مقالات

4.6: مجموعات مدمجة - رياضيات


نتوقف الآن للنظر في نوع مهم جدًا من المجموعات. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي.

التعريف: مضغوط بالتتابع

يُقال إن المجموعة (A مجموعة فرعية (S ، rho) ) هي كذلك مضغوط بالتتابع (مضغوط لفترة وجيزة) إذا كان كل تسلسل ( left {x_ {m} right } subseteq A ) مجموعات في مرحلة ما (p ) في (A. )

إذا كانت جميع (S ) مضغوطة ، فإننا نقول أن المساحة المترية ((S ، rho) ) مضغوطة.

مثال ( PageIndex {1} )

(أ) كل فاصل مغلق في (E ^ {n} ) مضغوط (انظر أعلاه).

(a ') ومع ذلك ، فإن الفواصل الزمنية غير المغلقة و (E ^ {n} ) نفسها ليست مضغوطة.

على سبيل المثال ، التسلسل (x_ {n} = 1 / n ) موجود في ((0،1] مجموعة فرعية E ^ {1} ، ) لكن المجموعات فقط عند (0، ) خارج (( 0،1]. ) كمثال آخر ، التسلسل (x_ {n} = n ) لا يحتوي على نقاط مجموعة في (E ^ {1}. ) وبالتالي ((0،1] ) و فشل (E ^ {1} ) في أن يكون مضغوطًا (على الرغم من اكتمال (E ^ {1} )) ؛ وبالمثل مع (E ^ {n} left (^ {*} text {and} C ^ {n} يمين). )

(ب) أي مجموعة محدودة (A مجموعة فرعية (S ، rho) ) مضغوطة. في الواقع ، يجب أن يحتوي التسلسل اللانهائي في مثل هذه المجموعة على مصطلح واحد على الأقل متكرر بلا حدود (p in A. ) ثم بحكم التعريف ، هذا (p ) هو نقطة تجمع (انظر الفصل 3 ، §14 ، الملاحظة 1 ).

(ج) المجموعة الفارغة مضغوطة "بشكل مفرغ" (لا تحتوي على تسلسلات).

(د) (E ^ {*} ) مضغوط. انظر المثال (( mathrm {g}) ) في الفصل 3 ، §14.

يمكن اشتقاق أمثلة أخرى من النظريات التالية.

نظرية ( PageIndex {1} )

إذا كانت المجموعة (B مجموعة فرعية (S ، rho) ) مضغوطة ، فإن أي مجموعة فرعية مغلقة (أ مجموعة فرعية ب ).

دليل - إثبات

يجب أن نبين أن كل تسلسل مجموعات ( left {x_ {m} right } subseteq A ) في بعض (p in A ). ومع ذلك ، نظرًا لأن (A subseteq B ، left {x_ {m} right } ) موجود أيضًا في (B ، ) لذلك من خلال انضغاط (B ، ) فإنه يتجمع في بعض ( p in B. ) وهكذا يبقى إظهار أن (p in A ) أيضًا.

الآن وفقًا للنظرية 1 من الفصل (3 ، §16 ، left {x_ {m} right } ) لها نتيجة (x_ {m_ {k}} rightarrow p ). بما أن ( left {x_ {m_ {k}} right } subseteq A ) و (A ) مغلق ، فهذا يعني (p in A ) (النظرية 4 في الفصل (3 ، ) (§16). رباعي مربع )

نظرية ( PageIndex {2} )

كل مجموعة مضغوطة (A مجموعة فرعية (S ، rho) ) مغلقة.

دليل - إثبات

بالنظر إلى أن (A ) مضغوط ، يجب أن نوضح (بواسطة النظرية 4 في الفصل 3 ، §16) أن (A ) يحتوي على حد كل تسلسل متقارب ( left {x_ {m} right ) } مجموعة فرعية أ ).

لذلك دعونا (x_ {m} rightarrow p، left {x_ {m} right } subseteq A. ) نظرًا لأن (A ) مضغوط ، فإن التسلسل ( left {x_ {m } right } ) الكتل في بعض (q in A ، ) ، أي ، لها نتيجة لاحقة ​​(x_ {m_ {k}} rightarrow q in A. ) ومع ذلك ، يجب أن يكون حد التسلسل التالي أن تكون مماثلة لتلك الخاصة بالتسلسل بأكمله. وهكذا (p = q in A ) ؛ على سبيل المثال ، (ع ) في (أ ، ) كما هو مطلوب. (مربع)

نظرية ( PageIndex {3} )

كل مجموعة مضغوطة (A مجموعة فرعية (S ، rho) ) محدودة.

دليل - إثبات

بالمشكلة 3 في الفصل 3 ، الفقرة 13 ، يكفي إظهار أن (A ) موجود في اتحاد محدود من الكرات الأرضية. وهكذا نصلح بعض نصف القطر التعسفي ( varepsilon> 0 ) ونبحث عن تناقض ، نفترض أن (A ) لا يمكن بأي عدد محدد من الكرات الأرضية لهذا نصف القطر.

ثم إذا كان (x_ {1} in A ، ) الكرة الأرضية (G_ {x_ {1}} ( varepsilon) ) لا يغطي (A ، ) لذلك هناك نقطة (x_ {2 } في A ) مثل ذلك

[x_ {2} notin G_ {x_ {1}} ( varepsilon) ، text {ie ،} rho left (x_ {1}، x_ {2} right) geq varepsilon ]

من خلال افتراضنا ، لم يتم تغطية (A ) حتى بواسطة (G_ {x_ {1}} ( varepsilon) cup G_ {x_ {2}} ( varepsilon). ) وبالتالي هناك نقطة ( x_ {3} in A ) مع

[x_ {3} notin G_ {x_ {1}} ( varepsilon) text {and} x_ {3} notin G_ {x_ {2}} ( varepsilon)، text {ie،} rho left (x_ {3}، x_ {1} right) geq varepsilon text {and} rho left (x_ {3}، x_ {2} right) geq varepsilon. ]

مرة أخرى ، لم يتم تناول (A ) بواسطة ( bigcup_ {i = 1} ^ {3} G_ {x_ {i}} ( varepsilon) ، ) لذلك هناك نقطة (x_ {4} في A ) ليس في هذا الاتحاد ؛ لذلك يجب أن تكون مسافاتها من (x_ {1} و x_ {2} و ) و (x_ {3} ) هي ( geq varepsilon ).

نظرًا لأن (A ) لا يتم تغطيته أبدًا بأي عدد محدود من الكرات ( varepsilon ) ، يمكننا متابعة هذه العملية إلى أجل غير مسمى (عن طريق الاستقراء) وبالتالي تحديد تسلسل لا نهائي ( left {x_ {m} right } subseteq A، ) بكل شروطها على الأقل ( varepsilon ) - منفصلة عن بعضها البعض.

الآن بما أن (A ) مضغوط ، يجب أن يكون لهذا التسلسل تتابع متقارب ( left {x_ {m_ {k}} right } ، ) وهو إذن بالتأكيد كوشي (بواسطة النظرية 1 من الفصل 3 ، §17). ومع ذلك ، فإن هذا مستحيل ، لأن مصطلحاته تقع على مسافات ( geq varepsilon ) عن بعضها البعض ، على عكس التعريف 1 في الفصل 3 ، §17. هذا التناقض يكمل دليل على ذلك. (مربع)

ملاحظة 1. لقد أثبتنا بالفعل أكثر مما هو مطلوب ، أي أنه بغض النظر عن مدى صغر ( varepsilon> 0 ) ، يمكن تغطية (A ) بعدد محدود من الكرات الأرضية ( varepsilon ) مع وجود مراكز في (أ. ) هذه الخاصية تسمى الحدود الكلية (الفصل 3 ، الفقرة 13 ، المشكلة 4).

ملاحظة 2. وبالتالي يتم إغلاق جميع المجموعات المدمجة وتقييدها. فشل العكس في المساحات المترية بشكل عام (انظر المشكلة 2 أدناه). في (E ^ {n} left (^ {*} text {and} C ^ {n} right) ، ) ، والعكس صحيح أيضًا ، كما نوضح لاحقًا.

نظرية ( PageIndex {4} )

في (E ^ {n} left (^ {*} text {and} C ^ {n} right) ) تكون المجموعة مضغوطة إذا كانت مغلقة ومقيدة.

دليل - إثبات

في الواقع ، إذا كانت المجموعة (A subseteq E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) محدودة ، فحينئذٍ يتم تقييدها بنظرية Bolzano-Weierstrass ، كل تسلسل ( left {x_ {m} right } subseteq A ) له نتيجة متقاربة (x_ {m_ {k}} rightarrow p. ) إذا كان (A ) مغلقًا أيضًا ، فإن نقطة الحد (p ) يجب أن ينتمي إلى (A ) نفسه.

وبالتالي فإن كل تسلسل ( left {x_ {m} right } subseteq A ) في بعض مجموعات (p ) في (A ، ) لذلك (A ) مضغوط.

العكس واضح. (مربع)

ملاحظة 3. على وجه الخصوص ، كل كرة أرضية مغلقة في (E ^ {n} left (^ {*} text {or} C ^ {n} right) ) مضغوطة لأنها محدودة ومغلقة (الفصل 3 ، §12 ، مثال ((6)) ، ) لذلك تنطبق النظرية 4.

العكس واضح. (مربع)

نظرية ( PageIndex {5} )

(مبدأ كانتور للمجموعات المغلقة المتداخلة). كل تسلسل متعاقد لمجموعات مضغوطة غير باطلة

[F_ {1} supseteq F_ {2} supseteq cdots supseteq F_ {m} supseteq cdots ]

في مساحة مترية ((S ، rho) ) به تقاطع غير مفرط ؛ أي أن بعض (p ) ينتمي إلى الكل (F_ {m}. )

للمجموعات الكاملة (F_ {m}، ) هذا يحمل أيضًا ، بشرط أن تميل أقطار المجموعات (F_ {m} ) إلى (0: d F_ {m} rightarrow 0. )

دليل - إثبات

نثبت نظرية المجموعات الكاملة أولاً.

بصفتنا (F_ {m} neq emptyset ، ) يمكننا اختيار نقطة (x_ {m} ) من كل (F_ {m} ) للحصول على تسلسل ( left {x_ {m } right }، x_ {m} in F_ {m}. ) منذ (d F_ {m} rightarrow 0، ) من السهل رؤية ( left {x_ {m} right } ) هو تسلسل كوشي. (تُترك التفاصيل للقارئ).

[( forall m) quad x_ {m} in F_ {m} subseteq F_ {1}. ]

وبالتالي ( left {x_ {m} right } ) هو تسلسل كوشي في (F_ {1} ، ) مجموعة كاملة (بالافتراض).

لذلك ، من خلال تعريف الاكتمال (الفصل 3 ، §17) ، فإن ( left {x_ {m} right } ) له حد (p in F_ {1}. ) يظل هذا الحد هو نفس الشيء إذا أسقطنا عددًا محدودًا من المصطلحات ، على سبيل المثال ، أول (م -1 ) منها. ثم يتبقى لنا التسلسل (x_ {m} ، x_ {m + 1} ، ldots ، ) والذي ، حسب البناء ، موجود بالكامل في (F_ {m} ) (لماذا؟) ، مع نفس الحد P. ومع ذلك ، فإن اكتمال (F_ {m} ) يعني أن (p in F_ {m} ) أيضًا. نظرًا لأن (m ) تعسفي هنا ، فإنه يتبع ذلك (( forall m) p in F_ {m} ، ) أي ،

[p in bigcap_ {m = 1} ^ { infty} F_ {m} ، text {كما هو مطلوب.} ]

الدليل على المجموعات المدمجة مماثل وحتى أبسط. هنا ( left {x_ {m} right } ) لا يلزم أن يكون تسلسل كوشي. بدلاً من ذلك ، باستخدام ضغط (F_ {1}، ) نختار من ( left {x_ {m} right } ) التالي (x_ {m_ {k}} rightarrow p in F_ {1} ) ثم تابع على النحو الوارد أعلاه. (مربع)

ملاحظة 4. على وجه الخصوص ، في (E ^ {n} ) قد نسمح للمجموعات (F_ {m} ) بأن تكون فترات مغلقة (لأنها مضغوطة). ثم تعطي النظرية 5 مبدأ الفواصل المتداخلة: كل تسلسل تعاقد للفواصل الزمنية المغلقة في (E ^ {n} ) به تقاطع غير فارغ. (للحصول على دليل مستقل ، راجع المشكلة 8 أدناه.)


دليل على الاستمرارية الموحدة في المجموعات المدمجة

أظهر أن الدالة $ f: mathbb rightarrow mathbb$ K $ مستمر على مجموعة مضغوطة $ K $ مستمر بشكل منتظم على $ K $.

هل الدليل أدناه صحيح؟

دع $ epsilon & gt 0 $ ودع $ x in K $. لأن $ f $ مستمر على $ K $ يوجد $ delta (x) $ بحيث أنه كلما $ | y - x | & lt delta (x) $ يتبع ذلك $ | f (y) - f (x) | & lt إبسيلون / 3 دولار. فكر الآن في مجموعة المجموعات ،

حيث $ V _ < delta (x)> (x) $ هو الحي المفتوح $ (x - delta (x)، x + delta (x)) $. المجموعة $ mathcal_k $ يشكل غلافًا مفتوحًا بقيمة $ K $ ولأننا قد علمنا أن $ K $ مضغوط ، يوجد غلاف فرعي محدود بقيمة $ K $:

قبل أن نتمكن من العثور على الاختيار المناسب $ delta $ للمبلغ المعطى $ epsilon $ ، قد يكون ذلك $ K $ غير متصل مما قد يؤدي إلى حالة يوجد فيها $ x، y in K $ مثل وجود لم يتم احتواء أي فاصل زمني مفتوح بالكامل داخل $ K $ والذي يحتوي أيضًا على $ x $ و $ y $. سيسمح هذا باحتمال أن يكون $ x $ و $ y $ قريبين بشكل تعسفي من بعضهما البعض ومع ذلك يسمحان أيضًا بأن يكون $ | f (x) - f (y) | $ أكبر من القيمة القصوى التي نرغب فيها وهي $ epsilon $ . لمنع حدوث هذا الموقف ، حدد ،

الآن كلما $ | x - y | & lt delta_ epsilon $ يجب أن يكون هذا $ x in V _ < delta (x_n)> $ و $ y in V _ < delta (x_m)> $ لبعض $ m ، n in <1 ، ldots، N > $ ويجب أن يكون هناك $ l in <1، ldots، N > $ مثل ذلك ،

لنفترض أن $ a $ تكون نقطة في $ A $ و $ b $ تكون نقطة في $ B $. ثم يتبع الطريقة التي أنشأنا بها الغلاف المفتوح $ mathcal"_K $ ذلك ،

$ تبدأ | و (س) - و (ص) | & amp = | f (x) - f (a) + f (a) - f (b) + f (b) - f (y) | & amp leq | f (x) - f (a) | + | و (أ) - و (ب) | + | و (ب) - و (ص) | & amp & lt epsilon / 3 + epsilon / 3 + epsilon / 3 & amp & lt epsilon end $

نظرًا لأن $ delta_ epsilon $ مستقل عن $ x $ و $ y $ يمكننا أن نستنتج أن $ f $ مستمر بشكل موحد على $ K $.


3 إجابات 3

ذلك لأن كل غطاء مفتوح لمجموعة مضغوطة يمتلك غلافًا فرعيًا محدودًا. لمتابعة سؤالك ، أثبت ذلك أولاً في $ mathbb^ n $ ، يمكنك فصل نقطة ومجموعة مضغوطة:

دع $ C $ هو مجموعتنا المدمجة و $ x not in C $. بسبب $ mathbb^ n $ هو Hausdorff ، لكل نقطة $ c في C $ ، يمكنك العثور على مجموعات مفتوحة $ U_c $ و $ V_$ في $ mathbb^ n $ مثل هذا $ c في U_c $ ، $ x في V_$ و $ U_c cap V_= emptyset $.

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك الغطاء المفتوح $ $ C $. نظرًا لاكتناز $ C $ ، يمتلك هذا الغطاء المفتوح غطاء فرعيًا محدودًا. وبالتالي ، يمكننا إيجاد العدد الطبيعي $ k $ على هذا النحو

C $ مجموعة فرعية Bigcup limits_^ ك U_.$

لاحظ أن $ U_ غطاء V_<>> = emptyset $ لكل $ i $. الآن فكر في $ V = bigcap limits_^ ك V_<>> دولار. لاحظ أن $ bigcup limits_^ ك U_ cap V = emptyset $. وبالتالي ، يمكننا فصل مجموعة مضغوطة ونقطة (ليست في المجموعة المضغوطة) في $ mathbb^ n $ بالمجموعات المفتوحة.

الآن ، تعال إلى سؤالك:

لكل $ c in C_1 $ ضع في اعتبارك زوج من المجموعات المفتوحة $ U_c $ و $ V_c $ الذي يفصل بين $ c $ و $ C_2 $. في الواقع ، هذا ما تؤكده الحجج السابقة. الآن ، مرة أخرى ، انظر إلى الغطاء المفتوح

مقابل $ C_1 دولار. بسبب الاكتناز ، فإنه يمتلك طبقة فرعية محدودة. وبالتالي ، يمكننا إيجاد العدد الطبيعي $ k $ على هذا النحو

C_1 دولار مجموعة فرعية كبيرة حدود_^ ك U_.$

لاحظ أن $ U_ غطاء V_= emptyset $ لكل $ i $. الآن ، ضع في اعتبارك $ V = bigcap limits_^ ك V_$. لاحظ أن $ bigcup limits_^ ك U_ cap V = emptyset $. وبالتالي ، يمكننا فصل مجموعتين مضغوطتين منفصلتين في $ mathbb^ n $ بالمجموعات المفتوحة.

تعديل لاحظ أنه بصرف النظر عن خاصية Hausdorff $ mathbb^ n $ ، لم نستخدم أي شيء (حتى أفضل الخصائص) من $ mathbb^ ن $. وبالتالي ، هل يمكنك أن تخمن ، هل هذا صالح في أي فضاء متجه طوبولوجي من Hausdorff؟


الاكتناز

سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

الاكتناز، في الرياضيات ، خاصية بعض الفراغات الطوبولوجية (تعميم للفضاء الإقليدي) التي تستخدم بشكل رئيسي في دراسة الوظائف المحددة في مثل هذه المساحات. الغطاء المفتوح للمساحة (أو المجموعة) عبارة عن مجموعة من المجموعات المفتوحة التي تغطي المساحة بمعنى آخر.، كل نقطة من الفضاء موجودة في بعض أعضاء المجموعة. يتم تعريف المساحة على أنها مضغوطة إذا كان من الممكن اختيار عدد محدود من هذه المجموعات التي تغطي المساحة أيضًا من كل مجموعة من المجموعات المفتوحة.

كانت صياغة هذا المفهوم الطوبولوجي للاكتناز مدفوعة بنظرية Heine-Borel للفضاء الإقليدي ، والتي تنص على أن انضغاط المجموعة يعادل إغلاق المجموعة وتقييدها.

في المساحات الطوبولوجية العامة ، لا توجد مفاهيم المسافة أو الحدود ولكن هناك بعض النظريات المتعلقة بخاصية الإغلاق. في فضاء Hausdorff (بمعنى آخر.، مساحة طوبولوجية يمكن فيها وضع كل نقطتين في مجموعات مفتوحة غير متداخلة) يتم إغلاق كل مجموعة فرعية مدمجة ، وفي مساحة صغيرة تكون كل مجموعة فرعية مغلقة أيضًا مضغوطة. تحتوي المجموعات المدمجة أيضًا على خاصية Bolzano-Weierstrass ، مما يعني أنه لكل مجموعة فرعية لا نهائية هناك نقطة واحدة على الأقل تتراكم حولها النقاط الأخرى من المجموعة. في الفضاء الإقليدي ، يكون العكس صحيحًا أيضًا ، أي أن المجموعة التي تحتوي على خاصية Bolzano-Weierstrass مضغوطة.

تتميز الوظائف المستمرة في مجموعة مضغوطة بخصائص مهمة لامتلاك القيم القصوى والدنيا وتقريبها إلى أي دقة مرغوبة من خلال سلسلة متعددة الحدود المختارة بشكل صحيح أو سلسلة فورييه أو فئات أخرى مختلفة من الوظائف كما هو موضح في نظرية التقريب Stone-Weierstrass.


4.6: مجموعات مدمجة - رياضيات

وصف المحاضرة

محاضرة الفيديو هذه ، جزء من السلسلة تحليل حقيقي أنا مع البروفيسور سو بواسطة البروفيسور فرانسيس سو ، ليس لديه حاليًا وصف تفصيلي وعنوان محاضرة فيديو. إذا كنت قد شاهدت هذه المحاضرة وتعرف ما تدور حوله ، ولا سيما موضوعات الرياضيات التي تتم مناقشتها ، فيرجى مساعدتنا من خلال التعليق على هذا الفيديو مع اقتراحك وصف و لقب. شكرا جزيلا من ،

- فريق التعلم CosmoLearning

فهرس المقرر

  1. تكوين الأعداد النسبية
  2. خصائص ℚ
  3. بناء الريال
  4. الخاصية الأقل تقييدًا للأعلى
  5. ارقام مركبة
  6. مبدأ الاستقراء
  7. مجموعات معدودة وغير قابلة للعد
  8. قطرية كانتور والمسافات المترية
  9. نقاط الحد
  10. العلاقة بين المجموعات المفتوحة والمغلقة
  11. مجموعات مدمجة
  12. علاقة المجموعات المدمجة بالمجموعات المغلقة
  13. الترابط ونظرية هاين-بوريل
  14. مجموعات متصلة ، مجموعات كانتور
  15. تقارب المتواليات
  16. العواقب ، متواليات كوشي
  17. مساحات كاملة
  18. مسلسل
  19. متسلسلة ، اختبارات التقارب ، التقارب المطلق
  20. الوظائف - الحدود والاستمرارية
  21. وظائف مستمرة
  22. الاستمرارية الموحدة
  23. وظائف غير مستمرة
  24. نظرية المشتق ومتوسط ​​القيمة
  25. نظرية تايلور ، تسلسل الوظائف
  26. الأعداد الترتيبية والاستقراء العابر للحدود

وصف الدورة التدريبية

هذه الدورة عبارة عن تحليل دقيق للأرقام الحقيقية ، بالإضافة إلى مقدمة في الكتابة والتواصل الجيد للرياضيات. ستتضمن الموضوعات: بناء الأعداد الحقيقية ، الحقول ، الأرقام المركبة ، طوبولوجيا الحقائق ، الفراغات المترية ، المعالجة الدقيقة للتسلسلات والمتسلسلات ، وظائف الأعداد الحقيقية ، الاستمرارية ، الترابط ، الترابط ، التمايز ، نظرية القيمة المتوسطة ، مع مقدمة لتسلسل الوظائف.


40 كتاب للأطفال تعزز حب الرياضيات

توفر القصص القصيرة فرصة غنية ليس فقط لبناء مهارات القراءة والكتابة ، ولكن أيضًا فهم الرياضيات. يمكن للكتب التي تحتوي على مفاهيم الرياضيات المنسوجة في الصور وقصص القصة أن تعزز التفكير الرياضي للأطفال وتقدم مفاهيم الرياضيات الأساسية مثل الأرقام والأشكال والأنماط والقياس. إن طرح الأسئلة وإبداء الملاحظات حول الرياضيات الموجودة في الكتب المصورة يمكن أن يدعم فضول الأطفال وتمتعهم بالرياضيات.

مثل العديد من القطع الجذابة لأدب الأطفال ، تحتوي كتب الصور الرياضية الموصى بها أدناه على قصص ممتعة وممتعة. الكثير منها متجذر في مواضيع يحبها الأطفال (مثل الحيوانات والديناصورات والسحر والمحيطات والمزيد!).

فمثلا، الدجال والكونتبقلم كيث بيكر ، تدور أحداث الفيلم حول سبعة فراخ من البط تتجول وتنزلق وتطير في المستنقعات. طوال القصة المصورة الجميلة ، تشكل فراخ البط السبعة مجموعات مختلفة يمكن إضافتها وجعلها دائمًا سبع مجموعات. أثناء القراءة ، يمكن للأطفال استكشاف العد والجمع أثناء ممارستهم لعد مجموعة البط التي لا تكون دائمًا متتالية بدقة وفي الواقع قد يصعب رؤيتها - وهي مهمة صعبة ولكنها ممتعة.

أهم قاعدة يجب مراعاتها عند اختيار كتاب مصور للرياضيات وقراءته هي الاستمتاع بالقصص والاستمتاع بالأطفال الذين يستمتعون بالقصص! اقرأ كثيرًا ، ابتسم ، واضحك. تعرف على المزيد من النصائح لقراءة كتب الرياضيات المصورة مع الأطفال الصغار في هذا الدليل. إذا كنت معلمًا أو معلمًا معلمًا ، فابحث عن نصائح لاستخدام كتب الرياضيات المصورة في الفصل الدراسي.


4.6: مجموعات مدمجة - رياضيات

оличество зарегистрированных учащихся: 26 тыс.

تعتبر هذه الدورة جزءًا مهمًا من المرحلة الجامعية في التعليم لخبراء الاقتصاد المستقبليين. إنه مفيد أيضًا لطلاب الدراسات العليا الذين يرغبون في اكتساب المعرفة والمهارات في جزء مهم من الرياضيات. يمنح الطلاب مهارات لتنفيذ المعرفة الرياضية والخبرة لمشاكل الاقتصاد. متطلباته الأساسية هي معرفة حساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير وأسس الجبر الخطي بما في ذلك العمليات على المصفوفات والنظرية العامة لأنظمة المعادلات المتزامنة. قد تكون بعض المعرفة بالمساحات المتجهة مفيدة للطالب. تغطي الدورة العديد من حسابات التفاضل والتكامل المتغيرة ، سواء التحسين المقيد أو غير المقيد. تهدف الدورة إلى تعليم الطلاب إتقان مسائل الإحصاء المقارنة ، ومشكلات التحسين باستخدام الأدوات الرياضية المكتسبة. سيتم توفير الواجبات المنزلية على أساس أسبوعي. الهدف من الدورة هو اكتساب معرفة الطلاب في مجال الرياضيات وجعلهم مستعدين لتحليل المواقف الاقتصادية المحاكاة وكذلك الواقعية. يتعلم الطلاب كيفية استخدام الرياضيات وتطبيقها من خلال العمل بأمثلة وتمارين محددة. علاوة على ذلك ، تهدف هذه الدورة إلى إظهار ما يشكل دليلاً قوياً. يمكن تدريب وتحسين القدرة على تقديم البراهين وفي هذا الصدد تكون الدورة مفيدة. سيظهر أن الرياضيات لا تقتصر فقط على "وصفات كتب الطبخ". على العكس من ذلك ، فإن المعرفة العميقة بمفاهيم الرياضيات تساعد على فهم مواقف الحياة الحقيقية. هل لديك مشاكل فنية؟ اكتب إلينا: [email protected]

Рецензии

أساسيات نظرية المجموعات. وظائف في Rn

الأسبوع الأول من الدورة مكرس للمفاهيم الرئيسية لنظرية المجموعات ، العملية على المجموعات والوظائف في Rn. سيتم إيلاء اهتمام خاص منحنيات المستوى. قدم في هذا الأسبوع أيضًا تعريفات التسلسلات والمجموعات المحدودة والمضغوطة ومجال الوظيفة وحدودها. أيضًا بدءًا من هذا الأسبوع ، سيدرك الطلاب مفهوم الوظيفة المستمرة.

Реподаватели

كيريل بوكين

أستاذ مشارك ، مرشح للعلوم (فيزياء - رياضيات).

Екст видео

عندما ناقشنا المجموعات المفتوحة ، قدمت مثالًا لمجموعة مفتوحة. كان هذا هو الربع الأول. & # x27s مفتوحة ولكن & # x27s ليست مغلقة. لماذا هذا؟ لأنه يمكننا بسهولة إيجاد تسلسل. اسمحوا لي أن أرسم الصورة ، هكذا. & # x27s يقترب أكثر فأكثر من المحور الأفقي X1. فليكن تسلسلاً ، حيث يكون الإحداثي الأول واحدًا ، وهذا واحد. هنا ، لدينا واحد على م ، أليس كذلك؟ إذن ، ماذا عن الحد أو التسلسل؟ إذن ، كل العناصر أو المصطلحات أو التسلسل ، تنتمي إلى هذه المجموعة. ولكن نتيجة لذلك ، لدينا واحد ، صفر ، لكن هذه النقطة لا تنتمي إلى R ، R2 plus. لقد ناقشنا ، هذا مفتوح ولكنه & # x27s غير مغلق. بالمناسبة ، عندما ننظر إلى هذا التسلسل ، وجدنا بسهولة حدوده & # x27s لأننا اعتبرنا كل هذه الإحداثيات بشكل منفصل تسلسلات بحد ذاتها. إذن ، هذا التسلسل هو تسلسل متقارب حده صفر. هناك حقيقة عامة ، أنه عندما يكون لدينا تسلسل في فضاء ذي أبعاد n ، يكون حده صفر-. لذا ، إذا كان لدينا هذا ، فلكل إحداثي i ، يوجد الحد ويساوي i من إحداثيات النهاية ، وينطبق الشيء نفسه في الاتجاه المعاكس. لذلك ، عندما يكون كل تسلسل إحداثي متقارب وله بعض الحدود ، فإن التسلسل في Rn يكون أيضًا متقاربًا ، ويتكون حده من إحداثيات محدودة. الآن ، دع & # x27s نفكر في العمليات التي يمكن إجراؤها على المجموعات المغلقة. يمكن إثبات أنه عندما نتقاطع مع مجموعات مغلقة ، فإن ألفا هي مجموعة مغلقة. ألفا هو فهرس يتراوح ضمن مجموعة ما. التقاطع عبارة عن مجموعة مغلقة أيضًا. ماذا عن الاتحاد؟ يمكن إثبات أنه عندما نوحد عددًا محدودًا من المجموعات المغلقة ، هذه المرة ، تتراوح من مجموعة واحدة إلى مجموع P ، فهذه أيضًا مجموعة مغلقة. ولكن بنفس الطريقة التي رأيناها مع المجموعات المفتوحة ، عندما نحاول توحيد عدد لا نهائي من المجموعات ، لا نحصل بالضرورة على مجموعة مغلقة. مجموعات محدودة. سيتبع تعريف. تسمى المجموعة S من الفضاء ذي البعد n Rn بحدود إذا كانت هناك كرة نصف قطرها R تتمحور عند الصفر بحيث تنتمي S إلى هذه الكرة ، والتعريف النهائي ، مجموعة مضغوطة. المجموعة S من Rn المغلقة والمحدودة تسمى مضغوطة. اسمحوا لي أن أقدم بعض الأمثلة. الكرة المغلقة ، الكرة المغلقة هي كرة مضغوطة. كيف عرفنا ذلك؟ لأننا كنا نستخدم حرف B ، ولكن هذا كان للمجموعة المفتوحة الآن لدينا مجموعة مغلقة. الفرق هو أنه في تعريف الكرة المغلقة ، نستخدم عدم مساواة غير صارمة. لذا ، فأنا آخذ النقاط الحدودية أو هذه الكرة وأضيفها. هذه العملية تسمى الإغلاق. لذا ، & # x27ll أستخدم Cl ، وهو ما يعني الإغلاق. إغلاق الكرة المتمركزة عند x0 هي الكرة المغلقة ، وهذا هو التعريف. تلك & # x27s المسافة بين x والمركز. هنا ، عدم المساواة غير الصارمة. إذن ، هذا & # x27s تعريف الكرة المغلقة وأنا & # x27 م تشير إلى ذلك باستخدام Cl ، مما يعني الإغلاق. هذا مثال على مجموعة مضغوطة. بادئ ذي بدء ، تم إغلاقها ، ويمكن إثبات ذلك. أيضًا ، هي & # x27s محدودة ، لأنه يمكننا دائمًا العثور على كرة بنصف قطر أكبر يتضمن هذه الكرة. على خط الأعداد ، تكون المواثيق عادةً فترات مغلقة أو يمكن أن تكون اتحادًا لبعض الفواصل الزمنية المغلقة. توجد نظرية من حساب المتغير الفردي ، والمعروفة باسم مؤلفها ، نظرية Weierstrass التي تدعي أن الدالة المستمرة في فترة مغلقة تأخذ أكبر وأقل قيم لها ، وهذه نظرية مهمة للغاية تستخدم على نطاق واسع في حساب التفاضل والتكامل نفسه وتطبيقاته ، وسنرى لاحقًا أن هناك نظيرًا لهذه النظرية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. سننظر في الوظائف المستمرة في المواثيق. لذا فإن التناظرية للفاصل الزمني المغلق في الفضاء ذي البعد n هو مدمج.


ماذا يعني الانضغاط حقا؟

لا أعتقد أنني أمضيت وقتًا أطول مع تعريف رياضي أكثر مما قضيته مع الاكتناز. إنها خاصية رياضية مهمة تركتني في حيرة تامة في البداية.

هناك تعريفان للاكتناز. أحدهما هو التعريف الحقيقي ، والآخر هو & quotdefinition & quot وهو ما يعادله في بعض الإعدادات الشائعة ، مثل خط الأرقام والمستوى والمسافات الإقليدية الأخرى. (تسمى حقيقة أن التعريفين متكافئين نظرية Heine-Borel.)

التعريف الحقيقي للاكتناز هو أن الفضاء يكون مضغوطًا إذا كان كل غطاء مفتوح للفضاء يحتوي على غطاء فرعي محدود. لا أعرف عدد المرات التي كررت فيها هذا التعريف لنفسي في فصلي طوبولوجيا في المرحلة الجامعية ، وأتساءل عما إذا كانت تعويذاتي ستساعدني في النهاية على فهم ما كان عليه الاكتناز العالمي.

في نفس الوقت تقريبًا ، تعلمت التعريف العملي للاكتناز في المساحات الإقليدية: المجموعة مضغوطة إذا كانت مغلقة ومحدودة. المجموعة هي مغلق إذا كانت تحتوي على جميع النقاط المتطرفة بمعنى ما ، على سبيل المثال ، يتم إغلاق الدائرة المملوءة بما في ذلك الحد الخارجي ، بينما لا يتم إغلاق الدائرة المعبأة التي لا تتضمن & rsquot الحد الخارجي. المحصورة يشبه إلى حد ما ما يبدو عليه: النقاط الموجودة في مساحة محدودة تقع جميعها ضمن مسافة ثابتة من بعضها البعض.

لقد استغرق الأمر وقتًا طويلاً لربط هاتين الطريقتين للنظر في الاكتناز ، ولن أقوم بذلك في هذا المنشور. (إذا قمت & rsquore بأخذ مقدمة إلى فصل التحليل أو الطوبولوجيا ، فقد تكون لديك فرصة رائعة لتعلم نظرية Heine-Borel بنفسك. حسنًا!) لكنني سأفكر في التعريف الأول قليلاً. ان الغطاء مفتوحا عبارة عن مجموعة من المجموعات المفتوحة (اقرأ المزيد عن تلك الموجودة هنا) تغطي مساحة. مثال على ذلك هو مجموعة جميع الفواصل الزمنية المفتوحة ، والتي تغطي خط الرقم الحقيقي.

مجموعة من العديد من الفواصل الزمنية المفتوحة على خط الأعداد الحقيقي. الائتمان: إيفلين لامب

بالطبع ، تحتوي مجموعة كل الفترات المفتوحة في خط الأعداد على الكثير من الفواصل الزمنية! يسأل Compactness عما إذا كانت هناك طريقة لتقليص تلك المجموعة إلى عدد محدود من الفواصل مع استمرار تغطية خط الأرقام بالكامل. بمعنى ، هل يمكننا إيجاد عدد محدود من الفواصل الزمنية المفتوحة بحيث تكون كل نقطة على خط الأعداد في واحدة منها على الأقل؟ يمكننا القضاء على الكثير من الفواصل الزمنية وما زلنا نغطي السطر و mdash يمكننا ، على سبيل المثال ، السماح فقط بفواصل طول الوحدة التي كانت نقاط نهايتها عند الأعداد الصحيحة أو الأعداد الصحيحة ونصف و [مدش] ولكن لا يمكننا مطلقًا تقسيم مجموعتنا إلى عدد محدود من الفواصل وما زال يمتد على خط الأعداد بأكمله. إذا قمنا بتخفيضه إلى 100 وحدة فواصل زمنية ، على سبيل المثال ، يمكننا فقط تغطية 100 وحدة من الطول كحد أقصى على خط الأعداد اللانهائية ، وهذا & rsquos إذا لم تتداخل أي من الفواصل الزمنية! لذا فإن خط الأعداد ليس مضغوطًا لأننا وجدنا غطاءً مفتوحًا لا يحتوي على غلاف فرعي محدود.

لا يجب أن تكون المجموعة غير محدودة في الطول أو أن تكون المساحة غير مضغوطة. تشكل الفترة المغلقة والفاصل الزمني المفتوح دراسة حالة جيدة لكيفية التفكير في الاكتناز. للراحة ، قد ننظر أيضًا إلى الفترات (0،1) و [0،1]. (الأول هو جميع الأعداد الحقيقية بين 0 و 1 ولا تشمل نقاط النهاية ، والثاني هو جميع الأعداد الحقيقية بين 0 و 1 بما في ذلك 0 و 1.) الفاصل الزمني المفتوح (0،1) ليس مضغوطًا لأننا نستطيع بناء تغطية الفترة التي لا تحتوي على غلاف فرعي محدد. يمكننا القيام بذلك من خلال النظر في جميع الفواصل الزمنية بالشكل (1 / ن ، 1). تقع كل واحدة من هذه الفواصل الزمنية في نطاق (0،1) ، ويتم تجميع أي رقم في الفاصل الزمني (0،1) في فاصل واحد على الأقل من النموذج (1 / n ، 1). على سبيل المثال ، النقطة .0001 في الفاصل الزمني (1 / 10001،1) ، على الرغم من أنها & rsquos ليست في الفواصل الزمنية (1 / 2،1) ، (1 / 3،1) ، وهكذا حتى (1 / 10000،1). ولكن إذا أردنا تغطية الفترة الزمنية (0،1) بأكملها بمجموعة فرعية محدودة فقط ، فسوف نفشل. أي مجموعة فرعية محدودة سيكون لها أكبر فاصل زمني فيها ، سواء كانت & rsquos (1 / 10،1) أو (1 / 10000،1) أو (1 / Graham & rsquos number ، 1). على أي حال ، يمكننا العثور على أرقام بين 0 ونقطة النهاية اليسرى لأكبر فترة زمنية يتم تغطيتها من خلال مجموعتنا الفرعية المحدودة.

عندما نضيف نقطتي النهاية 0 و 1 ، يصبح الفاصل الزمني مضغوطًا. الآن لم يعد الغطاء المفتوح الغريب الذي نمتلكه يغطي الفاصل الزمني بأكمله لأن النقطتين 0 و 1 aren & rsquot أيًا من الفواصل الزمنية. من الصعب إظهار أننا لم نتمكن من طهي غطاء مفتوح مرضي مختلف ، لذلك عليك أن تأخذ كلامي الآن.

إظهار هذا الشيء يكون يمكن أن يكون الاتفاق أكثر تعقيدًا. لا يتطلب إثبات عدم التوافق سوى إنتاج مثال مضاد واحد ، بينما يتطلب إثبات الاكتناز إظهار أن كل غطاء مفتوح من الفضاء ، بغض النظر عن مدى غرابة بنائه ، له غطاء فرعي محدود. لكن في النهاية توصلت إلى فهم دقيق للاكتناز وكيف يتوافق كلا التعريفين معًا ، وعشت في سعادة دائمة.

الآن ، بعد سنوات من المصارعة معها لأول مرة ، توصلت إلى ما قد يصفه تيري تاو بأنه فهم ما بعد الصارم للاكتناز. المدمجة تعني صغيرة. إنه نوع غريب من الصغر ، لكن الاكتناز في جوهره هو طريقة دقيقة لتكون صغيرًا في عالم الرياضيات. الصغر أمر غريب لأنه ، كما في مثال الفترات المفتوحة والمغلقة (0،1) و [0،1] ، يمكن عمل مجموعة & ldquosmaller & rdquo (أي مضغوطة) بإضافة نقاط إليها ، ويمكن أن تكون صنع & ldquolarger & rdquo (غير مضغوط) عن طريق أخذ النقاط بعيدًا.

كمفهوم الصغر ، إذن ، فإن الاكتناز أمر محفوف بالمخاطر بعض الشيء. من المقلق بعض الشيء أن نقول إن المجموعة يمكن أن تكون & ldquosmaller & rdquo من المجموعة التي تقع بالكامل بداخلها! لكنني أعتقد أن الصغر هو وسيلة قيمة لرؤية الاكتناز. قد تكون المجموعة المدمجة كبيرة في المساحة ومعقدة ، لكن حقيقة أنها مضغوطة تعني أنه يمكننا التفاعل معها بطريقة محدودة باستخدام مجموعات مفتوحة ، اللبنات الأساسية للطوبولوجيا. (لمزيد من المعلومات حول المجموعات المفتوحة ، تحقق من رسالتي ، قم بتغيير مجموعاتك المفتوحة ، وغير حياتك.) هذا & rsquos نقطة الغلاف الفرعي المحدود في تعريف الاكتناز. هذه المجموعة المحدودة من المجموعات المفتوحة تجعل من الممكن حساب جميع النقاط في مجموعة بطريقة محدودة. يأتي ذلك ، على سبيل المثال ، في إثبات نظرية هاين-بوريل.

قبل أن أدرك أن الحجم الصغير يعني الصغير ، رأيت أن التعامل مع المجموعات المدمجة أسهل في كثير من الأحيان. تتميز الوظائف المستمرة المحددة في المجموعات المدمجة بسلوك أكثر تحكمًا من الوظائف الموجودة في المجموعات غير المدمجة. الأسطح المدمجة ثنائية الأبعاد لها نظرية تصنيف جيدة. يعتبر تصنيف الأسطح غير المضغوطة أكثر صعوبة وأقل إرضاءً. الأسطح المدمجة أكثر تقييدًا. يمكن للأشجار غير المضغوطة أن تخرج من يديك مثل فقاعات الأرز باللبن. تشبه تلك المضغوطة الجيلي: قد تتأرجح قليلاً ، لكن يمكنك التمسك بها إذا كنت لا تمانع في جعل يديك متسخة قليلاً.

يسمح الفهم اللاحق للاندماج للكلمة & quotcompact & quot بالدوران حول شيء يشبه الروبوت يتحدث إلى شيء يتماشى بشكل وثيق مع المعنى الإنجليزي للكلمة. لا أعرف تاريخ الاستخدام الرياضي لكلمة مضغوط ، لذلك لا أعرف مدى قصد ذلك. أحب أن أفكر في الأمر على أنه حادث مبهج للتقارب اللغوي الرياضي.

الآراء المعبر عنها هي آراء المؤلف (المؤلفين) وليست بالضرورة آراء Scientific American.


ببليوجرافي

آر آدمز ،مساحات سوبوليفمطبعة أكاديمية (1975).

J. P. Aubin ،Un théorème de compacité، سي آر أكاد. علوم ،256 (1963) ، ص 5042-5044.

بيرغ - جيه لوفستروم ،مسافات الاستيفاء، Springer Verlag (1976) ، ص. 223.

ن. بوربكي ،Fonctions d'une متغير réelle، الفصل. 1 à 3 ، قانون. علوم. إنديانا ، هيرمان ، باريس (1958).

ن. بوربكي ،اندماج، الفصل. 1 à 4 ، قانون. علوم. إنديانا ، هيرمان ، باريس (1965).

J. A. Dubinskii ،تقارب الكائنات في القطع الناقلة للقطع المكافئ غير الخطي، حصيرة. سبورنيك ،67، رقم. 109 (1965).

غريسفارد ،Commutativité deux foncteurs d'interpolation et applications، جورنال دي ماث. ،45 (1966) ، ص 19 - 290.

J. L. Lions ،المعادلات المختلفة opérationnelles et problèmes aux limitesسبرينغر (1961) ، ص. 111.

J. L. Lions ،Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires، دونود ، باريس (1969).

جي إل لايونز - إي ماجينز ،يحد Problèmes aux من التطبيقات غير المتجانسة والتطبيقات، المجلد. 1 وآخرون 2 ، دونود ، باريس (1968).

جي إل لايونز - إي ماجينز ،مشكلة الحد الأقصى غير omogenei ، III، أنالي سكولا نورم. رشفة. بيزا،15 (1961) ، ص 41-103.

جي إل لايونز - جي بيتر ،Sur une classe d'espace d'interpolation، إنست. Hautes Etudes.19، باريس (1964) ، ص.5-68.

نيكاس ،Les méthodes يوجه في théorie des équations elliptiques، ماسون (1967).

بيتر ،مساحات التداخل و Théorème de Sobolev، آن. إنست. فورييه16 (1966) ، ص 279-317.

شوارتز ،Théorie des التوزيعات، هيرمان ، بارسي (1951).

شوارتز ،توزيعات à valeur vectorielles ، I، أناليس إنست. فورييه7 (1957) ، الصفحات من 1 إلى 141.

ج. سايمون ،Ecoulement d'un fluide non homogène avec une densité initiale s'annulant, C. R. Acad. Sci. Paris,287 (1978), pp. 1009–1012.

J. Simon ,Remarques sur l'évoulement de fluides non homogènes, Publication du L.A. 189, Université Paris VI (1978).

J. Simon ,Fractional Sobolev theorem in one dimension, to appear, preprint of L.A. 189, Univ. Paris VI (1985).

R. Temam ,Navier-Stokes equations, North-Holland (1979).

E. Temam ,Navier-Stokes equations and nonlinear functional analysis, CMBS-NSF, Regional conference series in applied mathematics.

K. Yosida ,Functional Analysis, Springer (1965), p. 123.


محتويات

The following facts are required to construct a Fourier integral on a locally compact Abelian group . Any irreducible unitary representation of is one-dimensional and defines a continuous homomorphism from into the multiplicative group of complex numbers of modulus 1. Such a mapping is called a unitary character of . Let be the group of continuous characters of . Pontryagin's duality theorem states that the mapping

أين , , is a topological isomorphism of onto [2], [3], [4], [6]. The group is compact if and only if the group dual to it is discrete. The group of characters of the additive group of a non-discrete locally compact field is isomorphic to the group of characters of the group is isomorphic to the group of integers. لو is a closed subgroup of و is the set of مثل ذلك على ، ومن بعد is a closed subgroup of , , , and any unitary character of the subgroup can be extended to a unitary character of the group .

The Fourier integral on the group (or the Fourier transform on the group ) is the mapping under which a measure corresponds to the function على defined by the equation

The Fourier cotransform is the mapping defined by the equation

For الوظيفة is denoted by أو (or, correspondingly, ). The mappings و are monomorphisms (cf. Monomorphism) of إلى the image of under these mappings is the algebra of linear combinations of continuous positive-definite functions on . The generalized Bochner theorem applies [4], [6]: The function is a positive-definite function on if and only if is a positive measure, and then

أين is the unit of .

The topological space is canonically homeomorphic to the spectrum of the ring (i.e. to the space of maximal ideals of the algebra ). In fact, with a character is associated the corresponding character of the commutative algebra defined by the formula

the Fourier cotransform is identical on with the Gel'fand representation of the Banach algebra . The spectrum of is usually not homeomorphic to .

Let be the Haar measure on and let be the corresponding Hilbert space. The following Plancherel theorem [4], [16] is valid: If ، ومن بعد and, if the measures و are normalized in a certain way, then the mapping from the set إلى can be uniquely extended to a unitary operator from onto . This operator is known as the Fourier transform on . In such a case the measures و are called compatible. Let denote the linear subspace of generated by the functions of the form أين . The following Fourier inversion formula [4], [16] holds: If ، ومن بعد , and for all the equation

is valid, i.e. if is the canonical mapping of إلى ، ومن بعد للجميع . Let be the set of مثل ذلك . Then the restriction of ل is a one-to-one mapping of onto the inverse mapping is the restriction of ل . لو ، ومن بعد .

The classical Poisson summation formula is naturally interpreted in abstract harmonic analysis as follows. Let be a closed subgroup of the group . Let , , be the Haar measures on , و , respectively, normalized so that . Let be identified with and let be the Haar measure on compatible with . Finally, let and let the restriction of the continuous function ل be integrable with respect to . Then the function على will be integrable with respect to the measure for almost-all , and

This formula is known as the generalized Poisson summation formula.

An important intrinsic problem in abstract harmonic analysis is the study of the Banach algebras و from the point of view of the Fourier transform on . The algebra is completely symmetric. The equality is valid if and only if is discrete. لو is not discrete, contains non-symmetric maximal ideals. Let (respectively, ) be the set of Fourier transforms of elements of (respectively, ). و are function algebras on moreover, is a regular algebra, and if and only if for certain . The set of for which the support of the function is compact is a dense subset in .

The following results describe the functional properties of the Fourier transform on . Let be a function defined on , and let be non-discrete. Let act on , i.e. for any function with range in . will then be analytic on , and if is non-discrete, . Conversely, an analytic function على ( if is non-discrete) acts on . الوظيفة acts on if and only if is the restriction to of an entire real-analytic function. Let be defined on and let be an infinite discrete group. will act on if and only if and if is analytic in a certain neighbourhood of the origin (see [12], [13] for a detailed list of references).

A traditional problem in the theory of Banach algebras is the structure and the properties of closed subalgebras. The following results concern closed subalgebras of the algebra . Let be a Borel semi-group in a locally compact Abelian group and let be the maximal subalgebra in . will then be contained in a closed semi-group inducing an Archimedean order on . A commutative Banach algebra is called a Stone–Weierstrass algebra if any one of its symmetric subalgebras separating the points of the spectrum of the ring and not vanishing simultaneously at any point of is dense in . is a Stone–Weierstrass algebra if and only if is totally disconnected.

One field of modern research in abstract harmonic analysis is the theory of thin sets (cf. Thin set) in locally compact Abelian groups, which may be regarded as a generalization of special results of classical harmonic analysis (in particular, the theory of lacunary trigonometric series). Let be a locally compact Abelian group and let be its unit element. A set is called independent if, for any and integers , either أو . Any non-discrete locally compact Abelian group contains an independent set homeomorphic to a Cantor set. The independent sets include two important classes of sets, viz. Kronecker sets and -sets in a group. A set in a locally compact Abelian group is called a Kronecker set if for any continuous function على of modulus 1 and for any there exists a character مثل ذلك

A Kronecker set is independent and contains no elements of finite order. Let be the cyclic group of order and let be the direct product of a countably-infinite number of groups isomorphic to . A set in is called a -set if any continuous function ( is considered to be a group of roots of unity) coincides on with some unitary character of the group . -sets are independent. If in each neighbourhood of the unit element of a locally compact group there is an element of infinite order, contains a Kronecker set which is homeomorphic to a Cantor set. لو is a non-discrete locally compact Abelian group and if there exists a neighbourhood of the unit element without elements of infinite order, يحتوي على (for some ) as a closed subgroup any group contains a -set which is homeomorphic to a Cantor set.

In finite-dimensional metrizable locally compact Abelian groups an independent set is a totally-disconnected set. An infinite-dimensional torus contains a Kronecker set homeomorphic to a segment. A union of two Kronecker sets on the circle may prove to be an independent set that is not a Kronecker set. By adding one point to some Kronecker set on an infinite-dimensional torus it is possible to obtain an independent set that is not a Kronecker set. لو is a compact Kronecker set in و is a bounded measure concentrated on ، ومن بعد

Another important class of subsets of locally compact Abelian groups are Helson sets: Compact sets distinguished by the fact that every continuous function على is the restriction to of some element of the algebra . Any compact Kronecker set and any compact -set in are Helson sets. Not every compact subset of a locally compact Abelian group is a Helson set there exist independent Cantor sets that are not Helson sets. A compact subset will be a Helson set if and only if و are equivalent norms on the Banach space of bounded measures on . Let denote the set of all لأي منهم للجميع . is then a closed ideal in . The space dual to is isometric to the space consisting of all لأي منهم

for any . A compact set is a Helson set if and only if any function is almost-everywhere equal to the Fourier transform of some bounded measure concentrated on . لو is a Helson set in and if is a non-zero measure concentrated on ، ومن بعد does not tend to zero at infinity.

In the study of Fourier series on Abelian compact groups the concept of a Sidon set in discrete Abelian groups is very important. Let be a compact Abelian group and let be a subset of . A function is called an -function if للجميع . A linear combination of unitary characters on is called an -polynomial if هو -function. A set is called a Sidon set if there exists a constant مثل ذلك

for any -polynomial on . The following assertions are equivalent:

أ) is a Sidon set in

b) for any bounded -function السلسلة is convergent

c) for any continuous -function السلسلة is convergent

d) any bounded function على coincides with the restriction of some element ل

e) any function on which tends to zero at infinity coincides with the restriction of some function ل .

Any infinite set in contains an infinite Sidon set. Any independent subset in is a Sidon set.

Another field of abstract harmonic analysis, which at the time of writing is undergoing intensive development, is the theory of closed ideals in , in particular the theory of spectral synthesis. The problem of spectral synthesis may be posed in a general manner as follows. Let be a closed ideal in the problem is to clarify the conditions under which is the intersection of the maximal ideals in containing (it should be noted in this context that any maximal ideal in is regular, i.e. closed). One of the most important results of the theory of spectral synthesis is the Wiener Tauberian theorem: If is a closed ideal in , , then there exists a character مثل ذلك للجميع . This theorem may be regarded as a positive solution of the problem stated above for the case . If every closed ideal in is the intersection of the maximal ideals in which it is contained, one says that satisfies spectral synthesis. A compact group satisfies spectral synthesis. On the other hand, the following theorem [15] is valid: If the group is non-discrete, does not satisfy spectral synthesis. It follows that if is non-discrete, then the algebra has non-symmetric closed ideals.

Abstract harmonic analysis on compact groups may be regarded as part of the theory of representations of compact groups this theory is closely connected with the theory of almost-periodic functions on groups see also Bohr compactification and the reviews in [11], [4]. The problems of abstract harmonic analysis on an arbitrary locally compact topological group are much more complicated, in view of the insufficient development and complexity of the general theory of infinite-dimensional representations (cf. Infinite-dimensional representation) of a locally compact group. However, even in such a case the Fourier integral can be defined on a locally compact group [5] and it is possible to obtain analogues of the generalized Bochner theorem, the Plancherel formula and a number of other general theorems [8], [11].


Real and Rational Homotopy Theory

Edgar H. Brown Jr. , Robert H. Szczarba , in Handbook of Algebraic Topology , 1995

5 The main theorems in Δتيπ

Recall in section 1 we suggested that Theorem 1.8 , 1.23 , 1.25 , and 1.29 formed the foundations of rational homotopy theory. In this section we formulate the analogues of Theorems 1.19 , 1.25 and 1.29 , namely, Theorems 5.4 , 5.9 , and 5.6 respectively and prove them in this section and in section 6 . The analogue of Theorem 1.23 is immediate.

Let تي = (Δتيπ), A0أπ, and suppose that h : أ0 → Ω() induces an isomorphism on H*( V) for all VV. For example, one can take أ0 = Ω(). However, more economical choices can be made in some cases as we demonstrate later in this section. Let أ = أ0 أπ and define functors Ωπ: تيأ and Δπ : أتي as follows: If (X, f) ∈ تي، ومن بعد

If (A, g) ∈ أ، ومن بعد

Just as in the discussion preceding Theorem 1.13 , the identification (دبليو, (Y, Z)) = (ص, (W, Z)) in تي gives an adjoint isomorphism: η : (A, Ωπ(X)) ≈ (X, Δπ (أ)) for أأ و Xت. Furthermore, η gives mappings

In section 1 , we described the construction أ(V, λ). This construction, for أأπ, VV, λ : V * → أ ن+1 an equivariant map, and س replaced by ر is defined in exactly the same way with diagonal group actions on أ(V, λ) = أر(V, n).

DEFINITION 5.1

يفترض أ is FNF. The following provides an inductive procedure for dealing with π*(Δ(أ)), H * (Δ(أ)V), Postnikov systems for Δ(أ), F(A, B) and for showing that π*(F(A, B)) → π* F(Δ(ب), Δ(أ)) is an isomorphism. Recall that Δ ( A ) = F ( A ¯ R ) .

THEOREM 5.2

If A, Bأπ and VV, then the fibration F ( A ¯ ( V ¯ , λ ) , B ¯ ) → F ( A ¯ , B ¯ ) is a TCP,

The proof is exactly the same as the proof of Theorem 1.15 with the construction أ into Δ(أ) = F(أ ر) replaced by the construction أ إلى F(A, B).

COROLLARY 5.3

THEOREM 5.4

PROOF

LEMMA 5.5

PROOF

The proof of this lemma goes through exactly as in the proof of Lemma 1.19 using the splittability of ك(V, n).

THEOREM 5.6

If A, Bأ are FNF over A0, ومن بعد

is an isomorphism. In particular, in أ و تي, Δ* : [A, B] → [ΔπB, Δπأ] is an isomorphism. If in addition, Xتي is zero connected, then

is an isomorphism. Finally, if f : بC is a weak equivalence in أ, then the induced map

The proof of this theorem is given in section 6 .

DEFINITION 5.7

Let جي be a topological π module and let جي * = Hom(G, R) ∈ Vπ be the vector space of all continuous homomorphisms of جي إلى ر with the compact open topology. نحدد ال ر-completion G ^ of جي by G ^ = ( G * ) * .

THEOREM 5.8

If G is locally Euclidean, that is a finite sum of cyclic groups, copies of S 1 , and copies of R, then the inclusion G → G ^ induces an isomorphism

Furthermore, C * ( K ¯ ( G , n ) V ) و C * ( K ¯ ( G ^ , n ) V ) are splittable for all finite dimensional VV. (When ر = Q, the corresponding results are well known.)

PROOF

لو جي is finite, the result is trivial. لو جي = S 1 , then G ^ is trivial and H * (ك (G, n) V) by the Van Est Theorem ( [21] ). The cases جي = Z و جي = ر follow from Theorem 4.10 .

We next show that a large class of Xتي have minimal models.

THEOREM 5.9

Suppose Xتي has a nilpotent Postnikov system as in Definition 4.3 with Mن locally Euclidean for each n > 1. Then there is a minimal algebra A and a weak R-equivalence f : أ → Ωπ(X) in أ and hence a weak equivalence f ^ : X → Δ π ( A ) . Furthermore, if g : ب → Ωπ(X) is another such map, then there is a weak equivalence γ : أB such that gγ and f are homotopic.

PROOF

In section 3 , we defined ΔDGA mappings ψ : Ω → ج * (ر) and φ : ج * (ر) → Ω with ψφ = id and φψ homotopic to the identity via a homotopy γ. These mappings define, for any VVF,π homotopy equivalences in Δتيπ,

between φψ and the identity is defined as follows: For ω ∈ Zن (Ω), الخامسV و s ∈ Δ [1] ف, viewed as s : Δ [ q ] → Δ [ 1 ] , we set

Using induction on ن we construct a minimal أنأ and a weak equivalence Fن : أن → Ωπ(Xن) such that A n = A n − 1 ( M ^ n , l n + 1 ) for some ℓ ن+1 and Fن يمتد Fن−1. The mappings Fن then gives the desired map F. For ن = 0, take أ0 = أ0 و F0 = h : أ0 → Ω() = Ω(X0). يفترض Fن−1 has been constructed and let ρ : M n ⊂ M ^ n . The mapping

is a weak equivalence and hence there are elements

Let ℓ ن+1 = ℓ and A n = A n − 1 ( M ^ n , ℓ n + 1 ) . Viewing ℓ and ρك ن+1 as mappings, الخامس is a homotopy and φψ is homotopic to the identity. Thus the above equation gives a homotopy commutative diagram

where φ ¯ is induced by φ ⊗ id ( M ^ n ) . Since f ^ n − 1 is a weak equivalence and φ ¯ is a homotopy equivalence, the Serre spectral sequence implies that f ^ n − 1 lifts to a weak equivalence

By Theorem 5.6 , ρ induces a weak equivalence

over the identity map on Xن−1. Hence f ¯ ρ ¯ : X n → Δ ( A n ) has an adjoint Fن : أن → Ω(Xن) giving the desired mapping and completing the inductive step.

يفترض ز : ب → Ω(X) is another such map. The last part of Theorem 5.6 implies that F*: [B, A] → [B, Ω(X)] is an isomorphism and hence γ ∈ f * − 1 [ g ] gives the desired mapping.

COROLLARY 5.10

Suppose that × is a 0-connected, finite type Kan simplicial set with universal cover X ˜ and π1 (X) isomorphic to π. Then there is a minimal Aأ and a map g : X ˜ → Δ π ( A ) مثل ذلك

is an isomorphism for all VVF.

REMARK 5.11

If π is finite, we can strengthen the conclusion of Theorem 5.9 . يفترض أ و ب are minimal and γ : بأ is a weak equivalence. If we could show that

is an isomorphism, we could conclude that γ is an isomorphism by [1] , Proposition 7.6. Thus, when π is finite, ر[π] is finite dimensional and hence γ is an isomorphism.

The next two theorems give economical choices for أ0 when π is finite or infinite cyclic.

THEOREM 5.12

If π is finite, ر → Ω(Eπ) is a weak equivalence.

PROOF

أين م is the order of π. Then in the sequence

THEOREM 5.13

Let Z be the group of integers. Then there is a weak equivalence R[t, dt] → Ω(EZ) أين dim(ر) = 0 and Z acts on R[t, dt] by n*ر = ر + n, n * dt = dt.

PROOF

Embed EZ in Δ(ر), the singular complex of ر, by sending (ن0, …, نف) to the linear simplex sending the أنا-th vertex of Δف ل نأنار. Let Ω(ر) be the algebra ج ∞ differential forms on ر. We then have mappings

where η(ث)(تي) = تي * ث. One may verify by inspection that all of these maps except η are weak equivalences and one may verify that η* is an isomorphism by computing the groups H p (ر V), for ص = 0, 1.

We use cookies to help provide and enhance our service and tailor content and ads. By continuing you agree to the use of cookies .


شاهد الفيديو: الرياضيات. المجموعات والعمليات عليها التقاطع والاتحاد (شهر نوفمبر 2021).