مقالات

1: نظرية التعيين


1: نظرية التعيين

نظرية المجموعة (دراسات في المنطق: المنطق الرياضي والأسس) المنقحة. الإصدار

أدخل رقم هاتفك المحمول أو عنوان بريدك الإلكتروني أدناه وسنرسل لك رابطًا لتنزيل تطبيق Kindle المجاني. بعد ذلك ، يمكنك البدء في قراءة كتب Kindle على هاتفك الذكي أو جهازك اللوحي أو الكمبيوتر - دون الحاجة إلى جهاز Kindle.

للحصول على التطبيق المجاني ، أدخل رقم هاتفك المحمول.

أو


1.1 تعيين التدوين وبعض المجموعات البسيطة

تمامًا كما هو الحال في نظرية المجموعات الساذجة ، تتم كتابة المجموعات التي تُعرف عناصرها عن طريق سرد العناصر داخل الأقواس المتعرجة ، على سبيل المثال <1، 2، 3>، . أصغر مجموعة هي مجموعة فارغة، المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. يمكن كتابة هذا إما كـ <> أو باستخدام الرمز الخاص ∅ (وهو في الواقع حرف يوناني متحور Phi). تقول إحدى بديهيات ZFC أن موجود: بديهية الوجود ∃x ∀y y ∉ x.

مع مجرد بديهية التمدد ، من الممكن ألا توجد مجموعات على الإطلاق ، فإن بديهية الوجود تعطينا مجموعة واحدة على الأقل (ولكن ربما لا توجد غيرها).


1: نظرية التعيين

قراءات للجلسة 1 - (تابع)

المجموعات والمراسلات الفردية


جلس
: في الرياضيات ، نسمي مجموعات الأشياء مجموعات.

في الجلسة التالية ، سيتم تقديم تعريف تم تشكيله بعناية أكبر لمجموعة من الكائنات لتكون مجموعة. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الترميز المناسب المستخدم للمجموعات لا يدعم المستعرض الخاص بك الإطارات المضمنة أو تم تكوينه حاليًا بحيث لا يعرض الإطارات المضمنة. سيعطى. سيتم استخدام هذا الترميز المناسب في هذه الدورة التدريبية وسيتم استخدامه في دورات الرياضيات الأخرى. رغم ذلك ، بالنسبة لهذه المقدمة ، فإن هذا التعريف غير الرسمي جيد بما فيه الكفاية.

مثال: مجموعة الحشرات في الصفحة السابقة عبارة عن مجموعة من الحشرات.

مثال: مجموعة الأرقام التي تمثل أول اثني عشر رقمًا للعد هي المجموعة <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12>.

المراسلات الفردية ومعادلة المجموعات: إذا كان من الممكن إقران عناصر مجموعتين بحيث يتم إقران كل عنصر مع عنصر واحد بالضبط من المجموعة الأخرى ، فهناك مراسلة شخص لشخص بين المجموعتين. يقال أن المجموعتين ما يعادل .

الرموز: مجموعات أ و ب نكون ما يعادل ويشار إليها باسم أ

مثال: من المثال السابق ، قد يقول الطفل أن هناك 12 حشرة منذ أن أجرى الطفل مراسلة 1-1 مع المجموعة <1 ، 2 ، 3 ، ... ، 12> ومجموعة الحشرات.

مثال: عرض المجموعة أ = < أ ، ب ، ج > وتعيين ب = متكافئة ، أي إظهار أ


المجموعتان متكافئتان حيث يمكن إجراء المراسلات الفردية بين المجموعتين. لاحظ أن أ

ملحوظة: هنا متساوي ومتكافئ يعني شيئين مختلفين. المجموعات المتساوية متكافئة ، لكن يمكن للمجموعات المتكافئة ليس يكون مساويا. وقد تم توضيح ذلك في المثال أعلاه حيث أ

ب، لكن أب. مجموعتان متساويتان عندما يكون لهما نفس العناصر بالضبط ، والمجموعات متكافئة عندما يمكن إعداد المراسلات واحد لواحد بين المجموعتين.
لقد أظهرنا علاقة وثيقة بين مفهوم التطابق واحد لواحد وفكرة عدد العناصر في مجموعة تسمى أصل المجموعة. (راجع عدد الحشرات أعلاه.) قادنا هذا الاستكشاف إلى التعريفات التالية المتعلقة بمجموعات المستعرض الخاص بك لا يدعم الإطارات المضمنة أو تم تكوينه حاليًا بحيث لا يعرض الإطارات المضمنة. أعداد طبيعية وكاملة إلى مجموعات. علاوة على ذلك ، نلاحظ أن هذه العلاقة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بكيفية تعلم الأطفال الصغار العد.

مجموعات الأعداد: طقم من الأعداد الطبيعية (أو عد الأرقام) هي المجموعة ن = <1, 2, 3, …>.
طقم من الأعداد الكلية هي المجموعة دبليو = <0, 1, 2, 3, …>.

عدد الكاردينال للمجموعة : عدد العناصر في مجموعة هو العدد الأصلي من تلك المجموعة.

الرموز: إذا كانت مجموعة أ يعادل المجموعة <1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن> ، نكتب ن(أ) = ن ويقولون "العدد الأساسي للمجموعة أ هو ن.”
أيضا، ن(Ø) = 0. الرقم الأساسي لمجموعة فارغة هو صفر.

مثال: عندما أحصينا الحشرات في المثال أعلاه ، أظهرنا تطابقًا واحدًا لواحد بين المجموعة <1 ، 2 ، 3 ، ... ، 12> ومجموعة الحشرات ، أي أننا عرضنا مجموعة الحشرات و ضبط <1 ، 2 ، 3 ،. 12> متكافئة. أظهرنا أن المجموعتين متساويتان. هذا يعني أنه بعد أن أحصينا الحشرات وقلنا أن هناك اثنتي عشرة حشرة ، قلنا أن العدد الأساسي لمجموعة الحشرات هو 12.

سيتم تقديم المزيد من الأمثلة للأرقام الأصلية للمجموعات في الجلسة التالية.

ربما تعلمت الرقم الأساسي صفر ، 0 ، في وقت لاحق من حياتك ، بعد أن تعلمت كيفية العد. هذا صحيح أيضًا في تاريخ البشر. تم اختراع الرقم الأساسي صفر في وقت متأخر جدًا عن أي من الأرقام الطبيعية.


IIT JEE Main Maths 1. تعيين النظرية والعلاقات الفصل الأول تعيين الملاحظات النظرية بتنسيق PDF

هناك العديد من الرياضيات 1. تعيين النظريات والعلاقات الفصل الأول كتب النظرية لـ IIT JEE والتي تصف جميع الفصول المهمة بالتفصيل. IIT JEE Maths 1. Set Theory And Relations الفصل 1 نظرية المجموعات ليست صعبة للغاية لكن الطلاب يفشلون في التفوق فيها لأن أساسياتهم الأساسية غير واضحة. Maths 1. Set Theory and Relations الفصل 1 نظرية المجموعات هي من صنع العقل البشري الذي يبني القدرة على التفكير لدى البشر. هذا هو الفرع الذي يصف المنطق وراء المفاهيم. تضع الموضوعات الرياضية الأساس للفيزياء وكذلك الكيمياء.

JEE Advanced هو امتحان دخول هندسي سنوي يتم إجراؤه للقبول في المعاهد الهندية للتكنولوجيا في الهند. كما أنه يعد من أصعب امتحانات القبول الهندسي في العالم. سيتم اختيار حوالي 2.5 لكح من الطلاب من JEE Main 2020 للظهور في JEE Advanced 2020 في 17 مايو.

من الناحية المثالية ، يجب أن يكون الطلاب الجادون قد أكملوا الرياضيات 1. ضع النظرية والعلاقات الفصل الأول حدد المنهج النظري الآن. يوفر منهج JEE المتقدم للفئة 11 و 12 حوالي 45٪ و 55٪ من أوراق أسئلة JEE على التوالي. أثناء إعداد جميع موضوعات الفيزياء والكيمياء والرياضيات 1. تعيين النظرية والعلاقات الفصل الأول نظرية المجموعة ، بناءً على خبرتنا السابقة ، يمكن توفير الضغط بشكل خاص على الموضوعات التالية:

الرياضيات الأساسية في IIT JEE 1. ضع النظرية والعلاقات الفصل الأول حدد منهجًا نظريًا الفصل الحكيم:

  • المعادلات التربيعية وتعبيرات أمبير
  • المتجهات والهندسة ثلاثية الأبعاد
  • القطع الزائد في وظائف الهندسة الإحداثية
  • حدود
  • ارقام مركبة
  • احتمالا
  • المصفوفات في دائرة الجبر
  • القطع المكافئ
  • الاستمرارية والتفاضل
  • تطبيق المشتقات والتكامل المحدد في حساب التفاضل والتكامل

نصائح تكسير IIT JEE الرئيسية 2020:

  • حافظ على تركيزك وحافظ على ثقة إيجابية
  • ارجع إلى سلسلة الاختبارات الوهمية ذات السمعة الطيبة لبناء مزاج الامتحان. أجب على أوراق أسئلة العام الماضي و rsquos IIT-JEE. ركز على الجزء الضعيف لديك وطور مفاهيمك.
  • تعتبر ممارسة أسئلة مستوى JEE مهمة لأنها تزيد من قدرتك على التفكير والتحليل.
  • لا تستولي على التوتر. النوم من 5 إلى 6 ساعات كل ليلة أمر لا بد منه ، خاصة من 3 إلى 4 أيام قبل اختبار IIT JEE للحفاظ على لياقتك العقلية والبدنية. في حين أن القيلولة القصيرة قد تساعد في استعادة النضارة ، تجنب النوم أثناء النهار.
  • أخيرًا ، لا تقلق إذا وجدت الورقة صعبة لأن الأداء النسبي هو المهم. ضع أفضل ما لديك من عقلك التحليلي في العمل ، وكن على ثقة من استعدادك للاختبار.

نحن نقدم شيئًا فريدًا ومفيدًا والأهم من ذلك متعة. من خلال منح الطلاب أداة لإيجاد حلول فورية لشكوكهم ، نحاول أن نجعل كل طالب مكتفيًا ذاتيًا في ممارسة واجباته المدرسية وإتمامها


المرجعي

اقرأ التالي

المزيد من هذا المؤلف

فابيو دي سيو

مدرب الحياة والمتحدث التحفيزي

الاتجاه في الحصول على الهدف

المزيد من هذا المؤلف

فابيو دي سيو

مدرب الحياة والمتحدث التحفيزي

الاتجاه في الحصول على الهدف

اقرأ التالي

كيف تحقق الأهداف وتزيد من فرصك في النجاح

15 سببًا لماذا يمكنك & # 8217t تحقيق أهدافك

6 قواعد ذهبية للتقدم نحو تحقيق الأهداف

10 طرق يحقق الناجحون أهدافهم

تم التحديث الأخير في 27 يونيو 2021


مجموعة واحدة ، 20 ممثلين: استراتيجية التمرين الغريبة التي تحقق النتائج

هناك العديد من الأسئلة التي لم تتم الإجابة عليها في مجال القوة والتكييف.

أين يجب أن يبدأ الرياضيون عديمي الخبرة بتمارين رفع الأثقال؟ كيف يجب أن يتدرب الرياضيون بعد انتهاء موسمهم التنافسي؟

يلقي نظام 1 & # 21520 للدكتور مايكل يسيس ، مدرب الأداء الرياضي الشهير والمتخصص في تكييف وتنفيذ أساليب التدريب من الاتحاد السوفيتي السابق ، الضوء على ما يمكن أن يكون خيارًا رائعًا لهذه الأنواع من الرياضيين.

بعد قراءة كتاب د. برنامج تدريب القوة الثوري 1 × 20 RM، لقد أصبحت مقتنعًا بأن المخطط 1 & # 21520 مجموعة / مندوب له في الواقع بعض المزايا الحقيقية في عالم الأداء الرياضي.

نعم ، هذا يعني أداء مجموعة واحدة فقط من تمرين معين ، لكن هذه المجموعة تحتوي على 20 ممثلاً. اعتاد معظم الأشخاص الذين لديهم أي خبرة تدريبية على 3 & # 21510 ، 5 & # 2155 ، وما إلى ذلك ، لذا فإن فكرة التمرين 1 & # 21520 تبدو سخيفة تمامًا. لكن المنطق والنتائج سليمة. دع & # 8217s يمر عبر بعض الأسباب الرئيسية التي تجعل 1 & # 21520 قد يقدم فائدة شرعية مقارنة بمخططات المندوبين الأخرى الأكثر تقليدية.

يتكيف الجسم غير المدرب بشكل أسرع مع التدريبات منخفضة الكثافة ويقوم بذلك مع تقليل مخاطر الإصابة. في الرياضيين الشباب الذين قد يكونون قد بدأوا للتو في تدريب المقاومة ، يمكن تقليل الألم المفرط والإرهاق الشديد (الأسباب المحتملة للإصابة) إلى حد كبير باستخدام مخطط 1 & # 21520 مقارنة بأساليب المجموعة / التكرار الأكثر تقليدية. ويرجع ذلك إلى انخفاض إجمالي عدد التكرارات التي يتم إجراؤها بالإضافة إلى الحمل الأخف الذي يجب استخدامه لتحقيق 20 ممثلاً غير منقطع. الآن ، هذا لا يعني & # 8217t أنك تريد اختيار وزن يمكنك القيام به 40 ممثلاً. ما زلت ترغب في اختيار الوزن الذي تجده صعبًا - لكن من الممكن التحكم فيه - للحصول على تلك الـ 20 ممثلين.

يسمح هذا التدريب بالتراكم التدريجي للكثافة بدلاً من & # 8220shocking & # 8221 هؤلاء الرياضيين الذين يتلقون تدريبات عالية الكثافة في وقت قريب جدًا. للرياضيين الأكثر تقدمًا الذين خرجوا للتو من موسمهم التنافسي ، يسمح مخطط 1 & # 21520 لهم بالبدء في إعادة بناء أجسامهم دون المساومة على تعافيهم.

لكن هل يمكن أن تحصل على نتائج؟ نعم!

بالنسبة للرياضيين الذين بدأوا للتو برنامج رفع (أو الذين يبدأون برنامجًا مرة أخرى بعد فترة توقف طويلة) ، ليست هناك حاجة إلى مجموعات متعددة لرؤية التكيف والنتائج. عندما يبدأ تمرين جديد أو برنامج رفع ، يتكيف الجسم مع حجم ضئيل جدًا. تشير المحفزات الجديدة إلى التكيفات مع عدم وجود الكثير من التدريب على الإطلاق. لهذا السبب ، لا يحتاج الرياضيون الشباب والرياضيون في بداية الموسم إلى أداء مجموعات متعددة من التمارين. سوف تتكيف هذه المجموعات وتصبح أقوى معها مجموعة واحدة فقط اقتربت من الفشل.

يمكن إدارة المزيد من التمارين الكلية نظرًا لأداء مجموعة واحدة فقط لكل منها. هذا يسمح للرياضي بتغطية المزيد من الحركات والأعمال المشتركة. هذا مهم بشكل خاص للرياضيين الذين بدأوا للتو في تدريب المقاومة. لتغطية معظم الحركات البشرية الأساسية (القرفصاء ، المفصلة ، الدفع الأفقي / الرأسي ، السحب الأفقي / العمودي ، الدوران ، حركات الحركة ، إلخ) يجب إجراء العديد من التمارين المختلفة. يسمح نظام 1 & # 21520 للرياضيين بأداء كل هذه الحركات في جلسة واحدة ، لأن كل تمرين يستغرق دقيقة أو دقيقتين فقط.

1 & # 21520 يتضمن ارتفاع تدفق الدم مما يزيد من القدرة على التحمل العضلي ويقوي الأربطة والأوتار. بالنسبة للرياضيين لأداء تدريبات القوة عالية الكثافة ، يجب أن يكون هناك أساس لتحمل العضلات بالفعل. هذا يسمح بإزالة أسرع لمستقلبات العضلات حتى تتمكن العضلات العاملة من التعافي. بالنسبة للرياضيين الشباب والمبتدئين ، فإن هذا الأساس ، بالإضافة إلى أساس الأوتار والأربطة القوية والسميكة ، ضروري لتجنب الإصابة والتعامل مع التدريبات عالية الكثافة.

يستغرق التطور الرياضي للشباب وفي غير موسمها وقتًا. يجب على الرياضيين أن يشاركوا في التدريبات عالية الكثافة في اليوم الأول. يسمح التراكم التدريجي للحجم والشدة بالتكيف المتسق مع أدنى فرصة للإصابة. & # 8220 كلما زادت قوتك بشكل أسرع ، ستفقدها بشكل أسرع. كلما اكتسبت القوة بشكل أبطأ ، كلما احتفظت بها لفترة أطول. & # 8221 -Dr. مايكل يسيس.


1: نظرية التعيين

مشروع تحسين تعليم الرياضيات في المدارس (TIMES)

العدد والجبر: الوحدة 1سنوات: 7-8

في جميع أنواع المواقف ، نصنف الأشياء إلى مجموعات من الأشياء المتشابهة ونعدها. هذا الإجراء هو الدافع الأساسي لتعلم الأعداد الصحيحة وتعلم كيفية جمعها وطرحها.

يؤدي هذا العد سريعًا إلى إثارة مواقف قد تبدو متناقضة في البداية.

"في حزيران (يونيو) الماضي ، كان هناك 15 يومًا رياحًا و 20 يومًا ممطرًا ، ومع ذلك لم تكن هناك أيام 5 رياحًا ولا ممطرة".

كيف يمكن أن يكون هذا ، عندما يكون يونيو 30 يومًا فقط؟ يفرز مخطط Venn ولغة المجموعات هذا الأمر بسهولة.

دعونا نكون مجموعة الأيام العاصفة ،
و R تكون مجموعة الأيام الممطرة.
دع E يكون مجموعة الأيام في يونيو.
ثم يكون حجم W و R معًا 25 ، لذلك
التداخل بين W و R هو 10. يعرض مخطط Venn المقابل الموقف بالكامل.

الغرض من هذه الوحدة هو تقديم لغة للحديث عن المجموعات ، وبعض الرموز لتحديد العمليات الحسابية ، بحيث يمكن فرز مشاكل مثل هذه. يجعل مخطط Venn الموقف سهل التصور.

وصف المجموعات وتسميتها

المجموعة هي مجرد مجموعة من الأشياء ، لكننا بحاجة إلى بعض الكلمات والرموز والمخططات الجديدة لنتمكن من التحدث بشكل معقول عن المجموعات.

في لغتنا العادية ، نحاول أن نفهم العالم الذي نعيش فيه من خلال تصنيف مجموعات من الأشياء. تحتوي اللغة الإنجليزية على العديد من الكلمات لمثل هذه المجموعات. على سبيل المثال ، نتحدث عن "قطيع من الطيور" و "قطيع من الماشية" و "سرب من النحل" و "مستعمرة النمل".

نفعل شيئًا مشابهًا في الرياضيات ، ونصنف الأرقام والأشكال الهندسية وأشياء أخرى في مجموعات نسميها مجموعات. تسمى الكائنات في هذه المجموعات عناصر المجموعة.

يمكن وصف المجموعة بسرد كل عناصرها. على سبيل المثال،

S & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9> ،

والتي نقرأها كـ "S هي المجموعة التي تكون عناصرها 1 و 3 و 5 و 7 و 9". العناصر الخمسة للمجموعة مفصولة بفواصل ، ويتم وضع القائمة بين أقواس متعرجة.

يمكن أيضًا وصف المجموعة بكتابة وصف لعناصرها بين أقواس متعرجة. وبالتالي ، يمكن أيضًا كتابة المجموعة S أعلاه كـ

S & # 61 <الأعداد الصحيحة الفردية الأقل من 10> ،

التي نقرأها كـ "S هي مجموعة الأعداد الصحيحة الفردية الأقل من 10".

يجب أن تكون المجموعة محددة جيدًا. هذا يعني أن وصفنا لعناصر المجموعة واضح ولا لبس فيه. على سبيل المثال ، <الأشخاص طويل القامة> ليس مجموعة ، لأن الناس يميلون إلى الاختلاف حول معنى كلمة "طويل". مثال على مجموعة محددة جيدا

T & # 61 <الحروف الأبجدية الإنجليزية>.

يتم استدعاء مجموعتين متساويتين إذا كان لديهم نفس العناصر بالضبط. وبالتالي باتباع الاصطلاح المعتاد بأن "y" ليس حرف متحرك ،

<أحرف العلة في الأبجدية الإنجليزية> & # 61

من ناحية أخرى ، المجموعات <1 ، 3 ، 5> و <1 ، 2 ، 3> ليست متساوية ، لأن لها عناصر مختلفة. هذا هو مكتوب

<1 ، 3 ، 5> & ne <1 ، 2 ، 3>.

الترتيب الذي كُتبت به العناصر بين الأقواس المتعرجة لا يهم على الإطلاق. على سبيل المثال،

< 1, 3, 5, 7, 9 >= < 3, 9, 7, 5, 1 >= < 5, 9, 1, 3, 7 >.

إذا تم إدراج عنصر ما أكثر من مرة ، فسيتم احتسابه مرة واحدة فقط. على سبيل المثال،

<أ ، أ ، ب> & # 61 <أ ، ب>.

تحتوي المجموعة على العنصرين a و b فقط. الإشارة الثانية لـ a هي تكرار غير ضروري ويمكن تجاهله. يعتبر عادةً تدوينًا ضعيفًا لإدراج عنصر أكثر من مرة.

تحدث العبارات "عنصر من" و "ليس عنصرًا من" كثيرًا في مناقشة المجموعات التي تُستخدم فيها الرموز الخاصة & isin و & notin. على سبيل المثال ، إذا كان A & # 61 <3 ، 4 ، 5 ، 6> ، إذن

3 & isin A (اقرأ هذا على أنه "3 عنصر من عناصر المجموعة أ".)

8 & notin A (اقرأ هذا على أنه "8 ليس عنصرًا من عناصر المجموعة أ".)

وصف المجموعات وتسميتها

  • المجموعة هي مجموعة من الكائنات تسمى عناصر المجموعة.
  • يجب أن تكون المجموعة محددة جيدًا ، مما يعني أنه يمكن وصف عناصرها و
    المدرجة دون غموض. على سبيل المثال:
  • يتم استدعاء مجموعتين متساويتين إذا كان لديهم نفس العناصر بالضبط.
  • الترتيب غير ذي صلة.
  • يتم تجاهل أي تكرار لعنصر.
  • إذا كان a عنصرًا من مجموعة S ، نكتب a & isin S.
  • إذا لم تكن b عنصرًا في مجموعة S ، نكتب b & notin S.

أ حدد المجموعة أ بسرد عناصرها ، أين
A & # 61 <الأعداد الصحيحة الأقل من 100 قابلة للقسمة على 16>.
ب حدد المجموعة ب بإعطاء وصف مكتوب لعناصرها ، حيث
B & # 61 <0 ، 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25>.
ج هل الجملة التالية تحدد مجموعة؟
C & # 61 <أعداد صحيحة قريبة من 50>.

كل المجموعات التي رأيناها حتى الآن كانت مجموعات محدودة ، مما يعني أنه يمكننا سرد جميع عناصرها. فيما يلي مثالان آخران:

<الأعداد الصحيحة بين 2000 و 2005> & # 61

<الأعداد الصحيحة بين 2000 و 3000> & # 61

تمثل النقاط الثلاث "..." في المثال الثاني الأرقام 995 الأخرى في المجموعة. كان بإمكاننا إدراجها جميعًا ، ولكن لتوفير مساحة ، استخدمنا النقاط بدلاً من ذلك. لا يمكن استخدام هذا الترميز إلا إذا كان معنى ذلك واضحًا تمامًا ، كما في هذه الحالة.

يمكن أن تكون المجموعة أيضًا لانهائية & ناقص كل ما يهم أنها محددة جيدًا. فيما يلي مثالان على المجموعات اللانهائية:

<حتى الأعداد الصحيحة> & # 61

<أعداد صحيحة أكبر من 2000> & # 61

كلتا المجموعتين لا نهائيتين لأنه بغض النظر عن عدد العناصر التي ندرجها ، هناك دائمًا المزيد من العناصر في المجموعة غير الموجودة في قائمتنا. هذه المرة النقاط "..." لها معنى مختلف قليلاً ، لأنها تمثل عددًا لا نهائيًا من العناصر التي لا يمكننا سردها ، بغض النظر عن المدة التي حاولناها.

عدد عناصر المجموعة

إذا كانت S مجموعة محدودة ، فإن الرمز | S | لتقف على عدد عناصر S. على سبيل المثال:

إذا كان S & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9> ، إذن | S | & # 61 5.

إذا كان A & # 61 <1001 ، 1002 ، 1003 ، ... ، 3000> ، إذن | أ | & # 61 2000.

إذا كان T & # 61 <أحرفًا في الأبجدية الإنجليزية> ، إذن | تي | & # 61 26.

المجموعة S & # 61 <5> هي مجموعة مكونة من عنصر واحد لأن | S | & # 61 1. من المهم التمييز بين الرقم 5 والمجموعة S & # 61 <5>:

5 & ​​isin S لكن 5 & ne S.

يمثل الرمز والفارغ المجموعة الفارغة ، وهي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر على الإطلاق. لا شيء في الكون كله هو عنصر & فارغ:

| & فارغ | & # 61 0 و x & notin & فارغ ، بغض النظر عن x قد يكون.

لا توجد سوى مجموعة فارغة واحدة ، لأن أي مجموعتين فارغتين لها نفس العناصر تمامًا ، لذلك يجب أن تكون متساوية مع بعضها البعض.

  • تسمى المجموعة محدودة إذا كان بإمكاننا سرد جميع عناصرها.
  • المجموعة اللانهائية لها خاصية أنه بغض النظر عن عدد العناصر التي ندرجها ،
    هناك دائمًا المزيد من العناصر غير الموجودة في قائمتنا.
  • إذا كانت S مجموعة محدودة ، فإن الرمز | S | لتقف على عدد عناصر S.
  • المجموعة التي لا تحتوي على عناصر تسمى المجموعة الفارغة ، وتتم كتابتها كـ & فارغ.
    هكذا | & فارغ | & # 61 0.
  • المجموعة المكونة من عنصر واحد هي مجموعة مثل S & # 61 <5> مع | S | & # 61 1.

استخدم النقاط للمساعدة في سرد ​​كل مجموعة ، وحدد ما إذا كانت محدودة أم لا نهائية.
i B & # 61 <الأرقام الزوجية بين 10000 و 20000>
ii A & # 61 <الأعداد الصحيحة التي هي مضاعفات 3>
ب إذا كانت المجموعة S في كل جزء محدودة ، فاكتب | S |.
أنا S & # 61 <الأعداد الأولية>
ii S & # 61 <حتى الأعداد الأولية>
iii S & # 61 <حتى الأعداد الأولية أكبر من 5>
iv S & # 61 <أعداد صحيحة أقل من 100>
c لنفترض أن F هي مجموعة الكسور في أبسط صورة بين 0 و 1 والتي يمكن كتابتها بمقام من رقم واحد. ابحث عن F و | F |.

مجموعات فرعية ومخططات فين

غالبًا ما يتم تقسيم مجموعات من الأشياء إلى أجزاء فرعية. على سبيل المثال ، تعتبر البوم نوعًا معينًا من الطيور ، لذا فإن كل بومة هي أيضًا طائر. نعبر عن هذا بلغة المجموعات بالقول إن مجموعة البوم هي مجموعة فرعية من مجموعة الطيور.

تسمى المجموعة S مجموعة فرعية من مجموعة أخرى T إذا كان كل عنصر من S عنصرًا من عناصر T. هذا هو مكتوب

S & sube T (اقرأ هذا على أنه "S هي مجموعة فرعية من T".)

يعني الرمز الجديد والفرعي "مجموعة فرعية من". وهكذا ، فإن <البوم> & sube <الطيور> لأن كل بومة هي طائر. بصورة مماثلة،

إذا كان A & # 61 <2 ، 4 ، 6> و B & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> ، ثم A & sube B ،

لأن كل عنصر من A هو عنصر من B.

تتم كتابة الجملة "S ليست مجموعة فرعية من T" على أنها

س تي.

هذا يعني أن عنصرًا واحدًا على الأقل من S ليس عنصرًا من عناصر T. على سبيل المثال،

< birds >

لأن النعامة طائر لكنها لا تطير. بصورة مماثلة،

إذا كان A & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4> و B & # 61 <2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> ، ثم A ب،

دائمًا ما تكون المجموعة نفسها والمجموعة الفارغة مجموعات فرعية

أي مجموعة S هي مجموعة فرعية من نفسها ، لأن كل عنصر من S هو عنصر من S. على سبيل المثال:

<طيور> & sube <طيور> و <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> & # 61 <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6>.

علاوة على ذلك ، فإن المجموعة الفارغة والفارغة هي مجموعة فرعية من كل مجموعة S ، لأن كل عنصر في المجموعة الفارغة هو عنصر من عناصر S ، ولا توجد عناصر في & فارغة على الإطلاق. على سبيل المثال:

إ & راءعة & sube <طيور> و & فارغة & فرعية <1، 2، 3، 4، 5، 6>.

كل عنصر في المجموعة الفارغة عبارة عن طائر ، وكل عنصر في المجموعة الفارغة هو أحد الأرقام 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6.

المجموعات الفرعية والكلمات "كل" و "إذا ... ثم"

يمكن إعادة كتابة بيان حول المجموعات الفرعية في شكل جملة باستخدام كلمة "الكل".
على سبيل المثال،

"كل مضاعفات العدد 4 متساوية."

"ليست كل المستطيلات عبارة عن معينات."

يمكن أيضًا إعادة كتابتها باستخدام الكلمات "إذا ... ثم". على سبيل المثال،

<البوم> & sube يعني "إذا كان المخلوق بومة ، فهو طائر".
<مضاعفات العدد 4> & فرعي يعني "إذا كان الرقم من مضاعفات الرقم 4 ، فإنه يكون" زوجيًا ":
<مستطيلات> فرعي يعني "إذا كان الشكل عبارة عن مستطيل ، فقد لا يكون مربعًا".

تجعل المخططات الرياضيات أسهل لأنها تساعدنا على رؤية الموقف برمته في لمحة. بدأ عالم الرياضيات الإنجليزي جون فين (1834 & ناقص 1923) في استخدام المخططات لتمثيل المجموعات. تسمى مخططاته الآن مخططات فين.

في معظم المشكلات التي تتضمن مجموعات ، من الملائم اختيار مجموعة أكبر تحتوي على جميع العناصر في جميع المجموعات التي يتم النظر فيها. تسمى هذه المجموعة الأكبر بالمجموعة العامة ، وعادة ما يتم إعطاؤها الرمز E. في مخطط Venn ، يتم رسم المجموعة العامة عمومًا كمستطيل كبير ، ثم يتم تمثيل المجموعات الأخرى بدوائر داخل هذا المستطيل.

على سبيل المثال ، إذا كانت V & # 61 <أحرف العلة> ، فيمكننا اختيار المجموعة العامة كـ E & # 61 <أحرف الأبجدية> وستحتاج بعد ذلك إلى وضع جميع أحرف الأبجدية في مكان ما داخل المستطيل ، كما هو موضح أدناه .

في مخطط Venn أدناه ، المجموعة الشاملة هي E & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10> ، وقد تم وضع كل من هذه الأرقام في مكان ما داخل المستطيل .

تمثل المنطقة داخل الدائرة المجموعة A من الأعداد الصحيحة الفردية بين 0 و 10. وهكذا نضع الأرقام 1 و 3 و 5 و 7 و 9 داخل الدائرة ، لأن A & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9>. نضع خارج الدائرة الأعداد الأخرى 0 و 2 و 4 و 6 و 8 و 10 الموجودة في E ولكن ليست في A.

تمثيل مجموعات فرعية في مخطط Venn

عندما نعلم أن S مجموعة فرعية من T ، نضع الدائرة التي تمثل S داخل الدائرة التي تمثل T. على سبيل المثال ، دع S & # 61 <0 ، 1 ، 2> ، و T & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4>. ثم S هي مجموعة فرعية من T ، كما هو موضح في مخطط Venn أدناه.

تأكد من وضع 5 و 6 و 7 و 8 و 9 و 10 خارج كلتا الدائرتين و GT

مجموعات فرعية وخط الأعداد

الأعداد الصحيحة هي الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... هذه تسمى غالبًا "أرقام العد" ، لأنها الأرقام التي نستخدمها عند عد الأشياء. على وجه الخصوص ، كنا نستخدم هذه الأرقام لحساب عدد عناصر المجموعات المحدودة. الرقم صفر هو عدد عناصر المجموعة الفارغة.

يمكن تمثيل مجموعة جميع الأعداد الصحيحة بنقاط على خط الأعداد.

يمكن تمثيل أي مجموعة فرعية محدودة من مجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد. على سبيل المثال ، هنا المجموعة <0 ، 1 ، 4>.

  • إذا كانت جميع عناصر المجموعة S هي عناصر من مجموعة أخرى T ، فإن S تسمى مجموعة فرعية من T. هذا مكتوب كـ S & sube T.
  • إذا كان عنصر S واحدًا على الأقل ليس عنصرًا من عناصر T ، فإن S ليست مجموعة فرعية من T. هذا مكتوب كـ S. تي.
  • إذا كانت S هي أي مجموعة ، فحينئذٍ & فارغة & فرعية S و S & sube.
  • يمكن إعادة كتابة بيان حول مجموعة فرعية باستخدام الكلمات "كل" أو "إذا ... ثم".
  • يمكن تمثيل المجموعات الفرعية باستخدام مخطط Venn.
  • المجموعة <0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...> من الأعداد الصحيحة لانهائية.
  • يمكن تمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة وأي مجموعة فرعية محدودة منها على خط الأعداد.

أ إعادة الكتابة في مجموعة الرموز:
i جميع المربعات عبارة عن مستطيلات.
ii ليست كل المستطيلات عبارة عن معينات.
ب أعد كتابة جملة إنجليزية باستخدام الكلمات "all" أو "not all":
i <عدد صحيح مضاعفات العدد 6> & فرعي <حتى الأعداد الصحيحة>.
ii <تربيع الأعداد الصحيحة> & sube <حتى الأعداد الصحيحة>.
ج أعد كتابة العبارات في الجزء (ب) في الجملة الإنجليزية باستخدام الكلمات "if…، then".
د بالنظر إلى المجموعات A & # 61 <0 ، 1 ، 4 ، 5> و B & # 61 <1 ، 4>:
أرسم مخطط Venn لـ A و B باستخدام المجموعة الشاملة U & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، ... ، 8>.
ii الرسم البياني A على خط الأعداد.

التكميلات والتقاطعات والنقابات

افترض أنه تم اختيار مجموعة عالمية مناسبة E. تكملة مجموعة S.
هي مجموعة كل عناصر E غير الموجودة في S. تتم كتابة تكملة S كـ S c.
على سبيل المثال،

إذا كانت <الأحرف> E & # 61 و V & # 61 <أحرف العلة> ، ثم V c & # 61

/> إذا كان E & # 61 <أرقام كاملة> و O & # 61 <أعداد صحيحة فردية> ،
/> ثم O c & # 61 .

تكملة وكلمة "لا"

كلمة "لا" تقابل تكملة المجموعة. على سبيل المثال ، في المثالين أعلاه ،

V c & # 61 <أحرف ليست أحرف متحركة> & # 61

O c & # 61 <الأعداد الصحيحة غير الفردية> & # 61

يمكن تمثيل المجموعة V c في المثال الأول على مخطط Venn على النحو التالي.

تقاطع مجموعتين

يتكون تقاطع مجموعتين A و B من جميع العناصر التي تنتمي إلى A و B.
هذا مكتوب كـ A & cap B. على سبيل المثال ، بعض الموسيقيين مغنون والبعض الآخر يعزف على آلة موسيقية.

هنا مثال على استخدام الحروف.

يمكن تمثيل هذا المثال الأخير في مخطط Venn على النحو التالي.

التقاطع وكلمة "و"

تخبرنا كلمة "و" أن هناك تقاطعًا بين مجموعتين. على سبيل المثال:

<مطربين> & غطاء <عازفون> & # 61

<أحرف العلة> & حروف كبيرة <أحرف "الدنغو"> & # 61

يتكون اتحاد مجموعتين A و B من جميع العناصر التي تنتمي إلى A أو B. هذا مكتوب على هيئة أ وكوب ب. العناصر التي تنتمي إلى كلتا المجموعتين تنتمي إلى الاتحاد. استمرارًا لنموذج المطربين والعازفين:

إذا كان <مغني> و 61 ب & # 61 <عازفون> ، ثم أ & كوب ب & # 61 <فنانو الأداء>.

في حالة مجموعات الحروف:

إذا كانت V & # 61 <أحرف العلة> و F & # 61 <حرفًا في "dingo"> ، فإن V & acup F & # 61 .

تخبرنا كلمة "أو" أن هناك اتحادًا بين مجموعتين. على سبيل المثال:

<مطربين> وكأس <عازفون> & # 61

<أحرف العلة> & الكأس <الأحرف في "الدنغو"> & # 61

دائمًا ما تعني كلمة "أو" في الرياضيات "و / أو" ، لذلك ليست هناك حاجة لإضافة "أو كليهما" إلى أوصاف الاتحادات هذه. على سبيل المثال،

هنا العناصر 6 و 12 في كلتا المجموعتين A و B.

تسمى مجموعتان منفصلتان إذا لم يكن بينهما عناصر مشتركة. على سبيل المثال:

المجموعات S & # 61 <2 ، 4 ، 6 ، 8> و T & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7> منفصلة.

هناك طريقة أخرى لتعريف المجموعات المنفصلة وهي أن نقول إن تقاطعها هو المجموعة الفارغة ،

يتم فصل مجموعتين A و B إذا كانت A & amp ؛ الحد الأقصى B & # 61 & فارغة.

S & cap T & # 61 & فارغ لأنه لا يوجد رقم في كلتا المجموعتين.

تكامل وتقاطع واتحاد

لنفترض أن A و B مجموعتين فرعيتين من مجموعة عالمية مناسبة E.

  • المكمل A c هو مجموعة كل عناصر E غير الموجودة في A.
  • التقاطع A و B هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى A و B.
  • الاتحاد A و B هو مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى A أو B.
  • في الرياضيات ، تعني كلمة "أو" دائمًا "و / أو" ، لذا فإن جميع العناصر
    في كلا المجموعتين في الاتحاد.
  • تسمى المجموعتان A و B منفصلتان إذا لم يكن بينهما عناصر مشتركة ، أي ،
    إذا كان A & الحد الأقصى B & # 61 & فارغًا.

تمثيل المكمل على مخطط Venn

لنفترض أن A & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9> هي مجموعة الأعداد الصحيحة الفردية الأقل من 10 ، وتأخذ المجموعة العامة على أنها E & # 61 <0 ، 1 ، 2 ، ... ، 10>. هنا مخطط فين للوضع.

تمثل المنطقة داخل الدائرة المجموعة أ ، لذا نضع الأرقام 1 و 3 و 5 و 7 و 9 داخل الدائرة. خارج الدائرة ، نضع الأعداد الأخرى 0 و 2 و 4 و 6 و 8 و 10 غير الموجودة في A. وهكذا فإن المنطقة خارج الدائرة تمثل المكمل A c & # 61 <0، 2، 4، 6، 8، 10>.

تمثيل التقاطع والاتحاد على مخطط Venn

يوضح مخطط Venn أدناه المجموعتين

A & # 61 <1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9> و B & # 61 <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5>.

  • تقع الأرقام 1 و 3 و 5 في كلتا المجموعتين ، لذلك نضعها في المنطقة المتداخلة للدائرتين.
  • الأرقام المتبقية في A هي 7 و 9. يتم وضعها داخل A ، ولكن خارج B.
  • الأرقام المتبقية في B هي 2 و 4. يتم وضعها داخل B ، ولكن خارج A.

وبالتالي فإن المنطقة المتداخلة تمثل التقاطع A & cap B & # 61 <1، 3، 5> ، وتمثل الدائرتان معًا الاتحاد A & cup B & # 61 <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9> .

يتم وضع الأرقام الأربعة المتبقية ، 0 ، و 6 ، و 8 ، و 10 خارج كلتا الدائرتين.

تمثل المجموعات المنفصلة في مخطط Venn

عندما نعلم أن مجموعتين منفصلتين ، فإننا نمثلهما بدوائر لا تتقاطع. على سبيل المثال ، دعونا

P & # 61 <0، 1، 2، 3>و س & # 61

ثم يتم فصل P و Q ، كما هو موضح في مخطط Venn أدناه.

مخططات فين مع التكميلات والنقابات والتقاطعات

  • يتم تمثيل المجموعات في مخطط Venn بواسطة دوائر مرسومة داخل مستطيل يمثل المجموعة العامة.
  • تمثل المنطقة خارج الدائرة تكملة المجموعة.
  • تمثل المنطقة المتداخلة لدائرتين تقاطع المجموعتين.
  • تمثل دائرتان معًا اتحاد المجموعتين.
  • عندما تنفصل مجموعتان ، يمكننا رسم دائرتين بدون أي تداخل.
  • عندما تكون إحدى المجموعات مجموعة فرعية من مجموعة أخرى ، يمكننا رسم دائرتها داخل دائرة المجموعة الأخرى.

دع المجموعة العامة تكون E & # 61 ، والسماح

أ & # 61

ب & # 61

سي & # 61

ارسم A و C على مخطط Venn وضع الأرقام في المناطق الصحيحة.
ب ارسم B و C على مخطط Venn وضع الأرقام في المناطق الصحيحة.
c ظلل A و cap B على مخطط Venn وضع الأرقام في المناطق الصحيحة.
د ظلل أ وكوب ب على مخطط فين ، وضع الأرقام في المناطق الصحيحة.

حل المسائل باستخدام مخطط Venn

حفظ عدد عناصر المجموعات

قبل حل المشكلات باستخدام مخططات Venn ، نحتاج إلى معرفة كيفية الاحتفاظ بعدد عناصر المجموعات المتداخلة.

يظهر الرسم البياني العلوي إلى اليمين اثنين
يضع A و B داخل مجموعة عالمية E ، حيث

| أ | & # 61 6 و | ب | & # 61 7 ،

مع 3 عناصر في التقاطع أ و الغطاء ب.

يظهر الرسم التخطيطي السفلي إلى اليمين فقط ملف
عدد العناصر في كل منطقة من المناطق الأربع.

يتم وضع هذه الأرقام داخل قوسين دائريين
حتى لا تبدو كعناصر.

يمكنك أن ترى من الرسوم البيانية ذلك

| أ | & # 61 6 و | ب | & # 61 7 ، لكن | أ وكوب ب | & ne 6 & # 43 7.

والسبب في ذلك هو أن العناصر الموجودة داخل المنطقة المتداخلة A & cap B يجب حسابها مرة واحدة فقط ، وليس مرتين. عندما نطرح العناصر الثلاثة لـ A & cap B من الإجمالي ، يكون الحساب صحيحًا.

في الرسم البياني إلى اليمين ،

| أ | & # 61 15 ، | ب | & # 61 25 ، | أ & غطاء ب | & # 61 5 و | هـ | & # 61 50.

أدخل عدد العناصر في كل منها
من المناطق الأربع.
ب ومن ثم ابحث عن | أ وكوب ب | و | أ & غطاء ب ج |

أ نبدأ عند التقاطع ونعمل للخارج.

يحتوي التقاطع أ و ب على 5 عناصر.

ومن ثم فإن منطقة A خارج A & cap B بها 10 عناصر ،
والمنطقة B خارج A & cap B بها 20 عنصرًا.

هذا يجعل 35 عنصرًا حتى الآن ، لذا فإن المنطقة الخارجية بها 15 عنصرًا.
ب من الرسم التخطيطي ، | أ وكوب ب | & # 61 35 و | أ & غطاء ب ج | & # 61 10.

ارسم مخطط Venn لمجموعتين S و T.
ب بالنظر إلى أن | S | & # 61 15 ، | تي | & # 61 20 ، | كأس تي | & # 61 25 و | هـ | & # 61 50 ، أدخل عدد العناصر في كل منطقة من المناطق الأربع.
ج ومن ثم ابحث عن | S & cap T | و | S & cap T c |.

عدد العناصر في مناطق مخطط Venn

&ثور يمكن عمل عدد العناصر في مناطق مخطط Venn بواسطة
العمل بشكل منهجي حول الرسم التخطيطي.
&ثور عدد العناصر في اتحاد مجموعتين A و B هو
&ثور عدد العناصر في A & cup B & # 61 عدد العناصر في A
&ثور عدد العناصر في أ وكوب ب & # 61 عدد العناصر في أ
+ عدد العناصر في ب
& ناقص عدد العناصر في A & cap B.
&ثور Writing this formula in symbols, | A &cup B | = | A | + | B | &minus | A &cap B |.

Solving problems by drawing a Venn diagram

Many counting problems can be solved by identifying the sets involved, then drawing up a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

A travel agent surveyed 100 people to find out how many of them had visited the cities of
Melbourne and Brisbane. Thirty-one people had visited Melbourne, 26 people had been to Brisbane, and 12 people had visited both cities. Draw a Venn diagram to find the number of people who had visited:

أ Melbourne or Brisbane

ب Brisbane but not Melbourne

ج only one of the two cities

د neither city.

Let M be the set of people who had
visited Melbourne, and let B be the set
of people who had visited Brisbane.
Let the universal set E be the set of
people surveyed.

The information given in the question can now be rewritten as

| M | = 31, | B | = 26, | M &cap B | = 12 و | E | = 100.

Hence number in M only = 31 &minus 12
= 19
and number in B only = 26 &minus 12
= 14.

أ Number visiting Melbourne or Brisbane = 19 + 14 ი = 45.

ب Number visiting Brisbane only = 14.

ج Number visiting only one city = 19 + 14 = 33.

د Number visiting neither city = 100 &minus 45 = 55.

Problem solving using Venn diagrams

  • First identify the sets involved.
  • Then construct a Venn diagram to keep track of the numbers in the different regions of the diagram.

Twenty-four people go on holidays. If 15 go swimming, 12 go fishing, and 6 do neither, how many go swimming and fishing? Draw a Venn diagram and fill in the number of people in all four regions.

In a certain school, there are 180 pupils in Year 7. One hundred and ten pupils study French, 88 study German and 65 study Indonesian. Forty pupils study both French and German, 38 study German and German only. Find the number of pupils who study:

either one ot two of the three languages.

The examples in this module have shown how useful sets and Venn diagrams are in counting problems. Such problems will continue to present themselves throughout secondary school.

The language of sets is also useful for understanding the relationships between objects of different types. For example, we have met various sorts of numbers, and we can summarise some of our knowledge very concisely by writing

< whole numbers >&sube < integers >&sube < rational numbers >&sube < real numbers >.

The relationships amongst types of special quadrilaterals is more complicated. Here are some statements about them.

< squares >&sube < rectangles >&sube < parallelograms >&sube

< rectangles >&cap < rhombuses >=

If A = < convex kites >and B = < non-convex kites >, then

A &cap B = &empty and A &cup B =

That is, the set of convex kites and the set of non-convex kites are disjoint, but their union is the set of all kites.

It is far easier to talk about probability using the language of sets. The set of all outcomes is called the sample space , a subset of the sample space is called an event . Thus when we throw three coins, we can take the sample space as the set

S =

and the event ‘throwing at least one head and at least one tail’ is then the subset

E =

Since each outcome is equally likely,

P (at least one head and at least one tail) = = .

The event space of the complementary event ‘throwing all heads or all tails’ is the complement of the event space in the sample space, which we take as the universal set, so

E c = < HHH, TTT >.

Since | E | + | E c | = | S |, it follows after dividing by | S | that P ( E c ) = 1 &minus P ( E ), so

P (throwing all head or all tails) = 1 &minus = .

Let F be the event ‘throwing at least two heads’. ثم

F =

A Venn diagram is the best way to sort out the relationship between the two events E and F . We can then conclude that

P ( E and F ) = 3 و P ( E or F ) = 7

When we discuss a function, we usually want to write down its domain &minus the set of all x -values that we can substitute into it, and its range &minus the set of all y -values that result from such substitutions.

For example, for the function y = x 2 ,

domain = < real numbers >و range = < y : y ≥ 0>.

The notation used here for the range is ‘set-builder notation’, which is no longer taught in school. Consequently we mostly avoid set notation altogether, and use instead less rigorous language,

‘The domain is all real numbers, and the range is y > 0.’

Speaking about the condition rather than about the set, however, can confuse some students, and it is often useful to demonstrate the set theory ideas lying behind the abbreviated notation.

Here are two inequalities involving absolute value and their solution.

If we use the language of solution sets, and pay attention to ‘and’ and ‘or’, we see that the solution of the first inequality is the intersection of two sets, and the solution of the second inequality is the union of two sets. In set-builder notation, the solutions to the two inequalities are

< x : x ≥ &minus5 >&cap < x : x ≤ 5 >= < x : &minus5 ≤ x ≤ 5>, and

< x : x ≤ &minus5 >&cap < x : x ≥ 5 >= < x : x £ &minus5 or x ≥ 5>.

At school, however, we simply write the solutions to the two inequalities as the conditions alone,

&minus5 ≤ x ≤ 5 و x ≤ &minus5 or x ≥ 5

There are many similar situations where the more precise language of sets may
help to clarify the solutions of equations and inequalities when difficulties are raised during discussions.

Counting problems go back to ancient times. Questions about ‘infinity’ were also keenly discussed by mathematicians in the ancient world. The idea of developing a ‘theory of sets’, however, only began with publications of the German mathematician Georg Cantor in the 1870s, who was encouraged in his work by Karl Weierstrass and Richard Dedekind, two of the greatest mathematicians of all time.

Cantor’s work involved the astonishing insight that there are infinitely many different types of infinity. In the hierarchy of infinities that he discovered, the infinity of the whole numbers is the smallest type of infinity, and is the same as the infinity of the integers and of the rational numbers. He was able to prove, quite simply, that the infinity of the real numbers is very much larger, and that the infinity of functions is much larger again. His work caused a sensation and some Catholic theologians criticised his work as jeopardising ‘God’s exclusive claim to supreme infinity’.

Cantor’s results about types of infinity are spectacular and not particularly difficult. The topic is quite suitable as extension work at school, and the basic ideas have been presented in some details in Appendix 2 of the Module The Real Numbers .

Cantor’s original version of set theory is now regarded as ‘naive set theory’, and contains contradictions. The most famous of these contradictions is called ‘Russell’s paradox’, after the British philosopher and mathematician Bertrand Russell. It is a version of the ancient barber-paradox,

‘A barber shaves all those who do not shave themselves. Who shaves the barber?’

‘Sets that are members of themselves are rather unwelcome objects.

In order to distinguish such tricky sets from the ordinary, well-behaved sets,

let S be the set of all sets that are not members of themselves.

But when we consider the set S itself, we have a problem.

If S is a member of S , then S is not a member of S .

If S is not a member of S , then S is a member of S .

The best-known response, but by no means the only response, to this problem and to the other difficulties of ‘naive set theory’ is an alternative, extremely sophisticated, formulation of set theory called ‘Zermelo-Fraenkel set theory’, but it is hardly the perfect solution. While no contradictions have been found,many disturbing theorems have been proven. Most famously, Kurt Goedel proved in 1931 that it is impossible to prove that Zermelo-Fraenkel set theory, and indeed any system of axioms within which the whole numbers can be constructed, does not contain a contradiction!

Nevertheless, set theory is now taken as the absolute rock-bottom foundation of mathematics, and every other mathematical idea is defined in terms of set theory. Thus despite the paradoxes of set theory, all concepts in geometry, arithmetic, algebra and calculus &minus and every other branch of modern mathematics &minus are defined in terms of sets, and have their logical basis in set theory.

أ A = < 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96 >.

ب The most obvious answer is B = < square numbers less than 30 >.

ج No, because I don’t know precisely enough what ‘close to’ means.

أ أنا A = < 10 002, 10 004, … , 19 998 >is finite. ii B = < 0, 3, 6, … >is infinite.
ب أنا This set is infinite. ii | S | = 1.
iii | S | = 0. iv | S | = 100.
ج F = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , so | F | = 27.

أ أنا < squares >&sube < rectangles >. ii < rectangles >&sube < rhombuses >.
ب أنا All multiples of 6 are even. ii Not all squares are even.
ج أنا If a whole number is a multiple of 6, then it is even.
ii If a whole number is a square, then it may not be even.
د أنا
ii

a&minusd

The union S &cup T has 25 elements, whereas S has 15 elements and T has 20 elements, so the overlap S &cap T has 10 elements.

Hence the region of S outside S &cap T has 5 elements, and the region of T outside S &cap T has 10 elements. Hence the outer region has 50 &minus 25 = 25 elements.

ج From the diagram, | S &cap T | = 10 and | S &cup Tc | = 40.

Since only 18 people are involved in swimming or fishing and 15 + 12 = 27, there are 9 people who go swimming and fishing.

أ 9 ب 10 ج 12 د 168 ه 159

The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project 2009-2011 was funded by the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.

The views expressed here are those of the author and do not necessarily represent the views of the Australian Government Department of Education, Employment and Workplace Relations.


1: Set Theory

Figure 1.15 shows Venn diagrams for these sets.

Figure 1.16 pictorially verifies the given identities. Note that in the second identity, we show the number of elements in each set by the corresponding shaded area.

Let $S=<1,2,3>$. Write all the possible partitions of $S$.

  1. $A= < x in mathbb| -100 leq x leq 100 >$ is countable since it is a subset of a countable set, $A subset mathbb$.
  2. $B=<(x,y) | x in mathbb, y in mathbb >$ is countable because it is the Cartesian product of two countable sets, i.e., $B= mathbb imes mathbb$.
  3. $C=(0,.1]$ is uncountable since it is an interval of the form $(a,b]$, where $a
    Problem

Find the range of the function $f:mathbb ightarrow mathbb$ defined as $f(x)= extrm (x)$.

For any real value $x$, $-1 leq extrm (x) leq 1$. Also, all values in $[-1,1]$ are covered by $ extrm (x)$. Thus, Range$(f)=[-1,1]$.


استنتاج

After following these steps, even if you weren’t able to place your speakers in their ideal locations due to room and furniture constraints, you can rest easy knowing that your system can still sound great. You’re now ready to fire up your receiver and set speaker Level, Distance, and Equalization. We’ll guide you through that in our next set up article.

See also:

About the author:

Marshall is an Educator by trade, and currently lives in Oregon. He was lucky enough to grow up in a musical household, and though the AV equipment wasn't the greatest, it was always on. His dad introduced him to Queen, Paul Simon, and Sgt. Pepper's, and his mom played Lionel Richie and Disney Soundtracks. When Marshall was 14, his uncle passed down a pair of JBL towers and Marshall finally had his own system. Having enjoyed podcasting and video production over the past 10 years, Marshall is happy to be contributing at Audioholics.

Confused about what AV Gear to buy or how to set it up? Join our Exclusive Audioholics E-Book Membership Program!


شاهد الفيديو: The Great Reset - Conspiracy or Fact? (ديسمبر 2021).