مقالات

3.E: مقدمة في المعادلات التفاضلية (تمارين)


8.1: أساسيات المعادلات التفاضلية

في التدريبات من 1 إلى 7 ، حدد ترتيب كل معادلة تفاضلية.

1) (ص ′ + ص = 3 س ^ 2 )

إجابه
الترتيب الأول

2) ((y ′) ^ 2 = y ′ + 2y )

3) (ص '' + ص '' ص ′ = 3 س ^ 2 )

إجابه
الترتيب الثالث

4) (ص ′ = ص '' + 3 طن ^ 2 )

5) ( dfrac {dy} {dt} = t )

إجابه
الترتيب الأول

6) ( dfrac {dy} {dx} + dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 3x ^ 4 )

7) ( left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2 + 8 dfrac {dy} {dt} + 3y = 4t )

إجابه
الترتيب الأول

في التدريبات 8 - 17 ، تحقق من أن الوظيفة المعينة هي حل للمعادلة التفاضلية المحددة.

8) (y = dfrac {x ^ 3} {3} quad ) يحل ( quad y ′ = x ^ 2 )

9) (y = 2e ^ {- x} + x − 1 quad ) يحل ( quad y ′ = x − y )

10) (y = e ^ {3x} - dfrac {e ^ x} {2} quad ) يحل ( quad y ′ = 3y + e ^ x )

11) (y = dfrac {1} {1 − x} quad ) يحل ( quad y ′ = y ^ 2 )

12) (y = e ^ {x ^ 2} / 2 quad ) يحل ( quad y ′ = xy )

13) (y = 4 + ln x quad ) يحل ( quad xy ′ = 1 )

14) (y = 3 − x + x ln x quad ) يحل ( quad y ′ = ln x )

15) (y = 2e ^ x − x − 1 quad ) يحل ( quad y ′ = y + x )

16) (y = e ^ x + dfrac { sin x} {2} - dfrac { cos x} {2} quad ) يحل ( quad y ′ = cos x + y )

17) (y = πe ^ {- cos x} quad ) يحل ( quad y ′ = y sin x )

في التدريبات 18 - 27 ، تحقق من الحل العام المحدد واعثر على الحل الخاص.

18) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ = 4x ^ 2 ) التي تمر عبر ((−3، −30) ) ، علمًا بأن (y = C + dfrac {4x ^ 3} { 3} ) حل عام.

19) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ = 3x ^ 3 ) التي تمر عبر ((1،4.75) ) ، علمًا بأن (y = C + dfrac {3x ^ 4} {4} ) هو حل عام.

إجابه
(y = 4 + dfrac {3x ^ 4} {4} )

20) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ = 3x ^ 2y ) التي تمر عبر ((0،12) ) ، علمًا بأن (y = Ce ^ {x ^ 3} ) هو حل عام.

21) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ = 2xy ) التي تمر عبر ((0، frac {1} {2}) ) ، علمًا بأن (y = Ce ^ {x ^ 2 } ) حل عام.

إجابه
(y = frac {1} {2} e ^ {x ^ 2} )

22) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ = (2xy) ^ 2 ) التي تمر عبر ((1، - frac {1} {2}) ) ، علمًا بأن (y = - dfrac {3} {C + 4x ^ 3} ) هو حل عام.

23) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y′x ^ 2 = y ) التي تمر عبر ((1، frac {2} {e}) ) ، علمًا بأن (y = Ce ^ { −1 / x} ) حل عام.

إجابه
(ص = 2 هـ ^ {- 1 / س} )

24) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (8 dfrac {dx} {dt} = - 2 cos (2t) - cos (4t) ) التي تمر من خلال ((π، π) ) ، بالنظر إلى أن (x = C− frac {1} {8} sin (2t) - frac {1} {32} sin (4t) ) هو حل عام.

25) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية ( dfrac {du} {dt} = tan u ) التي تمر عبر ((1، frac {π} {2}) ) ، بالنظر إلى أن ( u = sin ^ {- 1} (e ^ {C + t}) ) هو حل عام.

إجابه
(u = sin ^ {- 1} (e ^ {- 1 + t}) )

26) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {(t + y)} ) التي تمر عبر ((1،0) ) ، بشرط أن (y = - ln (C − e ^ t) ) حل عام.

27) أوجد الحل المعين للمعادلة التفاضلية (y ′ (1 − x ^ 2) = 1 + y ) التي تمر عبر ((0، −2)، ) بالنظر إلى أن (y = C dfrac { sqrt {x + 1}} { sqrt {1 − x}} - 1 ) هو حل عام.

إجابه
(y = - dfrac { sqrt {x + 1}} { sqrt {1 − x}} - 1 )

في التمارين 28 - 37 ، أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

28) (ص ′ = 3 س + ه ^ س )

29) (y ′ = ln x + tan x )

إجابه
(y = C − x + x ln x− ln ( cos x) )

30) (y ′ = sin x e ^ { cos x} )

31) (ص ′ = 4 ^ س )

إجابه
(y = C + dfrac {4 ^ x} { ln (4)} )

32) (y ′ = sin ^ {- 1} (2x) )

33) (y ′ = 2t sqrt {t ^ 2 + 16} )

إجابه
(y = frac {2} {3} sqrt {t ^ 2 + 16} (t ^ 2 + 16) + C )

34) (x ′ = coth t + ln t + 3t ^ 2 )

35) (x ′ = t sqrt {4 + t} )

إجابه
(x = frac {2} {15} sqrt {4 + t} (3t ^ 2 + 4t − 32) + C )

36) (ص ′ = ص )

37) (y ′ = dfrac {y} {x} )

إجابه
(ص = Cx )

في التمارين 38 - 42 ، حل مسائل القيمة الأولية بدءًا من (y (t = 0) = 1 ) و (y (t = 0) = - 1. ) ارسم كلا الحلين على نفس الرسم البياني.

38) ( dfrac {dy} {dt} = 2t )

39) ( dfrac {dy} {dt} = - t )

إجابه
(y = 1− dfrac {t ^ 2} {2}، ) و (y = - dfrac {t ^ 2} {2} −1 )

40) ( dfrac {dy} {dt} = 2y )

41) ( dfrac {dy} {dt} = - ص )

إجابه
(y = e ^ {- t} ) و (y = −e ^ {- t} )

42) ( dfrac {dy} {dt} = 2 )

في تمارين 43-47 ، حل مسائل القيمة الأولية بدءًا من (y_0 = 10 ). في أي وقت يزيد (ص ) إلى (100 ) أم ينخفض ​​ (1 )؟

43) ( dfrac {dy} {dt} = 4t )

إجابه
(y = 2 (t ^ 2 + 5)، ) عندما (t = 3 sqrt {5}، ) (y ) سيزداد إلى (100 ).

44) ( dfrac {dy} {dt} = 4 سنوات )

45) ( dfrac {dy} {dt} = - 2y )

إجابه
(y = 10e ^ {- 2t}، ) عندما (t = - frac {1} {2} ln ( frac {1} {10}) ، ) (y ) سينخفض ​​إلى (1 ).

46) ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {4t} )

47) ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {- 4t} )

إجابه
(y = frac {1} {4} (41 − e ^ {- 4t})، ) لن يحدث أي من الشرطين أبدًا.

تذكر أن مجموعة الحلول تتضمن حلولًا لمعادلة تفاضلية تختلف بواسطة ثابت. بالنسبة للتمارين 48 - 52 ، استخدم الآلة الحاسبة لرسم مجموعة من الحلول للمعادلة التفاضلية المحددة. استخدم الشروط الأولية من (y (t = 0) = - 10 ) إلى (y (t = 0) = 10 ) زيادة بمقدار (2 ). هل هناك نقطة حرجة يبدأ فيها سلوك الحل في التغير؟

48) [T] (y ′ = y (x) )

49) [T] (س ص ′ = ص )

إجابه
يتغير الحل من الزيادة إلى النقصان عند (y (0) = 0 ).

50) [T] (y ′ = t ^ 3 )

51) [T] (y ′ = x + y ) (تلميح: (y = Ce ^ x − x − 1 ) هو الحل العام)

إجابه
يتغير الحل من الزيادة إلى النقصان عند (y (0) = 0 ).

52) [T] (y ′ = x ln x + sin x )

53) أوجد الحل العام لوصف سرعة كرة كتلتها (1 ) رطل يتم رميها لأعلى بمعدل (أ ) قدم / ثانية.

إجابه
(v (t) = - 32t + a )

54) في المسألة السابقة ، إذا كانت السرعة الابتدائية للكرة في الهواء (أ = 25 ) قدم / ث ، اكتب الحل المحدد لسرعة الكرة. حل لإيجاد الوقت عندما تلمس الكرة الأرض.

55) تقوم برمي جسمين بكتل مختلفة (م_1 ) و (م_2 ) لأعلى في الهواء بنفس السرعة الابتدائية البالغة (أ ) قدم / ثانية. ما الفرق في سرعتهم بعد (1 ) ثانية؟

إجابه
(0 ) قدم / ثانية

56) [T] تقوم برمي كرة كتلة (1 ) كيلوغرام لأعلى بسرعة (أ = 25 ) م / ث على المريخ ، حيث تكون قوة الجاذبية (ز = −3.711 ) م /س2. استخدم الآلة الحاسبة لتقريب المدة التي تبقى فيها الكرة في الهواء على سطح المريخ.

57) [T] بالنسبة إلى المشكلة السابقة ، استخدم الآلة الحاسبة لتقريب مقدار ارتفاع الكرة على المريخ.

إجابه
(4.86 ) أمتار

58) [T] تتسارع السيارة على الطريق السريع وفقًا لـ (a = 15 cos (πt) ، ) حيث يتم قياس (t ) بالساعات. قم بإعداد المعادلة التفاضلية وحلها لتحديد سرعة السيارة إذا كانت سرعتها الابتدائية (51 ) ميل في الساعة. بعد (40 ) دقيقة ما هي سرعة السائق؟

59) [T] للسيارة في المسألة السابقة ، أوجد التعبير عن المسافة التي قطعتها السيارة في الوقت (t ) ، بافتراض المسافة المبدئية (0 ). ما هي المدة التي تستغرقها السيارة للسفر (100 ) ميل؟ قرب إجابتك إلى الساعات والدقائق.

إجابه
(x = 50t− frac {15} {π ^ 2} cos (πt) + frac {3} {π ^ 2} ، 2 ) ساعة (1 ) دقيقة

60) [T] بالنسبة للمسألة السابقة ، أوجد المسافة الإجمالية المقطوعة في الساعة الأولى.

61) عوض (y = Be ^ {3t} ) في (y′ − y = 8e ^ {3t} ) لإيجاد حل معين.

إجابه
(y = 4e ^ {3t} )

62) عوّض (y = a cos (2t) + b sin (2t) ) في (y ′ + y = 4 sin (2t) ) لإيجاد حل معين.

63) عوض (y = a + bt + ct ^ 2 ) في (y ′ + y = 1 + t ^ 2 ) لإيجاد حل معين.

إجابه
(ص = 1−2 طن + ر ^ 2 )

64) استبدل (y = ae ^ t cos t + be ^ t sin t ) في (y ′ = 2e ^ t cos t ) لإيجاد حل معين.

65) حل (y ′ = e ^ {kt} ) بالشرط الأولي (y (0) = 0 ) وحل (y ′ = 1 ) بنفس الشرط الأولي. مع اقتراب (ك ) من (0 ) ، ماذا تلاحظ؟

إجابه
(y = frac {1} {k} (e ^ {kt} −1) ) و (y = t )

8.2: مجالات الاتجاه والطرق العددية

بالنسبة للمسائل التالية ، استخدم حقل الاتجاه أدناه من المعادلة التفاضلية ( displaystyle y '= - 2y. ) ارسم الرسم البياني للحل للشروط الأولية المحددة.

1) (displaystyle y (0) = 1)

2) (displaystyle y (0) = 0)

المحلول:

3) (displaystyle y (0) = - 1)

4) هل هناك أي توازنات؟ ما هي ثباتاتهم؟

الحل: (displaystyle y = 0) هو توازن مستقر

للمشكلات التالية ، استخدم حقل الاتجاه أدناه من المعادلة التفاضلية ( displaystyle y '= y ^ 2−2y ). ارسم الرسم البياني للحل للشروط الأولية المعطاة.

5) (displaystyle y (0) = 3)

6) (displaystyle y (0) = 1)

المحلول:

7) (displaystyle y (0) = - 1)

8) هل هناك أي توازنات؟ ما هي ثباتاتهم؟

الحل: ( displaystyle y = 0 ) توازن مستقر و ( displaystyle y = 2 ) غير مستقر

ارسم مجال الاتجاه للمعادلات التفاضلية التالية ، ثم حل المعادلة التفاضلية. ارسم الحل الخاص بك فوق حقل الاتجاه. هل الحل الخاص بك يتبع على طول الأسهم في مجال الاتجاه الخاص بك؟

9) (displaystyle y '= t ^ 3)

10) (displaystyle y '= e ^ t)

11) ( displaystyle frac {dy} {dx} = x ^ 2cosx )

12) ( displaystyle frac {dy} {dt} = te ^ t )

13) ( displaystyle frac {dx} {dt} = cosh (t) )

ارسم مجال الاتجاه للمعادلات التفاضلية التالية. ماذا يمكنك أن تقول عن سلوك الحل؟ هل هناك توازنات؟ ما هو الاستقرار الذي تتمتع به هذه التوازنات؟

14) (displaystyle y '= y ^ 2−1 )

المحلول:

15) (displaystyle y '= y − x)

16) (displaystyle y '= 1 − y ^ 2 − x ^ 2)

المحلول:

17) (displaystyle y '= t ^ 2siny)

18) (displaystyle y '= 3y + xy)

المحلول:

طابق مجال الاتجاه مع المعادلات التفاضلية المحددة. اشرح اختياراتك.

19) (displaystyle y '= - 3y)

20) (displaystyle y '= - 3t)

الحل: (displaystyle E)

21) (displaystyle y '= e ^ t)

22) ( displaystyle y '= frac {1} {2} y + t )

الحل: ( displaystyle A )

23) (displaystyle y '= - ty)

طابق مجال الاتجاه مع المعادلات التفاضلية المحددة. اشرح اختياراتك.

24) (displaystyle y '= tsiny)

الحل: (displaystyle B)

25) (displaystyle y '= - tcosy)

26) (displaystyle y '= ttany)

الحل: ( displaystyle A )

27) (displaystyle y '= sin ^ 2y)

28) (displaystyle y '= y ^ 2t ^ 3)

الحل: ( displaystyle C )

قدر الحلول التالية باستخدام طريقة أويلر مع ( displaystyle n = 5 ) الخطوات على الفاصل ( displaystyle t = [0،1]. ) إذا كنت قادرًا على حل مشكلة القيمة الأولية بالضبط ، قارن الحل مع الحل الدقيق. إذا لم تتمكن من حل مشكلة القيمة الأولية ، فسيتم توفير الحل الدقيق لك للمقارنة مع طريقة أويلر. ما مدى دقة طريقة أويلر؟

29) (displaystyle y '= - 3y، y (0) = 1)

30) (displaystyle y '= t ^ 2)

الحل: ( displaystyle 2.24، ) due: ( displaystyle 3 )

31) ( displaystyle y ′ = 3t − y، y (0) = 1. ) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = 3t + 4e ^ {- t} −3 )

32) ( displaystyle y ′ = y + t ^ 2، y (0) = 3. ) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = 5e ^ t − 2 − t ^ 2−2t )

الحل: (displaystyle 7.739364،) true: ( displaystyle 5 (e − 1) )

33) (displaystyle y ′ = 2t، y (0) = 0)

34) [T] ( displaystyle y '= e ^ {(x + y)}، y (0) = - 1. ) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = −ln (e + 1 − e ^ خ) )

الحل: ( displaystyle −0.2535 ) مطابق: ( displaystyle 0 )

35) ( displaystyle y ′ = y ^ 2ln (x + 1)، y (0) = 1. ) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = - frac {1} {(x + 1) (ln (س + 1) −1)} )

36) (displaystyle y ′ = 2 ^ x، y (0) = 0،) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = frac {2 ^ x − 1} {ln (2)} )

الحل: ( displaystyle 1.345، ) definitely: ( displaystyle frac {1} {ln (2)} )

37) (displaystyle y ′ = y، y (0) = - 1.) الحل الدقيق هو ((displaystyle y = −e ^ x).

38) ( displaystyle y ′ = - 5t، y (0) = - 2. ) الحل الدقيق هو ( displaystyle y = - frac {5} {2} t ^ 2−2 )

الحل: ( displaystyle −4، ) true: ( displaystyle −1/2 )

يمكن استخدام المعادلات التفاضلية للنمذجة الأوبئة المرضية. في المجموعة التالية من المشاكل ، ندرس التغير في حجم مجموعتين فرعيتين من الناس الذين يعيشون في مدينة: الأفراد المصابون والأفراد المعرضون للإصابة. يمثل ( displaystyle S ) حجم السكان المعرضين للإصابة و ( displaystyle I ) يمثل حجم السكان المصابين. نفترض أنه إذا تفاعل شخص حساس مع شخص مصاب ، فهناك احتمال ( displaystyle c ) أن الشخص المعرض للإصابة سيصاب بالعدوى. كل شخص مصاب يتعافى من العدوى بمعدل (displaystyle r) ويصبح عرضة للإصابة مرة أخرى. نحن نأخذ في الاعتبار حالة الإنفلونزا ، حيث نفترض أنه لا يوجد شخص يموت بسبب المرض ، لذلك نفترض أن إجمالي حجم السكان للمجموعتين الفرعيتين هو رقم ثابت ، ( displaystyle N ). المعادلات التفاضلية التي تمثل أحجام السكان هذه هي

(displaystyle S '= rI − cSI) و (displaystyle I' = cSI − rI.)

هنا (displaystyle c) يمثل معدل الاتصال و ( displaystyle r ) يمثل معدل الاسترداد.

39) أظهر أنه بافتراضنا أن الحجم الإجمالي للسكان ثابت ( displaystyle (S + I = N) ، ) يمكنك تقليل النظام إلى معادلة تفاضلية واحدة في ( displaystyle I: I '= c (N − I) أنا − rI. )

40) بافتراض أن المعلمات هي ( displaystyle c = 0.5، N = 5، ) و ( displaystyle r = 0.5 ) ، ارسم الحقل الاتجاهي الناتج.

41) [T] استخدم برنامجًا حسابيًا أو آلة حاسبة لحساب حل مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle y '= ty، y (0) = 2 ) باستخدام طريقة أويلر مع حجم الخطوة المحدد ( displaystyle ح ). أوجد الحل عند ( displaystyle t = 1 ). للحصول على تلميح ، إليك "رمز زائف" لكيفية كتابة برنامج كمبيوتر لأداء طريقة أويلر لـ ( displaystyle y '= f (t، y)، y (0) = 2: )

أنشئ دالة ( displaystyle f (t، y) )

حدد المعلمات ( displaystyle y (1) = y_0، t (0) = 0، ) حجم الخطوة ( displaystyle h ) ، والعدد الإجمالي للخطوات ، ( displaystyle N )

اكتب حلقة for:

من أجل (displaystyle k = 1) to (displaystyle N)

(displaystyle fn = f (t (k)، y (k)))

(displaystyle y (k + 1) = y (k) + h * fn)

(displaystyle t (k + 1) = t (k) + h)

42) حل مسألة القيمة الأولية للحل الدقيق.

الحل: ( displaystyle y '= 2e ^ {t ^ 2/2} )

43) ارسم مجال الاتجاه

44) (displaystyle h = 1)

الحل: ( displaystyle 2 )

45) [T] (displaystyle h = 10)

46) [T] (displaystyle h = 100)

الحل: ( displaystyle 3.2756 )

47) [T] (displaystyle h = 1000)

48) [T] احسب الحل الدقيق عند ( displaystyle t = 1 ). ضع جدول أخطاء للخطأ النسبي بين حل طريقة أويلر والحل الدقيق. كم يتغير الخطأ؟ هل يمكن ان توضح؟

الحل: ( displaystyle 2 sqrt {e} )

حجم الخطوةخطأ
(displaystyle h = 1) ( displaystyle 0.3935 )
(displaystyle h = 10) ( displaystyle 0.06163 )
(displaystyle h = 100) (displaystyle 0.006612 )
(displaystyle h = 10000) ( displaystyle 0.0006661 )

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle y '= - 2y، y (0) = 2. )

49) بيّن أن ( displaystyle y = 2e ^ {- 2x} ) يحل مشكلة القيمة الأولية هذه.

50) ارسم المجال الاتجاهي لهذه المعادلة التفاضلية.

المحلول:

51) [T] باليد أو بواسطة الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر ، قرب الحل باستخدام طريقة أويلر في ( displaystyle t = 10 ) باستخدام ( displaystyle h = 5 ).

52) [T] باستخدام الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر ، يمكنك تقريب الحل باستخدام طريقة أويلر في ( displaystyle t = 10 ) using ( displaystyle h = 100. )

الحل: ( displaystyle 4.0741e ^ {- 10} )

53) [T] ارسم الإجابة الدقيقة وكل تقريب أويلر (لـ ( displaystyle h = 5 ) و ( displaystyle h = 100 )) عند كل ساعة في حقل الاتجاه. ماذا تلاحظ؟

8.3: معادلات قابلة للفصل

في التدريبات 1 - 4 ، حل مسائل القيمة الأولية التالية بالشرط الأولي (y_0 = 0 ) وارسم الحل بيانيًا.

1) ( dfrac {dy} {dt} = ص + 1 )

إجابه
(ص = ه ^ t − 1 )

2) ( dfrac {dy} {dt} = ص − 1 )

3) ( dfrac {dy} {dt} = - ص + 1 )

إجابه
(ص = 1 ه ^ {- t} )

4) ( dfrac {dy} {dt} = - ص − 1 )

في التدريبات من 5 إلى 14 ، أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

5) (س ^ 2 ص '= (س + 1) ص )

إجابه
(y = Cxe ^ {- 1 / x} )

6) (ص '= تان (ص) س )

7) (ص '= 2 س ^ 2 )

إجابه
(y = dfrac {1} {C − x ^ 2} )

8) ( dfrac {dy} {dt} = y cos (3t + 2) )

9) (2x dfrac {dy} {dx} = y ^ 2 )

إجابه
(y = - dfrac {2} {C + ln | x |} )

المحلول:

10) (y '= e ^ yx ^ 2 )

11) ((1 + س) ص '= (س + 2) (ص − 1) )

إجابه
(ص = م ^ س (س + 1) +1 )

12) ( dfrac {dx} {dt} = 3t ^ 2 (x ^ 2 + 4) )

13) (t dfrac {dy} {dt} = sqrt {1 − y ^ 2} )

إجابه
(y = sin ( ln | t | + C) )

14) (y '= e ^ xe ^ y )

في التمارين 15 - 24 ، أوجد حل مسألة القيمة الأولية.

15) (y '= e ^ {y − x}، quad y (0) = 0 )

إجابه
(y = - ln (e ^ {- x}) ) الذي يبسط إلى (y = x )

16) (ص = ص ^ 2 (س + 1) ، رباعي ص (0) = 2 )

17) ( dfrac {dy} {dx} = y ^ 3xe ^ {x ^ 2}، quad y (0) = 1 )

إجابه
(y = dfrac {1} { sqrt {2 − e ^ {x ^ 2}}} )

18) ( dfrac {dy} {dt} = y ^ 2e ^ x sin (3x)، quad y (0) = 1 )

19) (y '= dfrac {x} { text {sech} ^ 2y}، quad y (0) = 0 )

إجابه
(y = tanh ^ {- 1} left ( dfrac {x ^ 2} {2} right) )

20) (ص = 2 س ص (1 + 2 ص) ، رباعي ص (0) = - 1 )

21) ( dfrac {dx} {dt} = ln (t) sqrt {1 − x ^ 2} ، quad x (1) = 0 )

إجابه
(س = الخطيئة (1 - t + t ln t) )

22) (ص '= 3 س ^ 2 (ص ^ 2 + 4) ، رباعي ص (0) = 0 )

23) (y '= e ^ y5 ^ x، quad y (0) = ln ( ln (5)) )

إجابه
(y = ln ( ln (5)) - ln (2−5 ^ x) )

24) (y '= - 2x tan (y)، quad y (0) = dfrac {π} {2} )

بالنسبة للمشكلات 25 - 29 ، استخدم برنامجًا أو الآلة الحاسبة لتوليد حقول الاتجاه. حل بشكل واضح ورسم منحنيات الحل لعدة شروط أولية. هل هناك بعض الشروط الأولية الحرجة التي تغير سلوك الحل؟

25) [T] (y '= 12y )

إجابه

(y = Ce ^ {- 2} x + dfrac {1} {2} )

26) [T] (y '= y ^ 2x ^ 3 )

27) [T] (y '= y ^ 3e ^ x )

إجابه

(y = dfrac {1} { sqrt {2} sqrt {C − e ^ x}} )

28) [T] (y '= e ^ y )

29) [T] (y '= y ln (x) )

إجابه

(y = Ce ^ {- x} x ^ x )

30) معظم الأدوية في مجرى الدم الاضمحلال وفقًا للمعادلة (y '= cy ) ، حيث (y ) هو تركيز الدواء في مجرى الدم. إذا كان نصف عمر الدواء (2 ) ساعة ، فما هو جزء الجرعة الأولية المتبقية بعد (6 ) ساعات؟

31) يتم إعطاء الدواء عن طريق الوريد للمريض بمعدل (r ) ملغم / ساعة ويتم تطهيره من الجسم بمعدل يتناسب مع كمية الدواء التي لا تزال موجودة في الجسم ، (د ) إعداد و حل المعادلة التفاضلية ، بافتراض عدم وجود عقار في البداية في الجسم.

إجابه
(y = frac {r} {d} (1 − e ^ {- dt}) )

32) [T] كم مرة يجب تناول الدواء إذا كانت جرعته (3 ) ملغ ، يتم تصفيته بمعدل (c = 0.1 ) mg / h ، و (1 ) mg مطلوب تكون في مجرى الدم في جميع الأوقات؟

33) خزان يحتوي على (1 ) كيلوجرام من الملح المذاب في (100 ) لتر ماء. يتم ضخ محلول ملح بمقدار (0.1 ) كجم ملح / لتر في الخزان بمعدل (2 ) لتر / دقيقة ويتم تصريفه بنفس المعدل. حل لتركيز الملح في الوقت (t ). افترض أن الخزان مخلوط جيدًا.

إجابه
(y (t) = 10−9e ^ {- t / 50} )

34) خزان يحتوي على (10 ​​) كيلوجرام من الملح المذاب في (1000 ) لتر ماء به محلولين ملح يتم ضخهما فيه. يتم ضخ المحلول الأول (0.2 ) كجم ملح / لتر بمعدل (20 ) لتر / دقيقة ويتم ضخ المحلول الثاني (0.05 ) كجم ملح / لتر بمعدل (5 ) لتر / دقيقة. يستنزف الخزان عند (25 ) لتر / دقيقة. افترض أن الخزان مخلوط جيدًا. حل لتركيز الملح في الوقت (t ).

35) [T] بالنسبة للمسألة السابقة ، أوجد كمية الملح الموجودة في الخزان (1 ) ساعة بعد بدء العملية.

إجابه
(134.3 ) كيلو جرام

36) ينص قانون توريشيلي على أنه بالنسبة لخزان المياه الذي به فتحة في القاع به مقطع عرضي (أ ) وارتفاع الماء (ح ) فوق قاع الخزان ، فإن معدل التغيير حجم المياه المتدفقة من الخزان يتناسب مع الجذر التربيعي لارتفاع الماء ، وفقًا لـ ( dfrac {dV} {dt} = - A sqrt {2gh} ) ، حيث (g ) هو التسارع بسبب الجاذبية. لاحظ أن ( dfrac {dV} {dt} = A dfrac {dh} {dt} ). قم بحل مشكلة القيمة الأولية الناتجة عن ارتفاع الماء ، بافتراض وجود خزان بفتحة نصف قطر (2 ) قدم. الارتفاع الأولي للماء هو (100 ) قدم.

37) بالنسبة للمسألة السابقة ، حدد المدة التي يستغرقها الخزان للتصريف.

إجابه
(720 ) ثانية

بالنسبة للمسائل 38 - 44 ، استخدم قانون نيوتن للتبريد.

38) تحتوي القاعدة السائلة للآيس كريم على درجة حرارة أولية (200 درجة فهرنهايت ) قبل وضعها في الفريزر بدرجة حرارة ثابتة تبلغ (0 درجة فهرنهايت ). بعد (1 ) ساعة ، تنخفض درجة حرارة قاعدة الآيس كريم إلى (140 درجة فهرنهايت ). صياغة وحل مسألة القيمة الأولية لتحديد درجة حرارة الآيس كريم.

39) [T] للقاعدة السائلة للآيس كريم درجة حرارة أولية تبلغ (210 درجة فهرنهايت ) قبل وضعها في الفريزر بدرجة حرارة ثابتة تبلغ (20 درجة فهرنهايت ). بعد (2 ) ساعة ، تنخفض درجة حرارة قاعدة الآيس كريم إلى (170 درجة فهرنهايت ). في أي وقت سيكون الآيس كريم جاهزًا للأكل؟ (افترض أن (30 درجة فهرنهايت) هي درجة حرارة الأكل المثلى.)

إجابه
(24 ) ساعة (55 ) دقيقة

40) [T] أنت تنظم اجتماعيًا للآيس كريم. درجة الحرارة الخارجية (80 درجة فهرنهايت ) والآيس كريم عند (10 ​​فهرنهايت ). بعد (10 ​​) دقائق ، ترتفع درجة حرارة الآيس كريم بمقدار (10 ​​فهرنهايت ). كم من الوقت يمكنك الانتظار قبل أن يذوب الآيس كريم عند (40 درجة فهرنهايت )؟

41) لديك فنجان قهوة على درجة حرارة (70 درجة مئوية ) ودرجة حرارة الغرفة المحيطة (20 درجة مئوية ). بافتراض معدل تبريد (ك ) من (0.125 ، ) اكتب وحل المعادلة التفاضلية لوصف درجة حرارة القهوة فيما يتعلق بالوقت.

إجابه
(T (t) = 20 + 50e ^ {- 0.125t} )

42) [T] لديك فنجان قهوة عند درجة حرارة (70 درجة مئوية ) تضعه بالخارج ، حيث تكون درجة الحرارة المحيطة (0 درجة مئوية. ) بعد (5 ) دقائق ، ما مقدار البرودة القهوة؟

43) لديك فنجان قهوة على درجة حرارة (70 درجة مئوية ) وتسكب على الفور (1 ) جزء من الحليب إلى (5 ) أجزاء من القهوة. الحليب في البداية في درجة حرارة (1 درجة مئوية. ) اكتب وحل المعادلة التفاضلية التي تحكم درجة حرارة هذه القهوة.

إجابه
(T (t) = 20 + 38.5e ^ {- 0.125t} )

44) لديك فنجان قهوة على درجة حرارة (70 درجة مئوية ، ) اتركها يبرد (10 ​​) دقائق قبل صب نفس كمية الحليب عند (1 درجة مئوية ) كما في المشكلة السابقة . كيف تقارن درجة الحرارة بالكوب السابق بعد (10 ​​) دقائق؟

45) حل المشكلة العامة (y '= ay + b ) بالشرط الأولي (y (0) = c. )

إجابه
(y = (c + ba) e ^ {ax} - frac {b} {a} )

46) إثبات معادلة الفائدة المركبة المستمرة الأساسية. بافتراض إيداع أولي بقيمة (P_0 ) وسعر فائدة (r ) ، قم بإعداد وحل معادلة للفائدة المركبة باستمرار.

47) افترض أن كمية المغذيات الأولية من (I ) كيلوجرام في خزان مع (L ) لتر. افترض تركيز (ج ) كجم / لتر يتم ضخه بمعدل (r ) لتر / دقيقة. الخزان مخلوط جيدًا ويتم تصريفه بمعدل (r ) لتر / دقيقة. أوجد المعادلة التي تصف كمية المغذيات في الخزان.

إجابه
(y (t) = cL + (I − cL) e ^ {- rt / L} )

48) تتراكم الأوراق على أرضية الغابة بمعدل (2 ) جم / سم2/ سنة وتتحلل أيضًا بمعدل (90٪ ) سنويًا. اكتب معادلة تفاضلية تحكم عدد غرامات فضلات الأوراق لكل سنتيمتر مربع من أرضية الغابة ، بافتراض أنه في الوقت (0 ) لا يوجد نفايات أوراق على الأرض. هل هذا المبلغ يقترب من قيمة ثابتة؟ ما هذه القيمة؟

49) تتراكم الأوراق على أرضية الغابة بمعدل (4 ) جم / سم2/ سنة. تتحلل هذه الأوراق بمعدل (10٪ ) سنويًا. اكتب معادلة تفاضلية تحكم عدد جرامات فضلات الأوراق لكل سنتيمتر مربع من أرضية الغابة. هل هذا المبلغ يقترب من قيمة ثابتة؟ ما هذه القيمة؟

إجابه
المعادلة التفاضلية: ( dfrac {dy} {dt} = 4 - 0.1y )
الحل نموذج هذا الموقف: (y = 40 (1 − e ^ {- 0.1t}) ) ،
يقترب المبلغ من قيمة ثابتة تبلغ 40 جم / سم2

8.4: المعادلة اللوجيستية

النموذج اللوجستي الأساسي

بالنسبة للمسائل من 1 إلى 11 ، ضع في اعتبارك المعادلة اللوجستية بالصيغة (P '= CP − P ^ 2. ) ارسم مجال الاتجاه وابحث عن استقرار التوازن.

1) (ج = 3 )

2) (ج = 0 )

إجابه

(P = 0 ) شبه مستقر

3) (ج = -3 )

4) حل المعادلة اللوجستية لـ (C = 10 ) والشرط الأولي لـ (P (0) = 2. )

إجابه
(P = dfrac {10e ^ {10x}} {e ^ {10x} +4} )

5) حل المعادلة اللوجستية لـ (C = −10 ) والشرط الأولي لـ (P (0) = 2 ).

6) تجمع أعداد الغزلان داخل الحديقة قدرة تحمل (200 ) ومعدل نمو (2٪ ). إذا كان التعداد الأولي (50 ) الغزلان ، فما هو عدد سكان الغزلان في أي وقت؟

إجابه
(P (t) = dfrac {10000e ^ {0.02t}} {150 + 50e ^ {0.02t}} )

7) يبلغ معدل نمو عدد الضفادع في البركة (5٪ ) إذا كان العدد الأولي (1000 ) ضفادع والقدرة الاستيعابية (6000 ) ، كم عدد الضفادع عند في أي وقت؟

8) [T] تنمو البكتيريا بمعدل (20٪ ) في الساعة في طبق بتري. إذا كانت هناك بكتيريا واحدة في البداية وقدرة تحمل (1 ) مليون خلية ، فكم من الوقت يستغرق الوصول إلى (500000 ) خلية؟

إجابه
(69 ) ساعة (5 ) دقيقة

9) [T] يبلغ عدد سكان الأرانب في الحديقة (10 ​​) وينمو بمعدل (4٪ ) سنويًا. إذا كانت القدرة الاستيعابية (500 ) ، في أي وقت يصل السكان إلى (100 ) أرانب؟

10) [T] يتم وضع قردين على جزيرة. بعد (5 ) سنوات ، يوجد (8 ) قرود ، وتقدر الطاقة الاستيعابية بـ (25 ) قرود. متى يصل تعداد القرود إلى (16 ) قرود؟

إجابه
(8 ) سنوات (11 ) شهر

11) [T] تم بناء ملاذ فراشة يمكنه استيعاب (2000 ) فراشات ، و (400 ) فراشات يتم نقلها في البداية. إذا كان هناك (800 ) فراشات بعد (2 ) أشهر ، متى يصل السكان إلى (1500 ) الفراشة؟

نموذج السكان اللوجستي مع النضوب

المشاكل التالية تأخذ بعين الاعتبار المعادلة اللوجيستية بمصطلح إضافي للنضوب ، إما من خلال الموت أو الهجرة.

12) [T] عدد سمك السلمون المرقط في البركة يُحسب بواسطة (P '= 0.4P left (1− dfrac {P} {10000} right) −400 ) ، حيث (400 ) سمك السلمون المرقط يتم صيدها سنويًا. استخدم الآلة الحاسبة أو برنامج الكمبيوتر لرسم مجال اتجاهي ورسم بعض الحلول النموذجية. ماذا تتوقع للسلوك؟

إجابه

13) في المسألة السابقة ، ما هي ثباتات التوازن (0

14) [T] بالنسبة للمشكلة السابقة ، استخدم البرنامج لإنشاء حقل اتجاهي للقيمة (f = 400 ). ما هي ثباتات التوازن؟

إجابه

(P_1 ) شبه مستقر

15) [T] بالنسبة للمشكلات السابقة ، استخدم البرنامج لإنشاء حقل اتجاهي للقيمة (f = 600. ) ما هي ثباتات التوازن؟

16) [T] بالنسبة للمشكلات السابقة ، ضع في اعتبارك الحالة التي يتم فيها إضافة عدد معين من الأسماك إلى البركة ، أو (f = 200. ) ما هي التوازن غير السلبي واستقرارها؟

إجابه

(P_2> 0 ) مستقر

من المرجح أن تكون كمية الصيد محكومة بالعدد الحالي للأسماك الموجودة ، لذا فبدلاً من العدد الثابت للأسماك التي يتم صيدها ، يكون المعدل متناسبًا مع العدد الحالي للأسماك الموجودة ، مع ثابت التناسب (ك ) ، مثل (P '= 0.4P left (1− dfrac {P} {10000} right) −kP. )

17) [T] لمشكلة الصيد السابقة ، ارسم مجالًا اتجاهيًا بافتراض (ك = 0.1 ). ارسم بعض الحلول التي تظهر هذا السلوك. ما هي التوازنات وما هي ثباتاتها؟

18) [T] استخدم برنامجًا أو آلة حاسبة لرسم مجالات اتجاهية لـ (k = 0.4 ). ما هي التوازنات غير السالبة واستقرارها؟

إجابه

(P_1 = 0 ) شبه مستقر

19) [T] استخدم برنامجًا أو آلة حاسبة لرسم مجالات اتجاهية لـ (k = 0.6 ). ما هي التوازنات واستقرارها؟

20) حل هذه المعادلة ، بافتراض قيمة (k = 0.05 ) والشرط الأولي لـ (2000 ) سمكة.

إجابه
(y = dfrac {−20} {4 × 10 ^ {- 6} −0.002e ^ {0.01t}} )

21) حل هذه المعادلة ، بافتراض قيمة (k = 0.05 ) والشرط الأولي (5000 ) سمكة.

الحد الأدنى لعتبات السكان المستدامة

تضيف المشكلات التالية قيمة حد أدنى لبقاء الأنواع ، (T ) ، والتي تغير المعادلة التفاضلية إلى (P '(t) = rP left (1− dfrac {P} {K} يمين) يسار (1− dfrac {T} {P} right) ).

22) ارسم المجال الاتجاهي للمعادلة اللوجيستية العتبة ، بافتراض (K = 10 ، r = 0.1 ، T = 2 ). متى يعيش السكان؟ متى تنقرض؟

إجابه

23) بالنسبة للمسألة السابقة ، حل معادلة العتبة اللوجستية ، بافتراض الحالة الأولية (P (0) = P_0 ).

24) النمور البنغالية في حديقة محمية لها قدرة تحمل (100 ) وتحتاج إلى (10 ​​) كحد أدنى للبقاء على قيد الحياة. إذا نما عدد النمور بمعدل (1٪ ) سنويًا ، مع عدد أولي من (15 ) نمور ، فاحسب عدد النمور الموجودة.

إجابه
(P (t) = dfrac {850 + 500e ^ {0.009t}} {85 + 5e ^ {0.009t}} )

25) الغابة التي تحتوي على ليمور حلقي الذيل في مدغشقر لديها القدرة على دعم (5000 ) فرد ، وينمو عدد الليمور بمعدل (5٪ ) في السنة. يلزم ما لا يقل عن 500 فرد حتى يعيش الليمور. إذا كان تعداد الليمور الأولي (600 ) ، أوجد تعداد الليمور.

26) يبلغ عدد سكان أسود الجبال في شمال أريزونا قدرة تحمل تقدر بـ (250 ) وتنمو بمعدل (0.25٪ ) سنويًا ويجب أن يكون هناك (25 ) حتى يتمكن السكان من البقاء على قيد الحياة. مع وجود مجموعة أولية من (30 ) من أسد الجبال ، كم سنة سوف يستغرق إخراج أسود الجبال من قائمة الأنواع المهددة بالانقراض (على الأقل (100 ))؟

إجابه
(13 ) سنة أشهر

معادلة جومبيرتز

تتناول الأسئلة التالية معادلة جومبيرتز ، وهي تعديل للنمو اللوجستي ، والتي تُستخدم غالبًا لنمذجة نمو السرطان ، وتحديدًا عدد الخلايا السرطانية.

27) تُعطى معادلة جومبيرتز بواسطة (P (t) '= α ln left ( frac {K} {P (t)} right) P (t). ) ارسم الحقول الاتجاهية لهذه المعادلة بافتراض أن جميع المعلمات موجبة ، وبالنظر إلى أن (K = 1. )

28) افترض أنه بالنسبة للسكان ، (K = 1000 ) و (α = 0.05 ). ارسم المجال الاتجاهي المرتبط بهذه المعادلة التفاضلية وارسم بعض الحلول. ما هو سلوك السكان؟

إجابه

29) حل معادلة جومبيرتز من أجل (α ) و (K ) و (P (0) = P_0 ).

30) [T] تم استخدام معادلة جومبيرتز لنمذجة نمو الورم في جسم الإنسان. بدءًا من خلية ورم واحدة في اليوم (1 ) وبافتراض (α = 0.1 ) والقدرة الاستيعابية (10 ​​) مليون خلية ، كم من الوقت يستغرق الوصول إلى مرحلة "الكشف" عند (5 ) ) مليون خلية؟

إجابه
(31.465 ) يومًا

31) [T] يقدر أن عدد سكان العالم وصل (3 ) مليار شخص في (1959 ) و (6 ) مليار في (1999 ). بافتراض قدرة تحمل (16 ) مليار إنسان ، اكتب وحل المعادلة التفاضلية للنمو اللوجستي ، وحدد السنة التي وصل فيها عدد السكان (7 ) مليار.

32) [T] يقدر أن عدد سكان العالم وصل (3 ) مليار شخص في (1959 ) و (6 ) مليار في (1999 ). بافتراض قدرة تحمل (16 ) مليار إنسان ، اكتب وحل المعادلة التفاضلية لنمو جومبيرتز ، وحدد السنة التي وصل فيها عدد السكان (7 ) مليار. هل كان النمو اللوجستي أو نمو جومبيرتز أكثر دقة ، مع الأخذ في الاعتبار أن عدد سكان العالم وصل إلى (7 ) مليار في أكتوبر (31،2011؟ )

إجابه
سبتمبر (2008 )

33) أظهر أن السكان ينموون بشكل أسرع عندما يصل إلى نصف القدرة الاستيعابية للمعادلة اللوجستية (P '= rP left (1− dfrac {P} {K} right) ).

34) متى يزيد عدد السكان بأسرع ما يمكن في المعادلة اللوجيستية العتبة (P '(t) = rP left (1− dfrac {P} {K} right) left (1− dfrac {T} {P }حق))؟

إجابه
( dfrac {K + T} {2} )

35) متى يزداد عدد السكان بأسرع ما يمكن لمعادلة جومبيرتز (P (t) '= α ln left ( frac {K} {P (t)} right) P (t)؟ )

يوجد أدناه جدول لتعداد طيور الرافعات الديكية في البرية من (1940 ) إلى (2000 ). انتعش السكان من الانقراض القريب بعد أن بدأت جهود الحفظ. تأخذ المشكلات التالية بعين الاعتبار تطبيق نماذج المجتمع لملاءمة البيانات. بافتراض قدرة تحمل (10000 ) رافعة. قم بملاءمة البيانات على افتراض السنوات منذ (1940 ) (بحيث يكون عدد السكان الأولي في الوقت (0 ) سيكون (22 ) الرافعات).

السنة (السنوات منذ بدء الحفظ) سكان الرافعة الديكية
1940(0)22
1950(10)31
1960(20)36
1970(30)57
1980(40)91
1990(50)159
2000(60)256

المصدر: https://www.savingcranes.org/images/...wc_numbers.pdf

36) Find the equation and parameter ( r) that best fit the data for the logistic equation.

إجابه
( r=0.0405)

37) Find the equation and parameters ( r) and ( T) that best fit the data for the threshold logistic equation.

38) Find the equation and parameter ( α) that best fit the data for the Gompertz equation.

إجابه
( α=0.0081)

39) Graph all three solutions and the data on the same graph. Which model appears to be most accurate?

40) Using the three equations found in the previous problems, estimate the population in ( 2010) (year ( 70) after conservation). The real population measured at that time was ( 437). Which model is most accurate?

إجابه
Logistic: ( 361), Threshold: ( 436), Gompertz: ( 309).

8.5: First-order Linear Equations

Are the following differential equations linear? اشرح أسبابك.

1) (displaystyle frac{dy}{dx}=x^2y+sinx)

2) (displaystyle frac{dy}{dt}=ty)

Solution: (displaystyle Yes)

3) (displaystyle frac{dy}{dt}+y^2=x)

4) (displaystyle y'=x^3+e^x)

Solution: (displaystyle Yes)

5) (displaystyle y'=y+e^y)

Write the following first-order differential equations in standard form.

6) (displaystyle y'=x^3y+sinx)

Solution: (displaystyle y'−x^3y=sinx)

7) (displaystyle y'+3y−lnx=0)

8) (displaystyle −xy'=(3x+2)y+xe^x)

Solution: (displaystyle y'+frac{(3x+2)}{x}y=−e^x)

9) (displaystyle frac{dy}{dt}=4y+ty+tant)

10) (displaystyle frac{dy}{dt}=yx(x+1))

Solution: (displaystyle frac{dy}{dt}−yx(x+1)=0)

What are the integrating factors for the following differential equations?

11) (displaystyle y'=xy+3)

12) (displaystyle y'+e^xy=sinx)

Solution: (displaystyle e^x)

13) (displaystyle y'=xln(x)y+3x)

14) (displaystyle frac{dy}{dx}=tanh(x)y+1)

Solution: (displaystyle −ln(coshx))

15) (displaystyle frac{dy}{dt}+3ty=e^ty)

Solve the following differential equations by using integrating factors.

16) (displaystyle y'=3y+2)

Solution: (displaystyle y=Ce^{3x}−frac{2}{3})

17) (displaystyle y'=2y−x^2)

18) (displaystyle xy'=3y−6x^2)

Solution: (displaystyle y=Cx^3+6x^2)

19) (displaystyle (x+2)y'=3x+y)

20) (displaystyle y'=3x+xy)

Solution: (displaystyle y=Ce^{x^2/2}−3)

21) (displaystyle xy'=x+y)

22) (displaystyle sin(x)y'=y+2x)

Solution: (displaystyle y=Ctan(frac{x}{2})−2x+4tan(frac{x}{2})ln(sin(frac{x}{2})))

23) (displaystyle y'=y+e^x)

24) (displaystyle xy'=3y+x^2)

Solution: (displaystyle y=Cx^3−x^2)

25) (displaystyle y'+lnx=frac{y}{x})

Solve the following differential equations. Use your calculator to draw a family of solutions. Are there certain initial conditions that change the behavior of the solution?

26) [T] (displaystyle (x+2)y'=2y−1)

Solution: (displaystyle y=C(x+2)^2+frac{1}{2})

27) [T] (displaystyle y'=3e^{t/3}−2y)

28) [T] (displaystyle xy'+frac{y}{2}=sin(3t))

Solution: (displaystyle y=frac{C}{sqrt{x}}+2sin(3t))

29) [T] (displaystyle xy'=2frac{cosx}{x}−3y)

30) [T] (displaystyle (x+1)y'=3y+x^2+2x+1)

Solution: (displaystyle y=C(x+1)^3−x^2−2x−1)

31) [T] (displaystyle sin(x)y'+cos(x)y=2x)

32) [T] (displaystyle sqrt{x^2+1}y'=y+2)

Solution: (displaystyle y=Ce^{sinh^{−1}x}−2)

33) [T] (displaystyle x^3y'+2x^2y=x+1)

Solve the following initial-value problems by using integrating factors.

34) (displaystyle y'+y=x,y(0)=3)

Solution: (displaystyle y=x+4e^x−1)

35) (displaystyle y'=y+2x^2,y(0)=0)

36) (displaystyle xy'=y−3x^3,y(1)=0)

Solution: (displaystyle y=−frac{3x}{2}(x^2−1))

37) (displaystyle x^2y'=xy−lnx,y(1)=1)

38) (displaystyle (1+x^2)y'=y−1,y(0)=0)

Solution: (displaystyle y=1−e^{tan^{−1}x})

39) (displaystyle xy'=y+2xlnx,y(1)=5)

40) (displaystyle (2+x)y'=y+2+x,y(0)=0)

Solution: (displaystyle y=(x+2)ln(frac{x+2}{2}))

41) (y'=xy+2xe^x,y(0)=2)

42) (displaystyle sqrt{x}y'=y+2x,y(0)=1)

Solution: (displaystyle y=2e^{2sqrt{x}}−2x−2sqrt{x}−1)

43) (displaystyle y'=2y+xe^x,y(0)=−1)

Using your expression from the preceding problem, what is the terminal velocity? (Hint: Examine the limiting behavior; does the velocity approach a value?)

44) [T] Using your equation for terminal velocity, solve for the distance fallen. How long does it take to fall (displaystyle 5000) meters if the mass is (displaystyle 100) kilograms, the acceleration due to gravity is (displaystyle 9.8) m/s2 and the proportionality constant is (displaystyle 4)?

Solution: (displaystyle 40.451) seconds

45) A more accurate way to describe terminal velocity is that the drag force is proportional to the square of velocity, with a proportionality constant (displaystyle k). Set up the differential equation and solve for the velocity.

46) Using your expression from the preceding problem, what is the terminal velocity? (Hint: Examine the limiting behavior: Does the velocity approach a value?)

Solution: (displaystyle sqrt{frac{gm}{k}})

47) [T] Using your equation for terminal velocity, solve for the distance fallen. How long does it take to fall (displaystyle 5000) meters if the mass is (displaystyle 100) kilograms, the acceleration due to gravity is (displaystyle 9.8)m/s2 and the proportionality constant is (displaystyle 4)? Does it take more or less time than your initial estimate?

For the following problems, determine how parameter (displaystyle a) affects the solution.

48) Solve the generic equation (displaystyle y'=ax+y). How does varying (displaystyle a) change the behavior?

Solution: (displaystyle y=Ce^x−a(x+1))

49) Solve the generic equation (displaystyle y'=ax+y.) How does varying (displaystyle a) change the behavior?

50) Solve the generic equation (displaystyle y'=ax+xy). How does varying (displaystyle a) change the behavior?

Solution: (displaystyle y=Ce^{x^2/2}−a)

51) Solve the generic equation (displaystyle y'=x+axy.) How does varying (displaystyle a) change the behavior?

52) Solve (displaystyle y'−y=e^{kt}) with the initial condition (displaystyle y(0)=0). As (displaystyle k) approaches (displaystyle 1), what happens to your formula?

Solution: (displaystyle y=frac{e^{kt}−e^t}{k−1})

Chapter Review Exercise

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

1) The differential equation (displaystyle y'=3x^2y−cos(x)y'') is linear.

2) The differential equation (displaystyle y'=x−y) is separable.

Solution: (displaystyle F)

3) You can explicitly solve all first-order differential equations by separation or by the method of integrating factors.

4) You can determine the behavior of all first-order differential equations using directional fields or Euler’s method.

Solution: (displaystyle T)

For the following problems, find the general solution to the differential equations.

5) (displaystyle y′=x^2+3e^x−2x)

6) (displaystyle y'=2^x+cos^{−1}x)

Solution: (displaystyle y(x)=frac{2^x}{ln(2)}+xcos^{−1}x−sqrt{1−x^2}+C)

7) (displaystyle y'=y(x^2+1))

8) (displaystyle y'=e^{−y}sinx)

Solution: (displaystyle y(x)=ln(C−cosx))

9) (displaystyle y'=3x−2y)

10) (displaystyle y'=ylny)

Solution: (displaystyle y(x)=e^{e^{C+x}})

For the following problems, find the solution to the initial value problem.

11) (displaystyle y'=8x−lnx−3x^4,y(1)=5)

12) (displaystyle y'=3x−cosx+2,y(0)=4)

Solution: (displaystyle y(x)=4+frac{3}{2}x^2+2x−sinx)

13) (displaystyle xy'=y(x−2),y(1)=3)

14) (displaystyle y'=3y^2(x+cosx),y(0)=−2)

Solution: (displaystyle y(x)=−frac{2}{1+3(x^2+2sinx)})

15) (displaystyle (x−1)y'=y−2,y(0)=0)

16) (displaystyle y'=3y−x+6x^2,y(0)=−1)

Solution: (displaystyle y(x)=−2x^2−2x−frac{1}{3}−frac{2}{3}e^{3x})

For the following problems, draw the directional field associated with the differential equation, then solve the differential equation. Draw a sample solution on the directional field.

17) (displaystyle y'=2y−y^2)

18) (displaystyle y'=frac{1}{x}+lnx−y,) for (displaystyle x>0)

Solution: (displaystyle y(x)=Ce^{−x}+lnx)

For the following problems, use Euler’s Method with (displaystyle n=5) steps over the interval (displaystyle t=[0,1].) Then solve the initial-value problem exactly. How close is your Euler’s Method estimate?

19) (displaystyle y'=−4yx,y(0)=1)

20) (displaystyle y'=3^x−2y,y(0)=0)

Solution: Euler: (displaystyle 0.6939), exact solution: (displaystyle y(x)=frac{3^x−e^{−2x}}{2+ln(3)})

For the following problems, set up and solve the differential equations.

21) A car drives along a freeway, accelerating according to (displaystyle a=5sin(πt),) where (displaystyle t) represents time in minutes. Find the velocity at any time (displaystyle t), assuming the car starts with an initial speed of (displaystyle 60) mph.

22) You throw a ball of mass (displaystyle 2) kilograms into the air with an upward velocity of (displaystyle 8) m/s. Find exactly the time the ball will remain in the air, assuming that gravity is given by (displaystyle g=9.8m/s^2).

Solution: (displaystyle frac{40}{49}) second

23) You drop a ball with a mass of (displaystyle 5) kilograms out an airplane window at a height of (displaystyle 5000)m. How long does it take for the ball to reach the ground?

24) You drop the same ball of mass (displaystyle 5) kilograms out of the same airplane window at the same height, except this time you assume a drag force proportional to the ball’s velocity, using a proportionality constant of (displaystyle 3) and the ball reaches terminal velocity. Solve for the distance fallen as a function of time. How long does it take the ball to reach the ground?

Solution: (displaystyle x(t)=5000+frac{245}{9}−frac{49}{3}t−frac{245}{9}e^{−5/3t},t=307.8) seconds

25) A drug is administered to a patient every (displaystyle 24) hours and is cleared at a rate proportional to the amount of drug left in the body, with proportionality constant (displaystyle 0.2). If the patient needs a baseline level of (displaystyle 5) mg to be in the bloodstream at all times, how large should the dose be?

26) A (displaystyle 1000) -liter tank contains pure water and a solution of (displaystyle 0.2) kg salt/L is pumped into the tank at a rate of (displaystyle 1) L/min and is drained at the same rate. Solve for total amount of salt in the tank at time (displaystyle t).

Solution: (displaystyle T(t)=200(1−e^{−t/1000}))

27) You boil water to make tea. When you pour the water into your teapot, the temperature is (displaystyle 100°C.) After (displaystyle 5) minutes in your (displaystyle 15°C) room, the temperature of the tea is (displaystyle 85°C). Solve the equation to determine the temperatures of the tea at time (displaystyle t). How long must you wait until the tea is at a drinkable temperature ((displaystyle 72°C))?

28) The human population (in thousands) of Nevada in (displaystyle 1950) was roughly (displaystyle 160). If the carrying capacity is estimated at (displaystyle 10) million individuals, and assuming a growth rate of (displaystyle 2%) per year, develop a logistic growth model and solve for the population in Nevada at any time (use (displaystyle 1950) as time = 0). What population does your model predict for (displaystyle 2000)? How close is your prediction to the true value of (displaystyle 1,998,257)?

Solution: (displaystyle P(t)=frac{1600000e^{0.02t}}{9840+160e^{0.02t}})

Repeat the previous problem but use Gompertz growth model. Which is more accurate?


Introductory Differential Equations

Introductory Differential Equations, Fourth Edition, offers both narrative explanations and robust sample problems for a first semester course in introductory ordinary differential equations (including Laplace transforms) and a second course in Fourier series and boundary value problems. The book provides the foundations to assist students in learning not only how to read and understand differential equations, but also how to read technical material in more advanced texts as they progress through their studies.

This text is for courses that are typically called (Introductory) Differential Equations, (Introductory) Partial Differential Equations, Applied Mathematics, and Fourier Series. It follows a traditional approach and includes ancillaries like Differential Equations with Mathematica and/or Differential Equations with Maple. Because many students need a lot of pencil-and-paper practice to master the essential concepts, the exercise sets are particularly comprehensive with a wide array of exercises ranging from straightforward to challenging. There are also new applications and extended projects made relevant to everyday life through the use of examples in a broad range of contexts.

This book will be of interest to undergraduates in math, biology, chemistry, economics, environmental sciences, physics, computer science and engineering.

Introductory Differential Equations, Fourth Edition, offers both narrative explanations and robust sample problems for a first semester course in introductory ordinary differential equations (including Laplace transforms) and a second course in Fourier series and boundary value problems. The book provides the foundations to assist students in learning not only how to read and understand differential equations, but also how to read technical material in more advanced texts as they progress through their studies.

This text is for courses that are typically called (Introductory) Differential Equations, (Introductory) Partial Differential Equations, Applied Mathematics, and Fourier Series. It follows a traditional approach and includes ancillaries like Differential Equations with Mathematica and/or Differential Equations with Maple. Because many students need a lot of pencil-and-paper practice to master the essential concepts, the exercise sets are particularly comprehensive with a wide array of exercises ranging from straightforward to challenging. There are also new applications and extended projects made relevant to everyday life through the use of examples in a broad range of contexts.

This book will be of interest to undergraduates in math, biology, chemistry, economics, environmental sciences, physics, computer science and engineering.


In this Differential Equations Chapter

In this chapter we will learn about:

Definition and Solution of DEs

    , write equations in differential form, solve simple differential equations and recognise different types of differential equations - a method of solving differential equations - a method of solving differential equations - and how to solve them

Applications - Electronics

Second Order Differential Equations

    - definition and method of solution - in a circuit with resistor, inductor and capacitor - constant and non-constant driving forces - solving DEs using a computer algebra system

Before we see how to solve differential equations, let's see an example of them in action in the AIDS example.


Introduction to Ordinary Differential Equations

Introduction to Ordinary Differential Equations is a 12-chapter text that describes useful elementary methods of finding solutions using ordinary differential equations. This book starts with an introduction to the properties and complex variable of linear differential equations. Considerable chapters covered topics that are of particular interest in applications, including Laplace transforms, eigenvalue problems, special functions, Fourier series, and boundary-value problems of mathematical physics. Other chapters are devoted to some topics that are not directly concerned with finding solutions, and that should be of interest to the mathematics major, such as the theorems about the existence and uniqueness of solutions. The final chapters discuss the stability of critical points of plane autonomous systems and the results about the existence of periodic solutions of nonlinear equations. This book is great use to mathematicians, physicists, and undergraduate students of engineering and the science who are interested in applications of differential equation.

Introduction to Ordinary Differential Equations is a 12-chapter text that describes useful elementary methods of finding solutions using ordinary differential equations. This book starts with an introduction to the properties and complex variable of linear differential equations. Considerable chapters covered topics that are of particular interest in applications, including Laplace transforms, eigenvalue problems, special functions, Fourier series, and boundary-value problems of mathematical physics. Other chapters are devoted to some topics that are not directly concerned with finding solutions, and that should be of interest to the mathematics major, such as the theorems about the existence and uniqueness of solutions. The final chapters discuss the stability of critical points of plane autonomous systems and the results about the existence of periodic solutions of nonlinear equations. This book is great use to mathematicians, physicists, and undergraduate students of engineering and the science who are interested in applications of differential equation.


3.E: Introduction to Differential Equations (Exercises)

We start by considering equations in which only the first derivative of the function appears.

Definition 17.1.1 A first order differential equation is an equation of the form $F(t, y, dot)=0$. A solution of a first order differential equation is a function $f(t)$ that makes $ds F(t,f(t),f'(t))=0$ for every value of $t$.

Here, $F$ is a function of three variables which we label $t$, $y$, and $dot$. It is understood that $dot $ will explicitly appear in the equation although $t$ and $y$ need not. The term "first order'' means that the first derivative of $y$ appears, but no higher order derivatives do.

Example 17.1.2 The equation from Newton's law of cooling, $dot=k(M-y)$ is a first order differential equation $F(t,y,dot y)=k(M-y)-dot y$.

Example 17.1.3 $dsdot=t^2+1$ is a first order differential equation $ds F(t,y,dot y)= dot y-t^2-1$. All solutions to this equation are of the form $ds t^3/3+t+C$.

Definition 17.1.4 A first order initial value problem is a system of equations of the form $F(t, y, dot)=0$, $y(t_0)=y_0$. Here $t_0 $ is a fixed time and $y_0$ is a number. A solution of an initial value problem is a solution $f(t)$ of the differential equation that also satisfies the initial condition $f(t_0) = y_0$.

Example 17.1.5 The initial value problem $dsdot=t^2+1$, $y(1)=4$ has solution $ds f(t)=t^3/3+t+8/3$.

The general first order equation is rather too general, that is, we can't describe methods that will work on them all, or even a large portion of them. We can make progress with specific kinds of first order differential equations. For example, much can be said about equations of the form $ds dot = phi (t, y)$ where $phi $ is a function of the two variables $t$ and $y$. Under reasonable conditions on $phi$, such an equation has a solution and the corresponding initial value problem has a unique solution. However, in general, these equations can be very difficult or impossible to solve explicitly.

Example 17.1.6 Consider this specific example of an initial value problem for Newton's law of cooling: $dot y = 2(25-y)$, $y(0)=40$. We first note that if $y(t_0) = 25$, the right hand side of the differential equation is zero, and so the constant function $y(t)=25$ is a solution to the differential equation. It is not a solution to the initial value problem, since $y(0) ot=40$. (The physical interpretation of this constant solution is that if a liquid is at the same temperature as its surroundings, then the liquid will stay at that temperature.) So long as $y$ is not 25, we can rewrite the differential equation as $eqalign<<1over 25-y>&=2cr <1over 25-y>,dy&=2,dt,cr> $ so $int <1over 25-y>,dy = int 2,dt,$ that is, the two anti-derivatives must be the same except for a constant difference. We can calculate these anti-derivatives and rearrange the results: $eqalign< int <1over 25-y>,dy &= int 2,dtcr (-1)ln|25-y| &= 2t+C_0cr ln|25-y| &= -2t - C_0 = -2t + Ccr |25-y| &= e^<-2t+C>=e^ <-2t>e^Ccr y-25 & = pm, e^C e^ <-2t>cr y &= 25 pm e^C e^ <-2t>=25+Ae^<-2t>.cr>$ Here $ds A = pm, e^C = pm, e^<-C_0>$ is some non-zero constant. Since we want $y(0)=40$, we substitute and solve for $A$: $eqalign< 40&=25+Ae^0cr 15&=A,cr>$ and so $ds y=25+15 e^<-2t>$ is a solution to the initial value problem. Note that $y$ is never 25, so this makes sense for all values of $t$. However, if we allow $A=0$ we get the solution $y=25$ to the differential equation, which would be the solution to the initial value problem if we were to require $y(0)=25$. Thus, $ds y=25+Ae^<-2t>$ describes all solutions to the differential equation $dsdot y = 2(25-y)$, and all solutions to the associated initial value problems.

Why could we solve this problem? Our solution depended on rewriting the equation so that all instances of $y$ were on one side of the equation and all instances of $t$ were on the other of course, in this case the only $t$ was originally hidden, since we didn't write $dy/dt$ in the original equation. This is not required, however.

Example 17.1.7 Solve the differential equation $dsdot y = 2t(25-y)$. This is almost identical to the previous example. As before, $y(t)=25$ is a solution. If $y ot=25$, $eqalign< int <1over 25-y>,dy &= int 2t,dtcr (-1)ln|25-y| &= t^2+C_0cr ln|25-y| &= -t^2 - C_0 = -t^2 + Ccr |25-y| &= e^<-t^2+C>=e^ <-t^2>e^Ccr y-25 & = pm, e^C e^ <-t^2>cr y &= 25 pm e^C e^ <-t^2>=25+Ae^<-t^2>.cr>$ As before, all solutions are represented by $ds y=25+Ae^<-t^2>$, allowing $A$ to be zero.

Definition 17.1.8 A first order differential equation is separable if it can be written in the form $dot = f(t) g(y)$.

As in the examples, we can attempt to solve a separable equation by converting to the form $int <1over g(y)>,dy=int f(t),dt.$ This technique is called فصل المتغيرات. The simplest (in principle) sort of separable equation is one in which $g(y)=1$, in which case we attempt to solve $int 1,dy=int f(t),dt.$ We can do this if we can find an anti-derivative of $f(t)$.

Also as we have seen so far, a differential equation typically has an infinite number of solutions. Ideally, but certainly not always, a corresponding initial value problem will have just one solution. A solution in which there are no unknown constants remaining is called a particular solution .

The general approach to separable equations is this: Suppose we wish to solve $dot = f(t) g(y) $ where $f$ and $g$ are continuous functions. If $g(a)=0$ for some $a$ then $y(t)=a$ is a constant solution of the equation, since in this case $dot y = 0 = f(t)g(a)$. For example, $dot =y^2 -1$ has constant solutions $y(t)=1$ and $y(t)=-1$.

To find the nonconstant solutions, we note that the function $1/g(y)$ is continuous where $g ot=0$, so $1/g$ has an antiderivative $G$. Let $F$ be an antiderivative of $f$. Now we write $G(y) = int <1over g(y)>,dy = int f(t),dt=F(t)+C,$ so $G(y)=F(t)+C$. Now we solve this equation for $y$.

Of course, there are a few places this ideal description could go wrong: we need to be able to find the antiderivatives $G$ and $F$, and we need to solve the final equation for $y$. The upshot is that the solutions to the original differential equation are the constant solutions, if any, and all functions $y$ that satisfy $G(y)=F(t)+C$.

Example 17.1.9 Consider the differential equation $dot y=ky$. When $k>0$, this describes certain simple cases of population growth: it says that the change in the population $y$ is proportional to the population. The underlying assumption is that each organism in the current population reproduces at a fixed rate, so the larger the population the more new organisms are produced. While this is too simple to model most real populations, it is useful in some cases over a limited time. When $k 0$. At what time does half of the mass remain? (This is known as the half life. Note that the half life depends on $k$ but not on $M$.) (answer)

Ex 17.1.16 Bismuth-210 has a half life of five days. If there is initially 600 milligrams, how much is left after 6 days? When will there be only 2 milligrams left? (answer)

Ex 17.1.17 The half life of carbon-14 is 5730 years. If one starts with 100 milligrams of carbon-14, how much is left after 6000 years? How long do we have to wait before there is less than 2 milligrams? (answer)

Ex 17.1.18 A certain species of bacteria doubles its population (or its mass) every hour in the lab. The differential equation that models this phenomenon is $dot =ky$, where $k>0 $ and $y$ is the population of bacteria at time $t$. What is $y$? (answer)

Ex 17.1.19 If a certain microbe doubles its population every 4 hours and after 5 hours the total population has mass 500 grams, what was the initial mass? (answer)


3.E: Introduction to Differential Equations (Exercises)

There isn’t really a whole lot to this chapter it is mainly here so we can get some basic definitions and concepts out of the way. Most of the definitions and concepts introduced here can be introduced without any real knowledge of how to solve differential equations. Most of them are terms that we’ll use throughout a class so getting them out of the way right at the beginning is a good idea.

During an actual class I tend to hold off on a many of the definitions and introduce them at a later point when we actually start solving differential equations. The reason for this is mostly a time issue. In this class time is usually at a premium and some of the definitions/concepts require a differential equation and/or its solution so we use the first couple differential equations that we will solve to introduce the definition or concept.

Here is a quick list of the topics in this Chapter.

Definitions – In this section some of the common definitions and concepts in a differential equations course are introduced including order, linear vs. nonlinear, initial conditions, initial value problem and interval of validity.

Direction Fields – In this section we discuss direction fields and how to sketch them. We also investigate how direction fields can be used to determine some information about the solution to a differential equation without actually having the solution.

Final Thoughts – In this section we give a couple of final thoughts on what we will be looking at throughout this course.


Chemical Kinetics

Chemical kinetics, a topic in several chemistry courses, illustrates the connection between mathematics and chemistry. Chemical kinetics deals with chemistry experiments and interprets them in terms of a mathematical model. The experiments are perfomed on chemical reactions as they proceed with time. The models are differential equations for the rates at which reactants are consumed and products are produced. By combining models with experiments, chemists are able to understand how chemical reactions take place at the molecular level.

Basic Ideas of Chemical Kinetics

Stoichiometry in chemical reactions and relation to differential rate laws and integrated rate laws.
Definition of the rate of a chemical reaction.
Extent of reaction, extent variable: x.
Define rate law, rate constant and order of a reaction.
Temperature and reaction rates: Arrhenius Equation and activation energy.
Differential versus Integrated rate laws.
Empirical Rate Equations: FIRST ORDER chemical kinetics equations and solutions.
Empirical Rate Equations: SECOND ORDER chemical kinetics equations and solutions.

Composite Reactions or Reaction Mechanisms

Mechanism and rate laws.
How to Construct the differential equations of chemical kinetics.
Example mechanism: consecutive reactions using DynaSys, A -->B --> C.
Example mechanism: Michaelis-Menton enzyme catalysis using mathcad.

Advanced Ideas in Chemical Kinetics

Oscillating Chemical Reactions:

History of oscillating reactions.
Example chemical oscillator: Lotke-Volterra.
Example chemical oscillator: Brusselator.
Example chemical oscillator: Oregonator.

Thermogravimetric Analysis

TGA refers to the process of monitoring the mass of a sample while it is heated. The rising temperature causes chemical reactions to occur and may result in loss of mass. Background for TGA and illustrative examples are found by clicking here .

Exercises

Glossary of Terms

  • Stoichiometry determines the molar ratios of reactants and products in an overall chemical reaction. We express the stoichiometry as a balanced chemical equation. For kinetics it is convient to write this as products minus reactants: n p P + n q Q - n a A - n b B (instead of the conventional equation n a A + n b B ---> n p P + n q Q). This indicates that n a and n b moles of reactants A and B, resp., produce n p and n q moles of products P and Q.
  • The rate of a chemical reaction is defined in such a way that it is independent of which reactant or product is monitored. We define the rate, v, of a reaction to be v = (1/n g ) d[G]/dt where n g is the signed (positive for products, negative for reactants) stoichiometric coefficient of species G in the reaction. Namely, v = (-1/n a ) d[A]/dt = (1/n p ) d[P]/dt, etc.
  • It is convenient to refer to the extent of reaction. As the reactants are sonsumed and the products are produced, their concentrations change. If the initial concentrations of A, B, P and Q are [A], [B], [P] and [Q], resp., then the extent of reaction is defined: x = -([A]-[A] 0 )/n a = -([B] - [B] 0 )/n b = ([P]-[P] 0 )/n p = ([Q]-[Q] 0 )/n q . Alternately, each species concentration is a function of the extent of reaction: [A] = [A] 0 - n a x , etc.
  • Many reactions follow elementary differential rate laws such as v = k f([A], [B], . ) where f([A], [B], . ) is a function of the concentrations of reactants and products. That is, the rate varies as the concentrations change. A proportionality constant, k, is called the rate constant of the reaction.
  • When the rate law has the special form of a product (or quotient) of powers, f([A], [B], . ) = [A] a [B] b [P] p [Q] q then a is the order of the reaction with respect to A, b is the order w.r.t. B, etc. Note that order may be positive, negative, integer, or non-integer. Further, the sum a + b + p + q is the overall order of the reaction rate law.
  • NOTE : there is no necessary relation between orders and stoichiometric coefficients. That is, a might differ from n a .
  • Reaction rate constants are usually temperature dependent the rate of a reaction usually increases as the temperature rises. The temperature dependence often follows Arrhenius' equation: k(T) = A exp(-Ea/RT) where T is the absolute temperature, R the universal gas constant, Ea is the activation energy (specific to each reaction), and A is the "pre-exponential" or "frequency" or "entropy" factor.
  • One objective of chemical kinetics is to solve the differential rate law d[G]/dt = k f([A], [B], . ), and thereby express each species concentration as a function of time: [G](t). Since solution requires integration, we call it the integrated rate law.
  • A reaction mechanism is a set of steps at the molecular level. Each step involves combinations or re-arrangements of individual molecular species. The steps in combination describe the path or route that reactant molecules follow to reach the product molecules. The result of all steps is to produce the overall balanced stoichiometric chemical equation for reactants producing products.

Links

Extensive collection of physical chemistry problem solutions using MathCad can be found at the scicomp site.

Feedback:

You are invited to send your comments about these chemical kinetics pages to Ron Poshusta [email protected]>.

مراجع

  • Physical Chemistry by K.J. Laidler & J.H. Meiser [Houghton Mifflin Co., 1995] Chapters 9 and 10.
  • Physical Chemistry by P. Atkins [W.H. Freeman & Co., 1994] Chapters 25 and 26.
  • More references will be found under subtopics in chemical kinetics.

With the advent of HTML5, Javascript is now ready for prime time for mathematical applications. There are new Javascript demos illustrating how we might use interactive web objects to help students learn Calculus.


جدول المحتويات

Differential Galois theory is an important, fast developing area which appears more and more in graduate courses since it mixes fundamental objects from many different areas of mathematics in a stimulating context. لفترة طويلة ، كان النهج السائد ، الذي يُطلق عليه عادةً نظرية Picard-Vessiot ، جبريًا بحتًا. تم تطوير هذا النهج على نطاق واسع وتم تناوله جيدًا في الأدبيات. تتمثل الطريقة البديلة في تمييز الأشياء الجبرية بالمعلومات المتسامية التي تثري الفهم ولا تقدم وجهات نظر جديدة فحسب ، بل تقدم أيضًا حلولًا جديدة. إنه قوي للغاية ويمكن تطبيقه في المواقف التي لا يتم فيها توسيع نهج Picard-Vessiot بسهولة. يقدم هذا الكتاب نهجًا عمليًا متعاليًا لنظرية جالوا التفاضلية ، استنادًا إلى مراسلات ريمان-هيلبرت. على طول الطريق ، فإنه يوفر مقدمة سلسة وواضحة للهندسة الجبرية ، ونظرية الفئة والازدواجية tannakian.

نظرًا لأن الكتاب يدرس فقط المعادلات التفاضلية الخطية التحليلية المعقدة ، فإن المتطلبات الأساسية هي نظرية الوظيفة المعقدة والجبر الخطي والمعرفة الأولية للمجموعات ومتعددة الحدود في العديد من المتغيرات. توفر مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأمثلة والتمارين والمنشآت النظرية ، غالبًا عبر حسابات صريحة ، لطلاب الدراسات العليا في السنة الأولى دخولًا يمكن الوصول إليه في هذا المجال المثير.


شاهد الفيديو: الجزء 3: درس المعادلات التفاضلية و طرق الإجابة على التمارين (شهر نوفمبر 2021).