مقالات

5.7: الأعداد الصحيحة وغير النسبية - الرياضيات


مهارات التطوير

  • تحديد الأعداد المنطقية والأرقام غير النسبية
  • صنف الأنواع المختلفة من الأعداد الحقيقية

كن مستعدا!

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. اكتب 3.19 في صورة كسر غير فعلي. إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.1.4.
  2. اكتب ( dfrac {5} {11} ) في صورة عدد عشري. إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.5.3.
  3. بسّط: ( sqrt {144} ). إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.12.1.

تحديد الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية

تهانينا! لقد أكملت الفصول الستة الأولى من هذا الكتاب! حان الوقت لتقييم ما قمت به حتى الآن في هذه الدورة التدريبية والتفكير فيما هو قادم. لقد تعلمت كيفية جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد الصحيحة والكسور العشرية. لقد أصبحت معتادًا على لغة ورموز الجبر ، وقمت بتبسيط وتقييم التعبيرات الجبرية. لقد قمت بحل العديد من أنواع التطبيقات المختلفة. لقد أنشأت أساسًا متينًا جيدًا تحتاجه حتى تنجح في الجبر.

في هذا الفصل ، سوف نتأكد من أن مهاراتك ثابتة. سنلقي نظرة أخرى على أنواع الأرقام التي عملنا معها في جميع الفصول السابقة. سنعمل مع خصائص الأرقام التي ستساعدك على تحسين إحساسك بالأرقام. وسنتدرب على استخدامها بالطرق التي سنستخدمها عند حل المعادلات وإكمال الإجراءات الأخرى في الجبر.

لقد وصفنا الأرقام بالفعل على أنها أرقام عد وأرقام صحيحة وأعداد صحيحة. هل تتذكر الفرق بين هذه الأنواع من الأرقام؟

عد الأرقام1, 2, 3, 4…
الأعداد الكلية0, 1, 2, 3, 4…
أعداد صحيحة…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…

أرقام نسبية

ما نوع الأعداد التي ستحصل عليها إذا بدأت بكل الأعداد الصحيحة ثم أدرجت كل الكسور؟ الأعداد التي ستشكلها تشكل مجموعة الأعداد النسبية. أ رقم منطقي هو رقم يمكن كتابته بنسبة عددين صحيحين.

التعريف: الأعداد النسبية

الرقم المنطقي هو رقم يمكن كتابته بالصيغة ( dfrac {p} {q} ) ، حيث p و q عددان صحيحان و q ≠ 0.

جميع الكسور ، الموجبة والسالبة ، هي أعداد نسبية. بعض الأمثلة

[ dfrac {4} {5}، - dfrac {7} {8}، dfrac {13} {4}، ؛ و؛ - dfrac {20} {3} ]

كل بسط وكل مقام هو عدد صحيح.

نحتاج إلى إلقاء نظرة على جميع الأرقام التي استخدمناها حتى الآن والتحقق من أنها عقلانية. يخبرنا تعريف الأعداد المنطقية أن جميع الكسور منطقية. سننظر الآن في الأعداد العد ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد الصحيحة ، والكسور العشرية للتأكد من أنها منطقية.

هل الأعداد الصحيحة أعداد منطقية؟ لتحديد ما إذا كان العدد الصحيح عددًا نسبيًا ، نحاول كتابته كنسبة من عددين صحيحين. طريقة سهلة للقيام بذلك هي كتابته في صورة كسر مقامه واحد.

[3 = dfrac {3} {1} quad -8 = dfrac {-8} {1} quad 0 = dfrac {0} {1} ]

بما أنه يمكن كتابة أي عدد صحيح على هيئة نسبة عددين صحيحين ، فإن جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية. تذكر أن جميع أعداد العد وكل الأعداد الصحيحة هي أيضًا أعداد صحيحة ، وبالتالي فهي أيضًا منطقية.

ماذا عن الكسور العشرية؟ هل هم عقلانيون؟ دعنا نلقي نظرة على القليل لنرى ما إذا كان بإمكاننا كتابة كل منها على هيئة نسبة عددين صحيحين. لقد رأينا بالفعل أن الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية. يمكن كتابة العدد الصحيح −8 بالصيغة العشرية −8.0. لذا ، من الواضح أن بعض الكسور العشرية منطقية.

فكر في الرقم العشري 7.3. هل يمكننا كتابتها على هيئة نسبة عددين صحيحين؟ لأن 7.3 تعني (7 dfrac {3} {10} ) ، يمكننا كتابتها في صورة كسر غير فعلي ، (7 dfrac {3} {10} ). إذن 7.3 هي نسبة الأعداد الصحيحة 73 و 10. إنها عدد نسبي.

بشكل عام ، أي رقم عشري ينتهي بعد عدد من الأرقام (مثل 7.3 أو −1.2684) هو رقم نسبي. يمكننا استخدام المقلوب (أو المعكوس الضربي) للقيمة المكانية للرقم الأخير كمقام عند كتابة العلامة العشرية في صورة كسر.

مثال ( PageIndex {1} ):

اكتب كلًا بنسبة عددين صحيحين: (أ) −15 (ب) 6.81 (c) (- 3 dfrac {6} {7} ).

المحلول

(أ) -15

اكتب العدد الصحيح في صورة كسر مقامه 1.$$ dfrac {-15} {1} $$

(ب) 6.81

اكتب العلامة العشرية في صورة عدد كسري.$$ 6 dfrac {81} {100} $$
ثم حوله إلى كسر غير فعلي.$$ dfrac {681} {100} $$

(ج) (- 3 dfrac {6} {7} )

حوّل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي.$$ - dfrac {27} {7} $$

تمرين ( PageIndex {1} ):

اكتب كل منها بنسبة عددين صحيحين: (أ) −24 (ب) 3.57.

الإجابة أ

( frac {-24} {1} )

الجواب ب

( frac {357} {100} )

تمرين ( PageIndex {2} ):

اكتب كل منها بنسبة عددين صحيحين: (أ) 19 (ب) 8.41.

الإجابة أ

( frac {-19} {1} )

الجواب ب

( frac {841} {100} )

لنلقِ نظرة على الصورة العشرية للأعداد التي نعرف أنها منطقية. لقد رأينا أن كل عدد صحيح هو عدد نسبي ، منذ a = ( dfrac {a} {1} ) لأي عدد صحيح ، أ. يمكننا أيضًا تغيير أي عدد صحيح إلى رقم عشري بإضافة علامة عشرية وصفر.

[ start {split} Integer qquad & -2، quad -1، quad 0، quad 1، ؛ ؛ 2 ، ؛ 3 Decimal qquad & -2.0، -1.0، 0.0، 1.0، 2.0، 3.0 end {split} ]

هذه الأرقام العشرية تتوقف.

لقد رأينا أيضًا أن كل كسر هو عدد نسبي. انظر إلى الصورة العشرية للكسور التي درسناها للتو.

[ start {split} Ratio ؛ من؛ الأعداد الصحيحة qquad dfrac {4} {5}، quad - dfrac {7} {8}، quad dfrac {13} {4}، ؛ & - dfrac {20} {3} Decimal ؛ النماذج qquad 0.8، -0.875، 3.25، & -6.666 ldots & -6. overline {66} end {split} ]

هذه الكسور العشرية إما أن تتوقف أو تتكرر.

ماذا تخبرك هذه الأمثلة؟ يمكن كتابة كل رقم منطقي كنسبة من الأعداد الصحيحة وكعدد عشري يتوقف أو يتكرر. يوضح الجدول أدناه الأرقام التي نظرنا إليها معبراً عنها كنسبة من الأعداد الصحيحة وكسر عشري.

أرقام نسبية
الكسورعدد صحيح
عدد$$ dfrac {4} {5} ، - dfrac {7} {8} ، dfrac {13} {4} ، dfrac {-20} {3} $$$$-2, -1, 0, 1, 2, 3$$
نسبة عدد صحيح$$ dfrac {4} {5} ، dfrac {-7} {8} ، dfrac {13} {4} ، dfrac {-20} {3} $$$$ dfrac {-2} {1} ، dfrac {-1} {1} ، dfrac {0} {1} ، dfrac {1} {1} ، dfrac {2} {1} ، dfrac {3} {1} $$
عدد عشري$$ 0.8، -0.875، 3.25، -6. overline {6} $$$$-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$$

أرقام غير منطقية

هل هناك كسور عشرية لا تتوقف ولا تتكرر؟ نعم فعلا. الرقم ( pi ) (الحرف اليوناني pi ، يُنطق "فطيرة") ، وهو مهم جدًا في وصف الدوائر ، له شكل عشري لا يتوقف أو يتكرر.

[ pi = 3.141592654 ldots ldots ]

وبالمثل ، فإن التمثيلات العشرية للجذور التربيعية للأعداد الصحيحة التي ليست مربعات كاملة لا تتوقف أبدًا ولا تتكرر أبدًا. فمثلا،

[ sqrt {5} = 2.236067978 ldots ldots ]

لا يمكن كتابة العلامة العشرية التي لا تتوقف ولا تتكرر كنسبة أعداد صحيحة. نسمي هذا النوع من الرقم عدد غير نسبي.

التعريف: عدد غير نسبي

الرقم غير النسبي هو رقم لا يمكن كتابته كنسبة بين عددين صحيحين. شكله العشري لا يتوقف ولا يتكرر.

دعونا نلخص طريقة يمكننا استخدامها لتحديد ما إذا كان الرقم منطقيًا أم غير منطقي.

إذا كان الشكل العشري للرقم

  • توقف أو يعيد ، الرقم منطقي.
  • لا يتوقف ولا يتكرر ، فالعدد غير منطقي.

مثال ( PageIndex {2} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) 0.58 ( overline {3} ) (ب) 0.475 (ج) 3.605551275 ...

المحلول

(أ) 0.58 ( overline {3} )

يشير الشريط الموجود أعلى الرقم 3 إلى أنه يتكرر. لذلك ، 0.583 - هو رقم عشري متكرر ، وبالتالي فهو رقم نسبي.

(ب) 0.475

هذا العدد العشري يتوقف بعد 5 ، لذلك فهو رقم نسبي.

(ج) 3.605551275 ...

علامة الحذف (...) تعني أن هذا الرقم لا يتوقف. لا يوجد نمط متكرر للأرقام. نظرًا لأن الرقم لا يتوقف ولا يتكرر ، فهو غير منطقي.

تمرين ( PageIndex {3} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) 0.29 (ب) 0.81 ( overline {6} ) (ج) 2.515115111 ...

الإجابة أ

عاقل

الجواب ب

عاقل

الجواب ج

غير منطقي

التمرين ( PageIndex {4} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) 0.2 ( overline {3} ) (ب) 0.125 (ج) 0.418302 ...

الإجابة أ

عاقل

الجواب ب

عاقل

الجواب ج

غير منطقي

لنفكر الآن في الجذور التربيعية. دائمًا ما تكون الجذور التربيعية للمربعات الكاملة أعدادًا صحيحة ، لذا فهي منطقية. لكن الأشكال العشرية للجذور التربيعية للأرقام التي ليست مربعات كاملة لا تتوقف أبدًا ولا تتكرر أبدًا ، لذا فإن هذه الجذور التربيعية غير منطقية.

مثال ( PageIndex {3} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) 36 (ب) 44

المحلول

(أ) العدد 36 هو مربع كامل ، حيث إن العدد 62 = 36. إذن ( sqrt {36} ) = 6. لذلك ( sqrt {36} ) منطقي.

(ب) تذكر أن 62 = 36 و 72 = 49 ، إذن 44 ليس مربعًا كاملًا. هذا يعني أن ( sqrt {44} ) غير منطقي.

تمرين ( PageIndex {5} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) ( sqrt {81} ) (b) ( sqrt {17} )

الإجابة أ

عاقل

الجواب ب

غير منطقي

تمرين ( PageIndex {6} ):

حدد كلًا مما يلي باعتباره منطقيًا أو غير منطقي: (أ) ( sqrt {116} ) (b) ( sqrt {121} )

الإجابة أ

غير منطقي

الجواب ب

عاقل

تصنيف الأعداد الحقيقية

لقد رأينا أن جميع أعداد العد هي أعداد صحيحة ، وجميع الأعداد الصحيحة هي أعداد صحيحة ، وجميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية. الأرقام غير المنطقية هي فئة منفصلة خاصة بها. عندما نجمع الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معًا ، نحصل على مجموعة من أرقام حقيقية. يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) كيفية ارتباط مجموعات الأرقام.

الشكل ( PageIndex {1} ) - يوضح هذا الرسم التخطيطي العلاقات بين الأنواع المختلفة للأرقام الحقيقية.

التعريف: الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية هي أرقام إما منطقية أو غير منطقية.

هل يبدو مصطلح "أرقام حقيقية" غريبًا بالنسبة لك؟ هل توجد أي أرقام ليست "حقيقية" ، وإذا كان الأمر كذلك ، فماذا يمكن أن تكون؟ لقرون ، كانت الأرقام الوحيدة التي يعرفها الناس هي ما نطلق عليه الآن الأرقام الحقيقية. ثم اكتشف علماء الرياضيات مجموعة أرقام خيالية. لن تصادف أرقامًا خيالية في هذه الدورة ، لكنك ستصادف لاحقًا في دراساتك للجبر.

مثال ( PageIndex {4} ):

حدد ما إذا كان كل رقم من الأرقام في القائمة التالية هو (أ) عدد صحيح ، (ب) عدد صحيح ، (ج) عدد نسبي ، (د) رقم غير نسبي ، (هـ) رقم حقيقي.

[- 7، dfrac {14} {5}، 8، sqrt {5}، 5.9، - sqrt {64} ]

المحلول

  1. الأعداد الصحيحة هي 0 ، 1 ، 2 ، 3 ... الرقم 8 هو العدد الصحيح الوحيد المعطى.
  2. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الصحيحة ، وأضدادها ، و 0. من الأعداد المعطاة ، −7 و 8 أعداد صحيحة. لاحظ أيضًا أن 64 هو مربع 8 لذا (- sqrt {64} ) = −8. إذن الأعداد الصحيحة هي −7 ، 8 ، (- sqrt {64} ).
  3. نظرًا لأن جميع الأعداد الصحيحة منطقية ، فإن الأرقام −7 و 8 و (- sqrt {64} ) منطقية أيضًا. تتضمن الأعداد النسبية أيضًا كسورًا وكسور عشرية تنتهي أو تتكرر ، لذا فإن ( dfrac {14} {5} ) و 5.9 هي عقلانية.
  4. الرقم 5 ليس مربعًا كاملًا ، لذا فإن ( sqrt {5} ) غير منطقي.
  5. جميع الأرقام المذكورة حقيقية.

سنلخص النتائج في جدول.

عددجميععدد صحيحعاقلغير منطقيحقيقة
-7(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
( dfrac {14} {5} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
8(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
( sqrt {5} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
5.9(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(- sqrt {64} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)

تمرين ( PageIndex {7} ):

حدد ما إذا كان كل رقم هو (أ) عدد صحيح ، (ب) عدد صحيح ، (ج) عدد نسبي ، (د) عدد غير نسبي ، (هـ) رقم حقيقي: −3 ، (- sqrt {2} ، 0. overline {3} ، dfrac {9} {5} ) ، 4 ، ( sqrt {49} ).

إجابه
عددجميععدد صحيحعاقلغير منطقيحقيقة
-3(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(- sqrt {2} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(0. overline {3} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
( dfrac {9} {5} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(4)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
( sqrt {49} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)

التمرين ( PageIndex {8} ):

حدد ما إذا كان كل رقم هو (أ) عدد صحيح ، (ب) عدد صحيح ، (ج) عدد نسبي ، (د) عدد غير نسبي ، (هـ) رقم حقيقي: (- sqrt {25} ، - dfrac {3 } {8} ) ، −1 ، 6 ، ( sqrt {121} ) ، 2.041975 ...

إجابه
عددجميععدد صحيحعاقلغير منطقيحقيقة
(- sqrt {25} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(- dfrac {3} {8} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(-1)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(6)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
( sqrt {121} )(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)
(2.041975…)(علامة الاختيار)(علامة الاختيار)

مع التدريب يأتي الإتقان

أرقام نسبية

في التدريبات التالية ، اكتب النسبة بين عددين صحيحين.

  1. (أ) 5 (ب) 3.19
  2. (أ) 8 (ب) −1.61
  3. (أ) 12 (ب) 9.279
  4. (أ) -16 (ب) 4.399

في التمارين التالية ، حدد أيًا من الأرقام المعطاة منطقيًا وأيها غير منطقي.

  1. 0.75 ، 0.22 ( overline {3} ) ، 1.39174 ...
  2. 0.36 ، 0.94729 ... ، 2.52 ( overline {8} )
  3. 0. ( overline {45} )، 1.919293…، 3.59
  4. 0.1 ( overline {3} ) ، 0.42982 ... ، 1.875

في التمارين التالية ، حدد ما إذا كان كل رقم منطقيًا أم غير منطقي.

  1. (أ) 25 (ب) 30
  2. (أ) 44 (ب) 49
  3. (أ) 164 (ب) 169
  4. (أ) 225 (ب) 216

تصنيف الأعداد الحقيقية

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كان كل رقم صحيحًا ، أو عددًا صحيحًا ، أو منطقيًا ، أو غير منطقي ، أو حقيقي.

  1. −8، 0، 1.95286 ....، ( dfrac {12} {5}، sqrt {36} )، 9
  2. −9، (- 3 dfrac {4} {9}، - sqrt {9}، 0.4 overline {09}، dfrac {11} {6} )، 7
  3. (- sqrt {100} ) ، −7 ، (- dfrac {8} {3} ) ، −1 ، 0.77 ، (3 dfrac {1} {4} )

الرياضيات اليومية

  1. رحلة ميدانية سيذهب جميع طلاب الصف الخامس في مدرسة Lincoln Elementary School في رحلة ميدانية إلى متحف العلوم. بحساب جميع الأطفال والمعلمين والمرافقين ، سيكون هناك 147 شخصًا. كل حافلة تسع 44 شخصا.
    1. كم عدد الحافلات المطلوبة؟
    2. لماذا يجب أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا؟
    3. لماذا لا تقرب الإجابة بالطريقة المعتادة؟
  2. رعاية الطفل تريد سيرينا فتح مركز مرخص لرعاية الأطفال. تتطلب ولايتها ألا يكون هناك أكثر من 12 طفلاً لكل معلم. تود أن يخدم مركز رعاية الأطفال 40 طفلاً.
    1. كم عدد المعلمين المطلوب؟
    2. لماذا يجب أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا؟
    3. لماذا لا تقرب الإجابة بالطريقة المعتادة؟

تمارين الكتابة

  1. اشرح بكلماتك الخاصة الفرق بين رقم منطقي ورقم غير نسبي.
  2. اشرح كيف ترتبط مجموعات الأرقام (العد ، الكل ، العدد الصحيح ، المنطقي ، غير المنطقي ، الواقعي) ببعضها البعض.

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك بأسرع ما يمكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.


الأعداد المنطقية والغير منطقية - الأعداد الحقيقية ، الصف 10 رياضيات الصف 10 ملاحظات | EduRev

الأعداد المنطقية: & ndash هذه هي الأرقام الحقيقية التي يمكن التعبير عنها في شكل p / q ، حيث p و q عدد صحيح و q & ne 0.

(ط) كل عدد صحيح هو رقم منطقي.

(2) كل رقم عشري منتهي هو رقم منطقي.

(3) كل رقم عشري متكرر هو رقم منطقي.

(4) يسمى الرقم العشري المتكرر غير المنتهي بالرقم العشري المتكرر.

(5) يوجد بين أي رقمين منطقيين عدد لا حصر له من الأرقام المنطقية. هذه
تُعرف الخاصية بكثافة الأرقام المنطقية.
(6) إذا كان a و b رقمان منطقيان إذن تقع بين أ و ب.
n أعداد منطقية بين رقمين منطقيين مختلفين a و b هي:

(7) يمكن إعادة تمثيل كل رقم منطقي إما على أنه رقم عشري منتهي أو غير منتهي

(8) أنواع الأعداد المنطقية: & ndash

(أ) إنهاء الأعداد العشرية و

(ب) الأرقام العشرية المتكررة (المتكررة) غير المنتهية

(ت) الأعداد غير المنطقية : & ndash يسمى الرقم عددًا غير نسبي ، إذا تعذر كتابته بالصيغة p / q ، حيث p & amp q هي أعداد صحيحة و q & ne 0. جميع الأرقام العشرية غير المنتهية & amp غير المتكررة هي أرقام غير منطقية.

الأعداد الحقيقية: & ndash يُطلق على مجموع الأعداد المنطقية والأرقام غير المنطقية مجموعة الأعداد الحقيقية ، أي الأعداد المنطقية والأرقام غير المنطقية مجتمعة تسمى الأعداد الحقيقية.

كل رقم حقيقي هو إما رقم منطقي أو رقم غير نسبي.

طبيعة التوسيع العشري للأرقام المنطقية

النظرية -1: لنفترض أن x عددًا منطقيًا ينتهي توسيعه العشري. ثم يمكننا التعبير عن x بالصيغة p / q ، حيث p و q هما عدد أولي مشترك ، والعامل الأولي لـ q يكون على الصورة 2 m & في 5 n ، حيث m ، n أعداد صحيحة غير سالبة.

نظرية -2 : لنفترض أن x = p / q عددًا نسبيًا ، بحيث يكون التحليل الأولي لـ q على الصورة 2 m & في 5 n ، حيث m ، n هي أعداد صحيحة غير سالبة. بعد ذلك ، يوجد في x توسع عشري ينتهي.

نظرية -3 : لنفترض أن x = p / q عددًا منطقيًا ، بحيث لا يكون التحليل الأولي لـ q بالصيغة 2 m & في 5 n ، حيث m ، n هي أعداد صحيحة غير سالبة. بعد ذلك ، يحتوي x على توسع عشري وهو تكرار غير منتهي.

نلاحظ أن التحليل الأولي لمقام هذه الأعداد المنطقية هو 2 م و 5 ن ، حيث م ، ن أعداد صحيحة غير سالبة. ومن ثم ، فإن العدد 189/125 يحتوي على إنهاء عشري للتوسع.

نلاحظ أن التحليل الأولي لمقام هذه الأعداد المنطقية ليس بالصيغة 2 م مضروبًا في 5 ن ، حيث م ، ن أعداد صحيحة غير سالبة. ومن ثم فإن 17/6 له توسيع عشري غير منتهي ومتكرر.

إذن ، المقام 8 لـ 17/8 هو 2 m & في 5 n ، حيث m ، n أعداد صحيحة غير سالبة.

ومن ثم فإن 17/8 لها توسيع عشري إنهاء.

من الواضح أن 455 ليس من الشكل 2 م & 5 ن. إذن ، التوسع العشري 64/455 هو تكرار غير منتهي.

دليل على ازدراء & Radic2، & radic3، & radic5.

مثال: 1 أثبت أن (& radic2) ليس عددًا نسبيًا أو أنه لا يوجد عدد منطقي لمربعه 2.

(CBSE (خارج دلهي) 2008).

سول. لنجد الجذر التربيعي للعدد 2 بطريقة القسمة المطولة كما هو موضح أدناه.

من الواضح أن التمثيل العشري لـ & جذر 2 لا تنتهي ولا تتكرر.

سنثبت ذلك بطريقة التناقض.

إذا كان ذلك ممكنا ، دعونا نفترض ذلك & جذر 2 هو رقم منطقي.

ثم 2 = أ ، ب حيث أ ، ب أعداد صحيحة ليس لها عامل مشترك سوى 1.

أ 2 = 2 ب 2
& rArr 2 يقسم 2
& rArr 2 يقسم a
لذلك دعونا أ = 2 ج لبعض الأعداد الصحيحة ج.
& rArr a 2 = 4c 2
& rArr 2b 2 = 4c 2
& rArr b 2 = 2c 2
& rArr 2 يقسم b 2
& rArr 2 يقسم ب

وبالتالي ، فإن 2 عامل مشترك بين a و b.
لكنه يتعارض مع افتراضنا بأن أ و ب لا يوجد بينهما عامل مشترك سوى 1.
لذلك ، افتراضنا أن (& radic2) هو عقلاني ، هو خطأ.
بالتالي، (& radic2) غير منطقي.

مثال 2: برهن على ذلك غير منطقي.
سول. يترك كن عقلانيًا = ، حيث لا يوجد عامل مشترك بين p و q & isin Z و p، q باستثناء 1 أيضًا q & gt 1.

اضرب كلا الطرفين ب q 2

من الواضح أن LHS منطقي لأن p ، q ليس لها عامل مشترك.

& there4 p 3، q أيضًا ليس لها عامل مشترك بينما R.H.S. هو عدد صحيح.
& هناك 4 LHS & ne RHS التي تتعارض مع افتراضنا ذلك غير منطقي

مثال: 3 أثبت أن 2 + & radic3 غير منطقي. [نموذج ورقة (CBSE) 2008]

سول. يترك 2 + & جذر 3 يكون عددًا منطقيًا يساوي r

هنا LHS هو رقم غير منطقي بينما R.H.S r & ndash 2 عقلاني.

ومن ثم فإنه يتعارض مع افتراضنا 2 + & جذر 3 عقلاني.

& هناك 4 2 + & جذر 3 غير منطقي.

مثال 4 أثبت أن & radic2 + & radic3 غير منطقي.

سول. يترك & radic2 + & radic3 يكون عددًا منطقيًا ويقول & # 39x & # 39 & rArr x = & radic2 + & radic3

بما أن x و 5 و 2 هي أسباب منطقية و rArr هو رقم منطقي.
هو رقم منطقي.

وهو ما يتناقض مع حقيقة ذلك وجذر 6 هو رقم غير نسبي.


الأعداد المنطقية وغير المنطقية

العدد المنطقي ( ( mathbb)) هو أي رقم يمكن كتابته على النحو التالي:

حيث (أ ) و (ب ) أعداد صحيحة و (ب ني 0 ).

الأرقام التالية كلها أرقام منطقية:

نرى أن كل البسط وجميع القواسم أعداد صحيحة.

هذا يعني أن جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد منطقية ، لأنه يمكن كتابتها بمقام ( نص <1> ).

الأعداد غير النسبية ( ( mathbb')) هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها في صورة كسر بالبسط والمقام كأعداد صحيحة.

أمثلة على الأرقام غير المنطقية:

هذه ليست أعدادًا منطقية ، لأن البسط أو المقام ليس عددًا صحيحًا.

الأرقام العشرية (EMA5)

جميع الأعداد الصحيحة والكسور ذات الأعداد الصحيحة والمقامرة غير الصفرية هي أعداد نسبية. تذكر أنه عندما يكون مقام الكسر صفرًا ، فإن الكسر يكون غير معرف.

يمكنك كتابة أي رقم منطقي كرقم عشري ولكن ليست كل الأرقام العشرية أرقامًا منطقية. هذه الأنواع من الأعداد العشرية هي أرقام منطقية:

الأرقام العشرية التي تنتهي (أو تنتهي). على سبيل المثال ، يمكن كتابة الكسر ( frac <4> <10> ) كـ ( نص <0،4> ).

الأعداد العشرية التي تحتوي على رقم فردي متكرر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الكسر ( frac <1> <3> ) على النحو التالي ( text <0،> dot <3> ) أو ( text <0،> overline <3> ). تدوينات النقطة والشريط متكافئة ويمثل كلاهما تكرار ( text <3> ) 's ، أي ( text <0،> dot <3> = text <0،> overline <3> = نص <0.333.> ).

الأرقام العشرية التي لها نمط متكرر من عدة أرقام. على سبيل المثال ، يمكن أيضًا كتابة الكسر ( frac <2> <11> ) كـ ( text <0،> overline <18> ). يمثل الشريط نمطًا متكررًا لـ ( text <1> ) 's و ( text <8> ) ، أي ( text <0،> overline <18> = text <0 ، 181818.> ).

قد ترى نقطة كاملة بدلاً من الفاصلة المستخدمة للإشارة إلى رقم عشري. لذلك يمكن أيضًا كتابة الرقم ( نص <0،4> ) كـ 0.4

الرموز: يمكنك استخدام نقطة أو شريط فوق الأرقام المكررة للإشارة إلى أن العلامة العشرية هي رقم عشري متكرر. إذا كان الشريط يغطي أكثر من رقم واحد ، فإن كل الأرقام الموجودة أسفل الشريط تكون متكررة.

إذا طُلب منك تحديد ما إذا كان الرقم منطقيًا أم غير منطقي ، فاكتب أولاً الرقم في شكل عشري. إذا انتهى الرقم فهو منطقي. إذا استمرت إلى الأبد ، فابحث عن نمط متكرر من الأرقام. إذا لم يكن هناك نمط متكرر ، يكون الرقم غير منطقي.

عندما تكتب أرقامًا غير منطقية في صورة عشرية ، يمكنك الاستمرار في كتابتها للعديد من المنازل العشرية. ومع ذلك ، هذا ليس مناسبًا وغالبًا ما يكون من الضروري التقريب.

تقريب رقم غير نسبي يجعل الرقم عددًا نسبيًا يقارب الرقم غير النسبي.


الأعداد المنطقية وغير المنطقية

العدد المنطقي ( ( mathbb)) هو أي رقم يمكن كتابته على النحو التالي:

حيث (أ ) و (ب ) أعداد صحيحة و (ب ني 0 ).

الأرقام التالية كلها أرقام منطقية:

نرى أن كل البسط وجميع القواسم أعداد صحيحة.

هذا يعني أن جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد منطقية ، لأنه يمكن كتابتها بمقام ( نص <1> ).

الأعداد غير النسبية ( ( mathbb')) هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها في صورة كسر بالبسط والمقام كأعداد صحيحة.

أمثلة على الأرقام غير المنطقية:

هذه ليست أعدادًا منطقية ، لأن البسط أو المقام ليس عددًا صحيحًا.

الأرقام العشرية (EMA5)

جميع الأعداد الصحيحة والكسور ذات الأعداد الصحيحة والمقامرة غير الصفرية هي أعداد نسبية. تذكر أنه عندما يكون مقام الكسر صفرًا ، فإن الكسر يكون غير معرف.

يمكنك كتابة أي رقم منطقي كرقم عشري ولكن ليست كل الأرقام العشرية أرقامًا منطقية. هذه الأنواع من الأعداد العشرية هي أرقام منطقية:

الأرقام العشرية التي تنتهي (أو تنتهي). على سبيل المثال ، يمكن كتابة الكسر ( frac <4> <10> ) كـ ( نص <0،4> ).

الأعداد العشرية التي تحتوي على رقم فردي متكرر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الكسر ( frac <1> <3> ) على النحو التالي ( text <0،> dot <3> ) أو ( text <0،> overline <3> ). تدوينات النقطة والشريط متكافئة ويمثل كلاهما تكرار ( text <3> ) 's ، أي ( text <0،> dot <3> = text <0،> overline <3> = نص <0.333.> ).

الأرقام العشرية التي لها نمط متكرر من عدة أرقام. على سبيل المثال ، يمكن أيضًا كتابة الكسر ( frac <2> <11> ) كـ ( text <0،> overline <18> ). يمثل الشريط نمطًا متكررًا لـ ( text <1> ) 's و ( text <8> ) ، أي ( text <0،> overline <18> = text <0 ، 181818.> ).

قد ترى نقطة كاملة بدلاً من الفاصلة المستخدمة للإشارة إلى رقم عشري. لذلك يمكن أيضًا كتابة الرقم ( نص <0،4> ) كـ 0.4

الرموز: يمكنك استخدام نقطة أو شريط فوق الأرقام المكررة للإشارة إلى أن العلامة العشرية هي رقم عشري متكرر. إذا كان الشريط يغطي أكثر من رقم واحد ، فإن كل الأرقام الموجودة أسفل الشريط تكون متكررة.

إذا طُلب منك تحديد ما إذا كان الرقم منطقيًا أم غير منطقي ، فاكتب أولاً الرقم في شكل عشري. إذا انتهى الرقم فهو منطقي. إذا استمرت إلى الأبد ، فابحث عن نمط متكرر من الأرقام. إذا لم يكن هناك نمط متكرر ، يكون الرقم غير منطقي.

عندما تكتب أرقامًا غير منطقية في صورة عشرية ، يمكنك الاستمرار في كتابتها للعديد من المنازل العشرية. ومع ذلك ، هذا ليس مناسبًا وغالبًا ما يكون من الضروري التقريب.

تقريب رقم غير نسبي يجعل الرقم عددًا نسبيًا يقارب الرقم غير النسبي.


ملاحظات - الدرجة 8 - الرياضيات - الفصل 1 - الأعداد المنطقية وغير المنطقية - لوحة ماهاراشترا

إذا كانت p هي أي عدد صحيح و q هو عدد صحيح غير صفري ، ثم الرقم ( frac

) يسمى الرقم المنطقي.

منذ ف قد تكون مساوية لـ 1 ، كل عدد صحيح هو عدد نسبي.

( frac <-20> <8> ) ، ( frac <10> <-7> ) ، ( frac <5> <8> ) ، -9 ، 0 ، 10 إلخ. أرقام نسبية.

هناك أعداد منطقية لا نهائية بين أي رقمين منطقيين.

السابق. أوجد الرقم المنطقي بين ( frac <3> <5> )، & amp ( frac <4> <5> )

الإجابة: الآن اضرب في 2 في بسط ومقام عدد كسري لإيجاد عدد نسبي مكافئ.

هنا يمكننا أن نقول ( frac <7> <10> ) هو رقم منطقي بين ( frac <3> <5> ) ، & amp ( frac <4> <5> )

وبالمثل الآن اضرب في 3 في البسط والمقام من العدد المنطقي لإيجاد عدد نسبي مكافئ.

هنا يمكننا أن نقول أن ( frac <10> <15> ) و ( frac <11> <15> ) هما أيضًا الرقم المنطقي بين ( frac <3> <5> ) ، & amp ( فارك <4> <5> )

وبالمثل ، يمكننا إيجاد أعداد نسبية لا نهائية بين أي رقمين كسريين

  • إذا تم ضرب البسط والمقام في أي رقم غير صفري ، فلن تتغير قيمة الرقم المنطقي.
  • بالنسبة إلى أي أزواج من الأرقام على خط الأعداد ، يكون الرقم الموجود على اليسار أصغر من الآخر.
  • دائمًا ما يكون الرقم المنطقي السالب أقل من رقم موجب

1- يتم الحصول على التمثيل العشري للرقم المنطقي بقسمة البسط على المقام.

(i) الرقم العشري لـ ( frac <3> <5> ) هو 0.6

(ii) الرقم العشري لـ ( frac <7> <2> ) هو 3.5

(ii) الرقم العشري لـ ( frac <11> <8> ) هو 1.375

في جميع الحالات الباقي هو صفر. هنا تنتهي عملية التقسيم.

يسمى هذا الشكل العشري للعدد المنطقي بالصيغة العشرية النهائية

(ii) ( frac <2> <11> ) = 0.181818. = (0. خط علوي 1 سطر 8 )

(iii) ( frac <1234> <999> ) = 1.235235235. = 1. ( overline 2 overline 3 overline 5 )

في الحالات المذكورة أعلاه ، فإن العملية لا تنتهي. هنا يتم تكرار إما رقم أو مجموعة من الأرقام.

يسمى هذا الشكل العشري للعدد المنطقي بالشكل العشري المتكرر غير المنتهي.

مثال: ( frac <15> <8> ) = 1.875 = 1.87500000. = (1.875 نقطة 0 )

أ عدد لا يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين وليست خيالية عدد.

إذا تم كتابته بالتدوين العشري ، فإن عدد غير نسبي سيكون لانهائي عدد من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية ، دون تكرار.

Pi والجذر التربيعي للعدد 2 (√2) هما أرقام غير منطقية.

بالإضافة إلى الأرقام المنطقية ، هناك العديد من الأرقام على خط الأعداد. إنها ليست أرقامًا منطقية ، أي أنها أعداد غير منطقية.

دعونا نمثل الرقم ( sqrt <2> ) على خط الأعداد.

(ط) ارسم خط الأعداد. خذ النقطة O المقابلة للرقم 0. خذ النقطة A على خط الأعداد تظهر الرقم 1.

(2) ارسم خطا ل عمودي على خط الأعداد المار بالنقطة أ.

(3) خذ النقطة P على الخط ل مثل أن OA = AP = 1 وحدة.

(ت) Δ OAP هو مثلث قائم الزاوية.

الآن ارسم قوسًا باستخدام cnter O ونصف القطر OP.

دعنا نتقاطع مع خط الأعداد عند النقطة Q

ستمثل النقطة R على خط الأرقام الأيسر من O بنفس المسافة مثل OQ الرقم (- sqrt 2 ).

ان عدد غير نسبي يمكن كتابتها في صورة عدد عشري ، ولكن ليس على شكل كسر.

ان عدد غير نسبي يحتوي على أرقام غير متكررة لا نهاية لها على يمين العلامة العشرية.

يتم استدعاء الرقم الذي يمكن إظهاره بالنقاط على خط الأعداد حقيقة أعداد.

π ليس رقمًا منطقيًا ، π هو رقم غير منطقي ، للحساب نأخذ قيمة π كـ ( frac <22> <7> ) = 3.14


أوراق عمل الأعداد الصحيحة وغير النسبية

ما هو الفرق بين الأعداد الصحيحة وغير النسبية؟ الأمر كله يتعلق بالأرقام في الرياضيات ، أليس كذلك؟ لا شيء بدون لعبة الأرقام. لكن ما هو الرقم بالضبط؟ الرقم هو قيمة حسابية يمكن أن تكون رقمًا أو كلمة أو رمزًا يشير إلى كمية. هناك أنواع لا حصر لها من الأعداد الطبيعية والكاملة والأعداد الصحيحة والحقيقية والمركبة. أحد الأنواع وهو نوع الأعداد الحقيقية ينقسم إلى عدد منطقي وغير منطقي. في معظم المشكلات ، ستجد عقلانيًا وغير منطقي شائعًا جدًا. تتضمن مجموعة الأعداد المنطقية وجود أعداد صحيحة وكسر من ناحية أخرى ، أما الأعداد غير النسبية فهي أرقام لا يمكن التعبير عنها في صورة كسور. : في الرياضيات ، الرقم المنطقي هو أي رقم يمكنك تمثيله في صورة كسرية مثل p / q ، حيث q أكبر من صفر (0). يمكنك استخدام الأعداد النسبية ككسر. لكنك ستكتب المقام والبسط في صورة أعداد صحيحة ، وسيكون المقام مساويًا للصفر (0). النقاط الأساسية حول الأرقام المنطقية: أثناء حل الأعداد المنطقية (Q) ، يجب أن تكون النقاط التالية في ذهنك: الأرقام الحقيقية (R) تحتوي على جميع أرقام الحصص التموينية (Q) والأعداد الصحيحة (Z). يمكننا كتابة الأعداد الصحيحة كأعداد طبيعية (N). يمكننا التعبير عن جميع الأعداد المنطقية في صورة عدد صحيح لأنه يمكننا كتابتها في صورة كسرية. كيفية التحقق من الأرقام المنطقية: إذا كنت تريد تحديد رقم معين منطقيًا أم لا ، فلا تنس التحقق من هذه الاعتبارات: يجب أن يكون الرقم في شكل كسر مثل p / q ، حيث q & ne0. يمكنك تبسيط النسبة p / q والتعبير عنها في صورة عشرية. يجب أن تحتوي مجموعة الأعداد المنطقية على أرقام + ve & -ve وصفر. مثال: تحقق من أن 1 1/2 رقم منطقي. الحل: بالتبسيط ، يصبح 1 1/2 3/2. البسط 3 هو عدد صحيح. المقام 2 هو عدد صحيح يساوي 2 & ني 0. ومن ثم تم إثبات أن 3/2 عدد نسبي. الفرق بين الاثنين هو: 1. يمكن التعبير عن الأرقام المنطقية بنسبة عددين صحيحين ، بينما لا يمكن كتابة الأرقام غير المنطقية أو التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين. 2. يمكن التعبير عن الأعداد النسبية في جزء لا يمكن التعبير عن الأعداد غير النسبية في الكسور. 3. معظم الأعداد المنطقية هي مربعات كاملة بينما لا يوجد عدد غير نسبي هو مربع كامل. 4. الأعداد المنطقية هي أعداد عشرية محدودة أو متكررة ، في حين أن الأعداد غير النسبية ليست كذلك.

الدرس الأساسي

يوضح القواعد العامة للأعداد الصحيحة وغير النسبية. هل -72 رقم نسبي أم غير نسبي؟ الرقم منتهي ويمكن تمثيله على خط الأعداد ، وهذا يشير إلى أنه رقم منطقي.

الدرس المتوسط

يستكشف كيفية التعامل مع الأعداد المنطقية وغير المنطقية المعقدة. هو 0.784543189. رقم منطقي أو غير منطقي؟ نظرًا لأن هذا الرقم لا ينتهي ، فإنه يستمر ويستمر ... هذا رقم غير منطقي.

الممارسة المستقلة 1

حدد ما إذا كانت هذه الأرقام منطقية أم غير منطقية. يمكن العثور على الإجابات أدناه.

الممارسة المستقلة 2

Features another 20 Rational & Irrational Numbers problems.

Homework Worksheet

Rational & Irrational Numbers problems for students to work on at home. Example problems are provided and explained.

Topic Quiz

10 Rational & Irrational Numbers problems. A math scoring matrix is included.

Homework and Quiz Answer Key

Answers for the homework and quiz.

Lesson and Practice Answer Key

Answers for both lessons and both practice sheets.

The Most Prolific Mathematical Writer?

Who was the most prolific mathematical writer of all time? Hint: He made large bounds forward in the study of modern analytic geometry? إجابه: Leonhard Euler. We owe Euler for the notation f (x) for a function (1734), e for the base of natural logs (1727), I for the square root of -1 (1777), p for pi, for summation (1755), the notation for finite differences y and 2y and many others.


2.2 Rational numbers

Integers

All integers are rational numbers. This is because any integer can be written as a fraction with as the denominator. Here are some examples:

Common fractions

All common fractions are rational numbers. In previous years you learnt that a common fraction is written in the form:

where the numerator and the denominator are both whole numbers.

In proper fractions, the numerator is smaller than the denominator. Here are some examples:

In improper fractions, the numerator is larger than the denominator. Here are some examples:

Mixed numbers

All mixed numbers are rational numbers. In previous years you learnt that a mixed number consists of a whole number and a proper fraction. You also learnt how to write mixed numbers as improper fractions. The same method can be used for positive and negative mixed numbers. Here are some examples:

Numbers written in decimal notation

All terminating decimals are rational numbers. In a terminating decimal, the digits that come after the decimal point come to an end. Last year you learnt how to convert numbers written in decimal notation to common fractions. Here are some examples:

All recurring decimals are rational numbers. In a recurring decimal, one or more decimal digits repeat in the same pattern forever. If only one or two digits repeat, we write a dot above the repeating digits. If more than two digits repeat, we write a dot above the first and last digits of the repeating pattern. Here are some examples:

يبدأ 0.3333333 ldots & = 0.dot <3> 0.1555555 ldots & = 0.1dot <5> 10.27272727 ldots & = 10.dot<2>dot <7> 2.578578578 ldots & = 2.dot<5>7dot <8> 15.32656565 ldots & = 15.32dot<6>dot <5>end

Recurring decimals can be written as common fractions.

terminating decimal In a terminating decimal, the digits that come after the decimal point come to an end.

recurring decimal In a recurring decimal, one or more decimal digits repeat in the same pattern forever.

Worked example 2.1: Writing recurring decimals as common fractions (Method 1)

Step 1: Write the number as the sum of its whole number and its decimal fraction.

Step 2: Write the decimal fraction as a proper fraction. The recurring digits are the numerator. The denominator has the number 9 repeated as many times as there are digits in the numerator.

The numerator must be 15. It has two digits.
The denominator must therefore be 99.

Step 3: Find the simplest form of the fraction from Step 2.

Step 4: Rewrite Step 1, but now with the decimal fraction as a proper fraction. Add the whole number and the fraction.

This method only works if there are no non-recurring digits after the decimal point.

Worked example 2.2: Writing recurring decimals as common fractions (Method 2)

Step 1: Write out the recurring pattern at least three times. Let this be equal to . Label the equation as (1).

Step 2: Multiply the written out decimal by multiples of ten. Start with 10, then try 100, then 1,000 and so on. You must get the same digits after the decimal point as those in equation (1). You must also get the repeating digits قبل the decimal point.

يبدأ 10 imes 2.151515 ldots &= 10 imes x 21.51515 ldots &= 10x end

The digits after the decimal point are not the same as in equation (1), and only the number 1 of the repeating digits is before the decimal point.

يبدأ 100 imes 2.151515 ldots &= 100 imes x 215.1515 ldots &= 100x end

The digits after the decimal point are the same as in equation (1), and both recurring digits, 15, appear before the decimal point.

Step 3: Label the equation from Step 2 as (2). Subtract equation (1) from equation (2).

يبدأ 2.151515 ldots &= x phantom<00000>(1) 215.1515 ldots &= 100x phantom<00>(2) end

يبدأ 215.1515 ldots - 2.151515 ldots &= 100x - x 213 &= 99x end

Step 4: Solve the equation from Step 3.

If there is a non-recurring digit after the decimal point, multiply equation (1) by 10 before you carry on with Step 2.

Exercise 2.1: Write recurring decimals as common fractions

Write each of the following recurring decimals as common fractions.

There is a non-recurring digit after the decimal point, so you need to multiply equation (1) by 10 before you get to the values you can subtract.

You still don't have the repeating digit before the decimal point, so multiply by 100.

The repeating digits are now only the same in equations (2) and (3), so you subtract (2) from (3).

يبدأ 100x-10x&=2.22222-0.22222 90x&=2 frac<90x><90>&=frac<2><90> herefore x&=frac<1> <45>end

Percentages

All percentages are rational numbers. A percentage is a fraction of which the denominator is 100, and where only the numerator is written down, followed by a percentage symbol. Last year you learnt how to convert percentages to common fractions. Here are some examples:

percentage A percentage is a fraction of which the denominator is 100, and where only the numerator is written down, followed by a percentage symbol.

Square roots

ال square root of a number is a factor of the number that, when multiplied by itself, gives the number. Only square roots that have whole numbers, terminating decimals or common fractions as answers are rational numbers. Here are examples of square roots that are rational numbers:

square root The square root of a number is a factor of the number that, when multiplied by itself, gives the number.

Exercise 2.2: Prove that numbers are rational

Prove that each of the following numbers are rational numbers.

Remember that a rational number is any number that can be written in the form such that and are both integers and .


Rational and Irrational Numbers


This Venn Diagram shows the relationships between sets of numbers. Notice that rational and irrational numbers are contained in the large blue rectangle representing the set of Real Numbers.

Rational Numbers

أ rational number is a number that can be expressed as a fraction or ratio.
The numerator and the denominator of the fraction are both integers.
Examples of rational numbers are:

A rational number can be expressed as a ratio (fraction) with integers in both the top and the bottom of the fraction.
When the fraction is divided out, it becomes a terminating or repeating decimal. (The repeating decimal portion may be one number or a billion numbers.)

Rational numbers on number line:
A number line is a straight line diagram on which every point corresponds to a real number.
Since rational numbers are real numbers, they have a specific location on a number line.

To convert a repeating decimal to a fraction:

To show that the rational numbers are “dense”:
(The term “dense” means that between any two rational numbers there is another rational number.)

Irrational Numbers

An irrational number cannot be expressed as a fraction.

  1. Irrational numbers cannot be represented as terminating or repeating decimals.
  2. Irrational numbers are non-terminating, non-repeating decimals.
  3. Examples of irrational numbers are:

ملحوظة: Many students think that π is the terminating decimal, 3.14, but it is not. Yes, certain math problems ask you to use π as 3.14, but that problem is rounding the value of to make your calculations easier. π is actually a non-ending decimal and is an irrational number.

There are certain radical values which fall into the irrational number category.
For example, √2 cannot be written as a “simple fraction”
which has integers in the numerator and the denominator.
As a decimal, √2 = 1.414213562373095048801688624 …
which is a non-ending and non-repeating decimal, making √2 irrational.

Irrational Numbers on a Number Line:
By definition, a number line is a straight line diagram on which every point corresponds to a real number.
Since irrational numbers are a subset of the real numbers, and real numbers can be represented on a number line, one might assume that each irrational number has a “specific” location on the number line.
“Estimates” of the locations of irrational numbers on number line:

Maths


Rational and Irrational Numbers

Rational Numbers

A rational number is a number that can be written as a ratio. That means it can be written as a fraction, in which both the numerator (the number on top) and the denominator (the number on the bottom) are whole numbers.

  • The number 8 is a rational number because it can be written as the fraction 8/1.
  • Likewise, 3/4 is a rational number because it can be written as a fraction.
  • Even a big, clunky fraction like 7,324,908/56,003,492 is rational, simply because it can be written as a fraction.

Every whole number is a rational number, because any whole number can be written as a fraction. For example, 4 can be written as 4/1, 65 can be written as 65/1, and 3,867 can be written as 3,867/1.

Ratio and Rates: A Video


Irrational Numbers

All numbers that are not rational are considered irrational. An irrational number can be written as a decimal, but not as a fraction.

An irrational number has endless non-repeating digits to the right of the decimal point. Here are some irrational numbers:

Although irrational numbers are not often used in daily life, they do exist on the number line. In fact, between 0 and 1 on the number line, there are an infinite number of irrational numbers!


5.7: Rational and Irrational Numbers - Mathematics

RATIONAL AND IRRATIONAL NUMBERS

Real and imaginary numbers make up the number system of algebra. Imaginary numbers are discussed in chapter 15 of this course. Real numbers are either rational or irrational. The word RATIONAL comes from the word "ratio." A number is rational if it can be expressed as the quotient, or ratio, of two whole numbers. Rational numbers include fractions like 2/7, whole numbers, and radicals if the radical sign is removable.

Any whole number is rational. Its denominator is 1. For instance, 8 equals , which is the quotient of two integers. A number like is rational, since it can be expressed as the quotient of two integers in the form . The following are also examples of rational numbers:

Any rational number can be expressed as the quotient of two integers in many ways. For example,

An IRRATIONAL number is a real number that cannot be expressed as the ratio of two integers. The numbers and are examples of irrational numbers.

Expressions such as and have irrational numbers in the denominator. If the denominators are changed immediately to decimals, as in

the process of evaluating a fraction becomes an exercise in long division. Such a fraction can be evaluated quickly by first changing the denominator to a rational number. Converting a fraction with an irrational number in its denominator to an equivalent fraction with a rational number in the denominator is called RATIONALIZING THE DENOMINATOR.

Multiplying a fraction by 1 leaves the value of the fraction unchanged. Since any number divided by itself equals 1, it follows, for example, that

If the numerator and denominator of are each multiplied by , another fraction having the same value is obtained. The result is

The denominator of the new equivalent fraction is 2, which is rational. The decimal value of the fraction is

To rationalize the denominator in we multiply the numerator and denominator by . We get

Practice problems. Rationalize the denominator in each of the following:

Any radical expression has a decimal equivalent which may be exact if the radicand is a rational number. If the radicand is not rational, the root may be expressed as a decimal approximation, but it can never be exact. A procedure similar to long division may be used for calculating square root and cube root, and higher roots may be calculated by means of methods based on logarithms and higher mathematics. Tables of powers and roots have been calculated for use in those scientific fields in which it is frequently necessary to work with roots.

The arithmetic process for calculation of square root is outlined in the following paragraphs:

1. Begin at the decimal point and mark the number off into groups of two digits each, moving both to the right and to the left from the decimal point. This may leave an odd digit at the right-hand or left-hand end of the number, or both. For example, suppose that the number whose square root we seek is 9025. The number marked off as specified would be as follows:

2. Find the greatest number whose square is contained in the left-hand group (90). This number is 9, since the square of 9 is 81. Write 9 above the first group. Square this number (9) place its square below the left-hand group, and subtract, as follows:

Bring down the next group (25) and place it beside the 9, as shown. This is the new dividend (925).

3. Multiply the first digit in the root (9) by 20, obtaining 180 as a trial divisor. This trial divisor is contained in the new dividend (925) five times thus the second digit of the root appears to be 5. However, this number must be added to the trial divisor to obtain a "true divisor." If the true divisor is then too large to use with the second quotient digit, this digit must be reduced by 1. The procedure for step 3 is illustrated as follows:

The number 180, resulting from the multiplication of 9 by 20,is written as a trial divisor beside the new dividend (925), as shown. The quotient digit (5) is then recorded and the trial divisor is adjusted, becoming 185. The trial quotient (180) is crossed out.

4. The true divisor (185) is multiplied by the second digit (5) and the product is placed below the new dividend (925). This step is shown in the illustration for step 3. When the product in step 4 is subtracted from the new dividend, the difference is 0 thus, in this example, the root is exact.

5. In some problems, the difference is not 0 after all of the digits of the original number have been used to form new dividends. Such problems may be carried further by adding 0s on the right-hand end of the original number, just as in normal long division. However, in the square root process the 0s must be added and used in groups of 2.

Practice problems. Find the square root of each of the following numbers:


شاهد الفيديو: 12-2 الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية الجزء الثاني. الصف التاسع. منهج كامبريدج. Cambridge (ديسمبر 2021).