مقالات

12.5: معادلات الخطوط والمستويات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اكتب المتجه والبارامترية والمتماثل لخط يمر بنقطة معينة في اتجاه معين ، وخط يمر بنقطتين معطاة.
  • أوجد المسافة من نقطة إلى خط معين.
  • اكتب المعادلات المتجهية والقياسية لمستوى من خلال نقطة معينة مع خط عمودي معين.
  • أوجد المسافة من نقطة إلى مستوى معين.
  • أوجد الزاوية بين مستويين.

الآن ، نحن على دراية بكتابة المعادلات التي تصف خطًا في بعدين. لكتابة معادلة لخط ، يجب أن نعرف نقطتين على الخط ، أو يجب أن نعرف اتجاه الخط ونقطة واحدة على الأقل يمر من خلالها الخط. في بعدين ، نستخدم مفهوم الميل لوصف اتجاه الخط أو اتجاهه. في ثلاثة أبعاد ، نصف اتجاه الخط باستخدام متجه موازٍ للخط. في هذا القسم ، ندرس كيفية استخدام المعادلات لوصف الخطوط والمستويات في الفضاء.

معادلات لخط في الفضاء

دعنا أولاً نستكشف ما يعنيه أن يكون متجهان متوازيان. تذكر أن المتجهات المتوازية يجب أن يكون لها نفس الاتجاه أو متعاكس. إذا كان متجهان غير صفريين ، ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) ، متوازيان ، فإننا ندعي أنه يجب أن يكون هناك عدد قياسي ، (k ) ، مثل ( vecs {u } = k vecs {v} ). إذا كان ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) لهما نفس الاتجاه ، فما عليك سوى اختيار

[k = dfrac {‖ vecs {u} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

إذا كان ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) لهما اتجاهات معاكسة ، فاختر

[k = - dfrac {‖ vecs {u} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

لاحظ أن العكس صحيح أيضًا. إذا كان ( vecs {u} = k vecs {v} ) لبعض الحجمي (k ) ، فإن إما ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) لهما نفس الشيء الاتجاه ((ك> 0) ) أو الاتجاهات المعاكسة ((ك <0) ) ، لذلك ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) متوازيان. لذلك ، هناك متجهان غير صفريين ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) متوازيان إذا وفقط إذا ( vecs {u} = k vecs {v} ) لبعض الحجمي ( ك). حسب الاصطلاح ، المتجه الصفري ( vecs {0} ) يعتبر موازيًا لجميع المتجهات.

الشكل ( PageIndex {1} ): Vector ( vecs {v} ) هو متجه الاتجاه لـ ( vecd {PQ} ).

كما هو الحال في بعدين ، يمكننا وصف خط في الفضاء باستخدام نقطة على الخط واتجاه الخط ، أو متجه موازٍ ، وهو ما نسميه ناقل الاتجاه (الشكل ( PageIndex {1} )). دع (L ) عبارة عن خط في الفضاء يمر بالنقطة (P (x_0، y_0، z_0) ). لنفترض أن ( vecs {v} = ⟨a، b، c⟩ ) متجهًا موازيًا لـ (L ). بعد ذلك ، بالنسبة لأي نقطة على السطر (Q (x، y، z) ) ، نعلم أن ( vecd {PQ} ) موازي لـ ( vecs {v} ). وبالتالي ، كما ناقشنا للتو ، هناك عدد قياسي ، (t ) ، مثل ( vecd {PQ} = t vecs {v} ) ، والذي يعطي

[ start {align} vecd {PQ} = t vecs {v} nonumber [4pt] ⟨x − x_0، y − y_0، z − z_0⟩ = t⟨a، b، c⟩ nonumber [4pt] ⟨x − x_0، y − y_0، z − z_0⟩ = ⟨ta، tb، tc⟩. التسمية {eq1} نهاية {محاذاة} ]

باستخدام العمليات المتجهة ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة ref {eq1}

[ start {align *} ⟨x − x_0، y − y_0، z − z_0⟩ = ⟨ta، tb، tc⟩ [4pt] ⟨x، y، z⟩ − ⟨x_0، y_0، z_0⟩ = t⟨a، b، c⟩ [4pt] underbrace {⟨x، y، z⟩} _ { vecs {r}} = underbrace {⟨x_0، y_0، z_0⟩} _ { vecs {r } _o} + t underbrace {⟨a، b، c⟩} _ { vecs {v}}. end {align *} ]

إعداد ( vecs {r} = ⟨x، y، z⟩ ) و ( vecs {r} _0 = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ ) ، لدينا الآن معادلة الخط المتجه:

[ vecs {r} = vecs {r} _0 + t vecs {v}. التسمية {vector} ]

معادلة المكونات ، المعادلة ref {vector} توضح أن المعادلات التالية صحيحة في نفس الوقت: (x − x_0 = ta، y − y_0 = tb، ) و (z − z_0 = tc. ) إذا قمنا بحل كل من هذه المعادلات لمتغيرات المكون (x ، y ، ) و (z ) ، نحصل على مجموعة من المعادلات التي يتم فيها تعريف كل متغير من حيث المعلمة (t ) وهذا ، معًا ، يصف خط. هذه المجموعة المكونة من ثلاث معادلات تشكل مجموعة من المعادلات البارامترية لخط:

[x = x_0 + ta nonumber ]

[y = y_0 + tb nonumber ]

[z = z_0 + tc. nonumber ]

إذا حللنا كل معادلة من أجل (t ) بافتراض أن (أ ، ب ) ، و (ج ) ليست صفرية ، فسنحصل على وصف مختلف لنفس السطر:

[ start {align *} dfrac {x − x_0} {a} = t [4pt] dfrac {y − y_0} {b} = t [4pt] dfrac {z − z_0} { c} = t. end {align *} ]

لأن كل تعبير يساوي (t ) ، فجميعهم لديهم نفس القيمة. يمكننا جعلها متساوية مع بعضها البعض المعادلات المتماثلة لخط:

[ dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c}. لا يوجد رقم]

نلخص النتائج في النظرية التالية.

نظرية: المعادلات البارامترية والمتماثلة للخط

يمكن وصف الخط (L ) الموازي للمتجه ( vecs {v} = ⟨a، b، c⟩ ) ويمر بالنقطة (P (x_0، y_0، z_0) ) من خلال المعلمات التالية المعادلات:

[x = x_0 + ta، y = y_0 + tb، ]

و

[z = z_0 + tc. ]

إذا كانت الثوابت (أ ، ب ، ) و (ج ) كلها غير صفرية ، فيمكن وصف (L ) بالمعادلة المتماثلة للخط:

[ dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c}. ]

المعادلات البارامترية للخط ليست فريدة. يؤدي استخدام متجه متوازي مختلف أو نقطة مختلفة على الخط إلى تمثيل مكافئ مختلف. تؤدي كل مجموعة من المعادلات البارامترية إلى مجموعة ذات صلة من المعادلات المتماثلة ، لذلك يترتب على ذلك أن المعادلة المتماثلة للخط ليست فريدة أيضًا.

مثال ( PageIndex {1} ): معادلات خط في الفراغ

ابحث عن المعادلات البارامترية والمتماثلة للخط المار بالنقاط ((1،4، −2) ) و ((3،5،0). )

المحلول

أولاً ، حدد متجهًا موازيًا للخط:

[ vecs v = ⟨− 3−1،5−4،0 - (- 2)⟩ = ⟨− 4،1،2⟩. لا يوجد رقم]

استخدم أيًا من النقاط المعطاة على الخط لإكمال المعادلات البارامترية:

[ start {align *} x = 1−4t [4pt] y = 4 + t، end {align *} ]

و

[z = −2 + 2t. لا يوجد رقم]

حل كل معادلة من أجل (t ) لإنشاء المعادلة المتماثلة للخط:

[ dfrac {x − 1} {- 4} = y − 4 = dfrac {z + 2} {2}. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن المعادلات البارامترية والمتماثلة للخط المار بالنقاط ((1، −3،2) ) و ((5، −2،8). )

تلميح:

ابدأ بإيجاد متجه موازٍ للخط.

إجابه

مجموعة محتملة من المعادلات البارامترية: (x = 1 + 4t، y = −3 + t، z = 2 + 6t؛ ) مجموعة المعادلات المتماثلة ذات الصلة: [ dfrac {x − 1} {4} = y + 3 = dfrac {z − 2} {6} nonumber ]

في بعض الأحيان لا نريد معادلة خط كامل ، فقط قطعة مستقيمة. في هذه الحالة ، نحد من قيم المعلمة (t ). على سبيل المثال ، دع (P (x_0، y_0، z_0) ) و (Q (x_1، y_1، z_1) ) تكون نقاطًا على السطر ، واجعل ( vecs p = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ ) و ( vecs q = ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ ) هي متجهات الموضع المرتبطة. بالإضافة إلى ذلك ، دع ( vecs r = ⟨x ، y ، z⟩ ). نريد إيجاد معادلة متجه للقطعة المستقيمة بين (P ) و (Q ). باستخدام (P ) كنقطة معروفة لدينا على السطر ، و ( vecd {PQ} = ⟨x_1 − x_0، y_1 − y_0، z_1 − z_0⟩ ) كمعادلة متجه الاتجاه ، المعادلة المرجع {متجه} يعطي

[ vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}). التسمية {eq10} ]

يمكن توسيع المعادلة ref {eq10} باستخدام خصائص المتجهات:

[ start {align *} vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}) [4pt] = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ + t⟨x_1 − x_0، y_1− y_0، z_1 − z_0⟩ [4pt] = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ + t (⟨x_1، y_1، z_1⟩ − ⟨x_0، y_0، z_0⟩) [4pt] = ⟨x_0، y_0، z_0 ⟩ + t⟨x_1، y_1، z_1⟩ − t⟨x_0، y_0، z_0⟩ [4pt] = (1 − t) ⟨x_0، y_0، z_0⟩ + t⟨x_1، y_1، z_1⟩ [4pt ] = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q}. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن معادلة المتجه للخط المار عبر (P ) و (Q ) هي

[ vecs {r} = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q}. ]

تذكر أننا لم نرغب في معادلة الخط بأكمله ، فقط الجزء المستقيم بين (P ) و (Q ). لاحظ أنه عندما (t = 0 ) ، لدينا (r = p ) ، وعندما (t = 1 ) ، لدينا ( vecs r = vecs q ). لذلك ، فإن معادلة المتجه للقطعة المستقيمة بين (P ) و (Q ) هي

[ vecs {r} = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q} ، 0≤t≤1. ]

بالعودة إلى المعادلة ref {vector} ، يمكننا أيضًا إيجاد المعادلات البارامترية لهذه القطعة المستقيمة. لدينا

[ start {align *} vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}) [4pt] ⟨x، y، z⟩ = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ + t ⟨x_1 − x_0، y_1 − y_0، z_1 − z_0⟩ [4pt] = ⟨x_0 + t (x_1 − x_0)، y_0 + t (y_1 − y_0)، z_0 + t (z_1 − z_0)⟩. النهاية {محاذاة *} ]

ثم ، المعادلات البارامترية

[ start {align} x = x_0 + t (x_1 − x_0) nonumber [4pt] y = y_0 + t (y_1 − y_0) nonumber [4pt] z = z_0 + t (z_1 − z_0 ) ، ، 0≤t≤1. غير رقم نهاية {محاذاة} التسمية {الفقرة} ]

مثال ( PageIndex {2} ): المعادلات البارامترية لقطعة خطية

أوجد المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة بين النقطتين (P (2،1،4) ) و (Q (3، −1،3). )

المحلول

ابدأ بالمعادلات البارامترية لخط (المعادلات المرجع {الفقرة}) واعمل مع كل مكون على حدة:

[ start {align *} x = x_0 + t (x_1 − x_0) [4pt] = 2 + t (3−2) [4pt] = 2 + t، end {align *} ]

[ start {align *} y = y_0 + t (y_1 − y_0) [4pt] = 1 + t (−1−1) [4pt] = 1−2t، end {align *} ]

و

[ start {align *} z = z_0 + t (z_1 − z_0) [4pt] = 4 + t (3−4) [4pt] = 4 − t. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، فإن المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة هي

[ start {align *} x = 2 + t [4pt] y = 1−2t [4pt] z = 4 − t، ، 0≤t≤1. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة بين النقاط (P (−1،3،6) ) و (Q (−8،2،4) ).

إجابه

[x = −1−7t ، y = 3 − t ، z = 6−2t ، 0≤t≤1 nonumber ]

المسافة بين نقطة وخط

نحن نعلم بالفعل كيفية حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء. نقوم الآن بتوسيع هذا التعريف لوصف المسافة بين نقطة وخط في الفضاء. توجد العديد من سياقات العالم الحقيقي عندما يكون من المهم أن تكون قادرًا على حساب هذه المسافات. عند بناء منزل ، على سبيل المثال ، يجب على البناة مراعاة متطلبات "النكسة" ، عندما يجب أن تكون الهياكل أو التركيبات على مسافة معينة من خط الملكية. يقدم السفر الجوي مثالاً آخر. تشعر شركات الطيران بالقلق إزاء المسافات بين المناطق المأهولة بالسكان ومسارات الطيران المقترحة.

دع (L ) يكون خطًا في المستوى واجعل (M ) أي نقطة ليست على الخط. بعد ذلك ، نحدد المسافة (d ) من (M ) إلى (L ) على أنها طول قطعة الخط ( overline {MP} ) ، حيث (P ) هي نقطة على ( L ) بحيث يكون ( overline {MP} ) عموديًا على (L ) (الشكل ( PageIndex {2} )).

عندما نبحث عن المسافة بين خط ونقطة في الفراغ ، يظل الشكل ( PageIndex {2} ) ساريًا. ما زلنا نحدد المسافة على أنها طول المقطع الخطي العمودي الذي يربط النقطة بالخط. ومع ذلك ، في الفضاء ، لا توجد طريقة واضحة لمعرفة أي نقطة على الخط تخلق مثل هذا المقطع الخطي العمودي ، لذلك نختار نقطة عشوائية على الخط ونستخدم خصائص المتجهات لحساب المسافة. لذلك ، دع (P ) نقطة عشوائية في السطر (L ) واجعل ( vecs {v} ) متجه اتجاه لـ (L ) (الشكل ( فهرس الصفحة {3} )).

تشكل المتجهات ( vecd {PM} ) و ( vecs {v} ) وجهين من متوازي أضلاع بمساحة (‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖ ). باستخدام صيغة من الهندسة ، يمكن أيضًا حساب مساحة متوازي الأضلاع هذا على أنها حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه:

[‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖ = ‖ vecs v‖d. ]

يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد صيغة عامة للمسافة بين خط في الفراغ وأي نقطة ليست على الخط.

المسافة من نقطة إلى خط

لنفترض أن (L ) عبارة عن خط في الفضاء يمر بالنقطة (P ) مع متجه الاتجاه ( vecs {v} ). إذا كان (M ) أي نقطة ليست على (L ) ، فإن المسافة من (M ) إلى (L ) هي

[d = dfrac {‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

مثال ( PageIndex {3} ): حساب المسافة من نقطة إلى خط

أوجد المسافة بين النقطة (M = (1،1،3) ) والخط ( dfrac {x − 3} {4} = dfrac {y + 1} {2} = z − 3. )

المحلول:

من المعادلات المتماثلة للخط ، نعلم أن المتجه ( vecs {v} = ⟨4،2،1⟩ ) هو متجه اتجاه للخط. بضبط المعادلات المتماثلة للخط على الصفر ، نرى أن النقطة (P (3، −1،3) ) تقع على الخط. ثم،

[ start {align *} vecd {PM} = ⟨1−3،1 - (- 1)، 3−3⟩ [4pt] = ⟨− 2،2،0⟩. النهاية {محاذاة *} ]

لحساب المسافة ، نحتاج إلى إيجاد ( vecd {PM} × vecs v: )

[ start {align *} vecd {PM} × vecs {v} = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} - 2 2 0 4 2 1 end {vmatrix} [4pt] = (2−0) mathbf { hat i} - (- 2−0) mathbf { hat j} + (- 4−8 ) mathbf { hat k} [4pt] = 2 mathbf { hat i} +2 mathbf { hat j} −12 mathbf { hat k}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، فإن المسافة بين النقطة والخط هي (الشكل ( PageIndex {4} ))

[ start {align *} d = dfrac {‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖} {‖ vecs {v} ‖} [4pt] = dfrac { sqrt {2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 12 ^ 2}} { sqrt {4 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2}} [4pt] = dfrac {2 sqrt {38}} { sqrt {21} } [4pt] = dfrac {2 sqrt {798}} {21} ، text {Units} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد المسافة بين النقطة ((0،3،6) ) والخط مع المعادلات البارامترية (x = 1 − t ، y = 1 + 2t ، z = 5 + 3t. )

تلميح

ابحث عن متجه بنقطة أولية ((0،3،6) ) ونقطة طرفية على الخط ، ثم ابحث عن متجه اتجاه للخط.

إجابه

[ sqrt { dfrac {10} {7}} = dfrac { sqrt {70}} {7} ، text {Units} nonumber ]

العلاقات بين الخطوط

نظرًا لوجود خطين في المستوى ثنائي الأبعاد ، فإن الخطوط متساوية أو متوازية ولكنها غير متساوية أو تتقاطع في نقطة واحدة. في ثلاثة أبعاد ، حالة رابعة ممكنة. إذا كان الخطان في الفضاء غير متوازيين ، لكنهما لا يتقاطعان ، فيُقال إن الخطين كذلك خطوط الانحراف (الشكل ( PageIndex {5} )).

الشكل ( PageIndex {5} ): في ثلاثة أبعاد ، من الممكن ألا يتقاطع خطان ، حتى عندما يكون لهما اتجاهات مختلفة.

لتصنيف الخطوط على أنها متوازية وليست متساوية أو متساوية أو متقاطعة أو منحرفة ، نحتاج إلى معرفة شيئين: ما إذا كانت متجهات الاتجاه متوازية وما إذا كانت الخطوط تشترك في نقطة (الشكل ( PageIndex {6} )).

مثال ( PageIndex {4} ): تصنيف السطور في الفضاء

لكل زوج من الخطوط ، حدد ما إذا كانت الخطوط متساوية أم متوازية ولكنها غير متساوية أم منحرفة أم متقاطعة.

أ.

  • (L_1: x = 2s − 1، y = s − 1، z = s − 4 )
  • (L_2: x = t − 3، y = 3t + 8، z = 5−2t )

ب.

  • (L_1: x = −y = z )
  • (L_2: dfrac {x − 3} {2} = y = z − 2 )

ج.

  • (L_1: x = 6s − 1، y = −2s، z = 3s + 1 )
  • (L_2: dfrac {x − 4} {6} = dfrac {y + 3} {- 2} = dfrac {z − 1} {3} )

المحلول

أ. يحتوي الخط (L_1 ) على متجه اتجاه ( vecs v_1 = ⟨2،1،1⟩ ) ؛ يحتوي السطر (L_2 ) على متجه اتجاه ( vecs v_2 = ⟨1،3، −2⟩ ).نظرًا لأن متجهات الاتجاه ليست متجهات متوازية ، فإن الخطوط إما متقاطعة أو منحرفة. لتحديد ما إذا كان الخطان يتقاطعان ، نرى ما إذا كانت هناك نقطة ، ((x ، y ، z) ) ، تقع على كلا الخطين. للعثور على هذه النقطة ، نستخدم المعادلات البارامترية لإنشاء نظام للمساواة:

[2 ثانية − 1 = t − 3 ؛ ]

[s − 1 = 3t + 8 ؛ ]

[s − 4 = 5−2t. ]

بالمعادلة الأولى ، (t = 2s + 2. ) الاستبدال في المعادلة الثانية ينتج

(ث − 1 = 3 (2 ثانية + 2) +8 )

(ق − 1 = 6 s + 6 + 8 )

(5 ث = -15 )

(ق = -3. )

ومع ذلك ، فإن الاستبدال في المعادلة الثالثة ينتج عنه تناقض:

(ث − 4 = 5−2 (2 ثانية + 2) )

(ث − 4 = 5−4 ث − 4 )

(5 ق = 5 )

(الصورة = 1. )

لا توجد نقطة واحدة تحقق المعادلات البارامترية لـ (L_1 ) و (L_2 ) في وقت واحد. لا تتقاطع هذه الخطوط ، لذا فهي منحرفة (انظر الشكل التالي).

ب. يحتوي الخط (L_1 ) على متجه اتجاه ( vecs v_1 = ⟨1، −1،1⟩ ) ويمر عبر الأصل ((0،0،0) ). يحتوي الخط (L_2 ) على متجه اتجاه مختلف ، ( vecs v_2 = ⟨2،1،1⟩ ) ، لذا فإن هذه الخطوط ليست متوازية أو متساوية. دع (r ) يمثل معلمة السطر (L_1 ) ولنمثل المعلمة لـ (L_2 ):

(س = r ) (س = 2 ثانية + 3 )

(ص = − ص ) (ص = ق )

(ض = r ) (ض = ث + 2. )

حل نظام المعادلات لإيجاد (r = 1 ) و (s = −1 ). إذا احتجنا إلى إيجاد نقطة التقاطع ، فيمكننا استبدال هذه المعلمات في المعادلات الأصلية للحصول على ((1، −1،1) ) (انظر الشكل التالي).

ج. الخطوط (L_1 ) و (L_2 ) لها متجهات اتجاه مكافئة: ( vecs v = ⟨6، −2،3⟩. ) هذان الخطان متوازيان (انظر الشكل التالي).

تمرين ( PageIndex {4} )

صف العلاقة بين السطور بالمعادلات البارامترية التالية:

[x = 1−4t ، y = 3 + t ، z = 8−6t nonumber ]

[x = 2 + 3s ، y = 2s ، z = -1−3 ثانية. لا يوجد رقم]

تلميح

ابدأ بتحديد متجهات الاتجاه لكل سطر. هل أحدهما مضاعف للآخر؟

إجابه

هذه الخطوط منحرفة لأن متجهات اتجاهها ليست متوازية ولا توجد نقطة ((x ، y ، z) ) تقع على كلا الخطين.

معادلات المستوى

نعلم أن الخط يتحدد بنقطتين. بعبارة أخرى ، لأي نقطتين مختلفتين ، يوجد خط واحد بالضبط يمر عبر تلك النقاط ، سواء في بعدين أو ثلاثة. وبالمثل ، بالنظر إلى أي ثلاث نقاط لا تقع جميعها على نفس الخط ، هناك مستوى فريد يمر عبر هذه النقاط. تمامًا كما يتم تحديد الخط بنقطتين ، يتم تحديد المستوى بثلاثة.

قد تكون هذه أبسط طريقة لوصف مستوى ، ولكن يمكننا استخدام أوصاف أخرى أيضًا. على سبيل المثال ، بالنظر إلى خطين متقاطعين متميزين ، يوجد مستوى واحد بالضبط يحتوي على كلا الخطين. يتم تحديد المستوى أيضًا بخط وأي نقطة لا تقع على الخط. تنشأ هذه التوصيفات بشكل طبيعي من فكرة أن المستوى يتحدد بثلاث نقاط. ربما يكون التوصيف الأكثر إثارة للدهشة للطائرة هو في الواقع الأكثر فائدة.

تخيل زوجًا من المتجهات المتعامدة التي تشترك في نقطة أولية. تخيل الاستيلاء على أحد النواقل ولفه. أثناء الالتواء ، يدور المتجه الآخر حول الطائرة ويكتسحها. هنا ، نصف هذا المفهوم رياضيًا. لنفترض أن ( vecs {n} = ⟨a، b، c⟩ ) متجهًا و (P = (x_0، y_0، z_0) ) تكون نقطة. ثم مجموعة جميع النقاط (Q = (x، y، z) ) بحيث تكون ( vecd {PQ} ) متعامدة مع ( vecs {n} ) تشكل مستوى (الشكل ( PageIndex {7} )). نقول أن ( vecs {n} ) ملف ناقلات الطبيعيأو عمودي على المستوى. تذكر أن حاصل الضرب القياسي للمتجهات المتعامدة هو صفر. هذه الحقيقة تولد معادلة متجه للطائرة:

[ vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0. ]

توفر إعادة كتابة هذه المعادلة طرقًا إضافية لوصف المستوى:

[ start {align *} vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0 [4pt] ⟨a، b، c⟩⋅⟨x − x_0، y − y_0، z − z_0⟩ = 0 [4pt] a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0. النهاية {محاذاة *} ]

التعريف: المعادلة العددية للمستوى

عند إعطاء نقطة (P ) ومتجه ( vecs n ) ، فإن مجموعة جميع النقاط (Q ) التي تحقق المعادلة ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) تشكل مستوى. المعادلة

[ vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0 nonumber ]

يُعرف باسم معادلة متجه للطائرة.

ال المعادلة العددية للمستوى تحتوي على النقطة (P = (x_0، y_0، z_0) ) مع المتجه العادي ( vec {n} = ⟨a، b، c⟩ ) هو

[a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0. لا يوجد رقم]

يمكن التعبير عن هذه المعادلة كـ (ax + by + cz + d = 0، ) حيث (d = −ax_0 − by_0 − cz_0. ) يُطلق على هذا النموذج من المعادلة أحيانًا اسم الشكل العام لمعادلة المستوى.

كما هو موضح سابقًا في هذا القسم ، فإن أي ثلاث نقاط لا تقع جميعها على نفس الخط تحدد المستوى. بالنظر إلى ثلاث نقاط من هذا القبيل ، يمكننا إيجاد معادلة للمستوى الذي يحتوي على هذه النقاط.

مثال ( PageIndex {5} ): كتابة معادلة مستوى بمنح ثلاث نقاط في المستوى

اكتب معادلة للمستوى الذي يحتوي على نقاط (P = (1،1، −2)، Q = (0،2،1)، ) و (R = (- 1، −1،0) ) في كل من الأشكال القياسية والعامة.

المحلول

لكتابة معادلة لمستوى ، يجب أن نجد متجهًا عاديًا للمستوى. نبدأ بتحديد متجهين في المستوى:

[ start {align *} vecd {PQ} = ⟨0−1،2−1،1 - (- 2)⟩ [4pt] = ⟨− 1،1،3⟩ [4pt] vecd {QR} = ⟨− 1−0، −1−2،0−1⟩ [4pt] = ⟨− 1، −3، −1⟩. end {align *} ]

المنتج المتقاطع ( vecd {PQ} × vecd {QR} ) متعامد مع كل من ( vecd {PQ} ) و ( vecd {QR} ) ، لذلك من الطبيعي أن يحتوي على هذين المتجهين:

[ start {align *} vecs n = vecd {PQ} × vecd {QR} [4pt] = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} - 1 1 3 - 1 −3 −1 end {vmatrix} [4pt] = (- 1 + 9) mathbf { hat i} - (1 + 3) mathbf { hat j} + (3 + 1) mathbf { hat k} [4pt] = 8 mathbf { hat i} −4 mathbf { hat j} +4 mathbf { hat k }. end {محاذاة *} ]

وهكذا ، (n = ⟨8، −4،4⟩، ) ويمكننا اختيار أي من النقاط الثلاث المعطاة لكتابة معادلة المستوى:

[ start {align *} 8 (x − 1) −4 (y − 1) +4 (z + 2) = 0 [4pt] 8x − 4y + 4z + 4 = 0. النهاية {محاذاة *} ]

تختلف المعادلات العددية للمستوى اعتمادًا على المتجه الطبيعي والنقطة المختارة.

مثال ( PageIndex {6} ): كتابة معادلة لمستوى بمنح نقطة وخط

ابحث عن معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة ((1،4،3) ) وتحتوي على السطر المعطى بواسطة (x = dfrac {y − 1} {2} = z + 1. )

المحلول

تصف المعادلات المتماثلة الخط الذي يمر عبر النقطة ((0،1، −1) ) الموازي للمتجه ( vecs v_1 = ⟨1،2،1⟩ ) (انظر الشكل التالي). استخدم هذه النقطة والنقطة المحددة ، ((1،4،3) ، ) لتحديد متجه ثانٍ موازٍ للمستوى:

[ vecs v_2 = ⟨1−0،4−1،3 - (- 1)⟩ = ⟨1،3،4⟩. لا يوجد رقم]

استخدم حاصل الضرب الاتجاهي لهذه المتجهات لتحديد متجه عادي للمستوى:

[ start {align *} vecs n = vecs v_1 × vecs v_2 nonumber [4pt] = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { قبعة k} 1 2 1 1 3 4 end {vmatrix} nonumber [4pt] = (8−3) mathbf { hat i} - (4−1) mathbf { hat j } + (3−2) mathbf { hat k} [4pt] = 5 mathbf { hat i} −3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k}. nonumber end {align *} nonumber ]

المعادلات العددية للمستوى هي (5x − 3 (y − 1) + (z + 1) = 0 ) و (5x − 3y + z + 4 = 0. )

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن معادلة المستوى التي تحتوي على الخطوط (L_1 ) و (L_2 ):

[L_1: x = −y = z nonumber ]

[L_2: dfrac {x − 3} {2} = y = z − 2. لا يوجد رقم]

تلميح

تلميح: الناتج العرضي لمتجهات اتجاه الخطوط يعطي متجهًا عاديًا للمستوى.

إجابه

[−2 (x − 1) + (y + 1) +3 (z − 1) = 0 nonumber ]

أو

[−2x + y + 3z = 0 بلا رقم ]

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا كتابة معادلة لمستوى ، يمكننا استخدام المعادلة لإيجاد المسافة (د ) بين النقطة (P ) والمستوى. يتم تعريفه على أنه أقصر مسافة ممكنة من (P ) إلى نقطة على المستوى.

مثلما نجد المسافة ثنائية الأبعاد بين نقطة وخط عن طريق حساب طول قطعة مستقيمة متعامدة على الخط ، نجد المسافة ثلاثية الأبعاد بين نقطة ومستوى عن طريق حساب طول قطعة مستقيمة متعامدة الى الطائرة. دع (R ) يراهن على النقطة في المستوى بحيث يكون ( vecd {RP} ) متعامدًا مع المستوى ، ولجعل (Q ) نقطة عشوائية في المستوى. ثم يصف إسقاط المتجه ( vecd {QP} ) على المتجه العادي المتجه ( vecd {RP} ) ، كما هو موضح في الشكل.

المسافة بين الطائرة والنقطة

لنفترض أن طائرة ذات متجه عادي ( vecs {n} ) تمر عبر النقطة (Q ). يتم إعطاء المسافة (d ) من الطائرة إلى نقطة (P ) ليست في المستوى

[d = ‖ text {proj} _ vecs {n} ، vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} ، vecd {QP} ∣ = dfrac {∣ vecd {QP} ⋅ vecs {n} ∣} {‖ vecs {n} ‖}. التسمية {مسافة التخطيط} ]

مثال ( PageIndex {7} ): المسافة بين نقطة ومستوى

أوجد المسافة بين النقطة (P = (3،1،2) ) والمستوى المعطى بواسطة (x − 2y + z = 5 ) (انظر الشكل التالي).

المحلول

توفر معاملات معادلة المستوى متجهًا عاديًا للمستوى: ( vecs {n} = ⟨1، −2،1⟩ ). للعثور على المتجه ( vecd {QP} ) ، نحتاج إلى نقطة في المستوى. ستعمل أي نقطة ، لذا اضبط (y = z = 0 ) لترى تلك النقطة (Q = (5،0،0) ) تقع في المستوى. ابحث عن شكل مكون المتجه من (Q ) إلى (P ):

[ vecd {QP} = ⟨3−5،1−0،2−0⟩ = ⟨− 2،1،2⟩. لا يوجد رقم ]

تطبيق صيغة المسافة من المعادلة:

[ start {align *} d = dfrac {∣ vecd {QP} ⋅ vecs n |} {‖ vecs n‖} [4pt] = dfrac {| ⟨− 2،1،2⟩ ⋅⟨1، −2،1⟩ |} { sqrt {1 ^ 2 + (- 2) ^ 2 + 1 ^ 2}} [4pt] = dfrac {| −2−2 + 2 |} { sqrt {6}} [4pt] = dfrac {2} { sqrt {6}} = dfrac { sqrt {6}} {3} ، text {Units}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد المسافة بين النقطة (P = (5، −1،0) ) والمستوى المعطى بواسطة (4x + 2y − z = 3 ).

تلميح

النقطة ((0،0، −3) ) تقع على المستوى.

إجابه

[ dfrac {15} { sqrt {21}} = dfrac {5 sqrt {21}} {7} ، text {Units} ]

المستويات المتوازية والمتقاطعة

لقد ناقشنا العلاقات المختلفة الممكنة بين سطرين في بعدين وثلاثة أبعاد. عندما نصف العلاقة بين مستويين في الفضاء ، لدينا احتمالان فقط: المستويان المتميزان متوازيان أو متقاطعان. عندما يكون مستويان متوازيان ، يكون متجهيهما العاديين متوازيين. عندما يتقاطع مستويان ، يكون التقاطع خطًا (الشكل ( PageIndex {9} )).

يمكننا استخدام معادلات المستويين لإيجاد المعادلات البارامترية لخط التقاطع.

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد خط التقاطع لمستويين

ابحث عن المعادلات البارامترية والمتماثلة للخط الذي يتكون من تقاطع المستويات المعطاة بواسطة (x + y + z = 0 ) و (2x − y + z = 0 ) (انظر الشكل التالي).

المحلول

لاحظ أن الطائرتين لهما قواعد غير متوازية ، لذلك تتقاطع المستويان. علاوة على ذلك ، فإن الأصل يرضي كل معادلة ، لذلك نعرف أن خط التقاطع يمر عبر الأصل. أضف معادلات المستوى حتى نتمكن من حذف أحد المتغيرات ، في هذه الحالة ، (y ):

(س + ص + ض = 0 )

(2 س − ص + ض = 0 )

________________

(3 س + 2 ز = 0 ).

يعطينا هذا (x = - dfrac {2} {3} z. ) نعوض بهذه القيمة في المعادلة الأولى للتعبير عن (y ) بدلالة (z ):

[ start {align *} x + y + z = 0 [4pt] - dfrac {2} {3} z + y + z = 0 [4pt] y + dfrac {1} {3} z = 0 [4pt] y = - dfrac {1} {3} z end {align *}. ]

لدينا الآن أول متغيرين ، (x ) و (y ) ، بدلالة المتغير الثالث ، (z ). الآن نحدد (z ) من حيث (t ). لإزالة الحاجة إلى الكسور ، نختار تعريف المعلمة (t ) كـ (t = - dfrac {1} {3} z ). ثم (ض = −3t ). استبدال التمثيل البارامترى لـ ض بالعودة إلى المعادلتين الأخريين ، نرى أن المعادلات البارامترية لخط التقاطع هي (x = 2t ، y = t ، z = −3t. ) المعادلات المتماثلة للخط هي ( dfrac {x} {2} = y = dfrac {z} {- 3} ).

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد المعادلات البارامترية للخط المكون من تقاطع المستويات (x + y − z = 3 ) و (3x − y + 3z = 5. )

تلميح

أضف المعادلتين ، ثم عبر عن (ض ) بدلالة (س ). ثم ، عبر عن (ص ) بدلالة (س ).

إجابه

[x = t ، y = 7−3t ، z = 4−2t nonumber ]

بالإضافة إلى إيجاد معادلة خط التقاطع بين مستويين ، قد نحتاج إلى إيجاد الزاوية المكونة من تقاطع مستويين. على سبيل المثال ، يحتاج البناة الذين يقومون ببناء منزل إلى معرفة الزاوية التي تلتقي فيها أقسام السقف المختلفة لمعرفة ما إذا كان السقف سيبدو جيدًا ويستنزف بشكل صحيح. يمكننا استخدام المتجهات العادية لحساب الزاوية بين المستويين. يمكننا القيام بذلك لأن الزاوية بين المتجهين العاديين هي نفس الزاوية بين المستويين. يوضح الشكل ( PageIndex {10} ) سبب صحة ذلك.

يمكننا إيجاد قياس الزاوية (θ ) بين مستويين متقاطعين بإيجاد جيب تمام الزاوية أولاً باستخدام المعادلة التالية:

[ cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 |} {‖ vecs {n} _1‖‖ vecs {n} _2‖}. ]

يمكننا بعد ذلك استخدام الزاوية لتحديد ما إذا كان المستويان متوازيان أم متعامدان أم أنهما يتقاطعان في زاوية أخرى.

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد الزاوية بين مستويين

حدد ما إذا كان كل زوج من المستويات متوازيًا أم متعامدًا أم لا. إذا كانت المستويات متقاطعة ولكن ليست متعامدة ، فأوجد قياس الزاوية بينهما. أوجد الإجابة بالتقدير الدائري وقرب لأقرب منزلتين عشريتين.

  1. (س + 2 ص − ض = 8 ) و (2 س + 4 ص − 2 ع = 10 )
  2. (2x − 3y + 2z = 3 ) و (6x + 2y − 3z = 1 )
  3. (س + ص + ض = 4 ) و (س − 3 ص + 5 ع = 1 )

المحلول:

  1. المتجهات العادية لهذه المستويات هي ( vecs {n} _1 = ⟨1،2، −1⟩ ) و ( vecs {n} _2 = ⟨2،4، −2⟩. ) هذان المتجهان هي مضاعفات عددية لبعضها البعض. المتجهات العادية متوازية ، وبالتالي فإن المستويات متوازية.
  2. المتجهات العادية لهذه المستويات هي ( vecs {n} _1 = ⟨2، −3،2⟩ ) و ( vecs {n} _2 = ⟨6،2، −3⟩ ). بأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات ، لدينا [ start {align *} vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 = ⟨2، −3،2⟩⋅⟨6،2، −3⟩ [4pt] = 2 (6) −3 (2) +2 (−3) = 0. end {align *} ] المتجهات العادية متعامدة ، لذا فإن المستويات المقابلة لها متعامدة أيضًا.
  3. المتجهات العادية لهذه الطائرات هي ( vecs n_1 = ⟨1،1،1⟩ ) و ( vecs n_2 = ⟨1، −3،5⟩ ): [ start {align *} cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 |} {‖ vecs {n} _1‖‖ vecs {n} _2‖} [4pt] = dfrac {| ⟨ 1،1،1⟩⋅⟨1، −3،5⟩ |} { sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2} sqrt {1 ^ 2 + (- 3) ^ 2 + 5 ^ 2 }} = dfrac {3} { sqrt {105}} end {align *} ]
    ثم ( theta = arccos { frac {3} { sqrt {105}}} حوالي 1.27 ) راديان.
    وهكذا تكون الزاوية بين المستويين حوالي (1.27 ) راد أو تقريبًا (73 درجة ).

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد قياس الزاوية بين المستويات (x + y − z = 3 ) و (3x − y + 3z = 5. ) أوجد الإجابة بالتقدير الدائري وقم بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

تلميح

استخدم معاملات المتغيرات في كل معادلة لإيجاد متجه عادي لكل مستوى.

إجابه

[1.44 ، text {rad} nonumber ]

عندما نجد أن مستويين متوازيان ، قد نحتاج إلى إيجاد المسافة بينهما. لإيجاد هذه المسافة ، نختار ببساطة نقطة في إحدى المستويات. المسافة من هذه النقطة إلى المستوى الآخر هي المسافة بين المستويين.

قدمنا ​​سابقًا معادلة حساب هذه المسافة في المعادلة المرجع {Distanceplanepoint}:

[d = dfrac { vecd {QP} ⋅ vecs {n}} {‖ vecs {n} ‖}، ]

حيث (Q ) نقطة على المستوى ، (P ) هي نقطة ليست على المستوى ، و ( vec {n} ) هو المتجه العادي الذي يمر عبر النقطة (Q ). ضع في اعتبارك المسافة من النقطة ((x_0، y_0، z_0) ) إلى المستوى (ax + by + cz + k = 0. ) دع ((x_1، y_1، z_1) ) أي نقطة في المستوى . الاستبدال في الصيغة ينتج

[ begin {align *} d = dfrac {| a (x_0 − x_1) + b (y_0 − y_1) + c (z_0 − z_1) |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} [4pt] = dfrac {| ax + 0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}. end {align *} ]

نذكر هذه النتيجة رسميًا في النظرية التالية.

المسافة من نقطة إلى الطائرة

دع (P (x_0، y_0، z_0) ) يكون نقطة. المسافة من (P ) إلى الطائرة (a_x + b_y + c_z + k = 0 ) تعطى بواسطة

[d = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}. ]

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد المسافة بين المستويات المتوازية

أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين المعطاة من خلال (2x + y − z = 2 ) و (2x + y − z = 8. )

المحلول

النقطة ((1،0،0) ) تقع في المستوى الأول. المسافة المطلوبة ، إذن ، هي

[ begin {align *} d = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} [4pt] = dfrac {| 2 (1) +1 (0) + (- 1) (0) + (- 8) |} { sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2 + (- 1) ^ 2}} [4pt] = dfrac {6} { sqrt {6}} = sqrt {6} ، text {Units} end {align *} ]

التمرين ( PageIndex {10} ):

أوجد المسافة بين المستويات المتوازية (5x − 2y + z = 6 ) و (5x − 2y + z = −3 ).

تلميح

اضبط (x = y = 0 ) لإيجاد نقطة على المستوى الأول.

إجابه

[ dfrac {9} { sqrt {30}} = dfrac {3 sqrt {30}} {10} ، text {Units} nonumber ]

المسافة بين خطين منحرفين

إن العثور على المسافة من نقطة إلى خط أو من خط إلى مستوى يبدو إجراءً مجردًا جدًا. ولكن ، إذا كانت الخطوط تمثل أنابيب في مصنع كيميائي أو أنابيب في مصفاة نفط أو طرق عند تقاطع طرق سريعة ، فإن التأكيد على أن المسافة بينها تفي بالمواصفات يمكن أن يكون مهمًا وصعب قياسه. تتمثل إحدى الطرق في نمذجة الأنبوبين كخطوط ، باستخدام التقنيات الواردة في هذا الفصل ، ثم حساب المسافة بينهما. يتضمن الحساب تكوين متجهات على طول اتجاهات الخطوط واستخدام كل من حاصل الضرب التبادلي وحاصل الضرب النقطي.

الأشكال المتماثلة لخطين ، (L_1 ) و (L_2 ) ، هي

[L_1: dfrac {x − x_1} {a_1} = dfrac {y − y_1} {b_1} = dfrac {z − z_1} {c_1} ]

[L_2: dfrac {x − x_2} {a_2} = dfrac {y − y_2} {b_2} = dfrac {z − z_2} {c_2}. ]

يجب عليك تطوير صيغة للمسافة (d ) بين هذين الخطين ، من حيث القيم (a_1 ، b_1 ، c_1 ؛ a_2 ، b_2 ، c_2 ؛ x_1 ، y_1 ، z_1 ؛ ) و (x_2 ، y_2، z_2. ) عادة ما تؤخذ المسافة بين خطين لتعني الحد الأدنى للمسافة ، لذلك هذا هو طول قطعة مستقيمة أو طول المتجه المتعامد مع كلا الخطين ويتقاطع مع كلا الخطين.

1. اكتب أولاً متجهين ، ( vecs {v} _1 ) و ( vecs {v} _2 ) ، يقعان على طول (L_1 ) و (L_2 ) ، على التوالي.

2. ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين وقم بتسميته ( vecs {N} ). هذا المتجه عمودي على ( vecs {v} _1 ) و ( vecs {v} _2 ) ، وبالتالي يكون عموديًا على كلا السطرين.

3. من المتجه ( vecs {N} ) ، قم بتكوين متجه وحدة ( vecs {n} ) في نفس الاتجاه.

4. استخدم المعادلات المتماثلة للعثور على متجه مناسب ( vecs {v} _ {12} ) يقع بين أي نقطتين ، واحدة في كل سطر. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك مباشرة من المعادلات المتماثلة.

5. حاصل الضرب النقطي لمتجهين هو حجم إسقاط أحد المتجهين على الآخر - أي ( vecs A⋅ vecs B = ‖ vecs {A} ‖‖ vecs {B} ‖ cos θ، ) حيث (θ ) هي الزاوية بين المتجهات. باستخدام المنتج النقطي ، ابحث عن إسقاط المتجه ( vecs {v} _ {12} ) الموجود في الخطوة (4 ) على متجه الوحدة ( vecs {n} ) الموجود في الخطوة (3 ). هذا الإسقاط عمودي على كلا الخطين ، ومن ثم يجب أن يكون طوله هو المسافة العمودية d بينهما. لاحظ أن قيمة (d ) قد تكون سالبة ، بناءً على اختيارك للمتجه ( vecs {v} _ {12} ) أو ترتيب حاصل الضرب الاتجاهي ، لذا استخدم علامات القيمة المطلقة حول البسط.

6. تأكد من أن الصيغة تعطي المسافة الصحيحة لـ (| −25 | / sqrt {198} ≈1.78 ) بين السطرين التاليين:

[L_1: dfrac {x − 5} {2} = dfrac {y − 3} {4} = dfrac {z − 1} {3} ]

[L_2: dfrac {x − 6} {3} = dfrac {y − 1} {5} = dfrac {z} {7}. ]

7. هل تعبيرك العام صحيح عندما تكون الخطوط متوازية؟ إذا لم يكن كذلك ، فلماذا؟ (تلميح: ماذا تعرف عن قيمة حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متوازيين؟ أين ستظهر هذه النتيجة في تعبيرك عن (د )؟)

8. وضح أن تعبيرك عن المسافة يساوي صفرًا عندما يتقاطع الخطان. تذكر أن الخطين يتقاطعان إذا لم يكنا متوازيين وكانا في نفس المستوى. ومن ثم ، ضع في اعتبارك اتجاه ( vecs {n} ) و ( vecs {v} _ {12} ). ما هي نتيجة حاصل الضرب النقطي؟

9. النظر في التطبيق التالي. قرر المهندسون في مصفاة أنهم بحاجة إلى تركيب دعامات دعم بين العديد من أنابيب الغاز لتقليل الاهتزازات الضارة. لتقليل التكلفة ، يخططون لتركيب هذه الدعامات في أقرب النقاط بين الأنابيب المنحرفة المجاورة. نظرًا لأن لديهم مخططات تفصيلية للهيكل ، فإنهم قادرون على تحديد الأطوال الصحيحة للدعامات المطلوبة ، وبالتالي تصنيعها وتوزيعها على أطقم التثبيت دون قضاء وقت ثمين في إجراء القياسات.

بنية الإطار المستطيل لها أبعاد (4.0 × 15.0 × 10.0 ، نص {م} ) (الارتفاع والعرض والعمق). يحتوي أحد القطاعات على أنبوب يدخل إلى الزاوية السفلية لوحدة الإطار القياسية ويخرج عند الزاوية المتقابلة تمامًا (الجزء الأبعد في الأعلى) ؛ استدعاء هذا (L_1 ). يدخل الأنبوب الثاني ويخرج عند الزاويتين السفليتين المتعاكستين ؛ استدعاء هذا (L_2 ) (الشكل ( PageIndex {12} )).

اكتب المتجهات على طول الخطوط التي تمثل تلك الأنابيب ، وابحث عن المنتج المتقاطع بينهما الذي يمكن من خلاله إنشاء متجه الوحدة ( vecs n ) ، وحدد متجهًا يمتد على نقطتين على كل سطر ، وأخيراً حدد الحد الأدنى للمسافة بينهما الخطوط. (خذ الأصل ليكون في الركن السفلي من الأنبوب الأول.) وبالمثل ، يمكنك أيضًا تطوير المعادلات المتماثلة لكل سطر واستبدالها مباشرة في الصيغة.

المفاهيم الرئيسية

  • في ثلاثة أبعاد ، يتم وصف اتجاه الخط بواسطة متجه الاتجاه. معادلة المتجه لخط مع متجه الاتجاه ( vecs v = ⟨a، b، c⟩ ) مرورًا بالنقطة (P = (x_0، y_0، z_0) ) هي ( vecs r = vecs r_0 + t vecs v ) ، حيث ( vecs r_0 = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ ) هو متجه موضع النقطة (P ). يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتشكيل المعادلات البارامترية للخط: (x = x_0 + ta ، y = y_0 + tb ) ، و (z = z_0 + tc ). يمكن أيضًا وصف الخط بالمعادلات المتماثلة ( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} ).
  • دع (L ) عبارة عن خط في الفضاء يمر عبر النقطة (P ) مع متجه الاتجاه ( vecs v ). إذا كان (Q ) أي نقطة ليست على (L ) ، فإن المسافة من (Q ) إلى (L ) هي (d = dfrac {‖ vecd {PQ} × vecs v ‖} {‖ vecs v‖}. )
  • في ثلاثة أبعاد ، قد يكون الخطان متوازيين ولكنهما غير متساويين أو متساويين أو متقاطعين أو منحرفين.
  • عند إعطاء نقطة (P ) ومتجه ( vecs n ) ، فإن مجموعة جميع النقاط (Q ) معادلة مرضية ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) تشكل مستوى. تُعرف المعادلة ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) باسم معادلة متجه للطائرة.
  • المعادلة العددية للمستوى الذي يحتوي على النقطة (P = (x_0، y_0، z_0) ) مع المتجه العادي ( vecs n = ⟨a، b، c⟩ ) هي (a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 ). يمكن التعبير عن هذه المعادلة كـ (ax + by + cz + d = 0، ) حيث (d = −ax_0 − by_0 − cz_0. ) يسمى هذا الشكل من المعادلة أحيانًا بالعام شكل معادلة المستوى.
  • افترض أن طائرة ذات متجه عادي (n ) تمر عبر النقطة (Q ). يتم إعطاء المسافة (D ) من الطائرة إلى النقطة (P ) غير الموجودة في المستوى

[D = ‖ text {proj} _ vecs {n} vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} vec {QP} ∣ = dfrac {∣ vec {QP } ⋅ vecs n∣} {‖ vecs n‖.} ]

  • النواقل العادية للمستويات المتوازية متوازية. عندما تتقاطع طائرتان ، فإنهما يشكلان خطًا.
  • يمكن العثور على قياس الزاوية (θ ) بين مستويين متقاطعين باستخدام المعادلة: ( cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs n_2 |} {‖ vecs n_1‖‖ vecs n_2‖} ) ، حيث ( vecs n_1 ) و ( vecs n_2 ) متجهات عادية للطائرات.
  • المسافة (D ) من النقطة ((x_0، y_0، z_0) ) إلى المستوى (ax + by + cz + d = 0 ) تعطى بواسطة

[D = dfrac {| a (x_0 − x_1) + b (y_0 − y_1) + c (z_0 − z_1) |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + d |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} ].

المعادلات الرئيسية

  • معادلة المتجه لخط

( vecs r = vecs r_0 + t vecs v )

  • المعادلات البارامترية لخط

(x = x_0 + ta، y = y_0 + tb، ) و (z = z_0 + tc )

  • المعادلات المتماثلة لخط

( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} )

  • معادلة المتجه لمستوى

( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 )

  • المعادلة العددية للمستوى

(a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 )

  • المسافة بين الطائرة والنقطة

(d = ‖ text {proj} _ vecs {n} vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} vecd {QP} ∣ = dfrac {∣ vecd {QP } ⋅ vecs n∣} {‖ vecs n‖} )

قائمة المصطلحات

ناقل الاتجاه
متجه موازٍ لخط يُستخدم لوصف اتجاه أو اتجاه الخط في الفضاء
الشكل العام لمعادلة المستوى
معادلة بالصيغة (ax + by + cz + d = 0، ) حيث ( vecs n = ⟨a، b، c⟩ ) متجه طبيعي للمستوى (P = (x_0، y_0، z_0) ) هي نقطة على المستوى و (d = −ax_0 − by_0 − cz_0 )
ناقلات الطبيعي
متجه عمودي على مستوى
المعادلات البارامترية للخط
مجموعة المعادلات (x = x_0 + ta، y = y_0 + tb، ) و (z = z_0 + tc ) التي تصف الخط مع متجه الاتجاه (v = ⟨a، b، c⟩ ) تمرير من خلال النقطة ((x_0، y_0، z_0) )
المعادلة العددية للمستوى
المعادلة (a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 ) المستخدمة لوصف مستوى يحتوي على نقطة (P = (x_0، y_0، z_0) ) مع الوضع الطبيعي المتجه (n = ⟨a، b، c⟩ ) أو شكله البديل (ax + by + cz + d = 0 ) ، حيث (d = −ax_0 − by_0 − cz_0 )
خطوط الانحراف
سطرين غير متوازيين لكن لا يتقاطعان
معادلات متماثلة أ خط
المعادلات ( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} ) التي تصف الخط مع متجه الاتجاه (v = ⟨a ، b، c⟩ ) المرور بالنقطة ((x_0، y_0، z_0) )
معادلة الخط المتجه
المعادلة ( vecs r = vecs r_0 + t vecs v ) المستخدمة لوصف خط مع متجه الاتجاه ( vecs v = ⟨a ، b ، c⟩ ) يمر بالنقطة (P = (x_0 ، y_0، z_0) ) ، حيث ( vecs r_0 = ⟨x_0، y_0، z_0⟩ ) ، هو متجه موضع النقطة (P )
معادلة متجه للطائرة
المعادلة ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ، ) حيث (P ) هي نقطة معينة في المستوى ، (Q ) هي أي نقطة في المستوى ، و ( vecs n ) متجه عادي للطائرة

المساهمون والسمات

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


12.5: معادلات الخطوط والمستويات - الرياضيات

ربما تكون الخطوط والمستويات هي أبسط المنحنيات والأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وستثبت أهميتها أيضًا في سعينا لفهم المنحنيات والأسطح الأكثر تعقيدًا.

معادلة الخط ذي البعدين هي $ ax + by = c $ ومن المعقول أن نتوقع أن الخط ثلاثي الأبعاد يُعطى بواسطة $ ax + by + cz = d $ معقول ، لكن خطأ --- اتضح أن هذه هي معادلة المستوى.

ليس للمستوى "اتجاه" واضح كما هو الحال بالنسبة للخط. من الممكن ربط مستوى بالاتجاه بطريقة مفيدة للغاية ، ولكن هناك اتجاهان متعامدان على المستوى بالضبط. أي متجه مع أحد هذين الاتجاهين يسمى عادي الى الطائرة. لذلك ، في حين أن هناك العديد من المتجهات العادية لمستوى معين ، إلا أنها جميعًا موازية أو متضادة مع بعضها البعض.

افترض أن نقطتين $ ds (v_1، v_2، v_3) $ و $ ds (w_1، w_2، w_3) $ في مستوى ثم المتجه $ ds langle w_1-v_1، w_2-v_2، w_3-v_3 rangle $ موازي للمستوى على وجه الخصوص ، إذا تم وضع هذا المتجه مع ذيله عند $ ds (v_1، v_2، v_3) $ فسيكون رأسه عند $ ds (w_1، w_2، w_3) $ ويقع في الطائرة. نتيجة لذلك ، فإن أي متجه عمودي على المستوى يكون عموديًا على $ ds langle w_1-v_1 ، w_2-v_2 ، w_3-v_3 rangle $. في الواقع ، من السهل أن نرى أن الطائرة تتكون من < em بدقة /> تلك النقاط $ ds (w_1، w_2، w_3) $ التي من أجلها $ ds langle w_1-v_1، w_2-v_2، w_3- v_3 rangle $ عمودي على المستوى العادي ، كما هو موضح في الشكل 12.5.1. لقلب هذا ، لنفترض أننا نعلم أن $ langle a، b، c rangle $ أمر طبيعي لمستوى يحتوي على النقطة $ ds (v_1، v_2، v_3) $. ثم يكون $ (x، y، z) $ في المستوى إذا وفقط إذا كان $ langle a، b، c rangle $ متعامدًا مع $ ds langle x-v_1 ، y-v_2 ، z-v_3 rangle $. في المقابل ، نعلم أن هذا صحيح تمامًا عند $ ds langle a، b، c rangle cdot langle x-v_1، y-v_2، z-v_3 rangle = 0 $. وهذا يعني أن $ (x، y، z) $ موجود في المستوى إذا وفقط إذا كان $ eqalign < langle a، b، c rangle cdot langle x-v_1، y-v_2، z-v_3 rangle & = 0 cr a (x-v_1) + b (y-v_2) + c (z-v_3) & = 0 cr ax + by + cz-av_1-bv_2-cv_3 & = 0 cr ax + by + cz & = av_1 + bv_2 + cv_3. cr> $ العمل للخلف ، لاحظ أنه إذا كان $ (x، y، z) $ نقطة ترضي $ ax + by + cz = d $ ثم $ eqalign $ Namely، $ langle a، b، c rangle $ متعامد مع المتجه مع الذيل عند $ (d / a، 0،0) $ و رأس عند $ (x، y، z) $. هذا يعني أن النقاط $ (x، y، z) $ التي تحقق المعادلة $ ax + by + cz = d $ تشكل مستوى عموديًا على $ langle a، b، c rangle $. (هذا لا يعمل إذا كان $ a = 0 $ ، ولكن في هذه الحالة يمكننا استخدام $ b $ أو $ c $ في دور $ a $. أي ، إما $ a (x-0) + b (yd / ب) + c (z-0) = 0 $ أو $ a (x-0) + b (y-0) + c (zd / c) = 0 $.)

vbox < startpicture normalgraphs ninepoint setcoordinates system units setplotarea x من 0 إلى 1.1، y من 0 إلى 1.1 put < hbox < epsfxsize6cm epsfbox>> عند 0 0 endpicture>
الشكل 12.5.1. التين: المستوى المحدد عبر متجهات perp
جا إندورل)>

وبالتالي ، بالنظر إلى المتجه $ langle a ، b ، c rangle $ ، نعلم أن جميع المستويات المتعامدة مع هذا المتجه لها الشكل $ ax + by + cz = d $ ، وأي سطح من هذا الشكل هو مستوى عمودي على $ langle a، b، c rangle $.

مثال 12.5.1 أوجد معادلة للمستوى العمودي على $ langle 1،2،3 rangle $ والذي يحتوي على النقطة $ (5،0،7) $.

باستخدام الاشتقاق أعلاه ، يكون المستوى هو $ 1x + 2y + 3z = 1 cdot5 + 2 cdot0 + 3 cdot7 = 26 $. بالتناوب ، نعلم أن المستوى هو $ x + 2y + 3z = d $ ، ولإيجاد $ d $ يمكننا استبدال النقطة المعروفة على المستوى للحصول على $ 5 + 2 cdot0 + 3 cdot7 = d $ ، لذا $ د = 26 دولار.

مثال 12.5.2 أوجد متجهًا عاديًا للمستوى $ 2x-3y + z = 15 $.

أحد الأمثلة هو $ langle 2، -3،1 rangle $. يعمل أي متجه موازٍ أو مضاد موازٍ لهذا أيضًا ، لذلك على سبيل المثال $ -2 langle 2، -3،1 rangle = langle -4،6، -2 rangle $ هو أيضًا أمر طبيعي بالنسبة للمستوى.

سنحتاج كثيرًا إلى إيجاد معادلة لمستوى في ضوء معلومات معينة عن المستوى. على الرغم من أنه قد تكون هناك أحيانًا طرق أقصر قليلاً للوصول إلى النتيجة المرجوة ، فمن الممكن دائمًا ، وينصح به عادةً ، استخدام المعلومات المقدمة للعثور على المستوى الطبيعي ونقطة على المستوى ، ثم العثور على المعادلة على أنها في الاعلى.

مثال 12.5.3 المستويات $ x-z = 1 $ و $ y + 2z = 3 $ تتقاطع في الخط. أوجد المستوى الثالث الذي يحتوي على هذا الخط ويكون عموديًا على المستوى $ x + y-2z = 1 $.

أولًا ، نلاحظ أن مستويين متعامدين إذا وفقط إذا كان متجهيهما العاديين متعامدين. وبالتالي ، فإننا نسعى إلى المتجه $ langle a، b، c rangle $ المتعامد مع $ langle 1،1، -2 rangle $. بالإضافة إلى ذلك ، بما أن المستوى المطلوب يجب أن يحتوي على خط معين ، يجب أن يكون $ langle a و b و c rangle $ متعامدًا مع أي متجه موازٍ لهذا الخط. نظرًا لأن $ langle a و b و c rangle $ يجب أن يكون عموديًا على متجهين ، فيمكننا إيجاده بحساب حاصل الضرب الاتجاهي لكليهما. إذن نحتاج إلى متجه موازٍ لخط تقاطع المستويات الآتية. لهذا ، يكفي معرفة نقطتين على الخط. لإيجاد نقطتين على هذا الخط ، يجب أن نجد نقطتين في نفس الوقت على المستويين ، $ x-z = 1 $ و $ y + 2z = 3 $. ستلبي أي نقطة على كلا المستويين $ x-z = 1 $ و $ y + 2z = 3 $. من السهل العثور على قيم $ x $ و $ z $ التي تفي بالأول ، مثل $ x = 1 ، z = 0 $ و $ x = 2 ، z = 1 $.ثم يمكننا إيجاد قيم متطابقة لـ $ y $ باستخدام المعادلة الثانية ، وهي $ y = 3 $ و $ y = 1 $ ، لذلك $ (1،3،0) $ و $ (2،1،1) $ كلاهما على خط التقاطع لأن كلاهما على كلا المستويين. الآن $ langle 2-1،1-3،1-0 rangle = langle 1، -2،1 rangle $ موازي للخط. أخيرًا ، قد نختار $ langle a، b، c rangle = langle 1،1، -2 rangle times langle 1، -2،1 rangle = langle -3، -3، -3 مشجر $. في حين أن هذا المتجه يعمل بشكل جيد ، فإن أي متجه موازٍ أو مضاد موازٍ له سيعمل أيضًا ، لذلك على سبيل المثال قد نختار $ langle 1،1،1 rangle $ وهو مضاد موازٍ له.

نحن نعلم الآن أن $ langle 1،1،1 rangle $ عادي بالنسبة للمستوى المطلوب وأن $ (2،1،1) $ نقطة على المستوى. إذن ، معادلة المستوى هي $ x + y + z = 4 $. كتحقق سريع ، نظرًا لأن $ (1،3،0) $ على المحك أيضًا ، يجب أن يكون على المستوى نظرًا لأن $ 1 + 3 + 0 = 4 $ ، نرى أن هذا هو الحال بالفعل.

لاحظ أنه لو استخدمنا $ langle -3 ، -3 ، -3 rangle $ كالمعتاد ، لكنا اكتشفنا المعادلة $ -3x-3y-3z = -12 $ ، ثم ربما لاحظنا أنه يمكننا قسّم كلا الجانبين على $ -3 $ لتحصل على ما يعادل $ x + y + z = 4 $.

إذا فهمنا الآن معادلات المستويات ، فلننتقل إلى الخطوط. لسوء الحظ ، اتضح أنه من غير الملائم تمامًا تمثيل خط نموذجي بمعادلة واحدة نحتاج إلى التعامل مع الأسطر بطريقة مختلفة.

على عكس المستوى ، يكون للخط ذي الأبعاد الثلاثة اتجاه واضح ، أي اتجاه أي متجه موازٍ له. في الواقع ، يمكن تعريف الخط وتحديده بشكل فريد من خلال توفير نقطة واحدة على الخط ومتجه موازٍ للخط (في أحد الاتجاهين المحتملين). أي أن الخط يتكون بالضبط من تلك النقاط التي يمكننا الوصول إليها بالبدء من النقطة والذهاب لبعض المسافة في اتجاه المتجه. دعونا نرى كيف يمكننا ترجمة هذا إلى لغة رياضية أكثر.

افترض أن السطر يحتوي على النقطة $ ds (v_1، v_2، v_3) $ وهو موازٍ للمتجه $ langle a، b، c rangle $. إذا وضعنا المتجه $ ds langle v_1، v_2، v_3 rangle $ مع ذيله في الأصل ورأسه عند $ ds (v_1، v_2، v_3) $ ، وإذا وضعنا المتجه $ langle a ، b، c rangle $ مع ذيله عند $ ds (v_1، v_2، v_3) $ ، ثم رأس $ langle a، b، c rangle $ عند نقطة على الخط. يمكننا الوصول إلى أي أشر على السطر بفعل الشيء نفسه ، باستثناء استخدام $ t langle a ، b ، c rangle $ بدلاً من $ langle a ، b ، c rangle $ ، حيث $ t $ هو عدد حقيقي. نظرًا لطريقة عمل إضافة المتجه ، فإن النقطة الموجودة في رأس المتجه $ t langle a، b، c rangle $ هي النقطة الموجودة في رأس المتجه $ ds langle v_1، v_2، v_3 rangle + t langle a، b، c rangle $ ، وبالتحديد $ ds (v_1 + ta، v_2 + tb، v_3 + tc) $ انظر الشكل 12.5.2.

vbox < startpicture normalgraphs تسع نقاط setcoordinates system units setplotarea x من -3 إلى 7، y من 0 إلى 4.5 سهم [0.35، 1] من 0 0 إلى 2 3 سهم [0.35، 1] من 2 3 إلى 7 4 سهم [0.35، 1] من 0 0 إلى 7 4 ضع <$ (v_1، v_2، v_3) $> [br] في 2 3 ضع <$ langle v_1، v_2، v_3 rangle $> [ r] عند 1 1.5 ضع <$ t langle a، b، c rangle $> [br] عند 4.5 3.5 وضع <$ langle v_1، v_2، v_3 rangle + t langle a، b، c rangle $> [tl] عند 3.5 2 setdash plot -3 2 9.5 4.5 / endpicture>
الشكل 12.5.2. الشكل: خط متجه

بمعنى آخر ، نظرًا لأن $ t $ يمر عبر جميع القيم الحقيقية الممكنة ، فإن المتجه $ ds langle v_1 ، v_2 ، v_3 rangle + t langle a ، b ، c rangle $ يشير إلى كل نقطة على الخط عندما يكون يتم وضع الذيل في الأصل. طريقة أخرى شائعة لكتابة هذا هي كمجموعة من المعادلات البارامترية: $ x = v_1 + ta qquad y = v_2 + tb qquad z = v_3 + tc. $ من المفيد أحيانًا استخدام هذا الشكل من الخط حتى في بعدين شكل متجه لخط في $ x $ - $ y $ plane هو $ ds langle v_1، v_2 rangle + t langle a، b rangle $ وهو نفس $ ds langle v_1، v_2،0 rangle + t langle a، b ، 0 rangle $.

مثال 12.5.4 ابحث عن تعبير متجه للخط المار عبر $ (6،1، -3) $ و $ (2،4،5) $. للحصول على متجه موازٍ للخط ، نطرح $ langle 6،1، -3 rangle- langle2،4،5 rangle = langle 4، -3، -8 rangle $. ثم يتم إعطاء الخط بواسطة $ langle 2،4،5 rangle + t langle 4، -3، -8 rangle $ هناك بالطبع العديد من الاحتمالات الأخرى ، مثل $ langle 6،1، -3 rangle + t langle 4، -3، -8 rangle $.

مثال 12.5.5 حدد ما إذا كانت الخطوط $ langle 1،1،1 rangle + t langle 1،2، -1 rangle $ and $ langle 3،2،1 rangle + t langle -1، - 5،3 rangle $ متوازي أو متقاطع أو لا أحد منهما.

في بعدين ، يتقاطع خطان أو يتوازيان في ثلاثة أبعاد ، وقد لا تكون الخطوط التي لا تتقاطع متوازية. في هذه الحالة ، نظرًا لأن متجهات الاتجاه للخطوط ليست متوازية أو غير متوازية ، فنحن نعلم أن الخطوط ليست متوازية. إذا تقاطعت ، يجب أن تكون هناك قيمتان $ a $ و $ b $ بحيث يكون $ langle 1،1،1 rangle + a langle 1،2، -1 rangle = langle 3،2،1 rangle + b langle -1، -5،3 rangle $ ، أي $ eqalign <1 + a & = 3-b cr 1 + 2a & = 2-5b cr 1-a & = 1 + 3b cr> $ هذا يعطي ثلاث معادلات في مجهولين ، لذلك قد يكون أو لا يكون هناك حل بشكل عام. في هذه الحالة ، من السهل اكتشاف أن $ a = 3 $ و $ b = -1 $ يفي بالمعادلات الثلاثة ، لذلك تتقاطع الخطوط عند النقطة $ (4،7، -2) $.

مثال 12.5.6 أوجد المسافة من النقطة $ (1،2،3) $ إلى المستوى $ 2x-y + 3z = 5 $. المسافة من نقطة $ P $ إلى مستوى هي أقصر مسافة من $ P $ إلى أي نقطة على المستوى ، هذه هي المسافة المقاسة من $ P $ عموديًا على المستوى ، انظر الشكل 12.5.3. هذه المسافة هي الإسقاط القياسي لـ $ ds overrightarrow < vrule height8pt width 0pt QP> $ على متجه عادي $ bf n $ ، حيث $ Q $ هو أي نقطة على المستوى. من السهل العثور على نقطة على متن الطائرة ، لنقل $ (1،0،1) $. وبالتالي فإن المسافة هي $ < langle 0،2،2 rangle cdot langle 2، -1،3 rangle over | langle 2، -1،3 rangle |> = <4 over sqrt < 14 >>. $

vbox < startpicture normalgraphs تسع نقاط setcoordinates system units setplotarea x من -2 إلى 4، y من -3.5 إلى 4.5 ضع <$ P $> [b] في 1 4 ضع <$ bf n $> [ ب] عند -1.5 2 ضع <$ Q $> [t] عند 0 0 multiput <$ bullet $> عند 0 0 1 4 / سهم [0.35، 1] من 0 0 إلى 1 4 سهم [0.35 ، 1] من 0 0 إلى -1.5 2 setdash setlinear plot -2 0 4 4.5 3.5 0.5 -2.5 -3.5 -2 0 / endpicture>
الشكل 12.5.3. التين: أشر إلى الطائرة

مثال 12.5.7 أوجد المسافة من النقطة $ (- 1،2،1) $ إلى السطر $ langle 1،1،1 rangle + t langle 2،3، -1 rangle $. مرة أخرى ، نريد قياس المسافة بشكل عمودي على الخط ، كما هو موضح في الشكل 12.5.4. المسافة المطلوبة هي $ | overrightarrow < vrule height8pt width 0pt QP> | sin theta = <| overrightarrow < vrule height8pt width 0pt QP> timesأ| أكثر |أ|>، $ حيث $ bf A $ هو أي متجه موازٍ للخط. من معادلة الخط ، يمكننا استخدام $ Q = (1،1،1) $ و $أ= langle 2،3، -1 rangle $ ، وبالتالي فإن المسافة هي $ <| langle -2،1،0 rangle times langle2،3، -1 rangle | over sqrt <14>> = <| langle-1، -2، -8 rangle | over sqrt <14>> = < sqrt <69> over sqrt <14>>. $

vbox < beginpicture normalgraphs تسع نقاط setcoordinates system units setplotarea x من -3 إلى 4، y من -1.5 إلى 4 وضع <$ P $> [b] عند 2 4 وضع <$ theta $> [b ] عند -0.5 -0.25 ضع <$ Q $> [t] عند -1 -0.5 ضع <$ bf A $> [t] عند 1 0.5 put <$ | overrightarrow < vrule height8pt width 0pt QP > | sin theta $> [bl] عند 2.6 2.8 multiput <$ bullet $> عند -1 -0.5 2 4 / سهم [0.35 ، 1] من -1 -0.5 إلى 1 0.5 سهم [0.35 ، 1] من -1 -0.5 إلى 2 4 setdash setlinear plot -3 -1.5 4 2 / plot 2 4 3.2 1.6 / endpicture>
الشكل 12.5.4. التين: أشر إلى الخط


الخطوط والمستويات والمتجهات

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ في هذا البرنامج التعليمي ، سنستخدم طرق المتجهات لتمثيل الخطوط والطائرات في 3 مسافات.

ناقل النزوح

متجه الإزاحة $ vecb$ بالنقطة الأولية $ (x_ <1> ، y_ <1> ، z_ <1>) $ والنقطة الطرفية $ (x_ <2> ، y_ <2> ، z_ <2>) $ هو $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>، y_ <2> -y_ <1>، z_ <2> -z_ <1>). $

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ ضع في اعتبارك متجه الإزاحة $ vecb$ بالنقطة المبدئية $ (x_ <1>، y_ <1>، z_ <1>) $ والنقطة الطرفية $ (x_ <2>، y_ <2>، z_ <2>) $.

هذا هو ، إذا كان المتجه $ vecbتم وضع $ مع نقطته الأولية عند الأصل ، ثم ستكون نقطته النهائية عند $ (x_ <2> -x_ <1> ، y_ <2> -y_ <1> ، z_ <2> -z_ <1>) $.

مثال

المتجه $ vecb$ بالنقطة الأولية $ (- 1،4،5) $ والنقطة الأخيرة $ (4، -3،2) $ هو $ vecb = يسار (4 - (- 1) ، - 3-4،2-5 يمين) = (5 ، -7 ، -3). $

المعادلات البارامترية لخط في 3 مسافات

الخط المار بالنقطة $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ وموازٍ للمتجه غير الصفري $ vecb = (أ ، ب ، ج) $ لديه معادلات حدودية تبدأ x & amp = & amp x_ <0> + at y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. نهاية

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ ضع في اعتبارك الخط المار بالنقطة $ (x_ <0> ، y_ <0> ، z_ <0>) $ وموازٍ للصفر ناقلات $ vecb

(أ ، ب ، ج) $. النقطة $ (x، y، z) $ على السطر إذا وفقط إذا كان متجه الإزاحة بالنقطة الأولية $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ والنقطة الأخيرة $ (x، y، z) $ موازي لـ $ vecb$. وهذا يعني أن $ (x-x_ <0>، y-y_ <0>، z-z_ <0>) $ يجب أن يكون مضاعفًا قياسيًا لـ $ vecb$: $ (x-x_ <0>، y-y_ <0>، z-z_ <0>) = t (a، b، c). $ Componentwise، begin x & # 8211 x_ <0> & amp = & amp at y & # 8211 y_ <0> & amp = & amp bt z & # 8211 z_ <0> & amp = & amp ct. نهاية وبالتالي ، نحصل على المعادلات البارامترية ابدأ x & amp = & amp x_ <0> + at y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. نهاية

مثال

الخط المار بـ $ (2، -1،3) $ وموازٍ للمتجه $ vecb= (3، -7،4) $ به معادلات حدودية تبدأ x & amp = & amp 2 + 3t y & amp = & amp -1-7t z & amp = & amp 3 + 4t. نهاية لاحظ أنه عندما يكون $ t = 0 $ ، نكون عند النقطة $ (2، -1،3) $. نظرًا لأن $ t $ يزيد أو ينقص من 0 ، فإننا نبتعد عن هذه النقطة بالتوازي مع الاتجاه المشار إليه بـ $ (3، -7،4) $.

إذا كنت تعرف نقطتين $ p_ <1> = (x_ <1> ، y_ <1> ، z_ <1>) $ و $ p_ <2> = (x_ <2>، y_ <2>، z_ <2> ) $ عندما يمر خط ما ، يمكنك إيجاد معلمة لـ lilne. أولاً ، أوجد متجه الإزاحة $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>، y_ <2> -y_ <1>، z_ <2> -z_ <1>) $. ثم اكتب المعادلات البارامترية للخط من خلال $ p_ <1> $ أو $ p_ <2> $ وبالتوازي مع $ vecb$.

معادلة مستوى في 3 مسافات

معادلة المستوى الذي يحتوي على النقطة $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ مع المتجه العادي $ vecb = (a، b، c) $ هو $ a (x-x_ <0>) + b (y-y_ <0>) + c (z-z_ <0>) = 0. $

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ ضع في اعتبارك المستوى الذي يحتوي على النقطة $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ مع المتجه العادي $ vecb = (أ ، ب ، ج) دولار. النقطة $ (x، y، z) $ موجودة في المستوى إذا وفقط إذا كان متجه الإزاحة بالنقطة الأولية $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ والنقطة الأخيرة $ (x، y، z) $ عمودي على $ vecb$. هذا هو،

أذكر أن النواقل $ vecb$ و $ vecb$ عمودي فقط إذا كان $ vecb cdot vecb = 0.$

وبالتالي ، فإن الرسم البياني للمعادلة $ ax + by + cz = d $ هو مستوى متجه عادي $ (a، b، c) $.

مثال

معادلة المستوى التي تحتوي على $ (2،4، -1) $ وعادية للمتجه $ vecb = (3،5، -2) $ هو 3 دولارات (x-2) +5 (y-4) -2 (z - (- 1)) = 0. التبسيط $ 3x + 5y-2z = 28. مع القليل من العمل الإضافي ، يمكننا استخدام هذا الإجراء لإيجاد معادلة المستوى المحدد بأي من النقاط. أولاً ، احسب متجهات الإزاحة $ vecb$ و $ vecb$ بين زوجين من هذه النقاط. ثم $ vecb = vecb مرات vecb$ في الوضع الطبيعي للطائرة. الآن ، استخدم إحدى النقاط والمتجه $ vecb = vecb مرات vecb$ للحصول على معادلة المستوى.

المفاهيم الرئيسية

متجه الإزاحة $ vecb$ بالنقطة الأولية $ (x_ <1> ، y_ <1> ، z_ <1>) $ والنقطة الطرفية $ (x_ <2> ، y_ <2> ، z_ <2>) $ هو $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>، y_ <2> -y_ <1>، z_ <2> -z_ <1>) $.

يشير السطر إلى $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ وموازٍ للمتجه غير الصفري $ vecb = (أ ، ب ، ج) $ لديه معادلات حدودية تبدأ x & amp = & amp x_ <0> + at y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. نهاية

معادلة المستوى الذي يحتوي على النقطة $ (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) $ مع المتجه العادي $ vecb = (a، b، c) $ هو $ a (x-x_ <0>) + b (y-y_ <0>) + c (z-z_ <0>) = 0. $


يتم تحديد المستوى في مساحة إحداثيات ثلاثية الأبعاد بنقطة والمتجه المتعامد مع المستوى. دع P 0 = (x 0، y 0، z 0) P_ <0> = (x_ <0>، y_ <0>، z_ <0>) P 0 = (x 0، y 0، z 0 ) تكون النقطة المعطاة ، و n → overrightarrow ن

= (س - س 0 ، ص - ص 0 ، ض - ع 0) ⋅ (أ ، ب ، ج) = أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + ج (ع) - ض 0) = 0.

يمكننا أيضًا كتابة معادلة المستوى أعلاه

هناك طريقة أخرى للتفكير في معادلة المستوى وهي أن تكون متوازيًا مسطحًا. خط متوازي مسطح يتكون من ثلاثة نواقل a ⃗ = ⟨x 1، y 1، z 1⟩، b ⃗ = ⟨x 2، y 2، z 2⟩، c ⃗ = ⟨x 3، y 3، z 3⟩ vec = left langle x_ <1> ، y_ <1> ، z_1 right rangle ، ​​vec = يسار langle x_2 ، y_2 ، z_2 يمين rangle ، ​​vec = يسار langle x_3 ، y_3 ، z_3 يمين rangle أ

= ⟨x 3 ، y 3 ، z 3 ، حجمها 0. يمكننا استخدام المنتج الثلاثي القياسي لحساب هذا الحجم:

) يعطي المتجه الطبيعي للمستوى.

لنفترض أن نقاط النهاية لـ (b ⃗ × c ⃗) big ( vec مرات vec كبير) (ب


12.5: معادلات الخطوط والمستويات - الرياضيات

نعلم جميعًا المعادلة الشائعة جدًا للخط المستقيم ص = م. X + جوهو خط مستقيم في المستوى. لكننا سنناقش هنا معادلة الخط المستقيم في فضاء ثلاثي الأبعاد. أ على التوالي. مستقيم يتميز الخط بشكل فريد إذا كان يمر عبر النقطتين الفريدين أو يمر عبر نقطة فريدة في اتجاه محدد. في الهندسة ثلاثية الأبعاد ، عادةً ما يتم تمثيل الخطوط (الخطوط المستقيمة) في الشكلين الديكارتيين والشكل المتجه. سنناقش هنا الشكل المكون من نقطتين لخط مستقيم ثلاثي الأبعاد باستخدام كل من الشكل الديكارتي وكذلك الشكل المتجه.

معادلة الخط المستقيم بالصيغة الديكارتية

لكتابة معادلة الخط المستقيم بالصيغة الديكارتية ، نطلب إحداثيات نقطتين على الأقل يمر من خلالها الخط المستقيم. دع & # 8217s يقول (x1، ذ1، ض1) و (x2، ذ2، ض2) هي إحداثيات موقع النقطتين الثابتتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يمر من خلاله الخط.

  • الخطوة 1: أوجد DR & # 8217s (نسب الاتجاه) عن طريق أخذ فرق إحداثيات الموقع المقابلة للنقطتين المحددتين. ل = (س2 & # 8211 س1), م = (ص2 & # 8211 ذ1), ن = (ض2 & # 8211 ض1) هنا ل ، م ، ن هي DR & # 8217s.
  • الخطوة 2: اختر أيًا من النقطتين المعطاة ، على سبيل المثال ، اخترنا (x1، ذ1، ض1).
  • الخطوه 3: اكتب المعادلة المطلوبة للخط المستقيم المار بالنقاط (x1، ذ1، ض1) و (x2، ذ2، ض2). L: (x & # 8211 x1) / l = (y & # 8211 y1) / م = (ض & # 8211 ض1)/ن

أين (س ، ص ، ض) هي إحداثيات الموقع لأي نقطة متغيرة تقع على الخط المستقيم.

مثال 1: إذا كان خط مستقيم يمر عبر نقطتين ثابتتين في الأبعاد الثلاثة وإحداثيات موقعهما هي P (2 ، 3 ، 5) و Q (4 ، 6 ، 12) ، فإن معادلته الديكارتية باستخدام الصيغة المكونة من نقطتين اعطي من قبل

ل = (4 & # 8211 2) ، م = (6 & # 8211 3) ، ن = (12 & # 8211 5)

ل = 2 ، م = 3 ، ن = 7

اختيار النقطة ف (2 ، 3 ، 5)

معادلة الخط المطلوبة

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y & # 8211 3) / 3 = (z & # 8211 5) / 7

مثال 2: إذا كان خط مستقيم يمر عبر نقطتين ثابتتين في الأبعاد الثلاثة وإحداثيات موضعهما هي A (2 ، -1 ، 3) و B (4 ، 2 ، 1) فإن معادلته الديكارتية باستخدام النقطتين شكل من قبل

ل = (4 & # 8211 2) ، م = (2 & # 8211 (-1)) ، ن = (1 & # 8211 3)

ل = 2 ، م = 3 ، ن = -2

اختيار النقطة أ (2 ، -1 ، 3)

معادلة الخط المطلوبة

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z & # 8211 3) / -2 أو

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 & # 8211 z) / 2

المثال 3: إذا كان الخط المستقيم يمر عبر نقطتين ثابتتين في الأبعاد الثلاثة وإحداثيات موضعهما هي X (2 ، 3 ، 4) و Y (5 ، 3 ، 10) ، فإن معادلته الديكارتية باستخدام الصيغة المكونة من نقطتين تُعطى بواسطة

ل = (5 & # 8211 2) ، م = (3 & # 8211 3) ، ن = (10 & # 8211 4)

ل = 3 ، م = 0 ، ن = 6

اختيار النقطة X (2، 3، 4)

معادلة الخط المطلوبة

L: (x & # 8211 2) / 3 = (y & # 8211 3) / 0 = (z & # 8211 4) / 6 أو

L: (x & # 8211 2) / 1 = (y & # 8211 3) / 0 = (z & # 8211 4) / 2

معادلة الخط المستقيم بـ شكل متجه

لكتابة معادلة خط مستقيم في صيغة المتجه ، نطلب متجهات الموضع بحد أدنى نقطتين يمر من خلالها الخط المستقيم. دع & # 8217s يقول و هي متجهات الموقع للنقطتين الثابتتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يمر من خلاله الخط.

  • الخطوة 1: أوجد متجهًا يوازي الخط المستقيم بطرح متجهي الموضع المقابل للنقطتين المعطاة. = () هنا هو المتجه الموازي للخط المستقيم.
  • الخطوة 2: اختر متجه الموضع لأي من النقطتين المحددتين نقول إننا نختار .
  • الخطوه 3: اكتب المعادلة المطلوبة للخط المستقيم المار بالنقاط التي تكون متجهات مواضعها و . L: = + ر. أو = + ر. ()

أين هو متجه الموضع لأي نقطة متغيرة تقع على الخط المستقيم و ر هي المعلمة التي تُستخدم قيمتها لتحديد موقع أي نقطة على الخط بشكل فريد.

مثال 1: إذا كان الخط المستقيم يمر عبر النقطتين الثابتتين في الأبعاد الثلاثة التي تكون متجهات موضعها (2 i + 3 j + 5 k) و (4 i + 6 j + 12 k) فإن معادلة Vector لها باستخدام النقطتين شكل من قبل

= (4 أنا + 6 ي + 12 ك) – (2 أنا + 3 ي + 5 ك)



= (2 أنا + 3 ي + 7 ك) هنا هو متجه مواز للخط المستقيم

اختيار متجه الموقع (2 أنا + 3 ي + 5 ك)

المعادلة المطلوبة للخط المستقيم

L: = (2 أنا + 3 ي + 5 ك) + ر . (2 أنا + 3 ي + 7 ك)

مثال 2: إذا كان خط مستقيم يمر عبر نقطتين ثابتتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي تكون إحداثيات موضعه (3 ، 4 ، -7) و (1 ، -1 ، 6) ، فإن معادلة المتجه باستخدام النقطتين شكل من قبل

ستكون متجهات الموقع للنقاط المعينة (3 i + 4 j & # 8211 7 k) و (i & # 8211 j + 6 k)

= (3 i + 4 j & # 8211 7 k) & # 8211 (i & # 8211 j + 6 k)

= (2 i + 5 j & # 8211 13 k) هنا هو متجه مواز للخط المستقيم

اختيار متجه الموقع (i & # 8211 j + 6 k)



معادلة الخط المستقيم المطلوبة

L: = (i & # 8211 j + 6 k) + ر . (2 ط + 5 ي & # 8211 13 ك)

المثال 3: إذا كان الخط المستقيم يمر عبر النقطتين الثابتتين في الأبعاد الثلاثة التي تكون متجهات موضعها (5 i + 3 j + 7 k) و (2 i + j & # 8211 3 k) ، فإن معادلة المتجه باستخدام اثنين- يتم إعطاء شكل نقطة بواسطة

= (5 i + 3 j + 7 k) & # 8211 (2 i + j & # 8211 3 k)

= (3 i + 2 j + 10 k) هنا هو متجه مواز للخط المستقيم

اختيار متجه الموقع (2 i + j & # 8211 3 k)

معادلة الخط المستقيم المطلوبة

L: = (2 أنا + ي & # 8211 3 ك) + ر . (2 ط + 3 ج + 7 ك)


تمارين 14.5

مثال 14.5.1 ابحث عن معادلة المستوى الذي يحتوي على $ (6،2،1) $ وعمودي على $ langle 1،1،1 rangle $. (إجابه)

مثال 14.5.2 ابحث عن معادلة المستوى الذي يحتوي على $ (- 1،2، -3) $ وعمودي على $ langle 4،5، -1 rangle $. (إجابه)

مثال 14.5.3 ابحث عن معادلة المستوى التي تحتوي على $ (1،2 ، -3) $ ، $ (0،1 ، -2) $ و $ (1،2 ، -2) $. (إجابه)

مثال 14.5.4 ابحث عن معادلة المستوى التي تحتوي على $ (1،0،0) $ و $ (4،2،0) $ و $ (3،2،1) $. (إجابه)

مثال 14.5.5 ابحث عن معادلة المستوى التي تحتوي على $ (1،0،0) $ والخط $ langle 1،0،2 rangle + t langle 3،2،1 rangle $. (إجابه)

مثال 14.5.6 أوجد معادلة المستوى الذي يحتوي على خط التقاطع $ x + y + z = 1 $ و $ x-y + 2z = 2 $ ، وعمودي على المستوى $ x $ - $ y $. (إجابه)

مثال 14.5.7 ابحث عن معادلة الخط من خلال $ (1،0،3) $ و $ (1،2،4) $. (إجابه)

مثال 14.5.8 أوجد معادلة الخط المار خلال $ (1،0،3) $ وعمودي على المستوى $ x + 2y-z = 1 $. (إجابه)

مثال 14.5.9 أوجد معادلة الخط المار بالمبدأ والعمودي على المستوى $ x + y-z = 2 $. (إجابه)

مثال 14.5.10 ابحث عن $ a $ و $ c $ بحيث يكون $ (a، 1، c) $ على السطر عبر $ (0،2،3) $ و $ (2،7،5) $. (إجابه)

مثال 14.5.11 اشرح كيفية اكتشاف الحل في المثال 14.5.5.

مثال 14.5.12 حدد ما إذا كانت الخطوط $ langle 1،3، -1 rangle + t langle 1،1،0 rangle $ و $ langle 0،0،0 rangle + t langle 1،4،5 rangle $ متوازية أو متقاطعة أو لا. (إجابه)

مثال 14.5.13 حدد ما إذا كانت الخطوط $ langle 1،0،2 rangle + t langle -1، -1،2 rangle $ و $ langle 4،4،2 rangle + t langle 2،2، -4 rangle $ متوازي أو متقاطع أو أي منهما. (إجابه)

مثال 14.5.14 حدد ما إذا كانت الخطوط $ langle 1،2 ، -1 rangle + t langle 1،2،3 rangle $ و $ langle 1،0،1 rangle + t langle 2 / 3،2،4 / 3 rangle $ متوازي أو متقاطع أو لا أحد منهما. (إجابه)

مثال 14.5.15 حدد ما إذا كانت الخطوط $ langle 1،1،2 rangle + t langle 1،2، -3 rangle $ و $ langle 2،3، -1 rangle + t langle 2،4، -6 rangle $ متوازي أو متقاطع أو أي منهما. (إجابه)

مثال 14.5.16 ابحث عن متجه عادي للوحدة لكل من مستويات الإحداثيات.

مثال 14.5.17 أظهر أن $ langle 2،1،3 rangle + t langle 1،1،2 rangle $ and $ langle 3، 2، 5 rangle + s langle 2، 2، 4 rangle $ متماثل خط.

مثال 14.5.18 قدم وصفًا نثريًا لكل من العمليات التالية:

أ. إذا كانت هناك نقطتان متميزتان ، فأوجد الخط الذي يمر بهما.

ب. بالنظر إلى ثلاث نقاط (ليست كلها على نفس الخط) ، أوجد المستوى الذي يمر عبرها. لماذا نحتاج إلى التحذير بأن ليست كل النقاط على نفس الخط؟

ج. إذا أعطيت خطًا ونقطة ليستا على الخط ، فابحث عن المستوى الذي يحتوي على كليهما.

د. إذا كان المستوى ونقطة ليست على المستوى ، فأوجد الخط المستقيم العمودي على المستوى المار بالنقطة المحددة.

مثال 14.5.19 أوجد المسافة من $ (2،2،2) $ إلى $ x + y + z = -1 $. (إجابه)

مثال 14.5.20 أوجد المسافة من $ (2، -1، -1) $ إلى $ 2x-3y + z = 2 $. (إجابه)

المثال 14.5.21 أوجد المسافة من $ (2، -1،1) $ إلى $ langle 2،2،0 rangle + t langle 1،2،3 rangle $. (إجابه)

المثال 14.5.22 أوجد المسافة من $ (1،0،1) $ إلى $ langle 3،2،1 rangle + t langle 2، -1، -2 rangle $. (إجابه)

المثال 14.5.23 أوجد جيب تمام الزاوية بين المستويين $ x + y + z = 2 $ و $ x + 2y + 3z = 8 $. (إجابه)

مثال 14.5.24 أوجد جيب تمام الزاوية بين المستويين $ x-y + 2z = 2 $ و $ 3x-2y + z = 5 $. (إجابه)


12.5: معادلات الخطوط والمستويات - الرياضيات

2. اكتب معادلة الخط المار بالنقطة ( يسار (<- 7،2،4> يمين) ) وبالتوازي مع الخط المعطى بواسطة (x = 5-8t ) ، (y = 6 + t ) ، (z = - 12t ) في شكل متجه ، شكل حدودي وشكل متماثل.

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

حسنًا ، بصرف النظر عن شكل المعادلة ، نعلم أننا نحتاج إلى نقطة على الخط ومتجه موازٍ للخط المستقيم.

لقد تم إعطاؤنا نقطة على الخط ، لذلك لا داعي للقلق بشأن هذه المشكلة.

من السهل جدًا الحصول على المتجه المتوازي أيضًا حيث قيل لنا أن الخط الجديد يجب أن يكون موازيًا للخط المعطى. نعلم أيضًا أن معاملات (t ) في معادلة الخط تشكل متجهًا موازٍ للخط.

[ vec v = left langle <- 8،1، - 12> right rangle ]

هو متجه موازٍ للخط المعطى.

الآن ، إذا كان ( vec v ) موازيًا للخط المحدد ويجب أن يكون الخط الجديد موازيًا للخط المحدد ، فيجب أيضًا أن يكون ( vec v ) موازيًا للخط الجديد.

شكل المتجه للخط هو ،

[يتطلب bbox [2pt، border: 1 بكسل أسود خالص] << vec r left (t right) = left langle <- 7،2،4> right rangle + t left langle <- 8 ، 1، - 12> right rangle = left langle <- 7-8t، 2 + t، 4-12t> right rangle >> ] أظهر الخطوة 3

الشكل البارامترى للخط هو ،

[يتطلب bbox [2pt، border: 1px أسود خالص] <y = 2 + t hspace <0.5in> z = 4-12t >> ] اعرض الخطوة 4

للحصول على الشكل المتماثل ، كل ما علينا فعله هو حل كل من المعادلات البارامترية لـ (t ) ثم جعلها متساوية مع بعضها البعض. القيام بهذا يعطي ،


12.5: معادلات الخطوط والمستويات - الرياضيات

8. أوجد خط تقاطع المستوى المعطى من خلال (3x + 6y - 5z = - 3 ) والمستوى المعطى من خلال (- 2x + 7y - z = 24 ).

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

حسنًا ، نعلم أننا نحتاج إلى نقطة ومتجه موازٍ للخط من أجل كتابة معادلة الخط المستقيم. في هذه الحالة لم يتم تسليم أي منهما إلينا.

أولاً ، دعنا نلاحظ أن أي نقطة على خط التقاطع يجب أن تكون أيضًا في كلا المستويين ومن السهل جدًا العثور على مثل هذه النقطة. أيا كان خط تقاطعنا ، يجب أن يتقاطع مع مستوى واحد على الأقل من مستويات الإحداثيات. ليس من الضروري أن يتقاطع مع كل مستويات الإحداثيات الثلاثة ولكن يجب أن يتقاطع مع مستوى واحد على الأقل.

لذلك ، دعونا نرى ما إذا كان يتقاطع مع المستوى (xy ) -. نظرًا لأن النقطة الموجودة على خط التقاطع يجب أن تكون أيضًا في كلا المستويين ، فلنقم بتعيين (z = 0 ) (لذلك سنكون في (xy ) - المستوى!) في كل من معادلتَي مستويين.

[يبدأ3x + 6y & = - 3 - 2x + 7y & = 24 end] إظهار الخطوة 2

يعد هذا نظامًا بسيطًا لحل هذه المشكلة ، لذا سنترك الأمر لك للتحقق من أن الحل ،

حقيقة أننا تمكنا من إيجاد حل للنظام من الخطوة 1 تعني أن خط التقاطع يتقاطع في الواقع مع المستوى (xy ) - وهو يفعل ذلك عند النقطة ( اليسار (<- 5 ، 2،0> يمين) ). هذه أيضًا نقطة على خط التقاطع.

لاحظ أنه إذا لم يكن لدى النظام من الخطوة 1 حل ، فلن يتقاطع خط التقاطع مع المستوى (xy ) - وسنحتاج إلى تجربة أحد مستويات الإحداثيات المتبقية.

حسنًا ، نحتاج الآن إلى متجه يوازي خط التقاطع. قد يكون من الصعب تخيل هذا بعض الشيء ، ولكن إذا فكرت في الأمر ، يجب أن يكون خط التقاطع متعامدًا مع كلا المتجهين العاديين من المستويين. وهذا بدوره يعني أن أي متجه متعامد مع المتجهين العاديين يجب أن يكون موازيًا لخط التقاطع.

من الجيد أننا نعلم أن حاصل الضرب الاتجاهي لأي متجهين سيكون متعامدًا مع كل من المتجهين. إذن ، ها هما المتجهان العاديان للمستويات وحاصل الضرب التبادلي لهما.

لاحظ أننا استخدمنا "الحيلة" التي تمت مناقشتها في الملاحظات لحساب حاصل الضرب التبادلي هنا.

إذن ، لدينا الآن معلومات كافية لكتابة معادلة خط التقاطع بين المستويين. المعادلة هي

[يتطلب bbox [2pt، border: 1 بكسل أسود خالص] << vec r left (t right) = left langle <- 5،2،0> right rangle + t left langle <29،13 ، 33> يمين rangle = يسار langle <- 5 + 29t، 2 + 13t، 33t> right rangle >> ]


قراءات ذات صلة

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


إيجاد معادلة مستوية باستخدام المعادلة البارامترية

لنفترض أن $ P (4، -2،6) $ والخط $ AB $: $ X_ ell = A + t ، (BA) = (3،0،5) + t ، (- 2،1،2 ) $ ، فإن معادلة المستوى ستكون $ n cdot (XA) = 0 $ حيث $ n = [(PA) times (BA)] $ و $ X = (x، y، z) $ نقطة عشوائية على الطائرة.
نظرًا لأن المنتج المختلط يتوافق مع المحدد ، فلدينا $ left | يبدأ x-3 & ampy & ampz-5 4-3 & amp-2-0 & amp6-5 -2 & amp1 & amp2 النهاية right | = 0 $ -5 x - 4 y - 3 z + 30 = 0 $ يمكننا الآن اختبار أن $ P $ وكل السطر $ AB $ يكمن في المستوى: نتائج WA للنقطة والخط بالرغم من ليس هناك حاجة.

نحصل على نقطة واحدة في المستوى $ (4، -2،6) $. يمكن الحصول على نقطتين أخريين بأخذ المعلمة $ t = 0 $ و $ t = 1 $ على السطر: $ (3،0،5) $ and $ (1،1،7) $. ثلاث نقاط غير متداخلة تحدد المستوى. تتمثل إحدى طرق العثور عليه في أخذ حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين مختلفين: الطائرة. هل يمكنك أخذه من هنا؟

المعادلة العامة للطائرة هي $ pi: ax + by + cz + d = 0 $. هذه الطائرة العامة $ pi $ موازية للمستوى $ W_ < pi>: ax + by + cz = 0 $.

يمكنك كتابة $ W _ < pi> $ كـ $ Span <(1، -2، 1)، (-2، 1، 2) > $ حيث $ (1، -2، 1) $ هو المتجه $ vec$ ، حيث $ P (4 ، -2 ، 6) $ هي النقطة المحددة و $ Q (3 ، 0 ، 5) $ هي نقطة في السطر المحدد (تم الحصول عليها بأخذ $ t = 0 $) ، و $ ( -2،1،2) $ هو اتجاه الخط المستقيم.

$ تبدأ x = t - 2s y = -2t + s z = t + 2s end $

بعد بعض الخطوات ستجد المعادلة الديكارتية $ 5x + 4y + 3z = 0 $ ، والتي تتوافق مع $ ax + by + cz = 0 $. لإيجاد $ d $ ، قمنا بحل $ 5x + 4y + 3z + d = 0 $ مع استبدال $ x $ و $ y $ و $ z $ بإحداثيات $ P $. بهذه الطريقة يمكنك إيجاد المعادلة $ 5x + 4y + 3z -30 = 0 $ للمستوى $ pi $ ، موازية لـ $ W _ < pi> $ وتحتوي على النقطة $ P $.


شاهد الفيديو: معادلة المستقيم. رياضيات. التحصيلي علمي. 1441-1442 (شهر نوفمبر 2021).