مقالات

3.1: تعريف المشتق - الرياضيات


الآن بعد أن أصبح لدينا فهم مفاهيمي للنهاية والقدرة العملية على حساب الحدود ، فقد أنشأنا الأساس لدراستنا لحساب التفاضل والتكامل ، وهو فرع الرياضيات الذي نحسب فيه المشتقات والتكاملات. يتفق معظم علماء الرياضيات والمؤرخين على أن حساب التفاضل والتكامل تم تطويره بشكل مستقل من قبل الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716)، التي تظهر صورها في الشكل. على الرغم من أنه يبدو من المرجح أن نيوتن قد توصل بالفعل إلى الأفكار الكامنة وراء حساب التفاضل والتكامل أولاً ، إلا أننا مدينون لـ Leibniz على الترميز الذي نستخدمه بشكل شائع اليوم.

الشكل ( PageIndex {1} ): يُنسب إلى نيوتن ولايبنيز تطوير حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل.

خطوط الظل

نبدأ دراستنا لحساب التفاضل والتكامل من خلال إعادة النظر في فكرة الخطوط القاطعة وخطوط المماس. تذكر أننا استخدمنا ميل الخط القاطع إلى وظيفة عند نقطة ((أ ، و (أ)) ) لتقدير معدل التغيير ، أو المعدل الذي يتغير فيه متغير واحد بالنسبة لمتغير آخر. يمكننا الحصول على منحدر القاطع باختيار قيمة x بالقرب من a ورسم خط خلال النقاط ((a، f (a)) ) و ((x، f (x)) ) ، مثل كما هو مبين في الشكل. يتم الحصول على ميل هذا الخط من خلال معادلة على شكل حاصل فرق:

[m_ {sec} = frac {f (x) −f (a)} {x − a} ]

يمكننا أيضًا حساب ميل الخط القاطع إلى دالة بقيمة a باستخدام هذه المعادلة واستبدال (x ) بـ (a + h ) ، حيث (h ) هي قيمة قريبة من a. يمكننا بعد ذلك حساب ميل الخط المار بالنقطتين ((a، f (a)) ) و ((a + h، f (a + h)) ). في هذه الحالة ، نجد أن الخط القاطع له ميل يُعطى من خلال حاصل الفرق التالي مع الزيادة (h ):

[m_ {sec} = frac {f (a + h) −f (a)} {a + h − a} = frac {f (a + h) −f (a)} {h} ]

التعريف: حاصل الفرق

لنفترض أن (f ) دالة محددة في فاصل (I ) يحتوي على (a ). إذا كان (x ≠ a ) في (I ) ، إذن

[Q = frac {f (x) −f (a)} {x − a} ]

هو حاصل الفرق.

أيضًا ، إذا تم اختيار (ح ≠ 0 ) بحيث يكون (أ + ح ) في (أنا ) ، إذن

[Q = frac {f (a + h) −f (a)} {h} ]

هو حاصل فرق مع زيادة (ح ).

يوضح الشكل هذان التعبيران لحساب ميل الخط القاطع. سنرى أن كل من هاتين الطريقتين لإيجاد ميل الخط القاطع لها قيمة. اعتمادًا على الإعداد ، يمكننا اختيار أحدهما أو الآخر. عادة ما يعتمد الاعتبار الأساسي في اختيارنا على سهولة الحساب.

الشكل ( PageIndex {2} ): يمكننا حساب ميل الخط القاطع بإحدى الطريقتين.

في الشكل ( PageIndex {3} )(أ) نرى أنه مع اقتراب قيم (x ) من (أ ) ، توفر منحدرات الخطوط القاطعة تقديرات أفضل لمعدل تغير الوظيفة عند (أ ). علاوة على ذلك ، تقترب الخطوط القاطعة نفسها من الخط المماس للدالة عند (أ ) ، والتي تمثل حد الأسطر القاطعة. وبالمثل ، الشكل ( PageIndex {3} )(ب) يوضح أنه مع اقتراب قيم (h ) من (0 ) ، تقترب الخطوط القاطعة أيضًا من خط الظل. ميل خط المماس عند (أ ) هو معدل تغير الوظيفة عند (أ ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} )(ج).

الشكل ( PageIndex {3} ): تقترب الخطوط القاطعة من خط الظل (كما هو موضح باللون الأخضر) حيث تقترب النقطة الثانية من الأولى.

في الشكل ( PageIndex {4} ) نعرض الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {x} ) وخط المماس الخاص به عند ((1،1) ) في سلسلة من الفواصل الزمنية الأكثر إحكامًا حول (x = 1 ). عندما تصبح الفواصل الزمنية أضيق ، يبدو أن الرسم البياني للوظيفة وخطها المماس يتطابقان ، مما يجعل القيم الموجودة على خط الظل تقريبًا جيدًا لقيم الوظيفة لاختيارات (س ) قريبة من (1 ) . في الواقع ، يبدو الرسم البياني (f (x) ) نفسه خطيًا محليًا في المنطقة المجاورة مباشرة لـ (x = 1 ).

الشكل ( PageIndex {4} ): بالنسبة لقيم (x ) القريبة من (1 ) ، يبدو أن الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {x} ) وخط المماس الخاص به يتطابقان.

رسميًا ، قد نحدد خط المماس للرسم البياني للدالة على النحو التالي.

التعريف: خط مماس

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في فاصل زمني مفتوح يحتوي على (a ). الخط المماس لـ (f (x) ) عند a هو الخط الذي يمر عبر النقطة ((a، f (a)) ) التي لها منحدر

[m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} label {DefTanA} ]

بشرط وجود هذا الحد.

بالتساوي ، قد نحدد خط الظل إلى (f (x) ) عند a ليكون الخط المار بالنقطة ((a، f (a)) ) التي لها منحدر

[m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} label {DefTanB} ]

بشرط وجود هذا الحد.

مثلما استخدمنا تعبيرين مختلفين لتحديد ميل الخط القاطع ، فإننا نستخدم شكلين مختلفين لتحديد ميل خط المماس. في هذا النص نستخدم كلا الشكلين من التعريف. كما كان من قبل ، سيعتمد اختيار التعريف على الإعداد. الآن وقد حددنا رسميًا خطًا مماسًا لدالة عند نقطة ما ، يمكننا استخدام هذا التعريف لإيجاد معادلات خطوط الظل.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) عند (x = 3. )

حل

أوجد أولًا ميل خط المماس. في هذا المثال ، استخدم المعادلة ref {DefTanA}.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → 3} frac {f (x) −f (3)} {x − 3} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {x → 3} frac {x ^ 2−9} {x − 3} ) عوض (f (x) = x ^ 2 ) و (f (3) = 9 )

(= displaystyle lim_ {x → 3} frac {(x − 3) (x + 3)} {x − 3} = displaystyle lim_ {x → 3} (x + 3) = 6 ) حلل البسط إلى عوامل لإيجاد قيمة النهاية.

بعد ذلك ، أوجد نقطة على خط المماس. نظرًا لأن الخط مماس للرسم البياني لـ (f (x) ) عند (x = 3 ) ، فإنه يمر عبر النقطة ((3، f (3)) ). لدينا (f (3) = 9 ) ، لذلك يمر خط الظل عبر النقطة ((3،9) ).

باستخدام معادلة ميل ونقطة للخط مع المنحدر (م = 6 ) والنقطة ((3،9) ) ، نحصل على السطر (y − 9 = 6 (x − 3) ) . التبسيط ، لدينا (y = 6x − 9 ). يظهر الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) وخطه المماس عند (3 ) في الشكل.

الشكل ( PageIndex {5} ): خط الظل إلى (f (x) ) عند (x = 3 ).

مثال ( PageIndex {2} ): تمت إعادة النظر في منحدر خط الظل

استخدم المعادلة لإيجاد ميل الخط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) عند (x = 3 ).

حل

الخطوات تشبه إلى حد بعيد المثال ( PageIndex {1} ). راجع المعادلة المرجع {DefTanB} للتعرف على التعريف.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (3 + h) −f (3)} {h} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(3 + h) ^ 2−9} {h} ) البديل (f (3 + h) = (3 + h) ^ 2 ) و (و (3) = 9 ).

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {9 + 6h + h ^ 2−9} {h} ) انشر وبسط لإيجاد قيمة النهاية.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {h (6 + h)} {h} = displaystyle lim_ {h → 0} (6 + h) = 6 )

حصلنا على نفس القيمة لمنحدر خط الظل باستخدام التعريف الآخر ، مما يدل على أن الصيغ يمكن تبادلها.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد معادلة خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = 1 / x ) عند (x = 2 ).

حل

يمكننا استخدام المعادلة المرجع {DefTanA} ، ولكن كما رأينا ، فإن النتائج هي نفسها إذا استخدمنا المعادلة المرجع {DefTanB}.

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → 2} frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac { frac {1} {x} - frac {1} {2}} {x − 2} ) البديل (f (x) = frac {1} {x} ) و (f (2) = frac {1} {2} )

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac { frac {1} {x} - frac {1} {2}} {x − 2} ⋅ frac {2x} {2x} ) اضرب البسط والمقام بـ (2x ) لتبسيط الكسور.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(2 − x)} {(x − 2) (2x)} ) بسّط.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {−1} {2x} ) بسّط باستخدام frac {2 − x} {x − 2} = - 1 ) من أجل (x ≠ 2 ) ).

(= - frac {1} {4} ) قم بتقييم الحد.

نحن نعلم الآن أن ميل خط المماس هو (- frac {1} {4} ). لإيجاد معادلة خط المماس ، نحتاج أيضًا إلى نقطة على الخط المستقيم. نعلم أن (f (2) = frac {1} {2} ). نظرًا لأن خط المماس يمر بالنقطة ((2، frac {1} {2}) ) يمكننا استخدام معادلة ميل ونقطة لخط ما لإيجاد معادلة خط الظل. وبالتالي فإن خط المماس له المعادلة (y = - frac {1} {4} x + 1 ). يتم عرض الرسوم البيانية لـ (f (x) = frac {1} {x} ) و (y = - frac {1} {4} x + 1 ) في الشكل.

الشكل ( PageIndex {6} ):يكون الخط مماسًا لـ (f (x) ) عند (x = 2 ).

( PageIndex {1} )

أوجد ميل الخط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {x} ) عند (x = 4 ).

تلميح

استخدم إما المعادلة المرجع {DefTanA} أو المعادلة المرجع {DefTanB}. اضرب البسط والمقام في مرافق.

إجابه

( فارك {1} {4} )

مشتق دالة عند نقطة

نوع الحد الذي نحسبه من أجل العثور على ميل الخط المماس لوظيفة ما عند نقطة ما يحدث في العديد من التطبيقات عبر العديد من التخصصات. وتشمل هذه التطبيقات السرعة والتسارع في الفيزياء ، ووظائف الربح الهامشي في الأعمال التجارية ، ومعدلات النمو في علم الأحياء. يحدث هذا الحد بشكل متكرر لدرجة أننا نعطي هذه القيمة اسمًا خاصًا: المشتق. تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل.

تعريف

لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في فاصل زمني مفتوح يحتوي على (a ). يتم تعريف مشتق الوظيفة (f (x) ) في (a ) ، المشار إليه بواسطة (f ′ (a) ) ، بواسطة

[f ′ (a) = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} label {DefDerA} ]

بشرط وجود هذا الحد.

بدلاً من ذلك ، قد نحدد أيضًا مشتق (f (x) ) في (a ) كـ

[f ′ (a) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} label {DefDerB}].

مثال ( PageIndex {4} ): تقدير مشتق

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2 ) ، استخدم جدولًا لتقدير (f ′ (3) ) باستخدام المعادلة المرجع {DefDerA}.

حل

قم بإنشاء جدول باستخدام قيم (س ) أسفل (3 ) وأعلى بقليل (3 ).

(س ) ( frac {x ^ 2−9} {x − 3} )
2.95.9
2.995.99
2.9995.999
3.0016.001
6.016.01
3.16.1

بعد فحص الجدول ، نرى أن التقدير الجيد هو (f (3) = 6 ).

( PageIndex {2} )

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2 ) ، استخدم جدولًا لتقدير (f ′ (3) ) باستخدام المعادلة المرجع {DefDerB}.

تلميح

تقييم ( frac {(x + h) −x ^ 2} {h} ) في (h = −0.1، −0.01، −0.001،0.001،0.01،0.1 )

إجابه

6

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن مشتق

بالنسبة إلى (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ) ، ابحث عن (f ′ (2) ) باستخدام المعادلة المرجع {DefDerA}.

حل

عوّض بالدالة المعطاة والقيمة مباشرة في المعادلة.

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {x → 2} frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(3x ^ 2−4x + 1) −5} {x − 2} ) عوض (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ) و (و (2) = 5 ).

(= displaystyle lim_ {x → 2} frac {(x − 2) (3x + 2)} {x − 2} ) بسّط وعامل البسط.

(= displaystyle lim_ {x → 2} (3x + 2) ) اختصر العامل المشترك.

(= 8 ) احسب النهاية

مثال ( PageIndex {7} ): إعادة النظر في المشتق

بالنسبة إلى (f (x) = 3x ^ 2−4x + 1 ) ، ابحث عن (f ′ (2) ) باستخدام المعادلة المرجع {DefDerB}.

حل

باستخدام هذه المعادلة ، يمكننا التعويض بقيمتين للدالة في المعادلة ، ويجب أن نحصل على نفس القيمة كما في المثال.

(f ′ (2) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (2 + h) −f (2)} {h} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(3 (2 + h) ^ 2−4 (2 + h) +1) −5} {h} ) البديل (f (2) = 5 ) و (و (2 + س) = 3 (2 + ح) ^ 2−4 (2 + ح) +1 ).

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {3h ^ 2 + 8h} {h} ) بسّط البسط.

(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {h (3h + 8)} {h} ) حلل البسط إلى عوامل.

(= displaystyle lim_ {h → 0} (3h + 8) ) احذف العامل المشترك.

(= 8 ) احسب النهاية.

النتائج هي نفسها سواء استخدمنا المعادلة المرجع {DefDerA} أو المعادلة المرجع {DefDerB}.

( PageIndex {4} )

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2 + 3x + 2 ) ، ابحث عن (f ′ (1) ).

تلميح

استخدم إما المعادلة المرجع {DefDerA} أو المعادلة المرجع {DefDerB} أو جرب كليهما. استخدم مثال ( PageIndex {6} ) أو مثال ( PageIndex {7} ) كدليل.

إجابه

(و ′ (1) = 5 )

سرعات ومعدلات التغيير

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا إيجاد قيمة مشتقة ، يمكننا استخدامها في تطبيقات السرعة. تذكر أنه إذا كان (s (t) ) هو موضع كائن يتحرك على طول محور إحداثيات ، فإن ملف متوسط ​​السرعة من الكائن خلال فترة زمنية ([a، t] ) إذا (t> a ) أو ([t، a] ) إذا تم إعطاء (t

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

نظرًا لأن قيم (t ) تقترب (a ) ، فإن قيم (v_ {ave} ) تقترب من القيمة التي نسميها السرعة اللحظية في (أ ). أي ، السرعة اللحظية عند (أ ) ، يُشار إليها (v (أ) ) ، تُعطى بواسطة

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

لفهم العلاقة بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية بشكل أفضل ، انظر الشكل. في هذا الشكل ، ميل خط الظل (كما هو موضح باللون الأحمر) هو السرعة اللحظية للجسم في الوقت (t = a ) التي يتم تحديد موضعها في الوقت (t ) بواسطة الوظيفة (s (t) ) ). ميل الخط القاطع (كما هو موضح باللون الأخضر) هو متوسط ​​سرعة الجسم خلال الفترة الزمنية ([a ، t] ).

الشكل ( PageIndex {7} ): ميل الخط القاطع هو السرعة المتوسطة على الفاصل ([a، t] ). ميل خط المماس هو السرعة اللحظية.

يمكننا استخدام المعادلة ref {DefDerA} لحساب السرعة اللحظية ، أو يمكننا تقدير سرعة جسم متحرك باستخدام جدول القيم. يمكننا بعد ذلك تأكيد التقدير باستخدام المعادلة.

مثال ( PageIndex {8} ): تقدير السرعة

يتأرجح وزن الرصاص في الزنبرك لأعلى ولأسفل. يتم تحديد موقعها في الوقت (t ) فيما يتعلق بخط أفقي ثابت بواسطة (s (t) = sint ) (الشكل). استخدم جدول القيم لتقدير (v (0) ). تحقق من التقدير باستخدام المعادلة.

الشكل ( PageIndex {8} ): وزن رصاص معلق من زنبرك في حركة تذبذبية رأسية.

حل

يمكننا تقدير السرعة اللحظية عند (t = 0 ) عن طريق حساب جدول متوسط ​​السرعات باستخدام قيم (t ) تقترب (0 ) ، كما هو موضح في الجدول.

(ر ) ( frac {sint − sin0} {t − 0} = frac {sint} {t} )
−0.10.998334166
−0.010.9999833333
−0.0010.999999833
0.0010.999999833
0.010.9999833333
0.10.998334166

متوسط ​​السرعات باستخدام قيم (t ) تقترب من 0

من الجدول ، نرى أن متوسط ​​السرعة على مدار الفترة الزمنية ([- 0.1،0] ) هو (0.998334166 ) ، ومتوسط ​​السرعة خلال الفترة الزمنية ([- 0.01،0] ) هو ( 0.9999833333 ) وما إلى ذلك. باستخدام جدول القيم هذا ، يبدو أن التقدير الجيد هو (v (0) = 1 ).

باستخدام المعادلة المرجع {DefDerA} ، يمكننا رؤية ذلك

(v (0) = s ′ (0) = displaystyle lim_ {t → 0} frac {sint − sin0} {t − 0} = displaystyle lim_ {t → 0} frac {sint} { t} = 1 ).

وبالتالي ، في الواقع ، (v (0) = 1 ).

( PageIndex {5} )

إسقاط صخرة من ارتفاع (64 ) قدمًا. يُعطى ارتفاعه فوق الأرض في وقت لاحق بعد t ثانية بواسطة (s (t) = - 16t ^ 2 + 64،0≤t≤2 ). أوجد سرعتها اللحظية (1 ) ثانية بعد إسقاطها باستخدام المعادلة المرجع {DefDerB}.

تلميح

(v (t) = s ′ (t) ). اتبع الأمثلة السابقة للمشتق باستخدام المعادلة المرجع {DefDerB}.

إجابه

−32 قدم / ثانية

كما رأينا في هذا القسم ، فإن ميل الخط المماس إلى الدالة والسرعة اللحظية هما مفهومان مرتبطان. يتم حساب كل منها عن طريق حساب مشتق ويقيس كل منهما معدل التغيير الفوري لوظيفة ما ، أو معدل تغير دالة في أي نقطة على طول الدالة.

التعريف: معدل التغيير الآني

معدل التغيير اللحظي للدالة (f (x) ) عند قيمة (a ) هو مشتقها (f ′ (a) ).

مثال ( PageIndex {9} ): فتاحة الفصل: تقدير معدل تغيير السرعة

الشكل ( PageIndex {9} ): (الائتمان: تعديل العمل بواسطة Codex41 ، Flickr)

تعد Hennessey Venom GT واحدة من أسرع السيارات في العالم ، حيث تصل سرعتها القصوى إلى (270.49 ) ميل في الساعة. في الاختبارات ، انتقل من (0 ) إلى (60 ) ميل في الساعة في (3.05 ) ثانية ، من (0 ) إلى (100 ) ميل في الساعة (5.88 ) ثانية ، من (0 ) ) إلى (200 ) ميل في الساعة (14.51 ) ثانية ، ومن (0 ) إلى (229.9 ) ميل في الساعة (19.96 ) ثانية. استخدم هذه البيانات لاستخلاص استنتاج حول معدل تغير السرعة (أي معدله التسريع) لأنها تقترب من (229.9 ) ميل في الساعة. هل يبدو أن معدل تسارع السيارة يتزايد أم يتناقص أم ثابتًا؟

الحل: لاحظ أولاً أن (60 ) ميل في الساعة = (88 ) قدم / ثانية ، (100 ) ميل في الساعة ≈ (146.67 ) قدم / ثانية ، (200 ) ميل في الساعة ≈ (293.33 ) قدم / s و (229.9 ) ميل في الساعة ≈ (337.19 ) قدم / ثانية. يمكننا تلخيص المعلومات في جدول.

(ر ) (ت (ر) )
00
3.0588
5.88147.67
14.51293.33
19.96337.19

(v (t) ) بقيم مختلفة لـ (t )

الآن احسب متوسط ​​تسارع السيارة بالأقدام في الثانية على فترات من النموذج ([t، 19.96] ) حيث (t ) يقترب من (19.96 ) ، كما هو موضح في الجدول التالي.

(ر ) ( frac {v (t) −v (19.96)} {t − 19.96} = frac {v (t) −337.19} {t − 19.96} )
0.016.89
3.0514.74
5.8813.46
14.518.05

متوسط ​​التسارع

يتناقص معدل تسارع السيارة مع اقتراب سرعتها من (229.9 ) ميل في الساعة ( (337.19 ) قدم / ثانية).

مثال ( PageIndex {10} ): معدل تغير درجة الحرارة

يضبط صاحب المنزل منظم الحرارة بحيث تبدأ درجة الحرارة في المنزل بالانخفاض من (70 درجة فهرنهايت ) عند (9 ) مساءً ، وتصل إلى (60 درجة ) أثناء الليل ، وترتفع مرة أخرى إلى (70 °) بحلول ​​(7 ) صباح اليوم التالي. افترض أن درجة الحرارة في المنزل مُعطاة بواسطة (T (t) = 0.4t ^ 2−4t + 70 ) لـ (0≤t≤10 ) ، حيث (t ) هو عدد الساعات الماضية (9 مساء أوجد معدل التغير اللحظي لدرجة الحرارة عند منتصف الليل.

حل

نظرًا لأن منتصف الليل هو (3 ) ساعات مضت (9 ) مساءً ، فنحن نريد حساب (T ′ (3) ). راجع المعادلة المرجع {DefDerB}.

(T ′ (3) = displaystyle lim_ {t → 3} frac {T (t) −T (3)} {t − 3} ) طبق التعريف.

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4t ^ 2−4t + 70−61.6} {t − 3} ) البديل (T (t) = 0.4t ^ 2−4t + 70 ) و (T (3) = 61.6 ).

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4t ^ 2−4t + 8.4} {t − 3} ) بسّط.

(= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4 (t − 3) (t − 7)} {t − 3} ) (= displaystyle lim_ {t → 3} frac {0.4 (ر − 3) (ر − 7)} {ر − 3} )

(= displaystyle lim_ {t → 3} 0.4 (t − 7) ) إلغاء.

(= - 1.6 ) احسب النهاية.

معدل التغير اللحظي لدرجة الحرارة عند منتصف الليل هو (- 1.6 درجة فهرنهايت ) في الساعة.

مثال ( PageIndex {11} ): معدل التغيير في الربح

يمكن لشركة الألعاب بيع (x ) أنظمة الألعاب الإلكترونية بسعر (p = −0.01x + 400 ) دولار لكل نظام ألعاب. تُعطى تكلفة تصنيع الأنظمة (x ) بواسطة (C (x) = 100x + 10،000 ) دولار. أوجد معدل التغير في الربح عند إنتاج (10،000 ) لعبة. هل يجب على شركة الألعاب زيادة الإنتاج أم خفضه؟

حل

الربح (P (x) ) المكتسب من خلال إنتاج (x ) أنظمة الألعاب هو (R (x) −C (x) ) ، حيث (R (x) ) هي الإيرادات التي تم الحصول عليها من بيع / (س /) ألعاب. نظرًا لأن الشركة يمكنها بيع (س ) الألعاب بسعر (ع = −0.01x + 400 ) لكل لعبة ،

(R (x) = xp = x (−0.01x + 400) = - 0.01x ^ 2 + 400x ).

بالتالي،

(P (x) = - 0.01x ^ 2 + 300x − 10،000 ).

لذلك ، فإن تقييم معدل التغير في الربح يعطي

(P ′ (10000) = displaystyle lim_ {x → 10000} frac {P (x) −P (10000)} {x − 10000} )

(= displaystyle lim_ {x → 10000} frac {−0.01x ^ 2 + 300x − 10000−1990000} {x − 10000} )

(= displaystyle lim_ {x → 10000} frac {−0.01x ^ 2 + 300x − 2000000} {x − 10000} )

(=100).

بما أن معدل تغير الربح (P (10،000)> 0 ) و (P (10،000)> 0 ) ، يجب على الشركة زيادة الإنتاج.

( PageIndex {6} )

يحدد المقهى أن الربح اليومي على الكعكات التي يتم الحصول عليها عن طريق شحن دولارات لكل قطعة هو (P (s) = - 20s ^ 2 + 150s − 10 ). يتقاضى المقهى حاليًا (3.25 دولارًا ) لكل قطعة خبز. ابحث عن (P ′ (3.25) ) ، معدل تغير الربح عندما يكون السعر (3.25 دولارًا أمريكيًا) وحدد ما إذا كان يجب على المقهى التفكير في رفع أو خفض أسعاره على الكعكات أم لا.

تلميح

استخدم مثال ref {EXrateofchange} ( PageIndex {11} ) للحصول على دليل.

إجابه

(P ′ (3.25) = 20> 0 ) ؛ رفع الأسعار

المفاهيم الرئيسية

  • يقيس ميل خط المماس للمنحنى معدل التغير اللحظي للمنحنى. يمكننا حسابه بإيجاد حد حاصل الفرق أو حاصل الفرق بالزيادة (ح ).
  • تم العثور على مشتق دالة (f (x) ) بقيمة (a ) باستخدام أي من تعريفات ميل خط الظل.
  • السرعة هي معدل تغيير الموقف. على هذا النحو ، فإن السرعة (v (t) ) في الوقت (t ) هي مشتق من الموضع (s (t) ) في الوقت (t ). يتم إعطاء متوسط ​​السرعة بواسطة

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

يتم إعطاء السرعة اللحظية بواسطة

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} ).

  • قد نقدر المشتق باستخدام جدول القيم.

المعادلات الرئيسية

  • حاصل الفرق

(Q = frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

  • حاصل الفرق مع الزيادة h

(Q = frac {f (a + h) −f (a)} {a + h − a} = frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • منحدر خط المماس

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

(m_ {tan} = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • مشتق من f (x) في a

(f ′ (a) = displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

(f ′ (a) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (a + h) −f (a)} {h} )

  • متوسط ​​السرعة

(v_ {ave} = frac {s (t) −s (a)} {t − a} )

  • السرعة اللحظية

(v (a) = s ′ (a) = displaystyle lim_ {t → a} frac {s (t) −s (a)} {t − a} )

قائمة المصطلحات

المشتق
منحدر خط المماس إلى دالة عند نقطة ما ، محسوبًا بأخذ حد حاصل الفرق ، هو المشتق
حاصل الفرق

للدالة (f (x) ) في (a ) بواسطة

( frac {f (a + h) −f (a)} {h} ) أو ( frac {f (x) −f (a)} {x − a} )

التفاضل
عملية أخذ المشتق
معدل التغيير اللحظي
معدل تغيير الوظيفة في أي نقطة على طول الوظيفة (أ ) ، وتسمى أيضًا (و ′ (أ) ) ، أو مشتق الوظيفة في (أ )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: رياضيات - تفاضل وتكامل- تعريف المشتقة- حساب المشتقة باستخدام التعريف (ديسمبر 2021).