مقالات

5: قواعد الأسس - الرياضيات


5: قواعد الأسس - الرياضيات

نستخدم الترميز الأسي لكتابة الضرب المتكرر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة [latex] 10 cdot10 cdot10 [/ latex] بشكل أكثر إيجازًا مثل [latex] 10 ^ <3> [/ latex]. الرقم 10 في [اللاتكس] 10 ^ <3> [/ اللاتكس] يسمى قاعدة. 3 في [لاتكس] 10 ^ <3> [/ لاتكس] تسمى الأس. التعبير [اللاتكس] 10 ^ <3> [/ اللاتكس] يسمى التعبير الأسي. ستساعدك معرفة أسماء أجزاء التعبير الأسي أو المصطلح على تعلم كيفية إجراء العمليات الحسابية عليها.

تتم قراءة [اللاتكس] 10 ^ <3> [/ latex] على أنها "10 إلى القوة الثالثة" أو "10 مكعبات". يعني [لاتكس] 10 cdot10 cdot10 [/ لاتكس] ، أو 1،000.

تتم قراءة [اللاتكس] 8 ^ <2> [/ latex] على أنها "8 to the second power" أو "8 squared." تعني [لاتكس] 8 cdot8 [/ لاتكس] ، أو 64.

تتم قراءة [اللاتكس] 5 ^ <4> [/ latex] على أنها "5 إلى القوة الرابعة". هذا يعني [لاتكس] 5 cdot5 cdot5 cdot5 [/ لاتكس] ، أو 625.

تتم قراءة [اللاتكس] b ^ <5> [/ اللاتكس] كـ "ب للقوة الخامسة ". تعني [اللاتكس] cdot cdot cdot cdot[/ لاتكس]. ستعتمد قيمتها على قيمة ب.

يتم تطبيق الأس فقط على الرقم المجاور له. لذلك ، في التعبير [اللاتكس] xy ^ <4> [/ latex] ، فقط ملف ذ يتأثر بـ 4. [اللاتكس] xy ^ <4> [/ اللاتكس] تعني [اللاتكس] cdot cdot cdot cdot[/ لاتكس]. ال x في هذا المصطلح هو أ معامل في الرياضيات او درجة من ذ.

إذا كان التعبير الأسي سالبًا ، مثل [لاتكس] −3 ^ <4> [/ لاتكس] ، فهذا يعني [لاتكس] - يسار (3 cdot3 cdot3 cdot3 يمين) [/ لاتكس] أو [لاتكس] −81 [/ لاتكس].

إذا كانت [latex] −3 [/ latex] هي القاعدة ، فيجب كتابتها كـ [latex] left (−3 right) ^ <4> [/ latex] ، مما يعني [اللاتكس] −3 cdot −3 cdot − 3 cdot − 3 [/ لاتكس] ، أو 81.

وبالمثل ، [لاتكس] يسار (−x يمين) ^ <4> = يسار (−x يمين) cdot يسار (−x يمين) cdot يسار (x يمين) cdot يسار (−x right) = x ^ <4> [/ latex] ، بينما [اللاتكس] −x ^ <4> = - left (x cdot x cdot x cdot x right) [/ latex].

يمكنك أن ترى أن هناك فرقًا كبيرًا ، لذلك عليك أن تكون حذرًا للغاية! توضح الأمثلة التالية كيفية تحديد الأساس والأس ، وكذلك كيفية تحديد التنسيق الموسع والأسي لكتابة الضرب المتكرر.

مثال

حدد الأس والأساس بالشروط التالية ، ثم بسّط:

الأس في هذا المصطلح هو 2 والأساس هو 7. للتبسيط ، قم بتوسيع المصطلح: [latex] 7 ^ <2> = 7 cdot <7> = 49 [/ latex]

الأس على هذا المصطلح هو 3 ، والقاعدة هي [latex] frac <1> <2> [/ latex]. للتبسيط ، وسّع عملية الضرب وتذكر كيفية ضرب الكسور: [اللاتكس] < left ( frac <1> <2> right)> ^ <3> = frac <1> <2> cdot < frac <1><2>>cdot<2>>=frac<1> <16> [/ اللاتكس]

الأس على هذا الحد هو 3 ، والأساس هو x ، ولا يحصل 2 على الأس لأنه لا يوجد أقواس تخبرنا بذلك. هذا المصطلح في أبسط صوره.

الأس على هذا المصطلح هو 2 والأساس هو [اللاتكس] -5 [/ اللاتكس]. للتبسيط ، قم بتوسيع عملية الضرب: [اللاتكس] left (-5 right) ^ <2> = -5 cdot <-5> = 25 [/ latex]

في الفيديو التالي ، يتم تقديم المزيد من الأمثلة لتطبيق الأس على قواعد مختلفة.

قيم التعبيرات

إن تقييم التعبيرات التي تحتوي على الأس هو نفس تقييم التعبيرات الخطية في وقت سابق من الدورة التدريبية. يمكنك التعويض بقيمة المتغير في التعبير وتبسيطها.

يمكنك استخدام ترتيب العمليات لتقييم التعبيرات التي تحتوي على الأس. أولاً ، قم بتقييم أي شيء بين قوسين أو رموز التجميع. بعد ذلك ، ابحث عن الأس ، متبوعًا بالضرب والقسمة (القراءة من اليسار إلى اليمين) ، وأخيرًا ، الجمع والطرح (مرة أخرى ، القراءة من اليسار إلى اليمين).

لذلك ، عند تقييم التعبير [اللاتكس] 5x ^ <3> [/ latex] إذا كانت [latex] x = 4 [/ latex] ، استبدل أولاً القيمة 4 للمتغير x. ثم قم بالتقييم باستخدام ترتيب العمليات.

مثال

قم بتقييم [latex] 5x ^ <3> [/ latex] إذا كانت [latex] x = 4 [/ latex].

عوّض بـ 4 للمتغير x.

تقييم [لاتكس] 4 ^ <3> [/ لاتكس]. تتضاعف.

إجابه

[اللاتكس] 5x ^ <3> = 320 [/ اللاتكس] عندما [اللاتكس] x = 4 [/ اللاتكس]

في المثال أدناه ، لاحظ كيف يمكن أن تؤدي إضافة الأقواس إلى تغيير النتيجة عندما تقوم بتبسيط المصطلحات باستخدام الأس.

مثال

قم بتقييم [latex] left (5x right) ^ <3> [/ latex] إذا كانت [latex] x = 4 [/ latex].

اضرب داخل الأقواس ، ثم طبق الأس - باتباع قواعد PEMDAS.

إجابه

[لاتكس] يسار (5x يمين) 3 = 8000 [/ لاتكس] عندما [لاتكس] س = 4 [/ لاتكس]

أحدثت إضافة الأقواس فرقًا كبيرًا! تسمح لك الأقواس بتطبيق الأس على المتغيرات أو الأرقام التي يتم ضربها أو تقسيمها أو إضافتها أو طرحها من بعضها البعض.

مثال

قم بتقييم [latex] x ^ <3> [/ latex] إذا كانت [latex] x = [4 [/ latex].

تقييم. لاحظ كيف أن وضع الأقواس حول [اللاتكس] −4 [/ اللاتكس] يعني أن الإشارة السالبة يتم ضربها أيضًا.

إجابه

[اللاتكس] x ^ <3> = −64 [/ اللاتكس] عندما [اللاتكس] x = −4 [/ اللاتكس]

حذر! ما إذا كان سيتم تضمين علامة سلبية كجزء من قاعدة أم لا يؤدي غالبًا إلى الارتباك. لتوضيح ما إذا تم تطبيق علامة سالبة قبل الأس أو بعده ، إليك مثال.

ما هو الفرق في طريقة تقييم هذين المصطلحين؟

لإيجاد قيمة 1) ، يمكنك تطبيق الأس على الثلاثة أولاً ، ثم تطبيق العلامة السالبة أخيرًا ، على النحو التالي:

لإيجاد قيمة 2) ، يمكنك تطبيق الأس على 3 وعلامة السالب:

المفتاح لتذكر هذا هو اتباع ترتيب العمليات. لا يتضمن التعبير الأول أقواسًا ، لذا يجب تطبيق الأس على العدد الصحيح 3 أولاً ، ثم تطبيق الإشارة السالبة. يتضمن التعبير الثاني أقواسًا ، لذا نأمل أن تتذكر أن العلامة السالبة يتم تربيعها أيضًا.

ستتعلم في الأقسام التالية كيفية تبسيط التعبيرات التي تحتوي على أسس. ارجع إلى هذه الصفحة إذا نسيت كيفية تطبيق ترتيب العمليات على مصطلح ذي أس ، أو نسيت أيهما هو الأساس وأيهما هو الأس!

في الفيديو التالي تم تزويدك بأمثلة لتقييم التعبيرات الأسية لرقم معين.


الملكية الواحدة

إذا كان 6 8 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 1،679،616 ، إذن 6 1 = 6. إذا كان الأس 1 ، فلديك قاعدة واحدة فقط. إذن ، الإجابة هي الرقم الأساسي أو المتغير. بمعرفة ذلك ، يمكنك تبسيط المعادلة التالية:

على الجانب الآخر ، إذا كانت القاعدة 1 وكان الأس متغيرًا ، فيمكن تبسيط المعادلة إلى واحد. لماذا ا؟ نظرًا لأن 1 × 1 = 1. لا يهم عدد المرات التي تضرب فيها 1 في نفسها ، فستنتهي بواحد. لذلك ، 1 × = 1.


قواعد الأس المختلفة

من أجل الملاءمة ، تم تسمية قواعد الأس بشكل مختلف ، للمساعدة في العمليات الحسابية المختلفة. قواعد الأس المختلفة هي خاصية المنتج ، وخاصية حاصل القسمة ، وخاصية الصفر للأسس ، والخصائص السالبة للأسس. قواعد الأس المغطاة أدناه مذكورة على النحو التالي.

دعونا نلقي نظرة على تفاصيل كل من قواعد الأس.

ملكية المنتج للأسس

تُستخدم خاصية حاصل الضرب للأسس لضرب التعبيرات ذات الأسس نفسها. تقول هذه الخاصية ، & quot لضرب تعبيرين لهما نفس الأساس ، اجمع الأس مع الاحتفاظ بالأساس كما هو. & quot تتضمن هذه القاعدة إضافة أسس لها نفس الأساس. هذه القاعدة مفيدة في تبسيط الأسين من خلال عملية الضرب بينهما.

استخدام القانون بدون استخدام القانون
2 3 × 2 5 = 2 (3 + 5) = 2 8 2 3 مرات 2 5 = (2 مرات 2 مرات 2) مرات (2 مرات 2 مرات 2 مرات 2 مرات 2) = 2 8

يمكننا أن نستنتج أنه بدون استخدام القانون ، فإن حل التعبير يأخذ المزيد من الخطوات والمزيد من العمل الحسابي.

حاصل الملكية للأسس

تُستخدم خاصية خارج القسمة للأسس لتقسيم التعبيرات ذات الأسس نفسها. تقول هذه الخاصية ، & quot لقسمة تعبيرين لهما نفس الأساس ، اطرح الأس مع الحفاظ على الأساس نفسه. & quot هذا مفيد في حل الأس ، دون إجراء عملية القسمة فعليًا. الشرط الوحيد المطلوب هو أن الأسين يجب أن يكون لهما نفس الأساس.

استخدام القانون بدون استخدام القانون
2 5 /2 3 = 2 5 - 3 = 2 2 2 5/2 3 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) / (2 × 2 × 2) = 2 2

يمكننا أن نرى بوضوح أنه بدون استخدام القانون ، فإن حل التعبير يتطلب المزيد من الخطوات والمزيد من العمل الحسابي.

الملكية الصفرية للأسس

يتم تطبيق خاصية الصفر للأسس عندما يكون الأس لأي أساس هو 0. تقول هذه الخاصية ، & quot أي رقم (بخلاف 0) مرفوع إلى 0 هو 1. & quot لاحظ أنه لم يتم تعريف 0 0. سيساعدنا ذلك على فهم أنه بغض النظر عن الأساس ، فإن قيمة الأس الصفري تساوي دائمًا 1.

استخدام القانون بدون استخدام القانون
2 0 = 2 2 0 = 2 5-5 = 2 5/2 5 = (2 مرات 2 مرات 2 مرات 2 مرات 2) / (2 مرات 2 مرات 2 مرات 2 مرات 2) = 1

باستخدام القانون ، لدينا 2 0 = 2. بدلاً من ذلك ، بدون استخدام القانون يمكننا فهم القانون نفسه بعدد أكبر من الخطوات: 2 0 = 2 5-5 = 2 5/2 5 = (2 × 2 × 2 مرات 2 مرات 2) / (2 مرات 2 مرات 2 مرات 2 مرات 2) = 1

الخاصية السلبية للأسس

يتم استخدام الخاصية السالبة للأس عندما يكون الأس عددًا سالبًا. تقول هذه الخاصية: & quot لتحويل أي أس سالب إلى أس موجب ، يجب أخذ المقلوب. & quot يتم نقل التعبير من البسط إلى المقام مع التغيير في علامة قيم الأس.

استخدام القانون بدون استخدام القانون
2 -2 = 1/2 2 -2 = 2 0-2 = 2 0 /2 2 = 1/2 2

باستخدام القانون ، يمكننا حلها دفعة واحدة ، مثل 2 -2 = 1/2. بدلاً من ذلك ، بدون استخدام القانون ، لدينا 2 -2 = 2 0-2 = 2 0/2 2 = 1/2 2


رفع الصلاحيات للسلطات

كلمة أخرى للأس هي القوة. من المحتمل أنك رأيت أو سمعت مثالًا مثل [لاتكس] 3 ^ 5 [/ لاتكس] يمكن وصفه بأنه 3 مرفوع إلى القوة الخامسة. سنقوم في هذا القسم بتوسيع قدراتنا مع الأسس. سوف نتعلم ما يجب فعله عند رفع حد له قوة إلى قوة أخرى ، وماذا نفعل عندما يتم ضرب رقمين أو متغيرين وكلاهما مرفوع إلى أس. سوف نتعلم أيضًا ما يجب فعله عند رفع الأرقام أو المتغيرات المقسمة إلى أس. سنبدأ برفع الصلاحيات للقوى.

لنبسط [اللاتكس] left (5 ^ <2> right) ^ <4> [/ latex]. في هذه الحالة ، القاعدة هي [لاتكس] 5 ^ 2 [/ لاتكس] والأس 4 ، لذلك تضرب [لاتكس] 5 ^ <2> [/ لاتكس] أربع مرات: [لاتكس] يسار (5 ^ < 2> right) ^ <4> = 5 ^ <2> cdot5 ^ <2> cdot5 ^ <2> cdot5 ^ <2> = 5 ^ <8> [/ latex] (باستخدام قاعدة المنتج - أضف الأس).

[اللاتكس] left (5 ^ <2> right) ^ <4> [/ latex] هو قوة من قوة. إنها القوة الرابعة للرقم 5 أس الثاني. ورأينا أعلاه أن الإجابة هي [لاتكس] 5 ^ <8> [/ لاتكس]. لاحظ أن الأس الجديد هو نفسه منتج الأس الأصلي: [اللاتكس] 2 cdot4 = 8 [/ اللاتكس].

إذًا ، [اللاتكس] left (5 ^ <2> right) ^ <4> = 5 ^ <2 cdot4> = 5 ^ <8> [/ latex] (والتي تساوي 390،625 ، إذا قمت بالضرب).

هذا يؤدي إلى قاعدة أخرى للأسس - ال قاعدة القوة للأسس. لتبسيط قوة أس ، اضرب الأسس ، مع الحفاظ على القاعدة كما هي. على سبيل المثال ، [لاتكس] يسار (2 ^ <3> يمين) ^ <5> = 2 ^ <15> [/ لاتكس].

قاعدة القوة للأسس

لأي رقم موجب x والأعداد الصحيحة أ و ب: [لاتكس] يسار (س ^ يمين) ^= س ^<>> [/ لاتكس].

توقف لحظة للمقارنة بين مدى اختلاف ذلك عن قاعدة الضرب للأسس الموجودة في الصفحة السابقة.

مثال

إجابه

رفع المنتج إلى السلطة

لاحظ أنه يتم تطبيق الأس على كل عامل من عوامل 2أ. لذلك ، يمكننا حذف الخطوات الوسطى.

حاصل ضرب عددين أو أكثر مرفوعين إلى أس يساوي حاصل ضرب كل رقم مرفوع إلى نفس القوة.

منتج يرتفع إلى قوة

لأية أرقام غير صفرية أ و ب وأي عدد صحيح x، [لاتكس] يسار (أب يمين) ^= أ ^ cdot<>> [/ لاتكس].

كيف تختلف هذه القاعدة عن السلطة المرفوعة إلى قاعدة السلطة؟ كيف تختلف عن قاعدة حاصل الضرب للأسس في الصفحة السابقة؟

مثال

طبق الأس على كل رقم في حاصل الضرب.

إجابه

إذا كان للمتغير أس ، استخدم قاعدة القوة: اضرب الأس.

مثال

ربّع المعامل واستخدم قاعدة القوة لتربيع [اللاتكس] يسار (أ ^ <4> يمين) ^ <2> [/ لاتكس].

إجابه

ارفع ناتج القسمة إلى قوة

دعونا الآن نلقي نظرة على ما يحدث إذا رفعت حاصل القسمة إلى قوة. تذكر أن حاصل القسمة يعني قسمة. افترض أن لديك [latex] displaystyle frac <3> <4> [/ latex] وقم برفعها إلى القوة الثالثة.

يمكنك أن ترى أن رفع حاصل القسمة إلى أس 3 يمكن كتابته أيضًا في صورة البسط (3) أس 3 والمقام (4) أس 3.

وبالمثل ، إذا كنت تستخدم متغيرات ، فإن حاصل القسمة المرفوع إلى أس يساوي البسط المرفوع إلى أس على المقام مرفوعًا إلى أس.

عندما يتم رفع حاصل القسمة إلى أس ، يمكنك تطبيق الأس على البسط والمقام كل على حدة ، كما هو موضح أدناه.

حاصل رفع إلى قوة

لأي رقم أ، أي رقم غير صفري ب، وأي عدد صحيح x، [اللاتكس] displaystyle يمين)> ^= فارك<>><>> [/ لاتكس].

مثال

افصل إلى عوامل عددية ومتغيرة.

بسّط عن طريق أخذ 2 إلى القوة الثالثة وتطبيق قواعد القوة والحاصل للأسس - اضرب واطرح أسس المتغيرات المطابقة.

[لاتكس] displaystyle 8 cdot <^ <(6-3) >> cdot <^ <3>> [/ لاتكس]

إجابه

في الفيديو التالي ، ستظهر لك أمثلة لتبسيط خارج القسمة التي يتم رفعها إلى أس.


5: قواعد الأسس - الرياضيات

الأس والمتغيرات: القوة x 5 تعني x • x • x • x • x
x بالضبط مثل × 1

مضاعفة القوى بنفس القاعدة: يضيف الأس وابقاء على نفس الأساس.
x 2 • x 5 = x • x • x • x • x • x • x = x 7 أو x 2 • x 5 = x (2 + 5) = x 7

2 4 • 2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 9 أو 2 4 • 2 5 = 2 (4 + 5) = 2 9

قسمة القوى بنفس القاعدة: طرح او خصم الأس وابقاء على نفس الأساس.
× 8 ÷ × 2 = س (8-2) = × 6

2 7 ÷ 2 6 = 2 (7-6) = 2 1 أو 2

× 8 ÷ × 8 = س (8-8) = × 0 = 1 (أي رقم باستثناء 0 للقوة 0 هي 1)
2 0 = 1 (-7) 0 = 1 م 0 = 1

رفع القوة إلى قوة: تتضاعف الأس وابقاء على نفس الأساس.
(× 4) 5 = س (4 • 5) = × 20
(2 4 ) 3 = 2 (4•3) = 2 12

رفع منتج إلى قوة : ارفع كل عامل للقوة.
(س ص) 5 = س 5 ص 5 (5 ك 2) 3 = (5) 3 (ك 2) 3 = 125 ك 6 5 3 = 125 و (ل 2) 3 = ل (2 * 3) = ل 6


قواعد الدعاة أو قوانين الدعاة

في هذه الدروس ، سنتعلم خمس قواعد للأس وكيفية استخدامها لتبسيط التعابير.

يتم تلخيص بعض قواعد الدعاة أو قوانين الدعاة في الجدول التالي. قم بالتمرير لأسفل الصفحة للحصول على أمثلة وحلول حول كيفية استخدام قواعد الأسس.

الضرب أو قاعدة المنتج:
لمضاعفة الأسس بنفس الأساس ، احتفظ بالأساس كما هو واجمع الأسس.

قاعدة القسمة أو الحاصل:
لقسمة القوى التي لها نفس الأساس ، احتفظ بالأساس كما هو واطرح الأسس.

قوة قاعدة القوة:
عندما يكون للقوة أس ، احتفظ بالأساس كما هو واضرب الأسس.

سننظر الآن في عمليات الضرب والقسمة المجمعة على الأرقام في صورة الأس ، باستخدام جميع قواعد الأس التي تم تقديمها أعلاه.

مثال:
بسّط العبارات التالية ، واكتب إجاباتك بصيغة الأس:

كيفية تبسيط التعابير باستخدام قاعدة حاصل الضرب للأسس؟
تنص قاعدة حاصل الضرب في الأسس على أنه لمضاعفة الحدود الأسية ذات الأساس نفسه ، اجمع الأسس.

مثال:
اكتب كلًا من المنتجات التالية باستخدام قاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

كيفية تبسيط التعابير باستخدام قاعدة حاصل الأسس؟
تنص قاعدة خارج القسمة للأسس على أنه لقسمة الحدود الأسية ذات الأساس نفسه ، اطرح الأسس.

مثال:
اكتب كلًا من المنتجات التالية باستخدام قاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

كيفية تبسيط التعابير باستخدام قاعدة القوة للأسس؟

مثال:
اكتب كلًا من المنتجات التالية باستخدام قاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

كيفية تبسيط التعابير باستخدام قوة قاعدة حاصل الضرب للأسس؟

مثال:
بسّط كل تعبير.

مثال:
بسّط التعبيرات التالية:
أ) (× 2/2) 4
ب) (4 ن 6) 2

كيفية تبسيط التعابير باستخدام قوة قاعدة حاصل الأسس؟

مثال:
بسّط كل تعبير.

كيف يمكن تبسيط التعابير باستخدام قواعد حاصل القسمة والصفرية؟

مثال:
بسّط كل تعبير باستخدام قاعدة الأس الصفرية. افترض أن جميع المتغيرات ليست صفرية.

كيف يمكن تبسيط التعابير باستخدام قاعدتي القسمة والسالب؟

مثال:
اكتب كل حاصل قسمة باستخدام أساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب كل الإجابات بأسس موجبة.

كيف يمكن تبسيط التعبيرات باستخدام قواعد الضرب والحاصل والصفري للأسس؟

مثال:
اكتب كل تعبير باستخدام أساس واحد. لا تبسط أكثر. اكتب كل الإجابات بأسس موجبة.

البرنامج التعليمي لقواعد الأس الأساسية

الضرب ، القسمة ، قوة القوة

تعلم قواعد الأس من خلال الموسيقى والأغاني

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


5 أفكار لتعليم الدعاة

عندما قمت بتدريس خواص الدعاة في الجبر ، كان ذلك دائمًا نسمة من الهواء النقي من موضوعاتنا الأخرى. لقد علمتهم كتابة المعادلات وحل الأنظمة وكان هناك الكثير من الرسوم البيانية. عندما وصلنا إلى خصائص الأسس ، لم يكن عليهم رسم بياني ولم يكن هناك الكثير من "الكتابة".

يعد تبسيط التعبيرات الأسية أيضًا وحدة ممتعة للتدريس! أحب استخدام الكثير من الأنشطة خلال هذه الوحدة ، بدلاً من الواجبات المنزلية. نظرًا لأن هذه الأنواع من المشكلات عادةً لا تتطلب الكثير من العمل لعرضها ، إذا ارتكب الطالب خطأً فلا يمكنه دائمًا معرفة السبب. إذا قام الطلاب بالعديد من الأنشطة في الفصل ، يمكنني ملاحظة الأخطاء والشرح على الفور.

تحقق من هذه الأفكار والنصائح لتعليم الأسس!

استخدم الألغاز - لقد طورت مؤخرًا حبًا جديدًا لأنشطة الألغاز. يمكن للطلاب توجيه طفلهم الداخلي وتجميع اللغز أثناء العمل على مهارات الأس. يمكنك نسخها على البطاقات وإعادة استخدامها كل عام ، ويمكنك أن تجعل الطلاب يقطعونها ويضعونها في دفاترهم التفاعلية ، أو يمكنك حتى أن تجعل الطلاب يلصقون الألغاز معًا ويعلقونها على الحائط! إنها نشاط يوم فرعي رائع لأن الطلاب يمكنهم العمل بشكل مستقل إلى حد ما وهم يقومون بتصحيح أنفسهم. هذا اللغز من خصائص Exponents Square Puzzle هو لغز يمكن وضعه في دفتر ملاحظات تفاعلي أو يمكن استخدامه كنشاط لمراكز التعلم. أحب استخدام هذا اللغز المبسط لمطابقة الأسس للطلاب الذين يعانون لأنهم يستطيعون مطابقة الإجابات. إذا كنت تريد لغزًا أكثر تحديًا ، فقد تكون خصائص الأس مع Tarsia ذات الأسس السلبية مجرد تذكرة!

شنق المراجع - يعد استخدام الملصقات وجدران الكلمات طريقة رائعة لمساعدة الطلاب على تذكر خصائص الأسس. إذا نسي الطلاب إحدى القواعد ، يصبح كل شيء في حالة من الفوضى. عندما تقوم بتعليق المراجع ، فإن ذلك يجعل ممارسة الطلاب بشكل صحيح أسهل بكثير. تتميز خصائص ملصقات الأسس هذه بالسرعة والسهولة في الطباعة والتعليق في الفصل الدراسي الخاص بك. يعد نشاط خصائص كتاب الرياضيات هذا طريقة ممتعة لجعل الطلاب يمارسون المسائل ثم يمكنك تعليقها للرجوع إليها لاحقًا. يعد نشاط علم الرياضيات الممتع هذا طريقة رائعة أخرى لعرض المراجع وعمل الطلاب. إذا كنت ترغب في منح الطلاب مرجعهم الخاص ، فإن إشارة مرجعية لقواعد الأس هذه تعد خيارًا رائعًا.

استخدم دفاتر ملاحظات تفاعلية - يفضل طلابي بشدة دفاتر ملاحظاتهم التفاعلية على تدوين الملاحظات "بالطريقة المعتادة". يساعدني الحصول على الأشياء المطبوعة مسبقًا على ضمان نسخ المشكلات بشكل صحيح. يحب طلابي عندما أمنحهم ملفات قابلة للطي لتنظيم المعلومات. في صفحات دفتر الملاحظات التفاعلي هذه ، أحب صفحة INB التي استخدمتها والتي تشرح تعريف الأس. هذا الدرس القابل للطي لقواعد الأس ينظم كل شيء في مكان واحد وينتهي ببطاقة خروج. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التخطيط ، فإن وحدة الدفاتر التفاعلية من شركة Exponents تعتني بكل شيء نيابة عنك! أحب قواعد الأس هذه التي تبسط التعبيرات لونًا برقم لنشاط في دفتر ملاحظات تفاعلي.

تخلص من المفاهيم الخاطئة مبكرًا - مع أي موضوع ، من الأفضل توضيح المفاهيم الخاطئة في أقرب وقت ممكن. في منشور المدونة ، المفاهيم الخاطئة للرياضيات: الأسس الصفرية والسلبية ، يوجد شرح رائع حول استخدام جدول لمساعدة الطلاب على تذكر القواعد المتعلقة بالأسس الصفرية والسلبية. أيضًا ، تعتبر هذه النصائح لتعليم قواعد الأُس قراءة رائعة.

دع الطلاب يعملون معًا - من الممتع دائمًا العمل مع شريك! لن أكذب ، أنا أحب عندما نبدأ العمل في مجموعات أثناء الخدمة. يعجبني عندما يتحدث الطلاب في الرياضيات ويحبون العمل معًا. أوراق عمل الشريك مثل ورقة عمل الشريك المبسط وأي نوع من المحطات مثل خصائص مطاردة Exponents Scavenger Hunt هذه دائمًا ما تكون ناجحة في فصولي. لشيء مختلف تمامًا ، فإن نشاط قوانين الأسس باتل ماي ماثشيب هو تدور ممتع على لعبة البارجة القديمة! تعتبر لعبة خط الأعداد السلبي الممتعة هذه طريقة ممتعة أخرى للطلاب للعمل معًا. ستكون بطاقات مهام قواعد الأس هذه أيضًا طريقة ممتعة للطلاب للتدرب عليها معًا!

إذا كنت ترغب في رؤية المزيد من الأفكار حول خصائص الأس ، فقد ترغب في التحقق من هذا المنشور مع 16 نشاطًا لقاعدة الأس!


Lane ORCCA (2020-2021): المصادر المفتوحة لجبر كلية المجتمع

في هذا القسم ، سنلقي نظرة على بعض القواعد أو الخصائص التي نستخدمها عند تبسيط التعبيرات التي تتضمن الضرب والأسس.

القسم الفرعي 6.1.1 أساسيات الأس

قبل أن نناقش أي قواعد أسية ، نحتاج إلى تذكير أنفسنا بسرعة ببعض المفاهيم والمفردات المهمة.

عند التعامل مع التعبيرات ذات الأسس ، لدينا المفردات التالية:

على سبيل المثال ، عندما نحسب (8 ^ <2> = 64 نص <،> ) يكون (8 نص <،> ) هو (2 نص <،> ) والتعبير (8 ^ <2> ) يسمى الثاني من 8.

المفهوم التأسيسي الآخر هو أنه إذا كان الأس عددًا صحيحًا موجبًا ، فيمكن إعادة كتابة الأس كضرب متكرر للقاعدة. على سبيل المثال ، يمكن كتابة القوة الرابعة لـ (3 ) كـ (4 ) عوامل (3 ) مثل:

القسم الفرعي 6.1.2 قواعد الأس

سيادة المنتج.

إذا كتبنا (3 ^ 5 cdot 3 ^ 2 ) بدون استخدام الأس ، سيكون لدينا:

إذا قمنا بعد ذلك بحساب عدد (3 ) s التي يتم ضربها معًا ، فسنجد أن لدينا (5 + 2 = 7 نص <،> ) ما مجموعه سبعة (3 ) ثانية.

مثال 6.1.1.

لتبسيط (x ^ 2 cdot x ^ 3 text <،> ) نكتب هذا في شكله الموسع ، كمنتج لـ (x ) ، لدينا

لاحظ أننا حصلنا على الأس (5 ) بإضافة (2 ) و (3 نص <.> )

هذه هي القاعدة الأولى لدينا ، وهي: عند ضرب مقدارين لهما نفس الأساس ، يمكننا تبسيط حاصل الضرب بإضافة الأسس.

نقطة تفتيش 6.1.2.
القوة لقاعدة القوة.

القاعدة الثانية هي امتداد للقاعدة الأولى. إذا كتبنا ( left (3 ^ 5 right) ^ 2 ) بدون استخدام الأس ، فسنضرب (3 ^ 5 ) في نفسه:

إذا عدنا مرة أخرى عدد (3 ) s التي يتم ضربها ، فلدينا إجمالي مجموعتين لكل منهما خمسة (3 ) ثانية. لذلك سيكون لدينا (2 cdot 5 = 10 ) مثيلات (3 نص <.> )

مثال 6.1.3.

لتبسيط ( left (x ^ 2 right) ^ 3 text <،> ) نكتب هذا في شكله الموسع ، كمنتج لـ (x ) 's ، لدينا

لاحظ أننا حصلنا على الأس (6 ) بضرب (2 ) و (3 نص <.> )

لدينا القاعدة الثانية ، وهي: عندما يرتفع الأساس إلى أس ويرفع هذا التعبير إلى أس آخر ، نضرب الأسس.

نقطة تفتيش 6.1.4.
المنتج إلى قاعدة القوة.

تتعامل قاعدة الأس الثالثة مع وجود عملية ضرب داخل مجموعة من الأقواس وأس خارجها. إذا كتبنا ( left (3t right) ^ 5 ) بدون استخدام الأس ، فسنضرب (3t ) في نفسه خمس مرات:

مع الأخذ في الاعتبار أن هناك عملية ضرب بين كل (3 ) و (تي ) وضرب بين جميع الأقواس ، يمكننا إعادة ترتيب العوامل وإعادة تجميعها:

طبقنا الأس الخارجي بشكل أساسي على كل عامل داخل الأقواس.

مثال 6.1.5.

لتبسيط ((xy) ^ 5 text <،> ) نكتب هذا في شكله الموسع ، كمنتج لـ (x ) 's و (y ) ، لدينا

لاحظ أنه يمكن ببساطة تطبيق الأس على (xy ) على كل من (x ) و (y text <.> )

هذه هي القاعدة الثالثة ، وهي: عندما يرتفع حاصل الضرب إلى الأس ، يمكننا تطبيق الأس على كل عامل في حاصل الضرب.

نقطة تفتيش 6.1.6.

إذا كان (a ) و (b ) أرقامًا حقيقية ، و (n ) و (m ) أعداد صحيحة موجبة ، إذن لدينا القواعد التالية:

(displaystyle (ab) ^ = أ ^ cdot ب ^)

سنصادف العديد من الأمثلة التي ستستخدم أكثر من قاعدة أس واحدة. عند تحديد قاعدة الأس التي يجب التعامل معها أولاً ، من المهم أن تتذكر أن ترتيب العمليات لا يزال ساريًا.

مثال 6.1.8.

بسّط التعابير التالية.

( displaystyle left (t ^ 3 right) ^ 2 cdot left (t ^ 4 right) ^ 5 )

نظرًا لأنه لا يمكننا تبسيط أي شيء داخل الأقواس ، فسنبدأ في تبسيط هذا المقدار باستخدام حاصل الضرب في قاعدة الأس. سنطبق الأس الخارجي لـ 4 على كل عامل داخل الأقواس. ثم سنستخدم الأس لقاعدة القوة لإنهاء عملية التبسيط:

وفقًا لترتيب العمليات ، علينا أولًا تبسيط أي أسس قبل القيام بأي عملية ضرب. لذلك ، سنبدأ في تبسيط ذلك بتطبيق الأس على قاعدة أس ثم ننتهي من استخدام قاعدة حاصل الضرب:

ملاحظة 6.1.9.

لا يمكننا تبسيط تعبير مثل (x ^ 2y ^ 3 ) باستخدام قاعدة الضرب ، لأن العوامل (x ^ 2 ) و (y ^ 3 ) ليس لهما نفس الأساس.

القسم الفرعي 6.1.3 قواعد الأسس والتبسيط

في هذا القسم ، سنستمر في استخدام هذه القواعد لتبسيط التعبيرات. في بعض الأحيان ، يطبق الطلاب "قواعد" الأسس بشكل غير صحيح حيث أخطأوا في تذكر القاعدة الفعلية. دعونا نلخص ما يمكننا وما لا نستطيع فعله.

عندما نجمع / نطرح تعبيرين ، يمكننا فقط الجمع مثل مصطلحات. فمثلا:

ومع ذلك ، يمكننا ضرب مقدارين بغض النظر عما إذا كانا متشابهين أم لا. فمثلا:

عندما نجمع الحدود المتشابهة التي لها متغير ، لا يتغير الأس ، كما في (x ^ 2 + x ^ 2 = 2x ^ 2 text <.> )

عندما نضرب قوى متغير يستخدم نفس المتغير ، الأس إرادة التغيير ، كما في ((x ^ 2) (x ^ 2) = x ^ 4 text <.> )

نحن لا تستطيع اجمع "على عكس المصطلحات" ، لأن شيئًا مثل (x ^ 2 + x ) مبسط قدر الإمكان.

نحن تستطيع اضرب القوى بأسس مختلفة ، كما في ((x ^ 2) (x) = x ^ 3 text <.> )

تختبر الأمثلة القليلة التالية فهمك لهذه المفاهيم.

مثال 6.1.10.

بسّط التعابير التالية باستخدام قواعد الأسس وخاصية التوزيع.


شاهد الفيديو: قوانين الأسس - الصف الثامن (شهر نوفمبر 2021).