصول على ما تريد ، يجب عليك التخلص من بعض المعلومات للحصول على تقدير أبسط.

القسم الفرعي 2.1.1 متواليات رتيبة

أبسط نوع من التسلسل هو تسلسل رتيب. التحقق من تقارب تسلسل أحادي اللون أمر سهل مثل التحقق من أنه مقيد. من السهل أيضًا العثور على حد لتسلسل رتيب متقارب ، بشرط أن نتمكن من العثور على أعلى أو الحد الأقصى لمجموعة قابلة للعد من الأرقام.

التعريف 2.1.9.

التسلسل ( ) هو زيادة رتيبة إذا (x_n leq x_) للجميع (n in N text <.> ) التسلسل ( ) هو رتيبة تناقص إذا (x_n geq x_) للجميع (n in N text <.> ) إذا كان التسلسل إما زيادة رتيبة أو متناقصًا ، فيمكننا ببساطة أن نقول أن التسلسل هو روتيني. بعض المؤلفين يستخدمون الكلمة أيضًا رتيب.

على سبيل المثال ، ( < nicefrac <1> > ) تناقص رتيب ، التسلسل الثابت ( <1 > ) هو زيادة رتيبة ومتناقص رتيب ، و ( <<(- 1)> ^ n > ) ليس رتيبًا. تظهر المصطلحات القليلة الأولى لتسلسل زيادة رتابة العينة في الشكل 2.2.

الشكل 2.2. المصطلحات القليلة الأولى لتسلسل متزايد رتيب كرسم بياني.

الاقتراح 2.1.10.

يتم تقييد التسلسل الرتيب ( ) إذا كان متقاربًا وفقط.

علاوة على ذلك ، إذا كان ( ) يتزايد بشكل رتيب ويحد ، إذن

إذا كان ( ) متناقصًا ومحدودًا ، إذن

دليل - إثبات .

لنفترض أن التسلسل يتزايد بشكل رتيب. افترض أن التسلسل مقيد ، لذلك يوجد (B ) بحيث يكون (x_n leq B ) لجميع (n text <،> ) هذا هو المجموعة ( ) مقيد أعلاه. يترك

لنكن تعسفيًا ( epsilon & gt 0 ). نظرًا لأن (x ) هو السمة ، فيجب أن يكون هناك واحد على الأقل (M in N ) مثل هذا (x_ & gt x- epsilon ) (لأن (x ) هو السيادة). نظرًا لأن ( ) يتزايد بشكل رتيب ، فمن السهل أن نرى (بالحث) أن (x_n geq x_) للجميع (n geq M text <.> ) وبالتالي

لذلك ، يتقارب التسلسل إلى (x text <.> ) نحن نعلم بالفعل أن التسلسل المتقارب محدود ، مما يكمل الاتجاه الآخر للتضمين.

يُترك إثبات التسلسلات المتناقصة الرتيبة كتدريب.

مثال 2.1.11.

التسلسل مقيد أدناه كـ ( frac <1> < sqrt> & gt 0 ) للجميع (n in N text <.> ) دعنا نظهر أنه يتناقص بشكل رتيب. نبدأ بـ ( sqrt جيك مربع) (لماذا هذا صحيح؟). من هذا التفاوت نحصل عليه

لذا فإن التسلسل يتناقص بشكل رتيب ومحدود أدناه (ومن ثم يحده). نطبق النظرية لنلاحظ أن المتتالية متقاربة وفي الحقيقة

نحن نعلم بالفعل أن قيمة infimum أكبر من أو تساوي 0 ، حيث أن 0 هو الحد الأدنى. خذ رقمًا (b geq 0 ) بحيث (b leq frac <1> < sqrt> ) للجميع (n text <.> ) نقوم بتربيع كلا الجانبين للحصول على

لقد رأينا من قبل أن هذا يعني أن (b ^ 2 leq 0 ) (نتيجة لخاصية أرخميدس). كما لدينا أيضًا (b ^ 2 geq 0 text <،> ) ثم (b ^ 2 = 0 ) وهكذا (b = 0 text <.> ) وبالتالي ، (b = 0 ) هو الحد الأدنى الأكبر ، و ( lim frac <1> < sqrt> = 0 نص <.> )

مثال 2.1.12.

كلمة تحذير: يجب أن نظهر أن التسلسل الرتيب محدد من أجل استخدام الاقتراح 2.1.10 لإبرام تسلسل يتقارب. التسلسل ( <1 + nicefrac <1> <2> + cdots + nicefrac <1> > ) هو تسلسل متزايد رتيب ينمو ببطء شديد. سنرى ، بمجرد أن نصل إلى المتسلسلة ، أن هذا التسلسل ليس له حد أعلى وبالتالي لا يتقارب. ليس من الواضح على الإطلاق أن هذا التسلسل ليس له حد أعلى.

من الأمثلة الشائعة على ظهور التسلسلات الرتيبة هو الاقتراح التالي. ترك برهان باعتبارها ممارسة.

الاقتراح 2.1.13.

لنفترض أن (S مجموعة فرعية R ) مجموعة محدودة محدودة. ثم توجد تسلسلات رتيبة ( ) و ( ) مثل أن (x_n ، y_n في S ) و

القسم الفرعي 2.1.2 ذيل التسلسل

التعريف 2.1.14.

بالنسبة للتسلسل ( text <،> ) فإن (ك ) - الذيل (حيث (K in N )) أو فقط ملف ذيل التسلسل هو التسلسل الذي يبدأ عند (K + 1 text <،> ) عادةً ما يتم كتابته كـ

على سبيل المثال ، (4 ) - ذيل ( < nicefrac <1> > ) هو ( nicefrac <1> <5> ، nicefrac <1> <6> ، nicefrac <1> <7> ، nicefrac <1> <8> ، ldots text <.> ) (0 ) - ذيل التسلسل هو التسلسل نفسه. التقارب وحد التسلسل يعتمد فقط على ذيله.

الاقتراح 2.1.15.

دع ( _^ infty ) تسلسل. ثم البيانات التالية متكافئة:

التسلسل ( _^ infty ) تتقارب.

(K ) - الذيل ( >_^ infty ) يتقارب للجميع (K in N text <.> )

(K ) - الذيل ( >_^ infty ) يتقارب لبعض (K in N text <.> )

علاوة على ذلك ، إن وجدت (وبالتالي الكل) من الحدود موجودة ، إذن لأي (K in N )

دليل - إثبات .

من الواضح أن الثاني يعني الثالث. لذلك سوف نظهر أولاً أن أنا أشير إلى ii ، ثم سنظهر أن iii يشير إلى i. أي ، في هذه العملية سوف نظهر أيضًا أن الحدود متساوية.

دعونا نبدأ بـ أنا يعني الثاني. يفترض () يتقارب مع بعض (x in R text <.> ) لنكن تعسفيًا (K in N ) وحدد (y_n: = x_ text <.> ) نرغب في إظهار أن ( ) يتقارب مع (x text <.> ) بالنظر إلى وجود ( epsilon & gt 0 text <،> ) an (M in N ) مثل أن ( abs & lt epsilon ) للجميع (n geq M text <.> ) لاحظ أن (n geq M ) يعني (n + K geq M text <.> ) لذلك ، للجميع (n geq M ) لدينا ذلك

وبالتالي ، يتقارب ( ) إلى (x text <.> )

دعونا ننتقل إلى الثالث يعني أنا. دعونا نعطي (K in N ) ، حدد (y_n: = x_ text <،> ) وافترض أن ( ) يتقارب مع (x in R text <.> ) وهذا يعني ( epsilon & gt 0 text <، > ) يوجد (M ' in N ) مثل أن ( abs & lt epsilon ) للجميع (n geq M ' text <.> ) دعنا (M: = M' + K text <.> ) ثم (n geq M ) يعني ( nK geq M ' text <.> ) وهكذا ، عندما يكون لدينا (n geq M )

لذلك ( ) يتقارب إلى (x نص <.> )

بشكل أساسي ، لا يهتم الحد بكيفية بدء التسلسل ، إنه يهتم فقط بذيل التسلسل. قد تكون بداية التسلسل عشوائية.

على سبيل المثال ، التسلسل المحدد بواسطة (x_n: = frac) يتناقص إذا بدأنا عند (n = 4 ) (يتزايد من قبل). هذا هو: ( = nicefrac <1> <17> ، nicefrac <1> <10> ، nicefrac <3> <25> ، nicefrac <1> <8> ، nicefrac < 5> <41> ، nicefrac <3> <26> ، nicefrac <7> <65> ، nicefrac <1> <10> ، nicefrac <9> <97> ، nicefrac <5> <58> و ldots text <و> ) و

إذا تخلصنا من المصطلحات الثلاثة الأولى ونظرنا إلى الذيل الثلاثة ، فسنجد تناقصًا. ترك برهان باعتبارها ممارسة. نظرًا لأن الذيل 3 رتيب ومحدود من الصفر ، فهو متقارب ، وبالتالي فإن التسلسل متقارب.

القسم الفرعي 2.1.3 العواقب

من المفيد أحيانًا مراعاة بعض مصطلحات التسلسل فقط. اللاحقة لـ ( ) هي تسلسل يحتوي فقط على بعض الأرقام من ( ) بنفس الترتيب.

التعريف 2.1.16.

دع ( ) يكون تسلسلاً. لنفترض ( ) أن يكون تسلسلًا متزايدًا بشكل صارم للأرقام الطبيعية ، أي (n_i & lt n_) للجميع (i ) (بعبارة أخرى (n_1 & lt n_2 & lt n_3 & lt cdots )). الترتيب

يسمى أ اللاحقة من ( نص <.> )

ضع في اعتبارك التسلسل ( < nicefrac <1> > نص <.> ) التسلسل ( < nicefrac <1> <3n> > ) هو نتيجة لاحقة. لمعرفة كيف يتناسب هذان التسلسلان في التعريف ، خذ (n_i: = 3i text <.> ) يجب أن تأتي الأرقام في التسلسل التالي من التسلسل الأصلي. لذلك (1،0، nicefrac <1> <3>، 0، nicefrac <1> <5>، ldots ) ​​ليس نتيجة لاحقة لـ ( < nicefrac <1> > text <.> ) وبالمثل ، يجب الحفاظ على الترتيب. لذا فإن التسلسل (1 ، nicefrac <1> <3> ، nicefrac <1> <2> ، nicefrac <1> <5> ، ldots ) ​​ليس نتيجة لاحقة لـ ( < nicefrac < 1> > نص <.> )

ذيل التسلسل هو نوع خاص من التتابعات اللاحقة. بالنسبة إلى نتيجة تعسفية لاحقة ، لدينا الاقتراح التالي حول التقارب.

الاقتراح 2.1.17.

إذا كان ( ) تسلسلًا متقاربًا ، فإن أي تتابع لاحق ( > ) هي أيضًا متقاربة و

دليل - إثبات .

افترض ( lim_ x_n = x text <.> ) هذا يعني أنه لكل ( epsilon & gt 0 ) لدينا (M in N ) مثل هذا للجميع (n geq M )

ليس من الصعب إثبات (افعل ذلك!) من خلال الاستقراء أن (n_i geq i text <.> ) ومن ثم فإن (i geq M ) يعني (n_i geq M text <.> ) وبالتالي ، بالنسبة للجميع (i geq M ) لدينا

مثال 2.1.18.

لا يعني وجود تقاربات لاحقة تقارب التسلسل نفسه. خذ التسلسل (0،1،0،1،0،1 ، ldots text <.> ) أي ، (x_n = 0 ) إذا كان (n ) غريبًا ، و (x_n = 1 ) إذا كان (n ) زوجيًا. التسلسل ( ) متشعب ، ومع ذلك ، فإن التتابع التالي ( > ) يتقارب مع 1 والنتيجة اللاحقة ​​( > ) يتقارب إلى 0. قارن الاقتراح 2.3.7.

القسم الفرعي 2.1.4 تمارين

في التدريبات التالية ، لا تتردد في استخدام ما تعرفه من حساب التفاضل والتكامل لإيجاد الحد ، إذا كان موجودًا. لكن يتوجب عليك ثبت أنك وجدت الحد الصحيح ، أو تثبت أن المتسلسلة متباعدة.

تمرين 2.1.1.

هل التسلسل ( <3n > ) مقيد؟ إثبات أو دحض.

تمرين 2.1.2.

هل التسلسل ( ) متقارب؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.3.

هل التسلسل ( left < dfrac << (- 1)> ^ n> <2n> right > ) متقارب؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.4.

هل التسلسل ( <2 ^ <-n> > ) متقارب؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.5.

هو التسلسل ( اليسار < dfrac حق > ) متقاربة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.6.

هو التسلسل ( اليسار < dfrac حق > ) متقاربة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.7.

أظهر أن ( lim ، x_n = 0 ) (أي أن الحد موجود وهو صفر) إذا وفقط إذا ( lim abs = 0 نص <.> )

ابحث عن مثال مثل ( < abs> ) يتقارب ويتباعد ( ).

تمرين 2.1.8.

هو التسلسل ( left < dfrac <2 ^ n> حق > ) متقاربة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الحد؟

تمرين 2.1.9.

أظهر أن التسلسل ( left < dfrac <1> < sqrt [3]> right > ) رتيب ومحدود. ثم استخدم Proposition 2.1.10 للعثور على الحد.

تمرين 2.1.10.

أظهر أن التسلسل ( اليسار < dfrac right > ) رتيب ومحدود. ثم استخدم Proposition 2.1.10 للعثور على الحد.

تمرين 2.1.11.

قم بإنهاء إثبات الاقتراح 2.1.10 للتسلسلات المتناقصة الرتيبة.

تمرين 2.1.12.
تمرين 2.1.13.

لنفترض أن ( ) هو تسلسل رتيب متقارب. افترض أن هناك (k in N ) مثل هذا

أظهر أن (x_n = x_k ) للجميع (n geq k text <.> )

تمرين 2.1.14.

ابحث عن سلسلة متقاربة من التسلسل ( <(- 1)> ^ n > text <.> )

تمرين 2.1.15.

يترك () أن يكون تسلسلاً محددًا بواسطة

هل التسلسل مقيد؟ (اثبت او دحض)

هل هناك تالية متقاربة؟ إذا كان الأمر كذلك ، ابحث عنه.

تمرين 2.1.16.

دع ( ) يكون تسلسلاً. لنفترض أن هناك نوعان من النتائج المتقاربة اللاحقة ​​( > ) و ( <س_> text <.> ) افترض

حيث (a not = b text <.> ) أثبت أن ( ) ليس متقاربًا ، بدون استخدام الاقتراح 2.1.17.

تمرين 2.1.17.

(مخادع) ابحث عن تسلسل ( ) بحيث يوجد لأي (y in R text <،> ) تسلسل لاحق ( > ) تتقارب إلى (y text <.> )

تمرين 2.1.18.

(سهل) لنفترض ( ) أن يكون تسلسلاً و (x in R text <.> ) افترض أن أي ( epsilon & gt 0 text <،> ) يوجد (M ) مثل هذا للجميع (n geq M text <،> ) ( abs leq epsilon text <.> ) أظهر ذلك ( lim ، x_n = x text <.> )

تمرين 2.1.19.

(سهل) لنفترض ( ) أن يكون تسلسلاً و (x in R ) بحيث يوجد (k in N ) بحيث يكون للجميع (n geq k text < ،> ) (x_n = x text <.> ) أثبت أن ( ) يتقارب إلى (x text <.> )

تمرين 2.1.20.

لنفترض ( ) أن يكون تسلسلًا وحدد التسلسل ( ) من خلال (y_ <2k>: = x_) و (y_ <2k-1>: = x_k ) للجميع (k in N text <.> ) أثبت أن ( ) يتقارب إذا وفقط إذا ( ) تتقارب. علاوة على ذلك ، أثبت أنهما إذا تقاربا ، إذن ( lim ، x_n = lim ، y_n text <.> )

تمرين 2.1.21.

أظهر أن الجزء الثالث من التسلسل المحدد بواسطة (x_n: = frac) يتناقص بشكل رتيب. تلميح: افترض (n geq m geq 4 ) واعتبر بسط التعبير (x_n-x_m text <.> )

تمرين 2.1.22.

افترض أن ( ) هو تسلسل مثل التالي ( > text <،> ) ( > text < ،> ) و ( > ) كلها تتقارب. أظهر أن ( ) متقارب.


2.1: المتتاليات

نوع التسلسل غير القابل للتغيير Seq مع عناصر من النوع T يدعم بعض المجموعات الفرعية من العمليات التالية على كائن Seq وهذا يمثل s 0 ، s 1 ،. s n، n & gt = 0:

هناك نوعان من التمثيلات المستخدمة على نطاق واسع للتسلسلات الثابتة: مرتبطة ومتجاورة.

في التمثيل المرتبط ، التسلسل هو مؤشر إلى كائن ، والذي يكون إما عقدة فارغة ، يمثل التسلسل الفارغ ، أو عقدة سلبيات مع حقل من النوع T يحتوي على العنصر الأول من التسلسلات وحقل من النوع Seq يحتوي على المؤشر إلى العقدة الأولى في بقية التسلسل. تمثيل البيانات هذا ، والذي يُطلق عليه غالبًا قائمة مرتبطة ، يتوافق بشكل مباشر مع التعريف الاستقرائي القياسي للتسلسلات. استخدمنا هذا التمثيل لتنفيذ نوع بيانات DeptDirectory. يحدد التسلسل الهرمي للفئة المركبة التالي (مع حذف تعريفات الطريقة) تمثيلات قائمة مرتبطة لتسلسلات من النوع T في Java:

يوضح الشكل التالي صورة لقائمة الأعداد الصحيحة المرتبطة.

العقد التي تحتوي على حقلين هي مثيلات سلبيات ، والمربع المتقاطع هو مثيل فارغ. يتم تمثيل المؤشرات بواسطة الأسهم الثقيلة. حقول المؤشر في الخلايا هي في الحقيقة عناوين ذاكرة. في Java ، يتم تفسير هذه العناوين دائمًا على أنها إشارات إلى الكائنات. تدعم Java فقط العمليات على المؤشرات التي تتوافق مع هذا التجريد ، على سبيل المثال لا يمكنك إجراء العمليات الحسابية على مؤشر. في اللغات ذات المستوى الأدنى مثل C و C ++ ، يمكن معالجة المؤشرات (العناوين) مثل الأعداد الصحيحة العادية.

في التمثيل المتجاور ، يتم تمثيل التسلسل بمؤشر إلى مصفوفة ثابتة من الحقول من النوع T. المصفوفة الثابتة هي مصفوفة لا يتم تعديلها بمجرد تهيئتها. لا تدعم Java المصفوفات غير القابلة للتغيير بشكل مباشر ، ولكن يمكن لبرنامج Java فرض الثبات عن طريق تحديد فئة مجمعة للمصفوفات (على غرار فئة Integer لتضمين int s في الكائنات) مع حقل خاص واحد يحتوي على المصفوفة المضمنة ومجموعة من public الأساليب التي لا تغير هذا المجال. بروتوكول أخف وزنًا ولكنه أقل قوة لدعم المصفوفات الثابتة هو استخدام التعليقات للإشارة إلى المصفوفات غير القابلة للتغيير واتباع نظام عدم تعديل المصفوفات التي تم توثيقها على أنها غير قابلة للتغيير مطلقًا. في كلتا الحالتين ، يجب إنشاء كائن مصفوفة جديد بشكل عام عندما يتم تغيير عنصر التسلسل الممثل أو إضافته أو إزالته. يعد إنشاء كائن مصفوفة عملية مكلفة تتناسب مع الزمان والمكان مع عدد العناصر في المصفوفة الجديدة.

في التمثيل المرتبط للتسلسلات ، يمكن إجراء كل عملية في المجموعة المذكورة أعلاه باستثناء eltAt في وقت ثابت. من ناحية أخرى ، تستغرق عملية eltAt وقتًا يتناسب مع طول التسلسل في كل من الحالة الأسوأ والحالة النموذجية. تنفيذ قائمة التسلسلات الواردة في الفصل 1 له هذه الخاصية.

إن مقايضات الأداء المجسدة في تنفيذ المصفوفة الثابتة مختلفة تمامًا. في هذا التنفيذ ، يمكن إجراء العمليات الفارغة ، الرأس ، الطول ، eltAt ، في وقت ثابت. (في تطبيقات Java ، يتم تخزين الطول في `` حقل '' منفصل في كتلة التخزين التي تحتوي على المصفوفة.) باستثناء عملية الذيل ، تستغرق جميع العمليات المتبقية وقتًا يتناسب مع طول التسلسل. يعتمد وقت تشغيل عملية الذيل على تفاصيل تنفيذ مثيرة للاهتمام. إذا تم تنفيذ المصفوفات غير القابلة للتغيير كمثيلات لفئة `` مجمعة '' ، فيمكن إجراء عملية الذيل في وقت ثابت بتكلفة إنشاء مرجع حقل إضافي في تنفيذ eltAt. يمكن أن يخزن كائن المجمع إزاحة عدد صحيح يضاف إلى الفهرس الذي تم تمريره كوسيطة إلى eltAt. في هذا المخطط ، تُنشئ عملية الذيل كائن غلاف جديد يحتوي على مؤشر لنفس كائن المصفوفة مثل هذا ولكن إزاحة متزايدة (بمقدار واحد). إذا تم تنفيذ المصفوفات غير القابلة للتغيير مباشرةً بواسطة مصفوفات Java ، فيجب أن تنشئ عملية tail مصفوفة جديدة تمامًا بعنصر واحد أقصر من الأصل. [تمارين: تنفيذ فئة غلاف MutArray (أ) بدون حقل إزاحة (ب) مع حقل إزاحة. قياس تأثير الأداء بتضمين مؤشر الإزاحة.]

في الممارسة العملية ، لا تعتمد تمثيلات الصفيف للتسلسلات الثابتة على السلبيات والعمليات الفارغة لإنشاء تسلسلات جديدة. النسخ المتكرر لمصفوفات المشاركة غير فعال للغاية (يتناسب مع مربع طول المصفوفة المُنشأة!) [تمرين: إثبات تعقيد O (n 2).] الممارسة الشائعة هي توفير عملية تقوم ببناء تمثيل مصفوفة لتسلسل معين إما تمثيل مرتبط مناظر أو تمثيل مصفوفة متغيرة.

يعد تنفيذ المصفوفة للتسلسلات غير القابلة للتغيير خيارًا جيدًا عندما يتم إنشاء التسلسلات الجديدة بشكل عام من نقطة الصفر بدلاً من إنشائها من خلال عمليات مطبقة على التسلسلات الحالية. لهذا السبب ، تعتمد العديد من العمليات الحسابية التي تتضمن تسلسلات غير قابلة للتغيير من الأحرف (السلاسل) على تمثيل الصفيف. تطبق فئة Java String تمثيل المصفوفة للتسلسلات الثابتة من الأحرف (النوع الأولي char في Java). لاحظ أن Java تتضمن عملية لتحويل سلاسل متغيرة (ممثلة بفئة Java StringBuffer) إلى سلاسل ثابتة (ممثلة بواسطة فئة Java Class String).


المسلسل في السؤال خاطئ.

يجب أن يكون: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

الكود ، في حلقة واحدة ، هو كما يلي:

كل تسلسل يتبع نمطًا ، دعنا نحاول إيجاد واحد في هذا.

للعمل مع هذا الرمز ، قم بتحليل الحلقة التي ستطبع بامتداد عامل انه انت زيادة راتب وماذا تريد في الإخراج؟

في مشكلتك ، بافتراض أن الرقم الذي تدخله تم إدخاله بواسطة المستخدم ، أي ن، تريد 2 * n - رقم واحد في التسلسل الخاص بك. ومن ثم لدينا الآن حدود حلقتنا

بالنسبة إلى n = 5 ، في ظل عدم وجود شروط ، ستقوم الحلقة ببساطة بطباعة تسلسل مثل هذا

1 2 3 4 5 6 7 8 9 شريطة أن تبدأ الحلقة الخاصة بك من 1.

التسلسل الذي تريده هو 1 2 3 4 5 4 3 2 1.

الآن بالنظر إلى كلا التسلسلين ، يمكنك أن ترى أن التسلسل هو نفسه حتى النقطة الوسطى حتى يتم الوصول إلى قيمة n. الآن إذا لاحظت النمط أكثر إذا طرحت 2 من 6 تحصل على 4 هذا هو الرقم الذي تريده في تسلسلك. وبالمثل عندما اطرح 4 من 7 تحصل على 3 وهو الرقم التالي في التسلسل الذي طلبته.

ومن ثم فإن النمط الذي يتبعه هذا التسلسل هو أنه بعد أن تصل الحلقة إلى القيمة التي قدمها المستخدم ، تحتاج إلى طرح (2 * k) من الرقم التالي حيث يبدأ k من 1 ويزيد مع كل تكرار

أنت الآن تعرف كيفية تحقيق النمط الذي سيكون من السهل تحقيقه باستخدام العبارات الشرطية.

ملاحظة: لنفترض وجود قيد إضافي يتمثل في عدم استخدام عبارات شرطية ، ثم يتعين علينا كتابة تعبير حسابي لحل مشكلتنا.

بعد النمط مرة أخرى يجب أن يظهر التعبير أنا أين أنا هو المتغير المتزايد في الحلقة

الآن للحصول على النمط ، نحتاج إلى طرح مضاعفات 2 بعد أن قدم المستخدم عددًا صحيحًا ن تم الوصول إليه. ولكن كل ما نطرحه يجب ألا يؤثر أيضًا على أول n من الأعداد الصحيحة.

نظرًا لأننا نعلم أنه يتعين علينا طرح مضاعفات 2 ، فإننا نعلم أن المقدار الذي يتعين علينا طرحه سيبدو كما يلي 2 * (____). نظرًا لأننا نريد سلسلة من المضاعفات ، فيمكننا الحصول على ذلك باستخدام %. بمجرد أن يتجاوز الرقم ن % العامل على i سيعيدنا التسلسل من 0 إلى n-1 ومن ثم توليد مضاعفات 2.

الآن يأتي تعبيرنا 2 بوصة). لكن المشكلة تكمن في أنه سيطرح أيضًا من أول 4 أعداد صحيحة لا نريدها ، لذا يتعين علينا إجراء تغييرات بحيث لا يعمل هذا التعبير إلا بعد أن تصل الحلقة إلى القيمة التي يوفرها المستخدم.

كما نعلم التقسيم / يوفر لنا عامل التشغيل حاصل القسمة. ومن ثم فإنه سينتجنا 0 حتى نصل إلى قيمة الرقم المحدد من قبل المستخدم و 1 لبقية التسلسل حيث نقوم بتشغيل الحلقة الخاصة بنا حتى 2 * n -1. ومن ثم ينتج عن ضرب هذا التعبير في تعبيرنا السابق 2 * (i٪ n) * (i / n)

وهناك لدينا الكود النهائي لتوليد التسلسل سيكون

لاحظ الكود أعلاه لأول عدد صحيح n-1 i / r سيجعل التعبير المطروح 0 و i = n ، أنا٪ r سيجعل التعبير 0. بالنسبة لبقية التسلسل أنا / ص ستولد القيمة 1 وبالتالي سنحصل على مضاعفات 2 من 2 * (أنا٪ r) لتزويدنا بالتسلسل


أسئلة وأجوبة

سؤال: كيف يمكن إيجاد الحد العام في التسلسل 0 ، 3 ، 8 ، 15 ، 24؟

إجابه: المصطلح العام للتسلسل هو = أ (ن -1) + 2 (ن + 1) + 1

سؤال: ما هو المصطلح العام للمجموعة <1،4،9،16،25>؟

إجابه: المصطلح العام للتسلسل <1،4،9،16،25> هو n ^ 2.

سؤال: كيف أحصل على الصيغة إذا كان الفرق المشترك يقع في الصف الثالث؟

إجابه: إذا وقع الفرق الثابت في الثالث ، فإن المعادلة تكون تكعيبية. حاول حلها باتباع نمط المعادلات التربيعية. إذا كان & aposs غير قابل للتطبيق ، فيمكنك حله باستخدام المنطق وبعض التجارب والخطأ.

سؤال: كيفية إيجاد الحد العام في المتتابعة 4 ، 12 ، 26 ، 72 ، 104 ، 142 ، 186؟

إجابه: المصطلح العام للتسلسل هو = 3n ^ 2 & # x2212 n + 2. المتتالية تربيعية مع الاختلاف الثاني 6. المصطلح العام له الصيغة a = & # x3B1n ^ 2 + & # x3B2n + & # x3B3. لإيجاد قيم المكونات & # x3B1، & # x3B2، & # x3B3 لـ n = 1، 2، 3:

سؤال: كيف تجد الحد العام في المتتالية 1 ، 5 ، 12 ، 22؟

إجابه: المصطلح العام للمتسلسلة 1، 5، 12، 22 هو [n (3n-1)] / 2.

سؤال: هل هناك طريقة أسرع لحساب المصطلح العام للتسلسل؟

إجابه: لسوء الحظ ، هذه هي أسهل طريقة لإيجاد المصطلح العام للتتابعات الأساسية. يمكنك الرجوع إلى كتبك المدرسية أو الانتظار حتى أكتب مقالًا آخر بخصوص مخاوفك.

سؤال: ماذا سيكون الحد النوني من المتتابعة ٤ ، ١٢ ، ٢٨ ، ٤٦ ، ٧٢ ، ١٠٤ ، ١٤٢.

إجابه: لسوء الحظ ، هذا التسلسل غير موجود. لكن إذا استبدلت 28 بـ 26. فإن المصطلح العام للتسلسل سيكون = 3n ^ 2 & # x2212 n + 2

سؤال: ما هي الصيغة الصريحة للحد النوني من المتتالية 1،0،1،0؟

إجابه: الصيغة الصريحة للحد التاسع من التسلسل 1،0،1،0 هي = 1/2 + 1/2 (& # x22121) ^ n ، حيث يبدأ الفهرس عند 0.

سؤال: ما هو تدوين منشئ المجموعة للمجموعة الفارغة؟

إجابه: تدوين المجموعة الفارغة هو & quot & # xD8. & quot

سؤال: ما هي الصيغة العامة للتسلسل 3 ، 6 ، 12 ، 24.

إجابه: المصطلح العام للتسلسل المحدد هو = 3 ^ r ^ (n-1).

سؤال: ماذا لو لم يكن هناك فرق مشترك لجميع الصفوف؟

إجابه: إذا لم يكن هناك فرق مشترك لجميع الصفوف ، فحاول تحديد تدفق التسلسل من خلال طريقة التجربة والخطأ. يجب تحديد النمط أولاً قبل الانتهاء من المعادلة.

سؤال: ما هو الشكل العام للتسلسل 5،9،13،17،21،25،29،33؟

إجابه: المصطلح العام للمتسلسلة هو 4n + 1.

سؤال: هل هناك طريقة أخرى لإيجاد المصطلح العام للتسلسلات باستخدام الشرط 2؟

إجابه: هناك العديد من الطرق لحل المصطلح العام للتسلسلات ، أحدها هو التجربة والخطأ. الشيء الأساسي الذي يجب فعله هو تدوين القواسم المشتركة واشتقاق المعادلات منها.

سؤال: كيف أجد المصطلح العام للتسلسل 9،9،7،3؟

إجابه: إذا كان هذا هو التسلسل الصحيح ، فإن النمط الوحيد الذي أراه هو عندما تبدأ بالرقم 9.

لذلك .. 9 - (n (n-1)) حيث n يبدأ بـ 1.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، أعتقد أن هناك خطأ في التسلسل الذي قدمته. يرجى محاولة إعادة فحصها.

سؤال: كيفية إيجاد المصطلح العام للتسلسل 1/2 ، 2/3 ، 3/4 ، 4/5.

إجابه: بالنسبة للتسلسل المحدد ، يمكن تعريف المصطلح العام على أنه n / (n + 1) ، حيث من الواضح أن & # x2019n & # x2019 هو رقم طبيعي.

سؤال: ما هو الحد العام في المتتالية 6،1 ، -4 ، -9؟

إجابه: هذا تسلسل حسابي بسيط. يتبع الصيغة a = a1 + d (n-1). لكن في هذه الحالة ، يجب أن يكون الحد الثاني سالب an = a1 - d (n-1).

سؤال: كيفية البحث عن تعبير للمصطلح العام للسلسلة 1 + 1 & # x20223 + 1 & # x20223 & # x20225 + 1 & # x20223 & # x20225 & # x20227 +.

إجابه: المصطلح العام للسلسلة هو (2n-1) !.

سؤال: كيف يمكن إيجاد المصطلح العام للتسلسل المعطى كـ = 3 + 4a (n-1) إذا كان a1 = 4؟

إجابه: إذن أنت تقصد كيفية إيجاد التسلسل في ضوء المصطلح العام. بالنظر إلى المصطلح العام ، ما عليك سوى البدء في استبدال قيمة a1 في المعادلة والسماح لـ n = 1. افعل ذلك من أجل a2 حيث n = 2 وهكذا وهكذا دواليك.

سؤال: ما هو الحد العام للمتتابعة <7،3، -1، -5>؟

إجابه: نمط التسلسل المحدد هو:

يتم طرح كل الحدود التالية بمقدار 4.

سؤال: كيف تجد النمط العام 3/7 ، 5/10 ، 7/13.

إجابه: بالنسبة للكسور ، يمكنك تحليل النمط في البسط والمقام بشكل منفصل.

بالنسبة للبسط ، يمكننا أن نرى أن النمط يتم بجمع 2.

أو بجمع مضاعفات العدد 2

إذن ، الحد العام للبسط هو 2n + 1.

بالنسبة للمقام ، يمكننا ملاحظة أن النمط تم بجمع 3.

أو بجمع مضاعفات العدد 3

إذن ، نمط المقام هو 3n + 4.

اجمع بين النموذجين وستحصل على (2n + 1) / (3n + 4) وهي الإجابة النهائية.

سؤال: مصطلح عام للتسلسل <1،4،13،40،121>؟

إذن ، المصطلح العام للتسلسل هو a (sub) n = a (sub) n-1 + 3 ^ (n-1)

سؤال: كيفية إيجاد مصطلح عام في التسلسل -1 ، 1 ، 5 ، 9 ، 11؟

إجابه: أنا في الواقع لا أحصل على التسلسل جيدًا. لكن غريزتي تقول أن الأمر يسير على هذا النحو ..

سؤال: كيفية إيجاد المصطلح العام لـ 32،16،8،4،2.

إجابه: أعتقد أن كل مصطلح (ما عدا المصطلح الأول) يمكن إيجاده بقسمة المصطلح السابق على 2.

سؤال: كيف تجد المصطلح العام للتسلسل 1/2 ، 1/3 ، 1/4 ، 1/5؟

إجابه: يمكنك ملاحظة أن الجزء الوحيد المتغير هو المقام. إذن ، يمكننا تعيين البسط على أنه 1. ثم يكون الاختلاف المشترك للمقام هو 1. إذن ، فإن التعبير هو n + 1.

المصطلح العام للتسلسل هو 1 / (ن + 1)

سؤال: كيف تجد المصطلح العام للتسلسل 1،6،15،28؟

إجابه: المصطلح العام للتسلسل هو n (2n-1).

سؤال: كيفية إيجاد الحد العام للتسلسل 8،13،18،23.

إجابه: أول شيء يجب فعله هو محاولة إيجاد فرق مشترك.

إذن ، الاختلاف المشترك هو 5. يتم تنفيذ التسلسل بإضافة 5 للحد السابق. تذكر أن معادلة التقدم الحسابي هي = a1 + (n - 1) d. إذا كان a1 = 8 و d = 5 ، استبدل القيم بالصيغة العامة.


2.1: المتتاليات

تمرين 2.1.7. مما يلي ، ما هي المساحات الفرعية لـ؟

(أ) مجموعة كل التسلسلات التي تتضمن عددًا لا نهائيًا من الأصفار ، على سبيل المثال ،

(ب) مجموعة كل متتاليات الشكل من نقطة ما فصاعدًا

(ج) مجموعة كل المتتابعات المتناقصة ، أي للجميع

(د) مجموعة كل التسلسلات التي تتقارب إلى حد

(هـ) مجموعة كل التعاقب الحسابي الثابت للجميع

(و) مجموعة كل التعاقب الهندسي للشكل لأي اختيار من و

الإجابة: (أ) هذه المجموعة ليست مسافة فرعية لأنها ليست مغلقة تحت الإضافة: إذا كان لدينا ثم كلاهما وكانا في المجموعة ولكن مجموعهما ليس كذلك.

(ب) يتم إغلاق هذه المجموعة في ظل الضرب القياسي: فكر في الأمر وافترض بالنسبة للبعض الذي لدينا. ثم لدينا. بما أن لدينا أيضًا من أجل. لذلك هو أيضًا عضو في المجموعة.

يتم إغلاق هذه المجموعة أيضًا تحت إضافة متجه. تأمل من أعلى وأين وللبعض لدينا من أجل ، واعتبر المبلغ. اختر ذلك و. ثم من أجل ذلك ومن أجل ذلك. وبالتالي فإن المجموع هو أيضًا عضو في المجموعة.

نظرًا لأن المجموعة مغلقة تحت كل من إضافة المتجه والضرب القياسي وهي مجموعة فرعية من فضاء متجه للتسلسلات اللانهائية ، فهي مساحة فرعية من مساحة المتجه.

(ج) هذه المجموعة ليست فضاءً فرعيًا لأنها ليست مغلقة في ظل الضرب القياسي: التسلسل هو عضو في المجموعة ، لكنه ليس كذلك.

(د) نتحقق أولاً من إغلاق مجموعة التتابعات المتقاربة في ظل الضرب القياسي. اسمحوا أن تكون عضوا في هذه المجموعة ، بحيث يكون موجودا. ثم لأي يوجد مثل هذا ل. الآن ضع في اعتبارك أين يوجد أي عدد. إذا كان الأمر كذلك ، فإنه يتقارب إلى الحد 0.

افترض ذلك واختر أيًا منها. منذ وجودنا يمكننا اختيار هذا من أجل. نضرب كلا الطرفين في لدينا. ولكن . لذلك نرى أنه لأي شخص يمكننا اختيار ذلك.

هذا يعني أنه موجود ومتساوٍ بحيث يكون التسلسل لأي تسلسل عددي ومتقارب أيضًا في مجموعة المتواليات المتقاربة. نظرًا لأن تتقارب من أجل وبالتالي يتم إغلاق المجموعة تحت الضرب القياسي.

نتحقق بعد ذلك من أن مجموعة المتواليات المتقاربة مغلقة تحت إضافة متجه. اسمح أيضًا أن تكون عضوًا في هذه المجموعة ، بحيث يكون موجودًا. ثم لأي يوجد مثل هذا ل.

فكر الآن واختر أي منها. منذ وجودنا يمكننا اختيار ذلك من أجل ، ومنذ وجودنا يمكننا اختيار هذا من أجله. اختر مثل هذا و. جمع طرفي المتراجحتين اللتين لدينا.

لدينا لأي و ، وبالتالي لأي شخص لدينا

لذلك لأي شخص يمكننا اختيار مثل هذا للجميع. هذا يعني أنه موجود ومتساوٍ بحيث يكون التسلسل أيضًا في مجموعة المتواليات المتقاربة لأي تسلسلين متقاربين. لذلك يتم إغلاق المجموعة تحت إضافة متجه.

نظرًا لأن مجموعة المتواليات المتقاربة مغلقة تحت كل من إضافة المتجهات والضرب القياسي وهي مجموعة فرعية من فضاء متجه للتسلسلات اللانهائية ، فهي مساحة فرعية لذلك الفضاء المتجه.

(هـ) نتحقق أولاً من إغلاق مجموعة التدرجات الحسابية في ظل الضرب القياسي. فليكن عضوًا في هذه المجموعة ، بحيث تكون هذه قيمة ثابتة للجميع. ثم لدينا للجميع. وبالتالي ، فإن التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي ، ويتم إغلاق المجموعة تحت الضرب القياسي.

نتحقق بعد ذلك من أن مجموعة التدرجات الحسابية مغلقة تحت إضافة المتجه. اسمح أيضًا أن تكون عضوًا في هذه المجموعة ، بحيث تكون هذه قيمة ثابتة للجميع. ثم لدينا

للجميع. وبالتالي ، فإن التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي ، ويتم إغلاق المجموعة تحت إضافة متجه.

نظرًا لأن مجموعة التدرجات الحسابية مغلقة تحت كل من الجمع المتجه والضرب القياسي وهي مجموعة فرعية من فضاء المتجهات للتسلسلات اللانهائية ، فهي مساحة فرعية من مساحة المتجه.

(و) مجموعة التدرجات الهندسية ليست فضاءً فرعيًا لأنها ليست مغلقة تحت إضافة متجه: على سبيل المثال ، افترض أن (لأجل و) و (لأجل و). ثم لدينا. لدينا (من العنصر الأول) و (من العنصر الثاني). إذا كان تقدمًا هندسيًا ، فيجب أن يكون العنصر الثالث بدلاً من القيمة الفعلية 13. لذلك ليس تقدمًا هندسيًا لجميع التتابعات الهندسية ، ولا يتم إغلاق المجموعة تحت إضافة المتجه.

تحديث: تم إصلاح الأخطاء المطبعية في السؤال (كان ينبغي) وفي الإجابات على (ب) (كان ينبغي) و (د) (كان ينبغي).

التحديث 2: إصلاح الأخطاء المطبعية في السؤال والإجابة لـ (و) (الإشارات إلى ويجب أن تكون ، والإشارة إلى).

التحديث 3: إصلاح الإجابة لـ (و) الإجابة الأصلية (الادعاء بأن ذلك لم يكن تقدمًا هندسيًا) كانت غير صحيحة. شكرًا لصموئيل على توضيح هذا الأمر.

ملاحظة: هذا استمرار لسلسلة من المنشورات التي تحتوي على تمارين تم إجراؤها من كتاب (نفدت طباعته) كتاب الجبر الخطي وتطبيقاته ، الطبعة الثالثة لجيلبرت سترانج.

إذا وجدت هذه المنشورات مفيدة ، فأنا أشجعك على التحقق من الجبر الخطي وتطبيقاته الأكثر حداثة ، الإصدار الرابع ، كتاب Dr Strang & # 8217s التمهيدي مقدمة في الجبر الخطي ، الإصدار الرابع والدورة التدريبية المجانية المصاحبة على الإنترنت ، والدكتور سترانج كتب اخرى.


شاهد الفيديو: 09: Sequences and Summations - المتواليات والمجاميع (ديسمبر 2021).