مقالات

2.1: مقدمة لتقنيات التكامل - الرياضيات


في مدينة كبيرة ، وقعت الحوادث بمعدل واحد كل ثلاثة أشهر في تقاطع مزدحم بشكل خاص. بعد أن اشتكى السكان ، تم إجراء تغييرات على إشارات المرور عند التقاطع. لقد مرت الآن ثمانية أشهر منذ إجراء التغييرات ولم تقع حوادث. هل التغييرات سارية أم أن فترة الثمانية أشهر دون وقوع حادث كانت نتيجة صدفة؟ نستكشف هذا السؤال لاحقًا في هذا الفصل ونرى أن التكامل جزء أساسي من تحديد الإجابة.

لقد رأينا في الفصل السابق كيف يمكن أن يكون التكامل مهمًا لجميع أنواع الموضوعات المختلفة - من حسابات الأحجام إلى معدلات التدفق ، ومن استخدام دالة السرعة لتحديد موضع إلى تحديد مواقع مراكز الكتلة. ليس من المستغرب إذن أن تكون تقنيات إيجاد المشتقات العكسية (أو التكاملات غير المحددة) مهمة لمعرفة كل من يستخدمها. لقد ناقشنا بالفعل بعض صيغ التكامل الأساسية وطريقة التكامل عن طريق الاستبدال. في هذا الفصل ، ندرس بعض التقنيات الإضافية ، بما في ذلك بعض الطرق لتقريب التكاملات المحددة عندما لا تعمل التقنيات العادية.


2.1: مقدمة لتقنيات التكامل - الرياضيات

لقد رأينا الآن عددًا لا بأس به من تقنيات التكامل المختلفة ، لذا من المحتمل أن نتوقف مؤقتًا عند هذه النقطة ونتحدث قليلاً عن استراتيجية لاستخدامها في تحديد الأسلوب الصحيح لاستخدامه عند مواجهة تكامل.

هناك بضع نقاط يجب توضيحها حول هذه الإستراتيجية. أولاً ، إنها ليست مجموعة قواعد صارمة وسريعة لتحديد الطريقة التي ينبغي استخدامها. إنها في الحقيقة ليست أكثر من مجموعة عامة من الإرشادات التي ستساعدنا على تحديد التقنيات التي قد تنجح. يمكن إجراء بعض التكاملات بأكثر من طريقة ، وبالتالي اعتمادًا على المسار الذي تسلكه خلال الإستراتيجية ، قد ينتهي بك الأمر بتقنية مختلفة عن أي شخص آخر مر بهذه الإستراتيجية أيضًا.

ثانيًا ، بينما يتم تقديم الإستراتيجية كطريقة لتحديد التقنية التي يمكن استخدامها في التكامل ، ضع في اعتبارك أيضًا أنه بالنسبة للعديد من التكاملات ، يمكنها أيضًا استبعاد تقنيات معينة تلقائيًا أيضًا. عند استعراض الإستراتيجية ، ضع قائمتين في الاعتبار. القائمة الأولى هي تقنيات التكامل التي لن تعمل ببساطة ، والقائمة الثانية هي التقنيات التي تبدو وكأنها قد تنجح. بعد مراجعة الإستراتيجية والقائمة الثانية لها إدخال واحد فقط ، فهذه هي التقنية التي يجب استخدامها. من ناحية أخرى ، إذا كان هناك أكثر من أسلوب ممكن لاستخدامه ، فسيتعين علينا حينئذٍ أن نقرر ما هو الأفضل بالنسبة لنا لاستخدامه. لسوء الحظ ، لا توجد طريقة لتعليم أي تقنية هي الأفضل لأن ذلك يعتمد عادةً على الشخص وأي تقنية يجدونها هي الأسهل.

ثالثًا ، لا تنس أنه يمكن تقييم العديد من التكاملات بطرق متعددة ، وبالتالي يمكن استخدام أكثر من أسلوب واحد فيها. تم ذكر هذا بالفعل في كل نقطة من النقاط السابقة ولكنه مهم بما يكفي لتبرير ذكر منفصل. في بعض الأحيان يكون أحد الأساليب أسهل بكثير من الأساليب الأخرى ، لذا لا تتوقف عند الأسلوب الأول الذي يبدو أنه يعمل. حدد دائمًا جميع التقنيات الممكنة ثم ارجع وحدد الطريقة التي تشعر أنها ستكون أسهل بالنسبة لك في الاستخدام.

بعد ذلك ، من الممكن تمامًا أنك ستحتاج إلى استخدام أكثر من طريقة لإجراء تكامل كامل. على سبيل المثال ، قد يؤدي الاستبدال إلى استخدام التكامل بالأجزاء أو الكسور الجزئية.

أخيرًا ، سأقبل في صفي أي تقنية تكامل صالحة كحل. كما ذكرنا سابقًا ، غالبًا ما يكون هناك أكثر من طريقة للقيام بالتكامل ، ولأنني وجدت أسلوبًا واحدًا ليكون الأسهل لا يعني ذلك أنك ستفعل ذلك أيضًا. لذلك ، في صفي ، لا توجد طريقة واحدة صحيحة للقيام بالتكامل. يمكنك استخدام أي أسلوب تكامل كنت قد علمته إياه في هذا الفصل أو تعلمته في حساب التفاضل والتكامل 1 لتقييم التكاملات في هذا الفصل. بمعنى آخر ، اتبع دائمًا النهج الذي تجده أسهل.

لاحظ أن هذه النقطة الأخيرة موجهة أكثر نحو صفي وأنه من المحتمل تمامًا ألا يوافق معلمك على هذا ، لذا كن حذرًا في تطبيق هذه النقطة إذا لم تكن في صفي.

حسنًا ، دعنا نبدأ في الإستراتيجية.

  1. بسّط التكامل ، إن أمكن. هذه الخطوة مهمة جدًا في عملية التكامل. يمكن أخذ العديد من التكاملات من المستحيل أو الصعب جدًا إلى السهل جدًا مع القليل من التبسيط أو التلاعب. لا تنس المتطابقات الأساسية المثلثية والجبرية حيث يمكن استخدامها غالبًا لتبسيط التكامل.

استخدمنا هذه الفكرة عندما كنا ننظر إلى التكاملات التي تتضمن دوال حساب المثلثات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل التالي.

لا يمكن أن يتم هذا التكامل كما هو ، ولكن بمجرد استدعاء الهوية ،

يصبح التكامل سهلًا جدًا.

لاحظ أن هذا المثال يوضح أيضًا أن التبسيط لا يعني بالضرورة أننا سنكتب التكامل في صيغة "أبسط". هذا يعني فقط أننا سنكتب Integand في شكل يمكننا التعامل معه وغالبًا ما يكون هذا أطول و / أو "فوضويًا" من التكامل الأصلي.

يمكن عمل التكامل الأول باستخدام كسور جزئية ، ويمكن إجراء التكامل الثاني بالتعويض المثلثي.

ومع ذلك ، يمكن أيضًا تقييم كليهما باستخدام الاستبدال (u = - 1 ) وسيكون العمل الذي ينطوي عليه الاستبدال أقل بكثير من العمل المتضمن في الكسور الجزئية أو استبدال المثلثات.

لذلك ، ابحث دائمًا عن بدائل سريعة وبسيطة قبل الانتقال إلى تقنيات حساب التفاضل والتكامل II الأكثر تعقيدًا.

  1. هل التكامل والتعبير العقلاني (أي هل التكامل وكثير الحدود مقسومًا على كثير الحدود)؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقد تعمل الكسور الجزئية على التكامل.
  2. هل التكامل والدالة متعددة الحدود دالة مثلثية أم أسية أم لوغاريتمية؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقد ينجح التكامل حسب الأجزاء.
  3. هل التكامل هو نتاج الجيب وجيب التمام ، القاطع والظل ، أم التمام والظل؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقد تعمل الموضوعات من القسم الثاني.
    وبالمثل ، لا تنس أن بعض حواجز القسمة التي تتضمن هذه الوظائف يمكن أيضًا إجراؤها باستخدام هذه الأساليب.
  4. هل يشتمل التكامل على ( sqrt <+ > ) ، ( sqrt <- > ) أو ( sqrt <- > )؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقد يعمل استبدال حساب المثلثات بشكل جيد.
  5. هل للمتكامل جذور غير تلك المذكورة أعلاه فيه؟ إذا كان الأمر كذلك ، فإن الاستبدال (u = sqrt [n] <> ) قد تعمل.
  6. هل يوجد تكامل من الدرجة الثانية بداخله؟ إذا كان الأمر كذلك ، فإن إكمال المربع في المعادلة التربيعية قد يضعه في شكل يمكننا التعامل معه.

المثال النموذجي هنا هو التكامل التالي.

من الواضح أن هذا التكامل لا يتناسب مع أي من الأشكال التي تناولناها في هذا الفصل. ومع ذلك ، مع الاستبدال (u = sin x ) يمكننا تقليل التكامل إلى النموذج ،

وهي مشكلة استبدال حساب المثلثات.

لا تقلق أبدًا بفكرة أن التكامل سيتطلب خطوة واحدة فقط لتقييمه بالكامل. سيتطلب الكثير أكثر من خطوة واحدة.

كما هو مذكور أعلاه ، هذه الإستراتيجية ليست مجموعة قواعد صارمة وسريعة. الغرض منه فقط هو إرشادك خلال عملية تحديد أفضل كيفية القيام بأي جزء متكامل. لاحظ أيضًا أن المكان الوحيد الذي ظهر فيه حساب التفاضل والتكامل II هو الخطوة الثالثة. لا تتضمن الخطوات 1 و 2 و 4 أكثر من معالجة التكامل وإما من خلال المعالجة المباشرة للمتكامل أو باستخدام التعويض. الخطوتان الأخيرتان هما مجرد أفكار يجب التفكير فيها أثناء تنفيذ هذه الاستراتيجية.

يمر العديد من الطلاب بهذه العملية ويركزون بشكل حصري تقريبًا على الخطوة 3 (بعد كل هذا هو حساب التفاضل والتكامل الثاني ، لذلك من السهل معرفة سبب قيامهم بذلك ...) مع استبعاد الخطوات الأخرى. إحدى النتائج الكبيرة جدًا لهذا الاستبعاد هي أنه غالبًا ما يتم التغاضي عن التلاعب أو الاستبدال البسيط الذي يمكن أن يجعل التكامل أمرًا سهلاً للغاية.

قبل الانتقال إلى القسم التالي ، يجب أن نعمل على مشكلتين سريعتين توضحان عددًا من التبسيطات / التلاعبات غير الواضحة واستبدال غير واضح.

هذا التكامل يقع تقريبًا في الشكل المعطى في 3 ج. إنه حاصل قسمة الظل والقاطع ونعلم أنه في بعض الأحيان يمكننا استخدام نفس الأساليب لمنتجات الظل والقطع على حاصل القسمة.

تخبرنا العملية من هذا القسم أنه إذا كان لدينا حتى قوى القاطع لتجريد اثنين منهم وتحويل الباقي إلى ظل. هذا لن يعمل هنا. يمكننا فصل قاطعين ، لكنهما سيكونان في المقام ولن يفيدنا أي شيء هناك. تذكر أن الهدف من فصلهم هو أن يكونوا هناك للاستبدال (u = tan x ). هذا يتطلب منهم أن يكونوا في البسط. لذلك ، لن ينجح ذلك ، لذا سيتعين علينا إيجاد طريقة حل أخرى.

في الواقع ، هناك طريقتان لحل هذا التكامل اعتمادًا على الطريقة التي تريد القيام بها. سنلقي نظرة على كليهما.

الحل 1
في طريقة الحل هذه ، يمكننا تحويل كل شيء إلى جيب وجيب التمام ومعرفة ما إذا كان ذلك يعطينا تكاملًا يمكننا التعامل معه.

لاحظ أن مجرد التحويل إلى الجيب وجيب التمام لن ينجح دائمًا وإذا تم ذلك فلن يعمل دائمًا بشكل جيد. غالبًا ما يكون هناك الكثير من العمل الذي يجب القيام به لإكمال التكامل.

الحل 2
تعود طريقة الحل هذه إلى التعامل مع القاطعات والظلمات. دعنا نلاحظ أنه إذا كان لدينا قاطع في البسط ، فيمكننا فقط استخدام (u = sec x ) كبديل وسيكون استبدالًا سريعًا وبسيطًا إلى حد ما. ليس لدينا قاطع في البسط. ومع ذلك ، يمكننا بسهولة الحصول على قاطع في البسط بضرب البسط والمقام في القاطع.

في المثال السابق رأينا "تبسيطين" يسمحان لنا بعمل التكامل. الأول هو استخدام المتطابقات لإعادة كتابة التكامل في حدود يمكننا التعامل معها ، والثاني يتضمن ضرب البسط والمقام في شيء ما لوضع التكامل مرة أخرى في حدود يمكننا التعامل معها.

يعد استخدام المتطابقات لإعادة كتابة تكامل "تبسيطًا" مهمًا ويجب ألا ننساه. غالبًا ما يمكن تبسيط التكاملات بشكل كبير أو على الأقل وضعها في شكل يمكن التعامل معه باستخدام هوية.

لا يتم استخدام "التبسيط" الثاني كثيرًا ، ولكنه يظهر في بعض الأحيان ، لذا من الأفضل عدم نسيانه. في الواقع ، دعنا نلقي نظرة أخرى على مثال يسمح لنا فيه ضرب البسط والمقام في شيء ما بعمل تكامل.

هذا جزء لا يتجزأ حيث إذا ركزنا فقط على الخطوة الثالثة فلن نصل إلى أي مكان. لا يبدو أن هذا التكامل هو أي من أنواع التكاملات التي عملنا عليها في هذا الفصل.

ومع ذلك ، يمكننا إجراء التكامل ، إذا قمنا بما يلي ،

لا يبدو أن هذا قد فعل أي شيء لنا. ومع ذلك ، إذا تذكرنا الآن "التبسيط" الأول الذي نظرنا إليه أعلاه ، فسنلاحظ أنه يمكننا استخدام متطابقة لإعادة كتابة المقام. بمجرد أن نفعل ذلك ، يمكننا تقليل التكامل إلى شيء يمكننا التعامل معه.

لذلك ، رأينا مرة أخرى أن ضرب البسط والمقام في شيء ما يمكن أن يضع التكامل في صورة يمكننا تكاملها. لاحظ أيضًا أن هذا المثال أظهر أيضًا أن "التبسيط" لا يضع بالضرورة جزءًا لا يتجزأ في شكل أبسط. إنهم فقط يضعون التكامل في شكل يسهل تكامله.

دعنا الآن نلقي نظرة سريعة على مثال بديل غير واضح.

قدمنا ​​هذا المثال قائلين أن الاستبدال لم يكن واضحًا جدًا. ومع ذلك ، يعد هذا حقًا جزءًا لا يتجزأ من الشكل المعطى بواسطة 3e في استراتيجيتنا أعلاه. ومع ذلك ، فإن الكثير من الناس يفتقدون هذا الشكل ولذلك لا يفكرون فيه. لذلك ، دعونا نجرب البديل التالي.

[u = sqrt x hspace <0.5in> x = hspace <0.5in> dx = 2u ، du ]

بهذا الاستبدال يصبح التكامل ،

هذا هو الآن تكامل من خلال أجزاء لا يتجزأ. تذكر أننا سنحتاج غالبًا إلى استخدام أكثر من أسلوب واحد لإجراء التكامل بشكل كامل. هذا تكامل بسيط إلى حد ما حسب مشكلة الأجزاء ، لذا سنترك باقي التفاصيل لك للتحقق.

قبل مغادرة هذا القسم ، يجب أن نشير أيضًا إلى أن هناك تكاملات في العالم لا يمكن إجراؤها من حيث الوظائف التي نعرفها. بعض الأمثلة على ذلك.

هذا لا يعني أن هذه التكاملات لا يمكن أن تتم على مستوى ما. إذا ذهبت إلى نظام الجبر الحاسوبي مثل Maple أو Mathematica وقمت بعمل هذه التكاملات ، فستعيد ما يلي.

لذلك ، يبدو أن هذه التكاملات يمكن فعلها في الواقع. ومع ذلك ، هذا مضلل بعض الشيء. فيما يلي تعريفات كل من الوظائف المذكورة أعلاه.

وظيفة الخطأ

شرط لا يتجزأ

فرينل جيب التمام لا يتجزأ

لا يتجزأ جيب التمام

لاحظ أن الثلاثة الأولى يتم تعريفها ببساطة من حيث نفسها ، ولذا عندما نقول إننا نستطيع دمجها ، فكل ما نفعله حقًا هو إعادة تسمية التكامل. الرابع مختلف بعض الشيء ومع ذلك لا يزال يتم تعريفه من حيث التكامل الذي لا يمكن القيام به في الممارسة.

سيكون من الممكن دمج كل تكامل معطى في هذه الفئة ، ولكن من المهم ملاحظة أن هناك تكاملات لا يمكن فعلها. يجب أن نلاحظ أيضًا أنه بعد أن ننظر إلى المتسلسلة ، سنكون قادرين على تدوين تمثيلات المتسلسلة لكل من التكاملات أعلاه.


انسايت الرياضيات

الاساسيان استعمال من دمج هو بمثابة نسخة مستمرة من الجمع. ولكن ، للمفارقة ، غالبًا ما تكون التكاملات كذلك محسوب من خلال عرض التكامل على أنه ملف عملية عكسية للتفاضل. (هذه الحقيقة هي ما يسمى ب النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.)

التدوين ، الذي علقنا به لأسباب تاريخية ، غريب مثل تدوين المشتقات: تكامل دالة $ f (x) $ بالنسبة إلى $ x $ تتم كتابة $ int f (x) dx $

ملاحظة أن التكامل (تقريبًا) معكوس لعملية الاشتقاق يعني أنه إذا كان $f (x) = g (x) $ ثم $ int g (x) dx = f (x) + C $ $ C $ الإضافي ، يسمى ثابت التكامل، ضروري حقًا ، لأن التفاضل بعد كل شيء يقتل الثوابت ، ولهذا السبب لا يكون التكامل والتفاضل كذلك بالضبط العمليات العكسية لبعضها البعض.

منذ التكامل تقريبيا العملية العكسية للتفاضل ، وتذكر الصيغ والعمليات ل التفاضل يروي بالفعل أهم الصيغ لـ دمج: يبدأ int x ^ n dx & amp = <1 over n + 1> x ^+ C & amp hbox <ما لم $ n = -1 $> int e ^ x dx & amp = e ^ x + C int <1 over x> dx & amp = ln x + C int sin x dx & amp = - cos x + C int cos x dx & amp = sin x + C int sec ^ 2 x dx & amp = tan x + C int < 1 أكثر من 1 + x ^ 2> dx & amp = arctan x + C end

وبما أن مشتق المجموع هو مجموع المشتقات ، فإن تكامل المجموع هو مجموع التكاملات: $ int f (x) + g (x) dx = int f (x) dx + int g (x) dx $ وبالمثل ، الثوابت & lsquogo من خلال & rsquo علامة التكامل: $ int c cdot f (x) dx = c cdot int f (x) dx $

على سبيل المثال ، من السهل دمج كثيرات الحدود ، حتى مع تضمين مصطلحات مثل $ sqrt$ والمزيد من وظائف الطاقة العامة. الشيء الوحيد الذي يجب الانتباه إليه هو المصطلحات $ x ^ <-1> = <1 over x> $ ، حيث إنها تتكامل مع $ ln x $ بدلاً من قوة $ x $. إذن $ int 4x ^ 5-3x + 11-17 sqrt+ <3 over x> dx = <4x ^ 6 over 6> - <3x ^ 2 over 2> + 11x- <17x ^ <3/2> over 3/2> +3 ln x + C $ لاحظ أننا بحاجة إلى تضمين واحد فقط & lsquoconstant للتكامل & rsquo.

من السهل دمج مجاميع المضاعفات الثابتة لكل هذه الوظائف: على سبيل المثال ، $ int 5 cdot 2 ^ x- <23 over x sqrt> + 5x ^ 2 dx = <5 cdot 2 ^ x over ln 2> -23 ، hbox، x + <5x ^ 3 over 3> + C $


كيف تدمج #int x ^ 3 sin ^ 2 x dx # باستخدام التكامل بالأجزاء؟

انظر الجواب أدناه:

# int x ^ 3sin ^ 2x dx = (2 x ^ 4 + (6x-4x ^ 3) sin2x (3-6x ^ 2) cos2x) / 16 + C #

توضيح:

استعدادًا لتطبيق التكامل حسب الأجزاء ، نلاحظ أنه باستخدام رقم التعريف # cos2A- = 1-2sin ^ 2A #:

# int sin ^ 2x dx = 1/2 int 1-cos2x dx #
# "" = 1/2 (x-1 / 2sin2x) #
# "" = 1/2 x-1 / 4sin2x #

يمكننا بعد ذلك تطبيق التكامل حسب الأجزاء:

ثم أدخل صيغة IBP:

# int x ^ 3sin ^ 2x dx = x ^ 3 (1/2 x-1 / 4sin2x) - int (1/2 x-1 / 4sin2x) 3x ^ 2 dx #
#:. أنا = 1/2 x ^ 4-1 / 4x ^ 3sin2x - 3/4 int 2 x ^ 3-x ^ 2sin2x dx #
# = 1/2 x ^ 4-1 / 4x ^ 3sin2x - 3/4 x ^ 4/2 + 3/4 int x ^ 2sin2x dx #
# = 1/8 x ^ 4-1 / 4x ^ 3sin2x +3/4 int x ^ 2sin2x dx #. [أ]

فكر الآن في التكامل الأخير:

يمكننا مرة أخرى تطبيق التكامل حسب الأجزاء:

# I_1 = (x ^ 2) (- 1 / 2cos2x) - int (-1 / 2cos2x) (2x) dx #
# = -1 / 2x ^ 2cos2x + int xcos2x dx #. [ب]

والآن علينا أن نفكر في:

الأمر الذي يتطلب مرة أخرى تطبيق التكامل حسب الأجزاء:

# I_2 = (x) (1/2sin2x) - int 1 / 2sin2x dx #
# = 1 / 2xsin2x + 1 / 4cos2x #. [C]


حساب ثابت التكامل

عادة ، نريد أن يتم تحديد هذه الوظيفة المتكاملة برقم # f # ، حتى نتمكن من تحديد المشتق العكسي كـ #f (x) #.

ومع ذلك ، باستخدام تسمية المتغير الخاصة بك ، دعنا نقول أن #F (x) # هو المشتق العكسي لـ #f '(x) # ، ثم من خلال Net Change Theorem ، لدينا:

لذلك فإن ثابت التكامل هو:

هذه إجابة بسيطة ، ولكن بالنسبة للعديد من الطلاب ، من الصعب جدًا القيام بذلك بشكل تجريدي. لذا ، لنلقِ نظرة على مثال ملموس:

#F (x) = x ^ 3 # لمطابقة المتغيرات الخاصة بك
#F '(x) = f' (x) = 3x ^ 2 # لمطابقة المتغيرات الخاصة بك
#f (x) = int 3x ^ 2 dx #
# = س ^ 3 + C #
# = F (x) + C #

الآن ، استبدل القيم المعطاة:

لذا ، إذا كانت هناك مشكلة مجردة تجعل من الصعب عليك إيجاد حل ، فابدأ بحل ملموس لمساعدتك في العثور على نمط.

إذا كانت #F (x) # مشتقة عكسية للدالة #f (x) # ، أي ،

#G (x) = F (x) + C # ، حيث # C # هو أي ثابت ،

هو أيضًا مشتق عكسي لـ #f (x) # منذ ذلك الحين

ومن ثم ، هناك مجموعة من الوظائف (تختلف فقط بثابت) وهي مشتقات عكسية لـ #f (x) #. من أجل تضمين جميع المشتقات العكسية لـ #f (x) # ، يتم استخدام ثابت التكامل # C # للتكاملات غير المحددة.

تكمن أهمية # C # في أنه يسمح لنا بالتعبير عن الشكل العام للمشتقات العكسية.

آمل أن يكون هذا كان مفيدا.


التكامل بالتعويض

"التكامل بالتعويض" (يُطلق عليه أيضًا "الاستبدال u" أو "قاعدة السلسلة العكسية") هي طريقة لإيجاد التكامل ، ولكن فقط عندما يمكن إعداده بطريقة خاصة.

الخطوة الأولى والأكثر أهمية هي أن تكون قادرًا على كتابة تكاملنا بهذا الشكل:


لاحظ أن لدينا ز (س) ومشتقاته ز '(x)


هنا و = كوس، ونحن لدينا ز = س 2 ومشتقاته 2x
هذا التكامل جيد!

عندما يتم إعداد التكامل على هذا النحو ، يمكننا القيام بذلك هذا الاستبدال:

إذا نحن نستطيع دمج f (u)، والانتهاء من وضع g (x) مرة أخرى كـ u.

مثال: ∫ cos (x 2) 2x dx

نعلم (من أعلى) أنه في الشكل الصحيح لإجراء الاستبدال:

وأخيرا وضع ش = س 2 عاد ثانية:

وبالتالي cos (x 2) 2x dx = sin (x 2) + C

هذا عمل جيد حقا! (حسنًا ، كنت أعلم أنه سيكون.)

لكن هذه الطريقة تعمل فقط على بعض تكاملات بالطبع ، وقد تحتاج إلى إعادة ترتيب:

مثال: ∫ cos (x 2) 6x dx

أوه لا! أنه 6x، ليس 2x مثل السابق. لقد انتهى إعدادنا المثالي.

لا تخف ابدا! فقط قم بإعادة ترتيب التكامل كما يلي:

∫ cos (x 2) 6x dx = 3 ∫ cos (x 2) 2x dx

(يمكننا سحب المضاعفات الثابتة خارج التكامل ، انظر قواعد التكامل.)

الآن ضع ش = س 2 عاد ثانية:

لنجرب الآن مثالاً أصعب قليلاً:

مثال: ∫ x / (x 2 +1) dx

دعني أرى . مشتق x 2 +1 هو 2x. فكيف نعيد ترتيبه هكذا:

½ ∫ 1 / u du = ½ ln|ش| + ج

الآن ضع ش = س 2 +1 عاد ثانية:

مثال: ∫ (x + 1) 3 dx

دعني أرى . مشتق x + 1 هو. حسنًا ، إنه ببساطة 1.

∫ u 3 du = ش 4 4 + ج

الآن ضع ش = س + 1 عاد ثانية:

(س +1) 4 4 + ج

يمكننا أن نأخذ هذه الفكرة إلى أبعد من هذا:

مثال: ∫ (5x + 2) 7 dx

إذا كان في هذا الشكل ، فيمكننا القيام بذلك:

لذلك دعونا نجعل ذلك من خلال القيام بذلك:

15 ∫ (5x + 2) 7 5 dx

ال 15 و 5 إلغاء لذلك كل شيء على ما يرام.

والآن يمكننا الحصول عليها ش = 5 س + 2

15 ∫ u 7 du = 15 ش 8 8 + ج


كيف تتعلم التفاضل والتكامل في 7 خطوات

حساب التفاضل والتكامل هو فرع من فروع الرياضيات يحتوي على حدود ومشتقات وتكاملات ووظائف. حساب التفاضل والتكامل هو جزء رئيسي من الرياضيات. يستخدم حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء والفيزياء وما إلى ذلك. بالنسبة لمعظم الطلاب ، يعتبر حساب التفاضل والتكامل أصعب جزء في الرياضيات. هل تكافح من أجل فهم التفاضل والتكامل؟ يمكن أن يكون التفاضل والتكامل سهلاً إذا تم التعامل معه بطريقة مناسبة. اتبع المقال لتتعلم التفاضل والتكامل بالطريقة الصحيحة.

الخطوة 1) ابدأ بجزء آخر من الرياضيات الأساسية

حساب التفاضل والتكامل هو فرع الرياضيات الذي يرتبط بمجالات الرياضيات الأخرى.
علم الحساب : ابدأ بالحسابات الأساسية ، وكن بارعًا في جميع العمليات الحسابية.
الجبر: تعرف على خصائص الجبر الأساسية. فهم أساسيات المجموعات والمجموعة. تعرف على مشاكل الكلمات.
علم المثلثات : فهم خصائص المثلثات والدوائر وما إلى ذلك.
الهندسة: ادرس كل شيء عن الأشكال وخصائصها.

الخطوة 2) فهم جزء التفاضل والتكامل

يتكون حساب التفاضل والتكامل بشكل أساسي من جزأين حساب التفاضل والتفاضل والتكامل. حساب التفاضل والتكامل هو دراسة التغيير ومعدل التغيير والتراكم. معدل التغيير يعني المشتقات والتراكم جزء لا يتجزأ. حساب التفاضل والتكامل هو كل شيء عن المعدل. تعرف على معدل وقت التغيير مقابل المسافة والوقت مقابل السرعة وما إلى ذلك.

الخطوة 3) تعلم معادلات التفاضل والتكامل

المشتقات والتكامل لها بعض الصيغ الأساسية. فهم كل معادلة، كل صيغة في التفاضل والتكامل لها دليل مناسب. فهم الصيغة مع الدليل لا مجرد حفظ.

الخطوة 4) تعرف على الحدود

لإيجاد حد دالة معقدة مطلوب بمساعدة الحدود ، يمكن تقسيم وظيفة معقدة إلى أجزاء صغيرة. حل جميع الأجزاء الصغيرة من الوظيفة وإضافتها. سيجعل مهمة معقدة سهلة. تعلم كل شيء عن الحدود.

الخطوة 5) تعلم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

تعلمك النظرية الأساسية أن التكامل والتفاضل معكوسان.

الخطوة 6) تدرب على مسائل التفاضل والتكامل

ابدأ بمسألة المشتقات. ثم انتقل إلى المسائل المتكاملة. تدرب على أكبر عدد ممكن من المشكلات التي يمكنك حلها. إذا علقت في أي مشكلة فالكثير على الإنترنت مدرس حساب التفاضل والتكامل تقديم المساعدة.

الخطوة 7) تحقق جيدًا من مفاهيمك

بعد تعلم المفاهيم ، تحقق من نفسك مرة أخرى سواء كنت تفهم المفهوم أم لا. اذهب من خلال الخاص بك مدرس الرياضيات تأكد من أنك تفهم كل خطوة ، إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاطلب المساعدة من المعلم. امسح كل مفاهيم حساب التفاضل والتكامل.

1. الممارسة هي مفتاح النجاح ، تدرب على كل أمثلة المشكلة وورقة العمل.

2. التفاضل والتكامل مادة لا يمكنك فهمها بدون مدرب خارجي ، لذا كن منتبهًا في حجرة الدراسة.


هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


2.1: مقدمة لتقنيات التكامل - الرياضيات

في تحليل مصايد الأسماك وتقييم المخزون ، يهتم المرء بشكل أساسي بالتغييرات. يمكن أن تكون تغييرات في عدد المخزون مع مرور الوقت ، والتغيرات في وزن السمكة مع تقدم العمر ، والتغيرات في المحصول مع التغييرات في جهد الصيد ، إلخ.

يتم قياس التغييرات مع الوقت كمعدلات ، أي التغير في حجم الكمية (الوزن ، إلخ) التي تعتبر مقسومة على الفترة الزمنية التي حدثت خلالها. حتى لو لم يتم تحديد الفاصل الزمني بشكل صريح ، فإن الوحدة الزمنية (على سبيل المثال سنة واحدة) عادة ما يتم استنتاجها ، وبالتالي فإن التغيير هو معدل ضمنيًا.

من الناحية الرياضية ، إذا كان لفترة من الوقت & # 68 f ، يتغير متغير y بمقدار & # 68 y ، فإن متوسط ​​معدل التغيير خلال هذه الفترة هو & # 68 y / & # 68 t. هذا المعدل هو معدل مطلق. يمكن الحصول على معدل نسبي بقسمة المعدل المطلق على قيمة المتغير في مرحلة ما خلال الفترة ، على سبيل المثال في البداية ، عندما يصبح. يمكن تعميم هذه المفاهيم مع أخذ t كأي متغير ، وليس بالضرورة الوقت.

تتمتع النماذج النظرية بميزة السماح بتحليل تأثير بعض العوامل من خلال دراسة الخصائص الرياضية للنماذج. من أجل التبسيط الرياضي في هذه النماذج وفي أماكن أخرى ، غالبًا ما يتم استخدام المعدلات اللحظية.

يمكن اعتبار المعدلات اللحظية حدًا للمعدلات المتوسطة عندما تميل الفترة الزمنية & # 68 t إلى الصفر. رياضيا هذا يعادل مفهوم المشتق.

يمكن التعبير عن الفرضيات التي يجب وضعها حول العلاقات بين المعدلات اللحظية والمتغيرات في شكل معادلات تفاضلية. يعد حساب التفاضل والتكامل أدوات رياضية مهمة في تحليل ديناميكيات السكان والأنظمة الأخرى. تؤدي بعض هذه الفرضيات إلى الدوال الأسية واللوغاريتمية والقوة.

للأسباب المذكورة أعلاه ، من المهم إجراء مراجعة سريعة للقوى والوظائف الأسية والسجلية ، بالإضافة إلى حساب التفاضل والتكامل. يتعامل جرانفيل وسميث ولونجلي مع عناصر حساب التفاضل والتكامل التفاضلي على نطاق واسع مع مثل هذه الأمور.

دع x و y تدلان على متغيرين. إذا كانت كل قيمة من قيم x تتوافق مع قيمة y ، فيمكننا القول إن y دالة في x أو رمزًا y = f (x). بيانياً ، إذا رسمنا قيم x على المحور الإحداثي (الأفقي) والقيم المقابلة لـ y على المحور الإحداثي (الرأسي) ، فإن المنحنى الذي يربط النقاط ، P (x ، y) ، مع الإحداثي x وتنسيق y ، هو تمثيل رسومي للدالة y = f (x):

ربما تكون الدوال الأبسط والأكثر استخدامًا هي الدالة الخطية y = a + bx حيث a و b ثوابت. تمثيله الرسومي عبارة عن خط مستقيم مع تقاطع على محور y يساوي a والميل يساوي b:

عندما تكون a = 0 ثم y = bx ، وهو ما يمثل خطًا مستقيمًا يمر عبر الأصل. تنص هذه العلاقة على أن y و x متناسبان بشكل مباشر (الشكل 2.3.1). بالنسبة للحالة الخاصة ب = 1 ، فإن المعادلة y = x هي منصف الربع الموجب (الشكل 2.3.2).

يوضح الشكل أدناه موضع الخط المستقيم لقيم مختلفة لـ b

طريقة أخرى لكتابة الدالة الخطية هي:

هذه الصيغة مفيدة بشكل خاص عندما نعرف نقطتين على الخط ونرغب في صياغة المعادلة. وبالتالي ، إذا كانت إحدى النقاط هي (x 0 ، y 0) والأخرى هي (x 1 ، y 1) ، سيمر الخط عبر كليهما إذا كانت b تفي بالمعادلة y 1 - y 0 = b (x 1 - x 0) ، أي ب = (ص 1 - ص 0) / (س 1 - س 0). يمكن بعد ذلك كتابة المعادلة على الفور.

في دالة خطية ، يكون متوسط ​​المعدل المطلق لتغير y مع x ثابتًا ويساوي الميل. وبالتالي فإن المعدل المطلق الفوري ثابت أيضًا وقيمته هي المنحدر ب.

بالنسبة لأي دالة أخرى ، متوسط ​​المعدل المطلق بين قيمتين x 0 و x 1 ، هو ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين (x 0 ، y 0) و (x 1 ، y 1)

وظيفة أخرى مفيدة للغاية هي القطع المكافئ ، وتسمى أيضًا كثيرة الحدود من الدرجة الثانية ، y = a + bx + cx 2

يمكن كتابة المعادلة في بعض الأحيان بالصيغة: y = A (x - x 0) (x - x 1) حيث x 0 و x 1 هي نقاط التقاطع على المحور x وتحدد علامة الثابت A ما إذا كانت كذلك مقعر لأعلى أو لأسفل.

الدالة الأسية y = a x حيث a ثابت موجب لها التمثيل البياني الموضح في الشكلين 2.8.1 و 2.8.2.

الدالة الأسية التي يشيع استخدامها لراحتها الرياضية هي تلك التي تساوي الثابت الرياضي e.

تحتوي بعض المنحنيات على خط مقارب ، أي الخط المستقيم الذي يقترب منه المنحنى أقرب وأقرب عندما تصبح x كبيرة للغاية (أو صغيرة للغاية) بشكل أكثر دقة ، فهي تشكل ظلًا للمنحنى عندما تكون x = & # 165 (أو - & # 165) على سبيل المثال: y = ax مع a & lt 1 (انظر الشكل 2.8.1) له الخط المقارب y = 0 والمنحنيان y = 1 - e -2x و y = 1 - e -2x كلاهما لهما خط مقارب y = 1 ، والثاني يقترب المرء من هذا الخط المقارب بسرعة أكبر.

غالبًا ما يتم تبسيط تمثيل العلاقة بين متغيرين عن طريق تحويل أحد المتغيرات ، أي باستخدام بعض وظائف المتغير بدلاً من المتغير نفسه. وبالتالي ، إذا كنا نفكر في العلاقة: y = A / x ، فقد يتم تحويل ذلك إلى علاقة تناسبية مباشرة باستخدام المتغير ، ثم y = Aw.

من الممكن دائمًا تحويل دالة رياضية إلى علاقة خط مستقيم عن طريق تحويل مناسب للمتغيرات. غالبًا ما يكون هذا مفيدًا عند ملاءمة منحنى نظري وربما معقد للبيانات المرصودة ، يكون ملاءمة الخط المستقيم ، إما بيانياً بالعين أو بتقنيات الانحدار ، أمرًا بسيطًا نسبيًا. تركيب منحنيات أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال الأسي أكثر صعوبة سواء بالعين أو بالحساب. وتجدر الإشارة إلى أن الانحدار التربيعي الأقل (أو أي منحنى ملائم آخر) الذي يستخدم الوسائل الحسابية للمتغيرات المحولة لن يتطابق على الأرجح مع المتوسط ​​الحسابي للمتغيرات الأصلية ، على سبيل المثال. باستخدام التحويل w = log x ، فإن المتوسط ​​الحسابي لـ w هو المتوسط ​​الهندسي لـ x.

كما سنرى لاحقًا ، يمكن التعبير عن المنحنى المرتبط بعدد أسماك فئة السنة على قيد الحياة في الوقت t كـ N t = N 0 e -Zt ويمكن تحويله إلى خط مستقيم y = a + bt ، حيث a = log e N 0 and b = - Z ، باستخدام التحويل اللوغاريتمي y = log e N.

يمكن أيضًا التعبير عن العلاقة الوظيفية y = f (x) بالطريقة العكسية ، أي التعبير عن x كدالة لـ y ، x = g (y). على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن العلاقة الخطية y = a + bx بالصيغة العكسية (الخطية أيضًا) (المقدمة b & # 185 0). إذا كانت الدالة f (x) غير دالة خطية بسيطة ، فقد يحدث أن أكثر من قيمة واحدة من x ستعطي نفس قيمة y ، فإن الدالة العكسية x = g (y) لن تكون دالة بسيطة ذات قيمة واحدة . على سبيل المثال ، إذا كانت y = x 2 ، فإن الدالة العكسية هي. بيانياً ، تمثيل الوظيفة وعكسها متطابقان. بالنظر إلى رسم بياني لـ y = f (x) يمكن استخدامه كرسم بياني لـ x = g (y) من خلال تبادل بسيط للمحاور.

يتم تمثيل القوة بواسطة رقمين ويتم كتابتها بشكل رمزي كـ n ، حيث يُطلق على الرقم a اسم الأساس و n هو الأس. عندما يكون الأس عددًا صحيحًا موجبًا ، يتم تعريف a على أنه حاصل ضرب n عوامل كل منها يساوي a عندما يكون الأس 0 ، ثم يتم تعريف 0 على أنه يساوي 1 عندما يكون الأس كسرًا ، دعنا نقول ، ثم بالتعريف عندما يكون الأس سالبًا ، دعنا نقول - m ، ثم بالتعريف.

عندما يكون الأساس موجبًا ، يكون الأس موجبًا ، ولكن عندما يكون الأساس سالبًا ، يكون الأس موجبًا إذا كان الأس زوجيًا وسالبًا إذا كان الأس فرديًا.

من المفيد مراعاة قيمة قوة عندما يزيد الأس n بدون حدود.

إذا كانت القاعدة a أكبر من 1 ، فإن n تزداد أيضًا بدون حدود.

إذا كانت القاعدة a تساوي 1 ، فإن a n يساوي 1 لجميع قيم n.

إذا كانت القاعدة a أصغر من 1 (وموجبة) ، فإن n تميل إلى 0.

بعض القواعد المفيدة لضرب أو قسمة القوى هي:

- الصلاحيات بنفس القاعدة

- القوى التي لها نفس الأس

To raise a power to an exponent, the base is raised to the product of the exponents:

The function y = a n can be considered in two ways depending on whether the base a, or the exponent n is considered as the variable of interest. In the form y = x n (i.e. the base is the variable) it is called a power function in the form y = a x (i.e. the exponent is the variable) it is called an exponential function.

The inverse function of a power is a root and the inverse function of an exponential is a logarithmic function. Thus if y = a x then x = log a y, or x is the logarithm of y to the base a .

When the base is the constant e, the logarithms are called natural or Napierian (or hyperbolic).

From the definition above one can see that the properties of the powers will imply corresponding properties of the logarithms, e.g.

log a ( A · B ) = log a A + log a B corresponds to the property a x · a y = a x+y

log a ( A m ) = m log a A corresponds to the property ( a x ) y == a xy

Special relations can also be obtained, such as log a 1 = 0 and log a a = 1. The relation between the logs of a number on two different bases, a and b, is:

The bases most used for logs are the base 10 and the base e ( e » 2.72), the former because 10 is the basis of the numerical system currently used and the latter because this results in the most simple form of several mathematical relationships. From the above relation the logarithm of a number to the base e can be obtained from the logarithm of the number on base 10 multiplied by log e 10

2.303. This is a useful expression if a table of natural logs is not available. One of the advantages of using the base 10 is that any number can be expressed as the product of a power of 10 and a number between 1 and 10, e.g. 283.5 = 10 2 × 2.835 0.0053 = 10 -3 × 5.3. In this way the decimal log of any number will be the sum of the decimal log of a number between 1 and 10 (mantissa) plus the decimal log of a power of 10, that is, its exponent (characteristic).

From the above examples this would give log 10 283.5 = 2 + log 10 2.835 and log 10 0.0053 = -3 + log 10 5.3. The logarithms to base 10 of the numbers between 1 and 10 are given by tables.

Tables of natural logarithms are usually available over a wider range (perhaps from 0.1 to 100) but natural logarithms can be obtained by a similar method for any range from tables of the natural logarithms from 1 to 10. For instance,

log e 283.5 = 2 log e 10 + log e 2.835 = 2 × 2.303 + 1.042 = 5.648 and

log e 0.0053 = - 3 log e 10 + log e 5.3 = - 3 × 2.303 + 1.667 = - 5.242

As already stated, the concept of derivative is equivalent to the absolute instantaneous rate and this is the limit of the absolute mean rate during an interval when the length of the interval tends to zero.

Let us consider a function y = f ( x ) . If x is given an increment D x , y will have an increment D y . The limit of the quotient of the increments, , when D x tends to zero will be the derivative of y with respect to x at the point ( x, y ) . This can be represented by the symbols or y' or f' (x) .

Graphically, the incremental ratio is the slope of the secant to the curve passing through the points ( x, y ) and ( x + D x, y + D y ) and the derivative is the slope of the tangent to the curve at the point ( x, y ) (the tangent is the limit of the secant when D x tends to zero and x + D x tends to x ) .

Thus derivative, absolute instantaneous rate and slope of the tangent are equivalent concepts expressed from different viewpoints. Using this definition, we can calculate the derivative of a function. For instance, to determine the derivative of y = 3 x 2 we can start by calculating the increment of y for a given increment of x. We obtain the value of the function at the point x + D x and subtract from the value of the function at the point x:

y + D y = 3 ( x + D x ) 2 = 6 x D x + 3 D x 2

The incremental ratio will be . As D x becomes very small, the second term on the right will also become small and in the limit as D x ® 0 this second term also tends to zero, so that will be equal to 6 x .

Derivatives can be arrived at easily if we obtain, in that way. some rules, e.g.

Derivative of a constant, c , is zero:

Derivative of a variable x with respect to itself is:

Derivative of the product of a constant c and a function u ( x ) is the product of the constant and the derivative of the function:

Derivative of a sum of two functions, u ( x ) and v ( x ), is the sum of their derivatives:

Derivative of a product of two functions, u ( x ) and v ( x ) , is given by

Derivative of a power of a function u ( x ) is given by

Derivative of the quotient of two functions, u ( x ) and v ( x ) , is given by

We can also obtain from further analysis the derivative of special functions often used in fisheries studies, such as

It is interesting to note that the derivative of the function e x is e x itself it is this property of the exponential of base e which makes it so important on theoretical grounds.

The derivative of the function y = e ax is y' = e ax a = ay this means that the derivative, or the instantaneous rate, of y is proportional to y, a property very useful in many situations (e.g. studies of growth, mortality, etc.).

As an example of how we could apply these rules let us calculate the derivative of y = (3 + e 2 x ) (1 - x 2 ) .

Applying the rule for a product we can write

To calculate the derivative of the first factor we can apply the rule concerning the sum of two functions, then (3 + e 2 x )' = (3)' + ( e 2 x )'. We thus see that (3)'= 0 and ( e 2 x )' = e 2 x (2 x ) ' = e 2x · 2 and thus (3 + e 2 x )' = 2 e 2 x . Calculating the derivative of the other factor: (1 - x 2 ) ' = (1) ' - ( x 2 )' = 0 - 2 x = - 2 x. Finally y' = 2 e 2 x (1 - x 2 ) - 2 x (3 + e 2 x ).

The derivative of a function of x is, in general, another function of x. This function may also be differentiated to give another function of x. This last is called the second derivative of the original function. It is usually represented by the symbols y ¢ ¢ or d 2 y / dx 2 and could be interpreted as the absolute rate of the absolute rate, which in physics is called acceleration. Third, fourth, etc. derivatives can also be defined.

An application of the first derivative is the analysis of the change of a function and of the second derivative the analysis of the rate at which this change is itself changing. For the points where y' is positive, y is increasing, and where y' is negative, y is decreasing. If y' = 0, y is a stationary point. When y ¢ ¢ is positive the slope of the curve is increasing and the graph of y is concave upward when y ¢ ¢ is negative the slope of the curve is decreasing and the curve is concave downward. If y ¢ ¢ = 0, y is an inflection point (unless y' was also 0). From the sign of y ¢ ¢ we can decide if the stationary points are maxima or minima.

In the last section we saw how, given a function, we could obtain its derivative. The reverse problem would be to obtain the function knowing its derivative. This operation is called integration and the function so obtained is called the integral. For instance, what is the integral of 3 x 2 ? We have seen that the derivative of x 3 is 3 x 2 , thus an integral of 3 x 2 could be x 3 . But so also is x 3 + 4 or generally x 3 + C where C is any constant, since the derivative of a constant is zero. This means that the integration of a function does not produce a simple function but a family of functions defined by the additive, arbitrary constant C.

The integral of f ( x ) is represented by or F ( x ) + C and is called the indefinite integral. It is indefinite because of the arbitrary constant C.

The rules of integration can easily be obtained from the rules of differentiation, as they are inverse operations. هكذا

A technique very useful for integration is the change of variable. For instance to integrate e 4 x -3 we can put v = 4 x - 3 and dv == (4 x - 3)' dx or dv = 4 dx. ثم

If one knows a value of the integrated function it is possible to determine the corresponding value for the constant C. In general terms we can say that if y = F ( x ) + C is the integral of a function, and knowing that ( x 0 , y 0 ) is a point of the integral curve then y 0 = F ( x 0 ) + C and C = y 0 - F ( x 0 ) thus y - y 0 = F ( x ) - F ( x 0 ) gives the curve which satisfies the conditions of the problem.

We have seen the integration as the inverse operation of differentiation. There is however another concept of integral. This concept can be easily understood through the calculus of areas, which is one of the most important applications of integrals. Let us, for instance, calculate the area under the curve y =f ( x ) , the axis of abscisses and the ordinates at x = a and x = b.

This area can be approached by the sum of the areas of the rectangles of base D x i , and height f ( x i ), this is S f ( x i ) D x i , where the interval from a to b was subdivided in n small intervals D x i . The limit of this sum when the number of subdivisions increases indefinitely and each interval decreases to zero can give the area required. This limit is then the definite integral. This definite integral, g ( x ) is one possible value of the indefinite integral, since the rate at which the area under curve increases as x increases is equal to the height of the curve, so that . The area under the curve between x = a and x = b is written

To calculate the definite integral we calculate as before the indefinite integral and subtract its value for x = b and for x = a, this is:

As an example let us calculate the area under the function y = 3 x 2 + 5 between x = 2 and x = X.

(Note that when calculating geometrical areas the values of the function and of its integral must be taken as positive.)

Another very important application of integrals is in solving differential equations. A differential equation is an equation with derivatives or differentials, for instance, y' = 4 x - 1 or dy = (5 + 2 x ) dx.

Differential equations can be very difficult to solve, but some elementary processes are applicable to easy equations. One of these processes is called the separation of variables. For instance, let us integrate the equation dy = xydx. By a simple operation we can obtain (separate) all the expressions with the variable y in a member of the equation dy and the expressions with the variable x in the other: .

Now each member can be integrated separately:

or or, joining the arbitrary constants,

The same result could be presented in a slightly different way by, instead of the constant C, using arbitrary point ( x 0 , y 0 ) , thus

This last expression can be very useful when one is interested in pointing out some special point of the function.

Fish population studies involve the measurement and analysis of many quantities - e.g. age compositions, and growth rates - few of which can be measured exactly, either because of their inherent variability or the difficulty of measurement. Statistics must therefore be used to some extent, if only in such a simple form as taking the mean of a set of values. Basic statistical methods are the same whatever the subject in which they are being applied, and are described in many textbooks. These notes will therefore only deal very briefly with the basic methods. Some applications, e.g. correlation and regression analysis will be dealt with later as they occur. In this section most attention will be paid to the problem of sampling fish populations. (Statistics is dealt with in more detail in another manual in this series, in which both the basic methods and special applications to fisheries are described.)

In statistics we are concerned not so much with any individual value, e.g. the size of any one particular fish on the fish market, but with the frequency with which the various values (e.g. size of fish) occur. Such frequency distributions may be represented graphically, either as histograms or frequency polygons. Much of the frequency distributions can be described by two quantities the average value (or the position of the curve) and the spread. The most common measures for the average are the arithmetic mean (or simply mean), the median (or half way value) and the mode (or most frequent). Of these the mean has most advantages. The common measure of dispersion is the variance, which is the average of the square of the deviation from the mean the square root of the variance is the standard deviation. Further discussions of these measures, together with methods of calculation etc. may be found in most textbooks, e.g. Yule and Kendall (1950), chapters 4, 5 and 6.

Tests of significance are another group of statistical tools of great use in fishery research, as in most other fields. While the explanation of the arithmetical steps involved in any particular test will be left to the appropriate section of the textbooks, e.g. Yule and Kendall (1950), chapter 21, it is worth emphasizing here the underlying basis of tests of significance. That is, we assume some null hypothesis, and on this basis calculate the probability of the observed values occurring. If this probability is sufficiently small (usually one in twenty, or one in a hundred) we reject the null hypothesis. For instance, using the t-test for the difference in the means of two samples, the null hypothesis is that the two samples come from the same population. If the probability of a value of t equal to or greater than that observed occurring is say 0.01, this means that if the two samples had come from the same population, an unlikely event (a one in a hundred chance) has taken place and we therefore believe that the two samples did not come from the same population, i.e. they are statistically different. Such a test does not give any information on the probability of the two samples coming from different populations, or on the practical significance of the difference. For instance, two small and variable samples may differ by an amount which is not statistically significant, but which if real would be most important. Conversely, for two large and homogeneous samples a difference may be large enough to be statistically significant, but yet so small as to be negligible in practice.

(For further details see FAO. Manual of sampling and statistical methods for fisheries biology, by J.A. Gulland. Part 1. Sampling methods. Rome, 1966.)

Most of the quantities involved in fish population work cannot be obtained or measured throughout the whole population e.g. it is virtually impossible to measure all fish caught, even less all the fish in the sea. A section, or sample, of the whole population is therefore examined for the attributes concerned, e.g. percentage of mature fish, or average size. On the assumption that this sample is representative of the whole population, an estimate may be made of the true value in the population. If the sampling system used is a good one, then the estimate obtained will differ little from the true value. The merits or otherwise of a sampling system can therefore be measured by two quantities relating to the estimates obtained (those measures refer not to any individual estimate, but to the set of estimates which might be obtained by repeated samples) firstly, the variance, which as defined above for any statistical distribution, is the measure of the scatter of the estimates about their mean value secondly, the bias, which is the extent to which the mean value of the set of possible estimates differs from the true value. (The term bias is also used for the processes leading to this difference.)

Because when a bias exists, it exists in all samples, tending to make the estimates constantly greater (or less) than the true value, it cannot be detected as a difference between repeated samples thus in general bias is very difficult to detect, and hence eliminate, in subsequent analysis. A large variance, in contrast, appears at once in the differences between samples. Large bias is therefore even less desirable than large variance, in that it may cause what appear to be reliable and consistent data to give results that are consistent only in the extent to which they are wrong.

The basic feature of any good sampling system is a " random" sample. The aim of a random sample should be to ensure that all members of the collection of objects being sampled have the same chance of occurring in the sample. In practice this condition may be relaxed and the sampling be nonrandom so long as there is no relation between the chance of occurring in the sample, and the value of the attribute being measured. For instance, the first fish unloaded from a trawler onto the fish market is usually one of the last caught and will be placed near the edge of the array of fish and therefore have a better chance of appearing in the sample. If we are only concerned with sampling for the size of fish, this may not matter as there is little relation between size of fish and time of capture, but the sample would be a very bad one if we were concerned with the condition or freshness of the fish. The main damage done by nonrandom sampling is this introduction of bias (e.g. that the sample taken above will be biased toward having too many fresh fish) though nonrandom sampling has other disadvantages, e.g. that many of the calculations used for estimating variance etc. are only valid for random samples. The first concern in taking a sample is therefore to ensure that no form of selection can occur that might cause a bias. Such selection may be very obvious and direct, e.g. the tendency to take the bigger fish from a pile, leaving the smaller until last, but may be much less obvious e.g. in the East Anglian herring season it would seem convenient to take samples of herring from the first drifters arriving each morning. These tend to be from the nearer grounds, which in turn tend to have slightly different size and age of fish. Thus a nonrandomness in time of sampling may cause a bias in the estimate of average size or age of fish landed.

The practical difficulties in taking a truly random sample from a large and heterogeneous collection of objects are considerable. These difficulties may be overcome by dividing up the whole collection into smaller and more compact sections, within which a random sample may be taken fairly readily. Two such methods of sampling are stratified and two-stage sampling. In stratified sampling the whole collection of objects is divided into several sections, or strata, each of which is then sampled and analysed separately, e.g. landings at different ports may be taken as strata. This method is particularly useful in reducing bias and variance when there is a marked difference between Strata.

The chief sampling problem in fish population studies occurs when estimating indices of abundance of the different ages and sizes of fish, and particularly in sampling the commercial catches for size and age composition. Before starting to consider the sampling procedure, the objective of the sampling must be defined, both in extent and the attribute being examined, e.g. length of plaice landed by United Kingdom trawlers from the North sea. Following a stratified sampling scheme the complete population, which will be rather heterogeneous, may then be divided into fairly uniform strata. For United Kingdom demersal landings it was found suitable to treat landings at each port and in each month separately, but for the more variable herring landings, landings in three-day periods were chosen. The first step in the actual sampling procedure is to ensure that the sample taken is not biased. Once the catch of a vessel is sold it may be divided among a number of merchants each of whom is almost certain to prefer a certain size or quality of fish therefore any sample from the purchases of one merchant is almost certain to be biased. Sampling of commercial catches must therefore be taken before the catch is divided in the United Kingdom this means sampling in the early morning while the catch is laid out on the fish market before being auctioned.

The choice of fish to measure is conveniently done in two stages first a sample of one or more ships from the whole fleet landing during the period, and then measuring a sample of fish from the chosen ship or ships. The choice of ships to sample is usually straightforward and minor departures from nonrandom samples are not very likely to be harmful, but may introduce bias when time of landing or position on the market (which are likely to influence their chance of being sampled) are themselves influenced by the fishing ground, and hence related to the composition of the catch. This difficulty may be overcome by further stratification, sampling and analysing the catches from each area separately.

When taking a sample of fish from a ship's catch an important source of bias is the tendency of most people to take first the largest fish from a pile and to leave the smallest to last. This is especially noticeable when sampling fish on deck, e.g. a haul of a research vessel. At sea this bias can only be overcome by handling all the catch, or at least a predetermined part (e.g. one corner), clearing all the fish right down to deck level. On the market most fish are laid out in boxes (often with the larger fish of the box on top), and bias will be avoided by sampling one or more complete boxes. If there is no definite sorting into two or more categories, systematic differences between boxes are unlikely and a convenient but nonrandom method of sampling, e.g. taking boxes from one edge of the landing, is justifiable. Important in working up the results of such a sampling system are the raising factors, i.e. ratios of weight sampled to total weight landed, both over the whole landings and within a sampled ship. The procedure is as follows supposing we are interested in the total number landed of a certain size (or age, maturity, etc.) of fish

Let m = number of ships from which samples were taken and for any particular one of these, say the i th,

and hence = number of fish of required size in sampled ship.

Adding up for all sampled ships gives the number of fish of required m size for all sampled ships, as

Also if W = total weight landed

and w = weight landed by sampled ships

Frequently fish are sorted into several size categories which may or may not be the same from one ship to the next then obviously a sample must be taken from each category of the ship examined. The figure for the ship as a whole is then given by raising each category individually by the appropriate raising factor. Thus, supposing there are two categories, using the notation above, and using one or two dashes to distinguish the different categories, we have

and number of fish of given size on the i th sampled ship is

Then the total number landed may be estimated directly as

Alternatively, and rather better, the sorting by categories can be used as stratification through all landings, and raising factors for each category calculated and applied. Then the estimate of the numbers landed is

This second estimate will be more precise (have less variance), as it utilizes the information on the division of all landings between the categories. It can be applied so long as the sorting is constant even if not very accurate, i.e. the number and definition of the categories is constant, even if the dividing line between them is variable.

In population studies we are interested in several characteristics of the fish, e.g. length, weight, age, maturity, most of which are closely related. Some, e.g. lengths, are very easy to determine both quickly and accurately even under the somewhat adverse conditions at sea or on the fish market. Other characteristics, e.g. age, which are considerably more tedious to determine are then most easily determined by sampling directly for length only, and using relatively small age samples to establish an age-length key for converting length composition to age composition. That is, the length sampling gives the number of fish in each length group, and the age samples give the proportion of each age within each length group. The number at each age is then readily given algebraically if

ن i = number of fish in i th length group

P ij = proportion of fish of age j in i th length group

n i = number of length i examined for age

n ij = number of length i examined which were age j

It should be noted that these calculations involve no assumptions concerning the pattern of growth, though the advantages of the method in form of increased accuracy (decreased variance and risk of bias) are greatest when the growth is fast and uniform.


1.
This is the integral of ln (x) multiplied by 1 / 2 and we therefore use rule 2 above to obtain:
∫ (1 / 2) ln (x) dx = (1 / 2) ∫ ln (x) dx
We now use formula 4.3 in the table of integral formulas to evaluate ∫ ln (x) dx. بالتالي
∫ (1 / 2) ln (x) dx = (1 / 2) ( (x ln (x)) - x ) + c

2.
Use rule 3 ( integral of a sum ) to obtain
∫ [sin (x) + x 5 ] dx = ∫ sin (x) dx + ∫ x 5 dx
We use formula 2.1 in the table of integral formulas to evaluate ∫ sin (x) dx and rule 1 above to evaluate ∫ x 5 dx. بالتالي
∫ [sin (x) + x 5 ] dx = - cos (x) + x 6 / 6
3.
Use rule 4 (integral of a difference) to obtain
∫ (sinh (x) - 3) dx = ∫ sinh (x) dx - ∫ 3 dx
We use formula 7.1 in the table of integral formulas to evaluate ∫ sinh (x) dx and integral of the constant 3 to obtain
∫ (sinh (x) - 3) dx = cosh (x) - 3 x + c
4.
The integrand is the product of two function x and sin (x) and we try to use integration by parts in rule 6 as follows:
Let f(x) = x , g'(x) = sin(x) and therefore g(x) = - cos(x)
بالتالي
∫ - x sin (x) dx = - ∫ f(x) g'(x) dx = - ( f(x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx)
Substitute f(x), f'(x), g(x) and g'(x) by x , 1, sin(x) and - cos(x) respectively to write the integral as
= - x (- cos(x)) + ∫ 1 (- cos(x)) dx
Use formula 2.2 in in the table of integral formulas to evaluate ∫ cos(x) dx and simplify to obtain
= x cos (x) - sin(x) + c

5.
Let u = sin(x) and therefore du/dx = cos(x). Hence the given integral can be written as
∫ sin 10 (x) cos dx = ∫ ( u 10 du/dx ) dx
Use rule 5 to write
= ∫ u 10 du
which gives
= u 11 / 11 + c
Substitute u by sin(x) to obtain
= (1 / 11) (sin 11 (x) ) + c


شاهد الفيديو: طرق التكامل 2التكامل بالتجزئة -Integration by parts لطلبة الجامعات (ديسمبر 2021).