مقالات

5.3: قاعدة L'Hôpital - الرياضيات


سنثبت الآن قاعدة مفيدة لحل النهايات غير المحددة. أدناه ، تشير (G _ { neg p} ) إلى كرة أرضية محذوفة (G _ { neg p} ( delta) ) في (E ^ {1} ، ) أو واحدة عن ( pm infty ) بالنموذج ((a ، + infty) ) أو ((- infty ، a). ) بالنسبة للحدود أحادية الجانب ، استبدل (G _ { neg p} ) بما يناسبها " نصف."

نظرية ( PageIndex {1} ) (قاعدة L'Hôpital)

لنفترض أن (f، g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) قابل للتفاضل على (G _ { neg p} ) ، مع وجود (g ^ { prime} neq 0 ) . إذا كان (| f (x) | ) و (| g (x) | ) يميل كلاهما إلى (+ infty ، ^ {1} ) أو كلاهما إلى (0 ، ) كـ (x rightarrow ع ) وإذا

[ lim _ {x rightarrow p} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = r text {موجود في} E ^ {*}، ]

ثم ايضا

[ lim _ {x rightarrow p} frac {f (x)} {g (x)} = r؛ ]

وبالمثل بالنسبة لـ (x rightarrow p ^ {+} ) أو (x rightarrow p ^ {-} ).

دليل - إثبات

يكفي النظر في الحدود اليمنى واليسرى. كلاهما مجتمعين ينتج عنه حد الوجهين.

أولاً ، دع (- infty leq p <+ infty ) ،

[ lim _ {x rightarrow p ^ {+}} | f (x) | = lim _ {x rightarrow p ^ {+}} | g (x) | = + infty text {and} lim _ {x rightarrow p ^ {+}} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = r text {(محدود)}. ]

ثم أعطيت ( varepsilon> 0، ) يمكننا إصلاح (a> p left (a in G _ { neg p} right) ) بحيث

[ left | frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} - r right | < varepsilon، text {for all} x text {in the الفاصل الزمني} (ص ، أ). ]

طبق الآن قانون كوشي للوسط (§2 ، Theorem 2) على كل فاصل ([x، a]، ) (p

[g ^ { prime} (q) [f (x) -f (a)] = f ^ { prime} (q) [g (x) -g (a)]. ]

كـ (g ^ { prime} neq 0 ) (بالافتراض) ، (g (x) neq g (a) neq g (a) ) بواسطة النظرية 1 ، §2 ، لذلك يمكننا القسمة ليحصل

[ frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} = frac {f ^ { prime} (q)} {g ^ { prime} (q) } ، quad text {where} p

هذا مجتمعة مع (1) عائدات

[ left | frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} - r right | < varepsilon، ]

أو الإعداد

[F (x) = frac {1-f (a) / f (x)} {1-g (a) / g (x)} ، ]

لدينا

[ left | frac {f (x)} {g (x)} cdot F (x) -r right | < varepsilon text {for all} x text {inside} (p، a) . ]

كـ (| f (x) | ) و (| g (x) | rightarrow + infty ) (بالافتراض) ، لدينا (F (x) rightarrow 1 ) كـ (x rightarrow ص ^ {+} ). ومن ثم ، وفقًا لقواعد حدود الحق ، يوجد (b in (p، a) ) مثل هذا بالنسبة للجميع (x in (p، b) ) ، كلاهما (| F (x) -1 | < varepsilon ) و (F (x)> frac {1} {2} ). (لماذا؟) لمثل هذا (س ) ، صيغة (2) يحمل كذلك. أيضا،

[ frac {1} {| F (x) |} <2 text {and} | r-r F (x) | = | r || 1-F (x) | <| r | varepsilon. ]

الجمع بين هذا مع (2)، لدينا (س في (ع ، ب) )

[ ابدأ {محاذاة} يسار | فارك {f (x)} {g (x)} - r right | & = frac {1} {| F (x) |} left | frac {f (x)} {g (x)} F (x) -r F (x) right | & <2 left | frac {f (x)} {g (x)} cdot F (x) -r + r-r F (x) right | & <2 varepsilon (1+ | r |). نهاية {محاذاة} ]

وبالتالي ، بالنظر إلى ( varepsilon> 0 ، ) وجدنا (b> p ) مثل ذلك

[ left | frac {f (x)} {g (x)} - r right | <2 varepsilon (1+ | r |)، quad x in (p، b). ]

نظرًا لأن ( varepsilon ) تعسفي ، فلدينا ( lim _ {x rightarrow p ^ {+}} frac {f (x)} {g (x)} = r، ) كما ادعى.

الحالة ( lim _ {x rightarrow p ^ {+}} f (x) = lim _ {x rightarrow p ^ {+}} g (x) = 0 ) أبسط. كما كان من قبل ، نحصل عليه

[ left | frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} - r right | < varepsilon. ]

هنا يمكننا أيضًا استبدال ("a ^ { prime prime} ) بأي (y in (p، a). ) الحفاظ على (y ) ثابتًا ، دع (x rightarrow p ^ {+} ). ثم (f (x) rightarrow 0 ) و (g (x) rightarrow 0، ) لذلك نحصل على

[ left | frac {f (y)} {g (y)} - r right | leq varepsilon text {لأي} y in (p، a). ]

بما أن ( varepsilon ) تعسفي ، فهذا يعني ( lim _ {y rightarrow p ^ {+}} frac {f (y)} {g (y)} = r. ) وبالتالي فإن الحالة (x rightarrow p ^ {+} ) تمت تسويته لحد (r. )

الحالات (r = pm infty ) و (x rightarrow p ^ {-} ) متشابهة ، ونتركها للقارئ. ( رباعي مربع )

ملاحظة 1. ( lim frac {f (x)} {g (x)} ) قد يوجد حتى لو ( lim frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x )}) لا. على سبيل المثال ، خذ

[f (x) = x + sin x text {and} g (x) = x. ]

ثم

[ lim _ {x rightarrow + infty} frac {f (x)} {g (x)} = lim _ {x rightarrow + infty} left (1+ frac { sin x} { x} right) = 1 quad ( text {why؟})، ]

لكن

[ frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = 1+ cos x ]

لا تميل إلى أي حد مثل (x rightarrow + infty ).

ملاحظة 2. تفشل القاعدة إذا لم يتم استيفاء الافتراضات المطلوبة ، على سبيل المثال ، إذا كان (g ^ { prime} ) يحتوي على قيم صفرية في كل (G _ { neg p} ؛ ) انظر المشكلة 4 أدناه.

غالبًا ما يكون من المفيد دمج قاعدة L'Hôpital مع بعض صيغ الحدود المعروفة ، مثل

[ lim _ {z rightarrow 0} (1 + z) ^ {1 / z} = e text {or} lim _ {x rightarrow 0} frac {x} { sin x} = 1 نص {(انظر الفقرة 1 ، المشكلة 8).} ]

أمثلة

(أ) ( lim _ {x rightarrow + infty} frac { ln x} {x} = lim _ {x rightarrow + infty} frac {( ln x) ^ { prime}} {1} = lim _ {x rightarrow + infty} frac {1} {x} = 0. )

(ب) ( lim _ {x rightarrow 0} frac { ln (1 + x)} {x} = lim _ {x rightarrow 0} frac {1 / (1 + x)} { 1} = 1. )

(ج) ( lim _ {x rightarrow 0} frac {x- sin x} {x ^ {3}} = lim _ {x rightarrow 0} frac {1- cos x} { 3 × ^ {2}} = lim _ {x rightarrow 0} frac { sin x} {6 x} = frac {1} {6} lim _ {x rightarrow 0} frac { الخطيئة x} {x} = frac {1} {6}. )

(هنا كان علينا تطبيق قاعدة L'Hôpital بشكل متكرر.)

(د) النظر

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac {e ^ {- 1 / x}} {x}. ]

أخذ المشتقات (حتى (n ) مرات) ، يحصل المرء

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac {e ^ {- 1 / x}} {n! x ^ {n + 1}} ، quad n = 1،2،3 ، ldots text {(غير محدد دائمًا!).} ]

وبالتالي فإن القاعدة لا تعطي نتائج. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يساعد الجهاز البسيط (انظر المشكلة 5 أدناه).

(هـ) ( lim _ {n rightarrow infty} n ^ {1 / n} ) ليس له الشكل ( frac {0} {0} ) أو ( frac { infty} { infty}، ) لذلك لا تنطبق القاعدة مباشرة. بدلا من ذلك نحسب

[ lim _ {n rightarrow infty} ln n ^ {1 / n} = lim _ {n rightarrow infty} frac { ln n} {n} = 0 text {(مثال ( أ))}.]

بالتالي

[n ^ {1 / n} = exp left ( ln n ^ {1 / n} right) rightarrow exp (0) = e ^ {0} = 1 ]

من خلال استمرارية الدوال الأسية. الجواب إذن هو 1.


حكم لوبيتال

قاعدة لوبيتال هي نظرية يمكن استخدامها لتقييم الحدود الصعبة. إنه يتضمن أخذ مشتقات هذه النهايات ، مما يبسط تقييم النهاية.

تنص النظرية على أنه إذا كان f و g قابلين للتفاضل و g '(x) ≠ 0 على فاصل مفتوح يحتوي على a (باستثناء ربما في a) وواحد من الحجوزات التالية:

بالنظر إلى أن الحد على الجانب الأيمن موجود أو موجود. بالنسبة للحالة 1 ، يسمى الحد بالشكل الوسيط من النوع 0/0. وبالمثل ، في الحالة 2 ، يسمى غير محدد من الشكل & infin / & infin.

على الرغم من إمكانية استخدام قاعدة L'Hopital أحيانًا مع حدود غير محددة لأشكال أخرى ، إلا أنها مفيدة في الغالب لحدود الأشكال المذكورة: 0/0 أو & infin / & infin. كلا النوعين من الحدود غير المحددة يمثلان "معركة" بين البسط والمقام حيث يكون "الفائز" غير واضح دون مزيد من الحساب. يشير مصطلح "الفوز" ، كما هو مستخدم هنا وفي بقية المقالة ، إلى أي جزء من الوظيفة هو المسيطر ، أي الجزء الذي يصل إلى حده بشكل أسرع.

بالنسبة لحدود النموذج 0/0 ، إذا فاز البسط ، فسيكون الحد 0. إذا فاز المقام بدلاً من ذلك ، فسيكون الحد. في حالة التعادل ، سيكون الحد عددًا محدودًا.

ينطبق المنطق العكسي أيضًا على حدود الشكل & infin / & infin. وبالتحديد ، بالنسبة لحدود type & infin / & infin ، إذا فاز البسط ، فسيكون الحد & infin. إذا فاز المقام ، سيكون الحد 0. إذا كان هناك تعادل ، فسيكون الحد رقمًا محدودًا كما في الحالة 0/0.

مع اقتراب x & infin ، يقترب كل من x و lnx إلى ما لا نهاية ، لذلك هذا حد غير محدد للنوع & infin / & infin. إذا طبقنا قاعدة لوبيتال نحصل على:

التي تميل إلى اللانهاية ، فالحد هو.

إذا عوضنا بـ x = -4 ، فسنحصل على 0/0 ، لذلك عندما نطبق قاعدة L'Hopital نحصل على:

ملاحظة: بدلاً من استخدام قاعدة L'Hopital ، كان بإمكاننا ضرب كلٍ من الأعلى والأسفل في ، وهو اتحاد البسط. بعد القيام بذلك ، سوف نحصل على:

حده عند -4 يمكن تقديره بالتعويض بـ x = -4. بشكل عام ، يجب أن نحاول البحث عن طريقة أسهل لتقييم حد مثل استخدام الاتحادات قبل اللجوء إلى قاعدة L'Hopital.

كيفية التعامل مع 0 ∙ & infin

كلما و ، يسمى شكل غير محدد من النوع 0 ∙ & infin. يمكن أن يكون الحد 0 أو & infin إذا فازت f أو g على التوالي ، أو يمكن أن يكون عددًا محدودًا في حالة التعادل. يمكننا تحويل الصيغة غير المحددة 0 ∙ & infin إما إلى الشكل 0/0 أو & infin / & infin عن طريق إعادة كتابة fg كـ

على التوالي حتى نتمكن من استخدام قاعدة L'Hopital. نختار بين 0/0 و & infin / & infin بناءً على أيهما أسهل في الحساب.

عندما نعوض بـ x عن x نحصل عليه ، وبالتالي فإن هذا منتج غير محدد بالصيغة 0 ∙ & infin. نعيد الكتابة

وهو الشكل 0/0. حسب قاعدة لوبيتال:

ملاحظة: كان بإمكاننا إعادة كتابته

وهو من الشكل & infin / & infin ، لكن حل هذا باستخدام قاعدة L'Hopital سيكون أكثر تعقيدًا.

بدلاً من ذلك ، كان بإمكاننا ملاحظة ذلك وإعادة كتابته

الآن ، يؤدي تطبيق قاعدة L'Hopital إلى:

وهو ما حصلنا عليه من قبل.

تطبيق قاعدة لوبيتال عدة مرات

في بعض الأحيان ، يؤدي تطبيق قاعدة L'Hopital على الحدود غير المحددة للنموذج 0/0 أو & infin / & infin إلى حد 0/0 آخر أو & infin / & infin ، وعلينا استخدام قاعدة L'Hopital عدة مرات لتحديد الحد.

لكن هذا لا يزال حدًا للنموذج & infin / & infin ، وسيتعين علينا تطبيق قاعدة L'Hopital 1000 مرة حتى نتمكن من تقييم الحد. بعد كل تطبيق لقاعدة L'Hopital ، سيظل الحد الناتج & infin / & infin حتى يصبح المقام ثابتًا. في النهاية سنحصل على:

ملاحظة: إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا ، فإن الرمز n! ، يسمى "مضروب n" ، يتم تعريفه على أنه:

حيث 0! تم تعريفه ليكون 1.

على الرغم من 1000! كبير بشكل لا يمكن تصوره ، ينمو e x إلى ما لا نهاية ، لذا فإن الحد لا يزال + & infin.

كيفية التعامل مع 1 & infin، 0 0، & infin 0

متى و ، يسمى الحد بصيغة غير محددة من النوع 1 و infin.

استبدل f (x) و g (x) بـ 0 أو اللانهاية للحالتين المتبقيتين.

1 & infin case: إذا فازت f ، أو اقتربت من حدها بشكل أسرع ، تكون النتيجة 1. إذا فاز g ، تكون النتيجة & infin. إذا كان هناك تعادل ، تكون النتيجة عددًا محدودًا.

0 0 حالة: إذا فازت f ، تكون النتيجة 0. إذا فازت g ، تكون النتيجة 1. إذا كان هناك تعادل ، تكون النتيجة عددًا محدودًا.

& infin 0 حالة: إذا فازت f ، تكون النتيجة & infin. إذا فازت g ، تكون النتيجة 1. إذا كان هناك تعادل ، تكون النتيجة عددًا محدودًا.

بالنسبة لهذه النماذج غير المحددة التي تتضمن أسًا مثل 1 & infin ، 0 0 ، & infin 0 ، نحتاج إلى استخدام وظيفة السجل الطبيعي لتحويل الحد إلى الشكل 0 0 أو & infin & infin حتى نتمكن من استخدام قاعدة L'Hopital (انظر خدعة في التفاضل الضمني للحصول على مثال عن كيفية استخدامنا للدالة ln).

مع نمو x بشكل كبير ، يكون الحد من الشكل & infin 0 ، لذلك في الوقت الحالي ، نسمي الحد ونأخذ ln من كلا الجانبين للحصول على:

نظرًا لأن ln دالة مستمرة ، يمكننا استبدال ترتيب رموز ln و lim للحصول على:

بما أن هذا هو مجرد مقلوب للمثال الأول ، لذلك L = 1.

ولذا فإن هذا الحد من النوع 1 & infin وعلينا أن نأخذ ln من هذا الحد:

منذ ذلك الحين ، يمكننا إسقاط المصطلح:

الآن ، هذا في الشكل 0/0 ، لذلك نطبق قاعدة L'Hopital:

نظرًا لأن هذا هو ln للحد الأصلي ، يجب أن يكون الحد الأصلي e 0 = 1.

كيفية التعامل مع & infin- & infin

عند العمل مع حدود النموذج ، يمكننا استخدام الدالة الأسية لتحويل النهاية إلى الصورة. بطريقة ما ، هذا هو الأسلوب العكسي لاستخدام الدالة ln لتقييم الأشكال غير المحددة من النوع 1 & infin ، و infin 0 ، و 0 0. إذا كانت f و g كسرين ، فيمكننا ببساطة تجميعهما في حاصل قسمة واحد باستخدام المقام المشترك الأصغر.

يقترب كل من tan (x) و sec (x) من اللانهاية في هذا الحد حتى نتمكن من استخدام قاعدة L'Hopital. لكن أولاً ، منذ ذلك الحين ويمكننا إعادة كتابة ما سبق على النحو التالي:

هذا الآن من الشكل 0/0 لذا يمكننا استخدام قاعدة L'Hopital:

كلاهما يقترب من اللانهاية ، لذا يمكننا استدعاء النهاية L في الوقت الحالي ونأخذ الأسي لكلا الطرفين. نظرًا لأن الأسي دالة مستمرة مثل ln ، يمكننا استبدال ترتيب العمليات الأسية والحد:

يعطينا التقييم كذلك:

يمكننا استخدام قاعدة L'Hopital في هذه المرحلة نظرًا لأن كلا النهجين و x + & infin لذا فإن الحد يكون من النوع & infin / & infin ، لكن الرياضيات ستكون فوضوية.

بدلاً من ذلك ، يمكننا إعادة كتابة x على النحو التالي:

وقم بإجراء الاستبدال y = بحيث:

هذا هو نفس الحد الذي قمنا بتقييمه في المثال 4 ، لذلك

لم ننتهي تمامًا لأن هذا هو الأسي للحد الأصلي ، أو:

لذلك فإننا نأخذ على كل من الجانبين لاستنتاج أن:

متى لا تستخدم قاعدة لوبيتال

يمكن أن تعطيك قاعدة L'Hopital إجابة خاطئة إذا تم تطبيقها بشكل غير صحيح.

يمكن تقييم هذا الحد ببساطة عن طريق إدخال x = 0 للحصول على:

ومع ذلك ، إذا طبقنا قاعدة L'Hopital بشكل عشوائي دون إدخال القيمة x = 0 ، فسنحصل على:

تذكر أن قاعدة L'Hopital لا تنطبق إلا إذا كان الحد الأصلي من النوع 0/0 أو & infin / & infin. نظرًا لأن الحد الأصلي كان 2 ، فإن قاعدة L'Hopital لا تنطبق. هذا هو السبب في أننا يجب أن نعوض دائمًا بالقيمة التي تقترب x من الحد للتأكد من عدم وجود طريقة أسهل لتقييم النهاية قبل استخدام قاعدة L'Hopital.

أيضًا ، لا تعمل قاعدة L'Hopital دائمًا لأنه في بعض الحالات ، سيؤدي التطبيق المتكرر لقاعدة L'Hopital إلى أشكال غير محددة بغض النظر عن عدد مرات تطبيق القاعدة.

كلاهما ونهجهما ، حتى نتمكن من تطبيق قاعدة لوبيتال:

ومع ذلك ، هذا لا يزال & infin / & infin لذلك نطبق قاعدة L'Hopital مرة أخرى:

ومع ذلك ، فإن هذا يعيدنا إلى حيث بدأنا ، لذلك علينا استخدام طريقة أخرى لإيجاد قيمة النهاية. لاحظ أنه نظرًا لأن x + 1 يكون دائمًا موجبًا وأن x تقترب + & infin. أيضًا ، إكمال المربع يخبرنا بذلك. وبالتالي،

ربما توقعنا هذا لأنه عندما تقترب x & infin ، والتي يمكن تقريبها كـ. هذا يساوي ، لذا يمكننا تخمين أن النهاية يجب أن تكون.

لماذا تعمل قاعدة لوبيتال

أذكر بيان حكم لوبيتال:

إذا كان f و g قابلين للتفاضل و g '(x) ≠ 0 على فاصل زمني مفتوح يحتوي على a (باستثناء ربما عند a) وواحد من الحجوزات التالية:

بالنظر إلى أن الحد على الجانب الأيمن موجود أو موجود.

لمعرفة سبب حالة 0/0 ، تذكر تعريف المشتق عند النقطة x = a:

إذا افترضنا أن f 'و g' متصلتان عند a ، فإن حدودهما القريبة من x = a تساوي قيمهما عند x = a:

قسمة هاتين المعادلتين وتذكر ذلك من خواص النهايات:

لاحظ أنه يمكننا حذف x - وهي الحدود الموجودة في أقصى اليمين للحصول على:

نظرًا لأننا افترضنا أن هذا هو النوع 0/0 ، يمكننا أيضًا قول ذلك

إذا عوضنا بهذا في الصيغة ، فسنحصل على:

يمكننا تحويل الحالة عندما تكون من النوع & infin / & infin إلى حالة من النوع 0/0 عن طريق إعادة الكتابة على النحو التالي:

منذ ذلك الحين ، ونحن نعلم ذلك ، وكذلك الآن حالة من النوع 0/0 والتي أثبتنا للتو نجاحها في قاعدة L'Hopital. لذلك يمكننا تطبيق قاعدة لوبيتال للحصول على:

بإدخال هذه في الصيغة السابقة:

يمكننا تبسيط الطرف الأيمن للحصول على:

الآن نعوض بهذا في المعادلة السابقة لنحصل على:

تذكر إعادة كتابتنا الأصلية ، فنحن نعلم أن:

لاحظ أنه يمكننا حذف مصطلح من الجانب الأيسر والأيمن للمعادلة أعلاه للحصول على:

الآن ، إذا ضربنا كلا الجانبين في ، نحصل على قاعدة L'Hopital للحالة & infin / & infin:


ما هي قاعدة L’Hôpital؟

تساعدنا قاعدة L & # 8217Hopital & # 8217s في تبسيط نهجنا في تقييم النهايات باستخدام المشتقات. بالنظر إلى دالة منطقية ، $ dfrac$ ، ولدينا $ lim_ dfrac = dfrac <0> <0> $ أو $ lim_ dfrac = dfrac < pm infty> < pm infty> $ ، لا يزال بإمكاننا تقييم حده باستخدام قاعدة L’Hôpital كما هو موضح أدناه.

هذا يعني أنه عندما يتم إعطاؤنا دالة بصيغة غير محددة ، وفقًا لقاعدة L’Hôpital ، لا يزال بإمكاننا تحديد حدودها من خلال:

  • أخذ مشتقات البسط والمقام.
  • استخدم هذا التعبير المنطقي الجديد بدلاً من ذلك ، ثم استخدم تعبير هذا الحد بدلاً من $ x rightarrow a $.
  • إذا استمرت الدالة في إرجاع حد إما $ dfrac <0> <0> $ و $ dfrac < pm infty> < pm infty> $ ، فقم بتنفيذ قاعدة L’Hôpital مرة أخرى.

قاعدة L & # 8217Hopital & # 8217s

لكن ماذا يحدث إذا كان كل من البسط والمقام يميلان إلى $؟ ليس من الواضح ما هو الحد. في الواقع ، اعتمادًا على الدالتين $ f (x) $ و $ g (x) $ ، يمكن أن يكون الحد أي شيء على الإطلاق!

مثال

هذه الحدود هي أمثلة على أشكال غير محددة من النوع $ frac <0> <0> $. توفر قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s طريقة لتقييم هذه الحدود. سوف نشير إلى $ displaystyle lim_، ليم_، ليم_، ليم_و < small textrm <و >> lim_$ بشكل عام بواسطة $ lim $ فيما يلي.

L & # 8217Hôpital & # 8217s Rule for $ displaystyle frac $

افترض أن $ lim f (x) = lim g (x) = 0 $. ثم

  1. إذا كان $ displaystyle lim ، frac= L $، ثم $ displaystyle lim ، frac= ليم فارك= L دولار.
  2. إذا كان $ displaystyle lim ، fracيميل $ إلى infty $ أو $ - infty $ في الحد ، ثم يفعل $ displaystyle frac$.

ضع في اعتبارك $ displaystyle lim_، فارك$ ، حيث $ x (a) = y (a) = 0 $. في الوقت $ t $ ، يكون السطر القاطع عبر $ (x (t)، y (t)) $ و $ (0،0) $ منحدر [ frac= فارك. ] مثل $ t إلى a ^ + $ ، $ x (t) إلى 0 $ و $ y (t) إلى 0 $ ، ونتوقع أن يقترب السطر القاطع من خط الظل عند $ (0،0 ) $ أفضل وأفضل. في الحد مثل $ t إلى a ^ + $ ، [< small textrm> = lim_، فارك. ] ولكن يمكننا أيضًا حساب ميل خط المماس عند $ (0،0) $ as

[< صغيرة textrm> = يسار فارك حق | _= فارك>> = lim_ فارك. ] وهكذا ، [ lim_ فارك= ليم_ فارك. ] هذا تفسير هندسي غير رسمي ، وبالتأكيد ليس برهانًا لقاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s. ومع ذلك ، فإنه يعطينا نظرة ثاقبة على البيان الرسمي للقاعدة.

سنستخدم امتدادًا لنظرية القيمة المتوسطة:

نظرية القيمة الموسعة (كوشي)

لنفترض أن $ f $ و $ g $ قابلين للتفاضل على $ (a، b) $ ومتواصلين على $ [a، b] $. افترض أن $ g '(x) neq 0 $ في $ (a، b) $. ثم هناك نقطة واحدة على الأقل $ c $ في $ (a، b) $ مثل [ frac= فارك. ] إثبات هذه النظرية بسيط إلى حد ما ويمكن العثور عليه في معظم نصوص التفاضل والتكامل.

سنقوم الآن برسم إثبات قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s للحالة $ frac <0> <0> $ في الحد مثل $ x إلى c ^ + $ ، حيث $ c $ محدود. يمكن إثبات الحالة $ x to c ^ - $ بطريقة مماثلة ، ويمكن استخدام هاتين الحالتين معًا لإثبات قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s للحد من الوجهين. هذا الدليل مأخوذ من Salas and Hille & # 8217s حساب التفاضل والتكامل: متغير واحد.

لنفترض أن $ f $ و $ g $ يتم تعريفهما على الفاصل الزمني $ (c، b) $ ، حيث $ f (x) to 0 $ و $ g (x) to 0 $ كـ $ x إلى c ^ + $ لكن $ displaystyle frac$ يميل إلى حد محدود $ L $. ثم $ f & # 8217 $ و $ g & # 8217 $ موجودان في بعض المجموعات $ (c، c + g] $ و $ g & # 8217 neq 0 $ على $ (c، c + h] $. أيضًا $ f $ و $ g $ متواصلين على $ [c، c + h] $ ، حيث نحدد $ f (c) = 0 $ و $ g (c) = 0 $.

مثال
  • $ displaystyle lim_، فارك < sin x>= ليم_ ، فارك < فارك( sin x)> < frac(خ)> = lim_، فارك < cos x> <1> = 1. $
  • $ displaystyle lim_، فارك <2 ln x>= ليم_ ، فارك < فارك(2 ln x)> < frac(س -1)> = lim_ ، فارك <

إذا كان كل من البسط والمقام يميلان إلى $ infty $ أو $ - infty $ ، فلا تزال قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s سارية.

L & # 8217Hôpital & # 8217s قاعدة لـ $ displaystyle frac $

افترض أن $ lim f (x) $ و $ lim g (x) $ كلاهما لا نهائي. ثم

  1. إذا كان $ displaystyle lim ، frac= L $، ثم $ displaystyle lim ، frac= ليم فارك= L دولار.
  2. إذا كان $ displaystyle lim ، fracيميل $ إلى infty $ أو $ - infty $ في الحد ، ثم يفعل $ displaystyle frac$.

يتطلب إثبات هذا الشكل من L & # 8217Hôpital & # 8217s Rule تحليلاً أكثر تقدمًا.

فيما يلي بعض الأمثلة لأشكال غير محددة من النوع $ displaystyle frac < infty> < infty> $.

مثال

في بعض الأحيان يكون من الضروري استخدام L & # 8217Hôpital & # 8217s Rule عدة مرات في نفس المشكلة:

مثال

من حين لآخر ، يمكن إعادة كتابة الحد من أجل تطبيق قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s:

مثال

يمكننا استخدام حيل أخرى لتطبيق قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s. في المثال التالي ، نستخدم قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s لتقييم شكل غير محدد من النوع ^ 0 $:

مثال

لتقييم $ displaystyle lim_، x ^ x $ ، سنقيم أولاً $ displaystyle lim_، ln (x ^ x) $. [ ليم_، ln (x ^ x) = lim_، x ln (x) = 0، quad < small textrm <بالمثال السابق >>. ] ثم منذ $ displaystyle lim_، ln (x ^ x) إلى 0 $ مثل $ x إلى 0 ^ + $ و $ ln (u) = 0 $ إذا وفقط إذا كان $ u = 1 $ ، [x ^ x to 1 رباعي textrm quad x to 0 ^ +. ] وهكذا ، [ lim_ ، س ^ س = 1. ]

لاحظ أن قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s تنطبق فقط على النماذج غير المحددة. بالنسبة إلى الحد الموجود في المثال الأول من هذا البرنامج التعليمي ، لا تنطبق قاعدة L & # 8217Hôpital & # 8217s وستعطي نتيجة غير صحيحة لـ 6. L & # 8217Hôpital & # 8217s Rule قوية وسهلة الاستخدام بشكل ملحوظ لتقييم الأشكال غير المحددة من النوع $ frac <0> <0> $ و $ frac < infty> < infty> $.

المفاهيم الرئيسية

افترض أن $ lim f (x) = lim g (x) = 0 $. ثم

  1. إذا كان $ displaystyle lim frac= L، $ ثم $ displaystyle lim frac= displaystyle lim frac= L دولار.
  2. إذا كان $ displaystyle lim fracيميل $ إلى infty $ أو $ - infty $ في الحد ، ثم يفعل $ frac$.

L & # 8217Hôpital & # 8217s Rule for $ frac < infty> < infty> $
افترض أن $ lim f (x) $ و $ lim g (x) $ كلاهما لا نهائي. ثم


الحدود بواسطة حاسبة قاعدة L & # x27Hôpital & # x27s

مثال

مشاكل محلولة

مشاكل صعبة

حل مثال الحدود بواسطة قاعدة l'hôpital

أدخل القيمة $ في الحد

اطرح القيم $ 1 $ و $ -1 $

إذا قمنا بتقييم الحد مباشرة $ lim_ يسار ( فارك <1- كوس يسار (س يمين)> right) عندما يميل $ x $ إلى $ ، يمكننا أن نرى أنه يعطينا صيغة غير محددة

يمكننا حل هذا الحد من خلال تطبيق قاعدة L'Hôpital ، والتي تتكون من حساب مشتق كل من البسط والمقام بشكل منفصل

أوجد مشتق البسط

مشتق مجموع وظيفتين هو مجموع مشتقات كل دالة

مشتق التابع الثابت ($ 1 $) يساوي صفرًا

مشتق دالة مضروبة في ثابت ($ -1 $) يساوي ثابت ضرب مشتق الدالة

مشتق جيب التمام للوظيفة يساوي ناقص جيب الدالة مضروبًا في مشتق الدالة ، بمعنى آخر ، إذا كان $ f (x) = cos (x) $ ، ثم $ f & # x27 (x) = - sin (x) cdot D_x (x) $

أوجد مشتق المقام

تنص قاعدة القوة للتفاضل على أنه إذا كان $ n $ رقمًا حقيقيًا و $ f (x) = x ^ n $ ، فإن $ f & # x27 (x) = nx ^$


محتويات

على الرغم من ضمنيًا في تطوير حساب التفاضل والتكامل في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، فإن الفكرة الحديثة لحد الوظيفة تعود إلى بولزانو الذي قدم ، في عام 1817 ، أساسيات تقنية دلتا إبسيلون لتحديد الوظائف المستمرة. ومع ذلك ، لم يكن عمله معروفًا خلال حياته. [1]

في كتابه 1821 Cours d'analyse، ناقش كوشي الكميات المتغيرة ، اللامتناهيات في الصغر والحدود ، واستمرارية محددة لـ y = f (x) بالقول إن تغييرًا متناهي الصغر في x ينتج بالضرورة تغييرًا متناهي الصغر في ذ، بينما يدعي (Grabiner 1983) أنه قدم تعريفًا شفهيًا فقط. [2] قدم Weierstrass لأول مرة تعريف epsilon-delta للنهاية بالشكل الذي يُكتب عادة اليوم. كما قدم الرموز ليم و ليمxx0. [3]

إن التدوين الحديث لوضع السهم أسفل رمز الحد يرجع إلى هاردي ، والذي تم تقديمه في كتابه دورة في الرياضيات البحتة في عام 1908. [4]

تخيل شخصًا يسير فوق منظر طبيعي يمثله الرسم البياني لـ ذ = F(x). يتم قياس موضعها الأفقي بقيمة x، يشبه إلى حد كبير الموقع الذي تحدده خريطة الأرض أو نظام تحديد المواقع العالمي. يتم تحديد ارتفاعها بواسطة الإحداثيات ذ. يسيرون نحو الوضع الأفقي المعطى من قبل x = ص. كلما اقتربوا منه أكثر فأكثر ، لاحظوا أن ارتفاعهم يقترب إل. إذا سئل عن ارتفاع x = ص، ثم يجيبون إل.

ماذا يعني إذن أن نقول إن ارتفاعهم يقترب لام؟ هذا يعني أن ارتفاعهم يقترب أكثر فأكثر إل- باستثناء احتمال وجود خطأ بسيط في الدقة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا حددنا هدف دقة معينًا لمسافرنا: يجب أن يصلوا إلى مسافة عشرة أمتار من إل. أبلغوا أنه في الواقع ، يمكنهم الوصول إلى مسافة عشرة أمتار رأسية من إل، حيث لاحظوا ذلك عندما يكونون في نطاق خمسين مترًا أفقيًا من ص، ارتفاعهم دائما عشرة أمتار أو أقل من إل.

ثم يتم تغيير هدف الدقة: هل يمكن الوصول إلى مسافة متر واحد عمودي؟ نعم فعلا. إذا كانوا في أي مكان ضمن سبعة أمتار أفقية ص، سيظل ارتفاعها دائمًا في حدود متر واحد من الهدف إل. باختصار ، القول بأن ارتفاع المسافر يقترب إل مع اقتراب وضعهم الأفقي ص، يعني أنه لكل هدف دقة الهدف ، مهما كان صغيرا ، هناك بعض الجوار ص الذي يحقق ارتفاعه هدف الدقة هذا.

يمكن الآن شرح البيان غير الرسمي الأولي:

حد دالة F(x) كما x اقتراب ص هو رقم إل مع الخاصية التالية: بالنظر إلى أي مسافة مستهدفة من إل، هناك مسافة من ص من خلالها قيم F(x) تبقى ضمن المسافة المستهدفة.

في الواقع ، هذا البيان الصريح قريب جدًا من التعريف الرسمي لحد الوظيفة ، مع القيم في الفضاء الطوبولوجي.

بشكل أكثر تحديدا ، لقول ذلك

هو قول ذلك ƒ(x) أقرب ما يكون إلى إل حسب الرغبة ، من خلال صنع x قريبة بما فيه الكفاية ، ولكن لا تساوي ، ل ص.

التعريفات التالية ، المعروفة باسم (ε ، δ) - التعريفات ، هي التعريفات المقبولة عمومًا للحد من الوظيفة في سياقات مختلفة.

يفترض F : صص يتم تعريفه على الخط الحقيقي و ص ، لص . يمكن للمرء أن يقول ذلك حد F، كما x اقتراب ص، يكون إل ومكتوبة

إذا كان العقار التالي يحمل:

  • لكل حقيقي ε & GT 0 ، هناك حقيقي δ & gt 0 مثل كل x الحقيقي ، 0 & lt | xص | & lt δ يعني أن | F(x) − إل | & lt ε . [6]

ينطبق تعريف أكثر عمومية على الوظائف المحددة في مجموعات فرعية من السطر الحقيقي. يترك (أ, ب) يكون فاصلاً مفتوحًا في ص، و ص نقطة من (أ, ب). يترك F أن تكون دالة ذات قيمة حقيقية محددة في جميع (أ, ب) - باستثناء احتمال ص بحد ذاتها. ثم يقال أن الحد F كما x اقتراب ص يكون لام ، إذا كان لكل حقيقي ε & GT 0 ، هناك حقيقي δ & gt 0 مثل 0 & lt | xص | & lt δ و x ∈ (أ, ب) يعني أن | F(x) − إل | & lt ε .

هنا ، لاحظ أن قيمة الحد لا تعتمد على F يتم تعريفه في صولا على القيمة F(ص) - إذا تم تعريفه.

الرسائل ε و δ يمكن فهمها على أنها "خطأ" و "مسافة". في الواقع ، استخدم كوشي ε كاختصار لـ "خطأ" في بعض أعماله ، [2] على الرغم من أنه استخدم في تعريفه للاستمرارية α < displaystyle alpha> بدلاً من أي منهما ε أو δ (انظر Cours d'Analyse). في هذه الشروط ، الخطأ (ε) في قياس القيمة عند الحد يمكن جعلها صغيرة حسب الرغبة ، عن طريق تقليل المسافة (δ) إلى نقطة النهاية. كما هو موضح أدناه ، يعمل هذا التعريف أيضًا للوظائف في سياق أكثر عمومية. فكرة أن δ و ε تمثيل المسافات يساعد في اقتراح هذه التعميمات.

وجود قيود من جانب واحد تحرير

بدلا من ذلك، x قد تقترب ص من أعلى (يمين) أو أسفل (يسار) ، وفي هذه الحالة يمكن كتابة الحدود كـ

على التوالى. إذا كانت هذه الحدود موجودة عند p ومتساوية هناك ، فيمكن الإشارة إلى هذا على أنه ال حد ال F(x) في ص. [7] إذا كانت الحدود أحادية الجانب موجودة عند ص، لكنها غير متساوية ، فلا يوجد حد عند ص (على سبيل المثال ، الحد عند ص غير موجود). في حالة عدم وجود أي حد من جانب واحد عند ص، ثم الحد عند ص أيضا غير موجود.

التعريف الرسمي هو على النحو التالي. حد F(x) كما x اقتراب ص من فوق إل إذا ، لكل ε & GT 0 ، يوجد ملف δ & gt 0 مثل هذا |F(x) − إل| & lt ε في أي وقت 0 & lt xص & lt δ. حد F(x) كما x اقتراب ص من الأسفل إل إذا ، لكل ε & GT 0 ، يوجد ملف δ & gt 0 مثل هذا |F(x) − إل| & lt ε في أي وقت 0 & lt صx & lt δ.

إذا كان الحد غير موجود ، فإن تذبذب F في ص غير صفري.

المزيد من المجموعات الفرعية العامة تحرير

بصرف النظر عن الفواصل الزمنية المفتوحة ، يمكن تحديد حدود للوظائف على مجموعات فرعية عشوائية من ص، على النحو التالي (Bartle & amp Sherbert 2000) خطأ في الحصاد: لا يوجد هدف: CITEREFBartleSherbert2000 (مساعدة): let F أن تكون دالة ذات قيمة حقيقية محددة في مجموعة فرعية س من الخط الحقيقي. يترك ص تكون نقطة حد س-هذا هو، ص هو حد تسلسل بعض العناصر من س متميز عن ص. حد F، كما x اقتراب ص من القيم في س، يكون لام ، إذا كان لكل ε & GT 0 ، يوجد أ δ & GT 0 مثل أن 0 & lt | xص | & lt δ و xس يعني أن | F(x) − إل | & lt ε .

غالبًا ما تتم كتابة هذا الحد على النحو التالي:

الشرط أن F يتم تعريفها على س هل هذا س تكون مجموعة فرعية من مجال F. يتضمن هذا التعميم كحدود حالات خاصة على فاصل زمني ، بالإضافة إلى حدود أعسر للوظائف ذات القيمة الحقيقية (على سبيل المثال ، عن طريق أخذ س لتكون فترة مفتوحة من النموذج (- ∞ ، أ) ) ، وحدود اليد اليمنى (على سبيل المثال ، بأخذ س لتكون فترة مفتوحة من النموذج (أ ، ∞) ). كما أنه يوسع مفهوم الحدود من جانب واحد إلى نقاط النهاية المضمنة للفواصل الزمنية المغلقة (نصف-) ، وبالتالي فإن دالة الجذر التربيعي F(x)= √ x يمكن أن يكون الحد 0 عندما تقترب x من 0 من أعلى.

تعديل الحدود المحذوفة مقابل غير المحذوفة

لا يعتمد تعريف الحد الوارد هنا على كيفية (أو ما إذا كان) F يتم تعريفه في ص. Bartle (1967) يشير إلى هذا على أنه أ حد محذوف، لأنه يستبعد قيمة F في ص. المناظرة حد غير محذوف لا تعتمد على قيمة F في ص، لو ص يقع في مجال F:

  • رقم إل هو الحد غير المحذوف من F كما x اقتراب ص إذا ، لكل ε & GT 0، يوجد أ δ & GT 0 مثل هذا | xص | & lt δ و xد(F) يعني | F(x) − إل | & lt ε.

التعريف هو نفسه ، باستثناء أن الحي | xص | & lt δ يتضمن الآن النقطة ص، على عكس الحي المحذوف 0 & lt | xص | & lt δ. هذا يجعل تعريف الحد غير المحذوف أقل عمومية. تتمثل إحدى مزايا العمل مع الحدود غير المحذوفة في أنها تسمح بوضع نظرية حول حدود التراكيب دون أي قيود على الوظائف (بخلاف وجود حدودها غير المحذوفة) (Hubbard (2015)).

يلاحظ Bartle (1967) أنه على الرغم من "الحد" ، فإن بعض المؤلفين يقصدون هذا الحد غير المحذوف ، فإن الحدود المحذوفة هي الأكثر شيوعًا. على سبيل المثال ، Apostol (1974) و Courant (1924) و Hardy (1921) و Rudin (1964) و Whittaker & amp Watson (1902) خطأ harvtxt: بلا هدف: CITEREFWhittakerWatson1902 (مساعدة) تأخذ جميعها كلمة "حد" لتعني الحد المحذوف.


ما هي قاعدة L'H & ocircpital؟

من بين أمور أخرى. ما ورد أعلاه ليس قائمة شاملة لجميع النماذج غير المحددة الممكنة. لسوء الحظ ، لا يتم تقييم العديد من هذه النماذج غير المحددة بسهولة. على الأقل ، بدون الأدوات المناسبة.

الآن بعد أن طورنا فكرة المشتقات ، يمكننا استخدامها كأداة لحساب بعض هذه الحدود غير المحددة الأكثر صعوبة. يتم تحقيق ذلك باستخدام التقنية المعروفة باسم قاعدة L'H & ocircpital ل.

قاعدة L'H & ocircpital (فكرة أساسية)

تخبرنا قاعدة L'H & ocircpital أن المشتقات والحدود مرتبطة بالطريقة التالية:

إذا كان $ displaystyle lim limits_ فارك = فارك 0 0 يسار ( م بوكس frac infty infty right) $ ، فيمكننا استخدام مشتق $ f $ و $ g $ على النحو التالي:

هناك بعض الأشياء التي يجب فهمها حول قاعدة L'H & ocircpital.

  • الجانب الأيمن من المعادلة هو ليس مشتق $ frac$ ، مما يعني أنه لم يتم العثور عليه باستخدام قاعدة خارج القسمة. بدلاً من ذلك ، تعامل قاعدة L'H & ocircpital البسط والمقام على أنهما وظائف منفصلة.
  • في بعض الأحيان ، يجب تطبيق قاعدة L'H & ocircpital أكثر من مرة للعثور على القيمة المحددة.
  • هذه القاعدة ليس رصاصة سحرية. هناك بعض الحالات التي تفشل فيها القاعدة في إنتاج حل قابل للاستخدام. أي أن الحد يظل غير محدد.

يتطلب الدليل على صحة قاعدة L'H & ocircpital استخدام تمديد كوشي لنظرية القيمة المتوسطة (التي ناقشناها في الدرس السابق) ويتم تضمينها في نهاية هذا الدرس.

الدليل هو مثال جيد لكيفية استخدام نظرية القيمة المتوسطة لإثبات أفكار مهمة أخرى ، ولكن (بصراحة) إذا لم تقرأ أو تفهم إثبات قاعدة L'H & ocircpital ، فلن يعيق ذلك قدرتك ل استعمال لتقييم الحدود. لذلك ، يمكنك تخطيها إذا لزم الأمر (it يكون برهان جميل حقًا ، رغم ذلك. إنه يستحق القراءة!).

التطبيقات الأساسية لقاعدة L'H & ocircpital

مثال 1

لاحظ أننا تعلمنا بالفعل عن هذا الحد المعين. لقد أظهرنا ذلك في درس سابق

الغرض من هذا المثال هو إظهار أن قاعدة L'H & ocircpital تعطينا نفس الإجابة (مما يساعدنا على تصديق أن القاعدة تعمل ، لأننا لم نثبت ذلك بعد).

Show that the limit has the correct form for L'Hôpital's Rule $left(frac 0 0 ight.$ or $left.frac infty infty ight)$ .

$ displaystylelim_frac x = frac 0 = frac 0 0 $

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = sin x$ and $g(x) = x$ .

For reference, here is a graph of the function near $x = 0$ . Note that the function is undefined في $x = 0$ .

مثال 2

Let's try one more that we could evaluate directly using techniques from an earlier lesson. This particular limit will require two applications of the rule.

Verify the limit has the correct form for L'Hôpital's rule.

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$ and $g(x) = 4x^2 + 9x - 1$ .

Apply L'Hôpital's Rule a second time.

For reference, here is a graph of the function.

مثال 3

Note that this particular example is not one of the forms from an earlier lesson. So, without L'Hôpital's Rule, we would be hard pressed to evaluate it.

Evaluate the limit in its current form (to make sure L'Hôpital's Rule applies).

Since we have a $frac 0 0$ form, we can use L'Hôpital's rule to try and evaluate it.

For reference, here is the graph of the function, with the limit value indicated. Note that the function is undefined في $x=1$ .

Not A Magic Bullet

It is important to note that L'Hôpital's rule is one tool in our toolbox, but it doesn't help with every limit. In the next lesson we'll look at some examples of limits where applying L'Hôpital's rule isn't appropriate, and we'll discuss what we can do to successfully evaluate such limits.

Proof of L'Hôpital's Rule

As always, before working through the proof, we need to first state the theorem formally.

Formal Statement

Suppose $limlimits_ فارك$ has the form $frac 0 0$ or $frac infty infty$ . Also, suppose $f$ and $g$ are continuous in some open interval containing $x=a$ (except possibly at $x=a$ itself) and neither $g(x)$ nor $g'(x)$ are equal to zero in that same interval (again, except possibly at $x=a$ itself).
ثم

provided the right-hand limit exists or is $pminfty$ .

Proof:

This proof focuses on the case where $limlimits_ فارك = frac 0 0$ . The case where the limit is $fracinfty infty$ is approached similarly.

Since $limlimits_ f(x) = 0$ , we know that either $f(a) = 0$ or $f$ has a removable discontinuity at $x = a$ . In the case where we have the removable discontinuity, we can redefine $f$ so that $f(a) = 0$ without affecting the value of the limit, so let's do that.

Likewise, the same situation applies to $g(x)$ at $x = a$ , so make the same redefinition if needed. This means we now have $lue$ and $ ed$ , so we can write .

Since $f$ and $g$ are differentiable in the neighborhood of $x=a$ , we can apply Cauchy's extension of the MVT. This means there is a $cin(a,x)$ such that

Dividing both sides by $g'(c)$ gives us

If we examine the limit as $x o a^+$ , we see that $c o a^+$ as well (since $c geq a$ ). This means we can say

As similar argument with $x o a^-$ allows us to say

Finally, the last phrase in the formal statement of L'Hôpital's Rule says that the equation is valid provided the limit on the right exists. In order for this statement to be valid, we know the one-sided limits have to be the same. In that case


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

mQ5 pQDo_"W>Un=O1aXo,[email protected]%6X'Ak-=ZuJ)B5_17EGN_N2#G2=AYeOoKDK."#"_2 P^)bUXWg h#%NpFcMp]m$- [email protected] +i?I2U-csr_=+eeJ8'mmlYs31C5KPke!W#>.UsCU ia][email protected]#`gccQ)OHbZK8&=2_67dTU1?!%^.Q`P4m&"/25XHMZ5+kIb $b2a36&6=hBZmuli4:6kFuiMY=0g3p.`tA[BVg.L2hF#W.,Uip,EJt0GHOGK9rF .Ki&/[email protected]$>O9)[email protected]&[hdMk`[email protected]'1Pe8Aa/)^?M*%_I*Th]oP%aKk4Y ^f>3XB&KET!W7X0:96=ii0J"^epBTMe:c+AHXq?Q&mb+Yh2*r'[email protected] -i-9.KZ=!:`7s&BmbBV27_!HmR+j)J?qBh9%!j+eou$QR0PZmJHWd!LiJ_T72`Va^ /[email protected]?2e$C&pBHXDg6e8^WI:[email protected]/CMTfTZi)24Uf#mXNQ'bcDSM

> endstream endobj 28 0 obj > /ExtGState > >> endobj 30 0 obj > stream 8XugN)% :o94L!h/?!`@C,@WAmPIA'%](/&.+U(^t!:b38! MOb]P^DGEE&94^]TH[g^4\_^-/FpZe`,7T/!O/lF^"qBfBkC=elm6T=61XqB(5l9

> endstream endobj 31 0 obj > /ExtGState > >> endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 34 0 obj > endobj 35 0 obj > stream 8V^jCJ5FD'V CoVGU=&c]9T,Y-PPib578WHhcrM#A cL0][email protected]^[email protected]:SI)STAb"E[`IBS/V,' L#^ [email protected]?"'B3Wrm>O``bt`a6E]MY8S-jLGn^oI[8Yk"[email protected] *i2M-"lYjc'SWJPRUUB6-j0,hFd#uqDkgG V9J39]^%jJscK1hutNa+u$ju !dFt[jAfkC>eE8Gb+I#QrTpb!W @"EXJr9uHTg.3 ]):[email protected],imV WTduRC'"(p2% d$.ufHOR?b)FOAnPHiO](WK#a6d0M/NQ%dr?+BRTNNk-Qa%XnSi=:p>(pbGsVuu?: PU#r4"G?DsRU.s9d9D&5+9%o+*R^3-b*)g37PNTa-i,75"+c0U!FcLjrMhH(Dn=a M/mh/"@'/8gM*!aB]r!/O?`8kL(TV%]b9%[email protected]/$L$P6)-`0dUhcQ/.rI`8PZXm H^g,/V>KM/9=BSoCnI?Mrt8fRR 5.OW'^.badG:hU^H/O`a,T$r-r?5`=Te^'eqtbpYqSAVOo428Q4L :.'3n7(PEFg(I5RQqZ`5n]^tlp[^F)(ND5ua`MZgG`kmgS4_qWT0DlOTW^:gmGT^ =iNmTM]&U.c>%OcJX'^u/QjXXKNk-?cc%[email protected]#i_u1%!12,n/H

> endstream endobj 4 0 obj > endobj 5 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 41 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 40 0 obj > endobj 42 0 obj > endobj 1 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 26 0 obj > endobj 29 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 43 0 obj > endobj 44 0 obj > endobj xref 0 45 0000000000 65535 f 0000037895 00000 n 0000000016 00000 n 0000002559 00000 n 0000031982 00000 n 0000032086 00000 n 0000032186 00000 n 0000028902 00000 n 0000029002 00000 n 0000038473 00000 n 0000037975 00000 n 0000002684 00000 n 0000007795 00000 n 0000033028 00000 n 0000034082 00000 n 0000035139 00000 n 0000035252 00000 n 0000038058 00000 n 0000007958 00000 n 0000011933 00000 n 0000038141 00000 n 0000012062 00000 n 0000016478 00000 n 0000038224 00000 n 0000016619 00000 n 0000021956 00000 n 0000038307 00000 n 0000022083 00000 n 0000025932 00000 n 0000038390 00000 n 0000026059 00000 n 0000028562 00000 n 0000028679 00000 n 0000028802 00000 n 0000029100 00000 n 0000029366 00000 n 0000030585 00000 n 0000030783 00000 n 0000031258 00000 n 0000031488 00000 n 0000035364 00000 n 0000032285 00000 n 0000036571 00000 n 0000038596 00000 n 0000038646 00000 n trailer ] >> startxref 38755 %%EOF


L’Hôpital’s Rule

L’Hôpital’s Rule, which was named after French Mathematician, Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital, is a very important rule when trying to find the limit of a function when it plugging in the values makes it indeterminate. This is not the situation when the the right hand limit and the left hand limit are not equal because then the limit does not exist. This is when the right hand limit and the left hand limit approach the same value, but when we plug in the value we are approaching then we get either ∞/∞, -∞/∞, or 0/0.

We get an indeterminate value. All three of those situations don’t have a real value, but the limit does exist because the limit is the value that the function is approaching, and not necessarily the value the function equals.

Here are the three situations when you can use L’Hôpital’s Rule to find the derivative of the function:

When you get one of these three situation, then you can use L’Hôpital’s Rule to determine what the limit is. It states that in this situation the limit of the two functions equals the limit of the derivative of the numerator divided by the derivative of the denominator, or to say it symbolically.

There are times when just taking the first derivative is not enough to find the answer. Meaning that even after taking the derivative of the function when you take the limit of the function then you still get an indeterminate answer, 0/0, ∞/∞, -∞/∞. In that case you can take the derivative of the derivative function and try again. That’s the beauty of L’Hôpital’s Rule, it allows us to keep taking the derivative of the function until we get a determinate answer.


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

The following problems involve the use of l'Hopital's Rule. It is used to circumvent the common indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ when computing limits. There are numerous forms of l"Hopital's Rule, whose verifications require advanced techniques in calculus, but which can be found in many calculus books. This link will show you the plausibility of l'Hopital's Rule. Following are two of the forms of l'Hopital's Rule.

THEOREM 1 (l'Hopital's Rule for zero over zero): Suppose that $ displaystyle < lim_f(x) =0 > $, $ displaystyle < lim_g(x) =0 > $, and that functions $f$ and $g$ are differentiable on an open interval $I$ containing $a$. Assume also that $ g'(x) e 0$ in $I$ if $x e a$. Then $ displaystyle < lim_ فارك > = displaystyle < lim_ فارك > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

THEOREM 2 (l'Hopital's Rule for infinity over infinity): Assume that functions $f$ and $g$ are differentiable for all $x$ larger than some fixed number. If $ displaystyle < lim_f(x) = infty > $ and $ displaystyle < lim_g(x) = infty > $, then $ displaystyle < lim_ فارك > = displaystyle < lim_ فارك > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

In both forms of l'Hopital's Rule it should be noted that you are required to differentiate (separately) the numerator and denominator of the ratio if either of the indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$ arises in the computation of a limit. Do not confuse l'Hopital's Rule with the Quotient Rule for derivatives. Here is a simple illustration of Theorem 1.

EXAMPLE 1: $ displaystyle < lim_ فارك = frac<" 2-2" > < (2)^2-4 >= frac< "0" > < 0 >> $ (Now apply Theorem 1. Differentiate top and bottom separately.) $ = displaystyle < lim_frac<1-0> <2x-0>> $ $ = displaystyle < lim_frac<1> <2x>> $ $ = frac<1> <2(2)>$ $ = frac<1> <4>$ Here is a simple illustration of Theorem 1.

Indeterminate forms besides $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ include $ "0 cdot infty $, $ "infty - infty" $, $ "1^" $, $ "0^<0>" $, and $ "infty^<0>" $. These forms also arise in the computation of limits and can often be algebraically transformed into the form $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$, so that l'Hopital's Rule can be applied. Following are two examples of such transformations. The second example uses the fact that $ y=e^x $ and $ y=ln x $ are inverse functions, so that $ z= e^ $ for all $ z>0 $ and $ ln z^m=m ln z$ for all $ z>0 $ and any $ m$.

EXAMPLE 3: $ displaystyle< lim_> sqrt cdot ln x > = " 0 cdot -infty"$ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ sqrt $.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/sqrt> > = frac< "- infty" > < infty >$ (Now use Theorem 2 for l'Hopital's Rule.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/x><-1/2x^<3/2>> > $ $ = displaystyle< lim_> -2 sqrt > $ $ = -2 sqrt <0>$ $ = -2 (0) $ $ = 0 $

EXAMPLE 4: $ displaystyle< lim_> x^x > = " 0^0" $ (Use the fact that $ z=e^ $.) $ = displaystyle< lim_> e^< ln <>> > > $ (Use the fact that $ ln z^m=m ln z$ .) $ = displaystyle< lim_> e^ < x ln x >> $ (This next step uses the fact that $y=e^ $ is a continuous function.) $ = displaystyle< e^> < x ln x >> > $ $ = displaystyle < e^< "0 cdot (-infty)">> $ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ x $.) $ = displaystyle< e^> < frac< ln x > <1/x>> > > $ (Now apply Theorem 2 for l'Hopita's Rule.) $ = displaystyle< e^> < frac< 1/x > <-1/x^2>> > > $ $ = displaystyle< e^> < (-x) >> > $ $ = e^0 $ $ = 1 $

In the list of limit problems which follows, most problems are average and a few are somewhat challenging. In some cases there may be methods other than l'Hopital's Rule that could be used to compute the given limit. Nonetheless, l'Hopital's Rule will be used whenever applicable in this problem set.

Click HERE to see a detailed solution to problem 1.

Click HERE to see a detailed solution to problem 2.

Click HERE to see a detailed solution to problem 3.

Click HERE to see a detailed solution to problem 4.

Click HERE to see a detailed solution to problem 5.

Click HERE to see a detailed solution to problem 6.

Click HERE to see a detailed solution to problem 7.

Click HERE to see a detailed solution to problem 8.

Click HERE to see a detailed solution to problem 9.

Click HERE to see a detailed solution to problem 10.

Click HERE to see a detailed solution to problem 11.

Click HERE to see a detailed solution to problem 12.

Click HERE to see a detailed solution to problem 13.

Click HERE to see a detailed solution to problem 14.

Click HERE to see a detailed solution to problem 15.

Click HERE to see a detailed solution to problem 16.

Click HERE to see a detailed solution to problem 17.

. . L'HOPITAL ALERT . The following problems require algebraic manipulation BEFORE l'Hopital's Rule can be applied.

Click HERE to see a detailed solution to problem 18.

Click HERE to see a detailed solution to problem 19.

Click HERE to see a detailed solution to problem 20.

Click HERE to see a detailed solution to problem 21.

Click HERE to see a detailed solution to problem 22.

Click HERE to see a detailed solution to problem 23.

Click HERE to see a detailed solution to problem 24.

Click HERE to see a detailed solution to problem 25.

Click HERE to see a detailed solution to problem 26.

Click HERE to see a detailed solution to problem 27.

Click HERE to see a detailed solution to problem 28.

Click HERE to return to the original list of various types of calculus problems.

Your comments and suggestions are welcome. Please e-mail any correspondence to Duane Kouba by clicking on the following address :

A heartfelt "Thank you" goes to The MathJax Consortium for making the construction of this webpage fun and easy.


ロピタルの定理

本定理はスイスの数学者、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている [1] (ロピタルの定理論争を参照)。本定理の名称としては、欧州で最初の微分学書である Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (西暦1696年, 直訳: 曲線の理解のための無限小の解析) を出版し [2] 、その中で本定理を広く世に知らしめた17世紀のフランスの数学者、ギヨーム・ド・ロピタルの名を冠してロピタルの定理と呼ばれることが通例である。ベルヌーイとロピタルとの間には契約があってロピタルは命名権のためにいくらかの対価を与えたということである。ロピタルの死後にベルヌーイが自分こそが定理の発見者であると暴露した [3] 。

ロピタルの定理の一般形は多くの場合に適用される。جإل が拡大実数(すなわち実数、正の無限大、負の無限大) であり、次の条件、

が存在するという条件は十分条件にすぎない。不定形の微分ではしばしば極限値が存在せず、極限値が存在しない場合はロピタルの定理は適用できない。例えば、f(x) = x + sin(x) と g(x) = x に対しては、

  • 以下に示す式はsinc関数と 0/0形の不定形を含む例である。
  • 次の式は0/0を含む、さらに巧妙な例である。ロビタルの定理を一回適用してもまだ不定形である。この場合は本定理を三回適用することにより、極限を求めることができる。
  • この例は∞/∞形の不定形を持つ。 n が正の整数であるとき、
  • これは レイズドコサインフィルタ (en) のインパルス応答と0/0形の不定形を持つ例である。
  • 次の定理を証明するためにロピタルの定理を使用することができる。もし f ″ x で連続ならば、
  • ロビタルの定理はしばしば巧妙な方法において引き合いに出される。ここで f ( x ) + f ′ ( x ) が x → ∞ で収束すると、

0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1 ∞ ", " 0 0 ", " ∞ 0 ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、

を得る。ここにロピタルの定理が (1) から (2) そして (3) から (4) への変形に用いられた。

指数関数を含む不定形では、対数を用いて指数部から降ろすとロピタルの定理を適用できる可能性がある。次の式は 0 0 形の不定形を含む例である。

となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。ذ = 1/x とする。|x|が無限大に近づくにつれて ذ は 0 に近づく。従って、

である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。

|x| ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。

であることの証明であるとき、もしその極限をロピタルの定理を使用して計算すれば、この論法は結論を仮定として用いることとなり (論点先取)、たとえ結論が正しくとも非合理的な証明である。


شاهد الفيديو: théorème des accroissements finis et règle de lhôpital (شهر نوفمبر 2021).