مقالات

6.2: تصنيفات المعادلة النموذجية


لا تزال الفروق بين الأنظمة الخطية وغير الخطية وكذلك الأنظمة المستقلة وغير المستقلة ، والتي ناقشناها في القسم 4.2 ، تنطبق على نماذج الوقت المستمر. لكن الفرق بين أنظمة الرتبة الأولى وأنظمة الرتبة الأعلى مختلف قليلاً ، على النحو التالي.

نظام الدرجة الأولى

معادلة تفاضلية تتضمن مشتقات من الدرجة الأولى لمتغيرات الحالة ( ( dfrac {dx} {dt}) ) فقط.

نظام الترتيب الأعلى

معادلة تفاضلية تتضمن مشتقات عالية المستوى لمتغيرات الحالة ( ( dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} ) ، ( dfrac {d ^ {3} x} {dt ^ {3}} ) ، وما إلى ذلك).

لحسن الحظ ، لا يزال ما يلي هو الحال بالنسبة لنماذج الوقت المستمر أيضًا:

نماذج الوقت المستمر

يمكن دائمًا تحويل المعادلات التفاضلية غير المستقلة ذات الترتيب الأعلى إلى أشكال مستقلة من الدرجة الأولى عن طريق إدخال متغيرات حالة إضافية.

هنا مثال:

[ dfrac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}} = - dfrac {g} {L} sin theta label {(6.3)} ]

تصف هذه المعادلة الحركة المتأرجحة لبندول بسيط ، والتي ربما تكون قد شاهدتها في مقدمة دورة الفيزياء. (θ ) هو الموضع الزاوي للبندول ، (g ) هو تسارع الجاذبية ، و (L ) هو طول السلسلة التي تربط الوزن بالمحور. من الواضح أن هذه المعادلة غير خطية ومن الدرجة الثانية. بينما لا يمكننا إزالة اللاخطية من النموذج ، يمكننا تحويل المعادلة إلى صيغة الترتيب الأول ، عن طريق إدخال المتغير الإضافي التالي:

[ omega = dfrac {d theta} {dt} label {(6.4)} ]

باستخدام هذا ، الجانب الأيسر من المعادلة. يمكن كتابة ref {(6.3)} كـ ( dfrac {d omega} {dt} ) ، وبالتالي يمكن تحويل المعادلة إلى نموذج الترتيب الأول التالي:

[ dfrac {d theta} {dt} = omega label {(6.5)} ]

[ dfrac {d omega} {dt} = - dfrac {g} {L} sin theta label {(6.6)} ]

تعمل تقنية التحويل هذه مع معادلات الدرجة الثالثة أو أي معادلات ذات ترتيب أعلى أيضًا ، طالما أن الترتيب الأعلى لا يزال غير محدود. هنا مثال آخر.

مثال ( PageIndex {1} ): البندول المتحرك

ضع في اعتبارك المعادلة غير المستقلة:

[ dfrac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}} = - dfrac {g} {L} sin theta + k sin (2 pi {ft} + phi) التسمية {6.7} ]

هذه معادلة تفاضلية لسلوك أ البندول مدفوعة. يمثل المصطلح الثاني على الجانب الأيمن قوة متغيرة بشكل دوري مطبقة على البندول ، على سبيل المثال ، مغنطيس كهربائي متحكم فيه خارجيًا مدمج في الطابق. كما ناقشنا من قبل ، يمكن تحويل هذه المعادلة إلى نموذج الطلب الأول التالي:

[ begin {align *} dfrac {d theta} {dt} & = omega label {(6.8)} [4pt] dfrac {d omega} {dt} & = - dfrac { g} {L} sin theta + k sin (2 pi ft + phi) label {(6.9)} end {align *} ]

نحتاج الآن إلى حذف (t ) داخل دالة ( sin ). تمامًا كما فعلنا مع حالات الوقت المنفصل ، يمكننا تقديم متغير "clock" ، على سبيل المثال (as ) ، على النحو التالي:

[ dfrac {d tau} {dt} = 1، tau (0) = 0 label {(6.10)} ]

يضمن هذا التعريف (τ (t) = t ). باستخدام هذا ، يمكن إعادة كتابة النموذج الكامل على النحو التالي:

[ start {align *} dfrac {d theta} {dt} & = omega label {(6.11)} [4pt] dfrac {d omega} {dt} & = - dfrac { g} {L} sin theta + k sin (2 pi {f tau} + phi) label {(6.12)} [4pt] dfrac {d tau} {dt} & = 1، tau (0) = 0 label {(6.13)} end {align *} ]

يتكون هذا الآن من معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى ومستقلة فقط.

تعمل تقنية التحويل هذه دائمًا ، مما يؤكد لنا أن المعادلات المستقلة ذات الترتيب الأول يمكن أن تغطي جميع ديناميكيات أي معادلات غير مستقلة ذات ترتيب أعلى.

تمرين ( PageIndex {1} )

حول المعادلة التفاضلية التالية إلى صيغة الترتيب الأول.

[ dfrac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} - x dfrac {dx} {dt} + x ^ {2} = 0 label {(6.14)} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حول المعادلة التفاضلية التالية إلى صيغة مستقلة من الدرجة الأولى.

[ dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} -a cos {bt} = 0 label {(6.15)} ]

لمعلوماتك ، تنطبق الحقائق التالية أيضًا على المعادلات التفاضلية ، وكذلك على معادلات الفرق:

يمكن أن تظهر الأنظمة الديناميكية الخطية فقط نموًا أسيًا / تسوسًا ، أو تذبذبًا دوريًا ، أو حالات ثابتة (بدون تغيير) ، أو هجائنها (على سبيل المثال ، تذبذب متزايد بشكل أسي)أ.

أفي بعض الأحيان يمكنهم أيضًا إظهار السلوكيات التي يتم تمثيلها بواسطة كثيرات الحدود (أو منتجات كثيرات الحدود والأسي) من الوقت. يحدث هذا عندما تكون مصفوفاتهم المتوافقة غير قطري.

دائمًا ما تكون المعادلات الخطية قابلة للحل من الناحية التحليلية ، بينما لا تحتوي المعادلات غير الخطية على حلول تحليلية بشكل عام.


6.2 نموذج بور

بعد عمل إرنست رذرفورد وزملائه في أوائل القرن العشرين ، كانت صورة الذرات المكونة من نوى صغيرة كثيفة محاطة بإلكترونات أخف وزنا وأصغر تتحرك باستمرار حول النواة راسخة. سميت هذه الصورة بالنموذج الكوكبي ، لأنها تصور الذرة على أنها "نظام شمسي" مصغر مع الإلكترونات التي تدور حول النواة مثل الكواكب التي تدور حول الشمس. أبسط ذرة هي الهيدروجين ، وتتكون من بروتون واحد كنواة يتحرك حولها إلكترون واحد. تعتمد القوة الكهروستاتيكية التي تجذب الإلكترون إلى البروتون فقط على المسافة بين الجسيمين. هذا الوصف الميكانيكي الكلاسيكي للذرة غير مكتمل ، على أي حال ، لأن الإلكترون الذي يتحرك في مدار إهليلجي سوف يتسارع (عن طريق تغيير الاتجاه) ، ووفقًا للكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، يجب أن ينبعث منه باستمرار إشعاع كهرومغناطيسي. يجب أن ينتج عن هذا الخسارة في الطاقة المدارية أن مدار الإلكترون يصبح أصغر باستمرار حتى يتحول إلى النواة ، مما يعني أن الذرات غير مستقرة بطبيعتها.

في عام 1913 ، حاول نيلز بور حل المفارقة الذرية بتجاهل تنبؤات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية بأن الإلكترون المداري في الهيدروجين سيبعث الضوء باستمرار. وبدلاً من ذلك ، قام بدمج في وصف الميكانيكا الكلاسيكية لأفكار بلانك حول التكميم ووجد أينشتاين أن الضوء يتكون من فوتونات تتناسب طاقتها مع ترددها. افترض بوهر أن الإلكترون الذي يدور حول النواة لن يصدر عادةً أي إشعاع (فرضية الحالة الثابتة) ، لكنه سيصدر أو يمتص فوتونًا إذا انتقل إلى مدار مختلف. تعكس الطاقة الممتصة أو المنبعثة الاختلافات في الطاقات المدارية وفقًا لهذه المعادلة:

في هذه المعادلة ، ح هو ثابت بلانك و هأنا و هF هي الطاقات الأولية والأخيرة في المدار ، على التوالي. يتم استخدام القيمة المطلقة لفرق الطاقة ، لأن الترددات وأطوال الموجات تكون دائمًا موجبة. بدلاً من السماح بقيم الطاقة المستمرة ، افترض بوهر أن طاقات مدارات الإلكترون هذه تم تحديدها كميًا:

في هذا التعبير ، ك هو ثابت يشتمل على ثوابت أساسية مثل كتلة الإلكترون والشحنة وثابت بلانك. إدخال التعبير عن طاقات المدار في معادلة Δه يعطي

تظهر أدنى مستويات الطاقة القليلة في الشكل 6.14. أحد القوانين الأساسية للفيزياء هو أن المادة أكثر استقرارًا مع أقل طاقة ممكنة. وهكذا ، يتحرك الإلكترون في ذرة الهيدروجين عادة في ن = 1 مدار ، المدار الذي يكون فيه أقل طاقة. عندما يكون الإلكترون في هذا المدار الأدنى للطاقة ، يُقال أن الذرة في حالتها الإلكترونية الأرضية (أو ببساطة الحالة الأرضية). إذا استقبلت الذرة طاقة من مصدر خارجي ، فمن الممكن أن ينتقل الإلكترون إلى مدار ذي مستوى أعلى ن القيمة والذرة الآن في حالة إلكترونية مثارة (أو ببساطة حالة مثارة) مع طاقة أعلى. عندما ينتقل الإلكترون من حالة مثارة (مدار طاقة أعلى) إلى حالة أقل إثارة ، أو حالة أرضية ، ينبعث الفرق في الطاقة كفوتون. وبالمثل ، إذا تم امتصاص فوتون من قبل ذرة ، فإن طاقة الفوتون تحرك إلكترونًا من مدار طاقة أقل إلى مدار أكثر إثارة. يمكننا ربط طاقة الإلكترونات في الذرات بما تعلمناه سابقًا عن الطاقة. ينص قانون حفظ الطاقة على أنه لا يمكننا إنشاء أو تدمير الطاقة. وبالتالي ، إذا كانت هناك حاجة إلى كمية معينة من الطاقة الخارجية لإثارة إلكترون من مستوى طاقة إلى آخر ، فسيتم تحرير نفس الكمية من الطاقة عندما يعود الإلكترون إلى حالته الأولية (الشكل 6.15).

نظرًا لأن نموذج بور يتضمن إلكترونًا واحدًا فقط ، فيمكن أيضًا تطبيقه على أيونات الإلكترون المفردة He + ، Li 2+ ، Be 3+ ، وما إلى ذلك ، والتي تختلف عن الهيدروجين فقط في الشحنات النووية ، وبالتالي ذرات الإلكترون الواحد ويشار إلى الأيونات مجتمعة بذرات شبيهة بالهيدروجين. إن تعبير الطاقة عن الذرات الشبيهة بالهيدروجين هو تعميم لطاقة ذرة الهيدروجين ، حيث ض هي الشحنة النووية (+1 للهيدروجين ، +2 لـ He ، +3 لـ Li ، وهكذا) و ك تبلغ قيمتها 2.179 × 10 –18 ج.

يتم إعطاء أحجام المدارات الدائرية للذرات الشبيهة بالهيدروجين من حيث نصف قطرها من خلال التعبير التالي ، حيث a 0 a 0 هو ثابت يسمى نصف قطر Bohr ، بقيمة 5.292 × 10 −11 م:

توضح لنا المعادلة أيضًا أنه مع زيادة طاقة الإلكترون (مثل ن الزيادات) ، تم العثور على الإلكترون على مسافات أكبر من النواة. وهذا يعني الاعتماد العكسي للجاذبية الكهروستاتيكية على المسافة ، لأنه عندما يتحرك الإلكترون بعيدًا عن النواة ، يتناقص التجاذب الكهروستاتيكي بينه وبين النواة ويظل محكمًا بدرجة أقل في الذرة. لاحظ أن ملف ن تصبح أكبر والمدارات أكبر ، طاقاتها تقترب من الصفر ، وبالتالي فإن الحدين n ⟶ ∞ n ⟶ ∞ و r ⟶ ∞ r ⟶ ⟶ تدل على ذلك ه = 0 يتوافق مع حد التأين حيث يتم إزالة الإلكترون تمامًا من النواة. وهكذا ، للهيدروجين في الحالة الأرضية ن = 1 ، ستكون طاقة التأين:

مع ثلاث مفارقات محيرة للغاية تم حلها الآن (إشعاع الجسم الأسود ، والتأثير الكهروضوئي ، وذرة الهيدروجين) ، وكلها تنطوي على ثابت بلانك بطريقة أساسية ، أصبح من الواضح لمعظم الفيزيائيين في ذلك الوقت أن النظريات الكلاسيكية التي عملت بشكل جيد في كان العالم العياني معيبًا بشكل أساسي ولا يمكن تمديده إلى المجال المجهري للذرات والجزيئات. لسوء الحظ ، على الرغم من الإنجاز الرائع الذي حققه بوهر في اشتقاق التعبير النظري لثابت ريدبيرج ، لم يكن قادرًا على توسيع نظريته لتشمل أبسط ذرة تالية ، هي ، التي تحتوي على إلكترونين فقط. كان نموذج بوهر معيبًا بشدة ، لأنه كان لا يزال يعتمد على فكرة الميكانيكا الكلاسيكية الخاصة بالمدارات الدقيقة ، وهو مفهوم وجد لاحقًا أنه لا يمكن الدفاع عنه في المجال المجهري ، عندما تم تطوير نموذج مناسب لميكانيكا الكم ليحل محل الميكانيكا الكلاسيكية.


اشتقاق Michaelis-Menten باستخدام الافتراضات المذكورة أعلاه:

معدل تكوين ES = ك1[E] [S] + ك-2[E] [P]

الافتراض رقم 1 يقول أنه يمكننا تجاهل k-2 رد الفعل ، لذلك:

معدل تكوين ES = ك1[E] [S]

الافتراض رقم 5 يقول [E] = [E]مجموع - [ES] ، لذلك:

معدل تكوين ES = ك1([E]مجموع - [ES]) [S]

معدل الانهيار ES هو مزيج من التفكك والتحويل إلى المنتج:

معدل انهيار ES = ك-1[ES] + ك2[ES]

معدل انهيار ES = (ك-1 + ك2) [إسبانيا]

يقول الافتراض رقم 2 أن معدل تكوين ES يساوي معدل الانهيار:

إعادة الترتيب للتعريف من حيث ثوابت المعدل:

تحديد ثابت جديد ، كم = (ك-1 + ك2) / ك1

قم بحل المصطلح [ES] (للأسباب التي سيتم ذكرها في الخطوة التالية):

يتم قياس سرعة التفاعل الفعلية المقاسة في أي لحظة من خلال:

مضاعفة كلا طرفي المعادلة أعلاه بواسطة k2:

تحدث أقصى سرعة ممكنة (Vmax) عندما ترتبط جميع جزيئات الإنزيم بالركيزة [ES] = [E]مجموع، هكذا:

استبدال هذا في التعبير السابق يعطي:

هذا هو التعبير الرياضي المستخدم لنمذجة البيانات الحركية التجريبية

تُعرف باسم معادلة Michaelis-Menten


نموذج LTA هو نموذج خليط طولي لدراسة التغييرات بمرور الوقت في فئات أو حالات متغيرات الفئة الكامنة (Graham et al. ، 1991 Collins and Wugalter ، 1992 Lanza ، Flaherty and Collins ، 2003). في أغلب الأحيان ، يتم استخدام LCA لتحديد الفئات أو الحالات أو الحالات الكامنة غير المرصودة ، باستخدام نفس مجموعة مقاييس النتائج في كل نقطة زمنية. يمكن اعتبار LTA امتدادًا لـ LCA للبيانات الطولية ، حيث يلعب LCA دور نموذج القياس. بمجرد تحديد الفئات الكامنة في نقاط زمنية مختلفة ، يتم استخدام نموذج هيكلي لتحليل انتقالات عضوية الفئة الكامنة بمرور الوقت. بالطبع ، يتم إجراء تصنيف وتحليل الفئة الكامنة على انتقالات الفئات الكامنة بمرور الوقت في وقت واحد في LTA ، ويركز الاهتمام على الانتقال بين الفئات بمرور الوقت. عادةً ما يُفترض الانتقال الثابت من الدرجة الأولى بحيث تتأثر حالات الفئة في الوقت t فقط بالحالات في الوقت (t - 1) ويكون هذا الاعتماد ثابتًا بمرور الوقت. يتم وصف احتمال الانتقال إلى الفئة m في الوقت t من الفئة k عند (t - 1) في الانحدار اللوجستي متعدد الحدود التالي لـ c ر في ج (ر - 1) (ريبوسين وآخرون ، 1998 Nylund ، Asparouhov and Muthén ، 2007):

حيث يمثل احتمال الانتقال إلى فئة كامنة.

يحصل نمذجة المعادلة الهيكلية: التطبيقات باستخدام Mplus الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


6.2 نموذج (1)

النموذج الأساسي الذي نعتبره هو تحديد معلمات التباين الشرطي للسلسلة الزمنية بناءً على ترتيب تأخر واحد على تربيع الاضطرابات الأخيرة السابقة. من أجل البساطة ، نفترض أن السلسلة الزمنية ليس لها بنية في الوسط ، وهي غاوسية مشروطًا ، وعلاوة على ذلك ، فإن التباين الشرطي يعتمد على الوقت.

العملية التي تفي بهذه الشروط الثلاثة تسمى الانحدار الذاتي الشرطي غير المتجانسة من الرتبة الأولى.

يمكن صياغة عملية ARCH (1) الأساسية كنموذج خطي للاضطرابات التربيعية. اسمح ، بحيث يمكن كتابة الخطأ التربيعي كـ

لأنه ، أين هي المعلومات التي تم إعدادها للوقت ، يكشف قانون التوقعات المتكررة أنه ليس لها متوسط ​​صفر وغير مرتبطة بشكل متسلسل. لذلك ، لديه تمثيل AR (1) ، حيث يوجد ضوضاء بيضاء غير غاوسية.

يمكن تضمين عملية ARCH هذه كنموذج ابتكار للعديد من النماذج الخطية الأخرى (نماذج ARMA ، نماذج الانحدار ،).

6.2.1 اللحظات الشرطية وغير المشروطة للقوس (1)

يمكن اشتقاق اللحظات غير المشروطة لعملية ARCH (1) من خلال الاستخدام المكثف لقانون التوقعات المتكررة بشأن التوزيعات الشرطية. بعد ذلك ، يتم استيفاء التعبيرات التالية:

وهي معادلة فرق خطي لتسلسل التباينات. بافتراض أن العملية بدأت بلا حدود في الماضي مع تباين مبدئي محدود ، فإن تسلسل التباينات يتقارب مع الثابت

عند وجود هذا التباين غير المشروط ، فإن المعلومات السابقة لا تعطي أي معلومات للتنبؤ بالتقلب في الأفق اللانهائي.

الفرق بين التباين الشرطي والتباين غير المشروط هو دالة بسيطة لانحراف الابتكارات التربيعية عن متوسطها. دعنا ، في نموذج ARCH (1) مع 0 $ ->. ومن ثم فإن تباين الخطأ الحالي ، المشروط بالقيم المحققة للأخطاء المتأخرة ، هو دالة متزايدة لحجم الأخطاء المتأخرة ، بغض النظر عن علاماتها. وبالتالي ، فإن الأخطاء الكبيرة في أي من العلامتين تميل إلى أن يتبعها خطأ كبير في أي من العلامتين ، وبالمثل ، فإن الأخطاء الصغيرة في أي من العلامتين تميل إلى أن يتبعها خطأ صغير في أي من العلامتين.

يمكن تحليل طبيعة الكثافة غير المشروطة لعملية ARCH (1) من خلال لحظات الترتيب الأعلى. في الواقع،

بتطبيق قانون التوقعات المتكررة مرة أخرى ، لدينا

على افتراض أن العملية ثابتة في كل من التباين وفي اللحظة الرابعة ، إذا ،

يكشف الجبر البسيط بعد ذلك أن التفرطح هو

الذي هو بوضوح أكبر من 3 (قيمة التفرطح للتوزيع الطبيعي). علاوة على ذلك ، من الضروري بالنسبة للحظة الرابعة ، وبالتالي ، أن يكون التفرطح غير المشروط محدودًا.

وبالتالي ، فإن التوزيع غير المشروط لـ leptokurtic. وهذا يعني أن عملية ARCH (1) لها ذيول أثقل من التوزيع الطبيعي. تجعل هذه الخاصية عملية ARCH جذابة لأن توزيعات عوائد الأصول تعرض في كثير من الأحيان ذيول أثقل من التوزيع العادي.

يُنشئ الكم XEGarch05 سلسلة ARCH (1) مع تباين غير مشروط يساوي 1 ويحصل على الإحصائيات الوصفية الأساسية.

يمكننا أن نرى في الإخراج المقابل أن الخطأ القياسي غير المشروط ليس بعيدًا عن الخطأ. ومع ذلك ، يمكننا أيضًا ملاحظة تفرطح أعلى ونطاق أوسع مما نتوقعه من نموذج غاوسي للضوضاء البيضاء القياسي.

6.2.2 تقدير عملية ARCH (1)

يتم إنشاء العملية بواسطة عملية ARCH (1) الموصوفة في المعادلات (6.1) ، حيث يمثل الحجم الإجمالي للعينة. على الرغم من أن العملية المحددة بواسطة (6.1) تحتوي على جميع الملاحظات الموزعة بشكل مشروط بشكل طبيعي ، إلا أن متجه الملاحظات ليس طبيعيًا بشكل مشترك. لذلك ، بشرط الملاحظة الأولية ، يمكن كتابة دالة كثافة المفصل كـ

باستخدام هذه النتيجة ، وتجاهل عامل ثابت ، فإن دالة احتمالية السجل لحجم العينة هي

حيث يكون احتمال السجل الشرطي للملاحظة ،

شروط الترتيب الأول للحصول على الحد الأقصى لمقدر الاحتمالية هي:

بشكل عام ، فإن الاشتقاق الجزئي هو:

الشكل 6.5: دالة احتمالية تسجيل الدخول لبيانات محاكاة ARCH (1). يشير الخط العمودي إلى قيمة المعلمة الحقيقية

تعتبر تقديرات ML ، وفقًا للافتراضات المعتادة ، طبيعية بشكل مقارب

حيث يجب تقريبه.

عناصر مصفوفة هسه هي:

مصفوفة المعلومات هي ببساطة التوقع السلبي لمتوسط ​​هس على جميع الملاحظات ، وهذا يعني ،

مع الأخذ في الاعتبار (6.3) ، فإن التوقعات المشروطة للمصطلحات الأخيرة هي 1. ومن ثم ، لحساب التوقع غير المشروط لمصفوفة هسي ، وبالتالي مصفوفة المعلومات ، فإننا نقربها بالمتوسط ​​على كل التوقعات الشرطية. ثم يتم تقديرها باستمرار بواسطة

في الممارسة العملية ، يتم حساب مقدر الاحتمالية القصوى بالطرق العددية ، وبشكل خاص طرق التدرج المفضلة لبساطتها. إنها طرق متكررة وفي كل خطوة ، نزيد الاحتمالية من خلال البحث خطوة للأمام على طول اتجاه التدرج. لذلك من المستحسن إنشاء مخطط التكرار التالي ، من خلال الحساب

حيث يتم الحصول على طول الخطوة عادةً من خلال بحث أحادي البعد ، (لمزيد من التفاصيل ، انظر Bernt و Hall و Hall و Hausman 1974)

الشكل: كثافة النواة لمقدرات المعلمات: في اللوحة اليسرى العلوية ، في اللوحة اليمنى السفلية وفي اللوحة اليسرى السفلية ، لدينا مخطط مبعثر لمقدرات المعلمات

في الشكل 6.6 يمكننا أن نرى ، كما تنص النظرية المقاربة ، أن كلا توزيعي العينات يقتربان من كثافة طبيعية ثنائية المتغير مع ارتباط صغير بينهما.

في هذا المثال ، نرى أن المعلمات المقدرة تتفق مع القيم النظرية ولديها نسبة t عالية جدًا. في المكون الثالث من القائمة لدينا الاحتمالية وفي المكون الرابع لدينا التقلبات المقدرة للنموذج. على سبيل المثال ، يمكننا رسم السلسلة الزمنية وإضافة سطرين يمثلان ضعف الجذر التربيعي للتقلب المقدر حول القيمة المتوسطة للسلسلة الزمنية ، كما ترى في الشكل 6.7 ،


6.2: تصنيفات المعادلة النموذجية

نحن الآن نعتبر نماذج الاحتمالات ( pi_ ). على وجه الخصوص ، نود النظر في النماذج التي تعتمد فيها هذه الاحتمالات على متجه ( boldsymbol_i ) من المتغيرات المشتركة المرتبطة بـ (i ) - الفرد أو المجموعة. فيما يتعلق بمثالنا ، نود أن نصمم كيف أن احتمالات التعقيم ، باستخدام طريقة أخرى أو عدم استخدام أي طريقة على الإطلاق تعتمد على عمر المرأة و rsquos.

6.2.1 السجلات متعددة الحدود

ربما يكون أبسط نهج للبيانات متعددة الحدود هو تسمية إحدى فئات الاستجابة كخط أساس أو خلية مرجعية ، وحساب احتمالات السجل لجميع الفئات الأخرى المتعلقة بخط الأساس ، ثم ترك احتمالات السجل تكون دالة خطية للمتنبئين.

عادةً ما نختار ملف الاخير الفئة كخط أساس وحساب احتمالات أن يقع عضو في المجموعة (i ) في الفئة (ي ) بدلاً من خط الأساس كـ ( pi_/ pi_ ). في مثالنا ، يمكننا النظر في احتمالات التعقيم بدلاً من عدم استخدام أي طريقة ، واحتمالات استخدام طريقة أخرى بدلاً من عدم استخدام أي طريقة. بالنسبة للنساء اللواتي تتراوح أعمارهن بين 45 و - 49 ، هذه الاحتمالات هي 91: 183 (أو حوالي 1 إلى 2) و 10: 183 (أو 1 إلى 18).

الشكل 6.2 احتمالات تسجيل التعقيم مقابل عدم وجود طريقة و
طريقة أخرى مقابل عدم وجود طريقة ، حسب العمر

يوضح الشكل 6.2 الاحتمالات اللوغاريتمية التجريبية للتعقيم والطريقة الأخرى (بدون استخدام أي طريقة كفئة مرجعية) المرسومة مقابل النقاط الوسطى للفئات العمرية. (تجاهل الآن الخطوط الصلبة.) لاحظ كيف تزداد احتمالات اللوغاريتمات الخاصة بالتعقيم بسرعة مع تقدم العمر لتصل إلى الحد الأقصى عند 30 & ndash34 ثم تنخفض قليلاً. ترتفع احتمالات اللوغاريتمات الخاصة باستخدام طرق أخرى بلطف حتى سن 25 و ndash29 ثم تنخفض بسرعة.

6.2.2 نمذجة السجلات

في نموذج اللوغاريتم متعدد الحدود ، نفترض أن احتمالات اللوغاريتمات لكل استجابة تتبع نموذجًا خطيًا

حيث ( alpha_j ) ثابت و ( boldsymbol < beta> _j ) متجه لمعاملات الانحدار ، لـ (j = 1 ، 2 ، ldots ، J-1 ). لاحظ أننا كتبنا الثابت بشكل صريح ، لذلك سنفترض من الآن فصاعدًا أن مصفوفة النموذج ( boldsymbol ) لا يتضمن عمود واحد.

هذا النموذج مشابه لنموذج الانحدار اللوجستي ، باستثناء أن التوزيع الاحتمالي للاستجابة متعدد الحدود بدلاً من ذي الحدين ولدينا معادلات (J-1 ) بدلاً من واحد. تتناقض معادلات اللوغاريتمات متعددة الحدود (J-1 ) مع كل فئة من الفئات (1 ، 2 ، ldots J-1 ) مع الفئة (J ) ، في حين أن معادلة الانحدار اللوجستي الفردية هي تباين بين حالات النجاح والفشل. إذا (J = 2 ) يتم تقليل نموذج اللوغاريتم متعدد الحدود إلى نموذج الانحدار اللوجستي المعتاد.

لاحظ أننا نحتاج فقط إلى معادلات (J-1 ) لوصف متغير بفئات استجابة (J ) وأنه لا يوجد فرق حقًا في الفئة التي نختارها كخلية مرجعية ، لأنه يمكننا دائمًا التحويل من صيغة واحدة إلى اخر. في مثالنا مع الفئات (J = 3 ) نقارن الفئات 1 مقابل 3 و 2 مقابل 3. يمكن بسهولة الحصول على التباين المفقود بين الفئتين 1 و 2 من حيث الفئتين الأخريين ، منذ ( log ( pi_/ pi_) = سجل ( بي_/ pi_) - log ( pi_/ pi_) ).

بالنظر إلى الشكل 6.2 ، يبدو أن السجلات هي دالة تربيعية للعمر. لذلك سوف نستمتع بالنموذج

[ العلامة <6.4> eta_ = alpha_j + beta_j a_i + gamma_j a_i ^ 2، ]

حيث (a_i ) هي نقطة المنتصف للفئة العمرية (i ) - th و (j = 1،2 ) للتعقيم والطريقة الأخرى ، على التوالي.

6.2.3 نمذجة الاحتمالات

يمكن أيضًا كتابة نموذج اللوغاريتم متعدد الحدود من حيث الاحتمالات الأصلية ( pi_ ) بدلاً من سجل الاحتمالات. بدءًا من r <> q: mlogit واعتماد الاتفاقية التي ( eta_ = 0 ) يمكننا الكتابة

لـ (ي = 1 ، النقاط ، ي ). للتحقق من هذه النتيجة ، ضع المعادلة 6.3 للحصول على ( pi_ = pi_ إكسب < إتا_> ) ، ولاحظ أن الاتفاقية ( eta_= 0 ) يجعل هذه الصيغة صالحة لجميع (j ). المجموع التالي أكثر من (ي ) واستخدم حقيقة أن ( sum_j pi_= 1 ) للحصول على ( pi_ = 1 / sum_j exp < eta_> ). أخيرًا ، استخدم هذه النتيجة في صيغة ( pi_ ).

لاحظ أن المعادلة 6.5 ستنتج تلقائيًا احتمالات تضيف ما يصل إلى واحد لكل (i ).

6.2.4 الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية

يستمر تقدير معلمات هذا النموذج من خلال أقصى احتمال من خلال تعظيم الاحتمال متعدد الحدود (6.2) مع الاحتمالات ( pi_ ) ينظر إليها كوظائف للمعلمات ( alpha_j ) و ( boldsymbol < beta> _j ) في المعادلة 6.3. يتطلب هذا عادةً إجراءات عددية ، وغالبًا ما يعمل تسجيل نقاط فيشر أو نيوتن رافسون جيدًا إلى حد ما. تتضمن معظم الحزم الإحصائية إجراء تسجيل متعدد الحدود.

فيما يتعلق بمثالنا ، فإن ملاءمة نموذج اللوغاريتم التربيعي متعدد الحدود للمعادلة 6.4 يؤدي إلى انحراف قدره 20.5 في 8 د. قيمة P المرتبطة هي 0.009 ، لذلك لدينا نقص كبير في الملاءمة.

تأثير العمر التربيعي له نسبة احتمالية مرتبطة ( chi ^ 2 ) تبلغ 500.6 على أربعة d.f. ( (521.1 - 20.5 = 500.6 ) و (12-8 = 4 )) وهي ذات دلالة كبيرة. لاحظ أننا استأثرنا بنسبة 96٪ من الارتباط بين العمر واختيار الطريقة ( (500.6 / 521.1 = 0.96 )) باستخدام أربع معاملات فقط.

الجدول 6.2. تقديرات المعلمات لنموذج اللوغاريتم متعدد الحدود
ملائمة لبيانات استخدام وسائل منع الحمل

معاملالتباين
ستير. مقابل لا شيءأخرى مقابل لا شيء
مستمر-12.62-4.552
خطي0.70970.2641
تربيعي-0.009733-0.004758

يوضح الجدول 6.2 تقديرات المعلمات لمعادلتين لوغاريتمي متعدد الحدود. لقد استخدمت هذه القيم لحساب اللوغاريتمات المجهزة لكل عمر من 17.5 إلى 47.5 ، ورسمتها مع السجلات التجريبية في الشكل 6.2. يشير الرقم إلى أن عدم اللياقة ، على الرغم من أهميتها ، ليست مشكلة خطيرة ، باستثناء ربما الفئة العمرية 15 و ndash19 ، حيث نبالغ في تقدير احتمال التعقيم.

في ظل هذه الظروف ، من المحتمل أن ألتزم بالنموذج التربيعي لأنه يقوم بعمل معقول باستخدام عدد قليل جدًا من المعلمات. ومع ذلك ، فإنني أحثك ​​على بذل جهد إضافي وتجربة مصطلح مكعب. يجب أن يجتاز النموذج جودة اختبار الملاءمة. هل القيم المناسبة معقولة؟

6.2.5 النموذج اللوغاريتمي الخطي المكافئ *

قد تكون نماذج اللوغاريتمات متعددة الحدود مناسبة أيضًا لأقصى احتمال للعمل مع نموذج لوغاريتم خطي مكافئ واحتمال بواسون. (هذا القسم سيكون فقط موضع اهتمام القراء المهتمين بالتكافؤ بين هذه النماذج ويمكن حذفه في القراءة الأولى.)

على وجه التحديد ، نتعامل مع الأعداد العشوائية (Y_ ) كمتغيرات Poisson العشوائية ذات الوسائل ( mu_ ) استيفاء النموذج اللوغاريتمي الخطي التالي

[ علامة <6.6> سجل مو_ = eta + theta_i + alpha ^ * _ j + boldsymbol_i ' boldsymbol < beta> ^ * _ j، ]

حيث تفي المعلمات بالقيود المعتادة لتحديد الهوية. هناك ثلاث سمات مهمة لهذا النموذج:

أولاً ، يشتمل النموذج على معلمة منفصلة ( theta_i ) لكل ملاحظة متعددة الحدود ، أي كل فرد أو مجموعة. يضمن هذا إعادة إنتاج القواسم متعددة الحدود بدقة (n_ ). لاحظ أن هذه القواسم هي كميات معروفة ثابتة في الاحتمالية متعددة الحدود ، ولكنها تعامل كعشوائية في احتمالية بواسون. إن التأكد من فهمنا لها بالشكل الصحيح يجعل مسألة التكييف الجدلي.

ثانيًا ، يشتمل النموذج على معلمة منفصلة ( alpha ^ * _ j ) لكل فئة استجابة. هذا يسمح للأعداد بالتنوع حسب فئة الاستجابة ، مما يسمح بهوامش غير موحدة.

ثالثًا ، يستخدم النموذج مصطلحات التفاعل ( boldsymbol_i ' boldsymbol < beta> ^ * _ j ) لتمثيل تأثيرات المتغيرات المشتركة ( boldsymbol_i ) في سجل احتمالات الاستجابة (ي ). مرة أخرى لدينا حالة & lsquostep-up & rsquo ، حيث تصبح التأثيرات الرئيسية في نموذج لوجيستي تفاعلات في النموذج اللوغاريتمي الخطي المكافئ.

يمكن حساب احتمالات تسجيل الملاحظة (i ) في فئة الاستجابة (ي ) بالنسبة إلى فئة الاستجابة الأخيرة (ي ) من المعادلة 6.6 على النحو التالي

هذه المعادلة مطابقة لمعادلة اللوغاريتم متعددة الحدود 6.3 مع ( alpha_j = alpha ^ * _ j- alpha ^ * _ J ) و ( boldsymbol < beta> _j = boldsymbol < beta> ^ * _ j- boldsymbol < beta> ^ * _ J ). وبالتالي ، يمكن الحصول على المعلمات في نموذج اللوغاريتم متعدد الحدود كاختلافات بين المعلمات في نموذج السجل الخطي المقابل. لاحظ أن ( theta_i ) تلغي ، والقيود اللازمة لتحديد الهوية ، وهي ( eta_= 0 ) ، راضية تلقائيًا.

فيما يتعلق بمثالنا ، يمكننا التعامل مع الأعداد الموجودة في الجدول الأصلي (7 مرات 3 ) على أنها 21 ملاحظة بواسون مستقلة ، وتناسب نموذجًا لوغاريتميًا خطيًا يتضمن التأثير الرئيسي للعمر (يتم التعامل معه كعامل) ، التأثير الرئيسي لاستخدام موانع الحمل (تعامل كعامل) والتفاعلات بين استخدام موانع الحمل (عامل) والمكونات الخطية والتربيعية للعمر:

[ علامة <6.8> سجل mu_ = eta + theta_i + alpha ^ * _ j + beta ^ * _ j a_i + gamma ^ * _ j a_i ^ 2 ]

من الناحية العملية ، يتطلب هذا تضمين ستة متغيرات وهمية تمثل الفئات العمرية ، ومتغيرين وهميين يمثلان فئات اختيار الطريقة ، وما مجموعه أربعة مصطلحات تفاعل ، تم الحصول عليها كمنتجات من دمى اختيار الطريقة بنقطة الوسط (a_i ) ومربع منتصف النقطة (a_i ^ 2 ) لكل فئة عمرية. يتم ترك التفاصيل كتمرين. (لكن انظر ملاحظات ستاتا.)


ملخص

قام بوهر بدمج أفكار Planck & rsquos و Einstein & rsquos في نموذج ذرة الهيدروجين الذي حل مفارقة استقرار الذرة والأطياف المنفصلة. يشرح نموذج بوهر لذرة الهيدروجين العلاقة بين تكميم الفوتونات والانبعاث الكمي من الذرات. وصف بور ذرة الهيدروجين من حيث إلكترون يتحرك في مدار دائري حول النواة. افترض أن الإلكترون يقتصر على مدارات معينة تتميز بطاقات منفصلة. تؤدي الانتقالات بين هذه المدارات المسموح بها إلى امتصاص أو انبعاث الفوتونات. عندما ينتقل إلكترون من مدار عالي الطاقة إلى مدار أكثر استقرارًا ، تنبعث الطاقة على شكل فوتون. لنقل إلكترون من مدار مستقر إلى مدار أكثر إثارة ، يجب امتصاص فوتون من الطاقة. باستخدام نموذج بور ، يمكننا حساب طاقة الإلكترون ونصف قطر مداره في أي نظام إلكتروني واحد.


الدفع النفاث

الدفع النفاث هو آلية يتم فيها دفع الطائرات والأجهزة الأخرى. بشكل أساسي ، يتم امتصاص الهواء في المحرك ومع التسخين الإضافي (حرق الوقود) تزداد السرعة. زيادة مساحة الخروج مع زيادة الغازات المحترقة تزيد من قوة الدفع. تحليل مثل هذا الجهاز معقد وهناك فصل كامل مخصص لمثل هذا الموضوع في العديد من الجامعات. هنا ، يتم تقديم مناقشة محدودة للغاية تتعلق بالحالة المستقرة. يعتمد الفرق بين الدفع النفاث والمراوح على الطاقة التي يتم توفيرها. يتم تحريك المراوح بواسطة عمل ميكانيكي يتم تحويله إلى قوة دفع. في الدفع النفاث ، يتم تحويل الطاقة الحرارية إلى قوة دفع. ومن ثم ، فإن هذا التحويل المباشر يمكن أن يكون ، ولا يزال ، في كثير من الحالات ، أكثر كفاءة. علاوة على ذلك ، كما سيظهر في الفصل الخاص بالتدفق القابل للانضغاط ، فإنه يسمح بتحقيق سرعة أعلى من سرعة الصوت ، وهي عقبة رئيسية في الماضي. تختلف منطقة المدخل ومنطقة الخروج بالنسبة لمعظم الطائرات وإذا تم إهمال كتلة الوقود عندئذٍ

مثال أكاديمي لتوضيح كيفية إجراء حسابات الحالة المستقرة لحجم التحكم المتحرك. لاحظ أن

يتم دفع لعبة الزلاجة الموضحة في الشكل 6.5 بواسطة نفث سائل. احسب قوة الاحتكاك على اللعبة عندما تكون اللعبة ثابتة مع السرعة ، (U_0 ). افترض أن الطائرة أفقية وأن الطائرة العاكسة عمودية. ال

شكل 6.5: لعبة زلاجة مدفوعة بنفث سائل في حالة مستقرة على سبيل المثال.

سرعة الطائرة موحدة. أهمل الاحتكاك بين السائل (النفاث) واللعبة وبين الهواء واللعبة. احسب السرعة المطلقة لخروج الطائرة. افترض أن الاحتكاك بين اللعبة والسطح (الأرض) متناسب مع القوة الرأسية. الاحتكاك الديناميكي هو ( mu_d ).

يتم توصيل حجم التحكم المختار باللعبة وبالتالي يتم الحصول على الحالة المستقرة. يتحرك الإطار المرجعي بسرعة اللعبة ( pmb_0 ). معادلة الحفاظ الشامل المطبقة على الحالة المستقرة هي
يبدأ
A_ <1> U_ <1> = A_ <2> U_ <2>
نهاية
معادلة الزخم في اتجاه (س ) هي

السرعة النسبية في حجم التحكم هي
يبدأ
pmb_ <1j> = left (U_j - U_0 right) ، hat
نهاية
The relative velocity out the control volume is
يبدأ
pmb_ <2j>= left(U_j - U_0 ight),hat
نهاية
The absolute exit velocity is
يبدأ
pmb_ <2>= U_0 hat + left(U_j - U_0 ight),hat
نهاية
For small volume, the gravity can be neglected also because this term is small compared to other terms, thus
يبدأ
int_ pmb , ho, dV sim 0
نهاية
The same can be said for air friction as
يبدأ
int_ oldsymbol< au>,dA sim 0
نهاية
The pressure is uniform around the control volume and thus the integral is
يبدأ
int_pmb

,dA = 0
نهاية
The control volume was chosen so that the pressure calculation is minimized. The momentum flux is

[ label
int_<>> ho, U_x, U_i, dA = A, ho, >^2
] The substituting (29) into equation (??) yields

[ label
F_f = A, ho, >^2
] The friction can be obtained from the momentum equation in the (y) direction
يبدأ
m_ ,g + A, ho, >^2 = F_
نهاية
According to the statement of question the friction force is
يبدأ
F_f = mu_d left( m_ ,g + A, ho, >^2 ight)
نهاية
The momentum in the (x) direction becomes
يبدأ
mu_d left( m_ ,g + A, ho, >^2 ight) = A, ho, >^2 = A, ho,
left( U_j- U_0 ight)^2
نهاية
The toy velocity is then
يبدأ
U_0 = U_j - sqrt < dfrac,g> < A, ho, left( 1 -mu_d ight) >>
نهاية
Increase of the friction reduce the velocity. Additionally larger toy mass decrease the velocity.


6.3.2.1: The Darcy-Weisbach Equation for Single-Segment Oil Production Wells

The Darcy-Weisbach Equation is one of the most common equations for modeling single-phase liquid flow through pipes and tubing. The Darcy-Weisbach Equation is developed by ignoring the acceleration term in Equation 6.02 and replacing the derivative with a finite-difference approximation:

Where the angle, θ , is measured from the horizontal and is 90º ( π 2 r a d i a n s ) for true vertical wells and 0º ( 0 r a d i a n s ) for horizontal wells. Solving this equation for the velocity:

Substituting for the velocity term, v ( f t sec ) = q A = ( 4 ) 144 ( i n 2 f t 2 ) π D I D 2 ( i n 2 ) 5.615 ( f t 3 b b l ) q ( b b l d a y ) 24 ( h r d a y ) 60 ( min h r ) 60 ( sec min ) :

or, after evaluating the constants and rearranging:

Noting that the term Δ l s i n ( θ ) = Δ z (the change in elevation over the length of the tubing, Δ l ):

This is the theoretically derived Darcy-Weisbach Equation for flow through pipe/tubing in oilfield units. This equation relates the flow rate, q ( b b l s / d a y ) , to a given pressure drop Δ p = p 1 − p 2 ( psi ) . In practice, we include a dimensionless efficiency factor, E e f f , which is approximately equal to one ( E e f f ≅ 1.0 ) . This efficiency factor is used to tune the equation to actual field measurements.

This version of the Darcy-Weisbach Equation is the version most often used in industry software. In this equation:

  • 411.147 is an equation constant
  • 144 is a unit conversion constant, in 2 /ft 2
  • q is the flow rate through the tubing, bbl/day
  • E e f f is an efficiency (tuning) factor for the tubing section ( E e f f ≅ 1.0 ) , dimensionless
  • D I D is the Inner Diameter ( I D ) of the tubing, in
  • g c is the Universal Gravitational Constant, 32.174 lbم-ft/lbf-sec 2
  • g is the Local Acceleration due to gravity, ft/sec 2 . The local acceleration due to gravity varies from location to location but is approximately 32.174 ft/sec 2 . The ratio of g g c is approximately 1.0 lbf/lbم
  • f D W is the Darcy-Weisbach Friction Factor, dimensionless
  • ρ is the density of the fluid, lbم/ft 3
  • Δ l is the length of the section of tubing along its axis, ft
  • p 1 and p 2 are the pressures at two points in a section of tubing, psi
  • z 1 and z 2 are the elevations at two points in a section of tubing, psi

We can use this equation in two ways. The first way to use Equation 6.12, is to specify the flow rate and calculate the pressure drop along the section of the pipe/tubing. This calculation is called a Pressure Traverse calculation and is illustrated in Figure 6.08 for a vertical well. In this figure, two tubing diameters are considered, and multiple production rates are plotted for each tubing size. The pressure traverse calculation is used by production engineers to help select the appropriate tubing size for the anticipated well production rates during the completion design phase of the well.

Alternatively, if we know one pressure and the flow rate, then we can calculate the other pressure. This is normally done by specifying the Well Head Pressure, p w h , and calculating the flowing bottom-hole pressure, p w f , for multiple production rates. هذا يسمي Tubing Performance calculation and is illustrated in Figure 6.09 for a well head pressure of p w h = 100 psi and the same two tubing sizes plotted in Figure 6.08: D I D =1 .995 in in and D I D =2 .993 in .

Author: Gregory King, Professor of Practice, Petroleum and Natural Gas Engineering, The Pennsylvania State University.

This courseware module is part of Penn State's College of Earth and Mineral Sciences' OER Initiative.

The College of Earth and Mineral Sciences is committed to making its websites accessible to all users, and welcomes comments or suggestions on access improvements. Please send comments or suggestions on accessibility to the site editor. The site editor may also be contacted with questions or comments about this Open Educational Resource.

The College of Earth and Mineral Sciences is committed to making its websites accessible to all users, and welcomes comments or suggestions on access improvements. Please send comments or suggestions on accessibility to the site editor. The site editor may also be contacted with questions or comments about this course.


6.2 Photoelectric Effect

When a metal surface is exposed to a monochromatic electromagnetic wave of sufficiently short wavelength (or equivalently, above a threshold frequency), the incident radiation is absorbed and the exposed surface emits electrons. This phenomenon is known as the photoelectric effect . Electrons that are emitted in this process are called photoelectrons .

The experimental setup to study the photoelectric effect is shown schematically in Figure 6.8. The target material serves as the cathode, which becomes the emitter of photoelectrons when it is illuminated by monochromatic radiation. We call this electrode the photoelectrode . Photoelectrons are collected at the anode, which is kept at a higher potential with respect to the cathode. The potential difference between the electrodes can be increased or decreased, or its polarity can be reversed. The electrodes are enclosed in an evacuated glass tube so that photoelectrons do not lose their kinetic energy on collisions with air molecules in the space between electrodes.

When the target material is not exposed to radiation, no current is registered in this circuit because the circuit is broken (note, there is a gap between the electrodes). But when the target material is connected to the negative terminal of a battery and exposed to radiation, a current is registered in this circuit this current is called the photocurrent . Suppose that we now reverse the potential difference between the electrodes so that the target material now connects with the positive terminal of a battery, and then we slowly increase the voltage. The photocurrent gradually dies out and eventually stops flowing completely at some value of this reversed voltage. The potential difference at which the photocurrent stops flowing is called the stopping potential .

Characteristics of the Photoelectric Effect

The photoelectric effect has three important characteristics that cannot be explained by classical physics: (1) the absence of a lag time, (2) the independence of the kinetic energy of photoelectrons on the intensity of incident radiation, and (3) the presence of a cut-off frequency. Let’s examine each of these characteristics.

The absence of lag time

When radiation strikes the target material in the electrode, electrons are emitted almost instantaneously, even at very low intensities of incident radiation. This absence of lag time contradicts our understanding based on classical physics. Classical physics predicts that for low-energy radiation, it would take significant time before irradiated electrons could gain sufficient energy to leave the electrode surface however, such an energy buildup is not observed.

The intensity of incident radiation and the kinetic energy of photoelectrons

Typical experimental curves are shown in Figure 6.9, in which the photocurrent is plotted versus the applied potential difference between the electrodes. For the positive potential difference, the current steadily grows until it reaches a plateau. Furthering the potential increase beyond this point does not increase the photocurrent at all. A higher intensity of radiation produces a higher value of photocurrent. For the negative potential difference, as the absolute value of the potential difference increases, the value of the photocurrent decreases and becomes zero at the stopping potential. For any intensity of incident radiation, whether the intensity is high or low, the value of the stopping potential always stays at one value.

At this point we can see where the classical theory is at odds with the experimental results. In classical theory, the photoelectron absorbs electromagnetic energy in a continuous way this means that when the incident radiation has a high intensity, the kinetic energy in Equation 6.12 is expected to be high. Similarly, when the radiation has a low intensity, the kinetic energy is expected to be low. But the experiment shows that the maximum kinetic energy of photoelectrons is independent of the light intensity.

The presence of a cut-off frequency

For any metal surface, there is a minimum frequency of incident radiation below which photocurrent does not occur. The value of this cut-off frequency for the photoelectric effect is a physical property of the metal: Different materials have different values of cut-off frequency. Experimental data show a typical linear trend (see Figure 6.10). The kinetic energy of photoelectrons at the surface grows linearly with the increasing frequency of incident radiation. Measurements for all metal surfaces give linear plots with one slope. None of these observed phenomena is in accord with the classical understanding of nature. According to the classical description, the kinetic energy of photoelectrons should not depend on the frequency of incident radiation at all, and there should be no cut-off frequency. Instead, in the classical picture, electrons receive energy from the incident electromagnetic wave in a continuous way, and the amount of energy they receive depends only on the intensity of the incident light and nothing else. So in the classical understanding, as long as the light is shining, the photoelectric effect is expected to continue.

The Work Function

The photoelectric effect was explained in 1905 by A. Einstein . Einstein reasoned that if Planck’s hypothesis about energy quanta was correct for describing the energy exchange between electromagnetic radiation and cavity walls, it should also work to describe energy absorption from electromagnetic radiation by the surface of a photoelectrode. He postulated that an electromagnetic wave carries its energy in discrete packets. Einstein’s postulate goes beyond Planck’s hypothesis because it states that the light itself consists of energy quanta. In other words, it states that electromagnetic waves are quantized.

In Einstein’s approach, a beam of monochromatic light of frequency f is made of photons. A photon is a particle of light. Each photon moves at the speed of light and carries an energy quantum E f . E f . A photon’s energy depends only on its frequency f. Explicitly, the energy of a photon is

where K max K max is the kinetic energy, given by Equation 6.12, that an electron has at the very instant it gets detached from the surface. In this energy balance equation, ϕ ϕ is the energy needed to detach a photoelectron from the surface. This energy ϕ ϕ is called the work function of the metal. Each metal has its characteristic work function, as illustrated in Table 6.1. To obtain the kinetic energy of photoelectrons at the surface, we simply invert the energy balance equation and use Equation 6.13 to express the energy of the absorbed photon. This gives us the expression for the kinetic energy of photoelectrons, which explicitly depends on the frequency of incident radiation:

This equation has a simple mathematical form but its physics is profound. We can now elaborate on the physical meaning behind Equation 6.14.

In Einstein’s interpretation, interactions take place between individual electrons and individual photons. The absence of a lag time means that these one-on-one interactions occur instantaneously. This interaction time cannot be increased by lowering the light intensity. The light intensity corresponds to the number of photons arriving at the metal surface per unit time. Even at very low light intensities, the photoelectric effect still occurs because the interaction is between one electron and one photon. As long as there is at least one photon with enough energy to transfer it to a bound electron, a photoelectron will appear on the surface of the photoelectrode.


شاهد الفيديو: تصنيف وحل المعادلات التفاضلية الجزئيه قسم الرياضيات المرحلة الثالثه كليه التربيه (ديسمبر 2021).