مقالات

1.5: التسارع وقوانين كبلر - الرياضيات


مكونات متجه التسريع

يمكننا دمج بعض المفاهيم التي تمت مناقشتها في Arc Length and Curvature مع متجه التسارع لاكتساب فهم أعمق لكيفية ارتباط هذا المتجه بالحركة في المستوى وفي الفضاء. تذكر أن متجه ظل الوحدة ( vecs T ) والمتجه العادي للوحدة ( vecs N ) يشكلان مستوى متذبذبًا في أي نقطة (P ) على المنحنى المحدد بواسطة دالة ذات قيمة متجهة ( vecs {r} (t) ). توضح النظرية التالية أن متجه التسارع ( vecs {a} (t) ) يقع في المستوى المتذبذب ويمكن كتابته كمجموعة خطية من وحدة الظل والمتجهات العادية للوحدة.

Theorem ( PageIndex {1} ): مستوى متجه التسريع

يقع متجه التسارع ( vecs {a} (t) ) لكائن يتحرك على طول منحنى تتبعه دالة قابلة للتفاضل مرتين ( vecs {r} (t) ) في المستوى الذي تشكله الوحدة ناقل الظل ( vecs T (t) ) والمتجه العادي للوحدة الرئيسية ( vecs N (t) ) إلى (C ).

علاوة على ذلك،

[ vecs {a} (t) = v '(t) vecs {T} (t) + [v (t)] ^ 2 kappa vecs {N} (t) ]

هنا ، (v (t) = | vecs v (t) | ) هي سرعة الكائن و ( kappa ) هو انحناء (C ) تتبعه ( vecs {ص} (ر) ).

دليل

لأن ( vecs {v} (t) = vecs {r} ′ (t) ) و ( vecs {T} (t) = dfrac { vecs {r} ′ (t)} {| | vecs {r} ′ (t) ||} ) ، لدينا ( vecs v (t) = || vecs {r} ′ (t) || vecs {T} (t) = v (t) vecs {T} (t) ).

الآن نفرق هذه المعادلة:

[ vecs {a} (t) = vecs {v} ′ (t) = dfrac {d} {dt} left (v (t) vecs {T} (t) right) = v ′ (t) vecs {T} (t) + v (t) vecs {T} ′ (t) ]

منذ ( vecs {N} (t) = dfrac { vecs {T} ′ (t)} {|| vecs {T} ′ (t) ||} ) ، نحن نعلم ( vecs { T} ′ (t) = || vecs {T} ′ (t) || vecs {N} (t) ) ، لذلك

[ vecs {a} (t) = v ′ (t) vecs {T} (t) + v (t) || vecs {T} ′ (t) || vecs {N} (t) . ]

صيغة الانحناء هي ( kappa = dfrac {|| vecs {T} '(t) ||} {|| vecs {r}' (t) ||} ) ، لذا ( vecs {T} '(t) = kappa || vecs {r}' (t) || = kappa v (t) ).

هذا يعطي ( vecs {a} (t) = v ′ (t) vecs {T} (t) + kappa (v (t)) ^ 2 vecs {N} (t). )

(ميدان)

يُشار إلى معاملات ( vecs {T} (t) ) و ( vecs {N} (t) ) باسم المكون المماسي للتسارع و ال المكون الطبيعي للتسارع، على التوالى. نكتب (a_ vecs {T} ) للإشارة إلى المكون العرضي و (a_ vecs {N} ) للإشارة إلى المكون العادي.

Theorem ( PageIndex {2} ): المكونات المماسية والعادية للتسريع

لنفترض أن ( vecs {r} (t) ) دالة ذات قيمة متجهة تشير إلى موضع الكائن كدالة للوقت. إذن ( vecs {a} (t) = vecs {r} ′ ′ (t) ) هو متجه التسارع. يتم إعطاء المكونات العرضية والعادية للتسريع (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) من خلال الصيغ

[a _ { vecs {T}} = vecs a cdot vecs {T} = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs {v} ||} التسمية {Eq1B} ]

و

[a_ vecs {N} = vecs a cdot vecs N = dfrac {|| vecs v times vecs a ||} {|| vecs v ||} = sqrt {|| vecs a || ^ 2− left (a _ { vecs {T}} right) ^ 2}. التسمية {Eq2B} ]

هذه المكونات مرتبطة بالصيغة

[ vecs {a} (t) = a_ vecs {T} vecs {T} (t) + a_ vecs {N} vecs {N} (t). التسمية {Eq3B} ]

هنا ( vecs {T} (t) ) هو متجه ظل الوحدة للمنحنى المحدد بواسطة ( vecs {r} (t) ) ، و ( vecs {N} (t) ) هو المتجه العادي للوحدة للمنحنى المحدد بواسطة ( vecs {r} (t) ).

توفر متجهات الوحدة العرضية والعادية في أي نقطة معينة على المنحنى إطارًا مرجعيًا في تلك النقطة. المكونات العرضية والعادية للتسارع هي إسقاطات متجه التسارع على ( vecs T ) و ( vecs N ) ، على التوالي.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن مكونات التسريع

يتحرك الجسيم في مسار محدد بواسطة الدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs {r} (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf i} + (2t − 3) ، hat { mathbf j } + (3t ^ 2−3t) ، hat { mathbf k} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني والمسافة تقاس بالأقدام.

  1. ابحث عن (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) كوظائف في (t ).
  2. ابحث عن (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) في الوقت (t = 2 ).

المحلول

  1. لنبدأ بالمعادلة المرجع {Eq1B}:

    [ vecs {v} (t) = vecs {r} (t) = 2t ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، قبعة { mathbf k} ]
    [ vecs {a} (t) = vecs {v} '(t) = 2 ، hat { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k} ]
    [ start {align *} a _ { vecs {T}} & = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs {v} ||} [5pt] & = dfrac {(2t ، hat { mathbf i} +2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، hat { mathbf k}) cdot (2 ، قبعة { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k})} {|| 2t ، hat { mathbf i} + 2 ، hat { mathbf j} + (6t-3) ، hat { mathbf k} ||} [5pt] & = dfrac {4t + 6 (6t-3)} { sqrt {(2t) ^ 2 + 2 ^ 2 + (6t-3) ^ 2}} [5pt] & = dfrac {40t-18} {40t ^ 2 - 36t + 13} end {align *} ]

    ثم نطبق المعادلة المرجع {Eq2B}:

    [ begin {align *} a_ vecs {N} & = sqrt {|| vecs {a} || ^ 2-a _ { vecs {T}}} [5pt] & = sqrt { || 2 ، hat { mathbf i} +6 ، hat { mathbf k} || ^ 2 - left ( dfrac {40t-18} { sqrt {40t ^ 2-36 + 13} } right) ^ 2} [5pt] & = sqrt {4 + 36- dfrac {(40t-18) ^ 2} {40t ^ 2-36t + 13}} [5pt] & = الجذر التربيعي { dfrac {40 (40t ^ 2-36t + 13) - (1600 طن ^ 2-1440 طن + 324)} {40t ^ 2-36t + 13}} [5pt] & = sqrt { dfrac {196 } {40t ^ 2-36t + 13}} = dfrac {14} { sqrt {40t ^ 2-36t + 13}} end {align *} ]

  2. يجب علينا تقييم كل من الإجابات من الجزء أ في (t = 2 ):

    [ begin {align *} a _ { vecs {T}} (2) & = dfrac {40 (2) -18} { sqrt {40 (2) ^ 2 - 36 (2) +13}} [5pt] & = dfrac {80-18} { sqrt {160-72 + 13}} [5pt] & = dfrac {62} { sqrt {101}} [5pt] a_ { vecs {N}} (2) & = dfrac {14} { sqrt {40 (2) ^ 2 -36 (2) +13}} [5pt] & = dfrac {14} { الجذر التربيعي {160-72 + 13}} = dfrac {140} { sqrt {101}}. النهاية {محاذاة *} ]

    وحدات التسارع هي قدم لكل ثانية تربيع ، وكذلك وحدات التسارع العادية والماسية.

تمرين ( PageIndex {2} )

يتحرك كائن في مسار محدد بواسطة الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = 4t ، hat { mathbf i} + t ^ 2 ، hat { mathbf j} ) ، حيث (t ) يقيس الوقت بالثواني.

  1. ابحث عن (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) كوظائف في (t ).
  2. ابحث عن (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) في الوقت (t = −3 ).
تلميح

استخدم المعادلات المرجع {Eq1B} و المرجع {Eq2B}

إجابه

أ. [ start {align *} a_ vecs {T} & = dfrac { vecs v (t) cdot vecs a (t)} {|| vecs v (t) ||} = dfrac { vecs r '(t) cdot vecs r' '(t)} {|| vecs r' (t) ||} [5pt] & = dfrac {(4 ، hat { mathbf i} + 2t ، hat { mathbf j}) cdot (2 ، hat { mathbf j})} {|| 4 ، hat { mathbf i} + 2t ، hat { mathbf j} ||} [5pt] & = dfrac {4t} { sqrt {4 ^ 2 + (2t) ^ 2}} [5pt] & = dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} end {محاذاة *} ]
[ start {align *} a_ vecs {N} & = sqrt {|| vecs a || ^ 2-a_ vecs {T} ^ 2} [5pt] & = sqrt {|| 2 ، hat { mathbf j} || ^ 2 - left ( dfrac {2t} { sqrt {2 + t ^ 2}} right) ^ 2} [5pt] & = sqrt { 4 - dfrac {4t ^ 2} {2 + t ^ 2}} end {align *} ]

ب. [ begin {align *} a_ vecs {T} (- 3) & = dfrac {2 (-3)} { sqrt {2 + (- 3) ^ 2}} [5pt] & = dfrac {-6} { sqrt {11}} end {align *} ]
[ begin {align *} a_ vecs {N} (- 3) & = sqrt {4 - dfrac {4 (-3) ^ 2} {2 + (- 3) ^ 2}} [ 5pt] & = sqrt {4- dfrac {36} {11}} [5pt] & = sqrt { dfrac {8} {11}} [5pt] & = dfrac {2 sqrt {2}} { sqrt {11}} end {align *} ]

قوانين كبلر

خلال أوائل القرن السابع عشر ، كان يوهانس كيبلر قادرًا على استخدام البيانات الدقيقة بشكل مذهل من معلمه تايكو براهي لصياغة قوانينه الثلاثة لحركة الكواكب ، والتي تُعرف الآن باسم قوانين كبلر لحركة الكواكب. تنطبق هذه القوانين أيضًا على أجسام أخرى في النظام الشمسي تدور حول الشمس ، مثل المذنبات (على سبيل المثال ، مذنب هالي) والكويكبات. الاختلافات في هذه القوانين تنطبق على الأقمار الصناعية في مدار حول الأرض.

نظرية ( PageIndex {3} ): قوانين كبلر لحركة الكواكب

  1. مسار أي كوكب حول الشمس بيضاوي الشكل ، حيث يقع مركز الشمس عند بؤرة واحدة للقطع الناقص (قانون القطع الناقص).
  2. خط مرسوم من مركز الشمس إلى مركز كوكب يكتسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية (قانون المساحات المتساوية) (الشكل ( PageIndex {3} )).
  3. نسبة مربعات فترات أي كوكبين تساوي نسبة مكعبات أطوال المحاور المدارية شبه الرئيسية (قانون التناغم).

يعتبر قانون كبلر الثالث مفيدًا بشكل خاص عند استخدام الوحدات المناسبة. بخاصة، 1 وحدة فلكية يُعرّف على أنه متوسط ​​المسافة من الأرض إلى الشمس ، ويُعرف الآن بأنه 149.597.870.700 مترًا أو ما يقرب من 93.000.000 ميل. لذلك نكتب 1 A.U. = 93.000.000 ميل. نظرًا لأن الوقت الذي تستغرقه الأرض للدوران حول الشمس هو عام واحد ، فإننا نستخدم سنوات الأرض لوحدات زمنية. ثم ، استبدال 1 سنة لفترة الأرض و 1 A.U. بالنسبة لمتوسط ​​المسافة إلى الشمس ، يمكن كتابة قانون كبلر الثالث على النحو التالي

[T_p ^ 2 = D_p ^ 3 ]

لأي كوكب في النظام الشمسي ، حيث (T_P ) هي فترة ذلك الكوكب المقاسة بسنوات الأرض و (D_P ) هي متوسط ​​المسافة من هذا الكوكب إلى الشمس مقاسة بالوحدات الفلكية. لذلك ، إذا عرفنا متوسط ​​المسافة من كوكب إلى الشمس (بالوحدات الفلكية) ، فيمكننا بعد ذلك حساب طول عامه (بسنوات الأرض) ، والعكس صحيح.

تمت صياغة قوانين كبلر بناءً على ملاحظات براهي ؛ ومع ذلك ، لم يتم إثباتها رسميًا حتى تمكن السير إسحاق نيوتن من تطبيق التفاضل والتكامل. علاوة على ذلك ، تمكن نيوتن من تعميم قانون كبلر الثالث على الأنظمة المدارية الأخرى ، مثل القمر الذي يدور حول كوكب. ينطبق قانون كبلر الثالث الأصلي فقط على الأجسام التي تدور حول الشمس.

دليل

دعنا الآن نثبت قانون كبلر الأول باستخدام حساب الدوال ذات القيمة المتجهة. نحتاج أولاً إلى نظام إحداثيات. لنضع الشمس في أصل نظام الإحداثيات ونترك الدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs {r} (t) ) تمثل موقع الكوكب كدالة للوقت. أثبت نيوتن قانون كبلر باستخدام قانونه الثاني للحركة وقانون الجاذبية الكونية. يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني للحركة كـ ( vecs {F} = m vecs {a} ) ، حيث يمثل ( vecs {F} ) القوة الكلية المؤثرة على الكوكب. يمكن كتابة قانونه الخاص بالجاذبية العامة بالصيغة ( vecs {F} = - dfrac {GmM} {|| vecs {r} || ^ 2} cdot dfrac { vecs {r}} { || vecs {r} ||} ) ، مما يشير إلى أن القوة الناتجة عن جاذبية الشمس تتجه مرة أخرى نحو الشمس ، ولها المقدار ( dfrac {GmM} {|| vecs {r} || ^ 2} ) (الشكل ( PageIndex {4} )).

وضع هاتين القوتين متساويتين مع بعضهما البعض ، وباستخدام حقيقة أن ( vecs a (t) = vecs v ′ (t) ) ، نحصل عليها

[m vecs v ′ (t) = - frac {GmM} {‖ vecs r‖ ^ 2} ⋅ frac { vecs r} {‖ vecs r‖} ، ]

والتي يمكن إعادة كتابتها كـ

[ dfrac {d vecs v} {dt} = - dfrac {GM} {|| vecs r || ^ 3} vecs {r}. ]

توضح هذه المعادلة أن المتجهين (d vecs {v} / dt ) و ( vecs r ) متوازيان ، لذلك (d vecs {v} / dt times vecs {r} = vecs 0 ). بعد ذلك ، دعونا نفرق ( vecs {r} times vecs {v} ) فيما يتعلق بالوقت:

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} times vecs {v}) = dfrac {d vecs {r}} {dt} times vecs v + vecs {r} times dfrac {d vecs {v}} {dt} = vecs {v} times vecs {v} + vecs {0} = vecs {0}. التسمية {Eq10} ]

هذا يثبت أن ( vecs {r} times vecs {v} ) متجه ثابت ، والذي نسميه ( vecs C ). نظرًا لأن ( vecs r ) و ( vecs v ) كلاهما عمودي على ( vecs C ) لجميع قيم (t ) ، يجب أن تقع في مستوى عمودي على ( vecs C ). لذلك ، فإن حركة الكوكب تكمن في مستوى.

بعد ذلك نحسب التعبير (d vecs {v} / dt times vecs C ):

[ dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} = - dfrac {GM} {|| vecs {r} || ^ 3} vecs {r} times ( vecs {r} times vecs {v}) = - dfrac {GM} {|| vecs r || ^ 3} [( vecs {r} cdot vecs {v}) vecs {r } - ( vecs {r} cdot vecs {r}) vecs {v}]. التسمية {Eq11} ]

المساواة الأخيرة في المعادلة المرجع {Eq10} مأخوذة من صيغة الضرب الثلاثي (المنتج المتقاطع). نحتاج إلى تعبير لـ ( vecs {r} cdot vecs {v} ). لحساب هذا ، نفرق ( vecs {r} cdot vecs {r} ) فيما يتعلق بالوقت:

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} cdot vecs {r}) = dfrac {d vecs {r}} {dt} cdot vecs {r} + vecs {r } cdot dfrac {d vecs {r}} {dt} = 2 vecs {r} cdot dfrac {d vecs {r}} {dt} = 2 vecs {r} cdot vecs { الخامس}. التسمية {Eq12} ]

منذ ( vecs {r} cdot vecs {r} = || vecs r || ^ 2 ) ، لدينا أيضًا

[ dfrac {d} {dt} ( vecs {r} cdot vecs {r}) = dfrac {d} {dt} || vecs {r} || ^ 2 = 2 || vecs {r} || dfrac {d} {dt} || vecs {r} ||. التسمية {Eq13} ]

بدمج المعادلة المرجع {Eq12} والمعادلة المرجع {Eq13} ، نحصل على

[ start {align *} 2 vecs {r} cdot vecs {v} & = 2 || vecs {r} || dfrac {d} {dt} || vecs {r} || [5pt] vecs {r} cdot vecs {v} & = || vecs {r} ‖ dfrac {d} {dt} || vecs {r} ||. end {align *} label {Eq14} ]

استبدال هذا في المعادلة المرجع {Eq11} يعطينا

[ start {align} dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} & = - dfrac {GM} {|| vecs {r} || ^ 3} [( vecs {r} cdot vecs {v}) vecs {r} - ( vecs {r} cdot vecs {r}) vecs {v}] nonumber [5pt] & = - dfrac {GM} {|| vecs {r} || ^ 3} left [|| vecs {r} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) vecs {r} - || vecs {r} || ^ 2 vecs {v} right] nonumber [5pt] & = -GM left [ dfrac {1} {|| vecs { r} || ^ 2} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) vecs {r} - dfrac {1} {|| vecs {r} | |} vecs {v} right] nonumber [5pt] & = GM left [ dfrac { vecs {v}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs { r}} {|| vecs {r} || ^ 2} left ( dfrac {d} {dt} || vecs {r} || right) right]. تسمية {Eq15} نهاية {محاذاة} ]

ومع ذلك،

[ start {align *} dfrac {d} {dt} dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} ||} & = dfrac { frac {d} {dt} ( vecs {r}) || vecs {r} || - vecs {r} frac {d} {dt} || vecs {r} || } {|| vecs {r} || ^ 2} [5pt] & = dfrac { frac {d vecs {r}} {dt}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} || ^ 2} dfrac {d} {dt} || vecs {r} || [5pt] & = dfrac { vecs {v}} {|| vecs {r} ||} - dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} || ^ 2} dfrac {d} {dt} || vecs {r} ||. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، تصبح المعادلة المرجع {Eq15}

[ dfrac {d vecs {v}} {dt} times vecs {C} = GM left ( dfrac {d} {dt} dfrac { vecs {r}} {|| vecs { r} ||} يمين). ]

نظرًا لأن ( vecs {C} ) متجه ثابت ، يمكننا دمج كلا الجانبين والحصول على

[ vecs {v} times vecs {C} = GM dfrac { vecs {r}} {|| vecs {r} ||} + vecs {D}، ]

حيث ( vecs D ) متجه ثابت. هدفنا هو حل مشكلة (|| vecs {r} || ). لنبدأ بحساب ( vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C} ):

[ vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C} = GM dfrac {|| vecs {r} || ^ 2} {|| vecs {r} ||} + vecs {r} cdot vecs {D} = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. ]

ومع ذلك ، ( vecs {r} cdot ( vecs {v} times vecs {C}) = ( vecs {r} times vecs {v}) cdot vecs {C} ) ، وبالتالي

[( vecs {r} times vecs {v}) cdot vecs {C} = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. ]

منذ ( vecs {r} times vecs {v} = vecs {C} ) ، لدينا

[|| vecs {C} || ^ 2 = GM || vecs {r} || + vecs {r} cdot vecs {D}. ]

لاحظ أن ( vecs {r} cdot vecs {D} = || vecs {r} || || vecs {D} || cos theta ) ، حيث ( theta ) هو الزاوية بين ( vecs {r} ) و ( vecs {D} ). وبالتالي،

[|| vecs {C} || ^ 2 = GM || vecs {r} || + || vecs {r} || || vecs {D} || cos ثيتا ]

حل لـ (|| vecs {r} || ) ،

[|| vecs {r} || = dfrac {|| vecs {C} || ^ 2} {GM + || vecs {D} || cos theta} = dfrac {|| vecs {C} || ^ 2} {GM } يسار ( dfrac {1} {1 + e cos theta} right). ]

حيث (e = || vecs {D} || / GM ). هذه هي المعادلة القطبية للمخروط مع التركيز على الأصل ، والتي أنشأناها لتكون الشمس. إنه قطع زائد إذا (e> 1 ) ، أو قطع مكافئ إذا (e = 1 ) ، أو قطع ناقص إذا (e> 1 ). نظرًا لأن الكواكب لها مدارات مغلقة ، فإن الاحتمال الوحيد هو القطع الناقص. ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، تجدر الإشارة إلى وجود المذنبات القطعية. هذه هي الأشياء التي تمر عبر النظام الشمسي بسرعات أكبر من أن يتم حصرها في مدار حول الشمس. عندما يمرون بالقرب من الشمس بدرجة كافية ، فإن مجال الجاذبية للشمس ينحرف المسار بدرجة كافية بحيث يصبح المسار زائديًا.

(مربع)

يمكن تعديل قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب ليناسب حالة جسم واحد في مدار حول جسم آخر غير الشمس ، مثل القمر حول الأرض. في هذه الحالة ، يصبح قانون كبلر الثالث

[P ^ 2 = dfrac {4 pi ^ 2 a ^ 3} {G (m + M)} ، label {Eq30} ]

أين م هي كتلة القمر و م هي كتلة الأرض ، أ يمثل طول المحور الرئيسي للمدار الإهليلجي ، و ص يمثل الفترة.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قانون كبلر الثالث للمدارات غير المتمركزة

إذا كانت كتلة القمر (7.35 ضرب 10 ^ {22} ) كجم ، فإن كتلة الأرض (5.97 ضرب 10 ^ {24} ) كجم ، (G = 6.67 ضرب 10 ^ {−11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ) ، ومدة القمر 27.3 يومًا ، فلنجد طول المحور الرئيسي لمدار القمر حول الأرض.

المحلول

من المهم أن تكون متسقًا مع الوحدات. نظرًا لأن ثابت الجاذبية العام يحتوي على ثوانٍ في الوحدات ، فإننا نحتاج أيضًا إلى استخدام الثواني لفترة القمر:

[27.3 ؛ text {days} times dfrac {24 ؛ text {hr}} {1 ؛ text {day}} times dfrac {3600 ؛ text {esc}} {1 ؛ نص {ساعة}} = 2،358،720 ؛ نص {ثانية} ]

استبدل جميع البيانات في المعادلة المرجع {Eq30} وحل من أجل (أ ):

[ begin {align *} (2،358،720sec) ^ 2 & = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} { left (6.67 times 10 ^ {- 11} frac {m} { text {kg } times text {sec} ^ 2} right) (7.35 times 10 ^ {22} text {kg} + 5.97 times 10 ^ {24} text {kg})} [5pt] 5.563 الأوقات 10 ^ {12} & = dfrac {4 pi ^ 2a ^ 3} {(6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24})} [5pt] (5.563 times 10 ^ {12}) (6.67 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ 3) (6.04 times 10 ^ {24}) & = 4 pi ^ 2 a ^ 3 [5pt] a ^ 3 & = dfrac {2.241 times 10 ^ {27}} {4 pi ^ 2} text {m} ^ 3 [5pt] a & = 3.84 times 10 ^ 8 text {m} [5pt] & almost 384،000 ، text {km}. النهاية {محاذاة *} ]

التحليلات

وفقًا لموقع solarsystem.nasa.gov ، يبلغ متوسط ​​المسافة الفعلية من القمر إلى الأرض 384.400 كيلومتر. تم حساب ذلك باستخدام عاكسات تركها رواد فضاء أبولو على القمر في الستينيات.

تمرين ( PageIndex {3} )

تيتان هو أكبر قمر لكوكب زحل. تبلغ كتلة تيتان تقريبًا (1.35 ضرب 10 ^ {23} كجم ). تبلغ كتلة زحل تقريبًا (5.68 ضرب 10 ^ {26} ) كجم. يستغرق تيتان حوالي 16 يومًا للدوران حول زحل. استخدم هذه المعلومات ، جنبًا إلى جنب مع ثابت الجاذبية العام (G = 6.67 × 10 ^ {- 11} text {m} / text {kg} cdot text {sec} ^ 2 ) لتقدير المسافة من تيتان إلى زحل.

تلميح

تأكد من توافق الوحدات الخاصة بك ، ثم استخدم المعادلة المرجع {Eq30}.

إجابه

[a almost 1.224 times 10 ^ 9 text {m} = 1،224،000 text {km} ]

مثال ( PageIndex {3} ): مذنب هالي

نعود الآن إلى بداية الفصل ، والتي تناقش حركة مذنب هالي حول الشمس. ينص قانون كبلر الأول على أن مذنب هالي يتبع مسارًا إهليلجيًا حول الشمس ، مع التركيز على الشمس كأحد بؤرة القطع الناقص. تبلغ فترة مذنب هالي 76.1 سنة تقريبًا ، اعتمادًا على مدى قربه من كوكب المشتري وزحل أثناء مروره عبر النظام الشمسي الخارجي. دعونا نستخدم (T = 76.1 ) سنة. ما متوسط ​​المسافة بين مذنب هالي والشمس؟

المحلول

باستخدام المعادلة (T ^ 2 = D ^ 3 ) مع (T = 76.1 ) ، نحصل على (D ^ 3 = 5791.21 ) ، لذلك (D حوالي 17.96 ) A.U. يبلغ هذا تقريبًا (1.67 مرات 10 ^ 9 ) ميل.

السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو: ما هي المسافة القصوى (الأوج) والدنيا (الحضيض الشمسي) من مذنب هالي إلى الشمس؟ الانحراف اللامركزي لمدار مذنب هالي هو 0.967 (المصدر: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html). تذكر أن صيغة الانحراف المركزي للقطع الناقص هي (e = c / a ) ، حيث أ هو طول محور نصف التخصص و ج هي المسافة من المركز إلى أي من البؤرة. لذلك ، (0.967 = c / 17.96 ) و (c حوالي 17.37 ) A. طرح هذا من أ يعطي مسافة الحضيض (p = a − c = 17.96−17.37 = 0.59 ) A. وفقًا لمركز بيانات علوم الفضاء الوطني (المصدر: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary...cometfact.html) ، فإن مسافة الحضيض لمذنب هالي هي 0.587 A.U. لحساب مسافة الأوج ، نضيف

[P = أ + ج = 17.96 + 17.37 = 35.33 ؛ نص {A.U.} ]

هذا تقريبًا (3.3 مرات 10 ^ 9 ) ميل. متوسط ​​المسافة من بلوتو إلى الشمس هو 39.5 A.U. (المصدر: http://www.oarval.org/furthest.htm) ، لذلك يبدو أن مذنب هالي يبقى داخل مدار بلوتو.

التنقل في منعطف مشروط

ما هي السرعة التي يمكن أن تتحرك بها سيارة السباق من خلال منعطف دائري دون انزلاقها أو اصطدامها بالحائط؟ يمكن أن تعتمد الإجابة على عدة عوامل:

  • وزن السيارة
  • الاحتكاك بين الإطارات والطريق ؛
  • نصف قطر الدائرة
  • "انحدار" الدور.

في هذا المشروع ، نحقق في هذا السؤال الخاص بسيارات السباق NASCAR في بريستول موتور سبيدواي في تينيسي. قبل النظر في هذا المسار على وجه الخصوص ، نستخدم وظائف المتجهات لتطوير الرياضيات والفيزياء اللازمة للإجابة على أسئلة مثل هذا.

سيارة ذات كتلة (م ) تتحرك بسرعة زاوية ثابتة ( omega ) حول منحنى دائري نصف قطر (R ) (الشكل ( PageIndex {5} )). ينحني المنحنى بزاوية ( theta ). إذا كان ارتفاع السيارة عن الأرض هو (ح ) ، فسيتم تحديد موضع السيارة في الوقت (t ) من خلال الوظيفة ( vecs r (t) = ).

  1. أوجد دالة السرعة ( vecs {v} (t) ) للسيارة. بيّن أن ( vecs {v} ) مماس للمنحنى الدائري. هذا يعني أنه بدون وجود قوة لإبقاء السيارة في المنحنى ، فإن السيارة ستنطلق منها.
  2. بيّن أن سرعة السيارة ( أوميغا ر ). استخدم هذا لإظهار أن ((2 pi 4) / | vecs {v} | = (2 pi) / omega ).
  3. أوجد التسارع ( vecs {a} ). بيّن أن هذا المتجه يشير إلى مركز الدائرة وأن ( | vecs {a} | = R omega ^ 2 ).
  4. القوة المطلوبة لإنتاج هذه الحركة الدائرية تسمى قوة الجاذبية، ويشار إليها ( vecs {F} _ {cent} ). تشير هذه القوة إلى مركز الدائرة (وليس باتجاه الأرض). أظهر ذلك ( | vecs {F} _ {cent} | = left (m | vecs {v} | ^ 2 right) / R ).

أثناء تحرك السيارة حول المنحنى ، تؤثر عليه ثلاث قوى: الجاذبية ، والقوة التي يبذلها الطريق (هذه القوة متعامدة على الأرض) ، وقوة الاحتكاك (الشكل ( PageIndex {6} )). نظرًا لأن وصف قوة الاحتكاك الناتجة عن الإطارات والطريق معقد ، فإننا نستخدم تقديرًا تقريبيًا لقوة الاحتكاك. افترض أن ( vecs {f} = mu vecs {N} ) لبعض الثوابت الموجبة ( mu ). الثابت ( mu ) يسمى معامل الاحتكاك.

دع (v_ {max} ) يشير إلى السرعة القصوى التي يمكن للسيارة بلوغها خلال المنحنى دون انزلاق. بمعنى آخر ، (v_ {max} ) هي أسرع سرعة يمكن للسيارة أن تتنقل بها في المنعطف. عندما تسير السيارة بهذه السرعة ، يكون مقدار قوة الجاذبية

[ | vecs {F} _ {cent} | = dfrac {m (v_ {max}) ^ 2} {R}. ]

تتناول الأسئلة الثلاثة التالية تطوير معادلة تربط السرعة (v_ {max} ) بالزاوية المصرفية ( theta ).

  1. أظهر ذلك ( vecs {N} cos theta = m vecs g + vecs {f} sin theta ). استنتج أن ( vecs {N} = (m vecs g) / ( cos theta− mu sin theta) ).
  2. قوة الجاذبية المركزية هي مجموع القوى في الاتجاه الأفقي ، حيث تشير قوة الجاذبية إلى مركز المنحنى الدائري. اظهر ذلك

    [ vecs {F} _ {cent} = vecs {N} sin theta + vecs {f} cos theta. ]

    استنتج ذلك

    [ vecs {F} _ {cent} = dfrac { sin theta + mu cos theta} {cos theta− mu sin theta} m vecs g. ]

  3. أظهر أن ((v _ { text {max}}) ^ 2 = (( sin theta + mu cos theta) / ( cos theta− mu sin theta)) gR ). استنتج أن السرعة القصوى لا تعتمد فعليًا على كتلة السيارة.
    الآن بعد أن أصبح لدينا معادلة تتعلق بالسرعة القصوى للسيارة وزاوية التعامل ، أصبحنا في وضع يسمح لنا بالإجابة على أسئلة مثل تلك التي طُرحت في بداية المشروع.
    بريستول موتور سبيدواي هو مسار قصير من NASCAR في بريستول ، تينيسي. المسار له الشكل التقريبي الموضح في الشكل ( PageIndex {7} ). كل طرف من نهايات المسار نصف دائري تقريبًا ، لذلك عندما تدور السيارات ، فإنها تتحرك على طول منحنى دائري تقريبًا. إذا سلكت السيارة المسار الداخلي وسرعت على طول الجزء السفلي من المنعطف 1 ، فإن السيارة تتحرك على طول نصف دائرة نصف قطرها حوالي 211 قدمًا بزاوية حد 24 درجة. إذا قررت السيارة أن تأخذ المسار الخارجي والسرعات على طول الجزء العلوي من المنعطف 1 ، فإن السيارة تتحرك على طول نصف دائرة بزاوية حد 28 درجة. (المسار له زاوية متغيرة.)

معامل الاحتكاك للإطار العادي في الظروف الجافة حوالي 0.7. لذلك ، نفترض أن معامل إطار NASCAR في الظروف الجافة يبلغ حوالي 0.98.

قبل الإجابة على الأسئلة التالية ، لاحظ أنه من الأسهل إجراء الحسابات من حيث القدم والثواني ، ثم تحويل الإجابات إلى أميال في الساعة كخطوة أخيرة.

  1. في الظروف الجافة ، ما السرعة التي يمكن أن تتحرك بها السيارة في أسفل المنعطف دون انزلاق؟
  2. في الظروف الجافة ، ما السرعة التي يمكن أن تتحرك بها السيارة عبر قمة المنعطف دون انزلاق؟
  3. في الظروف الرطبة ، يمكن أن يصبح معامل الاحتكاك منخفضًا حتى 0.1. إذا كان الأمر كذلك ، فما مدى سرعة انتقال السيارة في أسفل المنعطف دون انزلاق؟
  4. افترض أن السرعة المقاسة لسيارة تسير على طول الحافة الخارجية للانعطاف هي 105 ميل في الساعة. قدر معامل الاحتكاك لإطارات السيارة.

المفاهيم الرئيسية

  • يشير متجه التسارع دائمًا نحو الجانب المقعر من المنحنى المحدد بواسطة ( vecs {r} (t) ). المكونات العرضية والعادية للتسارع (a_ vecs {T} ) و (a_ vecs {N} ) هي إسقاطات متجه التسارع على مماس الوحدة ومتجهات الوحدة العادية على المنحنى.
  • تصف قوانين كبلر الثلاثة لحركة الكواكب حركة الأجسام في مدار حول الشمس. يمكن تعديل قانونه الثالث ليصف حركة الأجسام في المدار حول الأجرام السماوية الأخرى أيضًا.
  • كان نيوتن قادرًا على استخدام قانون الجاذبية العام الخاص به جنبًا إلى جنب مع قانونه الثاني للحركة وحساب التفاضل والتكامل لإثبات قوانين كبلر الثلاثة.

المعادلات الرئيسية

  • عنصر مماسي للتسارع [a _ { vecs {T}} = vecs {a} cdot vecs {T} = dfrac { vecs {v} cdot vecs {a}} {|| vecs v ||} لا يوجد رقم]
  • المكون الطبيعي للتسارع [a _ { vecs {N}} = vecs {a} cdot vecs {N} = dfrac {|| vecs {v} times vecs {a} ||} {|| vecs {v} ||} = sqrt {|| vecs {a} || ^ 2 - a _ { vecs {T}} } لا يوجد رقم]

قائمة المصطلحات

ناقلات التسارع
المشتق الثاني لمتجه الموقع
قوانين كبلر لحركة الكواكب
ثلاثة قوانين تحكم حركة الكواكب والكويكبات والمذنبات في مدار حول الشمس
المكون الطبيعي للتسارع
معامل المتجه العادي للوحدة ( vecs N ) عند كتابة متجه التسارع كمجموعة خطية من ( vecs T ) و ( vecs N )
المكون المماسي للتسارع
معامل متجه المماس للوحدة ( vecs T ) عند كتابة متجه التسارع كمجموعة خطية من ( vecs T ) و ( vecs N )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • حرره بول سيبرغر

13.5 قوانين كبلر لحركة الكواكب

باستخدام البيانات الدقيقة التي جمعها تايكو براهي ، حلل يوهانس كيبلر بعناية المواقع في السماء لجميع الكواكب المعروفة والقمر ، ورسم مواقعها على فترات زمنية منتظمة. من هذا التحليل صاغ ثلاثة قوانين نتناولها في هذا القسم.

قانون كبلر الأول

كان الرأي السائد خلال زمن كبلر هو أن جميع مدارات الكواكب كانت دائرية. شكلت بيانات كوكب المريخ التحدي الأكبر لهذا الرأي والذي شجع كبلر في النهاية على التخلي عن الفكرة الشعبية. قانون كبلر الأول تنص على أن كل كوكب يتحرك على طول القطع الناقص ، مع وجود الشمس في بؤرة هذا القطع الناقص. يتم تعريف القطع الناقص على أنه مجموعة من جميع النقاط بحيث يكون مجموع المسافة من كل نقطة إلى بؤرتين ثابتًا. (الشكل) يوضح القطع الناقص ويصف طريقة بسيطة لإنشائه.

الشكل 13.16 (أ) القطع الناقص هو منحنى يكون فيه مجموع المسافات من نقطة على المنحنى إلى بؤرتين

ثابت. من هذا التعريف ، يمكنك أن ترى أنه يمكن إنشاء القطع الناقص بالطريقة التالية. ضع دبوسًا في كل بؤرة ، ثم ضع حلقة من الخيط حول قلم رصاص ودبابيس. مع الحفاظ على الخيط ، حرّك القلم في دائرة كاملة. إذا احتلت البؤرتان نفس المكان ، تكون النتيجة دائرة - حالة خاصة من القطع الناقص. (ب) بالنسبة للمدار الإهليلجي ، إذا

، ثم يتبع m مسارًا بيضاويًا مع M عند تركيز واحد. بتعبير أدق ، يتحرك كل من m و M في شكل بيضاوي خاص بهما حول مركز الكتلة المشترك.

بالنسبة إلى المدارات الإهليلجية ، تسمى نقطة الاقتراب الأقرب لكوكب ما من الشمس بـ الحضيض. انها نقطة المسمى أ في الشكل). أبعد نقطة هي اوج وتسمى النقطة ب في الشكل. بالنسبة لمدار القمر حول الأرض ، تسمى هاتان النقطتان الحضيض والأوج ، على التوالي.

يحتوي القطع الناقص على عدة أشكال رياضية ، ولكن جميعها عبارة عن حالة محددة للمعادلة الأكثر عمومية للمقاطع المخروطية. هناك أربعة أقسام مخروطية مختلفة ، وكلها معطاة بالمعادلة

تظهر في (الشكل) في حالة القطع الناقص. الثوابت

و ه يتم تحديدها من خلال الطاقة الكلية والزخم الزاوي للقمر الصناعي عند نقطة معينة. ثابت ه يسمى غريب الأطوار. قيم

و ه تحديد أي من الأقسام المخروطية الأربعة يمثل مسار القمر الصناعي.

الشكل 13.17 كما كان من قبل ، فإن المسافة بين الكوكب والشمس هي r ، والزاوية المقاسة من المحور x ، والتي تقع على طول المحور الرئيسي للقطع الناقص ، هي

أحد الانتصارات الحقيقية لقانون الجاذبية العام لنيوتن ، مع القوة المتناسبة مع معكوس المسافة المربعة ، هو أنه عندما يتم دمجها مع قانونه الثاني ، فإن حل مسار أي قمر صناعي هو مقطع مخروطي. كل طريق يسلكه م هو أحد الأقسام الأربعة المخروطية: دائرة أو قطع ناقص لمدارات محددة أو مغلقة ، أو قطع مكافئ أو قطع زائد لمدارات غير محدودة أو مفتوحة. يتم عرض هذه المقاطع المخروطية في (الشكل).

الشكل 13.18 كل الحركة التي تسببها قوة مربعة معكوسة هي أحد الأقسام المخروطية الأربعة ويتم تحديدها من خلال طاقة واتجاه الجسم المتحرك.

إذا كانت الطاقة الكلية سالبة ، إذن

، و (الشكل) يمثل مدارًا مقيدًا أو مغلقًا إما من القطع الناقص أو الدائرة ، حيث

. [يمكنك أن ترى من (الشكل) أن

، وبالتالي فإن نصف القطر ثابت.] بالنسبة للقطع الناقص ، يرتبط الانحراف بمدى ظهور الشكل البيضاوي. الدائرة ليس لها انحراف مركزي صفري ، في حين أن القطع الناقص الطويل الطويل للغاية له شذوذ مركزي بالقرب من واحد.

إذا كانت الطاقة الكلية تساوي صفرًا بالضبط ، إذن

والمسار هو القطع المكافئ. تذكر أن القمر الصناعي الذي تبلغ طاقته الإجمالية صفرًا لديه بالضبط سرعة الإفلات. (يتكون القطع المكافئ فقط من خلال تقطيع المخروط الموازي لخط المماس على طول السطح.) وأخيرًا ، إذا كانت الطاقة الكلية موجبة ، إذن

والمسار عبارة عن قطع زائد. يمثل هذان المساران الأخيران مدارات غير محدودة ، حيث م يمر بها م مرة واحدة فقط. وقد لوحظ هذا الوضع للعديد من المذنبات التي تقترب من الشمس ثم تسافر بعيدًا ولا تعود أبدًا.
لقد حصرنا أنفسنا في الحالة التي تدور فيها الكتلة الأصغر (الكوكب) حول كتلة أكبر بكثير ، وبالتالي ثابتة ، كتلة (الشمس) ، ولكن (الشكل) ينطبق أيضًا على أي كتلتين متفاعلتين جاذبيًا. كل كتلة تتتبع المقطع المخروطي الذي يشبه الآخر بالضبط.يتم تحديد هذا الشكل من خلال الطاقة الكلية والزخم الزاوي للنظام ، مع وجود مركز كتلة النظام في البؤرة. نسبة أبعاد المسارين هي معكوس نسبة كتلتيهما.

يمكنك مشاهدة رسم متحرك لكائنين متفاعلين في نظامي الشمسي الصفحة في فيت. اختر خيار Sun and Planet المحدد مسبقًا. يمكنك أيضًا عرض مشاكل الجسد المتعددة الأكثر تعقيدًا. قد تجد المسار الفعلي للقمر مفاجئًا تمامًا ، إلا أنه يخضع لقوانين الحركة البسيطة لنيوتن.

التحويلات المدارية

لقد تخيل الناس السفر إلى الكواكب الأخرى في نظامنا الشمسي منذ اكتشافها. لكن كيف يمكننا القيام بذلك على أفضل وجه؟ تم اكتشاف الطريقة الأكثر فعالية في عام 1925 من قبل والتر هوهمان ، مستوحاة من رواية خيال علمي شهيرة في ذلك الوقت. الطريقة تسمى الآن نقل هوهمان . في حالة السفر بين مدارين دائريين ، يكون النقل على طول شكل بيضاوي "نقل" يعترض تمامًا تلك المدارات عند الأوج والحضيض للقطع الناقص. (الشكل) يوضح حالة الرحلة من مدار الأرض إلى مدار كوكب المريخ. كما كان من قبل ، الشمس في بؤرة القطع الناقص.

لأي شكل بيضاوي ، يتم تعريف المحور شبه الرئيسي على أنه نصف مجموع الحضيض والأوج. في (الشكل) ، المحور شبه الرئيسي هو المسافة من الأصل إلى جانبي القطع الناقص على طول x- المحور ، أو نصف المحور الأطول (يسمى المحور الرئيسي). وبالتالي ، للسفر من مدار دائري نصف قطره

إلى مدار دائري آخر نصف قطره

، سيكون الأوج من القطع الناقص الناقل مساويًا لقيمة المدار الأكبر ، بينما سيكون الحضيض هو المدار الأصغر. المحور شبه الرئيسي ، المشار إليه أ، وبالتالي من

الشكل 13.19 القطع الناقص الناقل له الحضيض في مدار الأرض والأوج في مدار المريخ.

لنأخذ حالة السفر من الأرض إلى المريخ. في الوقت الحالي ، نتجاهل الكواكب ونفترض أننا وحدنا في مدار الأرض ونرغب في الانتقال إلى مدار المريخ. من (الشكل) ، التعبير عن الطاقة الإجمالية ، يمكننا أن نرى أن الطاقة الإجمالية لمركبة فضائية في المدار الأكبر (المريخ) أكبر (أقل سلبية) من تلك الخاصة بالمدار الأصغر (الأرض). للانتقال إلى القطع الناقص الانتقالي من مدار الأرض ، سنحتاج إلى زيادة طاقتنا الحركية ، أي أننا بحاجة إلى زيادة السرعة. الطريقة الأكثر فاعلية هي التسارع السريع جدًا على طول المسار المداري الدائري ، والذي يكون أيضًا على طول مسار القطع الناقص عند تلك النقطة. (في الواقع ، يجب أن يكون التسارع لحظيًا ، بحيث تكون المدارات الدائرية والإهليلجية متطابقة أثناء التسارع. عمليًا ، يكون التسارع المحدود قصيرًا بما يكفي بحيث لا يكون الاختلاف في الاعتبار.) بمجرد وصولك إلى مدار المريخ ، ستحتاج إلى زيادة سرعة أخرى للانتقال إلى هذا المدار ، أو ستبقى في المدار الإهليلجي وتعود ببساطة إلى الحضيض حيث بدأت. بالنسبة لرحلة العودة ، يمكنك ببساطة عكس العملية باستخدام دفعة رجعية في كل نقطة تحويل.

لإجراء الانتقال إلى القطع الناقص الانتقالي ثم إيقافه مرة أخرى ، نحتاج إلى معرفة سرعة كل مدار دائري وسرعات مدار النقل عند الحضيض والأوج. زيادة السرعة المطلوبة هي ببساطة الفرق بين سرعة المدار الدائري وسرعة المدار الإهليلجي عند كل نقطة. يمكننا إيجاد السرعات المدارية الدائرية من (الشكل). لتحديد سرعات القطع الناقص ، نذكر بدون دليل (لأنه خارج نطاق هذه الدورة التدريبية) أن إجمالي الطاقة لمدار بيضاوي هو

هي كتلة الشمس و أ هو المحور شبه الرئيسي. من اللافت للنظر أن هذا هو نفس (الشكل) بالنسبة للمدارات الدائرية ، ولكن مع قيمة المحور شبه الرئيسي الذي يحل محل نصف القطر المداري. نظرًا لأننا نعرف الطاقة الكامنة من (الشكل) ، يمكننا إيجاد الطاقة الحركية ومن ثم السرعة اللازمة لكل نقطة على القطع الناقص. نترك الأمر كمشكلة تحدي للعثور على سرعات النقل هذه لرحلة من الأرض إلى المريخ.

ننهي هذه المناقشة بالإشارة إلى بعض التفاصيل المهمة. أولاً ، لم نأخذ في الحسبان طاقة الجاذبية الكامنة بسبب الأرض والمريخ ، أو آليات الهبوط على المريخ. في الممارسة العملية ، يجب أن يكون ذلك جزءًا من الحسابات. ثانيًا ، التوقيت هو كل شيء. أنت لا تريد الوصول إلى مدار كوكب المريخ لتكتشف أنه غير موجود. يجب أن نترك الأرض في الوقت الصحيح بالضبط بحيث يكون المريخ في الأوج من القطع الناقص الانتقالي بمجرد وصولنا. تأتي هذه الفرصة كل عامين تقريبًا. والعودة تتطلب التوقيت الصحيح أيضًا. سيستغرق إجمالي الرحلة أقل من 3 سنوات بقليل! هناك خيارات أخرى توفر عبورًا أسرع ، بما في ذلك التحليق بمساعدة الجاذبية على كوكب الزهرة. لكن هذه الخيارات الأخرى تأتي بتكلفة إضافية من حيث الطاقة والخطر على رواد الفضاء.

قم بزيارة هذا الموقع لمزيد من التفاصيل حول التخطيط لرحلة إلى المريخ.

قانون كبلر الثاني

قانون كبلر الثاني تنص على أن كوكبًا يكتسح مساحات متساوية في أوقات متساوية ، أي أن المنطقة مقسومة على الوقت ، والتي تسمى سرعة المنطقة ، ثابتة. ضع في اعتبارك (الشكل). الوقت الذي يستغرقه الكوكب للتحرك من موقعه أ ل ب، تجتاح المنطقة

، هو بالضبط الوقت المستغرق للانتقال من الموضع ج ل د، كاسحة

، والانتقال من ه ل F، تجتاح المنطقة

الشكل 13.20 المناطق المظللة المعروضة لها مساحات متساوية وتمثل نفس الفترة الزمنية.

بمقارنة المساحات في الشكل والمسافة المقطوعة على طول القطع الناقص في كل حالة ، يمكننا أن نرى أنه من أجل تساوي المساحات ، يجب أن يتسارع الكوكب عندما يقترب من الشمس ويتباطأ كلما تحرك بعيدًا. يتوافق هذا السلوك تمامًا مع معادلة الحفظ الخاصة بنا (الشكل). لكننا سنبين أن قانون كبلر الثاني هو في الواقع نتيجة للحفاظ على الزخم الزاوي ، والذي ينطبق على أي نظام بقوى شعاعية فقط.

تذكر تعريف الزخم الزاوي من الزخم الزاوي ،

. في حالة الحركة المدارية ،

هو الزخم الزاوي للكوكب حول الشمس ،

هو متجه موقع الكوكب المقاس من الشمس ، و

هو الزخم الخطي اللحظي في أي نقطة في المدار. بما أن الكوكب يتحرك على طول القطع الناقص ،

هو دائما مماس للقطع الناقص.

يمكننا تقسيم الزخم الخطي إلى مكونين: مكون شعاعي

على طول الخط إلى الشمس ، ومكون

. يمكن بعد ذلك كتابة حاصل الضرب الاتجاهي للزخم الزاوي كـ

الحد الأول على اليمين هو صفر لأن

، لذا فإن حجم الضرب التبادلي يقلل إلى

. لاحظ أن الزخم الزاوي يفعل ليس يعتمد على

. نظرًا لأن قوة الجاذبية في الاتجاه الشعاعي فقط ، فيمكن أن تتغير فقط

ومن ثم ، يجب أن يظل الزخم الزاوي ثابتًا.

الآن فكر في (الشكل). منطقة صغيرة مثلثة الشكل

. السرعة على طول المسار وتصنع زاوية

مع الاتجاه الشعاعي. ومن ثم ، يتم الحصول على السرعة العمودية بواسطة

. يتحرك الكوكب مسافة

مسقطة على طول الاتجاه العمودي ل ص. بما أن مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة (ص) ضرب الارتفاع

، للإزاحة الصغيرة ، يتم إعطاء المنطقة بواسطة

، بالضرب في م في البسط والمقام نحصل على إعادة الترتيب

الشكل 13.21 عنصر المنطقة

كما يتحرك الكوكب من خلال الزاوية

. الزاوية بين الاتجاه الشعاعي و

السرعة المساحية هي ببساطة معدل تغير المنطقة بمرور الوقت ، لذلك لدينا

نظرًا لأن الزخم الزاوي ثابت ، يجب أن تكون السرعة المساحية ثابتة أيضًا. هذا هو بالضبط قانون كبلر الثاني. كما هو الحال مع قانون كبلر الأول ، أظهر نيوتن أنه نتيجة طبيعية لقانون الجاذبية الخاص به.

يمكنك عرض نسخة متحركة من (الشكل) ، والعديد من الرسوم المتحركة الأخرى المثيرة للاهتمام أيضًا ، في موقع مدرسة الفيزياء (جامعة نيو ساوث ويلز).

قانون كبلر الثالث

قانون كبلر الثالث ينص على أن مربع الفترة يتناسب مع مكعب المحور شبه الرئيسي للمدار. في مدارات الأقمار الصناعية والطاقة ، استنتجنا قانون كبلر الثالث للحالة الخاصة للمدار الدائري. (الشكل) يعطينا فترة مدار دائري نصف القطر ص حول الأرض:

بالنسبة للقطع الناقص ، تذكر أن المحور شبه الرئيسي هو نصف مجموع الحضيض والأوج. بالنسبة إلى مدار دائري ، فإن المحور شبه الرئيسي (أ) هو نفس نصف قطر المدار. في الواقع ، يعطينا (الشكل) قانون كبلر الثالث إذا استبدلناه ببساطة ص مع أ ومربع كلا الجانبين.

لقد قمنا بتغيير كتلة الأرض إلى كتلة أكثر عمومية م، لأن هذه المعادلة تنطبق على الأقمار الصناعية التي تدور حول أي كتلة كبيرة.

مثال

مدار مذنب هالي

حدد المحور شبه الرئيسي لمدار مذنب هالي ، نظرًا لأنه يصل إلى الحضيض الشمسي كل 75.3 سنة. إذا كان الحضيض 0.586 AU فما هو الأوج؟

إستراتيجية

لقد أعطينا الفترة ، حتى نتمكن من إعادة الترتيب (الشكل) ، لحل المحور شبه الرئيسي. نظرًا لأننا نعرف قيمة الحضيض ، يمكننا استخدام تعريف المحور شبه الرئيسي ، الوارد سابقًا في هذا القسم ، للعثور على الأوج. نلاحظ أن الوحدة الفلكية الواحدة (AU) هي متوسط ​​نصف قطر مدار الأرض ويتم تعريفها على أنها

المحلول

إعادة ترتيب (الشكل) وإدخال قيم فترة مذنب هالي وكتلة الشمس ، لدينا

أو 17.8 AU للمحور شبه الرئيسي.

المحور شبه الرئيسي هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، لذلك لدينا

بالتعويض عن القيم ، وجدنا للمحور شبه الرئيسي والقيمة المعطاة للحضيض الشمسي ، نجد أن قيمة الأوج هي 35.0 AU.

الدلالة

ادموند هالي ، أحد معاصري نيوتن ، اشتبه أولاً في أن ثلاثة مذنبات ، تم الإبلاغ عنها في الأعوام 1531 و 1607 و 1682 ، كانت في الواقع نفس المذنب. قبل إجراء Tycho Brahe لقياسات المذنبات ، كان يُعتقد أنها أحداث لمرة واحدة ، وربما اضطرابات في الغلاف الجوي ، وأنها لم تتأثر بالشمس. استخدم هالي ميكانيكا نيوتن الجديدة للتنبؤ بعودة مذنب يحمل الاسم نفسه في عام 1758.

تأكد من فهمك

يبلغ متوسط ​​نصف قطر المدار الدائري لكوكب زحل حوالي 9.5 AU ويبلغ مدته 30 عامًا ، بينما يبلغ متوسط ​​عمر أورانوس حوالي 19 AU ويبلغ مدته 84 عامًا. هل هذا يتفق مع نتائجنا لمذنب هالي؟

[كشف-answer q = & # 8221fs-id1168326822487 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer]

المحور شبه الرئيسي للمدار الإهليلجي للغاية لمذنب هالي هو 17.8 AU وهو متوسط ​​الحضيض والأوج. هذا يقع بين 9.5 AU و 19 AU نصف القطر المداري لزحل وأورانوس ، على التوالي. نصف قطر مدار دائري هو نفس المحور شبه الرئيسي ، وبما أن الفترة تزداد مع زيادة المحور شبه الرئيسي ، فمن المتوقع أن تكون فترة هالي بين فترتي زحل وأورانوس.

ملخص

  • تتبع كل الحركات المدارية مسار المقطع المخروطي. المدارات المقيدة أو المغلقة هي إما دائرة أو قطع ناقص غير محدود أو أن المدارات المفتوحة إما قطع مكافئ أو قطع زائد.
  • السرعة المساحية لأي مدار ثابتة ، مما يعكس الحفاظ على الزخم الزاوي.
  • يتناسب مربع فترة المدار الإهليلجي مع مكعب المحور شبه الرئيسي لهذا المدار.

أسئلة مفاهيمية

هل قوانين كبلر وصفية بحتة أم أنها تحتوي على معلومات سببية؟

في الرسم البياني أدناه لقمر صناعي في مدار بيضاوي حول كتلة أكبر بكثير ، أشر إلى أين تكون سرعته أكبر وأين تكون أقل. ما قانون الحفظ الذي يملي هذا السلوك؟ حدد اتجاهات القوة والتسارع والسرعة عند هذه النقاط. ارسم متجهات لهذه الكميات الثلاث نفسها عند النقطتين حيث ذ- يتقاطع المحور (على طول المحور شبه الصغير) ومن هذا يحدد ما إذا كانت السرعة تتزايد ، أو عند حد أقصى / دقيقة.

[كشف-answer q = & # 8221103119 & # 8243] إظهار الحل [/ إظهار-الإجابة]
[hidden-answer a = & # 8221103119 & # 8243] تكون السرعة أكبر عندما يكون القمر الصناعي أقرب للكتلة الكبيرة وأقل مكان بعيدًا — عند نقطة الذروة و apoapsis ، على التوالي. إن الحفاظ على الزخم الزاوي هو الذي يحكم هذه العلاقة. ولكن يمكن أيضًا استخلاصها من الحفاظ على الطاقة ، يجب أن تكون الطاقة الحركية أكبر عندما تكون طاقة وضع الجاذبية هي الأقل (الأكثر سلبية). يتم دائمًا توجيه القوة ، وبالتالي التسارع ، نحو M في الرسم التخطيطي ، وتكون السرعة دائمًا مماسًا للمسار عند جميع النقاط. يحتوي متجه التسارع على عنصر مماسي على طول اتجاه السرعة في الموقع العلوي على المحور y ، وبالتالي فإن القمر الصناعي يتسارع. العكس تمامًا هو الصحيح في الموضع السفلي. [/ hidden-answer]

مشاكل

احسب كتلة الشمس استنادًا إلى بيانات متوسط ​​مدار الأرض وقارن القيمة التي تم الحصول عليها مع القيمة الشائعة للشمس وهي

.
[كشف-answer q = & # 8221114708 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-الإجابة]
[hidden-answer a = & # 8221114708 & # 8243]

القيم هي نفسها ضمن 0.05٪. [/ hidden-answer]

آيو يدور حول كوكب المشتري بمتوسط ​​نصف قطر 421700 كم وفترة 1.769 يومًا. بناءً على هذه البيانات ، ما كتلة كوكب المشتري؟

إن نصف القطر المداري "المتوسط" المدرج للأجسام الفلكية التي تدور حول الشمس ليس عادةً متوسطًا متكاملًا ولكن يتم حسابه بحيث يعطي الفترة الصحيحة عند تطبيقه على معادلة المدارات الدائرية. بالنظر إلى ذلك ، ما هو متوسط ​​نصف القطر المداري من حيث الأوج والحضيض؟

[كشف-answer q = & # 8221fs-id1168329510821 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer]

قارن (الشكل) و (الشكل) لترى أنهما يختلفان فقط في نصف القطر الدائري ، ص، يتم استبداله بالمحور شبه الرئيسي ، أ. لذلك ، فإن متوسط ​​نصف القطر هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، وهو نفس المحور شبه الرئيسي.

يبلغ الحضيض الشمسي لمذنب هالي 0.586 وحدة فلكية ويبلغ حجم الأوج 17.8 وحدة فلكية. إذا كانت سرعته عند الحضيض 55 كم / ث ، فما السرعة عند الأوج (

)? (تلميح: يمكنك استخدام إما حفظ الطاقة أو الزخم الزاوي ، لكن الأخير أسهل بكثير.)

يبلغ حضيض مذنب Lagerkvist 2.61 AU ويبلغ مدته 7.36 سنة. أظهر أن اوج هذا المذنب هو 4.95 AU.

[كشف-answer q = & # 8221fs-id1168329148430 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer]

تم العثور على المحور شبه الرئيسي ، 3.78 AU من معادلة الفترة. هذا هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، مما يعطي مسافة الأوج 4.95 AU.

ما هي نسبة السرعة عند الحضيض إلى تلك الموجودة في الأوج للمذنب Lagerkvist في المسألة السابقة؟

يمتلك إيروس مدارًا إهليلجيًا حول الشمس ، بمسافة الحضيض الشمسي 1.13 AU ومسافة الأوج 1.78 AU. ما هي فترة مداره؟

[كشف-answer q = & # 8221fs-id1168329181708 & # 8243] إظهار الحل [/كشف-answer]


1.5: التسارع وقوانين كبلر - الرياضيات

طور يوهانس كيبلر (1571-1630) وصفًا كميًا لحركات الكواكب في النظام الشمسي. يتم التعبير عن الوصف الذي قدمه في ثلاثة `` قوانين ''.

قانون كبلر الأول:

مدار كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في بؤرة واحدة.

يوضح الشكل 1 صورة القطع الناقص. يتم إنشاؤه عن طريق تحديد نقطتي تركيز ، F1 و F2 ، من القطع الناقص. جميع النقاط على القطع الناقص ، مثل P في الشكل 1 ، لها خاصية أن مجموع المسافة بين P و F1 والمسافة بين P و F2 ثابت. غالبًا ما يتم وصف أبعاد القطع الناقص بإعطاء محورها الرئيسي ومحورها الثانوي. ومع ذلك ، في أوصاف المدارات في النظام الشمسي ، من الشائع استخدام المحور شبه الرئيسي لوصف حجم المدار ، وغرابة الشكل الناقص لوصف شكله. يتم تحديد الانحراف من خلال نسبة المسافة بين نقطتي التركيز إلى طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. يتم تحديد الحضيض ، أو أقصر مسافة بين الجسم المداري والكتلة المركزية ، من خلال ناتج المحور شبه الرئيسي ومكمل الانحراف (1 - هـ): إذا كان الجسم يدور حول الشمس ، فهذا هو بيريhelion، يرمز لها بـ q): q = a (1 - e). الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص ، مع انحراف 0 ، أو بحيث q = a.

قانون كبلر الثاني:

خط يربط بين كوكب والشمس يكتسح مناطق متساوية في فترات زمنية متساوية.

يوضح الشكل 2 قانون كبلر الثاني. ضع في اعتبارك الخط الفاصل بين الشمس والنقطة أ في المدار الإهليلجي. بعد فترة زمنية معينة ، سيكون الكوكب قد تحرك على طول المدار إلى النقطة B ، وسوف يكون الخط الفاصل بين الشمس والكوكب قد اجتاح منطقة التظليل المتقاطعة في الشكل. ينص قانون كبلر الثاني على أنه بالنسبة إلى أي موقعين على الكوكب على طول المدار مفصولين بنفس المقدار من الوقت ، فإن المنطقة التي تم جرفها بهذه الطريقة ستكون هي نفسها. وبالتالي ، افترض أن الكوكب يستغرق نفس القدر من الوقت للانتقال بين الموضعين C و D كما فعل بالنسبة للكوكب للتنقل بين الموضعين A و B. ثم يخبرنا قانون كبلر الثاني أن المنطقة المتقاطعة الثانية بين الموضعين C و D ، وستكون الشمس هي نفس المنطقة المتقاطعة بين A و B والشمس.

يعتبر قانون كبلر الثاني ذا قيمة لأنه يعطي بيانًا كميًا حول السرعة التي سيتحرك بها الجسم في أي نقطة في مداره. لاحظ أنه عندما يكون الكوكب أقرب إلى الشمس ، عند الحضيض ، ينص قانون كبلر الثاني على أنه سيتحرك بأسرع ما يمكن. عندما يكون الكوكب أبعد ما يكون عن الشمس ، عند الأوج ، فإنه يتحرك بشكل أبطأ.

قانون كبلر الثالث:

تتناسب مربعات الفترات النجمية للكواكب مع مكعبات محاورها شبه الرئيسية.

لقد حددنا المحور شبه الرئيسي للمدار أعلاه ، في مناقشتنا لقانون كبلر الأول. الفترة النجمية لمدار الكوكب هي الوقت الذي يستغرقه كوكب لإكمال مدار واحد حول الشمس. اكتشف كبلر علاقة كمية بين هاتين الخاصيتين للمدار. إذا كانت P هي فترة المدار ، مقاسة بالسنوات ، وكانت a هي المحور شبه الرئيسي للمدار ، مقاسة بالوحدات الفلكية ، إذن

قوانين نيوتن

تعتبر قوانين كبلر رائعة باعتبارها وصفًا لحركات الكواكب. ومع ذلك ، لم يقدموا أي تفسير لسبب تحرك الكواكب بهذه الطريقة. علاوة على ذلك ، يعمل قانون كبلر الثالث فقط مع الكواكب حول الشمس ولا ينطبق على مدار القمر حول الأرض أو أقمار المشتري. قدم إسحاق نيوتن (1642-1727) شرحًا أكثر عمومية لحركة الكواكب من خلال تطوير قوانين نيوتن للحركة وقانون الجاذبية العالمي لنيوتن.

قوانين نيوتن للحركة

طريقة واحدة لوصف حركة كائن ما لتحديد موقعه في أوقات مختلفة. ضع في اعتبارك السيارة في الشكل 3. يمكننا معرفة مكانها في أوقات مختلفة أثناء سيرها على الطريق. يبدأ عند الميل 0. بعد دقيقة واحدة يكون بين الأميال 1 و 2 على مسافة حوالي 1.3 ميل من البداية. بعد دقيقتين ، قطعت السيارة مسافة 3.3 ميلاً تقريبًا من البداية.بشكل عام ، يمكننا تحديد موضع فريد للسيارة في أي وقت. على سبيل المثال ، ربما كتبنا مكان وجود السيارة في وقت ما بعد 1.5 دقيقة من البداية ، وحتى لو لم نفعل ذلك ، فنحن على يقين من أن السيارة كانت ، في الواقع ، في مكان ما. يطلق علماء الرياضيات على هذا النوع من العلاقات وظيفة. عندما نقول أن موضع السيارة هو دالة للوقت ، فهذا يعني فقط أن هناك موقعًا فريدًا للسيارة في أي وقت. بالنسبة إلى مدار كوكبي ، يمكننا وصف المدار بنفس الطريقة ، من خلال توفير موقع الكوكب على طول المدار لجميع الأوقات.

خاصية أخرى مفيدة لوصف الحركة هي سرعة الجسم. يتم تعريف السرعة على أنها تغيير الموقف مع التغيير في الوقت المناسب. وبالتالي ، بالنسبة لسيارتنا التي تتحرك على طول الطريق ، يمكننا إيجاد السرعة بقسمة المسافة المقطوعة على الوقت المستغرق لقطع تلك المسافة. في مثالنا ، خلال الدقيقة الأولى ، قطعت السيارة مسافة 1.3 ميل على طول الطريق. وبالتالي ، ستكون سرعة السيارة 1.3 ميلًا في الدقيقة (أو حوالي 78 ميلًا في الساعة!) في المتوسط ​​خلال تلك الدقيقة الأولى. من المهم أن نلاحظ أن الفيزيائيين متخصصون جدًا في تعريف السرعة ، وعندما نذكر السرعة ، فإننا دائمًا ما ندلي ببيان حول اتجاه الحركة. في حالتنا ذات البعد الواحد ، هذا يتوافق مع بياني بأن السيارة تحركت على طول الطريق. بشكل عام ، إذا كنا ننظر إلى خارطة طريق ، فيمكننا القول إن السرعة كانت 1.3 ميل في الدقيقة باتجاه الشرق - إذا كان الشارع يسير باتجاه الشرق. يتم تحديد السرعة دائمًا بواسطة القيمة والاتجاه.

خاصية أخيرة مفيدة لوصف الحركة هي تسارع الجسم. مثلما تصف السرعة معدل التغير في موضع الجسم ، فإن العجلة تصف معدل تغير السرعة. في مثالنا ، تحركت السيارة أثناء الدقيقة الثانية من الرحلة أبعد مما فعلت خلال الدقيقة الأولى. سيكون متوسط ​​السرعة خلال الدقيقة الثانية 2 ميل في الدقيقة (120 ميلاً في الساعة) ، حيث قطعت السيارة ميلين من 1.3 إلى 3.3 خلال الفاصل الزمني لمدة دقيقة واحدة من دقيقة واحدة بعد البداية إلى دقيقتين بعد البداية. زادت السرعة كثيرًا (0.7 ميل في الدقيقة) بين الدقيقة الأولى من السفر والدقيقة الثانية من السفر ، ونحن نصف هذا التغيير بالعجلة. في هذه الحالة ، زادت سرعة السيارة بمقدار 0.7 ميل في الدقيقة في فاصل زمني قدره دقيقة واحدة. وبالتالي ، يمكننا القول أن متوسط ​​تسارع السيارة خلال هذا الوقت كان 0.7 ميلًا في الدقيقة لكل دقيقة - التسارع هو معدل تغير السرعة.

مثل السرعة ، التسارع له قيمة واتجاه ضمني. في مثالنا ، كان الاتجاه `` على طول الطريق '' ، ولكن في حالة أكثر عمومية ، لا يكون التسارع بالضرورة في نفس اتجاه السرعة. مثال جيد بشكل خاص لفهم النظام الشمسي هو حالة الحركة الدائرية المنتظمة. لنفكر في الحالة أدناه لسيارة تتحرك حول دائرة. السرعة ثابتة في هذه الحركة ، لكن الاتجاه يتغير باستمرار - لاحظ الأسهم التي توضح اتجاه الحركة في الشكل - لذلك يجب أن يكون هناك تسارع هنا. يُطلق على التسارع في هذه الحالة الخاصة للحركة الدائرية تسارع الجاذبية. يكون دائمًا في اتجاه مركز الدائرة ، كما هو موضح في الشكل ، وله قيمة ، A ،

حيث v هي سرعة الكائن على طول مساره الدائري ، و R هو نصف قطر الدائرة.

قانون نيوتن الأول للحركة:

يظل الجسم في حالة سكون أو يتحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة ما لم يتم التأثير عليه بواسطة قوة خارجية.

إذا نظرت إلى تعريف التسارع ، سترى أن: (1) الجسم الساكن لا يتسارع و (2) الجسم يتحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة لا يتسارع أيضًا. وهكذا ، ينص قانون نيوتن الأول على أن الأشياء لا تتسارع إلا إذا تم التصرف بموجبها بواسطة قوة خارجية.

قانون نيوتن الثاني للحركة:

إذا كانت هناك قوة ، F ، تعمل على جسم كتلته M ، فإن العجلة ، A ، يتم الحصول عليها من خلال

قال القانون الأول إنه إذا كان هناك تسارع ، فهناك قوة. يعطي قانون نيوتن الثاني علاقة كمية بين القوة والتسارع الملحوظ. تعتمد العلاقة على خاصية جديدة للكائن ، كتلته. الكتلة هي ببساطة مقياس لكمية المادة في كتلة الجسم التي تُقاس تقليديًا بالجرامات أو الكيلوجرامات. لاحظ أن القانون الثاني يشير إلى أنه ، لقوة معينة ، فإن الجسم الأقل كتلة سيتسارع أكثر من الجسم الأكثر كتلة. هذا يتوافق مع العالم الذي تعرفه. دفع شقيقك الصغير ، قد يقطع مسافة طويلة يشق شاكيل أونيل بنفس القوة ولن يتحرك إلى هذا الحد.

قانون نيوتن الثالث للحركة:

إذا مارس أحد الجسد قوة على جسم آخر ، فإن الجسم الثاني يبذل قوة مساوية وقوة معاكسة على الأول.

يسمى هذا القانون أحيانًا قانون `` الفعل-رد الفعل ''. ضع في اعتبارك ما يحدث إذا كنت في قارب من صف واحد وقمت بسحب خط متصل بقارب الصف الثاني. عندما تسحب الخط ، فإنك تمارس قوة على القارب الثاني. ولكن ، بموجب القانون الثالث ، يمارس القارب الآخر عليك قوة مساوية ومعاكسة. وبالتالي ، إذا كان قارب الصف الثاني يحتوي على شحنة كبيرة من الطوب ، لذا فهو ثقيل جدًا ، فقد يقوم قاربك الأخف بكل الحركة على الرغم من قيامك بكل عمليات السحب.

التداعيات على الكواكب

تحتوي المدارات الإهليلجية للكواكب على مثل هذه الانحرافات الصغيرة لدرجة أنه ، لتقريب جيد جدًا ، يمكننا اعتبارها دوائر. (فقط القياسات الدقيقة للغاية ، مثل تلك المتاحة لكبلر ، هي القادرة على اكتشاف الفرق). وهذا يعني أنه يمكننا استخدام فكرة الحركة الدائرية المنتظمة لتحليل حركة الكواكب. في هذا القسم ، كشفنا أن جسمًا في حركة دائرية منتظمة يتسارع باستمرار نحو مركز مساره الدائري. وبالتالي ، وفقًا لقانون نيوتن الأول للحركة ، يجب أن تكون هناك قوة مؤثرة على الكوكب يتم توجيهها دائمًا نحو مركز المدار - أي نحو الشمس!

يسمح لنا قانون نيوتن الثاني للحركة بتحديد حجم هذه القوة. القوة المطلوبة هي فقط كتلة الأرض مضروبة في تسارعها. نعلم أن تسارع جسم يتحرك في حركة دائرية منتظمة هو A = V 2 / R. وبالتالي ، يمكننا حساب القوة المطلوبة لإبقاء الأرض على مسارها الدائري ومقارنتها بالنظريات الفيزيائية حول ماهية هذه القوة. هذا ما فعله نيوتن لاحقًا ، على الرغم من أنه فعل ذلك أولاً للقمر بدلاً من الأرض ، للتعرف على قوة الجاذبية.

أخيرًا ، دعونا نفكر في تأثير قانون `` الفعل - رد الفعل ''. إذا كانت هناك قوة تجذب الأرض نحو الشمس ، فلا بد من وجود قوة مساوية ومعاكسة تجذب الشمس نحو الأرض. لماذا إذن لا تتحرك الشمس؟ الجواب هو أنه يتحرك بالفعل ، ولكن بكمية صغيرة جدًا لأن كتلة الشمس تبلغ حوالي نصف مليون ضعف كتلة الأرض. وهكذا ، عندما تخضع للقوة المتساوية والمعاكسة التي يتطلبها القانون الثالث ، فإنها تتسارع بنحو نصف مليون مرة أقل من الأرض أيضًا. لهذا السبب ، لتقريب جيد جدًا ، يمكننا التعامل مع الشمس على أنها ثابتة في دراساتنا لحركة الكواكب.

قانون نيوتن العالمي للجاذبية

الآن يجب أن تتساءل: "ما هي القوة التي تحافظ على دوران الأرض حول الشمس؟ '' كان اكتشاف نيوتن العظيم هو قوة < sl الجاذبية> ، وهي قوة جذب تحدث بين كتلتين. عادة ما يتم ذكر القانون العالمي للجاذبية كمعادلة:

F الجاذبية = G M 1 M 2 / r 2

حيث F هي قوة الجاذبية الجذابة بين جسمين كتلتهما M 1 و M 2 مفصولة بمسافة r. الثابت G في المعادلة يسمى الثابت العالمي للجاذبية. قيمة G هي:

G = 6.67 × 10-11 متر 3 كجم -1 ثانية -2

كانت خطوة نيوتن العظيمة هي تطوير هذا القانون واستخدامه ، مع قوانين الحركة الخاصة به ، لشرح حركة الكثير من الأشياء المختلفة - من الأجسام المتساقطة إلى الكواكب. بشكل مثير للدهشة ، من بين هذه القواعد البسيطة والعامة ، تمكن نيوتن من إظهار أن جميع قوانين كبلر الوصفية للمدارات قد اتبعت كنتيجة مباشرة.

عندما تجمع بين جاذبية نيوتن والعجلة الدائرية ، والتي يجب أن تتوازن حتى يظل الجسم في مداره ، تحصل على علاقة لطيفة بين الدورة والمسافة والكتلة للجسم المركزي. إنها الكائنات من خلال معادلة قوة الجاذبية (Fسنت) بسبب الحركة الدائرية لقوة الجاذبية (Fجراف): Fجراف = F.سنت

F grav = G · m 1 · m 2 / r 2
Fسنت = م 2 فولت 2 / ص

لتكن الأرض م 1 والقمر م 2. بالنسبة للحركة الدائرية ، فإن المسافة r هي المحور شبه الرئيسي a. يمكن وصف السرعة المدارية للقمر بأنها المسافة / الوقت ، أو محيط المدار الدائري مقسومًا على الفترة المدارية:

لذلك تحديد القوى عوائد متساوية

G م 1 م 2 / أ 2 = م 2 فولت 2 / أ

لاحظ أن m 2 ستلغي ، بحيث تكون الحركة المدارية الدائرية مستقلة عن كتلة الجسم المداري!

G م 1 / أ 2 = ((2 بي أ) 2 / ف 2) / أ

التي نعيد ترتيبها لوضع كل حدود a على اليمين وكل حدود P على اليسار:

والتي يجب أن تبدو بشكل مذهل مثل قانون كبلر الثالث ، ولكن هذه المرة لكتلة الأرض (أو أي شيء آخر) بدلاً من كتلة الشمس. لاستخدام a و P لإيجاد الكتلة ، عالج مرة أخرى بحيث


قوانين كبلر

قوانين كبلر الثلاثة: تم ذكر قوانين كبلر الثلاثة أدناه:

مدار كوكب ما هو شكل بيضاوي مع الشمس في إحدى البؤرتين.

مقطع خطي يصل إلى كوكب وتكتسح الشمس مناطق متساوية خلال فترات زمنية متساوية.

يتناسب مربع الفترة المدارية لكوكب ما طرديًا مع مكعب المحور شبه الرئيسي في مداره.

1) إثبات أن مسار الكوكب الذي يتحرك بحيث يتم توجيه تسارعه دائمًا إلى نقطة ثابتة (نجمة) ويساوي ( dfrac < mu> <(مسافة) ^ 2> ) هو a قطع مخروطي. ابحث عن الظروف التي يصبح المسار بموجبها

(ط) القطع الناقص ،
(2) القطع المكافئ و (3) القطع الزائد

2) تتناسب قوة جذب الأرض عكسيًا مع مربع المسافة التي تفصله عن مركز الأرض. جسيم وزنه على سطح الأرض (W ) يسقط على سطح الأرض من ارتفاع (3 س ) فوقه. بيّن أن حجم العمل الذي تقوم به قوة جذب الأرض هو ( dfrac <3> <4> hW ) ، حيث (h ) هو نصف قطر الأرض.

3) مذنب يصف قطعًا مكافئًا بموجب قانون التربيع العكسي حول الشمس ، عندما ينقسم الأقرب إليه فجأة ، دون اكتساب أو فقدان للطاقة الحركية ، إلى جزأين متساويين ، يصف أحدهما دائرة. يثبت أن الآخر سيصف القطع الزائد من الانحراف 2.


1.5: التسارع وقوانين كبلر - الرياضيات

بينما لاحظ كوبرنيكوس بحق أن الكواكب تدور حول الشمس ، كان كبلر هو من حدد مداراتها بشكل صحيح. في سن السابعة والعشرين ، أصبح كبلر مساعدًا لعالم فلك ثري ، تايكو براهي ، الذي طلب منه تحديد مدار المريخ. لقد جمع براهي ملاحظات فلكية مدى الحياة ، والتي ، عند وفاته ، انتقلت إلى أيدي كبلر ورسكووس. (لقد حجب براهي ، الذي كان لديه نموذجه الخاص بالكون المتمركز حول الأرض ، الجزء الأكبر من ملاحظاته عن كيبلر جزئيًا على الأقل لأنه لم يرغب في أن يستخدمها كبلر لإثبات صحة نظرية كوبرنيكوس.) وباستخدام هذه الملاحظات ، وجد كبلر أن تتبع مدارات الكواكب ثلاثة قوانين.

مثل العديد من الفلاسفة في عصره ، كان لدى كبلر اعتقاد صوفي بأن الدائرة هي شكل الكون و rsquos المثالي ، وأنه كتعبير عن النظام الإلهي ، يجب أن تكون الكواكب ومداراتها دائرية. لسنوات عديدة ، كافح من أجل جعل ملاحظات Brahe & rsquos لحركات المريخ تتطابق مع مدار دائري.

في النهاية ، لاحظ كبلر أن خطًا وهميًا مرسومًا من كوكب إلى الشمس اجتاحت مساحة متساوية من الفضاء في أوقات متساوية ، بغض النظر عن مكان الكوكب في مداره. إذا قمت برسم مثلث من الشمس إلى موقع كوكب و rsquos عند نقطة زمنية واحدة وموقعه في وقت محدد لاحقًا و mdashsay ، 5 ساعات ، أو يومين و mdashs ، فإن مساحة هذا المثلث هي نفسها دائمًا ، في أي مكان في المدار. لكي يكون لكل هذه المثلثات نفس المنطقة ، يجب أن يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عندما يكون بالقرب من الشمس ، ولكن بشكل أبطأ عندما يكون بعيدًا عن الشمس.

أدى هذا الاكتشاف (الذي أصبح قانون Kepler & rsquos الثاني للحركة المدارية) إلى إدراك ما أصبح قانون Kepler & rsquos الأول: أن الكواكب تتحرك في شكل بيضاوي (دائرة مضغوطة) مع الشمس في نقطة تركيز واحدة ، معادلة من المركز.

يوضح قانون Kepler & rsquos الثالث أن هناك علاقة رياضية دقيقة بين كوكب ومسافة rsquos من الشمس ومقدار الوقت المستغرق يدور حول الشمس. كان هذا القانون هو الذي ألهم نيوتن ، الذي وضع ثلاثة قوانين خاصة به لشرح سبب تحرك الكواكب كما تفعل.

قوانين نيوتن ورسكووس للحركة

إذا كانت قوانين Kepler & rsquos تحدد حركة الكواكب ، فإن قوانين Newton & rsquos تحدد الحركة. بالتفكير في قوانين Kepler & rsquos ، أدرك نيوتن أن كل حركة ، سواء كانت مدار القمر حول الأرض أو تفاحة تسقط من شجرة ، تتبع نفس المبادئ الأساسية. & ldquo إلى نفس التأثيرات الطبيعية ، & rdquo كتب ، يجب على ldquowe ، قدر الإمكان ، تحديد الأسباب نفسها. & rdquo قام الفيزيائي ستيفن هوكينج بكتابة أسباب مختلفة لأنواع مختلفة من الحركة. من خلال توحيد كل الحركات ، حوّل نيوتن المنظور العلمي إلى البحث عن أنماط كبيرة وموحدة في الطبيعة. أوجز نيوتن قوانينه في كتاب Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (& ldquoMathematical Principles of Natural Philosophy & rdquo) الذي نُشر عام 1687.

القانون الأول: يثابر كل جسم في حالة الراحة أو الحركة المنتظمة في خط صحيح ، ما لم يكن مجبرًا على تغيير تلك الحالة بفعل القوى المؤثرة عليه.

في جوهرها ، لن يغير الجسم المتحرك السرعة أو الاتجاه ، ولن يبدأ الجسم الثابت في الحركة ، ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. يتلخص القانون بانتظام في كلمة واحدة: القصور الذاتي.

القانون الثاني. إن تغيير الحركة يتناسب دائمًا مع القوة المحركة المؤثرة ويتم إجراؤه في اتجاه الخط الأيمن الذي تتأثر فيه تلك القوة.

قانون نيوتن ورسكووس الثاني هو الأكثر تمييزًا في شكله الرياضي ، المعادلة الأيقونية: F = ma. يتم تحديد قوة القوة (F) من خلال مقدار تغييرها للحركة (التسارع ، أ) لجسم مع بعض الكتلة (م).

القانون الثالث. لكل فعل دائمًا رد فعل متساوٍ: أو أن الأفعال المتبادلة لجسدين على بعضهما البعض دائمًا متساوية وموجهة إلى أجزاء متناقضة.

كما وصف نيوتن نفسه: & ldquo إذا ضغطت على حجر بإصبعك ، فإن الإصبع يضغط أيضًا بالحجر. & rdquo

الجاذبية

ضمن صفحات Principia ، قدم نيوتن أيضًا قانونه للجاذبية العامة كدراسة حالة لقوانين الحركة الخاصة به. تمارس كل المادة قوة ، أطلق عليها اسم الجاذبية ، تسحب كل المواد الأخرى نحو مركزها. تعتمد قوة القوة على كتلة الجسم: للشمس جاذبية أكبر من الأرض ، والتي بدورها تمتلك جاذبية أكبر من التفاحة. أيضا ، القوة تضعف مع المسافة. تتأثر الأجسام البعيدة عن الشمس بجاذبيتها.

شرحت قوانين نيوتن ورسكووس للحركة والجاذبية رحلة الأرض ورسكووس السنوية حول الشمس. ستتحرك الأرض بشكل مستقيم للأمام عبر الكون ، لكن الشمس تمارس سحبًا مستمرًا على كوكبنا. تعمل هذه القوة على انحناء مسار الأرض و rsquos نحو الشمس ، مما يؤدي إلى جذب الكوكب إلى مدار بيضاوي الشكل (شبه دائري). جعلت نظرياته أيضًا من الممكن شرح المد والجزر والتنبؤ به. يتم إنشاء ارتفاع وانخفاض مستويات مياه المحيطات عن طريق سحب الجاذبية للقمر أثناء دورانه حول الأرض.

اينشتاين والنسبية

ظلت الأفكار الموضحة في قوانين نيوتن ورسكوس للحركة والجاذبية العالمية دون منازع لما يقرب من 220 عامًا حتى قدم ألبرت أينشتاين نظريته عن النسبية الخاصة في عام 1905. اعتمدت نظرية نيوتن ورسكووس على افتراض أن الكتلة والوقت والمسافة ثابتة بغض النظر عن مكان قياسها. .

تتعامل نظرية النسبية مع الزمان والمكان والكتلة على أنها أشياء مائعة يحددها إطار مرجعي للمراقب و rsquos. كل منا يتحرك عبر الكون على الأرض في إطار مرجعي واحد ، لكن رائد الفضاء في مركبة فضائية سريعة الحركة سيكون في إطار مرجعي مختلف.

ضمن إطار مرجعي واحد ، فإن قوانين الفيزياء الكلاسيكية ، بما في ذلك قوانين نيوتن و rsquos ، صحيحة. لكن قوانين Newton & rsquos يمكن أن تشرح الاختلافات في الحركة والكتلة والمسافة والوقت التي تنتج عندما يتم ملاحظة الأشياء من إطارين مرجعيين مختلفين تمامًا. لوصف الحركة في هذه المواقف ، يجب على العلماء الاعتماد على نظرية أينشتاين ورسكووس للنسبية.

في السرعات البطيئة وعلى المقاييس الكبيرة ، ومع ذلك ، فإن الاختلافات في الوقت والطول والكتلة التي تنبأت بها النسبية صغيرة بما يكفي بحيث تبدو ثابتة ، ولا تزال قوانين نيوتن ورسكوس سارية. بشكل عام ، القليل من الأشياء تتحرك بسرعة كافية حتى نلاحظ النسبية. بالنسبة للأقمار الصناعية الكبيرة بطيئة الحركة ، لا تزال قوانين نيوتن ورسكووس تحدد المدارات. لا يزال بإمكاننا استخدامها لإطلاق أقمار صناعية لرصد الأرض والتنبؤ بحركتها. يمكننا استخدامها للوصول إلى القمر والمريخ وأماكن أخرى خارج الأرض. لهذا السبب ، يرى العديد من العلماء أن قوانين أينشتاين ورسكوس للنسبية العامة والخاصة ليست بديلاً لقوانين نيوتن و rsquos للحركة والجاذبية العامة ، ولكن باعتبارها تتويجًا كاملًا لفكرته.


لاحظ أنه (بسبب قانون كبلر الثاني) يتغير متجه السرعة باستمرار كلاً من حجمه واتجاهه أثناء تحركه حول المدار الإهليلجي (إذا كان المدار دائريًا ، فإن مقدار السرعة سيظل ثابتًا ولكن الاتجاه سيتغير باستمرار) . نظرًا لأن التغير في حجم أو اتجاه متجه السرعة يشكل تسارعًا ، فهناك تسارع مستمر بينما يتحرك الكوكب حول مداره (سواء كان دائريًا أو بيضاويًا) ، وبالتالي وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، هناك قوة تعمل عند كل نقطة في المدار. علاوة على ذلك ، فإن القوة ليست ثابتة من حيث الحجم ، لأن التغير في السرعة (التسارع) يكون أكبر عندما يكون الكوكب بالقرب من الشمس في المدار الإهليلجي.

  1. نظرًا لأن الكواكب تتحرك على القطع الناقص (قانون كبلر الأول) ، فإنها تتسارع باستمرار ، كما أشرنا أعلاه. كما أشرنا أعلاه ، فإن هذا يعني وجود قوة تعمل باستمرار على الكواكب.

1.5 التقديرات وحسابات فيرمي

في العديد من المناسبات ، يحتاج الفيزيائيون والعلماء والمهندسون الآخرون إلى القيام بذلك تقديرات لكمية معينة. المصطلحات الأخرى المستخدمة في بعض الأحيان هي التخمينات, تقريبية من حيث الحجم, حسابات ظهر المغلف، أو حسابات فيرمي. (كان الفيزيائي إنريكو فيرمي الذي ذكره سابقًا مشهورًا بقدرته على تقدير أنواع مختلفة من البيانات بدقة مدهشة.) هل ستلائم قطعة المعدات هذه الجزء الخلفي من السيارة أم سنحتاج إلى استئجار شاحنة؟ كم من الوقت سيستغرق هذا التنزيل؟ حول ما هو حجم التيار الذي سيكون هناك في هذه الدائرة عند تشغيلها؟ كم عدد المنازل التي يمكن لمحطة الطاقة المقترحة أن تزودها بالطاقة إذا تم بناؤها؟ لاحظ أن التقدير لا يعني تخمين رقم أو صيغة عشوائية. بدلاً من ذلك ، يعني التقدير استخدام الخبرة السابقة والتفكير المادي السليم للوصول إلى فكرة تقريبية عن قيمة الكمية. نظرًا لأن عملية تحديد التقريب الموثوق به عادةً ما تتضمن تحديد المبادئ الفيزيائية الصحيحة وتخمينًا جيدًا حول المتغيرات ذات الصلة ، فإن التقدير مفيد جدًا في تطوير الحدس المادي. تسمح لنا التقديرات أيضًا بإجراء "فحوصات سلامة" على الحسابات أو مقترحات السياسة من خلال مساعدتنا في استبعاد سيناريوهات معينة أو أرقام غير واقعية. إنها تسمح لنا بتحدي الآخرين (وكذلك أنفسنا) في جهودنا لمعرفة الحقائق عن العالم.

تستند العديد من التقديرات إلى الصيغ التي لا تُعرف فيها كميات المدخلات إلا بدقة محدودة. أثناء قيامك بتطوير مهارات حل المشكلات الفيزيائية (التي تنطبق على مجموعة متنوعة من المجالات) ، ستطور أيضًا مهارات في التقدير. يمكنك تطوير هذه المهارات من خلال التفكير بشكل أكثر كميًا والاستعداد لتحمل المخاطر. كما هو الحال مع أي مهارة ، فإن الخبرة تساعد. يساعد أيضًا الإلمام بالأبعاد (انظر الجدول 1.3) والوحدات (انظر الجدول 1.1 والجدول 1.2) ، ومقاييس الكميات الأساسية (انظر الشكل 1.4).

لتحقيق بعض التقدم في التقدير ، يجب أن يكون لديك بعض الأفكار المحددة حول كيفية ارتباط المتغيرات. قد تساعدك الاستراتيجيات التالية في ممارسة فن التقدير:

  • احصل على أطوال كبيرة من أطوال أصغر. عند تقدير الأطوال ، تذكر أن أي شيء يمكن أن يكون مسطرة. وبالتالي ، تخيل تقسيم الشيء الكبير إلى أشياء أصغر ، وتقدير طول أحد الأشياء الأصغر ، وضربها للحصول على طول الشيء الكبير. على سبيل المثال ، لتقدير ارتفاع مبنى ، احسب أولاً عدد الطوابق فيه. بعد ذلك ، يمكنك تقدير حجم الطابق الواحد من خلال تخيل عدد الأشخاص الذين سيضطرون إلى الوقوف على أكتاف بعضهم البعض للوصول إلى السقف. أخيرًا ، قم بتقدير ارتفاع الشخص. ناتج هذه التقديرات الثلاثة هو تقديرك لارتفاع المبنى. من المفيد حفظ بعض مقاييس الطول ذات الصلة بأنواع المشاكل التي تجد نفسك تحلها. على سبيل المثال ، قد تكون معرفة بعض مقاييس الطول في الشكل 1.4 مفيدة. أحيانًا يكون من المفيد أيضًا القيام بذلك في الاتجاه المعاكس - أي لتقدير طول شيء صغير ، تخيل مجموعة منهم تشكل شيئًا أكبر. على سبيل المثال ، لتقدير سمك ورقة ، قم بتقدير سمك رزمة من الورق ثم قسّمه على عدد الصفحات في الرزمة. يمكن أحيانًا استخدام نفس الاستراتيجيات المتمثلة في تقسيم الأشياء الكبيرة إلى أشياء أصغر أو تجميع الأشياء الصغيرة في أشياء أكبر لتقدير كميات مادية أخرى ، مثل الكتل والأوقات.
  • احصل على مساحات وأحجام من الأطوال. عند التعامل مع منطقة أو حجم كائن معقد ، أدخل نموذجًا بسيطًا للكائن مثل كرة أو صندوق. ثم قم بتقدير الأبعاد الخطية (مثل نصف قطر الكرة أو طول الصندوق وعرضه وارتفاعه) أولاً ، واستخدم تقديراتك للحصول على الحجم أو المساحة من الصيغ الهندسية القياسية. إذا كان لديك تقدير لمساحة أو حجم كائن ما ، فيمكنك أيضًا القيام بالعكس ، باستخدام الصيغ الهندسية القياسية للحصول على تقدير لأبعاده الخطية.
  • احصل على كتل من الأحجام والكثافات. عند تقدير كتل الأشياء ، يمكن أن يساعد أولاً في تقدير حجمها ثم تقدير كتلتها من تقدير تقريبي لمتوسط ​​كثافتها (تذكر ، الكثافة لها أبعاد كتلة على طول مكعب ، لذلك الكتلة هي الكثافة مضروبة في الحجم). لهذا ، من المفيد أن نتذكر أن كثافة الهواء تبلغ حوالي 1 كجم / م 3 ، وأن كثافة الماء تبلغ 10 3 كجم / م 3 ، وأن أقصى كثافة للمواد الصلبة اليومية تبلغ حوالي 10 4 كجم / م 3. عند سؤال نفسك عما إذا كان الجسم يطفو أو يغرق في الهواء أو الماء ، تحصل على تقدير ملعب كرة قدم لكثافته. يمكنك أيضًا القيام بذلك بالعكس إذا كان لديك تقدير لكتلة جسم ما وكثافته ، فيمكنك استخدامها للحصول على تقدير لحجمه.
  • إذا فشل كل شيء آخر ، قم بتقييده. بالنسبة للكميات المادية التي ليس لديك الكثير من الحدس بها ، فإن أفضل ما يمكنك فعله أحيانًا هو التفكير في شيء مثل: حسنًا ، يجب أن تكون أكبر من هذا وأصغر من ذلك. على سبيل المثال ، افترض أنك بحاجة إلى تقدير كتلة الموظ. ربما لديك الكثير من الخبرة مع الموظ وتعرف متوسط ​​كتلتها المرتجلة. إذا كان الأمر كذلك ، فهذا رائع. ولكن بالنسبة لمعظم الناس ، فإن أفضل ما يمكنهم فعله هو التفكير في شيء مثل: يجب أن يكون أكبر من شخص (من أجل 10 2 كجم) وأقل من سيارة (من أجل 10 3 كجم). إذا احتجت إلى رقم واحد لإجراء عملية حسابية لاحقة ، فيمكنك أن تأخذ المتوسط ​​الهندسي للحد الأعلى والأدنى - أي أنك تضربهما معًا ثم تأخذ الجذر التربيعي. بالنسبة لمثال كتلة الموس ، سيكون هذا


    إذا كانت السرعة المدارية بالضبط السرعة الدائرية في P (V.ج) ، سيكون المدار دائرة يمر من خلال P ، مع المركز على الجسم المركزي (منحنى أحمر).

  • نصف المحور الرئيسي: أ = أ1+ أ2
  • المناصب النسبية: أ2/ أ1= م1/ م2

من علاقة التوازن ، ترتبط مسافات الشمس والأرض عن مركز كتلتهما المشتركة بحجم المحور شبه الرئيسي لمدار الأرض (أ) ونسبة الكتل: أالشمس + أأرض = 1 AU = 1.5 × 10 8 كم أالشمسأرض = مأرض/ مالشمس = 3 × 10 -6

بعد بعض الجبر البسيط (افعل ذلك!) ، نجد: أالشمس = 450 كم

نظرًا لأن نصف قطر الشمس هو 700000 كم ، فهذا يعني أن مركز كتلة نظام الأرض والشمس عميق داخل الشمس.


كبلر & # 8217s ثلاثة قوانين

في أوائل القرن السابع عشر ، اقترح يوهانس كبلر ثلاثة قوانين لحركة الكواكب. كان كبلر قادرًا على تلخيص البيانات التي تم جمعها بعناية لمعلمه & # 8211 Tycho Brahe & # 8211 من خلال ثلاث عبارات وصفت حركة الكواكب في نظام شمسي محوره الشمس. جهود Kepler & # 8217 لشرح الأسباب الكامنة وراء مثل هذه الاقتراحات لم تعد مقبولة ومع ذلك ، لا تزال القوانين الفعلية نفسها تعتبر وصفًا دقيقًا لحركة أي كوكب وأي قمر صناعي.

يمكن وصف قوانين Kepler & # 8217s الثلاثة لحركة الكواكب على النحو التالي:

  • مسار الكواكب حول الشمس بيضاوي الشكل ، حيث يقع مركز الشمس في بؤرة واحدة. (قانون القطع الناقص)
  • خط وهمي مرسوم من مركز الشمس إلى مركز الكوكب سوف يكتسح مناطق متساوية في فترات زمنية متساوية. (قانون المساحات المتساوية)
  • نسبة مربعات فترات أي كوكبين تساوي نسبة مكعبات متوسط ​​مسافاتهما من الشمس. (قانون الانسجام)

قانون القطع الناقص

يُشار إلى قانون Kepler & # 8217s الأول & # 8211 أحيانًا باسم قانون القطع الناقص & # 8211 يوضح أن الكواكب تدور حول الشمس في مسار يوصف بالقطع الناقص. يمكن بسهولة إنشاء القطع الناقص باستخدام قلم رصاص ، واثنين من المسامير ، وخيط ، وورقة من الورق وقطعة من الورق المقوى. ضع الورقة على الورق المقوى باستخدام المسامير المزدوجة. ثم اربط الخيط في حلقة ولف الحلقة حول المسامير. خذ قلمك الرصاص واسحب الخيط حتى يصنع القلم الرصاص وخطبتان مثلثًا (انظر الرسم البياني على اليمين). ثم ابدأ في رسم مسار بالقلم الرصاص ، مع إبقاء الخيط ملفوفًا بإحكام حول المسامير. سيكون الشكل الناتج قطع ناقص. القطع الناقص هو منحنى خاص يكون فيه مجموع المسافات من كل نقطة على المنحنى إلى نقطتين أخريين ثابتًا. تُعرف النقطتان الأخريان (الممثلتان هنا من خلال مواقع التك) باسم البؤر من القطع الناقص. كلما اقتربت هذه النقاط من بعضها البعض ، كلما اقتربنا من أن يكون القطع الناقص مشابهًا لشكل الدائرة. في الواقع ، الدائرة هي الحالة الخاصة للقطع الناقص حيث تكون البؤرتان في نفس الموقع. قانون Kepler & # 8217s الأول بسيط إلى حد ما & # 8211 جميع الكواكب تدور حول الشمس في مسار يشبه القطع الناقص ، حيث تقع الشمس في إحدى بؤر هذا القطع الناقص.

قانون المساحات المتساوية

يُشار أحيانًا إلى قانون Kepler & # 8217s الثاني & # 8211 باسم قانون المساحات المتساوية & # 8211 يصف السرعة التي سيتحرك بها أي كوكب أثناء الدوران حول الشمس. السرعة التي يتحرك بها أي كوكب عبر الفضاء تتغير باستمرار. يتحرك الكوكب بشكل أسرع عندما يكون الأقرب إلى الشمس وأبطأ عندما يكون الأبعد عن الشمس. ومع ذلك ، إذا تم رسم خط وهمي من مركز الكوكب إلى مركز الشمس ، فإن هذا الخط سيكتسح نفس المنطقة في فترات زمنية متساوية. على سبيل المثال ، إذا تم رسم خط وهمي من الأرض إلى الشمس ، فإن المنطقة التي اجتاحها الخط في كل شهر من 31 يومًا ستكون هي نفسها. هذا موضح في الرسم البياني أدناه. كما يمكن ملاحظته في الرسم التخطيطي ، يمكن تقريب المناطق التي تكونت عندما تكون الأرض أقرب إلى الشمس كمثلث عريض ولكن قصير بينما يمكن تقريب المناطق التي تكونت عندما تكون الأرض بعيدة عن الشمس كمثلث ضيق ولكنه طويل. هذه المناطق لها نفس الحجم. منذ قاعدة من هذه المثلثات تكون أقصر عندما تكون الأرض بعيدة عن الشمس ، يجب أن تتحرك الأرض بشكل أبطأ حتى تكون هذه المنطقة التخيلية بنفس الحجم عندما تكون الأرض أقرب للشمس.

قانون الانسجام

يشار إلى القانون الثالث Kepler & # 8217s & # 8211 أحيانًا باسم قانون التناغم & # 8211 يقارن الفترة المدارية ونصف قطر مدار كوكب ما مع الكواكب الأخرى. على عكس قوانين Kepler & # 8217s الأولى والثانية التي تصف خصائص الحركة لكوكب واحد ، فإن القانون الثالث يقوم بإجراء مقارنة بين خصائص الحركة للكواكب المختلفة. المقارنة التي يتم إجراؤها هي أن نسبة مربعات الفترات إلى مكعبات متوسط ​​مسافاتها من الشمس هي نفسها لكل كوكب من الكواكب. كتوضيح ، ضع في اعتبارك الفترة المدارية ومتوسط ​​المسافة من الشمس (نصف القطر المداري) للأرض والمريخ كما هو موضح في الجدول أدناه.

كوكب فترة
(س)
متوسط
المسافة (م)
T 2 / ص 3
(ق 2 / م 3)
أرض 3.156 × 10 7 ثانية 1.4957 × 10 11 2.977 × 10-19
المريخ 5.93 × 10 7 ثانية 2.278 × 10 11 2.975 × 10-19

لاحظ أن نسبة T 2 / R 3 هي نفسها بالنسبة للأرض كما هي بالنسبة للمريخ. في الواقع ، إذا تم حساب نفس نسبة T 2 / R 3 للكواكب الأخرى ، فيمكن العثور على أن هذه النسبة هي نفس القيمة تقريبًا لجميع الكواكب (انظر الجدول أدناه). بشكل مثير للدهشة ، كل كوكب له نفس نسبة T 2 / R 3.

كوكب فترة
(سنة)
متوسط
المسافة (au)
T 2 / ص 3
(سنة 2 / au 3)
الزئبق 0.241 0.39 0.98
كوكب الزهرة .615 0.72 1.01
أرض 1.00 1.00 1.00
المريخ 1.88 1.52 1.01
كوكب المشتري 11.8 5.20 0.99
كوكب زحل 29.5 9.54 1.00
أورانوس 84.0 19.18 1.00
نبتون 165 30.06 1.00
بلوتو 248 39.44 1.00

( ملاحظة : متوسط ​​قيمة المسافة معطى بالوحدات الفلكية حيث 1 a.u. تساوي المسافة من الأرض إلى الشمس & # 8211 1.4957 × 10 11 م. الفترة المدارية معطاة بوحدات من سنوات الأرض حيث 1 سنة أرضية هو الوقت المطلوب للأرض للدوران حول الشمس & # 8211 3.156 x 10 7 ثوان. )

يوفر القانون الثالث Kepler & # 8217s وصفًا دقيقًا للفترة والمسافة لكوكب & # 8217s يدور حول الشمس. بالإضافة إلى ذلك ، فإن نفس القانون الذي يصف نسبة T 2 / R 3 للكواكب & # 8217 مدارات حول الشمس يصف بدقة أيضًا نسبة T 2 / R 3 لأي قمر صناعي (سواء كان قمرًا أو قمرًا صناعيًا) حول أي كوكب . هناك شيء أعمق بكثير يمكن العثور عليه في نسبة T 2 / R 3 هذه & # 8211 شيء يجب أن يرتبط بالمبادئ الأساسية الأساسية للحركة. في الجزء التالي من الدرس 4 ، سيتم التحقق من هذه المبادئ عندما نرسم صلة بين مبادئ الحركة الدائرية التي تمت مناقشتها في الدرس 1 وحركة القمر الصناعي.

كيف وسع نيوتن مفهوم الجاذبية ليشرح حركة الكواكب؟

سمحت مقارنة نيوتن & # 8217s لتسارع القمر لتسارع الأجسام على الأرض بإثبات أن القمر محبوس في مدار دائري بواسطة قوة الجاذبية & # 8211 قوة تعتمد عكسيًا على المسافة بين الاثنين كائنات & # 8217 مراكز. إن تحديد الجاذبية كسبب لمدار القمر لا يثبت بالضرورة أن الجاذبية هي سبب مدارات الكوكب & # 8217. كيف إذن قدم نيوتن دليلًا موثوقًا على أن قوة الجاذبية تلبي متطلبات قوة الجاذبية للحركة الإهليلجية للكواكب؟

تذكر مما سبق في الدرس 3 أن يوهانس كيبلر اقترح ثلاثة قوانين لحركة الكواكب. اقترح قانون التوافقيات أن نسبة فترة المدار تربيع ( تي 2 ) إلى متوسط ​​نصف قطر المدار تكعيب ( ص 3 ) هي نفس القيمة ك لجميع الكواكب التي تدور حول الشمس. اقترحت البيانات المعروفة للكواكب التي تدور حول متوسط ​​النسبة التالية:

كان نيوتن قادرًا على الجمع بين قانون الجاذبية العامة ومبادئ الحركة الدائرية لإظهار أنه إذا كانت قوة الجاذبية توفر قوة الجاذبية للكواكب & # 8217 مدارات دائرية تقريبًا ، فإن قيمة 2.97 × 10-19 ثانية 2 / م 3 يمكن توقعها لـ T 2 / ص 3 نسبة. هذا هو المنطق الذي استخدمه نيوتن:

تخيل كوكبًا كتلته M.كوكب للدوران في حركة دائرية تقريبًا حول شمس الكتلة M.الشمس. يتم الحصول على القوة المركزية الصافية التي تعمل على هذا الكوكب المداري من خلال العلاقة

تنتج قوة الجاذبية المركزية هذه عن قوة الجاذبية التي تجذب الكوكب نحو الشمس ، ويمكن تمثيلها على أنها

منذ Fجراف = F.صافي، التعابير أعلاه لقوة الجاذبية وقوة الجاذبية متساوية. هكذا،

نظرًا لأن سرعة جسم في مدار دائري تقريبًا يمكن تقريبها على أنها v = (2 * pi * R) / T ،

استبدال التعبير عن v 2 في المعادلة أعلاه ينتج ،

من خلال الضرب التبادلي والتبسيط ، يمكن تحويل المعادلة إلى

يمكن بعد ذلك إلغاء كتلة الكوكب من بسط ومقام المعادلة & # 8217s على الجانب الأيمن ، مما ينتج عنه

سيكون الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه هو نفس القيمة لكل كوكب بغض النظر عن كتلة الكوكب & # 8217s. بعد ذلك ، من المعقول أن T 2 / ص 3 ستكون النسبة هي نفس القيمة لجميع الكواكب إذا كانت القوة التي تبقي الكواكب في مداراتها هي قوة الجاذبية. يتنبأ قانون نيوتن العالمي للجاذبية بالنتائج التي تتوافق مع البيانات الكوكبية المعروفة ويقدم تفسيرًا نظريًا لقانون التوافقيات Kepler & # 8217s.

يفتش!

يعرف العلماء الكثير عن الكواكب أكثر مما عرفوه في أيام كبلر & # 8217. يستخدم الكواكب ودجت بلو لاستكشاف ما هو معروف من الكواكب المختلفة.

تأكد من فهمك

1. امتد فهمنا للحركة الإهليلجية للكواكب حول الشمس لعدة سنوات وشمل مساهمات من العديد من العلماء.

أ. أي عالم له الفضل في جمع البيانات اللازمة لدعم حركة الكوكب & # 8217s الإهليلجية؟

ب. من هو العالم الذي يُنسب إليه الفضل في المهمة الطويلة والصعبة لتحليل البيانات؟

ج. من هو العالم الذي يُنسب إليه الشرح الدقيق للبيانات؟

2. غالبًا ما يرجع الفضل إلى جاليليو في الاكتشاف المبكر لأربعة من أقمار المشتري و # 8217. تتبع الأقمار التي تدور حول المشتري نفس قوانين الحركة التي تتبعها الكواكب التي تدور حول الشمس. يُطلق على أحد الأقمار اسم Io & # 8211 ، حيث تبلغ المسافة من مركز المشتري & # 8217s 4.2 الوحدات ويدور حول كوكب المشتري في 1.8 يوم أرضي. قمر آخر يسمى Ganymede وهو 10.7 وحدة من مركز Jupiter & # 8217s. قم بالتنبؤ بفترة جانيميد باستخدام قانون التناغم Kepler & # 8217s.

3. لنفترض أنه تم اكتشاف كوكب صغير يبعد 14 مرة عن الشمس مسافة الأرض & # 8217 s عن الشمس (1.5 × 10 11 م). استخدم قانون التناغم Kepler & # 8217s للتنبؤ بالفترة المدارية لمثل هذا الكوكب. معطى: T 2 / R 3 = 2.97 × 10-19 ثانية 2 / م 3

4. يبلغ متوسط ​​المسافة المدارية للمريخ 1.52 ضعف متوسط ​​المسافة المدارية للأرض. مع العلم أن الأرض تدور حول الشمس في حوالي 365 يومًا ، استخدم قانون التناغم Kepler & # 8217s للتنبؤ بوقت دوران المريخ حول الشمس.

يتم سرد نصف القطر المداري وبيانات الفترة المدارية لأكبر أربعة أقمار لكوكب المشتري في الجدول أدناه. كتلة كوكب المشتري 1.9 × 10 27 كجم. أسند إجاباتك على الأسئلة الخمسة التالية إلى هذه المعلومات.

كوكب المشتري والقمر # 8217s فترة (فترات) نصف قطر (م) T 2 / ص 3
آيو 1.53 × 10 5 4.2 × 10 8 أ.
يوروبا 3.07 × 10 5 6.7 × 10 8 ب.
جانيميد 6.18 × 10 5 1.1 × 10 9 ج.
كاليستو 1.44 × 10 6 1.9 × 10 9 د.

5. حدد نسبة T 2 / R 3 (العمود الأخير) لأقمار المشتري & # 8217 ثانية.

6. ما هو النمط الذي تلاحظه في العمود الأخير من البيانات؟ ما هو قانون Kepler & # 8217s الذي يبدو أنه يدعمه؟

7. استخدم إمكانيات الرسوم البيانية لآلة حاسبة TI لرسم T 2 مقابل R 3 (يجب رسم T 2 على طول المحور الرأسي) ولتحديد معادلة الخط. اكتب المعادلة في صيغة الميل والمقطع أدناه.

8. كيف تقارن نسبة T 2 / R 3 لكوكب المشتري (كما هو موضح في العمود الأخير من جدول البيانات) مع نسبة T 2 / R 3 الموجودة في # 7 (أي ميل الخط)؟

9. كيف تقارن نسبة T 2 / R 3 لكوكب المشتري (كما هو موضح في العمود الأخير من جدول البيانات) مع نسبة T 2 / R 3 الموجودة باستخدام المعادلة التالية؟ (G = 6.67 & # 21510-11 نيوتن * م 2 / كجم 2 و مكوكب المشتري = 1.9 × 10 27 كجم)


بدأت الميكانيكا السماوية التحليلية الحديثة مع مبادئ إسحاق نيوتن عام 1687. واسم "الميكانيكا السماوية" أحدث من ذلك. كتب نيوتن أن الحقل يجب أن يسمى "ميكانيكا عقلانية". جاء مصطلح "الديناميكيات" بعد ذلك بقليل مع جوتفريد لايبنيز ، وبعد أكثر من قرن من ظهور نيوتن ، قدم بيير سيمون لابلاس مصطلح "الميكانيكا السماوية". قبل كبلر ، كان هناك القليل من الارتباط بين التنبؤ الدقيق والكمي لمواقع الكواكب ، باستخدام تقنيات هندسية أو حسابية ، والمناقشات المعاصرة للأسباب الفيزيائية لحركة الكواكب.

يوهانس كيبلر تحرير

كان يوهانس كيبلر (1571-1630) أول من دمج عن كثب علم الفلك الهندسي التنبئي ، الذي كان سائدًا من بطليموس في القرن الثاني إلى كوبرنيكوس ، مع المفاهيم الفيزيائية لإنتاج علم الفلك الجديد ، بناءً على الأسباب ، أو الفيزياء السماوية في عام 1609. أدى عمله إلى القوانين الحديثة لمدارات الكواكب ، والتي طورها باستخدام مبادئه الفيزيائية وملاحظات الكواكب التي قام بها تايكو براهي. حسّن نموذج كبلر دقة تنبؤات حركة الكواكب بشكل كبير ، قبل سنوات من قيام إسحاق نيوتن بتطوير قانون الجاذبية عام 1686.

إسحاق نيوتن تحرير

إسحاق نيوتن (25 ديسمبر 1642-31 مارس 1727) يُنسب إليه الفضل في تقديم فكرة أن حركة الأجسام في السماء ، مثل الكواكب والشمس والقمر وحركة الأجسام على الأرض ، مثل كرات المدفع و سقوط التفاح ، يمكن وصفه بنفس مجموعة القوانين الفيزيائية. بهذا المعنى توحد سماوي و ساكن الأرض ديناميات. باستخدام قانون نيوتن للجاذبية الكونية ، فإن إثبات قوانين كبلر في حالة المدار الدائري أمر بسيط. تتضمن المدارات الإهليلجية حسابات أكثر تعقيدًا ، والتي أدرجها نيوتن في كتابه Principia.

جوزيف لويس لاجرانج تحرير

بعد نيوتن ، حاول لاغرانج (25 يناير 1736-10 أبريل 1813) حل مشكلة الأجسام الثلاثة ، وتحليل استقرار مدارات الكواكب ، واكتشاف وجود نقاط لاغرانج. أعاد لاجرانج أيضًا صياغة مبادئ الميكانيكا الكلاسيكية ، مع التركيز على الطاقة أكثر من القوة وتطوير طريقة لاستخدام معادلة إحداثيات قطبية واحدة لوصف أي مدار ، حتى تلك التي هي قطع مكافئ وزائدي. هذا مفيد لحساب سلوك الكواكب والمذنبات وما إلى ذلك. في الآونة الأخيرة ، أصبح من المفيد أيضًا حساب مسارات المركبات الفضائية.

سايمون نيوكومب تحرير

كان سيمون نيوكومب (12 مارس 1835-11 يوليو 1909) عالم فلك كنديًا أمريكيًا قام بمراجعة جدول بيتر أندرياس هانسن لمواقع القمر. في عام 1877 ، بمساعدة جورج ويليام هيل ، أعاد حساب جميع الثوابت الفلكية الرئيسية. بعد عام 1884 ، وضع مع أ.م.و.داونينج خطة لحل الكثير من الالتباس الدولي حول هذا الموضوع. بحلول الوقت الذي حضر فيه مؤتمر التقييس في باريس ، فرنسا في مايو 1886 ، كان الإجماع الدولي هو أن جميع الفحمات يجب أن تستند إلى حسابات نيوكومب. أكد مؤتمر آخر في أواخر عام 1950 ثوابت نيوكومب كمعيار دولي.

ألبرت أينشتاين تحرير

شرح ألبرت أينشتاين (14 مارس 1879-18 أبريل 1955) الاستباقية الشاذة لحضيض عطارد في ورقته البحثية عام 1916 أسس النظرية العامة للنسبية. قاد هذا علماء الفلك إلى إدراك أن ميكانيكا نيوتن لم تقدم أعلى دقة. تم رصد النجوم النابضة الثنائية ، الأولى في عام 1974 ، والتي لا تتطلب مداراتها فقط استخدام النسبية العامة لتفسيرها ، ولكن تطورها يثبت وجود إشعاع الجاذبية ، وهو اكتشاف أدى إلى الحصول على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1993.

الحركة السماوية ، بدون قوى إضافية مثل قوى السحب أو دفع الصاروخ ، تحكمها تسارع الجاذبية المتبادلة بين الكتل. التعميم هو ن- مشكلة الجسم ، [1] حيث يوجد رقم ن من الكتل تتفاعل بشكل متبادل عبر قوة الجاذبية. على الرغم من أن التكامل غير قابل للتكامل من الناحية التحليلية في الحالة العامة ، [2] يمكن تقريب التكامل عدديًا.

  • مشكلة الجسم الرابع: رحلة الفضاء إلى المريخ (بالنسبة لأجزاء الرحلة ، يكون تأثير جسد واحد أو جثتين صغيرًا جدًا ، لذلك لدينا مشكلة جسمين أو ثلاثة أجسام ، انظر أيضًا التقريب المخروطي المصحح)
  • 3- مشكلة الجسم:
  • رحلة فضائية إلى نقطة لاغرانج والبقاء فيها

وهناك تبسيط آخر يقوم على أساس "الافتراضات المعيارية في الديناميكا الفلكية" ، والتي تتضمن أن أحد الجثث ، الجسم المداري ، أصغر بكثير من الآخر ، الجسم المركزي. هذا أيضًا غالبًا ما يكون صحيحًا تقريبًا.

    تدور حول مركز درب التبانة
  • كوكب يدور حول الشمس
  • قمر يدور حول كوكب
  • مركبة فضائية تدور حول الأرض أو القمر أو كوكب (في الحالات الأخيرة ، لا ينطبق التقريب إلا بعد الوصول إلى هذا المدار)

تشتمل نظرية الاضطراب على طرق رياضية تُستخدم لإيجاد حل تقريبي لمشكلة لا يمكن حلها تمامًا. (يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالطرق المستخدمة في التحليل العددي ، وهي قديمة.) كان أول استخدام لنظرية الاضطراب الحديثة هو التعامل مع المشكلات الرياضية غير القابلة للحل للميكانيكا السماوية: حل نيوتن لمدار القمر ، والذي يتحرك بشكل مختلف بشكل ملحوظ من قطع ناقص كبلر بسيط بسبب جاذبية الأرض والشمس المتنافسة.

تبدأ طرق الاضطراب بشكل مبسط من المشكلة الأصلية ، يتم اختياره بعناية ليكون قابلاً للحل تمامًا. في الميكانيكا السماوية ، يكون هذا عادةً شكل بيضاوي كيبلر ، وهذا صحيح عندما يكون هناك جسمان فقط جاذبيتان (على سبيل المثال ، الأرض والقمر) ، أو مدار دائري ، وهذا صحيح فقط في حالات خاصة لحركة الجسمين ، ولكن غالبًا ما يكون قريبًا بدرجة كافية للاستخدام العملي.

ثم حل المشكلة ولكن المبسطة "مضطرب" لجعل معادلات معدل التغير الزمني لموضع الجسم أقرب إلى القيم من المشكلة الحقيقية ، مثل تضمين الجاذبية لجسم ثالث أبعد (الشمس). يتم استخدام التغييرات الطفيفة الناتجة عن الشروط في المعادلات - والتي ربما تم تبسيطها مرة أخرى - كتصحيحات للحل الأصلي. نظرًا لأن عمليات التبسيط تتم في كل خطوة ، فإن التصحيحات ليست مثالية أبدًا ، ولكن حتى دورة واحدة من التصحيحات توفر غالبًا حلًا تقريبيًا أفضل بشكل ملحوظ للمشكلة الحقيقية.

لا يوجد شرط للتوقف عند دورة واحدة فقط من التصحيحات. يمكن إعادة استخدام الحل المصحح جزئيًا كنقطة انطلاق جديدة لدورة أخرى من الاضطرابات والتصحيحات. من حيث المبدأ ، بالنسبة لمعظم المشاكل ، يمكن أن تستمر إعادة تدوير وتنقية الحلول السابقة للحصول على جيل جديد من الحلول الأفضل إلى أجل غير مسمى ، إلى أي درجة محددة من الدقة المطلوبة.

تتمثل الصعوبة الشائعة في هذه الطريقة في أن التصحيحات عادةً ما تجعل الحلول الجديدة أكثر تعقيدًا بشكل تدريجي ، لذا فإن إدارة كل دورة أكثر صعوبة من دورة التصحيحات السابقة. يقال أن نيوتن قد قال فيما يتعلق بمشكلة مدار القمر "هذا يجعل رأسي يتألم [4]

هذا الإجراء العام - بدءًا من مشكلة مبسطة وإضافة تصحيحات تدريجيًا تجعل نقطة البداية للمشكلة المصححة أقرب إلى الوضع الحقيقي - هي أداة رياضية مستخدمة على نطاق واسع في العلوم والهندسة المتقدمة. إنه الامتداد الطبيعي لطريقة "التخمين والتحقق والإصلاح" المستخدمة قديماً مع الأرقام.


شاهد الفيديو: قوانين كبلر (ديسمبر 2021).