مقالات

9.1: تكاملات L والمشتقات العكسية - رياضيات


أنا. تتيح نظرية ليبسج تقوية العديد من نظريات التفاضل والتكامل. سنبدأ بالدوال في (E ^ {1}، f: E ^ {1} rightarrow E. ) (على القارئ الذي أغفل الجزء "المميّز بنجمة" من الفصل 8 ، §7 ، أن يضبط (E = E ^ {*} left (E ^ {n}، C ^ {n} right) ) طوال الوقت.)

بقلم (L ) - تكاملات مثل هذه الوظائف ، نعني التكاملات فيما يتعلق بمقياس Lebesgue (m ) في (E ^ {1}. ) التدوين:

[L int_ {a} ^ {b} f = L int_ {a} ^ {b} f (x) d x = L int _ {[a، b]} f ]

و

[L int_ {b} ^ {a} f = -L int_ {a} ^ {b} f. ]

بالنسبة لتكاملات Riemann ، نستبدل " (L )" بـ " (R. )" نقارن هذه التكاملات بالمشتقات العكسية (الفصل 5 ، §5) ، المشار إليها

[ int_ {a} ^ {b} f، ]

بدون " (L )" أو " (R. )" لاحظ ذلك

[L int _ {[a، b]} f = L int _ {(a، b)} f، ]

وما إلى ذلك ، منذ (m {a } = m {b } = 0 ) هنا.

نظرية ( PageIndex {1} )

دع (f: E ^ {1} rightarrow E ) يكون (L ) - تكامل على (A = [a، b]. ) اضبط

[H (x) = L int_ {a} ^ {x} f ، quad x in A. ]

ثم ما يلي صحيح.

(i) الدالة (f ) هي مشتق (H ) عند أي (p in A ) حيث (f ) محدد ومستمر. (عند (أ ) و (ب ) ، قد تكون الاستمرارية والمشتقات أحادية الجانب من الداخل.)

(2) الدالة (H ) مستمرة تمامًا في (A ؛ ) ومن ثم (V_ {H} [A] < infty. )

دليل - إثبات

(i) دع (p in (a، b]، q = f (p) neq pm infty. ) دع (f ) تُترك متصلة عند (p ؛ ) لذا ، معطى ( varepsilon> 0، ) يمكننا إصلاح (c in (a، p) ) بحيث

[| f (x) -q | < varepsilon text {for} x in (c، p). ]

ثم

[ start {align} ( forall x in (c، p)) & left | L int_ {x} ^ {p} (f-q) right | leq L int_ {x} ^ {p} | f-q | & leq L int_ {x} ^ {p} ( varepsilon) = varepsilon cdot m [x، p] = varepsilon (p-x). نهاية {محاذاة} ]

ولكن

[ start {align} L int_ {x} ^ {p} (fq) & = L int_ {x} ^ {p} fL int_ {x} ^ {p} q L int_ {x } ^ {p} q & = q (px) ، quad text {and} L int_ {x} ^ {p} f & = L int_ {a} ^ {p} fL int_ {a } ^ {x} f & = H (p) -H (x). نهاية {محاذاة} ]

هكذا

[| H (p) -H (x) -q (p-x) | leq varepsilon (p-x) ؛ ]

بمعنى آخر.،

[ left | frac {H (p) -H (x)} {p-x} -q right | leq varepsilon quad (c

بالتالي

[f (p) = q = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} frac { Delta H} { Delta x} = H _ {-} ^ { prime} (p). ]

إذا كان (f ) حقًا مستمرًا عند (p in [a، b)، ) ينتج عن صيغة مماثلة لـ (H _ {+} ^ { prime} (p). ) هذا يثبت الجملة (i ).

(2) دعونا نعطي ( varepsilon> 0 ). ثم تعطي النظرية 6 في الفصل 8 ، §6 ، a ( delta> 0 ) على هذا النحو

[ left | L int_ {X} f right | leq L int_ {X} | f | < varepsilon ]

كلما كان

[m X < delta text {and} A supseteq X، X in mathcal {M}. ]

هنا قد نضع

[X = bigcup_ {i = 1} ^ {r} A_ {i} text {(disjoint)} ]

لبعض الفترات

[A_ {i} = left (a_ {i}، b_ {i} right) subseteq A ]

لهذا السبب

[m X = sum_ {i} m A_ {i} = sum_ {i} left (b_ {i} -a_ {i} right) < delta. ]

ثم (1) يعني ذلك

[ varepsilon> L int_ {X} | f | = sum_ {i} L int_ {A_ {i}} | f | geq sum_ {i} left | L int_ {a_ {i}} ^ {b_ {i}} f right | = sum_ {i} left | H left (b_ {i} right) -H يسار (أ_ {i} يمين) يمين |. ]

هكذا

[ sum_ {i} left | H left (b_ {i} right) -H left (a_ {i} right) right | < varepsilon ]

كلما كان

[ sum_ {i} left (b_ {i} -a_ {i} right) < delta ]

و

[A supseteq bigcup_ {i} left (a_ {i}، b_ {i} right) text {(disjoint).} ]

(هذا ما نسميه "الاستمرارية المطلقة بالمعنى الأقوى".) بالمسألة 2 في الفصل 5 ، الفقرة 8 ، يشير هذا إلى "الاستمرارية المطلقة" بالمعنى الوارد في الفصل 5 ، الفقرة 8 ، ومن ثم (V_ {H} [ أ] < infty. quad square )

ملاحظة 1. فشل العكس لـ (i): تفاضل (H ) في (p ) لا يعني استمرارية مشتقها (f ) في (p ) (المشكلة 6 في الفصل 5 ، §2 ).

ملاحظة 2. إذا كان (f ) مستمرًا على (AQ ) ( (Q ) معدود) ، فإن النظرية 1 توضح أن (H ) هي بدائية (مشتقة عكسية): (H = int f ) على (أ ) تذكر أن "Q معدود" يعني (m Q = 0، ) ولكن ليس العكس. لاحظ أننا قد نفترض دائمًا (أ ، ب في س. )

يمكننا الآن إثبات نسخة معممة لما يسمى بالنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، والمستخدمة على نطاق واسع لحساب التكاملات عبر المشتقات العكسية.

نظرية ( PageIndex {2} )

إذا كان (f: E ^ {1} rightarrow E ) يحتوي على (F ) على (A = [a، b]، ) وإذا كان (f ) مقيدًا بـ (AP ) ) بالنسبة للبعض (P ) مع (m P = 0 ، ) ثم (f ) هو (L ) - قابل للتكامل في (A ، ) و

[L int_ {a} ^ {x} f = F (x) -F (a) quad text {for all} x in A. ]

دليل - إثبات

بالتعريف 1 من الفصل 5 ، §5 ، (F ) مستمر نسبيًا ومحدود على (A = [a، b]، ) ومن ثم مقيد بـ (A ) (النظرية 2 في الفصل 4 ، §8 ).

كما أنه قابل للتفاضل ، مع (F ^ { prime} = f ، ) على (AQ ) لمجموعة معدودة (Q subseteq A ، ) مع (a ، b in Q. ) نصلح هذا (س ) مع (ص )

نظرًا لأننا نتعامل مع (A ) فقط ، يمكننا بالتأكيد إعادة تعريف (F ) و (f ) في (- A: )

[F (x) = left { begin {array} {ll} {F (a)} & { text {if} x b،} end {array} right. ]

و (f = 0 ) على (- أ. ) ثم (f ) يحد على (- P ، ) بينما (F ) مقيد و
مستمر على (E ^ {1} ، ) و (F ^ { prime} = f ) على (- Q ؛ ) لذلك (F = int f ) على (E ^ {1 }. )

أيضًا ، لـ (n = 1،2، ldots ) ​​و (t in E ^ {1}، ) مجموعة

[f_ {n} (t) = n يسار [F left (t + frac {1} {n} right) -F (t) right] = frac {F (t + 1 / n) -F (t)} {1 / n}. ]

ثم

[f_ {n} rightarrow F ^ { prime} = f quad text {on} -Q؛ ]

على سبيل المثال ، (f_ {n} rightarrow f ) (a.e.) على (E ^ {1} ) (مثل (m Q = 0 )).

بواسطة (3) ، كل (f_ {n} ) محدد ومستمر (مثل (F ) هو). وبالتالي من خلال النظرية 1 من الفصل 8 ، §3 ، (F ) وجميع (f_ {n} ) (m ) - قابلة للقياس على (A ) (حتى في (E ^ {1} )). هكذا هو (f ) من خلال النتيجة الطبيعية 1 من الفصل 8 ، §3.

علاوة على ذلك ، من خلال الحدود ، (F ) و (f_ {n} ) هي (L ) - تكامل على فترات محدودة. هكذا هو (و. ) على سبيل المثال ، دعونا

[| و | leq K < infty text {on} A-P؛ ]

مثل (م P = 0 ) ،

[ int_ {A} | و | leq int_ {A} (K) = K cdot m A < infty، ]

إثبات التكامل. لم يكن

[F = int f text {على أي فاصل} يسار [t، t + frac {1} {n} right] ، ]

النتيجة الطبيعية 1 في الفصل 5 ، §4 تنتج

[ left ( forall t in E ^ {1} right) quad left | F left (t + frac {1} {n} right) -F (t) right | leq sup _ {t in-Q} left | F ^ { prime} (t) right | frac {1} {n} leq frac {K} {n}. ]

بالتالي

[ left | f_ {n} (t) right | = n left | F left (t + frac {1} {n} right) -F (t) right | ليك ك ؛ ]

على سبيل المثال ، ( left | f_ {n} right | leq K ) للجميع (n ).

وبالتالي (f ) و (f_ {n} ) يفيان بالنظرية 5 من الفصل 8 ، §6 ، مع (g = K. ) من خلال الملاحظة 1 هناك ،

[ lim _ {n rightarrow infty} L int_ {a} ^ {x} f_ {n} = L int_ {a} ^ {x} f. ]

في اللمة التالية ، نظهر ذلك أيضًا

[ lim _ {n rightarrow infty} L int_ {a} ^ {x} f_ {n} = F (x) -F (a)، ]

والتي ستكمل البرهان. ( رباعي مربع )

Lemma ( PageIndex {1} )

بإعطاء قيمة مستمرة (F: E ^ {1} rightarrow E ) ومعطاة (f_ {n} ) كما في (3) ، لدينا

[ lim _ {n rightarrow infty} L int_ {a} ^ {x} f_ {n} = F (x) -F (a) quad text {for all} x in E ^ { 1}. ]

دليل - إثبات

كما في السابق ، (F ) و (f_ {n} ) مقيدان ومستمران و (L ) - قابلان للتكامل على أي ([a ، x] ) أو ([x ، a]. ) تحديد (أ ، ) دع

[H (x) = L int_ {a} ^ {x} F ، quad x in E ^ {1}. ]

من خلال النظرية 1 والملاحظة 2 ، (H = int F ) أيضًا بمعنى الفصل 5 ، §5 ، مع (F = H ^ { prime} ) (مشتق من (H )) في (E ^ {1} ).

ومن ثم من خلال التعريف 2 ، نفس القسم ،

[ int_ {a} ^ {x} F = H (x) -H (a) = H (x) -0 = L int_ {a} ^ {x} F؛ ]

بمعنى آخر.،

[L int_ {a} ^ {x} F = int_ {a} ^ {x} F ، ]

و حينئذ

[ start {align} L int_ {a} ^ {x} f_ {n} (t) dt & = n int_ {a} ^ {x} F left (t + frac {1} {n} right) d tn int_ {a} ^ {x} F (t) dt & = n int_ {a + 1 / n} ^ {b + 1 / n} F (t) d tn int_ { أ} ^ {x} F (t) dt. نهاية {محاذاة} ]

(حسبنا

[ int F (t + 1 / n) d t ]

بواسطة النظرية 2 في الفصل 5 ، §5 ، مع (g (t) = t + 1 / n ).) وهكذا عن طريق الجمع ،

[L int_ {a} ^ {x} f_ {n} = n int_ {a + 1 / n} ^ {x + 1 / n} الجبهة الوطنية int_ {a} ^ {x} F = n int_ {x} ^ {x + 1 / n} الجبهة الوطنية int_ {a} ^ {a + 1 / n} F. ]

ولكن

[n int_ {x} ^ {x + 1 / n} F = frac {H left (x + frac {1} {n} right) -H (x)} { frac {1} { n}} rightarrow H ^ { prime} (x) = F (x). ]

بصورة مماثلة،

[ lim _ {n rightarrow infty} n int_ {a} ^ {a + 1 / n} F = F (a). ]

هذا مع (5) يثبت (4) ، وبالتالي النظرية 2 أيضًا. ( quad square )

لدينا أيضًا النتيجة الطبيعية التالية.

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

إذا كان (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} left (E ^ {n}، C ^ {n} right) ) (R ) - تكامل على (A = [ أ ، ب] ، ) ثم

[( forall x in A) quad R int_ {a} ^ {x} f = L int_ {a} ^ {b} f = F (x) -F (a)، ]

بشرط أن (F ) بدائي لـ (f ) في (أ )

دليل - إثبات

هذا يتبع من Theorem 2 by Definition (c) and theorem 2 of Chapter 8، §9.

حذر. قد تفشل الصيغتان (2) و (6) إذا كان (f ) غير محدود ، أو إذا لم يكن (F ) بدائيًا بالمعنى الوارد في التعريف 1 من الفصل 5 ، §5: نحتاج إلى (F ^ { رئيس} = f ) في (AQ ، Q ) قابل للعد ( (م س = 0 ) لا يكفي!). حتى (R ) - التكامل (الذي يجعل (f ) محدود و ae مستمر) لا يكفي إذا

[F neq int f. ]

للحصول على أمثلة ، راجع المشكلات من 2 إلى 5.

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

إذا كان (f ) مستمرًا ومحدودًا نسبيًا في (A = [a، b] ) وله مشتق محدد في (AQ ) ( (Q ) قابل للعد) ، إذن (f ^ { Prime} ) هو (L ) - قابل للتكامل في (A ) و

[L int_ {a} ^ {x} f ^ { prime} = f (x) -f (a) quad text {for} x in A. ]

هذه ببساطة النظرية 2 مع استبدال (F، f، P ) بـ (f، f ^ { prime}، Q، ) على التوالي

نتيجة طبيعية ( PageIndex {3} )

إذا كانت في النظرية 2 البدائية

[F = int f ]

هو بالضبط في بعض (B subseteq A ، ) ثم

[f (x) = frac {d} {d x} L int_ {a} ^ {x} f ، quad x in B. ]

(تذكر أن ( frac {d} {d x} F (x) ) هو تدوين كلاسيكي لـ (F ^ { prime} (x) ).)

دليل - إثبات

بواسطة (2) ، هذا ينطبق على (B subseteq A ) إذا (F ^ { prime} = f ) هناك. ( quad square )

II. لاحظ أنه في ظل افتراضات النظرية 2 ،

[L int_ {a} ^ {x} f = F (x) -F (a) = int_ {a} ^ {x} f. ]

وبالتالي فإن جميع القوانين التي تحكم البدائية ( int f ) تنطبق على (L int f. ) على سبيل المثال ، تعطي النظرية 2 من الفصل 5 ، §5 النتيجة الطبيعية التالية.

النتيجة الطبيعية ( PageIndex {4} ) (تغيير المتغير)

لنفترض أن (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) مستمر نسبيًا على (A = [a، b] ) ويكون له مشتق محدد في (AQ ) ( (Q ) ) معدود).

افترض أن (f: E ^ {1} rightarrow E ) (حقيقي أم لا) له قيمة أولية في (g [A] ، ) بالضبط في (g [AQ] ، ) وأن (f ) مقيد بـ (g [AQ] ).

إذن (f ) هو (L ) - قابل للتكامل في (g [A] ، ) الوظيفة

[(f circ g) g ^ { prime} ]

هو (L ) - قابل للتكامل في (A ، ) و

[L int_ {a} ^ {b} f (g (x)) g ^ { prime} (x) d x = L int_ {p} ^ {q} f (y) d y، ]

حيث (p = g (a) ) و (q = g (b) ).

بالنسبة لهذا التطبيق وغيره من التطبيقات الأولية ، انظر المشكلة 9. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون النهج المباشر أقوى (وإن لم يكن أبسط) ، كما سنوضح لاحقًا.

Lemma ( PageIndex {2} ) (Bonnet)

افترض أن (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) هو ( geq 0 ) ويتناقص بشكل رتيب على (A = [a، b]. ) ثم إذا (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) هو (L ) - قابل للتكامل في (A ، ) وكذلك أيضًا (fg، ) و

[L int_ {a} ^ {b} f g = f (a) cdot L int_ {a} ^ {c} g quad text {لبعض} c in A. ]

دليل - إثبات

يتبع (L ) - تكامل (fg ) النظرية 3 في الفصل 8 ، §6 ، حيث أن (f ) رتيب ومحدود ، وبالتالي زوجي (R ) - قابل للتكامل (النتيجة 3 في الفصل 8 ، §9).

باستخدام هذا و Lemma 1 من نفس القسم ، إصلاح لكل (n ) a ( mathcal {C} ) - قسم

[ mathcal {P} _ {n} = left {A_ {n i} right } quad left (i = 1،2 ، ldots ، q_ {n} right) ]

من (A ) بحيث

[( forall n) quad frac {1} {n}> overline {S} left (f، mathcal {P} _ {n} right) - تسطير {S} left (f ، mathcal {P} _ {n} right) = sum_ {i = 1} ^ {q_ {n}} w_ {ni} m A_ {ni}، ]

حيث وضعنا

[w_ {n i} = sup f left [A_ {n i} right] - inf f left [A_ {n i} right]. ]

ضع في اعتبارك أيًا من هذا ( mathcal {P} = left {A_ {i} right } ، i = 1 ، ldots ، q ) (قمنا بإسقاط " (n )" للإيجاز). إذا (A_ {i} = left [a_ {i-1} ، a_ {i} right] ، ) ثم منذ (f downarrow ) ،

[w_ {i} = f left (a_ {i-1} right) -f left (a_ {i} right) geq left | f (x) -f left (a_ {i- 1} right) right | ، quad x in A_ {i}. ]

تحت مقياس Lebesgue (المشكلة 8 من الفصل 8 ، §9) ، قد نضع

[A_ {i} = left [a_ {i-1}، a_ {i} right] quad ( forall i) ]

وما زلت تحصل

[ begin {align} L int_ {A} fg & = sum_ {i = 1} ^ {q} f left (a_ {i-1} right) L int_ {A_ {i}} g (x) dx & + sum_ {i = 1} ^ {q} L int_ {A_ {i}} left [f (x) -f left (a_ {i-1} right) يمين] ز (x) د x. نهاية {محاذاة} ]

(تحقق!) هنا (a_ {0} = a ) و (a_ {q} = b ).

الآن ، مجموعة

[G (x) = L int_ {a} ^ {x} g ]

وأعد كتابة أول مجموع (أطلق عليه (r ) أو (r_ {n} )) كـ

[ start {align} r & = sum_ {i = 1} ^ {q} f left (a_ {i-1} right) left [G left (a_ {i} right) -G left (a_ {i-1} right) right] & = sum_ {i = 1} ^ {q-1} G left (a_ {i} right) left [f left ( a_ {i-1} right) -f left (a_ {i} right) right] + G (b) f left (a_ {q-1} right) ، end {align} ]

أو

[r = sum_ {i = 1} ^ {q-1} G left (a_ {i} right) w_ {i} + G (b) f left (a_ {q-1} right) ، ]

لأن (f left (a_ {i-1} right) -f left (a_ {i} right) = w_ {i} ) و (G (a) = 0 ).

الآن ، من خلال النظرية 1 (مع (H ، f ) تم استبداله بـ (G ، g )) ، (G ) مستمر على (A = ) ([a ، b] ؛ ) لذلك (G ) يحقق أكبر قيمة (K ) وأقل قيمة (ك ) على (أ )

مثل (f downarrow ) و (f geq 0 ) في (A ، ) لدينا

[w_ {i} geq 0 text {and} f left (a_ {q-1} right) geq 0. ]

وبالتالي ، استبدال (G (b) ) و (G left (a_ {i} right) ) بـ (K ( text {or} k) ) في ((13) ) و مشيرا إلى ذلك

[ sum_ {i = 1} ^ {q-1} w_ {i} = f (a) -f left (a_ {q-1} right) ، ]

نحصل

[k f (a) leq r leq K f (a)؛ ]

بشكل كامل ، مع (k = min G [A] ) و (K = max G [A] ) ،

[( forall n) quad k f (a) leq r_ {n} leq K f (a). ]

بعد ذلك ، دع (s ) (أو بالأحرى (s_ {n} ) يكون المجموع الثاني في (12). مع ملاحظة ذلك

[w_ {i} geq left | f (x) -f left (a_ {i-1} right) right | ، ]

افترض أولاً أن (| g | leq B ) (محدد) على (A ).

ثم للجميع (n ) ،

[ يسار | s_ {n} يمين | leq sum_ {i = 1} ^ {q_ {n}} L int_ {A_ {ni}} left (w_ {ni} B right) = B sum_ {i = 1} ^ {q_ {n }} w_ {ni} m A_ {ni} < frac {B} {n} rightarrow 0 quad text {(بواسطة (11)).} ]

لكن بحلول (12) ،

[L int_ {A} f g = r_ {n} + s_ {n} quad ( forall n). ]

كـ (s_ {n} rightarrow 0 ) ،

[L int_ {A} f g = lim _ {n rightarrow infty} r_ {n}، ]

وهكذا بحلول (14) ،

[k f (a) leq L int_ {A} f g leq K f (a). ]

من خلال الاستمرارية ، يأخذ (f (a) G (x) ) القيمة المتوسطة (L int_ {A} f g ) في بعض (c in A ؛ ) لذلك

[L int_ {A} f g = f (a) G (c) = f (a) L int_ {a} ^ {c} g، ]

منذ

[G (x) = L int_ {a} ^ {x} f. ]

وهكذا ثبت كل شيء من أجل حدود (ز. )

يتم الوصول إلى (g ) غير المحدود من خلال ما يسمى بطريقة الاقتطاع الموضحة في المشكلتين 12 و 13. (تحقق!) ( quad square )

النتيجة الطبيعية ( PageIndex {5} ) (القانون الثاني للوسط)

لنفترض أن (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) رتيبًا على (A = [a، b]. ) ثم إذا (g: E ^ {1} rightarrow E ^ { 1} ) هو (L ) - قابل للتكامل في (A ، ) وكذلك أيضًا (fg ، ) و

[L int_ {a} ^ {b} fg = f (a) L int_ {a} ^ {c} g + f (b) L int_ {c} ^ {b} g quad text { بالنسبة للبعض} ج في أ ]

دليل - إثبات

إذا ، على سبيل المثال ، (f downarrow ) في (A ، ) مجموعة

[h (x) = f (x) -f (b). ]

ثم (h geq 0 ) و (h downarrow ) في (A ؛ ) هكذا بواسطة Lemma 2 ،

[ int_ {a} ^ {b} g h = h (a) L int_ {a} ^ {c} g quad text {for some} c in A. ]

كما

[h (a) = f (a) -f (b)، ]

هذا يعني بسهولة (15).

إذا (f uparrow، ) طبق هذه النتيجة على (- f ) للحصول على (15) مرة أخرى. ( quad square )

ملاحظة 3. قد نعيد صياغة (15) كـ

[( موجود c in A) quad L int_ {a} ^ {b} fg = p L int_ {a} ^ {c} g + q L int_ {c} ^ {b} g، ]

المقدمة سواء

(i) (f uparrow ) و (p leq f (a +) leq f (b-) leq q، ) أو

(ii) (f downarrow ) و (p geq f (a +) geq f (b-) geq q ).

هذا البيان يقوي قليلا (15).

لإثبات البند (1) ، أعد تعريفه

[f (a) = p text {and} f (b) = q. ]

ثم لا يزال (f uparrow؛ ) بحيث يتم تطبيق (15) ويعطي النتيجة المرجوة. وبالمثل بالنسبة لـ (2). للحصول على (g ، ) المستمر انظر أيضًا المشكلة 13 (ii ') في الفصل 8 ، §9 ، بناءً على نظرية Stieltjes.

ثالثا. نعطي الآن نظيرًا مفيدًا لمفهوم البدائي.

تعريف

الخريطة (F: E ^ {1} rightarrow E ) تسمى (L ) - بدائية أو غير محددة (L ) - تكامل (f: E ^ {1} rightarrow E ، ) في (A = [a، b] ) iff (f ) is (L ) - تكامل في (A ) و

[F (x) = c + L int_ {a} ^ {x} f ]

للجميع (س في أ ) وبعض المحددات الثابتة (ج في إي ).

الرموز:

[F = L int f quad left ( text {not} F = int f right) ]

أو

[F (x) = L int f (x) d x quad text {on} A. ]

بواسطة (16) ، تختلف جميع (L ) - بدائل (f ) في (A ) عن طريق الثوابت المحدودة فقط.

إذا (E = E ^ {*} left (E ^ {n}، C ^ {n} right) ، ) يمكن للمرء استخدام هذا المفهوم لرفع قيود الحدود على (f ) في النظرية 2 و نتائج هذا القسم. سيتم تقديم الدليل في الفقرة 2. ومع ذلك ، للمقارنة ، نذكر بالفعل النظريات الرئيسية الآن.

نظرية ( PageIndex {3} )

يترك

[F = L int f quad text {on} A = [a، b] ]

بالنسبة لبعض (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} left (E ^ {n}، C ^ {n} right) ).

ثم (F ) قابل للتفاضل بـ

[F ^ { prime} = f quad text {a.e. على.]

في التدوين الكلاسيكي ،

[f (x) = frac {d} {d x} L int_ {a} ^ {x} f (t) d t quad text {للجميع تقريبًا x in A. ]

تم رسم دليل في المشكلة 6 من الفصل 8 ، §12. (إنه موجز ولكنه يتطلب مواد "مميزة بنجمة" أكثر من المستخدمة في الفقرة 2.)

نظرية ( PageIndex {4} )

لنفترض أن (F: E ^ {1} rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) قابل للتفاضل على (A = [a، b] ) (في (a ) و (ب ) قد تكون التفاضل من جانب واحد). لنفترض أن (F ^ { prime} = f ) يكون (L ) - قابل للتكامل على (A ).

ثم

[L int_ {a} ^ {x} f = F (x) -F (a) quad text {for all} x in A. ]


9.2: المشتق العكسي

لقد قضيت العديد من الدروس في تعلم كيفية العثور على المشتق ، f & Prime (x) ، للدالة f (x) ، وعملية التفاضل. لا ينبغي أن يكون مفاجئًا إذن أنه سيكون هناك اسم للدالة f (x) ، أو مجموعة الوظائف ، التي يمكن أن تولد f & Prime (x) عند التفريق: f (x) و f & prime (x) هما زوجان من الوظائف العكسية ، و f (x) تسمى عكسي من f & Prime (x). قبل متابعة الدرس ، حاول سرد الدوال التي هي أزواج مشتقة ومشتقة؟


9.1: تكاملات L والمشتقات العكسية - رياضيات

سنركز في هذا القسم على كيفية تقييمنا للتكاملات المحددة عمليًا. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، الجزء الثاني.

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، الجزء الثاني

افترض أن (f left (x right) ) دالة مستمرة في ( left [ right] ) وافترض أيضًا أن (F left (x right) ) هو أي مضاد مشتق لـ (f left (x right) ). ثم،

للاطلاع على دليل على ذلك ، راجع قسم إثبات الخصائص المتكاملة المتنوعة في فصل الإضافات.

تذكر أنه عندما نتحدث عن مضاد مشتق لوظيفة ما ، فإننا نتحدث حقًا عن التكامل غير المحدود للدالة. لذلك ، لتقييم تكامل محدد ، فإن أول شيء سنفعله هو إيجاد قيمة التكامل غير المحدد للدالة. يجب أن يفسر هذا التشابه في الرموز للتكاملات غير المحددة والمحددة.

لاحظ أيضًا أننا نطلب أن تكون الدالة متصلة في فترة التكامل. كان هذا أيضًا مطلبًا في تعريف التكامل المحدد. لم نقم بأمر كبير بشأن هذا في القسم الأخير. ومع ذلك ، في هذا القسم ، سنحتاج إلى وضع هذا الشرط في الاعتبار أثناء قيامنا بتقييماتنا.

بعد ذلك ، دعونا نتناول حقيقة أنه يمكننا استخدام أي مضاد مشتق لـ (f left (x right) ) في التقييم. دعونا نلقي نظرة أخيرة على التكامل التالي.

كلا الأمرين التاليين عبارة عن مشتقات مضادة للمتكامل.

باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتقييم هذا التكامل مع أول مشتقات مضادة تعطي ،

أسهل بكثير من استخدام التعريف أليس كذلك؟ دعنا الآن نستخدم مضاد المشتقات الثاني لتقييم هذا التكامل المحدد.

تم إلغاء الثابت الذي وضعناه في مضاد المشتقة الثاني في خطوة التقييم. لذلك ، عند اختيار مضاد المشتقات لاستخدامه في عملية التقييم ، اجعل حياتك أسهل ولا تهتم بالثابت لأنه سينتهي به الأمر فقط إلى الإلغاء على المدى الطويل.

لاحظ أيضًا أنه سيتعين علينا توخي الحذر الشديد مع علامات الطرح والأقواس مع هذه المشكلات. من السهل جدًا التعجل وإفسادهم.

لنبدأ الأمثلة لدينا بالمجموعة التالية المصممة لتوضيح بعض النقاط السريعة التي تعتبر في غاية الأهمية.

هذا هو التكامل الوحيد غير المحدود في هذا القسم ، والآن يجب أن نكون جيدًا مع هذه العناصر حتى لا نقضي الكثير من الوقت في هذا الجزء. هذا هنا فقط للتأكد من أننا نفهم الفرق بين تكامل غير محدد وتكامل محدد. التكامل هو

تذكر من المثال الأول أعلاه أن كل ما نحتاجه هنا حقًا هو أي مضاد مشتق للمتكامل. لقد قمنا بحساب أكثر مضاد المشتقات شيوعًا في الجزء الأول حتى نتمكن من استخدامه إذا أردنا ذلك. ومع ذلك ، تذكر أنه كما لاحظنا أعلاه ، فإن أي ثوابت نتعامل معها ستلغي فقط على المدى الطويل ولذا سنستخدم الإجابة من (أ) بدون "+ (ج )".

تذكر أن التقييم يتم دائمًا بترتيب التقييم عند الحد الأعلى مطروحًا منه التقييم عند الحد الأدنى. كن حذرًا أيضًا مع علامات الطرح والأقواس. من السهل جدًا نسيانها أو إساءة التعامل معها والحصول على إجابة خاطئة.

لاحظ أيضًا أنه من أجل المساعدة في التقييم ، قمنا بإعادة كتابة التكامل غير المحدد قليلاً. على وجه الخصوص ، تخلصنا من الأس السالب في الحد الثاني. من الأسهل بشكل عام تقييم المصطلح بأسس موجبة.

هذا التكامل هنا لتوضيح نقطة. تذكر أنه لكي نتمكن من إجراء تكامل ، يجب أن يكون التكامل و مستمرًا في نطاق الحدود. في هذه الحالة ، سيقسم الحد الثاني على صفر عند (y = 0 ) وبما أن (y = 0 ) يقع في فترة التكامل ، بمعنى آخر. إنه يقع بين الحد الأدنى والأعلى ، وهذا التكامل ليس مستمرًا في فترة التكامل وبالتالي لا يمكننا القيام بهذا التكامل.

لاحظ أن هذه المشكلة لن تمنعنا من إجراء التكامل في (ب) لأن (y = 0 ) ليس في فترة التكامل.

إذن ، ما الذي تعلمناه من هذا المثال؟

أولاً ، من أجل القيام بتكامل محدد ، فإن أول شيء علينا القيام به هو التكامل غير المحدود. لذلك ، لن نخرج من إجراء تكاملات غير محددة ، ستكون في كل تكامل سنقوم به في بقية هذه الدورة ، لذا تأكد من أنك تجيد حسابها.

ثانيًا ، يجب أن نبحث عن الدوال غير المتصلة عند أي نقطة بين حدود التكامل. من المهم أيضًا ملاحظة أن هذا لن يكون مشكلة إلا إذا حدثت نقطة (نقاط) عدم الاستمرارية بين حدود التكامل أو عند الحدود نفسها. إذا حدثت نقطة عدم الاستمرارية خارج حدود التكامل ، فلا يزال من الممكن تقييم التكامل.

في المجموعات التالية من الأمثلة ، لن نتحدث كثيرًا عن مشكلة الاستمرارية ، أو الافتقار إلى مشاكل الاستمرارية ، ما لم تؤثر على تقييم التكامل. لا تدع هذا يقنعك بأنه لا داعي للقلق بشأن هذه الفكرة. غالبًا ما تظهر بدرجة كافية بحيث يمكن أن تسبب مشاكل حقيقية إذا لم تكن تبحث عنها.

أخيرًا ، لاحظ الفرق بين التكاملات غير المحددة والتكاملات المحددة. التكاملات غير المحددة هي وظائف بينما التكاملات المحددة هي أرقام.

فلنعمل على بعض الأمثلة الأخرى.

  1. (displaystyle int _ << - 3 >> ^ <1> << 6- 5x + 2 ، dx >> )
  2. ( displaystyle int _ << ، 4 >> ^ << ، 0 >> << sqrt t left ( حق) ، دت >> )
  3. (displaystyle int _ << ، 1 >> ^ <<، 2 >> << frac << 2- ث + 3 >> <<>> ، دى >> )
  4. ( displaystyle int _ << ، 25 >> ^ << ، - 10 >> <>)

ليس هناك الكثير لهذا العمل غير مجرد القيام بالعمل.

تذكر أنه لا يمكننا تكامل المنتجات كمنتج للتكاملات ، ولذا نحتاج أولاً إلى مضاعفة التكامل والمخرج قبل التكامل ، تمامًا كما فعلنا في حالة التكامل غير المحددة.

في عملية التقييم تذكر أن ،

أيضًا ، لا تشغل بالك بحقيقة أن الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل. سيحدث ذلك في بعض الأحيان ولا حرج على الإطلاق في ذلك.

أولاً ، لاحظ أنه سيكون لدينا مشكلة قسمة على صفر عند (w = 0 ) ، ولكن نظرًا لأن هذا ليس في فترة التكامل ، فلن نقلق بشأنه.

بعد ذلك ، تذكر مرة أخرى أنه لا يمكننا تكامل خارج القسمة باعتباره خارج قسمة التكاملات ، وبالتالي فإن الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي تفكيك حاصل القسمة حتى نتمكن من دمج الدالة.

لا تتشوق للإجابات التي لا تنخفض إلى عدد صحيح أو كسر بسيط. في كثير من الأحيان لا يفعلون ذلك. لا تنس أيضًا أن ( ln left (1 right) = 0 ).

هذا في الواقع سهل جدا. تذكر أننا ندمج 1.

المجموعة الأخيرة من الأمثلة تعاملت حصريًا مع تكامل قوى (س ). فلنعمل على بعض الأمثلة التي تتضمن وظائف أخرى.

  1. ( displaystyle int _ << ، 0 >> ^ << ، 1 >> << 4x - 6 sqrt [3] <<>> ، دكس >> )
  2. ( displaystyle int _ << ، 0 >> ^ << ، frac < pi> <3> >> << 2 sin theta - 5 cos theta ، d theta >> )
  3. ( displaystyle int _ << ، < pi> / <6> >> ^ << ، < pi> / <4> >> << 5 - 2 sec z tan z ، دز >> )
  4. (displaystyle int _ << ، - 20 >> ^ <<، - 1 >> << frac <3> <<<< bf> ^ <- z >>>> - frac <1> <<3z>> ، dz >> )
  5. (displaystyle int _ << ، - 2 >> ^ <<، 3 >> << 5- 10 طن + فارك <1> دت >> )

هذا موجود هنا في الغالب للتناقض مع المثال التالي.

كن حذرا مع العلامات مع هذه واحدة. تذكر من الأقسام المتكاملة غير المحددة أنه من السهل إفساد العلامات عند دمج الجيب وجيب التمام.

قارن هذه الإجابة بالإجابة السابقة ، خاصة التقييم عند الصفر. من السهل جدًا التعود على مجرد كتابة الصفر عند تقييم دالة عند الصفر. هذه مشكلة خاصة عندما تتضمن العديد من الدوال التي ندمجها فقط (x ) مرفوعة إلى أعداد صحيحة موجبة هذه القيمة تساوي صفرًا بالطبع. بعد تقييم العديد من هذه الأنواع من التكاملات المحددة ، من السهل التعود على مجرد كتابة الصفر عند التقييم عند الصفر. ومع ذلك ، هناك العديد من الدوال التي لا تصل إلى الصفر عند تقييمها عند الصفر ، لذا كن حذرًا.

ليس هناك الكثير لتفعله بخلاف التكامل.

للتقييم ، تذكر ذلك

وبالتالي ، إذا تمكنا من إيجاد قيمة جيب التمام عند هذه الزوايا ، فيمكننا إيجاد قيمة القاطع عند هذه الزوايا.

للقيام بذلك ، سيحتاج المرء إلى إعادة كتابة كلا الحدين في التكامل قليلاً على النحو التالي ،

استخدمنا في استدعاء المصطلح الأول الحقيقة التالية حول الأسس.

في الحد الثاني ، سيؤدي إخراج 3 من المقام إلى تسهيل تكامل هذا الحد.

فقط اترك الجواب مثل هذا. إنه فوضوي ، لكنه دقيق أيضًا.

لاحظ أن أشرطة القيمة المطلقة على اللوغاريتم مطلوبة هنا. بدونهم لم نتمكن من إجراء التقييم.

هذا التكامل لا يمكن أن يتم. يوجد قسمة على صفر في الحد الثالث عند (t = 0 ) و (t = 0 ) تقع في فترة التكامل. لا يهم حقيقة أنه يمكن دمج المصطلحين الأولين. إذا كان لا يمكن دمج مصطلح واحد في التكامل ، فلا يمكن أن يتم التكامل بالكامل.

لذلك ، قمنا بحساب عدد لا بأس به من التكاملات المحددة في هذه المرحلة. تذكر أن الغالبية العظمى من العمل في حسابهم هو إيجاد التكامل غير المحدد أولاً. بمجرد أن وجدنا أن الباقي هو مجرد عدد قليل من الطحن.

هناك نوعان من التكاملات المحددة الصعبة التي نحتاج إلى إلقاء نظرة عليها بعد ذلك. في الواقع ، هم فقط خادعون حتى ترى كيفية القيام بها ، لذلك لا تكن متحمسًا جدًا بشأنها. الأول يتضمن تكامل دالة متعددة التعريف.

احسب التكاملات التالية.

لنبدأ أولاً برسم بياني لهذه الوظيفة.

يكشف الرسم البياني عن مشكلة. هذه الوظيفة ليست مستمرة عند (x = 1 ) وعلينا الانتباه لذلك.

بالنسبة إلى هذا الإشعار المتكامل ، فإن (x = 1 ) ليس في فترة التكامل ولذلك لا داعي للقلق بشأن هذا الجزء في هذا الجزء.

لاحظ أيضًا أن حدود التكامل تقع بالكامل في نطاق الدالة الأولى. ما يعنيه هذا بالنسبة لنا هو أنه عندما نقوم بالتكامل ، كل ما علينا فعله هو التعويض بالدالة الأولى في التكامل.

في هذا الجزء (x = 1 ) يقع بين حدود التكامل. هذا يعني أن عنصر التكامل لم يعد مستمرًا في الفترة الزمنية للتكامل ، وهذا مانع للعرض بقدر ما نشعر بالقلق. كما هو مذكور أعلاه ، لا يمكننا ببساطة دمج الوظائف غير المستمرة في فترة التكامل.

أيضًا ، حتى لو كانت الدالة متصلة عند (x = 1 ) ، فسنظل نواجه مشكلة أن الوظيفة هي في الواقع معادلتين مختلفتين اعتمادًا على مكان وجودنا في فترة التكامل.

دعونا نتناول أولاً مشكلة عدم استمرار الدالة عند (x = 1 ). كما سنرى ، في هذه الحالة ، إذا تمكنا من إيجاد طريقة للتغلب على هذه المشكلة ، فسيتم أيضًا الاهتمام بالمشكلة الثانية في نفس الوقت.

في الأمثلة السابقة حيث كان لدينا دوال لم تكن متصلة ، كان لدينا قسمة على صفر وبغض النظر عن مدى صعوبة المحاولة ، لا يمكننا التخلص من هذه المشكلة. القسمة على الصفر مشكلة حقيقية ولا يمكننا تجنبها حقًا. في هذه الحالة ، لا ينشأ الانقطاع عن مشاكل الوظيفة غير الموجودة في (x = 1 ). بدلاً من ذلك ، فإن الوظيفة ليست مستمرة لأنها تأخذ قيمًا مختلفة على جانبي (x = 1 ). يمكننا "إزالة" هذه المشكلة من خلال استدعاء الخاصية 5 من القسم السابق. تخبرنا هذه الخاصية أنه يمكننا كتابة التكامل على النحو التالي ،

في كل من هذه الفترات ، تكون الوظيفة مستمرة. في الحقيقة يمكننا قول المزيد. في التكامل الأول ، سيكون لدينا (x ) بين -2 و 1 وهذا يعني أنه يمكننا استخدام المعادلة الثانية لـ (f left (x right) ) وبالمثل بالنسبة للتكامل الثاني (x ) ) بين 1 و 3 ولذا يمكننا استخدام الوظيفة الأولى لـ (f left (x right) ). التكامل في هذه الحالة هو إذن ،

لذا ، لدمج دالة متعددة التعريف ، كل ما علينا فعله هو تفكيك التكامل عند نقطة (نقاط) الفاصل التي تحدث في فترة التكامل ثم تكامل كل قطعة.

بعد ذلك ، علينا النظر إلى كيفية تكامل دالة القيمة المطلقة.

تذكر أن النقطة الكامنة وراء التكامل غير المحدد (والتي سنحتاج إلى القيام بها في هذه المشكلة) هي تحديد الوظيفة التي ميزناها للحصول على التكامل. حتى هذه اللحظة ، لم نر أي دوال ستشتق للحصول على قيمة مطلقة ولن نرى أبدًا دالة ستشتق للحصول على قيمة مطلقة.

الطريقة الوحيدة لحل هذه المشكلة هي التخلص من القيمة المطلقة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تذكر تعريف القيمة المطلقة.

بمجرد أن نتذكر أنه يمكننا تعريف القيمة المطلقة كدالة متعددة التعريف ، يمكننا استخدام العمل من المثال 4 كدليل للقيام بهذا التكامل.

ما يتعين علينا القيام به هو تحديد أين تكون الكمية الموجودة داخل أشرطة القيمة المطلقة سالبة وأين تكون موجبة. يبدو أنه إذا (t & gt frac <5> <3> ) كانت الكمية داخل القيمة المطلقة موجبة وإذا كانت (t & lt frac <5> <3> ) الكمية داخل القيمة المطلقة سالبة .

بعد ذلك ، لاحظ أن (t = frac <5> <3> ) يقع في فترة التكامل ، وبالتالي ، إذا قمنا بتفكيك التكامل في هذه المرحلة ، نحصل على ،

الآن ، في التكاملات الأولى لدينا (t & lt frac <5> <3> ) وهكذا (3t - 5 & lt 0 ) في فترة التكامل هذه. هذا يعني أنه يمكننا إسقاط أشرطة القيمة المطلقة إذا وضعنا علامة الطرح. وبالمثل ، في التكامل الثاني لدينا (t & gt frac <5> <3> ) مما يعني أنه في فترة التكامل هذه لدينا (3t - 5 & gt 0 ) وبالتالي يمكننا إسقاط القيمة المطلقة أشرطة في هذا التكامل.

بعد التخلص من أشرطة القيمة المطلقة في كل تكامل ، يمكننا عمل كل تكامل. لذلك ، عند إجراء التكامل ،

إن تكامل دوال القيمة المطلقة ليس سيئًا للغاية. إنه عمل أكثر بقليل من التكامل المحدد "القياسي" ، لكنه في الحقيقة ليس كل هذا العمل الإضافي. أولاً ، حدد أين تكون الكمية داخل أشرطة القيمة المطلقة سالبة وأين تكون موجبة. عندما نحدد هذه النقطة ، كل ما نحتاج إليه هو تفكيك التكامل بحيث تكون الكمية الموجودة داخل أشرطة القيمة المطلقة موجبة دائمًا أو سالبة دائمًا في كل نطاق من الحدود. بمجرد الانتهاء من ذلك ، يمكننا إسقاط أشرطة القيمة المطلقة (إضافة إشارات سلبية عندما تكون الكمية سالبة) ومن ثم يمكننا إجراء التكامل كما فعلنا دائمًا.

الوظائف الفردية والزوجية

هذا هو الموضوع الأخير الذي نحتاج إلى مناقشته في هذا القسم.

أولاً ، تذكر أن الوظيفة الزوجية هي أي وظيفة ترضي ،

[f left (<- x> right) = f left (x right) ]

الأمثلة النموذجية للوظائف الزوجية هي ،

[f يسار (x يمين) = hspace <0.5in> f left (x right) = cos left (x right) ]

الوظيفة الفردية هي أي وظيفة ترضي ،

[f left (<- x> right) = - f left (x right) ]

الأمثلة النموذجية للوظائف الفردية هي ،

[f يسار (x يمين) = hspace <0.5in> f left (x right) = sin left (x right) ]

هناك بعض الحقائق اللطيفة حول دمج الدوال الزوجية والفردية خلال الفاصل ( left [<- a، a> right] ). إذا كانت (f left (x right) ) دالة زوجية إذن ،

وبالمثل ، إذا كانت (f left (x right) ) دالة فردية إذن ،

لاحظ أنه من أجل استخدام هذه الحقائق ، يجب أن يكون حد التكامل هو نفس العدد ، لكن علامات معاكسة!

لا يعتبر أي من هذين التكاملات صعبًا للغاية ، لكن يمكننا استخدام الحقائق بشأنهما على أي حال.

أ (displaystyle int _ << ، - 2 >> ^ << ، 2 >> << 4- + 1 ، dx >> ) إظهار الحل

في هذه الحالة ، يكون التكامل زوجيًا ويكون الفاصل الزمني صحيحًا ،

لذلك ، باستخدام الحقيقة ، قم بقطع التقييم إلى النصف (من حيث الجوهر لأن أحد الحدود الجديدة كان صفرًا).

التكامل في هذه الحالة فردي والفاصل الزمني في الشكل الصحيح ، لذلك لا نحتاج حتى إلى التكامل. فقط استخدم الحقيقة.

لاحظ أن حدود التكامل مهمة هنا. خذ التكامل الأخير كمثال. التغيير البسيط للحدود لن يعطينا صفرًا.

[ int _ << ، - 10 >> ^ << ، 9 >> <<+ sin left (x right) ، dx >> = cos left (<10> right) - cos left (9 right) - frac <<468559>> <6> = - 78093.09461 ]


Ак Wolfram | Alpha вычисляет значения интегралов

Wolfram | Alpha нахения не таким образом، как то делают люди. на использует команду دمج системы Mathematica ، оторая является результатом огромного объема математичстьтьнито. Команда دمج вычисляет интегралы не так، как человек. на использует использует и общие алгоритмы، асто включающие вклаие себя математические вычисленит. аиболее часто то происходит одним из двух способов. В первом - интеграл вычисляют в общем виде с неопределенными коэффициентами، результат дифференцируют и решают уравнения для этих коэффициентов так، чтобы получалось конкретное подынтегральное выражение. Даже для достаточно простых интегралов، генерируемые уравнения могут быть очень громоздкими، а для их решения могут требоваться сильные возможности системы الرياضيات в алгебраических вычислениях. Другой подход، используемый системой الرياضيات для вычисления интегралов، состоит в записи подынтегрального выражения в терминах обобщенных гипергеометрических функций и использовании ряда тождеств между функциями из этого весьма общего класса математических функций.

Несмотря на то، что эти эффективные алгоритмы дают ولفرام | ألفا возможность быстро находить значения интегралов и позволяют ей работать с широким рядом специальных функций، для неё также важно уметь вычислять интегралы так، как это делал бы человек. оэтому Wolfram | Alpha имеет алгоритмы пошагового интегрирования. ни используют совершенно другую технику интегрирования، имитирующую способ решения интегралов، интегралов. Сюда входит интегрирование методом подстановки، интегрирование по частям، использование тригонононо.


لنفترض أن $ F (u) $ مشتق عكسي لـ $ f (u) $. نوضح أن $ F ( phi (x)) $ مشتق عكسي لـ $ f ( phi (x)) phi '(x) $.

يستخدم الإثبات قاعدة السلسلة. اشتق $ F ( phi (x)) $. نحصل على $ phi '(x) F' ( phi (x)) $ ، وهو $ f ( phi (x)) phi '(x) $.

لا يمر المرء بكل هذه الكتابة عند استخدام التعويض فعليًا. هنا نسخة متوسطة الطول من نفس الشيء. دع $ x = au $. ثم $ dx = a و du $ و $ a ^ 2 + x ^ 2 = a ^ 2 (1 + u ^ 2) $. وبالتالي فإن تكاملنا هو $ int frac <1> frac <1> <1 + u ^ 2> a ، du، $ وهو $ frac <1> arctan u + C $. الآن استبدل $ u $ بـ $ x / a $.


في رأيي ، المهم هو أن يؤجل المرء استخدام المصطلح تكامل غير محدد حتى بعد أن يرى المرء التكاملات المحددة والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. إذا سمعت عن "التكاملات غير المحددة" أولاً ، فمن الطبيعي أن تتراكب معرفيًا مع التكاملات المحددة فوق التكاملات غير المحددة: إنه تكامل غير محدد بالإضافة إلى أكثر من ذلك بقليل: $ F (x) (+ C) mapsto F (b ) - F (a) $. بعبارة أخرى ، يبدو أن هذا يحفز ما قد يكون العملية المعرفية الأكثر إحباطًا لطلاب التفاضل والتكامل: الميل إلى اعتبار النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بمثابة تعريف.

للمساعدة في هذا أحاول استخدام المصطلح عكسي بدلاً من "تكامل غير محدد" قدر الإمكان. في مرحلة ما أخطأت لأننا بعد كل شيء نستخدم نفس علامة التكامل لكليهما: تقريبيا أتمنى لو لم نفعل ذلك. (باستخدام تدوين متطابق تقريبًا لشخصين بداهة الأشياء المختلفة بشكل لا يصدق والتي تصبح تقريبًا في وضع FTC هي واحدة من الابتكارات الرائعة في حساب التفاضل والتكامل. إنه هناك مع in / popular $ frac$.) أبدأ أيضًا مناقشة المشتقات العكسية أثناء إجراء حساب التفاضل. عندما تحدد عملية مثيرة للاهتمام في الرياضيات ، فمن السهل بيعها للنظر في المقابلة مشكلة عكسية: ما هي المدخلات ، إن وجدت ، التي تؤدي إلى ناتج معين؟ بالنسبة لي ، فإن تفرد المشتقات العكسية حتى الثابت هو أحد التطبيقات الرئيسية لنظرية القيمة المتوسطة. بشكل عام في ذلك الوقت أذكر مشكلة وجود من المشتقات العكسية لأي دالة مستمرة وتلمح إلى حقيقة أننا بحاجة إلى حل هذه المشكلة دمج، والتي أعني بها وظائف المنطقة.

(لسنوات عديدة كنت أعتقد أنك "تحتاج" حقًا إلى التكامل لإثبات وجود المشتقات العكسية للوظائف المستمرة. لقد علمت مؤخرًا أن هناك أدلة على ذلك لا تستخدم التكامل على الإطلاق. وكان أول شخص قدم مثل هذا الدليل هو على ما يبدو. Henri Lebesgue! كالعادة هناك مقالة شهرية لطيفة حول هذا.)

أبدأ أيضًا بالتدوين $ int_a ^ b f $ لـ "التكاملات المحددة". أتناول $ dx $ فقط بعد إجراء FTC وإدخال التكامل عن طريق تغيير المتغيرات (أو ، كما تعلمت في المدرسة الثانوية وما زلت أفكر في سياق متغير واحد: "u-replace") ، عند هذه النقطة أنا حاول شرح المعنى الذي يكون فيه $ dx $ "مجرد" جهاز لايبنيزي لامع لتبسيط عملية تغيير المتغيرات. (أتمنى أن يغفر لي أنصار التحليل غير القياسي: لا أقول أي شيء عن اللامتناهيات في الصغر في دورات حساب التفاضل والتكامل الخاصة بي.


المجاميع والتكاملات المحددة وغير المحددة

لقد خطر ببالي أنني أميل إلى التفكير في التكاملات بشكل أساسي على أنها تكاملات غير محددة ومجموع بشكل أساسي كمجموعات محددة. أي عندما أرى تكاملًا محددًا ، فإن أسلوبي الأول في حله هو إيجاد المشتق العكسي ، وفقط إذا كان ذلك لا يبدو واعدًا ، فسأفكر فيما إذا كانت هناك طريقة خاصة لحلها لهذه الحدود الخاصة بينما عندما أرى مجموعًا ، فليس أول ما يحدث لي أن المصطلحات قد تكون اختلافات في بعض الوظائف. بعبارة أخرى ، يبدو أن تلسكوب مبلغ ما هو مجرد طريقة واحدة معينة من بين العديد من تقييمه ، في حين أن إيجاد المشتقات العكسية هو ال الطريقة الأساسية لحساب التكاملات. في الحقيقة لقد تعلمت عن المجاميع المتداخلة في وقت متأخر كثيرًا عن المشتقات العكسية ، ولم أتعلم إلا مؤخرًا نسبيًا أن أرى هاتين الظاهرتين كإصدارات مختلفة من الشيء نفسه. يبدو لي أيضًا أن جزء الحالات التي يكون فيها هذا النهج مفيدًا من الناحية التجريبية أعلى بكثير للتكاملات مقارنة بالمجموع.

لذلك أنا أتساءل لماذا هذا. هل ترى سببًا منهجيًا يجعل هذه الطريقة أكثر إنتاجية للتكاملات؟ أم أنها ربما تكون مجرد مسألة تربوية وأن وجهة النظر "الموضوعية" لن تميز بين المبالغ والتكاملات في هذا الصدد؟

أدرك أن هذا سؤال بسيط إلى حد ما ، لكنني آمل أنه قد يولد بعض البصيرة دون أن يؤدي إلى مناقشات مفتوحة.


ابحث فقط عن $ f '' (t) $ ثم انظر إلى علامة $ f '' (t) $ عند النقاط الحرجة. يجب أن تحصل على $ f '' (- 5) & gt0 $ التي تخبرك أن $ x = -5 $ حد أدنى و $ f '' (- 9) & lt0 $ الذي يخبرك أن $ x = -9 $ حد أقصى. انظر اختبار المشتق الثاني.

ستكون نقاط الحد الأدنى والحد الأقصى ونقاط الانعطاف عند النقاط التي يكون فيها المشتق ، في حالتك ، التكامل والصفر.

في حالتك ، هذه هي الحلول لـ: $ x ^ 2 + 14x + 45 = 0 $ أي ، $ x = -9 ، -5 $. To find which is a minimum / maximum, I would just evaluate the integrand at some sample points such as $x=0,-2pi,-3pi$. You get that for instance: $f'(0) = frac<45> <2>>0$ And that: $f'(-2pi) = frac<4pi^2-28pi+45> <2><0$ This means the point $x=-5$ is a minimum, since the derivative is increasing at between $-2pi$ and $. A similar calculation follows for the point $x=-9$.


4 إجابات 4

I've only skimmed it, but Irresistible Integrals by George Boros and Victor H. Moll seems worth a look.

My favorite is a book of 1992 from Daniel Zwillinger : "Handbook of Integration" it is a "compilation of the most important methods" in 360 pages. Recommanded!

As a first approximation, Whittaker and Watson's ". Modern Analysis" shows how to use the Gamma function, and other classical "special functions" (that one would not hear about in traditional calculus classes. ) to address such issues.

If Whittaker and Watson were Baroque, the standard reference "Gradshteyn and Ryzhik" (sp?) would be the Rococco. They do give serious references for all their formulas. and the whole thing is amazing.

A curiously small, tractable, readable, inexpensive, available source is Lebedev's book on special functions.

Vilenkin's AMS translation book about special functions "versus" representations is chock-full-of stuff.


A compilation of a list of integrals (Integraltafeln) and techniques of integral calculus was published by the German mathematician Meier Hirsch [de] (aka Meyer Hirsch [de] ) in 1810. These tables were republished in the United Kingdom in 1823. More extensive tables were compiled in 1858 by the Dutch mathematician David Bierens de Haan for his Tables d'intégrales définies, supplemented by Supplément aux tables d'intégrales définies in ca. 1864. A new edition was published in 1867 under the title Nouvelles tables d'intégrales définies. These tables, which contain mainly integrals of elementary functions, remained in use until the middle of the 20th century. They were then replaced by the much more extensive tables of Gradshteyn and Ryzhik. In Gradshteyn and Ryzhik, integrals originating from the book by Bierens de Haan are denoted by BI.

Not all closed-form expressions have closed-form antiderivatives this study forms the subject of differential Galois theory, which was initially developed by Joseph Liouville in the 1830s and 1840s, leading to Liouville's theorem which classifies which expressions have closed form antiderivatives. A simple example of a function without a closed form antiderivative is هx 2 , whose antiderivative is (up to constants) the error function.

Since 1968 there is the Risch algorithm for determining indefinite integrals that can be expressed in term of elementary functions, typically using a computer algebra system. Integrals that cannot be expressed using elementary functions can be manipulated symbolically using general functions such as the Meijer G-function.

More detail may be found on the following pages for the lists of integrals:

Gradshteyn, Ryzhik, Geronimus, Tseytlin, Jeffrey, Zwillinger, Moll's (GR) Table of Integrals, Series, and Products contains a large collection of results. An even larger, multivolume table is the Integrals and Series by Prudnikov, Brychkov, and Marichev (with volumes 1–3 listing integrals and series of elementary and special functions, volume 4–5 are tables of Laplace transforms). More compact collections can be found in e.g. Brychkov, Marichev, Prudnikov's Tables of Indefinite Integrals, or as chapters in Zwillinger's CRC Standard Mathematical Tables and Formulae or Bronshtein and Semendyayev's Guide Book to Mathematics, Handbook of Mathematics أو Users' Guide to Mathematics, and other mathematical handbooks.

Other useful resources include Abramowitz and Stegun and the Bateman Manuscript Project. Both works contain many identities concerning specific integrals, which are organized with the most relevant topic instead of being collected into a separate table. Two volumes of the Bateman Manuscript are specific to integral transforms.

There are several web sites which have tables of integrals and integrals on demand. Wolfram Alpha can show results, and for some simpler expressions, also the intermediate steps of the integration. Wolfram Research also operates another online service, the Wolfram Mathematica Online Integrator.

ج is used for an arbitrary constant of integration that can only be determined if something about the value of the integral at some point is known. Thus, each function has an infinite number of antiderivatives.

These formulas only state in another form the assertions in the table of derivatives.

Integrals with a singularity Edit

When there is a singularity in the function being integrated such that the antiderivative becomes undefined or at some point (the singularity), then ج does not need to be the same on both sides of the singularity. The forms below normally assume the Cauchy principal value around a singularity in the value of ج but this is not in general necessary. For instance in

there is a singularity at 0 and the antiderivative becomes infinite there. If the integral above were to be used to compute a definite integral between −1 and 1, one would get the wrong answer 0. This however is the Cauchy principal value of the integral around the singularity. If the integration is done in the complex plane the result depends on the path around the origin, in this case the singularity contributes −أنا π when using a path above the origin and أنا π for a path below the origin. A function on the real line could use a completely different value of ج on either side of the origin as in: [1]

Rational functions Edit

The following function has a non-integrable singularity at 0 for أ ≤ −1 :

Exponential functions Edit

Logarithms Edit

Trigonometric functions Edit

Inverse trigonometric functions Edit

Hyperbolic functions Edit

Inverse hyperbolic functions Edit

Products of functions proportional to their second derivatives Edit

Absolute-value functions Edit

يترك F be a function which has at most one root on each interval on which it is defined, and ز an antiderivative of F that is zero at each root of F (such an antiderivative exists if and only if the condition on F is satisfied), then

where sgn(x) is the sign function, which takes the values −1, 0, 1 when x is respectively negative, zero or positive. This gives the following formulas (where أ ≠ 0 ):

If the function F does not have any continuous antiderivative which takes the value zero at the zeros of F (this is the case for the sine and the cosine functions), then sgn(F(x)) ∫ F(x) dx is an antiderivative of F on every interval on which F is not zero, but may be discontinuous at the points where F(x) = 0 . For having a continuous antiderivative, one has thus to add a well chosen step function. If we also use the fact that the absolute values of sine and cosine are periodic with period π , then we get:

Special functions Edit

There are some functions whose antiderivatives cannot be expressed in closed form. However, the values of the definite integrals of some of these functions over some common intervals can be calculated. A few useful integrals are given below.

If the function F has bounded variation on the interval [أ,ب] , then the method of exhaustion provides a formula for the integral:


شاهد الفيديو: التكامل محاضرة 11. الاستاذ حيدر وليدتكامل الدوال المثلثية الجزء السادس والاخير (شهر نوفمبر 2021).