مقالات

3.2: المجال والمدى


أهداف التعلم

  • أوجد مجال الدالة المحددة بواسطة المعادلة.
  • رسم وظائف محددة متعددة التعريفات

إذا كنت في حالة مزاجية لفيلم مخيف ، فقد ترغب في مشاهدة واحد من أشهر خمسة أفلام رعب على الإطلاق - أنا Legend و Hannibal و The Ring و The Grudge و The Conjuring. يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) المبلغ الذي تم تحقيقه بالدولار لكل فيلم من تلك الأفلام عند إصدارها بالإضافة إلى مبيعات تذاكر أفلام الرعب بشكل عام حسب السنة. لاحظ أنه يمكننا استخدام البيانات لإنشاء دالة للمبلغ الذي حصل عليه كل فيلم أو إجمالي مبيعات التذاكر لجميع أفلام الرعب حسب السنة. عند إنشاء وظائف مختلفة باستخدام البيانات ، يمكننا تحديد مختلف المتغيرات المستقلة والتابعة ، ويمكننا تحليل البيانات والوظائف لتحديد المجال والمدى. في هذا القسم ، سنبحث في طرق تحديد المجال ونطاق الوظائف مثل هذه.

إيجاد مجال دالة معرّفة بواسطة معادلة

في الدالات وترميز الوظيفة ، تعرفنا على مفاهيم المجال والمدى. في هذا القسم ، سنتدرب على تحديد المجالات والنطاقات لوظائف محددة. ضع في اعتبارك أنه عند تحديد المجالات والنطاقات ، نحتاج إلى النظر في ما هو ممكن ماديًا أو ذا مغزى في أمثلة العالم الحقيقي ، مثل مبيعات التذاكر والسنة في مثال فيلم الرعب أعلاه. نحتاج أيضًا إلى التفكير في ما هو مسموح به رياضيًا. على سبيل المثال ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال تقودنا إلى أخذ جذر زوجي لرقم سالب إذا كان المجال والنطاق يتكونان من أرقام حقيقية. أو في دالة يتم التعبير عنها كصيغة ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال في المجال من شأنها أن تقودنا إلى القسمة على 0.

يمكننا تصور المجال على أنه "منطقة احتجاز" تحتوي على "مواد خام" لـ "آلة وظيفية" والنطاق باعتباره "منطقة احتجاز" أخرى لمنتجات الجهاز (الشكل ( PageIndex {2} )).

يمكننا كتابة المجال والمدى في تدوين الفاصل، والذي يستخدم القيم الموجودة بين قوسين لوصف مجموعة من الأرقام. في تدوين الفاصل الزمني ، نستخدم قوسًا مربعًا [عندما تتضمن المجموعة نقطة النهاية وقوسًا (للإشارة إلى أن نقطة النهاية إما غير مضمنة أو أن الفاصل الزمني غير محدود. على سبيل المثال ، إذا كان لدى الشخص 100 دولار أمريكي لإنفاقها ، فسيقوم بحاجة إلى التعبير عن الفترة الزمنية التي تزيد عن 0 وأقل من أو تساوي 100 وكتابة ( left (0، 100 right] ). سنناقش تدوين الفاصل بتفصيل أكبر لاحقًا.

دعنا نوجه انتباهنا إلى إيجاد مجال الوظيفة التي يتم توفير معادلتها. في كثير من الأحيان ، يتضمن العثور على مجال مثل هذه الوظائف تذكر ثلاثة أشكال مختلفة. أولاً ، إذا لم يكن للدالة مقام أو جذر زوجي ، ففكر فيما إذا كان المجال يمكن أن يكون جميع الأعداد الحقيقية. ثانيًا ، إذا كان هناك مقام في معادلة الدالة ، فاستبعد القيم في المجال التي تجبر المقام على أن يكون صفراً. ثالثًا ، إذا كان هناك جذر زوجي ، ففكر في استبعاد القيم التي من شأنها أن تجعل الجذر سالبًا.

قبل أن نبدأ ، دعونا نراجع اصطلاحات تدوين الفاصل الزمني:

  • يتم كتابة أصغر حد من الفترة الزمنية أولاً.
  • يُكتب المصطلح الأكبر في الفترة الزمنية ثانيًا بعد الفاصلة.
  • يتم استخدام الأقواس ، (() أو () ) ، للإشارة إلى عدم تضمين نقطة النهاية ، تسمى حصرية.
  • يتم استخدام الأقواس ، ([) أو (] ) ، للإشارة إلى أن نقطة نهاية مضمنة ، تسمى شاملة.

راجع الشكل ( PageIndex {3} ) للحصول على ملخص لتدوين الفاصل الزمني.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن مجال الوظيفة كمجموعة من الأزواج المرتبة

ابحث عن مجال الوظيفة التالية: ( {(2 ، 10) ، (3 ، 10) ، (4 ، 20) ، (5 ، 30) ، (6 ، 40) } ).

المحلول

حدد أولاً قيم الإدخال. قيمة الإدخال هي الإحداثي الأول في زوج مرتب. لا توجد قيود ، حيث يتم سرد الأزواج المطلوبة ببساطة. المجال هو مجموعة الإحداثيات الأولى للأزواج المرتبة.

[ {2،3،4،5،6 } nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مجال الوظيفة:

[ {(- 5،4)، (0،0)، (5، −4)، (10، −8)، (15، −12) } nonumber ]

إجابه

({−5, 0, 5, 10, 15})

الكيفية: بالنظر إلى دالة مكتوبة في شكل معادلة ، ابحث عن المجال.

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. حدد أي قيود على الإدخال واستبعد تلك القيم من المجال.
  3. اكتب المجال في شكل فاصل ، إن أمكن.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن مجال الوظيفة

أوجد مجال الوظيفة (f (x) = x ^ 2−1 ).

المحلول

قيمة الإدخال ، التي يظهرها المتغير x في المعادلة ، تربيع ثم يتم تخفيض النتيجة بمقدار واحد. يمكن تربيع أي رقم حقيقي ثم خفضه بمقدار واحد ، لذلك لا توجد قيود على مجال هذه الوظيفة. المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

في شكل فاصل ، مجال f هو ((- infty ، infty) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = 5 x + x ^ 3 nonumber ]

إجابه

((- infty، infty) )

Howto: إعطاء دالة مكتوبة في صيغة معادلة تتضمن كسرًا ، أوجد المجال

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. حدد أي قيود على الإدخال. إذا كان هناك مقام في صيغة الدالة ، فاضبط المقام بالصفر وحل من أجل x. إذا كانت صيغة الدالة تحتوي على جذر زوجي ، فاضبط الجذر وقيمة أكبر من أو تساوي 0 ، ثم حلها.
  3. اكتب المجال في شكل فاصل ، مع التأكد من استبعاد أي قيم مقيدة من المجال.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد مجال دالة تتضمن مقامًا

أوجد مجال الوظيفة (f (x) = dfrac {x + 1} {2 − x} ).

المحلول

عندما يكون هناك مقام ، نريد تضمين قيم المدخلات فقط التي لا تجبر المقام على أن يكون صفراً. إذن ، سنساوي المقام بـ 0 ونحل من أجل x.

[ start {align *} 2 − x = 0 [4pt] −x & = - 2 [4pt] x & = 2 end {align *} ]

الآن ، سوف نستبعد 2 من المجال. الإجابات كلها أرقام حقيقية حيث (x <2 ) أو (x> 2 ). يمكننا استخدام رمز يعرف بالاتحاد ، ( كوب ) ، لدمج المجموعتين. في تدوين الفاصل ، نكتب الحل: ((- infty، 2) ∪ (2، infty) ).

في شكل فاصل ، مجال f هو ((- infty ، 2) كوب (2 ، infty) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = dfrac {1 + 4x} {2x − 1} nonumber ]

إجابه

[(- infty، dfrac {1} {2}) كوب ( dfrac {1} {2}، infty) nonumber ]

الكيفية: بالنظر إلى دالة مكتوبة في شكل معادلة تتضمن جذرًا زوجيًا ، ابحث عن المجال.

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. نظرًا لوجود جذر زوجي ، استبعد أي أعداد حقيقية ينتج عنها عدد سالب في الجذر. ضع الجذر على صفر أو يساوي صفرًا وحل من أجل x.
  3. الحل (الحلول) هي مجال الوظيفة. إذا أمكن ، اكتب الإجابة في شكل فاصل.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد مجال دالة ذات جذر زوجي

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = sqrt {7-x} nonumber. ]

المحلول

عندما يكون هناك جذر زوجي في الصيغة ، فإننا نستبعد أي أعداد حقيقية ينتج عنها عدد سالب في الجذر.

ضع الجذر على صفر أو يساوي صفرًا وحل من أجل x.

[ begin {align *} 7 − x & ≥0 [4pt] −x & ≥ − 7 [4pt] x & ≤7 end {align *} ]

الآن ، سوف نستبعد أي رقم أكبر من 7 من المجال. الإجابات كلها أرقام حقيقية أصغر من أو تساوي 7 ، أو ( يسار (- infty ، 7 يمين] ).

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مجال الوظيفة

[f (x) = sqrt {5 + 2x}. لا يوجد رقم]

إجابه

[ يسار [−2.5، infty right) nonumber ]

سؤال وجواب: هل يمكن أن توجد دالات لا يتقاطع فيها المجال والنطاق على الإطلاق؟

نعم فعلا. على سبيل المثال ، الوظيفة (f (x) = - dfrac {1} { sqrt {x}} ) لديها مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة كمجال لها ولكن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية السلبية هي نطاقها. كمثال أكثر تطرفًا ، يمكن أن تكون مدخلات ومخرجات الوظيفة فئات مختلفة تمامًا (على سبيل المثال ، أسماء أيام الأسبوع كمدخلات وأرقام كمخرجات ، كما هو الحال في مخطط الحضور) ، في مثل هذه الحالات ، لا يوجد بين النطاق والنطاق عناصر مشتركة.

استخدام الترميز لتحديد المجال والمدى

في الأمثلة السابقة ، استخدمنا عدم المساواة والقوائم لوصف مجال الوظائف. يمكننا أيضًا استخدام عدم المساواة ، أو غيرها من العبارات التي قد تحدد مجموعات من القيم أو البيانات ، لوصف سلوك المتغير في تدوين منشئ المجموعات. على سبيل المثال ، يصف ( {x | 10≤x <30 } ) سلوك x في طريقة إنشاء المجموعة. تتم قراءة الأقواس ( {} ) على أنها "مجموعة من" ، ويقرأ الشريط العمودي (| ) على أنه "مثل ذلك" ، لذلك نقرأ ( {x | 10≤x < 30 } ) مثل "مجموعة قيم x مثل 10 أصغر من أو يساوي x ، و x أقل من 30."

يقارن الشكل ( PageIndex {4} ) تدوين المتباينة وترميز منشئ المجموعات وتدوين الفاصل الزمني.


لدمج فترتين باستخدام تدوين عدم المساواة أو تدوين مجموعة البناء ، نستخدم كلمة "أو." كما رأينا في الأمثلة السابقة ، نستخدم رمز الاتحاد ( كوب ) للجمع بين فترتين غير متصلين. على سبيل المثال ، اتحاد المجموعات ( {2،3،5 } ) و ( {4،6 } ) هو المجموعة ( {2،3،4،5،6 ) } ). إنها مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى واحدة أو أخرى (أو كليهما) من المجموعتين الأصليتين. بالنسبة للمجموعات التي تحتوي على عدد محدود من العناصر مثل هذه ، لا يلزم إدراج العناصر بترتيب تصاعدي للقيمة الرقمية. إذا كانت المجموعتان الأصليتان تشتركان في بعض العناصر ، فيجب إدراج هذه العناصر مرة واحدة فقط في المجموعة الموحدة. بالنسبة لمجموعات الأعداد الحقيقية على فترات ، هناك مثال آخر على الاتحاد

[ {x | | x | ≥3 } = left (- infty، −3 right] cup left [3، infty right) ]

تدوين Set-Builder وتدوين الفاصل الزمني

تعيين تدوين منشئ هي طريقة لتحديد مجموعة من العناصر التي تفي بشرط معين. يأخذ الشكل ( {x | text {بيان حول x} } ) والذي يُقرأ كـ "مجموعة كل x بحيث تكون العبارة المتعلقة بـ x صحيحة". فمثلا،

[ {x | 4

تدوين الفترة هي طريقة لوصف المجموعات التي تتضمن جميع الأرقام الحقيقية الواقعة بين حد أدنى قد يتم تضمينه أو لا يتم تضمينه والحد الأعلى الذي قد يتم تضمينه أو لا يتم تضمينه. يتم سرد قيم نقطة النهاية بين قوسين أو أقواس. يشير القوس المربع إلى التضمين في المجموعة ، ويشير القوس إلى الاستبعاد من المجموعة. فمثلا،

[ يسار (4،12 يمين] غير رقم ]

إعطاء رسم بياني خطي ، صِف مجموعة القيم باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

  1. حدد الفواصل الزمنية التي سيتم تضمينها في المجموعة عن طريق تحديد مكان تراكب الخط الثقيل مع الخط الحقيقي.
  2. في الطرف الأيسر من كل فترة زمنية ، استخدم [مع كل قيمة نهائية يتم تضمينها في المجموعة (نقطة صلبة) أو (لكل قيمة نهاية مستبعدة (نقطة مفتوحة).
  3. في الطرف الأيمن من كل فترة زمنية ، استخدم] مع كل قيمة نهائية يتم تضمينها في المجموعة (نقطة مملوءة) أو) لكل قيمة نهاية مستبعدة (نقطة مفتوحة).
  4. استخدم رمز الاتحاد ( كوب ) لدمج كل الفترات في مجموعة واحدة.

مثال ( PageIndex {5} ): وصف المجموعات على سطر العدد الحقيقي

صِف فواصل القيم الموضحة في الشكل ( PageIndex {5} ) باستخدام تدوين عدم المساواة وترميز منشئ المجموعات وتدوين الفترة.

المحلول

لوصف القيم ، (س ) ، المضمنة في الفواصل الزمنية الموضحة ، يمكننا القول ، " (س ) هو رقم حقيقي أكبر من أو يساوي 1 وأقل من أو يساوي 3 ، أو رقم حقيقي أكبر من 5. "

عدم المساواة

[1≤x≤3 text {or} x> 5 nonumber ]

تعيين تدوين منشئ

[ {x | 1≤x≤3 text {or} x> 5 } nonumber ]

تدوين الفترة

[[1،3] كوب (5، infty) غير عدد ]

تذكر أنه عند كتابة أو قراءة تدوين الفاصل الزمني ، فإن استخدام قوس مربع يعني أن الحدود مضمنة في المجموعة. استخدام الأقواس يعني عدم تضمين الحدود في المجموعة.

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {6} ) ، حدد المجموعة الرسومية في

  1. كلمات
  2. تعيين تدوين منشئ
  3. تدوين الفاصل
الإجابة أ

القيم التي تكون أصغر من أو تساوي –2 ، أو القيم التي تكون أكبر من أو تساوي -1 وأقل من 3 ؛

الجواب ب

( {x | x≤ − 2 أو −1≤x <3 } )

الجواب ج

( يسار (−∞، −2 يمين] كوب يسار [1،3 يمين) )

البحث عن المجال والمدى من الرسوم البيانية

هناك طريقة أخرى لتحديد مجال ونطاق الوظائف وهي استخدام الرسوم البيانية. نظرًا لأن المجال يشير إلى مجموعة قيم الإدخال المحتملة ، فإن مجال الرسم البياني يتكون من جميع قيم الإدخال الموضحة على المحور x. النطاق هو مجموعة قيم الإخراج المحتملة ، والتي تظهر على المحور ص. ضع في اعتبارك أنه إذا استمر الرسم البياني بعد جزء الرسم البياني الذي يمكننا رؤيته ، فقد يكون النطاق والنطاق أكبر من القيم المرئية. راجع الشكل ( PageIndex {7} ).

يمكننا أن نلاحظ أن الرسم البياني يمتد أفقيًا من −5 إلى اليمين بدون حدود ، وبالتالي فإن المجال هو ( يسار [−5 ، ∞ يمين) ). المدى الرأسي للرسم البياني هو جميع قيم النطاق 5 وأدناه ، لذا يكون النطاق ( left (−∞، 5 right] ). لاحظ أن المجال والنطاق يكتبان دائمًا من القيم الأصغر إلى القيم الأكبر ، أو من من اليسار إلى اليمين للمجال ، ومن أسفل الرسم البياني إلى أعلى الرسم البياني للنطاق.

مثال ( PageIndex {6A} ): البحث عن المجال والمدى من رسم بياني

أوجد مجال ومدى الدالة f التي يظهر رسمها البياني في الشكل 1.2.8.

المحلول

يمكننا أن نلاحظ أن المدى الأفقي للرسم البياني هو –3 إلى 1 ، وبالتالي فإن مجال f هو ( left (−3،1 right] ).

المدى الرأسي للرسم البياني هو من 0 إلى –4 ، لذا فإن النطاق هو ( يسار [−4،0 يمين) ). راجع الشكل ( PageIndex {9} ).

مثال ( PageIndex {6B} ): إيجاد المجال والنطاق من رسم بياني لإنتاج النفط

أوجد مجال ومدى الدالة f التي يظهر رسمها البياني في الشكل ( PageIndex {10} ).

المحلول

كمية المدخلات على طول المحور الأفقي هي "سنوات" ، والتي نمثلها مع المتغير t للوقت. كمية الإنتاج هي "آلاف براميل النفط يوميًا" ، والتي نمثلها بالمتغير b للبرميل. قد يستمر الرسم البياني إلى اليسار وإلى اليمين إلى ما وراء ما يتم عرضه ، ولكن بناءً على جزء الرسم البياني المرئي ، يمكننا تحديد المجال كـ (1973≤t≤2008 ) والنطاق تقريبًا (180≤) ب≤2010 ).

في تدوين الفاصل ، يكون المجال ([1973 ، 2008] ) ، والنطاق حول ([180، 2010] ). بالنسبة للمجال والنطاق ، نقوم بتقريب القيم الأصغر والأكبر نظرًا لأنها لا تقع بالضبط على خطوط الشبكة.

تمرين ( PageIndex {6} )

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {11} ) ، حدد المجال والنطاق باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

إجابه

المجال = ([1950،2002] )

النطاق = ([47،000،000،89،000،000] )

هل يمكن أن يكون مجال ونطاق الوظيفة متماثلين؟

نعم فعلا. على سبيل المثال ، المجال والمدى لوظيفة الجذر التكعيبي كلاهما مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية.

البحث عن مجالات ونطاقات وظائف مجموعة الأدوات

سنعود الآن إلى مجموعة وظائف مجموعة الأدوات الخاصة بنا لتحديد مجال ونطاق كل منها.

بالنسبة إلى وظيفة ثابتة (f (x) = c ) ، يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية ؛ لا توجد قيود على الإدخال. قيمة الإخراج الوحيدة هي الثابت (c ) ، وبالتالي فإن النطاق هو المجموعة ( {c } ) التي تحتوي على هذا العنصر الفردي. في تدوين الفترات ، تتم كتابة هذا كـ ([c، c] ) ، الفاصل الزمني الذي يبدأ وينتهي بـ (c ).


الشكل ( PageIndex {13} ): وظيفة الهوية f (x) = x.

بالنسبة إلى تطابق وظيفي (f (x) = x ) ، لا توجد قيود على (x ). كل من المجال والمدى هما مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

بالنسبة إلى دالة القيمة المطلقة (f (x) = | x | ) ، لا توجد قيود على (x ). ومع ذلك ، نظرًا لتعريف القيمة المطلقة على أنها مسافة من 0 ، يمكن أن يكون الناتج أكبر من أو يساوي 0 فقط.

بالنسبة إلى وظيفة من الدرجة الثانية (f (x) = x ^ 2 ) ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية لأن المدى الأفقي للرسم البياني هو خط الأعداد الحقيقي. نظرًا لأن الرسم البياني لا يتضمن أي قيم سالبة للنطاق ، فإن النطاق عبارة عن أرقام حقيقية غير سالبة فقط.

بالنسبة إلى دالة تكعيبية (f (x) = x ^ 3 ) ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية لأن المدى الأفقي للرسم البياني هو خط الأعداد الحقيقي. الأمر نفسه ينطبق على المدى الرأسي للرسم البياني ، وبالتالي فإن النطاق والمدى يشتملان على جميع الأرقام الحقيقية.

بالنسبة إلى دالة متبادلة (f (x) = dfrac {1} {x} ) ، لا يمكننا القسمة على 0 ، لذلك يجب استبعاد 0 من المجال. علاوة على ذلك ، 1 مقسومًا على أي قيمة لا يمكن أبدًا أن يكون 0 ، وبالتالي فإن النطاق أيضًا لن يشتمل على 0. في تدوين أداة إنشاء المجموعات ، يمكننا أيضًا كتابة ( {x | x ≠ 0 } ) ، مجموعة كل حقيقي الأرقام التي ليست صفرا.

بالنسبة إلى دالة تربيعية متبادلة (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ) ، لا يمكننا القسمة على 0 ، لذا يجب استبعاد 0 من المجال. لا يوجد أيضًا x يمكن أن يعطي ناتجًا بقيمة 0 ، لذلك يتم استبعاد 0 من النطاق أيضًا. لاحظ أن ناتج هذه الوظيفة يكون دائمًا موجبًا بسبب المربع الموجود في المقام ، وبالتالي فإن النطاق يتضمن أرقامًا موجبة فقط.


الشكل ( PageIndex {19} ): دالة الجذر التربيعي (f (x) = sqrt {(x)} ).

بالنسبة إلى دالة الجذر التربيعي (f (x) = sqrt {x} ) ، لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد حقيقي سالب ، لذلك يجب أن يكون المجال 0 أو أكبر. يستبعد النطاق أيضًا الأرقام السالبة لأن الجذر التربيعي لعدد موجب (x ) مُعرَّف بأنه موجب ، على الرغم من أن مربع الرقم السالب (- sqrt {x} ) يعطينا أيضًا (x ) ).

بالنسبة إلى دالة الجذر التكعيبي (f (x) = sqrt [3] {x} ) ، يشتمل المجال والنطاق على جميع الأرقام الحقيقية. لاحظ أنه لا توجد مشكلة في أخذ جذر تكعيبي ، أو أي جذر عدد صحيح فردي ، لرقم سالب ، والمخرجات الناتجة سالبة (إنها دالة فردية).

بالنظر إلى صيغة الدالة ، حدد المجال والمدى.

  1. استبعد من المجال أي قيم إدخال ينتج عنها القسمة على صفر.
  2. استبعد من المجال أي قيم إدخال لها مخرجات رقمية غير حقيقية (أو غير محددة).
  3. استخدم قيم الإدخال الصالحة لتحديد نطاق قيم الإخراج.
  4. انظر إلى الرسم البياني للوظيفة وقيم الجدول لتأكيد سلوك الوظيفة الفعلي.

العثور على المجال والمدى باستخدام وظائف مجموعة الأدوات

أوجد مجال ومدى (f (x) = 2x ^ 3 − x ).

المحلول

لا توجد قيود على المجال ، حيث يمكن تكعيب أي رقم حقيقي ثم طرحه من النتيجة.

المجال هو ((- infty، infty) ) والنطاق هو أيضًا ((- infty، infty) ).

مثال ( PageIndex {7B} ): البحث عن المجال والنطاق

أوجد مجال ومدى (f (x) = frac {2} {x + 1} ).

المحلول

لا يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند −1 لأن القسمة على صفر غير معرفة. المجال هو ((- infty، −1) كوب (−1، infty) ). نظرًا لأن الدالة ليست صفرًا أبدًا ، فإننا نستبعد 0 من النطاق. النطاق هو ((- infty، 0) كوب (0، infty) ).

مثال ( PageIndex {7C} ): البحث عن المجال والنطاق

أوجد مجال ومدى (f (x) = 2 sqrt {x + 4} ).

المحلول

لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، لذا يجب أن تكون القيمة داخل الجذر غير سالبة.

(x + 4≥0 ) عندما (x≥ − 4 )

مجال (f (x) ) هو ([- 4، infty) ).

ثم نوجد النطاق. نعلم أن (f (−4) = 0 ) ، وتزداد قيمة الدالة كلما زادت (x ) دون أي حد أعلى. نستنتج أن نطاق f هو ( left [0، infty right) ).

التحليلات

يمثل الشكل ( PageIndex {19} ) الوظيفة (f ).

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد مجال ومدى

(f (x) = sqrt {2 − x} ).

إجابه

المجال: ( يسار (- infty، -2 يمين] )

النطاق: ( left [0، infty right) )

رسم بياني دوال محددة التفصيل

في بعض الأحيان ، نواجه دالة تتطلب أكثر من صيغة واحدة للحصول على الناتج المحدد. على سبيل المثال ، في وظائف مجموعة الأدوات ، قدمنا ​​دالة القيمة المطلقة (f (x) = | x | ). مع مجال لجميع الأعداد الحقيقية ونطاق من القيم أكبر من أو تساوي 0 ، قيمه مطلقه يمكن تعريفها على أنها الحجم، أو معام، ذات قيمة رقمية حقيقية بغض النظر عن العلامة. إنها المسافة من 0 على خط الأعداد. تتطلب كل هذه التعريفات أن يكون الناتج أكبر من أو يساوي 0.

إذا أدخلنا 0 ، أو قيمة موجبة ، يكون الناتج هو نفسه الإدخال.

[f (x) = x ؛ text {if} ؛ س≥0 نونبر ]

إذا أدخلنا قيمة سالبة ، يكون الناتج عكس المدخل.

[f (x) = -x ؛ text {if} ؛ س <0 عدد ]

نظرًا لأن هذا يتطلب عمليتين أو قطعتين مختلفتين ، فإن دالة القيمة المطلقة هي مثال على دالة متعددة التعريف. الدالة متعددة التعريف هي دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج عبر أجزاء مختلفة من المجال.

نستخدم دوال متعددة التعريف لوصف المواقف التي تتغير فيها القاعدة أو العلاقة عندما تتجاوز قيمة الإدخال "حدودًا" معينة. على سبيل المثال ، غالبًا ما نواجه مواقف في مجال الأعمال يتم فيها خصم التكلفة لكل قطعة من عنصر معين بمجرد أن يتجاوز الرقم المطلوب قيمة معينة. الأقواس الضريبية هي مثال آخر في العالم الحقيقي للوظائف متعددة التعريف. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك نظامًا ضريبيًا بسيطًا يتم فيه فرض ضريبة على الدخل الذي يصل إلى 10000 دولار بنسبة 10٪ ، وأي دخل إضافي يتم فرض ضريبة بنسبة 20٪. ستكون الضريبة على إجمالي الدخل S (0.1S ) إذا (S≤ $ 10،000 ) و ($ 1000 + 0.2 (S− $ 10،000) ) إذا (S> $ 10،000 ).

دالة متفرقة

الدالة متعددة التعريف هي دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج. كل صيغة لها مجالها الخاص ، ومجال الوظيفة هو اتحاد كل هذه المجالات الأصغر. نلاحظ هذه الفكرة على النحو التالي:

[f (x) = begin {cases} text {الصيغة 1} & text {إذا كان x في المجال 1} text {الصيغة 2} & text {إذا كان x في المجال 2} text {الصيغة 3} & text {إذا كان x في المجال 3} end {cases} nonumber ]

في التدوين متعدد التعريف ، تكون دالة القيمة المطلقة

[| x | = begin {cases} x & text {if $ x geq 0 $} -x & text {if $ x <0 $} end {cases} nonumber ]

بالنظر إلى دالة متعددة التعريف ، اكتب الصيغة وحدد المجال لكل فترة.

  1. حدد الفترات الزمنية التي تنطبق عليها القواعد المختلفة.
  2. حدد الصيغ التي تصف كيفية حساب الإخراج من الإدخال في كل فترة.
  3. استخدم الأقواس وعبارات if لكتابة الوظيفة.

مثال ( PageIndex {8A} ): كتابة دالة مفردة

يتقاضى المتحف 5 دولارات أمريكية لكل شخص مقابل جولة إرشادية مع مجموعة من 1 إلى 9 أشخاص أو رسوم ثابتة قدرها 50 دولارًا لمجموعة من 10 أشخاص أو أكثر. اكتب وظيفة ربط عدد الأشخاص (n ) بالتكلفة (ج ).

المحلول

ستكون هناك حاجة إلى صيغتين مختلفتين. بالنسبة إلى (n ) - القيم الأقل من 10 ، (C = 5n ). لقيم n التي تكون 10 أو أكبر ، (C = 50 ).

[C (n) = start {cases} 5n & text {if $ n <10 $} 50 & text {if $ n geq10 $} end {cases} nonumber ]

التحليلات

يتم تمثيل الوظيفة في الشكل ( PageIndex {20} ). الرسم هو خط قطري من (n = 0 ) إلى (n = 10 ) وثابت بعد ذلك. في هذا المثال ، تتفق الصيغتان عند نقطة الالتقاء حيث (n = 10 ) ، ولكن لا تحتوي جميع الدوال متعددة التعريف على هذه الخاصية.

مثال ( PageIndex {8B} ): العمل بدالة مفرغة

تستخدم شركة الهاتف الخليوي الوظيفة أدناه لتحديد التكلفة C بالدولار للجيجابايت لنقل البيانات.

[C (g) = begin {cases} 25 & text {if $ 0

ابحث عن تكلفة استخدام 1.5 جيجا بايت من البيانات وتكلفة استخدام 4 جيجا بايت من البيانات.

Soltuion

للعثور على تكلفة استخدام 1.5 غيغابايت من البيانات ، (C (1.5) ) ، ننظر أولاً لمعرفة أي جزء من المجال يقع مدخلاتنا فيه. نظرًا لأن 1.5 أقل من 2 ، نستخدم الصيغة الأولى.

[C (1.5) = 25 دولارًا غير رقم ]

لإيجاد تكلفة استخدام 4 جيجا بايت من البيانات ، C (4) ، نرى أن إدخالنا 4 أكبر من 2 ، لذلك نستخدم الصيغة الثانية.

[C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 دولارًا بلا رقم ]

التحليلات

يتم تمثيل الوظيفة في الشكل ( PageIndex {21} ). يمكننا أن نرى أين تتغير الوظيفة من ثابت إلى هوية متحولة وممتدة في (g = 2 ). نرسم الرسوم البيانية للصيغ المختلفة على مجموعة مشتركة من المحاور ، مع التأكد من تطبيق كل صيغة على مجالها المناسب.

بالنظر إلى دالة متعددة التعريف ، ارسم مخططًا بيانيًا.

  1. حدد على المحور x الحدود المحددة بالفواصل الزمنية لكل قطعة من المجال.
  2. لكل جزء من المجال ، رسم بيانيًا على تلك الفترة باستخدام المعادلة المقابلة المتعلقة بتلك القطعة. لا تقم برسم وظيفتين في الرسم البياني خلال فترة زمنية واحدة لأن ذلك قد ينتهك معايير الدالة.

مثال ( PageIndex {8C} ): رسم دالة متقطعة

رسم على الرسم البياني للدالة.

[f (x) = begin {cases} x ^ 2 & text {if $ x leq 1 $} 3 & text {if $ 1 2 $} end {cases} nonumber ]

المحلول

كل وظيفة من وظائف المكون هي من مكتبة وظائف مجموعة الأدوات الخاصة بنا ، حتى نعرف أشكالها. يمكننا تخيل رسم بياني لكل دالة ثم قصر الرسم البياني على المجال المشار إليه. عند نقاط نهاية المجال ، نرسم دوائر مفتوحة للإشارة إلى مكان عدم تضمين نقطة النهاية بسبب عدم المساواة أقل من أو أكبر من ؛ نرسم دائرة مغلقة حيث يتم تضمين نقطة النهاية بسبب عدم المساواة أقل من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي.

يوضح الشكل ( PageIndex {20} ) المكونات الثلاثة للدالة متعددة التعريف مرسومة على أنظمة إحداثيات منفصلة.


الشكل ( PageIndex {20} ): رسم بياني لكل جزء من دالة القطعة f (x)

(أ) (و (س) = س ^ 2 ) إذا (س≤1 ) ؛ (ب) (f (x) = 3 ) إذا (1 2 )

الآن وقد قمنا برسم كل قطعة على حدة ، قمنا بدمجها في نفس المستوى الإحداثي. راجع الشكل ( PageIndex {21} ).

التحليلات

لاحظ أن الرسم البياني يجتاز اختبار الخط العمودي حتى عند (x = 1 ) و (x = 2 ) لأن النقاط ((1،3) ) و ((2،2) ) هي ليس جزءًا من الرسم البياني للوظيفة ، على الرغم من ((1،1) ) و ((2 ، 3) ).

تمرين ( PageIndex {8} )

ارسم دالة متعددة التعريف التالية.

[f (x) = begin {cases} x ^ 3 & text {if $ x <-1 $} -2 & text {if $ -1 4 $} end {cases} nonumber ]

إجابه

هل يمكن تطبيق أكثر من صيغة واحدة من دالة متعددة التعريف على قيمة في المجال؟

لا. كل قيمة تقابل معادلة واحدة في صيغة متعددة التعريف.

المفاهيم الرئيسية

  • يشمل مجال الوظيفة جميع قيم الإدخال الحقيقية التي لا تجعلنا نحاول إجراء عملية رياضية غير محددة ، مثل القسمة على صفر أو أخذ الجذر التربيعي لرقم سالب.
  • يمكن تحديد مجال الوظيفة من خلال سرد قيم الإدخال لمجموعة من الأزواج المرتبة.
  • يمكن أيضًا تحديد مجال الوظيفة من خلال تحديد قيم الإدخال لدالة مكتوبة على شكل معادلة.
  • يمكن وصف قيم الفترات الممثلة على خط الأعداد باستخدام تدوين عدم المساواة وترميز منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.
  • بالنسبة للعديد من الوظائف ، يمكن تحديد المجال والنطاق من الرسم البياني.
  • يمكن استخدام فهم وظائف مجموعة الأدوات للعثور على المجال ونطاق الوظائف ذات الصلة.
  • يتم وصف الدالة متعددة التعريف بأكثر من صيغة واحدة.
  • يمكن رسم دالة متعددة التعريف باستخدام كل صيغة جبرية في النطاق الفرعي المخصص لها.

قائمة المصطلحات

تدوين الفاصل

طريقة لوصف مجموعة تتضمن جميع الأرقام بين الحد الأدنى والحد الأعلى ؛ يتم سرد القيم الدنيا والعليا بين قوسين أو أقواس ، وقوس مربع يشير إلى التضمين في المجموعة ، وقوس يشير إلى الاستبعاد

دالة متعددة التعريف

دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج

تعيين تدوين منشئ

طريقة لوصف مجموعة بقاعدة يلتزم بها جميع أعضائها ؛ يأخذ الشكل {x | بيان حول x}


أوجد مدى ومجال 3 / (2-x ^ 2)؟

نعلم أنه في الدالة الكسرية ، عند # x # - القيم حيث يصبح المقام # 0 # تصبح الوظيفة غير محددة. في تلك المواقع ، لدينا خطوط مقاربة عمودية.

لذلك ، سيكون مجال الوظيفة من ثلاث قطع:

# (- oo & lt x & lt -sqrt2) و (-sqrt2 & lt x & lt sqrt2) و (sqrt2 & lt x & lt oo) #

نظرًا لأن درجة المقام أعلى من درجة البسط ، فإن المحور # x # هو الخط المقارب الأفقي. ولأن البسط ثابت ، لا يمكن أبدًا أن يكون # y # # 0 #. هذا يعني أن نطاق الوظيفة ليس قطعة واحدة. بدلا من ذلك ، هو في قطعتين أو أكثر. نحن بحاجة إلى فحص الوظيفة عن كثب.

لجميع قيم # x # في جزء المجال # (- oo & lt x & lt -sqrt2) # ، تكون الوظيفة سالبة دائمًا ونطاقها هو:

بالنسبة إلى قيم # x # في جزء المجال # (sqrt2 & lt x & lt oo) # ، تكون الوظيفة سالبة دائمًا ونطاقها هو:

بالنسبة إلى # x # -values ​​في جزء المجال # (- sqrt2 & lt x & lt sqrt2) # ، تكون الوظيفة موجبة دائمًا. هذا يعني أن هذا الجزء من الوظيفة يجب أن يكون طرفيه ينتقل إلى # oo # ، أي عند # -sqrt2 و sqrt2 #.

بعد ذلك ، يجب أن يكون على شكل # U وبالتالي يجب أن يكون له حد أدنى من النقاط. نعلم أن # y # لا يمكن أن تكون # 0 #. على هذا النحو ، يجب أن تكون النقطة الدنيا في مكان ما أعلى من # y = 0 #.

تصبح الدالة دنيا عندما يصل مقامها إلى أقصى قيمة لها. الحد الأقصى لقيمة # 2-x ^ 2 # هو عندما # x ^ 2 = 0 # مما يعني # x = 0 و y = 3/2 #. لذلك ، فإن نطاق الوظيفة هو:

ما يلي هو الرسم البياني للوظيفة حيث يصبح المجال والمدى المحدد أعلاه واضحين:


كيف تجد المجال

بشكل عام ، نحدد نطاق لكل دالة من خلال البحث عن قيم المتغير المستقل (عادةً x) وهو ما نحن عليه مسموح ليستخدم. (عادة يجب أن نتجنب الصفر في أسفل الكسر ، أو القيم السالبة تحت علامة الجذر التربيعي).

نطاق

ال نطاق الدالة هي المجموعة الكاملة لكل ما هو ممكن القيم الناتجة من المتغير التابع (ذ عادةً) ، بعد أن استبدلنا المجال.

في اللغة الإنجليزية البسيطة ، يعني التعريف:

النطاق هو الناتج ص-القيم التي نحصل عليها بعد استبدال كل ما هو ممكن x-القيم.


1.2 المجال والمدى

إذا كنت في حالة مزاجية لفيلم مخيف ، فقد ترغب في مشاهدة واحد من أشهر خمسة أفلام رعب على الإطلاق -انا اسطورة, حنبعل, الخاتم, الحقد، و الشعوذه. يوضح الشكل 1 المبلغ ، بالدولار ، لكل فيلم من تلك الأفلام عندما تم إصدارها بالإضافة إلى مبيعات التذاكر لأفلام الرعب بشكل عام حسب السنة. لاحظ أنه يمكننا استخدام البيانات لإنشاء دالة للمبلغ الذي حصل عليه كل فيلم أو إجمالي مبيعات التذاكر لجميع أفلام الرعب حسب السنة. عند إنشاء وظائف مختلفة باستخدام البيانات ، يمكننا تحديد مختلف المتغيرات المستقلة والتابعة ، ويمكننا تحليل البيانات والوظائف لتحديد المجال والمدى. في هذا القسم ، سنبحث في طرق تحديد المجال ونطاق الوظائف مثل هذه.

إيجاد مجال دالة معرّفة بواسطة معادلة

في الدالات وترميز الوظيفة ، تعرفنا على مفاهيم المجال والمدى. في هذا القسم ، سنتدرب على تحديد المجالات والنطاقات لوظائف محددة. ضع في اعتبارك أنه عند تحديد المجالات والنطاقات ، نحتاج إلى النظر في ما هو ممكن ماديًا أو ذا مغزى في أمثلة العالم الحقيقي ، مثل مبيعات التذاكر والسنة في مثال فيلم الرعب أعلاه. نحتاج أيضًا إلى التفكير في ما هو مسموح به رياضيًا. على سبيل المثال ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال تقودنا إلى أخذ جذر زوجي لرقم سالب إذا كان المجال والنطاق يتكونان من أرقام حقيقية. أو في دالة يتم التعبير عنها كصيغة ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال في المجال من شأنها أن تقودنا إلى القسمة على 0.

يمكننا تصور المجال على أنه "منطقة احتجاز" تحتوي على "مواد خام" لـ "آلة وظيفية" والنطاق باعتباره "منطقة احتجاز" أخرى لمنتجات الجهاز. انظر الشكل 2.

يمكننا كتابة المجال والمدى في تدوين الفاصل ، والذي يستخدم القيم الموجودة بين قوسين لوصف مجموعة من الأرقام. في تدوين الفاصل الزمني ، نستخدم قوسًا مربعًا [عندما تتضمن المجموعة نقطة النهاية وقوسًا (للإشارة إلى أن نقطة النهاية إما غير مضمنة أو أن الفاصل الزمني غير محدود. على سبيل المثال ، إذا كان لدى الشخص 100 دولار أمريكي لإنفاقها ، فسيقوم بحاجة إلى التعبير عن الفترة الزمنية التي تزيد عن 0 وأقل من أو تساوي 100 وكتابة (0 ، 100]. (0 ، 100]. سنناقش تدوين الفترة بمزيد من التفصيل لاحقًا.

دعنا نوجه انتباهنا إلى إيجاد مجال الوظيفة التي يتم توفير معادلتها. في كثير من الأحيان ، يتضمن العثور على مجال مثل هذه الوظائف تذكر ثلاثة أشكال مختلفة. أولاً ، إذا لم يكن للدالة مقام أو جذر فردي ، ففكر فيما إذا كان المجال يمكن أن يكون جميع الأعداد الحقيقية. ثانيًا ، إذا كان هناك مقام في معادلة الدالة ، فاستبعد القيم في المجال التي تجبر المقام على أن يكون صفراً. ثالثًا ، إذا كان هناك جذر زوجي ، ففكر في استبعاد القيم التي تجعل الراديكالي وسالب.


الدوال مفيدة جدًا في الرياضيات لأنها تسمح لنا بنمذجة مشاكل الحياة الواقعية في شكل رياضي.

فيما يلي بعض الأمثلة على تطبيق الوظيفة.

Circumference of a circle

The circumference of a circle is a function of its diameter or radius. We can mathematically represent this statement as:

A shadow

The length of the shadow of an object is a function of its height.

The position of a moving object

The location of a moving object such as a car is a function of time.

Temperature

The temperature of a body is based on several factors and inputs.

Money

The compound or simple interest is a function of the time, principal, and interest rate.

Height of an object

The height of an object is a function of his/her age and body weight.

Having learned about a function now can proceed to how to calculate the domain and the range of a function.


How to Find Domain and Range of a Quadratic Function

Hi, and welcome to this video about the domain and range of quadratic functions! In this video, we will explore how the structure of quadratic functions defines their domains and ranges and how to determine the domain and range of a quadratic function.

Before we begin, let’s quickly revisit the terms domain and range.

ال نطاق of a function is the set of all possible inputs, while the نطاق of a function is the set of all possible outputs.

The structure of a function determines its domain and range. Some functions, such as linear functions (e.g., (f(x)=2x+1) ), have domains and ranges of all real numbers because any number can be input and a unique output can always be produced. On the other hand, functions with restrictions such as fractions or square roots may have limited domains and ranges (e.g., (f(x)=frac<1><2x>) (x eq 0) because the denominator of a fraction cannot be 0).

Let’s see how the structure of quadratic functions defines and helps us determine their domains and ranges.

Quadratic functions together can be called a family, and this particular function the parent, because this is the most basic quadratic function (i.e., not transformed in any way). We can use this function to begin generalizing domains and ranges of quadratic functions.

To determine the domain and range of any function on a graph, the general idea is to assume that they are both real numbers, then look for places where no values exist.

Let’s talk about domain first. Since domain is about inputs, we are only concerned with what the graph looks like horizontally. To see the domain, let’s move from left-to-right along the x-axis looking for places where the graph doesn’t exist.

As you can see, there are no places where the graph doesn’t exist horizontally. The domain of this function is all real numbers. In fact, the domain of all quadratic functions is all real numbers!

Now for the range. We’ll use a similar approach, but now we are only concerned with what the graph looks like vertically.

As you can see, outputs only exist for (y)-values that are greater than or equal to 0. In other words, there are no outputs below the (x)-axis. We would say the range is all real numbers greater than or equal to 0.

Let’s generalize our findings with a few more graphs.

The range for this graph is all real numbers greater than or equal to 2.

The range here is all real numbers less than or equal to 5.

The range for this one is all real numbers less than or equal to -2.

And the range for this graph is all real numbers greater than or equal to -3.

As you can see, the turning point, or vertex, is part of what determines the range. The other is the direction the parabola opens. If a quadratic function opens up, then the range is all real numbers greater than or equal to the (y)-coordinate of the range. If a quadratic function opens down, then the range is all real numbers less than or equal to the (y)-coordinate of the range.

Graphs can be helpful, but we often need algebra to determine the range of quadratic functions. Sometimes, we are only given an equation and other times the graph is not precise enough to be able to accurately read the range.

So let’s look at finding the domain and range algebraically. There are three main forms of quadratic equations. Our goals here are to determine which way the function opens and find the (y)-coordinate of the vertex.

Standard Form

When the quadratic functions are in النموذج القياسي, they generally look like this:

If (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. In this form, the (y)-coordinate of the vertex is found by evaluating (f(frac<-b><2a>)) . For example, consider this function: (fx=-2x^2+8x-3)

Then, we plug this in: (f(2)=-2(2)^<2>+8(2)-3=-8+16-3=5)

(a) is negative, so the range is all real numbers less than or equal to 5.

Vertex Form

When quadratic equations are in vertex form, they generally look like this:

As with standard form, if (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. The vertex is given by the coordinates ((h,k)) , so all we need to consider is the (k) . For example, consider the function (f(x)=3(x+4)^2-6) . (a) is positive and the vertex is at ((-4,-6)) , so the range is all real numbers greater than or equal to (-6) .

Factored Form

Sometimes quadratic functions are defined using factored form as a way to easily identify their roots. فمثلا:

As with other forms, if (a) is positive, the function opens up if it’s negative, the function opens down. One way to use this form is to multiply the terms to get an equation in standard form, then apply the first method we saw. We can also apply the fact that quadratic functions are symmetric to find the vertex. We know the roots, and therefore, the locations of the (x)-intercepts. Horizontally, the vertex is halfway between them. Once we know the location of the vertex—the (x)-coordinate—all we need to do is substitute into the function to find the (y)-coordinate. For example, consider the function (f(x)=-2(x+4)(x-2)) . The (x)-intercepts are at (-4) and (+2) , and the vertex is located at (frac<-4+2><2>=-1) (simply take the “average” of the (x)-intercepts). And we’re going to plug that into our original equation, so we have: (f(-1)=-2(-1+4)(-1-2)=-2(3)(-3)=18) . Since (a) is negative, the range of all real numbers is less than or equal to 18.


Q: - WCS Bookmarks New Tab Williamson Schools O LINEAR SYSTEMS Identifying solutions to a system of lin.

A: Given :- 3x + 2y = —6 ----(1) 4x — 7y = —8 ----(2) Determine whether it is a solution to the sy.

Q: Luke was performing a titration to estimate the amount in mg of Vitamin C inRibena. His experimental.

A: Click to see the answer

Q: answer the following by the given guidelines.

A: Click to see the answer

Q: Question 2 Use Cramer's rule to solve for a' and y in terms of x and y: x = 2x' – 3y | y = x' – y'

A: Click to see the answer

Q: If G is abelian group then Inn(G) contains One element O Two elements Three elements Infinite elemen.

A: Inn(G), is trivial (i.e., consists only of the identity element) iff G is abelian.

Q: In a AP the T5 = 40 and T9 = 76. Find S10.

A: We have given that 5th term of an AP is 40 and 9th term is 76. So we have to find sum of 1st 10 term.

Q: this questions are not graded thank you

A: Click to see the answer

Q: Find the final amount of money in an account if $3, 700 is deposited at 2.5% interest compounded qua.

A: Click to see the answer

A: Since you have asked multiple question, we will solve the first question for you. If you want any sp.


Find The Domain Of The Function Y=5-2x^2

What is the domain and range of a function. 500 x 75047.

A Great Small Group Activity To Practice Or Review Identifying Critical Parts Of Absolute Value Functions I Writing Linear Equations Equations Absolute Value

5 3 2 x2 x 0.

Find the domain of the function y=5-2x^2. Functions of Several Variables. I will answer these questions in this video by solving an example. Fxy5 2x23y2 a x y x 3 2 y b x y x y 0 0 c x y x 2 3.

By using this website you agree to our Cookie Policy. Flor is designing a kite with two perpendicular crosspieces that are B 26 inches and 24 inches long as shown in the figure. Describe a reasonable domain and range for the function P x.

Of the numerical factors is the GCD. If I take something thats outside of the domain let me do that in a different color. In this case there is no real number that makes the expression undefined.

A function can be described or defined in many ways. Consider the relation a If 2 n is a point on its graph determine the value of n. Of the two given polynomials px and q x.

Its domain is all real numbers since all real numbers are either rational or irrational. Px 781250 c. The product of all such common factors and the GCD.

For the inverse function the domain and range off are interchanged so the domain is the interval0 and the range is 23. Y 5-2x 2. Question 145432This question is from textbook Intermediate Algebra.

Free mathrmIs a Function calculator - Check whether the input is a valid function step-by-step This website uses cookies to ensure you get the best experience. A domain is the set of all of the inputs over which the function is defined. Y 5 2x 2 1 7x 1 3 21.

Fx 2x1 over 3x5 I have an answer sheet but it doesnt help because I dont understand how to work the problem to find the answerany help would be greatly appreciated. The graph of g is the upper half of a parabola opening to the left. Y 5 x 1 4x 1 5 Exercises 2528 Distance Between Intercepts Find the distance between the x-intercept points for the graph of the function.

Free math problem solver answers your algebra geometry trigonometry calculus and statistics homework questions with step-by-step explanations just like a math tutor. For every value in the domain x in this case there must be one and only one value in the range y in this case. With the restricted domain we haveg21x.

For the following exercises evaluate each function at the indicated values. Y 5x2 4. For what number of bulldozers per month is the profit at least 750000.

How to recognize the domain and range of a function by considering the possible inputs and outputs of a functionWe can also graph a function to find its dom. Solve algebraically and then check with a graph. So if this the domain here if this is the domain here and I take a value here and I put that in for x then the function is going to output an fx.

Y 5 x 2 2 4x 1 3 2 24. Y 5 2x 2 4 y 5 6x 2 4 y 5 2x 2 1 y 2 1 3 x 4 2 0 2 4 24 42 6. Compute answers using Wolframs breakthrough technology knowledgebase relied on by millions of students professionals.

Find the domain and write in interval notation fx 2x13x5 it looks like a fraction. Why is it useful and how do I calculate it. Free slope calculator - find the slope of a line given two points a function or the intercept step-by-step This website uses cookies to ensure you get the best experience.

B If m 20 is a point on its graph determine m correct to two decimal places. The graph of g21 is the right half of a parabola opening downward. Y 5 2x 2 2 2x 2 1 23.

So its a function since y has either the value 1 or zero and never both. By using this website you agree to our Cookie Policy. Find the factors of highest degree common to the two polynomials px and qx.

For math science nutrition history. Hi The working definition of a function is this. 1A Find the domain of the given function.

Y x2 5 y x 2 5 The domain of the expression is all real numbers except where the expression is undefined. Y 2x7 3.

Function Worksheets Graphing Linear Equations Linear Function Functions Math

Find The Domain Of The Riemann Zeta Function For Real Values Of X Zeta Math Videos Real

Domain Of Natural Logarithm Function F X Ln X 2 Maths Exam Math Videos Absolute Value Equations

How To Find The Domain And Range Of F X Y Ln Xy 2 Math Videos F X Domain

Pictures Of Composition Of Functions Free Images That You Can Download And Use Functions Math Algebra Humor Algebra Activities

Sharing Is Caring Linear Equations Review Graphing Linear Equations Linear Equations Slope Math

Slope Intercept Form Word Problems Answer Key 5 Unexpected Ways Slope Intercept Form Word Pr Matematika Kelas 8 Algebra Persamaan

Algebra Domain And Range Sketchnotes With Powerpoint Functions Math Quadratics Free Math Activity

Solving The Exponential Equation 5 2x 1 25 Exponential Quadratics Absolute Value Equations

Functions Even Odd Neither Card Sort Sorting Cards Math Expressions Even And Odd Functions

Domain And Range Peel And Stick Activity Math Interactive Notebook Math Interactive Fun Math

Discovering Slope Intercept Form Middle School Math Math Curriculum Teaching Algebra

Linear Equations Posters Linear Equations Direct Variation Math Freebie

Pin On Classroom Lesson Resources

Point Slope Form Using X And Y Intercepts 5 Point Slope Form Using X And Y Intercepts Tips Y Point Slope Form Point Slope Slope Intercept Form

Writing Graphing Linear Equations In All Forms Given The Slope And A Point Graphing Linear Equations Writing Linear Equations Graphing Quadratics

Graphing Rational Functions Reference Sheet Rational Function Teaching Algebra Math Methods


MATH - quick and easy

In this chapter and following chapters we show you how to determine properties of a function given as a graph in Cartesian coordinate system .
The basic properties are:
- domain and range (this chapter)
- zero of a function
- points of intersection with the axes
- monotonicity (monotonic functions, not monotonic functions)
- maximal intervals of monotonicity
- positive and negative values
- minimum and maximum

In the previous chapter, there is only one example of a function. Its domain is a set of few numbers, but there are many more possibilities. The domain can be an infinitive set or an interval, may even consist of more than one interval or set.

According to different types of domains, graphs in Cartesian coordinate system are different.
Let s show you different types of functions specifying by a graph in Cartesian coordinate system. We are going to show you how to determine a domain and a rage of a function given as a graph.


شاهد الفيديو: Short-Run Costs Part 1- Micro Topic (ديسمبر 2021).