مقالات

9.R: المتطابقات والمعادلات المثلثية (مراجعة)


7.1: حل المعادلات المثلثية بالمطابقات

بالنسبة للتمارين من 1 إلى 6 ، أوجد جميع الحلول الموجودة بالضبط في الفترة ([0،2 pi) ).

1) ( csc ^ 2 t = 3 )

إجابه

( sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right) ، pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right) ، pi + sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right) ، 2 pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {3} right) )

2) ( cos ^ 2 x = dfrac {1} {4} )

3) (2 الخطيئة ثيتا = -1 )

إجابه

( dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6} )

4) ( tan x sin x + sin (-x) = 0 )

5) (9 sin omega -2 = 4 sin ^ 2 omega )

إجابه

( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} right) ، pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} right) )

6) (1-2 tan ( omega) = tan ^ 2 ( omega) )

بالنسبة للتمارين من 7 إلى 8 ، استخدم المطابقات الأساسية لتبسيط التعبير.

7) ( sec x cos x + cos x- dfrac {1} { sec x} )

إجابه

(1)

8) ( sin ^ 3 x + cos ^ 2 x sin x )

بالنسبة للتمارين 9-10 ، حدد ما إذا كانت الهويات المعطاة متكافئة.

9) ( sin ^ 2 x + sec ^ 2 x -1 = dfrac {(1- cos ^ 2 x) (1+ cos ^ 2 x)} { cos ^ 2 x} )

إجابه

نعم

10) ( tan ^ 3 x csc ^ 2 x cot ^ 2 x cos x sin x = 1 )

7.2: متطابقات المجموع والفرق

بالنسبة للتمارين من 1 إلى 4 ، أوجد القيمة الدقيقة.

1) ( tan left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

إجابه

(- 2- sqrt {3} )

2) ( cos left ( dfrac {25 pi} {12} right) )

3) ( sin (70 ^ { circ}) cos (25 ^ { circ}) - cos (70 ^ { circ}) sin (25 ^ { circ}) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

4) ( cos (83 ^ { circ}) cos (23 ^ { circ}) + sin (83 ^ { circ}) sin (23 ^ { circ}) )

بالنسبة للتدريبات 5-6 ، إثبات الهوية.

5) ( cos (4x) - cos (3x) cos x = sin ^ 2 x-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x )

إجابه

( ابدأ {محاذاة *}
cos (4x) - cos (3x) cos x & = cos (2x + 2x) - cos (x + 2x) cos x
& = cos (2x) cos (2x) - sin (2x) sin (2x) - cos x cos (2x) cos x + sin x sin (2x) cos x
& = ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) ^ 2-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x- cos ^ 2 x ( cos ^ 2
x- sin ^ 2 x) + sin x (2) sin x cos x cos x
& = ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) ^ 2-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x- cos ^ 2 x ( cos ^ 2 x- sin ^ 2 x) +2 الخطيئة ^ 2 x cos ^ 2 x
& = cos ^ 4x-2 cos ^ 2x sin ^ 2x + sin ^ 4- cos ^ 2x sin ^ 2x- cos ^ 4x + cos ^ 2x sin ^ 2x + 2 sin ^ 2x cos ^ 2x
& = sin ^ 4x-4 cos ^ 2x sin ^ 2x + cos ^ 2x sin ^ 2x
& = sin ^ 2x ( sin ^ 2x + cos ^ 2x) -4 cos ^ 2x sin ^ 2x
& = sin ^ 2 x-4 cos ^ 2 x sin ^ 2 x
نهاية {محاذاة *} )

6) ( cos (3x) - cos ^ 3x = - cos x sin ^ 2x- sin x sin (2x) )

للتمرين 7 ، بسّط التعبير.

7) ( dfrac { tan left ( tfrac {1} {2} x right) + tan left ( tfrac {1} {8} x right)} {1- tan left ( tfrac {1} {8} x right) tan left ( tfrac {1} {2} x right)} )

إجابه

( tan left ( dfrac {5} {8} x right) )

بالنسبة للتمارين 8-9 ، أوجد القيمة الدقيقة.

8) ( cos left ( sin ^ {- 1} (0) - cos ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) right) )

9) ( tan left ( sin ^ {- 1} (0) - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {3} )

7.3: صيغ الزاوية المزدوجة ونصف الزاوية والاختزال

بالنسبة للتمرينات من 1 إلى 4 ، أوجد القيمة الدقيقة.

1) أوجد ( الخطيئة (2 ثيتا) ) ( كوس (2 ثيتا) ), و ( tan (2 theta) ) معطى ( cos theta = - dfrac {1} {3} ) و ( theta ) في الفاصل ( اليسار [ dfrac { pi} {2} ، pi right] ).

2) أوجد ( الخطيئة (2 ثيتا) ) ، ( كوس (2 ثيتا) ) ، و ( تان (2 ثيتا) ) معطى ( ثانية ثيتا = - دفراك {5} {3} ) و ( theta ) يقعان في الفاصل ( left [ dfrac { pi} {2} ، pi right] ).

إجابه

(- dfrac {24} {25}، - dfrac {7} {25}، dfrac {24} {7} )

3) ( sin left ( dfrac {7 pi} {8} right) )

4) ( ثانية يسار ( dfrac {3 pi} {8} يمين) )

إجابه

( sqrt {2 (2+ sqrt {2})} )

بالنسبة للتمارين 5-6 ، استخدم الشكل أدناه للعثور على الكميات المطلوبة.

5) ( sin (2 beta)، cos (2 beta)، tan (2 beta)، sin (2 alpha)، cos (2 alpha)، tan (2 alpha) ) )

6) ( sin left ( frac { beta} {2} right) ، cos left ( frac { beta} {2} right) ، tan left ( frac { beta } {2} right) ، sin left ( frac { alpha} {2} right) ، cos left ( frac { alpha} {2} right) ، tan left ( frac { alpha} {2} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2}} {10} ، dfrac {7 sqrt {2}} {10} ، dfrac {1} {7} ، dfrac {3} {5} ، dfrac { 4} {5} ، dfrac {3} {4} )

بالنسبة للتدريبات 7-8 ، إثبات الهوية.

7) ( dfrac {2 cos (2x)} { sin (2x)} = cot x- tan x )

8) ( cot x cos (2x) = - sin (2x) + cot x )

إجابه

( start {align *} cot x cos (2x) & = cot x (1-2 sin ^ 2 x) & = cot x- dfrac { cos x} { sin x } (2) sin ^ 2 x & = -2 sin x cos & = - sin (2x) + cot x end {align *} )

للتمارين 9-10 ، أعد كتابة التعبير بدون قوى.

9) ( cos ^ 2 x sin ^ 4 (2x) )

10) ( tan ^ 2 x sin ^ 3 x )

إجابه

( dfrac {10 sin x-5 sin (3x) + sin (5x)} {8 ( cos (2x) +1)} )

7.4: صيغ المجموع إلى المنتج والمنتج إلى المجموع

بالنسبة للتدريبات 1-3 ، قم بتقييم حاصل الضرب للتعبير المحدد باستخدام مجموع أو اختلاف وظيفتين. اكتب الإجابة الدقيقة.

1) ( cos left ( dfrac { pi} {3} right) sin left ( dfrac { pi} {4} right) )

2) (2 sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) sin left ( dfrac {5 pi} {6} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

3) (2 cos left ( dfrac { pi} {5} right) cos left ( dfrac { pi} {3} right) )

بالنسبة للتدريبات 4-5 ، قم بتقييم المجموع باستخدام صيغة حاصل الضرب. اكتب الإجابة الدقيقة.

4) ( sin left ( dfrac { pi} {12} right) - sin left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

إجابه

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

5) ( cos left ( dfrac {5 pi} {12} right) + cos left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

بالنسبة للتدريبات من 6 إلى 9 ، قم بتغيير الوظائف من منتج إلى مبلغ أو مجموع إلى منتج.

6) ( sin (9x) cos (3x) )

إجابه

( dfrac {1} {2} ( sin (6x) + sin (12x)) )

7) ( cos (7x) cos (12x) )

8) ( الخطيئة (11 س) + الخطيئة (2 س) )

إجابه

(2 sin left ( dfrac {13} {2} x right) cos left ( dfrac {9} {2} x right) )

9) ( cos (6x) + cos (5x) )

7.5: حل المعادلات المثلثية

بالنسبة للتمرينات 1-2 ، أوجد جميع الحلول الدقيقة في الفترة ([0،2 pi) ).

1) ( تان س + 1 = 0 )

إجابه

( dfrac {3 pi} {4} ، dfrac {7 pi} {4} )

2) (2 sin (2x) + sqrt {2} = 0 )

للتمارين من 3 إلى 7 ، أوجد جميع الحلول الدقيقة في الفترة ([0،2 pi) ).

3) (2 الخطيئة ^ 2 س- الخطيئة س = 0 )

إجابه

(0، dfrac { pi} {6}، dfrac {5 pi} {6}، pi )

4) ( كوس ^ 2 س- كوس س -1 = 0 )

5) (2 خطيئة ^ 2 س + 5 خطيئة س + 3 = 0 )

إجابه

( dfrac {3 pi} {2} )

6) ( كوس س - 5 خطيئة (2 س) = 0 )

7) ( dfrac {1} { sec ^ 2 x} +2+ sin ^ 2 x + 4 cos ^ 2 x = 0 )

إجابه

لا حل.

بالنسبة للتمارين 8-9 ، قم بتبسيط المعادلة جبريًا قدر الإمكان. ثم استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد الحلول في الفترة ([0،2 pi) ).قرّب لأربعة منازل عشرية.

8) ( sqrt {3} cot ^ 2 x + cot x = 1 )

9) ( csc ^ 2 x-3 csc x-4 = 0 )

إجابه

(0.2527,2.8889,4.7124)

للتمارين 10-11 ، ارسم كل جانب من جوانب المعادلة بيانيًا لإيجاد الأصفار في الفترة ([0،2 pi) ).

10) (20 cos ^ 2x + 21 cos x + 1 = 0 )

11) ( sec ^ 2x-2 sec x = 15 )

إجابه

(1.3694, 1.9106, 4.3726, 4.9137)

7.6: النمذجة باستخدام المعادلات المثلثية

للتمارين من 1 إلى 3 ، ارسم النقاط بيانيًا واعثر على صيغة ممكنة للقيم المثلثية في الجدول المحدد.

1)

(س )
(ص )

2)

(س )
إجابه

(3 sin left ( dfrac {x pi} {2} right) -2 )

3)

(س )
(3 + 2 مربع {2} )
(2 الجذر التربيعي {2} -1 )
(3-2 sqrt {2} )
(- 1-2 sqrt {2} )

4) رجل مع مستوى عينه (6 ) أقدام فوق الأرض يقف (3 ) أقدام من قاعدة سلم عمودي قدم. إذا نظر إلى الجزء العلوي من السلم ، فما الزاوية فوق الأفقي الذي ينظر إليه؟

إجابه

(71.6 ^ { circ} )

5) باستخدام السلم من التمرين السابق ، إذا كان (6 ) - عامل بناء طويل القامة يقف في أعلى السلم ينظر لأسفل عند قدمي الرجل الواقف في الأسفل ، فما الزاوية من الأفقي هو يبحث؟

بالنسبة للتدريبات من 6 إلى 7 ، قم بإنشاء وظائف تمثل السلوك الموصوف.

6) يختلف عدد سكان القوارض مع أدنى مستوى سنوي قدره (500 ) في مارس. إذا كان متوسط ​​عدد السكان السنوي للليمون هو (950 ) ، فاكتب دالة تمثل السكان فيما يتعلق بـ (t ), الشهر.

إجابه

(P (t) = 950-450 sin left ( dfrac { pi} {6} t right) )

7) درجات الحرارة اليومية في الصحراء يمكن أن تكون شديدة للغاية. إذا اختلفت درجة الحرارة من (90 ^ { circ} ) F إلى (30 ^ { circ} ) F وكان متوسط ​​درجة الحرارة اليومية يحدث أولاً في الساعة 10 صباحًا ، فاكتب دالة تمثل هذا السلوك.

بالنسبة للتمارين من ٨ إلى ٩ ، أوجد سعة المعادلات وتواترها ومدتها.

8) (ص = 3 كوس (س بي) )

إجابه

المطال: (3 ) ، الدورة: (2 ) ، التردد: ( dfrac {1} {2} ) هرتز

9) (ص = -2 خطيئة (16x بي) )

بالنسبة للتدريبات 10-11 ، قم بنمذجة السلوك الموصوف وابحث عن القيم المطلوبة.

10) إدخال أنواع غازية من الكارب إلى مياه البحيرة العذبة. في البداية يوجد (100 ) سمك الشبوط في البحيرة ويختلف عدد الأسماك حسب (20 ) سمكة موسميا. إذا كان (5 ) في السنة (625 ) كارب ، فابحث عن دالة لنمذجة تعداد الكارب بالنسبة إلى (t ), عدد السنوات من الآن.

إجابه

(C (t) = 20 الخطيئة (2 pi t) +100 (1.4427) ^ t )

11) متوسط ​​عدد الأسماك المحلية لبحيرة المياه العذبة متوسط ​​ (2500 ) سمكة ، متفاوتًا بنسبة (100 ) سمكة موسمياً. بسبب التنافس على الموارد من الكارب الغازي ، من المتوقع أن ينخفض ​​عدد الأسماك المحلية بنسبة (5 ٪ ) كل عام. ابحث عن دالة لنمذجة تجمعات الأسماك المحلية فيما يتعلق (t ), عدد السنوات من الآن. حدد أيضًا عدد السنوات التي سيستغرقها الكارب لتتفوق على الأسماك المحلية.

اختبار الممارسة

بالنسبة للتمارين 1-2 ، قم بتبسيط التعبير المعطى.

1) ( cos (-x) الخطيئة س سرير الأطفال x + الخطيئة ^ 2x )

إجابه

(1)

2) ( sin (-x) cos (-2x) - sin (-x) cos (-2x) )

بالنسبة للتمرينات من 3 إلى 6 ، أوجد القيمة الدقيقة.

3) ( cos left ( dfrac {7 pi} {12} right) )

إجابه

( dfrac { sqrt {2} - sqrt {6}} {4} )

4) ( tan left ( dfrac {3 pi} {8} right) )

5) ( tan left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) + tan ^ {- 1} sqrt {3} right) )

إجابه

(- sqrt {2} - sqrt {3} )

6) (2 sin left ( dfrac { pi} {4} right) sin left ( dfrac { pi} {6} right) )

بالنسبة للتمارين من 7 إلى 16 ، أوجد جميع الحلول الدقيقة للمعادلة في ([0،2 pi) ).

7) ( cos ^ 2x- sin ^ 2x-1 = 0 )

إجابه

(0 ، بي )

8) ( cos ^ 2x = cos x )

إجابه

( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} left ( sqrt {13} -1 right) right) ، pi - sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {4} left ( sqrt {13} -1 right) right) )

9) ( cos (2x) + الخطيئة ^ 2 س = 0 )

10) (2 sin ^ 2 x - sin x = 0 )

إجابه

(0، dfrac { pi} {6}، dfrac {5 pi} {6}، pi )

11) أعد كتابة التعبير كمنتج بدلاً من المجموع: ( cos (2x) + cos (-8x) )

12) أوجد جميع حلول ​​( tan (x) - sqrt {3} = 0 ).

إجابه

( dfrac { pi} {3} + k pi )

13) أوجد حلول ​​( sec ^ 2x -2 sec x = 15 ) على الفاصل ([0،2 pi) ) جبريًا ؛ ثم رسم طرفي المعادلة بيانيًا لتحديد الإجابة.

14) أوجد ( الخطيئة (2 ثيتا) ) ، ( cos (2 ثيتا) ) ، و ( تان (2 ثيتا) ) معطى ( سرير ثيتا = - دفراك {3} {4} ) و ( theta ) على الفاصل ( left [ dfrac { pi} {2} ، pi right] ).

إجابه

(- dfrac {24} {25}، - dfrac {7} {25}، dfrac {24} {7} )

15) ابحث عن ( sin left ( dfrac { theta} {2} right) ) و ( cos left ( dfrac { theta} {2} right) ) و ( tan left ( dfrac { theta} {2} right) ) معطى ( cos theta = - dfrac {7} {25} ) و ( theta ) في الربع ( mathrm {IV} ).

16) أعد كتابة التعبير ( sin ^ 4 x ) بدون قوى أكبر من (1 ).

إجابه

( dfrac {1} {8} (3+ cos (4x) -4 cos (2x)) )

بالنسبة للتدريبات 17-19 ، إثبات الهوية.

17) ( tan ^ 3x- tan x sec ^ 2x = tan (-x) )

18) ( sin (3x) - cos x sin (2x) = cos ^ 2x sin x- sin ^ 3x )

إجابه

( start {align *} sin (3x) - cos x sin (2x) & = sin (x + 2x) - cos x (2 sin x cos x) & = sin x cos (2x) + sin (2x) cos x -2 sin x cos ^ 2x & = sin x ( cos ^ 2x - sin ^ 2x) +2 sin x cos x cos x - 2 sin x cos ^ 2x & = sin x cos ^ 2x - sin ^ 3x +0 & = cos ^ 2x sin x - sin ^ 3x & = cos ^ 2x sin x- sin ^ 3x end {align *} )

19) ( dfrac { sin (2x)} { sin x} - dfrac { cos (2x)} { cos x} = sec x )

20) ارسم النقاط وابحث عن دالة بالشكل (y = A cos (Bx + C) + D ) التي تناسب البيانات المقدمة.

(س )
(ص )
إجابه

(ص = 2 كوس ( بي س + بي) )

21) يتم نمذجة الإزاحة (h (t) ) بالسنتيمتر من كتلة معلقة بواسطة زنبرك من خلال الوظيفة (h (t) = dfrac {1} {4} sin (120 pi t) ), حيث (t ) يقاس بالثواني. أوجد سعة ودورة وتواتر هذه الإزاحة.

22) امرأة تقف على بعد (300) قدم من مبنى (2000) قدم. إذا نظرت إلى الجزء العلوي من المبنى ، في أي زاوية فوق الأفقي تنظر؟ عاملة تشعر بالملل تنظر إليها من الخامسة عشرةذ أرضية ( (1500 ) قدم فوقها). في أي زاوية ينظر إليها؟ قرّب لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

إجابه

(81.5 ^ { circ}، 78.7 ^ { circ} )

23) يتم تشغيل ترددين من الصوت على آلة تحكمها المعادلة (n (t) = 8 cos (20 pi t) cos (1000 pi t) ).ما هي فترة وتواتر التذبذبات "السريعة" و "البطيئة"؟ ما هي السعة؟

24) متوسط ​​تساقط الثلوج الشهري في قرية صغيرة في جبال الهيمالايا هو (6 ) بوصات ، مع انخفاض (1 ) بوصة في يوليو. أنشئ دالة تمثل هذا السلوك. في أي فترة يوجد أكثر من (10 ​​) بوصات من تساقط الثلوج؟

إجابه

(6 + 5 cos left ( dfrac { pi} {6} (1-x) right) ). من 23 نوفمبر إلى 6 فبراير.

25) يتم سحب زنبرك متصل بالسقف لأسفل (20 ) سم. بعد (3 ) ثانية ، حيث يكمل (6 ) فترات كاملة ، يكون السعة (15 ) سم فقط. ابحث عن وظيفة النمذجة لموضع الربيع (t ) الثواني بعد تحريره. في أي وقت يأتي الربيع للراحة؟ في هذه الحالة ، استخدم (1 ) سم كباقي.

26) يبلغ متوسط ​​مستويات المياه بالقرب من نهر جليدي حاليًا (9 ) أقدام ، وتتفاوت موسمياً بمقدار (2 ) بوصة أعلى وأدنى من المتوسط ​​وتصل إلى أعلى نقطة لها في يناير. بسبب الاحتباس الحراري ، بدأ النهر الجليدي في الذوبان أسرع من المعتاد. كل عام ، يرتفع منسوب المياه بثبات (3 ) بوصات. ابحث عن دالة تمثل عمق المياه (t ) أشهر من الآن. إذا كانت الأحواض على ارتفاع (2 ) قدم فوق مستويات المياه الحالية ، في أي نقطة سيرتفع الماء أولاً فوق الأحواض؟

إجابه

(D (t) = 2 cos left ( dfrac { pi} {6} t right) +108+ dfrac {1} {4} t ) ، (93.5855 ) شهر (أو (7.8 ) سنة من الآن


مراجعة الرياضيات للهويات المثلثية

الهويات المثلثية هي علاقات بين النسب المثلثية التي تحددها من حيث بعضها البعض. يمكن استخدامها للمساعدة في حل المشكلات التي تتضمن الدوال المثلثية.

الهويات المتبادلة

الدالة المقلوبة للجيب هي قاطع التمام ، وجيب التمام هو القاطع ، والظل التمام. في اللغة الرياضية ، فإن csc x = 1 / sin x sec x = 1 / cos x و cot x = 1 / tan x. إذا كانت tan x = sin x / cos x ، فإن cot x يساوي أيضًا cos x / sin x. المتطابقات المقلوبة مفيدة لأن جميع النسب المثلثية في مسألة ما يمكن إعادة كتابتها بدلالة الجيب وجيب التمام ، والتي غالبًا ما تكون أسهل في الاستخدام.

هويات فيثاغورس

متطابقات فيثاغورس هي sin 2 x + cos 2 = 1 tan 2 x +1 = sec 2 x و 1 + cot 2 x = csc 2 x. باستخدام متطابقات فيثاغورس ، يمكن حل تعبير بمصطلحات أخرى باستخدام التعويض. الشيء المهم الذي يجب تذكره هو أن النسب هي نسب تربيعية ، على غرار استخدام نظرية فيثاغورس مع المثلثات القائمة.

استخدام المعلومات المعروفة

تتمثل إحدى طرق حل التعبير المثلثي في ​​التأكد من اتباع أي قواعد للجبر. على سبيل المثال ، يمكن وضع الكسور في قواسم مشتركة ودمجها باستخدام نفس القواسم. افترض أن الكسور المراد إضافتها هي sin θ / cos θ + cos θ / (1 + sin θ). لجمع الكسور ، يجب أن يكون لها قواسم مشتركة. لذلك ، يمكن تبسيط (sin θ [1 + sin θ] + cos 2 θ) / (cos θ (1 + sin θ) إلى 1 / cos θ ، وهو sec.

تبسيط المقادير المثلثية

مفتاح آخر لتبسيط المقادير المثلثية هو كتابتها بدلالة الجيب وجيب التمام ، لأنها غالبًا ما تكون أسهل في الاستخدام. تكتب الجداول بقيم الجيب وجيب التمام. أيضًا ، العديد من الصيغ الشائعة ، مثل مساحة المثلث ، تعبر عن القيم باستخدام جيب الزاوية ، ويمكن استخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام لحل قيم المثلث. تكون التطبيقات أسهل في الاستخدام عندما يتم تبسيط التعبير المثلثي.

هل أنت مهتم بخدمات دروس علم المثلثات؟ تعرف على المزيد حول كيفية مساعدة آلاف الطلاب كل عام دراسي.

SchoolTutoring Academy هي شركة الخدمات التعليمية الأولى لطلاب K-12 وطلاب الجامعات. نحن نقدم برامج تعليمية للطلاب في فصول K-12 وفصول AP والكلية. لمعرفة المزيد حول كيفية مساعدة أولياء الأمور والطلاب في بوفالو ، نيويورك: قم بزيارة: الدروس الخصوصية في بوفالو ، نيويورك


دعم فني

إذا كنت تواجه مشكلات في الوصول إلى الروابط الموجودة في مجلد المحتوى هذا ، فتحقق من قائمة المشكلات الشائعة هذه.

أو يمكنك التواصل عبر الهاتف أو البريد الإلكتروني. يتوفر فريق الدعم الرقمي لدينا من الساعة 8 صباحًا حتى 5 مساءً من الاثنين إلى الجمعة (باستثناء أيام العطلات الرسمية).

أرسل بريدًا إلكترونيًا إلى [email protected] ، هاتف. 0845313 8888 *

يرجى تقديم أكبر قدر ممكن من التفاصيل في بريدك الإلكتروني:

& bull المنتج الذي تستخدمه (مثل ActiveLearn Digital Service)

& الثور طبيعة المشكلة ، بما في ذلك أي رسائل خطأ ظهرت

& الثور الخطوات التي اتخذتها بالفعل لحل المشكلة

& bull الكمبيوتر المستخدم (على سبيل المثال ، إصدار Windows ، أي متصفح)

& الثور تفاصيل الاتصال الخاصة بك بما في ذلك رقم الهاتف

عندما نحتاج إلى الاتصال بك ، إذا أمكن ، يرجى التواجد على الكمبيوتر أو محطة العمل التي تواجه صعوبة فنية.

* تكلفة المكالمات لأرقام 0845 3 بنسات في الدقيقة ، بالإضافة إلى رسوم وصول شركة الهاتف الخاصة بك. تختلف رسوم المكالمات الدولية.


المنتجات والمجاميع والتركيبات الخطية والتطبيقات

النهج الرئيسي لحل المعادلة المثلثية : استخدم الهويات التحويلية Trig لتحويلها إلى منتج من بعض المعادلات المثلثية الأساسية. يؤدي حل المعادلة المثلثية أخيرًا إلى حل بعض المعادلات المثلثية الأساسية.
تحويل الهويات المثلثية التي تحول المبالغ إلى منتجات .
1. cos a + cos b = 2كوس (أ + ب) / 2كوس (أ - ب) / 2
2. cos a - cos b = -2الخطيئة (أ + ب) / 2الخطيئة (أ - ب) / 2
3. sin a + sin b = 2الخطيئة (أ + ب) / 2كوس (أ - ب) / 2
4. الخطيئة أ - الخطيئة ب = 2كوس (أ + ب) / 2الخطيئة (أ - ب) / 2
5. tan a + tan b = sin (a + b) / cos aكوس ب.
6. tan a - tan b = sin (a - b) / cos a
كوس ب
مثال 1 . حوّل f (x) = sin a + cos a إلى حاصل الضرب.
المحلول. استخدم الهوية (3) لتحويل f (x) = sin a + sin (Pi / 2 - a) = 2الخطيئة (Pi / 4)الخطيئة (أ + بي / 4)
مثال 2 . حوّل f (x) = sin x + sin 3x + sin 2x إلى حاصل ضرب. استخدم المطابقة (3) لتحويل المجموع (sin x + sin 3x) ، ثم ضع العامل المشترك.
و (س) = (2الخطيئة 2 أكوس أ) + 2الخطيئة أcos a = 2كوس أ(2sin 3a / 2 * cos a / 2)

إجابه:

# a cos x + b sin x = sqrt كوس (x -text(ب // ، أ)) #

حيث arctan2 هي المعلمتين ، أربعة مماس معكوس رباعي.

توضيح:

لقد كنت أجيب على كل هذه الأسئلة القديمة في الرياضيات. من الصعب معرفة ما إذا كان أي شخص يقرأ الإجابات.

يتوافق الجمع الخطي لجيب التمام والجيب من نفس الزاوية مع تغيير الحجم وانزياح الطور. دعونا نشرح كيف يعمل ذلك.

التركيبة الخطية لجيب التمام وجيب الزاوية نفسها هي تعبير عن الشكل:

هذا يشبه إلى حد كبير صيغة الجمع لزاوية الجيب أو صيغة زاوية الفرق لجيب التمام:

# sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta #

# cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta #

في الواقع ، يمكننا أن نأخذ تركيبة خطية لدينا وتحويلها إلى نسخة مصغرة من أي منهما. نصيحة للمحترفين: عند الاختيار ، تفضل جيب التمام على الجيب.

دعونا نضرب في عامل القياس # r # ونضع #alpha = x ، beta = theta. #

# r cos (x - ثيتا) = r cos ثيتا cos x + r sin ثيتا sin x #

يقودنا التطابق مع التركيبة الخطية إلى الرغبة في حل # r # و # theta #:

لقد رأينا هذا من قبل. هذه هي الطريقة التي ندير بها الإحداثيات القطبية #P (ص ، ثيتا) # إلى إحداثيات مستطيلة ، هنا # (أ ، ب) # لذا مهمتنا هي تحويل # (أ ، ب) # إلى الإحداثيات القطبية.

دعونا نذكر أنفسنا بكيفية القيام بذلك ، ربما بتفاصيل أكثر قليلاً مما نراه عادة.

تربيع وإضافة نحصل عليها

# a ^ 2 + b ^ 2 = (r cos theta) ^ 2 + (r sin theta) ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 ثيتا + sin ^ 2 ثيتا) = r ^ 2 #

عادةً ما يُكتب هذا على أنه قوس ظل الزاوية العادي ، لكن هذا ليس صحيحًا حقًا. يغطي قوس ظل الزاوية العادي ربعين فقط ، ولا يعمل على المحور ص. هذه هي المعلمتان ، أربعة مماس مقلوب رباعي ، والتي تُرجع ثيتا صالحة لجميع أزواج الإدخال الحقيقية. # // ، # متعمد ، يذكرنا بوجود معلمتين منفصلتين ، وأيهما.

لذلك نحن الآن على يقين من أن #a = r cos theta # و #b = r sin theta # هكذا

# a cos x + b sin x = r cos theta cos x + r sin ثيتا sin x = r cos (x - ثيتا) #

# a cos x + b sin x = sqrt كوس (x -text(ب // ، أ)) #


9.R: المتطابقات والمعادلات المثلثية (مراجعة)

علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يتعلق بدراسة الزوايا وقياس الزوايا ووحدات القياس. كما أنه يهتم بالنسب الستة لزاوية معينة والعلاقات التي تحققها هذه النسب. بطريقة موسعة ، الدراسة هي أيضًا الزوايا التي تشكل عناصر المثلث. منطقيا ، مناقشة خصائص المثلث في حل المثلث ، والمشاكل الفيزيائية في منطقة الارتفاعات والمسافات باستخدام خصائص المثلث - كلها تشكل جزءا من الدراسة. كما يوفر طريقة لحل المعادلات المثلثية.

الهوية المثلثية

تسمى المعادلة التي تتضمن النسب المثلثية لزاوية الهوية المثلثية إذا كانت صحيحة لجميع قيم الزاوية. هذه مفيدة عندما تكون الدوال المثلثية متضمنة في تعبير أو معادلة. النسب الست الأساسية المثلثية هي الجيب وجيب التمام والظل وقاطع التمام والقاطع والظل. يتم تحديد كل هذه النسب المثلثية باستخدام أضلاع المثلث القائم الزاوية ، مثل الضلع المجاور والضلع المقابل والوتر.

إثبات المتطابقات المثلثية

لأي زاوية حادة θ ، أثبت ذلك

(i) tanθ = sinθ / cosθ (ii) cotθ = cosθ / sinθ (iii) tanθ. cotθ = 1

(iv) sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (v) 1 + tan 2 θ = sec 2 θ (vi) 1 + cot 2 θ = cosec 2


ضع في اعتبارك △ ABC بزاوية قائمة (الشكل 1) حيث andB = 90 ° و A = 0 °.

افترض أن AB = x وحدة ، BC y وحدة ، AC = r وحدة.

ثم،

(أنا) tanθ = y / x = (y / r) / (x / r) [قسمة الأسطوانات. والطائفة. بواسطة r]

∴ tanθ = sinθ / cosθ

(ثانيا) cotθ = x / y = (x / r) / (y / r) [قسمة الأسطوانات. والطائفة. بواسطة r]



∴ cotθ = cosθ / sinθ

(ثالثا) تاني. cotθ = (sinθ / cosθ). (cosθ / sinθ)

تاني. cotθ = 1

ثم ، من خلال نظرية فيثاغورس & # 8217 ، لدينا

س 2 + ص 2 = ص 2.

الآن،

(رابعا) الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = (ص / ص) 2 + (س / ص) 2 = (ص 2 / ص 2 + س 2 / ص 2)

= (س 2 + ص 2) / ص 2 = ص 2 / ص 2 = 1 [س 2 + ص 2 = ص 2]

الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = 1

(الخامس) 1 + تان 2 θ = 1 + (ص / س) 2 = 1 + ص 2 / س 2 = (ص 2 + س 2) / س 2 = ص 2 / س 2 [س 2 + ص 2 = ص 2]



(ص / س) 2 = ثانية 2 θ

∴ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ.

(السادس) 1 + سرير 2 θ = 1 + (س / ص) 2 = 1 + س 2 / ص 2 = (س 2 + ص 2) / ص 2 = ص 2 / ص 2 [س 2 + ص 2 = ص 2]

(ص 2 / ص 2) = جيب التمام 2 θ

∴ 1 + سرير 2 θ = cosec 2 θ.

تطبيق المتطابقات المثلثية

التطبيق 1: أثبت أن (1 & # 8211 sin 2 θ) ثانية 2 θ = 1

لدينا:

LHS = (1 & # 8211 sin 2 θ) ثانية 2 θ

= cos 2 θ. الثانية 2 θ

= cos 2 θ. (1 / cos 2 θ)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS.

التطبيق 2: أثبت أن (1 + tan 2 θ) cos 2 θ = 1

لدينا:

LHS = (1 + tan 2 θ) cos 2

= ثانية 2 θ. كوس 2 θ

= (1 / cos 2 θ). كوس 2 θ


التطبيق 3: إثبات أن (cosec 2 θ & # 8211 1) tan²θ = 1

لدينا:

LHS = (cosec²θ & # 8211 1) تان 2 θ

= (1 + سرير 2 θ & # 8211 1) تان 2 θ

= سرير 2 θ. تان 2 θ

= (1 / تان 2 θ). تان 2 θ

= 1 = RHS.

∴ LHS = RHS.

التطبيق 4: أثبت أن (sec 4 θ & # 8211 sec 2 θ) = (tan 2 θ + tan 4 θ)

لدينا:

LHS = (ثانية 4 θ & # 8211 ثانية 2 θ)

= ثانية 2 θ (ثانية 2 θ & # 8211 1)

= (1 + تان 2 θ) (1 + تان 2 θ & # 8211 1)

= (1 + tan 2 θ) tan 2 θ

= (تان 2 θ + تان 4 θ)

= RHS

∴ LHS = RHS.

التطبيق 5: أثبت أن √ (sec 2 θ + cosec 2 θ) = (tanθ + cotθ)

لدينا:

LHS = √ (sec 2 θ + cosec 2 θ) = √ ((1 + tan 2 θ) + (1 + cot 2 θ))

= √ (تان 2 θ + سرير 2 θ + 2)

= √ (tan 2 θ + cot 2 θ + 2tanθ.cotθ) (tanθ. cotθ = 1)

= √ (tanθ + cotθ) 2

= tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS.


دائرة الوحدة والهويات الثلاثية أمبير

في العلم ، فإن هويات علم المثلثات هي تلك التكافؤات التي تشمل جميع الوظائف الأساسية. الهويات صالحة لجميع العوامل حيث يتم تمييز جانبي المساواة. هندسيًا ، هذه هي الهويات المهمة ، بما في ذلك بعض جوانب حافة واحدة على الأقل. إنها تعتمد على هويات المثلث ، وهي أحرف يمكن تصورها تتضمن حوافًا ولكنها تتضمن بالإضافة إلى ذلك أطوال أضلاع أو أطوال مختلفة للمثلث.

هويات علم المثلثات هذه مفيدة في أي وقت عندما يتضمن التعبير جميع الوظائف التي تحتاج إلى تبسيط. تطبيق مهم هو دمج الدوال غير المثلثية. إنه إجراء نموذجي يتضمن أولاً استخدام القاعدة المفضلة. بعد ذلك ، تعمل قاعدة الاستبدال المطبقة على جميع الوظائف على تبسيط النتائج الحيوية اللاحقة مع جميع الهويات المثلثية.

لنفترض ببساطة أن كلمة "الهوية" في الرياضيات هي شرط يظل صحيحًا في كل حالة. يمكن أن تكون هذه صحيحة "غير منطقية" ، على غرار "س = س". على سبيل المثال ، تظل نظرية فيثاغورس "a2 + b2 = c2" صحيحة دائمًا بالنسبة للمثلثات القائمة. توجد أكوام من الهويات المثلثية ، ومع ذلك ، تأتي بعد ذلك تلك التي من المقرر أن تراها وتستخدمها بكل الطرق.

افهم مفهوم المثلثات في الدائرة:

بالنسبة لجميع دوائر القطر والأشكال المنحنية ، ستظل هويات حساب المثلثات كما هي. ليس فقط في مثلثات الزاوية اليمنى ، ولكن الدوال المثلثية قابلة للتطبيق أيضًا على جميع أنواع الزوايا التي تتراوح من 0 إلى 360 درجة. إذا كنت تريد فهم الدوال التي تعمل في جميع أرباع الزوايا ، فمن الأفضل التفكير في المثلثات في الدائرة وقيمها.

لنفكر في الدائرة المقسمة إلى أربعة أرباع بقطر متساوٍ. تعتبر النقطة المركزية للدائرة ترتيبًا ديكارتيًا لـ (0 ، 0). عند نقطة المركز ، تكون قيمة X هي 0. كما أن قيمة Y = تساوي أيضًا 0. وتظل هذه القيم ثابتة على نقطة الأصل.

وبالتالي فإن أي مكان أسفل النقطة الوسطى له قيمة y المقدرة أقل من 0 أو قد تكون في عدد سالب.

الهويات الأساسية والباثاغورية

تعتبر النسبة المثلثية مكملة باستمرار لبعض النسب "غير المشتركة". يمكنك استخدام هذه الوظائف والهويات التي تسمح لك بالاحتفاظ بسجلات المستوى. لتقييم قيم المحور ، يذهب قاطع التمام مع الجيب ، والقاطع مع قيم جيب التمام. بعد ذلك ، نذكر هويات فيثاغورس.

  • Sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1
  • 1 + cot 2 (t) = csc 2 (t)
  • تان 2 (ر) + 1 = ثانية 2 (ر)

لاحظ أن متطابقات فيثاغورس الثلاثة الأهم تتضمن معرفة والرقم 1. أولاً ، عليك أن ترى نظرية فيثاغورس عن العلاقة بينهما. الحافة هي t ، والضلع "العكسي" هو sin (t) = y ، والضلع "القريب" هو cos (t) = x ، والوتر هو 1.

لدينا أحرف إضافية محددة بحالة نسب حساب المثلثات:

  • الخطيئة (- t) = - الخطيئة (t)
  • تان (- ر) = - تان (ر)
  • كوس (- ر) = كوس (تي)

لاحظ على وجه التحديد أن الظل والخطيئة هما وظيفتان شائعتان في علم المثلثات. يجب أن تكون متماثلًا حول أصل الدائرة ، بينما جيب التمام هو دالة.

ماذا عن الهويات المزدوجة الزاوية ونصف الزاوية

هويات مزدوجة الزاوية
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x)
cos (2x) = cos2 (x) - sin2 (x) = 1 - 2 sin2 (x) = 2 cos2 (x) - 1

هويات نصف زاوية

باستخدام الهويات ودوال علم المثلثات ، يمكنك اشتقاق هويات نصف الزاوية بسهولة. لاستنتاج هذا ، عليك أولاً إثبات الهويات. يلمح إثبات هويات علم المثلثات إلى الإشارة إلى أن الشخصية صالحة في كل حالة ، بغض النظر عن نوع قيمة ثيتا (θ) المستخدمة.

يجب أن تظل القيمة ثابتة لجميع تقديرات xx. لا يمكننا الاستعاضة عن اثنين من تقديرات xx "لتوضيح" أنها متكافئة. من المعقول أن يكون الطرفان متساويين في بعض الصفات ، وقد نشعر أن لدينا هوية ذات قيمة حقيقية.

بدلاً من ذلك ، نحتاج إلى استخدام خطوات معقولة لإظهار أنه يمكن تغيير جانب واحد من المعادلة الثلاثية إلى الجانب الآخر من معادلة حساب المثلثات. بين الحين والآخر ، سنعمل بشكل مستقل على جانبي المثلث.

نهج عام لإثبات الهوية المثلثية

لإثبات الهويات ، عليك أولاً التعرف على جميع الهويات المثلثية. عليك أولاً أن تتذكر هويات فيثاغورس وجميع الدوال الثلاثية ذات الصلة. هناك مجموعة واسعة من الأساليب لإثبات كل هوية بسهولة. فيما يلي بعض الاقتراحات التي تحتاج إلى اتباعها لإثبات جميع هويات علم المثلثات:

  1. حافظ على التركيز على جوانب المثلث التي يصعب حلها. حاول تبسيط الهوية وإعادة ترتيبها.
  2. استبدل كل عملية مثلثية باستخدام دوال الجيب وجيب التمام عند الحاجة.
  3. حدد جميع العمليات الجبرية البسيطة مثل التفكير ، النمو ، التوزيع ، والكسور. سيسمح لك بتبسيط هوية حساب المثلثات.
  4. يمكنك استخدام المتطابقات المثلثية المختلفة وتتبع دوال فيثاغورس.
  5. راقب الجانب الآخر من المعادلات واعمل على تحقيقه.
  6. فكر الآن في "المُقارن المثلثي" لإثبات ذلك.

من المفترض أن تكون هويات علم المثلثات أهم وأهم علاقة علمية في أي وقت.

عندما نبدأ في النظر في التطبيقات التي تكون فيها عمليات الفصل الدقيقة مهمة ، فمن الواضح أن هناك حفنة من الأطر البحرية والطائرة وعلوم الفضاء وأطر الأقمار الصناعية والنظرات الجيولوجية والخرائط والمباني الأساسية والحوسبة المرئية والتكنولوجيا المختلفة المولدة التطبيقات التي تم العثور عليها تستخدم هوياتهم وتعبيراتهم.


تعريف نظرية فيثاغورس

فيثاغورس نظرية

& # 8220 لأي مثلث قائم الزاوية ، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين. "

a2 + b2 = c2

الهوية المثلثية لفيثاغورس هي:

الخطيئة 2 (ر) + كوس 2 (ر) = 1

تان 2 (ر) + 1 = ثانية 2 (ر)

1 + سرير 2 (ر) = csc 2 (ر)

لذلك ، من هذه الوصفة ، يمكننا أيضًا استنتاج معادلات السعات المختلفة:


6.1 الهويات الأساسية واستخدامها

هويات للسلبيات

هويات فيثاغورس

إنشاء هويات أخرى
يتم إنشاء الهويات من أجل تحويل نموذج واحد إلى ما يعادله
الشكل الذي قد يكون أكثر فائدة. للتحقق من الهوية يعني إثبات ذلك
كلا طرفي المعادلة متساويان لجميع بدائل المتغيرات
التي يتم تعريف كلا الجانبين. قد يستخدم هذا الدليل الهويات الأساسية ،
العوملة والجمع وتقليل الكسور ، وما إلى ذلك. طرق
التحقق من أن بعض الهويات ليست فريدة. أن يصبح ماهرًا في الاستخدام
من الهويات ، من المهم أن تحل العديد من المشاكل
بنفسك.

مثال: تحقق من الهويات

المحلول. للتحقق من الهوية ، نبدأ بالبدء بالمزيد من com-
مطوية من الجانبين ، وتحويل هذا الجانب إلى الجانب الآخر في واحد
أو المزيد من الخطوات باستخدام الهويات الأساسية أو الجبر أو غيرها من الهويات الراسخة.

الخطوات المقترحة في التحقق من الهويات (الصفحة 454 من الكتاب المدرسي)

(1) ابدأ بالجانب الأكثر تعقيدًا للهوية ، ثم قم بالتحويل
في الجانب الأبسط.
(2) جرب العمليات الجبرية مثل الضرب والعوملة والجمع
الكسور ، وتقسيم الكسور.
(3) إذا فشلت الخطوات الأخرى ، فقم بالتعبير عن كل دالة من حيث الجيب وجيب التمام
وظائف ، ثم إجراء العمليات الجبرية المناسبة.
(4) في كل خطوة ، ضع في اعتبارك الجانب الآخر من الهوية. هذا غالبا
يكشف ما يجب عليك فعله للوصول إلى هناك.


[Pre Calc] إثبات المطابقات المثلثية / المعادلات

ليس لدي اي فكرة عما يجب القيام به. أنا أيضًا لا أعرف من أين أبدأ هذا الإثبات وحلها.

تذكر أن الوظيفة دورية من الفترة T إذا كانت f (x + T) = f (x) لجميع x في مجال f. تسمى أصغر قيمة موجبة لـ T الفترة الأساسية.

بيّن أن f (x) ليست دالة دورية.

تلميح: افترض أن f (x) هي دالة دورية للدورة T ، حيث T & gt 0. ثم f (x + T) = f (x) لكل x في مجال f. الآن ، حاول الحصول على تناقض مع الافتراض المعطى.

للمساعدة في الحفاظ على الأسئلة والأجوبة ، هذه نسخة آلية من النص الأصلي.

أنا روبوت ، وتم تنفيذ هذا الإجراء تلقائيًا. لو سمحت contact the moderators of this subreddit if you have any questions or concerns.

We can start by following the hint. If f(x) were to be periodic, then we can find a T such that

pi(x+T) 2 - cos(x+T) = pi(x 2 ) - cos(x)

pi(x 2 + 2Tx + T 2 ) - cos(x+T) = pi(x 2 ) - cos(x)

Distributing the pi gives

pi(x 2 ) + (2pi)Tx + pi(T 2 ) - cos(x+T) = pi(x 2 ) - cos(x)

Now we can cancel the pi*x 2 on both sides, so we're left with

(2pi)Tx + pi(T 2 ) - cos(x+T) = -cos(x)

For the function to be periodic, the above equation has to hold for some T > 0 and for all values of x. So if we plug in a value for x and T = 0 is the only valid solution, we've found our contradiction. Let's try plugging in x = 0:

We're already running into problems. pi*T 2 is strictly non-negative, so the smallest value it can take is 0 at T = 0. And since -cos(T) has a minimum value of -1 (at T = 0), the only way the above equation can be true is if T = 0. This means that the function must be aperiodic.


TRIGONOMETRIC IDENTITIES

The significance of an identity is that, in calculation, we may replace either member with the other. We use an identity to give an expression a more convenient form. In calculus and all its applications, the trigonometric identities are of central importance.

On this page we will present the main identities. The student will have no better way of practicing algebra than by proving them. Links to the proofs are below.

Again, in calculation we may replace either member of the identity with the other. And so if we see "sin &theta ", then we may, if we wish, replace

it with " 1
csc &theta
" and, symmetrically, if we see " 1
csc &theta
",

then we may replace it with "sin &theta ".

Problem 1. What does it mean to say that csc &theta is the reciprocal
of sin &theta ?

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").

It means that their product is 1.

tan 30° csc 30° cot 30 ° = tan 30° cot 30 ° csc 30 °
= 1 · csc 30 °
= 2.

Example 1. Show: tan &theta cos &theta = sin &theta .

Solution: The problem means that we are to write the left-hand side, and then show, through substitutions and algebra, that we can transform it to look like the right hand side.

= on applying the tangent identity,
= on canceling the cos &theta 's.

We have arrived at the right-hand side.

أ) sin 2 &theta + cos 2 &theta = 1.
ب) 1 + tan 2 &theta = sec 2 &theta
ج) 1 + cot 2 &theta = csc 2 &theta
a ' ) sin 2 &theta = 1 &minus cos 2 &theta .
cos 2 &theta = 1 &minus sin 2 &theta .

These are called Pythagorean identities, because, as we will see in their proof, they are the trigonometric version of the Pythagorean theorem.

The two identities labeled a ' ) -- "a-prime" -- are simply different versions of a). The first shows how we can express sin &theta in terms of cos &theta the second shows how we can express cos &theta in terms of sin &theta .

Note: sin 2 &theta -- "sine squared theta" -- means (sin &theta ) 2 .

Problem 3. A 3-4-5 triangle is right-angled.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").

It satisfies the Pythagorean theorem.

sin 2 &theta = 16
25
cos 2 &theta = 9
25
sin 2 &theta + cos 2 &theta = 1.

المحلول. Again, we are to transform the left-hand side into the right. We begin:
Reciprocal identities
on adding the fractions
Pythagorean identities
Reciprocal identities

That is what we wanted to show.

sin (&alpha + &beta ) = sin &alpha cos &beta + cos &alpha sin &beta
sin (&alpha &minus &beta ) = sin &alpha cos &beta &minus cos &alpha sin &beta
cos (&alpha + &beta ) = cos &alpha cos &beta &minus sin &alpha sin &beta
cos (&alpha &minus &beta ) = cos &alpha cos &beta + sin &alpha sin &beta

Note: In the sine formulas, + or &minus on the left is also + or &minus on the right. But in the cosine formulas, + on the left becomes &minus on the right and vice-versa.

Since these identities are proved directly from geometry, the student is not normally required to master the proof. However, all the identities that follow are based on these sum and difference formulas. The student should definitely know them.

Here is the proof of the sum formulas.

Example 3. Evaluate sin 15°.

المحلول. Tangent identity
الصيغ
We will now construct tan &alpha by dividing the first term in the
numerator by cos &alpha cos &beta . But then we must divide every term by
cos &alpha cos &beta :

That is what we wanted to prove.

There are three versions of cos 2&alpha. The first is in terms of both cos &alpha and sin &alpha. The second is in terms only of cos &alpha. The third is in terms only of sin &alpha

Example 5. Show: sin 2&alpha
المحلول. sin 2&alpha = 2 sin &alpha cos &alpha الصيغ
We will now construct tan &alpha by dividing by cos &alpha. But to preserve the equality, we must also multiply by cos &alpha.
Lesson 5 of Algebra
Reciprocal identities
Pythagorean identities

That is what we wanted to prove.

Example 6. Show:
المحلول. الخطيئة x

The following half-angle formulas are inversions of the double-angle formulas, because &alpha is half of 2&alpha.

The plus or minus sign will depend on the quadrant. Under the radical, the cosine has the + sign the sine, the &minus sign.

Example 7. Evaluate cos & بي
8
.
المحلول . منذ & بي
8
is half of & بي
4
, then according to the
half angle formula:

on dividing both numerator and denominator by cos &alpha.

أ) sin &alpha cos &beta = ½[sin (&alpha + &beta ) + sin (&alpha &minus &beta )]
ب) cos &alpha sin &beta = ½[sin (&alpha + &beta ) &minus sin (&alpha &minus &beta )]
ج) cos &alpha cos &beta = ½[cos (&alpha + &beta ) + cos (&alpha &minus &beta )]
د) sin &alpha sin &beta = &minus½[cos (&alpha + &beta ) &minus cos (&alpha &minus &beta )]
e) sin A + sin B = 2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A &minus B )
f) sin A &minus sin B = 2 sin ½ ( A &minus B ) cos ½ ( A + B )
ز) cos A + cos B = 2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A &minus B )
h) cos A &minus cos B = &minus2 sin ½ ( A + B ) sin ½ ( A &minus B )

In the proofs, the student will see that the identities e) through h) are inversions of a) through d) respectively, which are proved first. The identity f) is used to prove one of the main theorems of calculus, namely the derivative of sin x .

The student should not attempt to memorize these identities. Practicing their proofs -- and seeing that they come from the sum and difference formulas -- is enough.


شاهد الفيديو: مراجعة المعادلات والمتطابقات المثلثية: رياضيات5 (شهر نوفمبر 2021).