مقالات

5.13: تحويل رقم عشري مع تكرار الكسور العشرية إلى رقم نسبي


5.13: تحويل رقم عشري مع تكرار الكسور العشرية إلى رقم نسبي

العدد المنطقي في صورة كسر

تكتب هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت الرقم المنطقي في صورة كسر (نسبة عددين صحيحين) ، باستخدام صيغة التسلسل الهندسي اللانهائي.

هذا المحتوى مرخص بموجب Creative Commons Attribution / Share-Alike License 3.0 (Unported). هذا يعني أنه يمكنك إعادة توزيع هذا المحتوى أو تعديله بحرية بموجب نفس شروط الترخيص ويجب أن تنسب المؤلف الأصلي عن طريق وضع ارتباط تشعبي من موقعك لهذا العمل https://planetcalc.com/8305/. ويرجى أيضًا عدم تعديل أي إشارات إلى العمل الأصلي (إن وجد) المتضمن في هذا المحتوى.

عندما تبدأ في تعلم التسلسلات الهندسية ، قد تصادف مشكلة تمت صياغتها على النحو التالي:

اكتب العدد المنطقي 0.58333. كنسبة عددين صحيحين.

بالطبع ، في هذا المثال ، يُطلب منا تحويل a تكرار عشري لكسر. في الواقع ، يتطلب حل هذه المشكلة صيغة المتسلسلة الهندسية اللانهائية. تستخدم هذه الآلة الحاسبة هذه الصيغة لمعرفة البسط والمقام للعدد العشري المكرر المحدد. الحل والصيغ موصوفة أسفل الآلة الحاسبة.

لاحظ أنه في المشكلة أعلاه ، يتم تمثيل العلامة العشرية المتكررة بشكل غير رسمي بواسطة علامة حذف (ثلاث فترات). يوجد في الواقع العديد من الاصطلاحات الترميزية لتمثيل الكسور العشرية المتكررة ، ولكن لم يتم قبول أي منها عالميًا. على سبيل المثال ، في الولايات المتحدة ، يكون الترميز خطًا أفقيًا (مقال) فوق الأرقام المكررة ، وفي بعض أجزاء أوروبا ، يكون التدوين هو وضع الأرقام المكررة بين قوسين. تدعم الآلة الحاسبة طريقتين لإدخال الرقم العشري المتكرر: 0.58333. و 0.58 (3)

العدد المنطقي كنسبة بين عددين صحيحين

تكرار العلامة العشرية

على حد تعبير ويكيبيديا ، 1 أ التكرار أو تكرار عشري هو تمثيل عشري لرقم تكون أرقامه دورية (تكرار قيمه على فترات منتظمة) والجزء المكرر بلا حدود ليس صفرًا. يسمى تسلسل الأرقام المكرر بلا حدود بـ كرر أو ريبتيند. إذا كان التكرار صفرًا ، فإن هذا التمثيل العشري يسمى رقم عشري نهائي ، وليس رقمًا عشريًا متكررًا. يمكن إثبات أن الرقم منطقي إذا ، وفقط إذا كان تمثيله العشري يتكرر أو ينتهي (أي يحتوي على كمية محدودة من الأرقام أو يبدأ في تكرار تسلسل محدود من الأرقام). والعدد الكسري ، حسب التعريف ، هو أي رقم يمكن التعبير عنه في صورة حاصل القسمة أو الكسر p / q من عددين صحيحين ، والبسط p والمقام غير الصفري q.

إذا كان لدينا عدد عشري إنهاء ، فيمكننا استخدام محول الكسر إلى العشري ومن الكسر العشري إلى الكسر. في حالة تكرار الكسر العشري ، يصبح الحساب أكثر تعقيدًا. وهنا لدينا متواليات هندسية للمساعدة. دعنا نستخدم المثال أعلاه ونحول الرقم المنطقي (نعلم أنه منطقي لأن تمثيله العشري يتكرر) 0.58333. إلى كسر باستخدام معرفتنا بالتسلسلات الهندسية.

لنقدم رقمنا المنطقي مثل هذا:

يمكن اعتبار الأرقام ، وما إلى ذلك ، على أنها شروط المتسلسلة الهندسية ، حيث الحد الأول هو 0.003 ، والنسبة المشتركة هي 0.1.

في الواقع ، وفقًا لصيغة الحد n من المتتابعة الهندسية: لدينا

لاحظ أن هذه هي شروط المتسلسلة الهندسية اللانهائية التي تتقارب ، لأن القيمة المطلقة لنسبة مشتركة أقل من واحد. صيغة الجمع للسلسلة اللانهائية المتقاربة هي

وهكذا ، لدينا مشكلتنا

يمكننا الجمع ثم التبسيط ، مع العلم أن المضاعف المشترك الأصغر لـ 50 و 300 هو 300 ، وأكبر قاسم مشترك للعددين 175 و 300 هو 25


عدد عشري؟ [ تعديل ]

هل نتحدث عن المبررات فقط؟ ماذا عن 3.14159265. --Ledrug 06:36 ، 12 يونيو 2011 (التوقيت العالمي المنسق)

حسنًا ، إذا كان بإمكانك التعبير عنها كتوسيع عشري محدود. & # 160 :-)
--Paddy3118 11:44 ، 12 يونيو 2011 (بالتوقيت العالمي المنسق) من المفترض أننا نعمل فقط على الدقة (أو الدقة المزدوجة) لسجلات النظام ، (أو لعدد الأرقام المقدمة في الأصل في عمليات التنفيذ القائمة على السلسلة الرقمية) ، وبالتالي فإن القيم سيكون كل شيء عقلاني. --Markhobley 12:28 ، 12 يونيو 2011 (UTC) يسجل النظام؟ دقة مزدوجة؟ أنا لا أعرف أي شيء يسجل أو يتضاعف بأي حال من الأحوال ، الآن. لغة REXX (على سبيل المثال) لا تستخدم الفاصلة العائمة ولا التسجيلات. إنها تستخدم أي دقة سارية المفعول ، ويمكن زيادتها إلى أي شيء عملي تقريبًا (ثمانية ملايين رقم هي حول الحد المفيد). - جيرارد شيلدبرجر 19:23 ، 13 أغسطس 2012 (بالتوقيت العالمي المنسق) التعاريف: العقلانية - الأرقام الحقيقية القابلة للبناء كنسبة من A / B ، حيث A و B كلاهما عدد صحيح. اللاعقلانية - الأعداد الحقيقية التي لا يمكن التعبير عنها بهذه النسبة. تتطابق مجموعة المبررات المنطقية تمامًا مع مجموعة الأرقام ذات التوسعات العشرية التي إما تنتهي (أي طول ثابت) ، أو تصبح دورية (أي كتابتها بشريط فوق آخر N من الأرقام). تتطابق مجموعة القيم غير المنطقية تمامًا مع مجموعة الأرقام ذات التوسعات العشرية التي لا تنتهي ولا تصبح دورية. لذلك ، لا توجد طريقة لوضع رقم غير منطقي في الكود الخاص بك كرقم عشري ، حتى لو كان بإمكانك أيضًا تحديد عدد الأرقام المتكررة. يمكنك * قول PI أو sqrt (2) في معظم اللغات ، ولكن ما تحصل عليه من هذين الإصدارين هو أكبر إصدار عشري (مبتور) يتناسب مع تمثيل الفاصلة العائمة. لتلخيص ، IMHO ، * نعم * ، فقط المبررات المنطقية لهذه المهمة. - حتى 14:49 ، 12 يونيو 2011 (بالتوقيت العالمي المنسق) جيد ، أردت فقط توضيح ما إذا كانت المهمة تتحدث عن تعويم دقة الآلة أو أي أرقام حقيقية مفاهيمية ، لأن تحديد "أفضل تقريب" للغير منطقي سيجعلها أكثر بكثير معقد. --Ledrug 22:01 ، 12 يونيو 2011 (بالتوقيت العالمي المنسق) باه ، لقد طبقت أفضل طريقة تقريب على أي حال ، الكسور المكونة من 10 أرقام غير مجدية. يحتاج مؤلف المهمة حقًا إلى توضيح ما كان يدور في ذهنه. --ليدروج 01:22 ، 13 يونيو 2011 (التوقيت العالمي المنسق)


4 إجابات 4

احتاج الرمز الخاص بك فقط إلى بعض التغييرات الطفيفة (انظر التعليقات أدناه):

أعتقد أن الخطأ هو أنه يجب عليك فقط التحقق مما إذا كان عدد المنازل العشرية التي تمت رؤيتها مسبقًا هو رقم طول الدورة وتم رؤيته قبل هذا الطول.

أعتقد أن أفضل طريقة للقيام بذلك هي استخدام بعض الرياضيات الجيدة.

لنحاول إيجاد طريقة لإيجاد التمثيل العشري للكسور وكيفية معرفة متى سيكون هناك تكرار الكسور العشرية.

أفضل طريقة لمعرفة ما إذا كان الكسر سينتهي (أو يتكرر) هو النظر إلى عامل (مشكلة صعبة) للمقام.

توجد طرق عديدة لإيجاد التحليل إلى عوامل ، ولكن ما نريد معرفته حقًا هو ، هل يحتوي هذا الرقم على عامل أولي بخلاف 2 أو 5. لماذا؟ حسنًا ، التوسع العشري هو مجرد رقم أ / 10 * ب. ربما 1/2 = .5 = 5/10. 1/20 = .05 = 5/100. إلخ.

لذا فإن عوامل 10 هي 2 و 5 ، لذلك نريد معرفة ما إذا كان لها أي عوامل أخرى بخلاف 2 و 5. مثالي ، هذا سهل ، فقط استمر في القسمة على 2 حتى لا تقبل القسمة على 2 بعد الآن ، كما تفعل مع نفس الشيء مع 5. أو العكس.

أولاً ، قد نرغب في معرفة ما إذا كانت قابلة للقسمة على 2 أو 5 قبل أن نبدأ في القيام ببعض الأعمال الجادة.

ثم نقسم كل الخمسات ثم كل الثنائيات ونتحقق مما إذا كان الرقم 1

لقد جعلت هذا أكثر تعددًا قليلاً حتى تتمكن من تغيير هذا إذا كنت تريد تغيير القاعدة. (كل ما تحتاجه هو عوامل تلك القاعدة ، على سبيل المثال في الأساس 14 تقوم بتحديد 2 و 7 بدلاً من 2 و 5)

كل ما تبقى الآن هو معرفة ما نفعله في حالة الكسور غير المنتهية / المتكررة.

الآن هذه نظرية الأعداد الفائقة مليئة ، لذا سأتركك مع الخوارزمية وأسمح لك بتحديد ما إذا كنت تريد معرفة المزيد على mathforum.org أو wolfram alpha

الآن يمكننا بسهولة معرفة ما إذا كان الكسر سينتهي أم لا ، فما هو طول دورة الأرقام المتكررة. كل ما تبقى الآن هو إيجاد الدورة أو عدد الأرقام التي ستبدأ بها.

في بحثي عن خوارزمية فعالة ، وجدت هذا المنشور على https://softwareengineering.stackexchange.com/ والذي يجب أن يكون مفيدًا.

بعض البصيرة العظيمة - "عندما يتم توسيع رقم منطقي m / n مع (m ، n) = 1 ، تبدأ الفترة بعد حدود s وطولها t ، حيث s و t هما أصغر رقمين مرضيين

كل ما علينا فعله هو إيجاد s و t:

لنقم بتوليد أرقام التوسع

الآن كن حذرًا بشأن استخدام هذا لأنه سيخلق حلقة لا نهائية في توسيع متكرر (كما ينبغي).

أعتقد الآن أن لدينا جميع الأدوات اللازمة لكتابة وظيفتنا:

الآن كل ما تبقى هو طباعتها ، لا ينبغي أن يكون ذلك سيئًا للغاية. سأقوم أولاً ببناء دالة تأخذ قائمة الأرقام إلى سلسلة:


التعبير عن العشرات كأرقام منطقية

يمكننا التعبير عن إنهاء الكسور العشرية وتكرارها كأرقام نسبية.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لفهم كيفية التعبير عن الكسور العشرية كأرقام منطقية. & # xa0 & # xa0

اكتب 0.825 على شكل كسر في أبسط صورة. & # xa0

العلامة العشرية 0.825 تعني "825 جزء من الألف". اكتب هذا في صورة كسر.

لكتابة "825 جزء من الألف" ، ضع 825 على 1000.

ثم بسط الكسر.

كلا 825 و 1000 هما مضاعفات الرقم 25. لذا اقسم كل من البسط والمقام على 25.

إذن ، الكسر الذي يساوي 0.825 هو 33/40.

اكتب 0.12 العشري على شكل كسر في أبسط صورة. & # xa0

الرقم العشري 0.12 يعني "12 جزءًا من مائة". اكتب هذا في صورة كسر.

لكتابة "12 جزء من مائة" ، ضع 12 على 100.

ثم بسط الكسر.

كل من 12 و 100 هما من مضاعفات الرقم 4. لذا اقسم كلًا من البسط والمقام على 4.

إذن ، الكسر الذي يساوي 0.12 هو 3/25.

حوّل الكسر العشري المكرر التالي إلى كسر & # xa0

هنا ، عدد الأرقام المكررة = 2. لذا علينا ضرب 100 في كلا الطرفين.

1 00x - x & # xa0 = & # xa0 (47.4747.) - (0.4747.)

إذن ، الكسر يساوي & # xa0 0.474747. & # xa0is 47/99.

حوّل الكسر العشري المكرر التالي إلى كسر & # xa0

هنا ، عدد الأرقام المكررة = 1. لذا علينا ضرب 10 في كلا الطرفين.

اضرب البسط والمقام في 10.

إذن ، الكسر يساوي & # xa0 0.57777. & # xa0is 26/45.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


تلميح $ $ ضع في اعتبارك ما يعنيه أن يكون لـ $ rm 0 & lt alpha & lt 1 $ توسع عشري دوري:

وبالتالي ، لإثبات أن $ rm ، alpha ، $ يحتوي على مثل هذا التوسع الدوري ، يكفي العثور على $ rm ، k، n ، $ كما هو مذكور أعلاه ، أي أن $ rm ، (10 ^ k-1) ، 10 ^ n ، $ بمثابة مقام لـ $ rm ، alpha. ، $ Put $ rm ، alpha ، = a / b ، ، $ و $ rm ، b = 2 ^ i ، 5 ^ j ، d، ، $ حيث $ rm ، 2،5 ، n منتصف d ،. ، $ اختيار $ rm ، n ، & gt ، i، ، j ، $ يضمن أن $ rm ، 10 ^ n ، alpha ، $ لا يحتوي على عوامل $ rm ، 2 ، $ أو $ rm ، 5 ، $ في قاسمها. ومن ثم يبقى العثور على بعض $ rm ، k ، $ مثل أن $ rm ، 10 ^ k-1 ، $ سيلغي العامل المتبقي $ rm ، d ، $ في المقام ، أي مثل $ rm ، d ، | ، 10 ^ k-1 ، ، $ أو $ rm ، 10 ^ k equiv 1 pmod ،. ، $ بما أن $ rm ، 10 ، $ هو coprime إلى $ rm ، d ، ، $ بواسطة نظرية أويلر-فيرما ، قد نختار $ rm ، k = phi (d) ، ، $ الذي يكمل رسم الإثبات. للعكس ، انظر هذه الإجابة.

تذكر أنه في القسمة المطولة ، يحصل المرء على الباقي في كل خطوة: $ start & أمبير & أمبير & أمبير 0 & أمبير. & amp 2 & amp 2 & amp 7 & amp 2 hline 22 & amp) & amp 5 & amp. & amp. & amp & amp & amp & amp ؛ amp & amp ؛ amp & amp ؛ amp 1 & amp ؛ amp 6 & amp 0 & amp & amp & amp ؛ amp 1 & amp 5 & amp 4 & amp & amp & amp ؛ amp & amp & amp & amp & amp ؛ amp & amp 6 & amp 0 & amp يسار السهم & أمبير نهاية 6 دولارات هي الباقي. الباقي التالي هو 16. ثم التالي هو 6. هذا يعيدنا إلى حيث كنا في خطوة سابقة: قسمة 60 على 22. علينا الحصول على نفس الإجابة التي حصلنا عليها في المرة السابقة. ومن ثم لدينا تكرار "27". الإجابة هي .2272727 overline <27> ldots $ ، حيث يتم تكرار "27".

السؤال إذن هو: لماذا يجب أن نعود دائمًا إلى الباقي الذي رأيناه سابقًا؟ الجواب هو أن الباقي الوحيد الممكن هو ، 1 ، 2 ، 3 ، ldots ، 21 $ (إذا كان $ 22 $ هو ما نقسم عليه) وهناك عدد محدود فقط. إذا حصلنا على 0 ، تنتهي العملية. إذا لم نحصل أبدًا على 0 ، فلدينا 21 احتمالًا فقط ، لذا يمكننا السير في 21 خطوة على الأكثر دون رؤية واحدة رأيناها من قبل. بمجرد أن نحصل على واحد رأيناه من قبل ، يبدأ التكرار.


عندما يتم تمثيل كسر على أنه رقم عشري ، يمكن أن يتخذ شكل رقم عشري نهائي على سبيل المثال:

أو رقم عشري متكرر على سبيل المثال ،

19/70 = 0.2 714285 و 1/6 = 0.1 6

يتم عرض الشريط الموضح أعلاه فوق العنصر المكرر للسلسلة العددية. يُعرف هذا باسم التكرار. قد ترغب في تحويل كسر إلى عدد عشري لجعل جمع وطرح الكميات أكثر وضوحًا. ومع ذلك ، فمن الشائع أن تواجه عددًا عشريًا متكررًا في الرياضيات العملية عند تحويل الكسور إلى نسب مئوية أو أعداد عشرية ، وهذا يقلل من دقة الحساب.

يمكنك إرجاع الكسر العشري إلى الكسر الأصلي باتباع الخطوات الموضحة أدناه. ومع ذلك ، إذا كنت ترغب في جعل الحياة أسهل قليلاً ، فاستخدم حاسبة التحويل العشري إلى الكسر بدلاً من ذلك.

الخطوة 1: افصل الجزء غير المتكرر من العلامة العشرية عن الجزء المكرر. على سبيل المثال ، لنفترض أنك أردت تحويل ما يلي إلى كسر:

يتم وضع الشريط فوق الجزء غير المتكرر من العلامة العشرية. على هذا النحو ، يجب أن تفصل 321 عن 0708.

الخطوة 2: سجل الجزء غير المتكرر من الكسر العشري على قوة 10 تتضمن عددًا من الأصفار كما هو الحال في الجزء غير المتكرر من الكسر العشري (بما في ذلك أي أصفار). على سبيل المثال ، نظرًا لأن 321 يتكون من ثلاثة أرقام ، فإننا نمثل الكسر على أنه 321/1000.

الخطوه 3: سجل التكرار على أي عدد من التسعات حيث توجد أرقام في هذا التكرار (مرة أخرى ، بما في ذلك أي أصفار). على سبيل المثال ، نظرًا لأن 0708 يتكون من أربعة أرقام ، يتم تمثيله بالرقم 0708/9999. بعد ذلك ، اقسم هذا الكسر على قوة 10 المطبقة في الخطوة 2. على سبيل المثال ، نظرًا لأننا طبقنا 1000 في الخطوة الثانية ، نحسب ما يلي: (0708/9999) / 1000 = 0708/9999000 = 708/9999000.

الخطوة الرابعة: اجمع الكسرين اللذين تم تكوينهما في الخطوة 2 و 3 على التوالي (وفقًا لقواعد جمع الكسور ، تأكد من منحهم مقامًا مشتركًا). على سبيل المثال:

الخطوة الخامسة: قلل الكسر الذي تم إنشاؤه في الخطوة 4. على سبيل المثال ، يمكن قسمة كل من 3210387 و 9999000 على 3. على هذا النحو ، نقسم البسط والمقام على 3 لإنتاج ما يلي:

هذا هو الكسر المكافئ لـ 0.321 0708.


الاختصارات العشرية المراد معرفتها

هناك بعض الكسور العشرية التي من الجيد معرفتها كاختصارات ، سواء بالنسبة للتحويلات من جزء إلى عشري أو للتحويلات من جزء إلى نسبة مئوية. هؤلاء هم:

  • 1/2 = 0.5
  • 1/3 = 0.33333333333333333333333333…
  • 2/3 = 0.66666666666666666666666666…
  • 1/4 = 0.25
  • 3/4 = 0.75
  • 1/5 = 0.2 (وضربات 2 و 3 و 4 للأرقام العشرية السهلة الأخرى)
  • 1/6 = 0.166666666666666666666666666….
  • 5/6 = 0.833333333333333333333333333…
  • 1/8 = 0.125
  • 1/9 = 0.111111111111111111111111111 ... (وضرب في الأرقام الأخرى للأرقام العشرية السهلة الأخرى)
  • 1/11 = 0.09090909090909090909090909 ... (وضرب في الأرقام الأخرى للأرقام العشرية السهلة الأخرى)

تحرير التدوين

هناك العديد من الاصطلاحات الترميزية لتمثيل الكسور العشرية المتكررة. لا يتم قبول أي منهم عالميا.

  • في الولايات المتحدة ، وكندا ، والهند ، وفرنسا ، وألمانيا ، وسويسرا ، وتشيكيا ، وسلوفاكيا ، تقضي الاتفاقية برسم خط أفقي (خط جانبي) فوق التكرار. (انظر الأمثلة في الجدول أدناه ، العمود الفينيقيس.)
  • في المملكة المتحدة ونيوزيلندا وأستراليا والهند وكوريا الجنوبية والبر الرئيسي للصين ، تقضي الاتفاقية بوضع النقاط فوق الأرقام الخارجية للتكرار. (انظر الأمثلة في الجدول أدناه ، العمود النقاط.)
  • في أجزاء من أوروبا وفيتنام وروسيا ، ستضع الاتفاقية التكرار بين قوسين. (انظر الأمثلة في الجدول أدناه ، العمود الأقواس.) يمكن أن يسبب هذا التباسًا مع تدوين عدم اليقين القياسي.
  • في إسبانيا وبعض دول أمريكا اللاتينية ، يتم أيضًا استخدام التدوين القوسي فوق التكرار كبديل للتدوين النمطي والنقاط. (انظر الأمثلة في الجدول أدناه ، العمود Arc.)
  • بشكل غير رسمي ، غالبًا ما يتم تمثيل الكسور العشرية المتكررة بحذف (ثلاث فترات ، 0.333.) ، خاصةً عندما يتم تدريس الاصطلاحات الترميزية السابقة لأول مرة في المدرسة. يقدم هذا الترميز عدم اليقين فيما يتعلق بالأرقام التي يجب تكرارها وحتى ما إذا كان التكرار يحدث على الإطلاق ، حيث يتم استخدام هذه العلامات الناقصة أيضًا للأرقام غير المنطقية π ، على سبيل المثال ، يمكن تمثيلها كـ 3.14159.

في اللغة الإنجليزية ، توجد طرق مختلفة لقراءة تكرار الكسور العشرية بصوت عالٍ. على سبيل المثال ، يمكن قراءة 1.2 34 كالتالي "واحد فاصل اثنان يكرر ثلاثة أربعة" ، "واحد فاصل اثنين يتكرر ثلاثة أربعة" ، "واحد فاصل اثنان متكرر ثلاثة أربعة" ، "واحد فاصل اثنان يتكرر ثلاثة أربعة" أو "واحد فاصل اثنان في اللانهاية ثلاثة أربعة ".

التوسع العشري وتسلسل التكرار تحرير

الخ. لاحظ أنه في كل خطوة لدينا باقي الباقي المتتالي المعروض أعلاه هو 56 ، 42 ، 50. عندما نصل إلى 50 على أنها الباقي ، ونكتب "0" ، نجد أنفسنا نقسم 500 على 74 ، وهو نفس المشكلة التي بدأنا بها. لذلك ، يتكرر الرقم العشري: 0.0675 675675.

كل رقم منطقي هو إما تحرير عشري نهائي أو متكرر

بالنسبة لأي قاسم معين ، يمكن أن تحدث الباقي بشكل محدود فقط. في المثال أعلاه ، الـ 74 المتبقية المحتملة هي 0 ، 1 ، 2 ،. 73. إذا كان الباقي في أي نقطة في القسمة يساوي صفرًا ، ينتهي التمدد عند هذه النقطة. ثم يتم تحديد طول التكرار ، والذي يُطلق عليه أيضًا "الفترة" ، ليكون 0.

إذا لم يحدث 0 كبقية ، فستستمر عملية القسمة إلى الأبد ، وفي النهاية ، يجب أن يحدث الباقي الذي حدث من قبل. ستنتج الخطوة التالية في القسمة نفس الرقم الجديد في حاصل القسمة ، ونفس الباقي الجديد ، كما في المرة السابقة كان الباقي كما هو. لذلك ، فإن القسمة التالية ستكرر نفس النتائج. يُطلق على التسلسل المتكرر للأرقام "التكرار" الذي له طول معين أكبر من 0 ، ويُطلق عليه أيضًا "فترة". [4]

كل فاصلة عشرية مكررة أو نهائية هي رقم نسبي تحرير

0 ، 0 ، 1 ، 0 ، 0 ، 1 ، 6 ، 0 ، 1 ، 0 ، 2 ، 1 ، 6 ، 6 ، 1 ، 0 ، 16 ، 1 ، 18 ، 0 ، 6 ، 2 ، 22 ، 1 ، 0 ، 6 ، 3 ، 6 ، 28 ، 1 ، 15 ، 0 ، 2 ، 16 ، 6 ، 1 ، 3 ، 18 ، 6 ، 0 ، 5 ، 6 ، 21 ، 2 ، 1 ، 22 ، 46 ، 1 ، 42 ، 0 ، 16 ، 6 ، 13 ، 3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 28 ، 58 ، 1 ، 60 ، 15 ، 6 ، 0 ، 6 ، 2 ، 33 ، 16 ، 22 ، 6 ، 35 ، 1 ، 8 ، 3 ، 1 ، . (تسلسل A051626 في OEIS).

0 ، 0 ، 3 ، 0 ، 0 ، 6 ، 142857 ، 0 ، 1 ، 0 ، 09 ، 3 ، 076923 ، 714285 ، 6 ، 0 ، 0588235294117647 ، 5 ، 052631578947368421 ، 0 ، 047619 ، 45 ، 0434782608695652173913 ، 6 ، 0 ، 384615 ، 037 ، 571428 ، 0344827586206896551724137931 ، 3 ،. (تسلسل A036275 في OEIS).

0 ، 1 ، 0 ، 6 ، 2 ، 6 ، 16 ، 18 ، 22 ، 28 ، 15 ، 3 ، 5 ، 21 ، 46 ، 13 ، 58 ، 60 ، 33 ، 35 ، 8 ، 13 ، 41 ، 44 ، 96 ، 4 ، 34 ، 53 ، 108 ، 112 ، 42 ، 130 ، 8 ، 46 ، 148 ، 75 ، 78 ، 81 ، 166 ، 43 ، 178 ، 180 ، 95 ، 192 ، 98 ، 99 ، 30 ، 222 ، 113 ، 228 ، 232 ، 7 ، 30 ، 50 ، 256 ، 262 ، 268 ، 5 ، 69 ، 28 ،. (تسلسل A002371 في OEIS).

3 ، 11 ، 37 ، 101 ، 41 ، 7 ، 239 ، 73 ، 333667 ، 9091 ، 21649 ، 9901 ، 53 ، 909091 ، 31 ، 17 ، 2071723 ، 19 ، 1111111111111111111 ، 3541 ، 43 ، 23 ، 11111111111111111111111 ، 99990001 ، 21401 ، 859 ، 757 ، 29 ، 3191 ، 211 ،. (تسلسل A007138 في OEIS).

7 ، 3 ، 103 ، 53 ، 11 ، 79 ، 211 ، 41 ، 73 ، 281 ، 353 ، 37 ، 2393 ، 449 ، 3061 ، 1889 ، 137 ، 2467 ، 16189 ، 641 ، 3109 ، 4973 ، 11087 ، 1321 ، 101 ، 7151 ، 7669 ، 757 ، 38629 ، 1231 ،. (تسلسل A054471 في OEIS).

1 ، 2 ، 1 ، 4 ، 2 ، 3 ، 1 ، 6 ، 4 ، 10 ، 2 ، 12 ، 3 ، 4 ، 1 ، 8 ، 6 ، 18 ، 4 ، 6 ، 10 ، 11 ، 2 ، 20 ، 12 ، 18 ، 3 ، 28 ، 4 ، 5 ، 1 ، 10 ، 8 ، 12 ، 6 ، 36 ، 18 ، 12 ، 4 ، 20 ، 6 ، 14 ، 10 ، 12 ، 11 ،. (تسلسل A007733 في OEIS).

القاعدة 10 المتكررة لمقلوب أي عدد أولي أكبر من 5 قابلة للقسمة على 9. [5]

تعديل الأرقام الدورية

أمثلة على الكسور التي تنتمي إلى هذه المجموعة هي:

  • 1/7 = 0. 142857 ، 6 أرقام مكررة
  • 1/17 = 0. 0588235294117647 ، 16 رقمًا مكررًا
  • 1/19 = 0. 052631578947368421 ، 18 رقمًا مكررًا
  • 1/23 = 0. 0434782608695652173913 ، 22 رقمًا مكررًا
  • 1/29 = 0. 0344827586206896551724137931 ، 28 رقمًا مكررًا
  • 1/47 = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 ، 46 رقمًا مكررًا
  • 1/59 = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 ، 58 رقمًا مكررًا
  • 1/61 = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 ، 60 رقمًا مكررًا
  • 1/97 = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 ، 96 رقمًا مكررًا

كل سليم مضاعف العدد الدوري (أي ، مضاعف له نفس عدد الأرقام) هو دوران:

  • 1 / 7 = 1 × 0.142857. = 0.142857.
  • 2 / 7 = 2 × 0.142857. = 0.285714.
  • 3 / 7 = 3 × 0.142857. = 0.428571.
  • 4 / 7 = 4 × 0.142857. = 0.571428.
  • 5 / 7 = 5 × 0.142857. = 0.714285.
  • 6 / 7 = 6 × 0.142857. = 0.857142.

61 ، 131 ، 181 ، 461 ، 491 ، 541 ، 571 ، 701 ، 811 ، 821 ، 941 ، 971 ، 1021 ، 1051 ، 1091 ، 1171 ، 1181 ، 1291 ، 1301 ، 1349 ، 1381 ، 1531 ، 1571 ، 1621 ، 1741 ، 1811 ، 1829 ، 1861 (تسلسل A073761 في OEIS).

الشرط هو عدد أولي مناسب إذا وفقط إذا كان عددًا أوليًا كاملًا ومتطابقًا مع 1 mod 10.

7 ، 23 ، 47 ، 59 ، 167 ، 179 ، 263 ، 383 ، 503 ، 863 ، 887 ، 983 ، 1019 ، 1367 ، 1487 ، 1619 ، 1823 (تسلسل A000353 في OEIS).

المعاملة بالمثل الأخرى للأعداد الأولية تحرير

بعض المعاملات المتبادلة للأعداد الأولية التي لا تولد أرقامًا دورية هي:

  • 1/3 = 0. 3 ، والتي لها فترة (طول متكرر) من 1.
  • 1/11 = 0. 09 ، والتي لها فترة 2.
  • 1/13 = 0. 076923 والتي لها فترة 6.
  • 1/31 = 0. 032258064516129 ولها فترة 15.
  • 1/37 = 0. 027 ، والتي لها فترة 3.
  • 1/41 = 0. 02439 ، والتي لها فترة 5.
  • 43/1 = 0. 023255813953488372093 والتي تبلغ مدتها 21.
  • 1/53 = 0. 0188679245283 ولها فترة 13.
  • 1/67 = 0. 014925373134328358208955223880597 والتي تبلغ مدتها 33.

ثم عن طريق الفحص ، ابحث عن التكرار 09 والفترة 2.

  • 1 / 13 = 0.076923.
  • 10 / 13 = 0.769230.
  • 9 / 13 = 0.692307.
  • 12 / 13 = 0.923076.
  • 3 / 13 = 0.230769.
  • 4 / 13 = 0.307692.

حيث يكون تكرار كل جزء إعادة ترتيب دورية لـ 076923. المجموعة الثانية هي:

  • 2 / 13 = 0.153846.
  • 7 / 13 = 0.538461.
  • 5 / 13 = 0.384615.
  • 11 / 13 = 0.846153.
  • 6 / 13 = 0.461538.
  • 8 / 13 = 0.615384.

حيث يكون تكرار كل جزء إعادة ترتيب دورية لـ 153846.

بشكل عام ، مجموعة المضاعفات المناسبة لمقلوب الشرطة ص يتكون من ن مجموعات فرعية ، كل منها بطول متكرر ك، أين nk = ص − 1.

تحرير القاعدة الكاملة

الفترة (طول التكرار) إل(49) يجب أن يكون عاملاً من λ(49) = 42 أين λ(ن) تُعرف بوظيفة كارمايكل. هذا يتبع من نظرية كارمايكل التي تنص على أنه إذا ن إذن هو عدد صحيح موجب λ(ن) هو أصغر عدد صحيح م مثل ذلك

لكل عدد صحيح أ هذه هي جريمة ن.

119 = 7 × 17 λ(7 × 17) = م م ع (λ(7), λ(17)) = المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 16) = 48 ،

لو ص, ف, ص، وما إلى ذلك ، هي الأعداد الأولية بخلاف 2 أو 5 ، و ك, ل, م، وما إلى ذلك هي أعداد صحيحة موجبة ، إذن

هو عدد عشري متكرر بنقطة

العدد الصحيح الذي لا يمثل جريمة مشتركة إلى 10 ولكن له عامل أولي غير 2 أو 5 له مقلوب يكون دوريًا في النهاية ، ولكن مع تسلسل غير متكرر من الأرقام التي تسبق الجزء المكرر. يمكن التعبير عن المعاملة بالمثل على النحو التالي:

أين أ و ب كلاهما ليس صفرًا.

يمكن أيضًا التعبير عن هذا الكسر على النحو التالي:

لو أ & GT ب، أو مثل

لو ب & GT أ، أو مثل

  • عابر مبدئي بحد أقصى (أ, ب) بعد الفاصلة العشرية. يمكن أن تكون بعض أو كل الأرقام في المؤقت أصفارًا.
  • تكرار لاحق هو نفسه بالنسبة للكسر
  • 1 / ص كف ل ⋯ .
  • أ = 2, ب = 0 والعوامل الأخرى ص كف ل ⋯ = 7
  • يوجد رقمان أوليان غير مكررين ، 03 و
  • هناك 6 أرقام مكررة ، 571428 ، نفس المقدار
  • 1/7 has.

بالنظر إلى عدد عشري متكرر ، من الممكن حساب الكسر الناتج عنه. فمثلا:

اختصار تحرير

يمكن تطبيق الإجراء أدناه على وجه الخصوص إذا كان التكرار كذلك ن الأرقام ، وكلها 0 باستثناء الأخير وهو 1. على سبيل المثال ن = 7:

من الممكن الحصول على صيغة عامة تعبر عن عدد عشري متكرر بعلامة نفترة -رقم (طول متكرر) ، تبدأ مباشرة بعد الفاصلة العشرية ، ككسر:

بشكل أكثر وضوحًا ، يحصل المرء على الحالات التالية:

إذا كان الكسر العشري المكرر بين 0 و 1 ، وكانت كتلة التكرار ن أرقام طويلة ، تحدث أولاً بعد الفاصلة العشرية مباشرةً ، ثم سيكون الكسر (ليس بالضرورة مختزلاً) هو الرقم الصحيح الذي يمثله ن- بلوك رقم مقسومًا على الذي يمثله ن أرقام 9. على سبيل المثال ،

  • 0.444444. =
  • 4/9 لأن الكتلة المكررة هي 4 (كتلة من رقم واحد) ،
  • 0.565656. =
  • 56/99 لأن الكتلة المكررة هي 56 (كتلة مكونة من رقمين) ،
  • 0.012012. =
  • 12/999 نظرًا لأن الكتلة المكررة هي 012 (كتلة مكونة من 3 أرقام) ، فإن هذا يقلل بشكل أكبر إلى
  • 4 / 333 .
  • 0.999999. =
  • 9/9 = 1 ، نظرًا لأن الكتلة المكررة هي 9 (أيضًا كتلة من رقم واحد)

إذا كان التكرار العشري على النحو الوارد أعلاه ، باستثناء أن هناك ك (إضافي) أرقام 0 بين الفاصلة العشرية والتكرار ن-digit block ، ثم يمكن للمرء أن يضيف ببساطة ك أرقام 0 بعد ن 9 من المقام (وكما في السابق ، يمكن تبسيط الكسر لاحقًا). فمثلا،

  • 0.000444. =
  • 4/9000 حيث أن الكتلة المكررة هي 4 وهذه الكتلة مسبوقة بـ 3 أصفار ،
  • 0.005656. =
  • 56/9900 حيث أن الكتلة المكررة هي 56 ويسبقها 2 صفرين ،
  • 0.00012012. =
  • 12 / 99900 =
  • 1/8325 لأن كتلة التكرار هي 012 ويسبقها 2 صفرين.

يمكن كتابة أي عدد عشري متكرر ليس بالشكل الموصوف أعلاه كمجموع عدد عشري إنهاء وكسر عشري متكرر لأحد النوعين أعلاه (في الواقع النوع الأول يكفي ، ولكن قد يتطلب ذلك أن تكون العلامة العشرية النهائية سالبة). فمثلا،

  • 1.23444. = 1.23 + 0.00444. =
  • 123 / 100 +
  • 4 / 900 =
  • 1107 / 900 +
  • 4 / 900 =
  • 1111 / 900
    • أو بدلاً من ذلك 1.23444. = 0.79 + 0.44444. =
    • 79 / 100 +
    • 4 / 9 =
    • 711 / 900 +
    • 400 / 900 =
    • 1111 / 900
    • أو بدلاً من ذلك 0.3789789. = −0.6 + 0.9789789. = -
    • 6 / 10 + 978/999 = −
    • 5994 / 9990 +
    • 9780 / 9990 =
    • 3786 / 9990 =
    • 631 / 1665

    هناك طريقة أسرع تتمثل في تجاهل العلامة العشرية تمامًا والسير على هذا النحو

    • 1.23444. =
    • 1234 − 123 / 900 =
    • 1111/900 (المقام به 9 وأصفار لأن رقمًا واحدًا يتكرر وهناك رقمان غير مكرران بعد الفاصلة العشرية)
    • 0.3789789. =
    • 3789 − 3 / 9990 =
    • 3786/9990 (للمقام 3 9s وواحد 0 لأن ثلاثة أرقام تتكرر وهناك رقم واحد غير مكرر بعد الفاصلة العشرية)

    ويترتب على ذلك أي تكرار عشري مع نقطة ن، و ك الأرقام بعد الفاصلة العشرية التي لا تنتمي إلى الجزء المكرر ، يمكن كتابتها ككسر (وليس بالضرورة مختزلًا) مقامه (10 ن − 1)10 ك .

    يمكن أيضًا التعبير عن الكسر العشري المكرر كسلسلة لا نهائية. بمعنى أنه يمكن اعتبار الكسر العشري المتكرر بمثابة مجموع عدد لا حصر له من الأرقام المنطقية. لنأخذ أبسط مثال ،


    جوليا لديها نوع عقلاني أصلي ، وتوفر وظيفة تحويل ملائمة تنفذ خوارزمية قياسية لتقريب رقم الفاصلة العائمة بنسبة أعداد صحيحة ضمن تفاوت معين ، والذي يتم تعيينه افتراضيًا على epsilon.

    نظرًا لأن Julia تستخدم بشكل افتراضي نوع Float64 الخاص بها لتمثيل أرقام الفاصلة العائمة ، إذا تم توفير عدد كافٍ من الأرقام العشرية (بحيث يكون الفرق بين تمثيل الفاصلة العائمة للكسر الناتج والعدد الأصلي أصغر من آلة epsilon) ، فإن الكسر الأصغر يتم إرجاعه ، وهي النتيجة الدقيقة في هذه الحالة:

    إليك الخوارزمية الأساسية المكتوبة في Julia 1.0 ، دون التعامل مع أنواع البيانات المختلفة وحالات الزاوية:


    شاهد الفيديو: تحويل الكسور العشرية إلى نسبة مئوية. الرياضيات. النسب والمعدلات والنسب المئوية (ديسمبر 2021).