مقالات

8.4: استخدم نظام الإحداثيات المستطيلة (الجزء 2) - الرياضيات


تحقق من حلول معادلة في متغيرين

جميع المعادلات التي قمنا بحلها حتى الآن كانت معادلات ذات متغير واحد. في كل حالة تقريبًا ، عندما حللنا المعادلة ، حصلنا على حل واحد بالضبط. انتهت عملية حل المعادلة بعبارة مثل x = 4. ثم تحققنا من الحل بالتعويض مرة أخرى في المعادلة.

فيما يلي مثال على معادلة خطية في متغير واحد وحلها الوحيد.

[ start {split} 3x + 5 & = 17 3x & = 12 x & = 4 end {split} ]

لكن يمكن أن تحتوي المعادلات على أكثر من متغير واحد. يمكن كتابة المعادلات ذات المتغيرين بالصيغة العامة Ax + By = C. تسمى معادلة من هذا النموذج معادلة خطية في متغيرين.

التعريف: معادلة خطية

تسمى المعادلة من الشكل Ax + By = C ، حيث لا يكون كل من A و B صفراً ، معادلة خطية في متغيرين.

لاحظ أن كلمة "line" مكتوبة بخط خطي.

فيما يلي مثال لمعادلة خطية في متغيرين ، x و y:

[ begin {split} textcolor {red} {A} x + textcolor {blue} {B} y & = textcolor {green} {C} x + textcolor {blue} {4} y & = textcolor {green} {8} textcolor {red} {A = 1}، ؛ textcolor {blue} {B = 4}، ؛ & textcolor {green} {C = 8} end {split} ]

هل y = −5x + 1 معادلة خطية؟ لا يبدو أنه بصيغة Ax + By = C. لكن يمكننا إعادة كتابته بهذه الصيغة.

$$ y = -5x + 1 $$
أضف 5x إلى كلا الجانبين.$$ y + 5x = -5x + 1 + 5x $$
تبسيط.$$ y + 5x = 1 $$
استخدم الخاصية التبادلية لوضعها في Ax + By = C.$$ start {split} textcolor {red} {A} x + textcolor {blue} {B} y & = C 5 + quad y & = 1 end {split} $$

بإعادة كتابة y = −5x + 1 في صورة 5x + y = 1 ، يمكننا أن نرى أنها معادلة خطية في متغيرين لأنه يمكن كتابتها بالصيغة Ax + By = C.

المعادلات الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول. لكل رقم يتم استبداله بـ x ، هناك قيمة y مقابلة. هذا الزوج من القيم هو حل المعادلة الخطية ويمثله الزوج المرتب (س ، ص). عندما نعوض بقيمتي x و y في المعادلة ، تكون النتيجة عبارة صحيحة لأن القيمة على الجانب الأيسر تساوي القيمة الموجودة في الجانب الأيمن.

التعريف: حل معادلة خطية في متغيرين

الزوج المرتب (x ، y) هو حل للمعادلة الخطية Ax + By = C ، إذا كانت المعادلة عبارة صحيحة عندما يتم استبدال قيم x و y للزوج المرتب في المعادلة.

مثال ( PageIndex {8} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلول المعادلة س + 4 ص = 8: (أ) (0 ، 2) (ب) (2 ، −4) (ج) (−4 ، 3)

المحلول

عوّض بقيمتي x و y من كل زوج مرتب في المعادلة وحدد ما إذا كانت النتيجة عبارة صحيحة.

(أ) (0 ، 2)(ب) (2 ، −4)(ج) (-4 ، 3)
$$ start {split} x = textcolor {blue} {0}، ؛ y & = textcolor {red} {2} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {0} + 4 cdot textcolor {red} {2} & stackrel {؟} {=} 8 0 + 8 & stackrel {؟} {=} 8 8 & = 8 ؛ checkmark end {split} $$$$ start {split} x = textcolor {blue} {2}، ؛ y & = textcolor {red} {- 4} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {2} + 4 ( textcolor {red} {- 4}) & stackrel {؟} { =} 8 2 + (-16) & stackrel {؟} {=} 8 -14 & neq 8 end {split} $$$$ start {split} x = textcolor {blue} {- 4}، ؛ y & = textcolor {red} {3} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {- 4} + 4 cdot textcolor {red} {3} & stackrel {؟} {= } 8 -4 + 12 & stackrel {؟} {=} 8 8 & = 8 ؛ checkmark end {split} $$
(0، 2) هو الحل.(2، −4) ليس حلاً.(−4، 3) حل.

التمرين ( PageIndex {15} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة التالية: 2x + 3y = 6

(أ) (3 ، 0) (ب) (2 ، 0) (ج) (6 ، −2)

إجابه

(أ) ، (ج)

التمرين ( PageIndex {16} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة التالية: 4x - y = 8

(أ) (0 ، 8) (ب) (2 ، 0) (ج) (1 ، −4)

إجابه

(ب) ، (ج)

مثال ( PageIndex {9} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلول المعادلة. ص = 5 س - 1: (أ) (0 ، −1) (ب) (1 ، 4) (ج) (2 ، −7)

المحلول

عوّض بقيمتي x و y من كل زوج مرتب في المعادلة وحدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة.

(أ) (0 ، -1)(ب) (1 ، 4)(ج) (-2 ، -7)
$$ start {split} x & = textcolor {blue} {0}، ؛ y = textcolor {red} {- 1} y & = 5x - 1 textcolor {red} {- 1} & stackrel {؟} {=} 5 ( textcolor {blue} {0}) - 1 -1 & stackrel {؟} {=} 0-1 -1 & = -1 ؛ checkmark end {split} $$$$ start {split} x & = textcolor {blue} {1}، ؛ y = textcolor {red} {4} y & = 5x - 1 textcolor {red} {4} & stackrel {؟} {=} 5 ( textcolor {blue} {1}) - 1 4 & stackrel {؟} {=} 5 - 1 4 & = 4 ؛ checkmark end {split} $$$$ start {split} x & = textcolor {blue} {- 2}، ؛ y = textcolor {red} {- 7} y & = 5x - 1 textcolor {red} {- 7} & stackrel {؟} {=} 5 ( textcolor {blue} {- 2} ) - 1 -7 & stackrel {؟} {=} -10 - 1 -7 & neq -11 end {split} $$
(0، -1) هو الحل.(1 ، 4) هو الحل.(−2، -7) ليس حلاً.

التمرين ( PageIndex {17} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة التالية: y = 4x - 3

(أ) (0 ، 3) (ب) (1 ، 1) (ج) (1 ، 1)

إجابه

(ب)

التمرين ( PageIndex {18} ):

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة التالية: y = −2x + 6

(أ) (0 ، 6) (ب) (1 ، 4) (ج) (−2 ، −2)

إجابه

(أ) ، (ب)

أكمل جدول حلول المعادلة الخطية

في الأمثلة السابقة ، استبدلنا قيمتي x و y لزوج مرتب معين لتحديد ما إذا كان حلًا لمعادلة خطية أم لا. ولكن كيف نجد الأزواج المرتبة إذا لم يتم تقديمها؟ إحدى الطرق هي اختيار قيمة x ثم حل معادلة y. أو اختر قيمة y ثم حلها من أجل x.

سنبدأ بإلقاء نظرة على حلول المعادلة y = 5x - 1 التي وجدناها في مثال ( PageIndex {1} ). يمكننا تلخيص هذه المعلومات في جدول الحلول.

ص = 5 س - 1
xذ(س ، ص)
0-1(0, -1)
14(1, 4)

لإيجاد حل ثالث ، سنترك x = 2 ونوجد قيمة y.

$$ y = 5x - 1 $$
استبدل x = ( textcolor {blue} {2} ).$$ y = 5 ( textcolor {blue} {2}) - 1 $$
تتضاعف.$$ y = 10 - 1 $$
تبسيط.$$ y = 9 $$

الزوج المرتب هو حل لـ y = 5x - 1. سنضيفه إلى الجدول.

ص = 5 س - 1
xذ(س ، ص)
0-1(0, -1)
14(1, 4)
29(2, 9)

يمكننا إيجاد المزيد من الحلول للمعادلة بالتعويض بأي قيمة لـ x أو أي قيمة لـ y وحل المعادلة الناتجة للحصول على زوج مرتب آخر يمثل الحل. هناك عدد لا حصر له من الحلول لهذه المعادلة.

مثال ( PageIndex {10} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة ص = 4x - 2:

ص = 4x - 2
xذ(س ، ص)
0
-1
2

المحلول

عوّض x = 0 و x = −1 و x = 2 في y = 4x - 2.

س = ( textcolor {blue} {0} )س = ( textcolor {blue} {- 1} )س = ( textcolor {blue} {2} )
ص = 4x - 2ص = 4x - 2ص = 4x - 2
y = 4 • ( textcolor {blue} {0} ) - 2ص = 4 ( ( textcolor {blue} {- 1} )) - 2y = 4 • ( textcolor {blue} {2} ) - 2
ص = 0-2ص = −4 - 2ص = 8-2
ص = −2ص = −6ص = 6
(0, −2)(−1, −6)(2, 6)

النتائج ملخصة في الجدول.

ص = 4x - 2
xذ(س ، ص)
0-2(0, -2)
-1-6(-1, -6)
26(2, 6)

التمرين ( PageIndex {19} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: ص = 3 س - 1.

ص = 3 س - 1
xذ(س ، ص)
0
-1
2
إجابه
ص = 3 س - 1
xذ(س ، ص)
0-1(0, -1)
-1-4(-1, -4)
25(2, 5)

التمرين ( PageIndex {20} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: y = 6x + 1.

ص = 6 س + 1
xذ(س ، ص)
0
1
-2
إجابه
ص = 6 س + 1
xذ(س ، ص)
01(0, 1)
-17(1, 7)
2-11(-2, -11)

مثال ( PageIndex {11} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة 5 س - 4 ص = 20:

5 س - 4 ص = 20
xذ(س ، ص)
0
0
5

المحلول

$$ start {split} x & = textcolor {blue} {0} 5x - 4y & = 20 5 cdot textcolor {blue} {0} - 4y & = 20 textcolor {blue } {0} - 4y & = 20 -4y & = 20 y & = -5 (0، ؛ & -5) end {split} $$$$ start {split} y & = textcolor {red} {0} 5x - 4y & = 20 5x - 4 cdot textcolor {red} {0} & = 20 5x - 0 & = 20 5x & = 20 x & = 4 (& 4، ؛ 0) end {split} $$$$ start {split} y & = textcolor {red} {5} 5x - 4y & = 20 5x - 4 cdot textcolor {red} {5} & = 20 5x - 20 & = 20 5x & = 40 x & = 8 (& 8، ؛ 5) end {split} $$

النتائج ملخصة في الجدول.

5 س - 4 ص = 20
xذ(س ، ص)
0-5(0, -5)
40(-4, 0)
85(8, 5)

التمرين ( PageIndex {21} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: 2x - 5y = 20.

2 س - 5 ص = 20
xذ(س ، ص)
0
0
-5
إجابه
2 س - 5 ص = 20
xذ(س ، ص)
0-4(0, -4)
100(10, 0)
-5-6(-5, -6)

التمرين ( PageIndex {22} ):

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: 3 س - 4 ص = 12.

3 س - 4 ص = 12
xذ(س ، ص)
0
0
-4
إجابه
3 س - 4 ص = 12
xذ(س ، ص)
0-3(0, -3)
40(4, 0)
-4-6(-4, -6)

إيجاد حلول للمعادلات الخطية في متغيرين

لإيجاد حل لمعادلة خطية ، يمكننا اختيار أي رقم نريد استبداله في المعادلة إما بـ x أو y. يمكننا اختيار 1 أو 100 أو 1000 أو أي قيمة أخرى نريدها. لكن من الجيد اختيار رقم يسهل التعامل معه. سنختار عادةً 0 كإحدى قيمنا.

مثال ( PageIndex {12} ):

أوجد حلًا للمعادلة 3 س + 2 ص = 6.

المحلول

الخطوة 1: اختر أي قيمة لأحد المتغيرات في المعادلة.

يمكننا التعويض بأي قيمة نريدها عن x أو بأي قيمة لـ y.

لنختار x = 0. ما قيمة y إذا كانت x = 0؟

الخطوة 2: استبدل هذه القيمة في المعادلة. أوجد قيمة المتغير الآخر.

عوّض بـ 0 عن x. تبسيط.

اقسم كلا الجانبين على 2.

$$ start {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {0} + 2y & = 6 0 + 2y & = 6 2y & = 6 y & = 3 end {split} $$
الخطوه 3: اكتب الحل كزوج مرتب.لذلك ، عندما تكون س = 0 ، ص = 3.يتم تمثيل هذا الحل من خلال الزوج المرتب (0 ، 3).
الخطوة 4: التحقق من.

عوّض x = ( textcolor {blue} {0} )، y = ( textcolor {red} {3} ) في المعادلة 3x + 2y = 6.

هل النتيجة معادلة صحيحة؟ نعم!

$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {0} + 2 cdot textcolor {red} {3} & stackrel {؟} {=} 6 0 + 6 & stackrel {؟} {=} 6 6 & = 6 ؛ checkmark end {split} $$

التمرين ( PageIndex {23} ):

أوجد حلًا للمعادلة: 4x + 3y = 12.

إجابه

الأجوبة ستختلف

التمرين ( PageIndex {24} ):

أوجد حلًا للمعادلة: 2x + 4y = 8.

إجابه

الأجوبة ستختلف

قلنا أن المعادلات الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول ، ووجدنا للتو واحدًا منهم. لنجد بعض الحلول الأخرى للمعادلة 3x + 2y = 6.

مثال ( PageIndex {13} ):

أوجد ثلاثة حلول أخرى للمعادلة 3 س + 2 ص = 6.

المحلول

لإيجاد حلول لـ 3x + 2y = 6 ، اختر قيمة x أو y. تذكر أنه يمكننا اختيار أي قيمة نريدها لـ x أو y. هنا اخترنا 1 لـ x ، و 0 و −3 لـ y.

عوض بها في المعادلة.$$ start {split} y & = textcolor {red} {0} 3x + 2y & = 6 3x + 2 ( textcolor {red} {0}) & = 6 end {split} $ $$$ start {split} x & = textcolor {blue} {1} 3x + 2y & = 6 3 ( textcolor {blue} {1}) + 2y & = 6 end {split} $ $$$ start {split} y & = textcolor {red} {- 3} 3x + 2y & = 6 3x + 2 ( textcolor {red} {- 3}) & = 6 end {split } $$
تبسيط. يحل.$$ start {split} 3x + 0 & = 6 3x & = 6 end {split} $$$$ begin {split} 3 + 2y & = 6 2y & = 3 end {split} $$$$ begin {split} 3x - 6 & = 6 3x & = 12 end {split} $$
س = 2ص = ( dfrac {3} {2} )س = 4
اكتب الزوج المرتب.(2, 0)(1، ( dfrac {3} {2} ))(4, −3)

راجع إجاباتك.

(2, 0)(1، ( dfrac {3} {2} ))(4, −3)
$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {2} + 2 cdot textcolor {red} {0} & stackrel {؟} {=} 6 6 + 0 & stackrel {؟} {=} 6 6 & = 6 ؛ checkmark end {split} $$$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {1} + 2 cdot textcolor {red} { dfrac {3} {2}} & stackrel {؟ } {=} 6 3 + 3 & stackrel {؟} {=} 6 6 & = 6 ؛ checkmark end {split} $$$$ start {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {4} + 2 cdot ( textcolor {red} {- 3}) & stackrel {؟} {=} 6 12 + (-6) & stackrel {؟} {=} 6 6 & = 6 ؛ checkmark end {split} $$

إذن (2، 0)، (1، ( dfrac {3} {2} )) و (4، −3) كلها حلول للمعادلة 3x + 2y = 6. في المثال السابق وجدنا أن (0 ، 3) حل أيضًا. يمكننا سرد هذه الحلول في جدول.

3 س + 2 ص = 6
xذ(س ، ص)
03(0, 3)
20(2, 0)
1 ( dfrac {3} {2} )(1، ( dfrac {3} {2} ))
4-3(4, -3)

التمرين ( PageIndex {25} ):

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 2 س + 3 ص = 6.

إجابه

الأجوبة ستختلف

التمرين ( PageIndex {26} ):

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 4x + 2y = 8.

إجابه

الأجوبة ستختلف

دعونا نجد بعض الحلول لمعادلة أخرى الآن.

مثال ( PageIndex {14} ):

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة س - 4 ص = 8.

المحلول

اختر قيمة لـ x أو y.س = ( textcolor {blue} {0} )ص = ( textcolor {أحمر} {0} )ص = ( textcolor {أحمر} {3} )
عوض بها في المعادلة.$$ textcolor {blue} {0} - 4y = 8 $$$$ x - 4 cdot textcolor {red} {0} = 8 $$$$ x - 4 cdot textcolor {red} {3} = 8 $$
يحل.$$ begin {split} -4y & = 8 y & = -2 end {split} $$$$ start {split} x - 0 & = 8 x & = 8 end {split} $$$$ start {split} x - 12 & = 8 x & = 20 end {split} $$
اكتب الزوج المرتب.(0, −2)(8, 0)(20, 3)

إذن (0 ، −2) ، (8 ، 0) ، (20 ، 3) ثلاثة حلول للمعادلة س - 4 ص = 8.

س - 4 ص = 8
xذ(س ، ص)
0-2(0, -2)
80(8, 0)
203(20, 3)

تذكر أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول لكل معادلة خطية. أي نقطة تجدها هي حل إذا جعلت المعادلة صحيحة.

التمرين ( PageIndex {27} ):

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 4x + y = 8.

إجابه

الأجوبة ستختلف

التمرين ( PageIndex {28} ):

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: س + 5 ص = 10.

إجابه

الأجوبة ستختلف

مع التدريب يأتي الإتقان

ارسم النقاط على نظام إحداثيات مستطيل

في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات.

  1. (3, 2)
  2. (4, 1)
  3. (1, 5)
  4. (3, 4)
  5. (4, 1), (1, 4)
  6. (3, 2), (2, 3)
  7. (3, 4), (4, 3)

في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة.

  1. (أ) (−4، 2) (ب) (1، −2) (ج) (3، −5) (د) ( يسار (2، dfrac {5} {2} يمين) )
  2. (أ) (−2، −3) (ب) (3، −3) (ج) (−4، 1) (د) ( يسار (1، dfrac {3} {2} يمين) )
  3. (أ) (−1، 1) (ب) (2، −1) (ج) (1، −4) (د) ( يسار (3، dfrac {7} {2} يمين) )
  4. (أ) (3 ، -2) (ب) (3 ، 2) (ج) (-3 ، −2) (د) (3 ، 2)
  5. (أ) (4 ، -1) (ب) (4 ، 1) (ج) (-4 ، -1) (د) (4 ، 1)
  6. (أ) (2 ، 0) (ب) (3 ، 0) (ج) (0 ، 4) (د) (0 ، 2)

تحقق من حلول معادلة في متغيرين

في التدريبات التالية ، حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة المحددة.

  1. 2 س + ص = 6
    1. (1, 4)
    2. (3, 0)
    3. (2, 3)
  2. س + 3 ص = 9
    1. (0, 3)
    2. (6, 1)
    3. (-3, -3)
  3. 4 س - 2 ص = 8
    1. (3, 2)
    2. (1, 4)
    3. (0, -4)
  4. 3 س - 2 ص = 12
    1. (4, 0)
    2. (2, -3)
    3. (1, 6)
  5. ص = 4x + 3
    1. (4, 3)
    2. (-1, -1)
    3. ( ( dfrac {1} {2} )، 5)
  6. ص = 2 س - 5
    1. (0, -5)
    2. (2, 1)
    3. ( ( dfrac {1} {2} )، -4)
  7. ص = ( dfrac {1} {2} ) س - 1
    1. (2, 0)
    2. (-6, -4)
    3. (-4, -1)
  8. y = ( dfrac {1} {3} ) x + 1
    1. (-3, 0)
    2. (9, 4)
    3. (-6, -1)

إيجاد حلول للمعادلات الخطية في متغيرين

في التمارين التالية ، أكمل الجدول لإيجاد حلول لكل معادلة خطية.

ص = 2 س - 4

xذ(س ، ص)
-1
0
2
  1. ص = 3 س - 1
xذ(س ، ص)
-1
0
2
  1. ص = - س + 5
xذ(س ، ص)
-2
0
3
  1. y = ( dfrac {1} {3} ) x + 1
xذ(س ، ص)
0
3
6
  1. y = (- dfrac {3} {2} ) x - 2
xذ(س ، ص)
-2
0
2
  1. س + 2 ص = 8
xذ(س ، ص)
0
4
0

الرياضيات اليومية

  1. وزن الطفل سجلت ماكنزي وزن طفلها كل شهرين. يتم سرد عمر الطفل ، بالأشهر ، والوزن ، بالجنيه ، في الجدول ، وتظهر كزوج مرتب في العمود الثالث.
    1. ارسم النقاط على شبكة إحداثيات.
    2. لماذا احتاج فقط رباعي؟
عمروزن(س ، ص)
07(0, 7)
211(2, 11)
415(4, 15)
616(6, 16)
819(8, 19)
1020(10, 20)
1221(12, 21)
  1. وزن الطفلة لطريشة سجلت طول ابنها ووزنه كل عام. طوله ، بالبوصة ، ووزنه ، بالجنيه ، مدرجان في الجدول ، ويظهران كزوج مرتب في العمود الثالث.
    1. ارسم النقاط على شبكة إحداثيات.
    2. لماذا احتاج فقط رباعي؟
ارتفاعوزن(س ، ص)
2822(28, 22)
3127(31, 27)
3333(33, 33)
3735(37, 35)
4041(40, 41)
4245(42, 45)

تمارين الكتابة

  1. هل سبق لك استخدام خريطة بنظام إحداثيات مستطيل؟ صِف الخريطة وكيف استخدمتها.
  2. كيف يمكنك تحديد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً لمعادلة معينة؟

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك بأسرع ما يمكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.


أنظمة التنسيق ليست جزءًا من الطوبولوجيا ، ولكن (الطوبولوجي) البعد من الفضاء. الإحداثيات هي طريقة لتحويل الهندسة إلى جبر و / أو تحليل.

تعد إجابة @ Henno مثالية من نواح كثيرة ، فإن الجملة الثانية على وجه الخصوص تقطر شيئًا لم أفهمه إلا بعد سنوات عديدة من حصولي على الدكتوراه ، للأسف. هذا يعني أيضًا أنه قد لا يكون مفيدًا تمامًا للمبتدئين. مع وجود خطر زيادة الارتباك ، اسمحوا لي أن أقول أكثر من ذلك بقليل:

"جزء من" ليس مفهومًا محددًا جيدًا في الرياضيات. نحن نستخدم الأدوات المناسبة للحصول على النتائج. في الطوبولوجيا ، نميل إلى التفكير في أنفسنا على أننا "نعرف" عن $ Bbb R ^ n $ (لدينا الكثير من النظريات المفيدة حول الخط الحقيقي ، والمستوى ، وما إلى ذلك). إذا كنا ندرس بعض المساحة $ X $ ويمكننا أن نجد ، على سبيل المثال ، مراسلات (لطيفة) بين مجموعة فرعية $ V مجموعة فرعية X $ ومجموعة مفتوحة $ U مجموعة فرعية Bbb R ^ n $ ، فإننا نشعر بأننا حصلنا على فهم لـ $ V $: "يبدو وكأنه مساحة إقليدية قليلاً." وقد نستخدم الإحداثيات في الفضاء الإقليدي لنقول شيئًا عن نقاط $ V $. لذلك بينما "أنظمة الإحداثيات" ليست جزءًا من الطوبولوجيا ، هناك الكثير من الأماكن في كتب الطوبولوجيا (خاصة كتب الطبولوجيا التفاضلية) حيث ستراها تظهر.

عبر نظام إحداثيات ديكارتي (في مساحة إقليدية) يمكنك تحديد المسافة ، على سبيل المثال ، لديك نقاط $ x = startx_1 cdot x_n end، ص = تبدأy_1 cdot y_n end$ معطى في الإحداثيات الديكارتية (في مساحة أبعاد $ n $) المسافة بينهما (على سبيل المثال) مُعطاة بـ $ d (x، y) = sqrt <(x_1-y_1) ^ 2 +. + (x_n-y_n) ^ 2> $ والآن يمكنك قول مجموعة $ M مجموعة فرعية mathbb^ n $ هو $ textbf$ إذا كان لكل نقطة $ x في M $ يوجد قرص $ D _ < varepsilon> (x) $ موجود في $ M $: $ D _ < varepsilon> (x) = <>^ n: d (x، y) & lt varepsilon > subset M. $ الآن بقول أي المجموعات هي $ textbf$ تقوم بتعريف طوبولوجيا على مجموعة. هذا هو سبب تسمية هذه الفكرة $ textbf$. هذه مجرد طريقة واحدة لكيفية استخدام الإحداثيات الديكارتية لتعريف الهيكل. لذلك هناك ارتباط بين الإحداثيات والطوبولوجيا ، لا يمكن للمرء أن يقول أنها جزء منه ، على الرغم من أنه ليس من الواضح ما الذي من المفترض أن يعنيه ذلك.


1 إجابة 1

بافتراض أن المنطقة المعنية صغيرة بما يكفي مقارنة بالأرض بحيث يمكن اعتبارها مسطحة ، فإن التحويل من القطبية إلى الديكارتية هو يبدأ x & amp = & amp r cos theta y & amp = & amp r sin theta end

ومع ذلك ، كما لاحظت في سؤالك الثالث ، إذا كانت بياناتك عبارة عن شبكة في $ r $ و $ theta $ ، فلن يمنحك هذا شبكة في $ x $ و $ y $. إذا كانت هذه مشكلة (ربما لأن برنامج الصور الخاص بك يتطلب شبكة) ، فسيتعين عليك إقحام مجموعة البيانات هذه في شبكة. يجب أن تكون هناك مكتبات برامج يمكنها القيام بذلك بشكل أكثر فاعلية من أي شيء تكتبه. إذا كان عليك كتابة ما يخصك لسبب ما ، فيجب أن تكون قادرًا على ترميز استيفاء بسيط للطائرة بين أقرب ثلاث نقاط بيانات.

بالنسبة لسؤالك الثاني ، إذا أعطيت مجموعة من النقاط تحدها دائرة من حيث الإحداثيات القطبية التي لا يكون أصلها مركز الدائرة ، فسأسأل كل من يأخذ البيانات عما كان يفكر فيه على الأرض. الحل هو التحول إلى الديكارتي ، ثم تطبيق الترجمة بطرح إحداثيات المركز.

تحرير: يبدو أن السؤال كان حول تحويل بيانات خطوط الطول والعرض إلى ديكارتي ، مما يغير الإجابة على سؤالي بشكل كبير.

ستحتاج إلى استخدام الإسقاط السمتي لمنطقة دائرية صغيرة من الأرض. على الرغم من أن أيًا منها سيعمل بشكل جيد على الأرجح في المناطق الصغيرة ، إلا أنني أوصي إما بالإسقاط العقلي ، أو الإسقاط الفريد الذي يرسم الدوائر الكبيرة على الخطوط المستقيمة ، أو الإسقاط المجسم ، الذي يحافظ على الشكل محليًا. يمكن العثور على صيغ التحويلات في الروابط.


8.4: استخدم نظام الإحداثيات المستطيلة (الجزء 2) - الرياضيات

تصف قصة قديمة كيف اخترع عالم الرياضيات / الفيلسوف في القرن السابع عشر رينيه ديكارت النظام الذي أصبح أساس الجبر عندما كان مريضًا في الفراش. وفقًا للقصة ، كان ديكارت يحدق في ذبابة تزحف على السقف عندما أدرك أنه يمكنه وصف موقع الذبابة فيما يتعلق بالخطوط العمودية التي شكلتها الجدران المجاورة لغرفته. نظر إلى الخطوط العمودية كمحاور أفقية ورأسية. علاوة على ذلك ، من خلال تقسيم كل محور إلى أطوال وحدة متساوية ، رأى ديكارت أنه من الممكن تحديد موقع أي كائن في مستوى ثنائي الأبعاد باستخدام رقمين فقط - الإزاحة من المحور الأفقي والإزاحة من المحور الرأسي.

في حين أن هناك أدلة على وجود أفكار مشابهة لنظام شبكة ديكارت قبل قرون ، كان ديكارت هو الذي قدم المكونات التي تشكل نظام الإحداثيات الديكارتية، نظام شبكي له محاور عمودية. أطلق ديكارت على المحور الأفقي اسم س-محور والمحور العمودي ص-محور.

يعتمد نظام الإحداثيات الديكارتية ، ويسمى أيضًا نظام الإحداثيات المستطيلة ، على مستوى ثنائي الأبعاد يتكون من x-المحور و ذ-محور. عموديًا على بعضها البعض ، تقسم المحاور المستوى إلى أربعة أقسام. كل قسم يسمى رباعي الأرباع مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح في الشكل أدناه.

نظام الإحداثيات الديكارتية مع تسمية جميع الأرباع الأربعة.

جربها

مركز المستوى هو النقطة التي يتقاطع عندها المحورين. ومن المعروف باسم الأصل أو النقطة [لاتكس] يسار (0،0 يمين) [/ لاتكس]. من الأصل ، يتم تقسيم كل محور أيضًا إلى وحدات متساوية: أرقام متزايدة وموجبة على اليمين على س-المحور وما فوق ص-تناقص المحور ، والأرقام السالبة على اليسار على س-المحور وأسفل ص-محور. تمتد المحاور إلى اللانهاية الموجبة والسالبة كما هو موضح في رؤوس الأسهم في الشكل أدناه.

يتم تحديد كل نقطة في المستوى من خلال س-تنسيق، أو الإزاحة الأفقية من الأصل ، و ص-تنسيق، أو الإزاحة الرأسية من الأصل. معا نكتبها كملف زوج مرتب تشير إلى المسافة المجمعة من الأصل بالشكل [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس]. يُعرف الزوج المرتب أيضًا باسم زوج الإحداثيات لأنه يتكون من x و ذ- التنسيق. على سبيل المثال ، يمكننا تمثيل النقطة [لاتكس] يسار (3 ، -1 يمين) [/ لاتكس] في المستوى عن طريق تحريك ثلاث وحدات إلى يمين الأصل في الاتجاه الأفقي ووحدة واحدة لأسفل في الاتجاه الرأسي .

توضيح لكيفية رسم النقطة (3 ، -1).

عند تقسيم المحاور إلى زيادات متباعدة بشكل متساوٍ ، لاحظ أن س-يمكن اعتبار المحور بشكل منفصل عن ص-محور. بمعنى آخر ، في حين أن ملف س-يمكن تقسيم المحور وتسميته وفقًا لأعداد صحيحة متتالية ، و ص-يمكن تقسيم المحور وتسميته بزيادات 2 أو 10 أو 100. في الواقع ، قد تمثل المحاور وحدات أخرى مثل السنوات مقابل الرصيد في حساب التوفير أو الكمية مقابل التكلفة. ضع في اعتبارك نظام الإحداثيات المستطيل في المقام الأول كطريقة لإظهار العلاقة بين كميتين.

ملاحظة عامة: نظام التنسيق الديكارتي

مستوى ثنائي الأبعاد حيث

يتم تعريف نقطة في المستوى على أنها زوج مرتب ، [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس] ، بحيث x يتم تحديده من خلال المسافة الأفقية من الأصل و ذ من خلال المسافة العمودية من الأصل.

مثال: رسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل

ارسم النقاط [اللاتكس] left (-2،4 right) [/ latex] ، [latex] left (3،3 right) [/ latex] ، و [latex] left (0، -3 right) [/ latex] في مستوى الإحداثيات.

لرسم النقطة [لاتكس] يسار (-2،4 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ من الأصل. ال x- التنسيق هو –2 ، لذا انقل وحدتين إلى اليسار. ال ذ- المنسق هو 4 ، لذا حرك أربع وحدات للأعلى في الموجب ذ اتجاه.

لرسم النقطة [لاتكس] يسار (3،3 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ مرة أخرى في الأصل. ال x- التنسيق هو 3 ، لذا انقل ثلاث وحدات إلى اليمين. ال ذ- المنسق هو أيضًا 3 ، لذا حرك ثلاث وحدات للأعلى في الموجب ذ اتجاه.

لرسم النقطة [لاتكس] يسار (0 ، -3 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ مرة أخرى في الأصل. ال x- التنسيق هو 0. هذا يخبرنا بعدم التحرك في أي اتجاه على طول x-محور. ال ذ- التنسيق هو –3 ، لذا حرك ثلاث وحدات لأسفل في السالب ذ اتجاه.

تحليل الحل

لاحظ أنه عندما يكون أي من الإحداثيين صفرًا ، يجب أن تكون النقطة على محور. إذا كان x-التنسيق هو صفر ، النقطة على ذ-محور. إذا كان ذ-التنسيق هو صفر ، النقطة على x-محور.

جربها

الماخذ الرئيسية

يمكنك استخدام أداة الرسوم البيانية عبر الإنترنت للتدرب على نقاط التآمر على مستوى الإحداثيات الديكارتية. شاهد الفيديو القصير التالي لتتعلم كيف!


8.4: استخدم نظام الإحداثيات المستطيلة (الجزء 2) - الرياضيات


سلسلة طويلة من المقالات كتبها معلم موهوب بشكل مثير للدهشة يستحق استثمار وقتك الثمين. أفضل أطروحة للتطبيق العملي وتحويل إحداثيات SPC التي رأيتها في أى مكان.

الأخطاء المطبعية والأحرف العشوائية هي نتيجة تحويل مجلة POB للمقالة وعلى هذا النحو تظهر في بياناتنا كما تظهر على موقع صندوق البريد. يقوم صندوق البريد بعمل رائع يتمثل في نشر عدد هائل من المقالات المهنية التي يتم الوصول إليها مجانًا لاستخدامنا المهني ، وهذه مجرد واحدة من الإزعاج الذي يصاحب السعي لتحقيق مثل هذا المسعى. يرجى دعم صندوق البريد من خلال الاستفادة من خدمات الاشتراك المجانية لكل من موقعه على الويب ومجلته.

ما يلي مقتبس من منشور لهيئة المسح الجيوديسي والساحل الأمريكي.

في أوائل الثلاثينيات من القرن الماضي ، اقترب مهندس من إدارة الطرق السريعة بالولاية من هيئة المسح الجيوديسي والساحل الأمريكي بحثًا عن طريقة لاستخدام البيانات الجيوديسية على مستوى الولاية بأكملها والتي ستشمل فقط صيغ المسح بالطائرة. أدى ذلك إلى إنشاء نظام تنسيق ولاية كارولينا الشمالية في عام 1933 والذي يمكن بواسطته تحويل ولاية كارولينا الشمالية إلى إحداثيات مستطيلة الشكل (x و y) على شبكة واحدة ، وإجراء عمليات مسح في جميع أجزاء الولاية المشار إليها ، بحيث يمكن وصف محطات المسح والمعالم بدقة من خلال تحديد إحداثياتها بالإشارة إلى الأصل المشترك للشبكة.

في غضون عام أو نحو ذلك بعد إنشاء نظام التنسيق في ولاية كارولينا الشمالية ، تم وضع نظام مماثل لكل ولاية من ولايات الاتحاد. بالنسبة لبعض هؤلاء ، كان أصل شبكة واحدة وخط الطول المرجعي كافيين. تم تقسيم الولايات الأخرى ، بسبب أحجامها الكبيرة ، إلى عدة أحزمة أو مناطق ، كل منطقة لها أصلها الخاص وخط الطول المرجعي.

يعتمد كل نظام إحداثي للولاية على إسقاط خريطة مطابق. باستخدام إسقاط الخريطة المطابقة كأساس لنظام إحداثيات الحالة ، وتحديد بُعد واحد من المنطقة التي سيتم تغطيتها بشبكة واحدة ، يتم تحقيق شيئين:

يتم الاحتفاظ بزوايا الإسقاط على الخريطة المطابقة. هذا يعني أنه عند نقطة معينة ، يكون الفرق بين السمت الجيوديسي والسمت الشبكي للخطوط القصيرة جدًا ثابتًا ، ويتم تمثيل الزوايا على الأرض التي تشكلها هذه الخطوط حقًا على الخريطة. لأغراض عملية لمسح الأراضي ، تنطبق هذه الحالة على مسافات تصل إلى 10 أميال. بالنسبة للخطوط الأطول ، يختلف الاختلاف ، والتصحيح الذي سيتم تطبيقه على أي زاوية (جيوديسية) ملحوظة للحصول على زاوية شبكة مقابلة هو اختلاف التصحيحات على سمت الخطوط ، المشتق بشكل منفصل. ستكون انحرافات أطوال الشبكة عن الأطوال الجيوديسية بحد أقصى على طول هوامش أطول بُعد للشبكة وفي منتصف الطريق بين هذه الهوامش. يُطلق على الكمية التي يُضرب بها الطول الجيوديسي للحصول على طول الشبكة المقابل عامل مقياس.

تسمح القيود في عرض الإسقاط أو الشبكة بالتحكم في انحرافات أطوال الشبكة عن الأطوال الجيوديسية. عندما يكون عرض منطقة مغطاة بشبكة واحدة هو 158 ميلاً من التمثال ، فإن الاختلاف الشديد بين أطوال الشبكة والجيوديسية سيكون 1/10000 من طول الخط ، وهو أمر مرضٍ تمامًا لمعظم عمليات مسح الأراضي ".

المنشور المقتبس هو المطبوع الخاص للمسح الجيوديسي والساحلي رقم 235 ، "أنظمة تنسيق الدولة". هناك منشور آخر ، منشور المسح الساحلي والجيوديسي 62-4 ، "إحداثيات مستوى الدولة عن طريق المعالجة التلقائية للبيانات." زود هذان المنشوران مهنة المسح ورسم الخرائط بمعلومات حول اشتقاق إحداثيات طائرة الدولة لعام 1927 بناءً على مسند أمريكا الشمالية لعام 1927 ، (NAD 27) بالإضافة إلى معلومات عن عمليات المسح والحسابات الأخرى باستخدام هذه الإحداثيات.

منذ عدة سنوات ، كنت واحدًا من ثلاثة متحدثين في ندوة في مؤتمر نيو مكسيكو للمساحين المحترفين في البوكيرك. تم طرح نظام إحداثيات طائرة الولاية ، وسألت كل شخص يستخدم إحداثيات طائرة الولاية لرفع أيديهم. تم رفع 10 أيدي فقط ، من بين حوالي 150 شخصًا في الغرفة. لقد طرحت نفس السؤال في ندوات في جميع أنحاء البلاد ووجدت أن المزيد من الأشخاص يستخدمون النظام ، لكن دائمًا ما يكون أقل من نصف الأشخاص في الغرفة.

لماذا يستخدم عدد قليل جدًا من المساحين إحداثيات طائرة الدولة ، ولماذا يرفض الآخرون استخدامها؟ لأنهم لا يفهمون ذلك. يلقي بعض المساحين باللوم على المجتمع الهندسي ، ويمكنني أن أفهم ذلك. ما لا يقل عن 95 في المائة من جميع خريجي الهندسة المدنية الشباب لم يتعرضوا لإحداثيات طائرات الدولة ، وهم الأشخاص المسؤولون عن مشاريع الطرق السريعة التي تسيطر عليها إحداثيات الطائرات الحكومية. ماذا يفعل هؤلاء الناس؟ الإصرار على تحويل جميع إحداثيات مستوى الحالة إلى إحداثيات سطحية بحيث يكون عامل المقياس لجميع المسافات المقاسة واحدًا. مشكلة أخرى هي أن بعض برامج الكمبيوتر على مستوى الدولة تمت كتابتها من قبل مبرمجي الكمبيوتر الذين لم يتخذوا نهجًا عمليًا لوظيفة المسح. اسمحوا لي أن أنهي هذا العمود بإخلاء المسؤولية ، هذه ليست مقالة توجيه أصابع الاتهام. هناك أوقات تكون فيها مسافات السطح وإحداثيات السطح أكثر ملاءمة من مسافات الشبكة وإحداثيات مستوى الحالة.

عندما تم إنشاء نظام إحداثيات مستوى الدولة ، وصف المؤلفون النظام بعبارات بسيطة ، يسهل فهمها من قبل المستخدمين. يوضح الشكل 1 نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد مألوف للجميع تقريبًا. اليوم نسمي هذا نظام إحداثيات مستطيل x و y أو نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد. أطلق عليه مؤلفو نظام إحداثيات مستوى الدولة اسم الشبكة. يُظهر الاقتباس التالي من المنشور الخاص للمسح الجيوديسي والساحل رقم 235 ، "أنظمة تنسيق الولاية" ، كيف وصفوها. كما هو الحال مع أي نظام إحداثيات مستطيل مستطيل ، يمكن تمثيل الإسقاط المستخدم في إنشاء نظام إحداثيات حالة بمجموعتين من الخطوط المتوازية ، المتقاطعة بزوايا قائمة. الشبكة التي تشكلت على هذا النحو تسمى الشبكة. مجموعة واحدة من هذه الخطوط موازية لمستوى خط الزوال الذي يمر تقريبًا عبر مركز المنطقة الموضحة على الشبكة ، وخط الشبكة المقابل لخط الزوال هذا هو محور Y للشبكة. يطلق عليه أيضًا خط الزوال المركزي للشبكة. تشكيل زوايا قائمة مع محور Y وإلى الجنوب من المنطقة الموضحة على الشبكة هو محور X. نقطة تقاطع هذه المحاور هي أصل الإحداثيات. يمكن تحديد موضع نقطة ممثلة على الشبكة بذكر مسافتين ، تسمى إحداثيات. إحدى هذه المسافات ، المعروفة بإحداثي x ، تعطي الموضع في اتجاه الشرق والغرب. المسافة الأخرى ، المعروفة باسم الإحداثي y ، تعطي الموضع في اتجاه الشمال والجنوب ، ويكون هذا الإحداثي دائمًا موجبًا. يزداد حجم إحداثيات x عدديًا من الغرب إلى الشرق ويزداد حجم إحداثيات y من الجنوب إلى الشمال. جميع إحداثيات x في منطقة ممثلة على شبكة الولاية تكون موجبة عن طريق تعيين إحداثيات الأصل: x = 0 بالإضافة إلى ثابت كبير.لأي نقطة ، إذن ، الإحداثي x يساوي قيمة x المعتمدة للأصل ، زائد أو ناقص المسافة (x ') للنقطة شرقًا أو غربًا من خط الزوال المركزي (محور Y) والإحداثي y يساوي المسافة العمودية إلى النقطة من المحور X. الوحدة الخطية لأنظمة إحداثيات الدولة هي القدم 12 بوصة المحددة بالتكافؤ: 1 متر دولي = 39.37 بوصة بالضبط.

تم تطوير نظام إحداثيات الحالة بحيث تكون هناك علاقة مباشرة بين الإحداثيات الجيوديسية وخط العرض وخط الطول وإحداثيات الشبكة x و y. هذا يفسر كالتالي:

لأكثر من قرن من الزمان ، شاركت هيئة المسح الجيوديسي والساحلية الأمريكية في عمليات جيوديسية حددت المواقع الجيوديسية - خطوط العرض وخطوط الطول - لآلاف النقاط الضخمة الموزعة في جميع أنحاء البلاد. خطوط الطول والعرض هذه على شكل مثالي - كرة مرجعية تقترب عن كثب من سطح سطح البحر على الأرض. من خلال العمليات الحسابية ، يتم تحديد مواضع خطوط الشبكة لنظام إحداثيات الدولة فيما يتعلق بخطوط الطول والتوازيات في الكرة المرجعية. يمكن أيضًا تحديد النقطة التي يتم تحديدها من خلال تحديد خط العرض وخط الطول على الكرة المرجعية من خلال تحديد إحداثي x و y على شبكة الحالة. إذا كان أي من الموضعين معروفًا ، فيمكن اشتقاق الآخر عن طريق الحساب الرياضي الرسمي. وكذلك مع الأطوال والسمت: يمكن تحويل الطول الجيوديسي والسمت بين موقعين إلى طول الشبكة والسمت من خلال العمليات الحسابية. أو يمكن عكس العملية عندما تكون قيم الشبكة معروفة والقيم الجيوديسية مطلوبة.

بشكل عام ، يمكن أيضًا إنجاز أي حسابات مسح تتضمن استخدام بيانات الموقع الجيوديسية باستخدام بيانات الشبكة المقابلة ولكن مع هذا الاختلاف: النتائج التي يتم الحصول عليها باستخدام البيانات الجيوديسية دقيقة ، ولكنها تتطلب استخدام الصيغ الكروية المتضمنة والمملة والجداول الخاصة . من ناحية أخرى ، فإن النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام بيانات الشبكة ليست دقيقة ، لأنها تتضمن بعض البدلات التي يجب إجراؤها في نقل بيانات المسح من السطح المنحني للأرض (كروي) إلى السطح المستوي لنظام إحداثيات الدولة ولكن تعد الحسابات مع بيانات الشبكة بسيطة للغاية ، حيث يتم إجراؤها باستخدام الصيغ العادية لمسح المستوى ومع أنظمة إحداثيات الدولة ، ويتم الحصول على الارتباط الدقيق لقيم الشبكة وقيم الشبكة والقيم الجيوديسية بسهولة من خلال إجراءات رياضية بسيطة.

في الجيوديسيا الحديثة ، حلت عبارة "الشكل الإهليلجي للثورة" محل كلمة "كروي". لاحظ العبارات المتعلقة بالعلاقة المباشرة بين الإحداثيات الجيوديسية وإحداثيات شبكة مستوى الحالة. لا توجد هذه العلاقة إذا استخدم أحد الإحداثيات السطحية.

يشعر بعض الناس بالارتباك عند استخدام تعبير "إسقاطات الخريطة". تضع أنظمة الإحداثيات في الولاية أرضًا بيضاوية الشكل على مستوى مستوٍ بدقة مقبولة للمسح ، ومن أجل القيام بذلك ، اختار المسح الجيوديسي والساحل الأمريكي إسقاطات الخرائط التي يستخدمها رسامو الخرائط لوضع أرض مستديرة على ورق مسطح.

باستخدام إسقاط خريطة مطابق كقاعدة لنظام إحداثي للحالة وتحديد بُعد واحد من المنطقة التي سيتم تغطيتها بشبكة واحدة ، يتم إنجاز شيئين [هذا تكرار من الجزء 1 ، ولكن تمت صياغته بشكل مختلف].

في إسقاط خريطة امتثالي ، يتم الاحتفاظ بالزوايا. هذا يعني أنه عند نقطة معينة ، يكون الفرق بين السمت الجيوديسي والسمت الشبكي للخطوط القصيرة جدًا ثابتًا ، ويتم تمثيل الزوايا على الأرض التي تشكلها هذه الخطوط حقًا على الخريطة. لأغراض عملية مسح الأراضي ، ينطبق هذا الشرط على مسافات تصل إلى حوالي عشرة أميال. بالنسبة للخطوط الأطول ، يختلف الاختلاف ، والتصحيح الذي سيتم تطبيقه على زاوية ملحوظة (جيوديسية) للحصول على زاوية شبكة مقابلة هو اختلاف التصحيحات على سمت الخطوط ، المشتق بشكل منفصل.

"يسمح الحد في عرض الإسقاط أو الشبكة بالتحكم في انحرافات أطوال الشبكة عن الأطوال الجيوديسية. وعندما يكون عرض منطقة مغطاة بشبكة واحدة هو 158 ميلاً من التمثال ، فإن الاختلاف الشديد بين أطوال الشبكة والجيوديسية سيكون 1 / 10000 من طول الخط ، وهو أمر مرضٍ تمامًا لمعظم مسوحات الأراضي.

في حين تم اعتماد عرض 158 ميلاً من التمثال كمعيار في تصميم أنظمة إحداثيات الدولة ، فقد تم الخروج من هذا العرض حيث سمحت الظروف الجغرافية أو بررت متطلبات المسح التغيير. إذا كان عرض الولاية أقل من 158 ميلاً ، ينخفض ​​عرض الشبكة وبالتالي ينخفض ​​أيضًا تأثير عامل المقياس. كلما كان الشريط على سطح الأرض أضيق والذي ترغب في تصويره على مستوى ، سيكون التشويه الذي تنطوي عليه العملية أصغر. البعد بين الشمال والجنوب لكونيكتيكت أقل من 80 ميلاً: الحد الأقصى لعامل المقياس لنظام إحداثيات كونيتيكت ، (الشكل 2 في الصفحة 18) على طول الحدود الشمالية والجنوبية للولاية ، معبراً عنها كنسبة ، هو حوالي 1: 40000. في منتصف المسافة بين سطور المقياس الدقيق يكون 1: 79000. عندما تكون الحالة واسعة جدًا بحيث لا يمكن تغطيتها بشبكة واحدة ، يتم تقسيمها إلى أحزمة ، تسمى مناطق ، يتم اعتماد شبكة منفصلة لكل منها. تتبع خطوط الحدود بين المناطق خطوط المقاطعة. لا يلزم أن تكون عوامل المقياس المحددة للمناطق المختلفة لنظام إحداثيات الدولة هي نفسها. على سبيل المثال ، يتألف نظام الإحداثيات في إلينوي (الشكل 3 في الصفحة 18) من منطقتين. المنطقة الشرقية ، التي تقع فيها شيكاغو ، لديها عوامل نطاق أصغر بكثير من المنطقة الغربية. كان أحد الأشياء المنشودة في ابتكار نظام إحداثيات الدولة هو الحفاظ على عدد المناطق في أي دولة عند الحد الأدنى ، بما يتوافق مع متطلبات دقة الميزان. على سبيل المثال ، من خلال السماح لنسبة المقياس بأن تزيد قليلاً عن 1: 10000 ، تم تقسيم ولاية تكساس بأكملها إلى خمس مناطق.

مقال طويل. نظرًا للطول ، قمت بإزالة رسمين على الأقل كان من الممكن أن يجعل الوصف أكثر وضوحًا وسيتم تضمينهما في العمود التالي. تذكر أن أنظمة إحداثيات الدولة التي تمت مناقشتها تشير إلى NAD 27 ، مرجع أمريكا الشمالية لعام 1927. تم إجراء تغييرات لمرجع أمريكا الشمالية لعام 1983.


كما ذكرت سابقًا في هذه السلسلة ، تستند إحداثيات مستوى الولاية إلى إسقاطات خريطة مطابقة. نظرًا لأننا مساحون ، لا يمكننا التفكير في إسقاط الخريطة كما هو مستخدم فقط للخرائط الورقية - ولكن قد يكون هذا المفهوم صعبًا على بعض الناس لفهمه.

هناك العديد من التعريفات لإسقاطات الخريطة. يشير أحد المراجع إلى أن إسقاط الخريطة هو تمثيل منهجي لكل أو جزء من سطح جسم دائري ، وخاصة الأرض ، على مستوى (سنايدر). يقول مرجع آخر ، الإسقاط هو وسيلة لتحويل النقاط على سطح واحد إلى نقاط مقابلة على سطح آخر (Buckner). عند مسح مساحة كبيرة أو رسم خرائط لها ، يلزم الإسقاط. بغض النظر عن الإسقاط المستخدم ، سيكون هناك تشوهات. إذا كان المسح أو الخريطة يغطي منطقة صغيرة - مثل مدينة - فقد لا تظهر التشوهات ، لكنها موجودة. حدد التشويه الأقل اعتراضًا ، وحدد هذا الإسقاط للمسح أو الخريطة.

مع استثناءات قليلة ، هناك ثلاثة أسطح قابلة للتطوير والتي تشكل أساس معظم توقعات الخريطة: الأسطوانة والمخروط والمستوى. يمكن "قطع" السطح القابل للتطوير وفتحه لتشكيل طائرة. هذا موضح في الشكل 1. لأغراض التوضيح ، دعنا نصف هذه الأسطح على أساس عالمي.

  • يلامس السطح خط الاستواء في جميع أنحاء محيطه.
  • سيتم عرض خطوط الطول لخط الطول على الأسطوانة كخطوط مستقيمة متساوية الأبعاد متعامدة مع خط الاستواء.
  • يتم عرض موازيات خط العرض كخطوط موازية لخط الاستواء ، ومتباعدة رياضيًا لخصائص معينة.
  • يُعد إسقاط مركاتور أفضل مثال معروف ، ويجب أن تكون متوازياته متباعدة رياضيًا (انظر الشكل 2).
  • إذا تم وضع مخروط فوق الكرة الأرضية ، مع ذروته على طول المحور القطبي للأرض ومع سطح المخروط الذي يلامس الكرة الأرضية على طول موازٍ معين لخط العرض ، يمكن إنتاج إسقاط مخروطي (انظر الشكل 3).
  • يتم إسقاط خطوط الطول على المخروط كخطوط مستقيمة متساوية البعد تشع من القمة.
  • يتم عرض المتوازيات كخطوط حول محيط المخروط في مستويات متعامدة مع المحور القطبي للأرض ، متباعدة للخصائص المرغوبة.
  • المماس المستوي لأحد قطبي الأرض هو أساس الإسقاطات السمتيّة القطبية. الإسقاط السمتي هو الذي تظهر فيه اتجاهات أو سمت جميع النقاط بشكل صحيح فيما يتعلق بالمركز.
  • تمت تسمية مجموعة الإسقاطات وفقًا للوظيفة ، وليس المستوى ، نظرًا لأن جميع إسقاطات المستوى المماس على الكرة تكون سمتية.
  • يتم إسقاط خطوط الطول كخطوط مستقيمة تشع من نقطة ، لكنها متباعدة بزواياها الحقيقية بدلاً من الزوايا الأصغر للإسقاطات المخروطية. يظهر مثال واحد في الشكل 4.
  • المتوازيات في خطوط العرض عبارة عن دوائر كاملة تتمحور حول القطب.

  1. قد تكون الأسطوانة أو المخروط قاطعًا أو يقطع الكرة الأرضية عند متوازين بدلاً من أن يكونا مماسًا لواحد فقط. هذا يوفر اثنين من المتوازيات القياسية.
  2. قد تخترق الطائرة الكرة الأرضية عند أي موازٍ بدلاً من لمس عمود.
  3. يمكن أن يكون لمحور الأسطوانة أو المخروط اتجاه مختلف عن اتجاه المحور القطبي ، في حين أن المستوى قد يكون مماسًا لنقطة أخرى غير القطب. يؤدي هذا النوع من التعديل إلى إسقاطات مائلة وعرضية واستوائية مهمة ، حيث لم تعد معظم خطوط الطول والمتوازيات خطوطًا مستقيمة أو أقواس دوائر.


الإسقاطات الأساسية الثلاثة ، التي تمت مناقشتها في العمود الأخير ، موضحة في الشكل 1. أسطح الإسقاط المستخدمة لأنظمة تنسيق مستوى الدولة هي تعديلات ، تمت مناقشتها أيضًا في العمود الأخير والموضحة في الشكل 2. وتسمى هذه الإسقاطات القاطعة: مخروط قاطع في إسقاط لامبرت والأسطوانة القاطعة في إسقاط مركاتور. في إسقاط مركاتور ، تم تدوير الأسطوانة القاطعة بزاوية 90 درجة بحيث يكون محور الأسطوانة عموديًا على محور دوران سطح الإسناد. من حين لآخر ، يتم تدوير الأسطوانة إلى سمت محدد مسبقًا ، مما يؤدي إلى إنشاء إسقاط مركاتور مائل ، توجد منطقة تنسيق مستوى واحدة في ألاسكا تستخدم هذا المفهوم. يرجى ملاحظة أن أسطح الإسقاط هذه تتقاطع مع الشكل الإهليلجي ، وليس سطح الأرض. يتقاطع المخروط القاطع مع سطح الشكل الإهليلجي على طول متوازيين من خط العرض يسمى المتوازيات القياسية. تحديد هذين المتوازيين يحدد المخروط الذي يحدد خط الطول المركزي يوجه المخروط فيما يتعلق بالمجسم الإهليلجي. تتقاطع الأسطوانة القاطعة المستعرضة مع سطح الشكل الإهليلجي على طول قطعتين صغيرتين متساويتين على بعد من خط الزوال عبر مركز المنطقة. يتم تعريف الأسطوانة القاطعة بتحديد خط الزوال المركزي هذا بالإضافة إلى عامل مقياس الشبكة المطلوب على خط الزوال المركزي. إن علامات الحذف للتقاطع هي خطوط قياسية موقعها هو دالة لعامل مقياس الزوال المركزي.

يلزم تحديد خط العرض وخط الطول لأصل الشبكة وقيم الشبكة المعينة لذلك الأصل لتحديد منطقة إما لامبرت أو عرض Mercator الإسقاط. يوضح الشكل 3 ، المأخوذ من نظام إحداثيات مستوى الدولة لعام 1983 بواسطة James E. Stem ، كيف يتم تعريف أنظمة Lambert و Transverse Mercator. قبل أن ندخل في تحديد المناطق وثوابت المنطقة ، دعنا ننظر مرة أخرى إلى الشكل 2 ونسأل ، "متى يستخدم المرء إسقاط لامبرت المخروطي المطابق؟" و "متى يستخدم المرء إسقاط مركاتور المستعرض؟" (ملاحظة: على الرغم من أن كلمة "مطابق" لا تُستخدم في تسمية إسقاط مركاتور المستعرض ، إلا أن الإسقاط مطابق). يوفر إسقاط لامبرت أقرب تقريب لسطح الإسناد لمنطقة مستطيلة الأطول في اتجاه الشرق والغرب. يوفر إسقاط مركاتور المستعرض أقرب تقريب لمنطقة مستطيلة الأطول في اتجاه الشمال والجنوب. كلما كان شريط سطح الأرض أضيق المطلوب تصويره على مستوى ، كان تشوه المقياس أصغر في الإسقاط. كما ذكرنا في عمود سابق ، "عندما يكون عرض منطقة مغطاة بشبكة واحدة هو 158 ميلاً قانونياً ، فإن الفروق الشديدة بين طول الشبكة والجيوديسية ستكون 1/10000 من طول الخط." بالنسبة لولاية مثل كونيتيكت الأطول نوعًا ما في اتجاه الشرق والغرب ، فإن Lambert Projection يعد مثاليًا. المسافة بين الشمال والجنوب عبر ولاية كونيتيكت أقل من 158 ميلاً قانونياً يمكن لمنطقة واحدة أن تغطي الولاية بأكملها. تعد ولايات نيو هامبشاير ونيوجيرسي ورود آيلاند أطول إلى حد ما في اتجاه الشمال والجنوب ، حيث تستخدم جميع الولايات الثلاث عرض Mercator Projection ، كما هو الحال مع كونيتيكت ، تغطي منطقة واحدة كل ولاية.

ماذا عن الدول الكبرى؟ إذا كانت الحالة كبيرة ، فلا يهم أي من الإسقاطين يتم استخدامه ، فما عليك سوى تقسيم الولاية إلى منطقتين أو أكثر. أنا متأكد من أنه تم التفكير كثيرًا في اختيار الإسقاط وعدد المناطق لكل ولاية. على الرغم من أن كاليفورنيا أطول بكثير في اتجاه الشمال والجنوب ، إلا أن الشكل غير المستطيل جعل استخدام لامبرت مع سبع مناطق أكثر عملية. يلخص الجدول 1 ، وهو جدول كبير لنظام تنسيق طائرة الدولة لعام 1927 ، كل ما ناقشناه حتى هذه النقطة في الوقت المناسب. تحدد لكل ولاية الإسقاط (الإسقاطات) المستخدمة ، وتسمية المناطق ، وتعطي خط الطول وخط الطول وعامل المقياس المحدد لخط الزوال المركزي أو المتوازيات ، وتعطي خطوط الطول والعرض والإحداثيات x و y المحددة للأصل. كان أصل كل منطقة بعيدًا بدرجة كافية عن الجنوب بحيث تكون جميع إحداثيات y المستطيلة أرقامًا موجبة. مع استثناءات قليلة ، كان الإحداثي السيني لخط الزوال المركزي للمنطقة 500000 قدم أو 2،000،000 قدم.

ها هي المشكلة:
احسب إحداثيات طائرة الدولة لمحطة Blackduck Tank التي تكون إحداثياتها NAD 27

خط العرض N47Â ° 43 '50.270 "
خط الطول W94Â ° 32 '58.240 "

تقع المحطة في ولاية مينيسوتا ، منطقة طائرة ولاية مينيسوتا الشمالية.

يحدث إحداثي y = 0 عند N46Â ° 30 '، وهو بعيد بدرجة كافية جنوب منطقة شمال مينيسوتا بحيث تكون جميع إحداثيات y موجبة. بالنظر إلى خط الطول وخط العرض للنقطة P ، ستحتاج إلى معرفة قيم الزاوية ونصف القطر Rb ونصف القطر R لحساب إحداثيات x و y للنقطة P. تذكر أن هذا إسقاط مخروطي حيث تمثل النقطة A القمة للمخروط الذي تُسقط عليه المنطقة ، ويمثل القوس EP جزءًا من خط العرض الموازي عبر النقطة P.

دعونا نجري الحسابات. بالإشارة إلى الشكل 2 ، يمكن حساب إحداثيات x و y للنقطة P باستخدام المعادلات التالية:

كما يتضح من الشكل 2 ، C = 2،000،000 قدم. على الرغم من عدم ظهوره ، فإن R.ب= 19471.398.75 قدمًا ، وهو ثابت لمينيسوتا نورث.

الجداول مطلوبة للحصول على R و q. ترد هذه الجداول في المنشور الخاص بولاية مينيسوتا ، ولكن بالنسبة لهذه المقالة ، فإن الجدولين 1 و 2 ، من Rayner و Schmidt ، عبارة عن ملخصات للجداول الأصلية التي تغطي القيم اللازمة لحل مشكلتنا. يعطي الجدول 1 قيم q كدالة لخط الطول ، من خط الطول W94Â ° 21 'إلى خط الطول W95Â ° 00'. يعطي الجدول 2 قيم R و y 'وعامل القياس كدالة لخط العرض ، من خط العرض N47Â ° 31' إلى خط العرض N47Â ° 50 '(y' ليست ضرورية لمشكلتنا).

معطى: محطة بلاك دوك تانك
خط العرض N47Â ° 43 '50.270 "
خط الطول W94Â ° 32 '58.240 "
الولاية - مينيسوتا ، المنطقة الشمالية
ج = 2،000،000 قدم
رب = 19471398.75 قدمًا

يجد: ينسق مستوى الدولة x و y ، بالإضافة إلى عامل المقياس.

المحلول:
1. من الجدول 2 ، اقحم للحصول على R لخط العرض N47Â ° 43 '50.270 "

بالنسبة لخط العرض 47 درجة 43 درجة ،
R = 19027.633.05 قدمًا
بالنسبة لخط العرض 47 درجة 44 درجة ،
R = 19021.553.99 قدمًا
الفرق = 6079.06 قدم

أقحم لخط العرض 47 درجة 43 '50.270 "

نظرًا لأن قيمة R تتناقص من خط العرض 47 ° 44 'إلى 47 ° 43' ، من أجل الحصول على R عند خط العرض 47 ° 43 '50.270 "تطرح 5093.24 من قيمة R عند خط العرض 47 ° 43'.

الجدول 1. قيم q - منطقة شمال مينيسوتا

عرض لامبرت لمينيسوتا - المنطقة الشمالية
1 "من الطول. = 0" .7412196637 من q

-0 55 35.4885
-0 56 19.9617
-0 57 04.4348
-0 57 48.9080
-0 58 33.3812
-0 59 17.8543
-1 00 02.3276
-1 00 46.8007
-1 01 31.2739
-1 02 15.7471
-1 03 00.2202
-1 03 44.6935
-1 04 29.1666
-1 05 13.6398
-1 05 58.1130
-1 06 42.5862
-1 07 27.0594
-1 08 11.5325
-1 08 56.0057
-1 09 40.4789

-1 10 24.9521
-1 11 09.4253
-1 11 53.8984
-1 12 38.3716
-1 13 22.8448
-1 14 07.3180
-1 14 51.7912
-1 15 36.2643
-1 16 20.7375
-1 17 05.2107
-1 17 49.6839
-1 18 34.1571
-1 19 18.6302
-1 20 03.1034
-1 20 47.5766
-1 21 32.0498
-1 22 16.5230
-1 23 00.9961
-1 23 45.4693
-1 24 29.9425

2. من الجدول 1 ، اقحم لـ q عند خط الطول W94Â ° 32 '58.240 ".

لخط الطول W94Â ° 32 '،
ف = -1Â ° 03 '44.6935 "
لخط الطول W94Â ° 33 '،
ف = -1Â ° 04 '29.1666 "
الفرق = -0Â ° 00 '44.4731 "

أقحم لخط الطول
94 درجة 32 '58.240 "

نظرًا لأن قيمة q تتزايد سلبًا من 94 درجة 32 'إلى 94 درجة 33' ، أضف جبريًا 43.1686 "إلى القيمة عند 94 درجة 32 '.

3. حل المعادلة x = R sin q + C: x = 1،643،311.67 قدم.

4. حل المعادلة y = Rb - R cos q:
ص = 452203.34 قدم.

الجدول 2. قيم R و y 'و
عوامل النطاق - منطقة شمال مينيسوتا

عرض لامبرت لمينيسوتا - المنطقة الشمالية

ذ
y القيمة على
خط الطول المركزي (قدم)

مجدول
فرق
لـ 1 "من اللات. (قدم)

مقياس في
وحدات من
المركز السابع
من السجلات

19,100,580.81
19,094,501.88
19,088,422.95
19,082,344.01
19,076,265.06
19,070,186.10
19,064,107.13
19,058,028.15
19,051,949.16
19,045,870.15
19,039,791.13
19,033,712.10
19,027,633.05
19,021,553.99
19,015,474.92
19,009,395.83
19,003,316.72
18,997,237.60
18,991,158.46
18,985,079.30

370,817.94
376,896.87
382,975.80
389,054.74
395,133.69
401,212.65
407,291.62
413,370.60
419,449.59
425,528.60
431,607.62
437,686.65
443,765.70
449,844.76
455,923.83
462,002.92
468,082.03
474,161.15
480,240.29
486,319.45

101.31550
101.31550
101.31567
101.31583
101.31600
101.31617
101.31633
101.31650
101.31683
101.31700
101.31717
101.31750
101.31767
101.31783
101.31817
101.31850
101.31867
101.31900
101.31933
101.31950

0.9999182
0.9999166
0.9999152
0.9999138
0.9999125
0.9999112
0.9999101
0.9999090
0.9999080
0.9999071
0.9999063
0.9999056
0.9999050
0.9999044
0.9999039
0.9999035
0.9999032
0.9999030
0.9999029
0.9999028

5. قم بحل عامل المقياس:

خط العرض N47Â ° 43 '،
عامل القياس = 0.9999050
خط العرض N47Â ° 44 '،
عامل القياس = 0.9999044
الفرق = 0.0000006

أقحم لخط العرض 47 درجة 43 '50.270 "

نظرًا لأن عامل المقياس يتناقص من 47 درجة 43 'إلى 47 درجة مئوية 44' ، اطرح 0.0000005 من القيمة عند 47 درجة 43 ':

عامل الحجم =
0.9999050 - 0.0000005 = 0.9999045.

معطى:
محطة بلاك دوك تانك في مينيسوتا
خط العرض N47Â ° 43 '50.270'
خط الطول W94Â ° 32 '58.240'

محسوب:
منطقة شمال مينيسوتا ، NAD 27
س = 1،643،311.67 قدمًا
ص = 452203.34 قدم
عامل القياس = 0.9999045.

من أجل العبور ، هناك حاجة إلى نقطة تحكم جيوديسية ثانية ويجب حساب إحداثيات مستوى الدولة لتلك النقطة. إذا كانت نقطتا التحكم الجيوديسيتان مرئيتان ، فإن الانعكاس بين إحداثيات مستوى الحالتين يعطي "سمت الشبكة" (من الممكن أيضًا استخدام سمت شمسي أو سمت نجمي ، أكثر من ذلك لاحقًا). بعد ذلك ، يجب تصغير جميع المسافات المقاسة على السطح إلى الشبكة وسيتم إجراء جميع حسابات الاجتياز باستخدام حساب المثلثات المستوي وسنقوم بذلك في المقالة التالية.

كما ترى ، فإن الحسابات على شبكة لامبرت واضحة ومباشرة إذا كانت لديك الجداول. في المقالة التالية ، سأقوم بتحويل إلى شبكة Mercator المستعرضة ، ليس بهذه البساطة على شبكة لامبرت ، كما سترون.

المشكلة هي:
احسب إحداثيات مستوى الدولة للمحطة King التي تكون إحداثياتها NAD 27

خط العرض N40Â ° 43 '37.302 "
خط الطول W88Â ° 41 '35.208 "

تقع المحطة في ولاية إلينوي ، منطقة طائرة ولاية إلينوي الشرقية.

يوضح الشكل 1 الخريطة من دليل الساحل الأمريكي والمسح الجيوديسي لولاية إلينوي ، وقد تم استنساخه أيضًا في Rayner و Schmidt1. تستخدم إلينوي إسقاط Mercator المستعرض مع منطقتين ، شرق وغرب. كل منطقة لها محورها الخاص لـ y ، على الرغم من أن كلا المحورين اللذين يمران عبر المنطقتين الشرقية والغربية يتم إعطاؤهما قيمة x تبلغ 500000 '. تستخدم كلتا المنطقتين نفس المحور السيني ، والذي يقع أسفل الحد الجنوبي للولاية بكثير وقيمة صفر قدم. يقع خط الزوال المركزي للمنطقة الشرقية على خط طول 88 درجة 20 درجة غربًا على طول هذا الخط ، ويكون مقياس الإسقاط جزءًا واحدًا من 40000 جزء صغير جدًا. خطوط المقياس الدقيق موازية لخط الزوال المركزي وتقع على بعد 28 ميلاً شرقًا وغربًا. بالطبع ، إلى الشرق والغرب من هذه الخطوط ، المقياس كبير جدًا. يعرّف خط العرض 36 درجة 40 'المحور السيني ، وأصل الإحداثيات للمنطقة الشرقية هو نقطة على خط العرض 36 درجة 40' الذي يقع على مسافة 500000 'غرب خط الطول 88 درجة 20'.
دعونا نجري الحسابات. على عكس إسقاط لامبرت ، لا يوجد رسم تخطيطي يوضح العلاقات الهندسية بين خطوط الطول والعرض و x ، y. المعادلات اللازمة لإجراء هذه الحسابات هي كما يلي:

س = س + 500000 (1)
س '= H Dl "+/- أ ب (2)
ص = yo + V ("/ 100) 2 +/- ج (3)

حيث x 'هي المسافة ، تكون النقطة إما شرق أو غرب خط الزوال المركزي yo ، H ، V و a هي كميات تستند إلى خط العرض الجيوديسي b و c تستند إلى Dl "(الفرق في خط الطول للنقطة من خط الطول المركزي ، في ثوان من القوس).

الجداول مطلوبة للحصول على قيم H و V و a و b و yo و c. لحسن الحظ ، يمكن العثور على جميع القيم في جدولين ، تم تقديمهما في المنشور الخاص بولاية إلينوي ، ولكن بالنسبة لهذه المقالة ، فإن الجدولين 1 و 2 (في الصفحة 18) من Rayner و Schmidt عبارة عن ملخصات للجداول الأصلية التي تغطي القيم اللازمة لحل مشكلتنا.

معطى:
ملك المحطة
خط العرض N40Â ° 43 '37.302 "
خط الطول W88Â ° 41 '35.208 "
الولاية - إلينوي ، المنطقة الشرقية
خط الطول المركزي - W88Â ° 20 '00

المحلول:
1) حل من أجل Dl. نظرًا لأننا في نصف الكرة الغربي ، فإن جميع قيم خط الطول سالبة.
Dl "= خط الطول - خط الطول المركزي.
Dl = -88Â ° 41 '35.208 "- (-88Â ° 20' 00")
Dl = -0Â ° 21 '35.208 "= -1،295.208 ثانية من القوس


افضل جواب

مشرف NeilCooke ، مشاركات الموظفين Onshape: 3,810

@ john_P37 - يجب أن يكون الخيار الأول هو إنشاء موصل زميل على الوجه المائل في التجميع قبل إنشاء جزء في السياق (بدلاً من استخدام أصل التجميع) ، ثم سيكون الجزء الجديد في الاتجاه الصحيح في الجزء الاستوديو. سيكون الخيار الثاني هو إنشاء رسم تخطيطي على وجه اللوحة ، ثم إنشاء مستوى من خلال هذا المخطط بحيث يكون اتجاه المستوى صحيحًا. اتمنى ان يكون هذا منطقي

الخيار الثالث هو إنشاء موصل ماتي على الوجه بالاتجاه الصحيح ، ثم استخدم هذه الميزة المخصصة منJake_Rosenfeld الخاص بنا
لإنشاء طائرة من خلالها. ثم ارسم على ذلك.


نظرية فيثاغورس: الاتصال بالتعبيرات ومعادلات أمبير ونظام الأرقام

ترتبط نظرية فيثاغورس ارتباطًا وثيقًا للعمل في مجالات نظام الأرقام (NS) والتعبيرات ومعادلات أمبير (EE). تعد معايير كفاءة الطاقة جزءًا من العمل الرئيسي للصف الثامن ، بينما تم تعيين معايير NS على أنها عمل "داعم" ، حيث إنها تتمتع بالقدرة على تعزيز وتوسيع الموضوعات الرئيسية.

في الصف الثامن ، تُعرّف معايير NS الطلاب على الأرقام غير المنطقية (أرقام مثل √2 ، والتي لا يمكن التعبير عنها ككسور) ، (8.NS.A.1) وتعرض معايير EE الطلاب لمعادلات بسيطة مثل x 2 = 8 و y 3 = 27 والتي تتطلب حلها باستخدام الجذور التربيعية والتكعيبية. (8.EE.A.2) نظرًا لأن تطبيق نظرية فيثاغورس يؤدي بطبيعة الحال إلى ظهور معادلات من هذا النوع ، فإن حل المشكلات في سياق المثلثات القائمة يمثل تقاربًا لمعيارين. خذ على سبيل المثال مشكلتنا من المعيار 8.G.B.8 أعلاه:

عندما يحل الطلاب ، يحصلون على المعادلة 22 + 62 = ج 2 ، ويظهر حلهم على النحو التالي:

بناءً على العمل بالمعيار 8.NS.A.1 ، يجب أن يكون الطالب في الصف الثامن قادرًا على القول بأن 40 هو رقم بين 6 و 7 لأن 40 يقع بين 36 (62) و 49 (72). من هناك ، يمكنهم التفكير في أن الرقم أقل من 6.5 لأن 40 أقرب إلى 36 من 49 ، ويستخدمون التقديرات المتتالية لمعرفة أنه يقارب 6.3. إذا نظرنا إلى الوراء في المسألة ، التي تتضمن مسافات 2 وحدة و 6 وحدات للأرجل ، فهذا طول معقول يمكن توقعه للوتر.


بالنسبة للأنظمة غير التقليدية ، الإحداثيات المعممة فأنا ليست مستقلة عن بعضها البعض ومن المستحيل تقليلها عن طريق معادلات القيد. ومع ذلك ، إذا كان هناك ك قيود الشكل ( sum_^ <3n> A_ ، delta q_k = 0، ) حيث (j = 1،2، ldots، k ) ثم يمكن استخدام مضاعفات لاجرانج لوصف القيود. معادلات الحركة التي تلي هذه القيود هي

ليس لمضاعف لاغرانج في حد ذاته أي معنى مادي: يمكن تحويله إلى وظيفة جديدة للوقت بمجرد إعادة كتابة معادلة القيد إلى شيء مكافئ ماديًا.

دعونا ننظر في المشكلة العامة المتمثلة في إيجاد أقصى حد للوظيفة

مثال: انزلاق وتعليق الأوزان على منحدر

مثال: دعونا ننظر في حالة كتلة تنزلق لأسفل على منحدر غير احتكاك ثابت للزاوية θ. من الواضح أن أسهل الطرق لذلك هي إما كتابة قانون نيوتن الثاني في نظام إحداثيات مناسب أو استخدام الإحداثيات المعممة ف تمثل المسافة المقطوعة على طول المنحدر بواسطة الكتلة وكتابة معادلات لاغرانج فقط. بالنسبة للطريقة الثانية ، اختيار إحداثيات معممة ف سيأخذ في الاعتبار ضمنيًا القيد وهو أن الكتلة يجب أن تظل على المنحدر أثناء المسار قبل الوصول إلى الأرض. ومع ذلك ، لنفعل ذلك باستخدام طريقة مضاعفات لاغرانج.

استخدام x للتنسيق الأفقي و ذ بالنسبة للإحداثيات الرأسية ، يمكننا كتابة لاغرانج على النحو التالي (L = frac <1> <2> ، m ، dot^ 2 + فارك <1> <2> ، م ، نقطة^ 2 + إم جي. ) ومع ذلك ، فإن الإحداثيات المستطيلة ليست مستقلة: فهي مرتبطة بالقيد الشامل (g (x، y) = y - x ، tan theta. ) الإعداد (L '= L- lambda ) ، g، ) نطبق معادلة لاغرانج الثانية

افترض الآن أن هناك احتكاكًا يعمل على الكتلة م1، والتي نمثلها

  1. J.R Gaskill Jr. and M. Arenstein ، Geometric View of Lagrange Multipliers in Mechanics ، مجلة الفيزياء الرياضية, 8العدد 9 ، 1912 (1967) https://doi.org/10.1063/1.1705436
  2. Volkov ، A. and Zubelevich ، O. ، أنظمة لاغرانج مع قيود غير سلسة ، مجلة غلاسكو الرياضية، 2016 ، المجلد. 59 ، رقم 2 ، ص 289-298 دوى: 10.1017 / S0017089516000173

العودة إلى صفحة ماثيماتيكا
العودة إلى الصفحة الرئيسية (APMA0340)
ارجع إلى الجزء 1 من جبر المصفوفة
ارجع إلى الجزء الثاني من الأنظمة الخطية للمعادلات التفاضلية العادية
ارجع إلى الجزء 3 الأنظمة غير الخطية للمعادلات التفاضلية العادية
ارجع إلى الجزء 4 الطرق العددية
ارجع إلى الجزء الخامس من سلسلة فورييه
ارجع إلى الجزء 6 من المعادلات التفاضلية الجزئية
ارجع إلى الجزء 7 الوظائف الخاصة


16.8 تعديل خصائص Geom

يمكنك تعديل خصائص geom عن طريق تحديد خيارات لوظائف geom_ * الخاصة بكل منها. على سبيل المثال ، نقوم هنا بتعديل النقاط في مخطط الانتشار لجعل اللون "أزرق صلب" والحجم أكبر وشفافية ألفا أكبر.

الشكل 16.5: تعديل لون النقطة بثابت

بالإضافة إلى تعيين سمات جغرافية محددة للثوابت ، يمكننا تعيين الجماليات على المتغيرات. لذلك ، هنا نقوم بتعيين اللون الجمالي للون المتغير بميكات ، بحيث يتم تلوين النقاط حسب مستويات بميكات. نستخدم وظيفة aes () للإشارة إلى هذا الاختلاف عن المؤامرة أعلاه.

الشكل 16.6: تعيين لون إلى متغير


نظام الإحداثيات الاستوائية

هل فكرت في شراء تلسكوب؟ إنها هواية هادئة وملهمة. سواء في مجموعة أو بمفردك ، يمكنك استكشاف الكواكب والمجرات والعجائب الكونية الأخرى من الفناء الخلفي الخاص بك (إذا لم تكن ملوثة بالضوء). ولكن هناك الكثير من أنواع وحوامل التلسكوبات المختلفة. أحد أنواع التثبيت الشائعة هو ما يسمى بالحمل الاستوائي. يتم محاذاة هذا الجبل مع محور دوران الأرض و "يدور مع السماء". صور التعريض الطويل ، أو الملاحظات المرئية دون إعادة ضبط ثابتة ممكنة مع هذه الحوامل. تحتوي الحوامل الحديثة على ساعة داخلية مدمجة بمحرك كهربائي لتعويض الدوران.

نظام الإحداثيات المقابل هو ما يسمى بنظام الإحداثيات الاستوائية (في سبايس يطلق عليه ببساطة J2000 ... مربكًا بعض الشيء ، مع الأخذ في الاعتبار أن J2000 هو طابع زمني) ، حيث يشير المحور x إلى اتجاه الاعتدال الربيعي والمحور z هو محور دوران الأرض. يميل خط استواء الأرض فيما يتعلق بمستوى مسير الشمس (حوالي 23 درجة ، انظر الرسم الثاني في البداية) ولا "يتداخل" مع نظام الإحداثيات الكسوف.

يتم وصف خط الطول وخط العرض في الإحداثيات الاستوائية على النحو التالي:

  • الصعود الصحيح: هذا هو خط الطول لنظام الإحداثيات الاستوائية ويتم تحديده بالساعات (ح) ، وليس بالدرجات ، ويتراوح من 0 ساعة إلى 24 ساعة (1 ساعة تقابل 15 درجة).
  • الانحراف: هذا هو خط العرض ويتراوح من -90 درجة إلى + 90 درجة. 0 ° يتوافق مع خط الاستواء.

الآن ، دعونا نحسب الإحداثيات الاستوائية للأجرام السماوية ذات الأهمية. نطبق مرة أخرى حلقة for تتكرر عبر جميع الهيئات ونطبق نفس الوظائف كما في السابق لحساب متجه الاتجاه والإحداثيات في نظام الإحداثيات الاستوائية.

لتصور التشويه الناتج بين نظام الإحداثيات الكسوف والاستوائية ، نضيف مستوى مسير الشمس في حساباتنا. لهذا الغرض ، إضافي الباندا تم إنشاء إطار البيانات (السطر 6). يضيف السطر 11 إحداثيات خط الطول بتنسيق ECLIPJ2000، من 0 إلى 2 * بي (360 درجة) ، كمصفوفة. يضيف السطر 12 قيم خط العرض. في الواقع ، يجب أن تكون الإحداثيات 0 ° ، وفي هذه الحالة نحتاج إلى اصطلاح الإحداثيات الكروية. يحول السطر 18 إلى 23 إحداثيات مسير الشمس الكروية إلى متجهات اتجاهية باستخدام وظيفة سبايس sphrec. الوظيفة تحتاج إلى المسافة ص (هنا: وحدة المجال مع نصف القطر 1) ، خط العرض (كولات) وخط الطول (لون) القيم. النواقل المرتجعة هي النواقل الاتجاهية لمستوى مسير الشمس في نظام الإحداثيات الكسوف المتجه (x ، y ، z المكونات).

في الخطوة التالية ، نحتاج إلى تحويل هذه المتجهات إلى نظام الإحداثيات الاستوائية الموجه (مكونات x ، y ، z). نستخدم وظيفة سبايس pxform التي تحسب مصفوفة تحويل 3x3 بين كلا نظامي الإحداثيات. تتطلب الوظيفة الإدخال التالي:

  • fromstr: (ملاحظة: اللاحقة شارع ينطبق فقط على سبايسي Library) اسم نظام الإحداثيات المراد التحويل منه (هنا: ECLIPJ2000)
  • tostr: (ملاحظة: اللاحقة شارع ينطبق فقط على سبايسي المكتبة) اسم النظام الإحداثي المراد التحويل إليه (هنا: J2000)
  • وآخرون: ET بين كلا التحولين. بالنسبة لأنظمة الإحداثيات بالقصور الذاتي ، يمكن أن تكون هذه القيمة أي ET (الأنظمة التي لا تغير اتجاهها / تعريفها في الوقت المناسب. في البرامج التعليمية المستقبلية سنواجه أنظمة إحداثيات دورانية ، حيث يجب مراعاة معلمة الإدخال هذه)

مع مصفوفة التحويل يمكننا تحويل المتجهات من ECLIPJ2000 ل J2000 كما هو موضح في السطر 10 و 11. يتم تطبيق المصفوفة مع حاصل الضرب النقطي على المتجهات. بعد ذلك (السطر 15-24) يمكن تحويل المتجهات في نظام الإحداثيات الاستوائية المتجه إلى قيم الصعود والانحدار اليمنى باستخدام وظيفة SPICE إعادة.

يمكننا الآن رسم الأجرام السماوية وإضافة مستوى مسير الشمس في الإحداثيات الاستوائية (الخط 17-19) كخط أزرق منقط. وبالمثل كما كان من قبل ، قمنا بتعيين بعض خصائص التنسيق وقمنا بتغيير علامات التجزئة x إلى ساعات الصعود الأيمن (السطر 22-25). الشكل الناتج مبين أدناه.


شاهد الفيديو: التعليم على المعلم متعامد ومتجانس المستوي. رياضيات اولى متوسط 1AM الجيل الثاني (ديسمبر 2021).