مقالات

1.2: المفاهيم الأساسية


أ المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتق واحد أو أكثر لدالة غير معروفة. ال طلب المعادلة التفاضلية هو ترتيب المشتق الأعلى الذي يحتوي عليه. المعادلة التفاضلية هي المعادلة التفاضلية العادية إذا كانت تتضمن دالة غير معروفة لمتغير واحد فقط ، أو a المعادلة التفاضلية الجزئية إذا كانت تتضمن مشتقات جزئية لدالة لأكثر من متغير واحد. في الوقت الحالي ، سننظر فقط في المعادلات التفاضلية العادية ، وسنسميها فقط المعادلات التفاضلية.

في هذا النص ، جميع المتغيرات والثوابت حقيقية ما لم ينص على خلاف ذلك. سنستخدم عادةً (x ) للمتغير المستقل ما لم يكن المتغير المستقل هو الوقت ؛ ثم سنستخدم (t ).

أبسط المعادلات التفاضلية هي معادلات من الدرجة الأولى بالصيغة

[{dy over dx} = f (x) nonumber ]

أو مكافئ

[y '= f (x)، nonumber ]

حيث (f ) دالة معروفة لـ (x ). نعلم بالفعل من حساب التفاضل والتكامل كيفية إيجاد الدوال التي تحقق هذا النوع من المعادلات. على سبيل المثال ، إذا

[y '= x ^ 3، nonumber ]

من ثم

[y = int x ^ 3 ، dx = {x ^ 4 over4} + c، nonumber ]

حيث (ج ) ثابت اعتباطي. إذا (n> 1 ) يمكننا إيجاد الدوال (y ) التي تحقق معادلات النموذج

[ label {eq: 1.2.1} y ^ {(n)} = f (x) ]

بالتكامل المتكرر. مرة أخرى ، هذه مشكلة في حساب التفاضل والتكامل.

باستثناء الأغراض التوضيحية في هذا القسم ، ليست هناك حاجة للنظر في المعادلات التفاضلية مثل المعادلة المرجع {eq: 1.2.1}. سننظر عادة في المعادلات التفاضلية التي يمكن كتابتها كـ

[ label {eq: 1.2.2} y ^ {(n)} = f (x، y، y '، dots، y ^ {(n-1)})، ]

حيث تظهر واحدة على الأقل من الدوال (y ) ، (y ') ، ... ، (y ^ {(n-1)} ) على اليمين. وهنا بعض الأمثلة:

start {array} {rcll} {dy over dx} -x ^ 2 & = & 0 & mbox {(first order)}، {dy over dx} + 2xy ^ 2 & = & - 2 & mbox {(first order)}، {d ^ 2y over dx ^ 2} +2 {dy over dx} + y & = & 2x & mbox {(الترتيب الثاني)}، xy '' '+ y ^ 2 & = & sin x & mbox {(الترتيب الثالث)}، y ^ {(n)} + xy '+ 3y & = & x & mbox {(n-th order)}. عدد نهاية {مجموعة}

على الرغم من عدم كتابة أي من هذه المعادلات كما في المعادلة المرجع {eq: 1.2.2} ، إلا أنها جميعًا علبة أن تكتب بهذا الشكل:

[ start {array} {rcl} y '& = & x ^ 2، y' & = & - 2-2xy ^ 2، y '' & = & 2x-2y'-y، y ' '' & = & dfrac { sin xy ^ 2} {x}، [4pt] y ^ {(n)} & = & x-xy'-3y. نهاية {مجموعة} غير رقم ]

حلول المعادلات التفاضلية

أ المحلول المعادلة التفاضلية هي دالة تحقق المعادلة التفاضلية في فترة مفتوحة ؛ وبالتالي ، (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.2} إذا كان (y ) (n ) مرات قابلة للتفاضل و

[y ^ {(n)} (x) = f (x، y (x)، y '(x)، dots، y ^ {(n-1)} (x)) nonumber ]

للجميع (س ) في بعض الفترات المفتوحة ((أ ، ب) ). في هذه الحالة ، نقول أيضًا أن (ص ) هو حل سو المعادلة المرجع {eq: 1.2.2} في ((أ ، ب) ). الدوال التي تحقق معادلة تفاضلية في نقاط منفصلة ليست مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، يرضي (y = x ^ 2 )

[xy '+ x ^ 2 = 3x nonumber ]

إذا وفقط إذا (س = 0 ) أو (س = 1 ) ، لكنها ليست حلاً لهذه المعادلة التفاضلية لأنها لا تفي بالمعادلة في فترة مفتوحة.

التمثيل البياني لحل المعادلة التفاضلية هو أ منحنى الحل. بشكل عام ، يُقال إن المنحنى (C ) هو منحنى متكامل من المعادلة التفاضلية إذا كانت كل دالة (y = y (x) ) يمثل رسمها البياني جزءًا من (C ) حلًا للمعادلة التفاضلية. وبالتالي ، فإن أي منحنى حل لمعادلة تفاضلية هو منحنى متكامل ، ولكن لا يلزم أن يكون منحنى متكامل منحنى حل.

مثال ( PageIndex {1} )

إذا كان (أ ) أي ثابت موجب ، فإن الدائرة

[ label {eq: 1.2.3} x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ]

هو منحنى متكامل لـ

[ label {eq: 1.2.4} y '= - {x over y}. ]

المحلول

لرؤية هذا ، لاحظ أن الدالات الوحيدة التي تكون رسومها البيانية عبارة عن مقاطع من المعادلة المرجع {eq: 1.2.3} هي

[y_1 = sqrt {a ^ 2-x ^ 2} quad text {and} quad y_2 = - sqrt {a ^ 2-x ^ 2}. nonumber ]

نترك الأمر لك للتحقق من أن هاتين الدالتين تفيان بالمعادلة المرجع {eq: 1.2.4} في الفاصل الزمني المفتوح ((- a، a) ). ومع ذلك ، فإن المعادلة ref {eq: 1.2.3} ليست منحنى حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.4} ، نظرًا لأنه ليس الرسم البياني للدالة.

مثال ( PageIndex {2} )

تحقق من أن

[ label {eq: 1.2.5} y = {x ^ 2 over3} + {1 over x} ]

هو حل

[ label {eq: 1.2.6} xy '+ y = x ^ 2 ]

على ((0، infty) ) وعلى ((- infty، 0) ).

المحلول

معادلة الاستبدال المرجع {eq: 1.2.5} و

[y '= {2x over3} - {1 over x ^ 2} nonumber ]

في المعادلة المرجع {eq: 1.2.6}

[xy '(x) + y (x) = x left ({2x over3} - {1 over x ^ 2} right) + left ({x ^ 2 over3} + {1 over x} right) = x ^ 2 nonumber ]

للجميع (x ne0 ). لذلك (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.6} في ((- infty ، 0) ) و ((0 ، infty) ). ومع ذلك ، لا يعد (y ) حلاً للمعادلة التفاضلية على أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على (x = 0 ) ، نظرًا لأن (y ) غير محدد عند (x = 0 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) الرسم البياني للمعادلة المرجع {eq: 1.2.5}. جزء الرسم البياني للمعادلة المرجع {eq: 1.2.5} في ((0، infty) ) هو منحنى حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.6} ، كما هو جزء من الرسم البياني على ((- infty ، 0) ).

مثال ( PageIndex {3} )

أظهر أنه إذا كان (c_1 ) و (c_2 ) ثوابت إذن

[ label {eq: 1.2.7} y = (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + 2x-4 ]

هو حل [ label {eq: 1.2.8} y '' + 2y '+ y = 2x ] على ((- infty، infty) ).

المحلول

معادلة التفاضل المرجع {eq: 1.2.7} ينتج مرتين

[y '= - (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + c_2e ^ {- x} +2 nonumber ]

و

[y '= (c_1 + c_2x) e ^ {- x} -2c_2e ^ {- x}، nonumber ]

وبالتالي

[ begin {align *} y '' + 2y '+ y & = (c_1 + c_2x) e ^ {- x} -2c_2e ^ {- x} + 2 left [- (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + c_2e ^ {- x} +2 right] + (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + 2x-4 [4pt] & = (1-2 + 1) (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + (- 2 + 2) c_2e ^ {- x} + 4 + 2x-4 [4pt] & = 2x end {align *} ]

لجميع قيم (س ). لذلك (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.8} في ((- infty، infty) ).

مثال ( PageIndex {4} )

ابحث عن جميع حلول

[ label {eq: 1.2.9} y ^ {(n)} = e ^ {2x}. ]

المحلول

تكامل المعادلة المرجع {eq: 1.2.9} ينتج عنه

[y ^ {(n-1)} = {e ^ {2x} over2} + k_1، nonumber ]

حيث (k_1 ) ثابت. إذا (n ge2 ) ، يؤدي الدمج مرة أخرى إلى تحقيق النتائج

[y ^ {(n-2)} = {e ^ {2x} over4} + k_1x + k_2. لا يوجد رقم]

إذا (n ge3 ) ، يتم دمج العوائد بشكل متكرر

[ label {eq: 1.2.10} y = {e ^ {2x} over2 ^ n} + k_1 {x ^ {n-1} over (n-1)!} + k_2 {x ^ {n -2} over (n-2)!} + cdots + k_n، ]

حيث (k_1 ) ، (k_2 ) ، ... ، (k_n ) ثوابت. يوضح هذا أن كل حل من حل المعادلة المرجع {eq: 1.2.9} له شكل المعادلة المرجع {eq: 1.2.10} لبعض خيارات الثوابت (k_1 ) ، (k_2 ) ، ... ، (k_n ). من ناحية أخرى ، فإن التفريق بين المعادلة المرجع {eq: 1.2.10} (n ) مرات يوضح أنه إذا كانت (k_1 ) ، (k_2 ) ، ... ، (k_n ) ثوابت عشوائية ، فإن الدالة (y ) في المعادلة المرجع {eq: 1.2.10} تحقق المعادلة المرجع {eq: 1.2.9}.

بما أن الثوابت (k_1 ) ، (k_2 ) ، ... ، (k_n ) في المعادلة المرجع {eq: 1.2.10} عشوائية ، كذلك الثوابت

[{k_1 over (n-1)!} ، ، {k_2 over (n-2)!} ، ، cdots ، ، k_n. لا يوجد رقم]

لذلك يوضح المثال ( PageIndex {4} ) أن جميع حلول المعادلة المرجع {eq: 1.2.9} يمكن كتابتها كـ

[y = {e ^ {2x} over2 ^ n} + c_1 + c_2x + cdots + c_nx ^ {n-1} ، non Number ]

حيث قمنا بإعادة تسمية الثوابت العشوائية في المعادلة المرجع {eq: 1.2.10} للحصول على صيغة أبسط. كقاعدة عامة ، يجب تبسيط الثوابت التعسفية التي تظهر في حلول المعادلات التفاضلية إن أمكن. سترى أمثلة على هذا في جميع أنحاء النص.

مشاكل القيمة الأولية

في المثال ( PageIndex {4} ) رأينا أن المعادلة التفاضلية (y ^ {(n)} = e ^ {2x} ) لها مجموعة لا نهائية من الحلول التي تعتمد على (n ) التعسفي الثوابت (c_1 ) ، (c_2 ) ، ... ، (c_n ). في حالة عدم وجود شروط إضافية ، لا يوجد سبب لتفضيل حل للمعادلة التفاضلية على الآخر. ومع ذلك ، سنكون مهتمين غالبًا بإيجاد حل لمعادلة تفاضلية تفي بشرط محدد أو أكثر. المثال التالي يوضح هذا.

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد حل [y '= x ^ 3 nonumber ] بحيث (y (1) = 2 ).

المحلول

في بداية هذا القسم ، رأينا أن حلول ​​(y '= x ^ 3 ) هي

[y = {x ^ 4 over4} + ج. لا يوجد رقم]

لتحديد قيمة (c ) بحيث (y (1) = 2 ) ، قمنا بتعيين (x = 1 ) و (y = 2 ) هنا للحصول على

[2 = y (1) = {1 over4} + c nonumber ]

وبالتالي

[c = {7 over4}. لا يوجد رقم]

لذلك فإن الحل المطلوب هو

[y = {x ^ 4 + 7 over4}. لا يوجد رقم]

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) الرسم البياني لهذا الحل. لاحظ أن فرض الشرط (y (1) = 2 ) يعادل طلب رسم بياني لـ (y ) بالمرور عبر النقطة ((1،2) ).

يمكننا إعادة كتابة المشكلة التي تم تناولها في المثال ( PageIndex {5} ) باختصار مثل

[y '= x ^ 3، quad y (1) = 2. nonumber ]

نسمي هذا مشكلة القيمة الأولية. المتطلب (y (1) = 2 ) هو ملف الحالة الأولية. يمكن أيضًا طرح مشاكل القيمة الأولية للمعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى. فمثلا،

[ label {eq: 1.2.11} y '- 2y' + 3y = e ^ x، quad y (0) = 1، quad y '(0) = 2 ]

هي مشكلة قيمة أولية لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية حيث يلزم (y ) و (y ') الحصول على قيم محددة عند (x = 0 ). بشكل عام ، تتطلب مشكلة القيمة الأولية لـ (n ) - معادلة تفاضلية من الدرجة الثالثة (y ) ومشتقاتها الأولى (n-1 ) أن يكون لها قيم محددة في نقطة ما (x_0 ). هذه المتطلبات هي الشروط الأوليةسنشير إلى مشكلة قيمة أولية لمعادلة تفاضلية عن طريق كتابة الشروط الأولية بعد المعادلة ، كما في المعادلة المرجع {eq: 1.2.11}. على سبيل المثال ، سنكتب مشكلة قيمة أولية للمعادلة المرجع {eq: 1.2.2} على النحو التالي

[ label {eq: 1.2.12} y ^ {(n)} = f (x، y، y '، dots، y ^ {(n-1)})، ، y (x_0) = k_0 ، ، y '(x_0) = k_1، ، dots، ، y ^ {(n-1)} = k_ {n-1}. ]

تمشيا مع تعريفنا السابق لحل المعادلة التفاضلية في المعادلة المرجع {eq: 1.2.12} ، نقول أن (y ) هو حل لمشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 1.2.12} إذا كانت (y ) قابلة للتفاضل (n ) مرات و

[y ^ {(n)} (x) = f (x، y (x)، y '(x)، dots، y ^ {(n-1)} (x)) nonumber ]

لجميع (س ) في بعض الفترات المفتوحة ((أ ، ب) ) التي تحتوي على (س_0 ) ، و (ص ) تفي بالشروط الأولية في المعادلة المرجع {مكافئ: 1.2.12}. أكبر فاصل زمني مفتوح يحتوي على (x_0 ) يتم تعريف (y ) فيه ويلبي المعادلة التفاضلية هو فترة الصلاحية ذ).

مثال ( PageIndex {6} )

في المثال ( PageIndex {5} ) رأينا ذلك

[ label {eq: 1.2.13} y = {x ^ 4 + 7 over4} ]

هو حل لمشكلة القيمة الأولية

[y '= x ^ 3، quad y (1) = 2. nonumber ]

نظرًا لأن الوظيفة في المعادلة ref {eq: 1.2.13} معرّفة للجميع (x ) ، فإن الفاصل الزمني لصلاحية هذا الحل هو ((- infty، infty) ).

مثال ( PageIndex {7} )

في المثال ( PageIndex {2} ) تحققنا من ذلك

[ label {eq: 1.2.14} y = {x ^ 2 over3} + {1 over x} ]

هو حل

[xy '+ y = x ^ 2 nonumber ]

على ((0، infty) ) وعلى ((- infty، 0) ). من خلال تقييم المعادلة المرجع {eq: 1.2.14} في (x = pm1 ) ، يمكنك أن ترى أن المعادلة ref {eq: 1.2.14} هي حل لمشاكل القيمة الأولية

[ label {eq: 1.2.15} xy '+ y = x ^ 2، quad y (1) = {4 over3} ]

و

[ label {eq: 1.2.16} xy '+ y = x ^ 2، quad y (-1) = - {2 over3}. ]

الفاصل الزمني لصلاحية المعادلة المرجع {eq: 1.2.14} كحل للمعادلة المرجع {eq: 1.2.15} هو ((0، infty) ) ، نظرًا لأن هذه هي أكبر فترة تحتوي على (x_0 = 1 ) حيث يتم تعريف المعادلة المرجع {eq: 1.2.14}. وبالمثل ، فإن فترة صلاحية المعادلة المرجع {eq: 1.2.14} كحل للمعادلة المرجع {eq: 1.2.16} هي ((- infty ، 0) ) ، نظرًا لأن هذه هي أكبر فترة الذي يحتوي على (x_0 = -1 ) حيث يتم تعريف المعادلة المرجع {eq: 1.2.14}.

السقوط الحر تحت الجاذبية المستمرة

على المدى مشكلة القيمة الأولية نشأت في مشاكل الحركة حيث المتغير المستقل هو (t ) (يمثل الوقت المنقضي) ، والظروف الأولية هي موضع وسرعة كائن في الوقت الأولي (البداية) للتجربة.

مثال ( PageIndex {8} )

يقع الجسم تحت تأثير الجاذبية بالقرب من سطح الأرض ، حيث يمكن افتراض أن مقدار التسارع بسبب الجاذبية ثابت (ز ).

  1. أنشئ نموذجًا رياضيًا لحركة الكائن في شكل مشكلة قيمة أولية لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، بافتراض أن ارتفاع وسرعة الكائن في الوقت (t = 0 ) معروفان. افترض أن الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم.
  2. قم بحل مشكلة القيمة الأولية المشتقة أعلاه للحصول على الارتفاع كدالة للوقت.

الحل أ

دع (y (t) ) يكون ارتفاع الكائن في الوقت (t ). نظرًا لأن تسارع الجسم له مقدار ثابت (g ) وهو في الاتجاه الهبوطي (السلبي) ، (y ) يفي بمعادلة الدرجة الثانية

[y '= - g، nonumber ]

حيث يشير رئيس الوزراء الآن إلى التمايز فيما يتعلق بـ (t ). إذا دلت (y_0 ) و (v_0 ) على الارتفاع والسرعة عندما (t = 0 ) ، فإن (y ) هو حل لمشكلة القيمة الأولية

[ label {eq: 1.2.17} y '= - g، quad y (0) = y_0، quad y' (0) = v_0. ]

الحل ب

تكامل المعادلة المرجع {eq: 1.2.17} ينتج مرتين

[ begin {align} y '& = - gt + c_1، y & = - {gt ^ 2 over2} + c_1t + c_2. end {align} ]

يُظهر فرض الشروط الأولية (y (0) = y_0 ) و (y '(0) = v_0 ) في هاتين المعادلتين أن (c_1 = v_0 ) و (c_2 = y_0 ). لذلك فإن حل مشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 1.2.17} هو

[y = - {gt ^ 2 over2} + v_0t + y_0. لا يوجد رقم]


1.2 عملية العلم

الشكل 1.14 كانت تسمى سابقًا الطحالب الخضراء المزرقة ، (أ) البكتيريا الزرقاء التي تُرى من خلال المجهر الضوئي هي بعض من أقدم أشكال الحياة على الأرض. هذه (ب) ستراتوليت على طول شواطئ بحيرة ثيتيس في غرب أستراليا هي هياكل قديمة تشكلت من طبقات البكتيريا الزرقاء في المياه الضحلة.

علم الأحياء ، مثل الجيولوجيا والفيزياء والكيمياء ، هو علم يجمع المعرفة حول العالم الطبيعي. علم الأحياء على وجه التحديد هو دراسة الحياة. يتم إجراء اكتشافات علم الأحياء من قبل مجتمع من الباحثين الذين يعملون بشكل فردي أو جماعي باستخدام طرق متفق عليها. بهذا المعنى ، فإن علم الأحياء ، مثل كل العلوم ، هو مشروع اجتماعي مثل السياسة أو الفنون. تشمل أساليب العلم الملاحظة الدقيقة ، وحفظ السجلات ، والتفكير المنطقي والرياضي ، والتجريب ، وتقديم الاستنتاجات إلى تدقيق الآخرين. يتطلب العلم أيضًا قدرًا كبيرًا من الخيال والإبداع ، وعادة ما توصف تجربة جيدة التصميم بأنها أنيقة أو جميلة. مثل السياسة ، للعلم آثار عملية كبيرة وبعض العلوم مكرسة للتطبيقات العملية ، مثل الوقاية من الأمراض. تستمر العلوم الأخرى بدافع الفضول إلى حد كبير. مهما كان هدفه ، ليس هناك شك في أن العلم ، بما في ذلك علم الأحياء ، قد غير الوجود البشري وسيواصل القيام بذلك.

الشكل 1.15 قد يختار علماء الأحياء دراسة الإشريكية القولونية (E. coli) ، وهي بكتيريا تعيش بشكل طبيعي في الجهاز الهضمي ولكنها أيضًا مسؤولة في بعض الأحيان عن تفشي الأمراض. في هذه الصورة المجهرية ، يتم تصور البكتيريا باستخدام المجهر الإلكتروني الماسح والتلوين الرقمي.


المفاهيم الأساسية لهياكل البيانات تخصيص الاختبار الوهمي عبر الإنترنت

وضوح المفاهيم أمر لا بد منه إذا كنت ترغب في إتقان مهارة حل مشاكل هياكل البيانات. تحتوي هذه الصفحة على أسئلة وأجوبة حول المفاهيم الأساسية لهياكل البيانات للطلاب الجدد والامتحانات التنافسية. أسئلة المفاهيم الأساسية مع الوصف التفصيلي ، سيساعدك الشرح على إتقان الموضوع. تم حل الأمثلة هنا مع وصف الإجابة التفصيلي ، مع تقديم التفسيرات وسيكون من السهل فهمها. كيف تحل هياكل البيانات المفاهيمية qBasic؟ فيما يلي بعض الأمثلة التي تم حلها باستخدام القواعد / الحيل / النصائح العامة لهياكل البيانات. عزز فرصتك في تسجيل أعلى الدرجات في أقسام هياكل البيانات من خلال. اكتشاف الأخطاء النحوية أسئلة الاختبار عبر الإنترنت مجانًا. أسئلة مكس لتكوين الجمل تم حلها بالكامل مع وصف إجابة مفصل. تعتبر هياكل البيانات موضوعًا مهمًا لأي امتحانات ولكن معظم الطامحين يجدونها صعبة. تحتاج إلى تعلم نصائح وقواعد حيل مختلفة لحلها بسرعة. في هذه الصفحة ، ستجد الأسئلة الشائعة حول المفاهيم الأساسية أو المشكلات المتعلقة بالحلول والاختصارات والصيغ لجميع الاختبارات التنافسية المهمة مثل اختبارات شركات تكنولوجيا المعلومات والمقابلات. من أفضل الممارسات دائمًا متابعة المثال وفهم أنواع الأسئلة وطريقة حلها ، لذلك دعونا نقوم ببعض الأمثلة لحساب الكفاءة ، ونقرأ جميع الأمثلة التي تم حلها هنا. يمكنك نشر الحل والنصائح والحيلة والاختصار إذا كان لديك أي فيما يتعلق بالأسئلة.

يمكنك الحصول هنا على أمثلة مفاهيم أساسية تم حلها بالكامل مع إجابة مفصلة ووصف. يمكنك حل مشكلات المفاهيم الأساسية بالحلول ، والأسئلة التي تطرحها الشركات من خلال تصفية الأسئلة ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك التحقق من نوع الأسئلة التي يتم طرحها في شركة Written Round من المفاهيم الأساسية لشركات تكنولوجيا المعلومات. أصبحت المفاهيم الأساسية أحد أهم الأقسام في الاختبارات التنافسية بأكملها ، وحرم الشركات ، واختبار القبول عبر الإنترنت. انتقل من خلال أمثلة على المفاهيم الأساسية ، أسئلة عينة من المفاهيم الأساسية. يمكنك تقييم مستوى التحضير الخاص بك في المفاهيم الأساسية من خلال إجراء الاختبار التجريبي عبر الإنترنت لمفاهيم Q4Interivew الأساسية استنادًا إلى أهم الأسئلة. جميع أسئلة التدريب على المفاهيم الأساسية الواردة هنا جنبًا إلى جنب مع الإجابات والتفسيرات مجانية تمامًا ، ويمكنك أن تأخذ أي عدد من الوقت في أي اختبار وهمي.


محتويات

كما هو الحال في أجزاء أخرى من الرياضيات ، لعبت المشاكل والأمثلة الملموسة أدوارًا مهمة في تطوير الجبر المجرد. خلال نهاية القرن التاسع عشر ، كان العديد - ربما معظم - من هذه المشكلات بطريقة ما مرتبطة بنظرية المعادلات الجبرية. المواضيع الرئيسية تشمل:

  • حل أنظمة المعادلات الخطية التي أدت إلى الجبر الخطي
  • محاولات لإيجاد صيغ لحلول المعادلات متعددة الحدود العامة من الدرجة الأعلى والتي نتج عنها اكتشاف المجموعات كمظاهر تجريدية للتناظر
  • التحقيقات الحسابية للأشكال التربيعية والدرجات العليا والمعادلات الديوفانتية ، التي أنتجت بشكل مباشر مفاهيم الحلقة والمثالية.

تبدأ العديد من الكتب المدرسية في الجبر المجرد بتعريفات بديهية للعديد من الهياكل الجبرية ثم تشرع في تحديد خصائصها. هذا يخلق انطباعًا خاطئًا بأن البديهيات في الجبر قد جاءت أولاً ثم عملت كحافز وأساس لمزيد من الدراسة. كان الترتيب الحقيقي للتطور التاريخي عكس ذلك تمامًا تقريبًا. على سبيل المثال ، كان لأعداد hypercomplex في القرن التاسع عشر دوافع حركية وجسدية ولكنها تحدت الفهم. بدأت معظم النظريات التي يتم التعرف عليها الآن كأجزاء من الجبر كمجموعات من الحقائق المتباينة من مختلف فروع الرياضيات ، واكتسبت موضوعًا مشتركًا كان بمثابة جوهر تم تجميع النتائج المختلفة حوله ، وأخيرًا أصبحت موحدة على أساس مجموعة مشتركة من المفاهيم. يمكن رؤية مثال نموذجي لهذا التوليف التدريجي في تاريخ نظرية المجموعة. [ بحاجة لمصدر ]

في وقت مبكر نظرية المجموعة تحرير

كان هناك العديد من الخيوط في التطور المبكر لنظرية المجموعة ، في اللغة الحديثة تتوافق بشكل فضفاض مع نظرية الأعداد, نظرية المعادلات، و الهندسة.

اعتبر ليونارد أويلر العمليات الجبرية على وحدات الأعداد عددًا صحيحًا - الحساب النمطي - في تعميمه لنظرية فيرما الصغيرة. تم إجراء هذه التحقيقات إلى أبعد من ذلك من قبل كارل فريدريش جاوس ، الذي نظر في بنية المجموعات المضاعفة للمخلفات الحديثة وأسس العديد من خصائص مجموعات أبيلان الدورية والأكثر عمومية التي تنشأ بهذه الطريقة. في تحقيقاته حول تكوين الأشكال التربيعية الثنائية ، صرح جاوس صراحةً بالقانون الترابطي لتكوين النماذج ، ولكن مثل أويلر من قبله ، يبدو أنه كان مهتمًا بالنتائج الملموسة أكثر من النظرية العامة. في عام 1870 ، قدم ليوبولد كرونيكر تعريفًا لمجموعة أبيلان في سياق المجموعات الطبقية المثالية لحقل رقمي ، وعمم عمل غاوس ، لكن يبدو أنه لم يربط تعريفه بالعمل السابق على المجموعات ، ولا سيما مجموعات التقليب. في عام 1882 ، وبالنظر إلى نفس السؤال ، أدرك هاينريش م. ويبر العلاقة وقدم تعريفًا مشابهًا يتضمن خاصية الإلغاء ولكنه أغفل وجود العنصر العكسي ، والذي كان كافياً في سياقه (المجموعات المحدودة). [ بحاجة لمصدر ]

تمت دراسة التباديل بواسطة جوزيف لويس لاغرانج في ورقته البحثية عام 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations (أفكار حول الحل الجبري للمعادلات) مكرسًا لحلول المعادلات الجبرية ، حيث قدم حلول لاغرانج. كان هدف لاغرانج هو فهم سبب قبول المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة بالصيغ للحلول ، وقد حدد كائنات أساسية لتبديل الجذور. كانت الخطوة الجديدة المهمة التي اتخذتها لاغرانج في هذه الورقة هي النظرة المجردة للجذور ، أي كرموز وليس كأرقام. ومع ذلك ، لم يفكر في تكوين التباديل. صدفة ، الطبعة الأولى من إدوارد وارينج تأملات الجبر (تأملات في الجبر) ظهر في نفس العام ، مع نسخة موسعة نُشرت عام 1782. أثبت Waring النظرية الأساسية لمتعدد الحدود المتماثل ، واعتبر بشكل خاص العلاقة بين جذور المعادلة الرباعية ومكعبها المذيب. Mémoire sur la résolution des équations (مذكرة حول حل المعادلات) من الكسندر فاندرموند (1771) طور نظرية الدوال المتماثلة من زاوية مختلفة قليلاً ، ولكن مثل لاغرانج ، بهدف فهم قابلية حل المعادلات الجبرية.

ادعى كرونيكر في عام 1888 أن دراسة الجبر الحديث بدأت مع هذه الورقة الأولى من فاندرموند. يذكر كوشي بوضوح أن Vandermonde كان له الأولوية على Lagrange لهذه الفكرة الرائعة ، والتي أدت في النهاية إلى دراسة نظرية المجموعة. [1]

كان باولو روفيني أول شخص طور نظرية مجموعات التقليب ، ومثل أسلافه ، أيضًا في سياق حل المعادلات الجبرية. كان هدفه هو إثبات استحالة حل جبري لمعادلة جبرية عامة بدرجة أكبر من أربعة. في الطريق إلى هذا الهدف ، قدم فكرة ترتيب عنصر المجموعة ، الاقتران ، التحلل الدائري لعناصر مجموعات التقليب ومفاهيم البدائية وغير التقديرية وأثبت بعض النظريات المهمة المتعلقة بهذه المفاهيم ، مثل

إذا كانت G مجموعة فرعية من S.5 ترتيبها قابل للقسمة على 5 ثم G يحتوي على عنصر من ترتيب 5.

ومع ذلك ، فقد نجح دون إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم المجموعة ، أو حتى مجموعة التقليب. اتخذ إيفاريست جالوا الخطوة التالية في عام 1832 ، على الرغم من أن عمله ظل غير منشور حتى عام 1846 ، عندما نظر لأول مرة في ما يسمى الآن خاصية الإغلاق من مجموعة من التباديل ، والتي عبر عنها

إذا كان لدى المرء في مثل هذه المجموعة التبديلات S و T عندئذ يكون لدى المرء الاستبدال ST.

تلقت نظرية مجموعات التقليب مزيدًا من التطور بعيد المدى في أيدي أوغستين كوشي وكاميل جوردان ، سواء من خلال إدخال مفاهيم جديدة ، وفي المقام الأول ، ثروة كبيرة من النتائج حول فئات خاصة من مجموعات التقليب وحتى بعض النظريات العامة. من بين أمور أخرى ، حدد الأردن مفهوم التماثل ، لا يزال في سياق مجموعات التقليب ، وبالمناسبة ، كان هو الذي وضع المصطلح مجموعة في الاستخدام الواسع.

ظهرت الفكرة المجردة للمجموعة لأول مرة في أوراق آرثر كايلي عام 1854. أدرك كايلي أن المجموعة لا تحتاج إلى أن تكون مجموعة تبديل (أو حتى محدود) ، وقد يتكون بدلاً من ذلك من المصفوفات ، التي قام ببحث خصائصها الجبرية ، مثل الضرب والمعاكسات ، بشكل منهجي في السنوات التالية. بعد ذلك بوقت طويل ، سيعيد كايلي النظر في مسألة ما إذا كانت المجموعات المجردة أكثر عمومية من مجموعات التقليب ، ويثبت ، في الواقع ، أن أي مجموعة متشابهة لمجموعة من التباديل.

تحرير الجبر الحديث

شهدت نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين تحولًا في منهجية الرياضيات. ظهر الجبر المجرد في بداية القرن العشرين تحت الاسم الجبر الحديث. كانت دراستها جزءًا من الدافع لمزيد من الدقة الفكرية في الرياضيات. في البداية ، اتخذت الافتراضات في الجبر الكلاسيكي ، التي تعتمد عليها الرياضيات بأكملها (والأجزاء الرئيسية من العلوم الطبيعية) ، شكل أنظمة بديهية. لم يعد علماء الرياضيات يكتفون بتأسيس خصائص الأجسام الخرسانية ، بل بدأوا في تحويل انتباههم إلى النظرية العامة. بدأت التعريفات الرسمية لبعض الهياكل الجبرية في الظهور في القرن التاسع عشر. على سبيل المثال ، ظهرت النتائج المتعلقة بمجموعات مختلفة من التباديل على أنها أمثلة على النظريات العامة التي تتعلق بفكرة عامة عن مجموعة مجردة. جاءت أسئلة التركيب والتصنيف لمختلف الكائنات الرياضية في المقدمة.

كانت هذه العمليات تحدث في جميع الرياضيات ، لكنها أصبحت واضحة بشكل خاص في الجبر. تم اقتراح تعريف رسمي من خلال العمليات البدائية والبديهيات للعديد من الهياكل الجبرية الأساسية ، مثل المجموعات والحلقات والحقول. ومن ثم اتخذت أشياء مثل نظرية المجموعة ونظرية الحلقة أماكنها في الرياضيات البحتة. التحقيقات الجبرية للحقول العامة التي أجراها إرنست شتاينتس والحلقات التبادلية ثم العامة من قبل ديفيد هيلبرت وإميل أرتين وإيمي نويثر ، بناءً على أعمال إرنست كومر وليوبولد كرونيكر وريتشارد ديديكيند ، الذين اعتبروا المثل العليا في الحلقات التبادلية ، و لجورج فروبينيوس وإيساي شور ، فيما يتعلق بنظرية تمثيل المجموعات ، جاء لتعريف الجبر المجرد. تم الكشف بشكل منهجي عن هذه التطورات في الربع الأخير من القرن التاسع عشر والربع الأول من القرن العشرين في كتاب بارتيل فان دير فيردن. الجبر الحديث، الدراسة المكونة من مجلدين والتي نُشرت في 1930-1931 والتي غيرت إلى الأبد معنى الكلمة بالنسبة للعالم الرياضي الجبر من نظرية المعادلات الى نظرية التراكيب الجبرية.

من خلال استخلاص كميات مختلفة من التفاصيل ، حدد علماء الرياضيات تراكيب جبرية مختلفة تستخدم في العديد من مجالات الرياضيات. على سبيل المثال ، جميع الأنظمة التي تمت دراستها تقريبًا عبارة عن مجموعات ، والتي تنطبق عليها نظريات نظرية المجموعات. تلك المجموعات التي تحتوي على عملية ثنائية معينة محددة عليها تشكل الصهارة ، والتي تنطبق عليها المفاهيم المتعلقة بالصهارة ، وكذلك تلك المتعلقة بالمجموعات. يمكننا إضافة قيود إضافية على البنية الجبرية ، مثل هوية الترابط (لتشكيل مجموعات شبه) ، والعكسات (لتشكيل المجموعات) وغيرها من الهياكل الأكثر تعقيدًا. مع بنية إضافية ، يمكن إثبات المزيد من النظريات ، ولكن يتم تقليل العمومية. يخلق "التسلسل الهرمي" للأشياء الجبرية (من حيث العمومية) تسلسلًا هرميًا للنظريات المقابلة: على سبيل المثال ، يمكن استخدام نظريات نظرية المجموعة عند دراسة الحلقات (كائنات جبرية لها عمليتان ثنائيتان مع بعض المسلمات) منذ الحلقة هي مجموعة فوق إحدى عملياتها. بشكل عام ، هناك توازن بين مقدار العمومية وثراء النظرية: عادةً ما تحتوي الهياكل الأكثر عمومية على عدد أقل من النظريات غير التافهة وتطبيقات أقل.

أمثلة على الهياكل الجبرية مع عملية ثنائية واحدة هي:

تشمل الأمثلة التي تتضمن عدة عمليات ما يلي:

نظرًا لعموميتها ، يتم استخدام الجبر المجرد في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم. على سبيل المثال ، تستخدم الطوبولوجيا الجبرية كائنات جبرية لدراسة الطوبولوجيا. يؤكد تخمين بوانكاريه ، الذي تم إثباته في عام 2003 ، أن المجموعة الأساسية من المشعب ، والتي تقوم بترميز المعلومات حول الترابط ، يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كان المتشعب هو كرة أم لا. تدرس نظرية الأعداد الجبرية حلقات العدد المختلفة التي تعمم مجموعة الأعداد الصحيحة. باستخدام أدوات نظرية الأعداد الجبرية ، أثبت أندرو وايلز نظرية فيرما الأخيرة.

في الفيزياء ، تُستخدم المجموعات لتمثيل عمليات التناظر ، ويمكن أن يؤدي استخدام نظرية المجموعة إلى تبسيط المعادلات التفاضلية. في نظرية القياس ، يمكن استخدام متطلبات التناظر المحلي لاستنتاج المعادلات التي تصف النظام. المجموعات التي تصف تلك التماثلات هي مجموعات لي ، ودراسة مجموعات لي وكذا الجبر يكشف الكثير عن النظام الفيزيائي على سبيل المثال ، عدد حاملات القوة في النظرية يساوي بُعد الجبر الكاذب ، وتتفاعل هذه البوزونات بالقوة التي يتوسطونها إذا كان جبر الكذب غير جبلي. [2]


البحث العلمي ومهارات الاستدلال - المهارة 1: معرفة المفاهيم والمبادئ العلمية

ستطلب منك الأسئلة في فئة المهارة هذه إظهار معرفتك بالمفاهيم الأساسية العشرة الموضحة في الفصول اللاحقة. ستطلب منك هذه الأسئلة التعرف على المفاهيم الأساسية في العلوم الطبيعية والسلوكية والاجتماعية ، أو التعرف عليها ، أو تذكرها ، أو تحديدها بالإضافة إلى علاقاتها مع بعضها البعض. يمكن تمثيل المفاهيم والمبادئ العلمية بالكلمات أو الرسوم البيانية أو الجداول أو الرسوم البيانية أو الصيغ.

أثناء العمل على هذه الأسئلة ، قد يُطلب منك تحديد حقيقة علمية أو تعريف مفهوم. أو قد يُطلب منك تطبيق مبدأ علمي على مشكلة ما. قد تطلب منك الأسئلة تحديد العلاقات بين المفاهيم وثيقة الصلة أو ربط البيانات أو المبادئ أو المفاهيم المكتوبة بالتمثيلات الرسومية لمحتوى العلوم. قد يطلبون منك تحديد أمثلة على الملاحظات الطبيعية أو المستندة إلى البيانات التي توضح المبادئ العلمية. قد تطالبك الأسئلة بالتعرف على مفهوم علمي موضح في رسم تخطيطي أو ممثل في رسم بياني.

أو قد يعطونك معادلة رياضية ويطلبون منك استخدامها لحل مشكلة ما.

على سبيل المثال ، ستطلب منك الأسئلة التي تختبر هذه المهارة أن توضح أنك تفهم المفاهيم والمبادئ العلمية من خلال:

  • التعرف على المبادئ العلمية من مثال أو موقف أو دراسة. تحديد العلاقات بين المفاهيم وثيقة الصلة.
  • تحديد العلاقات بين التمثيلات المختلفة للمفاهيم (على سبيل المثال ، مكتوبة ، رمزية ، بيانية).
  • تحديد أمثلة من الملاحظات التي توضح المبادئ العلمية.
  • استخدام معادلات رياضية معطاة لحل المسائل.
  • تحديد الجزيء البسيط أو المألوف الذي يعد مثالاً على حمض أميني معين.

على سبيل المثال ، قد تطلب منك أسئلة من قسم الأسس النفسية والاجتماعية والبيولوجية للسلوك إظهار معرفتك بالمفاهيم والمبادئ العلمية من خلال:

  • الاعتراف بمبدأ التدخل بأثر رجعي.
  • استخدام قانون ويبر لتحديد الاختلافات المادية التي يمكن اكتشافها.
  • تحديد التغيير السلوكي (الانقراض) الذي سيحدث عندما لا يتم اتباع الاستجابة المكتسبة من قبل المعزز.
  • تحديد أوجه التشابه أو الاختلافات المفاهيمية بين التكييف الفعال والتكييف الكلاسيكي.
  • تحديد رسم بياني يوضح العلاقة بين التحصيل العلمي ومتوسط ​​العمر المتوقع.
  • التعرف على الظروف التي تؤدي إلى العجز المكتسب.
  • اختتام مرحلة التطور المعرفي التي يمر بها الطفل ، وفقًا لنظرية بياجيه ، عند تقديمه مع وصف لكيفية استجابة الطفل لمشكلة الحفظ.

توضح الأسئلة النموذجية الثلاثة التالية أسئلة المهارة 1 من قسم الأسس النفسية والاجتماعية والبيولوجية للسلوك ، على التوالي ، قسم الأسس البيولوجية والكيميائية الحيوية للأنظمة الحية وقسم الأسس الكيميائية والفيزيائية للنظام البيولوجي في اختبار MCAT.

المهارة 1 مثال من قسم الأسس النفسية والاجتماعية والبيولوجية للسلوك

في إحدى الدراسات ، تتضمن كل تجربة إعطاء قطرة من عصير الليمون على لسان المشارك وقياس مستوى إفراز اللعاب لدى المشاركين. مع إجراء المزيد من التجارب ، وجد الباحث أن حجم إفراز اللعاب ينخفض. بعد نقطة معينة ، ينتقل الباحث إلى تناول عصير الليمون. من المرجح أن يدرس هذا الباحث أي عملية؟

  1. الادراك الحسي
  2. التعويد والعجز
  3. تعميم التحفيز في التكييف الكلاسيكي
  4. Conditioned responses in classical conditioning

The correct answer is B. This Skill 1 question tests your knowledge of the scientific concepts and principles described by Content Category 7C, Attitude and behavior change, and is a Skill 1 question because it requires you to relate scientific concepts. This question asks you to identify the process involved in the study that connects reduced responding to a repeated stimulus and then a change in the stimulus, which is habituation and dishabituation, allowing for the conclusion that B is the correct answer.

Skill 1 Example From the Chemical and Physical Foundations of Biological Systems Section

What type of functional group is formed when aspartic acid reacts with another amino acid to form a peptide bond?

The correct answer is C. This is a Skill 1 question and relates to Content Category 5D, Structure, function, and reactivity of biologically relevant molecules. It is a Skill 1 question because you must recognize the structural relationship between free amino acids and peptides. To answer the question, you must know that the functional group that forms during peptide bond formation is an amide group.


Maharashtra Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 Basic Concepts in Geometry Practice Set 1.2

السؤال رقم 1.
The following table shows points on a number line and their co-ordinates. Decide whether the pair of segments given below the table are congruent or not.

أنا. seg DE and seg AB
ii. seg BC and seg AD
iii. seg BE and seg AD
Solution:
أنا. Co-ordinate of the point E is 9.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, 9 > -7
∴ d(D, E) = 9 – (-7) = 9 + 7 = 16
∴ l(DE) = 16 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point B is 5.
Since, 5 > -3
∴ d(A, B) = 5 – (-3) = 5 + 3 = 8
∴ l(AB) = 8 …(ii)
∴ l(DE) ≠ l(AB) …[From (i) and (ii)]
∴ seg DE and seg AB are not congruent.

ii. Co-ordinate of the point B is 5.
Co-ordinate of the point C is 2.
Since, 5 > 2
∴ d(B, C) = 5 – 2 = 3
∴ l(BC) = 3 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, -3 > -7
∴ d(A, D) = -3 – (-7) = -3 + 7 = 4
∴ l(AD) = 4 . ..(ii)
∴ l(BC) ≠ l(AD) … [From (i) and (ii)]
∴ seg BC and seg AD are not congruent.

iii. Co-ordinate of the point E is 9.
Co-ordinate of the point B is 5.
Since, 9 > 5
∴ d(B, E) = 9 – 5 = 4
∴ l(BE) = 4 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, -3 > -7
∴ d(A, D) = -3 – (-7) = 4
∴ l(AD) = 4 …(ii)
∴ l(BE) =l(AD) …[From (i) and (ii)]
∴ seg BE and seg AD are congruent.
i.e, seg BE ≅ seg AD

السؤال 2.
Point M is the midpoint of seg AB. If AB = 8, then find the length of AM.
Solution:
Point M is the midpoint of seg AB and l(AB) = 8. …[Given]

السؤال 3.
Point P is the midpoint of seg CD. If CP = 2.5, find l(CD).
Solution:
Point P is the midpoint of seg CD and l(CP) = 2.5 …[Given]

∴ l(CD) = 2.5 x 2
∴ l(CD) = 5

السؤال 4.
If AB = 5 cm, BP = 2 cm and AP = 3.4 cm, compare the segments.
Solution:
Given, l(AB) = 5 cm, l(BP) = 2 cm,
l(AP) = 3.4 cm … [Given]
r Since, 2 < 3.4 < 5
∴ l(BP) < l(AP) < l(AB)
i.e., seg BP < seg AP < seg AB

السؤال 5.
Write the answers to the following questions with reference to the figure given below:

أنا. Write the name of the opposite ray of ray RP
ii. Write the intersection set of ray PQ and ray RP.
iii. Write the union set of ray PQ and ray QR.
iv. State the rays of which seg QR is a subset.
v. Write the pair of opposite rays with common end point R.
vi. Write any two rays with common end point S.
vii. Write the intersection set of ray SP and ray ST.
إجابه:
أنا. Ray RS or ray RT
ii. Ray PQ
iii. Line QR
iv. Ray QR, ray QS, ray QT, ray RQ, ray SQ, ray TQ
v. Ray RP and ray RS, ray RQ and ray RT vi. Ray ST, ray SR
vii. Point S

السؤال 6.
Answer the questions with the help of figure given below.

أنا. State the points which are equidistant from point B.
ii. Write a pair of points equidistant from point iii. Find d(U,V), d(P,C), d(V,B), d(U, L).
إجابه:
أنا. Points equidistant from point B are a. A and C, because d(B, A) = d(B, C) = 2 b. D and P, because d(B, D) = d(B, P) = 4
ii. Points equidistant from point Q are a. L and U, because d(Q, L) = d(Q, U) = 1 b. P and R, because d(P, Q) = d(Q, R) = 2
iii. أ. Co-ordinate of the point U is -5. Co-ordinate of the point V is 5. Since, 5 > -5
∴ d(U, V) = 5 – (-5)
= 5 + 5
∴ d(U, V) = 10

ب. Co-ordinate of the point P is -2.
Co-ordinate of the point C is 4.
Since, 4 > -2
∴ d(P, C) = 4 – (-2)
= 4 + 2
∴ d(P, C) = 6

ج. Co-ordinate of the point V is 5.
Co-ordinate of the point B is 2.
Since, 5 > 2
∴ d(V, B) = 5 – 2
∴ d(V, B) = 3

د. Co-ordinate of the point U is -5.
Co-ordinate of the point L is -3.
Since, -3 > -5
∴ d(U, L) = -3 – (-5)
= -3 + 5
∴ d(U, L) = 2


Thread Formation and Repair

Tapping a derailleur hanger using a TAP-10 and TH-2

Tapping a fork using an FTS-1

Taps and dies can cut threads. Taps cut an internal thread, such as a bottom bracket shell in the frame. Dies cut an external thread, such as a steering column. Thread may also be cut using a lathe, or they may be rolled, such as threads on a spoke end, or on hub axles. For example, a common spoke diameter is 2mm diameter. However, the spoke threading is larger (2.2mm) than the 2.0mm shaft. This is because the crest was displaced upwards when the threads were rolled.

When a thread becomes damaged, there are sometimes options for repair. Typically, when an internal thread becomes damaged, it is damaged at end of the threads, not the middle. If only minor damage has occurred, it may be possible to re-tap the thread. This assumes that enough undamaged thread is remaining to allow proper tightness. As a practical test, after tapping the thread, slightly over-torque from the recommended specification. If the thread is weakened, it will strip and not pass this test. If it does not strip, the thread is adequate, and should survive the use.

Internal threads may sometimes be repaired using a coil system. Recoil® and Helicoil® Companies supply a tap, coil inserts, and coil driver. The damaged thread is drilled out to a specific size. New larger threads are installed with a specifically sized tap. The inserted coil has the outside diameter of the tap, but the coil inside diameter matches the original thread.

Taps and dies are cut to match the desired thread, and also have a helix angle. This is more difficult to see because the threads are not continuous around the tap or die. In a die, the cutting area is referred to as the “lands.” The lands are separated by “flutes,” the gap between the lands. Larger tap sizes are generally made as “skip toothed” taps, with every other thread missing. This helps prevent build up of cut material in the tap.

It is sometimes possible to tap a damaged internal thread to a larger size, and then use the corresponding bolt or screw. This repair may not work if there is little extra material around the damaged threads. If the internal thread is a bottom bracket, the next larger thread is often the “Italian” threading of 36mm. This repair is sometimes possible, but the bottom bracket should have all threads removed before tapping. The original thread inside diameter is approximately 34mm. The bottom bracket shell inside diameter should be 35mm to correctly cut threads of 36mm. Generally, tapping a bottom bracket to the larger 36mm x 24TPI standard is a very difficult slow process. It is also very hard on the taps.

Another option for some external thread repair is a thread file. These are available in both SAE (“English”) and metric thread pitches. This tool acts as a “straight die,” and will trim metal from flattened threads. Hold the die parallel to the helix angle and push the file across the damaged threads.


1.2 Microeconomics and Macroeconomics

Economics is concerned with the well-being of الكل people, including those with jobs and those without jobs, as well as those with high incomes and those with low incomes. Economics acknowledges that production of useful goods and services can create problems of environmental pollution. It explores the question of how investing in education helps to develop workers’ skills. It probes questions like how to tell when big businesses or big labor unions are operating in a way that benefits society as a whole and when they are operating in a way that benefits their owners or members at the expense of others. It looks at how government spending, taxes, and regulations affect decisions about production and consumption.

It should be clear by now that economics covers considerable ground. We can divide that ground into two parts: Microeconomics focuses on the actions of individual agents within the economy, like households, workers, and businesses. Macroeconomics looks at the economy as a whole. It focuses on broad issues such as growth of production, the number of unemployed people, the inflationary increase in prices, government deficits, and levels of exports and imports. Microeconomics and macroeconomics are not separate subjects, but rather complementary perspectives on the overall subject of the economy.

To understand why both microeconomic and macroeconomic perspectives are useful, consider the problem of studying a biological ecosystem like a lake. One person who sets out to study the lake might focus on specific topics: certain kinds of algae or plant life the characteristics of particular fish or snails or the trees surrounding the lake. Another person might take an overall view and instead consider the lake's ecosystem from top to bottom what eats what, how the system stays in a rough balance, and what environmental stresses affect this balance. Both approaches are useful, and both examine the same lake, but the viewpoints are different. In a similar way, both microeconomics and macroeconomics study the same economy, but each has a different viewpoint.

Whether you are scrutinizing lakes or economics, the micro and the macro insights should blend with each other. In studying a lake, the micro insights about particular plants and animals help to understand the overall food chain, while the macro insights about the overall food chain help to explain the environment in which individual plants and animals live.

In economics, the micro decisions of individual businesses are influenced by whether the macroeconomy is healthy. For example, firms will be more likely to hire workers if the overall economy is growing. In turn, macroeconomy's performance ultimately depends on the microeconomic decisions that individual households and businesses make.

Microeconomics

What determines how households and individuals spend their budgets? What combination of goods and services will best fit their needs and wants, given the budget they have to spend? How do people decide whether to work, and if so, whether to work full time or part time? How do people decide how much to save for the future, or whether they should borrow to spend beyond their current means?

What determines the products, and how many of each, a firm will produce and sell? What determines the prices a firm will charge? What determines how a firm will produce its products? What determines how many workers it will hire? How will a firm finance its business? When will a firm decide to expand, downsize, or even close? In the microeconomics part of this book, we will learn about the theory of consumer behavior, the theory of the firm, how markets for labor and other resources work, and how markets sometimes fail to work properly.

Macroeconomics

What determines the level of economic activity in a society? In other words, what determines how many goods and services a nation actually produces? What determines how many jobs are available in an economy? What determines a nation’s standard of living? What causes the economy to speed up or slow down? What causes firms to hire more workers or to lay them off? Finally, what causes the economy to grow over the long term?

We can determine an economy's macroeconomic health by examining a number of goals: growth in the standard of living, low unemployment, and low inflation, to name the most important. How can we use government macroeconomic policy to pursue these goals? A nation's central bank conducts monetary policy , which involves policies that affect bank lending, interest rates, and financial capital markets. For the United States, this is the Federal Reserve. A nation's legislative body determines fiscal policy , which involves government spending and taxes. For the United States, this is the Congress and the executive branch, which originates the federal budget. These are the government's main tools. Americans tend to expect that government can fix whatever economic problems we encounter, but to what extent is that expectation realistic? These are just some of the issues that we will explore in the macroeconomic chapters of this book.


The 4 Major Math Concepts Your Kids Learn in Grades 1-2

So many fun and important ideas are being introduced in first and second grade! I love when I get to work with this age group because they get excited trying new things and are open to new ways of learning. Below are some of the major concepts taught in first and second grade math, as well as tips on how you can support your child(ren) at home.

1. Addition & Subtraction. 1st and 2nd graders extend their previous understanding from kindergarten with adding and subtracting. They begin to memorize their addition and subtraction facts up to 20, as well as solve word problems using objects, drawings, and equations. Children also begin to solve problems with more than two numbers and determine if a number is even or odd.

  • Create and draw stories about adding and subtracting. فمثلا:

    Addition
    : Some bunnies were sitting on the grass. Three more bunnies hopped over to sit with them. Then there were five bunnies. How many bunnies were on the grass before? ? + 3 = 5
    Subtraction: Five apples were on the table. I ate some apples. Then only three apples were left. How many apples did I eat? 5 – ? = 3
  • Practice their addition and subtraction facts by playing games with numbers, dice, online, etc.
  • Decide if numbers they see in the real world are even or odd.

2. Number Sense. Your 1st and 2nd grader is also beginning to understand the concept of place value. Your child is learning about each place — ones, tens, and hundreds — by drawing pictures, counting in groups, and using base ten blocks. They are writing numbers up to 1,000 and comparing numbers. They are also building their mental math skills by solving problems mentally.

  • Read numbers out loud and record numbers you say verbally.
  • Practice understating place value by deciding what the value of a digit is in a specific number. For example: How much is the digit 7 worth in the number 379? 70 because the 7 is in the tens place.
  • Compare numbers using symbols: > (greater than), < (less than), or = (equal to). Play a game where you give them two numbers: 14 and 40. They can answer 14 < 40. Or 40 is > 14.
  • Solve problems mentally. For example: What is 75 + 20? 95

3. Measurement & Data. 1st and 2nd graders are beginning to understand measurement by estimating and measuring using rulers to the nearest inch, foot, yard, etc. They are beginning to count and use money to solve problems. Children are also figuring out how to tell time using both analog and digital clocks, as well as describing and creating different graphs.

  • Estimate how long they think different objects are around the house and use rulers or tape measures to determine the actual size.
  • Read different looking clocks and use appropriate language describing the time using a.m. and p.m.
  • Collect and organize different data.
  • Find graphs in newspapers, magazines, online and compare them.

4. Geometry. In 1st and 2nd grade, children extend their previous understanding from kindergarten with 2-D and 3-D shapes. They examine the attributes of these shapes and are looking at the number of sides, angles, faces, etc. Children also beginning to partition shapes into equal pieces and use appropriate language.

  • Identify 2-D shapes in the world: triangles, quadrilaterals, pentagons, hexagons, and octagons.
  • Identify 3-D shapes in the world: cubes, cones, cylinders, spheres, and triangular and rectangular prisms.
  • Count and find the number of sides or faces and angles each shape has.
  • Cut (partition) circles and rectangles into equal size pieces and use language such as halves, thirds, half of, a third of, etc.

Featured Photo Credit: Ableimages/Thinkstock

Have questions about your child’s math? Submit them to Jennifer here so she can consider answering in an upcoming blog. Or Share them with us on the Scholastic Parents Facebook Page.


شاهد الفيديو: Control Flow in UiPath Studio (شهر نوفمبر 2021).