مقالات

4.2: تصنيفات المعادلات النموذجية


هناك بعض المصطلحات الفنية التي أحتاج إلى تقديمها قبل الانتقال إلى مزيد من المناقشات:

النظام الخطي معادلة ديناميكية تتضمن قواعدها فقط مجموعة خطية من متغيرات الحالة (ثابت ضرب متغير ، ثابت ، أو مجموعها).

نظام غير خطي أي شيء آخر (على سبيل المثال ، المعادلة التي تتضمن المربعات ، المكعبات ، الجذور ، الدوال المثلثية ، إلخ ، لمتغيرات الحالة).

نظام الدرجة الأولى معادلة فرق تتضمن قواعدها متغيرات الحالة للماضي القريب (في الوقت (t − 1 )) فقطأ.

أعلى ترتيب نظام أي شيء آخر.

ألاحظ أن معنى "الترتيب" في هذا السياق يختلف عن ترتيب المصطلحات في كثيرات الحدود.

نظام الحكم الذاتي معادلة ديناميكية لا تتضمن قواعدها صراحة الوقت (t ) أو أي متغيرات خارجية أخرى.

نظام غير مستقل معادلة ديناميكية تتضمن قواعدها الوقت (t ) أو متغيرات خارجية أخرى بشكل صريح.

تمرين ( PageIndex {1} )

تقرر ما إذا كان كل من الأمثلة التالية هي (1) الخطية أو غير الخطية، (2) rst فاي النظام أو العليا، و (3) مستقلة أو غير مستقلة

  1. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + b )
  2. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + bx_ {t − 2} + cx_ {t − 3} )
  3. (x_ {t} = ax_ {t − 1} (1 − x_ {t − 1}) )
  4. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + bxt − 2 ^ {2} + sqrt [c] {x_ {t − 1} x_ {t − 3}} )
  5. (x_ {t} = ax_ {t − 1} x_ {t − 2} + bx_ {t − 3} + sin (t) )
  6. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + by_ {t − 1}، y_ {t} = cx_ {t − 1} + dy_ {t − 1} )

هناك أيضًا بعض الأشياء المفيدة التي يجب أن تعرفها عن هذه التصنيفات:

يمكن دائمًا تحويل معادلات الفروق غير المستقلة ذات الترتيب الأعلى إلى أشكال مستقلة من الدرجة الأولى ، عن طريق إدخال متغيرات حالة إضافية.

على سبيل المثال ، معادلة الفرق من الدرجة الثانية

[x_ {t} = x_ {t-1} + x_ {t-2} label {(4.5)} ]

(وهو ما يسمى ب متتالية فيبوناتشييمكن تحويلها إلى نموذج من الدرجة الأولى بإدخال متغير "ذاكرة" (ص ) على النحو التالي:

[y_ {t} = x_ {t-1} label {(4.6)} ]

باستخدام هذا ، يمكن إعادة كتابة (x_ {t − 2} ) كـ (y_ {t − 1} ). لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

[ begin {align} x_ {t} & = x_ {t-1} + y_ {t-1} label {(4.7)} [4pt] y_ {t} & = x_ {t-1} تسمية {(4.8)} نهاية {محاذاة} ]

هذا هو الأمر الأول الآن. تعمل تقنية التحويل هذه مع معادلات من الدرجة الثالثة أو أي معادلات ذات رتبة أعلى أيضًا ، طالما أن التبعية التاريخية لا تنتهي. وبالمثل ، معادلة غير مستقلة

[x_ {t} = x_ {t-1} + t label {(4.9)} ]

يمكن تحويلها إلى شكل مستقل عن طريق إدخال متغير "clock" z على النحو التالي:

[z_ {t} = z_ {t-1} +1، z_ {0} = 1 label {(4.10)} ]

يضمن هذا التعريف (z_ {t − 1} = t ). باستخدام هذا ، يمكن إعادة كتابة المعادلة كـ

[x_ {t} = x_ {t-1} + z_ {t-1} ، label {(4.11)} ]

وهو الآن مستقل. قد تبدو هذه الحيل الرياضية وكأنها نوع من الغش ، لكنها في الحقيقة ليست كذلك. والرسالة التي يجب أخذها إلى المنزل في هذا الصدد هي أن معادلات الدرجة الأولى المستقلة يمكن أن تغطي جميع ديناميكيات أي معادلات غير مستقلة ذات ترتيب أعلى. وهذا يعطينا الثقة في أنه يمكننا التركيز بأمان على معادلات الدرجة الأولى المستقلة دون أن يفوتنا أي شيء أساسي. ربما هذا هو سبب استدعاء معادلات الفروق المستقلة من الدرجة الأولى باسم معين: الخرائط التكرارية.

تمرين ( PageIndex {2} )

حول معادلات الفرق التالية إلى صيغة مستقلة من الدرجة الأولى.

1. (x_ {t} = x_ {t-1} (1-x_ {t-1}) سينت )

2. (x_ {t} = x_ {t-1} + x_ {t-2} -x_ {t-3} )

شيء مهم آخر حول المعادلات الديناميكية هو التمييز التالي بين الأنظمة الخطية وغير الخطية:

دائمًا ما تكون المعادلات الخطية قابلة للحل من الناحية التحليلية ، بينما لا تحتوي المعادلات غير الخطية على حلول تحليلية بشكل عام.

هنا ، الحل التحليلي يعني حلاً مكتوبًا على شكل (x_ {t} = f (t) ) بدون استخدام متغيرات الحالة في الجانب الأيمن. يُطلق على هذا النوع من الحلول أيضًا حل النموذج المغلق لأن الجانب الأيمن "مغلق" ، أي أنه يحتاج فقط (t ) ولا يحتاج إلى (س ). يعد الحصول على حل مغلق أمرًا مفيدًا لأنه يمنحك طريقة لحساب (أي توقع) حالة النظام مباشرةً من (t ) في أي وقت في المستقبل ، دون محاكاة التاريخ الكامل لسلوكه فعليًا. للأسف هذا غير ممكن للأنظمة غير الخطية في معظم الحالات.


4.2: تصنيفات المعادلات النموذجية

لاحظ أن نموذج التصنيف (غير الطبيعي) قد يحتوي على واحد فقط الانحدار. في هذه الحالة ، تكون الفئة المتوقعة ثابتة وتكون الثقة 1.0.

كيف تحسب pي : = احتمال الهدف = القيمةي

يجب أن يكون هناك N فئات مستهدفة مع N الانحدار عناصر. دع yي تكون نتيجة تقييم الصيغة في i الانحدار. إذا كان واحد أو أكثر من ذي لا يمكن تقييمها لأن القيمة الموجودة في أحد الحقول المشار إليها مفقودة ، فإن الصيغ التالية لا تنطبق. في هذه الحالة ، يتم تحديد التنبؤات بواسطة احتمال مسبق القيم في استهداف جزء.

سوفت ماكس ، قاطع انظر أعلاه ، صي = exp (yي ) / (Sum [i = 1 to N] (exp (yأنا ) ) ) logit ، قاطع انظر أعلاه ، صي = 1 / (1 + exp (- yي ) ) بروبيت ، قاطع صي = متكامل (من - & # 8734 إلى yي ) (1 / sqrt (2 * & # 960)) exp (-0.5 * u * u) du
على سبيل المثال ، F (10) = 1 cloglog ، قاطع صي = 1 - exp (-exp (yي ) ) سجل قاطع صي = exp (-exp (- yي ) ) cauchit قاطع صي = 0.5 + (1 / & # 960) أركتان (ذي ) سوفت ماكس ، ترتيبي F (y) = exp (yي ) / (Sum [i = 1 to N] (exp (yأنا )) )
ص1 = F (ذ1 )
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ j & # 8805 2 تسجيل الدخول ، ترتيبي معكوس دالة السجل: F (y) = 1 / (1 + exp (- y)) ، على سبيل المثال ، F (15) = 1
ص1 = F (ذ1 )
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ 2 & # 8804 j & lt N
صن = 1 - المجموع [i = 1 إلى N-1] (ص أنا) اختبار ترتيبي معكوس دالة probit: F (y) = تكامل (من - & # 8734 إلى y) (1 / sqrt (2 * & # 960)) exp (-0.5 * u * u) du
على سبيل المثال ، F (10) = 1
ص1 = F (ذ1 )
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ 2 & # 8804 j & lt N
صن = 1 - المجموع [i = 1 إلى N-1] (ص أنا) كلوغلوغ ، ترتيبي معكوس دالة cloglog: F (y) = 1 - exp (-exp (y))
على سبيل المثال ، F (4) = 1.
ص1 = F (ذ1 )
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ 2 & # 8804 j & lt N
صن = 1 - المجموع [i = 1 إلى N-1] (ص أنا) سجل ، ترتيبي معكوس دالة cloglog: F (y) = exp (-exp (- y))
ص1 = F (ذ1 )
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ 2 & # 8804 j & lt N
صن = 1 - المجموع [i = 1 إلى N-1] (ص أنا) cauchit ترتيبي معكوس دالة cauchit: F (y) = 0.5 + (1 / & # 960) arctan (y)
ص1 = F (ذ1)
صي = F (ذي ) - F (ذي -1 ) ، لـ 2 & # 8804 j & lt N
صن = 1 - المجموع [i = 1 إلى N-1] (ص أنا)

التعليقات على exp: ال إكسب طريقة التطبيع يستخدم بشكل متكرر في النماذج الإحصائية للتنبؤ بالمتغيرات المستهدفة غير السلبية ، مثل انحدار بواسون الذي يستخدم في التنبؤ بالمبيعات ، ونماذج الانتظار ، ونماذج مخاطر التأمين ، وما إلى ذلك ، للتنبؤ بالأعداد لكل وحدة زمنية (على سبيل المثال ، أحجام المبيعات اليومية ، الخدمة بالساعة الطلبات ، إيداعات مطالبات التأمين الفصلية ، إلخ).

تعليقات على probit: تتوافق المنطقة الواقعة أسفل المنحنى الطبيعي القياسي مع الاحتمال ، وتحديداً احتمال العثور على ملاحظة أقل من قيمة Z معينة. المساحة الكلية تحت المنحنى ، من - & # 8734 إلى + & # 8734 = 1.0

Z = 0 ، المنطقة = أعلى من Z = 0.5 ، أي أن نصف المنحنى يقع تحت المتوسط
Z = 1.0 ، المنطقة = أعلى من Z = 0.1587 ، أي حوالي 85٪ من البيانات تقع أدناه (يعني + 1 sd)

ر F (ر)
1 0.84134474606854000000
2 0.97724986805182000000
3 0.99865010196837000000

للأهداف الترتيبية: افترض yأنا هي نتيجة ال الانحدار. قم بتطبيق دالة الارتباط العكسي للحصول على الاحتمال التراكمي. لآخر (وهو ما يسمى تافهة) الانحدار، يجب أن يكون التقاطع رقمًا "كبيرًا" بحيث بعد تطبيق دالة الارتباط العكسي ، تحصل على احتمال تراكمي قدره 1 وهذا المفترض أعلاه في المعادلات المقدمة حول كيفية حساب احتمالات الأهداف الترتيبية. يتم حساب الاحتمال الفردي لكل فئة عن طريق طرح الاحتمال التراكمي للفئة السابقة من الاحتمال التراكمي للفئة الحالية.

أمثلة

تُستخدم معادلة الانحدار التالية للتنبؤ بعدد مطالبات التأمين:

إذا تم تحديد قيمة موقف السيارات لـ car_location في سجل معين ، فستحصل على الصيغة التالية:

عينة الانحدار الخطي

هذه معادلة انحدار خطية تتنبأ بعدد من مطالبات التأمين بناءً على معرفة مسبقة بقيم المتغيرات المستقلة العمر والراتب وتخصيص السيارة. car_location هو المتغير الفئوي الوحيد. إنه القيمة يمكن أن تأخذ السمة قيمتين محتملتين ، موقف السيارات والشارع.

نموذج PMML المقابل هو:

عينة الانحدار متعدد الحدود

هذه معادلة انحدار متعددة الحدود تتنبأ بعدد من مطالبات التأمين بناءً على معرفة مسبقة بقيم المتغيرين المستقلين الراتب وتخصيص السيارة. car_location هو متغير قاطع. إنه القيمة يمكن أن تأخذ السمة قيمتين محتملتين ، موقف السيارات والشارع.

الانحدار اللوجستي للتصنيف الثنائي

تقوم العديد من خوارزميات نمذجة الانحدار بإنشاء معادلات (k-1) لمشاكل التصنيف مع فئات مختلفة k. هذا مفيد بشكل خاص للتصنيف الثنائي. يمكن بسهولة تحديد النموذج الناتج في PMML كما في المثال التالي.

لاحظ أن العنصر الأخير لـ الانحدار تافهة. ليس لديها أي مدخلات توقع. أ الانحدار يحدد صيغة: اعتراض + (مجموع شروط التوقع) . إذا لم تكن هناك شروط توقع ، فعندئذٍ (مجموع ..) هي 0 وتصبح الصيغة فقط: تقاطع . هذا بالضبط ما & ltRegressionTable targetCategory = "نعم" اعتراض = "0" / & GT يحدد.

عينة للتصنيف بأكثر من فئتين:

لاحظ أن المصطلحات مثل 0 * أقلية ('1') غير ضرورية ولكن من الصالح استخدام نفس الحقل بقيم مؤشر مختلفة مثل "0" و "1". رغم أن أ الانحدار يجب ألا يكون لديك عدة متنبئ رقميق مع نفس الشيء اسم ويجب ألا تحتوي على عدة المتنبئ الفئويمع نفس الزوج من اسم و القيمة.

نموذج PMML المقابل هو:

استخدام مصطلحات التفاعل

نموذج PMML المقابل هو:

لاحظ أن النموذج يمكنه تحويل جنس المجال الفئوي إلى حقل مستمر من خلال تحديد مناسب حقل مشتق. علاوة على ذلك ، يمكن أن تظهر الحقول أكثر من مرة داخل ملف PredictorTerm.


استخدام الأرصدة لحل المعادلات

في المقدمة ، استخدمت مقياس توازن لمقارنة التعبيرات العددية. في هذا القسم ، ستستخدم مقياس توازن لنمذجة المعادلات وحلها.

ضع في اعتبارك المعادلة أدناه.

بالنسبة لنموذج مقياس التوازن ، استخدم الأرقام التالية لتمثيلها x و 1. يمكنك تمثيل مجموعات من x و 1 باستخدام مجموعات من الأشكال.

المعادلة 2x + 3 = 7 ، يمكن بناؤها على الرصيد الموضح أدناه.

بمجرد بناء المعادلة على النموذج ، يمكن إزالة كتل الوحدات أو الكتل الواحدة من كلا جانبي الميزان لتحديد عدد كتل الوحدات اللازمة لتحقيق التوازن بين 2 x- كتل.

كل x-يجب أن توازن الكتلة بين نفس عدد كتل الوحدات ، لذلك في هذه الحالة ، كل منها x- موازين بلوك 2 كتلة. حسب النموذج x = 2.

شاهد حل هذه المعادلة باستخدام نموذج التوازن.

استخدم الطريقة التفاعلية أدناه لإعداد 3 معادلات على الأقل سيتم إعطاؤها لك. سيتم فتح البرنامج التفاعلي في علامة تبويب أو نافذة متصفح جديدة. إذا كنت بحاجة إلى ذلك ، فانقر فوق مشكلة جديدة حتى تحصل على معادلة من خطوتين ، أو معادلة النموذج فأس + ب = ج. استخدم الخطوات التالية لمساعدتك على التنقل خلال المعادلة التفاعلية أثناء إعداد المعادلة المحددة وحلها.

  • استخدم ال x- الكتل والكتل الوحدة (1 - كتل) لاقامة المعادلة.
  • بمجرد إعداد المعادلة بشكل صحيح ، انقر فوق "متابعة" لحل المعادلة باستخدام نموذج مقياس التوازن.
  • حدد العملية التي يجب إجراؤها للحصول على ملف x- كتل من تلقاء نفسها على الميزان من خلال النقر على رمز تلك العملية.
  • أدخل عدد الكتل التي تريد إضافتها أو طرحها أو ضربها أو تقسيمها.
  • كرر لإجراء عملية إضافية إذا احتجت إلى ذلك.

توجد توجيهات على اللوحة الجانبية يمكنك استخدامها للتنقل عبر كل معادلة. إذا كنت بحاجة إلى توجيهات إضافية ، انظر أدناه.

وقفة والتفكير

معادلة الشكل الفأس + ب = ج، أين أ ، ب ، و ج هي أرقام و a لا يساوي 0 ، تسمى معادلة من خطوتين.

لماذا تعتقد أن هذه المعادلات تسمى معادلات من خطوتين؟
كيف تحل معادلة مثل 3 س - 5 = 10، أين ب هو رقم سلبي؟

للأسئلة من 1 إلى 3 ، استخدم مقياس التوازن لتحديد قيمة x.


محتويات

نمذجة المعادلات الهيكلية (SEM) لها جذورها في عمل سيوال رايت الذي طبق تفسيرات سببية واضحة لمعادلات الانحدار بناءً على التأثيرات المباشرة وغير المباشرة للمتغيرات المرصودة في علم الوراثة السكانية [10] [11]. قام Lee M. Wolfle بتجميع تاريخ ببليوغرافي مشروح لطريقة معامل مسار Sewall Wright التي نعرفها اليوم كنمذجة المسار. [12] أضاف رايت عنصرين مهمين إلى الممارسة القياسية لاستخدام الانحدار للتنبؤ بالنتيجة. كانت هذه (1) لجمع المعلومات من أكثر من معادلة انحدار باستخدام (2) نهج سببي لنمذجة الانحدار بدلاً من مجرد التنبؤ. عزز سيوال رايت طريقته في تحليل المسار في مقالته التي صدرت عام 1934 بعنوان "طريقة معاملات المسار". [13]

قدم أوتيس دودلي دنكان SEM إلى العلوم الاجتماعية في عام 1975 [14] وازدهرت خلال السبعينيات والثمانينيات. مناهج نمذجة مختلفة ولكنها مرتبطة بالرياضيات تم تطويرها في علم النفس وعلم الاجتماع والاقتصاد. أدى التقارب بين اثنين من هذه التيارات التنموية (تحليل العوامل من علم النفس ، وتحليل المسار من علم الاجتماع عبر Duncan) إلى إنتاج جوهر SEM الحالي على الرغم من وجود تداخل كبير مع ممارسات الاقتصاد القياسي التي تستخدم المعادلات المتزامنة والمتغيرات الخارجية (المتغيرات السببية) [15] [16 ]. أحد البرامج العديدة التي طورها Karl Gustav Jöreskog في أوائل السبعينيات في خدمات الاختبارات التعليمية (LISREL) المتغيرات الكامنة (التي عرفها علماء النفس على أنها العوامل الكامنة من تحليل العوامل) ضمن معادلات أسلوب تحليل المسار (التي ورثها علماء الاجتماع من رايت ودونكان ) [17]. يتضمن الجزء المنظم للعوامل من النموذج أخطاء القياس ، وبالتالي يسمح بتقدير معدل الخطأ للقياس للتأثيرات التي تربط المتغيرات الكامنة.

تم استخدام المصطلحات الفضفاضة والمربكة لإخفاء نقاط الضعف في الأساليب. على وجه الخصوص ، تم دمج PLS-PA (خوارزمية Lohmoller) مع انحدار المربعات الصغرى الجزئي PLSR ، وهو بديل لانحدار المربعات الصغرى العادي وليس له علاقة بتحليل المسار. تم الترويج بشكل خاطئ PLS-PA كطريقة تعمل مع مجموعات البيانات الصغيرة عندما تفشل أساليب التقدير الأخرى. أظهر Westland (2010) بشكل حاسم أن هذا ليس صحيحًا وقام بتطوير خوارزمية لأحجام العينات في SEM. منذ السبعينيات ، من المعروف أن تأكيد "حجم العينة الصغير" خاطئ (انظر على سبيل المثال Dhrymes، 1972، 1974 Dhrymes & amp Erlat، 1972 Dhrymes et al.، 1972 Gupta، 1969 Sobel، 1982).

تم تصميم كل من LISREL و PLS-PA كخوارزميات كمبيوتر تكرارية ، مع التركيز منذ البداية على إنشاء واجهة رسومية وإدخال بيانات يمكن الوصول إليها وتوسيع تحليل مسار رايت (1921). تعمل لجنة كاولز المبكرة على تقدير المعادلات المتزامنة التي تركز على خوارزميات كوبمان وهود (1953) من اقتصاديات النقل والتوجيه الأمثل ، مع تقدير الاحتمالية القصوى ، والحسابات الجبرية ذات الشكل المغلق ، حيث كانت تقنيات البحث عن الحلول التكرارية محدودة في الأيام التي سبقت أجهزة الكمبيوتر. طور أندرسون وروبن (1949 ، 1950) مقدر الاحتمالية القصوى للمعلومات المحدودة لمعلمات معادلة هيكلية واحدة ، والتي تضمنت بشكل غير مباشر مقدر المربعات الصغرى على مرحلتين وتوزيعها المقارب (Anderson ، 2005) و Farebrother (1999). تم اقتراح المربعات الصغرى ذات المرحلتين في الأصل كطريقة لتقدير معلمات معادلة هيكلية واحدة في نظام المعادلات المتزامنة الخطية ، والتي قدمها Theil (1953a ، 1953b ، 1961) وبشكل أو بآخر بشكل مستقل بواسطة Basmann (1957) و سارجان (1958). تم تنفيذ تقدير احتمالية الحد الأقصى لمعلومات أندرسون المحدودة في نهاية المطاف في خوارزمية بحث الكمبيوتر ، حيث تنافس مع خوارزميات SEM التكرارية الأخرى. من بين هؤلاء ، كانت المربعات الصغرى ذات المرحلتين هي الطريقة الأكثر استخدامًا في الستينيات وأوائل السبعينيات.

تم تطوير مناهج معادلة أنظمة الانحدار في لجنة كاولز من الخمسينيات فصاعدًا ، مما أدى إلى توسيع نمذجة النقل في Tjalling Koopmans. حاول سيوال رايت وغيره من الإحصائيين تعزيز طرق تحليل المسار في كاولز (ثم في جامعة شيكاغو). حدد الإحصائيون في جامعة شيكاغو العديد من العيوب في تطبيقات تحليل المسار لأخطاء العلوم الاجتماعية والتي لم تطرح مشاكل كبيرة لتحديد انتقال الجينات في سياق رايت ، ولكنها جعلت طرق المسار مثل PLS-PA و LISREL إشكالية في العلوم الاجتماعية. لخص فريدمان (1987) هذه الاعتراضات في تحليلات المسار: "كان الفشل في التمييز بين الافتراضات السببية والآثار الإحصائية وادعاءات السياسة أحد الأسباب الرئيسية للشك والارتباك المحيطين بالطرق الكمية في العلوم الاجتماعية" (انظر أيضًا Wold's ( 1987) استجابة). لم يكتسب تحليل مسار رايت أبدًا عددًا كبيرًا من المتابعين بين خبراء الاقتصاد القياسي في الولايات المتحدة ، ولكنه نجح في التأثير على هيرمان وولد وتلميذه كارل يوريسكوج. قامت طالبة Jöreskog Claes Fornell بترقية LISREL في الولايات المتحدة.

جعلت التطورات في أجهزة الكمبيوتر من السهل على المبتدئين تطبيق طرق المعادلة الهيكلية في التحليل الذي يعتمد على الكمبيوتر لمجموعات البيانات الكبيرة في المشكلات المعقدة وغير المنظمة. تنقسم تقنيات الحلول الأكثر شيوعًا إلى ثلاث فئات من الخوارزميات: (1) خوارزميات المربعات الصغرى العادية المطبقة بشكل مستقل على كل مسار ، مثل المطبقة في ما يسمى بحزم تحليل مسار PLS والتي تقدر باستخدام خوارزميات تحليل التغاير OLS (2) التي تتطور من المنوي العمل الذي قام به وولد وتلميذه كارل يوريسكوج تم تنفيذه في LISREL و AMOS و EQS و (3) خوارزميات انحدار المعادلات المتزامنة التي تم تطويرها في لجنة Cowles بواسطة Tjalling Koopmans.

قام بيرل [18] بتوسيع نطاق SEM من النماذج الخطية إلى النماذج اللامعلمية ، واقترح تفسيرات سببية وواقعية مضادة للمعادلات. على سبيل المثال ، يؤكد استبعاد المتغير Z من حجج المعادلة أن المتغير التابع مستقل عن التدخلات على المتغير المستبعد ، بمجرد ثبات الحجج المتبقية. تسمح SEMs اللامعلمية بتقدير التأثيرات الكلية والمباشرة وغير المباشرة دون الالتزام بشكل المعادلات أو توزيعات شروط الخطأ. هذا يوسع تحليل الوساطة إلى الأنظمة التي تتضمن متغيرات فئوية في وجود تفاعلات غير خطية. يقوم Bollen and Pearl [19] بمسح تاريخ التفسير السببي لـ SEM ولماذا أصبح مصدرًا للارتباك والخلافات.

تحظى طرق تحليل مسار SEM بشعبية في العلوم الاجتماعية نظرًا لإمكانية الوصول إلى برامج الكمبيوتر المعبأة التي تسمح للباحثين بالحصول على نتائج دون إزعاج فهم التصميم التجريبي والتحكم والتأثير وأحجام العينة والعديد من العوامل الأخرى التي تشكل جزءًا من تصميم البحث الجيد. يقول المؤيدون أن هذا يعكس تفسيرًا كليًا ، وأقل سببية بشكل صارخ ، للعديد من ظواهر العالم الحقيقي - خاصة في علم النفس والتفاعل الاجتماعي - مما قد يتم اعتماده في العلوم الطبيعية ، يشير منتقدو العلوم الطبيعية إلى أن العديد من الاستنتاجات المعيبة قد تم استخلاصها بسبب هذا النقص في التجربة. يتحكم.

ينشأ الاتجاه في نماذج الشبكة الموجهة لـ SEM من افتراضات السبب والنتيجة المفترضة حول الواقع. غالبًا ما تكون التفاعلات الاجتماعية والمصنوعات اليدوية ظاهرة ثانوية - ظواهر ثانوية يصعب ربطها مباشرة بالعوامل السببية. مثال على الظاهرة الفسيولوجية هو ، على سبيل المثال ، الوقت اللازم لإكمال سباق 100 متر. قد يكون الشخص قادرًا على تحسين سرعة العدو من 12 ثانية إلى 11 ثانية ، ولكن سيكون من الصعب أن نعزو هذا التحسن إلى أي عوامل سببية مباشرة ، مثل النظام الغذائي ، والسلوك ، والطقس ، وما إلى ذلك. ظاهرة epiphenomenon - المنتج الشامل لتفاعل العديد من العوامل الفردية.

على الرغم من اختلاف كل تقنية في عائلة SEM ، إلا أن الجوانب التالية شائعة في العديد من طرق SEM ، حيث يمكن تلخيصها كإطار 4E من قبل العديد من علماء SEM مثل Alex Liu ، أي 1) Equaltion (نموذج أو مواصفات المعادلة) ، 2 ) تقدير المعلمات المجانية. 3) تقييم النماذج وملاءمة النموذج. 4) التفسير والاتصال وتنفيذ النتائج.

تعديل مواصفات النموذج

يتم تمييز عنصرين رئيسيين من النماذج في SEM: النموذج الهيكلي إظهار التبعيات السببية المحتملة بين المتغيرات الداخلية والخارجية ، و نموذج القياس إظهار العلاقات بين المتغيرات الكامنة ومؤشراتها. على سبيل المثال ، تحتوي نماذج تحليل العوامل الاستكشافية والتأكيدية على جزء القياس فقط ، بينما يمكن عرض الرسوم البيانية للمسار على أنها نماذج SEM تحتوي على الجزء الهيكلي فقط.

عند تحديد المسارات في النموذج ، يمكن للعارض أن يطرح نوعين من العلاقات: (1) مجانا المسارات ، التي يتم فيها اختبار العلاقات السببية المفترضة (في الواقع المضاد) بين المتغيرات ، وبالتالي تُترك `` حرة '' للتغيير ، و (2) العلاقات بين المتغيرات التي لها بالفعل علاقة مقدرة ، وعادة ما تستند إلى دراسات سابقة ، وهي ثابت "في النموذج.

غالبًا ما يحدد المصمم مجموعة من النماذج المعقولة من الناحية النظرية من أجل تقييم ما إذا كان النموذج المقترح هو الأفضل من مجموعة النماذج الممكنة. لا يجب على المصمم فقط حساب الأسباب النظرية لبناء النموذج كما هو ، ولكن يجب على المصمم أيضًا أن يأخذ في الاعتبار عدد نقاط البيانات وعدد المعلمات التي يجب على النموذج تقديرها لتحديد النموذج. النموذج المحدد هو نموذج حيث تحدد قيمة معلمة محددة النموذج بشكل فريد (تعريف متكرر) ، ولا يمكن إعطاء صيغة أخرى مكافئة بواسطة قيمة معلمة مختلفة. نقطة البيانات هي متغير ذو درجات ملحوظة ، مثل متغير يحتوي على درجات السؤال أو عدد المرات التي يشتري فيها المستجيبون سيارة. المعلمة هي قيمة الفائدة ، والتي قد تكون معامل انحدار بين المتغير الخارجي والداخلي أو تحميل العامل (معامل الانحدار بين المؤشر وعامله). في حالة وجود نقاط بيانات أقل من عدد المعلمات المقدرة ، يكون النموذج الناتج "غير محدد" ، نظرًا لوجود عدد قليل جدًا من النقاط المرجعية لمراعاة كل التباين في النموذج. الحل هو تقييد أحد المسارات على الصفر ، مما يعني أنه لم يعد جزءًا من النموذج.

تقدير المعلمات الحرة تحرير

يتم تقدير المعلمة من خلال مقارنة مصفوفات التغاير الفعلية التي تمثل العلاقات بين المتغيرات ومصفوفات التغاير المقدرة لأفضل نموذج ملائم. يتم الحصول على هذا من خلال التعظيم العددي عن طريق التوقع - تعظيم أ معيار مناسب على النحو المنصوص عليه في تقدير الاحتمالية القصوى أو تقدير الاحتمال شبه الأقصى أو المربعات الصغرى الموزونة أو الطرق الخالية من التوزيع المقارب. يتم تحقيق ذلك غالبًا باستخدام برنامج تحليل SEM متخصص ، يوجد العديد منها.

تقييم النماذج والنموذج الملائم تحرير

بعد تقدير النموذج ، سيرغب المحللون في تفسير النموذج. يمكن جدولة المسارات المقدرة و / أو عرضها بيانياً كنموذج مسار. يتم تقييم تأثير المتغيرات باستخدام قواعد تتبع المسار (انظر تحليل المسار).

من المهم فحص "ملاءمة" النموذج المقدر لتحديد مدى جودة نماذج البيانات. هذه مهمة أساسية في نمذجة SEM ، وتشكل الأساس لقبول أو رفض النماذج ، وفي الغالب ، قبول نموذج منافس على آخر. يتضمن مخرجات برامج SEM مصفوفات للعلاقات المقدرة بين المتغيرات في النموذج. يحسب تقييم الملاءمة بشكل أساسي مدى تشابه البيانات المتوقعة مع المصفوفات التي تحتوي على العلاقات في البيانات الفعلية.

وقد تم تطوير اختبارات إحصائية رسمية ومؤشرات ملائمة لهذه الأغراض. يمكن أيضًا فحص المعلمات الفردية للنموذج ضمن النموذج المقدر لمعرفة مدى ملاءمة النموذج المقترح لنظرية القيادة. تجعل معظم طرق التقدير ، وليس كلها ، مثل هذه الاختبارات للنموذج ممكنًا.

بالطبع كما هو الحال في جميع اختبارات الفرضيات الإحصائية ، تعتمد اختبارات نموذج SEM على افتراض أن البيانات الصحيحة والكاملة ذات الصلة قد تم تصميمها. في أدبيات التسويق عبر محرك البحث ، أدت مناقشة الملاءمة إلى مجموعة متنوعة من التوصيات المختلفة حول التطبيق الدقيق لمختلف مؤشرات التوافق واختبارات الفرضيات.

هناك طرق مختلفة لتقييم الملاءمة. تبدأ المناهج التقليدية للنمذجة من فرضية فارغة ، تكافئ المزيد من النماذج البخل (أي تلك التي تحتوي على عدد أقل من المعلمات المجانية) ، إلى نماذج أخرى مثل AIC التي تركز على مدى ضآلة انحراف القيم الملائمة عن النموذج المشبع [ بحاجة لمصدر ] (أي مدى جودة إنتاج القيم المقاسة) ، مع مراعاة عدد المعلمات المجانية المستخدمة. نظرًا لأن المقاييس المختلفة للملاءمة تلتقط عناصر مختلفة من ملاءمة النموذج ، فمن المناسب الإبلاغ عن مجموعة مختارة من مقاييس الملاءمة المختلفة. المبادئ التوجيهية (على سبيل المثال ، "درجات القطع") لتفسير مقاييس الملاءمة ، بما في ذلك تلك المدرجة أدناه ، هي موضوع الكثير من الجدل بين الباحثين SEM. [20]

تتضمن بعض مقاييس الملاءمة الأكثر شيوعًا ما يلي:

    • مقياس أساسي للملاءمة يستخدم في حساب العديد من مقاييس الملاءمة الأخرى. من الناحية المفاهيمية ، إنها دالة لحجم العينة والفرق بين مصفوفة التغاير الملحوظ ومصفوفة التغاير النموذجية.
    • اختبار ملاءمة النموذج النسبي: النموذج المفضل هو النموذج الذي يحتوي على أدنى قيمة AIC.
    • A I C = 2 k - 2 ln ⁡ (L) > = 2 كيلو -2 ln (L) ،>
    • أين ك هو عدد المعلمات في النموذج الإحصائي ، و إل هي القيمة القصوى لاحتمالية النموذج.
    • مؤشر الملاءمة حيث تشير القيمة الصفرية إلى أفضل ملاءمة. [21] في حين أن المبدأ التوجيهي لتحديد "التوافق الوثيق" باستخدام RMSEA محل خلاف كبير ، [22] يتفق معظم الباحثين على أن RMSEA بمقدار 0.1 أو أكثر يشير إلى عدم التوافق. [23] [24]
    • يعد SRMR مؤشرًا شائعًا للملاءمة المطلقة. اقترح Hu and Bentler (1999) .08 أو أصغر كمبدأ توجيهي لملاءمة جيدة. [25] اقترح كلاين (2011) 0.1 أو أصغر كمبدأ توجيهي لملاءمة جيدة.
    • عند فحص مقارنات خط الأساس ، يعتمد CFI إلى حد كبير على متوسط ​​حجم الارتباطات في البيانات. إذا لم يكن متوسط ​​الارتباط بين المتغيرات مرتفعًا ، فلن يكون CFI مرتفعًا جدًا. من المستحسن أن تبلغ قيمة CFI 0.95 أو أعلى. [25]

    بالنسبة لكل مقياس للملاءمة ، يجب أن يعكس القرار المتعلق بما يمثل ملاءمة جيدة بما فيه الكفاية بين النموذج والبيانات عوامل سياقية أخرى مثل حجم العينة ، ونسبة المؤشرات إلى العوامل ، والتعقيد الكلي للنموذج. على سبيل المثال ، تجعل العينات الكبيرة جدًا اختبار Chi-squared شديد الحساسية ومن المرجح أن تشير إلى عدم ملاءمة بيانات النموذج. [26]

    تعديل تعديل النموذج

    قد يحتاج النموذج إلى تعديل لتحسين الملاءمة ، وبالتالي تقدير العلاقات الأكثر احتمالية بين المتغيرات. توفر العديد من البرامج فهارس تعديل قد توجه تعديلات طفيفة. تشير مؤشرات التعديل إلى التغيير في ² الناتج عن تحرير المعلمات الثابتة: عادةً ما يتم إضافة مسار إلى نموذج مضبوط حاليًا على الصفر. قد يتم وضع علامة على التعديلات التي تعمل على تحسين ملاءمة النموذج على أنها تغييرات محتملة يمكن إجراؤها على النموذج. التعديلات على النموذج ، وخاصة النموذج الهيكلي ، هي تغييرات في النظرية التي يُزعم أنها صحيحة. لذلك يجب أن تكون التعديلات منطقية من حيث النظرية التي يتم اختبارها ، أو يتم الاعتراف بها كقيود لتلك النظرية. التغييرات في نموذج القياس هي ادعاءات فعالة بأن العناصر / البيانات هي مؤشرات غير نقية للمتغيرات الكامنة التي تحددها النظرية. [27]

    لا ينبغي أن تقود MI النماذج ، كما أوضح Maccallum (1986): "حتى في ظل الظروف المواتية ، يجب النظر بحذر إلى النماذج الناشئة عن عمليات البحث عن المواصفات". [28]

    حجم العينة وقوة التحرير

    بينما يتفق الباحثون على أن أحجام العينات الكبيرة مطلوبة لتوفير قوة إحصائية كافية وتقديرات دقيقة باستخدام SEM ، لا يوجد إجماع عام على الطريقة المناسبة لتحديد حجم العينة المناسب. [29] [30] بشكل عام ، تشمل الاعتبارات الخاصة بتحديد حجم العينة عدد الملاحظات لكل معلمة ، وعدد الملاحظات المطلوبة لأداء الفهارس الملائمة ، وعدد الملاحظات لكل درجة من الحرية. [29] اقترح الباحثون مبادئ توجيهية تستند إلى دراسات المحاكاة ، [31] الخبرة المهنية ، [32] والصيغ الرياضية. [30] [33]

    تتشابه متطلبات حجم العينة لتحقيق أهمية خاصة وقوة في اختبار فرضية SEM لنفس النموذج عند استخدام أي من الخوارزميات الثلاثة (PLS-PA أو LISREL أو أنظمة معادلات الانحدار) للاختبار. [ بحاجة لمصدر ]

    الشرح والاتصال تحرير

    ثم يتم تفسير مجموعة النماذج بحيث يمكن تقديم مطالبات حول البنى ، بناءً على أفضل نموذج مناسب.

    يجب توخي الحذر دائمًا عند تقديم ادعاءات بالسببية حتى عند إجراء التجارب أو الدراسات التي تم ترتيبها بمرور الوقت. على المدى نموذج سببي يجب أن يُفهم على أنه يعني "نموذجًا ينقل الافتراضات السببية" ، وليس بالضرورة نموذجًا ينتج استنتاجات سببية مثبتة. يمكن أن يساعد جمع البيانات في نقاط زمنية متعددة واستخدام تصميم تجريبي أو شبه تجريبي في استبعاد فرضيات منافسة معينة ، ولكن حتى التجربة العشوائية لا يمكنها استبعاد كل هذه التهديدات للاستدلال السببي. التوافق الجيد مع نموذج يتفق مع فرضية سببية واحدة يستلزم دائمًا ملاءمة جيدة بنفس القدر مع نموذج آخر يتوافق مع فرضية سببية متعارضة. لا يمكن لأي تصميم بحث ، مهما كان ذكيًا ، أن يساعد في تمييز هذه الفرضيات المتنافسة ، باستثناء التجارب التدخلية. [18]

    كما هو الحال في أي علم ، فإن التكرار اللاحق وربما التعديل سينطلق من الاكتشاف الأولي.

    توجد العديد من حزم البرامج لتركيب نماذج المعادلات الهيكلية. كان LISREL أول برنامج من هذا القبيل ، تم إصداره في البداية في السبعينيات.

    هناك أيضًا العديد من الحزم الخاصة بالبيئة الإحصائية مفتوحة المصدر R. توفر حزمة OpenMx R إصدارًا مفتوح المصدر وإصدارًا محسنًا من تطبيق Mx. حزمة R مفتوحة المصدر أخرى لـ SEM هي lavaan. [34]

    يعتبر العلماء أنه من الممارسات الجيدة الإبلاغ عن حزمة البرامج والإصدار الذي تم استخدامه لتحليل SEM لأن لديهم قدرات مختلفة وقد يستخدمون طرقًا مختلفة قليلاً لأداء تقنيات تحمل نفس الاسم. [35]

    1. ^ بوسلاو ، سارة مكنوت ، لويز آن (2008). "نموذج معادلة هيكلية". موسوعة علم الأوبئة. دوى: 10.4135 / 9781412953948.n443. hdl: 2022/21973. ردمك 978-1-4129-2816-8.
    2. ^
    3. شيلي ، ماك سي (2006). "نموذج معادلة هيكلية". موسوعة القيادة التربوية والإدارة. دوى: 10.4135 / 9781412939584.n544. ردمك 978-0-7619-3087-7.
    4. ^
    5. تاركا ، بيوتر (2017). "لمحة عامة عن نمذجة المعادلة البنائية: بداياتها وتطورها التاريخي وفائدتها والخلافات في العلوم الاجتماعية". الجودة وكمية أمبير. 52 (1): 313-54. دوى: 10.1007 / s11135-017-0469-8. PMC5794813. بميد29416184.
    6. ^
    7. كوران ، باتريك ج. (2003-10-01). "هل النماذج متعددة المستويات كانت نماذج المعادلات الهيكلية على طول؟". البحث السلوكي متعدد المتغيرات. 38 (4): 529-569. دوى: 10.1207 / s15327906mbr3804_5. ISSN0027-3171. بميد 26777445.
    8. ^ أبج
    9. كلاين ، ريكس ب. (2016). مبادئ وممارسات لنمذجة المعادلة الهيكلية (الطبعة الرابعة). نيويورك. ردمك 978-1-4625-2334-4. OCLC934184322.
    10. ^
    11. بولين ، كينيث أ. (1989). المعادلات الهيكلية مع المتغيرات الكامنة. نيويورك: وايلي. ردمك0-471-01171-1. OCLC18834634.
    12. ^
    13. كابلان ، ديفيد (2009). نمذجة المعادلات الهيكلية: أسس وامتدادات (الطبعة الثانية). Los Angeles: SAGE. ISBN978-1-4129-1624-0 . OCLC225852466.
    14. ^
    15. Salkind, Neil J. (2007). "Intelligence Tests". Encyclopedia of Measurement and Statistics. doi:10.4135/9781412952644.n220. ISBN978-1-4129-1611-0 .
    16. ^MacCallum & Austin 2000, p. 209.
    17. ^
    18. Wright, S. (1920-06-01). "The Relative Importance of Heredity and Environment in Determining the Piebald Pattern of Guinea-Pigs". Proceedings of the National Academy of Sciences. 6 (6): 320–332. doi:10.1073/pnas.6.6.320. ISSN0027-8424. PMC1084532 . PMID16576506.
    19. ^
    20. Wright, Sewall (1921). "Journal of Agricultural Research". Journal of Agricultural Research. 20(1): 557–585 – via USDA.
    21. ^
    22. Wolfle, Lee M. (1999). "Sewall wright on the method of path coefficients: An annotated bibliography". Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal. 6 (3): 280–291. doi:10.1080/10705519909540134. ISSN1070-5511.
    23. ^
    24. Wright, Sewall (1934). "The Method of Path Coefficients". The Annals of Mathematical Statistics. 5 (3): 161–215. ISSN0003-4851.
    25. ^
    26. Duncan, Otis Dudley (1975). Introduction to structural equation models. New York: Academic Press. ISBN0-12-224150-9 . OCLC1175858.
    27. ^
    28. Christ, Carl F. (1994). "The Cowles Commission's Contributions to Econometrics at Chicago, 1939-1955". Journal of Economic Literature. 32 (1): 30–59. ISSN0022-0515.
    29. ^
    30. Westland, J. Christopher (2015). Structural Equation Modeling: From Paths to Networks. New York: Springer.
    31. ^
    32. Jöreskog, Karl Gustav van Thillo, Mariella (1972). "LISREL: A GENERAL COMPUTER PROGRAM FOR ESTIMATING A LiNLAE STRUCTAL EQUATION SYTEM INVOLVING'MULTIPLEINDICATOPS OF UNMEASURED. VARIABLES" (PDF) . Research Bulletin: Office of Education. ETS-RB-72-56 – via US Government.
    33. ^ أب
    34. Pearl, Judea (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference . صحافة جامعة كامبرج. ISBN978-0-521-77362-1 .
    35. ^
    36. Bollen, Kenneth A Pearl, Judea (2013). "Eight Myths About Causality and Structural Equation Models". Handbook of Causal Analysis for Social Research. Handbooks of Sociology and Social Research. pp. 301–28. doi:10.1007/978-94-007-6094-3_15. ISBN978-94-007-6093-6 .
    37. ^MacCallum & Austin 2000, p. 218-219.
    38. ^Kline 2011, p. 205.
    39. ^Kline 2011, p. 206.
    40. ^Hu & Bentler 1999, p. 11.
    41. ^
    42. Browne, M. W. Cudeck, R. (1993). "Alternative ways of assessing model fit". In Bollen, K. A. Long, J. S. (eds.). Testing structural equation models. Newbury Park, CA: Sage.
    43. ^ أبHu & Bentler 1999, p. 27.
    44. ^Kline 2011, p. 201.
    45. ^ Loehlin, J. C. (2004). Latent Variable Models: An Introduction to Factor, Path, and Structural Equation Analysis. Psychology Press.
    46. ^
    47. MacCallum, Robert (1986). "Specification searches in covariance structure modeling". Psychological Bulletin. 100: 107–120. doi:10.1037/0033-2909.100.1.107.
    48. ^ أبQuintana & Maxwell 1999, p. 499.
    49. ^ أب
    50. Westland, J. Christopher (2010). "Lower bounds on sample size in structural equation modeling". Electron. Comm. الدقة. Appl. 9 (6): 476–487. doi:10.1016/j.elerap.2010.07.003.
    51. ^
    52. Chou, C. P. Bentler, Peter (1995). "Estimates and tests in structural equation modeling". In Hoyle, Rick (ed.). Structural equation modeling: Concepts, issues, and applications. Thousand Oaks, CA: Sage. pp. 37–55.
    53. ^
    54. Bentler, P. M Chou, Chih-Ping (2016). "Practical Issues in Structural Modeling". Sociological Methods & Research. 16 (1): 78–117. doi:10.1177/0049124187016001004.
    55. ^
    56. MacCallum, Robert C Browne, Michael W Sugawara, Hazuki M (1996). "Power analysis and determination of sample size for covariance structure modeling". Psychological Methods. 1 (2): 130–49. doi:10.1037/1082-989X.1.2.130.
    57. ^
    58. Rosseel, Yves (2012-05-24). "lavaan: An R Package for Structural Equation Modeling". Journal of Statistical Software. 48 (2): 1–36. doi: 10.18637/jss.v048.i02 . Retrieved 27 January 2021 .
    59. ^Kline 2011, p. 79-88.

    Cite error: A list-defined reference named "Hancock2003" is not used in the content (see the help page).


    4. Measuring Chaos

    Bifurcation diagram rendered with 1‑D Chaos Explorer.

    The simple logistic equation is a formula for approximating the evolution of an animal population over time. Many animal species are fertile only for a brief period during the year and the young are born in a particular season so that by the time they are ready to eat solid food it will be plentiful. For this reason, the system might be better described by a discrete difference equation than a continuous differential equation.

    Since not every existing animal will reproduce (a portion of them are male after all), not every female will be fertile, not every conception will be successful, and not every pregnancy will be successfully carried to term the population increase will be some fraction of the present population. Therefore, if "An" is the number of animals this year and "An+1" is the number next year, then

    where "r" is the growth rate or fecundity , will approximate the rate of succesful reproduction.

    This model produces exponential growth without limit. Since every population is bound by the physical limitations of its territory, some allowance must be made to restrict this growth. If there is a carrying-capacity of the environment then the population may not exceed that capacity. If it does, the population would become extinct. This can be modeled by multiplying the population by a number that approaches zero as the population approaches its limit. If we normalize the "An" to this capacity then the multiplier (1 − An) will suffice and the resulting logistic equation becomes

    The logistic equation is parabolic like the quadratic mapping with ƒ(0) = ƒ(1) = 0 and a maximum of ¼r at ½. Varying the parameter changes the height of the parabola but leaves the width unchanged. (This is different from the quadratic mapping which kept its overall shape and shifted up or down.) The behavior of the system is determined by following the orbit of the initial seed value. All initial conditions eventually settle into one of three different types of behavior.

    1. Fixed: The population approaches a stable value. It can do so by approaching asymptotically from one side in a manner something like an over damped harmonic oscillator or asymptotically from both sides like an under damped oscillator. Starting on a seed that is a fixed point is something like starting an SHO at equilibrium with a velocity of zero. The logistic equation differs from the SHO in the existence of eventually fixed points. It's impossible for an SHO to arrive at its equilibrium position in a finite amount of time (although it will get arbitrarily close to it).
    2. Periodic: The population alternates between two or more fixed values. Likewise, it can do so by approaching asymptotically in one direction or from opposite sides in an alternating manner. The nature of periodicity is richer in the logistic equation than the SHO. For one thing, periodic orbits can be either stable or unstable. An SHO would never settle in to a periodic state unless driven there. In the case of the damped oscillator, the system was leaving the periodic state for the comfort of equilibrium. Second, a periodic state with multiple maxima and/or minima can arise only from systems of coupled SHOs (connected or compound pendulums, for example, or vibrations in continuous media). Lastly, the periodicity is discrete that is, there are no intermediate values.
    3. Chaotic: The population will eventually visit every neighborhood in a subinterval of (0, 1). Nested among the points it does visit, there is a countably infinite set of fixed points and periodic points of every period. The points are equivalent to a Cantor middle thirds set and are wildly unstable. It is highly likely that any real population would ever begin with one of these values. In addition, chaotic orbits exhibit sensitive dependence on initial conditions such that any two nearby points will eventually diverge in their orbits to any arbitrary separation one chooses.

    The behavior of the logistic equation is more complex than that of the simple harmonic oscillator. The type of orbit depends on the growth rate parameter, but in a manner that does not lend itself to "less than", "greater than", "equal to" statements. The best way to visualize the behavior of the orbits as a function of the growth rate is with a bifurcation diagram. Pick a convenient seed value, generate a large number of iterations, discard the first few and plot the rest as a function of the growth factor. For parameter values where the orbit is fixed, the bifurcation diagram will reduce to a single line for periodic values, a series of lines and for chaotic values, a gray wash of dots.

    Since the first two chapters of this work were filled will bifurcation diagrams and commentary on them, I won't go much into the structure of the diagram other than to locate the most prominent features. There are two fixed points for this function: 0 and 1 − 1/r, the former being stable on the interval (𕒵, +1) and the latter on (1, 3). A stable 2-cycle begins at r = 3 followed by a stable 4-cycle at r = 1 + √6. The period continues doubling over ever shorter intervals until around r = 3.5699457… where the chaotic regime takes over. Within the chaotic regime there are interspersed various windows with periods other than powers of 2, most notably a large 3-cycle window beginning at r = 1 + √8. When the growth rate exceeds 4, all orbits zoom to infinity and the modeling aspects of this function become useless.


    محتويات

    Basic form Edit

    Suppose that two naval forces, Red and Blue, are engaging each other in combat. The battle begins with Red firing a salvo of missiles at Blue. The Blue ships try to shoot down those incoming missiles. Simultaneously, Blue launches a salvo that Red tries to intercept.

    This exchange of missile fire can be modeled as follows. Let symbol أ represent the number of combat units (warships or other weapon platforms) in the Red force at the beginning of the battle. Each one has offensive firepower α, which is the number of offensive missiles accurately fired per salvo at the enemy. Each one also has defensive firepower y, which is the number of incoming enemy missiles intercepted per salvo by its active defenses. Each ship has staying power w, which is the number of enemy missile hits required to put it out of action. Equivalently, one could say that each attacking missile can cause damage equal to a fraction u=1/w of a Red ship.

    The Blue force is represented in a similar manner. Blue has ب units, each with offensive firepower β, defensive firepower ض, and staying power x. Each missile that hits will cause damage v=1/x.

    The salvo combat model calculates the number of ships lost on each side using the following pair of equations. هنا، ΔA represents the change in the number of Red's ships from one salvo, while ΔB represents the change in the number of Blue ships.

    ΔA = -(βB - yA)u, subject to 0 ≤ -ΔA ≤ A ΔB = -(αA - zB)v, subject to 0 ≤ -ΔB ≤ B

    Each equation starts by calculating the total number of offensive missiles being launched by the attacker. It then subtracts the total number of interceptions by the defender. The number of remaining (non-intercepted) offensive missiles is multiplied by the amount of damage caused per missile to get the total amount of damage. If there are more defensive interceptions than offensive missiles, then the total damage is zero it cannot be negative.

    These equations assume that each side is using aimed fire that is, a force knows the location of its target and can aim its missiles at it. If however a force knows only the approximate location of its target (e.g., somewhere within a fog bank), then it may spread its fire across a wide area, with the hope that at least some of its missiles will find the target. A different version of the salvo equations is required for such area fire. [3]

    Mathematically, the salvo equations can be thought of as difference equations or recurrence relations. They are also an example of operations research.

    A stochastic (or probabilistic) version of the model also exists. [4] In this version, the ship parameters listed above are random variables instead of constants. This means that the result of each salvo also varies randomly. The stochastic model can be incorporated into a computer spreadsheet and used instead of the Monte Carlo method of computer simulation. [5] An alternative version of this model exists for situations where one side attacks first, and then the survivors (if any) on the other side counter-attack, [6] such as at the Battle of Midway.

    Relation to Lanchester's laws Edit

    The salvo equations are related to Lanchester's Square Law equations, with two main differences.

    First, the basic salvo equations form a discrete time model, whereas Lanchester's original equations form a continuous time model. Cruise missiles typically are fired in relatively small quantities. Each one has a high probability of hitting its target, if not intercepted, and carries a relatively powerful warhead. Therefore, it makes sense to model them as a discrete pulse (or salvo) of firepower.

    By comparison, bullets or shells in a gun battle are typically fired in large quantities. Each round has a relatively low chance of hitting its target, and does a relatively small amount of damage. Therefore, it makes sense to model them as a small but continuous stream of firepower.

    Second, the salvo equations include defensive firepower, whereas Lanchester's original equations include only offensive firepower. Cruise missiles can be intercepted (shot down) by active defenses, such as surface-to-air missiles and anti-aircraft guns. By comparison, it is generally not practical to intercept bullets and shells during a gun battle.

    Types of warfare Edit

    The salvo model primarily represents naval missile battles, such as those that occurred during the Falklands War. Offensive firepower represents anti-ship cruise missiles such as the Harpoon, the Exocet and the Styx. Defensive firepower represents air defense missiles such as the Standard, as well as anti-aircraft guns such as the Phalanx. However, one can adapt the model to other kinds of battles having similar characteristics.

    For example, some authors have used it study World War II battles between aircraft carriers, [7] such as the Battle of the Coral Sea. [8] In this case, the offensive firepower consists of dive bombers and torpedo bombers. The defensive firepower consists of fighter aircraft that try to intercept those bombers.

    The model could instead describe battles where torpedoes are the main form of offensive firepower, such as in the Battle of Savo Island. In this case, the defensive firepower would be zero, since so far there is no effective way to actively intercept torpedoes.

    A simplified version of the model was used to study alternative outcomes of the Charge of the Light Brigade by British cavalry against Russian cannon in 1854. [9] The model has also been modified to represent tactical ballistic missile defense. This variant was used to analyze the performance of the Iron Dome missile defense system during 2012's Operation Pillar of Defense. [10]

    Development of tactics Edit

    The salvo combat model can help with research on a variety of issues in naval warfare. [11] For example, one study examined the value of having accurate information about an enemy fleet. [12] Another study examined how many missiles would be required to achieve a desired probability of success when attacking several targets at once. [13] Researchers have also analyzed the mathematical properties of the model itself. [14]

    The initial goal of such research is to get a better understanding of how the model works. A more important objective is to see what the model might suggest about the behavior of real missile battles. This could help with the development of better modern naval tactics for attacking with and defending against such missiles.


    محتويات

    The Lotka–Volterra predator–prey model was initially proposed by Alfred J. Lotka in the theory of autocatalytic chemical reactions in 1910. [4] [5] This was effectively the logistic equation, [6] originally derived by Pierre François Verhulst. [7] In 1920 Lotka extended the model, via Andrey Kolmogorov, to "organic systems" using a plant species and a herbivorous animal species as an example [8] and in 1925 he used the equations to analyse predator–prey interactions in his book on biomathematics. [9] The same set of equations was published in 1926 by Vito Volterra, a mathematician and physicist, who had become interested in mathematical biology. [5] [10] [11] Volterra's enquiry was inspired through his interactions with the marine biologist Umberto D'Ancona, who was courting his daughter at the time and later was to become his son-in-law. D'Ancona studied the fish catches in the Adriatic Sea and had noticed that the percentage of predatory fish caught had increased during the years of World War I (1914–18). This puzzled him, as the fishing effort had been very much reduced during the war years. Volterra developed his model independently from Lotka and used it to explain d'Ancona's observation. [12]

    The model was later extended to include density-dependent prey growth and a functional response of the form developed by C. S. Holling a model that has become known as the Rosenzweig–MacArthur model. [13] Both the Lotka–Volterra and Rosenzweig–MacArthur models have been used to explain the dynamics of natural populations of predators and prey, such as the lynx and snowshoe hare data of the Hudson's Bay Company [14] and the moose and wolf populations in Isle Royale National Park. [15]

    In the late 1980s, an alternative to the Lotka–Volterra predator–prey model (and its common-prey-dependent generalizations) emerged, the ratio dependent or Arditi–Ginzburg model. [16] The validity of prey- or ratio-dependent models has been much debated. [17]

    The Lotka–Volterra equations have a long history of use in economic theory their initial application is commonly credited to Richard Goodwin in 1965 [18] or 1967. [19] [20]

    The Lotka–Volterra model makes a number of assumptions, not necessarily realizable in nature, about the environment and evolution of the predator and prey populations: [21]

    1. The prey population finds ample food at all times.
    2. The food supply of the predator population depends entirely on the size of the prey population.
    3. The rate of change of population is proportional to its size.
    4. During the process, the environment does not change in favour of one species, and genetic adaptation is inconsequential.
    5. Predators have limitless appetite.

    In this case the solution of the differential equations is deterministic and continuous. This, in turn, implies that the generations of both the predator and prey are continually overlapping. [22]

    Prey Edit

    When multiplied out, the prey equation becomes

    The prey are assumed to have an unlimited food supply and to reproduce exponentially, unless subject to predation this exponential growth is represented in the equation above by the term αx. The rate of predation upon the prey is assumed to be proportional to the rate at which the predators and the prey meet, this is represented above by βxy. If either x or y is zero, then there can be no predation.

    With these two terms the equation above can be interpreted as follows: the rate of change of the prey's population is given by its own growth rate minus the rate at which it is preyed upon.

    Predators Edit

    The predator equation becomes

    In this equation, δxy represents the growth of the predator population. (Note the similarity to the predation rate however, a different constant is used, as the rate at which the predator population grows is not necessarily equal to the rate at which it consumes the prey). على المدى γy represents the loss rate of the predators due to either natural death or emigration, it leads to an exponential decay in the absence of prey.

    Hence the equation expresses that the rate of change of the predator's population depends upon the rate at which it consumes prey, minus its intrinsic death rate.

    The equations have periodic solutions and do not have a simple expression in terms of the usual trigonometric functions, although they are quite tractable. [23] [24]

    If none of the non-negative parameters α, β, γ, δ vanishes, three can be absorbed into the normalization of variables to leave only one parameter: since the first equation is homogeneous in x , and the second one in ذ , the parameters β/α و δ/γ are absorbable in the normalizations of ذ و x respectively, and γ into the normalization of t , so that only α/γ remains arbitrary. It is the only parameter affecting the nature of the solutions.

    A linearization of the equations yields a solution similar to simple harmonic motion [25] with the population of predators trailing that of prey by 90° in the cycle.


    Find Equation of Line From 2 Points

    There are a few different ways to write the equation of line .

    Slope Intercept Form

    The first half of this page will focus on writing the equation in slope intercept form like example 1 below.

    Point Slope Form

    However, if you are comfortable using the point slope form of a line, then skip to the second part of this page because writing the equation from 2 points is easier with point slope form.

    Which Form is better?

    Point Slope Form is better

    Point slope form requires fewer steps and fewer calculations overall. This page will explore both approaches. You can click here to see a side by side comparison of the 2 forms.

    Video Tutorialon Finding the Equation of a line From 2 points

    مثال - Slope Intercept Form

    Using Slope Intercept Form

    Find the equation of a line through the points (3, 7) and (5, 11)

    $ y = ed x + b y = ed 2 x + b $

    Substitute either point into the equation. You can use either $(3, 7)$ or $(5, 11)$ .

    $ y = 2x + b ed 7 = 2 ( ed 3) + b $

    Substitute $ 1$ for $ ed b $ , into the equation from step 2.

    $ y = 2x + ed b y = 2x + ed 1 oxed < y = 2x + 1 >$

    Use our Calculator

    You can use the calculator below to find the equation of a line from any two points. Just type numbers into the boxes below and the calculator (which has its own page here) will automatically calculate the equation of line in point slope and slope intercept forms.

    (This link will show the same work that you can see on this page)

    Practice Problems- Slope Intercept Form

    Problem 1

    Find the equation of a line through the following 2 points: (4, 5) and (8, 7)

    Substitute either point into the equation. You can use either (4, 5) or (8, 7) .

    Substitute b, 3, into the equation from step 2.

    Problem 2

    Find the equation of a line through the following the points: (-6, 7) and (-9, 8).

    Substitute the slope for 'm' in the slope intercept equation.

    Substitute either point into the equation. You can use either (-6, 7) or (-9, 8).

    Substitute b, 5, into the equation from step 2.

    $ y = frac<1><3>x + ed y = frac<1><3>x + ed <5>$

    Problem 3

    Find the equation of a line through the following the 2 points: (-3, 6) and (15, -6).

    Substitute the slope for 'm' in the slope intercept equation.

    Substitute either point into the equation. You can use either (-3, 6) or (15, -6).

    Substitute b, -1, into the equation from step 2.

    مثال 2

    Equation from 2 points using Point Slope Form

    As explained at the top, point slope form is the easier way to go. Instead of 5 steps, you can find the line's equation in 3 steps, 2 of which are very easy and require nothing more than substitution! In fact, the only calculation, that you're going to make is for the slope.

    The main advantage, in this case, is that you do not have to solve for 'b' like you do with slope intercept from.

    Find the equation of a line through the points $(3, 7)$ and $(5, 11)$ .

    Substitute the slope for 'm' in the point slope equation.

    $ y - y_1 = m(x - x_1) y - y_1 = ed 2 (x - x_1) $

    Substitute either point as $ x1, y1 $ in the equation. You can use either $(3, 7)$ or $ (5, 11) $ .

    ممارسة Problems - Point Slope

    Problem 1

    Find the equation of a line through the following 2 points: (4, 5) and (8, 7).


    Introduction

    The novel virus (2019-nCoV) that is highly transmissible and pathogenic was first identified from a single individual in Wuhan city in China. This novel infection causes a severe acute respiratory syndrome and it has spread across the world. The reported COVID-19 confirmed cases are over 10.27 million, and there have been more than 0.5 million deaths till 30 June 2020 globally so far [1]. The worst affected regions due to coronavirus are America, Europe, Africa, South-East Asia, Western Pacific, Eastern, and Mediterranean. The initial symptoms of a COVID-19 infection include dry cough, fever, fatigue, and breath shortening that appear in 2–10 days and further cause pneumonia, SARS, kidney failure, and even death [2]. The pandemic has continuously spread due to absence of vaccine and antiviral treatments. Thus WHO announced it a global issue. The policy makers have implemented the non-pharmaceutical intervention like social distancing, self-quarantine, isolation of infected, wearing mask, protective kits for medical personnel, and travel restrictions to minimize the disease incidence. It is also a challenging problem for scientists and virologist evaluating potential treatments based on ongoing clinical trials.

    Researchers suggested many mathematical models to analyze the dynamical behavior and spread of the novel virus which can help to predict the future situation and even control of the COVID-19 pandemic [3]. In the analysis of mathematical models of coronavirus, the reproductive number has a significant role in describing the nonlinear dynamics of physical and biological engineering problems. The reproduction number indicates that COVID-19 has been continuously increasing or has been controlled. In Pakistan, 209,337 confirmed infected cases have been reported and about 4304 have lost their lives out of over 220 million population to date [4, 5]. The first case was reported in Karachi on 26 February 2020, and day by day situation is getting worse and virus is spreading quickly due to limiting testing. The government is unable to maintain strict lockdown and has imposed a smart lockdown by easing restrictions due to severe economic hardships, especially for labor community who earns for living to survive every day. To study the dynamics of COVID-19 transmission pattern, many mathematical models provide more insight on how to control the disease spread to health authorities [6–8]. Fanelli and Piazza [9] studied a novel compartmental model describing the transmission patterns of COVID-19 in three highly infected countries. The dynamics of COVID-19 with an impact of non-pharmaceutical interventions was studied by Ullah and Khan [10] on Pakistani data. The fractional mathematical models rendering the natural fact in a systematic way as in [11, 12] and [13, 14] are used to simulate the transmission of coronavirus. Different mathematical models with an effect of nonlocality and fading memory process by using differential operators have been presented [14, 15]. The fractional order epidemic models are more helpful and reliable in analyzing the dynamics of an infectious disease than the classical integer order models [16, 17]. The fractional order models for different diseases show cooperatively better fit to the real data. In [18, 19] a different fractional operator is suggested, and applications of these fractional operators are found in [20, 21]. Recently a Caputo fractional order COVID-19 model has been studied in [22]. Some other fractional mathematical models for the investigations of infectious diseases have been studied in [15, 23–26]. For example, the fractional diffusion equations and their analysis are studied in [15]. A new scheme to solve numerically the fractional order differential equations is utilized in [23]. New numerical investigations for the fluid in non-conventional media are suggested in [24]. Coronavirus modelings, simulations, and their possible control through a mathematical model are studied by the author in [25]. The spread of coronavirus in South Africa and Turkey with detailed statistical and mathematical results is studied in [26]. Recently, the authors have studied the analysis of coronavirus model in fractional derivative [27]. The use of quarantine and isolations in the modeling of coronavirus is investigated in [28]. A mathematical model for the dynamical analysis of coronavirus and its control analysis is studied by the authors in [10]. The notified cases of coronavirus in Saudi Arabia through a mathematical model are considered in [29], where the authors provide suggestions on possible controls based on the parameters.

    Environmental viral load plays an essential role in the disease incidence and is considered to be one of the main transmission routes of COVID-19. In this study, we reformulate the model [28] with the impact of quarantine, isolation, and environmental effects on the transmission dynamics of coronavirus with the application of Caputo derivative. The parameter values are estimated from the cumulative COVID-19 cases reported in Pakistan. The fractional order models provide better understanding and give more insights about the pandemic. The rest of the work is arranged as follows: In Sect. 2 basics preliminaries are presented, while the model formulation for integer case with parameter estimation and curve fitting is presented in Sect. 3. Model derivation and basics properties are presented in Sects. 4 and 5, respectively. In Sect. 6 we present the analysis of the model, while the numerical simulations are depicted in Sect. 7. Brief concluding remarks are presented in Sect. 8.


    Quadratic Formula Calculator

    In algebra, a quadratic equation is any polynomial equation of the second degree with the following form:

    أين x is an unknown, أ is referred to as the quadratic coefficient, ب the linear coefficient, and ج the constant. The numerals أ, ب، و ج are coefficients of the equation, and they represent known numbers. For example, أ cannot be 0, or the equation would be linear rather than quadratic. A quadratic equation can be solved in multiple ways including: Factoring, using the quadratic formula, completing the square, or graphing. Only the use of the quadratic formula, as well as the basics of completing the square will be discussed here (since the derivation of the formula involves completing the square). Below is the quadratic formula, as well as its derivation.

    Derivation of the Quadratic Formula

    From this point, it is possible to complete the square using the relationship that:

    Continuing the derivation using this relationship:

    Recall that the ± exists as a function of computing a square root, making both positive and negative roots solutions of the quadratic equation. ال x values found through the quadratic formula are roots of the quadratic equation that represent the x values where any parabola crosses the x-axis. Furthermore, the quadratic formula also provides the axis of symmetry of the parabola. This is demonstrated by the graph provided below. Note that the quadratic formula actually has many real-world applications, such as calculating areas, projectile trajectories, and speed, among others.


    شاهد الفيديو: دالة تنظيف النصوص trim. إزالة الفراغات الزائدة من النصوص بالمعادلة TRIM (ديسمبر 2021).