مقالات

10.3: التطبيقات وحل المثلثات القائمة - الرياضيات


خلال تطوره المبكر ، غالبًا ما كان علم المثلثات يستخدم كوسيلة للقياس غير المباشر ، على سبيل المثال تحديد مسافات أو أطوال كبيرة باستخدام قياسات الزوايا والمسافات الصغيرة المعروفة. اليوم ، يستخدم علم المثلثات على نطاق واسع في الفيزياء وعلم الفلك والهندسة والملاحة والمسح ومختلف مجالات الرياضيات والتخصصات الأخرى. سنرى في هذا القسم بعض الطرق التي يمكن من خلالها تطبيق علم المثلثات. يجب أن تكون الآلة الحاسبة في وضع الدرجة لهذه الأمثلة.

المثال 1.11

يقف الشخص على مسافة / (150 /) قدمًا من سارية العلم ويقيس زاوية الارتفاع من (32 ^ circ ) من خط نظره الأفقي إلى أعلى سارية العلم. افترض أن عين الشخص تبعد مسافة عمودية عن الأرض بمقدار 6 أقدام. ما هو ارتفاع سارية العلم؟

المحلول:

الصورة على اليمين تصف الوضع. نرى أن ارتفاع سارية العلم هو (ح + 6 ) قدم ، حيث

[ frac {h} {150} ~ = ~ tan ؛ 32 ^ circ quad Rightarrow quad h ~ = ~ 150 ؛ tan ؛ 32 ^ circ
~=~ 150;(0.6249) ~=~ 94 ~.]

كيف عرفنا ذلك ( tan ؛ 32 ^ circ = 0.6249 ، )؟ باستخدام الآلة الحاسبة. ونظرًا لعدم احتواء أي من الأرقام المعطاة على منازل عشرية ، فقد قربنا إجابة (h ) لأقرب عدد صحيح. وبالتالي ، فإن ارتفاع سارية العلم هو (، h + 6 = 94 + 6 = boxed {100 ~ text {ft}} ).

المثال 1.12

يقيس الشخص الواقف (400 ) قدم من قاعدة الجبل زاوية الارتفاع من الأرض إلى قمة الجبل ليكون (25 ^ دائرة ). ثم يمشي الشخص (500 ) قدمًا مستقيماً للخلف ويقيس زاوية الارتفاع ليصبح الآن (20 ^ circ ). كم يبلغ ارتفاع الجبل؟


المحلول:

سنفترض أن الأرض مسطحة وغير مائلة بالنسبة لقاعدة الجبل. لنفترض أن (ح ) هو ارتفاع الجبل ، وليكن (س ) أن تكون المسافة من قاعدة الجبل إلى النقطة الواقعة أسفل قمة الجبل مباشرةً ، كما في الصورة على اليمين. ثم نرى ذلك

[ ابدأ {محاذاة}
frac {h} {x + 400} ~ = ~ tan ؛ 25 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~ (x + 400) ؛ tan ؛ 25 ^ circ
~، ~ text {and}
frac {h} {x + 400 + 500} ~ = ~ tan ؛ 20 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~
(x + 900) ؛ tan ؛ 20 ^ circ ~، ~ text {so}
نهاية {محاذاة} ]

((x + 400) ؛ tan ؛ 25 ^ circ ~ = ~ (x + 900) ؛ tan ؛ 20 ^ circ ) ، لأن كلاهما يساوي (h ). استخدم هذه المعادلة لحل من أجل (س ):

[x ؛ tan ؛ 25 ^ circ ~ - ~ x ؛ tan ؛ 20 ^ circ ~ = ~ 900 ؛ tan ؛ 20 ^ circ ~ - ~ 400 ؛ tan ؛ 25 ^ دائري
quad Rightarrow quad
x ~ = ~ frac {900 ؛ tan ؛ 20 ^ circ ~ - ~ 400 ؛ tan ؛ 25 ^ circ} { tan ؛ 25 ^ circ ~ - ~ tan ؛ 20 ^ دائرة}
~ = ~ 1378 ~ نص {قدم} ]

أخيرًا ، استبدل (x ) في الصيغة الأولى لـ (h ) للحصول على ارتفاع الجبل:

[h ~ = ~ (1378 + 400) ؛ tan ؛ 25 ^ circ ~ = ~ 1778 ؛ (0.4663) ~ = ~ boxed {829 ~ text {ft}} ]

المثال 1.13

المنطاد (4280 ) قدم فوق الأرض يقيس a زاوية الاكتئاب من (24 ^ circ ) من خط الرؤية الأفقي إلى قاعدة المنزل على الأرض. بافتراض أن الأرض مسطحة ، كم يبعد المنزل على الأرض عن المنطاد؟

المحلول:

دع (x ) هي المسافة على طول الأرض من المنطاد إلى المنزل ، كما في الصورة على اليمين. نظرًا لأن الأرض وخط الرؤية الأفقي للمنطاد متوازيان ، فإننا نعلم من الهندسة الأولية أن زاوية الارتفاع ( ثيتا ) من قاعدة المنزل إلى المنطاد تساوي زاوية الانخفاض من المنطاد إلى المنطاد قاعدة المنزل ، أي ( ثيتا = 24 ^ دائرة ). بالتالي،

[ frac {4280} {x} ~ = ~ tan ؛ 24 ^ circ quad Rightarrow quad x ~ = ~ frac {4280} { tan ؛ 24 ^ circ}
~ = ~ boxed {9613 ~ text {ft}} ~. ]

المثال 1.14

يقيس مراقب أعلى جبل (3 ) أميال فوق مستوى سطح البحر زاوية انخفاض مقدارها (2.23 ^ circ ) إلى أفق المحيط. استخدم هذا لتقدير نصف قطر الأرض.

المحلول:

سنفترض أن الأرض هي كرة. دع (r ) يكون نصف قطر الأرض. اجعل النقطة (A ) تمثل قمة الجبل ، واجعل (H ) هو أفق المحيط في خط الرؤية من (A ) ، كما في الشكل 1.3.1. لنفترض أن (O ) هو مركز الأرض ، واجعل (B ) نقطة على خط الرؤية الأفقي من (A ) (أي على الخط العمودي على ( overline {OA} ) )). دع ( theta ) يكون الزاوية ( الزاوية ، AOH ).

نظرًا لأن (A ) هو (3 ) أميال فوق مستوى سطح البحر ، فلدينا (OA = r + 3 ). أيضا ، (أوه = r ). الآن صريح ( overline {AB} perp overline {OA} ) ، لدينا ( angle ، OAB = 90 ^ circ ) ، لذلك نرى أن ( angle ، OAH = 90 ^ circ - 2.23 ^ circ = 87.77 ^ circ ). نرى أن الخط المار بـ (A ) و (H ) هو خط مماس لسطح الأرض (مع الأخذ في الاعتبار أن السطح هو دائرة نصف القطر (r ) حتى (H ) كما في صورة). لذلك من خلال التمرين 14 في القسم 1.1 ، ( overline {AH} perp overline {OH} ) وبالتالي ( angle ، OHA = 90 ^ circ ). نظرًا لأن الزوايا في المثلث ( مثلث ، OAH ) تضيف ما يصل إلى (180 ^ circ ) ، لدينا ( ثيتا = 180 ^ circ - 90 ^ circ - 87.77 ^ circ = 2.23 ^ دائرة ). هكذا،

[ cos ؛ theta ~ = ~ frac {OH} {OA} ~ = ~ frac {r} {r + 3} quad Rightarrow quad frac {r} {r + 3} ~ = ~
cos ؛ 2.23 ^ circ ~، ]

لذلك حل من أجل (r ) نحصل عليه

[ ابدأ {محاذاة}
r ~ = ~ (r ~ + ~ 3) ؛ cos ؛ 2.23 ^ circ quad & Rightarrow quad
r ~ - ~ r ؛ cos ؛ 2.23 ^ circ ~ = ~ 3 ؛ cos ؛ 2.23 ^ circ [4pt]
& Rightarrow quad r ~ = ~ frac {3 ؛ cos ؛ 2.23 ^ circ} {1 ~ - ~ cos ؛ 2.23 ^ circ}
& Rightarrow quad boxed {r ~ = ~ 3958.3 ~ text {miles}} ~.
نهاية {محاذاة} ]

ملاحظة: هذه الإجابة قريبة جدًا من نصف قطر الأرض الفعلي (المتوسط) البالغ (3956.6 ) ميلاً.

المثال 1.15

كتطبيق آخر لعلم المثلثات في علم الفلك ، سنجد المسافة من الأرض إلى الشمس. لنفترض أن (O ) هو مركز الأرض ، وليكن (A ) نقطة على خط الاستواء ، واجعل (B ) يمثل كائنًا (مثل نجم) في الفضاء ، كما في الصورة الموجودة على حق. إذا تم وضع الأرض بطريقة تجعل الزاوية ( زاوية ، OAB = 90 ^ دائرة ) ، فإننا نقول أن الزاوية ( ألفا = زاوية ، أوبا ) هي المنظر الاستوائي من الكائن. لوحظ أن المنظر الاستوائي للشمس يقارب ( alpha = 0.00244 ^ circ ). استخدم هذا لتقدير المسافة من مركز الأرض إلى الشمس.

المحلول:

دع (ب ) يكون موضع الشمس. نريد إيجاد طول ( overline {OB} ). سنستخدم نصف القطر الفعلي للأرض ، المذكور في نهاية المثال 1.14 ، للحصول على (OA = 3956.6 ) أميال. منذ ( زاوية ، OAB = 90 ^ دائرة ) ، لدينا

[ frac {OA} {OB} ~ = ~ sin ؛ alpha quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {OA} { sin ؛ alpha} ~ = ~
frac {3956.6} { sin ؛ 0.00244 ^ circ} ~ = ~ 92908394 ~ ، ]

لذا فإن المسافة من مركز الأرض إلى الشمس تقارب ( fbox { (93 ) مليون ميل} ~. )

ملحوظة: مدار الأرض حول الشمس عبارة عن قطع ناقص ، وبالتالي فإن المسافة الفعلية للشمس تختلف.

في المثال أعلاه ، استخدمنا زاوية صغيرة جدًا ( (0.00244 ^ circ )). يمكن تقسيم الدرجة إلى وحدات أصغر: أ دقيقة هو واحد على ستين من الدرجة ، وأ ثانيا هي واحد على ستين من الدقيقة. رمز الدقيقة هو (') ورمز الثانية هو (' '). على سبيل المثال ، (4.5 ^ circ = 4 ^ circ ؛ 30 '). و (4.505 ^ circ = 4 ^ circ ؛ 30 '؛ 18' '):

[4 ^ circ ؛ 30 '؛ 18' ~ = ~ 4 ~ + ~ frac {30} {60} ~ + ~ frac {18} {3600} ~ text {degrees} ~ = ~ 4.505 ^ Circ ]

في المثال 1.15 استخدمنا ( alpha = 0.00244 ^ circ حوالي 8.8 '' ) ، والذي نذكره فقط لأن بعض أجهزة قياس الزوايا تستخدم الدقائق والثواني.

المثال 1.16

يقيس مراقب على الأرض زاوية (32 ' ؛ 4' ') من حافة مرئية للشمس إلى الحافة الأخرى (المقابلة) ، كما في الصورة على اليمين. استخدم هذا لتقدير نصف قطر الشمس.


المحلول:

اجعل النقطة (E ) هي الأرض واجعل (S ) مركز الشمس. خطوط رؤية الراصد إلى الحواف المرئية للشمس هي خطوط مماسة لسطح الشمس عند النقطتين (A ) و (B ). وهكذا ، ( زاوية ، EAS = زاوية ، EBS = 90 ^ دائرة ). نصف قطر الشمس يساوي (ع ). بوضوح (AS = BS ). لذا بما أن (EB = EA ) (لماذا؟) ، المثلثات ( مثلث ، EAS ) و ( مثلث ، EBS ) متشابهة. وبالتالي ، ( angle ، AES = angle ، BES = frac {1} {2} ؛ angle ، AEB = frac {1} {2} ؛ (32 '؛ 4 " ) = 16 ' ؛ 2' '= (16/60) + (2/3600) = 0.26722 ^ circ ).

الآن ، (ES ) هي المسافة من سطح - المظهر الخارجي من الأرض (حيث يقف الراصد) إلى مركز الشمس. في المثال 1.15 وجدنا المسافة من المركز من الأرض إلى الشمس ليكون (٩٢،٩٠٨،٣٩٤ ) ميلاً. نظرًا لأننا تعاملنا مع الشمس في هذا المثال كنقطة ، فمن المبرر أن نتعامل مع تلك المسافة على أنها المسافة بين مركزي الأرض والشمس. لذلك (ES = 92908394 - ~ text {نصف قطر الأرض} = 92908394 - 3956.6 = 92904437.4 ) ميل. بالتالي،

[ sin ؛ ( angle ، AES) ~ = ~ frac {AS} {ES} quad Rightarrow quad AS ~ = ~ ES ؛ sin ؛ 0.26722 ^ circ
~ = ~ (92904437.4) ؛ sin ؛ 0.26722 ^ circ ~ = ~ boxed {433،293 ~ text {miles}} ~. ]

ملحوظة: هذه الإجابة قريبة من نصف قطر الشمس الفعلي البالغ (432،200 ) ميل.

ربما لاحظت أن حلول الأمثلة التي أظهرناها تتطلب مثلثًا قائمًا واحدًا على الأقل. في المشاكل التطبيقية ، ليس من الواضح دائمًا أي مثلث قائم الزاوية يجب استخدامه ، وهذا هو سبب صعوبة هذه الأنواع من المشاكل. غالبًا لن يظهر مثلث قائم الزاوية على الفور ، لذلك سيتعين عليك إنشاء مثلث. لا توجد استراتيجية عامة لذلك ، لكن تذكر أن المثلث القائم الزاوية يتطلب زاوية قائمة ، لذا ابحث عن الأماكن التي يمكنك فيها تكوين مقاطع خطية متعامدة. عندما تحتوي المسألة على دائرة ، يمكنك إنشاء زوايا قائمة باستخدام عمودي خط المماس على الدائرة عند نقطة مع الخط الذي يربط هذه النقطة بمركز الدائرة. لقد فعلنا ذلك بالضبط في الأمثلة 1.14 و 1.15 و 1.16.

المثال 1.17

يُظهر مخطط أداة الآلة الموجود على اليمين متماثلًا V- بلوك، حيث توضع بكرة دائرية واحدة فوق أسطوانة دائرية أصغر. كل بكرة تلامس كلا الجانبين المائلين للكتلة V. أوجد قطر (د ) الأسطوانة الكبيرة وفقًا للمعلومات الواردة في الرسم التخطيطي.

المحلول:

قطر (د ) الأسطوانة الكبيرة ضعف نصف القطر (OB ) ، لذلك نحتاج إلى إيجاد (OB ). للقيام بذلك ، سنبين أن ( مثلث ، OBC ) هو مثلث قائم الزاوية ، ثم ابحث عن الزاوية ( الزاوية ، BOC ) ، ثم ابحث عن (BC ). سيكون من السهل تحديد الطول (OB ).

نظرًا لأن الجوانب المائلة ماسة لكل بكرة ، ( زاوية ، ODA = زاوية ، PEC = 90 ^ دائرة ). بالتناظر ، نظرًا لأن الخط العمودي عبر مراكز البكرات يصنع زاوية (37 ^ circ ) مع كل جانب مائل ، لدينا ( زاوية ، OAD = 37 ^ دائرة ). ومن ثم ، بما أن ( مثلث ، ODA ) هو مثلث قائم الزاوية ، ( زاوية ، DOA ) هو مكمل ( زاوية ، OAD ). لذلك ( زاوية ، DOA = 53 ^ دائرة ).

نظرًا لأن مقطع الخط الأفقي ( overline {BC} ) مماس لكل أسطوانة ، ( angle ، OBC = angle ، PBC = 90 ^ circ ). وبالتالي ، فإن ( مثلث ، OBC ) هو مثلث قائم الزاوية. وبما أن ( angle ، ODA = 90 ^ circ ) ، نعلم أن ( triangle ، ODC ) ​​مثلث قائم الزاوية. الآن ، (OB = OD ) (نظرًا لأن كل منهما يساوي نصف قطر الأسطوانة الكبيرة) ، لذلك من خلال نظرية فيثاغورس لدينا (BC = DC ):

[BC ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OB ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OD ^ 2 ~ = ~ DC ^ 2 quad Rightarrow quad BC ~ = ~ DC ]

وهكذا ، ( مثلث ، OBC ) و ( مثلث ، ODC ) ​​هي مثلثات متطابقة (والتي نشير إليها بواسطة ( triangle ، OBC cong triangle ، ODC )) ، حيث أن جوانبها المقابلة متساوية. وبالتالي ، فإن الزوايا المقابلة لها متساوية. لذلك على وجه الخصوص ، ( زاوية ، BOC = زاوية ، دوك ). نعلم أن ( angle ، DOB = angle ، DOA = 53 ^ circ ). هكذا،

[53 ^ circ ~ = ~ angle ، DOB ~ = ~ angle ، BOC ~ + ~ angle ، DOC = angle ، BOC ~ + ~ angle ، BOC ~ = ~
2 ؛ زاوية ، BOC رباعية Rightarrow رباعي زاوية ، BOC ~ = ~ 26.5 ^ دائرة ~. ]

وبالمثل ، منذ (BP = EP ) و ( زاوية ، PBC = زاوية ، PEC = 90 ^ دائرة ) ، ( مثلث ، BPC ) و ( مثلث ، EPC ) هي مثلثات متطابقة قائمة. وهكذا ، (BC = EC ). لكننا نعلم أن (BC = DC ) ​​، ونرى من الرسم البياني أن (EC + DC = 1.38 ). وهكذا ، (BC + BC = 1.38 ) وهكذا (BC = 0.69 ). لدينا الآن كل ما نحتاجه للعثور على (OB ):

[ frac {BC} {OB} ~ = ~ tan ؛ angle ، BOC quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {BC} { tan ؛ angle ، BOC} ~ = ~
frac {0.69} { tan ؛ 26.5 ^ circ} ~ = ~ 1.384 ]

ومن ثم ، فإن قطر الأسطوانة الكبيرة هو ( ، د = 2 مرات OB = 2 ، (1.384) = محاصر {2.768} ) ~.

المثال 1.18

أ آلية الكرنك المنزلق هو مبين في الشكل 1.3.2 أدناه. عندما يتحرك المكبس لأسفل ، يقوم قضيب التوصيل بتدوير الساعد في اتجاه عقارب الساعة ، كما هو محدد.

النقطة (A ) هي مركز قضيب التوصيل دبوس المعصم ويتحرك عموديًا فقط. النقطة (ب ) هي مركز كرنك دبوس ويتحرك حول دائرة نصف قطرها (r ) متمركزة عند النقطة (س ) ، والتي تقع أسفل (أ ) مباشرة ولا تتحرك. أثناء تدوير الكرنك ، يصنع زاوية ( theta ) بالخط ( overline {OA} ). ال مركز الدوران الفوري من قضيب التوصيل في وقت معين هي النقطة (C ) حيث يتقاطع الخط الأفقي خلال (A ) مع الخط الممتد خلال (O ) و (B ). من الشكل 1.3.2 نرى أن ( زاوية ، OAC = 90 ^ دائرة ) ، ونسمح (أ = AC ) ، (ب = AB ) ، و (ج = قبل الميلاد ) . ستوضح في التمارين أنه لـ (0 ^ circ < theta <90 ^ circ ) ،

[c ~ = ~ frac { sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ؛ ( sin ، theta) ^ 2}} { cos ؛ theta} ~ qquad text {و } qquad ~
a ~ = ~ r ؛ sin ؛ theta ~ + ~ sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ؛ ( sin ، theta) ^ 2} ~ tan ؛ theta ~. ]

بالنسبة لبعض المشاكل ، قد يكون من المفيد أن نتذكر أنه عندما يكون للمثلث القائم طول وتر طول (r ) وزاوية حادة ( ثيتا ) ، كما في الصورة أدناه ، سيكون طول الجانب المجاور (r ) ، cos ؛ theta ) وسيكون طول الضلع المقابل (r ، الخطيئة ؛ ثيتا ). يمكنك التفكير في هذه الأطوال على أنها `` المكونات '' الأفقية والرأسية للوتر.

لاحظ في المثلث القائم أعلاه أننا حصلنا على معلومتين: واحدة من الزوايا الحادة وطول الوتر. من هذا حددنا أطوال الضلعين الآخرين ، والزاوية الحادة الأخرى هي مجرد تكملة للزاوية الحادة المعروفة. بشكل عام ، يتكون المثلث من ستة أجزاء: ثلاثة جوانب وثلاث زوايا. حل المثلث يعني العثور على الأجزاء المجهولة بناءً على الأجزاء المعروفة. في حالة المثلث القائم الزاوية ، يُعرف جزء واحد دائمًا: إحدى الزوايا هي (90 ^ circ ).

المثال 1.19

حل المثلث الأيمن في الشكل 1.3.3 باستخدام المعلومات المعطاة:

(أ) (ج = 10 ، ، أ = 22 ^ ◦ )
المحلول: الأجزاء المجهولة هي (أ ) و (ب ) و (ب ). عوائد حل:

[ ابدأ {محاذاة}
a ~ & = ~ c ؛ sin ؛ A ~ & = ~ 10 ؛ sin ؛ 22 ^ circ ~ & = ~ 3.75
ب ~ & = ~ c ؛ cos ؛ A ~ & = ~ 10 ؛ cos ؛ 22 ^ circ ~ & = ~ 9.27
B ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ A ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ 22 ^ circ ~ & = ~ 68 ^ circ
نهاية {محاذاة} ]

(ب) (ب = 8 ، ، أ = 40 ^ ◦ )
المحلول: الأجزاء المجهولة هي (أ ) و (ج ) و (ب ). حل الغلة:

[ ابدأ {محاذاة}
frac {a} {b} ~ & = ~ tan ؛ A quad & Rightarrow quad a ~ & = ~ b ؛ tan ؛ A ~ = ~
8 ؛ tan ؛ 40 ^ circ ~ = ~ 6.71 [2mm]
frac {b} {c} ~ & = ~ cos ؛ A quad & Rightarrow quad c ~ & = ~ frac {b} { cos ؛ A} ~ = ~
frac {8} { cos ؛ 40 ^ circ} ~ = ~ 10.44
نهاية {محاذاة} ]

(ج) (أ = 3 ، ب = 4 )
المحلول: الأجزاء المجهولة هي (ج ) و (أ ) و (ب ). بواسطة نظرية فيثاغورس ،

[c ~ = ~ sqrt {a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2} ~ = ~ sqrt {3 ^ 2 ~ + ~ 4 ^ 2} ~ = ~ sqrt {25} ~ = ~ 5 ~. ]

الآن ، ( tan ؛ A = frac {a} {b} = frac {3} {4} = 0.75 ). فكيف نجد (أ )؟ يجب أن يكون هناك مفتاح مسمى ( fbox { ( tan ^ {- 1} )} ) على الآلة الحاسبة ، والذي يعمل على النحو التالي: أعطه رقمًا (x ) وسيخبرك بالزاوية ( ثيتا ) بحيث ( تان ؛ ثيتا = س ). في حالتنا ، نريد الزاوية (A ) بحيث ( tan ؛ A = 0.75 ):

[ text {Enter:} 0.75 quad text {Press:} fbox { ( tan ^ {- 1} )} quad text {Answer:} 36.86989765 ]

يخبرنا هذا أن (A = 36.87 ^ circ ) تقريبًا. وهكذا (B = 90 ^ circ - A = 90 ^ circ - 36.87 ^ circ = 53.13 ^ circ ).

ملاحظة: يعمل المفتاحان ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) و ( fbox { ( cos ^ {- 1} )} ) بالمثل مع الجيب وجيب التمام ، على التوالى. تستخدم هذه المفاتيح ملحق الدوال المثلثية العكسية، والتي سنناقشها في الفصل الخامس.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة باستخدام مفتاح الإجابة بالممارسة 10 3 التشابه في المثلثات القائمة. للبدء في العثور على الممارسة 10 3 التشابه في مفتاح الإجابة في المثلثات القائمة ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لكل هذه الممارسة 10 3 التشابه في مفتاح الإجابة بالمثلثات القائمة التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

وتف هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


10.3: التطبيقات وحل المثلثات القائمة - الرياضيات


5/5 مراجعة المسلسلات والتسلسلات WS # 1

5/9 اختبار على المتتاليات والمتسلسلات

4/28 اختبار على المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

سلسلة هندسية غير محدودة WS

4/24 المتتاليات الحسابية ومراجعة السلاسل WS # 2

4/25 دراسة لاختبار المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

4/8 حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة WS # 1

4/9 حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة WS # 2

4/11 اختبار في حل المعادلات المثلثية مع الآلة الحاسبة

4/1 حل المعادلات المثلثية WS # 2

4/3 دراسة اختبار حول حل المعادلات المثلثية
حل المعادلات المثلثية WS # 4

4/4 اختبار في حل المعادلات المثلثية

3/20 دراسة للاختبار
تذكر إحضار بطاقات الملاحظات للاختبار

3/14 - اختبار في الزوايا الخاصة
طول القوس ومساحة القطاع WS # 2

3/6 دراسة عن النسب المثلثية


3/7 اختبار على النسب المثلثية
بطاقة فهرسة بزوايا خاصة مستحقة الاثنين
الراديان والدرجات WS

2/27 اختبار قانون الخطيئة ، كوس والمنطقة

2/12 قانون الجيوب WS # 3evens
دراسة لمسابقة عن قانون الجيوب

2/3 - مراجعة المثلثات اليمنى WS # 1

2/4 مراجعة المثلثات اليمنى WS # 2

2/6 اختبار حل المثلثات القائمة

1/29 تطبيقات المثلث الأيمن WS # 1

1/31 يسوي تطبيقات المثلث الأيمن WS (من 1/30)

حل مشكلة الزاوية اليمنى WS # 4
دراسة لاختبار حل المثلثات القائمة

1/24 اختبار حول حل المثلثات القائمة

1/10 اعمل على حزمة المراجعة للنهائي

1/8 المعادلات العددية WS # 7

12/20 التعبيرات العقلانية مسابقة # 2

12/17 التعبيرات العقلانية WS # 5

12/13 اختبار المهام المنطقية

12/9 اختبار على معادلات الأساس الإلكتروني والفائدة المركبة

12/5 مراجعة القاعدة الإلكترونية والفوائد المركبة WS # 1

11/25 دراسة للاختبار على اللوغاريتمات

11/21 إنهاء مراجعة السجل WS # 2

11/14 حل مراجعة معادلات Exp WS
دراسة لاختبار حل المعادلات الأسية بالسجلات
حتى الإجابات: 2) .4409 4) -.04516) -.90918) -3.536210) -.711212) .6033

11/5 تصحيح # 9. يجب أن تكون الإجابة -7 / 40000Logarithms WS # 6
دراسة للمسابقة في السجلات

10/28 اختبار حول حل المعادلات الأسية

10/25 حل المعادلات الأسية WS # 3 الإجابات المرفقة حتى تتمكن من تصحيح WS
دراسة للمسابقة

10/21 دراسة للمسابقة على الأسس

10/10 اختبار قصير عن مقلوب الوظيفة

10/9 دراسة لاختبار معكوس الوظيفة

10 / 4G وظائف الرسم ويعكس وظائف WSGraphing ويعكس WS

10/3 عكس الدالة WS # 1

10/1 دراسة لاختبار الوظائف

9/27 اختبار في العمليات والتوليفات الخطية للوظائف
مراجعة الوظائف WS # 1 مراجعة الوظائف WS # 1

9/26 إنهاء ورقة العمل من 9 / 25evens
دراسة لمسابقة عن العمليات والتوليفات الخطية للوظائف

9/25 العمليات والمجموعة الخطية WS # 1odds

9/24 تكوين الوظائف WS # 2

9/23 تكوين الوظائف WS # 1

9/19 اختبار الرسم البياني متعدد الحدود والتقسيم التركيبي وحل المعادلات متعددة الحدود

9/13 اختبار حول حل المعادلات متعددة الحدود

9/12 المعادلات متعددة الحدود WS تسوي
دراسة لاختبار حل المعادلات متعددة الحدود

9/11 المعادلات متعددة الحدود احتمالات WS حل المعادلات متعددة الحدود

9 / 10WS حل المعادلات متعددة الحدود # 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8

9/6 اختبار على الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود

9 / 5WS الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود
دراسة لمسابقة على الرسوم البيانية لكثيرات الحدود

9/4 إنهاء الرسوم البيانية لكثيرات الحدود لملاحظات الفصل

8/30 اختبار المهارات الجبرية

8/26 حل المعادلات التربيعية WS

8/23 إنهاء ورقة عمل ملاحظات الصف حل المعادلات التربيعية # 2 ، 4 ، 16 ، 17 ، 18 ، 20


3.4 حل تطبيقات الهندسة: المثلثات والمستطيلات ونظرية فيثاغورس

طول المستطيل أقل من عرضه بثلاثة. يترك ث تمثل العرض. اكتب تعبيرًا عن طول المستطيل.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 1.26.

حل التطبيقات باستخدام خصائص المثلثات

سنستخدم في هذا القسم بعض الصيغ الهندسية الشائعة. سنعمل على تكييف إستراتيجيتنا لحل المشكلات حتى نتمكن من حل التطبيقات الهندسية. ستسمي الصيغة الهندسية المتغيرات وتعطينا المعادلة التي يجب حلها. بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأن هذه التطبيقات ستشمل جميعها أشكالًا من نوع ما ، يجد معظم الناس أنه من المفيد رسم شكل وتسميته بالمعلومات المقدمة. سنقوم بتضمين هذا في الخطوة الأولى من استراتيجية حل المشكلات لتطبيقات الهندسة.

كيف

حل تطبيقات الهندسة.

  1. الخطوة 1. اقرأ المشكلة وتأكد من فهم كل الكلمات والأفكار. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
  2. الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. الخطوه 3. ملصق ما نبحث عنه باختيار متغير لتمثيله.
  4. الخطوة 4. يترجم في معادلة عن طريق كتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المقدمة.
  5. الخطوة الخامسة. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. الخطوة 6. التحقق من الإجابة عن طريق استبدالها مرة أخرى بالمعادلة التي تم حلها في الخطوة 5 والتأكد من أنها منطقية في سياق المشكلة.
  7. الخطوة 7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

سنبدأ تطبيقات الهندسة من خلال النظر في خصائص المثلثات. دعونا نراجع بعض الحقائق الأساسية حول المثلثات. للمثلثات ثلاثة جوانب وثلاث زوايا داخلية. عادةً ما يتم تمييز كل جانب بحرف صغير لمطابقة الحرف الكبير للرأس المعاكس.

جمع الكلمة قمة الرأس يكون الرؤوس. كل المثلثات لها ثلاثة رؤوس. تتم تسمية المثلثات حسب رؤوسها: يسمى المثلث في الشكل 3.4 △ أ ب ج. △ أ ب ج.

ترتبط الزوايا الثلاث للمثلث بطريقة خاصة. مجموع قياساتهم 180 درجة. 180 درجة. لاحظ أننا نقرأ م ∠ أ م ∠ أ على أنه "قياس الزاوية أ". إذن في A B C △ A B C في الشكل 3.4 ،

لأن محيط الشكل هو طول حدوده ، فإن محيط ب ج △ ب ج هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.

لإيجاد مساحة المثلث ، علينا معرفة قاعدته وارتفاعه. الارتفاع عبارة عن خط يربط القاعدة بالرأس المعاكس ويصنع زاوية 90 درجة 90 درجة مع القاعدة. نرسم △ ب ج △ ب ج مرة أخرى ، ونبين الآن الارتفاع ، ح. انظر الشكل 3.5.

خصائص المثلث

قياسات الزاوية:

مثال 3.34

قياس زاويتين في مثلث هما 55 درجة و 82 درجة. أوجد قياس الزاوية الثالثة.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. قياس الزاوية الثالثة في المثلث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع x = x = قياس الزاوية.
الخطوة 4. الترجمة.
اكتب الصيغة المناسبة واستبدلها. م ∠ أ + م ∠ ب + م ∠ ج = 180 م أ + م ∠ ب + م ∠ ج = 180
الخطوة 5. حل المعادلة. 55 + 82 + س = 180137 + س = 180 × = 43 55 + 82 + س = 180137 + س = 180 × = 43
الخطوة 6. تحقق.

55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓ 55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياس الزاوية الثالثة 43 درجة.

قياس زاويتين في المثلث هما 31 درجة و 128 درجة. أوجد قياس الزاوية الثالثة.

قياس زاويتين في مثلث هما 49 درجة و 75 درجة. أوجد قياس الزاوية الثالثة.

مثال 3.35

محيط حديقة مثلثة 24 قدم. أطوال ضلعين هما أربعة أقدام وتسعة أقدام. ما هو طول الجانب الثالث؟

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. طول الضلع الثالث من المثلث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع c = c = الجانب الثالث.
الخطوة 4. الترجمة.
اكتب الصيغة المناسبة واستبدلها.
استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة 5. حل المعادلة.
الخطوة 6. تحقق.

الفوسفور = أ + ب + ص 24 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓ الفوسفور = أ + ب + ص 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. يبلغ طول الضلع الثالث 11 قدمًا.

محيط حديقة مثلثة 48 قدما. أطوال الجانبين 18 قدمًا و 22 قدمًا. ما هو طول الجانب الثالث؟

يبلغ طول ضلعي نافذة مثلثة سبعة أقدام وخمسة أقدام. المحيط 18 قدمًا. ما هو طول الجانب الثالث؟

مثال 3.36

تبلغ مساحة نافذة الكنيسة المثلثة 90 مترا مربعا. قاعدة النافذة 15 مترا. ما هو ارتفاع النافذة؟

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
المساحة = 90 م 2 = 90 م 2
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. ارتفاع المثلث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع h = h = الارتفاع.
الخطوة 4. الترجمة.
اكتب الصيغة المناسبة.
استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة 5. حل المعادلة.
الخطوة 6. تحقق.

أ = 1 2 ب ساعة 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 12 90 = 90 ✓ أ = 1 2 ب ساعة 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90
الخطوة 7. الإجابة السؤال. ارتفاع المثلث 12 مترًا.

مساحة اللوحة المثلثية 126 بوصة مربعة. القاعدة 18 بوصة. ما هو الارتفاع؟

تبلغ مساحة باب الخيمة المثلث 15 قدمًا مربعًا. الارتفاع خمسة أقدام. ما هي القاعدة؟

تنطبق خصائص المثلث التي استخدمناها حتى الآن على جميع المثلثات. الآن سننظر إلى نوع واحد محدد من المثلثات - مثلث قائم الزاوية. يحتوي المثلث القائم الزاوية على زاوية 90 درجة 90 درجة ، والتي عادة ما نضع علامة عليها بمربع صغير في الزاوية.

مثلث قائم

المثال 3.37

زاوية واحدة في مثلث قائم الزاوية قياسها 28 درجة. 28 درجة. ما هو قياس الزاوية الثالثة؟

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. قياس الزاوية
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع x = x = قياس الزاوية.
الخطوة 4. الترجمة. م ∠ أ + م ∠ ب + م ∠ ج = 180 م أ + م ∠ ب + م ∠ ج = 180
اكتب الصيغة المناسبة واستبدلها. س + 90 + 28 = 180 س + 90 + 28 = 180
الخطوة 5. حل المعادلة. س + 118 = 180 س = 62 س + 118 = 180 س = 62
الخطوة 6. تحقق.

180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓ 180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياس الزاوية الثالثة 62 درجة.

في الأمثلة التي رأيناها حتى الآن ، يمكننا رسم شكل وتسميته مباشرة بعد قراءة المشكلة. في المثال التالي ، سيتعين علينا تحديد زاوية من زاوية أخرى. سننتظر رسم الشكل حتى نكتب تعابير لجميع الزوايا التي نبحث عنها.

مثال 3.38

قياس زاوية واحدة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 20 درجة عن قياس أصغر زاوية. أوجد قياسات الزوايا الثلاث.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. قياسات الزوايا الثلاث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع a = 1 st a = 1 st.
أ + 20 = 2 و أ + 20 = 2 زاوية
90 = 3 rd 90 = 3 زاوية (الزاوية اليمنى)
ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة
الخطوة 4. الترجمة
اكتب الصيغة المناسبة.
عوّض في الصيغة.
الخطوة 5. حل المعادلة.




55
90 الزاوية الثالثة
الخطوة 6. تحقق.

35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓ 35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياس الزوايا الثلاث 35 درجة و 55 درجة و 90 درجة.

قياس زاوية واحدة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 50 درجة عن قياس أصغر زاوية. أوجد قياسات الزوايا الثلاث.

قياس زاوية واحدة لمثلث قائم الزاوية يزيد بمقدار 30 درجة عن قياس أصغر زاوية. أوجد قياسات الزوايا الثلاث.

استخدم نظرية فيثاغورس

لقد تعلمنا كيف ترتبط قياسات زوايا المثلث ببعضها البعض. الآن ، سوف نتعلم كيف ترتبط أطوال الأضلاع ببعضها البعض. تسمى الخاصية المهمة التي تصف العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية نظرية فيثاغورس. تم استخدام هذه النظرية في جميع أنحاء العالم منذ العصور القديمة. سميت على اسم الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني ، فيثاغورس ، الذي عاش حوالي 500 قبل الميلاد.

تخبر نظرية فيثاغورس كيف ترتبط أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية ببعضها البعض. تنص على أنه في أي مثلث قائم الزاوية ، فإن مجموع مربعي أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر. في الرموز نقول: في أي مثلث قائم الزاوية ، a 2 + b 2 = c 2 ، a 2 + b 2 = c 2 ، حيث a و b a و b هي أطوال الساقين و c c طول الوتر.

قد تساعدك كتابة الصيغة في كل تمرين وقولها بصوت عالٍ أثناء كتابتها على تذكر نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

في أي مثلث قائم الزاوية ، أ 2 + ب 2 = ج 2. أ 2 + ب 2 = ص 2.

أين أ و ب هي أطوال الساقين ، ج هو طول الوتر.

لحل التمارين التي تستخدم نظرية فيثاغورس ، علينا إيجاد الجذور التربيعية. لقد استخدمنا الترميز m m والتعريف:

على سبيل المثال ، وجدنا أن 25 25 هو 5 لأن 25 = 5 2. 25 = 5 2.

نظرًا لأن نظرية فيثاغورس تحتوي على متغيرات مربعة ، لإيجاد طول ضلع في مثلث قائم الزاوية ، علينا استخدام الجذور التربيعية.

المثال 3.39

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر الموضح أدناه.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. طول وتر المثلث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله.
جانب التسمية ج على الشكل.
يترك ج = طول الوتر.

الخطوة 4. الترجمة.
اكتب الصيغة المناسبة. أ 2 + ب 2 = ص 2 أ 2 + ب 2 = ص 2
استبدل. 3 2 + 4 2 = ص 2 3 2 + 4 2 = ص 2
الخطوة 5. حل المعادلة. 9 + 16 = ص 2 9 + 16 = ص 2
تبسيط. 25 = ص 2 25 = ص 2
استخدم تعريف الجذر التربيعي. 25 = ص 25 = ج
تبسيط. 5 = ص 5 = ج
الخطوة 6. تحقق.

الخطوة 7. الإجابة السؤال. طول الوتر 5.

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر في المثلث الموضح أدناه.

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر في المثلث الموضح أدناه.

مثال 3.40

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الساق الموضح أدناه.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. طول ضلع المثلث
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. يترك ب = ضلع المثلث.
الجانب اللابل ب.
الخطوة 4. الترجمة
اكتب الصيغة المناسبة. أ 2 + ب 2 = ص 2 أ 2 + ب 2 = ص 2
استبدل. 5 2 + ب 2 = 13 2 5 2 + ب 2 = 13 2
الخطوة 5. حل المعادلة. 25 + ب 2 = 169 25 + ب 2 = 169
افصل المصطلح المتغير. ب 2 = 144 ب 2 = 144
استخدم تعريف الجذر التربيعي. ب 2 = 144 ب 2 = 144
تبسيط. ب = 12 ب = 12
الخطوة 6. تحقق.

الخطوة 7. الإجابة السؤال. طول الساق 12.

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الساق في المثلث الموضح أدناه.

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الساق في المثلث الموضح أدناه.

مثال 3.41

يقوم كلفن ببناء شرفة المراقبة ويريد تثبيت كل ركن من خلال وضع قطعة خشب بحجم 10 × 10 بوصات قطريًا كما هو موضح أعلاه.

إذا قام بتثبيت الخشب بحيث تكون أطراف الدعامة على نفس المسافة من الزاوية ، فما هو طول أرجل المثلث القائم؟ تقريبي لأقرب جزء من عُشر البوصة.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. المسافة من الزاوية التي يجب إرفاق القوس بها
الخطوة 3. الاسم. اختر متغير لتمثيله. دع x = x = المسافة من الزاوية.
الخطوة 4. الترجمة
اكتب الصيغة المناسبة واستبدلها.
a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2 a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2
Step 5. Solve the equation.
Isolate the variable.
Use the definition of square root.
تبسيط. Approximate to the nearest tenth.
2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7.1 2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7.1
Step 6. Check.
a 2 + b 2 = c 2 ( 7.1 ) 2 + ( 7.1 ) 2 ≈ 10 2 Yes. a 2 + b 2 = c 2 ( 7.1 ) 2 + ( 7.1 ) 2 ≈ 10 2 Yes.
Step 7. Answer the question. Kelvin should fasten each piece of wood approximately 7.1" from the corner.

John puts the base of a 13-foot ladder five feet from the wall of his house as shown below. How far up the wall does the ladder reach?

Randy wants to attach a 17 foot string of lights to the top of the 15 foot mast of his sailboat, as shown below. How far from the base of the mast should he attach the end of the light string?

Solve Applications Using Rectangle Properties

What about the area of a rectangle? Imagine a rectangular rug that is 2-feet long by 3-feet wide. Its area is 6 square feet. There are six squares in the figure.

The area is the length times the width.

The formula for the area of a rectangle is A = L W . A = L W .

Properties of Rectangles

Rectangles have four sides and four right ( 90 ° ) ( 90 ° ) angles.

The lengths of opposite sides are equal.

The perimeter of a rectangle is the sum of twice the length and twice the width.

The area of a rectangle is the product of the length and the width.

Example 3.42

The length of a rectangle is 32 meters and the width is 20 meters. What is the perimeter?

المحلول

Step 1. Read the problem.
Draw the figure and label it with the given information.
Step 2. Identify what you are looking for. the perimeter of a rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. يترك P = the perimeter.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Step 5. Solve the equation.
Step 6. Check.

P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓ P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓
Step 7. Answer the question. The perimeter of the rectangle is 104 meters.

The length of a rectangle is 120 yards and the width is 50 yards. What is the perimeter?

The length of a rectangle is 62 feet and the width is 48 feet. What is the perimeter?

Example 3.43

The area of a rectangular room is 168 square feet. The length is 14 feet. What is the width?

المحلول

Step 1. Read the problem.
Draw the figure and label it with the given information.
Step 2. Identify what you are looking for. the width of a rectangular room
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. يترك دبليو = the width.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula. A = L W A = L W
Substitute. 168 = 14 W 168 = 14 W
Step 5. Solve the equation. 168 14 = 14 W 14 168 14 = 14 W 14
12 = W 12 = W
Step 6. Check.


A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓ A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓
Step 7. Answer the question. The width of the room is 12 feet.

The area of a rectangle is 598 square feet. The length is 23 feet. What is the width?

The width of a rectangle is 21 meters. The area is 609 square meters. What is the length?

Example 3.44

Find the length of a rectangle with perimeter 50 inches and width 10 inches.

المحلول

Step 1. Read the problem.
Draw the figure and label it with the given information.

Step 2. Identify what you are looking for. the length of the rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. يترك L = the length.
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Step 5. Solve the equation.





Step 6. Check.

P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓ P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓
Step 7. Answer the question. The length is 15 inches.

Find the length of a rectangle with: perimeter 80 and width 25.

Find the length of a rectangle with: perimeter 30 and width 6.

We have solved problems where either the length or width was given, along with the perimeter or area now we will learn how to solve problems in which the width is defined in terms of the length. We will wait to draw the figure until we write an expression for the width so that we can label one side with that expression.

Example 3.45

The width of a rectangle is two feet less than the length. The perimeter is 52 feet. Find the length and width.

المحلول

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. the length and width of a rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it.
Since the width is defined in terms of the length, we let L = length. The width is two feet less than the length, so we let L − 2 = width.

P = 52 P = 52 ft
Step 4. Translate.
Write the appropriate formula. The formula for the perimeter of a rectangle relates all the information. P = 2 L + 2 W P = 2 L + 2 W
Substitute in the given information. 52 = 2 L + 2 ( L − 2 ) 52 = 2 L + 2 ( L − 2 )
Step 5. Solve the equation. 52 = 2 L + 2 L − 4 52 = 2 L + 2 L − 4
Combine like terms. 52 = 4 L − 4 52 = 4 L − 4
Add 4 to each side. 56 = 4 L 56 = 4 L
Divide by 4. 56 4 = 4 L 4 56 4 = 4 L 4
14 = L 14 = L
The length is 14 feet.
Now we need to find the width. The width is L − 2 L − 2 .

The width is 12 feet.
Step 6. Check.
Since 14 + 12 + 14 + 12 = 52 14 + 12 + 14 + 12 = 52 , this works!

Step 7. Answer the question. The length is 14 feet and the width is 12 feet.

The width of a rectangle is seven meters less than the length. The perimeter is 58 meters. Find the length and width.

The length of a rectangle is eight feet more than the width. The perimeter is 60 feet. Find the length and width.

Example 3.46

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. The perimeter is 32 centimeters. Find the length and width.

المحلول

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. the length and the width
Step 3. Name. Choose a variable to represent the width.
The length is four more than twice the width.


Step 4. Translate
Write the appropriate formula.
Substitute in the given information.
Step 5. Solve the equation.






12
The length is 12 cm.
Step 6. Check.


P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓ P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓
Step 7. Answer the question. The length is 12 cm and the width is 4 cm.

The length of a rectangle is eight more than twice the width. The perimeter is 64. Find the length and width.

The width of a rectangle is six less than twice the length. The perimeter is 18. Find the length and width.

Example 3.47

The perimeter of a rectangular swimming pool is 150 feet. The length is 15 feet more than the width. Find the length and width.


Similar Triangles Applications


Image Source: http://www.howitworksdaily.com

A powerful Zoom lens for a 35mm camera can be very expensive, because it actually contains a number of highly precise glass lenses, which need to be moved by a tiny motor into very exact positions as the camera auto focuses.

The Geometry and Mathematics of these lenses is very involved, and they cannot be simply mass produced and tested by computer robots.

Lots of effort required to manufacture these lenses results in their very high price tags.

Here is a diagram showing how the zoom lens internal arrangement changes as we zoom from 18mmm wide angle to 200mm fully zoomed in:


Image Source: http://www.canon.com


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Shown above are some band photographs taken by Passy with a special low light camera.

Unfortunately this camera does not have a zoom lens, and so you need to be right up close to the stage to take good pictures.

A special low light aperture 1.4 zoom lens for taking band photographs has a price tag a bit out of Passy’s current reach.

The light rays passing through a camera lens involves some similar triangles mathematics.

We will do some of this mathematics in the “Bow Tie” examples later in this lesson.

Similar Triangles can also be used to measure the heights of very tall objects such as trees, buildings, and mobile phone towers.

Measuring heights of tall objects is also covered in this lesson.

It is very important that you have done our basic lesson on Similar Triangles before doing the lesson which follows on here.

If you need to go back and look at Basic Similar Triangles, then click the link below:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above setup for a camera lens, we have a “Bow Tie” shaped pair of Similar Triangles.

Note that when light passes through a camera lens the original image ends up upside down or “inverted”.

This is why cameras have a mirror inside them to put the image right way up so we can view it while taking the photo.

It is very important that this mirror is kept spotlessly clean when changing lenses on a 35mmm camera, and we must be careful never to touch it with our fingers.

The diagram below shows the triangles from our camera lens diagram, with some measured values labelled onto it.

We have used two of the the measurements to work out the “Scale Factor”.

Once we have the S.F. we can then easily work out our missing value.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We do not have to use the Scale Factor method to work out this question.

Instead, we can use the Ratios Cross Multiplying Method, as shown in “Example 1B” below.

It is up to you as to which method you want to use. Both methods give the same correct answer.

In this example we first locate our two pairs of matching sides on the given diagram below.

We then set them up as matching ratios, and use the ratios cross multiplying method to get our answer.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Here is another example where we are working with “Bow Tie” Similar Triangles.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Video About Bow Tie Questions

The following video shows how to do some example Bow Tie and Ladder Triangle questions.

Using Triangles to Find Height

Similar Triangles can also be used to work out the Heghts of tall objects such as trees, buildings, and towers which are too hard for us to climb and measure with a measuring tape.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Because the sun is shining from a very long way away, it shines down at the same angle on both objects (the person and the tree).

Shadows are formed for both of these objects, because the sun is shining on them at an angle.
Eg. The 2m tall lady makes a 12m long shadow, and the palm tree makes an 84m long shadow.

This results in a pair of similar triangles being formed.

By comparing the lengths of the two shadows, against the two heights, using similar triangles, we can work out the unknown height of the tree.

In the following two examples we show how these types of height questions are drawn as a triangle inside a triangle.

We then use the Scale Factor Method to get our answer for “Example 1A”.

After this, we do the same question using the Cross Multiplying Ratios Method in “Example 1B”.

Finding Height – Example 1A


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 1B


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 2

Here is another example of finding height from the shadows, but this time we have a Mobile Phone Tower, and a shorter person with a smaller shadow.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Videos About Finding Height

Three and a a half minute video about using shadows to find the height of a tree:

Ten minute video showing a guy actually finding the height of a wall using shadows:

Video showing some algebra x and y problems:

Finding Height Using a Mirror

We can also find the height of a tall object by using line of sight and a mirror, rather than measuring shadows.

This gives a “Bow Tie” type question that we need to solve.

The video at the following link shows an example fo how to do this.

Similar Triangles are very useful for indirectly determining the sizes of items which are difficult to measure by hand.

Typical examples include building heights, tree heights, and tower heights.

Similar Triangles can also be used to measure how wide a river or lake is.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Now the instructors could toss a coin to see who ties a rope to themselves, and then swims across the freezing cold water to work out how wide the river is.

However, the following method shown here is much easier, and nobody has to get wet!

It involves each person moving further along the river and measuring exactly how far they have moved from their starting points at A and B.

This is shown in the following diagram:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We can draw in the line of sight from the lady at “E” to the guy on the other side of the river at “C”, which then produces a pair of Similar Triangles.

We can solve these “bow tie” triangles and work out the width of the river as shown below.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

(Note that some clipart images from the web were used for the above River Diagrams, and Passy’s World is not claiming any ownership of these cliparts, but only of the mathematical components contained in these examples.)

If you enjoyed this lesson, why not get a free subscription to our website.
You can then receive notifications of new pages directly to your email address.

Go to the subscribe area on the right hand sidebar, fill in your email address and then click the “Subscribe” button.

To find out exactly how free subscription works, click the following link:

If you would like to submit an idea for an article, or be a guest writer on our website, then please email us at the hotmail address shown in the right hand side bar of this page.

If you are a subscriber to Passy’s World of Mathematics, and would like to receive a free PowerPoint version of this lesson, that is 100% free to you as a Subscriber, then email us at the following address:

Please state in your email that you wish to obtain the free subscriber copy of the “Similar Triangle Applications” Powerpoint.

Feel free to link to any of our Lessons, share them on social networking sites, or use them on Learning Management Systems in Schools.

Each day Passy’s World provides hundreds of people with mathematics lessons free of charge.

Help us to maintain this free service and keep it growing.

Donate any amount from $2 upwards through PayPal by clicking the PayPal image below. Thank you!

PayPal does accept Credit Cards, but you will have to supply an email address and password so that PayPal can create a PayPal account for you to process the transaction through. There will be no processing fee charged to you by this action, as PayPal deducts a fee from your donation before it reaches Passy’s World.


Right Triangle Calculator and Solver

Five easy to use calculators to solve right triangle problems depending on which information you are given. The figure shown below will be used for sides and angle notations.

Formulas Used in the Different Calculators

The Pythagorean theorem used in the above triangle gives

The trigonometric ratios used to find angles A and B are given by

sin(A) = a / h , A = arctan(a / h)

sin(B) = b / h , B = arctan(b / h)

The area and perimeter of the right triangle are given by

Calculator 1 - You know one side and the hypotenuse

How to use the calculators

Enter the side and the hypotenuse as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 2 - You know the two sides of the right triangle

How to use the calculators

Enter the two sides as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 3 - You know one side and the angle opposite to it

How to use the calculators

Enter the side and the opposite angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 4 - You know the hypotenuse and one angle

How to use the calculators

Enter the hypotenuse and the angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 5 - You know the perimeter and area of a right triangle

How to use the calculators
You might have to review area and perimeter of right triangles in order to understand the formulas used in this calculator.
Enter the perimeter and the area as positive real numbers and press "calculate".

More References and Links


Angles of Elevation and Depression

In surveying, the angle of elevation is the angle from the horizontal looking up to some object:

ال angle of depression is the angle from the horizontal looking down to some object:

مثال 3

The angle of elevation of an aeroplane is `23°`. If the aeroplane's altitude is `2500 "m"`, how far away is it?

Let the distance be x. Then `sin 23^"o"=2500/x`

Example 4

You can walk across the Sydney Harbour Bridge and take a photo of the Opera House from about the same height as top of the highest sail.

This photo was taken from a point about `500 "m"` horizontally from the Opera House and we observe the waterline below the highest sail as having an angle of depression of `8°`. How high above sea level is the highest sail of the Opera House?


Free Math Printable Worksheets with Answer Keys and Activities

Feel free to download and enjoy these free worksheets on functions and relations. Each one has model problems worked out step by step, practice problems, as well as challenge questions at the sheets end. Plus each one comes with an answer key.

Arithmetic

Algebra I

  • Circle
  • Simplify Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with variables in Exponents (Algebra 2)
  • Exponential Growth (no answer key on this one, sorry)
  • Compound Interest Worksheet #1 (No logs)
  • Compound Interest Worksheet (Logarithms required)
  • Factor Trinomials Worksheet
  • Factor by Grouping
  • Domain and Range (Algebra 1)
  • Functions vs Relations (Distinguish function from relation, state domain etc..) (Algebra 2)
  • Evaluating Functions (Algebra 2)
  • 1 to 1 Functions (Algebra 2)
  • Composition of Functions (Algebra 2)
  • Inverse Functions Worksheet (Algebra 2)
  • Operations with Functions (Algebra 2)
  • Functions Review Worksheet (Algebra 2)
  • Solve Quadratic Equations by Factoring
  • Quadratic Formula Worksheets (3 different sheets)
  • Quadratic Formula Worksheet (Real solutions)
  • Quadratic Formula (Complex solutions)
  • Quadratic Formula (Both real and complex solutions)
  • Discriminant and Nature of the Roots
  • Solve Quadratic Equations by Completing the Square
  • Sum and Product of Roots
  • Radical Equations
  • Mixed Problems on Writing Equations of Lines
  • Slope Intercept Form Worksheet
  • Standard Form Worksheet
  • Write Equation of Line from the Slope and 1 Point
  • Write Equation of Line From Two Points
  • Equation of Line Parallel to Another Line and Through a Point
  • Equation of Line Perpendicular to Another Line and Through a Point
  • Perpendicular Bisector of Segment
  • Write Equation of Line Mixed Review
  • Solve Systems of Equations Graphically
  • Solve Systems of Equations by Elimination
  • Solve by Substitution
  • Solve Systems of Equations (Mixed Review)
  • Activity on Systems of Equations (Create an advertisement for your favorite method to Solve Systems of Equations)
  • Real World Connections (Compare cell phone plans)

Trigonomnetry

  • Law of Sines and Cosines Worksheets
    • Law of Sines and Cosines Worksheet (This sheet is a summative worksheet that focuses on deciding when to use the law of sines or cosines as well as on using both formulas to solve for a single triangle's side or angle)
      • Law of Sines
      • Ambiguous Case of the Law of Sines
      • Law of Cosines

      الهندسة

      Meaning of Worksheet Icons

      This icon means that the activity is exploratory.
      worksheet involves group work .
      worksheet involves real world applications of concepts.
      worksheet includes a drill-like component.
      worksheet based on using the Geometer's Sketchpad.

      • A ngles
          • Activity-Explore by Measuring the Relationship of Vertical Angles
          • Vertical Angles Worksheet
          • Adding and Subtracting Integers
          • Graphic Organizer: Formulas & Theorems of A Circle
          • Chord of A Circle: theorems involving parallel chords, congruent chords & chords equidistant from the center of circle
          • Inscribed and Central Angles
          • Arcs and Angles Formed by Intersecting Chords
          • Tangent, Secant, Arcs and Angles of a Circle
          • Parallel Chords, Congruent Chords and the Center of a Circle
          • Relationship Between Tangent, Secant Side Lengths
          • Arcs and Angles Formed by the Intersection of a Tangent and a Chord
          • Mixed Review on Formulas of Geometry of the Circle (Large problems involving many Circle Formulas)
          • E llipse
            • Equation and Graph of Ellipse Worksheet
            • Focus of Ellipse (Find foci based on graph and equation) (Also includes NYS Math B Regents questions at end)
            • Exponents Worksheet (Focuses on two rules of exponents)
            • Exponential Growth (Exploratory activity as well as drill like questions)
            • Exponential Population Growth (Drill like questions, as well as student centered activity, NYS Math B Regents questions, and how to perform exponential regressions)
            • One Variable Equations and Proportions
            • Relation and Functions in Math Worksheet
            • 1 to 1 Functions Worksheet
            • Distance vs Time Graphs
            • Find the Slope of a Line Worksheet
            • Linear Equations - Real World Application Activity
            • Ordered Pair Notation
            • P arallelograms
              • Compare and Contrast Types of Parallelograms (Rectangles, Rhombus, Square in a table. Microsoft Word format. Worksheet Goes Hand in Hand with This Web Page)
              • Classify Quadrilateral as Parallelogram (A classic activity: have the students construct a Quadrilateral and its midpoints, then create an inscribed Quadrilateral. Then ask the students to measure the Angles, sides etc.. of inscribed shape and use the measurements to classify the shape (Parallelogram).
              • Interior Angles of Polygon Worksheet
              • Exterior Angles of a Polygon
              • Side Angle Side and Angle Side Angle Worksheet This worksheet includes model problems and an activity. Also, the answers to most of the proofs can be found in a free, online PowerPoint demonstration.
              • Side Side Side Worksheet and Activity
              • Angle Side Angle Worksheet and Activity
              • Relation and Functions in Math Worksheet
              • 1 to 1 Function
              • SOHCAHTOA Worksheet
              • SAS Formula to Find Area of Triangle
              • Properties of Triangles
              • Area of a Triangle Worksheet
              • Angle Angle Side Postulate (AAS)
              • Side Side Side Postulate Worksheet(SSS)
              • Angle Side Angle Postulate Worksheet (ASA)
              • Hypotenuse Leg Worksheet(Hypotenuse Leg)
              • Activity-Relationship of Angles in a Trapezoid
              • Compositions of Reflections. Reflections Over Intersecting Lines as Rotations

              All of these worksheets and activities are available for free so long as they are used solely for educational, noncommercial purposes and are not distributed outside of a specific teacher's classroom.


              DMCA Complaint

              If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

              Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

              Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

              Please follow these steps to file a notice:

              You must include the following:

              A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

              Send your complaint to our designated agent at:

              Charles Cohn Varsity Tutors LLC
              101 S. Hanley Rd, Suite 300
              St. Louis, MO 63105


              شاهد الفيديو: الدرس 1-4 الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية. رياضيات 4 (ديسمبر 2021).