مقالات

3.4: (و 3.4) قواعد التمايز


يمكن أن يكون العثور على مشتقات الوظائف باستخدام تعريف المشتق عملية طويلة ، وبالنسبة لبعض الوظائف ، عملية صعبة إلى حد ما. على سبيل المثال ، وجدنا ذلك سابقًا

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt {x}) = dfrac {1} {2 sqrt {x}} ]

باستخدام عملية تتضمن ضرب تعبير في مرافق قبل تقييم النهاية. العملية التي يمكننا استخدامها للتقييم

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt [3] {x}) ]

استخدام التعريف ، رغم تشابهه ، إلا أنه أكثر تعقيدًا. في هذا القسم ، نطور قواعد لإيجاد المشتقات التي تسمح لنا بتجاوز هذه العملية. نبدأ بالأساسيات.

القواعد الأساسية

الدالات (f (x) = c ) و (g (x) = x ^ n ) حيث (n ) هو عدد صحيح موجب هي اللبنات الأساسية التي يتم من خلالها إنشاء جميع كثيرات الحدود والوظائف المنطقية. لإيجاد مشتقات كثيرات الحدود والوظائف المنطقية بكفاءة دون اللجوء إلى التعريف المحدود للمشتق ، يجب علينا أولاً تطوير صيغ للتمييز بين هذه الوظائف الأساسية.

القاعدة الثابتة

نطبق أولاً تعريف الحد للمشتق لإيجاد مشتق الدالة الثابتة ، (f (x) = c ). بالنسبة لهذه الوظيفة ، كل من (f (x) = c ) و (f (x + h) = c ) ، لذلك نحصل على النتيجة التالية:

[ start {align} f ′ (x) & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) −f (x)} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {c − c} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {0} {h} & = lim_ {h → 0} 0 = 0. نهاية {محاذاة} ]

تسمى قاعدة التفريق بين الوظائف الثابتة حكم ثابت. تنص على أن مشتق دالة ثابتة هو صفر ؛ أي بما أن الوظيفة الثابتة هي خط أفقي ، فإن الميل أو معدل التغيير لدالة ثابتة هو (0 ). نعيد صياغة هذه القاعدة في النظرية التالية.

القاعدة الثابتة

دع (ج ) يكون ثابتًا. إذا (f (x) = c ) ، إذن (f ′ (c) = 0. )

بدلاً من ذلك ، قد نعبر عن هذه القاعدة على أنها

[ dfrac {d} {dx} (ج) = 0. ]

مثال ( PageIndex {1} ): تطبيق قاعدة الثابت

أوجد مشتق (f (x) = 8. )

المحلول

هذا مجرد تطبيق من خطوة واحدة للقاعدة:

[f ′ (8) = 0. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (g (x) = - 3 ).

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل

إجابه

0

قاعدة القوة

لقد أظهرنا ذلك

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x mbox {and} dfrac {d} {dx} (x ^ {1/2}) = dfrac {1} {2} x ^ {−1/2}. ]

في هذه المرحلة ، قد ترى نمطًا يبدأ في التطور لمشتقات من النموذج ( dfrac {d} {dx} (x ^ n). ) نواصل فحص الصيغ المشتقة عن طريق التفريق بين دوال القدرة في النموذج (f (x) = x ^ n ) حيث (n ) عدد صحيح موجب. نقوم بتطوير صيغ لمشتقات هذا النوع من الوظائف على مراحل ، بدءًا من القوى الصحيحة الموجبة. قبل توضيح وإثبات القاعدة العامة لمشتقات الدوال في هذا النموذج ، نلقي نظرة على حالة معينة ، ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ). بينما نمر في هذا الاشتقاق ، نولي اهتمامًا خاصًا لجزء التعبير بخط غامق ، حيث أن التقنية المستخدمة في هذه الحالة هي في الأساس نفس التقنية المستخدمة لإثبات الحالة العامة.

مثال ( PageIndex {2} ): التمييز (x ^ 3 )

ابحث عن ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ).

المحلول:

( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ 3 − x ^ 3} {h} )
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 − x ^ 3} {h} )لاحظ أن المصطلح الأول في توسيع ((x + h) ^ 3 ) هو (x ^ 3 ) والمصطلح الثاني (3x ^ 2h ). تحتوي المصطلحات الأخرى على صلاحيات (h ) ) اثنان أو أكبر
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3} {h} )في هذه الخطوة ، تم إلغاء المصطلحات (x ^ 3 ) ، ولم يتبق سوى المصطلحات التي تحتوي على (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {h (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2)} {h} )أخرج العامل المشترك من (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2))بعد إلغاء العامل المشترك (h ) ، فإن المصطلح الوحيد الذي لا يحتوي على (h ) هو (3x ^ 2 ).
(= 3 س ^ 2 )دع (ح ) انتقل إلى (0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن [ dfrac {d} {dx} (x ^ 4). ]

تلميح

استخدم ((x + h) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3h + 6x ^ 2h ^ 2 + 4xh ^ 3 + h ^ 4 ) واتبع الإجراء الموضح في المثال السابق.

إجابه

(4x ^ 3 )

كما سنرى ، فإن الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الشكل العام (f (x) = x ^ n ) مشابه جدًا. على الرغم من أنه غالبًا ما يكون من غير الحكمة استخلاص استنتاجات عامة من أمثلة محددة ، إلا أننا نلاحظ أنه عندما نفرق (f (x) = x ^ 3 ) ، تصبح القوة على (x ) هي معامل (x ^ 2 ) ) في المشتق وتقل القوة على (x ) في المشتق بمقدار 1. تنص النظرية التالية على أن حكم القوة يحمل جميع القوى الصحيحة الموجبة لـ (س ). سنقوم في النهاية بتمديد هذه النتيجة إلى قوى عدد صحيح سالب. لاحقًا ، سنرى أن هذه القاعدة قد تمتد أيضًا أولاً إلى القوى المنطقية لـ (x ) ثم إلى القوى التعسفية لـ (x ). كن على علم ، مع ذلك ، أن هذه القاعدة لا تنطبق على الوظائف التي يتم فيها رفع ثابت إلى قوة متغيرة ، مثل (f (x) = 3 ^ x ).

قاعدة القوة

دعونا ن يكون عدد صحيح موجب. إذا (f (x) = x ^ n ) ، إذن

[f ′ (x) = nx ^ {n − 1}. ]

بدلاً من ذلك ، قد نعبر عن هذه القاعدة على أنها

[ dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1.} ]

دليل - إثبات

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ n ) حيث (n ) عدد صحيح موجب ، لدينا

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h}).

منذ ((x + h) ^ n = x ^ n + nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n ، )

نحن نرى ذلك

((x + h) ^ n − x ^ n = nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n. )

بعد ذلك ، قسّم كلا الجانبين على h:

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = dfrac {nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n} {h}. )

هكذا،

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 2} + h ^ {n − 1}. )

أخيرا،

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} (nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n) )

(= nx ^ {n − 1}. )

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق قاعدة الطاقة

أوجد مشتق الدالة (f (x) = x ^ {10} بتطبيق قاعدة الأس.

المحلول

باستخدام قاعدة الأس مع (n = 10 ) نحصل عليها

[f '(x) = 10x ^ {10−1} = 10x ^ 9. ]

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مشتق (f (x) = x ^ 7 ).

تلميح

استخدم قاعدة القوة مع (n = 7. )

إجابه

[f ′ (x) = 7x ^ 6 ]

الجمع والفرق والقواعد المتعددة الثابتة

نجد قواعد الاشتقاق التالية بالنظر إلى مشتقات المجاميع والاختلافات ومضاعفات الدوال الثابتة. مثلما عند التعامل مع الدوال ، توجد قواعد تسهل العثور على مشتقات الدوال التي نجمعها أو نطرحها أو نضربها في ثابت. يتم تلخيص هذه القواعد في النظرية التالية.

الجمع والفرق والقواعد المتعددة الثابتة

لنفترض أن (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل و (k ) يكون ثابتًا. ثم تصمد كل من المعادلات التالية.

حكم المجموع. مشتق مجموع الدالة (f ) والدالة (g ) هو نفس مجموع مشتق (f ) ومشتق (g ).

[ dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) + dfrac {d} {dx} (g (x) ) ؛ ]

هذا هو،

[لـ mbox {} j (x) = f (x) + g (x)، j ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

حكم الفرق. مشتق فرق الدالة f والدالة g هو نفس الاختلاف في مشتق f ومشتق (g ):

[ dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) - dfrac {d} {dx} (g (x) ) ؛ ]

هذا هو،

[من أجل mbox {} j (x) = f (x) −g (x) ، j ′ (x) = f ′ (x) −g ′ (x). ]

قاعدة متعددة ثابتة. مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت في المشتق:

[ dfrac {d} {dx} (kf (x)) = k dfrac {d} {dx} (f (x))؛ ]

هذا هو،

[من أجل mbox {} j (x) = kf (x) ، j ′ (x) = kf ′ (x). ]

دليل - إثبات

نحن نقدم فقط دليل على قاعدة المجموع هنا. يتبع الباقي بطريقة مماثلة.

بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل (f (x) ) و (g (x) ) ، قمنا بتعيين (j (x) = f (x) + g (x) ). باستخدام تعريف النهاية للمشتق الذي لدينا

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {j (x + h) −j (x)} {h}. ]

بالتعويض (j (x + h) = f (x + h) + g (x + h) ) و (j (x) = f (x) + g (x)، ) نحصل عليها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))} {h}. ]

لقد قمنا بإعادة ترتيب المصطلحات وإعادة تجميعها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} + dfrac {g (x + h) −g (x)} {ح}). ]

نطبق الآن قانون الجمع للنهايات وتعريف المشتق للحصول عليه

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(g (x + h) −g (x)} {h}) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

مثال ( PageIndex {4} ): تطبيق قاعدة المضاعفة الثابتة

أوجد مشتق (g (x) = 3x ^ 2 ) وقارنه بمشتق (f (x) = x ^ 2. )

المحلول

نستخدم قاعدة القوة مباشرة:

[g ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3x ^ 2) = 3 dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 3 (2x) = 6x. ]

بما أن (f (x) = x ^ 2 ) له مشتق (f ′ (x) = 2x ) ، نرى أن مشتق (g (x) ) يساوي 3 أضعاف مشتق (f (خ) ). هذه العلاقة موضحة في الشكل.

الشكل ( PageIndex {1} ): مشتق (g (x) ) يساوي 3 أضعاف مشتق (f (x) ).

مثال ( PageIndex {5} ): تطبيق قواعد مشتقة أساسية

أوجد مشتق [f (x) = 2x ^ 5 + 7. ]

المحلول

نبدأ بتطبيق قاعدة اشتقاق مجموع دالتين ، متبوعًا بقواعد اشتقاق مضاعفات الدوال الثابتة وقاعدة اشتقاق القوى. لفهم التسلسل الذي يتم فيه تطبيق قواعد التفاضل بشكل أفضل ، نستخدم تدوين Leibniz في الحل:

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} (2x ^ 5 + 7) )

(= dfrac {d} {dx} (2x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) طبق قاعدة الجمع.

(= 2 dfrac {d} {dx} (x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) طبق قاعدة المضاعفات الثابتة.

(= 2 (5x ^ 4) +0 ) طبق قاعدة الأس والقاعدة الثابتة.

(= 10x ^ 4 ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مشتق [f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2 + 3. ]

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(f ′ (x) = 6x ^ 2−12x. )

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد معادلة خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ [f (x) = x ^ 2−4x + 6 ] عند (x = 1 )

المحلول

لإيجاد معادلة خط المماس ، نحتاج إلى نقطة وميل. للعثور على النقطة ، احسب

[f (1) = 1 ^ 2−4 (1) + 6 = 3. ]

هذا يعطينا النقطة ((1،3) ). نظرًا لأن ميل خط الظل عند 1 هو (f ′ (1) ) ، يجب علينا أولاً إيجاد (f ′ (x) ). باستخدام تعريف المشتق ، لدينا

[f ′ (x) = 2x − 4 ]

لذا فإن ميل خط الظل هو (f ′ (1) = - 2 ). باستخدام صيغة الميل والنقطة ، نرى أن معادلة خط المماس هي

[y − 3 = −2 (x − 1). ]

نضع معادلة الخط في صيغة الميل والمقطع ، نحصل عليها

[y = −2x + 5. ]

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = 3x ^ 2−11 ) عند (x = 2 ). استخدم صيغة نقطة الميل.

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(ص = 12 س − 23 )

المشتقات ذات الترتيب الأعلى

مشتقة الدالة هي نفسها دالة ، لذا يمكننا إيجاد مشتقها. على سبيل المثال ، مشتق دالة المركز هو معدل التغير في الموضع ، أو السرعة. مشتق السرعة هو معدل تغير السرعة ، وهو التسارع. الوظيفة الجديدة التي تم الحصول عليها عن طريق التفريق بين المشتق تسمى المشتق الثاني. علاوة على ذلك ، يمكننا الاستمرار في أخذ المشتقات للحصول على المشتق الثالث ، والمشتق الرابع ، وهكذا. بشكل جماعي ، يشار إلى هذه باسم المشتقات عالية المستوى. يمكن التعبير عن تدوين مشتقات الرتبة الأعلى لـ (y = f (x) ) بأي من الأشكال التالية:

[f '' (x)، f '' '(x)، f ^ {(4)} (x)، ...، f ^ {(n)} (x) nonumber ]

[y '' (x)، y '' '(x)، y ^ {(4)} (x)، ...، y ^ {(n)} (x) nonumber ]

[ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}، frac {d ^ 3y} {dx ^ 3}، frac {d ^ 4y} {dx ^ 4}،…، frac {d ^ ny} {dx ^ n}. ]

من المثير للاهتمام ملاحظة أن تدوين ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) يمكن اعتباره محاولة للتعبير عن ( frac {d} {dx} ( frac {dy} { dx}) ) بشكل أكثر إحكاما. بالمثل ، ( frac {d} {dx} ( frac {d} {dx} ( frac {dy} {dx})) = frac {d} {dx} ( frac {d ^ 2y} { dx ^ 2}) = frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ).

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن مشتق ثاني

بالنسبة إلى (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) ، ابحث عن (f '' (x) ).

المحلول

ابحث أولاً عن (f ′ (x) ).

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {(2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1) - (2x ^ 2−3x + 1)} {ح} )عوض (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) و (f (x + h) = 2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1 ) في (f ′ (س) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h}.)
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {4xh + h ^ 2−3h} {h} )بسّط البسط.
(= displaystyle lim_ {h → 0} (4x + h − 3))أخرج (h ) في البسط وقم بإلغاء الأمر مع (h ) في المقام.
(= 4x − 3 )خذ الحد.

بعد ذلك ، أوجد (f '' (x) ) بأخذ مشتق (f ′ (x) = 4x − 3. )

(f '(x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f ′ (x + h) −f ′ (x)} {h})استخدم (f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} ) مع (f ′ (x) ) في المكان من (و (س). )
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(4 (x + h) −3) - (4x − 3)} {h})عوض (f ′ (x + h) = 4 (x + h) −3 ) و (f ′ (x) = 4x − 3. )
(= displaystyle lim_ {h → 0} 4 )تبسيط.
(=4)خذ الحد.

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن (f '' (x) ) من أجل (f (x) = x ^ 2 ).

تلميح

وجدنا (f ′ (x) = 2x ) في نقطة تفتيش سابقة. استخدم المعادلة لإيجاد مشتق (f ′ (x) )

إجابه

(و '(س) = 2 )

قاعدة المنتج

الآن بعد أن درسنا القواعد الأساسية ، يمكننا البدء في النظر في بعض القواعد الأكثر تقدمًا. الأول يفحص مشتق حاصل ضرب وظيفتين. على الرغم من أنه قد يكون من المغري افتراض أن مشتق المنتج هو ناتج المشتقات ، على غرار قواعد الجمع والفرق ، فإن سيادة المنتج لا يتبع هذا النمط. لمعرفة سبب عدم قدرتنا على استخدام هذا النمط ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 2 ) ، مشتقها (f ′ (x) = 2x ) وليس ( dfrac {d} {dx } (x) ⋅ dfrac {d} {dx} (x) = 1⋅1 = 1. )

سيادة المنتج

دع (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل. ثم

[ dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) + dfrac {d} {dx} ( ز (خ)) ⋅ و (خ). ]

هذا هو،

[إذا كان j (x) = f (x) g (x) ، إذن j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

هذا يعني أن مشتق منتج لوظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية زائد مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى.

دليل - إثبات

نبدأ بافتراض أن (f (x) ) و (g (x) ) وظائف قابلة للتفاضل. في نقطة رئيسية في هذا الدليل ، نحتاج إلى استخدام حقيقة أنه نظرًا لأن (g (x) ) قابل للاشتقاق ، فهو أيضًا مستمر. على وجه الخصوص ، نستخدم حقيقة أنه بما أن (g (x) ) مستمر ، ( displaystyle lim_ {h → 0} g (x + h) = g (x). )

من خلال تطبيق تعريف الحد للمشتق على ((x) = f (x) g (x)، ) نحصل على

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

بجمع وطرح (f (x) g (x + h) ) في البسط ، لدينا

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h) + f (x) g (x + ح) − f (x) g (x)} {h}. ]

بعد تقسيم حاصل القسمة هذا وتطبيق قانون الجمع للنهايات ، يصبح المشتق

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(f (x) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

إعادة الترتيب ، نحصل عليها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} ⋅g (x + h)) + lim_ {h → 0} ( dfrac {g (x + h) −g (x)} {h} ⋅f (x)). ]

باستخدام استمرارية (g (x) ) ، تعريف مشتقات (f (x) ) و (g (x) ) ، وتطبيق قوانين الحد ، نصل إلى قاعدة المنتج و

[j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

مثال ( PageIndex {7} ): تطبيق قاعدة المنتج على الدوال الثابتة

بالنسبة إلى (j (x) = f (x) g (x) ) ، استخدم قاعدة المنتج لإيجاد (j ′ (2) ) إذا (f (2) = 3 ، f ′ (2) = −4 و g (2) = 1 ) و (g ′ (2) = 6 ).

المحلول

بما أن (j (x) = f (x) g (x)، j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x)، ) وبالتالي

[j ′ (2) = f ′ (2) g (2) + g ′ (2) f (2) = (- 4) (1) + (6) (3) = 14. ]

مثال ( PageIndex {8} ): تطبيق قاعدة المنتج على القيم ذات الحدين

بالنسبة إلى (j (x) = (x ^ 2 + 2) (3x ^ 3−5x) ، ) ابحث عن (j ′ (x) ) بتطبيق قاعدة المنتج. تحقق من النتيجة عن طريق إيجاد المنتج أولاً ثم التفرقة.

المحلول

إذا قمنا بتعيين (f (x) = x ^ 2 + 2 ) و (g (x) = 3x ^ 3−5x ) ، إذن (f ′ (x) = 2x ) و (g ′ (x) = 9x ^ 2−5 ). هكذا،

(j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) = (2x) (3x ^ 3−5x) + (9x ^ 2−5) (x ^ 2 +2). )

التبسيط ، لدينا

[j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. ]

للتحقق ، نرى أن (j (x) = 3x ^ 5 + x ^ 3−10x ) وبالتالي ، (j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. )

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم قاعدة الضرب القياسي للحصول على مشتق [j (x) = 2x ^ 5 (4x ^ 2 + x). ]

تلميح

اضبط (f (x) = 2x ^ 5 ) و (g (x) = 4x ^ 2 + x ) واستخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

[j ′ (x) = 10x ^ 4 (4x ^ 2 + x) + (8x + 1) (2x ^ 5) = 56x ^ 6 + 12x ^ 5. ]

قاعدة الحاصل

بعد تطوير قاعدة المنتج وممارستها ، نفكر الآن في تمييز حاصل الدوال. كما نرى في النظرية التالية ، مشتق حاصل القسمة ليس حاصل قسمة المشتقات ؛ بل هي مشتقة الدالة في البسط مضروبة في الدالة في المقام مطروحًا منها مشتقة الدالة في المقام مضروبًا في الدالة في البسط ، وكلها مقسومة على مربع الدالة في المقام. من أجل فهم أفضل لسبب عدم قدرتنا على أخذ حاصل قسمة المشتقات ، ضع في اعتبارك ذلك

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x، not dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 3)} { dfrac {d} {dx} (x)} = dfrac {3x ^ 2} {1} = 3x ^ 2. ]

قاعدة الحاصل

دع (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل. ثم

[ dfrac {d} {dx} ( dfrac {f (x)} {g (x)}) = dfrac { dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) - dfrac {d} {dx} (g (x)) ⋅f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

هذا هو ، إذا

[j (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ]

من ثم

[j ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

إن إثبات قاعدة حاصل القسمة مشابه جدًا لإثبات قاعدة المنتج ، لذلك تم حذفه هنا. بدلاً من ذلك ، نطبق هذه القاعدة الجديدة لإيجاد المشتقات في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {9} ): تطبيق قاعدة الحاصل

استخدم قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتق [k (x) = dfrac {5x ^ 2} {4x + 3}. ]

المحلول

دع (f (x) = 5x ^ 2 ) و (g (x) = 4x + 3 ). وهكذا ، (f ′ (x) = 10x ) و (g ′ (x) = 4 ). بالتعويض في قاعدة خارج القسمة ، لدينا

[k ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2} = dfrac {10x (4x + 3 ) −4 (5x ^ 2)} {(4x + 3) ^ 2}. ]

التبسيط ، نحصل عليه

[k ′ (x) = dfrac {20x ^ 2 + 30x} {(4x + 3) ^ 2} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {3x + 1} {4x − 3} ).

إجابه

طبق قاعدة خارج القسمة مع (f (x) = 3x + 1 ) و (g (x) = 4x − 3 ).

إجابه

[k ′ (x) = - dfrac {13} {(4x − 3) ^ 2}. ]

أصبح من الممكن الآن استخدام قاعدة خارج القسمة لتوسيع قاعدة الأس لإيجاد مشتقات الدوال بالصيغة (x ^ k ) حيث (k ) عدد صحيح سالب.

تمديد قاعدة الطاقة

إذا كان (ك ) عددًا صحيحًا سالبًا ، إذن

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

دليل - إثبات

إذا كان (k ) عددًا صحيحًا سالبًا ، فيمكننا تعيين (n = −k ) ، بحيث يكون n عددًا صحيحًا موجبًا مع (k = −n ). نظرًا لأن كل عدد صحيح موجب (n ) ، (x ^ {- n} = dfrac {1} {x ^ n} ) ، يمكننا الآن تطبيق قاعدة خارج القسمة عن طريق تعيين (f (x) = 1 ) و (g (x) = x ^ n ). في هذه الحالة ، (f ′ (x) = 0 ) و (g ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). هكذا،

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {0 (x ^ n) −1 (nx ^ {n − 1})} {(x ^ n) ^ 2}. ]

التبسيط ، نرى ذلك

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {−nx ^ {n − 1}} {x ^ {2n}} = - nx ^ {(n − 1) −2n } = - nx ^ {- n − 1}. ]

أخيرًا ، لاحظ أنه منذ (k = −n ) ، بالتعويض لدينا

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام قاعدة الطاقة الموسعة

ابحث عن ( dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) ).

المحلول

من خلال تطبيق قاعدة القوة الموسعة مع (k = −4 ) ، نحصل على

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) = - 4x ^ {- 4−1} = - 4x ^ {- 5}. ]

مثال ( PageIndex {11} ): استخدام قاعدة القوة الموسعة وقاعدة المضاعفة الثابتة

استخدم قاعدة الأس الممتدة وقاعدة المضاعفات الثابتة لإيجاد (f (x) = dfrac {6} {x ^ 2} ).

المحلول

قد يبدو من المغري استخدام قاعدة خارج القسمة للعثور على هذا المشتق ، وبالتأكيد لن يكون من الخطأ فعل ذلك. ومع ذلك ، فمن الأسهل بكثير التفريق بين هذه الدالة من خلال إعادة كتابتها أولاً كـ (f (x) = 6x ^ {- 2} ).

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} ( dfrac {6} {x ^ 2}) = dfrac {d} {dx} (6x ^ {- 2}) ) أعد الكتابة ( dfrac {6} {x ^ 2} ) كـ (6x ^ {- 2} ).

(= 6 dfrac {d} {dx} (x ^ {- 2}) ) طبق قاعدة المضاعفة الثابتة.

(= 6 (−2x ^ {- 3}) ) استخدم قاعدة القوة الموسعة للاشتقاق (x ^ {- 2} ).

(= - 12x ^ {- 3} ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد مشتق (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} ) باستخدام قاعدة القوة الموسعة.

تلميح

أعد كتابة (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} = x ^ {- 7} ). استخدم قاعدة القوة الموسعة مع (ك = −7 ).

إجابه

(ز ′ (س) = - 7 س ^ {- 8} ).

الجمع بين قواعد التمايز

كما رأينا في الأمثلة في هذا القسم ، نادرًا ما يتم استدعاؤنا لتطبيق قاعدة اشتقاق واحدة فقط لإيجاد مشتقة دالة معينة. في هذه المرحلة ، بدمج قواعد الاشتقاق ، قد نجد مشتقات أي دالة كثيرة الحدود أو دالة كسرية. سنواجه لاحقًا مجموعات أكثر تعقيدًا من قواعد التفاضل. من القواعد الأساسية الجيدة التي يجب استخدامها عند تطبيق عدة قواعد تطبيق القواعد بعكس الترتيب الذي سنقيم به الوظيفة.

مثال ( PageIndex {12} ): دمج قواعد التمايز

بالنسبة إلى (k (x) = 3h (x) + x ^ 2g (x) ) ، ابحث عن (k ′ (x) ).

الحل: يتطلب إيجاد هذا المشتق قاعدة الجمع وقاعدة المضاعفات الثابتة وقاعدة الضرب.

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3h (x) + x ^ 2g (x)) = dfrac {d} {dx} (3h (x)) + dfrac {d} {dx} (x ^ 2g (x)) )طبق قاعدة المجموع.
(= 3 dfrac {d} {dx} (h (x)) + ( dfrac {d} {dx} (x ^ 2) g (x) + dfrac {d} {dx} (g (x )) × ^ 2) )طبق قاعدة العدد الثابت للثابت لتمييز (3h (x) ) وقاعدة الضرب للاشتقاق (x ^ 2g (x) ).
(= 3 س ′ (س) + 2 س ج (س) + ج ′ (س) س ^ 2 )

مثال ( PageIndex {13} ): توسيع قاعدة المنتج

بالنسبة إلى (k (x) = f (x) g (x) h (x) ) ، عبر عن (k ′ (x) ) بدلالة (f (x) ، g (x) ، h ( خ) ) ومشتقاتها.

المحلول

يمكننا التفكير في الوظيفة (k (x) ) على أنها ناتج الدالة (f (x) g (x) ) والدالة (h (x) ). أي ، (ك (س) = (و (س) ز ​​(س)) ⋅ ح (س) ). هكذا،

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) ⋅h (x) + dfrac {d} {dx} (h (x)) ⋅ (f ( x) g (x)). ) طبق قاعدة المنتج على productoff (x) g (x) andh (x).

(= (f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) h) (x) + h ′ (x) f (x) g (x) ) طبق قاعدة الضرب على (و (س) ز ​​(خ) ) )

(= f ′ (x) g (x) h (x) + f (x) g ′ (x) h (x) + f (x) g (x) h ′ (x). ) بسّط.

مثال ( PageIndex {14} ): الجمع بين قاعدة الحاصل وقاعدة المنتج

بالنسبة إلى (h (x) = dfrac {2x3k (x)} {3x + 2} ) ، ابحث عن (h ′ (x) ).

المحلول

هذا الإجراء نموذجي لإيجاد مشتقة دالة كسرية.

(h ′ (x) = dfrac { dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ⋅ (3x + 2) - dfrac {d} {dx} (3x + 2) ⋅ (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) طبق قاعدة خارج القسمة

(= dfrac {(6x ^ 2k (x) + k ′ (x) ⋅2x ^ 3) (3x + 2) −3 (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) طبق قاعدة المنتج لإيجاد ( dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ). استخدم ( dfrac {d} {dx} (3x + 2) = 3 ).

(= dfrac {−6x ^ 3k (x) + 18x ^ 3k (x) + 12x ^ 2k (x) + 6x ^ 4k ′ (x) + 4x ^ 3k ′ (x)} {(3x + 2) ^ 2} ) بسّط

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد ( dfrac {d} {dx} (3f (x) −2g (x)). )

تلميح

طبق قاعدة الفرق وقاعدة المضاعفات الثابتة.

إجابه

(3f ′ (x) −2g ′ (x). )

مثال ( PageIndex {15} ): تحديد مكان وجود ظل أفقي للدالة

حدد قيم (x ) التي لها (f (x) = x ^ 3−7x ^ 2 + 8x + 1 ) خط مماس أفقي.

المحلول

لإيجاد قيم (x ) التي لها (f (x) ) خط مماس أفقي ، يجب علينا حل (f ′ (x) = 0 ).

منذ

[f ′ (x) = 3x ^ 2−14x + 8 = (3x − 2) (x − 4)، ]

يجب أن نحل ((3x − 2) (x − 4) = 0 ). وهكذا نرى أن للدالة خطوط ظل أفقية عند (x = dfrac {2} {3} ) و (x = 4 ) كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل ( PageIndex {2} ): تحتوي هذه الوظيفة على خطوط ظل أفقية عند (س = 2/3 ) و (س = 4 ).

مثال ( PageIndex {16} ): البحث عن السرعة

يتم تحديد موضع كائن على محور إحداثيات في الوقت (t ) من خلال (s (t) = dfrac {t} {t ^ 2 + 1}. ) ما السرعة الابتدائية للجسم؟

المحلول

نظرًا لأن السرعة الابتدائية هي (v (0) = s ′ (0) ، ) ابدأ بإيجاد (s ′ (t) ) بتطبيق قاعدة خارج القسمة:

(s ′ (t) = dfrac {1 (t2 + 1) −2t (t)} {(t ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {1 − t ^ 2} {(^ t2 + 1 ) ^ 2} ).

بعد التقييم ، نرى أن (v (0) = 1. )

تمرين ( PageIndex {10} )

أوجد قيم x التي يكون فيها خط المماس للرسم البياني (f (x) = 4x ^ 2−3x + 2 ) له خط مماس موازٍ للخط (y = 2x + 3. )

تلميح

حل (f ′ (x) = 2 ).

إجابه

( dfrac {5} {8} )

مدرجات فورمولا 1

يمكن أن تكون سباقات سيارات Formula One مثيرة للغاية لمشاهدة وجذب الكثير من المتفرجين. يتعين على مصممي حلبات الفورمولا 1 التأكد من توفر مساحة كافية للمدرج حول المسار لاستيعاب هؤلاء المشاهدين. ومع ذلك ، يمكن أن يكون سباق السيارات خطيرًا ، كما أن اعتبارات السلامة لها أهمية قصوى. يجب وضع المدرجات حيث لن يكون المتفرجون في خطر إذا فقد السائق السيطرة على السيارة (الشكل).

الشكل ( PageIndex {3} ): المدرج بجوار مضمار السباق Circuit de Barcelona-Catalunya مباشرة ، حيث لا يكون المتفرجون في خطر.

السلامة بشكل خاص مصدر قلق عند المنعطفات. إذا لم يبطئ السائق بشكل كافٍ قبل دخول المنعطف ، فقد تنزلق السيارة عن مضمار السباق. عادة ، ينتج عن هذا فقط انعطاف أوسع ، مما يؤدي إلى إبطاء السائق. ولكن إذا فقد السائق السيطرة تمامًا ، فقد تطير السيارة بعيدًا عن المسار تمامًا ، على مسار مماس لمنحنى مضمار السباق.

لنفترض أنك تصمم مسارًا جديدًا للفورمولا 1. يمكن نمذجة قسم واحد من المسار بواسطة الوظيفة (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ) (الشكل). تدعو الخطة الحالية إلى بناء المدرجات على طول المسار الأول مباشرة وحول جزء من المنحنى الأول. تتطلب الخطط وضع الركن الأمامي للمدرج عند النقطة ( (- 1.9،2.8 )). نريد تحديد ما إذا كان هذا الموقع يعرض المتفرجين للخطر إذا فقد السائق السيطرة على السيارة.

الشكل ( PageIndex {4} ): (أ) يمكن نمذجة قسم واحد من مضمار السباق من خلال الوظيفة (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ). (ب) يقع الركن الأمامي للمدرج في ( (- 1.9،2.8 )).

  1. لقد قرر الفيزيائيون أن السائقين من المرجح أن يفقدوا السيطرة على سياراتهم لأنها تقترب من منعطف ، عند النقطة التي يكون فيها ميل خط الظل هو 1. ابحث عن ((x ، y) ) إحداثيات هذه النقطة بالقرب من المنعطف.
  2. أوجد معادلة خط المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
  3. لتحديد ما إذا كان المتفرجون في خطر في هذا السيناريو ، ابحث عن إحداثي x للنقطة التي يتقاطع فيها خط الظل مع الخط (y = 2.8 ). هل هذه النقطة بأمان على يمين المدرج؟ أم المتفرجون في خطر؟
  4. ماذا لو فقد السائق السيطرة قبل مشروع الفيزيائيين؟ لنفترض أن السائق فقد السيطرة عند النقطة ( (- 2.5،0.625 )). ما هو ميل خط المماس عند هذه النقطة؟
  5. إذا فقد السائق السيطرة كما هو موضح في الجزء 4 ، فهل المتفرجون في أمان؟
  6. هل يجب المضي قدمًا في التصميم الحالي للمدرج ، أم يجب نقل المدرجات؟

المفاهيم الرئيسية

  • مشتق دالة ثابتة هو صفر.
  • مشتق دالة الطاقة هو دالة تصبح فيها القوة على (س ) معامل المصطلح وتقل القوة على (س ) في المشتق بمقدار 1.
  • مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت في المشتق.
  • مشتق مجموع الدالة f والدالة g هو نفس مجموع مشتق f ومشتق g.
  • مشتق فرق الدالتين f والدالة g هو نفس الاختلاف بين مشتق f ومشتق g.
  • مشتق من دالتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية زائد مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى.
  • مشتق خارج قسمة وظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية مطروحًا منه مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى ، وكل ذلك مقسومًا على مربع الدالة الثانية.
  • استخدمنا التعريف المحدود للمشتق لتطوير الصيغ التي تسمح لنا بإيجاد المشتقات دون اللجوء إلى تعريف المشتق. يمكن استخدام هذه الصيغ منفردة أو مع بعضها البعض.

قائمة المصطلحات

قاعدة متعددة ثابتة
مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت: ( dfrac {d} {dx} (cf (x)) = cf ′ (x) )
حكم ثابت
مشتق دالة ثابتة هو صفر: ( dfrac {d} {dx} (c) = 0 ) ، حيث c هو ثابت
حكم الاختلاف
مشتق فرق الدالة f والدالة g هو نفس الاختلاف في مشتق f ومشتق g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x) ) = f ′ (x) −g ′ (x) )
حكم القوة
مشتق دالة الطاقة هي دالة تصبح فيها القوة الموجودة على (س ) هي معامل المصطلح وتقل القدرة على (س ) في المشتق بمقدار 1: إذا كان (n ) عددًا صحيحًا ، ثم ( dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1} )
سيادة المنتج
مشتق منتج لوظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية بالإضافة إلى مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى: ( dfrac {d} {dx} (f (x) g (x) ) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) )
حكم حاصل القسمة
مشتق خارج قسمة وظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية مطروحًا منه مشتق الدالة الثانية مضروبًا في الدالة الأولى ، وكلها مقسومة على مربع الدالة الثانية: ( dfrac {d} {dx } ( dfrac {f (x)} {g (x))} = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2 } )
حكم المجموع
مشتق مجموع الدالة f والدالة g هو نفس مجموع مشتق f ومشتق g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x) ) = f ′ (x) + g ′ (x) )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


القاعدة 3.4: الإنصاف في مواجهة معارضة الحزب والمحامي

(أ) عرقلة وصول طرف آخر إلى الأدلة بشكل غير قانوني أو تغيير أو إتلاف أو إخفاء مستند أو مواد أخرى ذات قيمة إثباتية محتملة بشكل غير قانوني. لا يجوز للمحامي تقديم المشورة أو مساعدة شخص آخر للقيام بأي عمل من هذا القبيل

(ب) تزوير الأدلة أو تقديم المشورة أو مساعدة الشاهد على الإدلاء بشهادته زوراً ، أو تقديم إغراء لشاهد يحظره القانون

(ج) عصيان التزامًا بموجب قواعد هيئة التحكيم عن عمد باستثناء الرفض الصريح القائم على تأكيد عدم وجود التزام صحيح

(د) في إجراء ما قبل المحاكمة ، تقدم بطلب اكتشاف تافه أو تفشل في بذل جهد معقول إلى حد معقول للامتثال لطلب اكتشاف صحيح قانونيًا من قبل طرف معارض

(هـ) أثناء المحاكمة ، يلمح إلى أي مسألة لا يعتقد المحامي بشكل معقول أنها ذات صلة أو لن تكون مدعومة بأدلة مقبولة ، أو تأكيد المعرفة الشخصية بالوقائع المعنية إلا عند الإدلاء بشهادته كشاهد ، أو إبداء رأي شخصي بشأن عدالة القضية ، مصداقية الشاهد ، ذنب المدعي المدني أو ذنب أو براءة المتهم أو

(و) مطالبة أي شخص آخر غير العميل بالامتناع عن تقديم المعلومات ذات الصلة طواعية لطرف آخر ما لم:

(1) إذا كان الشخص قريبًا أو موظفًا أو وكيلًا آخر للعميل و

(2) يعتقد المحامي بشكل معقول أن مصالح الشخص لن تتأثر سلبًا بالامتناع عن إعطاء مثل هذه المعلومات.


المشتقات

على سبيل المثال ، قبول اللحظة الحالية بأن مشتق sin x هو cos x (الدرس 12):

المشكلة 1. احسب مشتق × 2
الخطيئة x
.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").
هل المشكلة بنفسك أولا!

sin x & middot 2 x & ناقص x 2 cos x
الخطيئة 2 x

المشكلة 2. استخدم قاعدة السلسلة لحساب مشتق

الخطيئة 2 x
× 3
.
x 3 & middot 2 sin x cos x & ناقص sin 2 x & middot 3 x 2
× 6
= x 2 sin x (2 x cos x & ناقص 3 sin x)
× 6
= الخطيئة x (2 x cos x & ناقص 3 sin x)
× 4
المشكلة 3. احسب مشتق × 2 وناقص 5 × وناقص 6
2 × + 1
.
(2 × + 1) (2 × & ناقص 5) & ناقص (× 2 & ناقص 5 × & ناقص 6) & متوسط ​​2
(2 × + 1) 2
= 4 × 2 & ناقص 8 × & ناقص 5 & ناقص 2 × 2 + 10 × + 12
(2 × + 1) 2
= 2 × 2 + 2 × + 7
(2 × + 1) 2
المشكلة 4. احسب مشتق 3 × 2 ناقص × + 4
.

إثبات قاعدة حاصل القسمة

دليل - إثبات. بما أن g = g (x) ، إذن

د
dx
1
ز
= د
د
1
ز
و middot د
dx
= & ناقص 1
ز 2
ز '

وفقًا لقاعدة السلسلة والمسألة 4 في الدرس الخامس.

لذلك ، وفقًا لقاعدة حاصل الضرب (الدرس 6) ،

هذه هي قاعدة خارج القسمة التي أردنا إثباتها.

هذه معادلة دائرة نصف قطرها r. (الدرس 17 من حساب التفاضل والتكامل.)

للقيام بذلك ، يمكننا إيجاد قيمة y ثم أخذ المشتقة. لكن بدلاً من القيام بذلك ، سنأخذ مشتق كل مصطلح. بالنسبة إلى y 2 ، فإننا نعتبرها ضمنيًا دالة في x ، وبالتالي يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة عليها. ثم سنحل ل.

د
dx
× 2 + د
dx
ص 2 = د
dx
ص 2
2 س + 2 ص دى
dx
= 0
دى
dx
= &ناقص x
ذ
.

وهذا ما يسمى التمايز الضمني. We treat y as a function of x and apply the chain rule. The derivative that results generally contains both x and y .

Problem 5. 15 y + 5 y 3 + 3 y 5 = 5 x 3 . Calculate y' .

15 y' + 15 y 2 y' + 15 y 4 y' = 15 x 2
y' (1 + y 2 + y 4 ) = × 2
y' = × 2
1 + y 2 + y 4
Problem 6. Calculate y' .
= 0
=
y' =

a) what is the y -coördinate when x = &minus3?

b) What is the slope of the tangent to the circle at (&minus3, 4)?

c) What is the slope of the tangent to the circle at (&minus3, &minus4)?

Problem 8. In the first quadrant, what is the slope of the tangent to this circle,

[Hint: 5 2 + 12 2 = 13 2 is a Pythagorean triple.]

In the first quadrant, when x = 6, y = 10.

y' = &minus x &minus 1
y + 2
. Therefore the slope is &minus 6 &minus 1
10 + 2
= &minus 5
12

Problem 9. Calculate the slope of the tangent to this curve at (2, &minus1):

3 x 2 &minus (3 x · 2 y y' + y 2 · 3) + 3 y 2 y' = 0
according to the product rule.
3 x 2 &minus 6 x y y' &minus 3 y 2 + 3 y 2 y' = 0
x 2 &minus 2 x y y' &minus y 2 + y 2 y' = 0
y' ( y 2 &minus 2 xy ) = y 2 &minus x 2
y' = y 2 &minus x 2
y 2 &minus 2 xy
Therefore, at (2, &minus1):
y' = (&minus1) 2 &minus 2 2
(&minus1) 2 &minus 2 · 2 · &minus1
= &minus3
5
= &minus 3
5

The derivative of an inverse function

When we have a function y = f ( x ) -- for example

-- then we can often solve for x . In this case,

On exchanging the variables, we have

And let us call f the direct function and g the inverse function . The formal relationship between f and g is the following:

Here are other pairs of direct and inverse functions:

و (خ) = sin x g ( x ) = arcsin x
و (خ) = a x g ( x ) = log a x
و (خ) = × 3 g ( x ) =

Now, when we know the derivative of the direct function f , then from it we can determine the derivative of g .

Thus, let g ( x ) be the inverse of f ( x ). ثم

Now take the derivative with respect to x :

This implies the following:

نظرية. If g ( x ) is the inverse of f ( x ), then

"The derivative of an inverse function is equal to

the reciprocal of the derivative of the direct function

when its argument is the inverse function."

Example. Let f ( x ) = x 2 , and Then f ( g ) = g 2 .

Please make a donation to keep TheMathPage online.
Even $1 will help.


3.4: (and 3.4) Differentiation Rules

This is Liberate, a tool that first automatically reverse-engineer the classifying methods used for traffic differentiation. Then exploit different possible methods to evade being classified.

Only supports linux machine so far.

Install Wireshark and tshark

Have your own replay server ready (different machine than the client machine in order for your traffic to travel through the tested network). Then in python_lib.py, add your own server name and IP address pair in the class Instance (e.g. server1 and 1.2.3.4).

  • Get record replay, you can record the network traffic yourself (using Wireshark) or use the replays provided here (e.g., traffic recorded when watching Youtube). Please remember to clean up the traffic (i.e., only leave the one connection that are of interest in the pcap file) if you would like to record traffic yourself for analysis. Example code of extracting only the traffic on port 80 from replay.pcap and storing into cleanedreplay.pcap.
  • Parse the record replay. You need to parse the pcap file into file that can be loaded by the replay client and server. You also need to create the random (or bit inverted) replay for controlled experiment. The first command is to parse the replay, and the second one is to create a replay file with all payload randomized. You can also create replay with bit inverted instead of randomizing the payload, for that, you need to use the parameters '--randomPayload=True --invertBit=True'.
  • Determine what is the metrics used to determine differentiation. Some example metrics are 1. Whether the replay is blocked, using replayResult the return value from calling replay_client, its value is either 'Finish' or 'Block'. 2. Performance analysis, checking whether this replay shows different performance than the original replay (the first replay with unmodified traffic). 3. Use keyboard to type classification result. You can also supply you own method (i.e., get account info for zero-rating tests) to get more metrics. Modify the runReplay method in ClassifierAnalysis.py to determine the classification result of each replay from those metrics.

If you choose to check whether the performance of the replays are the same, you need to uncomment the code that is in the Beginning of asking the replay analyzer for performance difference block in the runReplay method, the code there compares the performance of this replay against the original one. But remember you need to have a replay_analyzer running on the server in this case.

Right now, the main analysis script (LiberateAnalysis.py) only does differentiation detection, reverse engineering and evasion evaluation. If you want to deploy the LiberateProxy with succeeded evasion technique after the previous analysis steps, please uncomment the Step 4 block in the main method.

  • First you need to provide the paths to the record replays into the folders.txt file. For example, make it a single line file with '/path/to/Youtube'
  • If you need performance analysis, you need a replay analyzer running at the same time, which will compare the throughput for each replay against the original replay to detect differentiation:

ال pcap_folder specifies where the replay traffic is. num_packets is the number of packets that you want to check for matching contents, for example, 1 means only randomizing the first packet to determine whether there are matching contents there. serverInstance is the server name that you supplied in python_lib.py.

The replay record will be stored on your server in the result directory specified in the configs_local.cfg file, the default path is /data/.

لو --doTCPDUMP=True is provided as a parameter, each replay will also be saved in the results directory as a pcap file on the client.


II COSTS MANAGEMENT

Application of this Section and the purpose of costs management

(1) This Section and Practice Direction 3E apply to all Part 7 multi-track cases, except&mdash

(a) where the claim is commenced on or after 22nd April 2014 and the amount of money claimed as stated on the claim form is £10 million or more or

(b) where the claim is commenced on or after 22nd April 2014 and is for a monetary claim which is not quantified or not fully quantified or is for a non-monetary claim and in any such case the claim form contains a statement that the claim is valued at £10 million or more or

(c) where in proceedings commenced on or after 6th April 2016 a claim is made by or on behalf of a person under the age of 18 (a child) (and on a child reaching majority this exception will continue to apply unless the court otherwise orders) or

(d) where the proceeding are the subject of fixed costs or scale costs or

(e) the court otherwise orders.

(1A) This Section and Practice Direction 3E will apply to any other proceedings (including applications) where the court so orders.

(2) The purpose of costs management is that the court should manage both the steps to be taken and the costs to be incurred by the parties to any proceedings (or variation costs as provided in rule 3.15A) so as to further the overriding objective.

Filing and exchanging budgets and budget discussion reports

(1) Unless the court otherwise orders, all parties except litigants in person must file and exchange budgets&mdash

(a) where the stated value of the claim on the claim form is less than £50,000, with their directions questionnaires or

(b) in any other case, not later than 21 days before the first case management conference.

(2) In the event that a party files and exchanges a budget under paragraph (1), all other parties, not being litigants in person, must file an agreed budget discussion report no later than 7 days before the first case management conference.

(a) may, on its own initiative or on application, order the parties to file and exchange costs budgets in a case where the parties are not otherwise required by this Section to do so

(b) shall (other than in an exceptional case) make an order to file and exchange costs budgets if all parties consent to an application for such an order.

(4) The court may, in a substantial case, direct that budgets are to be limited in the first instance to part only of the proceedings and extended later to cover the whole proceedings.

(5) Every budget must be dated and verified by a statement of truth signed by a senior legal representative of the party.

(6) Even though a litigant in person is not required to prepare a budget, each other party (other than a litigant in person) must provide the litigant in person with a copy of that party's budget.

Failure to file a budget

3.14 Unless the court otherwise orders, any party which fails to file a budget despite being required to do so will be treated as having filed a budget comprising only the applicable court fees.

Costs management orders

(1) In addition to exercising its other powers, the court may manage the costs to be incurred (the budgeted costs) by any party in any proceedings.

(2) The court may at any time make a &lsquocosts management order&rsquo. Where costs budgets have been filed and exchanged the court will make a costs management order unless it is satisfied that the litigation can be conducted justly and at proportionate cost in accordance with the overriding objective without such an order being made. By a costs management order the court will&mdash

(a) record the extent to which the budgeted costs are agreed between the parties

(b) in respect of the budgeted costs which are not agreed, record the court&rsquos approval after making appropriate revisions

(c) record the extent (if any) to which incurred costs are agreed.

(3) If a costs management order has been made, the court will thereafter control the parties&rsquo budgets in respect of recoverable costs.

(4) Whether or not the court makes a costs management order, it may record on the face of any case management order any comments it has about the incurred costs which are to be taken into account in any subsequent assessment proceedings.

(5) Save in exceptional circumstances&mdash

(a )the recoverable costs of initially completing Precedent H (the form to be used for a costs budget) shall not exceed the higher of&mdash

(ii) 1% of the total of the incurred costs (as agreed or allowed on assessment) and the budgeted costs (agreed or approved) and

(b) all other recoverable costs of the budgeting and costs management process shall not exceed 2% of the total of the incurred costs (as agreed or allowed on assessment) and the budgeted (agreed or approved) costs.

(Precedent H is annexed to Practice Direction 3E.)

(6) The court may set a timetable or give other directions for future reviews of budgets.

(7) After a party's budgeted costs have been approved or agreed, the party must re-file and re-serve the budget&mdash

(a) in the form approved or agreed with re-cast figures and

(b) annexed to the order approving the budgeted costs or recording the parties' agreement.

(8) A costs management order concerns the totals allowed for each phase of the budget, and while the underlying detail in the budget for each phase used by the party to calculate the totals claimed is provided for reference purposes to assist the court in fixing a budget, it is not the role of the court in the costs management hearing to fix or approve the hourly rates claimed in the budget.

Revision and variation of costs budgets on account of significant developments (&ldquovariation costs&rdquo)

(1) A party (&ldquothe revising party&rdquo) must revise its budgeted costs upwards or downwards if significant developments in the litigation warrant such revisions.

(2) Any budgets revised in accordance with paragraph (1) must be submitted promptly by the revising party to the other parties for agreement, and subsequently to the court, in accordance with paragraphs (3) to (5).

(3) The revising party must&mdash

(a) serve particulars of the variation proposed on every other party, using the form prescribed by Practice Direction 3E

(b) confine the particulars to the additional costs occasioned by the significant development and

(c) certify, in the form prescribed by Practice Direction 3E, that the additional costs are not included in any previous budgeted costs or variation.

(4) The revising party must submit the particulars of variation promptly to the court, together with the last approved or agreed budget, and with an explanation of the points of difference if they have not been agreed.

(5) The court may approve, vary or disallow the proposed variations, having regard to any significant developments which have occurred since the date when the previous budget was approved or agreed, or may list a further costs management hearing.

(6) Where the court makes an order for variation, it may vary the budget for costs related to that variation which have been incurred prior to the order for variation but after the costs management order.

Costs management conferences

(1) Any hearing which is convened solely for the purpose of costs management (for example, to approve a revised budget) is referred to as a &lsquocosts management conference&rsquo.

(2) Where practicable, costs management conferences should be conducted by telephone or in writing.

Court to have regard to budgets and to take account of costs

(1) When making any case management decision, the court will have regard to any available budgets of the parties and will take into account the costs involved in each procedural step.

(2) Paragraph (1) applies whether or not the court has made a costs management order.

(3) Subject to rule 3.15A, the court&mdash

(a) may not approve costs incurred up to and including the date of any costs management hearing but

(b) may record its comments on those costs and take those costs into account when considering the reasonableness and proportionality of all budgeted costs.

(4) If an interim application is made but is not included in a budget, the court may, if it considers it reasonable not to have included the application in the budget, treat the costs of such interim application as additional to the approved budgets.

Assessing costs on the standard basis where a costs management order has been made

3.18 In any case where a costs management order has been made, when assessing costs on the standard basis, the court will &ndash

(a) have regard to the receiving party&rsquos last approved or agreed budgeted costs for each phase of the proceedings

(b) not depart from such approved or agreed budgeted costs unless satisfied that there is good reason to do so and

(c) take into account any comments made pursuant to rule 3.17(3) and recorded on the face of the order.

(Attention is drawn to rules 44.3(2)(a) and 44.3(5), which concern proportionality of costs.)


Difference of two squares

By the commutative law, the middle two terms cancel:

The resulting identity is one of the most commonly used in mathematics. Among many uses, it gives a simple proof of the AM–GM inequality in two variables.

Conversely, if this identity holds in a ring ص for all pairs of elements أ و ب، من ثم ص is commutative. To see this, apply the distributive law to the right-hand side of the equation and get

for all pairs أ, ب, so ص is commutative.

Factorization of polynomials and simplification of expressions Edit

The formula for the difference of two squares can be used for factoring polynomials that contain the square of a first quantity minus the square of a second quantity. For example, the polynomial x 4 − 1 -1> can be factored as follows:

x 2 − y 2 + x − y = ( x + y ) ( x − y ) + x − y = ( x − y ) ( x + y + 1 ) -y^<2>+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)>

Moreover, this formula can also be used for simplifying expressions:

( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = ( a + b + a − b ) ( a + b − a + b ) = ( 2 a ) ( 2 b ) = 4 a b -(a-b)^<2>=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab>

Complex number case: sum of two squares Edit

The difference of two squares is used to find the linear factors of the مجموع of two squares, using complex number coefficients.

Since the two factors found by this method are complex conjugates, we can use this in reverse as a method of multiplying a complex number to get a real number. This is used to get real denominators in complex fractions. [1]

Rationalising denominators Edit

The difference of two squares can also be used in the rationalising of irrational denominators. [2] This is a method for removing surds from expressions (or at least moving them), applying to division by some combinations involving square roots.

Mental arithmetic Edit

The difference of two squares can also be used as an arithmetical short cut. If two numbers (whose average is a number which is easily squared) are multiplied, the difference of two squares can be used to give you the product of the original two numbers.

Using the difference of two squares, 27 × 33 can be restated as

Difference of two consecutive perfect squares Edit

The difference of two consecutive perfect squares is the sum of the two bases ن و ن+1. This can be seen as follows:

Therefore, the difference of two consecutive perfect squares is an odd number. Similarly, the difference of two arbitrary perfect squares is calculated as follows:

Therefore, the difference of two even perfect squares is a multiple of 4 and the difference of two odd perfect squares is a multiple of 8.

Factorization of integers Edit

The identity also holds in inner product spaces over the field of real numbers, such as for dot product of Euclidean vectors:

The proof is identical. By the way, assuming that أ و ب have equal norms (which means that their dot squares are equal), it demonstrates analytically the fact that two diagonals of a rhombus are perpendicular. This follows from the left side of the equation being equal to zero, requiring the right side to equal zero as well, and so the vector sum of أ + ب (the long diagonal of the rhombus) dotted with the vector difference أ - ب (the short diagonal of the rhombus) must equal zero, which indicates the diagonals are perpendicular.

Difference of two nth powers Edit

لو أ و ب are two elements of a commutative ring ص, then a n − b n = ( a − b ) ( ∑ k = 0 n − 1 a n − 1 − k b k ) -b^=left(a-b ight)left(sum _^a^b^ ight)> .

Historically, the Babylonians used the difference of two squares to calculate multiplications. [3]


Rules for Rounding Off Numbers

Rule 1: Determine what your rounding digit is and look at the digit to the right of it ( highlighted digit ).If the highlighted digit is 1, 2, 3, 4 simply drop all digits to the right of rounding digit.
مثال:
3.42 3 may be rounded off to 3.42 when rounded off to the nearest hundredths place.
3.4 2 3 may be rounded off to 3.4 when rounded off to the nearest tenths place
3. 4 23 may be rounded off to 3 when rounded off to the nearest units place.

Rule 2: Determine what your rounding digit is and look at the digit to the right of it ( highlighted digit ).If the highlighted digit is 5, 6, 7, 8, 9 add one to the rounding digit and drop all digits to the right of rounding digit.
مثال:
2.78 6 may be rounded off to 2.79 when rounded off to the nearest hundredths place.
2.7 8 6 may be rounded off to 2.8 when rounded off to the nearest tenths place.
2. 7 86 may be rounded off to 3 when rounded off to the nearest units place.
2.8 5 6 may be rounded off to 2.9 when rounded off to the nearest tenths place.

Exception to Rule 2: When the first digit dropped is 5 and there are no digits following or the digits following are zeros, make the preceding digit even (i.e., round off to the nearest even digit).
مثال:
2.31 5 and 2.32 5 are both 2.32 when rounded off to the nearest hundredths place.


Examples and tips regarding the EGEE 102 Home Activities:

أ. Avoid rounding off small whole numbers

ب. While rounding small numbers involving decimals don’t round off before the nearest hundredths place.

• 45.67844 should be rounded off preferably to 45.68 or 45.678 or 45.6784 and not to 45.7 or 46 to avoid errors.

• This tip need not be used for numbers >100 because the error involved is small.

ج. 2. 9 8 4 may be rounded off to 3 if the rounding is done either to the nearest units or tenths.


Four a day is all you get

In it, Burkeman writes about one of the few hard-and-fast rules of time management he's discovered. "You almost certainly can't consistently do the kind of work that demands serious mental focus for more than about three or four hours a day," he declares. "It's positively spooky how frequently this three-to-four-hour range crops up in accounts of the habits of the famously creative."

He goes on to mention a distinguished list of thinkers, from Charles Darwin to Ingmar Bergman, who put in around this many hours of work a day. This might sound like a shockingly short workday, but it was no surprise to me. I have also previously covered the huge range of evidence from science, the biographies of geniuses, and even anthropology that pretty much proves our brains only have around four hours a day of work in them.

Sure, you can work your way through mindless admin or assembly-line manual labor for far longer, but when it comes to concentrated intellectual effort, humans face a hard biological limit. White-collar professionals generally reach it way before the workday ends.


3.4: (and 3.4) Differentiation Rules

Faster subsequent builds with the --incremental flag

TypeScript 3.4 introduces a new flag called --incremental which tells TypeScript to save information about the project graph from the last compilation. The next time TypeScript is invoked with --incremental , it will use that information to detect the least costly way to type-check and emit changes to your project.

By default with these settings, when we run tsc , TypeScript will look for a file called .tsbuildinfo in the output directory ( ./lib ). If ./lib/.tsbuildinfo doesn’t exist, it’ll be generated. But if it does, tsc will try to use that file to incrementally type-check and update our output files.

These .tsbuildinfo files can be safely deleted and don’t have any impact on our code at runtime - they’re purely used to make compilations faster. We can also name them anything that we want, and place them anywhere we want using the --tsBuildInfoFile flag.

Part of the intent with composite projects ( tsconfig.json s with composite set to true ) is that references between different projects can be built incrementally. As such, composite projects will always produce .tsbuildinfo files.

When outFile is used, the build information file’s name will be based on the output file’s name. As an example, if our output JavaScript file is ./output/foo.js , then under the --incremental flag, TypeScript will generate the file ./output/foo.tsbuildinfo . As above, this can be controlled with the --tsBuildInfoFile flag.

Higher order type inference from generic functions

TypeScript 3.4 can now produce generic function types when inference from other generic functions produces free type variables for inferences. This means many function composition patterns now work better in 3.4.

To get more specific, let’s build up some motivation and consider the following compose function:

compose takes two other functions:

  • f which takes some argument (of type A ) and returns a value of type B
  • g which takes an argument of type B (the type f returned), and returns a value of type C

compose then returns a function which feeds its argument through f and then g .

When calling this function, TypeScript will try to figure out the types of A , B , and C through a process called type argument inference. This inference process usually works pretty well:

The inference process is fairly straightforward here because getDisplayName and getLength use types that can easily be referenced. However, in TypeScript 3.3 and earlier, generic functions like compose didn’t work so well when passed other generic functions.

In older versions, TypeScript would infer the empty object type ( <> ) when inferring from other type variables like T and U .

During type argument inference in TypeScript 3.4, for a call to a generic function that returns a function type, TypeScript will, as appropriate, propagate type parameters from generic function arguments onto the resulting function type.

In other words, instead of producing the type

TypeScript 3.4 produces the type

Notice that T has been propagated from makeArray into the resulting type’s type parameter list. This means that genericity from compose ’s arguments has been preserved and our makeBoxedArray sample will just work!

Improvements for ReadonlyArray and readonly tuples

TypeScript 3.4 makes it a little bit easier to use read-only array-like types.

A new syntax for ReadonlyArray

The ReadonlyArray type describes Array s that can only be read from. Any variable with a reference to a ReadonlyArray can’t add, remove, or replace any elements of the array.

While it’s good practice to use ReadonlyArray over Array when no mutation is intended, it’s often been a pain given that arrays have a nicer syntax. Specifically, number[] is a shorthand version of Array<number> , just as Date[] is a shorthand for Array㳚te> .

TypeScript 3.4 introduces a new syntax for ReadonlyArray using a new readonly modifier for array types.

TypeScript 3.4 also introduces new support for readonly tuples. We can prefix any tuple type with the readonly keyword to make it a readonly tuple, much like we now can with array shorthand syntax. As you might expect, unlike ordinary tuples whose slots could be written to, readonly tuples only permit reading from those positions.

The same way that ordinary tuples are types that extend from Array - a tuple with elements of type T1 , T2 , … Tن extends from Array< T1 | تي2 | … Tن > - readonly tuples are types that extend from ReadonlyArray . So a readonly tuple with elements T1 , T2 , … Tن extends from ReadonlyArray< T1 | تي2 | … Tن .

readonly mapped type modifiers and readonly arrays

In earlier versions of TypeScript, we generalized mapped types to operate differently on array-like types. This meant that a mapped type like Boxify could work on arrays and tuples alike.

Unfortunately, mapped types like the Readonly utility type were effectively no-ops on array and tuple types.

In TypeScript 3.4, the readonly modifier in a mapped type will automatically convert array-like types to their corresponding readonly counterparts.

Similarly, you could write a utility type like Writable mapped type that strips away readonly -ness, and that would convert readonly array containers back to their mutable equivalents.

Despite its appearance, the readonly type modifier can only be used for syntax on array types and tuple types. It is not a general-purpose type operator.

TypeScript 3.4 introduces a new construct for literal values called مقدار ثابت assertions. Its syntax is a type assertion with const in place of the type name (e.g. 123 as const ). When we construct new literal expressions with const assertions, we can signal to the language that

  • no literal types in that expression should be widened (e.g. no going from "hello" to string )
  • object literals get readonly properties
  • array literals become readonly tuples

Outside of .tsx files, the angle bracket assertion syntax can also be used.

This feature means that types that would otherwise be used just to hint immutability to the compiler can often be omitted.

Notice the above needed no type annotations. The const assertion allowed TypeScript to take the most specific type of the expression.

This can even be used to enable enum -like patterns in plain JavaScript code if you choose not to use TypeScript’s enum construct.

One thing to note is that const assertions can only be applied immediately on simple literal expressions.

Another thing to keep in mind is that const contexts don’t immediately convert an expression to be fully immutable.

Type-checking for globalThis

TypeScript 3.4 introduces support for type-checking ECMAScript’s new globalThis - a global variable that, well, refers to the global scope. Unlike the above solutions, globalThis provides a standard way for accessing the global scope which can be used across different environments.

Note that global variables declared with let and const don’t show up on globalThis .

It’s also important to note that TypeScript doesn’t transform references to globalThis when compiling to older versions of ECMAScript. As such, unless you’re targeting evergreen browsers (which already support globalThis ), you may want to use an appropriate polyfill instead.

For more details on the implementation, see the feature’s pull request.

The TypeScript docs are an open source project. Help us improve these pages by sending a Pull Request ❤


Rules Regulating The Florida Bar

The Supreme Court of Florida by these rules establishes the authority and responsibilities of The Florida Bar, an official arm of the court. See the Rules Update page for pending rule changes or other related announcements.

Bookmarks
Google Chrome users must click on the bookmarks icon in the upper right corner of the PDF to view bookmarks.

Internet Explorer users will see bookmarks on the left side of the PDF.


شاهد الفيديو: Math101Section chain rule (شهر نوفمبر 2021).