مقالات

11.1: المتتاليات


في حين أن فكرة تسلسل الأرقام ، (a_1 ، a_2 ، a_3 ، ldots ) ​​واضحة ومباشرة ، من المفيد التفكير في التسلسل كدالة. تتم كتابة التسلسلات بعدة طرق مختلفة ، وكلها متكافئة ؛ هذه كلها تعني نفس الشيء:

[ displaylines {a_1، a_2، a_3، ldots cr left {a_n right } _ {n = 1} ^ { infty} cr left {f (n) right } _ {n = 1} ^ { infty} cr} ]

كما هو الحال مع الدوال الموجودة على الأرقام الحقيقية ، سنواجه في أغلب الأحيان متواليات يمكن التعبير عنها بواسطة صيغة. لقد رأينا بالفعل التسلسل (a_i = f (i) = 1-1 / 2 ^ i ) ، والبعض الآخر سهل الوصول إليه:

[ eqalign {f (i) & = {i over i + 1} cr f (n) & = {1 over2 ^ n} cr f (n) & = sin (n pi / 6 ) cr f (i) & = {(i-1) (i + 2) over2 ^ i}. cr} ]

غالبًا ما تكون هذه الصيغ منطقية إذا تم التفكير فيها إما كوظائف مع المجال ( mathcal {R} ) أو ( mathcal {N} ) ، على الرغم من أن إحداها ستكون منطقية في بعض الأحيان لقيم الأعداد الصحيحة فقط.

في مواجهة التسلسل ، نحن مهتمون بالحد ( lim_ {i to infty} f (i) = lim_ {i to infty} a_i. ) نحن بالفعل نفهم ( lim_ {x to infty} f (x) ) عندما يكون (x ) متغيرًا ذا قيمة حقيقية ؛ الآن نريد ببساطة تقييد قيم "الإدخال" لتكون أعدادًا صحيحة. لا يلزم وجود فرق حقيقي في تعريف النهاية ، باستثناء أننا نحدد ، ربما ضمنيًا ، أن المتغير عدد صحيح. قارن هذا التعريف بالتعريف 4.10.2.

التعريف 11.1.1: المتتاليات المتقاربة والمتباعدة

افترض أن ( left {a_n right } _ {n = 1} ^ { infty} ) عبارة عن تسلسل. نقول أن ( lim_ {n to infty} a_n = L ) إذا كان لكل ( epsilon> 0 ) (N> 0 ) بحيث أنه كلما (n> N ) ، (| a_n-L | < إبسيلون ). إذا كان ( lim_ {n to infty} a_n = L ) نقول أن التسلسل يتقارب، وإلا فإنه يتباعد.

إذا كان (f (i) ) يعرف تسلسلًا ، و (f (x) ) منطقي ، و ( displaystyle lim_ {x to infty} f (x) = L ) ، إذن من الواضح أن ( lim_ {i to infty} f (i) = L ) أيضًا ، لكن من المهم ملاحظة أن عكس هذه العبارة غير صحيح. على سبيل المثال ، بما أن ( lim_ {x to infty} (1 / x) = 0 ) ، من الواضح أيضًا أن ( lim_ {i to infty} (1 / i) = 0 ) ، أي الأرقام

[{1 over1} ، {1 over2} ، {1 over3} ، {1 over4} ، {1 over5} ، {1 over6} ، ldots ]

اقترب أكثر فأكثر من 0. ضع في اعتبارك هذا ، ولكن: دع (f (n) = sin (n pi) ).

هذا هو التسلسل

[ sin (0 pi) ، sin (1 pi) ، sin (2 pi) ، sin (3 pi) ، ldots = 0،0،0،0 ، ldots ]

منذ

[ sin (n pi) = 0 ]

عندما (n ) عدد صحيح. وبالتالي ( lim_ {n to infty} f (n) = 0 ). لكن ( lim_ {x to infty} f (x) ) ، عندما يكون (x ) حقيقيًا ، لا يكون موجودًا: نظرًا لأن (x ) يكبر ويكبر ، فإن القيم ( sin ( x pi) ) لا تقترب أكثر فأكثر من قيمة واحدة ، ولكن تأخذ جميع القيم بين (- 1 ) و (1 ) مرارًا وتكرارًا. بشكل عام ، متى أردت معرفة ( lim_ {n to infty} f (n) ) ، يجب أولاً محاولة حساب ( lim_ {x to infty} f (x) ) ، منذ إذا كان الأخير موجودًا فإنه يساوي أيضًا الحد الأول. ولكن إذا كان ( lim_ {x to infty} f (x) ) لسبب ما غير موجود ، فقد يظل صحيحًا أن ( lim_ {n to infty} f (n) ) موجود ، ولكن سيتعين عليك اكتشاف طريقة أخرى لحسابها.

من المفيد أحيانًا التفكير في الرسم البياني للتسلسل. نظرًا لأن الوظيفة محددة فقط لقيم الأعداد الصحيحة ، فإن الرسم البياني هو مجرد سلسلة من النقاط. في الشكل 11.1.1 نرى الرسوم البيانية لتتابعين والرسوم البيانية للوظائف الحقيقية المقابلة.

الشكل 11.1.1. الرسوم البيانية للتسلسلات والوظائف الحقيقية المقابلة لها.

ليس من المستغرب أن تُترجم خصائص حدود الوظائف الحقيقية إلى خصائص التسلسلات بسهولة تامة. نظرية 2.3.6 يصبح حول الحدود

التعريف 11.1.2

افترض أن ( lim_ {n to infty} a_n = L ) و ( lim_ {n to infty} b_n = M ) و (k ) ثابتان. ثم

[ eqalign {& lim_ {n to infty} ka_n = k lim_ {n to infty} a_n = kL cr & lim_ {n to infty} (a_n + b_n) = lim_ {n to infty} a_n + lim_ {n to infty} b_n = L + M cr & lim_ {n to infty} (a_n-b_n) = lim_ {n to infty} a_n - lim_ {n to infty} b_n = LM cr & lim_ {n to infty} (a_nb_n) = lim_ {n to infty} a_n cdot lim_ {n to infty} b_n = LM cr & lim_ {n to infty} {a_n over b_n} = { lim_ {n to infty} a_n over lim_ {n to infty} b_n} = {L أكثر من M} ، hbox {if (M ) ليس 0}. cr} ]

وبالمثل أزمة نظرية (4.3.1) يصبح

نظرية 11.1.3

لنفترض أن

[a_n le b_n le c_n ]

للجميع (n> N ) ، لبعض (N ). لو

[ lim_ {n to infty} a_n = lim_ {n to infty} c_n = L، ]

من ثم

[ lim_ {n to infty} b_n = L. ]

وحقيقة أخيرة مفيدة:

نظرية 11.1.4

[ lim_ {n to infty} | a_n | = 0 ]

إذا وفقط إذا

[ lim_ {n to infty} a_n = 0. ]

تقول هذه النظرية ببساطة أن حجم (a_n ) يقترب من الصفر إذا وفقط إذا اقترب (a_n ) من الصفر.

مثال 11.1.5

حدد ما إذا كان ( left {{n over n + 1} right } _ {n = 0} ^ { infty} ) يتقارب أو يتباعد. إذا تقاربت ، احسب الحد.

المحلول

لأن هذا منطقي بالنسبة للأرقام الحقيقية التي نعتبرها

[ lim_ {x to infty} {x over x + 1} = lim_ {x to infty} 1- {1 over x + 1} = 1-0 = 1. ]

وهكذا يتقارب التسلسل إلى 1.

مثال 11.1.6

حدد ما إذا كان ( bigg {{ ln n over n} bigg } _ {n = 1} ^ { infty} ) يتقارب أو يتباعد. إذا تقاربت ، احسب الحد.

المحلول

نحسب ( lim_ {x to infty} { ln x over x} = lim_ {x to infty} {1 / x over 1} = 0، ) باستخدام قاعدة L'Hôpital. وهكذا يتقارب التسلسل إلى 0.

مثال 11.1.7

حدد ما إذا كان ( {(- 1) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) يتقارب أو يتباعد. إذا تقاربت ، احسب الحد.

المحلول

هذا غير منطقي لجميع الدعاة الحقيقيين ، لكن التسلسل سهل الفهم: إنه (1، -1،1، -1،1 ldots ) ​​ومن الواضح أنه يتباعد.

مثال 11.1.8

حدد ما إذا كان ( {(- 1/2) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) يتقارب أو يتباعد. إذا تقاربت ، احسب الحد.

المحلول

نحن نعتبر التسلسل

[ {| (-1/2) ^ n | } _ {n = 0} ^ { infty} = {(1/2) ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} . ]

ثم

[ lim_ {x to infty} left ({1 over2} right) ^ x = lim_ {x to infty} {1 over2 ^ x} = 0، ]

لذلك من خلال النظرية 11.1.4 يتقارب التسلسل إلى 0.

مثال 11.1.9

حدد ما إذا كان ( {( sin n) / sqrt {n} } _ {n = 1} ^ { infty} ) يتقارب أو يتباعد. إذا تقاربت ، احسب الحد.

المحلول

منذ (| sin n | le 1 ) ، (0 le | sin n / sqrt {n} | le 1 / sqrt {n} ) ويمكننا استخدام النظرية 11.1.3 مع (a_n = 0 ) و (c_n = 1 / sqrt {n} ). منذ ( lim_ {n to infty} a_n = lim_ {n to infty} c_n = 0 ) ، ( lim_ {n to infty} sin n / sqrt {n} = 0 ) ويتقارب التسلسل إلى 0.

مثال 11.1.10

التسلسل الشائع والمفيد بشكل خاص هو ( {r ^ n } _ {n = 0} ^ { infty} ) ، لقيم مختلفة (r ). بعضها سهل الفهم: إذا (r = 1 ) يتقارب التسلسل إلى 1 لأن كل مصطلح هو 1 ، وبالمثل إذا (r = 0 ) يتقارب التسلسل إلى 0. إذا (r = -1 ) ) هذا هو تسلسل المثال 11.1.7 ويتباعد. إذا (r> 1 ) أو (r <-1 ) أصبحت المصطلحات (r ^ n ) كبيرة بلا حدود ، وبالتالي فإن التسلسل يتباعد. إذا (0

في بعض الأحيان لن نتمكن من تحديد نهاية التسلسل ، لكننا ما زلنا نرغب في معرفة ما إذا كانت تتقارب. في بعض الحالات يمكننا تحديد ذلك حتى بدون التمكن من حساب الحد.

تسلسل يسمى في ازدياد أو في بعض الأحيان زيادة صارمة إذا (a_i غير متناقص أو أحيانًا (للأسف) في ازدياد إذا (a_i le a_ {i + 1} ) للجميع (i ). وبالمثل فإن التسلسل تناقص إذا (a_i> a_ {i + 1} ) للجميع (i ) و غير متزايد إذا (a_i ge a_ {i + 1} ) للجميع (i ). إذا كان للتسلسل أي من هذه الخصائص ، يتم استدعاؤه رتيب.

مثال 11.1.11

الترتيب

[ left { dfrac {2 ^ i-1} {2 ^ i} right } _ {i = 1} ^ { infty} = dfrac {1} {2} ، dfrac {3} {4} ، dfrac {7} {8} ، dfrac {15} {16} ، dots ]

بازدياد،

و

[ يسار {{n + 1 أكثر من n} يمين } _ {i = 1} ^ { infty} = {2 over1} ، {3 over2} ، {4 over3} ، {5 over4}، ldots ]

يتناقص.

التسلسل يحدها فوق إذا كان هناك رقم (N ) مثل (a_n le N ) لكل (n ) ، و يحدها أدناه إذا كان هناك عدد (N ) مثل (a_n ge N ) لكل (n ). إذا كان التسلسل مقيدًا أعلاه ومقيدًا تحته المحصورة. إذا كان التسلسل ( {a_n } _ {n = 0} ^ { infty} ) يتزايد أو لا يتناقص ، يتم تقييده أدناه (ب (a_0 )) ، وإذا كان يتناقص أو لا- زيادتها يحدها أعلاه (ب (أ_0 )). أخيرًا ، مع كل هذه المصطلحات الجديدة يمكننا أن نذكر نظرية مهمة.

نظرية 11.1.12

إذا كان التسلسل محدودًا ورتيبًا ، فإنه يتقارب.

لن نثبت ذلك. يظهر الدليل في العديد من كتب التفاضل والتكامل. ليس من الصعب تصديق ذلك: لنفترض أن التسلسل يتزايد ويحد ، لذلك كل مصطلح أكبر من السابق ، ولكن ليس أكبر من قيمة ثابتة (N ). يجب أن تقترب المصطلحات بعد ذلك من قيمة ما بين (a_0 ) و (N ). لا يلزم أن يكون (N ) ، نظرًا لأن (N ) قد يكون حدًا أعلى "شديد السخاء" ؛ سيكون الحد هو أصغر رقم فوق كل المصطلحات (a_i ).

مثال 11.1.13

كل المصطلحات ((2 ^ i-1) / 2 ^ i ) أقل من 2 ، ويتزايد التسلسل. كما رأينا ، فإن حد المتسلسلة هو 1 - 1 وهو أصغر رقم أكبر من كل حدود المتسلسلة. وبالمثل ، فإن جميع المصطلحات ((n + 1) / n ) أكبر من (1/2 ) ، والحد هو 1 - 1 هو أكبر رقم أصغر من شروط التسلسل .

لا نحتاج في الواقع إلى معرفة أن التسلسل رتيب لتطبيق هذه النظرية - يكفي أن نعرف أن التسلسل رتيب "في النهاية" ، أي أنه في مرحلة ما يتزايد أو يتناقص. على سبيل المثال ، التسلسل (10 ​​) ، (9 ) ، (8 ) ، (15 ) ، (3 ) ، (21 ) ، (4 ) ، (3/4 ) ) ، (7/8 ) ، (15/16 ) ، (31/32 ، ldots ) ​​لا يتزايد ، لأنه ليس كذلك من بين المصطلحات القليلة الأولى. ولكن بدءًا من المصطلح (3 / 4 ) يتزايد ، لذا تخبرنا النظرية أن التسلسل (3/4 ، 7/8 ، 15/16 ، 31/32 ، ldots ) ​​يتقارب. نظرًا لأن التقارب يعتمد فقط على ما يحدث عند ( n ) يصبح كبيرًا ، لا يمكن أن تؤدي إضافة بعض المصطلحات في البداية إلى تحويل التسلسل المتقارب إلى تسلسل متشعب.

مثال 11.1.14

أظهر أن ( {n ^ {1 / n} } ) يتقارب.

المحلول

نوضح أولاً أن هذا التسلسل يتناقص ، أي أنه (n ^ {1 / n}> (n + 1) ^ {1 / (n + 1)} ). ضع في اعتبارك الوظيفة الحقيقية (f (x) = x ^ {1 / x} ) عندما (x ge1 ). يمكننا حساب المشتق ، (f '(x) = x ^ {1 / x} (1- ln x) / x ^ 2 ) ، ونلاحظ أنه عند (x ge 3 ) يكون هذا سالبًا . نظرًا لأن الوظيفة بها ميل سلبي ، (n ^ {1 / n}> (n + 1) ^ {1 / (n + 1)} ) عند (n ge 3 ). نظرًا لأن جميع شروط التسلسل موجبة ، فإن التسلسل يتناقص ويحد عند (n ge3 ) ، وبالتالي يتقارب التسلسل. (كما يحدث ، يمكننا حساب النهاية في هذه الحالة ، لكننا نعلم أنها تتقارب حتى بدون معرفة الحد ؛ انظر التمرين 1.)

مثال 11.1.15

أظهر أن ( {n! / n ^ n } ) يتقارب.

المحلول

نوضح مرة أخرى أن المتتالية تتناقص ، وبما أن كل حد موجب ، فإن المتتالية تتقارب. لا يمكننا أخذ المشتق هذه المرة ، لأن (x! ) لا معنى له لـ (x ) حقيقي. لكننا نلاحظ أنه إذا (a_ {n + 1} / a_n <1 ) ثم (a_ {n + 1}

[a_ {n + 1} / a_n: {a_ {n + 1} over a_n} = {(n + 1)! over (n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n over n!} = {(n + 1)! over n!} {n ^ n over (n + 1) ^ {n + 1}} = {n + 1 over n + 1} left ({n أكثر من n + 1} right) ^ n = left ({n over n + 1} right) ^ n <1. ]

(مرة أخرى من الممكن حساب الحد ، انظر التمرين 2.)


12.1 التسلسلات

إذا قمنا بإدراج قيم الوظائف بالترتيب كالتالي 2 و 4 و 6 و 8 و 10 ، ... لدينا تسلسل. التسلسل هو وظيفة مجالها هو أرقام العد.

المتتاليات

أ تسلسل هي وظيفة مجالها هو أرقام العد.

يمكن أيضًا رؤية التسلسل كقائمة أرقام مرتبة وكل رقم في القائمة هو a مصطلح. قد يحتوي التسلسل على عدد لا حصر له من المصطلحات أو عدد محدود من المصطلحات. يحتوي تسلسلنا على ثلاث نقاط (قطع) في النهاية مما يشير إلى أن القائمة لا تنتهي أبدًا. إذا كان المجال هو مجموعة جميع أرقام العد ، فإن التسلسل هو تسلسل لانهائي. مجالها هو كل أرقام العد وهناك عدد لا حصر له من أرقام العد.

إذا قصرنا المجال على عدد محدود من أرقام العد ، فإن التسلسل هو تسلسل محدود. إذا استخدمنا فقط أول أربعة أرقام عد ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 سيكون تسلسلنا هو التسلسل المحدد ،

مصطلح عام للتسلسل

ال مصطلح عام من التسلسل من الصيغة لكتابة نال مصطلح من التسلسل. ال نالمصطلح العاشر من التسلسل ، أن، هو المصطلح الموجود في نالمركز فيه ن هي قيمة في المجال.

عندما نعرف الحد العام للمتسلسلة ، يمكننا إيجاد الحدود بالتعويض ن مع أرقام العد بالترتيب. بالنسبة إلى أ ن = 2 ن ، أ ن = 2 ن ،

لإيجاد قيم التسلسل ، نعوض بأرقام العد بالترتيب في المصطلح العام للتسلسل.

مثال 12.1

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 4 n - 3. أ ن = 4 ن - 3.

المحلول

نعوض بالقيم 1 و 2 و 3 و 4 و 5 في الصيغة ، a n = 4 n - 3 ، a n = 4 n - 3 بالترتيب.

أول خمسة حدود من المتسلسلة هي 1 و 5 و 9 و 13 و 17.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 3 n - 4. أ ن = 3 ن - 4.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 2 n - 5. أ ن = 2 ن - 5.

بالنسبة لبعض التسلسلات ، يكون المتغير أسًا.

مثال 12.2

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 2 n + 1. أ ن = 2 ن + 1.

المحلول

نعوض بالقيم 1 و 2 و 3 و 4 و 5 في الصيغة ، a n = 2 n + 1 ، a n = 2 n + 1 ، بالترتيب.

أول خمسة حدود من المتسلسلة هي 3 و 5 و 9 و 17 و 33.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 3 n + 4. أ ن = 3 ن + 4.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 2 n - 5. أ ن = 2 ن - 5.

ستتبدل الشروط في المثال التالي كنتيجة لقوى 1. −1.

مثال 12.3

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = (−1) n n 3. أ ن = (−1) ن ن 3.

المحلول

نعوض بالقيم 1 و 2 و 3 و 4 و 5 في الصيغة ، a n = (−1) n n 3 ، a n = (−1) n n 3 ، بالترتيب.

أول خمسة حدود من المتتابعة هي −1 و 8 و 27 و 64 و 1 و 8 و 27 و 64 و −125. −125.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = (−1) n n 2. أ ن = (−1) ن ن 2.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = (−1) n + 1 n 3. أ ن = (−1) ن + 1 ن 3.

ابحث عن صيغة للمصطلح العام (نالمصطلح) من التسلسل

في بعض الأحيان يكون لدينا بعض المصطلحات في التسلسل وسيكون من المفيد معرفة المصطلح العام أو نال مصطلح. لإيجاد المصطلح العام ، نبحث عن أنماط في المصطلحات. غالبًا ما تتضمن الأنماط مضاعفات أو قوى. نبحث أيضًا عن نمط في إشارات المصطلحات.

مثال 12.4

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

المحلول

نحن نبحث عن نمط في الشروط.
الأعداد كلها من مضاعفات العدد 4.
المصطلح العام للتسلسل هو أ ن = 4 ن. أ ن = 4 ن.

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

مثال 12.5

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

المحلول

نحن نبحث عن نمط في الشروط.
الأرقام هي قوى 2. العلامات هي
بالتناوب ، حتى مع n n سالب.
المصطلح العام للمتسلسلة هو a n = (−1) n + 1 2 n. أ ن = (1) ن + 1 2 ن.

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى

مثال 12.6

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

المحلول

نحن نبحث عن نمط في الشروط.
البسط كلها 1.
المقامات هي قوى 3. المصطلح العام للمتسلسلة هو أ ن = 1 3 ن. أ ن = 1 3 ن.

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , … 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , …

أوجد حدًا عامًا للمتسلسلة التي تظهر حدودها الخمسة الأولى.

1 1 , 1 4 , 1 9 , 1 16 , 1 25 , … 1 1 , 1 4 , 1 9 , 1 16 , 1 25 , …

استخدم تدوين عاملي

غالبًا ما تحتوي المتواليات على مصطلحات هي نتاج أعداد صحيحة متتالية. نشير إلى هذه المنتجات بعلامة خاصة تسمى تدوين عاملي. على سبيل المثال ، 5! 5! ، اقرأ 5 عاملي ، يعني 5 · 4 · 3 · 2 · 1. 5 · 4 · 3 · 2 · 1. علامة التعجب ليست علامة ترقيم هنا فهي تشير إلى التدوين المضروب.

عاملي تدوين

لو ن هو عدد صحيح موجب ، ثم ن! ن ! يكون

مثال 12.7

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 1 n! أ ن = 1 ن! .

المحلول

نعوض بالقيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 في الصيغة ، أ ن = 1 ن! ، أ ن = 1 ن! ، مرتب.

أول خمسة حدود من المتتابعة هي 1 ، 1 2 ، 1 6 ، 1 24 ، 1120. 1 ، 1 2 ، 1 6 ، 1 24 ، 1120.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 2 n! . أ ن = 2 ن! .

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = 3 n! . أ ن = 3 ن! .

عندما يكون هناك كسر بمضروب في البسط والمقام ، فإننا نصطف العوامل رأسيًا لتسهيل العمليات الحسابية.

مثال 12.8

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = (n + 1)! (ن - 1)! . أ ن = (ن + 1)! (ن - 1)! .

المحلول

نعوض بالقيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 في الصيغة ، a n = (n + 1)! (ن - 1)! ، أ ن = (ن + 1)! (ن - 1)! ، مرتب.

أول خمسة حدود من المتسلسلة هي 2 و 6 و 12 و 20 و 30.

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام a n = (n - 1)! (ن + 1)! . أ ن = (ن - 1)! (ن + 1)! .

اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة التي حدها العام هو a n = n! (ن + 1)! . أ ن = ن! (ن + 1)! .

أوجد المجموع الجزئي

في بعض الأحيان في التطبيقات ، بدلاً من مجرد سرد المصطلحات ، من المهم بالنسبة لنا إضافة شروط التسلسل. بدلاً من مجرد ربط الحدود بعلامات الجمع ، يمكننا استخدام تدوين الجمع.

تدوين التلخيص

مجموع الأول ن شروط التسلسل الذي نالمصطلح هو a n a n مكتوب في التدوين التجميعي على النحو التالي:

ال أنا هو مؤشر الجمع ويخبرنا الرقم 1 من أين نبدأ و ن يخبرنا أين ننتهي.

عندما نضيف عددًا محدودًا من الحدود ، فإننا نسمي المجموع مجموعًا جزئيًا.

مثال 12.9

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ i = 1 5 2 i. ∑ أنا = 1 5 2 ط.

المحلول

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ i = 1 5 3 i. ∑ أنا = 1 5 3 ط.

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ i = 1 5 4 i. ∑ أنا = 1 5 4 ط.

لا يجب أن يكون الفهرس دائمًا أنا يمكننا استخدام أي حرف ، ولكن أنا و ك يشيع استخدامها. لا يجب أن يبدأ الفهرس بالرقم 1 أيضًا - يمكن أن يبدأ وينتهي بأي عدد صحيح موجب.

مثال 12.10

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ k = 0 3 1 k! . ∑ ل = 0 3 1 ك! .

المحلول

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ k = 0 3 2 k! . ∑ ل = 0 3 2 ك! .

انشر المجموع الجزئي وأوجد قيمته: ∑ k = 0 3 3 k! . ∑ ل = 0 3 3 ك! .

استخدم تدوين الجمع لكتابة المجموع

في المثالين الأخيرين ، انتقلنا من التدوين التجميعي إلى كتابة المجموع. الآن سنبدأ بالمجموع ونغيره إلى تدوين الجمع. هذا مشابه جدًا لإيجاد المصطلح العام للتسلسل. سنحتاج إلى النظر إلى الحدود وإيجاد نمط. غالبًا ما تتضمن الأنماط مضاعفات أو قوى.

مثال 12.11

اكتب المجموع باستخدام طريقة الجمع: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5.

المحلول

اكتب المجموع باستخدام طريقة الجمع: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32. 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32.

اكتب المجموع باستخدام طريقة الجمع: 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25. 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25.

عندما يكون لشروط المجموع معاملات سالبة ، يجب علينا تحليل نمط العلامات بعناية.

مثال 12.12

اكتب المجموع باستخدام طريقة الجمع: −1 + 8 - 27 + 64-125. −1 + 8 - 27 + 64 - 125.

المحلول

نحن نبحث عن نمط في الشروط.
تتناوب علامات الشروط ،
والمصطلحات الفردية سلبية.
الأرقام هي مكعبات
عد الأعداد من واحد إلى خمسة.
المجموع المكتوب في التدوين التجميعي هو
- 1 + 8 - 27 + 64-125 = ∑ n = 1 5 (- 1) n ⋅ n 3 - 1 + 8 - 27 + 64-125 = ∑ n = 1 5 (- 1) n ⋅ n 3

اكتب كل مجموع باستخدام طريقة الجمع: 1 - 4 + 9 - 16 + 25. 1 - 4 + 9 - 16 + 25.

اكتب كل مجموع باستخدام طريقة الجمع: −2 + 4 - 6 + 8 - 10. −2 + 4 - 6 + 8 - 10.

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام التسلسلات.

القسم 12.1 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

اكتب أول عدد من حدود التسلسل

في التدريبات التالية ، اكتب المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل الذي تم تحديد المصطلح العام له.

ابحث عن صيغة للمصطلح العام (نالمصطلح) من التسلسل

في التمارين التالية ، أوجد مصطلحًا عامًا للتسلسل الذي تظهر مصطلحاته الخمسة الأولى.

1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1,024 , … 1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1,024 , …

1 1 , 1 8 , 1 27 , 1 64 , 1 125 , … 1 1 , 1 8 , 1 27 , 1 64 , 1 125 , …

− 1 2 , − 2 3 , − 3 4 , − 4 5 , − 5 6 , … − 1 2 , − 2 3 , − 3 4 , − 4 5 , − 5 6 , …

−2 , − 3 2 , − 4 3 , − 5 4 , − 6 5 , … −2 , − 3 2 , − 4 3 , − 5 4 , − 6 5 , …

− 5 2 , − 5 4 , − 5 8 , − 5 16 , − 5 32 , … − 5 2 , − 5 4 , − 5 8 , − 5 16 , − 5 32 , …

4 , 1 2 , 4 27 , 4 64 , 4 125 , … 4 , 1 2 , 4 27 , 4 64 , 4 125 , …

استخدم تدوين عاملي

في التدريبات التالية ، باستخدام التدوين العاملي ، اكتب المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل المصطلح العام المعطى.

أوجد المجموع الجزئي

في التدريبات التالية ، قم بتوسيع المجموع الجزئي وإيجاد قيمته.

استخدم تدوين الجمع لكتابة المجموع

في التدريبات التالية ، اكتب كل مجموع باستخدام تدوين الجمع.

1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125

14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 + 26

9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

تمارين الكتابة

اشرح ، بكلماتك الخاصة ، كيفية كتابة شروط المتسلسلة عندما تعرف الصيغة. اعرض مثالاً لتوضيح شرحك.

أي شروط في المتتالية تكون سالبة عند ن الحد العاشر من التسلسل هو n = (−1) n (n + 2)؟ أ ن = (−1) ن (ن + 2)؟

اشرح ما يعنيه كل جزء من الرموز = k = 1 12 2 k ∑ k = 1 12 2 k.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك أن تطلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لم أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-1-sequences

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    11.3 تعيين تسلسل مستند

    قبل أن تتمكن من تعيين تسلسل لمستندات رقمية ، يجب عليك تحديد المستندات المراد ترقيمها.

    يختلف تحديد تسلسل عن تعيين تسلسل لسلسلة من المستندات.

    يحدد تعريف التسلسل ما إذا كان يتم إنشاء رقم المستند تلقائيًا أو إدخاله يدويًا بواسطة المستخدم.

    يتم تعريف تعيين التسلسل ، أي المستندات التي تم تعيين التسلسل لها ، في نموذج تعيينات التسلسل.


    3 إجابات 3

    العلاقة هي أن $ frac17 = frac <11 times13> <1001> $، $ frac1 <11> = frac <7 times13> <1001> $ و $ frac1 <13> = frac <7 times11> <1001> $ ، ونمط إضافة ثلاثة أرقام إلى الثلاثة أرقام التالية للحصول على 999 $ يعمل لأي كسر $ frac<1001> $ (بصرف النظر عن الأعداد الصحيحة ، مثل $ frac <1001> <1001> $ أو $ frac <2002> <1001> $) وليس لأي رقم آخر.

    دعونا نرى ما هو الضرب أي رقم 1001 دولار يفعل. لدينا $ 1001x = (1000 + 1) x = 1000x + x $ لذا فإن ضرب رقم $ x $ في $ 1001 $ هو نفسه أخذ نسختين من $ x $ ، وضرب إحداهما في $ 1000 $ (وهذا له تأثير لنقل جميع أرقام $ x $ ثلاثة أماكن إلى اليسار) ، ثم اجمعها معًا.

    الآن ، ما يميز الأرقام $ frac n <1001> $ (مرة أخرى ، باستثناء تلك التي هي بالفعل أعداد صحيحة) هو أنها الأرقام الوحيدة التي ليست أعدادًا صحيحة ، ولكن يتم ضربها في $ 1001 $ يصنع لهم أعداد صحيحة. إذا استخدمنا التفسير أعلاه للضرب بـ $ 1001 $ ، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تحدث هي أنه بعد إجراء الإضافة ، يتبقى لنا جزء عشري $ .999999 ldots $ (يمكنك محاولة العثور على أمثلة تجعله .000000 $ ldots $ لكنك لن تنجح). هذا يعني بالضبط أن أي ثلاثة أرقام للتوسع العشري لـ $ frac n <1001> $ ، بالإضافة إلى الأرقام الثلاثة التالية يجب أن يصل مجموعها إلى 999 دولارًا.

    (يمكن تصور إضافة ما يصل إلى 1998 دولارًا أمريكيًا ، والسماح بالدولار 1 دولار بالانتقال إلى المجموعة التالية المكونة من ثلاثة ، ولكن منذ 1998 دولارًا أمريكيًا = 999 + 999 دولارًا أمريكيًا ، هذا يعني أنه سيتعين علينا البدء بـ .999999 دولارًا أمريكيًا ldots $ بالفعل ، مما يعني أن ما لدينا هو عدد صحيح. ونحن لا نفكر في ذلك.)


    التسلسل مع الجودة ¶

    عادةً ما تأتي التسلسلات التي تم الحصول عليها من أجهزة التسلسل عالية الإنتاجية (يشار إليها أيضًا باسم "القراءة") مع درجات جودة المكالمة الأساسية ، والتي تشير إلى مدى تأكد البرنامج من استدعاء القاعدة الصحيحة. يمثل الفصل SequenceWithQualities مثل هذه القراءات.

    SequenceWithQualities هي فئة فرعية من Sequence وترث جميع ميزاتها.

    صف دراسي HTSeq. SequenceWithQualities ( فيما يليها, اسم الكوالستر, qualscale = & quotphred & quot ) ¶

    يمكن إنشاء مثيل SequenceWithQualities كتسلسل ، ولكن الآن باستخدام وسيطة ثالثة ، سلسلة الجودة:

    يتم تفسير سلسلة الجودة على أنها سلسلة من قيم Phred بترميز Sanger ، كما هو محدد في مواصفات تنسيق FASTQ ، أي أن كل حرف في سلسلة الجودة يتوافق مع قاعدة واحدة في التسلسل وإذا تم طرح القيمة 33 من قيمة أحرف الجودة ASCII ، يتم الحصول على درجة Phred.

    يمكن بعد ذلك العثور على درجات Phred في مؤهلات الفتحة:

    إذا كانت سلسلة الجودة تتبع مواصفات Solexa FASTQ ، فإن القيمة المطلوب طرحها ليست 33 بل 64. إذا قمت بتمرير سلسلة جودة بهذا التنسيق ، فقم بتعيين qualscale = & quotsolexa & quot.

    قبل الإصدار 1.3 ، استخدم برنامج SolexaPipeline نمطًا آخر من ترميز سلسلة الجودة. إذا كنت تريد استخدام هذا ، فحدد qualscale = & quotsolexa-old & quot

    أما بالنسبة إلى كائنات التسلسل ، فهناك اسم السمات ، و seq ، و descr.

    علاوة على ذلك ، لدينا الآن السمات النوعية والنوعية المذكورة أعلاه.

    التسلسل مع الجودة. مؤهل ¶

    Qual هي مصفوفة عددية من نوع البيانات عدد صحيح، مع العديد من العناصر كما هو الحال بالنسبة للقواعد. كل عنصر هو درجة Phred. درجة Phred س يتم تعريفه على أنه يعني أن المتصل الأساسي يقدر الاحتمال ص من الاستدعاء الأساسي خطأ ص = -log10 ( س/10 ).

    لاحظ أن الجودة هي الاحتمال دائمًا ، حتى إذا تم استخدام تنسيق سلسلة الجودة القديم solexa ، والذي يشفر الاحتمالات ص ( 1 - ص ) ، أي ، في هذه الحالة ، يتم تحويل الاحتمالات إلى احتمالات.

    التسلسل مع الجودة. كوالستر ¶

    سلسلة الجودة وفقًا لترميز Sanger Phred. في حالة تقديم الجودة في الأصل بتنسيق solexa أو solexa القديم ، يتم تحويلها:

    التسلسل مع الجودة. write_to_fastq_file ( فاستا_ملف ) ¶

    لكتابة كائنات SequenceWithQualities في ملف FASTQ ، افتح ملفًا نصيًا للكتابة ، ثم اتصل بـ write_to_fastq_file لكل تسلسل ، مع توفير مقبض الملف المفتوح كوسيطة فقط ، وأغلق الملف:

    لاحظ أن القراءات ستتم كتابتها دائمًا بسلاسل عالية الجودة بترميز Sanger.

    للقراءة من ملف FASTQ ، راجع فئة FastqReader.

    على غرار Sequence.add_bases_to_count_array () ، تحسب هذه الطريقة قيم الجودة التي تحدث مرتبة حسب الموضع. هذا يسمح بعد ذلك بحساب متوسط ​​الصفات بالإضافة إلى الرسوم البيانية.

    هنا مثال على الاستخدام:

    القيمة التي يتم احتسابها [i، j] هي إذن عدد القراءات التي تستند إليها القاعدة في الموضع i على درجات الجودة j. وفقًا لمعيار Fastq ، تتراوح درجات الجودة من 0 إلى 40 ، وبالتالي ، يتم تهيئة المصفوفة بحيث تحتوي على 41 عمودًا.

    التسلسل مع الجودة. تقليم_ليفت_نهاية_مع_جودة ( نمط, max_mm_qual = 5 ) ¶ SequenceWithQualities. تقليم_حق_نهاية_مع_جودة ( نمط, max_mm_qual = 5 ) ¶

    تعمل هذه الطرق كـ Sequence.trim_left_end () و Sequence.trim_right_end () (وهي بالطبع متاحة لكائنات SequenceWithQualities أيضًا). يتمثل الاختلاف في أنه بالنسبة لطرق تقليم _with_quals ، يتم تحديد الحد الأقصى لمقدار عدم التطابق المسموح به باعتباره الحد الأقصى للقيمة التي قد يستغرقها مجموع نقاط الجودة للقواعد غير المتطابقة.

    لكى يفعل: أضف مثالا


    11.2 تحديد فئات تسلسل المستند

    تنظم فئات تسلسل المستندات المستندات في مجموعات منطقية.

    فئة تسلسل المستندات هي إحدى القواعد التي تستخدمها لتحديد المستندات التي يخصص التسلسل أرقامًا لها.

    يمكنك ترقيم كل فئة من فئات تسلسل المستندات بشكل منفصل عن طريق تعيين تسلسل مختلف لكل فئة.

    تحدد فئة تسلسل المستندات جدول قاعدة البيانات الذي يخزن المستندات الناتجة عن المعاملات التي يدخلها المستخدمون. عندما تقوم بتعيين تسلسل إلى فئة ، فإن التسلسل يقوم بترقيم المستندات المخزنة في جدول معين.


    أهلا بك

    تعد قائمة الطيور العالمية التابعة للجنة الأولمبية الدولية مصدرًا مفتوحًا للوصول للمجتمع الدولي لعلماء الطيور. هدفنا الأساسي هو تسهيل الاتصال العالمي في علم الطيور والحفظ بناءً على تصنيف تطوري حديث لطيور العالم ومجموعة من الأسماء الإنجليزية التي تتبع إرشادات واضحة للتهجئة والبناء.

    لمواكبة الصناعة الحالية للمراجعات التصنيفية ، يقوم فريق تحرير IOC والمستشارون بتحديث القائمة المستندة إلى الويب كل يناير ويونيو / يوليو. تتضمن التحديثات تغييرات في الأسماء أو التصنيف الموصى به ، وإضافات الأنواع الموصوفة حديثًا ، وتصحيحات التسميات ، وتحديثات تصنيف الأنواع.

    تكمل قائمة الطيور العالمية التابعة للجنة الأولمبية الدولية ثلاث قوائم أولية للطيور في العالم تختلف قليلاً في أهدافها الأساسية وفلسفتها التصنيفية ، مثل قائمة كليمنتس المرجعية لطيور العالم ، وقائمة هوارد ومور الكاملة لطيور العالم ، الإصدار الرابع و HBW Alive / Bird Life International.

    تجري المواءمة المحسنة وتوحيد هذه الأعمال التصنيفية المستقلة بشكل غير رسمي وكانت موضوع مناقشة مائدة مستديرة نشطة في المؤتمر الدولي لعلم الطيور لعام 2018 في فانكوفر ، كولومبيا البريطانية. كان هناك دعم واسع لتوحيد وتحسين محاذاة قوائم المراجعة العالمية للطيور. تحديث (7/31/2020).


    لارسون الجبر 2 حلول الفصل 11 المتتاليات وسلسلة التمارين 11.1

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 1E

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 1GP

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 2E

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 2GP

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 3E

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 3GP

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 4E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 5E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 6E

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 7E

    الفصل 11 المتواليات وتمرين السلاسل 11.1 8E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 9E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 10E

    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 11E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 12E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 13E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 14E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 15E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 16E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 17E


    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 18E



    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 19E


    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 20E



    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 21E


    الفصل 11 التسلسلات والتمارين التسلسلية 11.1 22E



    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 23E

    الفصل 11 المتتاليات وتمرين السلاسل 11.1 24E








    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 25E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 26E


    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 27E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 28E


    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 29E


    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 30E




    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 31E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 32E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 33E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 34E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 35E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 36E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 37E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 38E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 39E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 40E

    Chapter 11 Sequences and Series Exercise 11.1 41E


    Clinical features, isolation, and complete genome sequence of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 from the first two patients in Vietnam

    In January 2020, we identified two severe acute respiratory syndrome coronavirus 2 (SARS-CoV-2)-infected patients in a familial cluster with one person coming from Wuhan, China. The complete genome sequences of two SARS-CoV-2 strains isolated from these patients were identical and 99.98% similar to strains isolated in Wuhan. This is genetically suggestive of human-to-human transmission of SARS-CoV-2 and indicates Wuhan as the most plausible origin of the early outbreak in Vietnam. The younger patient had a mild upper respiratory illness and a brief viral shedding, whereas the elderly with multi-morbidity had pneumonia, prolonged viral shedding, and residual lung damage. The evidence of nonsynonymous substitutions in the ORF1ab region of the viral sequence warrants further studies.

    Keywords: COVID-19 SARS-CoV-2 Vero complete genome sequencing coronavirus respiratory infections.


    شاهد الفيديو: Sec Sequences (ديسمبر 2021).