مقالات

4.1: وظائف الضرب


التعريف 4.1

الدوال النظرية للأرقام أو الدوال أو التسلسلات الحسابية هي دوال معرّفة على الأعداد الصحيحة الموجبة (أي ( mathbb {N} )) بقيم في ( mathbb {C} ).

لاحظ أنه في مجالات الرياضيات الأخرى ، فإن تسلسل الكلمات هو المصطلح الوحيد الشائع الاستخدام. سوف نستخدم هذه المصطلحات بالتبادل.

التعريف 4.2

دالة الضرب هي تسلسل يتضمن ( gcd (a، b) = 1 ) (f (ab) = f (a) f (b) ). وظيفة الضرب تمامًا هي الوظيفة التي لا يلزم فيها شرط ( gcd (a، b) = 1 ).

لاحظ أن الضرب الكامل يعني الضرب (لكن ليس العكس). السبب في أن هذا التعريف مثير للاهتمام ، هو أنه يسمح لنا بتقييم قيمة دالة الضرب (f ) على أي عدد صحيح طالما أننا نستطيع حساب (f (p ^ k) ) لأي عدد أولي (p ). في الواقع ، باستخدام النظرية الأساسية للحساب ،

[ start {array} {cccc} { mbox {if}} & {n = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & { mbox {ثم }} & {f (n) = prod_ {i = 1} ^ {r} f (p_ {i} ^ {l_ {i}})} end {array} nonumber ]

على النحو التالي مباشرة من التعريف 4.2.

مقترح 4.3

لنفترض أن (f ) دالة ضرب على الأعداد الصحيحة. ثم

[F (n) = sum_ {د | n} و (د) غير رقم ]

هو أيضا مضاعف.

دليل - إثبات

دعنا (n = prod ^ {r} _ {i = 1} p_ {i} ^ {l_ {i}} ). يمكن كتابة المجموع ( sum_ {d | n} f (d) ) باستخدام اللمة السابقة وحقيقة أن (f ) مضاعف:

[F (n) = sum_ {a_ {1} = 0} ^ {l_ {1}} cdots sum_ {a_ {r} = 0} ^ {l_ {r}} f (p_ {1} ^ {a_ {1}}) cdots f (p_ {r} ^ {a_ {r}}) nonumber ]

[= prod_ {i = 1} ^ {r} ( sum_ {a_ {i} = 0} ^ {l_ {i}} f (p_ {i} ^ {a_ {i}})) nonumber ]

الآن دعونا (a ) و (b ) عددان صحيحان أكبر من (1 ) وهكذا ( gcd (a، b) = 1 ) و (ab = n ). ثم من خلال نظرية العوامل الفريدة يمكن كتابة (أ ) و (ب ) على النحو التالي:

[ start {array} {ccc} {a = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & { mbox {and}} & {b = prod_ {i = r + 1} ^ {s} p_ {i} ^ {l_ {i}}} nonumber end {array} ]

يؤدي تطبيق الحساب السابق على (a ) و (b ) إلى أن (f (a) f (b) = f (n) ).

ربما تكون أبسط وظائف الضرب هي تلك التي (f (n) = n ^ k ) لبعض (k ) ثابتة. في الواقع ، (f (n) f (m) = n ^ {k} m ^ {k} = f (nm) ). في الواقع ، هذه دالة ضرب تمامًا.

التعريف 4.4

دعونا (k in mathbb {R} ). تعطي دالة الضرب ( sigma_ {k}: mathbb {N} rightarrow mathbb {R} ) مجموع الأس k-th للمقسومات الموجبة لـ (n ). بالتساوي:

[ sigma_ {k} (n) = sum_ {d | n} d ^ {k} nonumber ]

لاحظ أن تعدد ( sigma_k ) يتبع مباشرة من الاقتراح 4.3. الحالات الخاصة هي عندما (ك = 1 ) و (ك = 0 ). في الحالة الأولى ، تكون الوظيفة عبارة عن مجموع المقسومات الموجبة وعادة ما يتم إسقاط الرمز "1". عندما (ك = 0 ) ، عادة ما تسمى الوظيفة ( tau ) ، وقيمة الدالة هي عدد المقسومات الموجبة على وسيطتها.

نظرية 4.5

دع (n = prod ^ {r} _ {i = 1} p_ {i} ^ {l_ {i}} ) حيث (p_ {i} ) هي الأعداد الأولية. ثم لـ (k ne 0 )

[ sigma_ {k} (n) = prod ^ {r} _ {i = 1} ( frac {p_ {i} ^ {k (l_ {i} +1)} - 1} {p_ {i } ^ {k} -1}) nonumber ]

بينما لـ (k = 0 )

[ sigma_ {0} (n) = tau (n) = prod ^ {r} _ {i = 1} (l_ {i} +1) nonumber ]

دليل - إثبات

حسب الاقتراح 4.3 ، ( sigma_ {k} (n) ) مضاعف ، لذلك يكفي لحساب بعض الأعداد الأولية (p )

[ sigma_ {k} (p ^ l) = sum_ {i = 0} ^ {l} p_ {i} ^ {ik} = frac {p ^ {k (l + 1)} - 1} { p ^ {k} -1}) nonumber ]

وبالتالي ، فإن ( sigma_ {k} (n) ) هو بالفعل منتج لهذه المصطلحات.

ومع ذلك ، هناك وظائف ضرب أخرى مثيرة للاهتمام إلى جانب قوى المقسوم. وظيفة Mobius المحددة أدناه هي واحدة من هذه ، كما سنرى.

التعريف 4.6

يتم إعطاء دالة Mobius ( mu: mathbb {N} rightarrow mathbb {Z} ) بواسطة:

[ mu (n) = left { start {array} {ccc} {1} & { mbox {if}} & {n = 1} {0} & { mbox {if}} & { موجود p> 1 mbox {رئيس مع} p ^ 2 | n} {(-1) ^ r} & { mbox {if}} & {n = p_ {1} cdots p_ {r} mbox {and} p_ {i} mbox {هي أعداد أولية مميزة} } end {array} right. لا يوجد رقم]

التعريف 4.7

نقول أن n خالية من التربيع إذا لم يكن هناك عدد أولي (p ) مثل (p ^ 2 | n ).

Lemma 4.8.1 تحديث

دالة Mobius ( mu ) مضاعفة.

دليل - إثبات

من خلال العوامل الفريدة ، يُسمح لنا بافتراض ذلك

[ start {array} {ccccc} {n = ab} & { mbox {where}} & {a = prod_ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {l_ {i}}} & {and} & {b = prod_ {i = r + 1} ^ {s} p_ {i} ^ {l_ {i}}} end {array} nonumber ]

إذا كان (أ ) يساوي (1 ) ، إذن ( مو (أب) = مو (أ) مو (ب) = 1 مو (ب) ) ، وما شابه ذلك إذا (ب = 1 ). إذا لم يكن (a ) أو (b ) خاليًا من المربع ، فلن يكون أي منهما (n = ab ) ، وهكذا في هذه الحالة ، لدينا مرة أخرى ( mu (ab) = mu (a ) مو (ب) = 0 ). إذا كان كلا من (أ ) و (ب ) خاليين من التربيع ، فإن (r ) (في تعريف ( مو )) مضاف بشكل صارم وهكذا ((- 1) ^ r ) هو مضاعف بشكل صارم ، وبالتالي مضاعف.

التعريف 4.9

يتم تعريف دالة أويلر phi ، التي تسمى أيضًا دالة أويلر الكلية على النحو التالي: ( phi (n) ) يساوي عدد الأعداد الصحيحة في ( {1 ، cdots n } ) التي تعتبر عددًا أوليًا نسبيًا لـ (n ).


شاهد الفيديو: النماذج و عملية الضرب (شهر نوفمبر 2021).