مقالات

12.4: حاصل الضرب المتقاطع


أهداف التعلم

  • احسب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطينين.
  • استخدم المحددات لحساب حاصل الضرب الاتجاهي.
  • أوجد متجهًا متعامدًا لاثنين من المتجهات المعطاة.
  • تحديد المساحات والأحجام باستخدام الضرب التبادلي.
  • احسب عزم الدوران لقوة معينة ومتجه الموقع.

تخيل ميكانيكيًا يدير مفتاح ربط لإحكام ربط البرغي. يقوم الميكانيكي بتطبيق قوة في نهاية مفتاح الربط. هذا يخلق الدوران ، أو عزم الدوران ، الذي يشد البرغي. يمكننا استخدام المتجهات لتمثيل القوة المطبقة بواسطة الميكانيكي ، والمسافة (نصف القطر) من البرغي إلى نهاية مفتاح الربط. بعد ذلك ، يمكننا تمثيل عزم الدوران بواسطة متجه موجه على طول محور الدوران. لاحظ أن متجه عزم الدوران متعامد مع كل من متجه القوة ومتجه نصف القطر.

في هذا القسم ، نقوم بتطوير عملية تسمى المنتوج الوسيط، مما يسمح لنا بإيجاد متجه متعامد لاثنين من المتجهات المعطاة. يعد حساب عزم الدوران أحد التطبيقات المهمة للمنتجات المتقاطعة ، ونقوم بفحص عزم الدوران بمزيد من التفاصيل لاحقًا في القسم.

المنتج المتقاطع وخصائصه

حاصل الضرب النقطي هو مضاعفة متجهين ينتج عنه رقم قياسي. في هذا القسم ، نقدم منتجًا من متجهين يولد متجهًا ثالثًا متعامدًا مع الأولين. ضع في اعتبارك كيف يمكن أن نجد مثل هذا المتجه. لنفترض أن ( vecs u = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs v = ⟨v_1، v_2، v_3⟩ ) متجهات غير صفرية. نريد العثور على متجه ( vecs w = ⟨w_1، w_2، w_3⟩ ) متعامد لكل من ( vecs u ) و ( vecs v ) - أي أننا نريد إيجاد ( vecs w ) بحيث ( vecs u ⋅ vecs w = 0 ) و ( vecs v⋅ vecs w = 0 ). لذلك ، يجب أن يفي (w_1 ) ، (w_2 ، ) و (w_3 )

[u_1w_1 + u_2w_2 + u_3w_3 = 0 label {eq1} ]

[v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3 = 0. التسمية {eq2} ]

إذا ضربنا المعادلة العليا في (v_3 ) والمعادلة السفلية بـ (u_3 ) وطرحنا ، يمكننا حذف المتغير (w_3 ) ، والذي يعطي

[(u_1v_3 − v_1u_3) w_1 + (u_2v_3 − v_2u_3) w_2 = 0. لا يوجد رقم]

إذا اخترنا

[ start {align *} w_1 & = u_2v_3 − u_3v_2 [4pt] w_2 & = - (u_1v_3 − u_3v_1) ، end {align *} ]

نحصل على ناقل حل ممكن. استبدال هذه القيم مرة أخرى في المعادلات الأصلية (المعادلات المرجع {eq1} و المرجع {eq2}) يعطي

[w_3 = u_1v_2 − u_2v_1. لا يوجد رقم]

هذا هو ناقل

[ vecs w = ⟨u_2v_3 − u_3v_2، - (u_1v_3 − u_3v_1)، u_1v_2 − u_2v_1⟩ nonumber ]

متعامد لكل من ( vecs u ) و ( vecs v ) ، مما يقودنا إلى تحديد العملية التالية ، المسماة المنتوج الوسيط.

التعريف: عبر المنتج

دعونا ( vecs u = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs v = ⟨v_1، v_2، v_3⟩. ) ثم المنتوج الوسيط ( vecs u × vecs v ) متجه

[ start {align} vecs u × vecs v & = (u_2v_3 − u_3v_2) mathbf { hat i} - (u_1v_3 − u_3v_1) mathbf { hat j} + (u_1v_2 − u_2v_1) mathbf { hat k} nonumber [4pt] & = ⟨u_2v_3 − u_3v_2، - (u_1v_3 − u_3v_1) ، u_1v_2 − u_2v_1⟩. تسمية {تقاطع} نهاية {محاذاة} ]

من الطريقة التي طورنا بها ( vecs u × vecs v ) ، يجب أن يكون واضحًا أن المنتج المتقاطع متعامد مع كل من ( vecs u ) و ( vecs v ). ومع ذلك ، لا يضر التحقق. لإظهار أن ( vecs u × vecs v ) متعامد مع ( vecs u ) ، نحسب المنتج النقطي لـ ( vecs u ) و ( vecs u × vecs v ) .

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs u × vecs v) & = ⟨u_1، u_2، u_3⟩⋅⟨u_2v_3 − u_3v_2، −u_1v_3 + u_3v_1، u_1v_2 − u_2v_1⟩ [4pt] & = u_1 (u_2v_3 − u_3v_2) + u_2 (−u_1v_3 + u_3v_1) + u_3 (u_1v_2 − u_2v_1) [4pt]
& = u_1u_2v_3 − u_1u_3v_2 − u_1u_2v_3 + u_2u_3v_1 + u_1u_3v_2 − u_2u_3v_1 [4pt]
& = (u_1u_2v_3 − u_1u_2v_3) + (- u_1u_3v_2 + u_1u_3v_2) + (u_2u_3v_1 − u_2u_3v_1) [4pt]
& = 0 end {align *} ]

بطريقة مماثلة ، يمكننا إظهار أن حاصل الضرب التبادلي هو أيضًا متعامد مع ( vecs v ).

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن منتج متقاطع

دعونا ( vecs p = ⟨− 1،2،5⟩ ) و ( vecs q = ⟨4،0، −3⟩ ) (الشكل ( PageIndex {1} )). ابحث عن ( vecs p × vecs q ).

المحلول

استبدل مكونات المتجهات في المعادلة ref {cross}:

[ start {align *} vecs p × vecs q & = ⟨− 1،2،5⟩ × ⟨4،0، −3⟩ [4pt] & = ⟨p_2q_3 − p_3q_2، - (p_1q_3− p_3q_1) ، p_1q_2 − p_2q_1⟩ [4pt] & = ⟨2 (−3) −5 (0) ، - (- 1) (- 3) +5 (4) ، (- 1) (0) −2 (4)⟩ [4pt] & = ⟨− 6،17، −8⟩. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن ( vecs p × vecs q ) لـ ( vecs p = ⟨5،1،2⟩ ) و ( vecs q = ⟨− 2،0،1⟩. ) عبر عن الإجابة باستخدام ناقلات الوحدة القياسية.

تلميح

استخدم الصيغة ( vecs u × vecs v = (u_2v_3 − u_3v_2) mathbf { hat i} - (u_1v_3 − u_3v_1) mathbf { hat j} + (u_1v_2 − u_2v_1) mathbf { hat k }. )

إجابه

( vecs p × vecs q = mathbf { hat i} −9 mathbf { hat j} +2 mathbf { hat k} )

على الرغم من أنه قد لا يكون واضحًا من المعادلة ref {cross} ، فإن اتجاه ( vecs u × vecs v ) يُعطى بقاعدة اليد اليمنى. إذا أمسكنا اليد اليمنى مع توجيه الأصابع في اتجاه ( vecs u ) ، فقم بلف الأصابع باتجاه المتجه ( vecs v ) ، يشير الإبهام في اتجاه المنتج المتقاطع ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

لاحظ ما يعنيه هذا لاتجاه ( vecs v × vecs u ). إذا طبقنا قاعدة اليد اليمنى على ( vecs v × vecs u ) ، نبدأ بأصابعنا في اتجاه ( vecs v ) ، ثم نلف أصابعنا نحو المتجه ( vecs ش ). في هذه الحالة ، يشير الإبهام في الاتجاه المعاكس لـ ( vecs u × vecs v ). (جربها!)

مثال ( PageIndex {2} ): معارضة حركة المنتج المتقاطع

دعونا ( vecs u = ⟨0،2،1⟩ ) و ( vecs v = ⟨3 ، −1،0⟩ ). احسب ( vecs u × vecs v ) و ( vecs v × vecs u ) وارسم بيانيًا.

المحلول

لدينا

( vecs u × vecs v = ⟨(0 + 1) ، - (0−3) ، (0−6)⟩ = ⟨1،3 ، −6⟩ )

( vecs v × vecs u = ⟨(−1−0) ، - (3−0) ، (6−0)⟩ = ⟨− 1 ، −3،6⟩. )

نرى ذلك ، في هذه الحالة ، ( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) ) (الشكل ( PageIndex {4} )). نثبت هذا بشكل عام لاحقًا في هذا القسم.

تمرين ( PageIndex {2} )

افترض أن المتجهات ( vecs u ) و ( vecs v ) تكمن في (xy ) - الطائرة ( (z ) - مكون كل متجه هو صفر). افترض الآن أن (x ) - و (y ) - مكونات ( vecs u ) و (y ) - مكون ( vecs v ) كلها إيجابية ، في حين أن ( x ) - مكون ( vecs v ) سلبي. بافتراض أن محاور الإحداثيات موجهة في المواضع المعتادة ، في أي اتجاه يشير ( vecs u × vecs v )؟

تلميح

تذكر قاعدة اليد اليمنى (الشكل ( PageIndex {2} )).

إجابه

لأعلى (الاتجاه الموجب (ض) -)

يمكن أن تكون المنتجات المتقاطعة لمتجهات الوحدة القياسية ( mathbf { hat i} ) و ( mathbf { hat j} ) و ( mathbf { hat k} ) مفيدة لتبسيط بعض لذلك دعونا ننظر في هذه الضربات المتقاطعة. إن التطبيق المباشر للتعريف يظهر ذلك

[ mathbf { hat i} × mathbf { hat i} = mathbf { hat j} × mathbf { hat j} = mathbf { hat k} × mathbf { hat k} = vecs 0. ]

(حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه ، لذلك ينتج عن كل منتج من هذه المنتجات المتجه الصفري ، وليس العدد القياسي (0 ).) الأمر متروك لك للتحقق من الحسابات بنفسك.

علاوة على ذلك ، نظرًا لأن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متعامد مع كل من هذين المتجهين ، فإننا نعلم أن حاصل الضرب التبادلي لـ ( mathbf { hat i} ) و ( mathbf { hat j} ) يوازي ( mathbf { قبعة k} ). وبالمثل ، فإن منتج المتجه لـ ( mathbf { hat i} ) و ( mathbf { hat k} ) موازٍ لـ ( mathbf { hat j} ) ، وحاصل الضرب المتجه لـ ( mathbf { hat j} ) و ( mathbf { hat k} ) بالتوازي مع ( mathbf { hat i} ).

يمكننا استخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه كل منتج. إذن لدينا

[ start {align *} mathbf { hat i} × mathbf { hat j} & = mathbf { hat k} [4pt]
mathbf { hat j} × mathbf { hat i} & = - mathbf { hat k} [10pt]
mathbf { hat j} × mathbf { hat k} & = mathbf { hat i} [4pt]
mathbf { hat k} × mathbf { hat j} & = - mathbf { hat i} [10pt]
mathbf { hat k} × mathbf { hat i} & = mathbf { hat j} [4pt]
mathbf { hat i} × mathbf { hat k} & = - mathbf { hat j}. النهاية {محاذاة *} ]

تأتي هذه الصيغ في متناول اليد لاحقًا.

مثال ( PageIndex {3} ): إنتاج متقاطع لمتجهات الوحدة القياسية

ابحث عن ( mathbf { hat i} × ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k}) ).

المحلول

نعلم أن ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k} = mathbf { hat i} ). لذلك ، ( mathbf { hat i} × ( mathbf { hat j} × mathbf { hat k}) = mathbf { hat i} × mathbf { hat i} = vecs 0. )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد (( mathbf { hat i} × mathbf { hat j}) × ( mathbf { hat k} × mathbf { hat i}). )

تلميح

تذكر قاعدة اليد اليمنى (الشكل ( PageIndex {2} )).

إجابه

(- mathbf { قبعة i} )

كما رأينا ، غالبًا ما يُطلق على المنتج النقطي اسم منتج عددي لأنه ينتج عنه عدد. ينتج عن الضرب التبادلي متجه ، لذلك يطلق عليه أحيانًا اسم ناقلات المنتج. هاتان العمليتان هما نسختان من الضرب المتجه ، لكن لهما خصائص وتطبيقات مختلفة جدًا. دعنا نستكشف بعض خصائص المنتج التبادلي. نثبت فقط القليل منهم. يتم ترك البراهين على الخصائص الأخرى كتدريبات.

خصائص المنتج التبادلي

لنكن ( vecs u ، vecs v ، ) و ( vecs w ) متجهات في الفضاء ، ودع (c ) يكون عددًا.

  1. الخاصية المضادة للتبادل: [ vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) ]
  2. خاصية التوزيع: [ vecs u × ( vecs v + vecs w) = vecs u × vecs v + vecs u × vecs w ]
  3. الضرب بثابت: [c ( vecs u × vecs v) = (c vecs u) × vecs v = vecs u × (c vecs v) ]
  4. حاصل ضرب المتجه الصفري: [ vecs u × vecs 0 = vecs 0 × vecs u = vecs 0 ]
  5. حاصل ضرب المتجه مع نفسه: [ vecs v × vecs v = vecs 0 ]
  6. المنتج الثلاثي القياسي: [ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = ( vecs u × vecs v) ⋅ vecs w ]

دليل - إثبات

بالنسبة للخاصية (i ) ، نريد أن نظهر ( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u). ) لدينا

[ start {align *} vecs u × vecs v & = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ × ⟨v_1، v_2، v_3⟩ [4pt] & = ⟨u_2v_3 − u_3v_2، −u_1v_3 + u_3v_1، u_1v_2 −u_2v_1⟩ [4pt] & = - ⟨u_3v_2 − u_2v_3، −u_3v_1 + u_1v_3، u_2v_1 − u_1v_2⟩ [4pt] & = - ⟨v_1، v_2، v_3⟩ × ⟨u_1، u_2، u_3⟩ [4pt] & = - ( vecs v × vecs u). end {align *} ]

على عكس معظم العمليات التي رأيناها ، فإن المنتج التبادلي ليس تبادليًا. هذا منطقي إذا فكرنا في قاعدة اليد اليمنى.

بالنسبة للخاصية (iv ). ، فإن هذا يتبع مباشرةً من تعريف حاصل الضرب التبادلي. لدينا

[ vecs u × vecs 0 = ⟨u_2 (0) −u_3 (0) ، - (u_2 (0) −u_3 (0)) ، u1 (0) −u_2 (0)⟩ = ⟨0،0 ، 0⟩ = vecs 0. ]

ثم ، من خلال الخاصية i. ، ( vecs 0 × vecs u = vecs 0 ) أيضًا. تذكر أن حاصل الضرب القياسي للمتجه والمتجه الصفري هو العددية (0 ) ، في حين أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه ذي متجه صفري هو المتجه (vecs 0 ).

خاصية (السادس ). يشبه الخاصية الترابطية ، لكن لاحظ التغيير في العمليات:

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = u⋅⟨v_2w_3 − v_3w_2، −v_1w_3 + v_3w_1، v_1w_2 − v_2w_1⟩ [4pt]
& = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) + u_2 (−v_1w_3 + v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4pt]
& = u_1v_2w_3 − u_1v_3w_2 − u_2v_1w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 − u_3v_2w_1 [4pt]
& = (u_2v_3 − u_3v_2) w_1 + (u_3v_1 − u_1v_3) w_2 + (u_1v_2 − u_2v_1) w_3 [4pt]
& = ⟨u_2v_3 − u_3v_2، u_3v_1 − u_1v_3، u_1v_2 − u_2v_1⟩⋅⟨w_1، w_2، w_3⟩ = ( vecs u × vecs v) ⋅ vecs w. end {align *} ]

(مربع)

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام خصائص المنتج المتقاطع

استخدم خصائص الضرب المتقاطع لحساب ((2 mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j}. )

المحلول

[ start {align *} (2 mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} & = 2 ( mathbf { hat i} × 3 mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = 2 (3) ( mathbf { hat i} × mathbf { hat j}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = (6 mathbf { hat k}) × mathbf { hat j} [4pt]
& = 6 ( mathbf { hat k} × mathbf { hat j}) [4pt]
& = 6 (- mathbf { hat i}) = - 6 mathbf { hat i}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم خصائص الضرب الاتجاهي لحساب (( mathbf { hat i} × mathbf { hat k}) × ( mathbf { hat k} × mathbf { hat j}). )

تلميح

( vecs u × vecs v = - ( vecs v × vecs u) )

إجابه

(- mathbf { قبعة k} )

حتى الآن في هذا القسم ، كنا مهتمين باتجاه المتجه ( vecs u × vecs v ) ، لكننا لم نناقش حجمه. اتضح أن هناك تعبيرًا بسيطًا عن حجم ( vecs u × vecs v ) يتضمن مقادير ( vecs u ) و ( vecs v ) ، وجيب الزاوية الواقعة بين معهم.

حجم الحاصل الضريبي

دع ( vecs u ) و ( vecs v ) يكونان متجهين ، واجعل (θ ) الزاوية بينهما. ثم ، (‖ vecs u × vecs v‖ = ‖ vecs u‖⋅‖ vecs v‖⋅ sin θ. )

دليل - إثبات

لنفترض أن ( vecs u = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs v = ⟨v_1، v_2، v_3⟩ ) متجهات ، ودع (θ ) يشير إلى الزاوية بينهما. ثم

[ start {align *} ‖ vecs u × vecs v‖ ^ 2 & = (u_2v_3 − u_3v_2) ^ 2 + (u_3v_1 − u_1v_3) ^ 2 + (u_1v_2 − u_2v_1) ^ 2 [4pt]
& = u ^ 2_2v ^ 2_3−2u_2u_3v_2v_3 + u ^ 2_3v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_1−2u_1u_3v_1v_3 + u ^ 2_1v ^ 2_3 + u ^ 2_1v ^ 2_2−2u_1u_2v_1v_2 + u ^ 2_2v ^ 2_1 [4pt]
& = u ^ 2_1v ^ 2_1 + u ^ 2_1v ^ 2_2 + u ^ 2_1v ^ 2_3 + u ^ 2_2v ^ 2_1 + u ^ 2_2v ^ 2_2 + u ^ 2_2v ^ 2_3 + u ^ 2_3v ^ 2_1 + u ^ 2_3v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_3− (u ^ 2_1v ^ 2_1 + u ^ 2_2v ^ 2_2 + u ^ 2_3v ^ 2_3 + 2u_1u_2v_1v_2 + 2u_1u_3v_1v_3 + 2u_2u_3v_2v_3) [4pt]
& = (u ^ 2_1 + u ^ 2_2 + u ^ 2_3) (v ^ 2_1 + v ^ 2_2 + v ^ 2_3) - (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) ^ 2 [4pt]
& = ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 - ( vecs u⋅ vecs v) ^ 2 [4pt]
& = ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 − ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 cos ^ 2θ [4pt]
& = ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 (1− cos ^ 2θ) [4pt]
& = ‖ vecs u‖ ^ ​​2‖ vecs v‖ ^ 2 ( sin ^ 2θ). النهاية {محاذاة *} ]

أخذ الجذور التربيعية مع ملاحظة أن ( sqrt { sin ^ 2θ} = sinθ ) لـ (0≤θ≤180 °، ) لدينا النتيجة المرجوة:

[‖ vecs u × vecs v‖ = ‖ vecs u‖‖ vecs v‖ sin θ. ]

يسمح لنا هذا التعريف للمنتج المتقاطع بتصور المنتج أو تفسيره هندسيًا. من الواضح ، على سبيل المثال ، أن الضرب التبادلي محدد فقط للمتجهات في ثلاثة أبعاد ، وليس للمتجهات في بعدين. في بعدين ، من المستحيل إنشاء متجه متعامد في نفس الوقت لمتجهين غير متوازيين.

مثال ( PageIndex {5} ): حساب حاصل الضرب التبادلي

استخدم ملاحظة لإيجاد حجم الضرب التبادلي لـ ( vecs u = ⟨0،4،0⟩ ) و ( vecs v = ⟨0،0 ، −3⟩ ).

المحلول

لدينا

[ start {align *} ‖ vecs u × vecs v‖ & = ‖ vecs u‖⋅‖ vecs v‖⋅ sinθ [4pt]
& = sqrt {0 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} ⋅ sqrt {0 ^ 2 + 0 ^ 2 + (- 3) ^ 2} ⋅ sin { dfrac {π} {2}} [4 نقطة]
& = 4 (3) (1) = 12 نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

استخدم الملاحظة لإيجاد حجم ( vecs u × vecs v ) ، حيث ( vecs u = ⟨− 8،0،0⟩ ) و ( vecs v = ⟨0،2،0⟩ ).

تلميح

المتجهات ( vecs u ) و ( vecs v ) متعامدة.

إجابه

16

المحددات والناتج التبادلي

يعد استخدام المعادلة ref {cross} لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين أمرًا مباشرًا ، ويعرض حاصل الضرب الاتجاهي في صورة المكون المفيدة. ومع ذلك ، فإن الصيغة معقدة ويصعب تذكرها. لحسن الحظ ، لدينا بديل. يمكننا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين باستخدام رمز المحدد.

يتم تعريف المحدد A (2 × 2 ) بواسطة

[ start {vmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {vmatrix} = a_1b_2 − b_1a_2. ]

فمثلا،

[ start {vmatrix} 3 & −2 5 & 1 end {vmatrix} = 3 (1) −5 (−2) = 3 + 10 = 13. ]

يتم تعريف المحدد أ (3 × 3 ) من حيث المحددات (2 × 2 ) على النحو التالي:

[ begin {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = a_1 begin {vmatrix} b_2 & b_3 c_2 & c_3 end {vmatrix } −a_2 begin {vmatrix} b_1 & b_3 c_1 & c_3 end {vmatrix} + a_3 begin {vmatrix} b_1 & b_2 c_1 & c_2 end {vmatrix}. label {expandEqn} ]

يشار إلى المعادلة ref {expandEqn} بتوسيع المحدد على طول الصف الأول. لاحظ أن مضاعفات كل من محددات (2 × 2 ) على الجانب الأيمن من هذا التعبير هي الإدخالات في الصف الأول من المحدد (3 × 3 ). علاوة على ذلك ، يحتوي كل من المحددات (2 × 2 ) على الإدخالات من المحدد (3 × 3 ) التي ستبقى إذا شطب الصف والعمود الذي يحتوي على المضاعف. وبالتالي ، بالنسبة للمصطلح الأول على اليمين ، (a_1 ) هو المضاعف ، والمحدد (2 × 2 ) يحتوي على الإدخالات المتبقية إذا شطب الصف الأول والعمود الأول من (3 × 3 ) المحدد. وبالمثل ، بالنسبة للمصطلح الثاني ، يكون المضاعف (a_2 ) ، ويحتوي المحدد (2 × 2 ) على الإدخالات المتبقية إذا شطب الصف الأول والعمود الثاني من (3 × 3 ) محدد. لاحظ ، مع ذلك ، أن معامل الحد الثاني سلبي. يمكن حساب المصطلح الثالث بطريقة مماثلة.

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام التوسيع على طول الصف الأول لحساب محدد (3 × 3 )

قيم المحدد ( start {vmatrix} 2 & 5 & −1 - 1 & 1 & 3 - 2 & 3 & 4 end {vmatrix} ).

المحلول

لدينا

[ start {align *} begin {vmatrix} 2 & 5 & −1 - 1 & 1 & 3 - 2 & 3 & 4 end {vmatrix} & = 2 begin {vmatrix} 1 & 3 3 & 4 end {vmatrix} −5 start {vmatrix} −1 & 3 - 2 & 4 end {vmatrix} −1 begin {vmatrix} −1 & 1 - 2 & 3 نهاية {vmatrix} [4pt]
& = 2 (4−9) −5 (4 + 6) −1 (3 + 2) [4pt]
& = 2 (−5) −5 (2) −1 (−1) = - 10−10 + 1 [4pt]
& = - 19 النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

قيم المحدد ( start {vmatrix} 1 & −2 & −1 3 & 2 & −3 1 & 5 & 4 end {vmatrix} ).

تلميح

قم بالتوسيع بطول الصف الأول. لا تنس أن المصطلح الثاني سلبي!

إجابه

40

من الناحية الفنية ، يتم تعريف المحددات فقط من حيث مصفوفات الأعداد الحقيقية. ومع ذلك ، فإن التدوين المحدد يوفر وسيلة مفيدة للذاكرة لصيغة الضرب المتقاطع.

القاعدة: المنتج المتقاطع محسوب بواسطة المحدد

لنكن ( vecs u = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs v = ⟨v_1، v_2، v_3⟩ ) متجهات. ثم يتم إعطاء المنتج المتقاطع ( vecs u × vecs v ) بواسطة

[ vecs u × vecs v = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 end {vmatrix} = begin {vmatrix} u_2 & u_3 v_2 & v_3 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} u_1 & u_3 v_1 & v_3 end { vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} u_1 & u_2 v_1 & v_2 end {vmatrix} mathbf { hat k}. ]

مثال ( PageIndex {7} ): استخدام الترميز المحدد لإيجاد ( vecs p × vecs q )

دع ( vecs p = ⟨− 1،2،5⟩ ) و ( vecs q = ⟨4،0، −3⟩ ). ابحث عن ( vecs p × vecs q ).

المحلول

قمنا بإعداد المحدد الخاص بنا عن طريق وضع متجهات الوحدة القياسية عبر الصف الأول ، ومكونات ( vecs u ) في الصف الثاني ، ومكونات ( vecs v ) في الصف الثالث. إذن لدينا

[ start {align *} vecs p × vecs q & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} - 1 & 2 & 5 4 & 0 & −3 end {vmatrix} = start {vmatrix} 2 & 5 0 & −3 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} - 1 & 5 4 & −3 end {vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} −1 & 2 4 & 0 end {vmatrix} mathbf { hat k} [4 نقطة]
& = (−6−0) mathbf { hat i} - (3−20) mathbf { hat j} + (0−8) mathbf { hat k} [4pt]
& = - 6 mathbf { hat i} +17 mathbf { hat j} −8 mathbf { hat k}. end {align *} ]

لاحظ أن هذه الإجابة تؤكد حساب حاصل الضرب التبادلي في مثال ( PageIndex {1} ).

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم تدوين المحدد لإيجاد ( vecs a × vecs b ) ، حيث ( vecs a = ⟨8،2،3⟩ ) و ( vecs b = ⟨− 1،0،4⟩. )

تلميح

احسب المحدد ( start {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} 8 & 2 & 3 - 1 & 0 & 4 end {vmatrix } ).

إجابه

( vecs a × vecs b = 8 mathbf { hat i} −35 mathbf { hat j} +2 mathbf { hat k} )

استخدام حاصل الضرب الشامل

يعد الضرب التبادلي مفيدًا جدًا لعدة أنواع من العمليات الحسابية ، بما في ذلك العثور على متجه متعامد لمتجهين محددين ، ومناطق حساب المثلثات ومتوازي الأضلاع ، وحتى تحديد حجم الشكل الهندسي ثلاثي الأبعاد المكون من متوازي الأضلاع المعروف باسم a متوازي السطوح. توضح الأمثلة التالية هذه الحسابات.

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد متجه وحدة متعامد إلى متجهين محددين

دع ( vecs a = ⟨5،2، −1⟩ ) و ( vecs b = 0، −1،4⟩ ). ابحث عن متجه وحدة متعامد لكل من ( vecs a ) و ( vecs b ).

المحلول

المنتج المتقاطع ( vecs a × vecs b ) متعامد لكلا المتجهين ( vecs a ) و ( vecs b ). يمكننا حسابه باستخدام محدد:

[ start {align *} vecs a × vecs b & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} 5 & 2 & −1 0 & −1 & 4 end {vmatrix} = start {vmatrix} 2 & −1 - 1 & 4 end {vmatrix} mathbf { hat i} - begin {vmatrix} 5 & ​​−1 0 & 4 end {vmatrix} mathbf { hat j} + begin {vmatrix} 5 & 2 0 & −1 end {vmatrix} mathbf { hat k} [4 نقطة]
& = (8−1) mathbf { hat i} - (20−0) mathbf { hat j} + (- 5−0) mathbf { hat k} [4pt]
& = 7 mathbf { hat i} −20 mathbf { hat j} −5 mathbf { hat k}. end {align *} ]

قم بتطبيع هذا المتجه للعثور على متجه الوحدة في نفس الاتجاه:

( | vecs a × vecs b | = sqrt {(7) ^ 2 + (- 20) ^ 2 + (- 5) ^ 2} = sqrt {474} ).

وبالتالي ، ( left langle dfrac {7} { sqrt {474}} ، dfrac {−20} { sqrt {474}} ، dfrac {−5} { sqrt {474}} right rangle ) متجه وحدة متعامد لـ ( vecs a ) و ( vecs b ).

بشكل مبسط ، يصبح هذا المتجه ( left langle dfrac {7 sqrt {474}} {474} ، dfrac {−10 sqrt {474}} {237} ، dfrac {−5 sqrt {474} } {474} يمين rangle ).

تمرين ( PageIndex {8} )

ابحث عن متجه وحدة متعامد لكل من ( vecs a ) و ( vecs b ) ، حيث ( vecs a = ⟨4،0،3⟩ ) و ( vecs b = ⟨1،1 ، 4⟩. )

تلميح

تطبيع الضرب التبادلي.

إجابه

( left langle dfrac {−3} { sqrt {194}} ، dfrac {−13} { sqrt {194}} ، dfrac {4} { sqrt {194}} right rangle ) أو ، مبسطة كـ ( left langle dfrac {−3 sqrt {194}} {194} ، dfrac {−13 sqrt {194}} {194} ، dfrac {2 sqrt {194 }} {97} يمين rangle )

لاستخدام الضرب التبادلي لحساب المساحات ، نذكر ونثبت النظرية التالية.

مساحة متوازي الأضلاع

إذا حددنا المتجهات ( vecs u ) و ( vecs v ) بحيث تشكل جوانب متجاورة من متوازي الأضلاع ، فسيتم إعطاء مساحة متوازي الأضلاع بواسطة (‖ vecs u × vecs v‖ ) (الشكل ( PageIndex {5} )).

دليل - إثبات

نوضح أن حجم حاصل الضرب الاتجاهي يساوي القاعدة ضرب ارتفاع متوازي الأضلاع.

[ start {align *} text {مساحة متوازي أضلاع} & = text {base} × text {height} [4pt] & = ‖ vecs u‖ (‖ vecs v‖ sin θ ) [4pt] & = ‖ vecs u × vecs v‖ end {align *} ]

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد مساحة المثلث

دع (P = (1،0،0) ، Q = (0،1،0) ، ) و (R = (0،0،1) ) تكون رؤوس المثلث (الشكل ( PageIndex {6} )). ابحث عن منطقته.

المحلول

لدينا ( vecd {PQ} = ⟨0−1،1−0،0−0⟩ = ⟨− 1،1،0⟩ ) و ( vecd {PR} = ⟨0−1،0− 0،1−0⟩ = ⟨− 1،0،1⟩ ). مساحة متوازي الأضلاع مع الأضلاع المجاورة ( vecd {PQ} ) و ( vecd {PR} ) يتم الحصول عليها من خلال (∥ vecd {PQ} × vecd {PR} ∥ ):

[ begin {align *} vecd {PQ} times vecd {PR} & = begin {vmatrix} mathbf { hat i} & mathbf { hat j} & mathbf { hat k} - 1 & 1 & 0 - 1 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt]
& = (1−0) mathbf { hat i} - (- 1−0) mathbf { hat j} + (0 - (- 1)) mathbf { hat k} [4pt]
& = mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k} [10pt]
∥ vecd {PQ} × vecd {PR} ∥ & = ∥⟨1،1،1⟩∥ [4pt]
& = sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2} [4pt]
& = sqrt {3}. النهاية {محاذاة *} ]

مساحة (ΔPQR ) هي نصف مساحة متوازي الأضلاع أو ( sqrt {3} / 2 ، text {Units} ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد مساحة متوازي الأضلاع (PQRS ) برؤوس (P (1،1،0) ) ، (Q (7،1،0) ) ، (R (9،4،2) ) و (S (3،4،2) ).

تلميح

ارسم متوازي الأضلاع وحدد متجهين يشكلان جوانب متجاورة من متوازي الأضلاع.

إجابه

(6 sqrt {13} ، text {Units} ^ 2 )

منتج العددي الثلاثي

نظرًا لأن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه ، فمن الممكن الجمع بين حاصل الضرب القياسي وحاصل الضرب الاتجاهي. حاصل الضرب النقطي لمتجه مع حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين آخرين يسمى منتج عددي ثلاثي لأن النتيجة عددية.

التعريف: منتج عددي ثلاثي

المنتج القياسي الثلاثي للناقلات ( vecs u ) ، ( vecs v ، ) و ( vecs w ) هو

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). ]

حساب حاصل ضرب ثلاثي

المنتج القياسي الثلاثي للناقلات

[ vecs u = u_1 mathbf { hat i} + u_2 mathbf { hat j} + u_3 mathbf { hat k} ]

[ vecs v = v_1 mathbf { hat i} + v_2 mathbf { hat j} + v_3 mathbf { hat k} ]

و

[ vecs w = w_1 mathbf { hat i} + w_2 mathbf { hat j} + w_3 mathbf { hat k} ]

هو محدد المصفوفة (3 × 3 ) المكونة من مكونات المتجهات:

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix}. التسمية {triple2} ]

دليل - إثبات

الحساب واضح ومباشر.

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = ⟨u_1، u_2، u_3⟩⋅⟨v_2w_3 − v_3w_2، −v_1w_3 + v_3w_1، v_1w_2 − v_2w_1⟩ [4pt] & = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) + u_2 (−v_1w_3 + v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4pt]
& = u_1 (v_2w_3 − v_3w_2) −u_2 (v_1w_3 − v_3w_1) + u_3 (v_1w_2 − v_2w_1) [4pt]
& = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix}. end {align *} ]

مثال ( PageIndex {10} ): حساب حاصل الضرب الثلاثي

دع ( vecs u = ⟨1،3،5⟩، ، vecs v = ⟨2، −1،0⟩ ) و ( vecs w = ⟨− 3،0، −1⟩ ). احسب المنتج القياسي الثلاثي ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). )

المحلول

تطبيق المعادلة المرجع {triple2} مباشرة:

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} 1 & 3 & 5 2 & −1 & 0 - 3 & 0 & −1 نهاية {vmatrix} [4pt]
& = 1 begin {vmatrix} −1 & 0 0 & −1 end {vmatrix} −3 begin {vmatrix} 2 & 0 - 3 & −1 end {vmatrix} +5 begin { vmatrix} 2 & −1 - 3 & 0 end {vmatrix} [4pt]
& = (1−0) −3 (−2−0) +5 (0−3) [4pt]
& = 1 + 6−15 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {10} )

احسب المنتج القياسي الثلاثي ( vecs a⋅ ( vecs b × vecs c) ، ) حيث ( vecs a = ⟨2، −4،1⟩، vecs b = 0،3، −1 ⟩ ) و ( vecs c = 5، −3،3⟩. )

تلميح

ضع المتجهات كصفوف من مصفوفة (3 × 3 ) ، ثم احسب المحدد.

إجابه

(17)

عندما ننشئ مصفوفة من ثلاثة متجهات ، يجب أن نتوخى الحذر بشأن الترتيب الذي نضع به المتجهات. إذا قمنا بإدراجها في مصفوفة بترتيب واحد ثم أعدنا ترتيب الصفوف ، فإن القيمة المطلقة للمحدد تظل دون تغيير. ومع ذلك ، في كل مرة يبدل فيها صفان مكانهما ، يغير المحدد علامة:

( start {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = d quad quad begin {vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 a_1 & a_2 & a_3 c_1 & c_2 & c_3 end {vmatrix} = - d quad quad begin {vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 c_1 & c_2 & c_3 a_1 & a_2 & a_3 end { vmatrix} = d quad quad start {vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 b_1 & b_2 & b_3 a_1 & a_2 & a_3 end {vmatrix} = - d )

التحقق من هذه الحقيقة أمر مباشر ، ولكنه فوضوي إلى حد ما. دعونا نلقي نظرة على هذا بمثال:

[ start {align *} begin {vmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & 0 & 3 4 & 1 & −1 end {vmatrix} & = begin {vmatrix} 0 & 3 1 & −1 end {vmatrix} −2 begin {vmatrix} −2 & 3 4 & −1 end {vmatrix} + begin {vmatrix} −2 & 0 4 & 1 end { vmatrix} [4pt]
& = (0−3) −2 (2−12) + (- 2−0) [4pt]
& = - 3 + 20−2 = 15. النهاية {محاذاة *} ]

تبديل الصفين العلويين لدينا

[ start {align *} begin {vmatrix} −2 & 0 & 3 1 & 2 & 1 4 & 1 & −1 end {vmatrix} & = - 2 begin {vmatrix} 2 & 1 1 & −1 end {vmatrix} +3 start {vmatrix} 1 & 2 4 & 1 end {vmatrix} [4pt]
& = - 2 (−2−1) +3 (1−8) [4pt]
& = 6−21 = 15. النهاية {محاذاة *} ]

إعادة ترتيب المتجهات في المنتجات الثلاثية تعادل إعادة ترتيب الصفوف في مصفوفة المحدد. دعونا ( vecs u = u_1 mathbf { hat i} + u_2 mathbf { hat j} + u_3 mathbf { hat k}، vecs v = v_1 mathbf { hat i} + v_2 mathbf { hat j} + v_3 mathbf { hat k}، ) و ( vecs w = w_1 mathbf { hat i} + w_2 mathbf { hat j} + w_3 mathbf { hat k} . ) تطبيق ملاحظة لدينا

[ vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 w_1 & w_2 & w_3 end {vmatrix} ]

و

[ vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) = begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 w_1 & w_2 & w_3 v_1 & v_2 & v_3 end {vmatrix}. ]

يمكننا الحصول على المحدد لحساب ( vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) ) عن طريق تبديل الصفين السفليين من ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w). ) لذلك ، ( vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) = - vecs u⋅ ( vecs w × vecs v). )

باتباع هذا المنطق واستكشاف الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها تبادل المتغيرات في المنتج القياسي الثلاثي يؤدي إلى الهويات التالية:

[ start {align} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = - vecs u⋅ ( vecs w × vecs v) [10pt]
vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = vecs v⋅ ( vecs w × vecs u) = vecs w⋅ ( vecs u × vecs v). end {align} ]

لنفترض أن ( vecs u ) و ( vecs v ) متجهان في الوضع القياسي. إذا لم تكن ( vecs u ) و ( vecs v ) مضاعفات عددية لبعضها البعض ، فإن هذه المتجهات تشكل جوانب متجاورة من متوازي الأضلاع. رأينا في ملاحظة أن مساحة متوازي الأضلاع هذا هي (‖ vecs u × vecs v‖ ). لنفترض الآن أننا أضفنا متجهًا ثالثًا ( vecs w ) لا يقع في نفس المستوى مثل ( vecs u ) و ( vecs v ) ولكنه لا يزال يشترك في نفس النقطة الأولية. ثم تشكل هذه المتجهات ثلاث حواف من a متوازي السطوح، منشور ثلاثي الأبعاد بستة أوجه متوازية الأضلاع ، كما هو موضح في الشكل. حجم هذا المنشور هو نتاج ارتفاع الشكل ومساحة قاعدته. يوفر المنتج القياسي الثلاثي لـ ( vecs u ، vecs v ، ) و ( vecs w ) طريقة بسيطة لحساب حجم خط الموازي المحدد بواسطة هذه المتجهات.

حجم متوازي السطوح

حجم خط الموازي مع الحواف المجاورة المعطاة بواسطة المتجهات ( vecs u، vecs v )، و ( vecs w ) هي القيمة المطلقة للمنتج العددي الثلاثي (الشكل ( فهرس الصفحة {7}) )):

[V = || vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) ||. ]

لاحظ أنه ، كما يشير الاسم ، ينتج المنتج القياسي الثلاثي مقياسًا. تستخدم صيغة الحجم المقدمة للتو القيمة المطلقة لكمية قياسية.

دليل - إثبات

مساحة قاعدة خط الموازي مُعطاة بواسطة (‖ vecs v × vecs w‖. ) ارتفاع الشكل مُعطى بواسطة ( | text {proj} _ { vecs v × vecs w} vecs u |. ) حجم خط الموازي هو ناتج الارتفاع ومساحة القاعدة ، لذلك لدينا

[ start {align *} V & = ∥ text {proj} _ { vecs v × vecs w} vecs u∥‖ vecs v × vecs w‖ [4pt]
& = ∣∣ dfrac { vecs u⋅ ( vecs v × vecs w)} {‖ vecs v × vecs w‖} ∣∣‖ vecs v × vecs w‖ [4pt]
& = | vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) |. النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {11} ): حساب حجم متوازي السطوح

دع ( vecs u = ⟨− 1، −2،1⟩، vecs v = ⟨4،3،2⟩، ) و ( vecs w = ⟨0، −5، −2⟩ ). ابحث عن حجم خط الموازي مع الحواف المجاورة ( vecs u ، vecs v ) ، و ( vecs w ) (الشكل ( PageIndex {8} )).

المحلول

لدينا

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} −1 & −2 & 1 4 & 3 & 2 0 & −5 & - 2 نهاية {vmatrix} [4pt]
& = (−1) start {vmatrix} 3 & 2 - 5 & −2 end {vmatrix} +2 begin {vmatrix} 4 & 2 0 & −2 end {vmatrix} + begin {vmatrix} 4 & 3 0 & −5 end {vmatrix} [4pt]
& = (- 1) (- 6 + 10) +2 (8−0) + (- 20−0) [4pt]
& = - 4−16−20 [4pt]
& = - 40. نهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن حجم خط الموازي هو (| −40 | = 40 ) وحدة3

تمرين ( PageIndex {11} )

ابحث عن حجم خط الموازي المكون من المتجهات ( vecs a = 3 mathbf { hat i} +4 mathbf { hat j} - mathbf { hat k}، vecs b = 2 mathbf { hat i} - mathbf { hat j} - mathbf { hat k}، ) و ( vecs c = 3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k}. )

تلميح

احسب حاصل الضرب القياسي الثلاثي بإيجاد المحدد.

إجابه

(8 ) وحدات3

تطبيقات المنتج المتقاطع

يظهر المنتج المتقاطع في العديد من التطبيقات العملية في الرياضيات والفيزياء والهندسة. دعونا نفحص بعض هذه التطبيقات هنا ، بما في ذلك فكرة عزم الدوران ، التي بدأنا بها هذا القسم. تظهر التطبيقات الأخرى في فصول لاحقة ، لا سيما في دراستنا لحقول المتجهات مثل مجالات الجاذبية والمجالات الكهرومغناطيسية (مقدمة في Vector Calculus).

مثال ( PageIndex {12} ): استخدام حاصل الضرب الثلاثي

استخدم المنتج القياسي الثلاثي لإظهار أن المتجهات ( vecs u = ⟨2،0،5⟩ ، vecs v = ⟨2،2،4⟩ ) ، و ( vecs w = 1 ، −1 ، 3⟩ ) متحد المستوى - أي أظهر أن هذه المتجهات تقع في نفس المستوى.

المحلول

ابدأ بحساب المنتج القياسي الثلاثي للعثور على حجم خط الموازي المحدد بواسطة ( vecs u ، vecs v ، ) و ( vecs w ):

[ start {align *} vecs u⋅ ( vecs v × vecs w) & = begin {vmatrix} 2 & 0 & 5 2 & 2 & 4 1 & −1 & 3 end {vmatrix} [4pt]
& = [2 (2) (3) + (0) (4) (1) +5 (2) (- 1)] - [5 (2) (1) + (2) (4) (- 1) + (0) (2) (3)] [4pt]
& = 2−2 = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حجم خط الموازي هو (0 ) وحدة3، لذلك يجب أن يكون أحد الأبعاد صفرًا. لذلك ، فإن المتجهات الثلاثة تقع جميعها في نفس المستوى.

Exercise (PageIndex{12})

Are the vectors (vecs a=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}−mathbf{hat k}, vecs b=mathbf{hat i}−mathbf{hat j}+mathbf{hat k},) and (vecs c=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}+mathbf{hat k}) coplanar?

تلميح

Calculate the triple scalar product.

إجابه

No, the triple scalar product is (−4≠0,) so the three vectors form the adjacent edges of a parallelepiped. They are not coplanar.

Example (PageIndex{13}): Finding an Orthogonal Vector

Only a single plane can pass through any set of three noncolinear points. Find a vector orthogonal to the plane containing points (P=(9,−3,−2),Q=(1,3,0),) and (R=(−2,5,0).)

المحلول

The plane must contain vectors (vecd{PQ}) and (vecd{QR}):

(vecd{PQ}=⟨1−9,3−(−3),0−(−2)⟩=⟨−8,6,2⟩)

(vecd{QR}=⟨−2−1,5−3,0−0⟩=⟨−3,2,0⟩.)

The cross product (vecd{PQ}×vecd{QR}) produces a vector orthogonal to both (vecd{PQ}) and (vecd{QR}). Therefore, the cross product is orthogonal to the plane that contains these two vectors:

[egin{align*} vecd{PQ}×vecd{QR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−8 & 6 & 2−3 & 2 & 0end{vmatrix}[4pt]
&=0mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}−16mathbf{hat k}−(−18mathbf{hat k}+4mathbf{hat i}+0mathbf{hat j})[4pt]
&=−4mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}+2mathbf{hat k}. النهاية {محاذاة *} ]

We have seen how to use the triple scalar product and how to find a vector orthogonal to a plane. Now we apply the cross product to real-world situations.

Sometimes a force causes an object to rotate. For example, turning a screwdriver or a wrench creates this kind of rotational effect, called torque.

Definition: Torque

Torque, (vecs au) (the Greek letter tau), measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. Let (vecs r) be a vector with an initial point located on the axis of rotation and with a terminal point located at the point where the force is applied, and let vector (vecs F) represent the force. Then torque is equal to the cross product of (r) and (F):

[vecs au=vecs r×vecs F.]

See Figure (PageIndex{9}).

Think about using a wrench to tighten a bolt. The torque τ applied to the bolt depends on how hard we push the wrench (force) and how far up the handle we apply the force (distance). The torque increases with a greater force on the wrench at a greater distance from the bolt. Common units of torque are the newton-meter or foot-pound. Although torque is dimensionally equivalent to work (it has the same units), the two concepts are distinct. Torque is used specifically in the context of rotation, whereas work typically involves motion along a line.

Example (PageIndex{14}): Evaluating Torque

A bolt is tightened by applying a force of (6) N to a 0.15-m wrench (Figure (PageIndex{10})). The angle between the wrench and the force vector is (40°). Find the magnitude of the torque about the center of the bolt. Round the answer to two decimal places.

المحلول:

Substitute the given information into the equation defining torque:

[ egin{align*} ‖vecs τ‖ &=|vecs r×vecs F| [4pt]
&=‖vecs r‖∥vecs F∥sinθ [4pt]
&=(0.15, ext{m})(6, ext{N})sin 40° [4pt]
&≈0.58, ext{N⋅m.} end{align*}]

Exercise (PageIndex{14})

Calculate the force required to produce (15) N⋅m torque at an angle of (30º) from a (150)-cm rod.

تلميح

(‖vecs τ‖=15) N⋅m and (‖vecs r‖=1.5) m

إجابه

(20) N

المفاهيم الرئيسية

  • The cross product (vecs u×vecs v) of two vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is a vector orthogonal to both (vecs u) and (vecs v). Its length is given by (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ,) where (θ) is the angle between (vecs u) and (vecs v). Its direction is given by the right-hand rule.
  • The algebraic formula for calculating the cross product of two vectors,

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩), is

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}.)

  • The cross product satisfies the following properties for vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w), and scalar (c):

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

(vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w)

(c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v))

(vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0)

(vecs v×vecs v=vecs 0)

(vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w)

  • The cross product of vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is the determinant (egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix})
  • If vectors (vecs u) and (vecs v) form adjacent sides of a parallelogram, then the area of the parallelogram is given by (|vecs u×vecs v|.)
  • The triple scalar product of vectors (vecs u, vecs v,) and (vecs w) is (vecs u⋅(vecs v×vecs w).)
  • The volume of a parallelepiped with adjacent edges given by vectors (vecs u,vecs v), and (vecs w) is (V=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|.)
  • If the triple scalar product of vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w) is zero, then the vectors are coplanar. The converse is also true: If the vectors are coplanar, then their triple scalar product is zero.
  • The cross product can be used to identify a vector orthogonal to two given vectors or to a plane.
  • Torque (vecs τ) measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. If force (vecs F) is acting at a distance (displacement) (vecs r) from the axis, then torque is equal to the cross product of (vecs r) and (vecs F: vecs τ=vecs r×vecs F.)

المعادلات الرئيسية

  • The cross product of two vectors in terms of the unit vectors

[vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}]

قائمة المصطلحات

cross product

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k},) where (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩)

determinant

a real number associated with a square matrix

parallelepiped

a three-dimensional prism with six faces that are parallelograms

torque

the effect of a force that causes an object to rotate

triple scalar product

the dot product of a vector with the cross product of two other vectors: (vecs u⋅(vecs v×vecs w))

vector product

the cross product of two vectors

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.


Cross product calculator

ال cross product calculator is had been used to calculate the 3D vectors by using two arbitrary vectors in cross product form, you don&rsquot have to use the manual procedure to solve the calculations you just have to just put the input into the cross product calculator to get the desired result. The method of solving the calculation in the cross product آلة حاسبة is very simple you don&rsquot have to be worried about solving your questions.


Exercises 12.4

Ex 12.4.1 Find the cross product of $langle 1,1,1 angle$ and $langle 1,2,3 angle$. (answer)

Ex 12.4.2 Find the cross product of $langle 1,0,2 angle$ and $langle -1,-2,4 angle$. (answer)

Ex 12.4.3 Find the cross product of $langle -2,1,3 angle$ and $langle 5,2,-1 angle$. (answer)

Ex 12.4.4 Find the cross product of $langle 1,0,0 angle$ and $langle 0,0,1 angle$. (answer)

Ex 12.4.5 Two vectors $ش$ and $v$ are separated by an angle of $pi/6$, and $|ش|=2$ and $|v|=3$. Find $|ش imesv|$. (answer)

Ex 12.4.6 Two vectors $ش$ and $v$ are separated by an angle of $pi/4$, and $|ش|=3$ and $|v|=7$. Find $|ش imesv|$. (answer)

Ex 12.4.7 Find the area of the parallelogram with vertices $(0,0)$, $(1,2)$, $(3,7)$, and $(2,5)$. (answer)

Ex 12.4.8 Find and explain the value of $(أنا imes j) imes k$ and $(أنا + j) imes (أنا - j)$.

Ex 12.4.9 Prove that for all vectors $ش$ and $v$, $(ش imesv)cdotv=0$.

Ex 12.4.10 Prove Theorem MISSING XREFN(thm:cross product properties(.

Ex 12.4.11 Define the triple product of three vectors, $x$, $y$, and $z$, to be the scalar $x cdot (y imes z)$. Show that three vectors lie in the same plane if and only if their triple product is zero. Verify that $langle 1, 5, -2 angle$, $langle 4, 3, 0 angle$ and $langle 6, 13, -4 angle$ are coplanar.


Fleming's &ldquoright-hand rule&rdquo and cross-product of two vectors

I have been throwing around hand gestures for the past hour in a feeble attempt at trying to solve this question involving a cross product of two vectors $a$ x $b$. So far, I haven't found any satisfactory explanation on the internet as to how this rule is supposed to help me find out whether the components of $a$ and $b$ are positive, negative or zero. E.g., James Stewart explains it as though it is obvious (it isn't):

If the fingers of your right hand curl through the angle $ heta$ from $a$ to $b$, then your thumb points in the direction of $n$

What does he mean by "curl"? Sorry if this is a dumb question but I am getting really frustrated trying to use this "rule" to solve what is seemingly a really elementary question. I imagine it would be more intuitive if someone could just "show" me how to do it, but since that is not possible, if anyone could offer an explanation that is more helpful than the above, I would appreciate it.

(This question is specifically in reference to Exercise #4, Chapter 9.4 in Stewart's Single-variable calculus book, 4th edition.)

The figure shows a vector a in the xy-plane and a vector $b$ in the direction of $k$. Their lengths are $||a|| = 3$ and $||b|| = 2$. a) find $||a$ x $b||$ b) Use the right-hand rule to decide whether the components of a x b are positive, negative or zero


12.4: The Cross Product

A proportion is simply a statement that two ratios are equal. It can be written in two ways: as two equal fractions a/b = c/d or using a colon, a:b = c:d. The following proportion is read as "twenty is to twenty-five as four is to five."

In problems involving proportions, we can use cross products to test whether two ratios are equal and form a proportion. To find the cross products of a proportion, we multiply the outer terms, called the extremes, and the middle terms, called the means.

Here, 20 and 5 are the extremes, and 25 and 4 are the means. Since the cross products are both equal to one hundred, we know that these ratios are equal and that this is a true proportion.

We can also use cross products to find a missing term in a proportion. Here's an example. In a horror movie featuring a giant beetle, the beetle appeared to be 50 feet long. However, a model was used for the beetle that was really only 20 inches long. A 30-inch tall model building was also used in the movie. How tall did the building seem in the movie?

First, write the proportion, using a letter to stand for the missing term. We find the cross products by multiplying 20 times x, and 50 times 30. Then divide to find x. Study this step closely, because this is a technique we will use often in algebra. We are trying to get our unknown number, x, on the left side of the equation, all by itself. Since x is multiplied by 20, we can use the "inverse" of multiplying, which is dividing, to get rid of the 20. We can divide both sides of the equation by the same number, without changing the meaning of the equation. When we divide both sides by 20, we find that the building will appear to be 75 feet tall.

Note that we're using the inverse of multiplying by 20-that is, dividing by 20, to get x alone on one side.


12.4: The Cross Product

Understanding Proportions

· Determine whether a proportion is true or false.

· Find an unknown in a proportion.

· Solve application problems using proportions.

A true proportion is an equation that states that two ratios are equal. If you know one ratio in a proportion, you can use that information to find values in the other equivalent ratio. Using proportions can help you solve problems such as increasing a recipe to feed a larger crowd of people, creating a design with certain consistent features, or enlarging or reducing an image to scale.

For example, imagine you want to enlarge a 5-inch by 8-inch photograph to fit a wood frame that you purchased. If you want the shorter edge of the enlarged photo to measure 10 inches, how long does the photo have to be for the image to scale correctly? You can set up a proportion to determine the length of the enlarged photo.

Determining Whether a Proportion is True or False

A proportion is usually written as two equivalent fractions. For example:

Notice that the equation has a ratio on each side of the equal sign. Each ratio compares the same units, inches and feet, and the ratios are equivalent because the units are consistent, and is equivalent to .

Proportions might also compare two ratios with the same units. For example, Juanita has two different-sized containers of lemonade mix. She wants to compare them. She could set up a proportion to compare the number of ounces in each container to the number of servings of lemonade that can be made from each container.

Since the units for each ratio are the same, you can express the proportion without the units:

When using this type of proportion, it is important that the numerators represent the same situation – in the example above, 40 ounces for 10 servings – and the denominators represent the same situation, 84 ounces for 21 servings.

Juanita could also have set up the proportion to compare the ratios of the container sizes to the number of servings of each container.

Sometimes you will need to figure out whether two ratios are, in fact, a true or false proportion. Below is an example that shows the steps of determining whether a proportion is true or false.

Is the proportion true or false?

The units are consistent across the numerators.

The units are consistent across the denominators.

Write each ratio in simplest form.

Since the simplified fractions are equivalent, the proportion is true.

Identifying True Proportions

To determine if a proportion compares equal ratios or not, you can follow these steps.

1. Check to make sure that the units in the individual ratios are consistent either vertically or horizontally. For example, or are valid setups for a proportion.

2. Express each ratio as a simplified fraction.

3. If the simplified fractions are the same, the proportion is true if the fractions are different, the proportion is false.

Sometimes you need to create a proportion before determining whether it is true or not. An example is shown below.

One office has 3 printers for 18 computers. Another office has 20 printers for 105 computers. Is the ratio of printers to computers the same in these two offices?

Identify the relationship.

Write ratios that describe each situation, and set them equal to each other.

Check that the units in the numerators match.

Check that the units in the denominators match.

Simplify each fraction and determine if they are equivalent.

Since the simplified fractions are not equal (designated by the sign), the proportion is not true.

The ratio of printers to computers is ليس the same in these two offices.

There is another way to determine whether a proportion is true or false. This method is called “finding the cross product” or “cross multiplying”.

To cross multiply, you multiply the numerator of the first ratio in the proportion by the denominator of the other ratio. Then multiply the denominator of the first ratio by the numerator of the second ratio in the proportion. If these products are equal, the proportion is true if these products are not equal, the proportion is not true.

This strategy for determining whether a proportion is true is called cross-multiplying because the pattern of the multiplication looks like an “x” or a criss-cross. Below is an example of finding a cross product, or cross multiplying.

In this example, you multiply 3 • 10 = 30, and then multiply 5 • 6 = 30. Both products are equal, so the proportion is true.

Below is another example of determining if a proportion is true or false by using cross products.


Huge Halo: MCC Update Is Out Now, Adds Series X Enhancements, Cross-Play, And Brings Halo 4 To PC

A big update for Halo: The Master Chief Collection has landed, and it is substantial.

By Eddie Makuch on November 18, 2020 at 9:53AM PST

While Halo Infinite might have been delayed to 2021, Halo: The Master Chief Collection is still going strong and getting new updates. The latest one has arrived, and it's a big one, bringing with it Series X/S updates and cross-play, while Halo 4 has arrived on PC.

This is a very large update, weighing in at more than 41.53 GB on Xbox One. The Steam version is around 25.4 GB and the Microsoft Store/Game Pass for PC edition is no larger than 47.95 GB.

The big-ticket item is the Series X/S enhancements, which include up to 4K/120fps for those with compatible screens and devices. You'll be able to get 120fps support in campaign and multiplayer on both next-gen consoles, while 4K is limited to the Series X version Series S runs at 1080p. You also get improvements to split-screen multiplayer and the ability to change the field of view settings, which is not often available in console games. Read more about the next-gen updates here.

Additionally, the update brings cross-play to The Master Chief Collection across Xbox and PC. Players can choose their preferred input device when launching the game after the update, and this can be changed at any time.

This new update also brings Halo 4 to PC for the first time through The Master Chief Collection. This is an especially big deal because it is the sixth and final game in the collection on PC, following Halo: Reach, Halo: Combat Evolved, Halo 2, Halo 3, and Halo 3: ODST. (343 has said it has no plans to incorporate the most recent game, Halo 5: Guardians, into MCC.) You can buy each game individually or through a bundle. It's also available through Xbox Game Pass.

What's more, Season 4 is now underway in The Master Chief Collection. This includes more than 70 new cosmetic items to unlock, including new weapon and vehicle skins.

The new MCC update also fixes a number of issues across each game, so you can expect a better experience the next time you log in. You can see the full patch notes below, as posted on the Halo website.

As for when we may see more of Halo Infinite, it probably won't be soon. Microsoft has ruled out a new video at The Game Awards in December, but we will get a high-level update on the game soon.


Law of Independent Assortment

Mendel’s law of independent assortment states that genes do not influence each other with regard to the sorting of alleles into gametes, and every possible combination of alleles for every gene is equally likely to occur. Independent assortment of genes can be illustrated by the dihybrid cross, a cross between two true-breeding parents that express different traits for two characteristics. Consider the characteristics of seed color and seed texture for two pea plants, one that has wrinkled, green seeds (rryy) and another that has round, yellow seeds (RRYY). Because each parent is homozygous, the law of segregation indicates that the gametes for the wrinkled–green plant all are ry, and the gametes for the round–yellow plant are all RY. Therefore, the F1 generation of offspring all are RrYy (Figure 8.10).

Figure 8.10 A dihybrid cross in pea plants involves the genes for seed color and texture. The P cross produces F1 offspring that are all heterozygous for both characteristics. The resulting 9:3:3:1 F2 phenotypic ratio is obtained using a Punnett square.

In pea plants, purple flowers (ص) are dominant to white (p), and yellow peas (ص) are dominant to green (y). What are the possible genotypes and phenotypes for a cross between PpYY و ppYy pea plants? How many squares would you need to complete a Punnett square analysis of this cross?

The possible genotypes are PpYY, PpYy, ppYY, and ppYy. The former two genotypes would result in plants with purple flowers and yellow peas, while the latter two genotypes would result in plants with white flowers with yellow peas, for a 1:1 ratio of each phenotype. You only need a 2 × 2 Punnett square (four squares total) to do this analysis because two of the alleles are homozygous.

The gametes produced by the F1 individuals must have one allele from each of the two genes. For example, a gamete could get an ص allele for the seed shape gene and either a ص or a y allele for the seed color gene. It cannot get both an ص and an ص allele each gamete can have only one allele per gene. The law of independent assortment states that a gamete into which an ص allele is sorted would be equally likely to contain either a ص or a y allele. Thus, there are four equally likely gametes that can be formed when the RrYy heterozygote is self-crossed, as follows: RY, rY, Ry, and ry. Arranging these gametes along the top and left of a 4 × 4 Punnett square gives us 16 equally likely genotypic combinations. From these genotypes, we find a phenotypic ratio of 9 round–yellow:3 round–green:3 wrinkled–yellow:1 wrinkled–green. These are the offspring ratios we would expect, assuming we performed the crosses with a large enough sample size.

The physical basis for the law of independent assortment also lies in meiosis I, in which the different homologous pairs line up in random orientations. Each gamete can contain any combination of paternal and maternal chromosomes (and therefore the genes on them) because the orientation of tetrads on the metaphase plane is random (Figure 8.11).

Figure 8.11 The random segregation into daughter nuclei that happens during the first division in meiosis can lead to a variety of possible genetic arrangements.


Assumptions of the 9:3:3:1 ratio

Both the product rule and the Punnett Square approaches showed that a 9:3:3:1 phenotypic ratio is expected among the progeny of a dihybrid cross such as Mendel&rsquos RrYy × RrYy. In making these calculations, we assumed that:

  1. both loci assort independently
  2. one allele at each locus is completely dominant and
  3. each of four possible phenotypes can be distinguished unambiguously, with no interactions between the two genes that would alter the phenotypes.

Deviations from the 9:3:3:1 phenotypic ratio may indicate that one or more of the above conditions has not been met. Modified ratios in the progeny of a dihybrid cross can therefore reveal useful information about the genes involved.

Linkage is one of the most important reasons for distortion of the ratios expected from independent assortment. Linked genes are located close together on the same chromosome. This close proximity alters the frequency of allele combinations in the gametes. We will return to the concept of linkage in Chapter 7. Deviations from 9:3:3:1 ratios can also be due to interactions between genes. These interactions will be discussed in the remainder of this chapter. For simplicity, we will focus on examples that involve easily scored phenotypes, such as pigmentation. Nevertheless, keep in mind that the analysis of segregation ratios of any markers can provide insight into a wide range of biological processes they represent.


Informed Compliance Publications, Directives, and Handbooks

CBP has a number of Informed Compliance Publications (ICPs) in the "What Every Member of the Trade Community Should Know About: . " series. As of the date of this posting, the subjects listed are available for reading or downloading. The first date shown is the original publication date. The subsequent dates, if any, show the revisions. Please note: The "Additional Information" sections in some of the older ICPs were correct at the time of publication, but may no longer be current.

Additionally, CBP publishes several Directives and Handbooks, which provide guidance to the public on a variety of trade-related matters.


شاهد الفيديو: Math 1220 - Section - The Cross Product (ديسمبر 2021).