مقالات

7.1: الرسم باليد في نظام الإحداثيات المستطيلة ثنائية الأبعاد


نبدأ بتعريف ملف زوج مرتب.

زوج مرتب

يُطلق على التركيب ((x، y) ) ، حيث (x ) و (y ) أي أرقام حقيقية ، زوجًا مرتبًا من الأرقام الحقيقية.

((4،3) ) ، ((- 3،4) ) ، ((- 2 ، −3) ) ، و ((3 ، −1) ) هي أمثلة على الأزواج المرتبة.

ترتيب المسائل

انتبه بشكل خاص لعبارة "الأزواج المرتبة". ترتيب الأمور. وبالتالي ، فإن الزوج المرتب ((س ، ص) ) ليس هو نفسه الزوج المرتب ((ص ، س) ) ، لأن الأرقام معروضة بترتيب مختلف.

نظام الإحداثيات الديكارتية

الموضح بالصورة ( PageIndex {1} ) هو نظام تنسيق ديكارتي. على الشبكة ، أنشأنا سطرين حقيقيين ، أحدهما أفقي بعنوان (س ) (سنشير إلى هذا الخط على أنه المحور (س ) -) والآخر الرأسي المسمى (ص ) ( سنشير إلى هذا على أنه المحور (ص )).

نقطتان مهمتان:

فيما يلي نقطتان مهمتان يجب توضيحهما حول المحورين الأفقي والعمودي في الشكل ( PageIndex {1} ).

  1. كلما تحركت من اليسار إلى اليمين على طول المحور الأفقي (المحور (س ) - في الشكل ( فهرس الصفحة {1} )) ، تزداد الأرقام. الاتجاه الموجب إلى اليمين ، والاتجاه السلبي إلى اليسار.
  2. كلما تحركت من الأسفل إلى الأعلى على طول المحور الرأسي (المحور (y ) - في الشكل ( PageIndex {1} )) ، تزداد الأرقام. الاتجاه الموجب للأعلى ، والاتجاه السلبي هابط.

تعليقات اضافية:

هناك تعليقان إضافيان بالترتيب:

  1. تسمى النقطة التي يتقاطع فيها المحاوران الأفقي والرأسي في الشكل ( PageIndex {2} ) أصل نظام الإحداثيات. الأصل له إحداثيات ((0،0) ).
  2. تقسم المحاور الأفقية والعمودية المستوى إلى أربعة أرباع ، مرقمة ( mathrm {I} ، mathrm {II} ، mathrm {MI} ، ) و ( mathrm {IV} ) (أرقام رومانية لواحد و 2 و 3 و 4) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ). لاحظ أن الأرباع مرقمة بترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة.

ملحوظة

كان رينيه ديكارت (1596-1650) فيلسوفًا وعالم رياضيات فرنسيًا معروفًا بالعبارة الشهيرة "cogito ergo sum" (أعتقد ، إذن أنا موجود) ، والتي تظهر في كتابه Discours de la methode pour bien conduire sa reason، et chercher la verite dans les sciences (خطاب حول طريقة التصرف الصحيح للسبب والبحث عن الحقيقة في العلوم). في نفس الرسالة ، قدم ديكارت نظام الإحداثيات الخاص به ، وهو طريقة لتمثيل النقاط في المستوى عبر أزواج من الأرقام الحقيقية. في الواقع ، سميت الطائرة الديكارتية في العصر الحديث بهذا الاسم تكريما لرينيه ديكارت ، الذي يسميه البعض "أبو الرياضيات الحديثة"

التآمر على أزواج مرتبة

قبل أن نتمكن من رسم أي نقاط أو رسم أي رسوم بيانية ، نحتاج أولاً إلى إعداد نظام تنسيق ديكارتي على ورقة من ورق الرسم البياني؟ كيف نفعل ذلك؟ ما هو المطلوب؟

كيفية إعداد نظام الإحداثيات الديكارتية

ارسم كل محور وقم بتسميته.

إذا كنا سنرسم النقاط (س ، ص) ، إذن ، على ورقة الرسم البياني ، قم بتنفيذ كل من المهام الأولية التالية.

  1. استخدم مسطرة لرسم المحاور الأفقية والعمودية.
  2. قم بتسمية المحور الأفقي كمحور (س ) - والمحور الرأسي كمحور (ص ) -.

لا نقوم دائمًا بتسمية المحور الأفقي بالمحور (س ) - والمحور الرأسي على أنه المحور (ص ) -. على سبيل المثال ، إذا أردنا رسم سرعة جسم كدالة للوقت ، فسنرسم نقاطًا ((t ، v) ). في هذه الحالة ، سنسمي المحور الأفقي بالمحور (t ) - والمحور الرأسي على أنه المحور (v ) -.

أشر إلى المقياس على كل محور.

  1. قم بتسمية خط شبكة رأسي واحد على الأقل بقيمته الرقمية.
  2. قم بتسمية خط شبكة أفقي واحد على الأقل بقيمته الرقمية.

قد تختلف المقاييس على المحاور الأفقية والرأسية. ومع ذلك ، يجب أن يظل المقياس متسقًا على كل محور. بمعنى ، عندما تعد إلى اليمين من الأصل على المحور (س ) - ، إذا كان كل خط شبكة يمثل وحدة واحدة ، فعندما تعد إلى اليسار من الأصل على المحور (س ) ، كل يجب أن يمثل خط الشبكة أيضًا وحدة واحدة. توجد تعليقات مماثلة في ترتيب المحور (ص ) - حيث يجب أن يكون المقياس أيضًا متسقًا ، سواء كنت تقوم بالعد لأعلى أو لأسفل.

تظهر نتيجة هذه الخطوة الأولى في الشكل ( PageIndex {3} ).

يتم عرض مثال في الشكل ( PageIndex {4} ). لاحظ أن المقياس المشار إليه على المحور (س ) يشير إلى أن كل خط شبكة يتم حسابه على أنه (1 ) - وحدة عند العد من اليسار إلى اليمين. يشير المقياس الموجود على المحور (y ) - إلى أن كل خطوط شبكة يتم حسابها على أنها (2 ) - وحدات عندما نحسب من أسفل إلى أعلى.

الآن بعد أن عرفنا كيفية إعداد نظام الإحداثيات الديكارتية على ورقة رسم بياني ، إليك مثالين لكيفية رسم النقاط على نظام الإحداثيات الخاص بنا.

لرسم الزوج المرتب ((4،3) ) ، ابدأ من الأصل وانقل (4 ) وحدات إلى اليمين على طول المحور الأفقي ، ثم (3 ) الوحدات لأعلى في اتجاه المحور الرأسي .

لرسم الزوج المرتب ((- 2 ، −3) ) ، ابدأ من الأصل وانقل (2 ) وحدات إلى اليسار على طول المحور الأفقي ، ثم (3 ) وحدات لأسفل في اتجاه محور رأسي.

بالاستمرار على هذا النحو ، يرتبط كل زوج مرتب ((س ، ص) ) من الأرقام الحقيقية بنقطة فريدة في المستوى الديكارتي. بالعكس ، ترتبط كل نقطة في النقطة الديكارتية بزوج فريد مرتب من الأرقام الحقيقية. بسبب هذا الارتباط ، نبدأ في استخدام الكلمتين "النقطة" و "الزوج المرتب" كتعبيرات مكافئة ، وأحيانًا نشير إلى "النقطة" ((س ، ص) ) وأحيانًا أخرى إلى "الزوج المرتب" ( (س ، ص) ).

مثال ( PageIndex {1} )

حدد إحداثيات النقطة (P ) في الشكل ( PageIndex {7} ).

المحلول

في الشكل ( PageIndex {8} ) ، ابدأ من الأصل ، وانقل (3 ) وحدات إلى اليسار و (4 ) وحدات لأعلى للوصول إلى النقطة (P ). يشير هذا إلى أن إحداثيات النقطة (P ) هي ((- 3،4) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد إحداثيات النقطة (P ) في الرسم البياني أدناه.

إجابه

((3,-2))

المعادلات في متغيرين

ملحوظة

لا يجب أن تكون المتغيرات دائمًا (x ) و (y ). على سبيل المثال ، المعادلة (v = 2 + 3 .2t ) هي معادلة في متغيرين ، (v ) و (t ).

المعادلة (y = x + 1 ) هي معادلة في متغيرين ، في هذه الحالة (x ) و (y ). ضع في اعتبارك النقطة ((x، y) = (2، 3) ). إذا استبدلنا (2 ) بـ (x ) و (3 ) بـ (y ) في المعادلة (y = x + 1 ) ، نحصل على النتيجة التالية:

[ begin {align} y & = x + 1 quad color {Red} text {المعادلة الأصلية. } 3 & = 2 + 1 quad color {Red} text {البديل:} 2 text {for} x، 3 text {for} y 3 & = 3 quad color {Red} text {بسّط كلا الجانبين. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

لأن السطر الأخير عبارة صحيحة ، نقول إن ((2،3) ) هو حل المعادلة (y = x + 1 ). بالتناوب ، نقول أن ((2،3) ) يفي بالمعادلة (ص = س + 1 ). من ناحية أخرى ، ضع في اعتبارك النقطة ((x، y) = (- 3،1) ). إذا استبدلنا (- 3 ) بـ (x ) و (1 ) بـ (y ) في المعادلة (y = x + 1 ) ، نحصل على النتيجة التالية.

[ begin {align} y & = x + 1 quad color {Red} text {المعادلة الأصلية. } 1 & = -3 + 1 quad color {Red} text {البديل:} -3 text {for} x، 1 text {for} y 1 & = -2 quad color {أحمر} نص {بسّط كلا الجانبين. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

لأن السطر الأخير عبارة خاطئة ، فإن النقطة ((- 3،1) ) هي ليس حل المعادلة (ص = س + 1 ) ؛ وهذا يعني أن النقطة ((- 3،1) ) تفعل ليس تحقق المعادلة (ص = س + 1 ).

حلول معادلة في متغيرين

إعطاء معادلة في المتغيرات (س ) و (ص ) ونقطة ((س ، ص) = (أ ، ب) ) ، إذا كان عند التقسيم (أ ) من أجل (س ) و (ب ) من أجل (y ) نتائج بيان صحيح ، ثم يُقال أن النقطة ((س ، ص) = (أ ، ب) ) هي حل للمعادلة المعطاة. بالتناوب ، نقول أن النقطة ((س ، ص) = (أ ، ب) ) تحقق المعادلة المعطاة.

مثال ( PageIndex {2} )

أي الأزواج المرتبة ((0، −3) ) و ((1،1) ) تحقق المعادلة (y = 3x − 2 )؟

المحلول

يؤدي استبدال الأزواج المرتبة ((0 ، −3) ) و ((1،1) ) في المعادلة (y = 3x − 2 ) إلى النتائج التالية:

ضع في اعتبارك ((x، y) = (0، −3) ). استبدل (0 ) بـ (x ) و (- 3 ) لـ (y ):

[ start {align} y & = 3 x-2 - 3 & = 3 (0) -2 - 3 & = - 2 end {align} nonumber ]

البيان الناتج غير صحيح.

ضع في اعتبارك ((x، y) = (1، 1) ). استبدل (1 ) بـ (x ) و (1 ) لـ (y ):

[ start {align} y & = 3x-2 1 & = 3 (1) -2 1 & = 1 end {align} nonumber ]

البيان الناتج صحيح.

وبالتالي ، فإن الزوج المرتب ((0 ، −3) ) لا يفي بالمعادلة (y = 3 x − 2 ) ، لكن الزوج المرتب ((1 ، 1) ) يفي بالمعادلة ( ص = 3 س − 2 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أي الأزواج المرتبة ((- 1،3) ) و ((2،1) ) تحقق المعادلة (y = 2x + 5 )؟

إجابه

((-1,3))

معادلات الرسوم البيانية في متغيرين

لنحدد أولاً ما هو المقصود بالرسم البياني للمعادلة في متغيرين.

الرسم البياني للمعادلة

الرسم البياني للمعادلة هو مجموعة جميع النقاط التي تحقق المعادلة المعطاة.

مثال ( PageIndex {3} )

ارسم الرسم البياني للمعادلة (y = x + 1 ).

المحلول

يتطلب التعريف أن نرسم جميع النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية التي تفي بالمعادلة (y = x + 1 ). لنقم أولاً بإنشاء جدول النقاط الذي يرضي المعادلة. ابدأ بإنشاء ثلاثة أعمدة برؤوس (س ) و (ص ) و ((س ، ص) ) ، ثم حدد بعض قيم (س ) وضعها في العمود الأول.

خذ القيمة الأولى لـ (x ) ، وهي (x = −3 ) ، واستبدلها في المعادلة (y = x + 1 ).

[ start {align} y & = x + 1 y & = - 3 + 1 y & = - 2 end {align} nonumber ]

[ start {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x، y)} hline-3 & {-2} & { (-3، -2)} -2 & {} & {} {-1} & {} & {} {0} & {} & {} {1} & {} & {} {2} & {} & {} {3} & {} & {} & {} hline end {array} nonumber ]

وهكذا ، عندما (x = −3 ) ، لدينا (y = −2 ). أدخل هذه القيمة في الجدول.

استمر في استبدال كل قيمة مجدولة لـ (x ) في المعادلة (y = x + 1 ) واستخدم كل نتيجة لإكمال المدخلات المقابلة في الجدول.

[ start {array} {l} {y = -3 + 1 = -2} {y = -2 + 1 = -1} {y = -1 + 1 = 0} {y = 0 + 1 = 1} {y = 1 + 1 = 2} {y = 2 + 1 = 3} {y = 3 + 1 = 4} end {array} nonumber ]

[ start {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x، y)} hline-3 & {-2} & { (-3، -2)} -2 & {-1} & {(-2، -1)} {-1} & {0} & {(-1،0)} {0 } & {1} & {(0،1)} {1} & {2} & {(1،2)} {2} & {3} & {(2،3)} { 3} & {4} & {(3،4)} hline end {array} nonumber ]

يحتوي العمود الأخير من الجدول الآن على سبع نقاط تحقق المعادلة (y = x + 1 ). ارسم هذه النقاط على نظام إحداثيات ديكارتي (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).

في الشكل ( PageIndex {9} ) ، رسمنا سبع نقاط تحقق المعادلة المعطاة (y = x + 1 ). ومع ذلك ، يتطلب التعريف أن نرسم جميع النقاط التي تحقق المعادلة. يبدو أن هناك نمطًا يتطور في الشكل ( PageIndex {9} ) ، ولكن دعنا نحسب ونرسم بعض النقاط الإضافية للتأكد. أضف (x ) - القيم (- 2.5 ) و (- 1.5 ) و (- 0.5 ) و (0.5 ) و (1.5 ) و (2.5 ) إلى عمود x في الجدول ، ثم استخدم المعادلة (y = x + 1 ) لتقييم y عند كل واحدة من هذه القيم (x ).

[ start {array} {l} {y = -2.5 + 1 = -1.5} {y = -1.5 + 1 = -0.5} {y = -0.5 + 1 = 0.5} {y = 0.5 + 1 = 1.5} {y = 1.5 + 1 = 2.5} {y = 2.5 + 1 = 3.5} end {array} nonumber ]

[ start {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x، y)} hline-2.5 & {-1.5} & { (-2.5، -1.5)} -1.5 & {-0.5} & {(-1.5، -0.5)} {-0.5} & {0.5} & {(-0.5،0.5)} {0.5 } & {1.5} & {(0.5،1.5)} {1.5} & {2.5} & {(1.5،2.5)} {2.5} & {3.5} & {(2.5،3.5)} hline end {array} nonumber ]

أضف هذه النقاط الإضافية إلى الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {9} ) لإنتاج الصورة الموضحة في الشكل ( PageIndex {10} ).

هناك عدد لا حصر له من النقاط التي تحقق المعادلة (ص = س + 1 ). في الشكل ( PageIndex {10} ) ، رسمنا فقط (13 ) النقاط التي تحقق المعادلة. ومع ذلك ، فإن مجموعة النقاط المرسومة في الشكل ( PageIndex {10} ) تشير إلى أننا إذا قمنا برسم باقي النقاط التي تفي بالمعادلة (y = x + 1 ) ، فسنحصل على الرسم البياني لـ السطر الموضح في الشكل ( PageIndex {11} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ارسم الرسم البياني للمعادلة (y = −x + 2 ).

إجابه

الإرشادات والمتطلبات

يقترح المثال ( PageIndex {3} ) أنه يجب علينا استخدام الإرشادات التالية عند رسم الرسم البياني للمعادلة.

إرشادات لرسم الرسم البياني للمعادلة

عندما يُطلب منك رسم الرسم البياني للمعادلة ، قم بتنفيذ كل من الخطوات التالية:

  1. قم بإعداد وحساب جدول النقاط التي تحقق المعادلة المعطاة.
  2. قم بإعداد نظام تنسيق ديكارتي على ورق الرسم البياني وارسم النقاط في الجدول الخاص بك على النظام. قم بتسمية كل محور (عادةً (س ) و (ص )) وحدد المقياس على كل محور.
  3. إذا كان عدد النقاط المرسومة كافيًا لتصور شكل المنحنى النهائي ، فقم برسم النقاط المتبقية التي ترضي المعادلة كما هو متخيل. استخدم مسطرة إذا كنت تعتقد أن الرسم البياني عبارة عن خط. إذا كان الرسم البياني يبدو وكأنه منحنى ، فقم بتحرير الرسم البياني بدون استخدام المسطرة.
  4. إذا كان عدد النقاط المرسومة لا يوفر دليلاً كافياً لتصور الشكل النهائي للرسم البياني ، أضف المزيد من النقاط إلى جدولك ، وقم برسمها ، وحاول مرة أخرى تصور الشكل النهائي للرسم البياني. إذا كنت لا تزال غير قادر على التنبؤ بالشكل النهائي للرسم البياني ، فاستمر في إضافة نقاط إلى جدولك ورسمها حتى تقتنع بالشكل النهائي للرسم البياني.

فيما يلي بعض المتطلبات الإضافية التي يجب اتباعها عند رسم الرسم البياني للمعادلة.

ورق الرسم البياني والخطوط والمنحنيات والمساطر.

فيما يلي متطلبات هذه الفئة:

  1. يجب رسم جميع الرسوم البيانية على ورق الرسم البياني.
  2. يجب رسم جميع الخطوط بمسطرة. وهذا يشمل المحاور الأفقية والعمودية.
  3. إذا كان الرسم البياني للمعادلة عبارة عن منحنى بدلاً من خط ، فيجب رسم الرسم البياني يدويًا ، بدون مساعدة المسطرة.

استخدام ميزة TABLE في حاسبة الرسوم البيانية

عندما تصبح المعادلات أكثر تعقيدًا ، قد يصبح إنشاء جداول من النقاط تفي بالمعادلة أمرًا شاقًا. لحسن الحظ ، تحتوي الآلة الحاسبة للرسوم البيانية على ميزة TABLE التي تمكنك من إنشاء جداول من النقاط بسهولة تفي بالمعادلة المحددة.

مثال ( PageIndex {4} )

استخدم الآلة الحاسبة للرسوم البيانية للمساعدة في إنشاء جدول النقاط الذي يحقق المعادلة (y = x ^ 2−7 ). ارسم النقاط في جدولك. إذا كنت لا تشعر بوجود أدلة كافية لتصور الشكل النهائي للرسم البياني ، فاستخدم الآلة الحاسبة لإضافة المزيد من النقاط إلى جدولك ورسمها. استمر في هذه العملية حتى تقتنع بالشكل النهائي للرسم البياني.

المحلول

الخطوة الأولى هي تحميل المعادلة (y = x ^ 2−7 ) في ص= قائمة آلة حاسبة الرسوم البيانية. يظهر الصف العلوي من الأزرار على الآلة الحاسبة (انظر الشكل ( PageIndex {12} )) بالشكل التالي:

الخطوة التالية هي "إعداد" الجدول. أولاً ، لاحظ أن الآلة الحاسبة لها رمز مطبوع على علبتها فوق كل زر من أزرارها. فوق زر WINDOW ستلاحظ العبارة TBLSET. لاحظ أنه بنفس لون الزر 2ND. وبالتالي ، لفتح نافذة الإعداد للجدول ، أدخل ضغطات المفاتيح التالية.

بعد ذلك ، لاحظ أن كلمة TABLE أعلى الزر GRAPH بنفس لون المفتاح 2ND. لفتح الجدول ، أدخل ضغطات المفاتيح التالية.

بعد ذلك ، أدخل النتائج من جدول الآلة الحاسبة في جدول على ورقة رسم بياني ، ثم ارسم النقاط في الجدول. النتائج معروضة في الشكل ( PageIndex {18} ).

في الشكل ( PageIndex {18} ) ، قد يكون الشكل النهائي للرسم البياني لـ (y = x ^ 2 −7 ) واضحًا بالفعل ، ولكن دعنا نضيف بضع نقاط أخرى إلى جدولنا ونرسمها. افتح نافذة "إعداد" الجدول مرة أخرى بالضغط على 2ND WINDOW. اضبط TblStart على (- 4 ) مرة أخرى ، ثم اضبط الزيادة Tbl على (0.5 ).تظهر النتيجة في الشكل ( PageIndex {19} ).

أضف هذه النقاط الجديدة إلى الجدول الموجود في ورقة الرسم البياني وارسمها (انظر الشكل ( PageIndex {21} )).

هناك عدد لا حصر له من النقاط التي تحقق المعادلة (y = x ^ 2−7 ). في الشكل ( PageIndex {21} ) ، رسمنا فقط (17 ) النقاط التي تحقق المعادلة (y = x ^ 2 −7 ). ومع ذلك ، فإن مجموعة النقاط في الشكل ( PageIndex {21} ) تشير إلى أننا إذا قمنا برسم باقي النقاط التي تفي بالمعادلة (y = x ^ 2 −7 ) ، فستكون النتيجة هي منحنى (يسمى القطع المكافئ) الموضح في الشكل ( PageIndex {22} ).


7.3 الإحداثيات القطبية

يوفر نظام الإحداثيات المستطيل (أو المستوي الديكارتية) وسيلة لتعيين النقاط للأزواج المرتبة والأزواج المرتبة للنقاط. وهذا ما يسمى ب تعيين واحد لواحد من نقاط في الطائرة إلى أزواج مرتبة. يوفر نظام الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتعيين النقاط إلى الأزواج المرتبة. نرى في هذا القسم أنه في بعض الحالات ، يمكن أن تكون الإحداثيات القطبية أكثر فائدة من الإحداثيات المستطيلة.

تحديد الإحداثيات القطبية

باستخدام حساب المثلثات للمثلث الأيمن ، تكون المعادلات التالية صحيحة للنقطة P: P:

تحويل النقاط بين أنظمة الإحداثيات

يمكن استخدام هذه الصيغ للتحويل من إحداثيات مستطيلة إلى قطبية أو من إحداثيات قطبية إلى مستطيلة.

مثال 7.10

التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية

حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات قطبية.

حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات مستطيلة.

المحلول

كل نقطة في المستوى لها عدد لا حصر له من التمثيلات في الإحداثيات القطبية. ومع ذلك ، فإن كل نقطة في المستوى لها تمثيل واحد فقط في نظام الإحداثيات المستطيلة.

مثال 7.11

نقاط التآمر في المستوى القطبي

ارسم كلًا من النقاط التالية على المستوى القطبي.

المحلول

تم رسم النقاط الثلاث في الشكل التالي.

المنحنيات القطبية

الآن بعد أن عرفنا كيفية رسم النقاط في نظام الإحداثيات القطبية ، يمكننا مناقشة كيفية رسم المنحنيات. في نظام إحداثيات المستطيل ، يمكننا رسم دالة y = f (x) y = f (x) وإنشاء منحنى في المستوى الديكارتي. بطريقة مماثلة ، يمكننا رسم منحنى تم إنشاؤه بواسطة دالة r = f (θ). ص = و (θ).

استراتيجية حل المشكلات

إستراتيجية حل المشكلات: رسم منحنى في الإحداثيات القطبية

وسائل الإعلام

شاهد هذا الفيديو لمزيد من المعلومات حول رسم المنحنيات القطبية.

مثال 7.12

رسم دالة في الإحداثيات القطبية

المحلول

نظرًا لأن الوظيفة هي مضاعف دالة الجيب ، فهي دورية بالدورة 2 ، 2 π ، لذا استخدم قيم θ θ بين 0 و 2 π. 2 π. تظهر نتيجة الخطوات من 1 إلى 3 في الجدول التالي. يوضح الشكل 7.30 الرسم البياني بناءً على هذا الجدول.

هذه معادلة دائرة نصف قطرها 2 ومركزها (0، 2) (0، 2) في نظام إحداثيات المستطيل.

قم بإنشاء رسم بياني للمنحنى المحدد بواسطة الدالة r = 4 + 4 cos θ. ص = 4 + 4 كوس θ.

الرسم البياني في المثال 7.12 هو الرسم البياني للدائرة. يمكن تحويل معادلة الدائرة إلى إحداثيات مستطيلة باستخدام صيغ تحويل الإحداثيات في المعادلة 7.8. يقدم المثال 7.14 المزيد من الأمثلة على الوظائف للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلة.

مثال 7.13

تحويل المعادلات القطبية إلى إحداثيات مستطيلة

أعد كتابة كل من المعادلات التالية في إحداثيات مستطيلة وحدد الرسم البياني.

المحلول

لقد رأينا الآن العديد من الأمثلة لرسم الرسوم البيانية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات القطبية. ويرد ملخص لبعض المنحنيات الشائعة في الجداول أدناه. في كل معادلة ، أ و ب ثوابت اعتباطية.

إذا كان معامل θ θ زوجيًا ، فإن الرسم البياني يحتوي على ضعف عدد بتلات المعامل. إذا كان معامل θ θ فرديًا ، فإن عدد البتلات يساوي المعامل. نشجعك على استكشاف سبب حدوث ذلك. تظهر الرسوم البيانية الأكثر إثارة للاهتمام عندما لا يكون معامل θ θ عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا كان ذلك منطقيًا ، فسيتم إغلاق المنحنى ، أي أنه ينتهي في النهاية من حيث بدأ (الشكل 7.34 (أ)). ومع ذلك ، إذا كان المعامل غير منطقي ، فلن يغلق المنحنى أبدًا (الشكل 7.34 (ب)). على الرغم من أنه قد يبدو أن المنحنى مغلق ، إلا أن الفحص الدقيق يكشف أن البتلات أعلى بقليل من الموجب x المحور أكثر سمكا قليلا. هذا لأن البتلة لا تتطابق تمامًا مع نقطة البداية.

نظرًا لأن المنحنى المحدد بواسطة الرسم البياني لـ r = 3 sin (π θ) r = 3 sin (π θ) لا يغلق أبدًا ، فإن المنحنى الموضح في الشكل 7.34 (ب) ليس سوى تصوير جزئي. في الواقع ، هذا مثال لمنحنى يملأ الفراغ. منحنى ملء الفراغ هو منحنى يشغل في الواقع مجموعة فرعية ثنائية الأبعاد من المستوى الحقيقي. في هذه الحالة ، يحتل المنحنى دائرة نصف قطرها 3 متمركزة في نقطة الأصل.

مثال 7.14

افتتاحية الفصل: وصف دوامة

أذكر حجرة نوتيلوس المقدمة في افتتاحية الفصل. يعرض هذا المخلوق دوامة عندما يتم قطع نصف الغلاف الخارجي. من الممكن وصف اللولب باستخدام إحداثيات مستطيلة. يوضح الشكل 7.35 دوامة في إحداثيات مستطيلة. كيف يمكننا وصف هذا المنحنى رياضيا؟

المحلول

كنقطة ص ينتقل حول اللولب في اتجاه عكس عقارب الساعة ، المسافة د من الأصل يزيد. افترض أن المسافة د هو مضاعف ثابت ك للزاوية θ θ تلك القطعة المستقيمة OP يصنع مع الإيجابي x-محور. لذلك d (P ، O) = k θ ، d (P ، O) = k θ ، حيث O O هي الأصل. الآن استخدم صيغة المسافة وبعض حساب المثلثات:

نوع آخر من اللولب هو اللولب اللوغاريتمي ، الموصوف بالدالة r = a · b θ. ص = أ · ب θ. رسم بياني للدالة r = 1.2 (1.25 θ) r = 1.2 (1.25 θ) موضح في الشكل 7.36. يصف هذا الشكل الحلزوني شكل صدفة نوتيلوس الحجري.

افترض أن منحنى موصوف في نظام الإحداثيات القطبية عبر الوظيفة r = f (θ). ص = و (θ). نظرًا لأن لدينا صيغ تحويل من الإحداثيات القطبية إلى المستطيلة التي قدمها

من الممكن إعادة كتابة هذه الصيغ باستخدام الوظيفة

تعطي هذه الخطوة معلمات للمنحنى في إحداثيات مستطيلة باستخدام θ θ كمعامل. على سبيل المثال ، الصيغة الحلزونية r = a + b θ r = a + b θ من الشكل 7.31 تصبح

التناظر في الإحداثيات القطبية

التناظر في المنحنيات والمعادلات القطبية

ضع في اعتبارك المنحنى الذي تم إنشاؤه بواسطة الدالة r = f (θ) r = f (θ) في الإحداثيات القطبية.

يوضح الجدول التالي أمثلة على كل نوع من أنواع التناظر.

مثال 7.15

استخدام التناظر لرسم معادلة قطبية

أوجد تناظر الوردة المحددة بالمعادلة r = 3 sin (2 θ) r = 3 sin (2 θ) وأنشئ رسمًا بيانيًا.

المحلول

هذا الرسم البياني له تماثل فيما يتعلق بالمحور القطبي والأصل والخط العمودي الذي يمر عبر القطب. لرسم الدالة ، جدولة قيم θ θ بين 0 و / 2 π / 2 ثم عكس الرسم البياني الناتج.

هذا يعطي بتلة واحدة من الوردة ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

يعكس عكس هذه الصورة في الأرباع الثلاثة الأخرى الرسم البياني بأكمله كما هو موضح.

أوجد تناظر الرسم البياني المحدد بالمعادلة r = 2 cos (3 θ) r = 2 cos (3 θ) وأنشئ رسمًا بيانيًا.

القسم 7.3 تمارين

في التدريبات التالية ، ارسم النقطة التي يتم تحديد إحداثياتها القطبية من خلال إنشاء الزاوية أولاً θ θ ثم تحديد المسافة ص على طول الشعاع.

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك الرسم البياني القطبي أدناه. أعط مجموعتين من الإحداثيات القطبية لكل نقطة.

بالنسبة للتدريبات التالية ، يتم إعطاء الإحداثيات المستطيلة لنقطة. أوجد مجموعتين من الإحداثيات القطبية للنقطة في (0، 2 π]. (0، 2 π]. قرّب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

للتدريبات التالية ، ابحث عن إحداثيات مستطيلة لنقطة معينة في الإحداثيات القطبية.

بالنسبة للتدريبات التالية ، حدد ما إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلة القطبية متماثلة بالنسبة إلى المحور x أو المحور y أو الأصل.

للتمارين التالية ، صف الرسم البياني لكل معادلة قطبية. أكد كل وصف بالتحويل إلى معادلة مستطيلة.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتحويل المعادلة المستطيلة إلى الشكل القطبي ورسم الرسم البياني الخاص بها.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتحويل المعادلة المستطيلة إلى الشكل القطبي ورسم الرسم البياني الخاص بها.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتحويل المعادلة القطبية إلى شكل مستطيل ورسم الرسم البياني الخاص بها.

للتمارين التالية ، ارسم رسمًا بيانيًا للمعادلة القطبية وحدد أي تناظر.

[T] استخدم أداة الرسم البياني وارسم التمثيل البياني لـ r = 6 2 sin θ - 3 cos θ. r = 6 2 sin θ - 3 cos θ.

[T] استخدم أداة الرسم البياني لرسم r = 1 1 - cos θ. ص = 1 1 - كوس θ.

[T] استخدم التكنولوجيا لرسم r = e sin (θ) - 2 cos (4 θ). r = e sin (θ) - 2 cos (4 θ).

[T] استخدم التكنولوجيا لرسم r = sin (3 θ 7) r = sin (3 θ 7) (استخدم الفاصل الزمني 0 ≤ θ ≤ 14 π). 0 ≤ θ ≤ 14 π).

بدون استخدام التكنولوجيا ، ارسم المنحنى القطبي π = 2 technology 3. θ = 2 π 3.

[T] استخدم أداة الرسم البياني لرسم r = θ sin θ r = θ sin θ لـ - π ≤ θ ≤ π. - π ≤ θ ≤ π.

[T] استخدم التكنولوجيا لرسم r = e −0.1 θ r = e −0.1 θ لـ −10 ≤ θ ≤ 10. −10 ≤ θ ≤ 10.

[T] هناك منحنى يعرف باسم "الثقب الأسود. " استخدم التكنولوجيا لرسم r = e −0.01 θ r = e −0.01 θ لـ 100 ≤ θ ≤ 100. −100 ≤ θ ≤ 100.

[T] استخدم نتائج المسألتين السابقتين لاستكشاف الرسوم البيانية لـ r = e −0.001 θ r = e −0.001 θ و r = e −0.0001 θ r = e −0.0001 θ من أجل | θ | & GT 100. | θ | & GT 100.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
    • المؤلفون: جيلبرت سترانج ، إدوين "جيد" هيرمان
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Calculus Volume 2
    • تاريخ النشر: 30 مارس 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/7-3-polar-coordinates

    © ديسمبر 21 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    نظام Catesion المشترك

    التاريخ: سمي نظام الإحداثيات الديكارتية على اسم رينيه ديكارت (1596-1650) ، عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي الشهير ، والذي كان من بين أول من وصف خصائصه. ومع ذلك ، تظهر الأدلة التاريخية أن بيير دي فيرمات (1601-1665) ، وهو أيضًا عالم رياضيات وعالم فرنسي ، قام بتطوير النظام الديكارتي أكثر مما فعل ديكارت. مكّن تطوير نظام الإحداثيات الديكارتية من تطوير المنظور والهندسة الإسقاطية. سيلعب لاحقًا دورًا جوهريًا في تطوير حساب التفاضل والتكامل بواسطة إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنيز.

    3] نيكول أورسم ، الفيلسوف الفرنسي من القرن الرابع عشر ، استخدم إنشاءات مشابهة للإحداثيات الديكارتية قبل زمن ديكارت بوقت طويل. تم تطوير العديد من أنظمة الإحداثيات الأخرى منذ ديكارت ، مثل الإحداثيات القطبية للمستوى والإحداثيات الكروية والأسطوانية للفضاء ثلاثي الأبعاد. نظام الإحداثيات الديكارتية: يحدد نظام الإحداثيات الديكارتية كل نقطة بشكل فريد في مستوى من خلال زوج من الإحداثيات الرقمية ، وهي المسافات الموقعة من النقطة إلى خطين متعامدين متعامدين ومقاسين بنفس وحدة الطول.

    يُطلق على كل خط مرجعي اسم محور إحداثيات أو مجرد محور للنظام ، والنقطة التي يلتقيان فيها هي أصله. يمكن أيضًا تعريف الإحداثيات على أنها مواضع الإسقاطات العمودية للنقطة على المحورين ، معبراً عنها بمسافات موقعة من الأصل. يمكن للمرء استخدام نفس المبدأ لتحديد موضع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد من خلال ثلاثة إحداثيات ديكارتية ، والمسافات الموقعة إلى ثلاثة مستويات متعامدة بشكل متبادل (أو ، على نحو مكافئ ، من خلال إسقاطها العمودي على ثلاثة خطوط متعامدة بشكل متبادل).

    بشكل عام ، يمكن تحديد نقطة في مساحة أي بعد n باستخدام الإحداثيات الديكارتية n ، وهي المسافات الموقعة من n الطائرات الفائقة المتعامدة بشكل متبادل. المصطلحات التي يجب تذكرها: تنسيق المحاور ثلاثة خطوط إحداثيات متعامدة بشكل متبادل ، المحور X ، المحور Y ، المحور Z (يتقاطع عند الأصل). • تنسيق المستويات ثلاثة مستويات يتم تحديدها بواسطة محاور الإحداثيات XY-level و XZ-plane و YZ-level • الإحداثيات • يتم تحديد أي نقطة من خلال ثلاثية مرتبة (a ، b ، c) • P لها إحداثيات (a ، b ، c) تعني لتحديد موقع P ، نبدأ من الأصل ، وننقل الوحدات a على طول المحور X ، والوحدات b الدجاجة الموازية للمحور Y ثم الوحدات c الموازية للمحور Z. خط الأعداد يسمى الخط ذو النظام الديكارتي المختار بخط الأعداد. كل رقم حقيقي ، سواء كان عددًا صحيحًا أو منطقيًا أو غير منطقي ، له موقع فريد على الخط. على العكس من ذلك ، يمكن تفسير كل نقطة على الخط كرقم في سلسلة متصلة مرتبة تتضمن الأرقام الحقيقية. الأرباع والثمانيات الأرباع الأربعة لنظام الإحداثيات الديكارتية. تقوم محاور النظام الديكارتي ثنائي الأبعاد بتقسيم الطائرة إلى أربع مناطق لا نهائية ، تسمى الأرباع ، يحد كل منها بنصف محورين.

    غالبًا ما يتم ترقيمها من 1 إلى 4 ويتم الإشارة إليها بالأرقام الرومانية: I (حيث علامات الإحداثيين هي I (+ ، +) ، II (؟ ، +) ، III (؟ ،؟) ، و IV (+ ، ؟) .عند رسم المحاور وفقًا للعرف الرياضي ، يسير الترقيم عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الربع الأيمن العلوي (& # 8220 شمال شرق & # 8221). وبالمثل ، يحدد النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد تقسيم الفضاء إلى ثماني مناطق أو الثماني ، وفقًا لإشارات إحداثيات النقاط. يسمى أحيانًا الرقم الثماني الذي تكون فيه الإحداثيات الثلاثة موجبة بالأوكتانت الأول ، ومع ذلك ، لا توجد تسمية ثابتة للأوكتانت الأخرى.

    إن التعميم ذو البعد n للربع والثامن هو أوثانت. [عدل] الفضاء الديكارتي تسمى الطائرة الإقليدية ذات النظام الديكارتي المختار بالطائرة الديكارتية. نظرًا لأن الإحداثيات الديكارتية فريدة وغير غامضة ، يمكن تحديد نقاط المستوى الديكارتي بجميع الأزواج الممكنة من الأرقام الحقيقية التي تكون مع المنتج الديكارتي ، حيث توجد مجموعة جميع القيم الحقيقية. بالطريقة نفسها ، يحدد المرء مساحة ديكارتية لأي بُعد n ، والتي يمكن تحديد نقاطها مع مجموعات (قوائم) n من الأعداد الحقيقية ، أي بـ. 3- نظام الإحداثيات المستطيلة الأبعاد

    في نظام الإحداثيات المستطيل ثنائي الأبعاد ، لدينا محوري إحداثيات يلتقيان بزوايا قائمة عند الأصل (الشكل 1) ، ويأخذ عددين ، زوجًا مرتبًا (x ، y) ، لتحديد موقع إحداثيات المستطيل لنقطة في الطائرة (بعدين). يحدد كل زوج مرتب (x ، y) موقع نقطة واحدة بالضبط ، ويتم تحديد موقع كل نقطة من خلال زوج واحد مرتب (x ، y). قيمتي x و y هما إحداثيات النقطة (x، y). الوضع في ثلاثة أبعاد مشابه جدا. في نظام الإحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد ، لدينا ثلاثة محاور تنسيق تلتقي في الزوايا القائمة (الشكل) ، وثلاثة أرقام ، ثلاثية مرتبة (x ، y ، z) ، مطلوبة لتحديد موقع النقطة. تحدد كل ثلاثية مرتبة (x ، y ، z) موقع نقطة واحدة بالضبط ، ويتم تحديد موقع كل نقطة من خلال ثلاثية مرتبة واحدة (x ، y ، z). قيم x و y و z هي إحداثيات النقطة (x ، y ، z). يوضح الشكل 3 موقع النقطة (4 ، 2 ، 3). الاتجاه الأيمن لمحاور الإحداثيات (الشكل 4): تخيل ذراعك الأيمن على طول المحور x الموجب مع وضع يدك في الأصل ولف إصبعك السبابة باتجاه المحور y الموجب.

    بعد ذلك ، في نظام التنسيق اليدوي الأيمن ، يشير إبهامك الممتد على طول المحور z الموجب. الاتجاهات الأخرى للمحاور ممكنة وصالحة (مع وضع العلامات المناسبة) ، لكن النظام اليدوي هو الاتجاه الأكثر شيوعًا وهو الذي سنستخدمه بشكل عام. العلاقات بين الإحداثيات الديكارتية ، الأسطوانية ، والكروية النظر في نظام إحداثيات ديكارتية ، أسطواني ، وكروي ، مرتبط كما هو موضح في الشكل 1. الشكل 1: العلاقات المعيارية بين أنظمة الإحداثيات الديكارتية ، الأسطوانية ، والكروية. الأصل هو نفسه بالنسبة للثلاثة.

    تتطابق محاور Z الموجبة للأنظمة الديكارتية والأسطوانية مع المحور القطبي الموجب للنظام الكروي. تتطابق الأشعة الأولية للأنظمة الأسطوانية والكروية مع المحور x الموجب للنظام الديكارتي ، وتتزامن الأشعة = 90 درجة مع المحور y الموجب. ثم ترتبط الإحداثيات الديكارتية (x ، y ، z) والإحداثيات الأسطوانية (r ، و z) والإحداثيات الكروية (، ،) لنقطة ما على النحو التالي: التطبيقات قد يكون لكل محور وحدات قياس مختلفة مرتبطة به (مثل الكيلوغرامات والثواني والجنيه وما إلى ذلك).

    على الرغم من صعوبة تصور المساحات ذات الأبعاد الأربعة والعالية ، إلا أن جبر الإحداثيات الديكارتية يمكن أن يمتد بسهولة نسبيًا إلى أربعة متغيرات أو أكثر ، بحيث يمكن إجراء حسابات معينة تتضمن العديد من المتغيرات. (هذا النوع من الامتداد الجبري هو ما يستخدم لتعريف هندسة المساحات ذات الأبعاد الأعلى.) على العكس من ذلك ، غالبًا ما يكون من المفيد استخدام هندسة الإحداثيات الديكارتية في بعدين أو ثلاثة أبعاد لتصور العلاقات الجبرية بين اثنين أو ثلاثة من غير ذلك. - المتغيرات المكانية. الرسم البياني للدالة أو العلاقة هو مجموعة جميع النقاط التي ترضي تلك الوظيفة أو العلاقة.

    لدالة متغير واحد ، f ، مجموعة كل النقاط (x ، y) حيث y = f (x) هو الرسم البياني للدالة f. لدالة ذات متغيرين ، g ، مجموعة جميع النقاط (x ، y ، z) حيث z = g (x ، y) هو الرسم البياني للدالة g. يتكون رسم تخطيطي للرسم البياني لمثل هذه الوظيفة أو العلاقة من جميع الأجزاء البارزة من الوظيفة أو العلاقة التي قد تشمل الحد الأقصى النسبي لها ، وتقعرها ونقاط انعطافها ، وأي نقاط توقف وسلوكها النهائي. يتم تعريف كل هذه المصطلحات بشكل كامل في حساب التفاضل والتكامل. هذه الرسوم البيانية مفيدة في حساب التفاضل والتكامل لفهم طبيعة وسلوك دالة أو علاقة.


    نظام الإحداثيات الديكارتية

    من الأمثلة الواقعية الجيدة لخط الأعداد العمودي أو المحور الصادي مقياس الحرارة.

    لاحظ أنه يحتوي على 4 أرباع.

    في الربع الأول ، تكون x و y موجبة

    في الربع الثاني ، x سلبي ، لكن y موجب

    في الربع الثالث ، x و y سالبان

    في الربع الرابع ، x موجبة ، لكن y سالبة

    المركز أو تقاطع المحورين يساوي (0،0)

    في هذا الدرس ، ستتعلم كيفية رسم النقاط على نظام الإحداثيات الديكارتية.

    يتم تمثيل النقطة بزوج من الأرقام (س ، ص)

    تشير x إلى أي قيمة على المحور x و y تمثل أي قيمة على المحور y

    مثال على نقطة هو (1 ، 5)

    دعونا الآن نرسم بعض النقاط.

    ارسم خطًا رأسيًا عند x = 2 وارسم خطًا أفقيًا عند y = 3

    حيث يلتقي الخطان أو يتقاطعان ، تكون نقطتك (باللون الأحمر)

    ارسم خطًا رأسيًا عند x = -3 وارسم خطًا أفقيًا عند y = 1

    نقطة تقاطع الخطين هي نقطتك

    ارسم خطًا رأسيًا عند x = -4 وارسم خطًا أفقيًا عند y = -4

    الحالات الصعبة هي عندما تكون النقاط موجودة على المحور السيني أو المحور الصادي.

    عادةً ما يصاب الطلاب بالارتباك ، لذا ادرس المثالين التاليين بعناية


    نظام التنسيق الكارتيزي

    تسمح الإحداثيات الديكارتية لأحد بتحديد موقع نقطة في المستوى ، أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. الإحداثيات الديكارتية أو نظام الإحداثيات المستطيلة لنقطة ما هي زوج من الأرقام (في بعدين) أو ثلاثي من الأرقام (في ثلاثة أبعاد) التي تحدد مسافات موقعة من محور الإحداثيات. أولاً ، يجب أن نفهم نظام إحداثيات لتحديد اتجاهاتنا وموقعنا النسبي. نظام يستخدم لتحديد النقاط في الفضاء عن طريق إنشاء اتجاهات (محور) وموضع مرجعي (أصل). يمكن أن يكون نظام الإحداثيات مستطيلًا أو قطبيًا.

    مثلما يمكن وضع النقاط على الخط في تطابق واحد إلى واحد مع خط الرقم الحقيقي ، كذلك يمكن وضع النقاط في المستوى في تطابق واحد إلى واحد مع أزواج من خط الأرقام الحقيقي باستخدام سطري إحداثيات. للقيام بذلك ، نقوم ببناء خطي إحداثيات متعامدين يتقاطعان عند أصولهما للراحة. قم بتعيين مجموعة من تدرجات الفضاء المتساوية إلى المحورين x و y بدءًا من الأصل والذهاب في كلا الاتجاهين ، يمكن إنشاء نقطة اليسار واليمين (المحور x) والأعلى والأسفل (المحور y) على طول كل محور. نجعل أحد خطوط الأعداد رأسيًا مع اتجاهه الموجب إلى الأعلى والاتجاه السالب للأسفل. خطوط الأرقام الأخرى أفقية مع اتجاهها الإيجابي إلى اليمين والاتجاه السالب إلى اليسار. يُطلق على خطي الأرقام اسم محاور الإحداثيات ، والخط الأفقي هو المحور x ، والخط العمودي هو المحور y ، وتشكل محاور الإحداثيات معًا نظام الإحداثيات الديكارتية أو نظام الإحداثيات المستطيل. يتم الإشارة إلى نقطة تقاطع محاور الإحداثيات بواسطة O وهي أصل نظام الإحداثيات. انظر الشكل 1.

    إنه في الأساس ، سطرين من الأرقام الحقيقية معًا ، أحدهما يتجه من اليسار إلى اليمين ، والآخر يتجه لأعلى. الخط الأفقي يسمى المحور x والخط العمودي يسمى المحور y.


    ناقلات في ثلاثة أبعاد

    المتجهات هي أدوات مفيدة لحل المشاكل ثنائية الأبعاد. ومع ذلك ، فإن الحياة تحدث في ثلاثة أبعاد. لتوسيع استخدام المتجهات لتطبيقات أكثر واقعية ، من الضروري إنشاء إطار عمل لوصف الفضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال ، على الرغم من أن الخريطة ثنائية الأبعاد هي أداة مفيدة للتنقل من مكان إلى آخر ، إلا أن تضاريس الأرض مهمة في بعض الحالات. هل طريقك المخطط يمر عبر الجبال؟ هل يجب عليك عبور النهر؟ لتقدير تأثير هذه الميزات الجغرافية بشكل كامل ، يجب عليك استخدام ثلاثة أبعاد. يقدم هذا القسم امتدادًا طبيعيًا لمستوى الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد.

    أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

    كما تعلمنا ، يحتوي نظام إحداثيات المستطيل ثنائي الأبعاد على محورين متعامدين: الأفقي x-المحور والعمودي ذ-محور. يمكننا إضافة بعد ثالث ، ض-المحور ، وهو عمودي على كل من x-المحور و ذ-محور. نسمي هذا النظام نظام إحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد. إنه يمثل الأبعاد الثلاثة التي نواجهها في الحياة الواقعية.

    ال نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد يتكون من ثلاثة محاور عمودية: x-المحور ذ-المحور و ض-محور. لأن كل محور عبارة عن خط أرقام يمثل جميع الأرقام الحقيقية في ℝ ،

    غالبًا ما يُشار إلى النظام ثلاثي الأبعاد بـ ℝ 3.

    في [رابط] (أ) ، الموجب ض- يظهر المحور فوق المستوى الذي يحتوي على x- و ذ- المحاور. الإيجابية x-المحور يظهر إلى اليسار والإيجابي ذ-المحور على اليمين. السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو: كيف تم تحديد الترتيب؟ النظام المعروض يتبع حكم اليد اليمنى. إذا أخذنا يدنا اليمنى وقمنا بمحاذاة أصابعنا مع الموجب x- المحور ، ثم ثني الأصابع بحيث تشير في اتجاه الموجب ذ- المحور ، يشير إبهامنا في اتجاه الموجب ض-محور. في هذا النص ، نعمل دائمًا مع أنظمة إحداثيات تم إعدادها وفقًا لقاعدة اليد اليمنى. تتبع بعض الأنظمة قاعدة اليسار ، لكن قاعدة اليد اليمنى تعتبر التمثيل القياسي.

    في بعدين ، نصف نقطة في المستوى بالإحداثيات (س ، ص).

    يصف كل إحداثي كيفية محاذاة النقطة مع المحور المقابل. في ثلاثة أبعاد ، إحداثي جديد ، ض ،

    تم إلحاقه للإشارة إلى المحاذاة مع ض-المحور: (س ، ص ، ض).

    يتم تحديد نقطة في الفضاء من خلال جميع الإحداثيات الثلاثة ([رابط]). لرسم النقطة (س ، ص ، ض) ،

    اذهب x الوحدات على طول x-المحور ، ثم y

    الوحدات في اتجاه ذ-المحور ، ثم z

    الوحدات في اتجاه ض-محور.

    ارسم النقطة (1 ، −2 ، 3)

    في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

    لرسم نقطة ، ابدأ برسم ثلاثة جوانب لمنشور مستطيل على طول محاور الإحداثيات: وحدة واحدة في x الموجب

    اتجاه. أكمل المنشور لرسم النقطة ([رابط]).

    ارسم النقطة (−2 ، 3 ، −1)

    في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

    ابدأ برسم محاور الإحداثيات. ثم ارسم منشورًا مستطيلًا للمساعدة في إيجاد النقطة في الفضاء.

    في الفضاء ثنائي الأبعاد ، يتم تحديد مستوى الإحداثيات بزوج من المحاور المتعامدة. تسمح لنا هذه المحاور بتسمية أي مكان داخل الطائرة. في ثلاثة أبعاد ، نحدد تنسيق الطائرات بمحاور الإحداثيات ، كما هو الحال في بعدين. هناك ثلاثة محاور الآن ، لذلك هناك ثلاثة أزواج متقاطعة من المحاور. يشكل كل زوج من المحاور مستوى إحداثي: س صالطائرة xzالطائرة و yzطائرة ([رابط]). نحدد ال س ص- الطائرة رسميًا على النحو التالي: <(x، y، 0): x، y ∈ ℝ>.

    وبالمثل ، فإن xz-طائرة و yzيتم تعريف الطائرة على أنها

    لتصور هذا ، تخيل أنك تبني منزلًا وتقف في غرفة انتهى بها اثنان فقط من الجدران الأربعة. (افترض أن الجدارين النهائيين متجاورين.) إذا وقفت وظهرك إلى الزاوية حيث يلتقي الجداران المكتملان ، في مواجهة الغرفة ، فإن الأرضية هي س ص- الطائرة ، والجدار على يمينك هو xzالطائرة ، والجدار على يسارك هو yz-طائرة.

    في بعدين ، تقسم محاور الإحداثيات الطائرة إلى أربعة أرباع. وبالمثل ، فإن مستويات الإحداثيات تقسم المساحة بينها إلى ثماني مناطق حول الأصل ، تسمى ثماني. تملأ الأوكتان 3

    بنفس الطريقة التي تملأ بها الأرباع ℝ 2 ،

    معظم العمل في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو امتداد مريح للمفاهيم المقابلة في بعدين. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالدوائر لوصف المجالات ، ثم نوسع فهمنا للمتجهات إلى ثلاثة أبعاد. لتحقيق هذه الأهداف ، نبدأ بتكييف صيغة المسافة مع الفضاء ثلاثي الأبعاد.

    إذا كانت نقطتان تقعان في نفس مستوى الإحداثي ، فمن السهل حساب المسافة بينهما. نحن تلك المسافة د

    بين نقطتين (× 1 ، ص 1)

    في ال س ص- يتم إعطاء المستوى المنسق بالصيغة

    صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء هي امتداد طبيعي لهذه الصيغة.

    بين النقاط (x 1، y 1، z 1)

    يتم ترك إثبات هذه النظرية كتمرين. (تلميح: أوجد أولًا المسافة د 1

    بين النقطتين (x 1، y 1، z 1)

    أوجد المسافة بين النقطتين P 1 = (3 ، - 1 ، 5)

    استبدل القيم مباشرة في صيغة المسافة:

    أوجد المسافة بين النقطتين P 1 = (1، −5، 4)

    قبل الانتقال إلى القسم التالي ، دعنا نتعرف على كيفية إجراء ذلك ℝ 3

    يجب أن تتقاطع الخطوط غير المتوازية دائمًا. هذا ليس هو الحال في ℝ 3.

    على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السطر الموضح في [الرابط]. هذان الخطان ليسا متوازيين ولا يتقاطعان.

    يمكن أن يكون لديك أيضًا دوائر مترابطة ولكن ليس لها نقاط مشتركة ، كما هو الحال في [الرابط].

    لدينا الكثير من المرونة في العمل في ثلاثة أبعاد مما لدينا إذا تمسكنا ببُعدين فقط.

    كتابة المعادلات في ℝ 3

    الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تمثيل النقاط في الفضاء وإيجاد المسافة بينها ، يمكننا تعلم كيفية كتابة معادلات كائنات هندسية مثل الخطوط والمستويات والأسطح المنحنية في ℝ 3.

    أولاً ، نبدأ بمعادلة بسيطة. قارن الرسوم البيانية للمعادلة x = 0

    ([حلقة الوصل]). من هذه الرسوم البيانية ، يمكننا أن نرى أن نفس المعادلة يمكن أن تصف نقطة أو خطًا أو مستوى.

    في الفضاء ، المعادلة س = 0

    يصف جميع النقاط (0، y، z).

    تحدد هذه المعادلة yz-طائرة. وبالمثل ، فإن س صتحتوي الطائرة على جميع نقاط النموذج (س ، ص ، 0).

    يحدد ال س ص- الطائرة والمعادلة y = 0

    يتيح لنا فهم معادلات مستويات الإحداثيات كتابة معادلة لأي مستوى موازٍ لأحد مستويات الإحداثيات. عندما تكون الطائرة موازية لـ س ص-الطائرة ، على سبيل المثال ، ض- تنسيق كل نقطة في المستوى له نفس القيمة الثابتة. فقط x- و ذ-تختلف إحداثيات النقاط في ذلك المستوى من نقطة إلى أخرى.

    يمكن تمثيلها بالمعادلة

    يمكن تمثيلها بالمعادلة

    يمكن تمثيلها بالمعادلة

    هذا بالتوازي مع yz-طائرة.

    1. عندما تكون الطائرة موازية لـ yzالطائرة ، فقط ذ- و ض- قد تختلف الإحداثيات. ال x-المنسق له نفس القيمة الثابتة لجميع النقاط في هذا المستوى ، لذلك يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة x = 3.
    2. كل نقطة من النقاط (6 ، −2 ، 9) ، (0 ، −2 ، 4) ،

    له نفس ذ-تنسيق. يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة

    اكتب معادلة للمستوى المار بالنقطة (1 ، −6 ، −4)

    هذا بالتوازي مع س ص-طائرة.

    إذا كانت الطائرة موازية لـ س صالطائرة ض- لا تختلف إحداثيات النقاط في تلك الطائرة.

    يصف الخط العمودي المار بالنقطة (5 ، 0).

    هذا الخط يوازي ذ-محور. في الامتداد الطبيعي ، المعادلة x = 5

    يصف المستوى الذي يمر بالنقطة (5 ، 0 ، 0) ،

    وهو مواز ل yz-طائرة. تم العثور على امتداد طبيعي آخر لمعادلة مألوفة في معادلة الكرة.

    أ جسم كروى هي مجموعة من جميع النقاط في الفضاء على مسافة متساوية من نقطة ثابتة ، مركز الكرة ([رابط]) ، تمامًا كما تمثل مجموعة جميع النقاط في المستوى المتساوية البعد عن المركز دائرة. في الكرة ، كما هو الحال في الدائرة ، تسمى المسافة من المركز إلى نقطة على الكرة بـ نصف القطر.

    تُشتق معادلة الدائرة باستخدام صيغة المسافة ذات البعدين. بالطريقة نفسها ، تعتمد معادلة الكرة على الصيغة ثلاثية الأبعاد للمسافة.

    الكرة مع المركز (أ ، ب ، ج)

    يمكن تمثيلها بالمعادلة

    تُعرف هذه المعادلة باسم المعادلة القياسية للكرة.

    أوجد المعادلة القياسية للكرة ذات المركز (10 ، 7 ، 4)

    استخدم صيغة المسافة لإيجاد نصف القطر r

    المعادلة القياسية للكرة هي

    أوجد المعادلة القياسية للكرة ذات المركز (−2، 4، −5)

    تحتوي على النقطة (4، 4، −1).

    استخدم أولاً صيغة المسافة لإيجاد نصف قطر الكرة.

    وافترض أن القطعة المستقيمة P Q

    يشكل قطر الكرة ([رابط]). أوجد معادلة المجال.

    هو قطر الكرة ، ونحن نعلم أن مركز الكرة هو نقطة المنتصف لـ P Q.

    علاوة على ذلك ، نعلم أن نصف قطر الكرة يساوي نصف طول القطر. هذا يعطي

    إذن ، معادلة الكرة هي (x + 1) 2 + (y - 3) 2 + (z - 1) 2 = 21.

    أوجد معادلة الكرة التي يبلغ قطرها P Q ،

    أوجد نقطة منتصف القطر أولًا.

    صف مجموعة النقاط التي تحقق (x - 4) (z - 2) = 0 ،

    يجب أن يكون لدينا إما x - 4 = 0

    لذا فإن مجموعة النقاط تشكل المستويين س = 4

    صف مجموعة النقاط التي تحقق (y + 2) (z - 3) = 0 ،

    تشكل مجموعة النقاط المستويين y = −2

    يجب أن يكون أحد العوامل صفرًا.

    صف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق (س - 2) 2 + (ص - 1) 2 = 4 ،

    ال x- و ذ- تشكل الإحداثيات دائرة في س ص- طائرة نصف قطرها 2 ،

    نظرًا لعدم وجود قيود على ض-تنسيق ، النتيجة ثلاثية الأبعاد هي أسطوانة دائرية نصف قطرها 2

    متمركزة على الخط مع x = 2 و y = 1.

    تمتد الاسطوانة إلى أجل غير مسمى في ض-الاتجاه ([رابط]).

    صف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق x 2 + (z - 2) 2 = 16 ،

    أسطوانة نصف قطرها 4 متمركزة على الخط المستقيم x = 0 و z = 2.

    فكر فيما سيحدث إذا رسمت هذه المعادلة في بعدين في ملف xz-طائرة.

    العمل مع المتجهات في ℝ 3

    تمامًا مثل المتجهات ثنائية الأبعاد ، فإن المتجهات ثلاثية الأبعاد عبارة عن كميات لها كل من الحجم والاتجاه ، ويتم تمثيلها بواسطة مقاطع خطية موجهة (أسهم). باستخدام متجه ثلاثي الأبعاد ، نستخدم سهمًا ثلاثي الأبعاد.

    يمكن أيضًا تمثيل المتجهات ثلاثية الأبعاد في شكل مكون. التدوين v = 〈x، y، z〉

    هو امتداد طبيعي للحالة ثنائية الأبعاد ، ويمثل متجهًا بنقطة أولية عند الأصل ، (0 ، 0 ، 0) ،

    والنقطة النهائية (x ، y ، z).

    المتجه الصفري هو 0 = 0 ، 0 ، 0〉.

    لذلك ، على سبيل المثال ، المتجه ثلاثي الأبعاد v = 2 ، 4 ، 1〉

    يتم تمثيله بقطعة مستقيمة موجهة من النقطة (0 ، 0 ، 0)

    يتم تعريف إضافة المتجه والضرب القياسي بشكل مشابه للحالة ثنائية الأبعاد. إذا كانت v = 〈x 1 ، y 1 ، z 1〉

    ويتم تعريف الطرح المتجه بواسطة v - w = v + (- w) = v + (−1) w.

    تمتد متجهات الوحدة القياسية بسهولة إلى ثلاثة أبعاد أيضًا - i = 1 ، 0 ، 0〉 ،

    - ونستخدمها بنفس الطريقة التي استخدمنا بها متجهات الوحدة القياسية في بعدين. وبالتالي ، يمكننا تمثيل متجه في ℝ 3

    يكون المتجه بالنقطة الأولية P = (3 ، 12 ، 6)

    والنقطة الطرفية Q = (−4، −3، 2)

    في كل من شكل المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

    في شكل مكون وفي شكل وحدة قياسية.

    في شكل مكون أولا. تي

    هي النقطة النهائية لـ S T →.

    كما هو موضح سابقًا ، تتصرف المتجهات ثلاثية الأبعاد بنفس الطريقة التي تتصرف بها المتجهات في المستوى. التفسير الهندسي لإضافة المتجه ، على سبيل المثال ، هو نفسه في كل من الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد ([رابط]).

    لقد رأينا بالفعل كيف يمكن تمديد بعض الخصائص الجبرية للمتجهات ، مثل الجمع المتجه والضرب القياسي ، إلى ثلاثة أبعاد. يمكن تمديد خصائص أخرى بطريقة مماثلة. تم تلخيصها هنا كمرجع لنا.

    الضرب القياسي: ك ع = 〈ك س 1 ، ك ص 1 ، ك ع 1

    إضافة المتجهات: v + w = ​​〈x 1، y 1، z 1〉 + 〈x 2، y 2، z 2〉 = x 1 + x 2، y 1 + y 2، z 1 + z 2〉

    الطرح المتجه: v - w = 〈x 1، y 1، z 1〉 - 〈x 2، y 2، z 2〉 = x 1 - x 2، y 1 - y 2، z 1 - z 2〉

    حجم المتجه: ‖ v ‖ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

    متجه الوحدة في اتجاه v: 1 ‖ v ‖ v = 1 ‖ v ‖ 〈x 1، y 1، z 1〉 = x 1 ‖ v ‖، y 1 ‖ v ‖، z 1 ‖ v ‖،

    لقد رأينا أن إضافة المتجه في بعدين تفي بخصائص المعكوس التبادلي والرابطي والإضافي. هذه الخصائص لعمليات المتجه صالحة أيضًا للناقلات ثلاثية الأبعاد. يلبي الضرب القياسي للمتجهات خاصية التوزيع ، ويعمل المتجه الصفري باعتباره هوية مضافة. البراهين للتحقق من هذه الخصائص في ثلاثة أبعاد هي امتدادات مباشرة للبراهين في بعدين.

    ([حلقة الوصل]). ابحث عن المتجهات التالية.

    1. 3 فولت - 2 ث
    2. 5 ، ث ‖
    3. ‖ 5 ث ‖
    4. متجه وحدة في اتجاه v

    أوجد متجه الوحدة في اتجاه 5 v + 3 w.

    ابدأ بكتابة 5 v + 3 w

    يقف قورتربك في ملعب كرة القدم يستعد لرمي تمريرة. يقف جهاز الاستقبال على بعد 20 ياردة أسفل الملعب و 15 ياردة إلى اليسار من الوسط. يرمي لاعب الوسط الكرة بسرعة 60 ميلاً في الساعة باتجاه المتلقي بزاوية صعودية 30 درجة

    (انظر الشكل التالي). اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، v ،

    أول شيء نريد فعله هو إيجاد متجه في نفس اتجاه متجه سرعة الكرة. ثم قمنا بقياس المتجه بشكل مناسب بحيث يكون له المقدار الصحيح. ضع في اعتبارك المتجه w

    تمتد من ذراع الوسط إلى نقطة أعلى رأس المستلم مباشرة بزاوية 30 درجة

    (انظر الشكل التالي). سيكون لهذا المتجه نفس اتجاه v ،

    لكنها قد لا يكون لها الحجم الصحيح.

    المتلقي على بعد 20 ياردة أسفل الملعب و 15 ياردة إلى اليسار. لذلك ، فإن مسافة الخط المستقيم من لاعب الوسط إلى المتلقي هي

    والمسافة الرأسية من جهاز الاستقبال إلى النقطة النهائية w

    وله نفس اتجاه v.

    تذكر ، مع ذلك ، أننا حسبنا مقدار w

    ميل في الساعة. إذن ، علينا ضرب المتجه w

    بواسطة ثابت مناسب ، k.

    نريد إيجاد قيمة k

    لنتحقق جيدًا من أن ‖ v ‖ = 60.

    إذن ، وجدنا المكونات الصحيحة لـ v.

    افترض أن لاعب الوسط والمتلقي في نفس المكان كما في المثال السابق. لكن هذه المرة ، يرمي لاعب الوسط الكرة بسرعة 40

    اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، v ،

    اتبع العملية المستخدمة في المثال السابق.

    المفاهيم الرئيسية

    • تم بناء نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد حول مجموعة من ثلاثة محاور تتقاطع بزوايا قائمة عند نقطة واحدة ، نقطة الأصل. ثلاث مرات مرتبة (x ، y ، z)

    تستخدم لوصف موقع نقطة في الفضاء.

    وصف المستويات الموازية لمستويات الإحداثيات.

    أو من حيث متجهات الوحدة القياسية ،

    • الضرب القياسي: ك ع = 〈ك س 1 ، ك ص 1 ، ك ع 1
    • إضافة المتجهات: v + w = ​​〈x 1، y 1، z 1〉 + 〈x 2، y 2، z 2〉 = x 1 + x 2، y 1 + y 2، z 1 + z 2〉
    • الطرح المتجه: v - w = 〈x 1، y 1، z 1〉 - 〈x 2، y 2، z 2〉 = x 1 - x 2، y 1 - y 2، z 1 - z 2〉
    • حجم المتجه: ‖ v ‖ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2
    • متجه الوحدة في اتجاه v: v ‖ v ‖ = 1 ‖ v ‖ 〈x 1، y 1، z 1〉 = 〈x 1 ‖ v ‖، y 1 ‖ v ‖، z 1 ‖ v ‖〉، v 0

    المعادلات الرئيسية

    ** كرة مع مركز (أ ، ب ، ج)

    خذ بعين الاعتبار صندوقًا مستطيلًا به أحد الرؤوس في الأصل ، كما هو موضح في الشكل التالي. إذا كانت النقطة أ (2 ، 3 ، 5)

    هي الرأس المعاكس للأصل ، ثم أوجد

    1. إحداثيات الرؤوس الستة الأخرى للمربع و
    2. طول قطر المربع المحدد بالرؤوس O

    أ. (2 ، 0 ، 5) ، (2 ، 0 ، 0) ، (2 ، 3 ، 0) ، (0 ، 3 ، 0) ، (0 ، 3 ، 5) ، (0 ، 0 ، 5)

    أوجد إحداثيات النقطة P.

    وتحديد بعده عن الأصل.

    للتمارين التالية ، قم بوصف ورسم مجموعة النقاط التي تفي بالمعادلة المحددة.

    اتحاد مستويين: y = 5

    (طائرة موازية لـ xzالطائرة) و z = 6

    (طائرة موازية لـ س ص-طائرة)* * *

    متمركزة على الخط y = 1 ، z = 1

    اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة (1 ، 1 ، 1)

    هذا بالتوازي مع س ص-طائرة.

    اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة (1 ، −3 ، 2)

    هذا بالتوازي مع xz-طائرة.

    أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط (1، −3، −2)،

    أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط (1 ، 9 ، 2) ،

    بالنسبة للتمارين التالية ، ابحث عن معادلة الكرة بالشكل القياسي الذي يفي بالشروط المحددة.


    التعاريف والصيغ

    نظام الإحداثيات الديكارتية

    الديكارتية باللاتينية تعني الفيلسوف وعالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت. كان هو الذي قدم نظام إحداثيات مستطيل في La Géométrieنُشر بالفرنسية عام 1637 في مدينة ليدن بهولندا مع ثلاثة كتب أخرى من بينها الخطاب على الطريقة، والتي اشتهرت باقتباسها الشهير "Je pense، donc je suis" - "أنا أفكر ، لذلك أنا موجود".

    يحدد نظام الإحداثيات الديكارتية بشكل فريد كل نقطة في المستوى من خلال مجموعة من الإحداثيات الرقمية ، وهي مسافات إلى النقطة من محوري إحداثيات متعامدين ( x- يسمى المحور السيني و ذ-محور يسمى إحداثيات) يقاس بنفس وحدات الطول. يُطلق على هذين الرقمين اسم الإحداثي x والإحداثي y للنقطة.

    سمح اختراع الإحداثيات الديكارتية بإنشاء هندسة تحليلية ، وهي دراسة الهندسة باستخدام نظام إحداثيات. في الهندسة التحليلية ، يمكن وصف المنحنيات والأشكال بواسطة المعادلات الجبرية التي تبسط العمليات الحسابية. يسمح نظام الإحداثيات الديكارتية باستخدام معادلات جبرية بسيطة نسبيًا للخطوط المستقيمة والمستويات والأشكال ثلاثية الأبعاد. تحدد الهندسة التحليلية وتمثل الأشكال الهندسية بطريقة عددية ، وهي ملائمة للمعالجة بواسطة أجهزة الكمبيوتر.

    غالبًا ما يستخدم نظام الإحداثيات الديكارتية في مواقف الحياة الواقعية. على سبيل المثال ، يستخدم هاتفك الذكي نظام إحداثيات ديكارت ثنائي الأبعاد لعرض الصور وتتبع مكان لمس الشاشة لتحديد ما تريد القيام به.

    يمكن استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ثلاثي الأبعاد بثلاثة محاور لوصف الموضع على الأرض أو فوقها. هذا النظام يدور مع الأرض. أصله (نقطة الصفر ذات الإحداثيات 0 ، 0 ، 0) يقع في مركز كتلة الأرض يسمى المركز الجغرافي. ال ض- المحور موجه من المركز إلى القطب الشمالي. إنه x- ينتقل المحور من المركز الجغرافي إلى خط الاستواء حيث يتقاطع مع خط الزوال صفر ويكون عموديًا على ض-محور. يشير إلى خط طول 0 درجة وخط عرض 0 درجة. إنه ذ- ينتقل المحور من المركز الجغرافي على طول خط عمودي على كل من ض-المحور و x- المحور ووفقًا للقاعدة اليمنى يشير إلى خط طول 90 درجة وخط عرض 0 درجة.

    لأن العداد تم تعريفه في الأصل على أنه جزء من عشرة ملايين من المسافة من خط الاستواء إلى القطب الشمالي (10000 كم أو ¼ من محيط الأرض الذي يبلغ حوالي 40 ألف كيلومتر) والكيلومتر هو واحد من عشرة آلاف من هذه المسافة ، الكيلومتر يعد اختيارًا جيدًا للوحدات المشتركة لنظام الإحداثيات. يسمى نظام الإحداثيات الموصوف أعلاه نظام الإحداثيات المتمركز حول الأرض والثابت الأرضي (ECEF).

    المقاييس والمسافات المترية

    عندما نتحدث عن المسافات في الرياضيات ، فإننا دائمًا ما نذكر المقياس ، والذي يُسمى أيضًا دالة المسافة. المقياس هو وظيفة تحدد المسافة بين كل زوج من العناصر في مجموعة والتي هي مجموعة من الكائنات تعتبر كائنًا في حد ذاته. المجموعة التي تحتوي على مقياس تسمى مساحة مترية. إنه كائن رياضي ، حيث تكون المسافة بين أي نقطتين محددة جيدًا وذات مغزى. المجموعة التي لا تحتوي على هذه الوظيفة ليست مساحة متريّة.

    يفي المقياس بالحد الأدنى من خصائص المسافة ، والتي يمكننا ربطها بالسفر بين نقطتين:

    • نقطتان بمسافة صفر متطابقتان (بديهية المصادفة)
    • المسافة بين نقطتين في أي اتجاه هي نفسها (بديهية التناظر)
    • المسافة بين نقطتين موجبة و
    • دائمًا ما تكون المسافة المباشرة بين نقطتين أقل من المسافة غير المباشرة بينهما (بديهية عدم مساواة المثلث).

    تعد المساحة الإقليدية المألوفة ذات المقياس على شكل مسافة إقليدية ، والتي تعلمناها في المدرسة الثانوية ، أحد الأمثلة على الفضاء المتري. العديد من الأمثلة الأخرى للمساحات المترية هي سيارات الأجرة (مانهاتن) ، و Chebyshev ، و Minkowski. هناك أيضًا مساحة مترية SNCF تمثل نظام السكك الحديدية في فرنسا (SNCF هي شركة سكك حديدية وطنية فرنسية) حيث إذا كنت تريد الذهاب بالقطار من النقطة A إلى النقطة B ، فإن الطريقة الأكثر فاعلية للقيام بذلك هي الانتقال من A إلى Paris و ثم من باريس إلى ب.

    تُستخدم مقاييس المسافة على نطاق واسع في خوارزميات التعلم الآلي للمساعدة في تحسين عمليات التصنيف واسترجاع المعلومات. على سبيل المثال ، تساعد في تصنيف الصور والتعرف عليها في تطبيقات التعرف على الصور. نظرًا لأن هذه المقالة مكتوبة أثناء جائحة COVID-19 ، يمكننا حتى القول إن استخدام مقاييس المسافة في تطبيقات التعرف على الوجه يساعد في تتبع انتشار الفيروس لأن هذه التقنية توفر طريقة سريعة وغير متصلة لتحديد الأفراد المعروفين بأنهم COVID- 19 حاملًا للفيروس والأشخاص الذين كانوا على اتصال بهم.

    لاحظ أننا نتحدث عن المسافة وفي نفس الوقت ، فإن معنى المسافة في هذا السياق ليس فقط قياس مدى المسافة بين كائنين في الفضاء. تعد مقاييس المسافة إحدى الوظائف الأساسية القابلة للحساب المستخدمة في برامج التعلم الآلي. في تطبيقات التعلم الآلي ، نحتاج غالبًا إلى تحديد مدى تشابه كائني بيانات. على سبيل المثال ، يشبه البرتقال التفاح لأنه كروي الشكل. في الوقت نفسه ، يشبه اللون البرتقالي كرة السلة بسبب اللون نفسه. يعتبر كل من الشكل واللون من خصائص الكائنات ، ويمكن التعبير عنها في شكل رقمي وسيكون الفرق بينهما هو "المسافة" بينهما.

    لمقارنة الأشياء بشكل موثوق ، نحتاج إلى وصفها رياضيًا ، بالأرقام ، وفي النهاية ، نقوم بتحويل مشكلتنا إلى مجموعة من الكائنات التي يتم وصف خصائصها المختلفة بالأرقام. ثم ، للعثور على التشابه بينهما ، نحدد "المسافة" بينهما. إذن ، مقياس المسافة هو النتيجة التي تصف الفرق النسبي بين كائنين في مجموعة.

    في علوم الكمبيوتر ، يمكن تحديد المسافات بين العناصر في مجموعة باستخدام أي مقاييس أو متغيرات كمية ، على سبيل المثال ، الطول أو العمر أو الوزن أو درجة الحرارة. أي متغير يمكن قياسه كرقم سيفي بالغرض. على سبيل المثال ، إذا كانت هناك مجموعة من عدة كائنات ذات درجات حرارة مختلفة ، فيمكننا القول أن "المسافة" بين الأجسام التي يختلف اختلاف درجة الحرارة فيها عن 1 درجة مئوية تكون أصغر من المسافة بين الأجسام التي تختلف درجة الحرارة فيها بمقدار 2 درجة مئوية. أو يمكننا النظر في كائنات ذات درجات حرارة مختلفة وأوزان مختلفة وقياس "المسافات" باستخدام هذين المتغيرين الكميين لكل كائن في المجموعة. بالطبع ، يمكن تضمين المسافات الحقيقية في وحدات الطول بين الكائنات في هذا الاعتبار.

    المسافة الإقليدية

    المسافة الإقليدية بين نقطتين في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد هي الطول المستقيم للخط الذي يربط النقطتين وهي الطريقة الأكثر وضوحًا لتمثيل المسافة بين نقطتين. نظرًا لأن المسافة الإقليدية كدالة تحدد مسافة الخط المستقيم محددة في الفضاء الإقليدي ، فإنها تعتبر مساحة متريّة. إنها أول مساحة مترية يتم إدخالها في الرياضيات. في وقت لاحق ، مع تطور الرياضيات والفيزياء ، تم اكتشاف مساحات مترية أخرى. يُطلق على الإقليدية أيضًا مسافة L² لأنها حالة خاصة لمسافة Minkowski من الدرجة الثانية ، والتي سنناقشها لاحقًا.

    بالنسبة للفضاء ثنائي الأبعاد ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب هذه المسافة. للنقطتين ص و ف (x₁, ذ₁) و (x₂, ذ₂) على نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، يتم تحديد المسافة الإقليدية على أنها

    بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، المسافة الإقليدية بين النقطتين ص و ف مع إحداثيات (x₁, ذ₁, ض₁) و (x₂, ذ₂, ض₂) على النحو

    تعميم هذا ل ن- الفضاء الإقليدي الأبعاد ، نحصل على المسافة د (ص ، ف) بين نقطتين ص = (ص₁, ص₂, . صن) و ف = (ف₁, ف₂, . فن):

    بالطبع ، من الصعب فهم الفضاء رباعي الأبعاد ، ناهيك عن ذلك ن- فضاء ذو ​​أبعاد لأن حواسنا محدودة للغاية. حتى الفضاء رباعي الأبعاد يصعب فهمه. إذا ، على سبيل المثال ، يتكون متعدد السطوح الفضائية ثلاثي الأبعاد من مضلعات ثنائية الأبعاد ، في فضاء رباعي الأبعاد ، هناك 4 أشكال متعددة السطوح (كائنات في ن-فضاء الأبعاد) مصنوع من مجسمات ثلاثية الأبعاد. على سبيل المثال ، يتكون السطح الفائق للتيسراكت من ثمانية "أسطح فائقة" في شكل خلايا مكعبة.

    من المثير للاهتمام مقارنة المقاطع العرضية للأجسام ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد ورباعية الأبعاد. إذا مر جسم ثنائي الأبعاد بخط أحادي البعد ، فسنلاحظ مقطعًا عرضيًا فقط ، وهو مجرد قطعة مستقيمة. إذا أخذنا شرائح مستوية من جسم ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، مكعب ، فسنلاحظ واحدًا من عدة مضلعات محتملة: مثلث ، شبه منحرف ، خماسي ، أو سداسي. يعتمد نوع المضلع على عدد أسطح المكعب التي قطعناها: ثلاثة أسطح مقطوعة تعطينا مثلثًا أربعة أسطح مقطوعة تعطينا شبه منحرف (المربعات والمستطيلات شبه منحرفة!) خمسة أسطح مقطوعة تعطي خماسيًا وستة أسطح مقطوعة تعطي شكلًا سداسيًا.

    وبالمثل ، إذا قطعنا جسمًا رباعي الأبعاد باستخدام جسم ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، إذا قطعنا مكعبًا رباعي الأبعاد يسمى tesseract بمكعب ثلاثي الأبعاد ، فسنحصل على ماذا؟ ربما يمكن لقرائي الإجابة على هذا السؤال. تلميح: كرة رباعية الأبعاد تمر عبر كرة ثلاثية الأبعاد ستنتج كرة ثلاثية الأبعاد.

    قبل القرن التاسع عشر ، اعتقد معظم الناس أن الطريقة المعقولة الوحيدة لحساب المسافة هي الطريقة التي فعلها إقليدس. ومع ذلك ، في القرن التاسع عشر ، بدأ علماء الرياضيات في استكشاف إصدارات أخرى من الهندسة بدت غير عادية. بالطبع ، لا تزال الهندسة الإقليدية مهمة في معظم التطبيقات اليومية مثل الهندسة المعمارية أو المسح. في الوقت نفسه ، أدرك الفيزيائيون والرياضيون أن الوقت قد حان لإنشاء أشكال هندسية غير إقليدية. في كثير من الحالات ، قد يكون من المفيد التخلي عن الهندسة الإقليدية وقياس المسافات بشكل مختلف.

    عادةً ما يُنسب إلى عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي تقديم العديد من الأشكال الهندسية المختلفة بناءً على طرق مختلفة لقياس المسافة بين النقاط. قال مينكوفسكي ، في حديثه أمام جمعية العلماء والأطباء الوطنيين الألمان المنعقدة في كولونيا بألمانيا عام 1908 ، "من الآن فصاعدًا ، فإن المكان والزمان في حد ذاته محكوم عليهما بالتلاشي إلى مجرد ظلال ، وفقط نوع من اتحاد اثنان سيحافظان على واقع مستقل ".

    أدناه ، سنلقي نظرة سريعة على العديد من الأشكال الهندسية غير الإقليدية. لاحظ أننا هنا لا نتحدث عن زمكان مينكوفسكي. نحن نتحدث فقط عن مسافة Minkowski.

    مسافة Chebyshev

    مسافة Chebyshev بين اثنين نالنقاط أو المتجهات ذات الأبعاد هي أقصى قدر مطلق للاختلافات بين إحداثيات النقاط. بالنسبة لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يمكن تحديد مسافة تشيبيشيف بين نقطتين كمجموع الفروق المطلقة للإحداثيات الديكارتية. الأسماء الأخرى لمسافة Chebyshev هي أقصى مترية و L. قياس. تم تسميته على اسم عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف المعروف بعمله في الميكانيكا والإحصاء والهندسة التحليلية ونظرية الأعداد.

    تقوم مسافة Chebyshev بتقييم القيمة القصوى المطلقة للاختلافات بين الإحداثيات (أو السمات الكمية الأخرى) لزوج من الكائنات. مسافة Chebyshev بين نقطتين ص و ف مع الإحداثيات صأنا و فأنا يكون

    على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النقطتين في شبكة ثلاثية الأبعاد ص (س₁ ، ص ، ذ) = ص (2،3،4) و ف (س₂ ، ص ، ذ) = ف (5،9،11). ثم المسافة Chebyshev بين النقاط ص و ف يكون

    تُعرف مسافة Chebyshev أيضًا باسم مسافة رقعة الشطرنج لأن الحد الأدنى لعدد الحركات التي يحتاجها الملك للانتقال من مربع على رقعة الشطرنج إلى أخرى تساوي مسافة Chebyshev بين مراكز المربعات إذا كانت مربعات رقعة الشطرنج لها طول جانبي واحد ومحاور تنسيق تتماشى مع حواف رقعة الشطرنج. هذا لأن الملك يمكنه أن يخطو خطوة واحدة في أي اتجاه: يسار ، يمين ، أعلى ، أسفل ، وقطريًا. لاحظ أن مسافة Chebyshev للحركات القطرية هي نفسها بالنسبة للحركات الرأسية والأفقية. على سبيل المثال ، مسافة Chebyshev e4-g6 تساوي 2.

    تُستخدم مسافة Chebyshev أيضًا على نطاق واسع في برمجة حركة الروبوت الصناعي إذا كان بإمكان المتلاعبين التحرك في ثمانية اتجاهات على طول ذ و ذ وكذلك قطريا بنفس السرعة.

    مسافة مانهاتن

    صيغة المسافة الإقليدية جيدة لقياس المسافات النظرية. ومع ذلك ، في الحياة الواقعية ، على سبيل المثال ، في مدينة ، من المستحيل في معظم الأحيان الانتقال من نقطة مباشرة إلى أخرى. الأسوار والمباني والشوارع لن تسمح بذلك وعليك اتباع الشوارع ، والتي غالبًا ما يتم ترتيبها في شبكة. في المدينة ، تعد صيغة المسافة في مانهاتن أكثر فائدة لأنها تسمح بحساب المسافة بين نقطتي بيانات على شبكة موحدة ، مثل كتل المدينة أو رقعة الشطرنج ، حيث يمكن أن يكون هناك العديد من المسارات بين النقطتين التي تساوي نفس المسافة مانهاتن. يسمونها مانهاتن بسبب التخطيط الشبكي لمعظم الشوارع في جزيرة مانهاتن باستثناء شارع برودواي ، الذي سبق خطة الشبكة.

    تُعرف مسافة مانهاتن أيضًا باسم هندسة سيارات الأجرة ، مسافة كتلة المدينة ، L¹ متر ، المسافة المستقيمة ، إل₁ المسافة ، وبعدة أسماء أخرى. معادلة مسافة مانهاتن بين نقطتين ص و ف مع إحداثيات (x₁, ذ₁) و (x₂, ذ₂) في شبكة ثنائية الأبعاد

    صيغة معممة لمسافة مانهاتن في نالفضاء متجه الأبعاد:

    مسافة مينكوفسكي

    مسافة Minkowski هي المسافة بين نقطتين في نمساحة الأبعاد. إنه تعميم لمسافات مانهاتن والإقليدية وتشيبيشيف:

    أين λ هو ترتيب مقياس مينكوفسكي. لقيم مختلفة من λ، يمكننا حساب المسافة بثلاث طرق مختلفة:

    • λ = 1 - مسافة مانهاتن (L¹ متري)
    • λ = 2 - المسافة الإقليدية (L² مترية)
    • λ = ∞ - مسافة تشيبيشيف (L قياس)

    القيم الوسيطة لـ λ، فمثلا، λ = 1.5 ، وفر التوازن بين المقياسين.


    7.1: الرسم باليد في نظام الإحداثيات المستطيلة ثنائية الأبعاد

    تصف قصة قديمة كيف ابتكر عالم الرياضيات / الفيلسوف في القرن السابع عشر رينيه ديكارت النظام الذي أصبح أساس الجبر عندما كان مريضًا في الفراش. وفقًا للقصة ، كان ديكارت يحدق في ذبابة تزحف على السقف عندما أدرك أنه يستطيع وصف موقع الذبابة فيما يتعلق بالخطوط العمودية التي شكلتها الجدران المجاورة لغرفته. نظر إلى الخطوط العمودية كمحاور أفقية ورأسية. علاوة على ذلك ، من خلال تقسيم كل محور إلى أطوال وحدة متساوية ، رأى ديكارت أنه من الممكن تحديد موقع أي كائن في مستوى ثنائي الأبعاد باستخدام رقمين فقط - الإزاحة من المحور الأفقي والإزاحة من المحور الرأسي.

    في حين أن هناك دليلًا على وجود أفكار مشابهة لنظام شبكة ديكارت قبل قرون ، كان ديكارت هو الذي قدم المكونات التي تتألف منها نظام الإحداثيات الديكارتية، نظام شبكي له محاور عمودية. أطلق ديكارت على المحور الأفقي اسم س-محور والمحور العمودي ص-محور.

    يعتمد نظام الإحداثيات الديكارتية ، ويسمى أيضًا نظام الإحداثيات المستطيلة ، على مستوى ثنائي الأبعاد يتكون من x-المحور و ذ-محور. عموديًا على بعضها البعض ، تقسم المحاور المستوى إلى أربعة أقسام. كل قسم يسمى رباعي الأرباع مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح في الشكل 2.

    مركز المستوى هو النقطة التي يتقاطع عندها المحورين. ومن المعروف باسم الأصل، أو النقطة [لاتكس] يسار (0،0 يمين) [/ لاتكس]. من الأصل ، يتم تقسيم كل محور أيضًا إلى وحدات متساوية: أرقام متزايدة وموجبة على اليمين على س-المحور وما فوق ص-تناقص المحور ، والأرقام السالبة على اليسار على س-محور وأسفل ص-محور. تمتد المحاور إلى اللانهاية الموجبة والسالبة كما هو موضح في رؤوس الأسهم في الشكل 3.

    يتم تحديد كل نقطة في المستوى من خلال س-تنسيق، أو الإزاحة الأفقية من الأصل ، و ص-تنسيق، أو الإزاحة الرأسية من الأصل. معًا ، نكتبها كملف زوج مرتب تشير إلى المسافة المجمعة من الأصل بالشكل [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس]. يُعرف الزوج المرتب أيضًا باسم زوج الإحداثيات لأنه يتكون من س- و ذ- التنسيق. على سبيل المثال ، يمكننا تمثيل النقطة [لاتكس] يسار (3 ، -1 يمين) [/ لاتكس] في المستوى عن طريق تحريك ثلاث وحدات إلى يمين الأصل في الاتجاه الأفقي ، ووحدة واحدة لأسفل في الاتجاه العمودي اتجاه.

    عند تقسيم المحاور إلى زيادات متباعدة بشكل متساوٍ ، لاحظ أن س-يمكن اعتبار المحور بشكل منفصل عن ص-محور. بمعنى آخر ، في حين أن ملف س-يمكن تقسيم المحور وتسميته وفقًا لأعداد صحيحة متتالية ، فإن ص-يمكن تقسيم المحور وتسميته بزيادات قدرها 2 أو 10 أو 100. في الواقع ، قد تمثل المحاور وحدات أخرى ، مثل السنوات مقابل الرصيد في حساب التوفير ، أو الكمية مقابل التكلفة ، وما إلى ذلك. ضع في اعتبارك نظام الإحداثيات المستطيل في المقام الأول كطريقة لإظهار العلاقة بين كميتين.

    ملاحظة عامة: نظام التنسيق الديكارتي

    مستوى ثنائي الأبعاد حيث

    يتم تعريف نقطة في المستوى على أنها زوج مرتب ، [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس] ، بحيث x يتم تحديده من خلال المسافة الأفقية من الأصل و ذ من خلال المسافة العمودية من الأصل.

    مثال 1: رسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيلة

    ارسم النقاط [لاتكس] يسار (-2،4 يمين) [/ لاتكس] ، [لاتكس] يسار (3،3 يمين) [/ لاتكس] ، و [لاتكس] يسار (0 ، -3 right) [/ latex] في الطائرة.

    حل

    لرسم النقطة [لاتكس] يسار (-2،4 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ من الأصل. ال x- التنسيق هو –2 ، لذا انقل وحدتين إلى اليسار. ال ذ- المنسق هو 4 ، لذا حرك أربع وحدات للأعلى في الموجب ذ اتجاه.

    لرسم النقطة [لاتكس] يسار (3،3 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ مرة أخرى في الأصل. ال x- التنسيق هو 3 ، لذا انقل ثلاث وحدات إلى اليمين. ال ذ- المنسق هو أيضًا 3 ، لذا حرك ثلاث وحدات للأعلى في الموجب ذ اتجاه.

    لرسم النقطة [لاتكس] يسار (0 ، -3 يمين) [/ لاتكس] ، ابدأ مرة أخرى في الأصل. ال x- التنسيق هو 0. هذا يخبرنا بعدم التحرك في أي اتجاه على طول x-محور. ال ذ- التنسيق هو –3 ، لذا حرك ثلاث وحدات لأسفل في السالب ذ اتجاه. انظر الرسم البياني في الشكل 5.

    تحليل الحل

    لاحظ أنه عندما يكون أي من الإحداثيين صفرًا ، يجب أن تكون النقطة على محور. إذا كان x-التنسيق هو صفر ، النقطة على ذ-محور. إذا كان ذ-التنسيق هو صفر ، النقطة على x-محور.


    2.5 واط -2

    يصف Lott (2015) معيارًا لتشفير الأنظمة المرجعية للإحداثيات ، بالإضافة إلى التحويلات بينها باستخدام نص معروف يشار إلى المعيار (والشكل) بشكل غير رسمي باسم WKT-2. كما ذكر أعلاه ، يدعم كل من GDAL و PROJ هذا الترميز بشكل كامل. مثال على WKT2 لـ CRS OGC: CRS84 هو:

    يُظهر هذا WGS84 شكل بيضاوي ونظام إحداثيات بترتيب المحور (خط الطول وخط العرض) الذي يمكن استخدامه لاستبدال EPSG: 4326 عندما يريد المرء ترتيب المحور "التقليدي" (GIS) بشكل لا لبس فيه.

    تم تقديم مقدمة أطول عن التاريخ والتغييرات الأخيرة في مشروع PROJ في (R. Bivand 2020b) ، بناءً على عمل (Knudsen and Evers 2017 Evers and Knudsen 2017)


    الإحداثيات القطبية

    يوفر نظام الإحداثيات المستطيلة (أو المستوي الديكارتية) وسيلة لتعيين النقاط للأزواج المرتبة والأزواج المرتبة للنقاط. وهذا ما يسمى ب تعيين واحد لواحد من نقاط في الطائرة إلى أزواج مرتبة. يوفر نظام الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتعيين النقاط إلى الأزواج المرتبة. نرى في هذا القسم أنه في بعض الحالات ، يمكن أن تكون الإحداثيات القطبية أكثر فائدة من الإحداثيات المستطيلة.

    تحديد الإحداثيات القطبية

    للعثور على إحداثيات نقطة في نظام الإحداثيات القطبية ، ضع في الاعتبار [رابط]. النقطة P.

    إحداثيات ديكارتية (س ، ص).

    القطعة المستقيمة التي تربط الأصل بالنقطة P.

    يقيس المسافة من الأصل إلى P.

    الزاوية بين x الموجب

    -المحور والقطعة المستقيمة لها قياس θ.

    تشير هذه الملاحظة إلى تطابق طبيعي بين زوج الإحداثيات (س ، ص)

    هذه المراسلات هي أساس نظام الإحداثيات القطبية. لاحظ أن كل نقطة في المستوى الديكارتي لها قيمتان (ومن هنا جاء المصطلح زوج مرتب) المرتبطة بها. في نظام الإحداثيات القطبية ، ترتبط كل نقطة أيضًا بقيمتين: r

    باستخدام حساب المثلثات للمثلث الأيمن ، تكون المعادلات التالية صحيحة للنقطة P:

    في نظام الإحداثيات الديكارتية يمكن بالتالي تمثيله كزوج مرتب (ص ، θ)

    في نظام الإحداثيات القطبية. يسمى الإحداثي الأول تنسيق شعاعي والإحداثي الثاني يسمى تنسيق الزاوي. يمكن تمثيل كل نقطة في المستوى بهذا الشكل.

    لاحظ أن المعادلة tan θ = y / x

    لديه عدد لا حصر له من الحلول لأي زوج مرتب (س ، ص).

    ومع ذلك ، إذا قصرنا الحلول على القيم بين 0

    ثم يمكننا تعيين حل فريد للربع حيث النقطة الأصلية (س ، ص)

    يقع. ثم القيمة المقابلة ص موجب ، لذلك r 2 = x 2 + y 2.

    في الطائرة ذات الإحداثيات الديكارتية (س ، ص)

    والإحداثيات القطبية (ص ، θ) ،

    صيغ التحويل التالية صحيحة:

    يمكن استخدام هذه الصيغ للتحويل من إحداثيات مستطيلة إلى قطبية أو من إحداثيات قطبية إلى مستطيلة.

    حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات قطبية.

    حول كل من النقاط التالية إلى إحداثيات مستطيلة.

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    يؤدي التطبيق المباشر للمعادلة الثانية إلى القسمة على صفر. رسم النقطة

    على نظام الإحداثيات المستطيل ، يظهر أن النقطة تقع على الموجب ذ-محور. الزاوية بين الموجب x- المحور والإيجابي ذ-المحور هو

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    في إحداثيات مستطيلة.

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    في إحداثيات مستطيلة.

    لذلك يمكن تمثيل هذه النقطة على أنها

    في إحداثيات مستطيلة.

    في الإحداثيات القطبية و (4 ، 2 π 3)

    في إحداثيات مستطيلة.

    استخدم [رابط] و [رابط]. تأكد من فحص الربع عند حساب θ.

    التمثيل القطبي للنقطة ليس فريدًا. على سبيل المثال ، الإحداثيات القطبية (2 ، π 3)

    كلاهما يمثل النقطة (1 ، 3)

    في النظام المستطيل. أيضا ، قيمة r

    يمكن أن تكون سلبية. لذلك ، النقطة ذات الإحداثيات القطبية (−2 ، 4 3)

    يمثل أيضًا النقطة (1 ، 3)

    في النظام المستطيل كما نرى باستخدام [الرابط]:

    كل نقطة في المستوى لها عدد لا حصر له من التمثيلات في الإحداثيات القطبية. ومع ذلك ، فإن كل نقطة في المستوى لها تمثيل واحد فقط في نظام الإحداثيات المستطيلة.

    لاحظ أن التمثيل القطبي لنقطة في المستوى له أيضًا تفسير مرئي. على وجه الخصوص ، ص

    هي المسافة الموجهة التي تقع فيها النقطة عن الأصل ، و

    يقيس الزاوية التي يصنعها المقطع المستقيم من نقطة الأصل إلى النقطة مع x الموجب

    -محور. تُقاس الزوايا الموجبة في اتجاه عكس عقارب الساعة وتُقاس الزوايا السالبة في اتجاه عقارب الساعة. يظهر نظام الإحداثيات القطبية في الشكل التالي.

    المقطع المستقيم الذي يبدأ من مركز الرسم البياني متجهًا إلى اليمين (يسمى الموجب x-المحور في النظام الديكارتي) هو المحور القطبي. نقطة المركز هي عمود، أو أصل نظام الإحداثيات ، ويتوافق مع r = 0.

    تحتوي الدائرة الداخلية الموضحة في [link] على جميع النقاط على مسافة وحدة واحدة من القطب ، ويتم تمثيلها بالمعادلة r = 1.

    هي مجموعة النقاط بوحدتين من القطب ، وهكذا. تتوافق مقاطع الخط المنبثقة من القطب مع الزوايا الثابتة. لرسم نقطة في نظام الإحداثيات القطبية ، ابدأ بالزاوية. إذا كانت الزاوية موجبة ، فقم بقياس الزاوية من المحور القطبي في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت سالبة ، فقم بقياسها في اتجاه عقارب الساعة. إذا كانت قيمة r

    موجب ، حرك تلك المسافة على طول الشعاع النهائي للزاوية. إذا كانت سالبة ، تحرك على طول الشعاع المقابل للشعاع الطرفي للزاوية المعطاة.

    ارسم كلًا من النقاط التالية على المستوى القطبي.

    تم رسم النقاط الثلاث في الشكل التالي.

    المنحنيات القطبية

    الآن بعد أن عرفنا كيفية رسم النقاط في نظام الإحداثيات القطبية ، يمكننا مناقشة كيفية رسم المنحنيات. في نظام إحداثيات المستطيل ، يمكننا رسم دالة y = f (x)

    وإنشاء منحنى في المستوى الديكارتي. بطريقة مماثلة ، يمكننا رسم منحنى تم إنشاؤه بواسطة دالة r = f (θ).

    الفكرة العامة وراء رسم دالة في الإحداثيات القطبية هي نفسها رسم دالة في إحداثيات مستطيلة. ابدأ بقائمة قيم المتغير المستقل (θ

    في هذه الحالة) وحساب القيم المقابلة للمتغير التابع r.

    تنشئ هذه العملية قائمة بالأزواج المرتبة ، والتي يمكن رسمها في نظام الإحداثيات القطبية. أخيرًا ، قم بتوصيل النقاط ، واستفد من أي أنماط قد تظهر. قد تكون الوظيفة دورية ، على سبيل المثال ، مما يشير إلى الحاجة إلى عدد محدود فقط من القيم للمتغير المستقل.

    والعمود الثاني من أجل

    شاهد هذا الفيديو لمزيد من المعلومات حول رسم المنحنيات القطبية.

    ارسم المنحنى المحدد بالدالة r = 4 sin θ.

    حدد المنحنى وأعد كتابة المعادلة في إحداثيات مستطيلة.

    لأن الوظيفة هي مضاعف دالة الجيب ، فهي دورية مع الفترة 2 π ،

    تظهر نتيجة الخطوات من 1 إلى 3 في الجدول التالي. يظهر [رابط] الرسم البياني بناءً على هذا الجدول.

    θ ص = 4 خطيئة θ θ ص = 4 خطيئة θ
    0 0 π 0
    π 6 2 7 6 −2
    π 4 2 2 ≈ 2.8 5 4 −2 2 ≈ −2.8
    π 3 2 3 ≈ 3.4 4 3 −2 3 ≈ −3.4
    π 2 4 3 2 4
    2 3 2 3 ≈ 3.4 5 3 −2 3 ≈ −3.4
    3 4 2 2 ≈ 2.8 7 4 −2 2 ≈ −2.8
    5 6 2 11 6 −2
    2 π 0

    هذا هو الرسم البياني لدائرة. المعادلة r = 4 sin θ

    يمكن تحويلها إلى إحداثيات مستطيلة بضرب كلا الجانبين في r أولاً.

    هذا يعطينا المعادلة r 2 = 4 r sin θ.

    بعد ذلك ، استخدم الحقائق التي تقول إن r 2 = x 2 + y 2

    لوضع هذه المعادلة في الصورة القياسية ، اطرح 4 ص

    من طرفي المعادلة وأكمل المربع:

    هذه معادلة دائرة نصف قطرها 2 ومركزها (0 ، 2)

    في نظام الإحداثيات المستطيل.

    قم بإنشاء رسم بياني للمنحنى المحدد بواسطة الدالة r = 4 + 4 cos θ.

    اسم هذا الشكل هو شكل قلبي ، وسوف ندرسه لاحقًا في هذا القسم.

    اتبع استراتيجية حل المشكلات لإنشاء رسم بياني في الإحداثيات القطبية.

    كان الرسم البياني في [link] رسم الدائرة. يمكن تحويل معادلة الدائرة إلى إحداثيات مستطيلة باستخدام صيغ تحويل الإحداثيات في [رابط]. يعطي [رابط] المزيد من الأمثلة على الوظائف للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات المستطيلة.

    أعد كتابة كل من المعادلات التالية في إحداثيات مستطيلة وحدد الرسم البياني.

    يمكننا استبدال الطرف الأيسر من هذه المعادلة بـ

    والتي يمكن إعادة كتابتها كـ

    هذه هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر الأصل بميل

    بشكل عام ، أي معادلة قطبية للشكل

    يمثل خطًا مستقيمًا عبر القطب بميل يساوي

    وهي معادلة دائرة متمركزة في الأصل بنصف قطر 3. بشكل عام ، أي معادلة قطبية للصورة

    أين ك هو ثابت موجب يمثل دائرة نصف قطرها ك تتمحور في الأصل. (ملحوظة: عند تربيع طرفي المعادلة من الممكن إدخال نقاط جديدة بدون قصد. يجب أن يؤخذ هذا دائمًا في الاعتبار. ومع ذلك ، في هذه الحالة لا نقدم نقاط جديدة. على سبيل المثال،

    r 2 = 6 r cos θ - 8 r sin θ.

    لوضع هذه المعادلة في الصورة القياسية ، قم أولاً بتحريك المتغيرات من الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ، ثم أكمل المربع.

    هذه هي معادلة الدائرة التي يقع مركزها عند

    ونصف القطر 5. لاحظ أن الدائرة تمر من نقطة الأصل لأن المركز على بعد 5 وحدات.

    أعد كتابة المعادلة r = sec θ tan θ

    في إحداثيات مستطيلة وتحديد الرسم البياني الخاص بها.

    وهي معادلة انفتاح القطع المكافئ لأعلى.

    حول إلى الجيب وجيب التمام ، ثم اضرب كلا الطرفين في جيب التمام.

    لقد رأينا الآن العديد من الأمثلة لرسم الرسوم البيانية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات القطبية. ويرد ملخص لبعض المنحنيات الشائعة في الجداول أدناه. في كل معادلة ، أ و ب ثوابت اعتباطية.

    أ قلبي هي حالة خاصة من ليماكون (تُنطق "لي-ماه-سون") ، وفيها أ = ب

    ال ارتفع هو منحنى مثير جدا للاهتمام. لاحظ أن التمثيل البياني ل r = 3 sin 2 θ

    أربع بتلات. لكن التمثيل البياني ل r = 3 sin 3 θ

    ثلاث بتلات كما هو مبين.

    زوجي ، الرسم البياني به ضعف عدد بتلات المعامل. إذا كان معامل θ

    فردي ، ثم عدد البتلات يساوي المعامل. نشجعك على استكشاف سبب حدوث ذلك. تظهر الرسوم البيانية الأكثر إثارة للاهتمام عند معامل θ

    ليس عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا كان ذلك منطقيًا ، فسيتم إغلاق المنحنى ، أي ينتهي في النهاية من حيث بدأ ([رابط] (أ)). ومع ذلك ، إذا كان المعامل غير منطقي ، فلن ينغلق المنحنى أبدًا ([رابط] (ب)). على الرغم من أنه قد يبدو أن المنحنى مغلق ، إلا أن الفحص الدقيق يكشف أن البتلات أعلى بقليل من الموجب x المحور أكثر سمكا قليلا. هذا لأن البتلة لا تتطابق تمامًا مع نقطة البداية.

    بما أن المنحنى المحدد بواسطة الرسم البياني لـ r = 3 sin (π θ)

    لا يُغلق أبدًا ، المنحنى الموضح في [الرابط] (ب) ما هو إلا تصوير جزئي. في الواقع ، هذا مثال على ملف منحنى يملأ الفراغ. منحنى ملء الفراغ هو منحنى يشغل في الواقع مجموعة فرعية ثنائية الأبعاد من المستوى الحقيقي. في هذه الحالة ، يحتل المنحنى دائرة نصف قطرها 3 متمركزة في نقطة الأصل.

    أذكر نوتيلوس غرفة قدم في افتتاح الفصل. يعرض هذا المخلوق دوامة عندما يتم قطع نصف الغلاف الخارجي. من الممكن وصف اللولب باستخدام إحداثيات مستطيلة. يظهر [رابط] دوامة في إحداثيات مستطيلة. كيف يمكننا وصف هذا المنحنى رياضيا؟

    كنقطة ص يدور حول اللولب في اتجاه عكس عقارب الساعة ، المسافة د من الأصل يزيد. افترض أن المسافة د هو مضاعف ثابت ك للزاوية θ

    هذا الجزء الخطي OP يصنع مع الإيجابي x-محور. لذلك د (P ، O) = ك θ ،

    هو الأصل. الآن استخدم صيغة المسافة وبعض حساب المثلثات:

    على الرغم من أن هذه المعادلة تصف اللولب ، إلا أنه لا يمكن حلها مباشرة لأي منهما x أو ذ. ومع ذلك ، إذا استخدمنا الإحداثيات القطبية ، تصبح المعادلة أبسط بكثير. على وجه الخصوص ، د (P ، O) = r ،

    هو الإحداثي الثاني. لذلك تصبح معادلة اللولب r = k θ.

    لذلك اللولب ينبثق من الأصل. يمكننا إزالة هذا القيد عن طريق إضافة ثابت إلى المعادلة. ثم تصبح معادلة اللولب r = a + k θ

    للثوابت التعسفية أ

    يشار إلى هذا باسم أرخميدس الحلزونية، بعد عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس.

    نوع آخر من اللولب هو اللولب اللوغاريتمي ، الموصوف بالدالة r = a · b θ.

    رسم بياني للدالة r = 1.2 (1.25 θ)

    يرد في [رابط]. يصف هذا اللولب شكل صدفة نوتيلوس الحجري.

    لنفترض أن المنحنى موصوف في نظام الإحداثيات القطبية عبر الوظيفة r = f (θ).

    نظرًا لأن لدينا صيغ تحويل من الإحداثيات القطبية إلى المستطيلة التي قدمها

    من الممكن إعادة كتابة هذه الصيغ باستخدام الوظيفة

    تعطي هذه الخطوة معلمات للمنحنى في إحداثيات مستطيلة باستخدام θ

    كمعلمة. على سبيل المثال ، الصيغة الحلزونية r = a + b θ

    يولد اللولب بأكمله.

    التناظر في الإحداثيات القطبية

    عند الدراسة تناظر من الوظائف في إحداثيات مستطيلة (على سبيل المثال ، في الشكل y = f (x)) ،

    نتحدث عن التناظر فيما يتعلق ذ-المحور والتماثل فيما يتعلق بالأصل. على وجه الخصوص ، إذا كانت f (- x) = f (x)

    هي دالة زوجية ورسمها البياني متماثل بالنسبة إلى ذ-محور. إذا كانت f (- x) = - f (x)

    دالة فردية ورسمها البياني متماثل بالنسبة إلى الأصل. من خلال تحديد أنواع التناظر التي يعرضها الرسم البياني ، يمكننا معرفة المزيد عن شكل ومظهر الرسم البياني. يمكن أن يكشف التناظر أيضًا عن خصائص أخرى للدالة التي تنشئ الرسم البياني. يعمل التناظر في المنحنيات القطبية بطريقة مماثلة.

    ضع في اعتبارك المنحنى الذي تم إنشاؤه بواسطة الدالة r = f (θ)

      المنحنى متماثل حول المحور القطبي إذا كان لكل نقطة (ص ، θ)

    موجود أيضًا على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة

    لم يتغير عن طريق الاستبدال

    موجود أيضًا على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة

    لم يتغير عند الاستبدال

    موجود أيضًا على الرسم البياني. وبالمثل ، فإن المعادلة

    يوضح الجدول التالي أمثلة على كل نوع من أنواع التناظر.

    & ltdiv data-type = "example" & gt

    أوجد تماثل الوردة المحددة بالمعادلة r = 3 sin (2 θ)

    على منحنى r = 3 sin (2 θ).

      لاختبار التماثل حول المحور القطبي ، حاول أولاً استبدال θ

    r = 3 sin (2 (- θ)) = −3 sin (2 θ).

    نظرًا لأن هذا يغير المعادلة الأصلية ، فإن هذا الاختبار غير راضٍ. ومع ذلك ، العودة إلى المعادلة الأصلية والاستبدال

    ضرب طرفي هذه المعادلة في

    وهي المعادلة الأصلية. يوضح هذا أن الرسم البياني متماثل فيما يتعلق بالمحور القطبي.

    نضرب كلا الطرفين في 1 نحصل على

    الذي لا يتفق مع المعادلة الأصلية. لذلك لا تجتاز المعادلة اختبار هذا التناظر. ومع ذلك ، العودة إلى المعادلة الأصلية والاستبدال

    بما أن هذا يتفق مع المعادلة الأصلية ، فإن الرسم البياني متماثل حول القطب.

    ضرب طرفي هذه المعادلة في

    وهي المعادلة الأصلية. لذلك فإن الرسم البياني متماثل حول الخط العمودي

    هذا الرسم البياني له تماثل فيما يتعلق بالمحور القطبي والأصل والخط العمودي الذي يمر عبر القطب. لرسم الدالة ، جدولة قيم θ

    ثم تعكس الرسم البياني الناتج.

    θ
    ص
    ———-
    0
    0
    π 6
    3 3 2 ≈ 2.6
    π 4
    3
    π 3
    3 3 2 ≈ 2.6
    π 2
    0

    هذا يعطي بتلة واحدة من الوردة ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

    يعكس عكس هذه الصورة في الأرباع الثلاثة الأخرى الرسم البياني بأكمله كما هو موضح.

    حدد تماثل الرسم البياني المحدد بالمعادلة r = 2 cos (3 θ)

    متماثل بالنسبة للمحور القطبي. * * *

    المفاهيم الرئيسية

    • يوفر نظام الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتحديد النقاط في المستوى.
    • تحويل النقاط بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية باستخدام الصيغ
    • لرسم منحنى قطبي من دالة قطبية معينة ، قم بعمل جدول للقيم واستفد من الخصائص الدورية.
    • استخدم معادلات التحويل لتحويل المعادلات بين الإحداثيات المستطيلة والقطبية.
    • حدد التماثل في المنحنيات القطبية ، والذي يمكن أن يحدث من خلال القطب أو المحور الأفقي أو المحور الرأسي.

    في التدريبات التالية ، ارسم النقطة التي يتم إعطاء إحداثياتها القطبية من خلال إنشاء الزاوية θ أولاً

    ثم تحديد المسافة ص على طول الشعاع.

    للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك الرسم البياني القطبي أدناه. أعط مجموعتين من الإحداثيات القطبية لكل نقطة.

    بالنسبة للتدريبات التالية ، يتم إعطاء الإحداثيات المستطيلة لنقطة. أوجد مجموعتين من الإحداثيات القطبية للنقطة في (0، 2 π].


    شاهد الفيديو: تعليم اوتوكاد 2013 - استخدام نظام الاحداثيات فى الرسم (ديسمبر 2021).