مقالات

5.4: الدالات المعقدة وذات القيمة المتجهة على (E ^ {1} )


تفشل نظريات §§2-3 في الوظائف المعقدة وذات القيمة المتجهية (انظر المشكلة 3 أدناه والمسألة 2 في §3). بمعنى أنها أقوى ، لأنها ، على عكس النظريات السابقة ، لا تتطلب وجود مشتق في فترة زمنية كاملة (I subseteq E ^ {1} ، ) ولكن فقط على (IQ ) ، حيث (Q ) هي مجموعة معدودة ، واحدة موجودة في نطاق تسلسل ، (Q subseteq left {p_ {m} right }. ) (من الآن فصاعدًا نفترض مسبقًا §9 من الفصل 1 .)

في النظرية التالية ، بسبب N. Bourbaki ، يتم توسيع (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) بشكل حقيقي بينما قد يكون (f ) أيضًا معقدًا أو قيمًا متجهية. نطلق عليه قانون الزيادات المحدودة لأنه يتعامل مع "الزيادات المحدودة" (f (b) -f (a) ) و (g (b) -g (a). ) تقريبًا ، ينص على أن ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime} ) يدل على عدم مساواة مماثلة للزيادات.

نظرية ( PageIndex {1} ) (قانون الزيادات المحدودة)

لنفترض أن (f: E ^ {1} rightarrow E ) و (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) مستمرين ومحدودين نسبيًا في فترة مغلقة (I = [a، ب] مجموعة فرعية E ^ {1}، ) ولها مشتقات مع ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime}، ) على (IQ ) حيث ( Q subseteq left {p_ {1}، p_ {2}، ldots، p_ {m}، ldots right }. ) ثم

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a). ]

الدليل شاق إلى حد ما ، لكنه يستحق العناء. (في القراءة الأولى ، يمكن للمرء حذفها ، مع ذلك). نحدد بعض الأفكار الأولية.

بالنظر إلى أي (x in I، ) افترض أولاً أن (x> p_ {m} ) لواحد على الأقل (p_ {m} في Q. ) في هذه الحالة ، نضع

[Q (x) = sum_ {p_ {m}

هنا يكون الجمع فقط فوق تلك (م ) التي (p_ {م} <س. ) ومع ذلك ، إذا لم يكن هناك (p_ {m} في Q ) مع (p_ {m}

[Q (x) leq sum_ {m = 1} ^ { infty} 2 ^ {- m} = 1. ]

خطتنا على النحو التالي. لإثبات (1) ، يكفي إظهار أنه بالنسبة لبعض (K in E ^ {1} ، ) الثابتة لدينا

[( forall varepsilon> 0) quad | f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + K varepsilon ، ]

بعد ذلك ، ترك ( varepsilon rightarrow 0 ، ) نحصل على (1). نحن نختار

[K = b-a + Q (b)، text {with} Q (x) text {على النحو الوارد أعلاه. } ]

إصلاح مؤقت ( varepsilon> 0، ) دعنا نسمي نقطة (r in I ) "good" iff

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + [r-a + Q (r)] varepsilon ]

و "سيء" على خلاف ذلك. يجب أن نبين أن (ب ) "جيد". أولاً ، نثبت وجود اللمة.

Lemma ( PageIndex {1} )

كل نقطة "جيدة" (r in I (r

دليل - إثبات

أولاً ، دعونا (r notin Q ، ) لذلك من خلال الافتراض ، (f ) و (g ) لدينا مشتقات في (r ، ) مع

[ يسار | f ^ { رئيس} (r) يمين | leq g ^ { prime} (r). ]

افترض (g ^ { prime} (r) <+ infty. ) ثم (معاملة (g ^ { prime} ) كمشتق صحيح) يمكننا العثور على (s> r ) (( s leq b) ) بحيث ، بالنسبة للجميع (x ) في الفاصل ((r ، s) ، ) ،

[ left | frac {g (x) -g (r)} {xr} -g ^ { prime} (r) right | < frac { varepsilon} {2} quad text {( لماذا ا؟)؛}]

وبالمثل بالنسبة لـ (f. ) الضرب بـ (x-r ، ) نحصل عليها

[ start {align} left | f (x) -f (r) -f ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2} text {and} left | g (x) -g (r) -g ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2}، end { محاذاة} ]

ومن ثم من خلال عدم المساواة في المثلث (شرح!) ،

[| f (x) -f (r) | leq left | f ^ { prime} (r) right | (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2} ]

و

[g ^ { prime} (r) (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2}

بدمج هذا مع ( left | f ^ { prime} (r) right | leq g ^ { prime} (r)، ) نحصل عليها

[| f (x) -f (r) | leq g (x) -g (r) + (x-r) varepsilon text {كلما} r

الآن بما أن (r ) "جيد" ، فإنه يرضي ((2) ؛ ) وبالتالي ، بالتأكيد ، مثل (Q (r) leq Q (x) ) ،

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + (r-a) varepsilon + Q (x) varepsilon text {كلما} r

بإضافة هذا إلى (3) واستخدام متباينة المثلث مرة أخرى ، لدينا

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon text {for all} x in (r، s). ]

حسب التعريف ، يوضح هذا أن كل (x in (r، s) ) "جيد" ، كما هو مطلوب. وبالتالي تم إثبات اللمة في الحالة (r in I-Q، ) مع (g ^ { prime} (r) <+ infty ).

الحالات (g ^ { prime} (r) = + infty ) و (r in Q ) تُترك كمشكلتين 1 و 2. ( quad square )

نعود الآن إلى النظرية 1.

إثبات النظرية 1. البحث عن تناقض ، افترض أن (b ) "سيئ" ، ودع (B neq emptyset ) مجموعة من جميع النقاط "السيئة" في ([a، b]. ) دعنا

[r = inf B، quad r in [a، b]. ]

بعد ذلك ، يمكن أن يحتوي الفاصل الزمني ([a، r) ) على نقاط "جيدة" فقط ، أي النقاط (س ) بحيث

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon. ]

كما يشير (x

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (r)] varepsilon text {for all} x in [a، r). ]

لاحظ أن ([a، r) neq emptyset، ) لـ by (2) ، (a ) بالتأكيد "جيد" (لماذا؟) ، وهكذا ينتج Lemma 1 فاصل زمني كامل ([a، s) ) من النقاط "الجيدة" الواردة في ([a، r). )

ترك (x rightarrow r ) في (4) وباستخدام استمرارية (f ) في (r ، ) نحصل على (2). وبالتالي فإن (r ) هو نفسه "جيد". بعد ذلك ، ينتج عن Lemma 1 فاصل زمني جديد ((r، q) ) من النقاط "الجيدة". ومن ثم فإن ([a، q) ) ليس له نقاط "سيئة" ، وبالتالي فإن (q ) هو حد أدنى من مجموعة (B ) من النقاط "السيئة" في (I ) ، على عكس (q> r = اسم مشغل {glb} ب ). يوضح هذا التناقض أن (ب ) يجب أن يكون "جيدًا" ، أي

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + [b-a + Q (b)] varepsilon. ]

الآن ، دعنا ( varepsilon rightarrow 0، ) نحصل على الصيغة (1) ، وقد تم إثبات كل شيء. ( رباعي مربع )

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

إذا كان (f: E ^ {1} rightarrow E ) مستمرًا ومحدودًا نسبيًا في (I = [a، b] subseteq ) (E ^ {1}، ) وله مشتق في (IQ ، ) ثم هناك حقيقي (M ) من هذا القبيل

[| f (b) -f (a) | leq M (b-a) text {and} M leq sup _ {t in I-Q} left | f ^ { prime} (t) right |. ]

دليل - إثبات

يترك

[M_ {0} = sup _ {t in I-Q} left | f ^ { prime} (t) right |. ]

إذا (M_ {0} <+ infty، ) وضع (M = M_ {0} geq left | f ^ { prime} right | ) على (IQ، ) واتخاذ ( g (x) = M x ) في النظرية 1. ثم (g ^ { prime} = M geq left | f ^ { prime} right | ) on (IQ، ) لذا الصيغة ( 1) تنتج (5) منذ ذلك الحين

[g (b) -g (a) = M b-M a = M (b-a). ]

ومع ذلك ، إذا كان (M_ {0} = + infty، ) دعنا

[M = left | frac {f (b) -f (a)} {b-a} right |

ثم من الواضح أن (5) هو الصحيح. وبالتالي فإن (M ) المطلوب موجود دائمًا. ( رباعي مربع )

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

لنكن (f ) كما في النتيجة الطبيعية 1. ثم (f ) ثابت في (I ) iff (f ^ { prime} = 0 ) في (I-Q. )

دليل - إثبات

إذا كان (f ^ { prime} = 0 ) في (IQ، ) ثم (M = 0 ) في النتيجة الطبيعية 1 ، لذا فإن النتيجة الطبيعية 1 تنتج ، لأي فترة فرعية ([a ، x] (x في I) ، | f (x) -f (a) | leq 0 ؛ ) أي (f (x) = f (a) ) للجميع (x in I. ) هكذا ( f ) ثابت على (I. )

على العكس ، إذا كان الأمر كذلك ، إذن (f ^ { prime} = 0 ، ) حتى على كل (I. quad square )

نتيجة طبيعية ( PageIndex {3} )

لنفترض أن (f، g: E ^ {1} rightarrow E ) مستمرًا ومحدودًا نسبيًا على (I = [a، b]، ) وقابل للتفاضل على (IQ. ) ثم (fg ) ثابت في (I ) iff (f ^ { prime} = g ^ { prime} ) على (IQ. )

دليل - إثبات

تطبيق النتيجة الطبيعية 2 على الوظيفة (f-g. quad square )

يمكننا الآن أيضًا تقوية الأجزاء (ii) و (iii) من النتيجة الطبيعية 4 في §2.

نظرية ( PageIndex {2} )

لنكن (f ) حقيقيًا وله الخصائص المذكورة في النتيجة الطبيعية 1. ثم

(i) (f uparrow ) في (I = [a، b] ) iff (f ^ { prime} geq 0 ) في (I-Q ؛ ) و

(ii) (f downarrow ) في (I ) iff (f ^ { prime} leq 0 ) على (I-Q ).

دليل - إثبات

دع (f ^ { prime} geq 0 ) على (IQ. ) أصلح أي (x، y in I (x

[f (y) -f (x) geq | g (y) -g (x) | = 0، text {ie،} f (y) geq f (x) text {every} y> x text {in} I، ]

لذلك (f uparrow ) في (I ).

على العكس من ذلك ، إذا (f uparrow ) في (I ، ) إذن لكل (p in I ، ) يجب أن يكون لدينا (f ^ { prime} (p) geq 0، ) من أجل خلاف ذلك ، من خلال Lemma 1 من §2 ، سينخفض ​​ (f ) عند (p. ) وبالتالي (f ^ { prime} geq 0 ) ، حتى على كل (I ، ) و ( ط) ثبت. تم إثبات التأكيد (2) بالمثل. ( رباعي مربع )


شاهد الفيديو: المتجهات - متجه الموضع - متجه الوحدة - المتجه الصفري (ديسمبر 2021).