مقالات

4.4: حدود لانهائية. العمليات في E *


كما لاحظنا ، لا تنطبق النظرية 1 من §3 على الحدود اللانهائية ، حتى لو بقيت قيم الدالة (f (x) ، g (x) ، h (x) ) محدودة (على سبيل المثال ، (في E ^ {1}). ) فقط في حالات معينة (مذكورة أدناه) يمكننا إثبات بعض النظائر.

هناك عدد غير قليل من هذه الحالات المنفصلة. وبالتالي ، للإيجاز ، يجب أن نعتمد نوعًا من الاختزال الرياضي. ليس بالضرورة أن يشير الحرف (q ) إلى ثابت ؛ سوف ترمز ل

[ text {"a function} f: A rightarrow E ^ {1}، A subseteq (S، rho)، text {like that} f (x) rightarrow q in E ^ {1} text {as} x rightarrow p. text {"} ]

وبالمثل ، فإن "0" و " ( pm infty )" سوف يرمزان للتعبيرات المماثلة ، مع استبدال (q ) ب 0 و ( pm infty، ) على التوالي.

على سبيل المثال ، تعني "الصيغة المختصرة" ((+ infty) + (+ infty) = + infty )

[ text {"مجموع وظيفتين حقيقيتين ، مع الحد} + infty text {at} p text {} (p in S) ، text {بحد ذاته دالة ذات حد} + infty نص {at} p. text {"} ]

تم إصلاح النقطة (p ) ، ربما ( pm infty left ( text {if} A subseteq E ^ {*} right). ) باستخدام هذا الترميز ، لدينا النظريات التالية.

نظريات

1. (( pm infty) + ( pm infty) = pm infty ).

2. (( pm infty) + q = q + ( pm infty) = pm infty ).

3. (( pm infty) cdot ( pm infty) = + infty ).

4. (( pm infty) cdot ( mp infty) = - infty ).

5. (| pm infty | = + infty ).

6. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = pm infty ) if (q> 0 ).

7. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = mp infty ) if (q <0 ).

8. (- ( pm infty) = mp infty ).

9. ( frac {( pm infty)} {q} = ( pm infty) cdot frac {1} {q} ) if (q neq 0 ).

10. ( frac {q} {( pm infty)} = 0 ).

11. ((+ infty) ^ {+ infty} = + infty ).

12. ((+ infty) ^ {- infty} = 0 ).

13. ((+ infty) ^ {q} = + infty ) إذا (q> 0 ).

14. ((+ infty) ^ {q} = 0 ) إذا (q <0 ).

15. إذا (q> 1، ) ثم (q ^ {+ infty} = + infty ) و (q ^ {- infty} = 0 ).

16. إذا كان (0

دليل - إثبات

نثبت النظريتين 1 و 2 ، ونترك الباقي كمشاكل. (من الأفضل تأجيل النظريات 11-16 حتى يتم تطوير نظرية اللوغاريتمات.)

1. دعونا (f (x) ) و (g (x) rightarrow + infty ) كـ (x rightarrow p. ) علينا إظهار ذلك

[f (x) + g (x) rightarrow + infty، ]

أي أن

[ left ( forall b in E ^ {1} right) ( موجود دلتا> 0) يسار ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b ]

(قد نفترض (b> 0). ) وبالتالي إصلاح (b> 0. ) كما (f (x) ) و (g (x) rightarrow + infty، ) هناك ( delta ^ { prime}، delta ^ { prime prime}> 0 ) هكذا

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right) f (x)> b text {and} left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime prime} right) right) g (x)> b. ]

دعونا ( delta = min left ( delta ^ { prime} ، delta ^ { prime prime} right). ) ثم

[ يسار ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b + b> b، ]

كما هو مطلوب؛ بالمثل في حالة (- infty ).

2. اسمح (f (x) rightarrow + infty ) و (g (x) rightarrow q in E ^ {1}. ) ثم هناك ( delta ^ { prime}> 0 ) مثل (x ) في (A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) ، | qg (x) | <1، ) بحيث يكون ( ز (خ)> ف -1 ).

أيضًا ، نظرًا لأي (b in E ^ {1}، ) يوجد ( delta ^ { prime prime} ) مثل

[ left ( forall x in A cap G _ {- p} left ( delta ^ { prime prime} right) quad f (x)> b-q + 1. ]

دعونا ( delta = min left ( delta ^ { prime} ، delta ^ { prime prime} right). ) ثم

[ يسار ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> (b-q + 1) + (q-1 ) = ب ، ]

كما هو مطلوب؛ وبالمثل في حالة (f (x) rightarrow- infty ).

حذر: لا توجد نظريات من هذا النوع للحالات التالية (والتي تسمى بالتالي تعابير غير محددة):

[(+ infty) + (- infty) ، quad ( pm infty) cdot 0 ، quad frac { pm infty} { pm infty} ، quad frac {0} {0} ، quad ( pm infty) ^ {0} ، quad 0 ^ {0} ، quad 1 ^ { pm infty}. ]

في هذه الحالات ، لا يكفي معرفة حدود (f ) و (g. ) فقط من الضروري التحقيق في الوظائف نفسها لإعطاء إجابة محددة ، لأنه في كل حالة قد تكون الإجابة مختلفة ، اعتمادًا على خصائص (f ) و (g. ) التعبيرات (1 *) تظل غير محددة حتى لو أخذنا في الاعتبار أبسط أنواع الوظائف ، وهي المتتاليات ، كما نوضح لاحقًا.

أمثلة

(أ) اسمحوا

[u_ {m} = 2 م نص {and} v_ {m} = - م. ]

(هذا يتوافق مع (f (x) = 2 x ) و (g (x) = - x.) ) ثم ، كما يُرى بسهولة ،

[u_ {m} rightarrow + infty، v_ {m} rightarrow- infty، text {and} u_ {m} + v_ {m} = 2 m-m = m rightarrow + infty. ]

ومع ذلك ، إذا أخذنا (x_ {m} = 2 m ) و (y_ {m} = - 2 m، ) إذن

[x_ {m} + y_ {m} = 2 م -2 م = 0 ؛ ]

وبالتالي (x_ {m} + y_ {m} ) ثابت ، مع حد 0 (لأن حد الدالة الثابتة يساوي قيمتها ؛ انظر الفقرة 1 ، مثال (أ)).

بعد ذلك ، دعنا

[u_ {m} = 2 م نص {and} z_ {m} = - 2 م + (- 1) ^ {m}. ]

ثم مرة أخرى

[u_ {m} rightarrow + infty text {and} z_ {m} rightarrow- infty، text {but} u_ {m} + z_ {m} = (- 1) ^ {m}؛ ]

(u_ {m} + z_ {m} ) "يتأرجح" من (- 1 ) إلى 1 كـ (m rightarrow + infty ، ) لذلك ليس له حد على الإطلاق.

توضح هذه الأمثلة أن ((+ infty) + (- infty) ) هو بالفعل تعبير غير محدد لأن الإجابة تعتمد على طبيعة الوظائف المعنية. لا توجد إجابة عامة ممكنة.

(ب) نوضح الآن أن (1 ^ {+ infty} ) غير محدد.

خذ أولاً ثابت ( left {x_ {m} right }، x_ {m} = 1، ) ودع (y_ {m} = m. ) ثم

[x_ {m} rightarrow 1، y_ {m} rightarrow + infty، text {and} x_ {m} ^ {y_ {m}} = 1 ^ {m} = 1 = x_ {m} rightarrow 1. ]

ومع ذلك ، إذا كان (x_ {m} = 1 + frac {1} {m} ) و (y_ {m} = m، ) ثم مرة أخرى (y_ {m} rightarrow + infty ) و (x_ {m} rightarrow 1 ) (بواسطة النظرية 10 أعلاه والنظرية 1 من الفصل 3 ، §15) ، ولكن

[x_ {m} ^ {y_ {m}} = left (1+ frac {1} {m} right) ^ {m} ]

لا تميل إلى (1 ؛ ) أنها تميل إلى (e> 2، ) كما هو موضح في الفصل 3 ، §15. وبالتالي تعتمد النتيجة مرة أخرى على ( left {x_ {m} right } ) و ( left {y_ {m} right }. )

بطريقة مماثلة ، يظهر المرء ذلك الحالات الأخرى (1 *) غير محددة.

ملاحظة 1. من المفيد غالبًا إدخال اصطلاحات "الاختزال" الإضافية. وبالتالي فإن الرمز ( infty ) (اللانهاية غير الموقعة) قد يشير إلى وظيفة (f ) مثل

[| f (x) | rightarrow + infty text {as} x rightarrow p؛ ]

نكتب بعد ذلك أيضًا (f (x) rightarrow infty. ) الرمز (0 ^ {+} ) (على التوالي ، (0 ^ {-}) ) يشير إلى وظيفة (f ) مثل الذي - التي

[f (x) rightarrow 0 text {as} x rightarrow p ]

و إضافة الى ذلك

[f (x)> 0 text {} (f (x) <0، text {على التوالي}) text {على بعض} G _ { neg p} ( delta). ]

ثم لدينا الصيغ الإضافية التالية:

(i) ( frac {( pm infty)} {0 ^ {+}} = pm infty، frac {( pm infty)} {0 ^ {-}} = mp infty ).

(ii) إذا (q> 0، ) ثم ( frac {q} {0 ^ {+}} = + infty ) و ( frac {q} {0 ^ {-}} = - إنفتي).

(3) ( frac { infty} {0} = infty ).

(4) ( frac {q} { infty} = 0 ).

يتم ترك دليل للقارئ.

ملاحظة 2. كل هذه الصيغ والنظريات لها حدود نسبية أيضًا.

حتى الآن ، لم نحدد أي عمليات حسابية في (E ^ {*}. ) لملء هذه الفجوة (جزئيًا على الأقل) ، من الآن فصاعدًا ، سنتعامل مع النظريات 1-16 أعلاه ليس فقط على أنها عبارات حد معينة (في "اختصار" ) ولكن أيضًا كتعريفات لعمليات معينة في (E ^ {*}. ) على سبيل المثال ، يجب معاملة الصيغة ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) على أنها تعريف لـ المجموع الفعلي لـ (+ infty ) و (+ infty ) في (E ^ {*} ، ) مع اعتبار (+ infty ) هذه المرة كعنصر (E ^ { *} ) (ليس كدالة). تحدد هذه الاتفاقية العمليات الحسابية لحالات معينة فقط ؛ غير محدد التعبيرات (1 *) تظل غير محددة ، ما لم نقرر منحها بعض المعاني.

في التحليل الأعلى ، ثبت بالفعل أنه من الملائم تعيين معنى لبعض منها على الأقل. سنعتمد هذه الاتفاقيات (التعسفية باعتراف الجميع):

( left { begin {array} {l} {( pm infty) + ( mp infty) = ( pm infty) - ( pm infty) = + infty؛ 0 ^ { 0} = 1 ؛} {0 cdot ( pm infty) = ( pm infty) cdot 0 = 0 text {(even if} 0 text {تعني المتجه الصفري}). } end {array} right. )

حذر: يجب ألا يتم التعامل مع هذه الصيغ على أنها نظريات حد (في "الاختصار"). مبالغ ومنتجات النموذج (2 *) وسوف يطلق "غير تقليدي."


من الطبيعي الآن أن نتساءل كيف تتصرف حدود التسلسلات فيما يتعلق بالعمليات. بهذا المعنى ، تعمل النهاية ببساطة قدر الإمكان عندما تكون المتواليات متقاربة.

تحتاج الخاصية الأخيرة إلى أن $ lim_ neq0 $.

تسمح لنا هذه الخصائص بحساب الحد من خلال حدود معروفة بالفعل. يتبين أن الاقتراح التالي لا يزال أكثر إفادة: حد حاصل ضرب تسلسل مقيد بآخر بحد صفر له حد صفر.

دعونا نرى مثالا على هذا الاقتراح.

نحن نأخذ في الاعتبار التسلسل $ a_n = (- 1) ^ n $ ، تذكر أن هذا التسلسل ليس له حد ولكنه محدود ، والتسلسل $ b_n = dfrac <1>$ ، والذي حده $ 0 $. وفقًا للاقتراح السابق ، فإن حاصل ضرب التسلسلين له حد قدره 0 دولار. وهذا يعني: $$ lim_>=0$$


قيود التسمية¶

منذ أسماء قواعد البيانات هي حالة غير حساس في MongoDB ، لا يمكن أن تختلف أسماء قواعد البيانات فقط في حالة الأحرف.

القيود المفروضة على أسماء قواعد البيانات لنظام التشغيل Windows¶

بالنسبة لعمليات نشر MongoDB التي تعمل على Windows ، لا يمكن أن تحتوي أسماء قواعد البيانات على أي من الأحرف التالية:

أيضا لا يمكن أن تحتوي أسماء قواعد البيانات على حرف فارغ.

القيود على أسماء قواعد البيانات لأنظمة Unix و Linux Linux

بالنسبة لعمليات نشر MongoDB التي تعمل على أنظمة Unix و Linux ، لا يمكن أن تحتوي أسماء قواعد البيانات على أي من الأحرف التالية:

أيضا لا يمكن أن تحتوي أسماء قواعد البيانات على حرف فارغ.

لا يمكن أن تكون أسماء قواعد البيانات فارغة ويجب أن تحتوي على أقل من 64 حرفًا.

القيود على أسماء المجموعات Collection

يجب أن تبدأ أسماء المجموعات بشرطة سفلية أو حرف حرف ، و لا تستطيع:

  • تحتوي على $.
  • أن تكون سلسلة فارغة (مثل & quot & quot).
  • تحتوي على الحرف الفارغ.
  • ابدأ بالنظام. اختصار. (محجوز للاستخدام الداخلي.)

إذا كان اسم مجموعتك يتضمن أحرفًا خاصة ، مثل حرف الشرطة السفلية ، أو يبدأ بأرقام ، فعندئذٍ للوصول إلى المجموعة ، استخدم طريقة db.getCollection () في mongo shell أو طريقة مشابهة لبرنامج التشغيل الخاص بك.

  • بالنسبة إلى featureCompatibilityVersion المعينة على & quot4.4 & quot أو أكبر ، ترفع MongoDB الحد الأقصى لمساحة اسم المجموعة / العرض إلى 255 بايت. بالنسبة إلى مجموعة أو طريقة عرض ، تتضمن مساحة الاسم اسم قاعدة البيانات ، وفاصل النقطة (.) ، واسم المجموعة / العرض (على سبيل المثال & ltdatabase & gt. & ltcollection & gt) ،
  • بالنسبة إلى featureCompatibilityVersion المعينة على & quot4.2 & quot أو أقدم ، يظل الحد الأقصى لطول مساحة اسم المجموعة / العرض 120 بايت.

أسماء حقول المستوى الأعلى لا تستطيع ابدأ بحرف علامة الدولار ($).

بخلاف ذلك ، بدءًا من MongoDB 3.6 ، يسمح الخادم بتخزين أسماء الحقول التي تحتوي على نقاط (على سبيل المثال) وعلامات الدولار (مثل $).

لا يمكن للغة MongoDB Query دائمًا التعبير بشكل هادف عن الاستعلامات على المستندات التي تحتوي أسماء الحقول على هذه الأحرف (راجع SERVER-30575).

حتى يتم إضافة الدعم بلغة الاستعلام ، يتم استخدام $ و. في أسماء الحقول غير موصى بها ولا تدعمها برامج تشغيل MongoDB الرسمية.

لغة استعلام MongoDB غير معرَّفة على المستندات ذات أسماء الحقول المكررة. قد يدعم منشئو BSON إنشاء مستند BSON بأسماء حقول مكررة. في حين أن منشئ BSON قد لا يتسبب في حدوث خطأ ، فإن إدخال هذه المستندات في MongoDB غير مدعوم حتى لو نجح الإدخال. على سبيل المثال ، قد يؤدي إدراج مستند BSON بأسماء حقول مكررة من خلال برنامج تشغيل MongoDB إلى قيام السائق بإسقاط القيم المكررة بصمت قبل الإدراج.


حدود لانهائية في ما لا نهاية

في بعض الأحيان قيم الدالة تصبح كبيرة بشكل تعسفي (أو مثل في هذه الحالة نكتب (أو من ناحية أخرى ، إذا كانت قيم سلبية ولكنها تصبح كبيرة بشكل تعسفي من حيث الحجم (أو مثل نحن نكتب (أو

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة كما هو موضح في (الشكل) و (الشكل) ، مثل القيم تصبح كبيرة بشكل تعسفي. وبالتالي، من ناحية أخرى ، كما قيم سلبية ولكنها تصبح كبيرة بشكل تعسفي. بالتالي،

قيم دالة القوة مثل
10 20 50 100 1000
1000 8000 125,000 1,000,000 1,000,000,000
-10 -20 -50 -100 -1000
-1000 -8000 -125,000 -1,000,000 -1,000,000,000

الشكل 8. بالنسبة لهذه الوظيفة ، تقترب القيم الوظيفية من اللانهاية

تعريف

(غير رسمي) نقول وظيفة له حد لانهائي في الكتابة

لو يصبح كبيرًا بشكل تعسفي لـ كبيرة بما فيه الكفاية. نقول أن للدالة حد سالب لانهائي عند ما لا نهاية ونكتبها

لو و يصبح كبيرًا بشكل تعسفي لـ كبيرة بما فيه الكفاية. وبالمثل ، يمكننا تعريف الحدود اللانهائية على أنها


حدود حاسبة اللانهاية

مثال

مشاكل محلولة

مشاكل صعبة

مثال محلول من حدود إلى ما لا نهاية

عندما ينتقل المتغير إلى ما لا نهاية ، فإن التعبير $ 2x ^ 3-2x ^ 2 + x-3 $ سيتصرف بنفس الطريقة التي تتصرف بها أكبر قوة

عندما ينتقل المتغير إلى ما لا نهاية ، فإن التعبير $ x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 1 $ سيتصرف بنفس الطريقة التي تتصرف بها أكبر قوة

أدخل القيمة $ infty $ في الحد

ما لا نهاية للقوة لأي رقم موجب يساوي اللانهاية ، لذا $ infty ^ 3 = infty $

أي تعبير مضروب في ما لا نهاية يميل إلى اللانهاية

ما لا نهاية للقوة لأي رقم موجب يساوي اللانهاية ، لذا $ infty ^ 3 = infty $

إذا قمنا بتقييم الحد مباشرة $ lim_ يسار ( frac <2x ^ 3-2x ^ 2 + x-3> right) مثل $ x $ يميل إلى $ infty $ ، يمكننا أن نرى أنه يعطينا صيغة غير محددة

يمكننا حل هذا الحد من خلال تطبيق قاعدة L'Hôpital ، والتي تتكون من حساب مشتق كل من البسط والمقام بشكل منفصل


تفاصيل رمز الخطأ 5.1.0

قد تحتوي NDR من Exchange Online لهذا الخطأ المحدد على بعض أو كل المعلومات التالية:

قسم معلومات المستخدم

  • حاول الخادم تسليم هذه الرسالة ولكن دون جدوى وتوقف عن المحاولة. حاول إرسال هذه الرسالة مرة أخرى. إذا استمرت المشكلة ، فاتصل بمكتب المساعدة الخاص بك.

معلومات تشخيصية لقسم المسؤولين

# 550 4.4.7 QUEUE. انتهت صلاحية الرسالة ##

اعتبر نظام الرفض الرسالة قديمة جدًا ، إما لأنها بقيت على هذا المضيف لفترة طويلة جدًا أو بسبب تجاوز قيمة مدة البقاء التي حددها مرسل الرسالة.

450 4.7.0 فشل إعداد جلسة الوكيل على الواجهة الأمامية مع '451 4.4.0 عنوان IP الهدف الأساسي الذي تم الرد عليه بـ. تأكد من تسجيل الخطأ الذي يلي هذه السلسلة ونقطة النهاية الأخيرة التي تمت محاولتها.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف لمعلمي Varsity.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


محتويات

يشتهر الفيلسوف اليوناني Zeno of Elea بصياغة المفارقات التي تنطوي على عمليات محدودة.

طور Leucippus و Democritus و Antiphon و Eudoxus و Archimedes طريقة الإرهاق ، والتي تستخدم تسلسلًا لانهائيًا من التقريبات لتحديد منطقة أو حجم. نجح أرخميدس في تلخيص ما يسمى الآن بالمتسلسلة الهندسية.

تعامل نيوتن مع المسلسلات في أعماله تحليل مع سلسلة لانهائية (مكتوب عام 1669 ، متداول بمخطوطة ، نُشر عام 1711) ، طريقة التدفقات والسلسلة اللانهائية (كتب عام 1671 ، نُشر بالترجمة الإنجليزية عام 1736 ، نُشر النص الأصلي اللاتيني بعد ذلك بكثير) و Tractatus de Quadratura Curvarum (كتب عام 1693 ، نُشر عام 1704 كملحق له البصريات). في العمل الأخير ، اعتبر نيوتن التوسع ذي الحدين لـ (x + ا) ن ، والذي يخطيه بعد ذلك أخذ الحد كما ا يميل إلى 0.

في القرن الثامن عشر ، نجح علماء الرياضيات مثل أويلر في تلخيص بعضها متشعب بالتوقف في الوقت المناسب ، لم يهتموا كثيرًا بوجود حد ، طالما أنه يمكن حسابه. في نهاية القرن ، لاغرانج في بلده Théorie des fonctions analytiques (1797) رأى أن الافتقار إلى الدقة حالت دون مزيد من التطوير في حساب التفاضل والتكامل. قام Gauss في كتابه من سلسلة hypergeometric (1813) لأول مرة بالتحقيق بدقة في الظروف التي تقاربت فيها سلسلة إلى الحد الأقصى.

التعريف الحديث للحد (لأي ε يوجد فهرس ن لهذا السبب . ) قدمه برنارد بولزانو (دير binomische Lehrsatz، براغ 1816 ، والتي لم تتم ملاحظتها إلا قليلاً في ذلك الوقت) ، وكارل ويرستراس في سبعينيات القرن التاسع عشر.


القابلية للحساب على القيم الحقيقية ، والحدود اللانهائية والمعادلات التفاضلية

ندرس فئة معدودة من الوظائف ذات القيمة الحقيقية المحددة استقرائيًا من مجموعة أساسية من الوظائف التافهة من خلال التركيب ، وحل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى واتخاذ حدود غير محدودة. هذه الفئة هي النظير التحليلي للوظائف العودية الجزئية لكلين. من خلال حساب عدد الحدود المتداخلة المطلوبة لتعريف دالة ، يمكن تقسيم هذه الفئة إلى طبقات من خلال تسلسل هرمي غير محدود - تسلسل هرمي من الحدود اللانهائية. في المستوى الأول ذي المعنى من التسلسل الهرمي ، لدينا امتدادات الوظائف العودية البدائية الكلاسيكية. في المستوى التالي ، نجد الدوال الجزئية العودية ، وفي المستوى التالي نجد الحل لمسألة التوقف.

نحن نستخدم طرقًا من التحليل العددي لإظهار أن التسلسل الهرمي لا ينهار ، مستنتجًا أن اتخاذ الحدود اللانهائية يمكن أن ينتج دائمًا وظائف جديدة من وظائف في المستويات السابقة من التسلسل الهرمي.


هذا ليس "إثباتًا" بالضبط ، ولكن فقط لإعطائك فكرة: دع $ f (x) = e ^ x $. ثم $ f '(x) = e ^ x $ ومن ثم $ f ^ <(n)> (x) = e ^ x $ مقابل $ n = 1،2،3، ldots $. إذن $ f ^ <(n)> (0) = 1 $ لكل $ n $. ثم سلسلة Taylor لـ $ e ^ x $ المتمركزة عند الصفر هي

بالتعويض بالدولار x = 1 دولار نرى أن $ e = sum_^ infty frac1$.

إذا قمت بتوسيع $ left (1+ frac1n right) ^ n $ ، ستحصل على $ tag1 sum_^ ن frac1= sum_^ n فارك<(n-k)! n ^ k> cdot frac1$ العامل $ frac$ هو $ le 1 $ (المقام هو البسط مع زيادة بعض العوامل $ n-i $ إلى $ n $) ، ومن ثم يكون التعبير في $ (1) $ دائمًا lt sum_^ infty frac1$ ، ومن هنا $ mathrm e le sum_^ infty frac1$.

من ناحية أخرى ، بالنسبة لأي $ k $ ، لدينا $ frac<(n-k)! n ^ k> to1 $ كـ $ n to infty $. ومن ثم بالنسبة لأي $ epsilon & gt0 $ وأي $ m in mathbb N $ ، يمكننا اختيار $ n $ كبيرة جدًا بحيث أن أول $ m $ مجموع في $ (1) $ يتجاوز $ sum_^ م فارك <1- إبسيلون>$. نظرًا لأن جميع عمليات التلخيص موجبة ، فإننا نستنتج أن $ left (1+ frac1n right) ^ n & gt (1- epsilon) sum_^ م frac1 $ ، ومن هنا $ (1- epsilon) sum_^ infty frac1 le mathrm e $ للجميع $ epsilon & gt0 $.


4.4: حدود لانهائية. العمليات في E *

يصف هذا القسم خوارزمية All Pairs Shortest Path في مكتبة خوارزميات الرسم البياني لـ Neo4j Labs.

هذه وثائق خاصة بمكتبة خوارزميات الرسم البياني ، والتي تم إهمالها من قبل مكتبة علوم بيانات الرسم البياني (GDS).

يحسب أقصر مسار لجميع الأزواج (APSP) أقصر مسار (مرجح) بين جميع أزواج العقد. تحتوي هذه الخوارزمية على تحسينات تجعلها أسرع من استدعاء خوارزمية Single Source Shortest Path لكل زوج من العقد في الرسم البياني.

تم تطوير خوارزمية All Pairs Shortest Path بواسطة فريق Neo4j Labs وهي غير مدعومة رسميًا.

9.4.4.1. التاريخ والتفسير

قد لا يمكن الوصول إلى بعض أزواج العقد فيما بينها ، لذلك لا يوجد أقصر مسار بين هذه الأزواج. في هذا السيناريو ، ستعيد الخوارزمية قيمة Infinity كنتيجة بين أزواج العقد هذه.

لا يدعم cypher العادي تصفية قيم Infinity ، لذلك تمت إضافة وظيفة algo.isFinite للمساعدة في تصفية قيم Infinity من النتائج.

9.4.4.2. حالات الاستخدام - متى يتم استخدام خوارزمية أقصر مسار لجميع الأزواج

  • تُستخدم خوارزمية All Pairs Shortest Path في مشاكل نظام الخدمة الحضرية ، مثل موقع المرافق الحضرية أو توزيع البضائع أو تسليمها. أحد الأمثلة على ذلك هو تحديد الحمل المروري المتوقع على أجزاء مختلفة من شبكة النقل. لمزيد من المعلومات ، راجع بحوث العمليات الحضرية.
  • يتم استخدام أقصر مسار لجميع الأزواج كجزء من خوارزمية تصميم مركز بيانات REWIRE التي تعثر على شبكة ذات عرض نطاق ترددي أقصى وأقل زمن انتقال. هناك المزيد من التفاصيل حول هذا النهج في "REWIRE: إطار عمل قائم على التحسين لتصميم شبكة مركز البيانات"

9.4.4.3. عينة خوارزمية أقصر مسار لجميع الأزواج

سينشئ ما يلي نموذجًا للرسم البياني:

ما يلي سيتم تشغيل الخوارزمية ونتائج البث:

قام هذا الاستعلام بإرجاع أفضل 10 أزواج من العقد التي هي الأبعد عن بعضها البعض. يبدو أن F و E بعيدان تمامًا عن الآخرين.

في الوقت الحالي ، يدعم أقصر مسار أحادي المصدر فقط تحميل العلاقة على أنها غير موجهة ، ولكن يمكننا استخدام تحميل Cypher لمساعدتنا في حل هذه المشكلة. يمكن تمثيل الرسم البياني غير الموجه على أنه رسم بياني ثنائي الاتجاه ، وهو رسم بياني موجه يكون عكس كل علاقة فيه أيضًا علاقة.

لا يتعين علينا حفظ هذه العلاقة المعكوسة ، يمكننا تصورها باستخدام تحميل سايفر . لاحظ أن استعلام العلاقة لا يحدد اتجاه العلاقة. هذا ينطبق على جميع الخوارزميات الأخرى التي تستخدم تحميل Cypher.

سيقوم ما يلي بتشغيل الخوارزمية ، والتعامل مع الرسم البياني على أنه غير موجه:

9.4.4.4. إسقاط رسم بياني ضخم

يحتوي التصنيف الافتراضي وإسقاط نوع العلاقة على حدود تبلغ 2 مليار عقدة و 2 مليار علاقة. لذلك ، إذا كان الرسم البياني المسقط يحتوي على أكثر من ملياري عقدة أو علاقات ، فسنحتاج إلى استخدام إسقاط بياني ضخم.


شاهد الفيديو: 4- جبر: المتسلسلات الحسابية مجموع المتتابعة الحسابية الصف الثانى الثانوى علمى وادبى (ديسمبر 2021).