مقالات

16.6: تكاملات السطح


حتى هذه النقطة ، كنا نتكامل عبر خطوط ذات بعد واحد ، ومجالات ثنائية الأبعاد ، وإيجاد حجم كائنات ثلاثية الأبعاد. في هذا القسم سوف ندمج فوق الأسطح ، أو الأشكال ثنائية الأبعاد الموجودة في عالم ثلاثي الأبعاد. يمكن تطبيق هذه التكاملات على مواقف العالم الحقيقي مثل إيجاد القوة الصاعدة على مظلة مفتوحة.

مقدمة

في القسم الأخير ، تعلمنا كيفية إيجاد مساحة السطح للأسطح البارامترية. قمنا بتقطيع المنطقة في المستوى فوق البنفسجي إلى مستطيلات صغيرة وإضافة مساحة متوازي الأضلاع الصغيرة المقابلة في المستوى xy. كانت مساحة هذه متوازي الأضلاع

[ Delta A = left | r_u times r_v right | Delta u Delta v ]

إذا اعتقدنا أن السطح له كثافة متفاوتة (f (x ، y ، z) ) ، فإن كتلة متوازي الأضلاع هذا ستكون

[ Delta M = f (x (u، v)، y (u، v)، z (u، v)) || r_u times r_v || Delta u Delta v ]

وجمع كل هذه الكتل وأخذ الحد عندما تقترب أحجام المستطيل من الصفر ، يعطي تعريف تكامل السطح.

لحساب تكامل السطح ، نقوم بتوسيع فكرة الخط المتكامل للتكامل على منحنى. على الرغم من أن الأسطح يمكن أن تتقلب لأعلى ولأسفل على مستوى ، فمن خلال أخذ مساحة المقاطع المربعة الصغيرة بما يكفي ، يمكننا بشكل أساسي تجاهل التقلبات والمعالجة كمستطيل مسطح. بمرور الوقت ، يمكن حساب مساحة السطح بنجاح عن طريق أخذ أقسام صغيرة بما يكفي ، مثل الكثير مما تعلمته مع مبالغ Reimann سابقًا. يمكن حساب تكامل السطح بإحدى الطرق الثلاث اعتمادًا على كيفية تعريف السطح. الثلاثة كلها صالحة ويمكن استخدامها بالتبادل ، ولكن اعتمادًا على كيفية وصف الأسطح ، سيكون حل متكامل أسهل من الآخر. التكاملات من الطرق المذكورة أعلاه عادة ما تكون مستحيلة أو يصعب حلها تحليليًا ، ولكن يمكن حلها بسهولة عدديًا.

تكامل السطح: تعريف حدودي

لسطح أملس تعريف (S ) حدوديًا مثل (r (u، v) = f (u، v) hat { textbf {i}} + g (u، v) hat { textbf {j}} + h (u، v) hat { textbf {k}} ، (u ، v) في R ) ، ودالة مستمرة (G (x ، y ، z) ) محددة في (S ) ، تكامل السطح لـ (G ) يتم إعطاء over (S ) بالتكامل المزدوج فوق (R ):

[ iint_ {S} G (x، y، z) ، d sigma = iint_ {R} G (f (u، v)، g (u، v)، h (u، v)) | r_ {u} مرات r_ {v} | ، du ، dv. ]

تكامل السطح: تعريف ضمني

للسطح (S ) معين بشكل ضمني بواسطة (F (x ، y ، z) = c ) ، حيث (F ) هي وظيفة قابلة للتفاضل بشكل مستمر ، حيث تقع (S ) فوق منطقة الظل المغلقة والمحدودة (R ) في الإحداثيات المستوى الذي تحته ، تكامل السطح للدالة المستمرة (G ) فوق (S ) يُعطى بالتكامل المزدوج (R ) ،

[ iint_ {S} G (x، y، z) d sigma = iint_ {R} G (x، y، z) frac {| nabla F |} {| nabla F cdot p | } د ، ]

حيث (p ) هو متجه وحدة عادي إلى (R ) و ( nabla F cdot p neq 0 ).

تكامل السطح: تعريف صريح

للسطح (S ) معين صراحة كرسم بياني لـ (z = f (x، y) ) ، حيث (f ) هي دالة قابلة للتفاضل باستمرار على منطقة (R ) في (xy ) - الطائرة ، ثم تحديد المعلمات

[{ textbf {r}} (u، v) = u hat { textbf {i}} + v hat { textbf {j}} + f (u، v) hat { textbf {k }} ]

لديه الخاصية التي

[ اليسار | textbf {r} _u times textbf {r} _v right | = sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ]

لذا فإن تكامل السطح للدالة المستمرة (G ) على (S ) يتم إعطاؤه بالتكامل المزدوج فوق (R ) ،

[ iint_ {S} G (x، y، z) ، d sigma = iint_ {R} G (x، y، f (x، y)) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ، dx ، dy ].

نسمي السطح الأملس (S ) قابل للتوجيه أو على الوجهين إذا كان من الممكن تحديد حقل ( textbf {n} ) من متجهات الوحدة العادية على (S ) والتي تتغير باستمرار حسب الموضع. جميع أجزاء السطح القابل للتوجيه قابلة للتوجيه. الكرات والأسطح المغلقة الملساء الأخرى في الفضاء قابلة للتوجيه. بشكل عام ، نختار ( textbf {n} ) على سطح مغلق للإشارة إلى الخارج.

مثال ( PageIndex {1} )

ادمج الدالة (H (x، y، z) = 2xy + z ) على المستوى (x + y + z = 2 ).

المحلول

أولاً ، لنرسم الطائرة.

بعد ذلك ، لاحظ إمكانية معالجة معادلة المستوى. وبالتالي ، يمكننا وضعها بالصيغة الصريحة (z = 2 - x - y ). هذا يعطينا التكامل

[ iint_ {S} H (x، y، z) ، d sigma = iint_ {R} H (x، y، z) sqrt {f_ {x} ^ {2} + f_ {y} ^ {2} + 1} ، د. لا يوجد رقم]

خذ المشتقات الجزئية لـ (س ) و (ص ) للسطح. في هذه الحالة ، (f_x = -1 ) و (f_y = -1 ). عوّض بهذه القيم في التكامل مع (H (x، y، z) ) مع (z = 2 - x - y ) للحصول على التكامل

[ iint_ {R} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2} + 1} ، dA. لا يوجد رقم]

من أجل تحديد حدود التكامل ، نحتاج إلى ضغط السطح إلى بعدين ، أو النظر إلى "منطقة الظل" الخاصة به. الفكرة هي تخيل النظر إلى الرسم البياني أعلاه من أعلى ، أسفل المحور (ض ). وبالتالي ، ستنظر إلى المستوى (س ص ) وسيبدو السطح مثل المثلث الذي يحده المحور (س ) - المحور (ص ) والمعادلة (ص = 2 - س ). هذا ينتج التكامل

[ int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} (2xy + 2 - x - y) sqrt {(-1) ^ {2} + (-1) ^ {2 } + 1} ، dy ، dx. nonumber ]

يمكننا الآن حل هذا التكامل تمامًا مثل أي تكامل مزدوج آخر

[ begin {align *} & sqrt {3} int_ {0} ^ {2} int_ {0} ^ {2-x} 2xy + 2 - x - y ، dy ، dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} left [xy ^ 2 + 2y - xy - frac {y ^ {2}} {2} right] _ {0} ^ {2 - x } dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x (2-x) ^ 2 - x (2-x) - frac {(2-x) ^ {2}} { 2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} 4x - 4x ^ {2} + x ^ {3} - 2x + x ^ {2} - 2 + 2x - frac { x ^ {2}} {2} dx & = sqrt {3} int_ {0} ^ {2} x ^ {3} - frac {7x ^ {2}} {2} + 4x - 2 dx & = left. sqrt {3} left ( frac {x ^ 4} {4} - frac {7x ^ 3} {6} + 2x ^ 2 - 2x right) right | _0 ^ 2 & = sqrt {3} left (16 - frac {56} {6} right). النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {2} )

يجد

[ iint_S f (x، y، z) ، dS nonumber ]

حيث (S ) هو السطح

[r (u، v) = u hat { textbf {i}} + u2 hat { textbf {j}} + (u + v) hat { textbf {k}} nonumber ]

مع (0 le u le 2 ) و (1 le v le 4 ) و (f (x ، y ، z) = x + 2z ).

المحلول

نوجد المشتقات الجزئية

[ textbf {r} _u = hat { textbf {i}} + (2u) hat { textbf {j}} + hat { textbf {k}} nonumber ]

[ textbf {r} _v = hat { textbf {k}} nonumber ]

وأخذ الضرب المتقاطع

[ ابدأ {محاذاة *} || r_u مرات r_v || & = start {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} [4pt] 1 & 2u & 1 [4pt] 0 & 0 & 1 end {vmatrix} [4pt] & = || 2u hat { textbf {i}} - hat { textbf {j}} || [4pt] & = sqrt {1 + 4u ^ 2}. نهاية {محاذاة *} ]

لدينا

[ start {align *} f (x (u، v)، y (u، v)، z (u، v)) & = x (u، v) + 2z (u، v) [4pt ] & = u +2 (u + v) [4pt] & = 3u + v. end {align *} ]

نجد

[ int_3 ^ 4 int_2 ^ 6 (3u + 2v) sqrt {1 + 4u ^ 2} ، dv ، du. nonumber ]

على الرغم من أن هذا التكامل ممكن ، إلا أن حله متضمن تمامًا. يمكنك التحقق من تقييم تكامل السطح إلى ( حوالي 525.27 ).

مثال ( PageIndex {3} )

يجد

[ iint_S f (x، y، z) ، dS nonumber ]

حيث (S ) هو جزء من مكافئ

[z = x ^ 2 + y ^ 2 nonumber ]

التي تقع داخل الاسطوانة

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 بلا رقم ]

و

[f (x، y، z) = z. nonumber ]

المحلول

لدينا

[ sqrt {1 + g_x ^ 2 + g_y ^ 2} = sqrt {1 + 4x ^ 2 + 4y ^ 2} nonumber ]

و

[f (x، y، z) = z = x ^ 2 + y ^ 2. لا يوجد رقم]

في هذه المرحلة ، يجب أن تفكر ، "تبدو هذه وظيفة للإحداثيات القطبية." ونحصل

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 r ^ 2 sqrt {1 + 4r ^ 2} ، r ، dr ، d theta. nonumber ]

يترك

(u = 1 + 4r ^ 2 ) و (du = 8r ، dr ) مع (r ^ 2 = dfrac {1} {4} u - dfrac {1} {4} )

ويعطينا التعويض

[ dfrac {1} {32} int_0 ^ {2pi} int_0 ^ 5 (u-1) u ^ {1/2} ، dr ، d theta = dfrac {1} {32} int_0 ^ {2 pi} left [ dfrac {2} {5} u ^ {5/2} - dfrac {2} {3} u ^ {3/2} right] _1 ^ 5 ، d ثيتا تقريبا 2.98 غير رقم ]

الأسطح الموجهة

لقد رأينا كيف يمكن توجيه منطقة (R ) ذات منحنى حدودي (C ). بالسفر على طول (C ) ، نتطلع لمعرفة ما إذا كانت المنطقة على اليمين أو اليسار. لسوء الحظ ، هذا التعريف يفعل ليس سوف تعمل للأسطح ثلاثية الأبعاد. لم يتم تعريف فكرة اليمين واليسار بشكل جيد. في الواقع لا يمكن توجيه كل الأسطح. نقول أن السطح قابل للتوجيه إذا كان من الممكن تحديد ناقل عادي للوحدة على السطح بحيث يتغير باستمرار على السطح. يوجد أدناه مثال على سطح غير قابل للتوجيه (يسمى شريط موبيوس). يمكنك أن ترى أنه لا يوجد واجهة أو خلفية لهذا السطح.

شريط موبيوس مصنوع من قطعة من الورق وشريط لاصق. إذا كانت النملة ستزحف على طول هذا الشريط ، فإنها ستعود إلى نقطة البداية بعد أن اجتازت طول الشريط بالكامل (على جانبي الورقة الأصلية) دون عبور الحافة. (CC-SA-BY ؛ ديفيد بن بينيك)


حساب التفاضل والتكامل APEX

ضع في اعتبارك سطحًا أملسًا يمثل طبقة رقيقة من المعدن. كيف يمكننا إيجاد كتلة هذا الجسم المعدني؟

إذا كانت كثافة هذا الجسم ثابتة ، فيمكننا إيجاد الكتلة عبر "الكتلة (= ) الكثافة × مساحة السطح" ، ويمكننا حساب مساحة السطح باستخدام تقنيات القسم السابق.

ماذا لو لم تكن الكثافة ثابتة ، ولكنها متغيرة ، موصوفة بالدالة ( (دلتا (س ، ذ ، ض) نص <؟> ) يمكننا وصف الكتلة باستخدام تقنيات التكامل العامة لدينا

حيث يمثل (dm ) "القليل من الكتلة". أي لإيجاد الكتلة الكلية للجسم ، قم بجمع الكثير من الكتل الصغيرة على السطح.

كيف نجد "الكتلة الصغيرة" (dm text <؟> ) على جزء صغير من السطح بمساحة السطح ( Delta S text <،> ) تكون الكثافة ثابتة تقريبًا ، ومن ثم (dm almost delta (x، y، z) Delta S text <.> ) نظرًا لأننا نستخدم الحدود لتقليص حجم ( Delta S ) إلى 0 ، نحصل على (dm = دلتا (x ، y ، z) dS text <> ) أي أن القليل من الكتلة يساوي كثافة مضروبة في مقدار صغير من مساحة السطح. وبالتالي فإن الكتلة الإجمالية للصفيحة الرقيقة هي

لتقييم التكامل أعلاه ، سنبحث عن ( vec r (u، v) text <،> ) حدمات سلس لـ ( SurfaceS ) فوق منطقة (R ) من (u ) ) - (v ) الطائرة. ستصبح الكثافة دالة لـ (u ) و (v text <،> ) وسنقوم بدمج ( iint_R delta (u، v) snorm < vec r_u times vec r_v> ، dA نص <.> )

التكامل في المعادلة (16.6.1) هو مثال محدد لبناء أكثر عمومية محددة أدناه.

القسم الفرعي 16.6.1 التكاملات السطحية للحقول العددية

التعريف 16.6.2. تكامل السطح.

لنفترض أن (G (x، y، z) ) دالة مستمرة محددة على سطح ( SurfaceS text <.> ) إن (G ) على ( SurfaceS ) هو

يمكن استخدام تكاملات السطح لقياس كميات متنوعة تتجاوز الكتلة. إذا كان (G (x ، y ، z) ) يقيس كثافة الشحنة الثابتة عند نقطة ما ، فإن تكامل السطح سيحسب إجمالي الشحنة الثابتة للورقة. إذا كان (G ) يقيس كمية السوائل التي تمر عبر الشاشة (ممثلة بـ ( SurfaceS )) عند نقطة ما ، فإن تكامل السطح يعطي الكمية الإجمالية للسوائل التي تمر عبر الشاشة.

مثال 16.6.3. إيجاد كتلة صفيحة رقيقة.

أوجد كتلة ورقة رقيقة على غرار المستوى (2x + y + z = 3 ) فوق المنطقة المثلثية من (xy ) - المستوى الذي يحده محاور الإحداثيات والخط (y = 2-2x text <،> ) كما هو موضح في الشكل 16.6.4 ، مع دالة الكثافة ( delta (x، y، z) = x ^ 2 + 5y + z text <،> ) حيث يتم قياس جميع المسافات سم والكثافة معطاة جم / سم (^ 2 نص <.> )

نبدأ بتحديد معلمات السطح المستوي ( SurfaceS text <.> ) باستخدام تقنيات القسم السابق ، يمكننا السماح (x = u ) و (y = v (2-2u) text < ،> ) حيث (0 leq u leq 1 ) و (0 leq v leq 1 text <.> ) حل لـ (z ) في معادلة المستوى ، لدينا (z = 3-2x-y text <،> ) ومن ثم (z = 3-2u-v (2-2u) text <،> ) إعطاء المعلمات ( vec r (u، v) = langle u، v (2-2u)، 3-2u-v (2-2u) rangle text <.> )

نحتاج إلى (dS = snorm < vec r_u times vec r_v> dA text <،> ) لذلك نحتاج إلى حساب ( vec r_u text <،> ) ( vec r_v ) وقاعدة حاصل الضرب التبادلي. نترك للقارئ تأكيد ما يلي:

يجب أن نكون حريصين على عدم "التبسيط" ( snorm < vec r_u times vec r_v> = 2 sqrt <6> sqrt <(u-1) ^ 2> ) كـ (2 sqrt <6> (u-1) text <> ) بدلاً من ذلك ، هو (2 sqrt <6> | u-1 | text <.> ) في هذا المثال ، (u ) مقيد بـ (0 leq u leq 1 text <،> ) وفي هذا الفاصل (| u-1 | = 1-u text <.> ) وبالتالي (dS = 2 sqrt <6> ( 1-u) dA text <.> )

تُعطى الكثافة كدالة لـ (x text <،> ) (y ) و (z text <،> ) والتي سنستبدل بها المكونات المقابلة لـ ( vec r ) (مع إساءة استخدام بسيطة للتدوين التي استخدمناها في الأقسام السابقة):

وبالتالي فإن كتلة الورقة هي:

القسم الفرعي 16.6.2 الجريان

دع السطح ( SurfaceS ) يقع داخل حقل متجه ( vec F text <.> ) غالبًا ما يهتم المرء بقياس تدفق من ( vec F ) عبر ( SurfaceS text <> ) أي قياس "مقدار حقل المتجه الذي يمر عبر ( SurfaceS text <.> )" على سبيل المثال ، إذا ( vec F ) يمثل مجال سرعة حركة الهواء و ( SurfaceS ) يمثل شكل مرشح الهواء ، وسوف يقيس التدفق مقدار الهواء الذي يمر عبر الفلتر لكل وحدة زمنية.

نظرًا لأن التدفق يقيس مقدار ( vec F ) الذي يمر عبر ( SurfaceS text <،> ) نحتاج إلى إيجاد "مقدار ( vec F ) المتعامد مع ( SurfaceS text < .> ) "على غرار قياس التدفق في المستوى ، هذا يساوي ( vec F cdot vec n text <،> ) حيث ( vec n ) هو متجه وحدة عادي ( SurfaceS ) عند نقطة. نحن الآن نفكر في كيفية العثور على ( vec n text <.> )

بالنظر إلى معلمات سلسة ( vec r (u، v) ) من ( SurfaceS text <،> ) يوضح العمل في القسم السابق تطور طريقتنا في حساب مساحة السطح أيضًا أن ( vec r_u (u، v) ) و ( vec r_v (u، v) ) مماس لـ ( SurfaceS ) في ( vec r (u، v) text <.> ) وهكذا ( vec r_u times vec r_v ) متعامد مع ( SurfaceS text <،> ) ونترك

وهو متجه وحدة عادي إلى ( SurfaceS ) في ( vec r (u، v) text <.> )

قياس التدفق عبر السطح هو جزء لا يتجزأ من السطح ، لقياس التدفق الكلي ، نجمع حاصل ضرب ( vec F cdot vec n ) مرات كمية صغيرة من مساحة السطح: ( vec F cdot vec n ، dS text <.> )

يحدث شيء جميل مع الحساب الفعلي للتدفق: تختفي المصطلحات ( snorm < vec r_u times vec r_v> ). انصح:

ما ورد أعلاه يكون منطقيًا فقط إذا كان ( SurfaceS ) قابلاً للتوجيه ، يجب أن تختلف المتجهات العادية ( vec n ) بشكل مستمر عبر ( SurfaceS text <.> ) نفترض أن ( vec n ) يفعل تختلف باستمرار. (إذا كانت المعلمات ( vec r ) لـ ( SurfaceS ) سلسة ، فسيختلف تعريفنا أعلاه لـ ( vec n ) باستمرار.)

التعريف 16.6.6. الجريان فوق السطح.

لنكن ( vec F ) حقل متجه بمكونات مستمرة محددة على سطح قابل للتوجيه ( SurfaceS ) مع متجه عادي ( vec n text <.> ) The of ( vec F ) عبر ( SurfaceS ) هو

إذا تم تحديد معلمات ( SurfaceS ) بواسطة ( vec r (u، v) text <،> ) وهو سلس في مجاله (R text <،> ) إذن

نظرًا لأن ( SurfaceS ) قابل للتوجيه ، فإننا نتبنى اصطلاحًا نقول إن المرء يمر من الجانب "الخلفي" لـ ( SurfaceS ) إلى الجانب "الأمامي" عند التحرك عبر السطح الموازي لاتجاه ( vec n text <.> ) أيضًا ، عندما يكون ( SurfaceS ) مغلقًا ، من الطبيعي التحدث عن مناطق الفضاء "داخل" و "خارج" ( SurfaceS text <.> ) نحن اعتمد أيضًا الاصطلاح القائل بأنه عندما يكون ( SurfaceS ) سطحًا مغلقًا ، يجب أن يشير ( vec n ) إلى الخارج ( SurfaceS text <.> ) إذا ( vec n = vec r_u times vec r_v ) النقاط داخل ( SurfaceS text <،> ) استخدم ( vec n = vec r_v times vec r_u ) بدلاً من ذلك.

عندما يكون حساب التدفق موجبًا ، فهذا يعني أن الحقل يتحرك من الجانب الخلفي لـ ( السطح S ) إلى الجانب الأمامي عندما يكون التدفق سالبًا ، فهذا يعني أن الحقل يتحرك عكس اتجاه ( vec n text <،> ) ويتحرك من مقدمة ( SurfaceS ) إلى الخلف. عندما لا يكون ( SurfaceS ) مغلقًا ، لا يوجد اتجاه "صحيح" و "خاطئ" يجب أن يشير فيه ( vec n ) ، ولكن يجب على المرء أن ينتبه إلى اتجاهه لفهم التدفق بشكل كامل حساب.

نوضح حساب التدفق وتفسيره في الأمثلة التالية.

مثال 16.6.7. إيجاد التدفق عبر السطح.

لنفترض أن ( SurfaceS ) هو السطح المعطى في المثال 16.6.3 ، حيث ( SurfaceS ) يتم تحديده بواسطة ( vec r (u، v) = langle u، v (2-2u)، 3 -2u-v (2-2u) rangle ) في (0 leq u leq 1 text <،> ) (0 leq v leq 1 text <،> ) ودع ( vec F = langle 1، x، -y rangle text <،> ) كما هو موضح في الشكل 16.6.8. ابحث عن تدفق ( vec F ) عبر ( SurfaceS text <.> )

باستخدام عملنا من المثال السابق ، لدينا ( vec n = vec r_u times vec r_v = langle 4-4u، 2-2u، 2-2u rangle text <.> ) نحتاج أيضًا ( vec F big ( vec r (u، v) big) = langle 1، u، -v (2-2u) rangle text <.> )

وبالتالي فإن تدفق ( vec F ) عبر ( SurfaceS ) هو:

للاستفادة الكاملة من هذه الإجابة الرقمية ، نحتاج إلى معرفة الاتجاه الذي يمر فيه الحقل ( SurfaceS text <.> ) يساعد الرسم البياني في الشكل 16.6.8 ، لكننا نحتاج إلى طريقة ليست كذلك تعتمد على الرسم البياني.

اختر نقطة ((u، v) ) داخل (R ) وفكر في ( vec n (u، v) text <.> ) على سبيل المثال ، اختر ((1/2 ، 1/2) ) وانظر إلى ( vec n (1 / 2،1 / 2) = langle 2،1،1 rangle / sqrt <6> text <.> ) هذا المتجه لديه موجبة (x نص <،> ) (y ) و (z ). بشكل عام ، واحد لديه بعض فكرة عن شكل السطح ، لأن هذا السطح مهم لسبب ما. في حالتنا ، نعلم أن ( SurfaceS ) عبارة عن طائرة بها (z ) - تقاطع (ض = 3 نص <.> ) معرفة ( vec n ) وقياس التدفق الإيجابي (5/3 text <،> ) نعلم أن الحقل يجب أن يمر من "خلف" ( SurfaceS text <،> ) أي الجانب الموجود عليه الأصل إلى "مقدمة" ( SurfaceS text <.> )

مثال 16.6.10. التدفق عبر الأسطح ذات الحدود المشتركة.

لنفترض أن ( SurfaceS_1 ) هو قرص الوحدة في (xy ) - الطائرة ، واجعل ( SurfaceS_2 ) هو المكافئ (z = 1-x ^ 2-y ^ 2 text <،> ) لـ (z geq 0 text <،> ) كما هو موضح في الشكل 16.6.11. لاحظ كيف أن لكل من هذين السطحين دائرة الوحدة كحد.

دعونا ( vec F_1 = langle 0،0،1 rangle ) و ( vec F_2 = langle 0،0 ، z rangle text <.> ) استخدام المتجهات العادية لكل سطح تلك النقطة " إلى الأعلى ، "أي مع مكون موجب (z ) - ابحث عن تدفق كل حقل عبر كل سطح.

نبدأ من خلال تحديد معالم كل سطح.

حدود قرص الوحدة في (xy ) - الطائرة هي دائرة الوحدة ، والتي يمكن وصفها بـ ( langle cos u ، sin u ، 0 rangle text <،> ) (0 leq u leq 2 pi text <.> ) للحصول على الجزء الداخلي من الدائرة أيضًا ، يمكننا القياس حسب (v text <،> )

نظرًا لأن حدود ( SurfaceS_2 ) هي أيضًا دائرة الوحدة ، فإن (x ) و (y ) مكونات ( vec r_2 ) ستكون مماثلة لتلك الموجودة في ( vec r_1 text <> ) نحتاج فقط إلى مكون (z ) مختلف. مع (z = 1-x ^ 2-y ^ 2 text <،> ) لدينا

حيث (0 leq u leq 2 pi ) و (0 leq v leq 1 text <.> )

نحن الآن نحسب المتجهات العادية ( vec n_1 ) و ( vec n_2 text <.> )

لـ ( vec n_1 text <:> ) ( vec r_ <1u> = langle -v sin u، v cos u، 0 rangle text <،> ) ( vec r_ <1v> = langle cos u، sin u، 0 rangle text <،> ) لذلك

نظرًا لأن هذا المتجه يحتوي على مكون (z ) - سالب ، فإننا نستخدم بدلاً من ذلك

وبالمثل ، ( vec n_2 text <:> ) ( vec r_ <2u> = langle -v sin u، v cos u، 0 rangle text <،> ) ( vec r_ <2v> = langle cos u، sin u، -2v rangle text <،> ) لذلك

مرة أخرى ، يحتوي هذا المتجه العادي على مكون (z ) سالب لذلك نستخدمه

نحن الآن على استعداد لحساب التدفق. فوق الحقل ( vec F_1 = langle 0،0،1 rangle text <:> )

هاتان النتيجتان متساويتان وإيجابيتان. كل منهما موجب لأن كلا المتجهين العاديين يشيران إلى (z ) - الاتجاهات الموجبة ، كما هو الحال مع ( vec F_1 text <.> ) حيث يمر الحقل عبر كل سطح في اتجاه نواقلهم العادية ، يتم قياس التدفق على أنه إيجابي.

يمكننا أيضًا أن نفهم بشكل حدسي سبب تساوي النتائج. ضع في اعتبارك ( vec F_1 ) لتمثيل تدفق الهواء ، ودع كل سطح يمثل مرشحًا. نظرًا لأن ( vec F_1 ) ثابت ، ويتحرك "بشكل مستقيم" ، فمن المنطقي أن يمر كل الهواء المار عبر ( SurfaceS_1 ) أيضًا من خلال ( SurfaceS_2 text <،> ) والعكس صحيح .

إذا تعاملنا مع الأسطح على أنها إنشاء سطح أملس متعدد العناصر ( SurfaceS text <،> ) فسنجد التدفق الكلي عبر ( SurfaceS ) من خلال إيجاد التدفق عبر كل قطعة ، مع التأكد من أن كل متجه عادي أشار إلى الخارج من السطح المغلق. أعلاه ، لا يشير ( vec n_1 ) إلى خارج السطح ، على الرغم من أن ( vec n_2 ) يفعل ذلك. نود بدلاً من ذلك استخدام (- vec n_1 ) في حساباتنا. سنجد بعد ذلك أن التدفق عبر ( SurfaceS_1 ) هو (- pi text <،> ) وبالتالي فإن التدفق الكلي عبر ( SurfaceS ) هو (- pi + pi = 0 text <.> ) (نظرًا لأن (0 ) رقم خاص ، يجب أن نتساءل عما إذا كانت هذه الإجابة لها أهمية خاصة. إنها كذلك ، والتي تمت مناقشتها بإيجاز باتباع هذا المثال وسيتم تطويرها بشكل كامل في القسم التالي. )

نقوم الآن بحساب التدفق عبر كل سطح باستخدام ( vec F_2 = langle 0،0، z rangle text <:> )

Over ( SurfaceS_1 text <،> ) ( vec F_2 = vec F_2 big ( vec r_2 (u، v) big) = langle 0،0،0 rangle text <.> ) وبالتالي،

يبدأ amp = iint_R langle 0،0،0 rangle cdot langle 0،0، v rangle ، dA amp = int_0 ^ 1 int_0 ^ <2 pi> (0) ، du ، dv amp = 0 text <.> end

Over ( SurfaceS_2 text <،> ) ( vec F_2 = vec F_2 big ( vec r_2 (u، v) big) = langle 0،0،1-v ^ 2 rangle نص <.> ) لذلك ،

يبدأ amp = iint_R langle 0،0،1-v ^ 2 rangle cdot langle 2v ^ 2 cos u، 2v ^ 2 sin u، v rangle ، dA amp = int_0 ^ 1 int_0 ^ <2 pi> (v ^ 3-v) ، du ، dv amp = pi / 2 text <.> end

هذه المرة تختلف قياسات التدفق. على ( SurfaceS_1 text <،> ) الحقل ( vec F_2 ) هو فقط ( vec 0 text <،> ) وبالتالي لا يوجد تدفق. على ( SurfaceS_2 text <،> ) يكون التدفق موجبًا مرة أخرى حيث يشير ( vec F_2 ) إلى الاتجاه الموجب (z ) فوق ( SurfaceS_2 text <،> ) كما يفعل ( vec n_2 text <.> )

في المثال السابق ، تشكل الأسطح ( SurfaceS_1 ) و ( SurfaceS_2 ) سطحًا مغلقًا متجانسًا. إن قياس التدفق عبر كل سطح كان هو نفسه بالنسبة لبعض الحقول (وليس في مجالات أخرى) يذكرنا بنتيجة القسم 16.4 ، حيث قمنا بقياس التدفق عبر المنحنيات. الإجابة السريعة عن سبب تماثل التدفق عند التفكير في ( vec F_1 ) هي أن ( divv vec F_1 = 0 text <.> ) في القسم التالي ، سنرى الجزء الثاني من The Divergence Theorem ، الذي سيشرح هذا الحدوث بشكل كامل. سنستكشف أيضًا نظرية ستوكس ، التناظرية المكانية لنظرية جرين.

تعرض مقاطع الفيديو التالية بعض الأمثلة الإضافية التي تتضمن تكاملات سطحية لحقول المتجهات. لاحظ أن حساب التدفق على شكل مكعب يتطلب منا النظر في الوجوه الستة. هذه حالة حيث يمكن لنظرية الاختلاف أن تبسط الأمور بشكل كبير. بالنسبة للتكاملات على الكرات ، غالبًا ما تكون هناك عمليات تبسيط ممكنة ، خاصة لحقول المتجه "الشعاعية" (تلك الموازية لمتجه الموضع ( vec(س ، ص ، ض) = لا س ، ص ، ض را )).

تمارين 16.6.3 تمارين

الشروط والمفاهيم

في المستوى ، التدفق هو قياس مقدار حقل المتجه الذي يمر عبر a في الفضاء ، والتدفق هو قياس لمقدار حقل المتجه الذي يمر عبر a.

عند حساب التدفق ، ماذا يعني أن تكون النتيجة رقمًا سالبًا؟

عندما يكون ( SurfaceS ) سطحًا مغلقًا ، نختار المتجه العادي بحيث يشير إلى السطح.

إذا كان ( SurfaceS ) مستويًا ، و ( vec F ) دائمًا ما يكون موازيًا لـ ( SurfaceS text <،> ) ، فإن تدفق ( vec F ) عبر ( الأسطح ) سوف يكون .

مشاكل

في التدريبات التالية ، يتم إعطاء السطح ( السطح ) الذي يمثل طبقة رقيقة من المادة بكثافة ( دلتا ). أوجد كتلة كل ورقة رقيقة.

( SurfaceS ) هي الطائرة (f (x، y) = x + y ) على (- 2 leq x leq 2 text <،> ) (- 3 leq y leq 3 text <،> ) مع ( delta (x، y، z) = z text <.> )

( SurfaceS ) هو مجال الوحدة ، مع ( delta (x، y، z) = x + y + z + 10 text <.> )

في التدريبات التالية ، يتم إعطاء سطح ( SurfaceS ) وحقل متجه ( vec F ). احسب تدفق ( vec F ) عبر ( SurfaceS text <.> ) (إذا لم يكن ( SurfaceS ) سطحًا مغلقًا ، فاختر ( vec n ) بحيث يحتوي على موجب (ض ) - مكون ، ما لم يذكر خلاف ذلك.)

( SurfaceS ) هي الطائرة (f (x، y) = 3x + y ) على (0 leq x leq 1 text <،> ) (1 leq y leq 4 نص <> ) ( vec F = langle x ^ 2، -z، 2y rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو المستوى (f (x، y) = 8-xy ) فوق المثلث ذي الرؤوس عند ((0،0) text <،> ) ((1،0) ) و ((1،5) نص <> ) ( vec F = langle 3،1،2 rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو مكافئ (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) فوق قرص الوحدة ( vec F = langle 1،0،0 rangle text <. > )

( SurfaceS ) هو مجال الوحدة ( vec F = langle y-z ، z-x ، x-y rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو المربع الذي يحتوي على زوايا عند ((0،0،0) text <،> ) ((1،0،0) text <،> ) ((1 ، 0،1) ) و ((0،0،1) ) (اختر ( vec n ) بحيث يحتوي على (y ) - مكون) ( vec F = langle 0، -z، y rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو القرص الموجود في (yz ) - مستوى نصف قطره 1 ، يتم توسيطه عند ((0،1،1) ) (اختر ( vec n ) بحيث يكون له علامة موجبة (x ) - مكون) ( vec F = langle y، z، x rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو السطح المغلق المكون من ( SurfaceS_1 text <،> ) حدوده هي القطع الناقص في (xy ) - المستوى الموصوف بواسطة ( frac<25> + frac9 = 1 ) و ( SurfaceS_2 text <،> ) جزء من المكافئ البيضاوي (f (x، y) = 1- frac<25> - فارك9 ) (انظر الرسم البياني) ( vec F = langle 5،2،3 rangle text <.> )

( SurfaceS ) هو السطح المغلق المكون من ( SurfaceS_1 text <،> ) جزء من كرة الوحدة و ( SurfaceS_2 text <،> ) جزء من المستوى (z = 1 / 2 ) (انظر الرسم البياني) ( vec F = langle x، -y، z rangle text <.> )


6.6 التكاملات السطحية

لقد رأينا أن تكامل الخط هو جزء لا يتجزأ من مسار في مستوى أو في الفضاء. ومع ذلك ، إذا كنا نرغب في التكامل على سطح (كائن ثنائي الأبعاد) بدلاً من مسار (كائن أحادي البعد) في الفضاء ، فإننا نحتاج إلى نوع جديد من التكامل يمكنه التعامل مع الكائنات ذات الأبعاد الأعلى. يمكننا توسيع مفهوم الخط المتكامل إلى السطح المتكامل للسماح لنا بإجراء هذا التكامل.

تكاملات السطح مهمة لنفس الأسباب التي تجعل تكاملات الخط مهمة. لديهم العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة ، ويسمحون لنا بتطوير إصدارات ذات أبعاد أعلى للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. على وجه الخصوص ، تسمح لنا التكاملات السطحية بتعميم نظرية جرين على أبعاد أعلى ، وتظهر في بعض النظريات المهمة التي نناقشها في أقسام لاحقة.

الأسطح البارامترية

تكامل السطح يشبه تكامل الخط ، باستثناء أن التكامل يتم على سطح بدلاً من مسار. بهذا المعنى ، تتوسع التكاملات السطحية في دراستنا للتكاملات الخطية. تمامًا كما هو الحال مع تكاملات الخط ، يوجد نوعان من تكاملات السطح: تكامل السطح لدالة ذات قيمة رقمية وتكامل سطح لحقل متجه.

ومع ذلك ، قبل أن نتمكن من التكامل على سطح ما ، علينا التفكير في السطح نفسه. تذكر ذلك لحساب خط عددي أو خط متجه متكامل على منحنى ج، نحتاج أولاً إلى وضع المعلمات ج. بطريقة مماثلة ، لحساب تكامل السطح على السطح س، نحن بحاجة إلى وضع المعلمات س. أي أننا نحتاج إلى مفهوم عملي لسطح ذي معلمات (أو سطح حدودي) ، بالطريقة نفسها التي لدينا بالفعل مفهوم منحنى معلمات.

يتم إعطاء السطح المحدد بواسطة وصف النموذج

لاحظ أن هذه المعلمات تتضمن معلمتين ، ش و الخامس، لأن السطح ثنائي الأبعاد ، وبالتالي هناك حاجة إلى متغيرين لتتبع السطح. المعلمات ش و الخامس تختلف عبر منطقة تسمى مجال المعلمة ، أو مساحة المعلمة —مجموعة النقاط في ملف الأشعة فوق البنفسجية- الطائرة التي يمكن الاستعاضة عنها ص. كل اختيار ش و الخامس في مجال المعلمة يعطي نقطة على السطح ، تمامًا مثل اختيار كل معلمة ر يعطي نقطة على منحنى معلمات. يتم إنشاء السطح بالكامل عن طريق اتخاذ جميع الخيارات الممكنة ش و الخامس على مجال المعلمة.


16.6: تكاملات السطح

الأثنين 14/6 - تعريف بالدورة: فيديو ، شرائح
الإثنين 14/6 - الدرس 1 (13.1-13.4: مراجعة النواقل): فيديو ، ملاحظات

الثلاثاء ، 6/15 - الدرس 2 (13.5 ، 13.6 الجزء 1: الخطوط والمستويات والأسطح الرباعية): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 6/17 - الدرس 3 (13.6 جزء 2 ، 14.1 سطوح رباعية ، وظائف ذات قيمة متجهية): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 6/18 - الدرس 4 (14.2 ، 14.3 الجزء 1: حساب الدوال ذات القيم المتجهية ، الحركة في الفضاء): فيديو ، ملاحظات

الإثنين ، 21/6 - الدرس 5 (14.3 الجزء 2 ، 14.4 ، 14.5: الحركة في الفضاء ، طول المنحنيات ، الانحناء): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 6/22 - الدرس 6 (15.1 ، 15.2: دوال متغيرات متعددة ، حدود واستمرارية): فيديو ، ملاحظات
الخميس 24/6 - الدرس 7 (15.3، 15.4: المشتقات الجزئية ، قاعدة السلسلة): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 6/25 - الدرس 8 (15.5 ، 15.6: المشتق الاتجاهي والتدرج ، المستوى المماس والتقريب الخطي): فيديو ، ملاحظات

الاثنين ، 6/28 - الدرس 9 (15.7 كلا الجزأين: الحد الأقصى والحد الأدنى من المشاكل): فيديو ، ملاحظات
الأثنين ، 6/28 - مراجعة الامتحان 1: فيديو (فيديو جديد) ، ملاحظات
الثلاثاء 29/6 - امتحان 1
الخميس ، 7/1 - الدرس 10 (15.8: مضاعفات لاغرانج): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 2/7 - الدرس 11 (16.1: التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة): فيديو ، ملاحظات

الاثنين ، 7/5 - لا فصل
الثلاثاء ، 6/7 - الدرس 12 (16.2: تكاملات مزدوجة فوق المناطق العامة): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 7/8 - الدرس 13 (16.3: التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 7/9 - الدرس 14 (16.4: التكاملات الثلاثية): فيديو ، ملاحظات

الإثنين ، 12/7 - الدرس 15 (16.5 كلا الجزأين: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء ، 13/7 - الدرس 16 (16.6: التكاملات في حسابات الكتلة ، 17.1: حقول المتجهات): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 15/7 - الدرس 17 (17.2 كلا الجزأين: تكاملات الأسطر للوظائف وحقول المتجهات): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 7/16 - الدرس 18 (17.3: حقول المتجهات المحافظة والنظرية الأساسية لتكامل الخطوط): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 7/16 - مراجعة الامتحان 2: فيديو ، ملاحظات

الإثنين 19/7 - امتحان 2
الثلاثاء ، 7/20 - الدرس 19 (17.4: نظرية جرين ، 17.5: الضفيرة والتباعد): فيديو ، ملاحظات
الخميس 22/7 - الدرس 20 (17.6 الجزء 1: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 23/7 - الدرس 21 (17.6 الجزء 2: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات

الإثنين ، 26/7 - الدرس 22 (17.6 الجزء 3: تكاملات السطح): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء 27/7 - الدرس 23 (17.7 جزء 1: نظرية ستوكس): فيديو ، ملاحظات
الخميس ، 29/7 - الدرس 24 (17.7 الجزء 2: نظرية ستوكس): فيديو ، ملاحظات
الجمعة ، 7/30 - الدرس 25 (17.8 جزء 1: نظرية الاختلاف): فيديو ، ملاحظات

الإثنين 8/2 - الدرس 26 (17.8 جزء 2: نظرية الاختلاف): فيديو ، ملاحظات
الثلاثاء 8/3 - النهائيمراجعة الامتحان: فيديو ، ملاحظات


العمليات الفيزيائية في النظم البيئية

تنقسم التطبيقات المباشرة للتكاملات عمومًا إلى فئات منفصلة على عكس تطبيقات المشتقات التي تعتمد عادةً على المنحدرات. المجموعة الأولى التي تمت مناقشتها أدناه تستخدم التكامل كتراكم للتغييرات في الوظيفة. تستخدم الفئة الثانية التكامل كمساحة أو وحدة تخزين معممة. التطبيق الأخير هو أكثر رياضية ، على الرغم من أنه يعتمد في الواقع على مفهوم التراكم ، ويستخدم التكامل لتقدير الخطأ في تقريب معين.

1.6.1 تراكم التغييرات في الوظيفة

تم تقديم التكامل باعتباره تراكمًا كليًا من قبل في المثال 2 على استنفاد الأكسجين. هذا الاستخدام للتكامل هو في الواقع بديهي إلى حد ما. دعونا نسمي كمية الفائدة لدينا (F (x) ). إذن (F & # 39 (x) = dF / dx ) هو بالتأكيد معدل تغير (F (x) ) و (F (x) ) هو بالتأكيد المشتق العكسي لـ (F & # 39 ( خ) ). ثم يتم دمج ملف معدل تغيير (F ) يعطي مجموع التغيير في (F ).

[ int ^ b_a F & # 39 (x) dx = F (x)] ^ b_a = F (b) - F (a) ] وبالتالي التكامل المحدد

[ int ^ b_a F & # 39 (x) dx ] هو التغيير الكلي في (F (x) ) حيث يتغير (x ) من (a ) إلى (b ).

1.6.2 متوسط ​​التغيير

يتم بعد ذلك العثور على متوسط ​​التغيير في (F (x) ) بالقسمة على التغيير في (x ) ، لأن المتوسط ​​هو التغيير في (F ) per unit change in (x) . Note that this formula can be shown graphically as the average height of the function. For a given curve, the area under the curve equals the average height multiplied by the width. Thus the average height (overline y) of a curve (y = f(x)) is the area (A) divided by the width. [A = int^b_a f(x)dx = (b-a)overline y] [overline y = frac = فارك <1> int^b_a f(x)dx]

An interesting example is a study (Fisher 1963 in Warren 1971, pp. 161-163) of the effects of dissolved oxygen content and food ration on the growth rate of Coho salmon. The data appear in figure 1.7. The upper curve is well approximated by

The lower curve is the straight line [y = 28] here (y) = growth rate, (x) = dissolved oxygen. A simple comparison of the effect of diet (restricted vs. unrestricted ration) on growth rate is to compare the average growth rates ( (overline y) ) for the two diets. Since the lower curve has a constant growth rate, we must have (overline y = 28) .

Figure 1.7: Relationships between dissolved oxygen concentration and growth rate of juvenile coho salmon when food was unlimited and when it was limited. Arrows indicate growth of fish when held at oxygen concentrations fluctuating diurnally between levels specified. Data of Fisher (1963), in Warren, 1971, p. 162.

The first integral is the same form as in previous examples. [0.95 int^<30>_3 3.5e^<-0.5x>dx = 0.95[-frac<1> <0.05>e^<-.05x>]^<30>_3] [= 19(-e^<-0.05(30)>+e^<-0.05(3)>) =12.07]

Rather than finding the second integral in tables, we will evaluate it using integration by parts.

With (dv(x)) representing the differential of (v(x)) , the second integral can be written [int^<30>_3 xe^<-0.05x>dx = int^<30>_3 u(x)dv(x)] where (u(x) = x, dv(x) = e^<-0.05x>dx) .

Recall that integration by parts uses the formula [int udv = uv - int vdu] Since (du = dx) , and (v = int dv = -e^<-0.05x>/0.05) , we get

Thus, [overline y = 12.07 + 0.27(173.04) = 58.8] In summary, we have the averages:

ration average growth rate
restricted 29.3
unrestricted 58.8

It is somewhat surprising that the average unrestricted ration rate is over twice that of the rate for the restricted ration. The data is deceptive visually due to the close values near (x = 3 mg/l) and the distorted logarithmic scale.

1.6.3 Distance

Velocity is defined as the rate of change of position. Since the distance covered is the total change in position, it must equal the integral of the velocity.

For a free-falling object, the velocity is given by (v(t) = g cdot t) where (g) is the acceleration due to gravity and (t) is time elapsed. The distance (S) covered after (T) seconds is given by (S = frac<1> <2>gT^2) which is merely the integral of velocity.

[يبدأ S &= int^T_0 v(t)dt = int^T_0 (gt)dt &= g int^T_0 t , dt = g[t^2/2]^T_0 &= frac<1><2>gT^2 end]

1.6.4 Volumes

Volumes and areas of complicated regions are also evaluated using the definite integral. Previously, the area under a curve was bounded by three straight perpendicular lines. When the bottom is not the base axis, the integration is still simple. For a region shown in figure 1.8 the area is the difference between the area under curve (f) and the area under curve (g) . هكذا

[يبدأ A &= int^b_a f(x)dx - int^b_a g(x)dx &= int^a_b [f(x)-g(x)]dx end]

Note that ([f(x)-g(x)]) is merely the height of the region at the point (x) , so the height times width interpretation is still applicable.

Figure 1.8: Area between two curves.

1.6.5 Surface Area of Revolution

When the region is not planar, the evaluation of its area must take into account the changes in the third dimension. If the surface is obtained by revolving a curve around a straight line, the evaluation needs only a single integral. The following example illustrates the method.

One study of temperature regulation in mammals requires knowledge of the surface area exposed to the sun. The model views the torso of the animal as symmetric with respect to a longitudinal axis. Each vertical cross-section is then a circle. The simplest such approximation is a cylinder:

The cylinder can be described by revolving a straight line around the axis, as in figure 1.9.

Figure 1.9: Surface area of revolution: a cylinder.

Unrolling the surface gives a rectangle whose width equals the circumference of the circular end face of the cylinder. هذه surface area of revolution equals the line length multiplied by the width, thus (A=2pi r:l) (fig. 1.10)

Figure 1.10: Surface of unrolled cylinder.

As with the area under a curve, the general formula for a surface area of revolution must be intuitive, i.e., must visually appear as length times circumference. Let the torso have a profile of varying radius:

Assume the line to be revolved is graphed as follows,

and is represented by (r = a - bx^2) , (a) and (b) positive constants. The radius then changes with (x) , and the integral must be used:

In this example, let (x_0 = 0.5m) , (a = 0.28) , (b = 0.24) . The total surface area is

Note that any function will work in the formula, as long as the area desired is a surface area of revolution. The only problem might be in using a function which is difficult to integrate.

1.6.6 Volume of Revolution

The volume of a solid generated by revolving a curve around an axis can be derived as an intuitive extension of the surface area of revolution. The area and volume formulae for the cylinder and the general revolved solid (figure 1.11) are seen to be analogous.

Cylinder Revolved solid
Surface area (2pi r^2 l) (int^l_0 2pi f(y)dy)
Volume (pi r^2 l) (int^l_0 pi[f(y)]^2 dy)

Figure 1.11: Solids of revolution.

Now we develop the general volume formula by expressing the integral as a limit of sums of pieces of the solid. Consider a curve (z = f(y)) and the region (R) under the curve (figure 1.12). We revolve the region (R) around the y-axis (figure 1.13) to obtain the solid.

Figure 1.12: The function f(y).

Figure 1.13: The solid obtained by revolving f(y).

Suppose we divide the interval ([a,b]) into many subintervals, each of width (dy) . Then, if (dy) is sufficiently small, the area of the subregion (R_i) is well approximated by a rectangle of width (dy) and height (f(y_i)) , as figure 1.14 indicates. By revolving (R_i) about the y-axis, we sweep out a circular slab with radius (f(y_i)) and thickness (dy) (figure 1.15).

Figure 1.14: The area increment dy.

Figure 1.15: The volume element obtained by revolving dy.

The volume of each slab is (pi (radius)^2(length) = pi f(y_i)^2dy) . Thus we have volume (V) of the solid as

1.6.7 General Surface Areas

When the surface is more irregular and is not axially symmetric, its area can still be found. The surface must now, however, be described by a three dimensional function which gives the height as a function of the length and width coordinate: (z = f(x,y)) .

The dependence on two variables requires two integrals, and the method used is called double integration.

Given a function of two variables, say (z = f(x,y)) , we can write a double integral of (z) over a region (R) as: [F = int_R int f(x,y)dA ] with (A) representing the area coordinates from the region (R) . This integral is more often evaluated by writing it as an iterated double integral:

[F = int^b_a int^_ f(x,y) dy dx = int^b_a igg[ int^_ f(x,y)dy igg] dx]

Evaluation of the “inner” integral yields a function of (x) , which becomes the integrand of the “outer” integral. 1

When the surface is described by (z = f(x,y)) , its area is found using an iterated integral. The limits of integration are found by projecting the boundary of the surface onto the x,y plane. The formula for the surface area is 2 [A = int^b_a int^_ [1 + (frac)^2 +(frac)^2]^<2>> dy dx ]

and is best illustrated by example.

If the animal is again considered to look like a cylinder, one improvement would be to account for the neck rising at an angle from the shoulder. To keep the calculations simple, we assume the neck rises vertically, and is also cylindrical (figure 1.16).

Figure 1.16: Half of the upper surface.

We determine the area of the torso by subtracting the “back” area inside the vertical cylinder, (A) , from the area of the horizontal cylinder, which we found was (0.25 pi) . The equation for the “back” surface is (x^2 + z^2 = (0.25)^2) . The vertical cylinder is defined by (x^2 + y^2 = (0.10)^2) . The projection is then half a circle of radius 0.10 (figure 1.17), and is given by (y = sqrt <0.10^x - x^2>) .

Figure 1.17: Projection of the “neck” region.

For a given (x) , (y) varies from 0 up to (sqrt <0.10^x - x^2>) . The limits on (x) are -0.10 to 0.10. The equation for the surface of the back yields the required partial derivatives: [ frac = - frac>, frac = 0 ] [A = int^<0.10>_ <-0.10>int^>_0 [1 + frac <0.25^2 - x^2>+ 0] dy , dx] This strange formula still has visual intuitive appeal since the limits on (y) are obtained from the العرض in the (y) direction (for a given (x) ) and the limits on (x) are from the length in the (x) direction. The quantity in brackets accounts for the changing height of the surface. The remaining parts of the problem are left as an exercise.

1.6.8 Error Estimation

The integral can be used to develop approximate solutions to certain equations or approximate models of given data. The integral provides a qualitative error estimate for the approximation. The most well known application is the least squares fit of a line through a set of data points. One of the most recent applications is the residual norm as an error indicator for approximate solutions to partial differential equations. In each example discussed below, a function is integrated over a domain of interest. If this function represents the difference between the approximate and true solution, then the value of the integral decreases as the approximation improves. The integral is then minimized to provide the “best” approximation.

1.6.8.1 Least Squares

Many experiments produce data as pairs of numbers [(x_1,y_1),(x_2,y_2), ldots, (x_n,y_n)] The underlying relationship is often assumed to be linear, that is, the model is assumed to be [y = Ax + B, ext< where >A,B = ext] The points ( (x_i,y_i) ) are usually not collinear (see figure 1.18) due to experimental error, inaccuracies in the model, round-off error during measurement, etc. Thus the problem is to choose the constants (A,B) so the line matches the data points as closely as possible. The method of least squares uses the sum of squared deviations for the error function, (E^2) (see figure 1.18):

where (y(x_i) = Ax_i + B) . The goal is then to choose (A) , (B) so that (E^2) is minimal. By writing (E^2) as a function of the parameters (A) , (B) , we minimize (E^2) by setting the partial derivatives equal to zero: [frac = 0, frac = 0]

Figure 1.18: Least-squares line.

We then obtain two linear equations in (A) , (B) which are easily solved (see problem 5) and can be shown to give the line with the least sum of squared deviations (see problem 6).

1.6.8.2 Norms

The squared deviation used in the least squares method is an example of a norm. A norm of a function (f(x)) , denoted (|f(x)|) , is a function (Pearson 1974, p. 946) such that, for any scalar (alpha) , and any functions (f(x), g(x)) , [|f(x)| ge 0] [|f(x)| = 0] if and only if (f(x) = 0) [| f (x) | = |alpha| cdot | f (x) |] [| f (x) + g(x) | le | f (x) | + |g(x) | ]

When a curve (y = f(x)) is approximated by a least-squares straight line (y = Ax + B) over the interval ([a,b]) , we choose (A) , (B) to minimize the error norm (E) defined by

Note that equation (1.13) is a discrete analog of equation (1.14).

The norm can be used for evaluating the closeness of fit of one curve to another, or for obtaining a qualitative estimate of the accuracy of an approximate solution to an equation. The (L_p) norm of a function (f(x)) is defined as [L_p (f(x)) = | f(x)|_ ho = igg[int^b_a |f(x)|^P dxigg]^ <1/p>]

The least squares norm (E) is in fact (L_2 (f(x))) , since [| f(x) |_2 = igg[ int^b_a |f(x)|^2 dxigg]^<1/2>] and thus [E^2 = [|f(x)|_2]^2 = [L_2(f(x))]^2]

An interesting comparison is between the line fitted to the data points of example 5 and the line fitted to the smooth exponential curve of eqn. (1.12), rewritten as follows.

We can approximate this function with a linear function,

by choosing (A) and (B) to minimize the (L_2) (least squares) norm of the difference between them, (y_1 - y_2) . Denote the norm by [E = |y_1 - y_2|_2 = [int^<30>_3 (y_1-y_2) dx]^<1/2>] Substituting eqns. (1.15) and (1.16) yields

We now minimize (E) by taking partial derivatives with respect to (A) and (B) (see Hertzberg 1977 for a review of differentiation). One first derivative will now be calculated, with the remainder of the minimization left as additional problems 2.

First, note that the minimum of (E) occurs at the same values of (A) and (B) which minimize (E_2) , since (E) is positive. The derivative of (E_2) with respect to (A) is now attempted. First, we write [frac = frac igg[ int^<30>_3 f(A,B,x)dxigg] ] where [ f(A,B,x) = (7.3[x+3.5]e^<-0.05x>-Ax - B)^2] Then the derivative is calculated after the integration is completed, which is not a simple task. It may be easier to differentiate under the integral sign first, and then integrate the result.

نظرية (Pearson 1974, p. 100).

Let (f(x,y)) be an integrable function of (x) for each (y) , and let (partial f / partial y) be continuous over (a le x le b, c le y le d) . Then [frac int^b_a f(x,y)dx = int^b_a (partial f / partial y)dx]

which can now be integrated.

No justification has yet been given for the constants in eqn. (1.15). These, too, may be determined by a least squares norm. See additional problems 1 for details.

The norm can also be used to estimate qualitatively the relative accuracies of approximate solutions to a differential equation. The limits are determined as above by the interval in which the accuracy is to be judged. An example is presented in the next section.

Note that the order of integration can be reversed when (f(x,y)) is continuous in (x) and (y) .↩︎


About thomas calculus 14th edition solution pdf free download

For three-semester or four-quarter courses in Calculus for students majoring in mathematics, engineering, or science

Clarity and precision

Thomas’ Calculus helps students reach the level of mathematical proficiency and maturity you require, but with support for students who need it through its balance of clear and intuitive explanations, current applications, and generalized concepts. في ال 14th Edition, new co-author Christopher Heil (Georgia Institute of Technology) partners with author Joel Hass to preserve what is best about Thomas’ time-tested text while reconsidering every word and every piece of art with today’s students in mind. The result is a text that goes beyond memorizing formulas and routine procedures to help students generalize key concepts and develop deeper understanding.


Efficient way to set up surface integral for a section of a sphere

Let $P$ be the polygon with vertices $(0,0), (1,0), (cos alpha, sin alpha)$ where $alpha le pi/2.$ I wish to find the surface area of the portion of the unit sphere that lies above $P$ or its interior. Unfortunately, every time I try to set up the integral, it becomes too messy.

1st attempt: The triangle has bounds le y le sin alpha$ and $y cot alpha le x le 1+(cos alpha - 1)frac.$ We can parameterize these bounds using le u,v le 1,$ then add $z = sqrt <1-x^2-y^2>= sqrt<1-f(u,v)^2-g(u,v)^2>.$

2nd attempt: We should instead parameterize via $sin heta, sin phi$ and let le heta, psi le pi/2.$ This gives us $y = sin alpha sin heta, x = cos alpha sin heta + (1-frac) sin phi,$ and $z = sqrt <1-x^2-y^2>= sqrt.$ In order to proceed, I need to compute $dS = ||frac> imes frac>|| d heta dphi.$ Unfortunately, $frac, frac$ are garbage.

Is there a better parametrization? How would you come up with it and what's the motivation?


محتويات

Consider a surface س on which a scalar field F ويعرف. If one thinks of س as made of some material, and for each x في س the number F(x) is the density of material at x, then the surface integral of F خلال س is the mass per unit thickness of س. (This is only true if the surface is an infinitesimally thin shell.)

One approach to calculating the surface integral is then to split the surface in many very small pieces, assume that the density is approximately constant on each piece, find the mass per unit thickness of each piece (by multiplying the density of the piece by its area), and then sum up the resulting numbers to find the total mass per unit thickness of س.

To find an explicit formula for the surface integral, mathematicians parametrize س by considering on س a system of curvilinear coordinates, like the latitude and longitude on a sphere. Let such a parametrization be x(س, ر), where (س, ر) varies in some region تي in the plane. Then, the surface integral is given by [1] [2]

where the expression between bars on the right-hand side is the magnitude of the cross product of the partial derivatives of x(س, ر).

For example, to find the surface area of some general functional shape, say z = f ( x , y ) , we have

which is the formula used for the surface area of a general functional shape. One can recognize the vector in the second line above as the normal vector to the surface.

Note that because of the presence of the cross product, the above formulas only work for surfaces embedded in three dimensional space.

Consider a vector field الخامس on س, that is, for each x في س, الخامس(x) is a vector.

The surface integral can be defined component-wise according to the definition of the surface integral of a scalar field the result is a vector. For example, this applies to the electric field at some fixed point due to an electrically charged surface, or the gravity at some fixed point due to a sheet of material. It can also calculate the magnetic flux through a surface.

Alternatively, mathematicians can integrate the normal component of the vector field the result is a scalar. An example is a fluid flowing through س, such that الخامس(x) determines the velocity of the fluid at x. The flux is defined as the quantity of fluid flowing through س in a unit amount of time.

This illustration implies that if the vector field is tangent to س at each point, then the flux is zero, because the fluid just flows in parallel to س, and neither in nor out. This also implies that if الخامس does not just flow along س, that is, if الخامس has both a tangential and a normal component, then only the normal component contributes to the flux. Based on this reasoning, to find the flux, we need to take the dot product of الخامس with the unit surface normal to س at each point, which will give us a scalar field, and integrate the obtained field as above. This gives the formula

The cross product on the right-hand side of this expression is a surface normal determined by the parametrization.

This formula يحدد the integral on the left (note the dot and the vector notation for the surface element).

Various useful results for surface integrals can be derived using differential geometry and vector calculus, such as the divergence theorem, and its generalization, Stokes' theorem.

Changing parametrization Edit

The discussion above defined the surface integral by using a parametrization of the surface س. A given surface might have several parametrizations. For example, when the locations of the North Pole and South Pole are moved on a sphere, the latitude and longitude change for all the points on the sphere. A natural question is then whether the definition of the surface integral depends on the chosen parametrization. For integrals of scalar fields, the answer to this question is simple: the value of the surface integral will be the same no matter what parametrization one uses.

Integrals of vector fields are more complicated, because the surface normal is involved. Mathematicians have proved that given two parametrizations of the same surface, whose surface normals point in the same direction, both parametrizations give the same value for the surface integral. If, however, the normals for these parametrizations point in opposite directions, the value of the surface integral obtained using one parametrization is the negative of the one obtained via the other parametrization. It follows that given a surface, we do not need to stick to any unique parametrization but, when integrating vector fields, we do need to decide in advance which direction the normal will point to, and then choose any parametrization consistent with that direction.

Parameterizations work on parts of the surface Edit

Another issue is that sometimes surfaces do not have parametrizations which cover the whole surface this is true for example for the surface of a cylinder (of finite height). The obvious solution is then to split that surface in several pieces, calculate the surface integral on each piece, and then add them all up. This is indeed how things work, but when integrating vector fields, one needs to again be careful in choosing the normal-pointing vector for each piece of the surface, so that when the pieces are put back together, the results are consistent. For the cylinder, this means that if we decide that for the side region the normal will point out of the body, then for the top and bottom circular parts, the normal must point out of the body too.

Inconsistent surface normals Edit

Last, there are surfaces which do not have a surface normal at each point with consistent results (for example, the Möbius strip). If such a surface is split into pieces, on each piece a parametrization and corresponding surface normal is chosen, and the pieces are put back together, the normal vectors coming from different pieces cannot be reconciled. This means that at some junction between two pieces will have normal vectors pointing in opposite directions. Such a surface is called non-orientable. Vector fields cannot be integrated on non-orientable surfaces.


Math 2E – Multivariable Calculus

Welcome to Math 2E, even more fun in several variables! In this course, we will pick up where Math 2D left off, and finish the material on integration. Then, we will delve into the beautiful world of vector calculus. Enjoy the ride! On this page you can find the syllabus and info about the exams, including practice exams.

Here is the syllabus for the course: Syllabus

Lecture Notes and Videos

Lecture Notes لقب YouTube Videos
Lecture 1 15.2, 15.3 Review: Double and Triple Integrals Order of Integration
Important Surfaces Polar Integral
Multivariable Integral
Integral over a ring
Volume of Ice Cream Cone
Lecture 2 15.6 Review: Triple Integrals (I) Gaussian Integral
Triple Integrals
Integral sin(x^2)
Golden Integral
Lecture 3 15.6 Review: Triple Integrals (II) Intersection of 2 cylinders
Lecture 4 15.7 Cylindrical Coordinates Cylindrical Coordinates
Intersection of 3 cylinders (optional)
Lecture 5 15.8 Spherical Coordinates (I) Derivation of Spherical Coordinates
Lecture 6 15.8 Spherical Coordinates (II) Mass of the sun
Spherical Coordinates Example
Volume of Ice Cream Cone
Lecture 7 15.9 Change of Variables (I) The Jacobian
Lecture 8 15.9 Change of Variables (II) The Jacobian (II)
Change of Variables
r dr dtheta
Hyperbolic Coordinates
Lecture 9 16.1 Vector Fields Vector Calculus Overview
Lecture 10 16.2 Line Integrals (I) Parametric Equations
Line Integral
Line Integral Example
Line Integral Derivation
Integral over a Helix
Line Integral Another Example
Line Integral of a function
Lecture 11 16.2 Line Integrals (II) Line Integral with respect to x
Line Integral of a Vector Field
Lecture 12 16.3 FTC of Line Integrals (I) FTC of Line Integrals
Lecture 13 16.3 FTC of Line Integrals (II) FTC Example
FTC 3D Example
Path Independence
FTC Pitfalls
Lecture 14 Midterm
Lecture 15 16.4 Green’s Theorem (I) Green’s Theorem
Lecture 16 16.4 Green’s Theorem (II) Area of Ellipse
Area of Polygon
Winding Number (optional)
Lecture 17 16.6 Parametric Surfaces (I) Tangent Plane to Surface
Lecture 18 16.6 Parametric Surfaces (II) Surface Area of Sphere
Lecture 19 16.7 Surface Integrals (I) Surface Integral of Function
Lecture 20 16.7 Surface Integrals (II) Surface Integral of Vector Field
Lecture 21 16.5, 16.9 Divergence Theorem (I) Divergence Theorem
Lecture 22 16.9 Divergence Theorem (II) Derivative of Volume
Volume of Polyhedron (optional)
Lecture 23 16.5 Curl
Lecture 24 16.8 Stokes’ Theorem (I) Integral over a barrel
Lecture 25 16.8 Stokes’ Theorem (II) Stokes’ Theorem
Lecture 26 Review: Surface Integrals
Lecture 27 Review: Line Integrals
Lecture 28 Review: Parametric Surfaces Surface Area of Donut

Suggested Homework

Suggested homework is ليس to be turned in, but important for the quizzes and the exams.

Here are solutions to all the problems in Stewart:

Suggested Homework “Due” Date تعليقات
Homework 1 Thursday, January 9 AP Solution
Homework 2 Thursday, January 16
Homework 3 Thursday, January 23 AP Solutions
Homework 4 Thursday, January 30
Homework 5 Thursday, February 6
Homework 6 Thursday, February 13 AP Solution
Homework 7 Thursday, February 20 AP Solutions +
16.6.64(a) Solutions
Homework 8 Thursday, February 27
Homework 9 Thursday, March 5 AP Solutions
Homework 10 Thursday, March 12 AP Solutions

Useful links

Canvas Course Site (mainly to check your quiz and exam scores)

Here you can find information about the exams, as well as other goodies such as study guides and practice exams.

Midterm Exam: Covers everything up to and including 16.3 (FTC of line integrals)


Surface Integrals of Scalar Functions

where the coordinates (left( ight)) range over some domain (Dleft( ight)) of the (uv)-plane. Notice that the function (fleft( ight)) is evaluated only on the points of the surface (S,) that is

The surface integral of scalar function (fleft( ight)) over the surface (S) is defined as

The absolute value (dS =) (left| <>><> ormalsize> imes >><> ormalsize>> ight|dudv) is called the area element : it represents the area (dS) of a small patch of the surface obtained by changing the coordinates (u) and (v) by small amounts (du) and (dv) (Figure (1)).

The area of the surface (S) is given by the integral

If the surface (S) is defined by the equation (z = zleft( ight),) where (zleft( ight)) is a differentiable function in the domain (Dleft( ight),) then the surface integral can be found by the formula

If a surface (S) consists of several “patches” (,) then for calculating the surface integral we can apply the additivity property:


شاهد الفيديو: استغلال السطح بطريقه رائعه (ديسمبر 2021).