مقالات

16.E: مراجعة التمارين 2


تمارين مراجعة الفصل

حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي

تمرين ( PageIndex {1} ) حل المعادلات التربيعية للنموذج (ax ^ {2} = k ) باستخدام خاصية الجذر التربيعي

في التدريبات التالية ، قم بحل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

  1. (ص ^ {2} = 144 )
  2. (n ^ {2} -80 = 0 )
  3. (4 أ ^ {2} = 100 )
  4. (2 ب ^ {2} = 72 )
  5. (r ^ {2} + 32 = 0 )
  6. (t ^ {2} + 18 = 0 )
  7. ( frac {2} {3} w ^ {2} -20 = 30 )
  8. (5 ج ^ {2} + 3 = 19 )
إجابه

1. (ص = م 12 )

3. (أ = مساء 5 )

5. (r = pm 4 sqrt {2} i )

7. (w = pm 5 sqrt {3} )

تمرين ( PageIndex {2} ) حل المعادلات التربيعية للصيغة (a (x-h) ^ {2} = k ) باستخدام خاصية الجذر التربيعي

في التدريبات التالية ، قم بحل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

  1. ((ف -5) ^ {2} + 3 = 19 )
  2. ((u + 1) ^ {2} = 45 )
  3. ( left (x- frac {1} {4} right) ^ {2} = frac {3} {16} )
  4. ( left (y- frac {2} {3} right) ^ {2} = frac {2} {9} )
  5. ((n-4) ^ {2} -50 = 150 )
  6. ((4 ج -1) ^ {2} = - 18 )
  7. (n ^ {2} +10 n + 25 = 12 )
  8. (64 أ ^ {2} +48 أ + 9 = 81 )
إجابه

1. (ع = -1،9 )

3. (x = frac {1} {4} pm frac { sqrt {3}} {4} )

5. (n = 4 pm 10 sqrt {2} )

7. (n = -5 pm 2 sqrt {3} )

حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

تمرين ( PageIndex {3} ) حل المعادلات التربيعية باستخدام إكمال المربع

في التدريبات التالية ، أكمل المربع لتحصل على مربع كامل ثلاثي الحدود. ثم اكتب النتيجة في شكل مربع ذي الحدين.

  1. (س ^ {2} +22 س )
  2. (م ^ {2} -8 م )
  3. (أ ^ {2} -3 أ )
  4. (ب ^ {2} +13 ب )
إجابه

1. ((س + 11) ^ {2} )

3. ( left (a- frac {3} {2} right) ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {4} ) حل المعادلات التربيعية باستخدام إكمال المربع

في التدريبات التالية ، قم بحلها بإكمال المربع.

  1. (د ^ {2} +14 د = -13 )
  2. (ص ^ {2} -6 ص = 36 )
  3. (م ^ {2} +6 م = -109 )
  4. (t ^ {2} -12 t = -40 )
  5. (v ^ {2} -14 v = -31 )
  6. (عرض ^ {2} -20 عرض = 100 )
  7. (م ^ {2} +10 م -4 = -13 )
  8. (n ^ {2} -6 n + 11 = 34 )
  9. (أ ^ {2} = 3 أ + 8 )
  10. (ب ^ {2} = 11 ب -5 )
  11. ((ش + 8) (ش + 4) = 14 )
  12. ((ض -10) (ض + 2) = 28 )
إجابه

1. (د = -13 ، -1 )

3. (م = -3 م 10 ط )

5. (v = 7 pm 3 sqrt {2} )

7. (م = -9 ، -1 )

9. (a = frac {3} {2} pm frac { sqrt {41}} {2} )

11. (u = -6 pm 2 sqrt {2} )

حل المعادلات التربيعية بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

تمرين ( PageIndex {5} ) حل المعادلات التربيعية للصيغة (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) بإكمال المربع

في التدريبات التالية ، قم بحلها بإكمال المربع.

  1. (3 ص ^ {2} -18 ص + 15 = 15 )
  2. (5 ف ^ {2} +70 ف + 20 = 0 )
  3. (4 س ^ {2} -6 ص = 4 )
  4. (2 × ^ {2} +2 × = 4 )
  5. (3 ج ^ {2} +2 ج = 9 )
  6. (4 د ^ {2} -2 د = 8 )
  7. (2 × ^ {2} +6 × = -5 )
  8. (2 × ^ {2} +4 × = -5 )
إجابه

1. (ع = 0،6 )

3. (y = - frac {1} {2}، 2 )

5. (c = - frac {1} {3} pm frac {2 sqrt {7}} {3} )

7. (x = frac {3} {2} pm frac {1} {2} i )

تمرين ( PageIndex {6} ) حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية

في التمارين التالية ، حل باستخدام الصيغة التربيعية.

  1. (4 × ^ {2} -5 × + 1 = 0 )
  2. (7 ص ^ {2} +4 ص -3 = 0 )
  3. (r ^ {2} -r-42 = 0 )
  4. (t ^ {2} +13 t + 22 = 0 )
  5. (4 ت ^ {2} + v-5 = 0 )
  6. (2 عرض ^ {2} +9 عرض + 2 = 0 )
  7. (3 م ^ {2} +8 م + 2 = 0 )
  8. (5 n ^ {2} +2 n-1 = 0 )
  9. (6 أ ^ {2} -5 أ + 2 = 0 )
  10. (4 ب ^ {2} -b + 8 = 0 )
  11. (u (u-10) + 3 = 0 )
  12. (5 ض (ض -2) = 3 )
  13. ( frac {1} {8} p ^ {2} - frac {1} {5} p = - frac {1} {20} )
  14. ( frac {2} {5} q ^ {2} + frac {3} {10} q = frac {1} {10} )
  15. (4 ج ^ {2} +4 ج + 1 = 0 )
  16. (9 د ^ {2} -12 د = -4 )
إجابه

1. (س = فارك {1} {4} ، 1 )

3. (ص = -6،7 )

5. (v = frac {-1 pm sqrt {21}} {8} )

7. (m = frac {-4 pm sqrt {10}} {3} )

9. (a = frac {5} {12} pm frac { sqrt {23}} {12} i )

11. (u = 5 pm sqrt {21} )

13. (p = frac {4 pm sqrt {5}} {5} )

15. (c = - frac {1} {2} )

تمرين ( PageIndex {7} ) استخدم التمييز لتوقع عدد حلول معادلة من الدرجة الثانية

في التمارين التالية ، حدد عدد الحلول لكل معادلة من الدرجة الثانية.

    1. (9 × ^ {2} -6 × + 1 = 0 )
    2. (3 ص ^ {2} -8 ص + 1 = 0 )
    3. (7 م ^ {2} +12 م + 4 = 0 )
    4. (5 n ^ {2} -n + 1 = 0 )
    1. (5 × ^ {2} -7 × 8 = 0 )
    2. (7 × ^ {2} -10 × + 5 = 0 )
    3. (25 × ^ {2} -90 × + 81 = 0 )
    4. (15 × ^ {2} -8 × + 4 = 0 )
إجابه

1.

  1. (1)
  2. (2)
  3. (2)
  4. (2)

تمرين ( PageIndex {8} ) تحديد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل معادلة من الدرجة الثانية

في التدريبات التالية ، حدد الطريقة الأكثر ملاءمة (التحليل أو الجذر التربيعي أو الصيغة التربيعية) لاستخدامها في حل كل معادلة من الدرجة الثانية. لا تحل.

    1. (16 ص ^ {2} -8 ص + 1 = 0 )
    2. (5 ر ^ {2} -8 ر + 3 = 9 )
    3. (3 (ج + 2) ^ {2} = 15 )
    1. (4 د ^ {2} +10 د -5 = 21 )
    2. (25 × ^ {2} -60 × + 36 = 0 )
    3. (6 (5 v-7) ^ {2} = 150 )
إجابه

1.

  1. عامل
  2. الصيغة التربيعية
  3. الجذر التربيعي

حل المعادلات في صيغة تربيعية

تمرين ( PageIndex {9} ) حل المعادلات بالصيغة التربيعية

في التدريبات التالية ، حل.

  1. (× ^ {4} -14 × ^ {2} + 24 = 0 )
  2. (x ^ {4} +4 x ^ {2} -32 = 0 )
  3. (4 × ^ {4} -5 × ^ {2} + 1 = 0 )
  4. ((2 ص + 3) ^ {2} +3 (2 ص + 3) -28 = 0 )
  5. (x + 3 sqrt {x} -28 = 0 )
  6. (6 × + 5 الجذر التربيعي {س} -6 = 0 )
  7. (x ^ { frac {2} {3}} - 10 x ^ { frac {1} {3}} + 24 = 0 )
  8. (x + 7 x ^ { frac {1} {2}} + 6 = 0 )
  9. (8 × ^ {- 2} -2 × ^ {- 1} -3 = 0 )
إجابه

1. (x = pm sqrt {2}، x = pm 2 sqrt {3} )

3. (x = pm 1، x = pm frac {1} {2} )

5. (س = 16 )

7. (س = 64 ، س = 216 )

9. (س = -2 ، س = فارك {4} {3} )

حل تطبيقات المعادلات التربيعية

تمرين ( PageIndex {10} ) حل التطبيقات المنمذجة بواسطة المعادلات التربيعية

في التدريبات التالية ، حل باستخدام طريقة التحليل أو مبدأ الجذر التربيعي أو الصيغة التربيعية. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة ، إذا لزم الأمر.

  1. ابحث عن رقمين فرديين متتاليين يكون حاصل ضربهما (323 ).
  2. أوجد رقمين زوجي متتاليين يكون حاصل ضربهما (624 ).
  3. لافتة مثلثة تبلغ مساحتها (351 ) سم مربع. طول القاعدة أطول بمقدار سنتيمترين من أربعة أضعاف الارتفاع. أوجد ارتفاع وطول القاعدة.
  4. قام يوليوس ببناء علبة عرض مثلثة لمجموعته من العملات المعدنية. ارتفاع حافظة العرض أقل بست بوصات من ضعف عرض القاعدة. مساحة الجزء الخلفي من العلبة هي (70 ) بوصة مربعة. أوجد ارتفاع وعرض العلبة.
  5. يتم استخدام فسيفساء البلاط على شكل مثلث قائم الزاوية كزاوية لمسار مستطيل. طول وتر الفسيفساء هو (5 ) أقدام. جانب واحد من الفسيفساء يبلغ ضعف طول الجانب الآخر. ما هي أطوال الأضلاع؟ جولة إلى أقرب عشر.


الشكل 9.E.1

6. قطعة مستطيلة من الخشب الرقائقي لها قطر يزيد عرضها بمقدار قدمين. طول الخشب الرقائقي ضعف العرض. ما هو طول قطر الخشب الرقائقي؟ جولة إلى أقرب عشر.

7. تبلغ مساحة المسار الأمامي من الشارع إلى منزل بام مساحتها (250 ) قدمًا مربعًا. طوله أقل من أربعة أضعاف عرضه. أوجد طول وعرض الرصيف. جولة إلى أقرب عشر.

8. بالنسبة لحفل تخرج صوفيا ، سيتم ترتيب عدة طاولات من نفس العرض من طرف إلى طرف لإعطاء طاولة تقديم بمساحة إجمالية (75 ) قدم مربع. سيكون الطول الإجمالي للجداول أكثر من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن طول وعرض طاولة التقديم حتى تتمكن صوفيا من شراء مفرش المائدة بالحجم الصحيح. قرّب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.

9. يتم رمي الكرة عموديًا في الهواء بسرعة (160 ) قدم / ثانية. استخدم الصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) لتحديد متى ستكون الكرة على مسافة (384 ) قدمًا من الأرض. جولة إلى أقرب عشر.

10. استقل الزوجان طائرة صغيرة في رحلة سريعة إلى بلد النبيذ لتناول عشاء رومانسي ثم عادوا إلى المنزل. طارت الطائرة ما مجموعه (5 ) ساعات وكانت الرحلة (360 ) ميلا في كل اتجاه. إذا كانت الطائرة تحلق بسرعة (150 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة الرياح التي أثرت على الطائرة؟

11. قام عزرا بركوب قوارب الكاياك في النهر ثم العودة في زمن إجمالي قدره (6 ) ساعات. كانت الرحلة (4 ) أميال في كل اتجاه وكان التيار صعبًا. إذا كان روي ينطلق بسرعة (5 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة التيار؟

12. يمكن لاثنين من العاملين القيام بإصلاح المنزل خلال (2 ) ساعة إذا كانا يعملان معًا. يستغرق أحد الرجال (3 ) ساعات أكثر من الرجل الآخر لإنهاء المهمة بنفسه. كم من الوقت يستغرق كل عامل إصلاح المنزل على حدة؟

إجابه

2. رقمان زوجيان متتاليان يكون حاصل ضربهما (24 ) و (26 ) و (- 24 ) و (- 26 ).

4. الارتفاع (14 ) بوصة والعرض (10 ​​) بوصة.

6. طول القطر (3.6 ) قدم.

8. عرض طاولة التقديم (4.7 ) قدم والطول (16.1 ) قدم.

10. كانت سرعة الرياح (30 ) ميل في الساعة.

12. رجل واحد يستغرق (3 ) ساعات والرجل الآخر (6 ) ساعات لإنهاء الإصلاح بمفرده.

رسم وظائف تربيعية باستخدام الخصائص

تمرين ( PageIndex {11} ) التعرف على الرسم البياني للدالة التربيعية

في التدريبات التالية ، رسم بيانيًا بنقطة التآمر.

  1. رسم بياني (y = x ^ {2} -2 )
  2. رسم بياني (y = -x ^ {2} +3 )
إجابه

2.

تمرين ( PageIndex {12} ) التعرف على الرسم البياني للدالة التربيعية

في التمارين التالية ، حدد ما إذا كانت القطع المكافئة التالية تنفتح لأعلى أم لأسفل.

    1. (y = -3 x ^ {2} +3 x-1 )
    2. (ص = 5 س ^ {2} +6 س + 3 )
    1. (ص = س ^ {2} +8 س -1 )
    2. (ص = -4 س ^ {2} -7 س + 1 )
إجابه

2.

  1. فوق
  2. أسفل

تمرين ( PageIndex {13} ) أوجد محور التناظر وقمة القطع المكافئ

في التدريبات التالية ، ابحث عن

  1. معادلة محور التناظر
  2. الرأس
    1. (y = -x ^ {2} +6 x + 8 )
    2. (ص = 2 س ^ {2} -8 س + 1 )
إجابه

2. (س = 2 ) ؛ ((2، -7) )

تمرين ( PageIndex {14} ) ابحث عن تقاطعات القطع المكافئ

في التدريبات التالية ، ابحث عن تقاطعات (x ) - و (y ).

  1. (y = x ^ {2} -4x + 5 )
  2. (ص = س ^ {2} -8 س + 15 )
  3. (y = x ^ {2} -4x + 10 )
  4. (ص = -5 س ^ {2} -30 س -46 )
  5. (ص = 16 س ^ {2} -8 س + 1 )
  6. (ص = س ^ {2} + 16 س + 64 )
إجابه

2. ( start {array} {l} {y: (0،15)} {x: (3،0)، (5،0)} end {array} )

4. ( start {array} {l} {y: (0، -46)} {x: text {none}} end {array} )

6. ( start {array} {l} {y: (0، -64)} {x: (- 8،0)} end {array} )

رسم وظائف تربيعية باستخدام الخصائص

تمرين ( PageIndex {15} ) رسم دوال تربيعية باستخدام الخصائص

في التدريبات التالية ، رسم بيانيًا باستخدام خصائصه.

  1. (ص = س ^ {2} +8 س + 15 )
  2. (ص = س ^ {2} -2 س -3 )
  3. (y = -x ^ {2} +8 x-16 )
  4. (ص = 4 س ^ {2} -4 س + 1 )
  5. (ص = س ^ {2} +6 س + 13 )
  6. (ص = -2 س ^ {2} -8 س -12 )
إجابه

2.

4.

6.

تمرين ( PageIndex {16} ) حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات

في التدريبات التالية ، أوجد القيمة الدنيا أو القصوى.

  1. (ص = 7 س ^ {2} +14 س + 6 )
  2. (ص = -3 س ^ {2} +12 س -10 )
إجابه

2. القيمة القصوى هي (2 ) عندما (س = 2 ).

تمرين ( PageIndex {17} ) حل الحد الأقصى والحد الأدنى من التطبيقات

في التدريبات التالية ، حل. تقريب الإجابات لأقرب جزء من عشرة.

  1. تقذف كرة لأعلى من الأرض بسرعة ابتدائية (112 ) قدم / ثانية. استخدم المعادلة التربيعية (h = -16 t ^ {2} +112 t ) لمعرفة المدة التي ستستغرقها الكرة للوصول إلى أقصى ارتفاع ، ثم ابحث عن أقصى ارتفاع.
  2. مرفق رعاية نهارية يحيط بمنطقة مستطيلة على طول جانب المبنى للأطفال للعب في الهواء الطلق. يحتاجون إلى زيادة المساحة إلى أقصى حد باستخدام (180 ) قدمًا من السياج على ثلاثة جوانب من الفناء. تعطي المعادلة التربيعية (A = -2 x ^ {2} +180 x ) المساحة (A ) من ساحة لطول (x ) للمبنى الذي سيحد الفناء . أوجد طول المبنى الذي يجب أن يحد الفناء لتكبير المساحة ، ثم ابحث عن أقصى مساحة.
إجابه

2. الطول المجاور للمبنى هو (90 ) قدم مما يعطي مساحة قصوى (4050 ) قدم مربع.

رسم وظائف تربيعية باستخدام التحويلات

تمرين ( PageIndex {18} ) رسم دوال تربيعية للنموذج (f (x) = x ^ {2} + k )

في التدريبات التالية ، ارسم كل وظيفة بالرسم البياني باستخدام التحول الرأسي.

  1. (ز (س) = س ^ {2} +4 )
  2. (ح (س) = س ^ {2} -3 )
إجابه

2.

تمرين ( PageIndex {19} ) رسم دوال تربيعية للنموذج (f (x) = x ^ {2} + k )

في التدريبات التالية ، ارسم كل وظيفة بالرسم البياني باستخدام إزاحة أفقية.

  1. (و (س) = (س + 1) ^ {2} )
  2. (ز (س) = (س -3) ^ {2} )
إجابه

2.

تمرين ( PageIndex {20} ) رسم دوال تربيعية للنموذج (f (x) = x ^ {2} + k )

في التدريبات التالية ، قم برسم كل دالة باستخدام عمليات التحويل.

  1. (f (x) = (x + 2) ^ {2} +3 )
  2. (و (س) = (س + 3) ^ {2} -2 )
  3. (و (س) = (س -1) ^ {2} +4 )
  4. (و (س) = (س -4) ^ {2} -3 )
إجابه

2.

4.

تمرين ( PageIndex {21} ) رسم دوال تربيعية للنموذج (f (x) = ax ^ {2} )

في التدريبات التالية ، ارسم كل وظيفة بالرسم البياني.

  1. (و (س) = 2 س ^ {2} )
  2. (و (س) = - س ^ {2} )
  3. (f (x) = frac {1} {2} x ^ {2} )
إجابه

2.

تمرين ( PageIndex {22} ) رسم دوال تربيعية باستخدام التحويلات

في التدريبات التالية ، أعد كتابة كل دالة في النموذج (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) بإكمال المربع.

  1. (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-4 )
  2. (f (x) = 3 x ^ {2} +12 x + 8 )
إجابه

1. (f (x) = 2 (x-1) ^ {2} -6 )

تمرين ( PageIndex {23} ) رسم دوال تربيعية باستخدام التحويلات

في التدريبات التالية ،

  1. أعد كتابة كل دالة في شكل (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k )
  2. ارسمها باستخدام التحولات
    1. (f (x) = 3 x ^ {2} -6 x-1 )
    2. (و (س) = - 2 × ^ {2} -12 × -5 )
    3. (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 6 )
    4. (f (x) = 3 x ^ {2} -12 x + 7 )
إجابه

1.

  1. (f (x) = 3 (x-1) ^ {2} -4 )


  2. الشكل 9.E.13

3.

  1. (و (س) = 2 (س + 1) ^ {2} +4 )


  2. الشكل 9.E.14

تمرين ( PageIndex {24} ) رسم دوال تربيعية باستخدام التحويلات

في التدريبات التالية ،

  1. أعد كتابة كل دالة في شكل (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k )
  2. ارسمها باستخدام الخصائص
    1. (و (س) = - 3 × ^ {2} -12 × -5 )
    2. (f (x) = 2 x ^ {2} -12 x + 7 )
إجابه

1.

  1. (و (س) = - 3 (س + 2) ^ {2} +7 )


  2. الشكل 9.E.15

تمرين ( PageIndex {25} ) ابحث عن دالة تربيعية من الرسم البياني الخاص بها

في التدريبات التالية ، اكتب الدالة التربيعية بصيغة (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).



  1. الشكل 9.E.16


  2. الشكل 9.E.17
إجابه

1. (f (x) = (x + 1) ^ {2} -5 )

حل المتباينات التربيعية

تمرين ( PageIndex {26} ) حل المتباينات التربيعية بيانياً

في التدريبات التالية ، قم بحل الحل بيانيًا واكتب الحل في تدوين الفترة.

  1. (س ^ {2} -x-6> 0 )
  2. (x ^ {2} +4 x + 3 leq 0 )
  3. (- x ^ {2} -x + 2 geq 0 )
  4. (- س ^ {2} +2 س + 3 <0 )
إجابه

1.



  1. الشكل 9.E.18
  2. ((- infty، -2) كوب (3، infty) )

3.



  1. الشكل 9-هـ -19
  2. ([-2,1])

تمرين ( PageIndex {27} ) حل المتباينات التربيعية بيانياً

في التدريبات التالية ، حل كل متباينة جبريًا واكتب أي حل في تدوين الفترة.

  1. (س ^ {2} -6 س + 8 <0 )
  2. (س ^ {2} + س> 12 )
  3. (x ^ {2} -6 x + 4 leq 0 )
  4. (2 × ^ {2} +7 × 4> 0 )
  5. (- س ^ {2} + س -6> 0 )
  6. (x ^ {2} -2 x + 4 geq 0 )
إجابه

1. ((2,4))

3. ([3- sqrt {5}، 3+ sqrt {5}] )

5. لا يوجد حل

اختبار الممارسة

تمرين ( PageIndex {28} )

  1. استخدم خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية (3 (w + 5) ^ {2} = 27 ).
  2. استخدم إكمال المربع لحل المعادلة التربيعية (a ^ {2} -8 a + 7 = 23 ).
  3. استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة التربيعية (2 م ^ {2} -5 م + 3 = 0 ).
إجابه

1. (ث = -2 ، ث = -8 )

3. (م = 1 ، م = فارك {3} {2} )

تمرين ( PageIndex {29} )

حل المعادلات التربيعية التالية. استخدم أي طريقة.

  1. (2 × (3 × 2) -1 = 0 )
  2. ( frac {9} {4} ص ^ {2} -3 ص + 1 = 0 )
إجابه

2. (y = frac {2} {3} )

تمرين ( PageIndex {30} )

استخدم المميز لتحديد عدد ونوع الحلول لكل معادلة تربيعية.

  1. (6 ص ^ {2} -13 ص + 7 = 0 )
  2. (3 ف ^ {2} -10 س + 12 = 0 )
إجابه

2. (2 ) مركب

تمرين ( PageIndex {31} )

حل كل معادلة.

  1. (4 × ^ {4} -17 × ^ {2} + 4 = 0 )
  2. (y ^ { frac {2} {3}} + 2 y ^ { frac {1} {3}} - 3 = 0 )
إجابه

2. (ص = 1 ، ص = -27 )

تمرين ( PageIndex {32} )

ابحث عن كل قطع مكافئ

  1. في أي اتجاه يفتح
  2. معادلة محور التناظر
  3. الرأس
  4. إن (س )-و (ص ) - اعتراضات
  5. القيمة القصوى أو الدنيا
    1. (ص = 3 س ^ {2} +6 س + 8 )
    2. (y = -x ^ {2} -8 x + 16 )
إجابه

2.

  1. أسفل
  2. (س = -4 )
  3. ((-4,0))
  4. (ص: (0،16) ؛ س: (-4،0) )
  5. الحد الأدنى لقيمة (- 4 ) عندما (س = 0 )

تمرين ( PageIndex {33} )

ارسم كل دالة تربيعية باستخدام نقاط التقاطع والرأس ومعادلة محور التناظر.

  1. (f (x) = x ^ {2} +6 x + 9 )
  2. (و (س) = - 2 × ^ {2} +8 × + 4 )
إجابه

2.

تمرين ( PageIndex {34} )

في التدريبات التالية ، قم برسم كل دالة باستخدام عمليات التحويل.

  1. (و (س) = (س + 3) ^ {2} +2 )
  2. (f (x) = x ^ {2} -4 x-1 )
إجابه

2.


الشكل 9.E.21

تمرين ( PageIndex {35} )

في التدريبات التالية ، حل كل متباينة جبريًا واكتب أي حل في تدوين الفترة.

  1. (x ^ {2} -6 x-8 leq 0 )
  2. (2 × ^ {2} + س -10> 0 )
إجابه

2. ( left (- infty، - frac {5} {2} right) cup (2، infty) )

تمرين ( PageIndex {36} )

نمذجة الموقف باستخدام معادلة تربيعية وحلها بأي طريقة.

  1. أوجد رقمين زوجي متتاليين يكون حاصل ضربهما (360 ).
  2. يزيد طول قطر المستطيل عن العرض بثلاثة أضعاف. طول المستطيل ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول القطر. (جولة إلى أقرب عشر.)
إجابه

2. يتم إطلاق بالون مائي لأعلى بمعدل (86 ) قدم / ثانية. باستخدام الصيغة (h = -16 t ^ {2} +86 t ) ابحث عن المدة التي سيستغرقها البالون للوصول إلى أقصى ارتفاع ، ثم ابحث عن أقصى ارتفاع. جولة إلى أقرب عشر.


تتطلب بعض الكلمات الموجودة بين قوسين إضافة الحرف ه البعض الآخر على صواب كما يقفون.

  1. جاس (حقًا) آسف لإبقائك مستيقظًا الليلة الماضية.
  2. تعرضنا لانتقادات (شديدة) من قبل دائرة الخياطة.
  3. تم هدم السقيفة (بالكامل).
  4. كان مردين ممتنًا (بصدق لي) للإرجاء.
  5. عائلة سمبسون (يجادلون) مرة أخرى.
  6. لقد (argu-d) الليلة الماضية لساعات.
  7. متى يكون السيد وولف (قادمًا) في المنزل.
  8. مايا هي (تكتب) سيرتها الذاتية.
  9. السيد وايت هو (التحكيم) مسابقة المقال.
  10. كن (سيارة فول) عندما تضيء الفرن.

16.1: الأحماض والقواعد: مراجعة موجزة

مشاكل مفاهيمية

  1. تحديد أزواج الحمض المتقارن و ndashbase في كل توازن.
    1. (HSO ^ & minus_ <4> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons SO ^ <2 & minus> _ <4> ، (aq) + H_3O ^ <+> ، (aq) )
    2. (C_ <3> H_ <7> NO_ <2> ، (aq) + H_ <3> O ^ <+> ، (aq) rightleftharpoons C_ <3> H_ <8> NO ^ <+> _ <2> ، (aq) + H_ <2> O ، (l) )
    3. (CH_ <3> O_ <2> H ، (aq) + NH_ <3> ، (aq) rightleftharpoons CH_ <3> CO ^ <& minus> _ <2> ، (aq) + NH ^ < +> _ <4> ، (عبد القدير) )
    4. (SbF_ <5> ، (aq) +2 ، HF ، (aq) rightleftharpoons H_ <2> F ^ <+> ، (aq) + SbF ^ <& minus> _ <6> ، ( عبد القدير) )
    1. (HF ، (aq) + H_ <2> O ، (l) rightleftharpoons H_3O ^ <+> ، (aq) + F ^ <& minus> ، (aq) )
    2. (CH_3CH_2NH_ <2> ، (aq) + H_ <2> O ، (l) rightleftharpoons CH_3CH_2NH ^ <+> _ <3> ، (aq) + OH ^ <& minus> ، (aq) )
    3. (C_3H_7NO_ <2> ، (aq) + OH ^ <& minus> ، (aq) rightleftharpoons C_3H_6NO ^ <& minus> _ <2> ، (aq) + H_ <2> O ، (l) )
    4. (CH_3CO_2H ، (aq) +2 ، HF ، (aq) rightleftharpoons CH_3C (OH) _ <2> ^ <+> ، (aq) + HF ^ <& minus> _ <2> ، ( عبد القدير) )
    1. (HCO ^ & minus_ <3> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons CO ^ <2 & minus> _ <3> ، (aq) + H_3O ^ <+> ، (aq) )
    2. (الفورميك حمض ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons formate ، (aq) + H_3O ^ + ، (aq) )
    3. (H_3PO_ <4> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons H_2PO ^ & minus_ <4> ، (aq) + H_3O ^ + ، (aq) )
    1. (OCH ^ <& minus> _ <3> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons HOCH_ <3> ، (aq) + OH ^ <-> ، (aq) )
    2. (NH ^ & minus_ <2> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons NH_ <3> ، (aq) + OH ^ <& minus> ، (aq) )
    3. (S ^ <2 & minus> ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons HS ^ & minus ، (aq) + OH ^ & minus ، (aq) )
    1. (HBr ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons H_3O ^ + ، (aq) + Br ^ & minus ، (aq) )
    2. (NaH ، (s) + NH_ <3> ، (aq) rightleftharpoons H_ <2> ، (g) + NaNH_ <2> ، (s) )
    3. (OCH ^ <& minus> _ <3> ، (aq) + NH_ <3> ، (aq) rightleftharpoons CH_ <3> OH ، (aq) + NH ^ & minus_ <2> ، (aq) )
    4. (NH_ <3> ، (aq) + HCl ، (aq) rightleftharpoons NH ^ <+> _ <4> ، (aq) + Cl ^ & minus ، (aq) )
    1. (Li_3N )
    2. (ناه )
    3. (KBr )
    4. (C_2H_5NH_3Cl )
    1. (LiCH_3 )
    2. (MgCl_2 )
    3. (K_2O )
    4. ((CH_3) _2NH_2 ^ + Br ^ & ناقص )

    الجواب المفاهيمي

    6. الأحماض القوية لها الحجم الأصغر (pK_a ).

    أ. يقع التوازن في المقام الأول إلى اليمين لأن (HBr ) ( (pK_a = -8.7 )) حمض أقوى من (H_ <3> O ^ <+> ) ( (pK_a = -1.7 )) و (H_ <2> O ) ( (pK_a = 14 )) قاعدة أقوى من (Br ^ - ) ( (pK_a = -8.7 )).

    ب. يقع التوازن في المقام الأول إلى اليسار لأن (H_ <2> ) ( (pK_a = 36 )) هو حمض أقوى من (NH_ <3> ) ( (pK_a = 38 )) و ( ( NaNH_2 )) ( (pK_a = 38 )) قاعدة أقوى من (NaH ) ( (pK_a = 35 )).

    ج. يقع التوازن بشكل أساسي إلى اليسار لأن (CH_ <3> OH ) ( (pK_a = 17 )) هو حمض أقوى من (NH_ <3> ) ( (pK_a = 38 )) و ( NH_ <2> ^ <-> ) ( (pK_a = 38 )) هي قاعدة أقوى من (OCH_ <3> ^ <-> ) ( (pK_a = 25 )).

    د. التوازن يقع إلى اليمين لأن (HCl ) ( (pK_a = -7 )) حمض أقوى من (NH_ <4> ^ <+> ) ( (pK_a = 9.3 )) و ( NH_ <3> ) قاعدة أقوى من (Cl ^ <-> ) ( (pK_a = -7 )).

    7. لتحديد أقوى قاعدة يمكننا تحديد أضعف حمض متقارن. الأحماض المترافقة لـ (CH_ <3> ^ <-> ) ، (NH_ <2> ^ <-> ) ، و (S_ <2> ^ <-> ) هي (CH_ <4> ) و (NH_ <3> ) و (HS ^ <-> ) على التوالي. بعد ذلك ، نعتبر أن الحموضة تزداد بشحنة موجبة على الجزيء ، وبالتالي نستبعد أن (S_ <2> ^ <-> ) هو أضعف قاعدة. أخيرًا ، نعتبر أن الحموضة تزداد مع الكهربية ، وبالتالي فإن (NH_ <3> ) هو ثاني أكثر العناصر أساسية و (CH_ <4> ) هو الأكثر أساسية. للتمييز بين قوة الأحماض (HIO_3 ) ، (H_ <2> SO_ <4> ) ، و (HClO_4 ) يمكننا اعتبار أن حالة التأكسد والكهرباء العالية في اللافلزية المركزية هي الأكثر حمضية ، وبالتالي فإن ترتيب الحموضة هو: (HIO_3 ) & lt (H_ <2> SO_ <4> ) & lt (HClO_4 ) لأن حالة الأكسدة والكهرباء تزداد على النحو التالي: (I (+5) & ltS (+6) & ltCl (+7) ).

    8. ليس دقيقًا أن نقول إن محلول 2.0 M من (H_2SO_4 ) ، والذي يحتوي على بروتونات حمضية لكل جزيء ، هو 4.0 M in (H ^ + ) لأن محلول 2.0 M من (H_2SO_4 ) يعادل 4.0 N in (H ^ + ).

    9. القلوية هي مقياس لقدرة معادلة الحمض. يتم تحديد أساس التربة بهذه الطريقة لأن القواعد مثل (HCO_ <3> ^ <-> ) و (CO_ <3> ^ <2-> ) يمكن أن تحيد الأحماض في التربة. نظرًا لأن معظم التربة تحتوي على درجة حموضة تتراوح بين 6 و 8 ، يمكن تقدير القلوية من خلال أنواع الكربونات وحدها. عند درجة الحموضة شبه المحايدة ، تكون معظم أنواع الكربونات عبارة عن بيكربونات.

    10. المحاليل المائية للأملاح مثل (CaCl_ <2> ) محايدة لأنها تتكون من حمض الهيدروكلوريك (حمض قوي) وهيدروكسيد الكالسيوم (قاعدة قوية). يعتبر المحلول المائي من (NaNH_2 ) أساسيًا لأنه يمكن أن يزيل الألكينات والكحول ومجموعة من المجموعات الوظيفية الأخرى مع البروتونات الحمضية مثل الإسترات والكيتونات.

    أ. (Li_3N ) قاعدة لأن الزوج الوحيد الموجود على النيتروجين يمكنه قبول البروتون.

    ب. (NaH ) قاعدة لأن الهيدروجين له شحنة سالبة.

    ج. (KBr ) محايد لأنه يتكون من (HBr ) (حمض قوي) و (KOH ) (قاعدة قوية).

    د. (C_2H_5NH_3Cl ) حمضي لأنه يمكنه التبرع بالبروتون.

    ج. من المتوقع أن يظل الرقم الهيدروجيني كما هو. (K_ <2> O ، (aq) + H_2O ، (l) rightleftharpoons 2 ، KOH ، (aq) )

    13. (Sn (H_2O) _4 ^ <2 +> ) من المتوقع أن يكون أكثر حمضية من (Pb (H_2O) _4 ^ <2 +> ) لأن (Sn ) أكثر كهربيًا من (Pb ).

    14. (Sn (H_2O) _6 ^ <4 +> ) من المتوقع أن يكون أكثر حمضية من (Sn (H_2O) _4 ^ <2 +> ) لأن الشحن على (Sn ) أكبر ( (4 ^ + & GT2 ^ + )).

    15. نعم ، من الممكن أن يكون ترتيب زيادة القوة الأساسية هو: (LiH & ltNaH & ltRbH & ltCsH ) لأن زيادة قوة القاعدة تعتمد على تقليل القدرة الكهربية.

    مشاكل عددية

    1. رتب هذه الأحماض بترتيب زيادة القوة.
      • حمض أ: (pK_a = 1.52 )
      • حمض ب: (pK_a = 6.93 )
      • حمض C: (pK_a = 3.86 )

    بالنظر إلى المحاليل التي لها نفس التركيز الأولي لكل حمض ، أيهما يحتوي على أعلى نسبة تأين؟

    1. رتب هذه القواعد بترتيب زيادة القوة:
      • القاعدة أ: (pK_b = 13.10 )
      • القاعدة ب: (pK_b = 8.74 )
      • القاعدة C: (pK_b = 11.87 )

    بالنظر إلى الحلول التي لها نفس التركيز الأولي لكل قاعدة ، أيهما سيكون له أعلى نسبة تأين؟

    1. احسب (K_a ) و (pK_a ) للحمض المترافق لقاعدة مع كل قيمة (pK_b ).
      1. 3.80
      2. 7.90
      3. 13.70
      4. 1.40
      5. & ناقص 2.50

      الإجابات العددية

      1. الأحماض من أجل زيادة قوتها: (حمض ، ب & حمض ltacid ، C & ltacid ، A ). بالنظر إلى نفس التركيز الأولي لكل حمض ، فإن أعلى نسبة من التأين هي الحمض A لأنه أقوى حمض.

      2. الأسس من أجل زيادة القوة: (قاعدة ، أ ، قاعدة ، ج ، قاعدة ، ب ). بالنظر إلى الحلول التي لها نفس التركيز الأولي لكل قاعدة ، فإن النسبة الأعلى من التأين هي القاعدة A لأنها القاعدة الأضعف.

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-3.80 = 10.2 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7.90 = 6.10 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7.90 = 3.000 times 10 ^ <-1> )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-1.40 = 12.6 )

      ه. (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7.90 = 16.5 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_b = 14-pK_a = 14-4.20 = 9.80 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-4.80 = 9.20 )


      مشاكل وتمارين أمبير

      16.1: قانون Hooke & rsquos: إعادة النظر في الإجهاد والتوتر

      19. يتم تعليق الأسماك على مقياس زنبركي لتحديد كتلتها (لا يشعر معظم الصيادين بأي التزام بالإبلاغ عن الكتلة بصدق).

      (أ) ما هو ثابت قوة الزنبرك في مثل هذا المقياس إذا كان الزنبرك يمتد 8.00 سم لحمل 10.0 كجم؟

      (ب) ما كتلة السمكة التي تمتد في الربيع 5.50 سم؟

      (ج) إلى أي مدى تتباعد علامات نصف كيلوغرام على المقياس؟

      المحلول
      (أ) ( displaystyle 1.23 & times10 ^ 3N / m )
      (ب) (displaystyle 6.88 كجم)
      (ج) (displaystyle 4.00 مم)

      20. حان وقت وزن فريق الرجبي المحلي الذي يقل وزنه عن 85 كجم. يمكن وصف مقياس الحمام المستخدم لتقييم الأهلية من خلال قانون Hooke & rsquos ويكون منخفضًا بمقدار 0.75 سم بحمله الأقصى البالغ 120 كجم.

      (أ) ما هو ثابت الربيع الفعال لـ Spring & rsquos؟

      (ب) يقف اللاعب على الميزان ويخفضه بمقدار 0.48 سم. هل هو مؤهل للعب في فريق أقل من 85 كجم؟

      21. يستخدم نوع واحد من مسدسات BB مكبسًا يعمل بزنبرك لتفجير BB من البرميل الخاص به.

      (أ) احسب ثابت القوة لنابض المكبس و rsquos إذا كان عليك ضغطه 0.150 م لدفع المكبس الذي يبلغ وزنه 0.0500 كجم إلى سرعة قصوى تبلغ 20.0 م / ث.

      (ب) ما هي القوة التي يجب أن تمارس لضغط الزنبرك؟

      المحلول
      (أ) 889 نيوتن / م
      (ب) 133 شمال

      22. (أ) تعمل نوابض الشاحنة الصغيرة مثل زنبرك مفرد بثابت القوة ( displaystyle 1.30 & times10 ^ 5N / m ). إلى أي مدى ستنخفض الشاحنة بسبب حمولتها القصوى البالغة 1000 كجم؟

      (ب) إذا كانت الشاحنة الصغيرة بها أربعة نوابض متطابقة ، فما هو ثابت القوة لكل منها؟

      23. عندما يقف رجل وزنه 80.0 كجم على عصا البوجو ، ينضغط الزنبرك بمقدار 0.120 م.

      (أ) ما هو ثابت قوة الزنبرك؟

      (ب) هل سيزداد ضغط الزنبرك عندما يقفز على الطريق؟

      المحلول
      (أ) (displaystyle 6.53 & times10 ^ 3N / m)
      (ب) نعم

      24. يبلغ طول الزنبرك 0.200 م عندما تتدلى منه كتلة تزن 0.300 كجم ، ويبلغ طوله 0.750 م عندما تتدلى منه كتلة 1.95 كجم.

      (أ) ما هو ثابت قوة الزنبرك؟

      (ب) ما هو طول النبع المفرغ؟

      16.2: الفترة والتردد في التذبذبات

      25. ما هي فترة ( displaystyle 60.0Hz ) الطاقة الكهربائية؟

      المحلول
      16.7 مللي ثانية

      26. إذا كان معدل ضربات قلبك 150 نبضة في الدقيقة أثناء التمرين الشاق ، فما هو الوقت لكل نبضة بوحدات الثواني؟

      المحلول
      0.400 ثانية / نبضة

      27. ابحث عن تردد الشوكة الرنانة التي تستغرق ( displaystyle 2.50 & times10 ^ <& minus3> s ) لإكمال ذبذبة واحدة.

      المحلول
      400 هرتز

      28. تم ضبط ستروبوسكوب على وميض كل ( displaystyle 8.00 & times10 ^ <& minus5> s ). ما هو تردد الومضات؟

      المحلول
      12500 هرتز

      29. يحتوي الإطار على نمط مداس به شق كل 2.00 سم. يحدث كل شق اهتزازًا واحدًا أثناء تحرك الإطار. ما تردد هذه الاهتزازات إذا تحركت السيارة بسرعة 30.0 م / ث؟

      المحلول
      1.50 كيلوهرتز

      30. تطبيق هندسي

      يصدر كل مكبس في المحرك صوتًا حادًا في كل ثورة أخرى للمحرك.

      (أ) ما السرعة التي تسير بها سيارة السباق إذا كان محركها ثماني الأسطوانات يصدر صوتًا بتردد 750 هرتز ، علمًا بأن المحرك يُحدث 2000 دورة لكل كيلومتر؟

      (ب) كم عدد الدورات في الدقيقة التي يدور فيها المحرك؟

      المحلول
      (أ) 93.8 م / ث
      (ب) ( displaystyle 11.3 & times10 ^ 3 ) rev / min

      16.3: حركة توافقية بسيطة: حركة دورية خاصة

      31. نوع من ساعة الوقواق يحافظ على الوقت من خلال القفز الجماعي في الربيع ، وعادة ما يكون شيئًا لطيفًا مثل الكروب على كرسي. ما هو ثابت القوة المطلوب لإنتاج فترة 0.500 ثانية لكتلة 0.0150 كجم؟

      المحلول
      (displaystyle 2.37N / m)

      32. إذا تمت مضاعفة الثابت الزنبركي لمذبذب توافقي بسيط ، فبأي عامل ستحتاج كتلة النظام إلى التغيير حتى يظل تردد الحركة كما هو؟

      33. كتلة تزن 0.500 كجم معلقة بزنبرك تتأرجح بفترة 1.50 ثانية. ما مقدار الكتلة التي يجب إضافتها إلى الجسم لتغيير الفترة إلى 2.00 ثانية؟

      المحلول
      0.389 كجم

      34. ما مقدار الفسحة (النسبة المئوية والكتلة) التي ستتاح لك في اختيار كتلة الجسم في المسألة السابقة إذا لم تكن ترغب في أن تكون الفترة الجديدة أكبر من 2.01 ثانية أو أقل من 1.99 ثانية؟

      35. لنفترض أنك قمت بإرفاق الجسم بكتلة ( displaystyle m ) بنابض رأسي في حالة سكون في الأصل ، وتركه يرتد لأعلى ولأسفل. يمكنك تحرير الكائن من السكون عند طول الراحة الأصلي الربيعي.

      (أ) أظهر أن الزنبرك يمارس قوة تصاعدية مقدارها ( displaystyle 2.00mg ) على الكائن عند أدنى نقطة له.

      (ب) إذا كان للزنبرك ثابت قوة يساوي ( displaystyle 10.0N / m ) وتم ضبط جسم كتلته 0.25 كجم كما هو موصوف ، فأوجد سعة التذبذبات.

      (ج) أوجد السرعة القصوى.

      36. الغواص على لوح الغوص يخضع لحركة توافقية بسيطة. كتلتها 55.0 كجم وفترة حركتها 0.800 ثانية. الغواص التالي هو ذكر تبلغ فترة التذبذب التوافقي البسيط 1.05 ثانية. ما هي كتلته إذا كانت كتلة اللوح ضئيلة؟

      المحلول
      94.7 كجم

      37. لنفترض أن لوحة غطس بدون أي شخص ترتد لأعلى ولأسفل في حركة توافقية بسيطة بتردد 4.00 هرتز. تبلغ كتلة اللوحة الفعالة 10.0 كجم. ما هو تردد الحركة التوافقية البسيطة لغواص وزنه 75.0 كجم على اللوح؟

      38. يسلي الجهاز المصور في الشكل الرضع بينما يمنعهم من التجول. يرتد الطفل في حزام معلق من إطار الباب بواسطة ثابت نابض.

      (أ) إذا كان الزنبرك يمتد 0.250 م وهو يدعم طفل وزنه 8.0 كجم ، فما هو ثابت الزنبرك؟

      (ب) ما هو الوقت المناسب لارتداد واحد كامل لهذا الطفل؟ (ج) ما هي السرعة القصوى للطفل و rsquos إذا كانت سعة ارتدادها 0.200 م؟


      تعتمد لعبة الأطفال و rsquos هذه على النوابض لتسلية الأطفال. (الائتمان: بواسطة Humboldthead، Flickr)

      39. قافز مظلي يزن 90.0 كجم يتدلى من مظلة يرتد لأعلى ولأسفل لمدة 1.50 ثانية. ما هي فترة التذبذب الجديدة عندما يتدلى قافز مظلي ثان ، كتلته 60.0 كجم ، من ساقي الأول ، كما هو موضح في الشكل.


      تذبذبات لاعب قافز مظلي على وشك أن تتأثر بقافز مظلي ثان. (الائتمان: US Army، www.army.mil)

      المحلول
      1.94 ثانية

      16.4: البندول البسيط

      كالعادة ، يتم أخذ التسارع الناتج عن الجاذبية في هذه المسائل على أنه g = 9.80m / s2 ، ما لم يُذكر خلاف ذلك.

      40. ما هو طول البندول الذي يبلغ طوله 0.500 ثانية؟

      المحلول
      6.21 سم

      41. يعتقد بعض الناس أن البندول الذي تبلغ مدته 1.00 ثانية يمكن أن يكون مدفوعًا بطاقة & ldquomental أو نفسية حركية ، لأن فترته هي نفس معدل نبضات القلب. صح أم لا ، ما هو طول هذا البندول؟

      42. ما هي فترة البندول الذي يبلغ طوله 1.00 متر؟

      المحلول
      2.01 ثانية

      43. ما هو الوقت الذي يستغرقه الطفل على الأرجوحة لإكمال أرجوحة واحدة إذا كان مركز ثقله تحت المحور 4.00 أمتار؟

      44. يبلغ طول البندول في ساعة الوقواق 5.00 سم. ما هو ترددها؟

      المحلول
      2.23 هرتز

      45. يجلس ببغاءان على أرجوحة مع مركز كتلتهما المشترك 10.0 سم تحت المحور. في أي تردد يتأرجح؟

      46. (أ) البندول الذي تبلغ مدته 3.00000 ثانية والذي يقع حيث يكون التسارع الناتج عن الجاذبية ( displaystyle 9.79m / s ^ 2 ) يتم نقله إلى موضع يكون فيه التسارع بسبب الجاذبية ( displaystyle 9.82m / s ^ 2). ما هي فترتها الجديدة؟

      (ب) اشرح سبب الحاجة إلى العديد من الأرقام في قيمة الفترة ، بناءً على العلاقة بين الفترة والتسارع بسبب الجاذبية.

      المحلول
      (أ) 2.99541 ثانية
      (ب) بما أن الفترة مرتبطة بالجذر التربيعي لتسارع الجاذبية ، فعندما يتغير التسارع بمقدار 1٪ تتغير الفترة بمقدار ( displaystyle (0.01) ^ 2 = 0.01٪ ) لذلك من الضروري أن يكون عند 4 أرقام على الأقل بعد العلامة العشرية لمشاهدة التغييرات.

      47. تم نقل البندول الذي تبلغ مدته 2.00000 ثانية في مكان واحد ( displaystyle (g = 9.80m / s ^ 2) ) إلى مكان جديد حيث أصبحت الفترة الآن 1.99796 ثانية. ما هي عجلة الجاذبية في موقعها الجديد؟

      48. (أ) ما هو تأثير فترة البندول إذا ضاعفت طوله؟

      (ب) ما هو التأثير على فترة البندول إذا قمت بإنقاص طوله بنسبة 5.00٪؟

      المحلول
      (أ) تزداد الدورة بعامل 1.41 (( displaystyle sqrt <2> ))
      (ب) تقل الفترة إلى 97.5٪ من الفترة القديمة

      49. أوجد نسبة الفترات الجديدة / القديمة للبندول إذا تم نقل البندول من الأرض إلى القمر ، حيث يكون التسارع بسبب الجاذبية ( displaystyle 1.63m / s ^ 2 ).

      50. بأي معدل ستعمل ساعة البندول على القمر ، حيث يكون التسارع بسبب الجاذبية ( displaystyle 1.63m / s ^ 2 ) ، إذا كانت تحافظ على الوقت بدقة على الأرض؟ أي ، أوجد الوقت (بالساعات) الذي يستغرقه عقرب الساعة و rsquos لإحداث ثورة واحدة على القمر.

      المحلول
      بطيء بمعامل 2.45

      51. لنفترض أن طول الساعة و rsquos البندول قد تغير بنسبة 1.000٪ ، بالضبط في ظهيرة يوم واحد. في أي وقت ستقرأ بعد 24.00 ساعة ، بافتراض أن البندول قد احتفظ بوقت مثالي قبل التغيير؟ لاحظ أن هناك إجابتين ، وقم بإجراء الحساب بدقة مكونة من أربعة أرقام.

      52. If a pendulum-driven clock gains 5.00 s/day, what fractional change in pendulum length must be made for it to keep perfect time?

      المحلول
      length must increase by 0.0116%.

      16.5: Energy and the Simple Harmonic Oscillator

      53. The length of nylon rope from which a mountain climber is suspended has a force constant of (displaystyle 1.40×10^4N/m).

      (a) What is the frequency at which he bounces, given his mass plus and the mass of his equipment are 90.0 kg?

      (b) How much would this rope stretch to break the climber&rsquos fall if he free-falls 2.00 m before the rope runs out of slack? Hint: Use conservation of energy. Ignore the energy the climber gains as the rope stretches.

      المحلول
      (a) (displaystyle 1.99 Hz)
      (b) 50.2 cm

      54. Engineering Application

      Near the top of the Citigroup Center building in New York City, there is an object with mass of (displaystyle 4.00×10^5)kg on springs that have adjustable force constants. Its function is to dampen wind-driven oscillations of the building by oscillating at the same frequency as the building is being driven&mdashthe driving force is transferred to the object, which oscillates instead of the entire building.

      (a) What effective force constant should the springs have to make the object oscillate with a period of 2.00 s?

      (b) What energy is stored in the springs for a 2.00-m displacement from equilibrium?

      المحلول
      (a) (displaystyle 3.95×10^6N/m)
      (b) (displaystyle 7.90×10^6J)

      16.6: Uniform Circular Motion and Simple Harmonic Motion

      55. (a)What is the maximum velocity of an 85.0-kg person bouncing on a bathroom scale having a force constant of (displaystyle 1.50×10^6N/m), if the amplitude of the bounce is 0.200 cm?

      (b)What is the maximum energy stored in the spring?

      المحلول
      a). 0.266 m/s
      b). 3.00 J

      56. A novelty clock has a 0.0100-kg mass object bouncing on a spring that has a force constant of 1.25 N/m. What is the maximum velocity of the object if the object bounces 3.00 cm above and below its equilibrium position?

      (b) How many joules of kinetic energy does the object have at its maximum velocity?

      57. At what positions is the speed of a simple harmonic oscillator half its maximum? That is, what values of (displaystyle x/X) give (displaystyle v=±v_/2), where (displaystyle X) is the amplitude of the motion?

      المحلول
      (displaystyle ±frac><2>)

      58. A ladybug sits 12.0 cm from the center of a Beatles music album spinning at 33.33 rpm. What is the maximum velocity of its shadow on the wall behind the turntable, if illuminated parallel to the record by the parallel rays of the setting Sun?

      16.7: Damped Harmonic Motion

      59. The amplitude of a lightly damped oscillator decreases by (displaystyle 3.0\%) during each cycle. What percentage of the mechanical energy of the oscillator is lost in each cycle?

      16.8: Forced Oscillations and Resonance

      60. How much energy must the shock absorbers of a 1200-kg car dissipate in order to damp a bounce that initially has a velocity of 0.800 m/s at the equilibrium position? Assume the car returns to its original vertical position.

      المحلول
      384 J

      61. If a car has a suspension system with a force constant of (displaystyle 5.00×10^4N/m), how much energy must the car&rsquos shocks remove to dampen an oscillation starting with a maximum displacement of 0.0750 m?

      62. (a) How much will a spring that has a force constant of 40.0 N/m be stretched by an object with a mass of 0.500 kg when hung motionless from the spring?

      (b) Calculate the decrease in gravitational potential energy of the 0.500-kg object when it descends this distance.

      (c) Part of this gravitational energy goes into the spring. Calculate the energy stored in the spring by this stretch, and compare it with the gravitational potential energy. Explain where the rest of the energy might go.

      المحلول
      (a). 0.123 m
      (ب). &minus0.600 J
      (c). 0.300 J. The rest of the energy may go into heat caused by friction and other damping forces.

      63. Suppose you have a 0.750-kg object on a horizontal surface connected to a spring that has a force constant of 150 N/m. There is simple friction between the object and surface with a static coefficient of friction (displaystyle &mu_s=0.100).

      (a) How far can the spring be stretched without moving the mass?

      (b) If the object is set into oscillation with an amplitude twice the distance found in part (a), and the kinetic coefficient of friction is (displaystyle &mu_k=0.0850), what total distance does it travel before stopping? Assume it starts at the maximum amplitude.

      64. Engineering Application: A suspension bridge oscillates with an effective force constant of (displaystyle 1.00×10^8N/m).

      (a) How much energy is needed to make it oscillate with an amplitude of 0.100 m?

      (b) If soldiers march across the bridge with a cadence equal to the bridge&rsquos natural frequency and impart (displaystyle 1.00×10^4J) of energy each second, how long does it take for the bridge&rsquos oscillations to go from 0.100 m to 0.500 m amplitude?

      المحلول
      (a) (displaystyle 5.00×10^5J)
      (b) (displaystyle 1.20×10^3s)

      16.9: Waves

      65. Storms in the South Pacific can create waves that travel all the way to the California coast, which are 12,000 km away. How long does it take them if they travel at 15.0 m/s?

      المحلول
      t=9.26 d

      66. Waves on a swimming pool propagate at 0.750 m/s. You splash the water at one end of the pool and observe the wave go to the opposite end, reflect, and return in 30.0 s. How far away is the other end of the pool?

      67. Wind gusts create ripples on the ocean that have a wavelength of 5.00 cm and propagate at 2.00 m/s. What is their frequency?

      المحلول
      f=40.0 Hz

      68. How many times a minute does a boat bob up and down on ocean waves that have a wavelength of 40.0 m and a propagation speed of 5.00 m/s?

      69. Scouts at a camp shake the rope bridge they have just crossed and observe the wave crests to be 8.00 m apart. If they shake it the bridge twice per second, what is the propagation speed of the waves?

      المحلول
      (displaystyle v_w=16.0 m/s)

      70. What is the wavelength of the waves you create in a swimming pool if you splash your hand at a rate of 2.00 Hz and the waves propagate at 0.800 m/s?

      71. What is the wavelength of an earthquake that shakes you with a frequency of 10.0 Hz and gets to another city 84.0 km away in 12.0 s?

      المحلول
      &lambda=700 m

      72. Radio waves transmitted through space at (displaystyle 3.00×10^8m/s) by the Voyager spacecraft have a wavelength of 0.120 m. What is their frequency?

      73. Your ear is capable of differentiating sounds that arrive at the ear just 1.00 ms apart. What is the minimum distance between two speakers that produce sounds that arrive at noticeably different times on a day when the speed of sound is 340 m/s?

      المحلول
      d=34.0 cm

      74. (a) Seismographs measure the arrival times of earthquakes with a precision of 0.100 s. To get the distance to the epicenter of the quake, they compare the arrival times of S- and P-waves, which travel at different speeds. Figure) If S- and P-waves travel at 4.00 and 7.20 km/s, respectively, in the region considered, how precisely can the distance to the source of the earthquake be determined?

      (b) Seismic waves from underground detonations of nuclear bombs can be used to locate the test site and detect violations of test bans. Discuss whether your answer to (a) implies a serious limit to such detection. (Note also that the uncertainty is greater if there is an uncertainty in the propagation speeds of the S- and P-waves.)


      A seismograph as described in above problem.(credit: Oleg Alexandrov)

      16.10: Superposition and Interference

      75. A car has two horns, one emitting a frequency of 199 Hz and the other emitting a frequency of 203 Hz. What beat frequency do they produce?

      المحلول
      (displaystyle f=4 Hz)

      76. The middle-C hammer of a piano hits two strings, producing beats of 1.50 Hz. One of the strings is tuned to 260.00 Hz. What frequencies could the other string have?

      77. Two tuning forks having frequencies of 460 and 464 Hz are struck simultaneously. What average frequency will you hear, and what will the beat frequency be?

      المحلول
      462 Hz,
      4 Hz

      78. Twin jet engines on an airplane are producing an average sound frequency of 4100 Hz with a beat frequency of 0.500 Hz. What are their individual frequencies?

      79. A wave traveling on a Slinky® that is stretched to 4 m takes 2.4 s to travel the length of the Slinky and back again.

      (a) What is the speed of the wave?

      (b) Using the same Slinky stretched to the same length, a standing wave is created which consists of three antinodes and four nodes. At what frequency must the Slinky be oscillating?

      المحلول
      (a) 3.33 m/s
      (b) 1.25 Hz

      80. Three adjacent keys on a piano (F, F-sharp, and G) are struck simultaneously, producing frequencies of 349, 370, and 392 Hz. What beat frequencies are produced by this discordant combination?

      16.11: Energy in Waves: Intensity

      81. Medical Application

      Ultrasound of intensity (displaystyle 1.50×10^2W/m^2) is produced by the rectangular head of a medical imaging device measuring 3.00 by 5.00 cm. What is its power output?

      المحلول
      0.225 W

      82. The low-frequency speaker of a stereo set has a surface area of (displaystyle 0.05m^2) and produces 1W of acoustical power. What is the intensity at the speaker? If the speaker projects sound uniformly in all directions, at what distance from the speaker is the intensity (displaystyle 0.1W/m^2)?

      83. To increase intensity of a wave by a factor of 50, by what factor should the amplitude be increased?

      المحلول
      7.07

      84. Engineering Application

      A device called an insolation meter is used to measure the intensity of sunlight has an area of (displaystyle 100 cm^2) and registers 6.50 W. What is the intensity in (displaystyle W/m^2)?

      85. Astronomy Application

      Energy from the Sun arrives at the top of the Earth&rsquos atmosphere with an intensity of (displaystyle 1.30kW/m^2). How long does it take for (displaystyle 1.8×10^9J) to arrive on an area of (displaystyle 1.00m^2)?

      المحلول
      16.0 d

      86. Suppose you have a device that extracts energy from ocean breakers in direct proportion to their intensity. If the device produces 10.0 kW of power on a day when the breakers are 1.20 m high, how much will it produce when they are 0.600 m high?

      المحلول
      2.50 kW

      87. Engineering Application

      (a) A photovoltaic array of (solar cells) is 10.0% efficient in gathering solar energy and converting it to electricity. If the average intensity of sunlight on one day is (displaystyle 700W/m^2), what area should your array have to gather energy at the rate of 100 W?

      (b) What is the maximum cost of the array if it must pay for itself in two years of operation averaging 10.0 hours per day? Assume that it earns money at the rate of 9.00 ¢ per kilowatt-hour.

      88. A microphone receiving a pure sound tone feeds an oscilloscope, producing a wave on its screen. If the sound intensity is originally (displaystyle 2.00×10^<&ndash5>W/m^2), but is turned up until the amplitude increases by 30.0%, what is the new intensity?

      المحلول
      (displaystyle 3.38×10^<&ndash5>W/m^2)

      89. Medical Application

      (a) What is the intensity in (displaystyle W/m^2) of a laser beam used to burn away cancerous tissue that, when 90.0% absorbed, puts 500 J of energy into a circular spot 2.00 mm in diameter in 4.00 s?

      (b) Discuss how this intensity compares to the average intensity of sunlight (about (displaystyle 700W/m^2)) and the implications that would have if the laser beam entered your eye. Note how your answer depends on the time duration of the exposure.


      Passive Tense Review

      Do you remember the difference between active و passive sentences?

      In an active sentence:

      Someone or something is performing an action.
      "The cat chased the mouse."

      In a passive sentence:

      Someone or something is having something done to them.
      "The mouse was chased by the cat."

      In order to make a passive sentence you need:

      • A form of the verb 'to be'
      • A past tense verb
        e.g."Thousands of toys are bought every Christmas."

      If we want to say who performed the action then we must add 'بواسطة'.
      e.g. "Thousands of toys are bought every Christmas by parents."

      Can you convert the following sentences into the passive voice?

      1. Jennifer bought the cake.
      2. Millions of people visit Cape Town every year.
      3. Emily and Patrick ate my chocolate!
      4. Sam painted a beautiful picture.
      5. Kevin drives Kate to work every day.
      6. Peter killed the rat.
      7. Caroline eats two bars of chocolate daily.
      8. The waves hit the ship.
      9. Sophie cleans the kitchen.
      10. Everyone watches the fireworks.


      Software

      The phone runs Android 10, along with Motorola&rsquos updated My UX interface. Motorola uses a light hand for its software overlay, so for the most part the software here is stock Android.

      My UX brings features like Moto Actions, which allow you to enable gestures to quickly activate commonly used features. For example, you can flip the phone over to silence it, or flick your wrist twice while holding it to turn on the flashlight.

      Although Motorola has yet to announce plans for any future software updates, we anticipate the phone will receive Android 11 at some point after it comes out.


      Sony E 16mm f/2.8 SEL16F28

      The Sony NEX system was announced in May 2010, with three lenses: the 18-55 and 18-200mm zoom lenses, and the subject of this review, the 16mm ƒ/2.8 pancake prime lens.

      The 16mm ƒ/2.8 was designed for the new Sony ''E'' mount, with the image circle filling only the APS-C sensor size (it would vignette if used with a full-frame camera, and it's not clear if that would even be possible). The lens gives an effective field of view of 24mm when mounted on a NEX3 or NEX5, and with the addition of bayonet-mount adapters, the lens can be used as a 20mm fisheye lens or a 18mm ultrawide angle lens.

      The lens takes 49mm filters, and while a lens hood does not ship with the lens, the hood from the 18-55mm lens is compatible. The lens is available now separately for approximately $250, or as part of a NEX camera kit.

      Sharpness
      The Sony E 16mm ƒ/2.8 pancake is fairly soft when used wide open at the ƒ/2.8 aperture: around 3-4 blur units on average, with a small sweet spot that is moderately sharper (about 1.5 blur units) in the center. Stopping down does improve results for sharpness, but not incredibly: by ƒ/4, it's 2-3 blur units, and it hits its maximum sharpness at ƒ/5.6-8, where the softer parts of the frame are about 2 blur units, while the center improves to about 1. Diffraction limiting begins to set in at ƒ/11, and the image is quite soft at f/22. (Oddly, even at f/22, the corners are noticeably softer than the center.)

      Chromatic Aberration
      We noted a high level of chromatic aberration present in images shot with the 16mm ƒ/2.8 E, and not necessarily just in the corners. CA is most prominent when the lens is shot wide open at ƒ/2.8, and reduces slightly as the lens is stopped down.

      Shading (''Vignetting'')
      Light falloff is a factor, but not a huge one, with this lens. When used wide open at ƒ/2.8, the corners of the image are 2/3 EV darker than the center when used at any other aperture, the corners are 1/3 EV darker than the center.

      Distortion
      Distortion is usually a factor for wide-angle lenses, and so it's not surprise to find distortion in images shot with the 16mm ƒ/2.8 E. What is surprising is that it's a fairly prominent pincushion distortion - wide-angle lenses usually produce barrel distortion. In this case, there is some slight barrel distortion throughout the image (+0.2%), but in the corners, we note -0.7% distortion.

      Autofocus Operation
      The Sony 16mm ƒ/2.8 E is quick to autofocus - the lens takes less than a second to slew through the entire range of focus. It is very fast as there is little to move inside the lens when focusing. Small changes in focus are conducted extremely quickly. The ring will turn all the way around with no stops. When using manual focus as you turn the ring the central section of the LCD displays an enlarged (7X or 14X) view of the image. It makes the camera very easy to use for manual focusing with this lens.

      Macro
      Look elsewhere for macro performance - the lens has a magnification rating of just 0.073x. To its credit, the minimum close-focusing distance is short, at just 24cm (a little under a foot).

      Build Quality and Handling
      A nice looking, very compact, pancake style lens that looks great on either the NEX3 or NEX5 bodies. The lens is very lightweight, weighing in at just 70 grams (2.5 oz). The front element is a tiny dime-size element, and the entire optical design of the lens is made up of just 5 elements, one of which is aspherical. The lens balances nicely on the NEX3 or 5 body, but it's worth noting that with the design of these cameras, the lens is offset to the left, and that does make that side of the camera slightly heavier.

      The only control surface on the lens is the focusing ring - there is simply no room on the lens for a depth-of-field scale or anything similar. All other functionality such as enabling or disabling autofocus is conducted on the camera. The rubber focusing ring is 3/8'' wide, and will rotate forever in either direction with no hard or soft stops.

      While the lens doesn't ship with a lens hood, the hood from the 18-55mm lens will fit on this lens and function well (however, we don't know whether it's the recommended hood). When attached, the petal-shaped lens hood will add 1 1/8'' to the overall length of the lens, and could be reversed for storage on the bayonet mount.

      The other accessories available for this lens are the wide-angle adapters, which we did not have an opportunity to test, but will allow the lens to operate as a 20mm fisheye lens (VCL-ECF1 adapter) or an 18mm ultrawide angle lens (VCL-ECU1 adapter).

      Alternatives

      Right now, there's precious little in the way of alternatives for the Sony E mount. An adapter exists to allow you to mount standard alpha lenses, but the only comparable lens would be the 16mm ƒ/2.8 fisheye. The NEX kit lens, the 18-55mm ƒ/3.5-5.6, offers almost-as-wide performance, but without the constant ƒ/2.8 aperture.

      Conclusion
      The size of the lens make a NEX camera system almost pocketable. If you like the idea of a wide prime for your NEX camera, right now there's simply nothing else available. It's an interesting little lens, but its price point and its performance are perhaps limiting it to strictly consumer application.

      Sample Photos

      The VFA target should give you a good idea of sharpness in the center and corners, as well as some idea of the extent of barrel or pincushion distortion and chromatic aberration, while the Still Life subject may help in judging contrast and color. We shoot both images using the default JPEG settings and manual white balance of our test bodies, so the images should be quite consistent from lens to lens.

      As appropriate, we shoot these with both full-frame and sub-frame bodies, at a range of focal lengths, and at both maximum aperture and ƒ/8. For the ''VFA'' target (the viewfinder accuracy target from Imaging Resource), we also provide sample crops from the center and upper-left corner of each shot, so you can quickly get a sense of relative sharpness, without having to download and inspect the full-res images. To avoid space limitations with the layout of our review pages, indexes to the test shots launch in separate windows.


      Watch the video: تمارين لألم الكتف. الاصطدام. التهاب كيسي. مرض الكفة المدورة بواسطة Andrea Furlan MD PhD (ديسمبر 2021).