مقالات

8.6: مشكلة القيمة الذاتية - تمارين - رياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

يجادل كما في الاقتراح 1 في مناقشة توسيع الكسر الجزئي لوظيفة النقل أنه إذا (j ne k ) ثم (D_ {j} P_ {k} = P_ {j} D_ {k} = 0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

جادل من المعادلة من مناقشة التمثيل الطيفي أن (D_ {j} P_ {j} = P_ {j} D_ {j} = D_ {j} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

التمرينين السابقين مفيدان للغاية عند حساب قوى المصفوفات. على سبيل المثال ، افترض أن (B ) هو 4 × 4 ، وأن (h = 2 ) و (m_ {1} = m_ {2} = 2 ). استخدم التمثيل الطيفي لـ (B ) مع التمرينين الأولين للوصول إلى صيغ بسيطة لـ (B ^ {2} ) و (B ^ {3} ).

حساب التمثيل الطيفي للمصفوفة الدائرية

[B = begin {pmatrix} {2} & {8} & {6} & {4} {4} & {2} & {8} & {6} {6} & {4} & {2} & {8} {8} & {6} & {4} & {2} end {pmatrix} nonumber ]

قم بتسمية جميع قيم eigenvalues ​​و eigenprojections و eigenvectors بعناية.


عناوين أخرى في الرياضيات التطبيقية

معلومات العنوان

يقدم هذا الكتاب أول مناقشة نظرية متعمقة وكاملة وموحدة لأهم فئتين من الخوارزميات لحل مسائل قيمة المصفوفة الذاتية: خوارزميات تشبه QR للمشكلات الكثيفة وطرق الفضاء الجزئي Krylov للمشكلات المتفرقة. يناقش المؤلف نظرية خوارزمية GR العامة ، بما في ذلك الحالات الخاصة (على سبيل المثال ، QR ، SR ، HR) ، وتطوير أساليب فضاء Krylov. كما تم تناول عملية Krylov العامة وخوارزميات Arnoldi والعديد من خوارزميات Lanczos ، والتي يتم الحصول عليها كحالات خاصة. يوفر الفصل الخاص بمشكلات القيمة الذاتية للمنتج مزيدًا من التوحيد ، حيث يوضح أن مشكلة القيمة الذاتية المعممة ، ومشكلة تحلل القيمة الفردية ، ومشكلات القيمة الذاتية للمنتج الأخرى يمكن اعتبارها جميعًا مشكلات قياسية في القيمة الذاتية.

يقدم المؤلف تمارين نظرية وحسابية يتم فيها توجيه الطالب ، خطوة بخطوة ، إلى النتائج. تشير بعض التمارين إلى مجموعة من برامج MATLAB® التي جمعها المؤلف والمتاحة على موقع ويب يكمل الكتاب.

مشاكل القيمة الذاتية منتشرة في كل مكان في الهندسة والعلوم. يقدم هذا الكتاب تطورًا نظريًا موحدًا لأهم فئتين من الخوارزميات لحل مسائل قيمة المصفوفة الذاتية: س رمثل الخوارزميات للمسائل الكثيفة وطرق Krylov subspace للمشكلات المتفرقة. أنا لا أدعي الاكتمال. يعكس اختياري للموضوعات اهتماماتي الخاصة ، والرغبة في الحفاظ على طول الكتاب في حدود المعقول ، والرغبة في إكمال الكتاب خلال حياتي.

من المتوقع أن يكون قراء هذا الكتاب على دراية بالأفكار الأساسية للجبر الخطي وأن يكون لديهم بعض الخبرة في حسابات المصفوفة. الطالب الذي استوعب جزءًا كبيرًا من كتابي أساسيات حسابات المصفوفة [221] وطوروا القليل من النضج الرياضي سيكونون في وضع جيد لتقدير هذا الكتاب. من المتوقع أن يعرف القارئ بالفعل أهمية حسابات القيمة الذاتية.

يحتوي الفصلين 1 و 2 على مواد أساسية ولا يُقصد قراءتها خطيًا. أقترح أن تبدأ بالفصل 3 وأن ترجع فقط إلى الفصول السابقة حسب الحاجة. تشكل الإصحاحات 3 و 4 و 8 و 9 قلب الكتاب. ربما ينبغي أن أدرج الفصل 6 حول مشكلة القيمة الذاتية المعممة في هذه القائمة أيضًا. اقرأ الفصل الخامس فقط إذا كنت مهتمًا بتفاصيل نظرية التقارب. اقرأ الفصل السابع إذا كان لديك رغبة في معرفة ما يحدث داخل الانتفاخ.


تمارين: القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (مشاكل مختارة)

المشكلة 9.1
وصف التحويل الخطي هندسيًا (T_A: mathbb^ 2 rightarrow mathbb^ 2 ) مُعطى بواسطة [A = start 0 & 1 1 & 0 نهاية] ثم تفسير معاني قيم eigenvalues ​​و eigenvectors وفقًا لذلك.

حل. (T_A ) هو انعكاس للخط (y = x. ) ومن ثم فإن (v ) هو متجه ذاتي لـ (T_A ) إذا وفقط إذا كان (v ) موازيًا أو متعامدًا مع السطر (y = x. ) (T_A ) لا يغير طول المتجه ، ومن ثم فإن القيمة الذاتية هي (1 ) أو (- 1. )

المشكلة 9.2
ابحث عن زوج أو أكثر من أزواج eigenvalue / eigenvector بخلاف الأس من النموذج (Ce ^ < lambda x> ) للعامل المشتق الثاني (D ^ 2: C ^ < infty> ( mathbb) rightarrow C ^ ( mathbb).)

حل. ضع في اعتبارك الوظائف (y = sin kx، ) (y = cos kx، ) (y = sin kx + cos kx ) لـ (k ne 0. ) القيمة الذاتية المقابلة لـ هذه الوظائف هي (- ك ^ 2. )

حل. إذا كان (y = Ce ^ < lambda x>، ) ثم (y '= lambda C e ^ < lambda x> ) و (y' = lambda ^ 2 Ce ^ < lambda x >. ) ومن ثم فإن كل رقم حقيقي غير سالب (p ) هو قيمة ذاتية لـ (D ^ 2. ) المتجهات الذاتية المقابلة لـ (p ) هي (y = Ce ^ < pm sqrt

x>. ) إذا (p = 0 ، ) فإن المتجه الذاتي المقابل لهذه القيمة الذاتية يكون فريدًا إذا (p> 0 ، ) ثم هناك متجهان متماثلان بالضبط يقابلان هذه القيمة الذاتية.

المشكلة 9.3
أظهر أنه إذا كان (T: V rightarrow V ) هو تحويل خطي ليس حقناً ، فإن (0 ) هي قيمة ذاتية لـ (T. )

حل. نظرًا لأن (T ) ليس واحدًا لواحد ، ( اسم الملف(T) ne left < mathbf <0> right > ، ) أي ، هناك متجه غير صفري (v in operatorname(T). ) بالنسبة لهذا المتجه (v ، ) لدينا (T (v) = mathbf <0> = 0v. ) ومن ثم فإن (0 ) هي قيمة ذاتية.

المشكلة 9.4
ابحث عن كثير الحدود المميز والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المقابلة للمصفوفة [A = start 1 & 2 0 & 4 نهاية.]

حل. [يبدأ tI - A & = left [ start t-1 & -2 0 & t-4 end right]، [5pt] p_A (t) & = det (tI-A) = (t-1) (t-4). end] المعادلة (p_A (t) = 0 ) لها حلين (t = 1 ) و (t = 4. )

تشير إلى اثنين من قيم eigenvalues ​​ ( lambda_1 = 1 ) و ( lambda_2 = 4. ) المتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي (v_1 = (1 ، ، 0) ) و (v_2 = (2 ، ) ، 3) ، ) على التوالي.

المشكلة 9.5
لأي قيم حقيقية لـ (a ) تقوم المصفوفة [A = left ( begin 2 & a -1 & 1 end right) ] هل لديك قيم ذاتية حقيقية؟ اذكر إجابتك على أنها عدم مساواة.

حل. كثير الحدود المميز لـ (A ) هو [p_A (t) = det left [ start t-2 & -a 1 & t-1 end right] = t ^ 2 - 3t + 2 + a. ] بما أن (t ^ 2 - 3t + 2 + a = 0 ) يحمل بعض الأرقام الحقيقية (t ، ) يجب أن يكون المميز غير سالب ، أي [D = 9 - 4 (2 + a) ge 0. ] لذلك [a le frac <1> <4>. ]

المشكلة 9.6
حساب خاصية كثير الحدود وقيم eigenvalues ​​للمصفوفة [A = start 1 & 0 & 0 0 & 4 & 2 0 & 2 & 1 نهاية.]

حل. إنه واضح ومباشر. [p_A (t) = det left [ start t-1 & 0 & 0 - & t-4 & -2 0 & -2 & t-1 end right] = t (t-1) (t-5). ] ومن هنا فإن القيم الذاتية هي [ lambda_1 = 0 ، ، ، lambda_2 = 1 ، ، ، lambda_3 = 5. ] المتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي [v_1 = left [ begin 0 1 -2 end right] ، ، ، v_2 = left [ start 1 0 0 end right]، ، ، v_3 = left [ start 0 2 1 endحق] . ]

المشكلة 9.7
أظهر أن المصفوفة التالية لا تحتوي على قيم ذاتية حقيقية. فسر هذا هندسيًا. [A = left ( start 0 & 1 -1 & 0 نهايةحق).]

حل. [A = left [ start cos frac <3> <2> pi & - sin frac <3> <2> pi sin frac <3> <2> pi & cos frac <3> <2 > pi النهاية right]. ] ومن ثم فإن (A ) يمثل استدارة بمقدار (- 90 ^ circ. ) لا يوجد متجه (v ) بخلاف صفر متجه يرضي (T (v) = lambda v ) لبعض الحجمي ( لامدا. )

المشكلة 9.8
دعونا (A في M_n ( mathbb) ) حيث (n ) غريب. أظهر أن (A ) يحتوي على قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل.

حل. بما أن [p_A (t) = det (tI-A) ، ] (p_A (t) ) هو متعدد الحدود من الدرجة (n ، ) ومعامل (t ^ n ) هو (1. ) ومن هنا [ lim_ p_A (t) = infty ، ، text ، ، ليم_ p_A (t) = - infty. ] من خلال تعريفات الحدود ، [p_A (t_0) 0 ] للبعض (t_0 ) و (t_1 ). علاوة على ذلك (t_0 ne t_1. ) بما أن (p_A (t) ) هي دالة مستمرة ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، (p_A ( lambda) = 0 ) لبعض ( lambda ) بين (t_0 ) و (t_1. ) ( lambda ) هي قيمة ذاتية حقيقية لـ (A. )

المشكلة 9.9
لأي (A في M_n ( mathbb) ، ) تبين أن عدد الجذور التخيلية لكثير الحدود المميز هو عدد زوجي. هذا يعطي نهج بديل للمشكلة السابقة.

حل. لنفترض أن (p_A (t) ) هو كثير الحدود المميز لـ (A. ) If ( lambda = a + bi، ) (a in mathbb، ) (ب في mathbb^ times ) و (p_A ( lambda) = 0 ، ) ثم ( overline < lambda> ne lambda ) و (p_A ( overline < lambda>) = 0. ) لاحظ أنه إذا كانت (A ) مصفوفة معقدة ، فلن نتمكن من اشتقاق هذه النتيجة.

المشكلة 9.10
لنفترض أن ( lambda in K ) قيمة ذاتية لـ (A in M_n (K). ) أظهر أن ( lambda ^ r ) هي قيم ذاتية لـ (A ^ r ، ) the (r ) قوة (A ، ) (r ge 0. )

حل. نقدم حلين.

أولاً ، هذا هو حل YC Lee: لنكن (v ) متجهًا ذاتيًا يتوافق مع ( lambda. ) ثم [A ^ r v = A ^ ( lambda v) = A ^ ( lambda ^ 2 v) = cdots = lambda ^ r v. ] ومن ثم فإن ( lambda ^ r ) هي قيمة ذاتية لـ (A ^ r. )

بعد ذلك ، هذا هو حل I Seul Bee: ضع في اعتبارك [ lambda ^ r I - A ^ r = ( lambda I-A) ( lambda ^ أنا + لامدا ^ أ + لامدا ^ أ ^ 2 + cdots + A ^ ). ] ومن هنا [p_ ( lambda ^ r) = det ( lambda IA) det ( ast) = 0 times det ( ast) = 0. ] لذلك ( lambda ^ r ) هي قيمة ذاتية لـ ( أ ^ ص. )

المشكلة 9.11
دع (A in M_n (K) ) على هذا النحو (A ^ r ) هو المصفوفة الصفرية للبعض (r ge 1. ) (في هذه الحالة ، يمثل (A ^ r ) (A ) إلى السلطة (r. )) أظهر أن جميع (A text <'s> ) القيم الذاتية هي (0. )

حل. إذا كانت ( lambda ne 0 ) و ( lambda ) قيمة ذاتية لـ (A ، ) فإن ( lambda ^ r ) هي قيمة ذاتية لـ (A ^ r. ) لكن القيمة الذاتية لـ (O ، ) المصفوفة الصفرية هي فقط (0. ) ومن ثم يجب أن تكون ( lambda ) صفرًا.

المشكلة 9.12
بيّن أن القيم الذاتية للمصفوفة المثلثية هي بالضبط المدخلات القطرية.

حل. دع (A = (a_)_) أن تكون مصفوفة مثلثة عليا. ثم_ = 0 ) لـ (i> j. ) بما أن (tI-A ) هو أيضًا مصفوفة مثلثة عليا ، فإن خاصية كثير الحدود المميزة لـ (A ) هي [p_A (t) = det (tI- أ) = prod_^ ن (t-a_). ] لذلك فإن القيم الذاتية لـ (A ) هي بالضبط (a_ <11> ، ) (a_ <22> ، ) ( cdots ، ) (a_، ) المداخل القطرية لـ (أ )

المشكلة 9.13
ابحث عن مثال لمصفوفة حقيقية (2 مرات 2 ) (أ ) غير قابلة للتقطير باعتبارها تشابهًا في ( mathbb)^ 2، ) ولكنه قابل للتقطير باعتباره تشابهًا داخليًا لـ ( mathbb^2.)

حل. خذ [A = left [ start 1 & 1 -1 & 1 نهاية right]. ] إذن كثير الحدود المميز لـ (A ) هو [p_A (t) = (t-1) ^ 2 +1. ] (p_A (t) ) لا يمكن أن تفترض صفرًا إلا إذا ( t ) هو رقم وهمي.

المشكلة 9.14
أوجد كل القيم الذاتية للمصفوفة [A = left ( begin 0 & 2 -2 & 4 نهايةحق).]

حل. بما أن (p_A (t) = (t-2) ^ 2، ) قيمة eigenvalue لـ (A ) هي فقط (2. )

المشكلة 9.15
بيّن أن مصفوفة المشكلة السابقة لا يمكن تحديدها قطريًا على الحقول الحقيقية أو المعقدة.

حل. نظرًا لأن (v = (1 ، ، 1) ) هو المتجه الذاتي الوحيد لـ (A ، ) المتجه الذاتي لـ (A ) لا يشكل قاعدة ذاتية. ومن ثم فإن (أ ) غير قابل للقطر.

المشكلة 9.16
أوجد القيم الذاتية للمصفوفة [A = start 2 & 1 0 & 5 نهاية.]

حل. بما أن (p_A (t) = (t-2) (t-5) ، ) قيم eigenvalues ​​هي ( lambda_1 = 2 ) و ( lambda_2 = 5 ، ) والمتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي (v_1 = (1 ، ، 0) ) و (v_2 = (1 ، ، 3). )

المشكلة 9.17
بالنسبة إلى المصفوفة (A ) الخاصة بالمسألة السابقة ، ابحث عن مصفوفة عكسية (P ) بحيث تكون (P ^ <-1> AP ) مصفوفة قطرية.

حل. [ اليسار [ البدء 2 & 0 0 & 5 نهاية right] = left [ start 1 & 1 0 & 3 نهاية right] ^ <-1> left [ begin 2 & 1 0 & 5 نهاية يمين] يسار [ ابدأ 1 & 1 0 & 3 نهايةحق]. ]

المشكلة 9.18
دع التسلسل ( left ) يتم تعريفه بشكل متكرر بواسطة [a_0 = 1 ، ، ، a_1 = 1 ، ، نص،، أ_ = 5 أ_ - 6a_n ، ، نص، ، n ge 0. ] ابحث عن الصيغة الصريحة للمصطلح العام (a_n. )

حل. يتم التعبير عن الصيغة العودية كـ [ left [ begin a_n a_ نهاية right] = left [ start 5 & ​​-6 1 & 0 نهاية يمين] يسار [ ابدأ أ_ أ_ نهاية يمين]. ] ومن هنا [ يسار [ ابدأ a_n a_ نهاية right] = left [ start 5 & ​​-6 1 & 0 نهاية حق] ^ اليسار [ البدء 1 1 نهاية يمين]. ] خذ [A = يسار [ ابدأ 5 & ​​-6 1 & 0 نهاية right]. ] القيم الذاتية لـ (A ) هي ( lambda_1 = 2 ) و ( lambda_2 = 3 ، ) والمتجهات الذاتية المقابلة لهذه القيم الذاتية هي [v_1 = left [ start 2 1 نهاية حق] ، ، نص ، ، v_2 = يسار [ تبدأ 3 1 نهاية يمين]. ] قطري (أ ) هو [ يسار [ ابدأ 5 & ​​-6 1 & 0 نهاية right] = left [ start 2 & 3 1 & 1 نهاية يمين] يسار [ ابدأ 2 & 0 0 & 3 نهاية يمين] يسار [ ابدأ 2 & 3 1 & 1 نهاية صحيح] ^ <-1>. ] ومن ثم لدينا [ ترك [ ابدأ a_n a_ نهاية right] = left [ start 2 & 3 1 & 1 نهاية يمين] يسار [ ابدأ 2^ & 0 \ 0 & 3^ نهاية يمين] يسار [ ابدأ 2 & 3 1 & 1 نهاية right] ^ <-1> left [ begin 1 1 نهايةحق]. ] يعطينا التقييم الصيغة [a_n = 2 ^ - 3^] لـ (n ge 0. )

المشكلة 9.19
ابحث عن إحداثيات جديدة (x '، ) (y' ) بحيث يمكن كتابة الأشكال التربيعية التالية كـ ( lambda_1 (x ') ^ 2 + lambda_2 (y') ^ 2. ) عبر عن ال النماذج التالية بالصيغة ( lambda_1 (x ') ^ 2 + lambda_2 (y') ^ 2. )
(1) (x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 )
(2) (2x ^ 2 + 2xy + 2y ^ 2 )
(3) (x ^ 2 -12xy -4y ^ 2 )
(4) (3x ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2 )
(5) (x ^ 2 - 2xy + y ^ 2 )

حل. (1) الصيغة (x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 ) يمكن التعبير عنها كـ [ left [ begin x & y end يمين] يسار [ ابدأ 1 & 2 2 & 1 نهاية يمين] يسار [ ابدأ x y end right] =: left [ start x & y end right] A left [ start x y end right]. ] القيم الذاتية لـ (A ) هي [ lambda_1 = 3 ، ، ، lambda_2 = -1 ] والمتجهات الذاتية المقابلة هي [ يسار [ ابدأ 1 1 نهاية يمين] ، ، ، يسار [ ابدأ -1 1 نهايةحق]. ] تطبيع هذه المتجهات الذاتية ، لدينا قاعدة ذاتية متعامدة: [ يسار [ ابدأ frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> end يمين] ، ، ، يسار [ ابدأ - frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> endحق]. ] ومن هنا فإن الإحداثي الجديد هو [ يسار [ يبدأ x y end right] = left [ start frac <1> < sqrt <2>> & - frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> & frac <1> < sqrt < 2 >> نهاية يمين] يسار [ ابدأ x ' y' end right]. ] نتيجة لذلك ، لدينا [x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 = 3 (x ') ^ 2 - (y') ^ 2. ]

(2) يمكن التعبير عن النموذج (2x ^ 2 + 2xy + 2y ^ 2 ) بالشكل [ left [ begin x & y end يمين] يسار [ ابدأ 2 & 1 1 & 2 نهاية يمين] يسار [ ابدأ x y end right] =: left [ start x & y end right] A left [ start x y end right]. ] القيم الذاتية لـ (A ) هي [ lambda_1 = 3 ، ، ، lambda_2 = 1 ] والمتجهات الذاتية المقابلة هي [ يسار [ ابدأ 1 1 نهاية يمين] ، ، ، يسار [ ابدأ -1 1 نهايةحق]. ] تطبيع هذه المتجهات الذاتية ، لدينا قاعدة ذاتية متعامدة: [ يسار [ ابدأ frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> end يمين] ، ، ، يسار [ ابدأ - frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> endحق]. ] ومن هنا فإن الإحداثي الجديد هو [ يسار [ يبدأ x y end right] = left [ start frac <1> < sqrt <2>> & - frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> & frac <1> < sqrt < 2 >> نهاية يمين] يسار [ ابدأ x ' y' end right]. ] نتيجة لذلك ، لدينا [2x ^ 2 + 2xy + 2y ^ 2 = 3 (x ') ^ 2 + (y') ^ 2. ]

(3) الإحداثي الجديد هو [ يسار [ ابدأ x y end right] = left [ start - frac <3> < sqrt <13>> & frac <2> < sqrt <13>> frac <2> < sqrt <13>> & frac <3> < sqrt < 13 >> نهاية يمين] يسار [ ابدأ x ' y' end right]. ] نتيجة لذلك ، لدينا [x ^ 2 - 12xy - 4y ^ 2 = 5 (x ') ^ 2 - 8 (y') ^ 2. ]

(4) الإحداثي الجديد هو [ يسار [ ابدأ x y end right] = left [ start frac <1> < sqrt <2>> & - frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> & frac <1> < sqrt < 2 >> نهاية يمين] يسار [ ابدأ x ' y' end right]. ] نتيجة لذلك ، لدينا [3x ^ 2 + 2xy + 3y ^ 2 = 4 (x ') ^ 2 +2 (y') ^ 2. ]

(5) الإحداثي الجديد هو [ يسار [ ابدأ x y end right] = left [ start - frac <1> < sqrt <2>> & frac <1> < sqrt <2>> frac <1> < sqrt <2>> & frac <1> < sqrt < 2 >> نهاية يمين] يسار [ ابدأ x ' y' end right]. ] نتيجة لذلك ، لدينا [x ^ 2 - 2xy + y ^ 2 = 2 (x ') ^ 2. ]


حل المعادلات الجبرية المتزامنة بأكثر من مجهولين

14.6 القيم الذاتية للمصفوفة والمتجهات الذاتية

إحدى الحالات التي تنشأ فيها مجموعة من المعادلات الخطية المتجانسة هي مشكلة المصفوفة الذاتية . هذه المشكلة تشبه إلى حد بعيد معادلة القيمة الذاتية للمشغل ، كما هو الحال في المعادلة. (13.1). تكمن المشكلة في العثور على متجه عمود ، X وعدد واحد القيمة الذاتية ب، مثل ذلك

أين ب هي المصفوفة المربعة التي نريد إيجاد المتجه الذاتي لها و X هل ناقل eigenvector (متجه عمود). منذ الجانب الأيمن من المعادلة. (14.22) هو نفسه بالسابق أين ه هي مصفوفة الهوية ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة. (14.22) كما

الذي يمثل مجموعة من المعادلات الخطية المتجانسة. يجب أن تكون المعادلات معتمدة خطيًا من أجل الحصول على حل.

مثال 14.6

أوجد قيم ب و X التي تفي بمعادلة القيمة الذاتية

معادلة القيمة الذاتية تعادل

نبحث الآن عن المتجه الذاتي الثاني ، حيث y = 2 ، أو b = 1 - 2. التعويض عن هذا في المعادلات الآنية يعطي

تمرين 14.9

أظهر أن المتجه الذاتي الثاني في المثال السابق هو متجه ذاتي.

تمرين 14.10

ابحث عن المتجه الذاتي الثالث للمثال السابق.

في طرق مختلفة في كيمياء الكم ، يتم تمثيل الوظائف المدارية كمجموعات خطية من وظائف الأساس. تنشأ مجموعة من المعادلات الخطية المتزامنة المتزامنة التي يتعين حلها من أجل المعاملات في التركيبات الخطية. الشرط المحدد يسمى معادلة علمانية، وقيمة eigenvalue تمثل الطاقة المدارية. أبسط نظرية تقريبية تستخدم هذا التمثيل للمدارات الجزيئية هي طريقة Hückel ، والتي تسمى طريقة شبه تجريبية لأنها تعتمد على البيانات التجريبية لتقييم تكاملات معينة تحدث في النظرية. يُفترض أن بعض التكاملات الأخرى ستختفي.

مثال 14.7

احصل على تعبيرات عن الطاقات المدارية لجذر الأليل CH 2 CHCH 2 في تقريب Hückel.

تمرين 14.11

معادلة Hückel العلمانية لجزيء الهيدروجين هي


مقدمة ومراجعة

M8 / 26: مقدمة عن الفصل

W8 / 28: الدوال الأولية (39 دقيقة ، تمارين): اللوغاريتمات ، الأسية ، المثلثية

M9 / 2: عيد عمل سعيد!

F9 / 6 Taylor Series (29 دقيقة ، تمارين) [ ص غرينبرغ 629-636 ]

(انظر المثال النصي Matlab للحصول على نصائح حول PS2)

راجع أيضًا الإحداثيات الأسطوانية والكروية (على سبيل المثال ، صفحات من Simmons)

المعادلات التفاضلية العادية (ODEs)

• M9 / 16 ODEs الخطية من الدرجة الأولى: [Ch2.2 pp. 18-31 ]

• F9 / 20 معالجات ODE الخطية من الدرجة الأولى: التطبيقات [ الفصل 2.3 ص 33-43 ]

• الاضمحلال الإشعاعي (11 دقيقة) تمارين PS3 & amp ؛ فيديو 9/20

• F9 / 27 الطرق العددية [§ 6.1 & amp 6.2 ]

• W10 / 2 لا يوجد فيديو: لنعمل على أكواد الكمبيوتر في الفصل.

• F10 / 4 ODEs ذات الترتيب الأعلى [ § 3.1-3.2 ]

• M10 / 7 منتصف الفصل الدراسي 1 بشأن المواد الخاصة بمجموعات المشكلات 1-4 (مشكلات الدراسة في منتصف المدة 1 وأهداف التعلم لأمبير)

• W10 / 9 ODEs ذات الترتيب الأعلى [ § 3.3 ]

• مذبذب توافقي F 10/11 ، تذبذب حر

المصفوفات والجبر الخطي

• نظام المعادلات الخطية M10 / 21 [ الفصل 8 ]

لا يوجد فصل: *** يرجى التطوع في SOEST Open House PS8 والتمارين المستحقة 10/25


التمرين 1.8.6 - الطوبولوجيا التفاضلية (Guillemin و Pollack)

1.8.6 - أ حقل شعاعي $ vec$ على مشعب $ X $ في $ mathbb^ N $ خريطة سلسة $ vec: X to mathbb^ N $ مثل هذا $ vec(x) $ دائمًا ما يكون مماسًا لـ X عند x. تحقق من أن التعريف التالي (الذي لا يذكر صراحةً القيمة المحيطة $ mathbb^ N $) مكافئ: حقل متجه $ vec$ على X هو ملف المقطع العرضي من T (X) - أي ، عملية حسابية سلسة $ vec: X to T (X) $ مثل أن $ p circ vec$ يساوي خريطة هوية $ X $.

(1) $ T (X) $ هو حزمة الظل من متشعب $ X $ في $ mathbb^ N $. المساحات المماسية لـ $ X $ عند نقاط vario8us هي مساحات فرعية متجهة لـ $ mathbb^ N $ التي ستتداخل بشكل عام مع بعضها البعض. حزمة الظل T (X) عبارة عن حيلة تستخدم لفصلها عن بعضها. على وجه التحديد ، $ T (X) $ هو حيلة تستخدم لتفكيكهم. على وجه التحديد ، T (X) هي مجموعة فرعية من $ X times mathbb^ N $ محدد بواسطة $ T (X) = <(x، v) in X times mathbb^ N: v in T_x (X) ، $ حيث $ T_x (X) $ هي مسافات الظل عند $ x $ على $ X $.

(2) $ p $ هو ببساطة خريطة الإسقاط $ p: T (X) to X $، $ p (x، v) = x $ هو غمر.

لا أستطيع أن أقوم بربط دقيق بين التعريفين. أعلم أنه ببساطة استخدم التعاريف ، لكن اشرح رسميًا كيف يتم الانتقال من واحد إلى آخر؟


تمارين 8.6

في المسائل التالية ، احسب تقريب شبه المنحرف وسمبسون باستخدام 4 فترات فرعية ، واحسب تقدير الخطأ لكل منهما. (قد يكون العثور على القيم القصوى للمشتقات الثانية والرابعة أمرًا صعبًا بالنسبة لبعض هؤلاء ، فقد تستخدم آلة حاسبة بيانية أو برنامج كمبيوتر لتقدير القيم القصوى.) إذا كان لديك وصول إلى Sage أو برنامج مشابه ، فقرب كل جزء من رقمين عشريين أماكن. يمكنك استخدام ورقة عمل Sage هذه للبدء.


8.6: مشكلة القيمة الذاتية - تمارين - رياضيات

اليوم 30 نوفمبر هو يوم AMS! انضم إلى احتفالنا بأعضاء AMS واستكشف العروض الخاصة على منشورات AMS والعضوية والمزيد. نهاية العروض الساعة 11:59 مساءً بتوقيت شرق الولايات المتحدة.

ISSN 1088-6842 (عبر الإنترنت) ISSN 0025-5718 (طباعة)

يتم تطبيق نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط مسبقًا على فضاء جزئي


المؤلف: كلاوس نيمير
مجلة: الرياضيات. شركات 71 (2002), 197-216
MSC (2000): الابتدائية 65N30 ، 65N25 الثانوية 65F10 ، 65F15
DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-01-01357-6
تم النشر إلكترونيًا: 17 سبتمبر 2001 م
مراجعة MathSciNet: 1862995
الوصول المجاني إلى PDF للنص الكامل

الخلاصة: الهدف من هذا البحث هو توفير تحليل تقارب لتكرار فضاء جزئي مشروط مسبقًا ، والذي تم تعيينه لتحديد عدد متواضع من أصغر قيم eigenvalues ​​والمساحة الفرعية الثابتة المقابلة لها من المتجهات الذاتية لمصفوفة محددة موجبة متماثلة كبيرة. الخوارزمية مبنية على تطبيق فضاء فرعي للتكرار المعكوس المشروط مسبقًا ، أي إجراء التكرار العكسي المعروف ، حيث يتم حل نظام المعادلات الخطية المرتبط تقريبًا باستخدام عامل التكييف المسبق. يتبع هذه الخطوة إسقاط Rayleigh-Ritz بحيث يتم تطبيق التكرار العكسي المشروط مسبقًا دائمًا على متجهات Ritz في الفضاء الجزئي الفعلي للمتجهات الذاتية التقريبية. توفر النظرية المعطاة تقديرات تقارب حادة لقيم ريتز وهي مبنية بشكل أساسي على الحجج التي تستغل الهندسة الكامنة وراء التكرار العكسي المشروط مسبقًا.

  • جيمس إتش برامبل ، جوزيف إي. باسشياك ، وأندرو في كنيازيف ، خوارزمية شرط مسبق للفضاء الفرعي لحساب eigenvector / eigenvalue، حال. حاسوب. رياضيات. 6 (1996) ، لا. 2 ، 159-189 (1997). السيد 1431791، DOI https://doi.org/10.1007/BF02127702
  • فرانسواز شاتلين القيم الذاتية للمصفوفات، John Wiley & amp Sons، Ltd.، Chichester، 1993. مع تمارين ماريو أهويس والمؤلف مترجم من الفرنسية وبمواد إضافية بواسطة والتر ليدرمان. السيد 1232655
  • إرنست آر ديفيدسون ، الحساب التكراري لعدد قليل من أدنى قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية المقابلة لمصفوفات متماثلة حقيقية كبيرة، J. Comput. فيز. 17 (1975) ، 87-94. السيد 381271، DOI https://doi.org/10.1016/0021-9991٪2875٪2990065-0
  • E.G Dyakonov ، بعض طرق التكرار في مشاكل القيمة الذاتية، حصيرة. زميتكي 34 (1983) ، لا. 6 ، 897-912 (بالروسية). السيد 731332
  • يوجين ج. التحسين في حل مشاكل الاهليلجيه، مطبعة سي آر سي ، بوكا راتون ، فلوريدا ، 1996. مترجم من الترجمة الروسية الأصلية لعام 1989 المحررة ومع مقدمة بقلم ستيف ماكورميك. السيد 1396083
  • دياكونوف و أ.ف.كنيازيف ، طريقة التكرار الجماعي لإيجاد أدنى قيم ذاتية، فيستنيك موسكوف. جامعة. سر. الخامس عشر فيتشيسل. حصيرة. كيبرنت. 2 (1982) ، 29–34 ، 81 (الروسية). السيد 663544
  • دياكونوف و أ.ف.كنيازيف ، على طريقة تكرارية لإيجاد قيم ذاتية أقل، الروسية J. Numer. شرجي. رياضيات. النمذجة 7 (1992) ، لا. 6 ، 473-486. السيد 1202649، DOI https://doi.org/10.1515/rnam.1992.7.6.473
  • إ. ج. ديجاكونوف وم. جو. أوريوف ، التقليل من العمل الحسابي في إيجاد القيم الذاتية الأولى للعوامل التفاضلية، حصيرة. زميتكي 27 (1980) ، لا. 5 ، 795-812 ، 831 (الروسية). السيد 578262
  • S. K.Godunov ، و V. V. Ogneva ، و G.P. Prokopov ، تقارب طريقة النسب الأكثر انحدارًا المعدلة في حساب قيم eigenvalues، المعادلات التفاضلية الجزئية (الندوات العملية) (الروسية)، ازدات. "نوكا" ، موسكو ، 1970 ، ص 77-80 (بالروسية). السيد 0324886
  • جين إتش جولوب وتشارلز إف فان لون ، حسابات المصفوفة، الطبعة الثالثة ، دراسات جونز هوبكنز في العلوم الرياضية ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز ، بالتيمور ، دكتوراه في الطب ، 1996. MR 1417720
  • أولا إبسن. تاريخ من التكرار العكسي، المجلد في Helmut Wielandt، Mathematische Werke، Mathematical Works، Vol. 2: الجبر الخطي والتحليل ، الصفحات 464-472. والتر دي جروتر ، برلين ، 1996.
  • Ilse C.F. Ipsen ، حساب المتجه الذاتي مع التكرار العكسي، صيام القس. 39 (1997) ، لا. 2 ، 254 - 291. السيد 1453320، DOI https://doi.org/10.1137/S0036144596300773
  • أندرو في كنيازيف ، eigensolvers المشروطة مسبقا - تناقض لفظي؟، إلكترون. عبر. رقم. شرجي. 7 (1998) ، 104-123. مشاكل القيمة الذاتية على نطاق واسع (Argonne، IL، 1997). السيد 1667642
  • ك. نيمير. تقدير الخطأ اللاحق لمشكلات eigenproblems. Sonderforschungsbereich 382 ، جامعة توبنغن ، تقرير 132 ، 1999.
  • ك. نيمير. نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط. الأول: إكستريما من حاصل رايلي. تطبيق الجبر الخطي. 322 (1-3): 61-85 ، 2001.
  • ك. نيمير. نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط. الثاني: تقارب التقديرات. تطبيق الجبر الخطي. 322 (1-3): 87-104 ، 2001.
  • بيريسفورد إن بارليت ، مشكلة القيمة الذاتية المتماثلة، Prentice-Hall، Inc.، Englewood Cliffs، NJ، 1980. Prentice-Hall Series in Computational Mathematics. السيد 570116
  • دبليو في بيتريشين ، حول مسألة القيمة الذاتية $ Tu- lambda Su = 0 $ مع عوامل تشغيل غير محدودة وغير متماثلة $ T $ و $ S $، فيلوس. عبر. روي. شركة سر لندن. أ 262 (1967/68) ، 413-458. السيد 222697، DOI https://doi.org/10.1098/rsta.1968.0001
  • بكالوريوس ساموكيش. طريقة الانحدار الأكثر حدة لمشكلة القيمة الذاتية مع المشغلين شبه المحدودين. Izv. فيسش. أوتشيبن. زافيد. حصيرة., 5:105–114, 1958.
  • ج. برامبل ، جيه إي باسياك ، وأ. كنيازيف. خوارزمية شرط مسبق للفضاء الفرعي لحساب eigenvector / eigenvalue. حال. حاسوب. رياضيات., 6:159–189, 1996.
  • F. شاتلين. القيم الذاتية للمصفوفات. وايلي ، تشيتشيستر ، 1993.
  • إي آر ديفيدسون. الحساب التكراري لعدد قليل من أدنى قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية المقابلة لمصفوفات متماثلة حقيقية كبيرة. J. كومبوت. فيز., 17:87–94, 1975.
  • على سبيل المثال دياكونوف. طرق التكرار في مشاكل القيمة الذاتية. رياضيات. ملاحظات, 34:945–953, 1983.
  • على سبيل المثال دياكونوف. التحسين في حل مشاكل الاهليلجيه. مطبعة CRC ، بوكا راتون ، فلوريدا ، 1996.
  • على سبيل المثال D′yakonov و A.V. كنيازيف. طريقة المجموعة التكرارية لإيجاد قيم ذاتية منخفضة الرتبة. جامعة موسكو. حاسوب. رياضيات. سايبرن., 2:32–40, 1982.
  • على سبيل المثال D′yakonov و A.V. كنيازيف. على طريقة تكرارية لإيجاد قيم ذاتية أقل. الروسية J. Numer. شرجي. رياضيات. النمذجة, 7(6):473–486, 1992.
  • على سبيل المثال دياكونوف وم. أوريخوف. التقليل من العمل الحسابي في تحديد القيم الذاتية الأولى للمشغلين التفاضليين. رياضيات. ملاحظات, 27:382–391, 1980.
  • ك. غودونوف ، في. أوجنيفا ، وج. بروكوبوف. حول تقارب الطريقة المعدلة من أصل حاد في حساب قيم eigenvalues. عامر. رياضيات. شركة ترجمة. سر. 2, 105:111–116, 1976.
  • م. جولوب وسي. فان لوان. حسابات المصفوفة. مطبعة جامعة جون هوبكنز ، بالتيمور ، دكتوراه في الطب ، الطبعة الثالثة ، 1996.
  • أولا إبسن. تاريخ من التكرار العكسي، المجلد في Helmut Wielandt، Mathematische Werke، Mathematical Works، Vol. 2: الجبر الخطي والتحليل ، الصفحات 464-472. والتر دي جروتر ، برلين ، 1996.
  • أولا إبسن. حساب المتجه الذاتي مع التكرار العكسي. سيام القس., 39:254–291, 1997.
  • أ. كنيازيف. eigensolvers المشروطة مسبقا - تناقض لفظي؟ إلكترون. عبر. رقم. شرجي., 7:104–123, 1998.
  • ك. نيمير. تقدير الخطأ اللاحق لمشكلات eigenproblems. Sonderforschungsbereich 382 ، جامعة توبنغن ، تقرير 132 ، 1999.
  • ك. نيمير. نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط. الأول: إكستريما من حاصل رايلي. تطبيق الجبر الخطي. 322 (1-3): 61-85 ، 2001.
  • ك. نيمير. نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط. الثاني: تقارب التقديرات. تطبيق الجبر الخطي. 322 (1-3): 87-104 ، 2001.
  • ب. بارليت. مشكلة القيمة الذاتية المتماثلة. برنتيس هول ، إنجليوود كليفس نيو جيرسي ، 1980.
  • دبليو. بيتريشين. حول مسألة القيمة الذاتية $ Tu- lambda Su = 0 $ مع عوامل التشغيل غير المحدودة وغير المتماثلة $ T $ و $ S $. فيلوس. عبر. روي. شركة رياضيات. فيز. علوم., 262:413–458, 1968.
  • بكالوريوس ساموكيش. طريقة الانحدار الأكثر حدة لمشكلة القيمة الذاتية مع المشغلين شبه المحدودين. Izv. فيسش. أوتشيبن. زافيد. حصيرة., 5:105–114, 1958.

استرجع المقالات بتنسيق رياضيات الحساب مع MSC (2000): 65N30 ، 65N25 ، 65F10 ، 65F15

استرجاع المقالات في جميع المجلات باستخدام MSC (2000): 65N30، 65N25، 65F10، 65F15

كلاوس نيمير
الانتماء: Mathematisches Institut der Universität Tübingen، Auf der Morgenstelle 10، 72076 Tübingen، Germany
MR معرف المؤلف: 672470
بريد إلكتروني: [email protected]

الكلمات المفتاحية: مشكلة القيمة الذاتية المتماثلة ، تكرار الفضاء الجزئي ، التكييف المسبق ، الشبكة المتعددة ، التكرار العكسي
استلمه المحرر (المحررون): 27 يوليو 1999
تم النشر إلكترونيًا: 17 سبتمبر 2001
حقوق الطبع والنشر للمادة: حقوق الطبع والنشر لعام 2001 لجمعية الرياضيات الأمريكية


طريقة QR

حتى الآن ، تبدو الطرق التي ناقشناها مناسبة للعثور على قيمة أو عدد قليل من القيم الذاتية والمتجهات الذاتية في وقت واحد. من أجل العثور على المزيد من قيم eigenvalues ​​، سيتعين علينا القيام بقدر كبير من البرمجة الخاصة. علاوة على ذلك ، ستواجه هذه الطرق مشكلة بالتأكيد إذا كانت المصفوفة تحتوي على قيم ذاتية متكررة ، أو قيم ذاتية مميزة من نفس الحجم ، أو قيم ذاتية معقدة. `` طريقة QR '' هي طريقة تعالج هذه الأنواع من المشاكل بطريقة موحدة ، وتحسب جميع القيم الذاتية ، ولكن ليس المتجهات الذاتية ، في وقت واحد.

اتضح أن طريقة الاستجابة السريعة مكافئة لطريقة الطاقة التي تبدأ بأساس المتجهات ومع تقويم غرام-شميدت المطبق في كل خطوة ، كما فعلت في التمرين 6. يمكن العثور على شرح جيد في ملاحظات الفصل الدراسي للبروفيسور جريج فاشور . http://www.math.iit.edu/

  1. بالنظر إلى مصفوفة ، قم ببناء معامل QR الخاص بها و ،
  2. جلس .
  3. إذا حدث تقارب ، توقف ، وإلا ارجع إلى الخطوة 1.
  • إذا كانت المصفوفة متماثلة ، فإن تسلسل المصفوفات يتقارب إلى مصفوفة قطرية.
  • إذا كانت قيمة eigenvalue حقيقية ، فإن الأجزاء المثلثية السفلية تتقارب مع الصفر وتتقارب الأقطار إلى قيم eigenvalues.

في المختبر 7 ، كتبت الدالة gs_factor.m ، التي تستخدم طريقة جرام-شميدت المعدلة في حاصل ضرب مصفوفة متعامدة ، Q ، ومصفوفة مثلثية عليا ، R. ستستخدم هذه الوظيفة في هذا التمرين المعملي. يمكن إجراء كل شيء في هذا المعمل باستخدام دالة Matlab qr أو دالة h_factor.m من المعمل 7 ، ولكن يجب عليك استخدام gs_factor لهذا المعمل.

  1. استرجع ملف gs_factor.m الخاص بك من Lab 7 ، أو قم بتنزيل النسخة الخاصة بي gs_factor.m.
  2. اكتب ملف m لطريقة QR لمصفوفة أ. يجب أن يحتوي ملفك على التوقيع: e هو متجه للقيم الذاتية لـ A. نظرًا لأنه من المفترض أن يتقارب المثلث السفلي من المصفوفة ، فقم بإنهاء التكرار عندما

لا تعمل عمليات التنفيذ الجادة لطريقة الاستجابة السريعة بالطريقة التي يعمل بها الإصدار الخاص بنا. يشبه الكود رمز تحليل القيمة المفرد الذي ستراه في المعمل التالي ولا يتم إنشاء المصفوفتين Q و R بشكل صريح أبدًا. تستخدم الخوارزمية أيضًا التحولات لمحاولة تسريع التقارب وإيقاف التكرار لقيم eigenvalues ​​المتقاربة بالفعل.

في القسم التالي ننظر في مسألة تقارب خوارزمية QR الأساسية.


8.6: مشكلة القيمة الذاتية - تمارين - رياضيات

جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI متاحة على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من قبل المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


شاهد الفيديو: وش دخل برنولي في ثابت أويلر (شهر نوفمبر 2021).