مقالات

3.4: المعادلات المنفصلة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • استخدم فصل المتغيرات لحل معادلة تفاضلية.
  • حل التطبيقات باستخدام فصل المتغيرات.

ندرس الآن تقنية حل لإيجاد حلول دقيقة لفئة من المعادلات التفاضلية المعروفة باسم المعادلات التفاضلية القابلة للفصل. هذه المعادلات شائعة في مجموعة متنوعة من التخصصات ، بما في ذلك الفيزياء والكيمياء والهندسة. نوضح بعض التطبيقات في نهاية القسم.

فصل المتغيرات

نبدأ بتعريف وبعض الأمثلة.

التعريف: المعادلات التفاضلية المنفصلة

أ معادلة تفاضلية قابلة للفصل هي أي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة

[y '= f (x) g (y). تسمية {sep} ]

يشير المصطلح "قابل للفصل" إلى حقيقة أن الجانب الأيمن من المعادلة ref {sep} يمكن فصله إلى دالة (x ) مرات دالة (y ). تتضمن أمثلة المعادلات التفاضلية القابلة للفصل

[ begin {align} y '= (x ^ 2−4) (3y + 2) label {eq1} [4pt] y' = 6x ^ 2 + 4x label {eq2} [4pt] y '= sec y + tan y label {eq3} [4pt] y' = xy + 3x − 2y − 6. التسمية {eq4} نهاية {محاذاة} ]

المعادلة ref {eq2} قابلة للفصل بـ (f (x) = 6x ^ 2 + 4x ) و (g (y) = 1 ) ، المعادلة ref {eq3} قابلة للفصل بـ (f (x) = 1 ) و (g (y) = sec y + tan y، ) والجانب الأيمن من المعادلة المرجع {eq4} يمكن تحليلها كعوامل ((x + 3) (y − 2) ) ، لذلك يمكن فصلها أيضًا. المعادلة ref {eq3} تسمى أيضًا معادلة تفاضلية مستقلة لأن الجانب الأيمن من المعادلة هو دالة لـ (ص ) وحدها. إذا كانت المعادلة التفاضلية قابلة للفصل ، فمن الممكن حل المعادلة باستخدام طريقة فصل المتغيرات.

إستراتيجية حل المشكلات: فصل المتغيرات

  1. تحقق من أي قيم لـ (y ) تجعل (g (y) = 0. ) تتوافق هذه القيم مع الحلول الثابتة.
  2. أعد كتابة المعادلة التفاضلية بالصيغة [ dfrac {dy} {g (y)} = f (x) dx. ]
  3. ادمج طرفي المعادلة.
  4. حل المعادلة الناتجة لـ (ص ) إن أمكن.
  5. في حالة وجود شرط أولي ، استبدل القيم المناسبة لـ (x ) و (y ) في المعادلة وحل من أجل الثابت.

لاحظ أن الخطوة 4 تنص على "حل المعادلة الناتجة لـ (y ) إن أمكن." ليس من الممكن دائمًا الحصول على (y ) كدالة صريحة لـ (x ). غالبًا ما يجب أن نكون راضين عن إيجاد y كدالة ضمنية لـ (x ).

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام فصل المتغيرات

ابحث عن حل عام للمعادلة التفاضلية (y '= (x ^ 2−4) (3y + 2) ) باستخدام طريقة فصل المتغيرات.

المحلول

اتبع طريقة الخطوات الخمس لفصل المتغيرات.

1. في هذا المثال ، (f (x) = x ^ 2−4 ) و (g (y) = 3y + 2 ). إعداد (g (y) = 0 ) يعطي (y = - dfrac {2} {3} ) كحل ثابت.

2. أعد كتابة المعادلة التفاضلية بالصيغة

[ dfrac {dy} {3y + 2} = (x ^ 2−4) dx. ]

3. ادمج طرفي المعادلة:

[∫ dfrac {dy} {3y + 2} = ∫ (x ^ 2−4) dx. ]

دعونا (u = 3y + 2 ). ثم (du = 3 dfrac {dy} {dx} dx ) ، فتصبح المعادلة

[ dfrac {1} {3} ∫ dfrac {1} {u} du = dfrac {1} {3} x ^ 3−4x + C ]

[ dfrac {1} {3} ln | u | = dfrac {1} {3} x ^ 3−4x + C ]

[ dfrac {1} {3} ln | 3y + 2 | = dfrac {1} {3} x ^ 3−4x + C. ]

4. لحل هذه المعادلة من أجل (y ) ، اضرب أولاً طرفي المعادلة في (3 ).

[ ln | 3y + 2 | = x ^ 3−12x + 3C ]

الآن نستخدم بعض المنطق في التعامل مع الثابت (C ). نظرًا لأن (C ) يمثل ثابتًا تعسفيًا ، فإن (3C ) يمثل أيضًا ثابتًا تعسفيًا. إذا أطلقنا على الثابت التعسفي الثاني (C_1 ) ، تصبح المعادلة

[ ln | 3y + 2 | = x ^ 3−12x + C_1. ]

الآن أسّس طرفي المعادلة (على سبيل المثال ، اجعل كل جانب من المعادلة هو الأس للقاعدة (e )).

[ begin {align} e ^ { ln | 3y + 2 |} = e ^ {x ^ 3−12x + C_1} | 3y + 2 | = e ^ {C_1} e ^ {x ^ 3−12x} end {align} ]

حدد ثابتًا جديدًا مرة أخرى (C_2 = e ^ {c_1} ) (لاحظ أن (C_2> 0 )):

[| 3y + 2 | = C_2e ^ {x ^ 3−12x}. ]

هذا يتوافق مع معادلتين منفصلتين:

[3y + 2 = C_2e ^ {x ^ 3−12x} ]

و

[3y + 2 = −C_2e ^ {x ^ 3−12x}. ]

يمكن كتابة حل أي من المعادلتين بالصيغة

[y = dfrac {−2 ± C_2e ^ {x ^ 3−12x}} {3}. ]

بما أن (C_2> 0 ) ، لا يهم ما إذا كنا نستخدم زائد أو ناقص ، لذلك يمكن أن يحتوي الثابت بالفعل على أي من العلامتين. علاوة على ذلك ، فإن الرمز الموجود على الثابت (C ) تعسفي تمامًا ويمكن إسقاطه. لذلك يمكن كتابة الحل كـ

[y = dfrac {−2 + Ce ^ {x ^ 3−12x}} {3}. ]

5. لم يتم فرض أي شرط مبدئي ، لذلك انتهينا.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم طريقة فصل المتغيرات لإيجاد حل عام للمعادلة التفاضلية

[y '= 2xy + 3y − 4x − 6. لا يوجد رقم]

تلميح

أولًا عامل الجانب الأيمن من المعادلة عن طريق التجميع ، ثم استخدم إستراتيجية الخطوات الخمس لفصل المتغيرات.

إجابه

[y = 2 + Ce ^ {x ^ 2 + 3x} nonumber ]

مثال ( PageIndex {2} ): حل مشكلة القيمة الأولية

باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، حل مشكلة القيمة الأولية

[y '= (2x + 3) (ص ^ 2−4) ، ص (0) = - 1. ]

المحلول

اتبع طريقة الخطوات الخمس لفصل المتغيرات.

1. في هذا المثال ، (f (x) = 2x + 3 ) و (g (y) = y ^ 2−4 ). إعداد (g (y) = 0 ) يعطي (y = ± 2 ) كحلول ثابتة.

2. اقسم طرفي المعادلة على (y ^ 2−4 ) واضرب في (dx ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {dy} {y ^ 2−4} = (2x + 3) dx. ]

3. بعد ذلك ، قم بدمج كلا الجانبين:

[∫ dfrac {1} {y ^ 2−4} dy = ∫ (2x + 3) dx. التسمية {Ex2.2} ]

لتقييم الجانب الأيسر ، استخدم طريقة التحلل الجزئي للكسر. هذا يؤدي إلى الهوية

[ dfrac {1} {y ^ 2−4} = dfrac {1} {4} left ( dfrac {1} {y − 2} - dfrac {1} {y + 2} right) . ]

ثم تصبح المعادلة المرجع {Ex2.2}

[ dfrac {1} {4} ∫ left ( dfrac {1} {y − 2} - dfrac {1} {y + 2} right) dy = ∫ (2x + 3) dx ]

[ dfrac {1} {4} left ( ln | y − 2 | - ln | y + 2 | right) = x ^ 2 + 3x + C. ]

يؤدي ضرب طرفي هذه المعادلة في (4 ) واستبدال (4C ) بـ (C_1 )

[ ln | y − 2 | - ln | y + 2 | = 4x ^ 2 + 12x + C_1 ]

[ ln left | dfrac {y − 2} {y + 2} right | = 4x ^ 2 + 12x + C_1. ]

4. من الممكن حل هذه المعادلة لـ y. ضع أولاً أسًا لطرفي المعادلة وحدد (C_2 = e ^ {C_1} ):

[ left | dfrac {y − 2} {y + 2} right | = C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x}. ]

بعد ذلك يمكننا إزالة القيمة المطلقة وجعل (C_2 ) إما موجبًا أو سالبًا. ثم اضرب كلا الجانبين في (ص + 2 ).

[y − 2 = C_2 (y + 2) e ^ {4x ^ 2 + 12x} ]

[y − 2 = C_2ye ^ {4x ^ 2 + 12x} + 2C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x}. ]

الآن اجمع كل الحدود التي تتضمن y في أحد طرفي المعادلة ، وحل من أجل y:

[y − C_2ye ^ {4x ^ 2 + 12x} = 2 + 2C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x} ]

[y (1 − C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x}) = 2 + 2C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x} ]

[y = dfrac {2 + 2C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x}} {1 − C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x}}. ]

5. لتحديد قيمة (C_2 ) ، استبدل (x = 0 ) و (y = −1 ) في الحل العام. بدلاً من ذلك ، يمكننا وضع نفس القيم في معادلة سابقة ، وهي المعادلة ( dfrac {y − 2} {y + 2} = C_2e ^ {4x ^ 2 + 12} ). حل هذا أسهل بكثير من أجل (C_2 ):

[ dfrac {y − 2} {y + 2} = C_2e ^ {4x ^ 2 + 12x} ]

[ dfrac {−1−2} {- 1 + 2} = C_2e ^ {4 (0) ^ 2 + 12 (0)} ]

[C_2 = -3. ]

لذلك فإن حل مشكلة القيمة الأولية هو

[y = dfrac {2−6e ^ {4x ^ 2 + 12x}} {1 + 3e ^ {4x ^ 2 + 12x}}. ]

يظهر رسم بياني لهذا الحل في الشكل ( PageIndex {1} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد الحل لمشكلة القيمة الأولية

[6y '= (2x + 1) (y ^ 2−2y − 8) nonumber ]

باستخدام (y (0) = - 3 ) باستخدام طريقة فصل المتغيرات.

تلميح

اتبع خطوات فصل المتغيرات لحل مشكلة القيمة الأولية.

إجابه

[y = dfrac {4 + 14e ^ {x ^ 2 + x}} {1−7e ^ {x ^ 2 + x}} nonumber ]

تطبيقات فصل المتغيرات

يمكن وصف العديد من المشاكل المثيرة للاهتمام بواسطة معادلات منفصلة. نوضح نوعين من المشاكل: تركيزات المحلول وقانون التبريد لنيوتن.

تركيزات المحلول

ضع في اعتبارك أن خزانًا مملوءًا بمحلول ملح. نود تحديد كمية الملح الموجودة في الخزان كدالة للوقت. يمكننا تطبيق عملية فصل المتغيرات لحل هذه المشكلة والمشاكل المماثلة التي تنطوي عليها تركيزات المحلول.

مثال ( PageIndex {3} ): تحديد تركيز الملح بمرور الوقت

يحتوي الخزان الذي يحتوي على (100 ، لتر ) من محلول ملحي في البداية على (4 ، كجم ) من الملح المذاب في المحلول. في الوقت (t = 0 ) ، يتدفق محلول ملحي آخر في الخزان بمعدل (2 ، لتر / دقيقة ). يحتوي محلول المحلول الملحي هذا على تركيز (0.5 ، كجم / لتر ) من الملح. في نفس الوقت ، يتم فتح محبس الإغلاق في أسفل الخزان ، مما يسمح للحل المدمج بالتدفق بمعدل (2 ، لتر / دقيقة ) ، بحيث يظل مستوى السائل في الخزان ثابتًا ( الشكل ( PageIndex {2} )). أوجد كمية الملح في الخزان كدالة للوقت (تقاس بالدقائق) ، واعثر على الكمية المحدودة من الملح في الخزان ، بافتراض أن المحلول الموجود في الخزان مختلط جيدًا في جميع الأوقات.

المحلول

أولاً نحدد دالة (u (t) ) تمثل كمية الملح بالكيلوجرام في الخزان كدالة للوقت. ثم يمثل ( dfrac {du} {dt} ) المعدل الذي تتغير به كمية الملح في الخزان كدالة زمنية. أيضًا ، (u (0) ) يمثل كمية الملح في الخزان في الوقت (t = 0 ) ، وهي (4 ) كجم.

الإعداد العام للمعادلة التفاضلية التي سنحلها هو من الشكل

[ dfrac {du} {dt} = معدل التأثير − معدل التدفق. ]

يمثل معدل التدفق المعدل الذي يدخل به الملح إلى الخزان ، ويمثل معدل التدفق الخارج المعدل الذي يترك به الملح الخزان. لأن المحلول يدخل الخزان بمعدل (2 ) لتر / دقيقة ، ويحتوي كل لتر من المحلول على (0.5 ) كيلوجرام من الملح ، فإن كل دقيقة (2 (0.5) = 1 كيلو جرام ) من الملح يدخل الخزان . لذلك معدل التدفق = (1 ).

لحساب المعدل الذي يترك عنده الملح الخزان ، نحتاج إلى تركيز الملح في الخزان في أي وقت. نظرًا لأن الكمية الفعلية من الملح تختلف بمرور الوقت ، كذلك يختلف تركيز الملح. ومع ذلك ، يظل حجم المحلول ثابتًا عند 100 لتر. عدد كيلوغرامات الملح في الخزان في الوقت (t ) يساوي (u (t) ). وبالتالي ، فإن تركيز الملح هو ( dfrac {u (t)} {100} كجم / لتر ) ، ويغادر المحلول الخزان بمعدل (2 ) لتر / دقيقة. لذلك يترك الملح الخزان بمعدل ( dfrac {u (t)} {100} ⋅2 = dfrac {u (t)} {50} ) كجم / دقيقة ، و OUTFLOW RATE يساوي ( dfrac {u (t)} {50} ). لذلك تصبح المعادلة التفاضلية ( dfrac {du} {dt} = 1− dfrac {u} {50} ) ، والشرط الأولي هو (u (0) = 4. ) مشكلة القيمة الأولية المراد حلها هو

[ dfrac {du} {dt} = 1− dfrac {u} {50} ، u (0) = 4. ]

المعادلة التفاضلية هي معادلة قابلة للفصل ، لذا يمكننا تطبيق إستراتيجية الخطوات الخمس للحل.

الخطوة 1. إعداد (1− dfrac {u} {50} = 0 ) يعطي (u = 50 ) كحل ثابت. نظرًا لأن الكمية الأولية من الملح في الخزان هي (4 ) كيلوجرام ، فإن هذا المحلول لا ينطبق.

الخطوة 2. أعد كتابة المعادلة بالشكل

[ dfrac {du} {dt} = dfrac {50 − u} {50}. ]

ثم اضرب كلا الجانبين في (dt ) واقسم كلا الجانبين على (50 − u: )

[ dfrac {du} {50 − u} = dfrac {dt} {50}. ]

الخطوة 3. ادمج كلا الجانبين:

[ start {align} ∫ dfrac {du} {50 − u} = ∫ dfrac {dt} {50} - ln | 50 − u | = dfrac {t} {50} + ج. نهاية {محاذاة} ]

الخطوة 4. حل من أجل (u (t) ):

[ ln | 50 − u | = - dfrac {t} {50} −C ]

[e ^ { ln | 50 − u |} = e ^ {- (t / 50) −C} ]

[| 50 − u | = C_1e ^ {- t / 50}. ]

تخلص من القيمة المطلقة بالسماح للثابت بأن يكون موجبًا أو سالبًا:

[50 − u = C_1e ^ {- t / 50}. ]

أخيرًا ، حل من أجل (u (t) ):

[u (t) = 50 − C_1e ^ {- t / 50}. ]

الخطوة 5. حل من أجل (C_1 ):

[ start {align} u (0) = 50 − C_1e ^ {- 0/50} 4 = 50 − C_1 C_1 = 46. نهاية {محاذاة} ]

حل مشكلة القيمة الأولية هو (u (t) = 50−46e ^ {- t / 50}. ) للعثور على الكمية المحدودة من الملح في الخزان ، خذ الحد حيث (t ) يقترب من اللانهاية :

[ start {align} lim_ {t → ∞} u (t) = 50−46e ^ {- t / 50} = 50−46 (0) = 50. نهاية {محاذاة} ]

لاحظ أن هذا هو الحل الثابت للمعادلة التفاضلية. إذا كانت الكمية الأولية من الملح في الخزان (50 ) كيلوجرامًا ، فإنها تظل ثابتة. إذا بدأ بأقل من (50 ) كيلوجرام ، فإنه يقترب من 50 كيلوجرامًا بمرور الوقت.

تمرين ( PageIndex {3} )

خزان يحتوي على (3 ) كيلو ملح مذاب في (75 ) لتر ماء. يتم ضخ محلول ملح من (0.4 ، كجم ملح / لتر ) في الخزان بمعدل (6 ، لتر / دقيقة ) ويتم تصريفه بنفس المعدل. حل لتركيز الملح في الوقت (t ). افترض أن الخزان مخلوط جيدًا في جميع الأوقات.

تلميح

اتبع الخطوات في المثال ( PageIndex {3} ) وحدد تعبيرًا لـ INFLOW و OUTFLOW. قم بصياغة مسألة قيمة أولية ، ثم حلها.

مشكلة القيمة الأولية:

[ dfrac {du} {dt} = 2.4− dfrac {2u} {25}، ، u (0) = 3 nonumber ]

إجابه

[u (t) = 30−27e ^ {- t / 50} nonumber ]

قانون نيوتن للتبريد

قانون نيوتن للتبريد ينص على أن معدل تغير درجة حرارة الجسم يتناسب مع الاختلاف بين درجة حرارة الجسم ودرجة الحرارة المحيطة (أي درجة حرارة محيطه). إذا سمحنا (T (t) ) بتمثيل درجة حرارة جسم ما كدالة زمنية ، فإن ( dfrac {dT} {dt} ) يمثل المعدل الذي تتغير به درجة الحرارة هذه. يمكن تمثيل درجة حرارة محيط الكائن بواسطة (T_s ). ثم يمكن كتابة قانون نيوتن للتبريد في الشكل

[ dfrac {dT} {dt} = ك (T (t) −T_s) ]

أو ببساطة

[ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s). ]

درجة حرارة الجسم في بداية أي تجربة هي القيمة الأولية لمسألة القيمة الأولية. نسمي هذه درجة الحرارة (T_0 ). لذلك تأخذ مشكلة القيمة الأولية التي يجب حلها الشكل

[ dfrac {dT} {dt} = k (T − T_s) label {newton} ]

مع (T (0) = T_0 ) ، حيث (k ) هو ثابت يجب أن يُعطى أو يُحدد في سياق المشكلة. نستخدم هذه المعادلات في المثال ( PageIndex {4} ).

مثال ( PageIndex {4} ): انتظار بيتزا حتى تبرد

يتم إخراج البيتزا من الفرن بعد الخبز جيداً وتكون درجة حرارة الفرن (350 فهرنهايت ) درجة حرارة المطبخ (75 فهرنهايت ) وبعد (5 ) دقائق درجة الحرارة من البيتزا (340 فهرنهايت ). نود الانتظار حتى تصل درجة حرارة البيتزا (300 درجة فهرنهايت ) قبل تقطيعها وتقديمها (الشكل ( PageIndex {3} )). كم من الوقت علينا الانتظار؟

المحلول

درجة الحرارة المحيطة (درجة الحرارة المحيطة) هي (75 درجة فهرنهايت ) ، لذلك (T_s = 75 ). درجة حرارة البيتزا عند خروجها من الفرن هي (350 درجة فهرنهايت ) ، وهي درجة الحرارة الأولية (أي القيمة الأولية) ، لذلك (T_0 = 350 ). لذلك تصبح المعادلة المرجع {نيوتن}

[ dfrac {dT} {dt} = ك (T − 75) ]

مع (T (0) = 350. )

لحل المعادلة التفاضلية ، نستخدم تقنية الخطوات الخمس لحل المعادلات القابلة للفصل.

1. ضبط الطرف الأيمن على الصفر يعطي (T = 75 ) كحل ثابت. نظرًا لأن البيتزا تبدأ عند (350 درجة فهرنهايت ، ) فهذا ليس الحل الذي نسعى إليه.

2. أعد كتابة المعادلة التفاضلية بضرب كلا الجانبين في (dt ) وقسمة كلا الطرفين على (T − 75 ):

[ dfrac {dT} {T − 75} = كيلو دالتون. لا يوجد رقم]

3. ادمج كلا الجانبين:

[ start {align} ∫ dfrac {dT} {T − 75} = ∫kdt nonumber ln | T − 75 | = كيلوطن + ج. عدد نهاية {محاذاة} ]

4. حل من أجل (T ) عن طريق الأس كلا الجانبين أولاً:

[ begin {align} e ^ { ln | T − 75 |} = e ^ {kt + C} nonumber | T − 75 | = C_1e ^ {kt} nonumber T − 75 = C_1e ^ {kt} nonumber T (t) = 75 + C_1e ^ {kt}. nonumber end {align} ]

5. حل من أجل (C_1 ) باستخدام الشرط الأولي (T (0) = 350: )

[ begin {align} T (t) = 75 + C_1e ^ {kt} nonumber T (0) = 75 + C_1e ^ {k (0)} nonumber 350 = 75 + C_1 nonumber C_1 = 275. عدد نهاية {محاذاة} ]

لذلك فإن حل مشكلة القيمة الأولية هو

[T (t) = 75 + 275e ^ {kt}. nonumber ]

لتحديد قيمة (ك ) ، نحتاج إلى استخدام حقيقة أنه بعد (5 ) دقائق تكون درجة حرارة البيتزا (340 درجة فهرنهايت ). لذلك (T (5) = 340. ) استبدال هذه المعلومات في حل مشكلة القيمة الأولية ، لدينا

[T (t) = 75 + 275e ^ {kt} nonumber ]

[T (5) = 340 = 75 + 275e ^ {5k} nonumber ]

[265 = 275e ^ {5k} nonumber ]

[e ^ {5k} = dfrac {53} {55} nonumber ]

[ ln e ^ {5k} = ln ( dfrac {53} {55}) nonumber ]

[5k = ln ( dfrac {53} {55}) nonumber ]

[k = dfrac {1} {5} ln ( dfrac {53} {55}) ≈ − 0.007408. nonumber ]

إذن لدينا الآن (T (t) = 75 + 275e ^ {- 0.007048t}. ) ما هي درجة الحرارة (300 درجة فهرنهايت )؟ نجد أن إيجاد t

[T (t) = 75 + 275e ^ {- 0.007048t} nonumber ]

[300 = 75 + 275e ^ {- 0.007048t} nonumber ]

[225 = 275e ^ {- 0.007048t} nonumber ]

[e ^ {- 0.007048t} = dfrac {9} {11} nonumber ]

[ ln e ^ {- 0.007048t} = ln dfrac {9} {11} nonumber ]

[- 0.007048t = ln dfrac {9} {11} nonumber ]

[t = - dfrac {1} {0.007048} ln dfrac {9} {11} ≈28.5. nonumber ]

لذلك نحن بحاجة إلى الانتظار (23.5 ) دقيقة إضافية (بعد أن تصل درجة حرارة البيتزا (340 درجة فهرنهايت )). يجب أن يكون هذا وقتًا كافيًا فقط لإنهاء هذا الحساب.

تمرين ( PageIndex {4} )

يتم إخراج الكعكة من الفرن بعد الخبز جيداً وتكون درجة حرارة الفرن (450 درجة فهرنهايت ). درجة حرارة المطبخ (70 درجة فهرنهايت ) وبعد (10 ​​) دقائق تكون درجة حرارة الكعكة (430 فهرنهايت ).

  1. اكتب مسألة القيمة الأولية المناسبة لوصف هذا الموقف.
  2. حل مشكلة القيمة الأولية من أجل (T (t) ).
  3. كم من الوقت سيستغرق حتى تصبح درجة حرارة الكعكة داخل (5 درجة فهرنهايت ) من درجة حرارة الغرفة؟
تلميح

حدد قيم (T_s ) و (T_0 ) ثم استخدم المعادلة المرجع {نيوتن}.

الإجابة أ

مشكلة القيمة الأولية [ dfrac {dT} {dt} = k (T − 70)، T (0) = 450 nonumber ]

الجواب ب

[T (t) = 70 + 380e ^ {kt} nonumber ]

الجواب ج

تقريبا (114 ) دقيقة.

المفاهيم الرئيسية

  • المعادلة التفاضلية القابلة للفصل هي أي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة (y '= f (x) g (y). )
  • يتم استخدام طريقة فصل المتغيرات لإيجاد الحل العام لمعادلة تفاضلية قابلة للفصل.

المعادلات الرئيسية

  • معادلة تفاضلية قابلة للفصل

(y ′ = f (x) g (y) )

  • تركيز المحلول

( dfrac {du} {dt} = معدل التدفق − معدل التدفق )

  • قانون نيوتن للتبريد

( dfrac {dT} {dt} = ك (T − T_s) )

قائمة المصطلحات

معادلة تفاضلية مستقلة
معادلة يكون فيها الطرف الأيمن دالة لـ (ص ) وحده
معادلة تفاضلية قابلة للفصل
أي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة (y '= f (x) g (y) )
فصل المتغيرات
طريقة تستخدم لحل معادلة تفاضلية قابلة للفصل

مساحة منفصلة

مساحة طوبولوجية $ left ( right) يُقال إن $ هو مسافة قابلة للفصل إذا كان يحتوي على مجموعة فرعية كثيفة معدودة في $ X $ ie ، $ A subseteq X $ ، $ overline A = X $ ، أو $ A cup U ne phi $ ، حيث $ U $ هي مجموعة مفتوحة.

بمعنى آخر ، يُقال أن المسافة $ X $ هي مسافة قابلة للفصل إذا كانت هناك مجموعة فرعية $ A $ من $ X $ بحيث (1) $ A $ قابلة للعد (2) $ overline A = X $ ($ A $ كثيف في $ X $).

دع $ X = left <<1،2،3،4،5> right > $ يكون مجموعة غير فارغة و $ tau = left << phi ، X ، left <3 right >، left <<3،4> right >، left <<2،3> right >، left <<2،3،4> right >> right > $ be a topology المعرفة على $ X $. افترض أن مجموعة فرعية $ A = left <<1،3،5> right > subseteq X $. المجموعات المغلقة هي $ X، phi، left <<1،2،4،5> right >، left <<1،2،5> right >، left <<1 ، 4،5> right >، left <<1،5> right > $. الآن لدينا $ overline A = X $. نظرًا لأن $ A $ محدود ومكثف في $ X $ ، فإن $ X $ هو مسافة قابلة للفصل.

ضع في اعتبارك أن مجموعة الأرقام المنطقية $ mathbbمجموعة فرعية من $ mathbb$ (بالطوبولوجيا المعتادة) ، ثم المجموعة المغلقة الوحيدة التي تحتوي على $ mathbb$ هو $ mathbb$ ، مما يدل على أن $ overline < Bbb Q> = mathbb$. منذ $ mathbb$ كثيف في $ mathbb$ ، ثم $ mathbb$ أيضًا قابل للفصل في $ mathbb$. ومع ذلك ، فإن مجموعة الأرقام غير المنطقية كثيفة في $ mathbb$ لكن غير قابل للعد.

نظريات
• كل مساحة معدودة ثانية هي مسافة قابلة للفصل.
• كل مساحة قابلة للفصل ليست مساحة ثانية قابلة للعد.
• كل مساحة مترية قابلة للفصل هي مساحة ثانية قابلة للعد.
• الصورة المستمرة لمساحة قابلة للفصل قابلة للفصل.


العديد من المسائل التي تتضمن معادلات تفاضلية قابلة للفصل هي مسائل كلامية. تتطلب هذه المشكلات خطوة إضافية لترجمة العبارة إلى معادلة تفاضلية.

عند قراءة جملة تتعلق بوظيفة بأحد مشتقاتها ، من المهم استخراج المعنى الصحيح لإيجاد معادلة تفاضلية. المفتاح هو البحث عن عبارات مثل "معدل التغيير" لأنها تشير إلى وجود مشتق. في الواقع ، المصطلح "مشتق" وعبارة "معدل التغيير" مترادفان ، لذلك يجب أن يوضع في الاعتبار عند بناء معادلة تفاضلية تشكل مشكلة كلمة.

  • معدل نمو البكتيريا يتناسب طرديا مع البكتيريا الحالية.

  • معدل تغير درجة حرارة الجسم يتناسب طرديا مع اختلاف درجة حرارة الجسم الحالية ودرجة حرارة البيئة المحيطة.

  • القوة التي يشعر بها جسم في السقوط الحر هي الفرق بين وزنه وقوة السحب ، حيث تتناسب قوة السحب مع السرعة الحالية للجسم.

بمجرد كتابة مشكلة كلامية كمعادلة تفاضلية ، يمكن حلها باستخدام تقنيات القسم السابق.

يمكن استخدام نفس الأسلوب في حل المشكلات الأخرى أيضًا.

يتناسب معدل نمو ساق الفاصولياء مع الجذر التربيعي لارتفاعه الحالي. إذا كان الارتفاع 100 قدم في البداية ونما إلى 400 قدم بعد 5 أيام ، فما هو ارتفاعه بعد 20 يومًا أخرى؟

دع ارتفاع ساق الفاصولياء (بالأقدام) يُرمز إليه بـ h h h ، والوقت (بالأيام) بواسطة t t t. ثم معدل نمو ساق شجرة الفاصولياء d h d t هو is = متناسب مع ⏟ k الجذر التربيعي لارتفاعه الحالي. ⏟ h underbrace < text> _ < huge < frac

>> underbrace < text > _ < huge <= >> underbrace < text <يتناسب مع >> _ < huge > underbrace < text <الجذر التربيعي لارتفاعه الحالي. >> _ < huge < sqrt>> د t د ح

معدل نمو ساق الفاصولياء =

هو k

يتناسب مع h

الجذر التربيعي لارتفاعه الحالي.

الآن ، d h h = k d t ⟹ ∫ d h h = ∫ k d t ⟹ 2 h = k t + C. frac < sqrt > = k dt يشير إلى int frac < sqrt > = int k dt يشير إلى 2 sqrt = kt + C ح

د ح = ك د ر ⟹ ∫ ح

د ح = ∫ ك د t ⟹ 2 ساعة

= ك t + ج.

بما أن h = 100 h = 100 h = 1 0 0 عند t = 0 t = 0 t = 0 و h = 400 h = 400 h = 4 0 0 at t = 5 t = 5 t = 5 ، لدينا

<2100 = ك × 0 + ج 2400 = ك × 5 + ج. يبدأ 2 sqrt <100> & amp = k times 0 + C 2 sqrt <400> & amp = k times 5 + C. end < 2 1 0 0

​ 2 4 0 0

= ك × 0 + ج = ك × 5 + ج.

من المعادلة الأولى لدينا C = 20 C = 20 C = 2 0. بالتعويض عن هذا في المعادلة الثانية ، نحصل على 40 = 5 k + 20 40 = 5k + 20 4 0 = 5 k + 2 0 ، مما يعني أن k = 4 k = 4 k = 4.

وبالتالي ، لدينا الآن الحل الخاص للمعادلة التفاضلية: 2 h = 4 t + 20 ⟹ h = (2 t + 10) 2. 2 sqrt = 4t + 20 يشير إلى h = (2t + 10) ^ <2>. 2 ح

= 4 ن + 2 0 ⟹ ع = (2 ن + 1 0) 2.

الآن أصبح من السهل جدًا العثور على ارتفاع ساق الفاصولياء بعد 20 يومًا إضافيًا. نحتاج فقط إلى إيجاد ارتفاع شجرة الفاصولياء عند t = 5 + 20 = 25 يومًا t = 5 + 20 = 25 text t = 5 + 2 0 = 2 5 days. استبدل ببساطة t = 25 t = 25 t = 2 5 في المعادلة واحصل على: h = (2 × 25 + 10) 2 = 6 0 2 = 3600 (قدم). ح = (2 مرات 25 + 10) ^ <2> = 60 ^ <2> = 3600 نص <(قدم)>. ع = (2 × 2 5 + 1 0) 2 = 6 0 2 = 3 6 0 0 (قدم).

ينمو عدد سكان بلد ما بمعدل يتناسب مع حجم السكان. إذا تضاعف عدد السكان خلال 50 عامًا ، فكم عدد السنوات (من الآن) سيتضاعف ثلاث مرات؟


محتويات

افترض أنه يمكن كتابة معادلة تفاضلية بالصيغة

والتي يمكننا كتابتها ببساطة عن طريق السماح لـ y = f (x)

طالما ح(ذ) ≠ 0 ، يمكننا إعادة ترتيب الشروط للحصول على:

بحيث المتغيرين x و ذ تم فصلهم. dxدى) ، على مستوى بسيط ، على أنه مجرد تدوين مناسب ، والذي يوفر مساعدة ذاكري مفيدة للمساعدة في التلاعب. تعريف رسمي لـ dx كتفاضل (متناهي الصغر) متقدم إلى حد ما.

تدوين بديل تحرير

أولئك الذين لا يحبون تدوين Leibniz قد يفضلون كتابة هذا كـ

لكن هذا يفشل في توضيح سبب تسمية هذا بـ "فصل المتغيرات". تكامل طرفي المعادلة بالنسبة إلى x < displaystyle x> ، لدينا

إذا كان بإمكان المرء تقييم التكاملات ، فيمكنه إيجاد حل للمعادلة التفاضلية. لاحظ أن هذه العملية تسمح لنا بفعالية بمعالجة المشتق d y d x < displaystyle < frac >> ككسر يمكن فصله. يتيح لنا ذلك حل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل بسهولة أكبر ، كما هو موضح في المثال أدناه.

(لاحظ أننا لا نحتاج إلى استخدام ثابتين للتكامل في المعادلة (أ 1) مثل كلمة

∫ 1 h (y) d y + C 1 = ∫ g (x) d x + C 2، > ، dy + C_ <1> = int g (x) ، dx + C_ <2>،>

مثال تحرير

غالبًا ما يتم نمذجة النمو السكاني بواسطة المعادلة التفاضلية

يمكن استخدام فصل المتغيرات لحل هذه المعادلة التفاضلية.

لإيجاد التكامل في الطرف الأيسر ، نبسط الكسر

ثم نحلل الكسر إلى كسور جزئية

لذلك ، فإن حل المعادلة اللوجستية هو

تعميم معادلات ODE القابلة للفصل على الترتيب رقم n لتحرير

مثلما يمكن للمرء أن يتحدث عن ODE من الدرجة الأولى قابل للفصل ، يمكن للمرء أن يتحدث عن ترتيب ثانٍ قابل للفصل أو ترتيب ثالث أو نال ترتيب ODE. ضع في اعتبارك ODE القابل للفصل من الدرجة الأولى:

يمكن بدلاً من ذلك كتابة المشتق بالطريقة التالية للتأكيد على أنه عامل يعمل على وظيفة غير معروفة ، ذ:

وهكذا ، عندما يفصل المرء بين متغيرات معادلات من الدرجة الأولى ، فإن المرء في الواقع يحرك dx مقام المشغل إلى الجانب مع x متغير و د(ذ) على الجانب مع ذ عامل. عامل المشتق الثاني ، عن طريق القياس ، ينقسم على النحو التالي:

الثالث والرابع و نتنقسم معاملات المشتق th بنفس الطريقة. وهكذا ، يشبه إلى حد كبير ODE القابل للفصل من الدرجة الأولى إلى النموذج

يمكن اختزال ODE من الدرجة الثانية القابلة للفصل إلى النموذج

ويمكن اختزال ODE القابل للفصل من الترتيب n إلى

مثال تحرير

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية البسيطة غير الخطية من الدرجة الثانية:

تُستخدم طريقة فصل المتغيرات أيضًا لحل مجموعة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ذات الشروط الحدودية والأولية ، مثل معادلة الحرارة ومعادلة الموجة ومعادلة لابلاس ومعادلة هيلمهولتز والمعادلة البيهارمونية.

تم أيضًا تعميم الطريقة التحليلية لفصل المتغيرات لحل المعادلات التفاضلية الجزئية في طريقة حسابية للتحلل في الهياكل الثابتة التي يمكن استخدامها لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية. [1]

مثال: حالة متجانسة تحرير

ضع في اعتبارك معادلة الحرارة أحادية البعد. المعادلة

المتغير ش يدل على درجة الحرارة. شرط الحدود متجانسة ، أي

دعونا نحاول إيجاد حل لا يكون صفراً متطابقًا يفي بشروط الحدود ولكن بالخاصية التالية: ش هو منتج فيه الاعتماد على ش على x, ر مفصولة ، أي:

أستعاض ش العودة إلى المعادلة (1) واستخدام قاعدة المنتج ،

منذ الجانب الأيمن يعتمد فقط على x والجانب الأيسر فقط ر، كلا الجانبين يساوي بعض القيمة الثابتة -λ. هكذا:

λ هنا هي قيمة eigenvalue لكل من العوامل التفاضلية ، و تي(ر) و X(x) هي وظائف eigenfunctions المقابلة.

سوف نظهر الآن أن الحلول ل X(x) لقيم λ ≤ 0 لا يمكن أن يحدث:

لنفترض أن λ & lt 0. ثم توجد أعداد حقيقية ب, ج مثل ذلك

وبالتالي ب = 0 = ج مما يوحي ش هو متطابق 0.

لنفترض أن λ = 0. ثم توجد أعداد حقيقية ب, ج مثل ذلك

من (7) نستنتج بنفس الطريقة كما في 1 أن ش هو متطابق 0.

لذلك ، يجب أن يكون الأمر كذلك λ & GT 0. ثم توجد أرقام حقيقية أ, ب, ج مثل ذلك

من (7) نحن نحصل ج = 0 وذلك لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة ن,

هذا يحل معادلة الحرارة في الحالة الخاصة التي تعتمد على ش له شكل خاص من (3).

بشكل عام ، مجموع الحلول لـ (1) التي تفي بشروط الحدود (2) يرضي أيضًا (1) و (3). ومن ثم يمكن تقديم حل كامل على النحو

أين دن هي معاملات تحددها الحالة الأولية.

نظرا للحالة الأولية

هذا هو توسيع سلسلة شرط من F(x). ضرب كلا الطرفين بـ sin ⁡ n π x L < textstyle sin < frac >> والتكامل عبر [0 ، إل] يؤدي الى

مثال: تحرير حالة غير متجانسة

لنفترض أن المعادلة غير متجانسة ،

بشرط الحدود هو نفسه (2).

يوسع ح(س ، ت), ش(x,ر) و F(x) إلى

أين حن(ر) و بن يمكن حسابها بالتكامل ، بينما شن(ر) يتم تحديده.

استبدل (9) و (10) ارجع الى (8) والنظر في تعامد وظائف الجيب التي نحصل عليها

وهي سلسلة من المعادلات التفاضلية الخطية التي يمكن حلها بسهولة ، على سبيل المثال ، تحويل لابلاس ، أو عامل التكامل. أخيرًا ، يمكننا الحصول عليها

إذا كان الشرط الحدودي غير متجانسة ، فإن توسع (9) و (10) لم يعد صالحا. على المرء أن يجد وظيفة الخامس التي تفي بشرط الحدود فقط ، وطرحها من ش. الوظيفة u-v ثم يفي بشرط حد متجانس ، ويمكن حلها بالطريقة المذكورة أعلاه.

مثال: تحرير المشتقات المختلطة

بالنسبة لبعض المعادلات التي تتضمن مشتقات مختلطة ، لا تنفصل المعادلة بسهولة كما فعلت معادلة الحرارة في المثال الأول أعلاه ، ولكن مع ذلك ، لا يزال من الممكن تطبيق فصل المتغيرات. ضع في اعتبارك المعادلة ثنائية الأبعاد

بالعمل بالطريقة المعتادة ، نبحث عن حلول للنموذج

ونحصل على المعادلة

كتابة هذه المعادلة بالصيغة

E (x) + F (x) G (y) + H (y) = 0 ،

نرى أن المشتق فيما يتعلق x و ذ يزيل الشرطين الأول والأخير ، لذلك

الإحداثيات المنحنية تحرير

في الإحداثيات المتعامدة المنحنية ، لا يزال من الممكن استخدام فصل المتغيرات ، ولكن في بعض التفاصيل تختلف عن تلك الموجودة في الإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال ، قد يحدد الانتظام أو الحالة الدورية القيم الذاتية بدلاً من الشروط الحدودية. انظر التوافقيات الكروية على سبيل المثال.

المعادلات التفاضلية الجزئية

بالنسبة للعديد من أجهزة PDE ، مثل معادلة الموجة ومعادلة Helmholtz ومعادلة Schrodinger ، فإن إمكانية تطبيق فصل المتغيرات هي نتيجة للنظرية الطيفية. في بعض الحالات ، قد لا يكون فصل المتغيرات ممكنًا. قد يكون فصل المتغيرات ممكنًا في بعض أنظمة الإحداثيات دون غيرها ، [2] وأي أنظمة إحداثيات تسمح بالفصل تعتمد على خصائص التناظر في المعادلة. [3] يوجد أدناه مخطط للحجة التي توضح قابلية تطبيق الطريقة على معادلات خطية معينة ، على الرغم من أن الطريقة الدقيقة قد تختلف في الحالات الفردية (على سبيل المثال في المعادلة biharmonic أعلاه).

ومن ثم ، فإن النظرية الطيفية تضمن أن فصل المتغيرات (عندما يكون ذلك ممكنًا) سيجد جميع الحلول.

شكل المصفوفة لفصل المتغيرات هو مجموع كرونيكر.

كمثال ، نعتبر Laplacian المنفصل ثنائي الأبعاد على شبكة منتظمة:

بعض البرامج الرياضية قادرة على فصل المتغيرات: Xcas [5] من بين أمور أخرى.


أهلا بك!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (فقط تذكر أن تستشهد بـ OCW كمصدر.)


3.4: المعادلات المنفصلة - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نحل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل ومسائل القيمة الأولية.

المعادلات التفاضلية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن مشتق واحد أو أكثر لدالة غير معروفة. يتطلب حل المعادلة التفاضلية تحديد الوظيفة غير المعروفة.

مشكلة القيمة الأولية هي معادلة تفاضلية مع معلومات أخرى حول الحل ، وعادة ما تكون قيمة الوظيفة عند نقطة ما. The purpose of the initial value is to determine one specific solution of the differential equation, in the event that there was more than one solution.

The general solution of the differential equation is

The solution to the initial value problem is

Separable Differential Equations

أ separable differential equation is a differential equation that can be put in the form . To solve such an equation, we separate the variables by moving the ’s to one side and the ’s to the other, then integrate both sides with respect to and solve for . In general, the process goes as follows: Let for convenience and we have

Integrating both sides with respect to using a the substitution , we have and so Now we solve for algebraically to get the final answer. To simplify the computations, we will use instead of and then make a slight abuse of notation to get to the same end result. From the beginning: again using for convenience. Now we write this last equation in differential form and put an integral sign on both sides(!): yielding as before.


جدول المحتويات

This book presents a comprehensive introduction to the theory of separable algebras over commutative rings. After a thorough introduction to the general theory, the fundamental roles played by separable algebras are explored. For example, Azumaya algebras, the henselization of local rings, and Galois theory are rigorously introduced and treated. Interwoven throughout these applications is the important notion of étale algebras. Essential connections are drawn between the theory of separable algebras and Morita theory, the theory of faithfully flat descent, cohomology, derivations, differentials, reflexive lattices, maximal orders, and class groups.

The text is accessible to graduate students who have finished a first course in algebra, and it includes necessary foundational material, useful exercises, and many nontrivial examples.

Graduate students and researchers interested in algebra.

The book is neatly arranged. It can be used as a textbook for self-study and as a reference text for most of the topics related to separability. It will be a valuable resource for students and researchers and has the potential to be a standard reference on separable algebras for many years.

-- Wolfgang Rump, Mathematical Reviews

The thorough and comprehensive treatment of separable, Azumaya, and tale algebras, Hensel rings, the Galois theory of rings, and Galois cohomology of rings makes the book under review an indispensable reference for the graduate student interested in these topics. As an added bonus, the book comes with a rich, 155 item, bibliography, well-chosen examples, calculations, and sets of exercises in each chapter, which makes this book an excellent textbook for self-study or for a topics course on separable algebras.

-- Felipe Zaldivar, MAA Reviews


Numerical solution of non-separable elliptic equations by the iterative application of FFT methods

A method for the numerical solution of non-separable (self-adjoint) elliptic equations is described in which the basic approach is the iterative application of direct methods. Such equations may be transformed into Helmholtz form and this Helmholtz problem is solved by the iterative application of FFT methods. An equation which is ‘near’ (in some sense) to the Helmholtz equation is appropriately chosen from the general class of equations soluble directly by FFT methods (see, for example, Le Bail, 1972) and the iteration (of block-Jacobi form) consists of corrections to the relevant Fourier harmonic amplitudes of the solution of this ‘nearby’ equation. It is also shown that the method is equivalent to a D' Yakonov-Gunn iteration [D' Yakonov (1961), Gunn(1964)] with a particular choice of iteration parameter and it is well known that, for self-adjoint problems with smooth coefficients, this form of iteration has a convergence rate which is essentially independent of grid-size.

In the Concus and Golub (1973) method for solving non-separable elliptic equations such equations are transformed to Helmholtz form and Poisson's equation is employed as the ‘nearby’ equation. At each iterative stage this equation is solved by the Bunemann (cyclic reduction) algorithm. Their method also uses shifted iterations to improve convergence rates and we adopt a similar approach in the present study. However, our choice of nearby equation allows the use of a form of variable shift (in addition to the constant shift used by Concus وآخرون al.,) and it will be demonstrated that the use of such a variable shift can considerably improve rates of convergence in some examples.

Numerical results are presented for illustrative examples in the unit square with Dirichlet boundary conditions and the general computational behaviour of the method was found to be in very good agreement with that predicted by a theoretical analysis. The general iterative approach may be extended to more general linear elliptic equations.


1 إجابة 1

Separation of variables works on regions that are rectangular in some particular coordinate system. The underlying operator must be separable in that coordinate system. For the Laplacian, that generally means an orthogonal coordinate system such as spherical coordinates, cylindrical coordinates, elliptic coordinates, etc.. A rectangular region in spherical coordinates can be a sphere, a spherical thick shell, a wedge, etc.. There are a couple of dozen such coordinate systems. You can add various potentials, provided their dependence is also separable (usually meaning that the it depends on only one of the coordinate variables.)

So the number of configurations where you can separate variables is limited, but it includes an important class of problems. Once you are able to separate variables, the result is an ODE in each coordinate on an interval in the corresponding variable, which is why the region where you're solving needs to be a rectangular box in the chosen coordinate system. Sturm and Liouville did a nice job in the early 1800's of characterizing the ODEs coming out of separation of variables eigenvalue problems. These are the Sturm-Liouville eigenfunction equations with eigenvalue $lambda$ on an interval $[a,b]$: $ frac<1> اليسار [ فاركleft(p(x)frac ight)+q(x) ight]=lambda f, cosalpha f(a)+sinalpha f'(a) = 0, coseta f(b)+sineta f'(b) = 0. $ The function $w$ determines a weight for the space $L^2_w(a,b)$ where the problem is properly posed as a selfadjoint one. The inner product on this space involves this weight function, and as given by $ (f,g)_w=int_^f(t)overlinew(t)dt. $ The function $p$ generally comes out of a scale factor associated with the coordinate change and is positive on $(a,b)$ and $q$ is a potential. Infinite and semi-infinite regions may occur (i.e., where $a=-infty$ and/or $b=infty$.) If $p$ vanishes at an endpoint of $(a,b)$, then the problem is singular, and there may or may not be some type of endpoint condition at the singular endpoint.

The cases grow in complexity with singularities, but the basic conclusion is this: you'll probably never have to worry about things not working the way you expect in regard to completeness. :)


شاهد الفيديو: حل المعادلات الجذرية رياضيات3 (ديسمبر 2021).