مقالات

11: تطبيقات علم المثلثات - رياضيات


  • 11.1: تطبيقات الجيوب الأنفية
    بنفس الطريقة التي يمكن بها استخدام الدوال الأسية لنمذجة مجموعة متنوعة من الظواهر في الطبيعة ، يمكن استخدام دوال جيب التمام والجيب لنمذجة نصيبها العادل من السلوكيات الطبيعية
  • 11.2: قانون الجيوب
    علم المثلثات يعني حرفياً "قياس المثلثات" ، نحن أكثر من مستعدين للقيام بذلك. الهدف الرئيسي من هذا القسم والقسم التالي هو تطوير النظريات التي تسمح لنا بـ "حل" المثلثات - أي إيجاد طول كل ضلع من أضلاع المثلث وقياس كل زاوية من زواياه.
  • 11.3: قانون جيب التمام
    يمكّننا قانون الجيب من حل المثلثات في حالات "Angle-Angle-Side" (AAS) و "Angle-Side-Angle" (ASA) و "Angle-Side-Side" (ASS). في هذا القسم ، نقوم بتطوير قانون جيب التمام الذي يتعامل مع حل المثلثات في حالات "الجانب الجانبي - الجانب" (SAS) و "الجانب الجانبي" (SSS).
  • 11.4: الإحداثيات القطبية
    غالبًا ما تسمى الإحداثيات الديكارتية لنقطة بالإحداثيات "المستطيلة". في هذا القسم ، نقدم نظامًا جديدًا لتعيين إحداثيات لنقاط في الإحداثيات المستوية - القطبية. نبدأ بنقطة الأصل ، تسمى القطب ، وشعاع يسمى المحور القطبي. ثم نحدد نقطة PP باستخدام إحداثيات (r ، θ) ، حيث r تمثل المسافة الموجهة من القطب.
  • 11.5: الرسوم البيانية للمعادلات القطبية
    في هذا القسم ، نناقش كيفية رسم المعادلات بيانيًا في الإحداثيات القطبية على مستوى إحداثيات المستطيل.
  • 11.6: مدمن مخدرات على المخروطيات مرة أخرى
    في هذا القسم ، نعيد زيارة أصدقائنا إلى الأقسام المخروطية التي بدأنا دراستها في الفصل 7. مهمتنا الأولى هي إضفاء الطابع الرسمي على فكرة المحاور الدوارة. مسلحين بالإحداثيات القطبية ، يمكننا تعميم عملية المحاور الدوارة كما هو موضح أدناه.
  • 11.7: الشكل القطبي للأرقام المركبة
    في هذا القسم ، نعود إلى دراستنا للأعداد المركبة. نربط كل رقم مركب z = a + biz = a + bi بالنقطة (أ ، ب) (أ ، ب) على مستوى الإحداثيات. في هذه الحالة ، تتم إعادة تسمية المحور xx كمحور حقيقي ، والذي يتوافق مع خط الرقم الحقيقي كالمعتاد ، ويتم إعادة تسمية المحور yy على أنه المحور التخيلي ، والذي يتم ترسيمه بزيادات من الوحدة التخيلية ii. يسمى المستوى المحدد بواسطة هذين المحورين بالمستوى المركب.
  • 11.8: النواقل
    للإجابة على الأسئلة التي تتضمن كلاً من الإجابة الكمية ، أو المقدار ، جنبًا إلى جنب مع الاتجاه ، نستخدم كائنات رياضية تسمى المتجهات. تأتي كلمة "vector" من الكلمة اللاتينية "vehere" بمعنى "أن تنقل" أو "تحمل". يتم تمثيل المتجه هندسيًا كقطعة مستقيمة موجهة حيث يتم أخذ حجم المتجه ليكون طول المقطع المستقيم ويتم توضيح الاتجاه باستخدام سهم عند نقطة نهاية واحدة للمقطع.
  • 11.9: المنتج النقطي والإسقاط
    في السابق ، تعلمنا كيفية جمع المتجهات وطرحها وكيفية ضرب المتجهات بواسطة العددية. في هذا القسم ، نحدد منتج النواقل.
  • 11.E: تطبيقات علم المثلثات (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة الفصل 11 من خريطة نصية "ما قبل حساب التفاضل والتكامل" لستيتز وزيجر.
  • 11.10: المعادلات البارامترية
    هناك درجات من المنحنيات المثيرة للاهتمام والتي ، عند رسمها في المستوى xy ، لا تمثل y كدالة في x ولا x كدالة لـ y. في هذا القسم ، نقدم مفهومًا جديدًا يسمح لنا باستخدام الدوال لدراسة هذه الأنواع من المنحنيات.

المساهمون

  • كارل ستيتز ، دكتوراه. (كلية المجتمع في ليكلاند) ودكتوراه جيف زيجر. (كلية مجتمع مقاطعة لورين)

كلية علم المثلثات

Attribution-NonCommercial-ShareAlike
CC BY-NC-SA


أخبار من ماثنيزيم بفلوجرفيل

علم المثلثات يعني ببساطة العمليات الحسابية باستخدام المثلثات (هذا & rsquos حيث يأتي المثلث). إنها دراسة للعلاقات في الرياضيات تتضمن أطوال ، ارتفاعات وزوايا المثلثات المختلفة. ظهر هذا المجال خلال القرن الثالث قبل الميلاد ، من تطبيقات الهندسة إلى الدراسات الفلكية. ينشر علم المثلثات تطبيقاته في مجالات مختلفة مثل المهندسين المعماريين والمساحين ورواد الفضاء والفيزيائيين والمهندسين وحتى محققي مسرح الجريمة.

الآن قبل الانتقال إلى تفاصيل تطبيقاته ، دعنا نجيب على سؤال هل تساءلت يومًا عن مجال العلوم الذي استخدم علم المثلثات لأول مرة؟

ستكون الإجابة الفورية المتوقعة هي الرياضيات ، لكنها لا تتوقف عند هذا الحد ، حتى أن الفيزياء تستخدم الكثير من مفاهيم علم المثلثات. إجابة أخرى وفقًا لموريس كلاين ، في كتابه المسمى - الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى العصر الحديث ، أعلن أن & lsquotrigonometry تم تطويره لأول مرة فيما يتعلق بعلم الفلك ، مع تطبيقات في التنقل وبناء التقويمات. كان هذا قبل حوالي 2000 عام. الهندسة أقدم بكثير ، وعلم المثلثات مبني على الهندسة و rsquo. ومع ذلك ، يمكن إرجاع أصول علم المثلثات إلى حضارات مصر القديمة وبلاد ما بين النهرين والهند منذ أكثر من 4000 عام.

هل يمكن استخدام علم المثلثات في الحياة اليومية؟

قد لا يكون لعلم المثلثات تطبيقاته المباشرة في حل المشكلات العملية ، ولكنه يُستخدم في أشياء مختلفة نتمتع بها كثيرًا. على سبيل المثال ، الموسيقى ، كما تعلم ، ينتقل الصوت في موجات وهذا النمط وإن لم يكن منتظمًا مثل وظيفة الجيب أو جيب التمام ، إلا أنه لا يزال مفيدًا في تطوير موسيقى الكمبيوتر. من الواضح أن الكمبيوتر لا يمكنه الاستماع إلى الموسيقى وفهمها كما نفعل نحن ، لذا فإن أجهزة الكمبيوتر تمثلها رياضيًا من خلال الموجات الصوتية المكونة لها. وهذا يعني أن مهندسي الصوت بحاجة إلى معرفة أساسيات علم المثلثات على الأقل. والموسيقى الجيدة التي ينتجها مهندسو الصوت هؤلاء تُستخدم لتهدئتنا من نشاطنا المحموم ، والتوتر طوال حياتنا - وكل ذلك بفضل علم المثلثات.

يمكن استخدام علم المثلثات لقياس ارتفاع المبنى أو الجبال:

إذا كنت تعرف المسافة من مكان مراقبة المبنى وزاوية الارتفاع ، يمكنك بسهولة العثور على ارتفاع المبنى. وبالمثل ، إذا كانت لديك قيمة جانب واحد وزاوية انخفاض من أعلى المبنى يمكنك العثور عليه وجانب آخر في المثلث ، فكل ما تحتاج إلى معرفته هو جانب واحد وزاوية من المثلث.

علم المثلثات في ألعاب الفيديو:

هل لعبت اللعبة من قبل يا ماريو؟ عندما تراه ينزلق بسلاسة فوق حواجز الطرق. إنه لا يقفز حقًا بشكل مستقيم على طول المحور Y ، إنه مسار منحني قليلاً أو مسار مكافئ يسلكه لمعالجة العقبات في طريقه. علم المثلثات يساعد ماريو على القفز فوق هذه العقبات. كما تعلم ، فإن صناعة الألعاب تدور حول تكنولوجيا المعلومات وأجهزة الكمبيوتر ، وبالتالي فإن علم المثلثات له نفس الأهمية بالنسبة لهؤلاء المهندسين.

علم المثلثات في البناء:

نحتاج في البناء إلى حساب المثلثات لحساب ما يلي:

  • قياس الحقول والقطع والمساحات
  • جعل الجدران متوازية ومتعامدة
  • تركيب بلاط السيراميك
  • ميل السقف
  • ارتفاع المبنى وطول العرض وما إلى ذلك والعديد من الأشياء الأخرى حيث يصبح من الضروري استخدام علم المثلثات.

يستخدم المهندسون المعماريون علم المثلثات لحساب الحمل الهيكلي ومنحدرات السقف وأسطح الأرض والعديد من الجوانب الأخرى ، بما في ذلك تظليل الشمس وزوايا الضوء.

علم المثلثات في هندسة الطيران:

يتعين على مهندسي الطيران أن يأخذوا في الحسبان سرعتهم ومسافتهم واتجاههم إلى جانب سرعة واتجاه الرياح. تلعب الرياح دورًا مهمًا في كيفية ومتى ستصل الطائرة إلى أي مكان تحتاج إليه ، يتم حل ذلك باستخدام المتجهات لإنشاء مثلث باستخدام حساب المثلثات لحلها. على سبيل المثال ، إذا كانت طائرة تسير بسرعة 234 ميلاً في الساعة ، 45 درجة شمالاً من شرقاً ، وهناك رياح تهب جنوباً بسرعة 20 ميلاً في الساعة. سيساعد علم المثلثات في حل هذا الجانب الثالث من المثلث الذي سيقود الطائرة في الاتجاه الصحيح ، وسوف تتحرك الطائرة بالفعل مع إضافة قوة الرياح إلى مسارها.

علم المثلثات في الفيزياء:

في الفيزياء ، يتم استخدام علم المثلثات للعثور على مكونات المتجهات ، ونمذجة ميكانيكا الموجات (الفيزيائية والكهرومغناطيسية) والتذبذبات ، وجمع قوة الحقول ، واستخدام حاصل الضرب النقطي والمتقاطع. حتى في حركة المقذوفات لديك الكثير من تطبيقات علم المثلثات.

هل علماء الآثار يستخدمون علم المثلثات؟

يستخدم علم المثلثات لتقسيم مواقع التنقيب بشكل صحيح إلى مناطق عمل متساوية. يحدد علماء الآثار الأدوات المختلفة التي تستخدمها الحضارة ، ويمكن أن يساعدهم علم المثلثات في هذه الحفريات. يمكنهم أيضًا استخدامه لقياس المسافة من أنظمة المياه الجوفية.

علم المثلثات في علم الجريمة:

في علم الإجرام ، يمكن أن يساعد علم المثلثات في حساب مسار قذيفة و rsquos ، لتقدير ما قد يكون سببًا في تصادم في حادث سيارة أو كيف سقط جسم من مكان ما ، أو في أي زاوية كانت رصاصة طلقة وما إلى ذلك.

علم المثلثات في علم الأحياء البحرية

غالبًا ما يستخدم علماء الأحياء البحرية علم المثلثات لتحديد القياسات. على سبيل المثال ، لمعرفة كيف تؤثر مستويات الضوء في أعماق مختلفة على قدرة الطحالب على التمثيل الضوئي. يستخدم علم المثلثات في إيجاد المسافة بين الأجرام السماوية. أيضًا ، يستخدم علماء الأحياء البحرية النماذج الرياضية لقياس وفهم الحيوانات البحرية وسلوكها. قد يستخدم علماء الأحياء البحرية علم المثلثات لتحديد حجم الحيوانات البرية من مسافة بعيدة.

علم المثلثات في الهندسة البحرية:

يستخدم علم المثلثات في الهندسة البحرية لبناء السفن البحرية والتنقل فيها. لكي تكون أكثر تحديدًا يتم استخدام علم المثلثات لتصميم المنحدر البحري ، وهو سطح مائل لربط مناطق المستوى الأدنى والأعلى ، يمكن أن يكون منحدرًا أو حتى درجًا اعتمادًا على تطبيقه.

علم المثلثات المستخدم في التنقل:

يستخدم علم المثلثات لتحديد الاتجاهات مثل الشمال والجنوب الشرقي الغربي ، فهو يخبرك بالاتجاه الذي يجب أن تسلكه البوصلة للوصول إلى اتجاه مستقيم. يتم استخدامه في التنقل من أجل تحديد الموقع. كما أنها تستخدم لإيجاد مسافة الشاطئ من نقطة في البحر. كما أنها تستخدم لرؤية الأفق.


مثال عملي 14: مشكلة في بعدين

في الشكل أدناه ، (CD = BD = x ) و (B hatD = theta ).

أظهر أن (ب^<2>=2^ <2> left (1+ sin theta right) ).

ضع في اعتبارك المعلومات المقدمة

استخدم المعلومات المقدمة لتحديد أكبر عدد ممكن من الزوايا المجهولة.

حدد تعبير (BC )

لاشتقاق التعبير المطلوب ، نحتاج إلى كتابة (BC ) بدلالة (x ) و ( theta ).

في ( مثلث CDB ) ، يمكننا استخدام قاعدة جيب التمام لتحديد (BC ):

يبدأ ب^ <2> & أمبير = ج^ <2> + ب^ <2> -2 cdot CD cdot BD cdot cos left (B hatC right) & amp = ^<2>+^<2>-2^ <2> cos left ( text <90> & # 176 + theta right) & amp = 2^ <2>- 2^ <2> يسار (- sin theta right) & amp = 2^ <2>+ 2^ <2> sin theta & amp = 2^ <2> left (1 + sin theta right) end


المواد المساعدة

الجبر وعلم المثلثات يوفر استكشافًا شاملاً ومتعدد الطبقات للمبادئ الجبرية. النص مناسب لدورة تمهيدية نموذجية في الجبر وعلم المثلثات ، وقد تم تطويره ليتم استخدامه بمرونة. يضمن النهج المعياري وثراء المحتوى أن يلبي الكتاب احتياجات مجموعة متنوعة من البرامج.الجبر وعلم المثلثات يوجه ويدعم الطلاب بمستويات مختلفة من الإعداد والخبرة في الرياضيات. يتم تقديم الأفكار بأكبر قدر ممكن من الوضوح ، والتقدم نحو تفاهمات أكثر تعقيدًا مع تعزيز كبير على طول الطريق. ثروة من الأمثلة & ndash عادةً عدة عشرات لكل فصل & ndash تقدم تفسيرات مفاهيمية مفصلة ، من أجل بناء أساس تراكمي قوي للطلاب في المادة قبل مطالبتهم بتطبيق ما تعلموه.

قامت OpenStax College بتجميع العديد من الموارد لأعضاء هيئة التدريس والطلاب ، بدءًا من محتوى أعضاء هيئة التدريس فقط إلى الواجبات المنزلية التفاعلية وأدلة الدراسة.


مثال عملي 3: إيجاد ارتفاع المبنى

يوضح الرسم البياني المعطى مبنى بارتفاع غير معروف (ح ). نبدأ من النقطة (ب ) ونمشي ( نص <100> ) ( نص) بعيداً عن المبنى للإشارة (س ). بعد ذلك ، نقيس زاوية الارتفاع من الأرض إلى قمة المبنى ، (T ) ، ونجد أن الزاوية هي ( نص <38،7> & # 176 ). احسب ارتفاع المبنى لأقرب متر.

حدد الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر

لدينا مثلث قائم الزاوية ونعرف طول ضلع واحد وزاوية. لذلك يمكننا حساب ارتفاع المبنى.

إعادة الترتيب وحل من أجل (ح )

اكتب الإجابة النهائية

ارتفاع المبنى ( text <80> ) ( text).


الرياضيات السنة الأولى الفصل 12 تطبيق حساب المثلثات MCQs

سؤال# 1 : إذا كانت sinθ = 0.6218 فإن then =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 2 : في △ ABC ، ​​إذا كانت α: β: γ = 4: 1: 1 ثم أ: ب: ج =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 3 : إذا كانت أضلاع المثلث هي 3 و 5 و 7 ، فإن أكبر زاوية هي:

إجابه

إجابه

سؤال# 4 : بالنسبة لمثلث متساوي الأضلاع ABC ، ​​s-a / s =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 5: للمثلث ABC ، ​​مع الرموز المعتادة rr1ص2ص3=?

إجابه

إجابه

سؤال# 6 : في الشكل الرباعي الدوري ، إذا كانت إحدى زواياه 80 o فإن قياس الزاوية المقابلة لتلك الزاوية يكون:

إجابه

إجابه

سؤال# 7 : لمثلث متساوي الأضلاع ABC إذا كانت r = 5 ، ثم r3=?

إجابه

إجابه

سؤال# 8 : في △ ABC ، ​​إذا كانت a = 8 ، b = 3 ، β = 30 o ، إذن α =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 9 : في المثلث ABC ، ​​a = 11 ، b = 9 ، c = 19 ، ما الزاوية الأصغر؟

إجابه

إجابه

سؤال# 10 : أي مما يلي يمكن أن يكون زوايا مثلث مائل؟

  • 50 درجة ، 50 درجة ، 50 درجة
  • 50 درجة ، 65 درجة ، 70 درجة
  • 30 درجة ، 60 درجة ، 90 درجة
  • 20 س ، 59 س ، 10 س

إجابه

إجابه

سؤال# 11 : في a △ ABC إذا كانت γ = 90 o ثم R =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 12 : إذا كانت أ أ ب ج ، أ = 7 ، ب = 9 ، ج = 7 ، إذن γ =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 13 : في △ ABC ، ​​إذا كانت a = 2√3 ، b = 2 ، β = 30 o ، إذن α =؟

إجابه

إجابه

سؤال# 14 : إذا كانت α هي قياس زاوية △ ABC ، ​​فإن tan α / 2 يكون دائمًا:


CBSE Class -10 الرياضيات مقدمة في علم المثلثات أسئلة مهمة

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يدرس العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث وقد قدم هذا المفهوم عالم الرياضيات اليوناني هيبارخوس.

الفصل 8 مقدمة في علم المثلثات تندرج تحت الوحدة 5 علم المثلثات الذي يحمل وزنًا إجماليًا يبلغ 12 علامة وفقًا لنمط اختبار الرياضيات الحالي CBSE Class 10. & # xA0

تطبيقات علم المثلثات

علم المثلثات له تطبيقات مختلفة مثل:

  • يتم استخدامه على نطاق واسع في صناعة الطيران
  • يتم استخدامه لرسم الخرائط لإنشاء الخرائط.
  • يتم استخدامه للضوء والموجات الصوتية.

& # xA0 هناك ست وظائف أساسية لزاوية شائعة الاستخدام في علم المثلثات. الأسماء هي:

  • الجيب (الخطيئة)
  • جيب التمام (كوس)
  • الظل (تان)
  • ظل التمام (سرير)
  • القاطع (ثانية)
  • قاطع التمام (cosec)

الصيغ الأساسية

tanA = المقابل / المجاور = sinA / cosA

Ques 1. بالنظر إلى ذلك ، في مثلث قائم الزاوية ABC ، ​​tan B = 12/5 ، إذن أوجد sin B؟ & # xA0

الإجابة: 1شارع طريقة

Cosec 2 B = 1 + cot 2 B = 1 + [(5/12) 2]

2اختصار الثاني طريقة

في مثلث الزاوية اليمنى & # x394ACB ،

AB 2 = AC 2 + BC 2 & # xA0 & # x2026 .. [نظرية فيثاغورس]

AB 2 & # xA0 = 144k 2 + 25k 2 = 169k 2

السؤال الثاني: إذا كانت sinA = 3/4 احسب cosA و tanA؟

الجواب: لنفترض أن ABC مثلث قائم الزاوية ، قائم الزاوية عند B.

sinA = الجانب المقابل / جانب الوتر = 3/4

الآن ، دع BC = 3k و AC = 4k

حيث k هو رقم حقيقي موجب.

وفقًا لنظرية فيثاغورس ،

عوّض بالقيم الموجودة في المعادلة

الآن ، علينا إيجاد قيمة cosA و tanA.

cosA = الجانب المجاور / جانب الوتر = AB / AC

السؤال 3. إذا كان 3cotA = 4 ، تحقق مما إذا كان (1 & # x2013 tan 2 أ) (1 + تان 2 أ) = كوس 2 أ & # x2013 الخطيئة 2 أ أم لا؟

sinA = الجانب المقابل / الوتر

cosA = الجانب المجاور / الوتر

للتحقق: (1-tan 2 A) / (1 + tan 2 A) = cos 2 A & # x2013 sin 2 A or not

(1-tan 2 A) / (1 + tan 2 A) = [1 & # x2013 (3/4) 2] / [1+ (3/4) 2]

ر. = cos 2 A & # x2013 sin 2 A = (4/5) 2 & # x2013 (3/5) 2

Ques 4. في مثلث ، الزاوية اليمنى عند Q ، PR + QR = 25 سم و PQ = 5 سم. تحديد قيمة sinP؟

الآن ، استبدال القيم

PR = 25 & # x2013 QR = 25 & # x2013 12 = 13 سم

السؤال 5. إذا كانت tan 2 A = cot (A-18 0 ) ، حيث 2 أ زاوية حادة ، أوجد قيمة أ.

tan 2 A & # x2013 cot (90 0 & # x2013 2A)

سرير أطفال (90 0 & # x2013 2A) = سرير نقال (A-18 0 )

90 0 & # x2013 2A = A-18 0

108 0 = 3 أ

أ = 108 0 /3

ومن ثم ، فإن قيمة A = 36 0

Ques 6. في المثلث ABC ، ​​الزاوية اليمنى عند B ، AB = 24 سم ، BC = 7 سم.

الجواب: في مثلث معطى ABC ، ​​الزاوية اليمنى أ ب = 900

معطى: AB = 24 سم ، BC = 7 سم

كما نعلم ، فإن جيب الزاوية يساوي النسبة بين المثلث العمودي والوتر.

Ques 7. إذا كانت A ، B ، C هي الزوايا الداخلية لمثلث ABC ، ​​فقم بتوضيح ذلك sin [(B ​​+ C) / 2] = cos A / 2.

الجواب: مجموع زواياها الداخلية يساوي 180 0

الآن ، ضع دالة الخطيئة على كلا الجانبين

السؤال 8. تقييم 2 تان 2 45 + كوس 2 30 & # x2013 الخطيئة 2 60.

ضع القيمة في المعادلة

السؤال 9. إذا كانت sec 4A = cosec (A & # x2013 20 0 ) حيث 4A هي زاوية aute ، أوجد قيمة A.

Cosec (90 0-4A) = cosec (A-20 0)

السؤال 10. إذا كانت tanA + cotA = 5 ، فأوجد قيمة tan 2 A + cotA؟

tan 2 A + cot 2 A + 2tanAcotA = 25

السؤال 11: إثبات الهوية التالية:

الخطيئة 3 أ + كوس 3 أ / sinA + cosA = 1-sinA.cosA

ل. = sin 3 A + cos 3 A / sinA + cosA

= (sinA + cosA) (sin 2 A + cos 2 A - sinAcosA) / (sinA + cosA)

= 1 - sinAcosA = R.H.S & # x2026 & # x2026 & # x2026 [sin 2 A + cos 2 A = 1]

السؤال 12: إثبات أن:

sinA & # x2013 cosA / sinA + cosA + sinA + cosA / sinA-cosA = 2 / 2sin 2 -1

ل. = sinA & # x2013 cosA / sinA + cosA + sinA + cosA / sinA-cosA

= (sinA - cosA) 2 + (sinA + cosA) 2 / (sinA + cosA) (sinA - cosA)

= sin 2 A + cos 2 A - 2sinAcosA + sin 2 A + cos 2 A + 2sinAcosA / sin 2 A - cos 2 A

السؤال 13. تقييم 4 (الخطيئة 4 30 + كوس 4 60) - 3 (كوس 2 450 & # x2013 الخطيئة 2 900)

معطى: 4 (sin 4 30 + cos 4 60) - 3 (cos 2450 & # x2013 sin 2900)

السؤال 14. برهن على أن السمرة 3 أ / 1 + تان 2 أ + سرير أطفال 3 أ / 1 + سرير أطفال 2 A = secAcosecA -2sinAcosA.

tan 3 A / 1 + tan 2 A + cot 3 A / 1 + cot 2 A = secAcosecA -2sinAcosA.

= sin 3 A / cos 3 A * cos 2 A + cos 3 A / sin 3 A * sin 2 أ

= (sin 2 A) 2 + (cos 2 A) 2 / sinAcosA

= (sin 2 A + cos 2 A) & # x2013 2sin 2 Acos 2 A / sinAcosA

= 1 / sinAcosA & # x2013 2 sin 2 Acos 2 A / sinAcosA

Ques 15. إذا كان cosecA + cotA = m ، أظهر أن m 2 -1 / م 2 +1 = cosA

ل. = م 2 -1 / م 2 +1

= (cosecA + cotA) 2 & # x2013 1 / (cosecA - cotA) 2 + 1

= cosec 2 A + cot 2 A + 2cosecAcotA-1 / cosec 2 A + cot 2 A + 2cosecAcotA + 1

= (cosec 2 A - 1) + cot 2 A + 2cosecAcotA / cosec 2 A + (1 + cot 2 A) + 2cosecAcotA

= cot 2 A + cot 2 A + 2cosecAcotA / cosec 2 A + cosec 2 A + 2cosecAcotA

= 2cot 2 A + 2cosecAcotA / 2cosec 2 A + 2cosecAcotA

السؤال رقم 16. في مثلث قائم الزاوية عند B ، BC = 7 سم و AC & # x2013 AB = 1 سم. أوجد قيمة cosA + sinA

الآن ، cosA + sinA = AB / AC + BC / AC

السؤال 17. أثبت أن (1 + cotA & # x2013 cosecA) (1 + tanA + secA) = 2

L.H.S = (1 + cotA & # x2013 cosecA) (1 + tanA + secA)

= (1+ cosA / sinA & # x2013 1 / sinA) (1 + sinA / cosA + 1 / cosA)

= (sinA + cosA & # x2013 1 / sinA) (cosA + sinA + 1 / cosA)

= sin 2 A + cos 2 A + 2sinAcosA -1 / sinAcosA

= 1 + 2sinAcosA -1 / sinAcosA = 2sinAcosA / sinAcosA = 2

السؤال 18: أثبت أن sinA (1 + tanA) + cosA (1 + cotA) = secA + cosecA

ل. sinA (1 + tanA) + cosA (1 + cotA)

= sinA (cosA + sinA) / cosA + cosA (sinA + cosA) / sinA

= (cosA + sinA) [sinA / cosA + cosA / sinA]

= (cosA + sinA) / cosAsinA (sin 2 A + cos 2 A)

السؤال 19 3 أ + كوس 3 أ / sinAcosA + sinAcosA

الخطيئة 3 A + cos 3 A / sinAcosA + sinAcosA

= (sinA + cosA) (sin 2 A + cos 2 A & # x2013 sinAcosA) / (sinA + cosA) + sinA.cosA

Ques 20. cosA / 1 + sinA + 1 + sinA / cosA = 2secA

= cos 2 A + (1 + sinA) 2 / (1 + sinA) cosA

= cos 2 A + sin 2 A + 1+ 2sinA / (1 + sinA) cosA

السؤال 21: إذا كانت sinA = 1/3 ، فأوجد قيمة (2cot 2 أ + 2)


علم المثلثات التحليلي مع التطبيقات ، الإصدار الحادي عشر

Barnett ، علم المثلثات التحليلي هو نص يمكن للطلاب قراءته وفهمه وتطبيقه. ينتقل تطوير المفهوم من الملموس إلى المجرد لإشراك الطالب. يتم توضيح كل مفهوم تقريبًا بمثال يتبعه مشكلة مطابقة تسمح للطلاب بممارسة المعرفة بدقة عند اكتسابها. لاكتساب اهتمام الطلاب بسرعة ، ينتقل النص مباشرةً إلى المفاهيم والتطبيقات المثلثية ويراجع المواد الأساسية من الدورات التدريبية المطلوبة فقط حسب الحاجة. تساعد ملخصات مراجعة الفصل الموسعة والفصول وتمارين المراجعة التراكمية مع إجابات مرتبطة بأقسام النص المقابلة والاستخدام الفعال للتعليقات الملونة والتعليقات التوضيحية والعروض البارزة للمواد المهمة ، كل ذلك على مساعدة الطالب في إتقان الموضوع. يتضمن الإصدار الحادي عشر من علم المثلثات التحليلي تطبيقات محدثة من مجموعة من المجالات المختلفة لإقناع جميع الطلاب بأن علم المثلثات مفيد حقًا.

إن التكامل السلس لإصدار Barnett ، علم المثلثات التحليلي الحادي عشر مع WileyPLUS ، وهي بيئة قائمة على البحث عبر الإنترنت للتدريس والتعلم الفعال ، يبني ثقة الطلاب في الرياضيات لأنه يأخذ التخمين من الدراسة من خلال تزويدهم بخريطة طريق واضحة: ما يجب القيام به ، وكيفية القيام بذلك ، وما إذا كانوا قد فعلوا ذلك بالشكل الصحيح.


مسابقة لعلم المثلثات

يوجد قطبان أ و ب ، متقابلان تمامًا ، أحدهما على ضفتي نهر. ارتفاع القطب أ 60 مترًا. من أعلى القطب أ ، تكون زاويتا الانخفاض في الجزء العلوي والسفلي للقطب ب 30 درجة و 60 درجة على التوالي. ما ارتفاع القطب "ب" وعرض النهر؟

يوجد منارة مقابل برج ارتفاعه 40 م. زاوية ارتفاع قمة المنارة من أعلى البرج 30 درجة و 60 درجة من سفح البرج. احسب ارتفاع المنارة.

يوجد منارة مقابل برج ارتفاعه 40 م. زاوية ارتفاع قمة المنارة من أعلى البرج 30 درجة و 60 درجة من سفح البرج. أوجد المسافة من سفح البرج إلى قمة المنارة.

برج ارتفاعه 100 م. خذ بعين الاعتبار نقطة على بعد 100 متر من قدمه. ما زاوية ارتفاع قمة البرج من تلك النقطة؟

يوجد سلم قائم على جدار عمودي. السلم مائل بزاوية 45 درجة على الأفقي. الآن ، يتم تحريك السلم بمقدار 2 متر نحو الحائط ، وهكذا يصنع السلم زاوية 60 درجة مع الأفقي الآن. إذن ، ما هي المسافة العمودية التي يقطعها السلم؟

يوجد جرف ارتفاعه 150 م. شخص يجدف بقارب بعيدًا عن هذا الجرف. عند t = 0 ، تكون زاوية الانخفاض أعلى الجرف 60 درجة. تتغير هذه الزاوية إلى 45 درجة في t = دقيقتان. ما سرعة القارب بالمتر في الساعة؟

يبلغ طول الشخص 1.5 متر. افترض أن هذا الارتفاع يقاس من قدمه إلى عينيه. إنه يقف على بعد 28.5 مترًا من برج. ارتفاع البرج 30 م. ما زاوية ارتفاع قمة البرج عن عين الشخص؟

فنان يؤدي في سيرك يصعد من الأرض ، على طول حبل ، ممتد من أعلى عمود رأسي ومربوط على الأرض. ارتفاع العمود 12 م والزاوية المصنوعة من الحبل مع مستوى الأرض 30 درجة. ما هي المسافة التي قطعها الفنان في الصعود إلى قمة العمود؟

ضع في اعتبارك أن النقطتين A و B مفصولة رأسيًا بمقدار 40 مترًا ، A على الأرض و B رأسياً فوق A. يوجد برج على مسافة أفقية من النقطتين. زاوية ارتفاع قمة البرج من أ 60 درجة ومن ب 45 درجة. احسب ارتفاع البرج.

زورقان يتحركان في وسط البحر ، يتجهان نحو منارة من الاتجاهين المعاكسين. زاوية الارتفاع من أعلى البيت الخفيف من القاربين 30 درجة و 45 درجة. المسافة بين القاربين عند t = 0 هي 100 متر. أوجد ارتفاع المنزل الخفيف.


شاهد الفيديو: 11. Sınıf - Matematik - Trigonometri3. الصف الحادي عشر - الرياضيات - المثلثات (شهر نوفمبر 2021).