مقالات

8: تحويلات لابلاس - الرياضيات


في هذا الفصل ، ندرس طريقة تحويل لابلاس ، والتي توضح إحدى تقنيات حل المشكلات الأساسية في الرياضيات: تحويل مشكلة صعبة إلى مشكلة أسهل ، وحل الثانية ، ثم استخدام حلها للحصول على حل للمشكلة الأصلية. هذا صحيح بشكل خاص في المشاكل الجسدية التي تتعامل مع وظائف التأثير غير المستمرة.


8: تحويلات لابلاس - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة والتي يعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


8: تحويلات لابلاس - الرياضيات

حان الوقت الآن للعودة إلى المعادلات التفاضلية. لقد أمضينا الأقسام الثلاثة الأخيرة في تعلم كيفية إجراء تحويلات لابلاس وكيفية إجراء تحويلات لابلاس المعكوسة. ستكون هذه مهارات لا تقدر بثمن في القسمين المقبلين ، لذا لا تنس ما تعلمناه هناك.

قبل الشروع في المعادلات التفاضلية ، سنحتاج إلى صيغة أخرى. سنحتاج إلى معرفة كيفية أخذ تحويل لابلاس لمشتق. تذكر أولاً أن (f ^ <(n)> ) يشير إلى (n ^ < mbox> ) مشتق من الوظيفة (f ). لدينا الآن الحقيقة التالية.

افترض أن (f ) ، (f ') ، (f' ') ، ... (f ^ <(n-1)> ) كلها وظائف مستمرة و (f ^ <(n) > ) هي دالة متعددة التعريف. ثم،

[ رياضيات اليسار <<>> حق > = F يسار (s يمين) - <>> f يسار (0 يمين) - <>> f ' يسار (0 يمين) - cdots - s يمين) >> يسار (0 يمين) - يمين) >> يسار (0 يمين) ]

نظرًا لأننا سنتعامل مع معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية ، فسيكون من المناسب الحصول على تحويل لابلاس للمشتقتين الأولين.

[يبدأ رياضيات اليسار < right > & = sY left (s right) - y left (0 right) mathcal اليسار < حق > & = Y left (s right) - sy left (0 right) - y left (0 right) end]

لاحظ أن تقييمات الدالتين اللتين تظهران في هذه الصيغ ، (y left (0 right) ) و (y ' left (0 right) ) ، غالبًا ما نستخدمهما للشرط الأولي في IVP's. لذلك ، هذا يعني أنه إذا أردنا استخدام هذه الصيغ لحل IVP ، فسنحتاج إلى شروط أولية عند (t = 0 ).

في حين أن تحويلات لابلاس مفيدة بشكل خاص للمعادلات التفاضلية غير المتجانسة التي لها وظائف Heaviside في وظيفة التأثير ، سنبدأ ببعض المشاكل البسيطة إلى حد ما لتوضيح كيفية عمل العملية.

تتمثل الخطوة الأولى في استخدام تحويلات لابلاس في حل IVP في إجراء تحويل كل مصطلح في المعادلة التفاضلية.

[ رياضيات اليسار < صحيح > - 10 رياضيات اليسار < حق > + 9 رياضيات يسار = رياضيات يسار <<5t> يمين > ]

يمنحنا استخدام الصيغ المناسبة من جدول تحويلات لابلاس ما يلي.

[Y left (s right) - sy left (0 right) - y ' left (0 right) - 10 left ( right) + 9Y left (s right) = frac <5> <<>>]

أدخل الشروط الأولية واجمع كل المصطلحات التي تحتوي على (Y (s) ) فيها.

[ يسار (<- 10 ث + 9> يمين) ص يسار (ق يمين) + ث - 12 = فارك <5> <<>>]

في هذه المرحلة ، من المناسب أن نتذكر فقط ما نحاول القيام به. نحن نحاول إيجاد الحل ، (y (t) ) ، إلى IVP. ما تمكنا من إيجاده في هذه المرحلة ليس هو الحل ، ولكن تحويل لابلاس الخاص به. لذا ، لإيجاد الحل ، كل ما علينا فعله هو أخذ التحويل العكسي.

قبل القيام بذلك ، دعنا نلاحظ أنه في شكله الحالي سيتعين علينا عمل كسور جزئية مرتين. ومع ذلك ، إذا قمنا بدمج الحدين لأعلى ، فسنقوم بعمل كسور جزئية مرة واحدة فقط. ليس هذا فقط ، ولكن مقام المصطلح المشترك سيكون مطابقًا لمقام المصطلح الأول. هذا يعني أننا سنقوم بتقسيم كسر جزئي إلى حد بهذا المقام بغض النظر عن السبب ، لذا قد نجعل البسط أكثر فوضوية قليلاً ثم مجرد كسر جزئي مرة واحدة.

هذه واحدة من تلك الأشياء حيث يبدو أننا نجعل المشكلة أكثر فوضوية ، ولكن في هذه العملية سنوفر على أنفسنا قدرًا لا بأس به من العمل!

الجمع بين المصطلحين يعطي ،

التحلل الجزئي لهذا التحويل هو ،

تعيين البسط يساوي يعطي ،

[5 + 12 - = As يسار ( يمين شمال( يمين) + ب يسار ( يمين شمال( يمين) + جمتبقى( يمين) + دمتبقى( حق)]

اختيار القيم المناسبة لـ (s ) وحل الثوابت يعطي ،

توصيل الثوابت يعطي ،

أخيرًا ، يمنحنا أخذ التحويل العكسي الحل لـ IVP.

كان هذا قدرًا لا بأس به من العمل لمشكلة ربما كان من الممكن حلها بشكل أسرع باستخدام تقنيات الفصل السابق. ومع ذلك ، كان الهدف من هذه المشكلة هو إظهار كيف يمكننا استخدام تحويلات لابلاس لحل IVP.

هناك بعض الأشياء التي يجب ملاحظتها هنا حول استخدام تحويلات لابلاس لحل IVP. أولاً ، يؤدي استخدام تحويلات لابلاس إلى تقليل المعادلة التفاضلية إلى مشكلة الجبر. في حالة المثال الأخير ، ربما كان الجبر أكثر تعقيدًا من النهج المباشر للأمام من الفصل الأخير. ومع ذلك ، سيتم عكس هذا في المشاكل اللاحقة. الجبر ، رغم أنه لا يزال فوضويًا للغاية ، غالبًا ما يكون أسهل من نهج مستقيم للأمام.

ثانيًا ، على عكس الطريقة الموضحة في الفصل الأخير ، لم نكن بحاجة أولًا إلى إيجاد حل عام ، واشتقاقه ، والتعويض عن الشروط الأولية ، ثم حل الثوابت للحصول على الحل. مع تحويلات لابلاس ، يتم تطبيق الشروط الأولية أثناء الخطوة الأولى وفي النهاية نحصل على الحل الفعلي بدلاً من الحل العام.

في العديد من المشاكل اللاحقة ، ستجعل تحويلات لابلاس المشاكل أسهل بكثير مما لو كنا قد اتبعنا النهج المباشر للأمام في الفصل الأخير. أيضًا ، كما سنرى ، هناك بعض المعادلات التفاضلية التي لا يمكن إجراؤها باستخدام تقنيات الفصل الأخير ، وبالتالي ، في هذه الحالات ، ستكون تحويلات لابلاس هي الحل الوحيد لدينا.

دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى بسيطة إلى حد ما.

كما هو الحال مع المثال الأول ، دعنا أولاً نأخذ تحويل لابلاس لجميع المصطلحات في المعادلة التفاضلية. سنقوم بتوصيل الشروط الأولية للحصول على ،

[يبدأ2 يسار (<Y left (s right) - sy left (0 right) - y ' left (0 right)> right) + 3 left ( يمين) - 2Y left (s right) & = frac <1> <<<< left ( right)> ^ 2 >>> left (<2+ 3s - 2> right) Y left (s right) + 4 & = frac <1> <<<< left ( right)> ^ 2 >>> end]

الآن ، كما فعلنا في المثال الأخير ، سنمضي قدمًا ونجمع الحدين معًا حيث سيتعين علينا كسر جزء جزئي في المقام الأول على أي حال ، لذلك يمكننا أيضًا أن نجعل البسط أكثر تعقيدًا ونقوم بعمل واحد فقط كسر جزئي. هذا سوف يعطي ،

ثم يكون التحلل الجزئي للكسر ،

ضبط البسط يساوي ،

في هذه الحالة ، ربما يكون من الأسهل فقط تعيين معاملات متساوية وحل نظام المعادلة الناتج بدلاً من اختيار قيم (s ). إذن ، ها هو النظام والحل الخاص به.

[متبقى. < تبدأ& : & A + 2B & = 0 & : & 6A + 7B + 2C & = - 4 & : & 12A + 4B + 3C + 2D & = - 16 & : & 8A - 4B - 2C - D & = - 15 end> right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> startA & = - frac <<192>> <<125>> & B & = frac <<96>> <<125>> C & = - frac <2> <<25>> & D & = - frac <1> <5> end]

سنحصل على مقام مشترك هو 125 في كل هذه المعاملات ونحلل ذلك عندما نعوضهم مرة أخرى في التحويل. القيام بهذا يعطي ،

لاحظ أنه كان علينا أيضًا أن نخرج 2 من مقام المصطلح الأول ونصلح بسط المصطلح الأخير من أجل جعلهم يتطابقون مع المدخلات الصحيحة في جدول التحويلات.

أخذ التحويل العكسي يعطي ،

خذ تحويل لابلاس لكل شيء وقم بتوصيل الشروط الأولية.

[يبدأص يسار (ق يمين) - سي يسار (0 يمين) - ص يسار (0 يمين) - 6 يسار ( right) + 15Y left (s right) & = 2 frac <3> <<+ 9 >> يسار (<- 6 s + 15> right) Y left (s right) + s - 2 & = frac <6> <<+ 9 >> نهاية]

الآن حل من أجل (Y (s) ) وادمجها في مصطلح واحد كما فعلنا في المثالين السابقين.

[Y left (s right) = frac << - + 2 - 9 ث + 24 >> << يسار (<+ 9> يمين) يسار (<- 6 s + 15> right) >> ]

الآن ، قم بعمل الكسور الجزئية على هذا. أولاً ، دعنا نحصل على التحلل الجزئي للكسر.

الآن ، تعيين البسط على قدم المساواة يعطي ،

وضع المعامِلات متساوية وحل الثوابت يعطي ،

[متبقى. يبدأ& : & A + C & = - 1 & : & - 6A + B + D & = 2 & : & 15A - 6B + 9C & = - 9 & : & 15B + 9D & = 24 النهاية right > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> start A & = frac <1> <<10>> & B & = frac <1> <<10>> C & = - frac <<11>> <<10>> & D & = frac <5> <2> end]

الآن ، عوض بها في التحليل ، أكمل المربع الموجود في مقام الحد الثاني ، ثم أصلح البسط لعملية التحويل العكسي.

أخيرًا ، خذ التحويل العكسي.

إلى هذه النقطة ، نظرنا فقط في IVP حيث كانت القيم الأولية عند (t = 0 ). هذا لأننا نحتاج إلى أن تكون القيم الأولية عند هذه النقطة لأخذ تحويل لابلاس للمشتقات. تكمن المشكلة في كل هذا في وجود IVP في العالم لها قيم أولية في أماكن أخرى غير (t = 0 ). لن تكون تحويلات لابلاس مفيدة كما لو لم نتمكن من استخدامها في هذه الأنواع من IVP. لذلك ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على مثال لا تكون فيه الشروط الأولية عند (t = 0 ) من أجل معرفة كيفية التعامل مع هذه الأنواع من المشاكل.

أول شيء يتعين علينا القيام به هنا هو الاهتمام بحقيقة أن الشروط الأولية ليست عند (t = 0 ). الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها أخذ تحويل لابلاس للمشتقات هي الحصول على الشروط الأولية عند (t = 0 ).

هذا يعني أننا سنحتاج إلى صياغة IVP بطريقة تكون الشروط الأولية عند (t = 0 ). هذا في الواقع بسيط إلى حد ما ، لكننا سنحتاج إلى إجراء تغيير في المتغير لجعله يعمل. سوف نحدد

[ eta = t - 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، t = eta + 3 ]

لنبدأ بالمعادلة التفاضلية الأصلية.

[y '' left (t right) + 4y ' left (t right) = cos left ( يمين) + 4 طن ]

لاحظ أننا وضعنا الجزء ( left (t right) ) في المشتقات للتأكد من أننا نصحح الأمور هنا. سنقوم بعد ذلك باستبدال (t ).

[y '' left (< eta + 3> right) + 4y ' left (< eta + 3> right) = cos left ( eta right) + 4 left (< إيتا + 3> يمين) ]

الآن ، لتبسيط الحياة قليلاً ، دعنا نحدد ،

[u left ( eta right) = y left (< eta + 3> right) ]

بعد ذلك ، وفقًا لقاعدة السلسلة ، نحصل على ما يلي للمشتقة الأولى.

بحجة مماثلة نحصل على ما يلي للمشتق الثاني.

[u '' left ( eta right) = y '' left (< eta + 3> right) ]

الشروط الأولية لـ (u left ( eta right) ) هي ،

[يبدأu left (0 right) & = y left (<0 + 3> right) = y left (3 right) = 0 u ' left (0 right) & = y' left (<0 + 3> right) = y ' left (3 right) = 7 end]

عندئذٍ يكون IVP تحت هذه المتغيرات الجديدة ،

[u '' + 4u '= cos left ( eta right) + 4 eta + 12، hspace <0.25in> u left (0 right) = 0 ، ، ، ، ، ، ، ، ش يسار (0 يمين) = 7 ]

هذا هو IVP الذي يمكننا استخدام تحويلات لابلاس عليه بشرط أن نستبدل جميع (t ) 's في طاولتنا بـ ( eta )' s. لذلك ، أخذ تحويل لابلاس لهذه المعادلة التفاضلية الجديدة والتعويض في الشروط الأولية الجديدة يعطي ،

لاحظ أنه على عكس الأمثلة السابقة ، لم نجمع كل المصطلحات بالكامل هذه المرة. لقد فعلنا هذا في جميع الأمثلة السابقة لأن مقام أحد الحدود كان هو المقام المشترك لجميع الحدود. لذلك ، عند الجمع ، كل ما فعلناه هو جعل البسط أكثر فوضوية وتقليل عدد الكسور الجزئية المطلوبة من اثنين إلى واحد. لاحظ أن جميع المصطلحات في هذا التحويل التي لها فقط صلاحيات (s ) في المقام تم دمجها لهذا السبب بالضبط.

ومع ذلك ، في هذا التحويل ، إذا جمعنا كلا الحدين المتبقيين في حد واحد ، فسيتبقى لنا مشكلة كسر جزئي متضمنة إلى حد ما. لذلك ، في هذه الحالة ، سيكون من الأسهل عمل الكسور الجزئية مرتين. لقد أجرينا العديد من مسائل الكسور الجزئية في هذا القسم والعديد من مشاكل الكسور الجزئية في القسمين السابقين من الأقسام ، لذلك سنترك لك تفاصيل الكسر الجزئي للتحقق منها. التقسيم الجزئي لكل من المصطلحات في التحويل يعطينا ما يلي.

يعطينا التعويض بهذه في التحويل ودمج الحدود المتشابهة

الآن ، أخذ التحويل العكسي سيعطي الحل لـ IVP الجديد الخاص بنا. لا تنس استخدام ( eta ) 's بدلاً من (t )' s!

ليس هذا هو الحل الذي نسعى إليه بالطبع. نحن بعد (ص (ر) ). ومع ذلك ، يمكننا الحصول على هذا من خلال ملاحظة ذلك

[y left (t right) = y left (< eta + 3> right) = u left ( eta right) = u left ( حق)]

لذا ، فإن حل IVP الأصلي هو ،

لذلك ، يمكننا الآن إجراء عمليات IVP التي لا تحتوي على شروط أولية في (t = 0 ). لقد رأينا أيضًا في المثال الأخير أنه ليس من الأفضل دائمًا دمج كل الحدود في مسألة كسر جزئي واحد كما فعلنا قبل هذا المثال.

كانت الأمثلة التي نجحت في هذا القسم ستكون بنفس السهولة ، إن لم تكن أسهل ، إذا استخدمنا تقنيات من الفصل السابق. تم عملهم هنا باستخدام تحويلات لابلاس لتوضيح التقنية والطريقة.


ماذا يفعل تحويل لابلاس؟

الفكرة الرئيسية وراء تحويل لابلاس هي أنه يمكننا حل معادلة (أو نظام معادلات) تحتوي على مصطلحات تفاضلية ومتكاملة عن طريق تحويل المعادلة إلى "ر- مسافة "إلى واحد في"س-space ". هذا يجعل حل المشكلة أسهل بكثير. تحدث أنواع المشاكل التي يكون فيها تحويل لابلاس لا يقدر بثمن في الإلكترونيات. يمكنك أخذ معاينة مسبقة في قسم تطبيقات لابلاس.

إذا لزم الأمر يمكننا العثور على معكوس تحويل لابلاس، مما يعطينا الحل مرة أخرى "ر-الفراغ".


اكتب المعادلات الفرعية للمعادلات التفاضلية التالية ومن ثم حلها.

مثال 1

`(dy) / (dt) + y = sin 3t` ، بالنظر إلى ذلك ذ = 0 عندما ر = 0.

أخذ تحويل لابلاس من كلا الجانبين يعطي:

حل ل ص وإيجاد تحلل الكسر الجزئي يعطي:

يؤدي استبدال القيم الملائمة لـ `s` إلى:

`s = -1` يعطي` 3 = 10A` ، مما يعطي `A = 3 / 10`.

`s = 0` يعطي` 3 = 9A + C` ، مما يعطي `C = 3 / 10`.

`s = 1` يعطي` 3 = 10A + 2B + 2C` ، ما يعطينا `B = -3 / 10`.

إيجاد تحويل لابلاس المعكوس يعطينا الحل لـ ذ ك وضيفة من ر:


محتويات

هذا هو الإدراك العددي للتحويل (2) الذي يأخذ الأصل $ f (t) $ ، $ 0 & lt t & lt infty $ ، إلى التحويل $ F (p) $ ، $ p = sigma + i tau $ ، وكذلك الانعكاس العددي لتحويل لابلاس ، أي التحديد العددي لـ $ f (t) $ من المعادلة التكاملية (2) أو من صيغة الانعكاس (4).

تنشأ الحاجة إلى تطبيق تحويل لابلاس العددي نتيجة لحقيقة أن جداول الأصول والتحويلات لا تغطي بأي حال من الأحوال جميع الحالات التي تحدث في الممارسة ، وأيضًا كنتيجة لحقيقة أن الأصل أو التحويل يتم التعبير عنه بشكل متكرر بواسطة الصيغ المعقدة للغاية وغير الملائمة للتطبيقات.

في حالة القيم الحقيقية لـ $ p $ ، يمكن اختزال الصيغة (2) ، وفقًا لافتراضات إضافية معينة ، إلى تكامل مع وزن Laguerre:

$ tag <6> F (p) = frac <1>

int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x $

لبعض $ s geq 0 $. في ظل ظروف معينة ، يتقلص تحويل لابلاس إلى التكامل (6) للمركب $ p $ (انظر [9]).

لحساب التكامل في (6) ، يمكن للمرء استخدام صيغة التربيع

$ tag <7> int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x almost sum _ 1 ^ A _ ^ <(> ق) فاي (س _ ^ <(> ق)) ، $

حيث المعامِلات $ A _ ^ <(> s) $ والنقاط $ x _ ^ <(> s) $ يتم اختياره بطريقة تجعل المساواة (7) لـ $ n $ الثابت دقيقة إما لجميع كثيرات الحدود من الدرجة $ leq 2 n - 1 $ أو لبعض أنظمة الوظائف المنطقية ، اعتمادًا على خصائص $ phi (x) $. المعاملات $ A _ ^ <(> s) $ والنقاط $ x _ تم حساب ^ <(> s) $ لهذه الصيغ التربيعية للعديد من قيم $ s $ (انظر [9] - [11]).

مشكلة قلب تحويل لابلاس ، كمشكلة إيجاد حل $ f (x) $ لمعادلة تكامل من النوع الأول (2) ، تتعلق بفئة من المشاكل غير المطروحة ويمكن حلها ، على وجه الخصوص ، عن طريق وسائل خوارزمية التنظيم.

يمكن أيضًا حل مشكلة الانعكاس العددي لتحويل لابلاس بطرق تعتمد على توسيع الأصل في سلسلة من الوظائف. هنا ، في المقام الأول ، يمكن للمرء تنفيذ توسعة في سلسلة الطاقة ، وسلسلة القدرة المعممة ، وسلسلة من الوظائف الأسية ، وكذلك سلسلة من الوظائف المتعامدة ، على وجه الخصوص ، في Chebyshev أو Legendre أو Jacobi أو Laguerre متعدد الحدود. تقلل مشكلة توسيع الأصل في سلسلة من متعدد حدود Chebyshev أو Legendre أو Jacobi في شكله النهائي إلى مشكلة اللحظات على فترة زمنية محدودة. لنفترض أن المرء يعرف تحويل لابلاس $ F (p) $ للوظيفة $ beta (t) f (t) $:

$ F (p) = int limits _ <0> ^ infty e ^ <-> pt beta (t) f (t) d t، $

حيث $ f (t) $ دالة غير معروفة و $ beta (t) $ دالة غير سالبة قابلة للتكامل على $ [0، infty] $. افترض أن $ f (t) $ قابل للتكامل على أي فترة زمنية محددة $ [0، T] $ وينتمي إلى الفئة $ L _ <2> ( beta (t)، [0، infty)) $. من التحويل $ F (p) $ of $ beta (t) f (t) $ يمكن إنشاء الدالة $ f (t) $ كسلسلة في متعددات حدود جاكوبي المتغيرة ، على وجه الخصوص ، في Legendre polynomials و Chebyshev متعدد الحدود من النوع الأول والثاني ، المعامِلات $ a _ التي يتم حسابها من الصيغة $

$ a _ = sum _ 0 ^ alpha _ ^ <(> ك) F (i) ، $

حيث $ alpha _ ^ <(> k) $ هي معاملات متعدد حدود Legendre المتحرك أو متعدد حدود Chebyshev من النوع الأول والثاني ، على التوالي ، مكتوبة بالصيغة $ sum _ 1 ^ ألفا _ ^ <(> ك) × ^ $ (انظر [4]).

لنفترض أن أحدهما حصل على تحويل لابلاس $ F (p) $ للدالة $ f (t) $ وأن $ f (t) $ يفي بالشرط

$ int limits _ <0> ^ infty e ^ <-> t t ^ lambda | و (ر) | ^ <2> d t & lt infty ، lambda & gt - 1. $

ثم يمكن توسيع $ f (t) $ في سلسلة من معمم لاجير متعدد الحدود ،

الذي يقترب من $ f (t) $ في المتوسط. المعاملات $ a _ يتم حساب $ لهذه السلسلة من الصيغة

هناك طريقة أخرى لعكس تحويل لابلاس وهي بناء صيغ تربيعية لتكامل الانعكاس (4).

يميل التحويل $ F (p) $ إلى الصفر إذا كانت النقطة $ p $ تميل إلى اللانهاية بطريقة تجعل $ mathop < rm Re> p $ يميل إلى اللانهاية. افترض أن $ F (p) $ يتناقص كثير الحدود ، أي ، $ F (p) $ يمكن التعبير عنه بالصيغة

$ F (p) = frac <1>

> phi (p) ، s & gt 0 ، $

بالنسبة للتكامل (8) ، تم إنشاء صيغة تربيع إقحام ، بناءً على استيفاء $ phi (p) $ بواسطة كثيرات الحدود في $ 1 / p $:

$ tag <9> f (t) = sum _ 0 ^ A _ ^ <(> ق) (ر) فاي (ف _ ) + R _ , $

حيث $ p _ $ هي نقاط الاستيفاء ، وهي عشوائية وتقع على يمين السطر $ mathop < rm Re> p = sigma _ $، $ R _ $ هو المدة المتبقية من الصيغة ، و

المعاملات $ a _ $ تعتمد فقط على النقاط المختارة $ p _ $ وبالنسبة لبعض طرق اختيارها (على وجه الخصوص ، بالنسبة للنقاط متساوية الأبعاد) تم حسابها (انظر [12]). تتمثل مشكلة التحقيق في تقارب صيغ التربيع في إيجاد العلاقات بين خصائص $ phi (p) $ والنقاط $ p _ $ الذي يمكن للمرء أن يتحقق من أن المصطلح المتبقي $ R _ يميل $ في (9) إلى الصفر. تم حل هذه المشكلة لبعض النقاط الملموسة $ p _ $ ولأصناف خاصة معينة من الوظائف $ phi (p) $ (انظر [13]).

بالنسبة للتكامل (4) ، يمكن للمرء إنشاء صيغ تربيعية بأعلى درجة من الدقة في فئة الوظائف المنطقية ذات الشكل الخاص. لكي لا تعتمد معلمات الصيغة على $ sigma _ $ و $ t $ ، يقوم المرء بتغيير المتغير $ p = sigma _ + z / t $. ثم يأخذ التكامل (4) الشكل

$ epsilon & gt 0، F ^ <*> (z) = F left ( frac + سيغما _ يمين) = F (ع). $

كما في السابق ، افترض أن $ F ^ <*> (z) = z ^ <-> s phi (z) $. من أجل حساب التكامل $ J (s) $ one ، يُنشئ صيغة التربيع

$ tag <10> J (s) almost sum _ 1 ^ A _ ^ <(> ق) فاي (ض _ ^ <(> ق)) ، $

والتي يجب أن تكون مطابقة لأي كثير حدود من الدرجة $ leq 2 n - 1 $ في $ 1 / z $. لهذا من الضروري والكافي أن تكون (10) صيغة استيفاء وأن النقاط $ z _ ^ <(> s) $ هي جذور نظام متعدد الحدود المتعامد $ omega _ ^ <(> ق) (1 / ض) $. أخيرًا ، يؤدي هذا الشرط إلى الصيغة

حيث $ z _ ^ <(> s) $ هي جذور كثيرات الحدود المتعامدة $ omega _ ^ <(> ق) (1 / ض) $. لكثيرات الحدود $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $ يُعرف التعبير الصريح ، بالإضافة إلى علاقة التكرار ، وهي معادلة تفاضلية تمثل الحلول لها ، ووظيفة توليد. بالنسبة لقيم خاصة معينة لـ $ s $ ، فقد تبين أن جذور كثيرات الحدود $ omega _ (1 / ض) $ تقع في النصف الأيمن من المستوى (انظر [13]). قيم النقاط والمعاملات $ A _ ^ <(> s) $ في (11) تم تقديمها في [12] لـ $ s = 1، 2، 3، 4، 5 $ n = 1 (1) 15 $ مع 20 منزلة عشرية صحيحة و $ s = 0.01 (0.01) 3 $ n = 1 (1) 10 $ مع 7-8 منازل عشرية صحيحة.


محتويات

هذا هو الإدراك العددي للتحويل (2) الذي يأخذ الأصل $ f (t) $ ، $ 0 & lt t & lt infty $ ، إلى التحويل $ F (p) $ ، $ p = sigma + i tau $ ، وكذلك الانعكاس العددي لتحويل لابلاس ، أي التحديد العددي لـ $ f (t) $ من المعادلة التكاملية (2) أو من صيغة الانعكاس (4).

تنشأ الحاجة إلى تطبيق تحويل لابلاس العددي نتيجة لحقيقة أن جداول الأصول والتحويلات لا تغطي بأي حال من الأحوال جميع الحالات التي تحدث في الممارسة ، وأيضًا كنتيجة لحقيقة أن الأصل أو التحويل يتم التعبير عنه بشكل متكرر بواسطة الصيغ المعقدة للغاية وغير الملائمة للتطبيقات.

في حالة القيم الحقيقية لـ $ p $ ، يمكن اختزال الصيغة (2) ، وفقًا لافتراضات إضافية معينة ، إلى تكامل مع وزن Laguerre:

$ tag <6> F (p) = frac <1>

int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x $

لبعض $ s geq 0 $. في ظل ظروف معينة ، يتقلص تحويل لابلاس إلى التكامل (6) للمركب $ p $ (انظر [9]).

لحساب التكامل في (6) ، يمكن للمرء استخدام صيغة التربيع

$ tag <7> int limits _ <0> ^ infty x ^ e ^ <-> x phi (x) d x almost sum _ 1 ^ A _ ^ <(> ق) فاي (س _ ^ <(> ق)) ، $

حيث المعامِلات $ A _ ^ <(> s) $ والنقاط $ x _ ^ <(> s) $ يتم اختياره بطريقة تجعل المساواة (7) لـ $ n $ الثابت دقيقة إما لجميع كثيرات الحدود من الدرجة $ leq 2 n - 1 $ أو لبعض أنظمة الوظائف المنطقية ، اعتمادًا على خصائص $ phi (x) $. المعاملات $ A _ ^ <(> s) $ والنقاط $ x _ تم حساب ^ <(> s) $ لهذه الصيغ التربيعية للعديد من قيم $ s $ (انظر [9] - [11]).

مشكلة قلب تحويل لابلاس ، كمشكلة إيجاد حل $ f (x) $ لمعادلة تكامل من النوع الأول (2) ، تتعلق بفئة من المشاكل غير المطروحة ويمكن حلها ، على وجه الخصوص ، عن طريق وسائل خوارزمية التنظيم.

يمكن أيضًا حل مشكلة الانعكاس العددي لتحويل لابلاس بطرق تعتمد على توسيع الأصل في سلسلة من الوظائف. هنا ، في المقام الأول ، يمكن للمرء تنفيذ توسعة في سلسلة الطاقة ، وسلسلة القدرة المعممة ، وسلسلة من الوظائف الأسية ، وكذلك سلسلة من الوظائف المتعامدة ، على وجه الخصوص ، في Chebyshev أو Legendre أو Jacobi أو Laguerre متعدد الحدود. تقلل مشكلة توسيع الأصل في سلسلة من متعدد حدود Chebyshev أو Legendre أو Jacobi في شكله النهائي إلى مشكلة اللحظات على فترة زمنية محدودة. لنفترض أن المرء يعرف تحويل لابلاس $ F (p) $ للوظيفة $ beta (t) f (t) $:

$ F (p) = int limits _ <0> ^ infty e ^ <-> pt beta (t) f (t) d t، $

حيث $ f (t) $ دالة غير معروفة و $ beta (t) $ دالة غير سالبة قابلة للتكامل على $ [0، infty] $. افترض أن $ f (t) $ قابل للتكامل على أي فترة زمنية محددة $ [0، T] $ وينتمي إلى الفئة $ L _ <2> ( beta (t)، [0، infty)) $. من التحويل $ F (p) $ of $ beta (t) f (t) $ يمكن إنشاء الدالة $ f (t) $ كسلسلة في متعددات حدود جاكوبي المتغيرة ، على وجه الخصوص ، في Legendre polynomials و Chebyshev متعدد الحدود من النوع الأول والثاني ، المعامِلات $ a _ التي يتم حسابها من الصيغة $

$ a _ = sum _ 0 ^ alpha _ ^ <(> ك) F (i) ، $

حيث $ alpha _ ^ <(> k) $ هي معاملات متعدد حدود Legendre المتحرك أو متعدد حدود Chebyshev من النوع الأول والثاني ، على التوالي ، مكتوبة بالصيغة $ sum _ 1 ^ ألفا _ ^ <(> ك) × ^ $ (انظر [4]).

لنفترض أن أحدهما حصل على تحويل لابلاس $ F (p) $ للدالة $ f (t) $ وأن $ f (t) $ يفي بالشرط

$ int limits _ <0> ^ infty e ^ <-> t t ^ lambda | و (ر) | ^ <2> d t & lt infty ، lambda & gt - 1. $

ثم يمكن توسيع $ f (t) $ في سلسلة من معمم لاجير متعدد الحدود ،

الذي يقترب من $ f (t) $ في المتوسط. المعاملات $ a _ يتم حساب $ لهذه السلسلة من الصيغة

هناك طريقة أخرى لعكس تحويل لابلاس وهي بناء صيغ تربيعية لتكامل الانعكاس (4).

يميل التحويل $ F (p) $ إلى الصفر إذا كانت النقطة $ p $ تميل إلى اللانهاية بطريقة تجعل $ mathop < rm Re> p $ يميل إلى اللانهاية. افترض أن $ F (p) $ يتناقص كثير الحدود ، أي ، $ F (p) $ يمكن التعبير عنه بالصيغة

$ F (p) = frac <1>

> phi (p) ، s & gt 0 ، $

بالنسبة للتكامل (8) ، تم إنشاء صيغة تربيع إقحام ، بناءً على استيفاء $ phi (p) $ بواسطة كثيرات الحدود في $ 1 / p $:

$ tag <9> f (t) = sum _ 0 ^ A _ ^ <(> ق) (ر) فاي (ف _ ) + R _ , $

حيث $ p _ $ هي نقاط الاستيفاء ، وهي عشوائية وتقع على يمين السطر $ mathop < rm Re> p = sigma _ $، $ R _ $ هو المدة المتبقية من الصيغة ، و

المعاملات $ a _ $ تعتمد فقط على النقاط المختارة $ p _ $ وبالنسبة لبعض طرق اختيارها (على وجه الخصوص ، بالنسبة للنقاط متساوية الأبعاد) تم حسابها (انظر [12]). تتمثل مشكلة التحقيق في تقارب صيغ التربيع في إيجاد العلاقات بين خصائص $ phi (p) $ والنقاط $ p _ $ الذي يمكن للمرء أن يتحقق من أن المصطلح المتبقي $ R _ يميل $ في (9) إلى الصفر. تم حل هذه المشكلة لبعض النقاط الملموسة $ p _ $ ولأصناف خاصة معينة من الوظائف $ phi (p) $ (انظر [13]).

بالنسبة للتكامل (4) ، يمكن للمرء إنشاء صيغ تربيعية بأعلى درجة من الدقة في فئة الوظائف المنطقية ذات الشكل الخاص. لكي لا تعتمد معاملات الصيغة على $ sigma _ $ و $ t $ ، يقوم المرء بتغيير المتغير $ p = sigma _ + z / t $. ثم يأخذ التكامل (4) الشكل

$ epsilon & gt 0، F ^ <*> (z) = F left ( frac + سيغما _ يمين) = F (ع). $

كما في السابق ، افترض أن $ F ^ <*> (z) = z ^ <-> s phi (z) $. من أجل حساب التكامل $ J (s) $ one ، يُنشئ صيغة التربيع

$ tag <10> J (s) almost sum _ 1 ^ A _ ^ <(> ق) فاي (ض _ ^ <(> ق)) ، $

والتي يجب أن تكون مطابقة لأي كثير حدود من الدرجة $ leq 2 n - 1 $ في $ 1 / z $. لهذا من الضروري والكافي أن تكون (10) صيغة استيفاء وأن النقاط $ z _ ^ <(> s) $ هي جذور نظام متعدد الحدود المتعامد $ omega _ ^ <(> ق) (1 / ض) $. أخيرًا ، يؤدي هذا الشرط إلى الصيغة

حيث $ z _ ^ <(> s) $ هي جذور كثيرات الحدود المتعامدة $ omega _ ^ <(> ق) (1 / ض) $. لكثيرات الحدود $ omega _ ^ <(> s) (1 / z) $ يُعرف التعبير الصريح ، بالإضافة إلى علاقة التكرار ، وهي معادلة تفاضلية تمثل الحلول لها ، ووظيفة توليد. بالنسبة لقيم خاصة معينة لـ $ s $ ، فقد تبين أن جذور كثيرات الحدود $ omega _ (1 / ض) $ تقع في النصف الأيمن من المستوى (انظر [13]). قيم النقاط والمعاملات $ A _ ^ <(> s) $ في (11) تم تقديمها في [12] لـ $ s = 1، 2، 3، 4، 5 $ n = 1 (1) 15 $ مع 20 منزلة عشرية صحيحة و $ s = 0.01 (0.01) 3 $ n = 1 (1) 10 $ مع 7-8 منازل عشرية صحيحة.


8: تحويلات لابلاس - الرياضيات

سننظر في هذا الفصل في كيفية استخدام تحويلات لابلاس لحل المعادلات التفاضلية. هناك العديد من أنواع التحولات الموجودة في العالم. من المحتمل أن تكون تحويلات لابلاس وتحويلات فورييه هما النوعان الرئيسيان من التحويلات المستخدمة. كما سنرى في الأقسام اللاحقة ، يمكننا استخدام تحويلات لابلاس لتقليل المعادلة التفاضلية إلى مسألة الجبر. قد يكون الجبر فوضويًا في بعض الأحيان ، ولكنه سيكون أبسط من حل المعادلة التفاضلية بشكل مباشر في كثير من الحالات. يمكن أيضًا استخدام تحويلات لابلاس لحل IVP التي لا يمكننا استخدام أي طريقة سابقة عليها.

بالنسبة للمعادلات التفاضلية "البسيطة" مثل تلك الموجودة في الأقسام القليلة الأولى من الفصل الأخير ، ستكون تحويلات لابلاس أكثر تعقيدًا مما نحتاج إليه. في الواقع ، بالنسبة لمعظم المعادلات التفاضلية المتجانسة مثل تلك الموجودة في الفصل الأخير ، تكون تحويلات لابلاس أطول بشكل ملحوظ وليست مفيدة. أيضًا ، العديد من المعادلات التفاضلية غير المتجانسة "البسيطة" التي رأيناها في المعاملات غير المحددة وتنوع المعلمات لا تزال أبسط (أو على الأقل ليست أكثر صعوبة من تحويلات لابلاس) للقيام بها كما فعلنا هناك. ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، بدأ مقدار العمل المطلوب لتحويلات لابلاس مساويًا لمقدار العمل الذي قمنا به في تلك الأقسام.

تأتي تحويلات لابلاس بمفردها عندما تبدأ وظيفة التأثير في المعادلة التفاضلية في التعقيد. في الفصل السابق ، نظرنا فقط في المعادلات التفاضلية غير المتجانسة التي كانت (g (t) ) دالة متواصلة بسيطة إلى حد ما. في هذا الفصل سنبدأ في النظر إلى (g (t) ) غير المستمرة. هذه هي المشاكل حيث تبدأ أسباب استخدام تحويلات لابلاس في الظهور.

سنرى أيضًا أنه بالنسبة لبعض المعادلات التفاضلية غير المتجانسة الأكثر تعقيدًا من الفصل الأخير ، فإن تحويلات لابلاس أسهل في حل هذه المشكلات أيضًا.

فيما يلي ملخص موجز للأقسام في هذا الفصل.

التعريف - في هذا القسم نقدم تعريف تحويل لابلاس. سنقوم أيضًا بحساب زوجين من تحويلات لابلاس باستخدام التعريف.

تحويلات لابلاس - في هذا القسم نقدم الطريقة التي نحسب بها عادةً تحويلات لابلاس التي تتجنب الحاجة إلى استخدام التعريف. نناقش جدول تحويلات لابلاس المستخدمة في هذه المادة ونعمل على مجموعة متنوعة من الأمثلة التي توضح استخدام جدول تحويلات لابلاس.

تحويلات لابلاس المعكوسة - في هذا القسم نطرح السؤال المقابل من القسم السابق. بعبارة أخرى ، بالنظر إلى تحويل لابلاس ، ما الوظيفة التي كانت لدينا في الأصل؟ نعمل مرة أخرى على مجموعة متنوعة من الأمثلة التي توضح كيفية استخدام جدول تحويلات لابلاس للقيام بذلك بالإضافة إلى بعض التلاعب في تحويل لابلاس المطلوب لاستخدام الجدول.

وظائف الخطوة - في هذا القسم نقدم وظيفة الخطوة أو وظيفة Heaviside. نوضح كيفية كتابة دالة متعددة التعريف بدوال وظائف Heaviside. We also work a variety of examples showing how to take Laplace transforms and inverse Laplace transforms that involve Heaviside functions. We also derive the formulas for taking the Laplace transform of functions which involve Heaviside functions.

Solving IVPs' with Laplace Transforms - In this section we will examine how to use Laplace transforms to solve IVP’s. The examples in this section are restricted to differential equations that could be solved without using Laplace transform. The advantage of starting out with this type of differential equation is that the work tends to be not as involved and we can always check our answers if we wish to.

Nonconstant Coefficient IVP’s – In this section we will give a brief overview of using Laplace transforms to solve some nonconstant coefficient IVP’s. We do not work a great many examples in this section. We only work a couple to illustrate how the process works with Laplace transforms.

IVP’s with Step Functions – This is the section where the reason for using Laplace transforms really becomes apparent. We will use Laplace transforms to solve IVP’s that contain Heaviside (or step) functions. Without Laplace transforms solving these would involve quite a bit of work. While we do work one of these examples without Laplace transforms, we do it only to show what would be involved if we did try to solve one of the examples without using Laplace transforms.

Dirac Delta Function – In this section we introduce the Dirac Delta function and derive the Laplace transform of the Dirac Delta function. We work a couple of examples of solving differential equations involving Dirac Delta functions and unlike problems with Heaviside functions our only real option for this kind of differential equation is to use Laplace transforms. We also give a nice relationship between Heaviside and Dirac Delta functions.

Convolution Integral – In this section we give a brief introduction to the convolution integral and how it can be used to take inverse Laplace transforms. We also illustrate its use in solving a differential equation in which the forcing function (بمعنى آخر. the term without any y’s in it) is not known.

Table of Laplace Transforms – This section is the table of Laplace Transforms that we’ll be using in the material. We give as wide a variety of Laplace transforms as possible including some that aren’t often given in tables of Laplace transforms.


8: Laplace Transforms - Mathematics

from Peter Young, MAJ MIL, USA USMA

Laplace Transforms

from Peter Young, MAJ MIL, USA USMA

Laplace Transforms

from Peter Young, MAJ MIL, USA USMA

Laplace Transforms

from math.fsu.edu

Transforms of Derivatives and Integrals Differential Equations

from lpsa.swarthmore.edu

Laplace Transform Applied to Differential Equations and Convolution

from ltcconline.net

Using the Laplace Transform to Solve Initial Value Problems

from math.oregonstate.edu

Roadmap for Solving First-Order ODE

from NDSU.edu

Laplace Transform – Solving Linear ODE

from Jiří Lebl

Differential Equations for Engineers


In practice, we do not need to actually find this infinite integral for each function F(ر) in order to find the Laplace Transform. There is a الطاولة of Laplace Transforms which we can use.

In this chapter, we deal only with the Laplace transform F(ر) ل F(س) (and the reverse process).

Also, we restrict ourselves to functions like

Unit step المهام: `f(t)=u(t)`, and

Ramp functions: `f(t)=t`.

We do not deal with impulse functions: `f(t) = &delta(t)`, since it is beyond the scope of this introduction to Laplace Transform.


شاهد الفيديو: Lecture 15 - Fourier Transform part1 (شهر نوفمبر 2021).