مقالات

7.2.3: تفسير المتباينات - الرياضيات


درس

دعونا نفحص ما يمكن أن تخبرنا به المتباينات.

التمرين ( PageIndex {1} ): صواب أم خطأ: الكسور والأرقام العشرية

هل كل معادلة صحيحة أم خاطئة؟ كن مستعدًا لشرح أسبابك.

  1. (3 (12 + 5) = (3 cdot 12) cdot (3 cdot 5) )
  2. ( frac {1} {3} cdot frac {3} {4} = frac {3} {4} cdot frac {2} {6} )
  3. (2 cdot (1.5) cdot 12 = 4 cdot (0.75) cdot 6 )

التمرين ( PageIndex {2} ): لعبة كرة السلة

سجل نوح (n ) نقطة في مباراة كرة سلة.

  1. ماذا يعني (15
  2. ماذا يعني (n <25 ) في سياق لعبة كرة السلة؟
  3. ارسم خطي أعداد لتمثيل حلا المتراجعتين.
  4. قم بتسمية قيمة محتملة لـ (n ) التي تعد حلاً لكلا التفاوتات.
  5. قم بتسمية قيمة محتملة لـ (n ) هذا حل لـ (15
  6. هل يمكن أن يكون -8 حلاً لـ (n ) في هذا السياق؟ اشرح أسبابك.

التمرين ( PageIndex {3} ): أدوات التعليق غير المتوازنة

  1. هنا رسم تخطيطي لشماعات غير متوازنة.
  1. يقول جادا أن وزن دائرة واحدة أكبر من وزن خماسي واحد. اكتب عدم المساواة لتمثيل بيانها. لنفترض أن (ع ) هو وزن خماسي واحد و (ج ) وزن دائرة واحدة.
  2. تزن الدائرة 12 أوقية. استخدم هذه المعلومات لكتابة متباينة أخرى لتمثيل علاقة الأوزان. ثم صف ما تعنيه عدم المساواة في هذا السياق.
  1. هنا رسم تخطيطي آخر لشماعات غير متوازنة.
  1. اكتب متباينة لتمثيل علاقة الأوزان. لنفترض أن (ع ) هو وزن خماسي واحد و (ق ) يكون وزن مربع واحد.
  2. يزن البنتاغون الواحد 8 أونصات. ثم صف ما تعنيه عدم المساواة في هذا السياق.
  3. ارسم حلول هذه المتباينة على خط الأعداد.
  1. بناءً على عملك حتى الآن ، هل يمكنك تحديد العلاقة بين وزن المربع ووزن الدائرة؟ إذا كان الأمر كذلك ، اكتب متباينة لتمثيل تلك العلاقة. إذا لم يكن كذلك ، فشرح أسبابك.
  2. هذا رسم تخطيطي آخر لشماعات غير متوازنة.

يكتب Andre المتباينة التالية: (c + p

  1. ينظر جادا إلى مخطط آخر لحظيرة غير متوازنة ويكتب: (s + c> 2t ) ، حيث يمثل (t ) وزن مثلث واحد. ارسم مخططًا تخطيطيًا.

هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

هذه صورة لشماعات متوازنة. يوضح أن الوزن الإجمالي للمثلثات الثلاثة هو نفس الوزن الإجمالي للمربعات الأربعة.

  1. ماذا يخبرك هذا عن وزن مربع واحد عند مقارنته بمثلث واحد؟ اشرح كيف تعرف.
  2. اكتب معادلة أو متباينة لوصف العلاقة بين وزن المربع ووزن المثلث. لنفترض أن (ق ) هو وزن مربع و (ر ) وزن المثلث.

ملخص

عندما نجد حلولًا لعدم المساواة ، يجب أن نفكر في سياقها بعناية. قد يكون الرقم حلاً لعدم المساواة خارج السياق ، ولكن قد لا يكون له معنى عند النظر إليه في السياق.

  • لنفترض أن لاعبة كرة سلة قد أحرزت أكثر من 11 نقطة في لعبة ، ونحن نمثل عدد النقاط التي أحرزتها ، (ق ) ، مع عدم المساواة (ق> 11 ). بالنظر إلى (s> 11 ) فقط ، يمكننا القول أن الأرقام مثل (12 ، 14 frac {1} {2} ، ) و (130.25 ) كلها حلول لعدم المساواة لأن كل واحد منهم اجعل عدم المساواة صحيحًا.

(12> 11 qquad 14 frac {1} {2}> 11 qquad 130.25> 11 )

ومع ذلك ، في لعبة كرة السلة ، من الممكن فقط تسجيل عدد كامل من النقاط ، لذا فإن الدرجات الكسرية والعشرية غير ممكنة. كما أنه من غير المرجح أن يسجل شخص واحد أكثر من 130 نقطة في مباراة واحدة.

بعبارة أخرى ، قد يحد سياق عدم المساواة من حلولها.

هنا مثال آخر:

  • يمكن أن تتضمن حلول ​​(r <30 ) أرقامًا مثل (27 frac {3} {4} و 18.5 و 0 و ) و (- 7 ). ولكن إذا كان (r ) يمثل عدد دقائق المطر بالأمس (وهطول المطر) ، فإن حلولنا تقتصر على الأرقام الموجبة. العدد الصفري أو السالب للدقائق لن يكون له معنى في هذا السياق.

لإظهار الحدين العلوي والسفلي ، يمكننا كتابة متباينتين:

(0

يمكن أن تمثل عدم المساواة أيضًا مقارنة بين رقمين غير معروفين.

  • لنفترض أننا عرفنا أن الجرو يزن أكثر من القطة الصغيرة ، لكننا لم نعرف وزن أي من الحيوانات. يمكننا تمثيل وزن الجرو بالجنيه مع (p ) ووزن القطة بالجنيه مع (k ) ، وكتابة هذا التفاوت: (p> k )

إدخالات المسرد

التعريف: حل لعدم المساواة

حل المتباينة هو رقم يمكن استخدامه بدلاً من المتغير لجعل المتباينة صحيحة.

على سبيل المثال ، 5 هو حل للمتباينة (c <10 ) ، لأنه صحيح أن (5 <10 ). بعض الحلول الأخرى لهذه المتباينة هي 9.9 و 0 و -4.

ممارسة

تمرين ( PageIndex {4} )

يوجد كرتون مغلق من البيض في ثلاجة ماي. الكرتونة تحتوي على (ه ) بيضة وتتسع لـ 12 بيضة.

  1. ماذا تعني المتباينة (e <12 ) في هذا السياق؟
  2. ماذا تعني المتباينة (e> 0 ) في هذا السياق؟
  3. ما هي بعض القيم الممكنة لـ (e ) التي ستجعل كلاً من (e <12 ) و (e> 0 ) صحيحين؟

تمرين ( PageIndex {5} )

هنا رسم تخطيطي لشماعات غير متوازنة.

  1. اكتب متباينة لتمثيل علاقة الأوزان. استخدم (s ) لتمثيل وزن المربع بالجرام و (ج ) لتمثيل وزن الدائرة بالجرام.
  2. تزن الدائرة الحمراء الواحدة 12 جرامًا. اكتب متباينة لتمثيل وزن مربع أزرق واحد.
  3. هل يمكن أن تكون القيمة 0 قيمة (s )؟ اشرح أسبابك.

تمرين ( PageIndex {6} )

  1. جادا أطول من دييغو. يبلغ طول دييغو 54 بوصة (4 أقدام و 6 بوصات). اكتب متباينة تقارن ارتفاع جادا بالبوصة (ي ) بارتفاع دييغو.
  2. جادا أقصر من إيلينا. يبلغ طول إيلينا 5 أقدام. اكتب متباينة تقارن ارتفاع جادا بالبوصة (ي ) بارتفاع إيلينا.

(من الوحدة 7.2.1)

تمرين ( PageIndex {7} )

يمتلك تايلر أكثر من 10 دولارات. إيلينا لديها أموال أكثر من تايلر. مي لديها أموال أكثر من إيلينا. لنفترض (t ) أن يكون مبلغ المال الذي يمتلكه تايلر ، وليكن (هـ ) هو مقدار المال الذي تملكه إيلينا ، وليكن (م ) هو مبلغ المال الذي تملكه ماي. يختار الكل عبارات صحيحة:

  1. (ر <ي )
  2. (م> 10 )
  3. (ه> 10 )
  4. (ر> 10 )
  5. (ه> م )
  6. (ر <ه )

تمرين ( PageIndex {8} )

أيهما أكبر ، ( frac {-9} {20} ) أم (- 0.5 )؟ اشرح كيف تعرف. إذا واجهتك مشكلة ، ففكر في رسم الأرقام على خط الأعداد.

(من الوحدة 7.1.3)

تمرين ( PageIndex {9} )

يختار الكل التعبيرات التي تعادل ( left ( frac {1} {2} right) ^ {3} ).

  1. ( frac {1} {2} cdot frac {1} {2} cdot frac {1} {2} )
  2. ( frac {1} {2 ^ {3}} )
  3. ( left ( frac {1} {3} right) ^ {2} )
  4. ( فارك {1} {6} )
  5. ( فارك {1} {8} )

(من الوحدة 6.3.2)


توضيحية وحدة الرياضيات 6.7 ، الدرس 10: تفسير عدم المساواة

عندما نجد حلولًا لعدم المساواة ، يجب أن نفكر في سياقها بعناية. قد يكون الرقم حلاً لعدم المساواة خارج السياق ، ولكن قد لا يكون له معنى عند النظر إليه في السياق.

  • لنفترض أن لاعبة كرة سلة قد أحرزت أكثر من 11 نقطة في لعبة ما ، ونحن نمثل عدد النقاط التي أحرزتها ، s ، مع عدم المساواة s & gt 11. بالنظر إلى s & gt 11 فقط ، يمكننا القول أن الأرقام مثل 12 ، 14 ، و 130.25 كلها حلول لعدم المساواة لأن كل منها يجعل المتباينة صحيحة.
    12 و GT 11
    14½ و GT 11
    130.25 GT 11
    ومع ذلك ، في لعبة كرة السلة ، من الممكن فقط تسجيل عدد كامل من النقاط ، لذا فإن الدرجات الكسرية والعشرية غير ممكنة. كما أنه من غير المرجح أن يسجل شخص واحد أكثر من 130 نقطة في مباراة واحدة.
    بعبارة أخرى ، قد يحد سياق عدم المساواة من حلولها.
    هنا مثال آخر:
    يمكن أن تتضمن حلول r & lt 30 أرقامًا مثل 27¾ و 18.5 و 0 و -7. ولكن إذا كان r يمثل عدد دقائق المطر بالأمس (وقد هطل المطر) ، فإن حلولنا تقتصر على الأرقام الموجبة. العدد الصفري أو السالب للدقائق لن يكون له معنى في هذا السياق.
    لإظهار الحدين العلوي والسفلي ، يمكننا كتابة متباينتين:
    0 & lt ص
    r & lt 30
    يمكن أن تمثل عدم المساواة أيضًا مقارنة بين رقمين غير معروفين.
  • لنفترض أننا عرفنا أن الجرو يزن أكثر من القطة الصغيرة ، لكننا لم نعرف وزن أي من الحيوانات. يمكننا تمثيل وزن الجرو ، بالجنيه ، مع p ووزن القط ، بالجنيه ، مع k ، وكتابة هذا التفاوت:
    p & gt k

الدرس 10.1 صواب أم خطأ: الكسور والأعداد العشرية

هل كل معادلة صحيحة أم خاطئة؟ كن مستعدًا لشرح أسبابك.

قم بالتمرير لأسفل الصفحة للحصول على حلول لقسم & ldquo هل أنت مستعد للمزيد؟ & rdquo.

الدرس 10.2 لعبة كرة السلة

سجل نوح ن من النقاط في مباراة كرة السلة.

  1. ماذا يعني 15 & lt n في سياق لعبة كرة السلة؟
  2. ماذا يعني n & lt 25 في سياق لعبة كرة السلة؟
  3. ارسم خطي أعداد لتمثيل حلا المتراجعتين.
  4. قم بتسمية القيمة المحتملة لـ n والتي تعد حلًا لكلا المتراجحتين.
  5. قم بتسمية قيمة محتملة لـ n تمثل حل لـ 15 & lt n ، ولكنها ليست حلاً لـ n & lt 25.
  6. هل يمكن أن يكون -8 حلاً لـ n في هذا السياق؟ اشرح أسبابك.

الدرس 10.3 الشماعات غير المتوازنة

  1. هنا رسم تخطيطي لشماعات غير متوازنة. علاقة غير متوازنة مع الجانب الأيسر أعلى من الجانب الأيمن. على الجانب الأيسر ، شكل خماسي. على الجانب الأيمن ، دائرة.
    يقول جادا أن وزن دائرة واحدة أكبر من وزن خماسي واحد.
    أ. اكتب عدم المساواة لتمثيل بيانها. لنفترض أن p هو وزن خماسي واحد ووزن دائرة واحدة.
    ب. تزن الدائرة 12 أوقية. استخدم هذه المعلومات لكتابة متباينة أخرى لتمثيل علاقة الأوزان. ثم صف ما تعنيه عدم المساواة في هذا السياق.
  2. هنا رسم تخطيطي آخر لشماعات غير متوازنة.
    أ. اكتب متباينة لتمثيل علاقة الأوزان. لنفترض أن p وزن خماسي واحد و s وزن مربع واحد.
    ب. يزن البنتاغون الواحد 8 أونصات. استخدم هذه المعلومات لكتابة متباينة أخرى لتمثيل علاقة الأوزان. ثم صف ما تعنيه عدم المساواة في هذا السياق.
    ج. ارسم حلول هذه المتباينة على خط الأعداد.
  3. بناءً على عملك حتى الآن ، هل يمكنك تحديد العلاقة بين وزن المربع ووزن الدائرة؟ إذا كان الأمر كذلك ، اكتب متباينة لتمثيل تلك العلاقة. إذا لم يكن كذلك ، فشرح أسبابك.
  4. هذا رسم تخطيطي آخر لشماعات غير متوازنة.
    يكتب Andre المتباينة التالية: c + p & lt s. هل توافق على عدم المساواة؟ اشرح أسبابك.
  5. ينظر جادا إلى مخطط آخر لحظيرة غير متوازنة ويكتب: s + c & gt 2t ، حيث يمثل t وزن مثلث واحد. ارسم مخططًا تخطيطيًا.

هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

هذه صورة لشماعات متوازنة. يوضح أن الوزن الإجمالي للمثلثات الثلاثة هو نفس الوزن الإجمالي للمربعات الأربعة.

  1. ماذا يخبرك هذا عن وزن مربع واحد عند مقارنته بمثلث واحد؟ اشرح كيف تعرف.
  2. اكتب معادلة أو متباينة لوصف العلاقة بين وزن المربع ووزن المثلث. لنفترض أن وزن المربع يكون وزن المثلث.
    • عرض إجابات

الدرس 10 مشاكل الممارسة

  1. يوجد كرتون مغلق من البيض في ثلاجة Mai & rsquos. تحتوي الكرتونة على بيضة e ويمكن أن تحتوي على 12 بيضة.
    أ. ماذا تعني عدم المساواة e & lt 12 في هذا السياق؟
    ب. ماذا تعني عدم المساواة e & gt 0 في هذا السياق؟
    ج. ما هي بعض القيم المحتملة لـ e التي ستجعل كلاً من e & lt 12 و e & gt 0 صحيحًا؟
  2. هنا رسم تخطيطي لشماعات غير متوازنة.
    أ. اكتب متباينة لتمثيل علاقة الأوزان. استخدم s لتمثيل وزن المربع بالجرام و c لتمثيل وزن الدائرة بالجرام.
    ب. تزن الدائرة الحمراء الواحدة 12 جرامًا. اكتب متباينة لتمثيل وزن مربع أزرق واحد. ج. هل يمكن أن يكون 0 قيمة s؟ اشرح أسبابك.
  3. يمتلك تايلر أكثر من 10 دولارات. إيلينا لديها أموال أكثر من تايلر. مي لديها أموال أكثر من إيلينا. لنفترض مقدار المال الذي يمتلكه تايلر ، وليكن مقدار المال الذي تملكه إيلينا ، وليكن مبلغ المال الذي تملكه ماي. حدد جميع العبارات الصحيحة:
    أ. ت & ل م
    بي ام اند جي تي 10
    ج.ه & GT 10
    D. t & GT 10
    إي ه & جي تي م
    F. t & lt e
  4. أ. جادا أطول من دييغو. يبلغ طول دييغو 54 بوصة (4 أقدام و 6 بوصات). اكتب متباينة تقارن ارتفاع Jada بالبوصة ، j ، بارتفاع دييغو.
    ب. جادا أقصر من إيلينا. يبلغ طول إيلينا 5 أقدام. اكتب متباينة تقارن ارتفاع Jada بالبوصة ، j ، بارتفاع إيلينا.
  5. أيهما أكبر - -9/20 أم -0.5؟ اشرح كيف تعرف. إذا واجهتك مشكلة ، ففكر في رسم الأرقام على خط الأعداد.
  6. حدد كل التعبيرات التي تعادل (½) 3.
    أ ½ · ½ · ½
    ب 1/23
    ج (⅓) 2
    د 1/6
    إي 1/8

يمكن تنزيل منهج الرياضيات من Open Up Resources مجانًا من موقع Open Up Resources على الويب ومتاح أيضًا من Illustrative Mathematics.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


التفسير الهندسي لعدم المساواة H & # 246lder & # 39s

هل هناك حدس هندسي لعدم مساواة هولدر؟

أشير إلى $ || fg || _1 le || f || _p || f || _q $ عند $ frac <1>

+ فارك <1>=1$.

بالنسبة إلى $ p = q = 2 $ ، هذا هو مجرد متباينة Cauchy-Schwarz ، والتي لدي إدراك هندسي لها: إن إسقاط المتجه على طول الاتجاه يقصر طوله.

سؤالي هو ما إذا كان هناك تفسير هندسي مشابه لعدم مساواة هولدر. أنا على دراية بحجة القياس ، والتي تُظهر أن عدم المساواة يمكن أن تصمد فقط عندما $ frac <1>

+ فارك <1>= 1 $ ولكن لماذا نتوقع أن يكون هذا صحيحًا عندما يكون $ p و q $ مترافقين؟ ربما هناك بعض التفسير المادي؟

لاحظ أنني أبحث عن حدس ، وليس بالضرورة دليلًا رسميًا. يمكن إثبات عدم مساواة هولدر باستخدام عدم مساواة يونج ، والتي يُعطى هنا حدس جميل.

من وجهة نظري ، على الرغم من أن هذا يعطي الحدس لـ عنصر في الإثبات في حالة عدم المساواة في هولدر ، فإن هذا لا يعطي حقًا حدسًا لعدم المساواة بحد ذاتها.

(لكن ربما أكون مخطئًا؟ هل يحتوي التكامل الفعلي على "محتوى حقيقي" فيه ، أم أن Hölder حقًا لا شيء سوى عدم تكافؤ يونغ المقنع؟ جزء من الارتباك هو أن الحدس الخاص بعدم مساواة يونج يقوم على التكامل ، لذلك إذا كنا فقط الاعتماد على ذلك ، يجب أن يكون حدس هولدر نوعًا من "التكامل المزدوج".)

لنرى أن الحدس الهندسي لتباينات يونج وهولدر مختلف إلى حد ما ، يمكننا النظر إلى $ p = q = 2 $:

في هذه الحالة ، فإن عدم مساواة يونج هي مجرد عدم مساواة قياسية في AM-GM لمتغيرين. يمكن تفسير هذا التفاوت هندسيًا. على الرغم من أنه يمكن للمرء هنا أيضًا أن ينظر إلى هذا على أنه "الإسقاط يقصر فقط" ، إلا أن السيناريو يختلف قليلاً عن السيناريو الموجود في عدم المساواة بين كوشي وشوارتز. (على الأقل تبدو الأسباب الكامنة وراء "قضايا المساواة" مختلفة قليلاً بالنسبة لي).


مفتوح أو مغلق

تستخدم المصطلحات & quotOpen & quot و & quotosedClosed & quot في بعض الأحيان عندما يتم تضمين القيمة النهائية أم لا:

(أ ، ب) & lt x & lt ب فاصل مفتوح
[أ ، ب) a & le x & lt b مغلق على اليسار ، مفتوح على اليمين
(أ ، ب] & lt x & le b فتح على اليسار ، مغلق على اليمين
[أ ، ب] a & le x & le b فاصل مغلق

هذه فترات متناهية الطول. لدينا أيضًا فترات زمنية لا نهائية.


الدرس 16

في هذا الدرس وفي الدرس التالي ، ننتقل إلى تطبيق المتباينات لحل المشكلات. الإحماء هو مراجعة للعمل في الدرس السابق حول حل التفاوتات عندما لا يتم إعطاء سياق. ثم يقوم الطلاب بتفسير وحل حالات عدم المساواة التي تمثل مواقف من الحياة الواقعية ، وإدراك الكميات وعلاقاتها في المشكلة (MP2).

أهداف التعلم

المواد المطلوبة

أهداف التعلم

معايير CCSS

إدخالات المسرد

حل المتباينة هو رقم يمكن استخدامه بدلاً من المتغير لجعل المتباينة صحيحة.

على سبيل المثال ، 5 هو حل للمتباينة (c & lt10 ) ، لأنه صحيح أن (5 & lt10 ). بعض الحلول الأخرى لهذه المتباينة هي 9.9 و 0 و -4.

طباعة المواد المنسقة

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى Cool Down و Teacher Guide و PowerPoint.

مصادر إضافية

تم تطوير IM 6-8 Math في الأصل من قبل Open Up Resources وتأليف Illustrative Mathematics® ، وهي محمية بحقوق الطبع والنشر لعام 2017-2019 بواسطة Open Up Resources. تم ترخيصه بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف 4.0 (CC BY 4.0). منهج الرياضيات 6-8 متاح على https://openupresources.org/math-curriculum/.

التعديلات والتحديثات الخاصة بـ IM 6-8 Math هي حقوق طبع ونشر لعام 2019 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

التعديلات لإضافة دعم إضافي لمتعلم اللغة الإنجليزية هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 من Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

المجموعة الثانية من تقييمات اللغة الإنجليزية (تم وضع علامة عليها على أنها مجموعة "B") هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

الترجمة الإسبانية للتقييمات "B" هي حقوق طبع ونشر لعام 2020 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب الترخيص الدولي Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

يتضمن هذا الموقع صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


7.2.3: تفسير المتباينات - الرياضيات

حل كل من المتباينات التالية. عرض كل الحلول إخفاء كل الحلول

لحل متباينة كثيرة الحدود ، نحصل على صفر في أحد طرفي المتباينة ، ونقوم بتحليلها ثم نحدد أين يكون الضلع الآخر صفرًا.

[ - 10 & gt 3x quad Rightarrow quad - 3x - 10 & gt 0 quad Rightarrow quad left ( يمين شمال( حق) & GT 0 ]

لذلك ، بمجرد تحريك كل شيء إلى الجانب الأيسر والعامل يمكننا أن نرى أن الجانب الأيسر سيكون صفرًا عند (x = 5 ) و (x = - 2 ). هذه الأرقام ليست حلولاً (لأننا نبحث فقط عن القيم التي تجعل المعادلة إيجابية) ولكنها مفيدة في إيجاد الحل الفعلي.

لإيجاد حل هذه المتباينة ، علينا أن نتذكر أن كثيرات الحدود هي دوال سلسة لطيفة لا تحتوي على فواصل. هذا يعني أننا نتحرك عبر خط الأعداد (في أي اتجاه) إذا كانت قيمة تغيرات كثيرة الحدود علامة (لنقل من الموجب إلى السالب) ، فيجب أن تمر عبر الصفر!

لذلك ، هذا يعني أن هذين الرقمين ( (x = 5 ) و (x = - 2 )) هما المكانان الوحيدان اللذان يمكن أن يتغير فيهما كثير الحدود. ثم يتم تقسيم خط الأعداد إلى ثلاث مناطق. في كل منطقة ، إذا تم استيفاء عدم المساواة بنقطة واحدة من تلك المنطقة ، فسيكون راضيًا عن جميع النقاط في تلك المنطقة. إذا لم يكن هذا صحيحًا (أي كان موجبًا في نقطة ما في المنطقة وسالب عند نقطة أخرى) ثم يجب أيضًا أن يكون صفرًا في مكان ما في تلك المنطقة ، لكن هذا لا يمكن أن يحدث لأننا حددنا بالفعل جميع الأماكن التي يمكن أن يكون فيها كثير الحدود صفرًا! وبالمثل ، إذا لم يتم استيفاء عدم المساواة في نقطة ما في تلك المنطقة ، فإنه غير راضٍ عن أي نقطة في تلك المنطقة.

هذا يعني أن كل ما يتعين علينا القيام به هو اختيار نقطة اختبار من كل منطقة (يسهل التعامل معها ، بمعنى آخر. أعداد صحيحة صغيرة إن أمكن) وعوض بها في المتباينة. إذا كانت نقطة الاختبار ترضي عدم المساواة ، فإن كل نقطة في تلك المنطقة تحققها ، وإذا كانت نقطة الاختبار لا تفي بالتباين ، فلا توجد نقطة في تلك المنطقة تقوم بذلك.

ملاحظة أخيرة هنا حول هذا الموضوع. لدي ثلاث نسخ من عدم المساواة أعلاه. يمكنك توصيل نقطة الاختبار بأي منها ، ولكن عادةً ما يكون من الأسهل توصيل نقاط الاختبار بالصيغة المحللة إلى عوامل من عدم المساواة. لذلك ، إذا كنت تثق في قدراتك على العوملة ، فهذه هي القدرة التي يجب استخدامها ومع ذلك ، إذا كنت قد ارتكبت خطأ في التحليل ، فقد ينتهي بك الأمر بحل غير صحيح إذا استخدمت النموذج المحلل إلى عوامل للاختبار. إنها مقايضة. في كثير من الحالات ، يسهل التعامل مع النموذج المحلل إلى عوامل ، ولكن إذا كنت قد ارتكبت خطأ في التخصيم ، فقد تحصل على الحل غير الصحيح.

إذن ، هذا هو خط الأعداد والاختبارات التي استخدمتها لحل هذه المشكلة.

من هذا ، نرى أن حل هذه المتباينة هو (- infty & lt x & lt - 2 ) و (5 & lt x & lt infty ). في التدوين الفاصل ، سيكون هذا ( left (<- infty ، - 2> right) ) و ( left (<5 ، infty> right) ). ستلاحظ أن نقاط النهاية لم يتم تضمينها في الحل لهذا الغرض. انتبه إلى المتباينة الأصلية عند كتابة إجابة هذه. نظرًا لأن عدم المساواة كانت عبارة عن عدم مساواة صارمة ، فإننا لا نقوم بتضمين نقاط النهاية لأن هذه هي النقاط التي تجعل كلا طرفي المتباينة متساويين!

سنفعل الشيء نفسه مع هذه المشكلة باعتبارها المشكلة الأخيرة.

[ + 4 - 12 le 0 quad Rightarrow quad يسار (<+ 4x - 12> right) le 0 quad rightarrow quad متبقى( يمين شمال( حق) le 0 ]

في هذه الحالة بعد التحليل ، يمكننا أن نرى أن الجانب الأيسر سيكون صفراً عند (x = - 6 ) و (x = 0 ) و (x = 2 ).

من خط الأعداد هذا يكون حل المتباينة (- 6 le x le 2 ) أو [-6،2]. لا تنشغل بفكرة أن الفواصل الزمنية سوف تتناوب كحلول كما فعلت في المشكلة الأولى. لاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة كانت المتباينة أقل من أو تساوي TO ، لذلك قمنا بتضمين نقاط النهاية في حلنا.

هذا مختلف قليلاً ، لكنه ليس أكثر صعوبة حقًا. لا تحسب المعادلة التربيعية عاملًا ، لذا سنحتاج إلى استخدام الصيغة التربيعية لإيجاد مكان تساوي الصفر. القيام بهذا يعطي

الاختزال إلى الكسور العشرية هو (x = 2.27698 ) و (x = - 1.61032 ). من هذه النقطة فصاعدًا ، يبدو الأمر مطابقًا للمشكلتين السابقتين. في خط الأعداد أسفل الخطوط المتقطعة ، توجد القيم التقريبية للعددين أعلاه ، وتوضح المتباينات قيمة المعادلة التربيعية المقدرة عند نقاط الاختبار الموضحة.

من خط الأعداد أعلاه ، نرى أن الحل هو ( left (<- infty، frac << 1 - sqrt <34>>> <3>> right) ) و ( left (< frac << 1 + sqrt <34>>> <3> ، infty> right) ).

إن عملية حل المتباينات التي تتضمن وظائف عقلانية تكاد تكون مطابقة لحل المتباينات التي تتضمن كثيرات الحدود. تمامًا مثل المتباينات كثيرة الحدود ، يمكن للمتباينات العقلانية تغيير الإشارة حيث يكون التعبير المنطقي صفرًا. ومع ذلك ، يمكنهم أيضًا تغيير الإشارة عند أي نقطة ينتج عنها قسمة على خطأ صفري في التعبير المنطقي. خير مثال على ذلك هو التعبير المنطقي ( frac <1>). من الواضح أن هناك قسمة على صفر عند (x = 0 ) وعلى يمين (x = 0 ) يكون التعبير موجبًا وعلى يسار (x = 0 ) التعبير سلبي.

من المهم أيضًا ملاحظة أن التعبير المنطقي سيكون صفرًا فقط لقيم (x ) التي تجعل البسط صفرًا.

إذن ، ما علينا فعله هو أولًا وضع صفر في أحد طرفي المتباينة ، حتى نتمكن من استخدام المعلومات الواردة أعلاه. لهذه المشكلة التي تم بالفعل. الآن ، حدد مكان البسط صفر (حيث سيكون التعبير بالكامل صفرًا هناك) وأين يكون المقام صفرًا (حيث سنحصل على القسمة على صفر هناك).

في هذه المرحلة ، تكون العملية متطابقة مع المتباينات كثيرة الحدود مع استثناء واحد عندما نذهب لكتابة الإجابة. ستقسم النقاط الموجودة أعلاه خط الأعداد إلى مناطق تكون فيها المتباينة إما صحيحة دائمًا أو تكون خاطئة دائمًا. لذلك ، اختر نقاط الاختبار من كل منطقة ، واختبرها في المتباينة واحصل على الحل من النتائج.

بالنسبة لهذه المشكلة ، سيكون البسط صفرًا عند (x = 3 ) وسيكون المقام صفرًا عند (x = - 2 ). يظهر خط الأعداد مع الاختبارات أدناه.

إذن ، من خط الأعداد هذا ، يبدو أن المنطقتين الخارجيتين ستحققان المتباينة. نحن بحاجة إلى توخي الحذر مع نقاط النهاية. سنقوم بتضمين (x = 3 ) لأن هذا سيجعل التعبير المنطقي صفرًا وبالتالي سيكون جزءًا من الحل. من ناحية أخرى ، (x = - 2 ) ستعطي القسمة على صفر ولذا يجب استبعادها من الحل لأن القسمة على الصفر غير مسموح بها أبدًا.

حل هذه المتباينة هو (- infty & lt x & lt - 2 ) و (3 le x & lt infty ) OR ((- infty - 2) ) و ([3، infty ) ) ، اعتمادًا على ما إذا كنت تريد متباينة للحل أو فترات للحل.

لدينا صفر بالفعل في أحد طرفي المتباينة ، لذا حلل البسط أولاً حتى نحصل على النقاط التي سيكون البسط فيها صفرًا.

إذن ، سيكون البسط صفرًا عند (x = - 2 ) و (x = 5 ). سيكون المقام صفرًا عند (x = 1 ). خط الأعداد لهذه المتباينة أدناه.

في هذه الحالة ، لن نقوم بتضمين أي نقاط نهاية في الحل لأنها إما تعطي القسمة على صفر أو تجعل التعبير صفراً ونريد أقل من الصفر لهذه المشكلة.

الحل إذن هو ((- infty ، - 2) ) و ((1،5) ).

نحن بحاجة إلى توخي الحذر قليلاً مع هذا. في هذه الحالة ، علينا وضع صفر في أحد طرفي المتباينة. هذا من السهل القيام به. كل ما علينا فعله هو طرح 3 من كلا الطرفين. هذا يعطي

لاحظ أنني جمعت أيضًا كل شيء في تعبير منطقي واحد. سترغب دائمًا في القيام بذلك. إذا لم تفعل ذلك ، فقد يكون من الصعب تحديد مكان التعبير المنطقي صفر. لذلك ، بمجرد إدخاله في تعبير واحد ، من السهل أن نرى أن البسط سيكون صفرًا عند (x = - 3 ) وسيكون المقام صفرًا عند (x = - 1 ). خط الأرقام لهذه المشكلة أدناه.

الحل في هذه الحالة هو ([- 3 ، - 1) ). لا نقوم بتضمين -1 لأن هذا هو المكان الذي يكون فيه الحل صفرًا ، لكننا نقوم بتضمين -3 لأن هذا يجعل التعبير صفرًا.


عملت الجبر أمثلة

محتويات:
حل المعادلات بخاصية التوزيع - مشكلة الكلمات الجبرية - مجموع الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية - مثال على حل متغير - القيمة المطلقة وخطوط الأرقام - الأنماط في التسلسل - معادلات أنماط التسلسل - إيجاد الحد المائة في تسلسل - العلاقات الوظيفية - اختبار ما إذا كانت العلاقة دالة - المجال والمدى - الاختلاف المباشر - مشكلة المعدل الأساسي - الوظيفة الخطية الأساسية - استكشاف العلاقات الخطية - التعرف على الوظائف الخطية - استكشاف العلاقات غير الخطية - مثال ميل الخط والميل - تقاطعات X و Y - رسم بياني الخط في شكل تقاطع المنحدر - معادلة الخط - التحويل إلى صيغة تقاطع المنحدر - نقطة الميل والصيغة القياسية - الخطوط المتوازية - الخطوط العمودية - تفسير عدم المساواة - حل المتباينات - عدم المساواة - عدم المساواة في القيمة المطلقة - كتابة واستخدام التفاوتات - حل رسم المتباينات الخطية في متغيرين - رسم المتباينات الخطية في متغيرين.


كيف نتذكر أكبر من وأقل من العلامات

على الرغم من أن العلامات الأكبر من والأقل من لها معاني واضحة ، إلا أنه من الصعب تذكرها. تبدو جميعها متشابهة ، باستثناء علامة "لا يساوي". فكيف تتذكرهم؟

طريقة التمساح

من أفضل الطرق لحفظ العلامات الأكبر والأقل من ذلك تخيلهم كتمساح صغيرة (أو تماسيح) ، حيث تمثل الأرقام الموجودة على كلا الجانبين عددًا من الأسماك. يريد التمساح دائمًا أن يأكل عددًا أكبر من الأسماك ، لذلك مهما كان الرقم الذي يفتح فمه فهو العدد الأكبر .

فم التمساح مفتوح باتجاه الرقم 4 ، لذلك حتى لو لم نكن متأكدين من أن الرقم 4 هو أكبر من 3 ، فستخبرنا علامة & gt. تعطينا جميع علامات عدم المساواة العلاقة بين الرقم الأول والثاني ، بدءًا من الرقم الأول ، لذلك يُترجم 4 & gt 3 إلى "4 هو أكثر من 3.”

هذا أيضا يعمل في الاتجاه المعاكس. إذا رأيت 5 & lt 8 ، تخيل علامة & lt على أنها فم تمساح صغير على وشك أن يقضم بصوت عالي على بعض الأسماك.

يشير الفم إلى الرقم 8 ، مما يعني أن الرقم 8 هو أكثر من 5. تخبرنا العلامة دائمًا بالعلاقة بين الرقم الأول والثاني ، لذلك يمكن ترجمة 5 & lt 8 إلى "5 is أقل من 8.”

عندما تعمل مع عدم المساواة ، يمكنك حتى أن ترسم أعينًا صغيرة على الرموز لمساعدتك على تذكر أيها. قد يكون من الصعب تذكر هذه ، لذلك لا تخف من الإبداع قليلاً حتى يتم حفظها حقًا!

قم بتدوير علامة أقل من قليلاً وستحصل على L لـ "أقل من!"

طريقة L

هذه الطريقة بسيطة جدًا— يبدأ "أقل من" بحرف L ، لذا فإن الرمز الذي يشبه الحرف L هو الرمز الذي يعني "أقل من".

& lt يشبه L أكثر من & gt ، لذا فإن & lt تعني "أقل من." نظرًا لأن & gt لا يبدو حرف L ، فلا يمكن أن يكون "أقل من".

طريقة تسجيل المساواة

بمجرد أن تتقن طريقة التمساح أو طريقة L ، تصبح الرموز الأخرى سهلة! "أكبر من أو يساوي" و "أقل من أو يساوي" هما فقط الرمز القابل للتطبيق مع نصف علامة يساوي تحته. على سبيل المثال ، يظهر لنا 4 أو 3 1 علامة أكبر على نصف علامة يساوي ، مما يعني أن 4 أو 3 هي أكبر من أو يساوي 1.

كان يعمل في الاتجاه الآخر أيضا. توضح لنا 1 ≤ 2 أو 3 علامة أقل من نصف علامة يساوي ، لذلك نعلم أنها تعني أن 1 يساوي اقل او يساوي 2 أو 3.

علامة "لا يساوي" أسهل! إنها مجرد علامة يساوي شطبها. إذا رأيت علامة التساوي مشطوبة ، فهذا يعني أن علامة التساوي لا تنطبق ، وبالتالي ، 2 ≠ 3 يعني أن 2 لا يساوي 3.

ضع هذه الأشياء في الاعتبار وستبدو سعيدًا في التعامل مع عدم المساواة.


المستوى الإحداثي

في هذا الأسبوع ، سيقوم طلابك برسم النقاط وتفسيرها على مستوى التنسيق. في الدرجات السابقة ، قاموا برسم النقاط حيث يكون كلا الإحداثيين موجبين ، مثل النقطة أ في الشكل. سوف يرسمون الآن النقاط التي لها إحداثيات موجبة وسالبة ، مثل النقطتين B و C.

لإيجاد المسافة بين نقطتين تشتركان في نفس الخط الأفقي أو نفس الخطوط الرأسية ، يمكننا ببساطة حساب وحدات الشبكة بينهما. على سبيل المثال ، إذا رسمنا النقطة (2 ، نص- 4) على الشبكة أعلاه (جربها!) ، يمكننا أن نقول أن النقطة ستكون على بعد 7 وحدات من النقطة أ = (2 ، 3).

يمكن أن تمثل النقاط الموجودة على مستوى إحداثي أيضًا مواقف تتضمن أرقامًا موجبة وسالبة. على سبيل المثال ، توضح النقاط الموجودة على هذا المستوى الإحداثي درجة الحرارة بالدرجات المئوية كل ساعة قبل الظهر وبعده في أحد أيام الشتاء. الأوقات قبل الظهر سلبية والأوقات بعد الظهر إيجابية.

على سبيل المثال ، تخبرنا النقطة (5 ، 10) أنه بعد 5 ساعات من الظهر أو 5:00 مساءً ، كانت درجة الحرارة 10 درجات مئوية.

هذه مهمة يجب تجربتها مع الطالب:

في الرسم البياني لدرجات الحرارة أعلاه:

  1. كم كانت درجة الحرارة الساعة 7 صباحًا؟
  2. ما هي الأوقات المسجلة التي كانت أبرد من 5 درجات مئوية؟
  1. كانت درجة الحرارة -5 درجات مئوية في الساعة 7:00 صباحًا.يمكنك رؤية هذا عند النقطة ( text- 5، text- 5).
  2. كانت درجة الحرارة 5 درجات مئوية عند الظهيرة ، وبالنسبة للأوقات المسجلة قبل ذلك ، كان الجو أكثر برودة.

بطاقات الذاكرة

يريد ماركوس طلب بطاقات ذاكرة لجهاز الكمبيوتر الخاص به من متجر عبر الإنترنت. إذا كانت تكلفة كل بطاقة 15.99 دولارًا ، وكانت تكلفة الشحن 5.50 دولارًا ، فكم عدد البطاقات التي يمكنه طلبها بأقل من 50 دولارًا؟

  • حل المتباينة.
  • فسر حل عدم المساواة.
  • ارسم حل المشكلة على خط الأعداد.

HANDOUT: بطاقات الذاكرة
تفاعلي: رسم عدم المساواة

فكر في الشكل الذي يجب أن يبدو عليه حل عدم المساواة بناءً على موقف المشكلة والسؤال.


شاهد الفيديو: المتباينات الجزء الأول (ديسمبر 2021).