مقالات

8.5: المحددات وقاعدة كريمر


في هذا القسم نخصص لكل مصفوفة مربعة (أ ) رقم حقيقي يسمى محدد من (أ ) ، والتي ستقودنا في النهاية إلى تقنية أخرى لحل أنظمة مستقلة متسقة من المعادلات الخطية. يتم تعريف المحدد بشكل متكرر ، أي أننا نحدده لمصفوفات (1 مرات 1 ) ونعطي قاعدة يمكننا من خلالها تقليل محددات (n مرات n ) المصفوفات إلى مجموع محددات ( (n-1) times (n-1) ) المصفوفات (سنتحدث أكثر عن المصطلح "بشكل متكرر" في القسم 9.1). هذا يعني أننا سنكون قادرين على تقييم محدد المصفوفة (2 مرات 2 ) كمجموع لمحددات (1 مرات 1 ) المصفوفات ؛ محدد المصفوفة (3 مرات 3 ) كمجموع لمحددات (2 مرات 2 ) المصفوفات ، وهكذا دواليك. لشرح كيف سنأخذ (n times n ) مصفوفة ونستخلص منها ((n-1) times (n-1) ) ، نستخدم الترميز التالي.

ملاحظة ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى (n times n ) مصفوفة (A ) حيث (n> 1 ) ، المصفوفة (A_ {ij} ) هي ((n-1) times (n-1 ) ) مصفوفة تتكون من حذف (i ) الصف رقم (A ) والعمود (j ) من (A ).

على سبيل المثال ، باستخدام المصفوفة (A ) أدناه ، نجد المصفوفة (A_ {23} ) عن طريق حذف الصف الثاني والعمود الثالث من (A ).

[ start {array} {ccc} A = left [ begin {array} {rr> { columncolor [gray] {0.7}} r} 3 & 1 & 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] & xrightarrow { text {Delete (R2 ) and (C3 )}} & A_ {23} = left [ start {array} {rr} 3 & 1 2 & 1 end {array} right] end {array} ]

نحن الآن في وضع يسمح لنا بتحديد محدد المصفوفة.

التعريف ( PageIndex {1} ): محدد

إعطاء (n times n ) مصفوفة (A ) محدد من (A ) ، المشار إليها ( det (A) ) ، يتم تعريفها على النحو التالي

  • إذا (n = 1 ) ، إذن (A = left [a_ {11} right] ) و ( det (A) = det left ( left [a_ {11} right] حق) = أ_ {11} ).
  • إذا (n> 1 ) ، ثم (A = left [a_ {ij} right] _ {n times n} ) و

[ det (A) = det left ( left [a_ {ij} right] _ {n times n} right) = a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_1n right) ]

هناك نوعان من الرموز المستخدمة بشكل شائع لمحدد المصفوفة (A ): ' ( det (A) )' و ' (| A | )'

لقد اخترنا استخدام الترميز ( det (A) ) مقابل (| A | ) لأننا وجدنا أن الأخير غالبًا ما يتم الخلط بينه وبين القيمة المطلقة ، خاصة في سياق (1 مرات 1 ) مصفوفة. في التوسيع (a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_1n right) ) ، يشير الرمز " (+ - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} )" إلى أن الإشارات البديل وتملي العلامة النهائية بعلامة الكمية ((- 1) ^ {1 + n} ). نظرًا لأن الإدخالات (a_ {11} ) و (a_ {12} ) وما إلى ذلك حتى (a_ {1n} ) تشكل الصف الأول من (A ) ، نقول إننا نعثر على محدد (A ) من خلال "التوسع على طول الصف الأول". لاحقًا في هذا القسم ، سنطور معادلة لـ ( det (A) ) والتي تسمح لنا بالعثور عليها من خلال التوسع على طول أي صف.

تطبيق التعريف ref {محددات المعلومات} على المصفوفة (A = left [ begin {array} {rr} 4 & -3 2 & 1 end {array} right] ) نحصل عليها

[ start {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {rr} 4 & -3 2 & 1 end {array} right] right) & = & 4 det left (A_ {11} right) - (-3) det left (A_ {12} right) & = & 4 det ( [1]) +3 det ([2]) & = & 4 (1) + 3 (2) & = & 10 end {array} ]

لمصفوفة عامة (2 مرات 2 ) (A = left [ begin {array} {cc} a & b c & d end {array} right] ) نحصل عليها

[ start {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {cc} a & b c & d end {array} يمين] يمين) & = & a det left (A_ {11} right) - b det left (A_ {12} right) & = & a det left ( left [d right] right) - b det left ( left [c right] right) & = & ad-bc end {array} ]

هذه الصيغة تستحق التذكر

ملاحظة ( PageIndex {1} )

لمصفوفة (2 مرات 2 ) ،

[ det left ( left [ start {array} {cc} a & b c & d end {array} right] right) = ad-bc ]

تطبيق التعريف المرجع {Determinantdefn} على مصفوفة (3 times 3 ) (A = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ) نحصل عليها

[ start {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] right) & = & 3 det left (A_ {11} right) - 1 det left (A_ {12 } right) + 2 det left (A_ {13} right) & = & 3 det left ( left [ begin {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 end {array} right] right) - det left ( left [ start {array} {rr} 0 & 5 2 & 4 end {array} right] right) + 2 det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & -1 2 & 1 end {array} right] right) & = & 3 ((- 1 ) (4) - (5) (1)) - ((0) (4) - (5) (2)) + 2 ((0) (1) - (- 1) (2)) & = & 3 (-9) - (- 10) +2 (2) & = & -13 end {array} ]

لتقييم محدد المصفوفة (4 مرات 4 ) ، علينا تقييم محددات المصفوفة أربعة (3 مرات 3 ) مصفوفات ، كل منها يتضمن إيجاد محددات ثلاثة (2 مرات 2 ) المصفوفات. كما ترى ، فإن طريقتنا في تقييم المحددات تخرج عن نطاق السيطرة بسرعة وقد يصل الكثير منكم إلى الآلة الحاسبة. هناك بعض الآليات الرياضية التي يمكن أن تساعدنا في حساب المحددات ونقدمها هنا. قبل أن نذكر النظرية ، نحتاج إلى مزيد من المصطلحات.

ملاحظة ( PageIndex {1} )

لنفترض أن (A ) (n times n ) مصفوفة و (A_ {ij} ) كما في التعريف المرجع {Aijdefn}. يتم تعريف (ij ) لـ (A ) ، المشار إليه (M_ {ij} ) بواسطة (M_ {ij} = det left (A_ {ij} right) ). يتم تعريف العامل المساعد (ij ) (A ) ، والمشار إليه (C_ {ij} ) من خلال (C_ {ij} = (-1) ^ {i + j} M_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} det left (A_ {ij} right) ).

نلاحظ أنه في Definition ref {selecteddefn} ، يكون المجموع

[a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_ {1n} right) ]

يمكن إعادة كتابتها كـ

[a_ {11} (-1) ^ {1 + 1} det left (A_ {11} right) + a_ {12} (-1) ^ {1 + 2} det left (A_ { 12} right) + ldots + a_ {1n} (-1) ^ {1 + n} det left (A_ {1n} right) ]

والتي بلغة العوامل المساعدة

[a_ {11} C_ {11} + a_ {12} C_ {12} + ldots + a_ {1n} C_ {1n} ]

نحن الآن على استعداد لذكر نظريتنا الرئيسية المتعلقة بالمحددات.

( PageIndex {1} ): خصائص المحدد

دعونا (A = left [a_ {ij} right] _ {n times n} ). الفهرس {محدد مصفوفة! خصائص} الفهرس {matrix! محدد! خصائص}

  • يمكننا إيجاد المحدد بالتوسيع على طول أي صف. أي ، لأي (1 leq k leq n ) ، [ det (A) = a_ {k_1} C_ {k_1} + a_ {k_2} C_ {k_2} + ldots + a_ {kn} C_ {kn} ]
  • إذا كانت (A ') هي المصفوفة التي تم الحصول عليها من (A ) بواسطة:
    • تبادل أي صفين ، ثم ( det (A ') = - det (A) ).
    • استبدال صف بمضاعف غير صفري (على سبيل المثال (c )) من نفسه ، ثم ( det (A ') = c det (A) )
    • استبدال صف بنفسه بالإضافة إلى مضاعف صف آخر ، ثم ( det (A ') = det (A) )
  • إذا كان (A ) يحتوي على صفين متطابقين ، أو صف يتكون من جميع (0 ) ، ثم ( det (A) = 0 ).
  • إذا كان (A ) مثلثًا علويًا أو سفليًا ، حاشية سفلية {راجع التمرين المرجع {trianglematrices} في ref {MatArithmetic}.} فإن ( det (A) ) هو حاصل ضرب المدخلات على القطر الرئيسي . الحاشية السفلية {انظر الصفحة pageref {maindiagonal} في القسم المرجع {MatArithmetic}.}
  • إذا كان (B ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة ، إذن ( det (AB) = det (A) det (B) ).
  • ( det left (A ^ {n} right) = det (A) ^ {n} ) لكل الأعداد الطبيعية (n ).
  • (A ) يكون قابلاً للعكس إذا وفقط إذا ( det (A) neq 0 ). في هذه الحالة ، ( det left (A ^ {- 1} right) = dfrac {1} { det (A)} ).

لسوء الحظ ، بينما يمكننا بسهولة textit {تظهر} النتائج في Theorem ref {selectedprops} ، فإن البراهين على معظم هذه الخصائص خارج نطاق هذا النص. يمكننا إثبات هذه الخصائص للمصفوفات العامة (2 مرات 2 ) أو حتى (3 مرات 3 ) بحساب القوة الغاشمة ، لكن طريقة الإثبات هذه تتناقض مع أناقة المحدد وتماثله. سنثبت الخصائص القليلة التي يمكننا أن نثبتها بعد أن طورنا بعض الأدوات الأخرى مثل مبدأ الاستقراء الرياضي في القسم المرجع {الاستقراء} (للحصول على علاج أنيق للغاية ، خذ دورة في الجبر الخطي. هناك ، سترى على الأرجح معالجة المحددات منطقيًا عكس ما هو معروض هنا). على وجه التحديد ، يتم تعريف المحدد على أنه دالة تأخذ المصفوفة المربعة إلى رقم حقيقي وتفي ببعض الخصائص في Theorem ref {selectedprops}. من هذه الوظيفة ، تم تطوير صيغة للمُحدد.} في الوقت الحالي ، دعنا نوضح بعض الخصائص المدرجة في Theorem ref {selectedprops} في المصفوفة (A ) أدناه. (ستتم مناقشة الآخرين في التدريبات.)

[A = left [ start {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ]

وجدنا ( det (A) = -13 ) بالتوسيع على طول الصف الأول. للاستفادة من (0 ) في الصف الثاني ، نستخدم Theorem ref {selectedprops} لإيجاد ( det (A) = -13 ) من خلال التوسع على طول هذا الصف.

[ start {array} {rcl} det left ( left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] right) & = & 0C_ {21} + (-1) C_ {22} + 5C_ {23} & = & (-1) (-1) ^ { 2 + 2} det left (A_ {22} right) + 5 (-1) ^ {2 + 3} det left (A_ {23} right) & = & - det left ( left [ start {array} {rr} 3 & 2 2 & 4 end {array} right] right) -5 det left ( left [ begin {array} {rr } 3 & 1 2 & 1 end {array} right] right) & = & - ((3) (4) - (2) (2)) - 5 ((3) ( 1) - (2) (1)) & = & -8-5 & = & -13 ، ، checkmark end {array} ]

بشكل عام ، تتبع علامة ((- 1) ^ {i + j} ) أمام القاصر في توسيع المحدد نمطًا بديلًا. يوجد أدناه نمط المصفوفات (2 مرات 2 ) ، (3 مرات 3 ) و (4 مرات 4 ) ، وهو يمتد بشكل طبيعي إلى أبعاد أعلى.

[ start {array} {ccc} left [ begin {array} {cc} + & - - & + end {array} right] & qquad left [ begin {array} {ccc} + & - & + - & + & - + & - & + end {array} right] & qquad left [ begin {array} {cccc} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + end {array} right] end {array} ]

ومع ذلك ، يُحذر القارئ من قراءة الكثير في أنماط الإشارات هذه. في المثال أعلاه ، قمنا بتوسيع (3 مرات 3 ) المصفوفة (أ ) من خلال صفها الثاني وأصبح المصطلح الذي يتوافق مع الإدخال الثاني سالبًا على الرغم من أن العلامة المرفقة بالقاصر هي ( (+) ). تمثل هذه العلامات فقط إشارات ((- 1) ^ {i + j} ) في الصيغة ؛ تحدد علامة الإدخال المقابل وكذلك القاصر نفسه العلامة النهائية للمصطلح في توسيع المحدد.

لتوضيح بعض الخصائص الأخرى في Theorem ref {selectedprops} ، نستخدم عمليات الصف لتحويل (3 times 3 ) matrix (A ) إلى مصفوفة مثلثة عليا ، مع تتبع عمليات الصف ، و تسمية كل مصفوفة متتالية. حاشية سفلية {بشكل أساسي ، نحن نتبع خوارزمية جاوس جوردان لكننا لا نهتم بالحصول على الريادة في (1 )}

[ start {array} {ccccc} left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] & xrightarrow [ text {with (- frac {2} {3} R1 + R3 )}] { text {Replace (R3 )}} & left [ start {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 0 & frac {1} {3} & frac {8} {3} end { array} right] & xrightarrow [ text {) frac {1} {3} R2 + R3 )}] { text {Replace (R3 ) with}} & left [ start {array } {rrr} 3 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 0 & frac {13} {3} end {array} right] A & & B & C نهاية {مجموعة} ]

تضمن لنا النظرية المرجع {ديمينانتبروبس} أن ( det (A) = det (B) = det (C) ) نظرًا لأننا نستبدل صفًا بنفسه بالإضافة إلى مضاعف صف آخر ينتقل من مصفوفة واحدة إلى التالي. علاوة على ذلك ، بما أن (C ) مثلث علوي ، ( det (C) ) هو نتاج المدخلات على القطر الرئيسي ، في هذه الحالة ( det (C) = (3) (- 1) يسار ( فارك {13} {3} يمين) = -13 ). يوضح هذا فائدة استخدام عمليات الصف للمساعدة في حساب المحددات. يلقي هذا أيضًا بعض الضوء على العلاقة بين المحدد والقابلية للانعكاس. تذكر من القسم المرجع {MatMethods} أنه من أجل إيجاد (A ^ {- 1} ) ، نحاول تحويل (A ) إلى (I_ {n} ) باستخدام عمليات الصف

[ start {array} {ccc} left [ begin {array} {c | c} A & I_ {n} end {array} right] & xrightarrow { text {Gauss Jordan Elimination} } & left [ begin {array} {c | c} I_ {n} & A ^ {- 1} end {array} right] end {array} ]

نظرًا لأننا نطبق عمليات الصف المسموح بها على (A ) لوضعها في شكل مرتبة صف مختصرة ، يمكن أن يختلف محدد المصفوفات الوسيطة عن محدد (A ) بمقدار textit {nonzero} مضاعف على الأكثر. هذا يعني أنه إذا كان ( det (A) neq 0 ) ، فيجب أيضًا أن يكون محدد شكل سلسلة الصف المختزل (A ) غير صفري ، وهو ما يعني ، وفقًا للتعريف المرجع {rowechelonform} ، أن جميع يجب أن تكون الإدخالات القطرية الرئيسية في نموذج مستوى الصف المختزل (أ ) (1 ). وهذا يعني أن نموذج ترتيب الصف المختزل (A ) هو (I_ {n} ) ، و (A ) قابل للعكس. على العكس من ذلك ، إذا كان (A ) قابلاً للعكس ، فيمكن تحويل (A ) إلى (I_ {n} ) باستخدام عمليات الصفوف. بما أن ( det left (I_ {n} right) = 1 neq 0 ) ، نفس المنطق يشير إلى ( det (A) neq 0 ). لقد أثبتنا بشكل أساسي أن المحدد textit {يحدد} ما إذا كانت المصفوفة (A ) قابلة للعكس أم لا. من مصفوفة.}

من الجدير بالذكر أنه عندما قدمنا ​​لأول مرة فكرة معكوس المصفوفة ، كان ذلك في سياق حل معادلة مصفوفة خطية. في الواقع ، كنا نحاول "تقسيم" جانبي معادلة المصفوفة (AX = B ) بالمصفوفة (A ). تمامًا كما لا يمكننا قسمة عدد حقيقي على (0 ) ، تخبرنا النظرية المرجع {selectedprops} أنه لا يمكننا "القسمة" على مصفوفة textit {محدد} هو (0 ). نعلم أيضًا أنه إذا كانت مصفوفة المعامل لنظام المعادلات الخطية قابلة للعكس ، فإن النظام يكون ثابتًا ومستقلًا. ويترتب على ذلك أنه إذا لم يكن محدد المعامل المذكور صفراً ، فإن النظام يكون ثابتاً ومستقلاً.

قاعدة كرامر والمصفوفة المساعدة

في هذا القسم ، نقدم نظرية تمكننا من حل نظام المعادلات الخطية عن طريق المحددات فقط. كالعادة ، يتم ذكر النظرية بشكل عام كامل ، باستخدام مجهولة مرقمة (x_1 ) ، (x_2 ) ، وما إلى ذلك ، بدلاً من الأحرف الأكثر شيوعًا (x ) ، (y ) ، (z ) ، وما إلى ذلك. من الأفضل ترك إثبات الحالة العامة لدورة في الجبر الخطي.

( PageIndex {1} ): قاعدة كرامر

لنفترض أن (AX = B ) هو شكل مصفوفة لنظام (n ) معادلات خطية في (n ) مجهولة حيث (A ) هي مصفوفة المعامل ، (X ) هي مصفوفة مجهولة ، و (ب ) هي المصفوفة الثابتة. إذا كان ( det (A) neq 0 ) ، فإن النظام المقابل يكون متسقًا ومستقلاً والحل للمجهول (x_1 ) ، (x_2 ) ، ( ldots x_ {n} ) هو معطى بواسطة:

[x_ {j} = dfrac { det left (A_ {j} right)} { det (A)}، ]

حيث (A_ {j} ) هي المصفوفة (A ) التي تم استبدال عمودها (j ) بالثوابت في (B ).

بالكلمات ، تخبرنا قاعدة كرامر أنه يمكننا حل كل مجهول ، واحدًا تلو الآخر ، عن طريق إيجاد نسبة محدد (A_ {j} ) إلى محدد مصفوفة المعامل. تم العثور على المصفوفة (A_ {j} ) عن طريق استبدال العمود في مصفوفة المعامل التي تحتوي على معاملات (x_ {j} ) بثوابت النظام. المثال التالي يوضح هذه الطريقة.

مثال ( PageIndex {1} ): تطبيق قاعدة كرامر

استخدم قاعدة كرامر لحل المجهول المشار إليه.

  1. حل ( left { begin {array} {rcr} 2x_1 - 3x_2 & = & 4 5x_1 + x_2 & = & -2 end {array} right. ) من أجل (x_1 ) و (x_2 )
  2. حل ( left { begin {array} {rcr} 2x - 3y + z & = & -1 x-y + z & = & 1 3x-4z & = & 0 end {array} حق. ) لـ (ض ).

المحلول

  1. عند كتابة هذا النظام في شكل مصفوفة ، نجد [ start {array} {ccc} A = left [ begin {array} {rr} 2 & -3 5 & 1 end {array} right ] & qquad X = left [ start {array} {r} x_1 x_2 end {array} right] & qquad B = left [ begin {array} {r} 4 -2 end {array} right] end {array} ] للعثور على المصفوفة (A_1 ) ، نزيل عمود مصفوفة المعامل (A ) التي تحتوي على معاملات (x_1 ) واستبدله بالإدخالات المقابلة في (B ). وبالمثل ، نستبدل عمود (A ) الذي يتوافق مع معاملات (x_2 ) بالثوابت لتشكيل المصفوفة (A_2 ). ينتج عن هذا [ start {array} {cc} A_1 = left [ begin {array} {rr} 4 & -3 -2 & 1 end {array} right] & qquad A_2 = left [ begin {array} {rr} 2 & 4 5 & -2 end {array} right] end {array} ] عند حساب المحددات ، نحصل على ( det (A ) = 17 ) ، ( det left (A_1 right) = -2 ) و ( det left (A_2 right) = -24 ) ، بحيث [ تبدأ {مجموعة} { cc} x_1 = dfrac { det left (A_1 right)} { det (A)} = - dfrac {2} {17} & qquad x_2} = dfrac { det left (A_2 right)} { det (A)} = - dfrac {24} {17} end {array} ] يمكن للقارئ التحقق من أن حل النظام هو ( left (- frac {2 } {17} ، - frac {24} {17} right) ).
  2. لاستخدام قاعدة كرامر لإيجاد (z ) ، نحدد (x_3 ) كـ (z ). لدينا [ start {array} {cccc} A = left [ begin {array} {rrr} 2 & -3 & 1 1 & -1 & 1 3 & 0 & -4 end { array} right] & X = left [ start {array} {r} x y z end {array} right] & B = left [ begin {array} {r} -1 1 0 end {array} right] & A_3 = A_ {z} = left [ begin {array} {rrr} 2 & -3 & -1 1 & -1 & 1 3 & 0 & 0 end {array} right] end {array} ] يتم توسيع كل من ( det (A) ) و ( det left (A_ {z} right) ) على طول الصفوف الثالثة (للاستفادة من (0 ) 's) يعطي [z = dfrac { det left (A_ {z} right)} { det (A)} = dfrac { -12} {- 10} = dfrac {6} {5} ] يتم تشجيع القارئ على حل هذا النظام لـ (x ) و (y ) بالمثل والتحقق من الإجابة.

آخر تطبيق لدينا للمحددات هو تطوير طريقة بديلة لإيجاد معكوس المصفوفة. حاشية سفلية {نحن نطور textit {طريقة} في المناقشة القادمة. كما هو الحال مع المناقشة في القسم المرجع {MatMethods} عندما طورنا أول خوارزمية للعثور على معكوسات المصفوفات ، نطلب منك أن تنغمس فينا.} دعونا نفكر في (3 مرات 3 ) المصفوفة (أ ) التي قمنا بها تمت دراستها على نطاق واسع في القسم المرجع {Determinantdefnandprops}

[A = left [ start {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ]

وجدنا من خلال عدة طرق ( det (A) = -13 ). لدهشتنا وسعادتنا ، يحتوي معكوسه أدناه عددًا ملحوظًا من (13 ) في مقامات إدخالاته. هذه ليست مصادفة.

[A ^ {- 1} = left [ start {array} {rrr} frac {9} {13} & frac {2} {13} & - frac {7} {13} - frac {10} {13} & - frac {8} {13} & frac {15} {13} - frac {2} {13} & frac {1} {13} & frac {3} {13} end {array} right] ]

تذكر أنه للعثور على (A ^ {- 1} ) ، فإننا نحل معادلة المصفوفة (AX = I_3 ) ، حيث (X = left [x_ {ij} right] _ {3 times 3} ) هي (3 مرات 3 ) مصفوفة. بسبب كيفية تعريف ضرب المصفوفة ، فإن العمود الأول من (I_3 ) هو ناتج (A ) مع العمود الأول من (X ) ، والعمود الثاني من (I_3 ) هو ناتج (A ) مع العمود الثاني من (X ) والعمود الثالث (I_3 ) هو نتاج (A ) مع العمود الثالث (X ). بعبارة أخرى ، نحن نحل ثلاث معادلات (نشجع القارئ على التوقف والتفكير مليًا).

[ start {array} {ccc} A left [ start {array} {r} x_ {11} x_ {21} x_ {31} end {array} right] = left [ ابدأ {مجموعة} {r} 1 0 0 end {array} right] & qquad A left [ begin {array} {r} x_ {12} x_ {22} x_ {32} end {array} right] = left [ start {array} {r} 0 1 0 end {array} right] & qquad A left [ start {array } {r} x_ {13} x_ {23} x_ {33} end {array} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 1 end { مجموعة} يمين] نهاية {مجموعة} ]

يمكننا حل كل من هذه الأنظمة باستخدام قاعدة كرامر. التركيز على النظام الأول لدينا

[ start {array} {ccc} A_1 = left [ begin {array} {rrr} 1 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 0 & 1 & 4 end {array} right] & A_2 = left [ start {array} {rrr} 3 & 1 & 2 0 & 0 & 5 2 & 0 & 4 end {array} right ] & A_3 = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 1 0 & -1 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right] نهاية {مجموعة} ]

إذا قمنا بتوسيع ( det left (A_1 right) ) على طول الصف الأول ، نحصل على

[ start {array} {rcl} det left (A_1 right) & = & det left ( left [ begin {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 نهاية {مجموعة} يمين] يمين) - det يسار ( يسار [ تبدأ {مجموعة} {rr} 0 & 5 0 & 4 end {array} right] right) + 2 det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & -1 0 & 1 end {array} right] right) & = & det left ( left [ start {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 end {array} right] right) end {array} ]

بشكل مثير للدهشة ، هذا ليس سوى العامل المساعد (C_ {11} ) لـ (A ). القارئ مدعو للتحقق من ذلك ، بالإضافة إلى الادعاءات بأن ( det left (A_2 right) = C_ {12} ) و ( det left (A_3 right) = C_ {13} ). حاشية سفلية {في دورة الجبر الخطي الصلبة سوف تتعلم أن الخصائص في النظرية المرجع {ديمينانتبروبس} تثبت بنفس القدر إذا تم استبدال كلمة "صف" بكلمة "عمود". لن ندخل في عمليات العمود في هذا النص ، لكنهم يجعلون بعض ما نحاول أن نقول أسهل لمتابعة.} (لرؤية هذا ، على الرغم من أنه يبدو من غير الطبيعي القيام بذلك ، قم بالتوسيع على طول الصف الأول .) قاعدة كرامر تخبرنا

[ start {array} {ccc} x_ {11} = dfrac { det left (A_1 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {11}} { det (A) }، & x_ {21} = dfrac { det left (A_2 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {12}} { det (A)}، & x_ {31} = dfrac { det left (A_3 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {13}} { det (A)} end {array} ]

لذا فإن العمود الأول من معكوس المصفوفة (X /) هو:

[ left [ start {array} {r} x_ {11} x_ {21} x_ {31} end {array} right] = left [ start {array} {r} dfrac {C_ {11}} { det (A)} dfrac {C_ {12}} { det (A)} dfrac {C_ {13}} { det (A)} end {array} right] = dfrac {1} { det (A)} left [ start {array} {r} C_ {11} C_ {12} C_ {13} end {array } حق] ]

لاحظ انعكاس الرموز التي تنتقل من المجهول إلى العامل المساعد المقابل لـ (A ). يستمر هذا الاتجاه ونحصل

[ start {array} {cc} left [ start {array} {r} x_ {12} x_ {22} x_ {32} end {array} right] = dfrac {1 } { det (A)} left [ start {array} {r} C_ {21} C_ {22} C_ {23} end {array} right] & qquad left [ ابدأ {مجموعة} {r} x_ {13} x_ {23} x_ {33} end {array} right] = dfrac {1} { det (A)} left [ start { صفيف} {r} C_ {31} C_ {32} C_ {33} end {array} right] end {array} ]

بتجميع كل هذه العناصر معًا ، حصلنا على صيغة جديدة ومدهشة لـ (A ^ {- 1} ) ، وهي

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} left [ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {21} & C_ {31} C_ { 12} & C_ {22} & C_ {32} C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} end {array} right] ]

لنرى أن هذا ينتج بالفعل (A ^ {- 1} ) ، نجد جميع العوامل المساعدة لـ (A )

[ begin {array} {rcrrcrrcr} C_ {11} & = & -9، & C_ {21} & = & -2، & C_ {31} & = & 7 C_ {12} & = & 10 ، & C_ {22} & = & 8، & C_ {32} & = & -15 C_ {13} & = & 2، & C_ {23} & = & -1، & C_ {33} & = & -3 end {array} ]

وكما وعدت ،

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} left [ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {21} & C_ {31} C_ { 12} & C_ {22} & C_ {32} C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} end {array} right] = - dfrac {1} {13} left [ start {array} {rrr} -9 & -2 & 7 10 & 8 & -15 2 & -1 & -3 end {array} right] = left [ begin { array} {rrr} frac {9} {13} & frac {2} {13} & - frac {7} {13} - frac {10} {13} & - frac {8} {13} & frac {15} {13} - frac {2} {13} & frac {1} {13} & frac {3} {13} end {array} right ] ]

لتعميم هذا على المصفوفات (n times n ) القابلة للعكس ، نحتاج إلى تعريف آخر ونظرية. يعطي تعريفنا اسمًا خاصًا لمصفوفة العامل المساعد ، وتخبرنا النظرية كيفية استخدامها مع ( det (A) ) لإيجاد معكوس المصفوفة.

التعريف ( PageIndex {1} ): مصفوفة مرتبطة

لنفترض أن (A ) (n times n ) مصفوفة ، و (C_ {ij} ) تشير إلى (ij ) العامل المساعد لـ (A ). ال معاون من (A ) ، يُشار إليها ( نص {صفة} (أ) ) هي المصفوفة التي (ij ) - الإدخال هو (ji ) العامل المساعد لـ (A ) ، (C_ { جي} ). هذا هو

[ text {adv} (A) = left [ start {array} {cccc} C_ {11} & C_ {21} & ldots & C_ {n1} C_ {12} & C_ {22} & ldots & C_ {n2} vdots & vdots & & vdots C_ {1n} & C_ {2n} & ldots & C_ {nn} end {array} right] ] النهاية {defn}

هذا الترميز الجديد يختصر بشكل كبير بيان صيغة معكوس المصفوفة.

ملاحظة ( PageIndex {1} )

لنكن (A ) مصفوفة (n times n ) قابلة للعكس. ثم

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} text {وضع} (A) ]

بالنسبة إلى مصفوفات (2 times 2 ) ، فإن النظرية المرجع {Adjointinverse} تختزل إلى صيغة بسيطة إلى حد ما.

ملاحظة ( PageIndex {1} )

لمصفوفة (2 مرات 2 ) معكوسة ،

[ left [ start {array} {rr} a & b c & d end {array} right] ^ {- 1} = dfrac {1} {ad-bc} left [ ابدأ {مجموعة} {rr} d & -b -c & a end {array} right] ]

إن إثبات النظرية المرجع {ملحق: مثل العديد من النتائج في هذا القسم ، من الأفضل تركه لدورة في الجبر الخطي. في مثل هذه الدورة التدريبية ، لا تكتسب فقط بعض تقنيات الإثبات الأكثر تعقيدًا ، بل تكتسب أيضًا منظورًا أكبر. يؤكد لك المؤلفون أن المثابرة تؤتي ثمارها. إذا التزمت ببعض الفصول الدراسية وأخذت دورة في الجبر الخطي ، فسترى مدى جمال جميع المصفوفات حقًا - على الرغم من التدوين الممل وبحر النصوص. ضمن نطاق هذا النص ، سنثبت بعض النتائج التي تتضمن المحددات في القسم المرجع {الاستقراء} بمجرد أن يكون لدينا مبدأ الاستقراء الرياضي جيدًا. حتى ذلك الحين ، تأكد من أن لديك مؤشرًا على textit {ميكانيكا} المصفوفات وستظهر النظرية في النهاية.


شاهد الفيديو: المحددات وقاعدة كرامر ثاني ثانوي (شهر نوفمبر 2021).