مقالات

13.5E: قاعدة السلسلة لوظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)


13.5: قاعدة السلسلة

في التدريبات من 1 إلى 6 ، استخدم المعلومات المقدمة لحل المشكلة.

1) دع (w (x، y، z) = xy cos z، ) حيث (x = t، y = t ^ 2، ) و (z = arcsin t. ) ابحث عن ( dfrac {dw} {dt} ).

إجابه:
( dfrac {dw} {dt} = y cos z + x cos z (2t) - dfrac {xy sin z} { sqrt {1 − t ^ 2}} )

2) دع (w (t، v) = e ^ {tv} ) حيث (t = r + s ) و (v = rs ). ابحث عن ( dfrac {∂w} {∂r} ) و ( dfrac {∂w} {∂s} ).

3) إذا (w = 5x ^ 2 + 2y ^ 2، quad x = −3u + v، ) و (y = u − 4v، ) ابحث عن ( dfrac {∂w} {∂u} ) و ( dfrac {∂w} {∂v} ).

إجابه:
( dfrac {∂w} {∂u} = - 30x + 4y quad = quad -30 (-3u + v) + 4 (u - 4v) quad = quad 90u -30v + 4u - 16v quad = quad 94u - 46v ) ،
( dfrac {∂w} {∂v} = 10x − 16y quad = quad 10 (-3u + v) - 16 (u - 4v) quad = quad -30u + 10v - 16u + 64v رباعي = رباعي -46u + 74 فولت )

4) إذا (w = xy ^ 2، x = 5 cos (2t)، ) و (y = 5 sin (2t) ) ، ابحث عن ( dfrac {∂w} {∂t} ).

5) إذا (f (x، y) = xy، x = r cos θ، ) و (y = r sin θ ) ، ابحث عن ( dfrac {∂f} {∂r} ) والتعبير عن الإجابة من حيث (r ) و (θ ).

إجابه:
( dfrac {∂f} {∂r} = r الخطيئة (2θ) )

6) افترض (f (x، y) = x + y، u = e ^ x sin y، quad x = t ^ 2 ) و (y = πt ) ، حيث (x = r cos θ ) و (y = r sin θ ). ابحث عن ( dfrac {∂f} {∂θ} ).

في التدريبات من 7 إلى 12 ، أوجد ( dfrac {dz} {dt} ) بطريقتين ، باستخدام قاعدة السلسلة أولاً ثم التبديل المباشر.

7) (z = x ^ 2 + y ^ 2، quad x = t، y = t ^ 2 )

إجابه:
( dfrac {dz} {dt} = 2t + 4t ^ 3 )

8) (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، quad y = t ^ 2، x = t )

9) (z = xy، quad x = 1− sqrt {t}، y = 1 + sqrt {t} )

إجابه:
( dfrac {dz} {dt} = - 1 )

10) (z = frac {x} {y}، quad x = e ^ t، y = 2e ^ t )

11) (z = ln (x + y) ، quad x = e ^ t ، y = e ^ t )

إجابه:
( dfrac {dz} {dt} = 1 )

12) (ض = س ^ 4 ، رباعي س = t ، ص = t )

13) دع (w (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2، quad x = cost، y = sint، ) و (z = e ^ t ). عبر عن (w ) كدالة لـ (t ) وابحث عن ( dfrac {dw} {dt} ) مباشرةً. ثم ابحث عن ( dfrac {dw} {dt} ) باستخدام قاعدة السلسلة.

إجابه:
( dfrac {dw} {dt} = 2e ^ {2t} ) في كلتا الحالتين

14) دع (z = x ^ 2y، ) حيث (x = t ^ 2 ) و (y = t ^ 3 ). ابحث عن ( dfrac {dz} {dt} ).

15) دع (u = e ^ x sin y، ) حيث (x = - ln 2t ) و (y = πt ). ابحث عن ( dfrac {du} {dt} ) عندما (x = ln 2 ) و (y = frac {π} {4} ).

إجابه:
( dfrac {du} {dt} = sqrt {2} big ( pi - 4 big) )

في التمارين 16 - 33 ، أوجد ( dfrac {dy} {dx} ) باستخدام المشتقات الجزئية.

16) ( الخطيئة (6 س) + تان (8 ص) + 5 = 0 )

17) (س ^ 3 + ص ^ 2 س − 3 = 0 )

إجابه:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {3x ^ 2 + y ^ 2} {2xy} )

18) ( الخطيئة (س + ص) + كوس (س − ص) = 4 )

19) (س ^ 2−2xy + ص ^ 4 = 4 )

إجابه:
( dfrac {dy} {dx} = dfrac {y − x} {- x + 2y ^ 3} )

20) (xe ^ y + ye ^ x − 2x ^ 2y = 0 )

21) (x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3} )

إجابه:
( dfrac {dy} {dx} = - sqrt [3] { frac {y} {x}} )

22) (س كوس (س ص) + ص كوس س = 2 )

23) (e ^ {xy} + ye ^ y = 1 )

إجابه:
( dfrac {dy} {dx} = - dfrac {ye ^ {xy}} {xe ^ {xy} + e ^ y (1 + y)} )

24) (x ^ 2y ^ 3 + cos y = 0 )

25) ابحث عن ( dfrac {dz} {dt} ) باستخدام قاعدة السلسلة حيث (z = 3x ^ 2y ^ 3 ، ، ، x = t ^ 4 ، ) و (y = t ^ 2 ).

إجابه:
( dfrac {dz} {dt} = 42t ^ {13} )

26) دع (z = 3 cos x− sin (xy)، x = frac {1} {t}، ) و (y = 3t. ) ابحث عن ( dfrac {dz} {dt } ).

27) دع (z = e ^ {1 − xy} ، ، ، x = t ^ {1/3} ، ) و (y = t ^ 3 ). ابحث عن ( dfrac {dz} {dt} ).

إجابه:
( dfrac {dz} {dt} = - frac {10} {3} t ^ {7/3} × e ^ {1 − t ^ {10/3}} )

28) ابحث عن ( dfrac {dz} {dt} ) بقاعدة السلسلة حيث (z = cosh ^ 2 (xy)، ، ، x = frac {1} {2} t، ) و (y = e ^ t ).

29) دع (z = dfrac {x} {y}، ، ، x = 2 cos u، ) و (y = 3 sin v. ) ابحث عن ( dfrac {∂z} {∂u} ) و ( dfrac {∂z} {∂v} ).

إجابه:
( dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {−2 sin u} {3 sin v} ) و ( dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−2 cos u cos v} {3 sin ^ 2v} )

30) دع (z = e ^ {x ^ 2y} ) ، حيث (x = sqrt {uv} ) و (y = frac {1} {v} ). ابحث عن ( dfrac {∂z} {∂u} ) و ( dfrac {∂z} {∂v} ).

31) إذا (z = xye ^ {x / y}، ، ، x = r cos θ، ) و (y = r sin θ ) ، ابحث عن ( dfrac {∂z} { ∂r} ) و ( dfrac {∂z} {∂θ} ) عندما (r = 2 ) و (θ = فارك {π} {6} ).

إجابه:
( dfrac {∂z} {∂r} = sqrt {3} e ^ { sqrt {3}} ، dfrac {∂z} {∂θ} = (2−4 sqrt {3}) هـ ^ { sqrt {3}} )

32) ابحث عن ( dfrac {∂w} {∂s} ) إذا (w = 4x + y ^ 2 + z ^ 3، ، ، x = e ^ {rs ^ 2}، ، ، y = ln ( frac {r + s} {t}) ، ) و (z = rst ^ 2 ).

33) إذا (w = sin (xyz) ، ، ، x = 1−3t ، ، ، y = e ^ {1 − t} ، ) و (z = 4t ) ، ابحث عن ( dfrac {∂w} {∂t} ).

إجابه:
( dfrac {∂w} {∂t} = - 3yz cos (xyz) −xze ^ {1 − t} cos (xyz) + 4xy cos (xyz) )

في التمارين 34 - 36 ، استخدم هذه المعلومات: يُقال أن الدالة (f (x، y) ) متجانسة من الدرجة (n ) إذا (f (tx، ty) = t ^ nf (x، ذ) ). لجميع الدوال المتجانسة للدرجة (n ) ، المعادلة التالية صحيحة: (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x، y) ). أظهر أن الوظيفة المحددة متجانسة وتحقق من (x dfrac {∂f} {∂x} + y dfrac {∂f} {∂y} = nf (x، y) ).

34) (و (س ، ص) = 3 س ^ 2 + ص ^ 2 )

35) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:
(f (tx، ty) = sqrt {t ^ 2x ^ 2 + t ^ 2y ^ 2} = t ^ 1f (x، y)، quad dfrac {∂f} {∂y} = x frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2x + y frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {- 1/2} × 2 ص = 1 و (س ، ص) )

36) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص − 2 ص ^ 3 )

37) يُعطى حجم الأسطوانة الدائرية اليمنى بواسطة (V (x، y) = πx ^ 2y، ) حيث (x ) هو نصف قطر الأسطوانة و (y ) هو ارتفاع الأسطوانة. لنفترض أن (x ) و (y ) هي دالات لـ (t ) مقدمة بواسطة (x = frac {1} {2} t ) و (y = frac {1} {3} t ) بحيث يتزايد كل من (x ) و (y ) بمرور الوقت. ما مدى سرعة زيادة الحجم عندما (س = 2 ) و (ص = 5 )؟ افترض أن الوقت يقاس بالثواني.

إجابه:
( dfrac {dV} {dt} = frac {34π} {3} ، text {Units} ^ 3 / text {s} )

38) يرتبط ضغط الغاز بالحجم ودرجة الحرارة بالصيغة (PV = kT ) ، حيث يتم التعبير عن درجة الحرارة بوحدة الكلفن. عبر عن ضغط الغاز كدالة لكل من (V ) و (T ). ابحث عن ( dfrac {dP} {dt} ) عندما (k = 1، dfrac {dV} {dt} = 2 ) سم3/ دقيقة ، ( dfrac {dT} {dt} = 12 ) كلفن / دقيقة ، (V = 20 سم ^ 3 ) ، و (T = 20 درجة فهرنهايت ).

39) يتزايد نصف قطر المخروط الدائري الأيمن عند (3 ) سم / دقيقة بينما يتناقص ارتفاع المخروط عند (2 ) سم / دقيقة. أوجد معدل تغير حجم المخروط عندما يكون نصف القطر (13 ) سم والارتفاع (18 ) سم.

إجابه:
( frac {dV} {dt} = frac {1066π} {3} ، text {cm} ^ 3 / text {min} )

40) يتم الحصول على حجم مخروط من الصيغة (V = frac {1} {3} πz (x ^ 2 + y ^ 2 + xy)، ) حيث (x ) هو نصف قطر الدائرة الأصغر ، (y ) هو نصف قطر الدائرة الأكبر ، و (z ) هو ارتفاع الفراغ (انظر الشكل). أوجد معدل تغير حجم هذا الفراغ عندما (x = 10 ) بوصة ، (y = 12 ) بوصة ، و (z = 18 ) بوصة.

41) الصندوق المغلق على شكل مستطيل مصمت بأبعاد (س ، ص ، ) و (ض ). (الأبعاد بالبوصة.) لنفترض أن كل بُعد يتغير بمعدل (0.5 ) بوصة / دقيقة. أوجد معدل التغير في مساحة السطح الإجمالية للمربع عندما (x = 2 ) بوصة ، (y = 3 ) بوصة ، و (z = 1 ) في.

إجابه:
( frac {dA} {dt} = 12 ، text {in.} ^ 2 / text {min} )

42) المقاومة الكلية في دائرة بها ثلاث مقاومات فردية ممثلة بـ (x، y، ) و (z ) بواسطة الصيغة (R (x، y، z) = dfrac {xyz} {yz + xz + xy} ). افترض في وقت معين أن المقاومة (س ) هي (100 ، Ω ) ، المقاومة (ص ) هي (200 ، Ω ، ) والمقاومة (ض ) هي ( 300 ، Ω. ) أيضًا ، لنفترض أن المقاومة (س ) تتغير بمعدل (2 ، Ω / نص {دقيقة} ، ) تتغير المقاومة (ص ) بالمعدل من (1 ، Ω / نص {دقيقة} ) ، ولم تتغير المقاومة (ض ). أوجد معدل تغير المقاومة الكلية في هذه الدائرة في هذا الوقت.

43) درجة الحرارة (T ) عند نقطة ما ((x، y) ) هي (T (x، y) ) ويتم قياسها باستخدام المقياس المئوي. يزحف الذبابة بحيث يتم تحديد موضعها بعد (t ) ثانية بواسطة (x = sqrt {1 + t} ) و (y = 2 + frac {1} {3} t ) ، حيث (س ) و (ص ) تقاس بالسنتيمتر. تفي وظيفة درجة الحرارة (T_x (2،3) = 4 ) و (T_y (2،3) = 3 ). ما مدى سرعة ارتفاع درجة الحرارة على مسار الذبابة بعد (3 ) ثانية؟

إجابه:
(2 ) درجة مئوية / ثانية

44) يتم إعطاء مكونات (x ) و (y ) لسائل يتحرك في بعدين من خلال الوظائف التالية: (u (x ، y) = 2y ) و (v (x ، y) = −2x ) مع (x≥0 ) و (y≥0 ). سرعة السائل عند النقطة ((x، y) ) هي (s (x، y) = sqrt {u (x، y) ^ 2 + v (x، y) ^ 2} ) . أوجد ( dfrac {∂s} {∂x} ) و ( dfrac {∂s} {∂y} ) باستخدام قاعدة السلسلة.

45) دع (u = u (x، y، z)، ) حيث (x = x (w، t)، ، y = y (w، t)، ، z = z (w، t ) ، ، w = w (r ، s) ) ، و (t = t (r ، s). ) استخدم مخطط الشجرة وقاعدة السلسلة للعثور على تعبير لـ ( dfrac {∂u} {∂r} ).

إجابه:
( frac {∂u} {∂r} = frac {∂u} {∂x} ( frac {∂x} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂x } {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂y} ( frac {∂y} {∂w} frac {∂w} {∂r} + frac {∂y} {∂t} frac {∂t} {∂r}) + frac {∂u} {∂z} ( frac {∂z} {∂w} frac {∂w} {∂ r} + frac {∂z} {∂t} frac {∂t} {∂r}) )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام بول سيبرجر (كلية مجتمع مونرو) بتحرير LaTeX.