مقالات

3.2: حل الأنظمة الخطية ذات المتغيرين - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل الأنظمة الخطية باستخدام طريقة الاستبدال.
  • حل الأنظمة الخطية باستخدام طريقة الحذف.
  • تحديد نقاط القوة والضعف في كل طريقة.

طريقة الاستبدال

في هذا القسم ، نستعرض أسلوبًا جبريًا بالكامل لحل الأنظمة ، وهو الاستبدال طريقة11. الفكرة هي حل معادلة واحدة لأحد المتغيرات واستبدال النتيجة في المعادلة الأخرى. بعد تنفيذ خطوة الاستبدال هذه ، يتبقى لنا معادلة واحدة بمتغير واحد ، والتي يمكن حلها باستخدام الجبر.

مثال ( PageIndex {1} ):

حل بالتعويض: ( left { begin {array} {l} {2 x + y = - 3} {3 x - 2 y = - 8} end {array} right. ).

المحلول

قم بحل أي متغير في أي من المعادلتين. إذا اخترت المعادلة الأولى ، فيمكنك عزل (y ) في خطوة واحدة.

استبدل التعبير (- 2x-3 ) بالمتغير (y ) في ملف آخر معادلة.

هذا يترك لنا معادلة مكافئة بمتغير واحد ، والتي يمكن حلها باستخدام التقنيات التي تم تعلمها حتى هذه النقطة. حل المتغير المتبقي.

عودة استبدل12 للعثور على إحداثيات أخرى. عوّض (x = −2 ) في أي من المعادلات الأصلية أو ما يعادلها. عادةً ما نستخدم المعادلة المكافئة التي وجدناها عند عزل متغير في الخطوة الأولى.

تذكر تقديم الحل كزوج مرتب: ((- 2 ، 1) ). تحقق من أن هذه الإحداثيات تحل المعادلتين في النظام الأصلي:

التحقق من: ((-2,1))المعادلة 1المعادلة 2جدول ( PageIndex {1} )

يتبع الرسم البياني لهذا النظام الخطي:

طريقة الاستبدال لحل الأنظمة هي طريقة جبرية تمامًا. وبالتالي فإن رسم الخطوط غير مطلوب.

إجابه:

((-2, 1))

مثال ( PageIndex {2} ):

حل بالتعويض: ( left { begin {array} {l} {3 x - 5 y = 9} {4 x + 2 y = - 1} end {array} right. ).

المحلول

لا يهم المتغير الذي نختار عزله أولاً. في هذه الحالة ، ابدأ بحل (س ) في المعادلة الأولى.

بعد ذلك ، استبدل في المعادلة الثانية وحل من أجل (y ).

استبدل رجوعًا بالمعادلة المستخدمة في خطوة الاستبدال:

إجابه:

( left ( frac {1} {2} ، - frac {3} {2} right) )

تمرين ( PageIndex {1} )

حل بالتعويض: ( left { begin {array} {l} {5 x - 4 y = 3} {x + 2 y = 2} end {array} right. ).

إجابه

( left (1، frac {1} {2} right) )

www.youtube.com/v/GzPhthhKeDA

كما نعلم ، لا تحتوي كل الأنظمة الخطية على حل زوجي مرتب واحد فقط. بعد ذلك ، نستكشف ما يحدث عند استخدام طريقة الاستبدال لحل نظام تابع.

مثال ( PageIndex {3} ):

حل بالتعويض: ( left { begin {array} {l} {- 5 x + y = - 1} {10 x - 2 y = 2} end {array} right. ).

المحلول

نظرًا لأن المعادلة الأولى لها مصطلح ذو معامل (1 ) ، فإننا نختار حل ذلك أولاً.

بعد ذلك ، استبدل هذا التعبير بـ (y ) في المعادلة الثانية.

أدت هذه العملية إلى بيان صحيح ؛ ومن ثم فإن المعادلة هي هوية وأي رقم حقيقي هو حل. يشير هذا إلى أن النظام تابع. تأخذ الحلول المتزامنة الشكل ((x، mx + b) ) أو في هذه الحالة ((x، 5x - 1) ) حيث (x ) هو أي رقم حقيقي.

إجابه:

((س ، 5 × - 1) )

للحصول على فهم أفضل للمثال السابق ، أعد كتابة كلتا المعادلتين في صيغة تقاطع ميل ورسم بيانيًا على نفس مجموعة المحاور.

يمكننا أن نرى أن كلا المعادلتين يمثلان نفس الخط ، وبالتالي فإن النظام يعتمد. اكتشف الآن ما يحدث عند حل نظام غير متناسق باستخدام طريقة الاستبدال.

مثال ( PageIndex {4} ):

حل بالتعويض: ( left { begin {array} {l} {- 7 x + 3 y = 3} {14 x - 6 y = - 16} end {array} right. ) .

المحلول

حل من أجل (y ) في المعادلة الأولى.

عوّض في المعادلة الثانية وحل.

الحل يؤدي إلى بيان خاطئ. هذا يدل على أن المعادلة عبارة عن تناقض. لا يوجد حل لـ (x ) وبالتالي لا يوجد حل للنظام.

إجابه:

( varnothing )

تشير العبارة الخاطئة إلى أن النظام غير متسق ، أو من الناحية الهندسية ، يشير إلى أن الخطوط متوازية ولا تتقاطع. لتوضيح ذلك ، حدد شكل تقاطع الميل لكل خط وارسمها على نفس مجموعة المحاور.

في شكل تقاطع الميل ، من السهل رؤية أن الخطين لهما نفس الميل ولكنهما مختلفان (y ) - تقاطعات.

تمرين ( PageIndex {2} )

حل بالتعويض: ( left { start {array} {r} {2 x - 5 y = 3} {4 x - 10 y = 6} end {array} right. ).

إجابه

( left (x، frac {2} {5} x - frac {3} {5} right) )

www.youtube.com/v/JKX9M-L9Wow

طريقة الحذف

الهدف في هذا القسم هو مراجعة طريقة جبرية أخرى تمامًا لحل نظام معادلات خطية يسمى إزالة طريقة13 أو إضافة طريقة14. هذه الطريقة تعتمد على إضافة خاصية المعادلات15: بالنظر إلى التعبيرات الجبرية A و B و C و D لدينا

( text {If} : A = B text {and} C = D، text {then} A + C = B + D )

يمكننا جمع المعادلات معًا للتخلص من المتغير (y ).

هذا يترك لنا معادلة خطية بمتغير واحد يمكن حلها بسهولة:

( start {align} 2 x & = 6 x & = 3 end {align} )

في هذه المرحلة ، لدينا إحداثي (x ) - للحل المتزامن ، لذلك كل ما يتبقى هو استبداله بالعودة لإيجاد القيمة المقابلة (y ) -.

( start {array} {r} {x + y = 5} { color {OliveGreen} {3} color {Black} {+} y = 5} {y = 2} end { مجموعة مصفوفة})

حل النظام هو ((3، 2) ). بالطبع ، لا يتم دائمًا التخلص من المتغير بسهولة. عادةً ، يتعين علينا إيجاد نظام مكافئ من خلال تطبيق خاصية الضرب للمساواة على إحدى المعادلتين أو كليهما كوسيلة لضبط أحد المتغيرات للتخلص منها. الهدف هو ترتيب ما إذا كان المصطلحان (x ) أو المصطلحين (y ) متضادان ، بحيث يتم حذف المصطلحات عند إضافة المعادلات.

مثال ( PageIndex {5} ):

حل بالحذف: ( left { begin {array} {l} {5 x - 3 y = - 1} {3 x + 2 y = 7} end {array} right. ).

المحلول

نختار حذف الحدود ذات المتغير (ص ) لأن المعاملات لها علامات مختلفة. للقيام بذلك ، نحدد أولاً المضاعف المشترك الأصغر للمعاملات ؛ في هذه الحالة ، يكون (LCM (3، 2) ) هو (6 ). لذلك ، اضرب طرفي المعادلتين بالقيم المناسبة للحصول على معاملات (- 6 ) و (6 ). ينتج عن هذا النظام المكافئ التالي:

يتم الآن ترتيب المصطلحات التي تتضمن (y ) للحذف. اجمع المعادلات معًا وحل من أجل (x ).

بديل الظهر.

( begin {align} 3 x + 2 y & = 7 3 ( color {OliveGreen} {1} color {Black} {)} + 2 y & = 7 3 + 2 y & = 7 2 y & = 4 y & = 2 نهاية {محاذاة} )

لذلك فإن الحل الآني هو ((1، 2) ). الشيك يتبع.

التحقق من: ((1, 2))
المعادلة 1:المعادلة 2:
( start {array} {r} {3 x + 2 y = 7} {3 ( color {Cerulean} {1} color {Black} {)} + 2 ( color {Cerulean} {2 } color {Black} {)} = 7} {3 + 4 = 7} {7 = 7} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
جدول ( PageIndex {2} )

إجابه:

((1, 2))

في بعض الأحيان لا يتم إعطاء الأنظمة الخطية في شكل قياسي (ax + by = c ). عندما يكون هذا هو الحال ، فمن الأفضل إعادة ترتيب المعادلات قبل بدء الخطوات لحلها عن طريق الحذف. أيضا ، يمكننا حذف أي متغير. الهدف هو الحصول على حل لأحد المتغيرات ثم العودة كبديل لإيجاد حل للآخر.

مثال ( PageIndex {6} ):

حل بالحذف: ( left { begin {align} 12 x + 5 y & = 11 3 x & = 4 y + 1 end {align} right. ).

المحلول:

أولاً ، أعد كتابة المعادلة الثانية في الصورة القياسية.

ينتج عن هذا نظام مكافئ في شكل قياسي ، حيث يتم محاذاة المصطلحات المتشابهة في أعمدة.

يمكننا حذف المصطلح بمتغير (س ) إذا ضربنا المعادلة الثانية في (- 4 ).

بعد ذلك ، نجمع المعادلات معًا ،

بديل الظهر.

( start {array} {l} {3 x = 4 y + 1} {3 x = 4 left ( color {OliveGreen} { frac {1} {3}} right) + 1} {3 x = frac {4} {3} + 1} {3 x = frac {7} {3}} {x = frac {7} {3} cdot frac { 1} {3}} {x = frac {7} {9}} end {array} )

إجابه:

( left ( frac {7} {9}، frac {1} {3} right) )

تمرين ( PageIndex {3} )

حل بالحذف: ( left { begin {array} {l} {2 x + 5 y = 5} {3 x + 2 y = - 9} end {array} right. ).

إجابه

((-5, 3))

www.youtube.com/v/FX90hfggjbI

في هذه المرحلة ، نستكشف ما يحدث عند حل الأنظمة التابعة وغير المتسقة باستخدام طريقة الحذف.

مثال ( PageIndex {7} ):

حل بالحذف: ( left { begin {array} {c} {3 x - y = 7} {6 x - 2 y = 14} end {array} right. ).

المحلول

للتخلص من المتغير (x ) ، يمكننا ضرب المعادلة الأولى في (- 2 ).

الآن نضيف المعادلات التي لدينا

العبارة الصحيحة تشير إلى أن هذا نظام تابع. تتطابق الأسطر ، ونحتاج إلى (y ) بدلالة (x ) لتقديم مجموعة الحلول بالصيغة ((x، mx + b) ). اختر إحدى المعادلات الأصلية وحل من أجل (ص ). نظرًا لأن المعادلات متكافئة ، فلا يهم أي منها نختار.

إجابه:

((س ، 3 × - 7) )

تمرين ( PageIndex {4} )

حل بالحذف: ( left { begin {array} {l} {3 x + 15 y = - 15} {2 x + 10 y = 30} end {array} right. ).

إجابه

لا يوجد حل ، ( varnothing )

www.youtube.com/v/E4B0lMLEliY

بالنظر إلى النظام الخطي حيث تحتوي المعادلات على معاملات كسرية ، فمن الأفضل عادةً مسح الكسور قبل بدء طريقة الحذف.

مثال ( PageIndex {8} ):

حل: ( left { begin {array} {l} {- frac {1} {10} x + frac {1} {2} y = frac {4} {5}} { frac {1} {7} x + frac {1} {3} y = - frac {2} {21}} end {array} right. ).

المحلول

تذكر أنه يمكننا مسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقام (LCD). احرص على التوزيع ثم التبسيط.

المعادلة 1المعادلة 2
جدول ( PageIndex {3} )

ينتج عن هذا نظام مكافئ حيث تحتوي المعادلات على معاملات عدد صحيح ،

حل باستخدام طريقة الحذف.

الشكل ( PageIndex {7} )

بديل الظهر.

إجابه:

((-3,1))

يمكننا استخدام أسلوب مماثل لمسح الكسور العشرية قبل الحل.

تمرين ( PageIndex {5} )

حل باستخدام الإزالة: ( left { begin {array} {l} { frac {1} {3} x - frac {2} {3} y = 3} { frac {1} { 3} x - frac {1} {2} y = frac {8} {3}} end {array} right. ).

إجابه

((5, -2))

www.youtube.com/v/ujlpeP7nakE

ملخص طرق حل الأنظمة الخطية

لقد راجعنا ثلاث طرق لحل الأنظمة الخطية لمعادلتين بمتغيرين. كل طريقة صالحة ويمكن أن تنتج نفس النتيجة الصحيحة. في هذا القسم ، نلخص نقاط القوة والضعف في كل طريقة.

طريقة الرسوم البيانية مفيدة لفهم ماهية نظام المعادلات وكيف يجب أن تبدو الحلول. عندما يتم رسم معادلات النظام على نفس مجموعة المحاور ، يمكننا أن نرى أن الحل هو النقطة التي تتقاطع عندها الرسوم البيانية. يصبح الرسم البياني سهلًا عندما تكون المعادلات في شكل تقاطع ميل. فمثلا،

الحل المتزامن ((- 1 ، 10) ) يتوافق مع نقطة التقاطع. أحد عيوب هذه الطريقة هو أنها غير دقيقة للغاية. عندما لا تكون إحداثيات الحل أعدادًا صحيحة ، تكون الطريقة غير قابلة للاستخدام عمليًا. إذا كان لدينا خيار ، فإننا عادة نتجنب هذه الطريقة لصالح الأساليب الجبرية الأكثر دقة.

من ناحية أخرى ، فإن طريقة الاستبدال هي طريقة جبرية تمامًا. يتطلب منك حل أحد المتغيرات واستبدال النتيجة في المعادلة الأخرى. تحتوي المعادلة الناتجة على متغير واحد يمكنك حله. هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص عندما يكون هناك متغير داخل النظام بمعامل (1 ). فمثلا،

( left { begin {array} {l} {10 x + y = 20} {7 x + 5 y = 14} end {array} right. color {Cerulean} {Choose : الطريقة : الاستبدال :.} رباعي )

في هذه الحالة ، من السهل حل المعادلة الأولى من أجل (ص ) ثم استبدال النتيجة في المعادلة الأخرى. يتمثل أحد عيوب هذه الطريقة في أنها غالبًا ما تؤدي إلى معادلات مكافئة ذات معاملات كسرية ، والتي يصعب العمل بها. إذا لم يكن هناك معامل لـ (1 ) ، فمن الأفضل اختيار طريقة الحذف.

طريقة الحذف هي طريقة جبرية بالكامل تستخدم خاصية إضافة المعادلات. نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما للحصول على معادلات مكافئة حيث يتم حذف أحد المتغيرات إذا أضفناها معًا. فمثلا،

للتخلص من المصطلحات التي تتضمن (x ) ، سنضرب طرفي المعادلة الأولى في (5 ) وكلا طرفي المعادلة الثانية في (- 2 ). ينتج عن هذا نظام مكافئ حيث يتم حذف المتغير (x ) عندما نضيف المعادلات معًا. بالطبع ، هناك مجموعات أخرى من الأرقام تحقق نفس النتيجة. يمكننا حتى اختيار حذف المتغير (y ). بغض النظر عن المتغير الذي تم حذفه أولاً ، سيكون الحل هو نفسه. لاحظ أن طريقة الاستبدال ، في هذه الحالة ، تتطلب حسابات مملة مع معاملات كسرية. تتمثل إحدى نقاط الضعف في طريقة الحذف ، كما سنرى لاحقًا في دراستنا للجبر ، في أنها لا تعمل دائمًا مع الأنظمة غير الخطية.

الماخذ الرئيسية

  • تتطلب طريقة التعويض أن نحل أحد المتغيرات ثم نعوض بالنتيجة في المعادلة الأخرى. بعد تنفيذ خطوة الاستبدال ، تحتوي المعادلة الناتجة على متغير واحد ويمكن حلها باستخدام التقنيات التي تم تعلمها حتى هذه النقطة.
  • طريقة الحذف هي طريقة جبرية أخرى لحل نظام المعادلات. اضرب إحدى المعادلتين أو كليهما في نظام بأرقام معينة للحصول على نظام مكافئ حيث يكون لمتغير واحد على الأقل في كلتا المعادلتين معاملات معاكسة. تؤدي إضافة هذه المعادلات المتكافئة معًا إلى استبعاد هذا المتغير ، وتحتوي المعادلة الناتجة على متغير واحد يمكنك حله.
  • من الممارسات الجيدة إعادة كتابة المعادلات أولاً بالشكل القياسي قبل البدء في طريقة الحذف.
  • حلول أنظمة معادلتين خطيتين بمتغيرين ، إن وجدت ، تكون أزواجًا مرتبة ((س ، ص) ).
  • إذا أدت عملية حل نظام المعادلات إلى بيان خاطئ ، فإن النظام غير متناسق ولا يوجد حل ، (Ø ).
  • إذا أدت عملية حل نظام المعادلات إلى هوية ، فعندئذٍ يكون النظام تابعًا وهناك عدد لا نهائي من الحلول التي يمكن التعبير عنها باستخدام الصيغة ((x، mx + b) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

حل بالتعويض.

  1. ( left { begin {array} {l} {y = - 5 x + 1} {4 x - 3 y = - 41} end {array} right. )
  2. ( left { begin {array} {l} {x = 2 y - 3} {x + 3 y = - 8} end {array} right. )
  3. ( left { begin {array} {l} {y = x} {2 x + 3 y = 10} end {array} right. )
  4. ( left { begin {array} {l} {y = frac {1} {2} x + frac {1} {3}} {x - 6 y = 4} end {array } حق.)
  5. ( left { begin {array} {l} {y = 4 x + 1} {- 4 x + y = 2} end {array} right. )
  6. ( left { begin {array} {l} {y = - 3 x + 5} {3 x + y = 5} end {array} right. )
  7. ( left { begin {array} {l} {y = 2 x + 3} {2 x - y = - 3} end {array} right. )
  8. ( left { begin {array} {l} {y = frac {2} {3} x - 1} {6 x - 9 y = 0} end {array} right. )
  9. ( left { begin {array} {l} {y = - 2} {- 2 x - y = - 6} end {array} right. )
  10. ( left { begin {array} {l} {y = - frac {1} {5} x + 3} {7 x - 5 y = 9} end {array} right. )
  11. ( left { begin {array} {l} {x + y = 1} {3 x - 5 y = 19} end {array} right. )
  12. ( left { begin {array} {l} {x - y = 3} {- 2 x + 3 y = - 2} end {array} right. )
  13. ( left { begin {array} {l} {2 x + y = 2} {3 x - 2 y = 17} end {array} right. )
  14. ( left { begin {array} {l} {x - 3 y = - 11} {3 x + 5 y = - 5} end {array} right. )
  15. ( left { begin {array} {l} {x + 2 y = - 3} {3 x - 4 y = - 2} end {array} right. )
  16. ( left { begin {array} {l} {5 x - y = 12} {9 x - y = 10} end {array} right. )
  17. ( left { begin {array} {l} {x + 2 y = - 6} {- 4 x - 8 y = 24} end {array} right. )
  18. ( left { begin {array} {l} {x + 3 y = - 6} {- 2 x - 6 y = - 12} end {array} right. )
  19. ( left { begin {array} {l} {- 3 x + y = - 4} {6 x - 2 y = - 2} end {array} right. )
  20. ( left { begin {array} {l} {x - 5 y = - 10} {2 x - 10 y = - 20} end {array} right. )
  21. ( left { start {array} {l} {3 x - y = 9} {4 x + 3 y = - 1} end {array} right. )
  22. ( left { begin {array} {l} {2 x - y = 5} {4 x + 2 y = - 2} end {array} right. )
  23. ( left { begin {array} {l} {2 x - 5 y = 1} {4 x + 10 y = 2} end {array} right. )
  24. ( left { begin {array} {l} {3 x - 7 y = - 3} {6 x + 14 y = 0} end {array} right. )
  25. ( left { begin {array} {l} {10 x - y = 3} {- 5 x + frac {1} {2} y = 1} end {array} right. )
  26. ( left { begin {array} {l} {- frac {1} {3} x + frac {1} {6} y = frac {2} {3}} { frac {1} {2} x - frac {1} {3} y = - frac {3} {2}} end {array} right. )
  27. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {3} x + frac {2} {3} y = 1} { frac {1} {4} x - frac {1} {3} y = - frac {1} {12}} end {array} right. )
  28. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {7} x - y = frac {1} {2}} { frac {1} {4} x + frac {1} {2} y = 2} end {array} right. )
  29. ( left { begin {array} {l} {- frac {3} {5} x + frac {2} {5} y = frac {1} {2}} { frac {1} {3} x - frac {1} {12} y = - frac {1} {3}} end {array} right. )
  30. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {2} x = frac {2} {3} y} {x - frac {2} {3} y = 2} end {array} right. )
  31. ( left { begin {array} {l} {- frac {1} {2} x + frac {1} {2} y = frac {5} {8}} { frac {1} {4} x + frac {1} {2} y = frac {1} {4}} end {array} right. )
  32. ( left { begin {array} {l} {x - y = 0} {- x + 2 y = 3} end {array} right. )
  33. ( left { begin {array} {l} {y = 3 x} {2 x - 3 y = 0} end {array} right. )
  34. ( left { begin {array} {l} {- 3 x + 4 y = 20} {2 x + 8 y = 8} end {array} right. )
  35. ( left { begin {array} {l} {5 x - 3 y = - 1} {3 x + 2 y = 7} end {array} right. )
  36. ( left { begin {array} {l} {- 3 x + 7 y = 2} {2 x + 7 y = 1} end {array} right. )
  37. ( left { begin {array} {l} {x = 5} {x = - 2} end {array} right. )
  38. ( left { begin {array} {l} {y = 4} {5 y = 20} end {array} right. )
إجابه

1. ((-2,11))

3. ((2,2))

5. ( varnothing )

7. ((س ، 2 س + 3) )

9. (( 4 , - 2 ))

11. (( 3 , - 2 ))

13. (( 3 , - 4 ))

15. ( left (- frac {8} {5}، - frac {7} {10} right) )

17. ( left (x، - frac {1} {2} x - 3 right) )

19. ( varnothing )

21. (( 2 , - 3 ))

23. ( left ( frac {1} {2}، 0 right) )

25. ( varnothing )

27. (( 1,1 ))

29. ( left (- frac {11} {10}، - frac {2} {5} right) )

31. ( left (- frac {1} {2}، frac {3} {4} right) )

33. ((0,0))

35. ((1, 2))

37. ( varnothing )

تمرين ( PageIndex {7} )

حل عن طريق الحذف.

  1. ( left { begin {array} {l} {6 x + y = 3} {3 x - y = 0} end {array} right. )
  2. ( left { begin {array} {l} {x + y = 3} {2 x - y = 9} end {array} right. )
  3. ( left { begin {array} {l} {x - y = - 6} {5 x + y = - 18} end {array} right. )
  4. ( left { begin {array} {l} {x + 3 y = 5} {- x - 2 y = 0} end {array} right. )
  5. ( left { begin {array} {l} {- x + 4 y = 4} {x - y = - 7} end {array} right. )
  6. ( left { begin {array} {l} {- x + y = 2} {x - y = - 3} end {array} right. )
  7. ( left { begin {array} {l} {3 x - y = - 2} {6 x + 4 y = 2} end {array} right. )
  8. ( left { begin {array} {l} {5 x + 2 y = - 3} {10 x - y = 4} end {array} right. )
  9. ( left { begin {array} {l} {- 2 x + 14 y = 28} {x - 7 y = 21} end {array} right. )
  10. ( left { begin {array} {l} {- 2 x + y = 4} {12 x - 6 y = - 24} end {array} right. )
  11. ( left { begin {array} {l} {x + 8 y = 3} {3 x + 12 y = 6} end {array} right. )
  12. ( left { begin {array} {l} {2 x - 3 y = 15} {4 x + 10 y = 14} end {array} right. )
  13. ( left { begin {array} {l} {4 x + 3 y = - 10} {3 x - 9 y = 15} end {array} right. )
  14. ( left { begin {array} {l} {- 4 x - 5 y = - 3} {8 x + 3 y = - 15} end {array} right. )
  15. ( left { begin {array} {l} {- 2 x + 7 y = 56} {4 x - 2 y = - 112} end {array} right. )
  16. ( left { begin {array} {l} {- 9 x - 15 y = - 15} {3 x + 5 y = - 10} end {array} right. )
  17. ( left { begin {array} {l} {6 x - 7 y = 4} {2 x + 6 y = - 7} end {array} right. )
  18. ( left { start {array} {l} {4 x + 2 y = 4} {- 5 x - 3 y = - 7} end {array} right. )
  19. ( left { begin {array} {l} {5 x - 3 y = - 1} {3 x + 2 y = 7} end {array} right. )
  20. ( left { start {array} {l} {7 x + 3 y = 9} {2 x + 5 y = - 14} end {array} right. )
  21. ( left { start {array} {l} {9 x - 3 y = 3} {7 x + 2 y = - 15} end {array} right. )
  22. ( left { begin {array} {l} {5 x - 3 y = - 7} {- 7 x + 6 y = 11} end {array} right. )
  23. ( left { start {array} {l} {2 x + 9 y = 8} {3 x + 7 y = - 1} end {array} right. )
  24. ( left { begin {array} {l} {2 x + 2 y = 5} {3 x + 3 y = - 5} end {array} right. )
  25. ( left { begin {array} {l} {- 3 x + 6 y = - 12} {2 x - 4 y = 8} end {array} right. )
  26. ( left { begin {array} {l} {25 x + 15 y = - 1} {15 x + 10 y = - 1} end {array} right. )
  27. ( left { begin {array} {l} {2 x - 3 y = 2} {18 x - 12 y = 5} end {array} right. )
  28. ( left { begin {array} {l} {y = - 2 x - 3} {- 3 x - 2 y = 4} end {array} right. )
  29. ( left { begin {array} {l} {28 x + 6 y = 9} {6 y = 4 x - 15} end {array} right. )
  30. ( left { begin {array} {l} {y = 5 x + 15} {y = - 5 x + 5} end {array} right. )
  31. ( left { start {array} {l} {2 x - 3 y = 9} {5 x - 8 y = - 16} end {array} right. )
  32. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {2} x - frac {1} {3} y = frac {1} {6}} { frac { 5} {2} x + y = frac {7} {2}} end {array} right. )
  33. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {4} x - frac {1} {9} y = 1} {x + y = frac {3} { 4}} end {array} right. )
  34. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {2} x - frac {1} {4} y = frac {1} {3}} { frac { 1} {4} x + frac {1} {2} y = - frac {19} {6}} end {array} right. )
  35. ( left { start {array} {l} {- frac {14} {3} x + 2 y = 4} {- frac {1} {3} x + frac {1} {7} y ​​= frac {4} {21}} end {array} right. )
  36. ( left { begin {array} {l} {0.025 x + 0.1 y = 0.5} {0.11 x + 0.04 y = - 0.2} end {array} right. )
  37. ( left { begin {array} {l} {1.3 x + 0.1 y = 0.35} {0.5 x + y = - 2.75} end {array} right. )
  38. ( left { begin {array} {l} {x + y = 5} {0.02 x + 0.03 y = 0.125} end {array} right. )
إجابه

1. ( left ( frac {1} {3}، 1 right) )

3. ((-4,2))

5. ((-8,-1))

7. ( left (- frac {1} {3}، 1 right) )

9. ( varnothing )

11. ( left (1، frac {1} {4} right) )

13. ((-1,-2))

15. ((-28,0))

17. ( left (- frac {1} {2} ، - 1 right) )

19. ((1,2))

21. ((-1,-4))

23. ((-5,2))

25. ( left (x، frac {1} {2} x - 2 right) )

27. ( left (- frac {3} {10}، - frac {13} {15} right) )

29. ( left ( frac {3} {4}، - 2 right) )

31. ((120,77))

33. ( left (3، - frac {9} {4} right) )

35. ( varnothing )

37. (( 0.5 , - 3 ))

تمرين ( PageIndex {8} )

حل باستخدام أي طريقة.

  1. ( left { begin {array} {l} {6 x = 12 y + 7} {6 x + 24 y + 5 = 0} end {array} right. )
  2. ( left { begin {array} {l} {y = 2 x - 3} {3 x + y = 12} end {array} right. )
  3. ( left { begin {array} {l} {x + 3 y = - 5} {y = frac {1} {3} x + 5} end {array} right. )
  4. ( left { begin {array} {l} {y = 1} {x = - 4} end {array} right. )
  5. ( left { begin {array} {l} {y = frac {1} {2}} {x + 9 = 0} end {array} right. )
  6. ( left { begin {array} {l} {y = x} {- x + y = 1} end {array} right. )
  7. ( left { begin {array} {l} {y = 5 x} {y = - 10} end {array} right. )
  8. ( left { begin {array} {l} {y = - frac {3} {2} x + 1} {- 2 y + 2 = 3 x} end {array} right. )
  9. ( left { begin {array} {l} {7 y = - 2 x - 1} {7 x = 2 y + 23} end {array} right. )
  10. ( left { start {array} {l} {5 x + 9 y - 14 = 0} {3 x + 2 y - 5 = 0} end {array} right. )
  11. ( left { begin {array} {l} {y = - frac {5} {16} x + 10} {y = frac {5} {16} x - 10} end { مجموعة} صحيح. )
  12. ( left { begin {array} {l} {y = - frac {6} {5} x + 12} {x = 6} end {array} right. )
  13. ( left { start {array} {l} {2 (x - 3) + y = 0} {3 (2 x + y - 1) = 15} end {array} right. )
  14. ( left { start {array} {l} {3 - 2 (x - y) = - 3} {4 x - 3 (y + 1) = 8} end {array} right. )
  15. ( left { start {array} {l} {2 (x + 1) = 3 (2 y - 1) - 21} {3 (x + 2) = 1 - (3 y - 2) } end {array} right. )
  16. ( left { begin {array} {l} { frac {x} {2} - frac {y} {3} = - 7} { frac {x} {3} - frac {y} {2} = - 8} end {array} right. )
  17. ( left { begin {array} {l} {- frac {1} {7} x + y = - frac {2} {3}} {- frac {1} {14} x + frac {1} {2} y = frac {1} {3}} end {array} right. )
  18. ( left { begin {array} {l} { frac {x} {4} - frac {y} {2} = frac {3} {4}} { frac {x} {3} + frac {y} {6} = frac {1} {6}} end {array} right. )
  19. ( left { begin {array} {l} {y = - frac {5} {3} x + frac {1} {2}} { frac {1} {3} x + frac {1} {5} y = frac {1} {10}} end {array} right. )
  20. ( left { begin {array} {l} { frac {1} {15} x - frac {1} {12} y = frac {1} {3}} {- frac {3} {10} x + frac {3} {8} y = - frac {3} {2}} end {array} right. )
  21. ( left { begin {array} {l} {0.2 x - 0.05 y = 0.43} {0.3 x + 0.1 y = - 0.3} end {array} right. )
  22. ( left { begin {array} {l} {0.1 x + 0.3 y = 0.3} {0.05 x - 0.5 y = - 0.63} end {array} right. )
  23. ( left { begin {array} {l} {0.15 x - 0.25 y = - 0.3} {- 0.75 x + 1.25 y = - 4} end {array} right. )
  24. ( left { begin {array} {l} {- 0.15 x + 1.25 y = 0.4} {- 0.03 x + 0.25 y = 0.08} end {array} right. )
إجابه

1. ( left ( frac {1} {2}، - frac {1} {3} right) )

3. ( left (- 10، frac {5} {3} right) )

5. ( left (- 9، frac {1} {2} right) )

7. (( - 2 , - 10 ))

9. (( 3 , - 1 ))

11. (( 32,0 ))

13. ((س ، - 2 × + 6) )

15. (( - 4,3 ))

17. ( varnothing )

19. ( left (x - frac {5} {3} x + frac {1} {2} right) )

21. (( 0.8 , - 5.4 ))

23. ( varnothing )

تمرين ( PageIndex {9} )

  1. اشرح لطالب الجبر المبتدئ كيفية اختيار طريقة لحل نظام من معادلتين خطيتين. اشرح أيضًا كيف تبدو الحلول ولماذا.
  2. اصنع نظامك الخطي من متغيرين وقم بحله باستخدام الطرق الثلاث. اشرح الطريقة المفضلة في التمرين.
إجابه

1. قد تختلف الإجابة

الحواشي

11وسيلة لحل نظام خطي عن طريق حل أحد المتغيرات والتعويض بالنتيجة في المعادلة الأخرى.

12بمجرد العثور على قيمة لمتغير ، استبدلها مرة أخرى في إحدى المعادلات الأصلية ، أو ما يعادلها ، لتحديد القيمة المقابلة للمتغير الآخر.

13وسيلة لحل نظام عن طريق إضافة معادلات مكافئة بطريقة تقضي على متغير.

14غالبًا ما تستخدم عند الإشارة إلى طريقة الحذف لحل الأنظمة.

15إذا كانت (A ، B ، C ) ، و (D ) تعبيرات جبرية ، حيث (A = B ) و (C = D ) ، ثم (A + C = B + D ) .


3.2: حل الأنظمة الخطية ذات المتغيرين - الرياضيات

غالبًا ما يتم تصميم تطبيقات العالم الحقيقي باستخدام أكثر من متغير واحد وأكثر من معادلة واحدة. في هذا القسم سوف ندرس الأنظمة الخطية المكونة من ثلاث معادلات خطية لكل منها ثلاثة متغيرات. فمثلا،

الحل لمثل هذا النظام الخطي هو ترتيب ثلاثي ثلاثي (x, ذ, ض) التي تحدد الموقع بالنسبة إلى الأصل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. (x, ذ, ض) يحل جميع المعادلات. في هذه الحالة ، (−2، 1، 3) هو الحل الوحيد. للتحقق من أن الثلاثي المرتب هو حل ، استبدل في المقابل x-, ذ-، و ض- القيم ثم تبسيطها لمعرفة ما إذا كنت تحصل على بيان صحيح من جميع المعادلات الثلاث.

E q u a t i o n (1): 3 x + 2 y + z = - 7 3 (- 2) + 2 (1) - (3) = - 7-6 + 2 - 3 = - 7 - 7 = - 7

E q u a t i o n (2): 6 x - y + 3 z = - 4 6 (- 2) - (1) - 3 (3) = - 4-12-1-9 = - 4 - 4 = - 4 ✓

E q u a t i o n (3): x + 10 y - 2 z = 2 (- 2) + 10 (1) - 2 (3) = 2 - 2 + 10 - 6 = 2 2 = 2 ✓

نظرًا لأن الثلاثية المرتبة تحقق جميع المعادلات الثلاثة ، فإننا نستنتج أنها حل بالفعل.

مثال 1

حدد ما إذا كان (1 ، 4 ، 4 3) حلًا للنظام الخطي التالي أم لا:

E q u a t i o n (1): 9 x + y - 6 z = 5 9 (1) + (4) - 6 (4 3) = 5 9 + 4-8 = 5 5 = 5 ✓

E q u a t i o n (2): - 6 x - 3 y + 3 z = - 14 6 (1) - 3 (4) + 3 (4 3) = 14-6-12 + 4 = - 14-14 = - 14 ✓

E q u a t i o n (3): 3 x + 2 y - 7 z = 15 3 (1) + 2 (4) - 7 (4 3) = 15 3 + 8 - 28 3 = 15 5 3 = 15

الجواب: النقطة لا تفي بكل المعادلات وبالتالي فهي ليست حلاً.

يمكن رسم ثلاثية مرتبة مثل (2 ، 4 ، 5) في مساحة ثلاثية الأبعاد على النحو التالي:

يشير الثلاثي المرتبة إلى الموضع بالنسبة إلى الأصل (0 ، 0 ، 0) ، في هذه الحالة ، وحدتان على طول x-المحور ، 4 وحدات موازية ل ذ-المحور ، و 5 وحدات موازية ل ض-محور. معادلة خطية بثلاثة متغيرات معادلة يمكن كتابتها بالصيغة القياسية أ س + ب ص + ج ع = د حيث أ, ب, ج، و د هي أرقام حقيقية. يكون في الصورة القياسية إذا كان a x + b y + c z = d حيث أ, ب, ج، و د هي أرقام حقيقية. على سبيل المثال ، 6 س + ص + 2 ع = 26 في الشكل القياسي. حل ل ض، نحصل على z = - 3 x - 1 2 y + 13 ويمكننا النظر في كليهما x و ذ لتكون المتغيرات المستقلة. عندما يتم رسمه في مساحة ثلاثية الأبعاد ، فإن الرسم البياني الخاص به سيشكل سطحًا مستويًا مستقيمًا يسمى المستوى أي سطح مسطح ثنائي الأبعاد. .

لذلك ، سيتألف الرسم البياني لنظام من ثلاث معادلات خطية وثلاثة مجاهيل من ثلاث مستويات في الفضاء. إذا كان هناك حل متزامن ، يكون النظام متسقًا ويتوافق الحل مع نقطة تتقاطع فيها المستويات الثلاثة.

لا يدخل رسم الطائرات في الفضاء ثلاثي الأبعاد في نطاق هذا الكتاب المدرسي. ومع ذلك ، من المهم دائمًا فهم التفسير الهندسي.

جرب هذا! حدد ما إذا كان (3 ، −1 ، 2) حلًا للنظام أم لا: <2 x - 3 y - z = 7 3 x + 5 y - 3 z = - 2 4 x - y + 2 z = 17.

الجواب: نعم ، إنه حل.


شرط حل نظام المعادلات الخطية

من أجل حل نظام المعادلات الخطية مع
متغيرات n ، هناك حاجة إلى معادلات n على الأقل.

مثال 2

بالإشارة إلى المثال الأول ، افترض أن أسعار التذاكر قد ارتفعت إلى 21 دولارًا و 13.50 دولارًا لممرات الحافلات التي تستغرق شهرًا ونصف الشهر على التوالي. لا يزال من الضروري شراء 30 بطاقة. وفقًا لنفس الافتراضات ، كم عدد كل تذكرة حافلة يجب شراؤها؟

المحلول

نقوم بتعديل المعادلة الثانية لتتناسب مع تعديل السعر

لقد توصلنا إلى حل لـ x و y ، لكن يجب أن نلاحظ أنه ليس من العملي شراء تذاكر كسور.

نظرًا لأنه من الأهمية بمكان شراء 30 تذكرة ، فإننا نعتبر السيناريوهين التاليين:

x ذ التكلفة الإجمالية
17 13 21(17) + 13.5(13) = $532.5
16 14 21(16) + 13.5(14) = $525

بوضوح، x = 17 و ذ = 13 تمريرة تجاوزت الميزانية. على الرغم من أنها ليست مثالية ، فمن المحتمل أن تقبل الشركة x = 16 تمريرات لمدة شهر و ذ = 14 تمريرة لمدة نصف شهر من أجل تلبية قيود الميزانية. سينتهي به الأمر 5 دولارات تحت الميزانية.

كما نعلم جيدًا ، يمكن رسم هذه المعادلات بيانيًا. عند الرسم البياني ، من الجيد العثور على التقاطعات الرأسية والأفقية للحصول على فكرة عن مجال ومدى الوظيفة. سيتم ترك هذا التمرين للقارئ.

كما نرى ، فإن النقطة التي يتم فيها جعل جميع المعادلات المعنية صحيحة من خلال مجموعة واحدة من القيم تمثل نقطة التقاطع في الرسوم البيانية الخاصة بهم.


لحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة 3 & # 2153




الآن علينا إيجاد A - 1. ، وستكون موجودة إذا كانت محدداتها قيمة | A | ليس صفرًا. دعونا نجد | A |

منذ | A | ليس صفرًا ، لذلك يوجد A - 1 (معكوس A).

علينا إيجاد العوامل المشتركة لجميع عناصر المصفوفة A. دعونا نكتشف العوامل المشتركة لجميع عناصر صف المصفوفة.

العوامل المساعدة للصف الأول

العوامل المساعدة للصف الثاني

العامل المشترك A 22 = 0
العامل المساعد A 23 = -2

العوامل المساعدة للصف الثالث


عامل مساعد لـ A 31 = 2
عامل مساعد لـ A 32 = 5
عامل مساعد لـ A 33 = 3

الآن يمكن كتابة مصفوفة العامل المشترك A على النحو التالي

الآن للعثور على المفصل الإعلاني لهذه المصفوفة ، خذ منقول هذه المصفوفة ،
كما نعلم ، فإن معكوس المصفوفة هو الضرب القياسي لمصفوفة Ad Joint في المصفوفة A ومقلوب القيمة المحددة للمصفوفة A.



مسح الكسور والكسور العشرية

بالنظر إلى النظام الخطي حيث تحتوي المعادلات على معاملات كسرية ، فمن الأفضل عادةً مسح الكسور قبل بدء طريقة الحذف.

المحلول: تذكر أنه يمكننا مسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر (LCD). احرص على التوزيع ثم التبسيط.

ينتج عن هذا نظام مكافئ حيث تحتوي المعادلات على معاملات عدد صحيح ،

حل باستخدام طريقة الحذف.

يمكننا استخدام أسلوب مماثل لمسح الكسور العشرية قبل الحل.

المحلول: اضرب كل معادلة في أقل قوة 10 ضرورية للحصول على معاملات عدد صحيح. في هذه الحالة ، اضرب المعادلة الأولى في 10 والمعادلة الثانية في 100.

ينتج عن هذا نظام مكافئ حيث تحتوي المعادلات على معاملات عدد صحيح:

حل باستخدام طريقة الحذف.

جرب هذا! حل باستخدام الحذف: <1 3 x - 2 3 y = 3 1 3 x - 1 2 y = 8 3.

حل الفيديو


حل نظم المعادلات

$ def الارتفاع < vphantom < starta cr a cr a cr end>> def | ! !> def Matrix # 1 < left [ Height begin# 1 النهاية right]> تظهر أنظمة المعادلات الخطية في جميع أنواع التطبيقات في العديد من مجالات الدراسة المختلفة. يمكن تنفيذ الطريقة التي تمت مراجعتها هنا لحل نظام خطي

من أي حجم. نكتب هذا النظام في شكل مصفوفة

$ اليسار [ البدء a_ <11> & amp a_ <12> & amp cdots & amp a_ <1n> a_ <21> & amp a_ <22> & amp cdots & amp a_ <2n> vdots & amp vdots & amp ddots & amp ddots أ_ & amp a_ & amp cdots & amp a_ نهاية يمين] يسار [ ابدأ x_1 x_2 vdots x_n end right] = left [ start b_1 b_2 vdots b_m end حق] $

يمكننا التقاط جميع المعلومات الواردة في النظام في المنفرد المصفوفة المعززة $ Matrix & amp a_ <12> & amp cdots & amp a_ <1n> & amp & amp b_ <1> a_ <21> & amp a_ <22> & amp cdots & amp a_ <2n> & amp | & amp ب_ <2> vdots & amp vdots & amp ddots & amp vdots & amp | & amp vdots a_ & amp a_ & amp cdots & amp a_ & أمبير & أمبير ب_> $ سنحل النظام الأصلي للمعادلات الخطية عن طريق إجراء تسلسل من عمليات الصف الأولية التالية على المصفوفة المعززة:

عمليات الصف الابتدائية

  • تبادل صفين.

هل ترى كيف نتلاعب بنظام المعادلات الخطية من خلال تطبيق كل من هذه العمليات؟

عندما يتم تنفيذ سلسلة من عمليات الصف الأولية على مصفوفة معززة ، فإن النظام الخطي الذي يتوافق مع المصفوفة المعززة الناتجة يكون مكافئًا للنظام الأصلي. أي أن النظام الناتج له نفس مجموعة الحلول مثل النظام الأصلي. لذلك ، تتمثل استراتيجيتنا في حل الأنظمة الخطية في أخذ مصفوفة معززة لنظام ما ونقلها عن طريق عمليات الصف الأولية إلى مصفوفة مكثفة مكافئة يمكن من خلالها الحصول على حلول النظام بسهولة. على وجه الخصوص ، نأتي بالمصفوفة المعززة إلى نموذج Row-Echelon:

نموذج Row-Echelon

يُقال أن المصفوفة موجودة صف الصف شكل إذا

    جميع الصفوف المكونة بالكامل من الأصفار موجودة في الأسفل.

إذا كان ، بالإضافة إلى ذلك ، كل بادئة 1 هي الإدخال الوحيد غير الصفري في عمودها ، فإن المصفوفة موجودة شكل صف صف مخفض.

يمكن إثبات أنه يمكن إحضار كل مصفوفة إلى شكل صفوف الصف ، وحتى إلى شكل صف سلم منخفض ، باستخدام عمليات الصف الأولية. في هذه المرحلة ، يمكن الحصول على حلول النظام بسهولة.

في المثال التالي ، افترض أن كل من المصفوفات كانت نتيجة حمل مصفوفة مُعزَّزة إلى شكل مصفوفة مُخفَّضة عن طريق سلسلة من عمليات الصفوف.

مثال

المصفوفة المعززة $ A_ <1> = Matrix <1 & amp 0 & amp 0 & amp & amp 2 0 & amp 1 & amp 0 & amp | & amp 3 0 & amp 0 & amp 1 & amp & amp -4> $ في مستوى الصف المنخفض شكل يتوافق مع النظام

الذي تم حله بالكامل بالفعل!

المصفوفة المعززة $ A_ <2> = Matrix <1 & amp 0 & amp -3 & amp & amp -5 0 & amp 1 & amp 2 & amp | & amp 4 0 & amp 0 & amp 0 & amp & amp 0> $ أيضًا في الصف المنخفض -شكل شيلون ، يتوافق مع النظام

عند ترك $ x_3 = t $ ، نجد أن $ x_2 = -2t + 4 $ و $ x_1 = 3t-5 $. وبالتالي ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، تم تحديد معلمات لكل $ t $ مثل $ left [ start x_1 x_2 x_3 end right] = left [ start 3t-5 -2t + 4 t end حق] $

أخيرًا ، المصفوفة المعززة $ A_ <3> = Matrix <1 & amp 0 & amp 0 & amp & amp 3 0 & amp 1 & amp 0 & amp | & amp 2 0 & amp 0 & amp 0 & amp & amp 1> $ مرة أخرى في الصف المنخفض -شكل شيلون ، يتوافق مع النظام

الذي من الواضح أنه ليس له حل. النظام غير متسق.

تلاحظ

  • إذا تم نقل مصفوفة إلى شكل صف سلم عن طريق عمليات الصف الأولية ، فإن عدد البادئة 1 & # 8217s في المصفوفة الناتجة يسمى مرتبة $ r $ من المصفوفة الأصلية.

القضاء الغاوسي

  1. إذا كانت المصفوفة بالفعل في شكل صف سلم ، فتوقف.

تلاحظ

  • في الممارسة العملية ، لديك بعض المرونة في تطبيق الخوارزمية. على سبيل المثال ، في الخطوة 2 ، غالبًا ما يكون لديك خيار من الصفوف للانتقال إلى الأعلى.

مثال

سوف نستخدم إزالة Gaussian لحل النظام الخطي

تستمر خوارزمية القضاء على Gaussian على النحو التالي:

لقد أحضرنا المصفوفة إلى شكل صفوف الصف. النظام المقابل $ start x_1 & amp + & amp 2x_2 & amp + & amp 3x_3 & amp = & amp 9 & amp & amp x_2 & amp + & amp x_3 & amp = & amp 2 & amp & amp & amp & amp x_3 & amp = & amp 3 end$

يمكن حلها بسهولة من الأسفل إلى الأعلى: start & amp & amp x_3 = 3 & amp & amp x_2 + 3 = 2 longrightarrow x_2 = -1 & amp & amp x_1 +2 (-1) +3 (3) = 9 longrightarrow x_1 = 2. end

وبالتالي ، فإن حل النظام الأصلي هو $ x_1 = 2 ، quad x_2 = -1 ، quad x_3 = 3. $

في الاستكشاف ، استخدم حاسبة تخفيض الصف للتدرب على حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق تقليل المصفوفات المعززة إلى شكل صفوف الصف.

المفاهيم الرئيسية

لحل نظام المعادلات الخطية ، قم بتقليل المصفوفة المعززة المقابلة إلى شكل الصف المتسلسل باستخدام عمليات الصف الابتدائية:

القضاء الغاوسي هو خوارزمية واحدة تقلل من المصفوفات إلى شكل صفوف الصف.


استخدام طريقة الحذف لحل معادلة خطية ذات ثلاثة متغيرات

يعد حل المعادلة الخطية ذات الثلاثة متغيرات أكثر صعوبة قليلاً في الحل مقارنة بالمعادلات ذات المتغيرين. هذا التعقيد هو نتيجة للمتغير الإضافي.

على الرغم من وجود عدة طرق لحل هذا النوع من المعادلات ، تظل طريقة الحذف هي الأكثر وضوحًا.

اتبع الإجراء أدناه لاستخدام طريقة الحذف في حل ثلاث معادلات خطية متغيرة:

1. ضع جميع المعادلات في شكل قياسي ، وتجنب الكسور العشرية والكسور.

2. حدد متغيرًا مناسبًا للتخلص منه.

3. اختر أي معادلتين من المعادلات الثلاث واستبعد المتغير المحدد.

4. حدد مجموعة مختلفة من المعادلتين واستبعد نفس المتغير المحدد.

5. حل المعادلتين في الخطوتين الثالثة والرابعة للمتغيرين اللذين تحتويهما.

6. استبدل الإجابات الواردة في الخطوة الخامسة في أي معادلة تحتوي على المتغير المتبقي.

7. تحقق لإثبات الحل مع جميع المعادلات الأصلية الثلاثة.

مثال 1

المهمة: حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة الحذف.

المحلول

في هذه الحالة ، تدرك أن النظام في شكل قياسي بالفعل ، لذلك اختر المتغير الذي تريد حذفه ، على سبيل المثال ، X. يجب عليك بعد ذلك تحديد معادلتين لاستبعاد X. في هذا المثال ، اختر (1) و (2 ).

يجب عليك بعد ذلك تحديد مجموعة مختلفة من معادلتين ، في هذه الحالة ، المعادلتان (1) و (3) لإزالة نفس المتغير.

لحذف X ، اضرب المعادلة (1) مع (-2) أو أي ثابت آخر مناسب.

يمكنك الآن حل المعادلة (4) و (5).

الآن استبدل Z = 2 في أي نظام 2 × 2 الذي تم إنشاؤه ، أي (4) أو (5). في هذه الحالة ، اختر المعادلة (5).

استخدم الإجابات التي تم الحصول عليها للتعويض في أي معادلة تتضمن المتغير المتبقي. في هذه الحالة ، اختر X-2Y + 3Z = 9 ___________ (1)

إذن الحل هو X = 1 و Y = -1 و Z = 2.

مثال 2

المهمة: حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة الحذف.

أولاً ، اكتب جميع المعادلات في الصورة القياسية.

بعد ذلك ، اختر متغيرًا مناسبًا للتخلص منه. في هذه الحالة ، حدد Y لأنه مفقود في المعادلة (1). ثم حدد المعادلة (2) و (3) لإزالة Y.

من فضلك ، اضرب المعادلة (2) بثابت مناسب ، قل (-3) لتحصل على:

سيكون من الأفضل إذا قمت بعد ذلك بحل المعادلة (1) و (4) لأنهما 2 × 2 معادلة خطية للنظام عن طريق الطرح.

X -3Z = -5 _________________ (1)

يمكنك بعد ذلك استبدال Z = 3 في المعادلة (4)

بعد ذلك ، أرسل X = 4 و Z = 3 في المعادلة 3 للحصول على قيمة Y.

إليك الحل: X = 4 ، و Y = -2 ، و Z = 3

ضع في اعتبارك طريقة الحذف Gaussian في حل ثلاث معادلات خطية متغيرة.

طريقة الحذف الغاوسية هي أفضل طريقة لحل ثلاث معادلات متغيرة (أو أكثر). ومع ذلك ، فإن طريقة القضاء على Gaussian هي بشكل عام للخبراء ، لأنها تتضمن القليل من أعمال الإعداد. ومع ذلك ، لا داعي للقلق ، لأنه بمجرد إعداد النظام ، يكون حل المعادلة مباشرًا.

لاستخدام طريقة الحذف الغاوسي ، عليك ترجمة معادلاتك إلى مصفوفة باستخدام العنصر النائب أصفار وآحاد ، عند الضرورة. يجب عليك بعد ذلك إعداد المصفوفة عن طريق معالجتها من خلال التطبيق الأساسي لخصائص المصفوفات. يجب عليك بعد ذلك جمع الصفوف في المصفوفة وطرحها وضربها وتقسيمها لتكوين الآحاد والأصفار في مواقع محددة.

أمثلة

حل المعادلة التالية باستخدام طريقة الحذف الغاوسي

المحلول

أنت تدرك أنه في هذه المشكلة ، لا يتم حل أي تعبير عن متغير. هذا يعني أنه سيتعين عليك القيام بمهام الضرب والإضافة لتبسيط النظام.

أولًا ، تخلص من حدي x الرئيسيتين في أي من الصفين. للبدء ، ما عليك سوى اختيار أي صفين تجد أنه من السهل مسحهما قبل تبديل الصفوف لاحقًا لجعل النظام في الشكل المثلثي العلوي.

نظرًا لعدم وجود قاعدة حالية تقيدك باختيار حد x بدءًا من الصف الأول ، اختر الحد الأبسط x في الصف الثالث والذي يعطي معاملًا بسيطًا لضرب الصف الثالث في 3 ثم قم بإضافته إلى الصف الأول. إذا وجدت هذا صعبًا ، يمكنك إجراء الحسابات على الورق.

يجب عليك الآن كتابة النتائج بهذا التنسيق:

بينما في حل تعبيرين متغيرين ، يُسمح لك بضرب صف ، ولا يوجد شرط لذلك في ثلاث معادلات خطية متغيرة. لذلك يُقترح أن تعمل على ورقة مسودة. يجب أن تحصل على هذه النتيجة:

بعد ذلك ، اضرب الصف الأول في النصف للحصول على قيم أصغر للمعاملات.

الآن بعد أن حصلت على قيمة Z ، اقسم الصف الأول على 43. بعد ذلك ، رتب الصفوف بالتنسيق العلوي المثلث:

اضرب الصف الأول في 1/43 لتحصل على:

الرجاء استخدام عملية الحل الخلفي للحصول على قيم Y و Z:

جرب طرقًا أخرى لحل ثلاث معادلات خطية متغيرة.

الطرق المتبقية لحل ثلاث معادلات خطية متغيرة هي طريقة الاستبدال والطريقة الرسومية. في حالة الاستبدال ، يمكن كتابة المعادلة بسرعة باستخدام متغير واحد ، حيث يتم تحديد الموضوع. يتم التحديد عن طريق حل معادلة المتغير. بعد ذلك ، يتم استبدال التعبير الذي يظهر فيه المتغير بالإضافة إلى المعادلتين الأخريين. لذلك ، سوف تتوصل إلى نظام به متغيرات أقل. بعد أن تحل النظام الأصغر ، إما بالتعويض أو بأي طريقة أخرى ، استبدل الحلول التي وجدتها للمتغيرات في الجانب الأيمن الأول من التعبير.

حل المعادلات الخطية المتغيرة الثلاثة التالية بطريقة التعويض.

معامل Z هو بالفعل Z في المعادلة (1). لذلك ، قم بحل Z لتحصل على:

يمكنك الآن استبدال Z في المعادلتين (2) و (3).

يمكنك بعد ذلك تبسيط النظام الجديد إلى:

حل الآن من أجل Z في المعادلة (1)

عوّض بالتعبير X = 9-4Y في المعادلة (3).

باستخدام Y = 2 ، أعد المعادلة X = 9-4Y.

يمكنك الآن إيجاد قيمة Z بالتعويض عن X = 1 و Y = 2 في المعادلة (2).

استنتاج

معرفة ثلاث معادلات خطية متغيرة لها تطبيقات واقعية واقعية. في معالجة تحديات الحياة ، يمكن تحويل العديد من المواقف إلى تعبيرات رياضية لتوضيح العلاقة بين المتغيرات ، والمعروفة باسم المعادلات الخطية.

أخيرًا ، تعد معرفة ثلاث معادلات متغيرة مفيدة في اقتصاديات العرض والطلب.


حل أنظمة المعادلات بالتعويض

يعمل حل نظام خطي في متغيرين عن طريق الرسم البياني بشكل جيد عندما يتكون الحل من قيم صحيحة ، ولكن إذا كان الحل يحتوي على كسور عشرية أو كسور ، فهذا ليس الطريقة الأكثر دقة. سننظر في طريقتين أخريين لحل أ نظام المعادلات الخطية التي هي أكثر دقة من الرسوم البيانية. إحدى هذه الطرق هي حل نظام المعادلات بواسطة طريقة الاستبدال، حيث نحل إحدى المعادلات لمتغير واحد ثم نعوض بالنتيجة في المعادلة الثانية لحل المتغير الثاني. تذكر أنه يمكننا حل متغير واحد فقط في كل مرة ، وهذا هو السبب في أن طريقة الاستبدال قيمة وعملية.

الكيفية: بالنظر إلى نظام من معادلتين في متغيرين ، حل باستخدام طريقة التعويض.

  1. حل إحدى المعادلتين لأحد المتغيرات بدلالة الأخرى.
  2. عوّض بتعبير هذا المتغير في المعادلة الثانية ، ثم حل المتغير المتبقي.
  3. عوّض بهذا الحل في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول. إذا أمكن ، اكتب الحل كزوج مرتب.
  4. افحص الحل في كلا المعادلتين.

مثال: حل نظام المعادلات في متغيرين بالتعويض

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

أولاً ، سنحل المعادلة الأولى لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس].

الآن يمكننا استبدال التعبير [اللاتكس] x - 5 [/ اللاتكس] عن [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في المعادلة الثانية.

[اللاتكس] ابدأ2x - 5y & = 1 2x - 5 left (x - 5 right) & = 1 2x - 5x + 25 & = 1 -3x & = - 24 x & = 8 end[/ اللاتكس]

الآن ، نحن نستبدل [latex] x = 8 [/ latex] في المعادلة الأولى ونحل مشكلة [latex] y [/ latex].

حلنا هو [اللاتكس] يسار (8،3 يمين) [/ لاتكس].

افحص الحل باستبدال [اللاتكس] left (8،3 right) [/ latex] في كلا المعادلتين.

[اللاتكس] ابدأ-x + y & = - 5 - left (8 right) + left (3 right) & = - 5 && text [3mm] 2x - 5y & = 1 2 left (8 right) -5 left (3 right) & = 1 && text نهاية[/ اللاتكس]

جربها

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

[اللاتكس] ابدأس & = ص + 3 4 & = 3 س - 2 ص نهاية[/ اللاتكس]

هل يمكن استخدام طريقة الاستبدال لحل أي نظام خطي في متغيرين؟

نعم ، لكن الطريقة تعمل بشكل أفضل إذا احتوت إحدى المعادلات على معامل 1 أو –1 بحيث لا نضطر للتعامل مع الكسور.

مدته 10 دقائق ويقدم درسًا صغيرًا حول استخدام طريقة التعويض لحل نظام المعادلات الخطية. نقدم ثلاثة أمثلة مختلفة ، ونستخدم أيضًا أداة الرسوم البيانية للمساعدة في تلخيص الحل لكل مثال.


نظام المعادلات

من أجل فهم مفهوم حل نظام المعادلات بشكل أفضل ، سنحتاج إلى التعرف على بعض الحقائق في المجموعات.

إذا كان A و B مجموعتين ، فإننا نقول إن A هي مجموعة فرعية من B إذا كان كل عنصر من A هو أيضًا عنصر B. نكتب A ب . نقول أحيانًا أن هذا موجود في B بدلاً من A مجموعة فرعية من B. على سبيل المثال ، A <1 ، 2 ، 3> هي مجموعة فرعية من B = <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5> لأن كل عنصر من A هو أيضًا عنصر من B ، بينما C = <1 ، 2 ، 7> ليست مجموعة فرعية من B لأن 7 عنصر من عناصر C ، ولكن ليس من B.

إذا كانت A و B مجموعتين ، فإن اتحاد A و B الذي نكتبه هو A B ، نعني مجموعة كل العناصر الموجودة في A أو B أو في كليهما.

مثال 1. إذا كانت A = <2، 4، 6، 8، 10> و B = <3، 4، 5، 6، 7، 8، 9> ابحث عن A ب .
أ ب = <2،3،4،5،6،7،8،9 ، 10>
على الرغم من وجود 4 و 6 و 8 في كلتا المجموعتين ، إلا أنها مدرجة مرة واحدة فقط في الاتحاد.

إذا تم تعيين A و B ، فعندئذٍ عن طريق تقاطع A و B ، والذي نشير إليه بواسطة A B ، نعني مجموعة كل العناصر الموجودة في كل من A و B

مثال 2. إذا كانت C = <2، 4، 6، 8> و D = <4، 5، 6، 7، 8> ابحث عن C د . ج D = <4 ، 6 ، 8> إذا كانت S = <1 ، 2 ، 3> ، و T = <5 ، 6 ، 7> ، ثم S T هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر ، أي المجموعة الفارغة ). إذا كان تقاطع مجموعتين فارغًا ، أي أنهما لا يوجد بينهما عناصر مشتركة ، فإننا نقول إن المجموعتين منفصلتان. وبالتالي ، يتم فصل S و T.

عندما يتم تنفيذ أكثر من عملية مجموعة واحدة ، فإننا نستخدم الأقواس للإشارة إلى الترتيب الذي سيتم إجراؤها به.

يمكننا رسم تخطيطي لعمليات الاتحاد والتقاطع على مجموعات بواسطة مخططات Venn ، إذا تم تمثيل المجموعتين A و B بمناطق دائرية ، فإن الرسم التخطيطي لـ A B هي المنطقة المظللة في الشكل

من أ B هي المنطقة المظللة في الشكل 2. مخطط المجموعة A C) هي المنطقة المظللة في الشكل 3 ، والتي نجدها عن طريق تحديد موقع B أولاً C ثم تظليل ما تشترك فيه مع A.

عملية مجموعة مهمة أخرى هي تشغيل فرق المجموعة. إذا كانت A و B مجموعتين ، فإن A - B هي مجموعة كل عناصر A غير الموجودة في B. يرد الرسم التخطيطي لهذه المجموعة في الشكل 4.

لقد وصفنا المجموعات في الأمثلة أعلاه من خلال سرد العناصر. هذا ليس عمليا في كثير من الحالات. هناك طريقة أخرى لوصف مجموعة وهي ذكر خاصية P (S) التي تنطبق بالضبط على هؤلاء الأعضاء X في المجموعة. نشير إلى المجموعة S الموصوفة بواسطة الخاصية P (S) بواسطة

على سبيل المثال ، دع E هو مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة. الخاصية P (n) الصحيحة لهذه الأعداد الصحيحة هي & ldquo n عدد صحيح ، n & gt 0 ، و n قابلة للقسمة على 2. & rdquo باستخدام الترميز أعلاه لدينا

إذا كانت T مجموعة من أزواج الأرقام وكانت خاصية الوصف هي Q (x ، y) ، فإننا نكتب

على سبيل المثال ، المجموعة C لجميع النقاط في المستوى على الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 2 ومركزها في الأصل

تعد دراسة المجموعات والعمليات على المجموعات بحد ذاتها موضوعًا رائعًا ، ولكن هدفنا هنا هو ببساطة تقديم الموضوع للطالب حتى يتمكن من تطبيقه على دراسة حل أنظمة المعادلات ، وفي الفصل 9 ، حل أنظمة عدم المساواة.

8.2 الحل الرسومي

ضع في اعتبارك نظام معادلتين خطيتين في متغيرين x و y.

(1) a_1x + b_1y + c_1 = 0 (a_1، b_1 ليس كلاهما 0)

أ_2 س + ب_2 ص + ج_2 = 0 (أ_2 ، ب_2 ليس كلاهما 0)

نظرًا لأن الرسم البياني لكل معادلة هو خط مستقيم ، فلدينا الاحتمالات الثلاثة التالية.

(أ) الرسوم البيانية هي نفس الخط المستقيم.
(ب) الرسوم البيانية عبارة عن خطوط متوازية متميزة.
(0) الرسوم البيانية تتقاطع في نقطة واحدة بالضبط.

إذا أشرنا إلى مجموعات حل المعادلات في (1) بواسطة

ثم مجموعة الحل S من (1) هي

مما سبق ، نرى ذلك في الحالة (أ) S = S_1 = S_2 في (ب) S = ، بينما في (ج) S ستتألف من نقطة واحدة (p ، q). في الحالة (أ) يُقال أن النظام يعتمد ، في الحالة (ب) يُقال أن النظام غير متسق ، وفي حالة (ج) يُقال أن النظام مستقل.

أشرنا في الفصل السابع إلى وجود خط واحد بالضبط عبر نقطة معينة له ميل معين. والنتيجة هي أن خطين غير عموديين متوازيان متوازيان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الميل.

مثال 1. حل النظام وصنفه.

س ص = 2
رسم المعادلتين اللتين لدينا

نرى أن نقطة التقاطع تبدو (2 ، 0). إذا كانت هذه هي الحالة ، فإن مجموعة الحلول هي

نظرًا لأن مجموعة الحلول تتكون من نقطة واحدة ، فإن النظام ثابت. لاحظ أن الحلول الرسومية تقريبية.

مثال 2. حل النظام التالي وصنفه.

س ص = 2
- (1/2) × + 1/2 ص = -1
رسم المعادلتين اللتين لدينا

نرى أن المعادلتين لهما نفس الخط المستقيم للرسم البياني الخاص بهما ، ومن ثم فإن مجموعة الحل هي

مثال 3. رسم النظام وصنفه.
ص -2 س = 4
2 س - ص = 2
رسم المعادلتين اللتين لدينا

نلاحظ أن ميل كل خط هو 2 ، وبالتالي فإن المستقيمين متوازيين ، وبالتالي فإن النظام غير متسق. النظام لديه مجموعة الحلول الخاصة به

دع & rsquos نرى كيف يحل محلل الرياضيات لدينا هذه المشكلة والمشكلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

8.3 الحل بالتعويض

بشكل عام ، لا يمكن تقريب حل زوج من المعادلات الخطية في متغيرين إلا من خلال النظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بهم. من أجل العثور على مجموعة الحلول الدقيقة ، نقوم بتحويل النظام المحدد إلى نظام يمكن الحصول على مجموعة الحلول الخاصة به بسهولة. يجب أن نتأكد من أن مجموعات الحلول للنظام الأصلي والنظام الناتج هي نفسها. يقال أن نظامين لهما نفس مجموعة الحلول متكافئان. بالتأكيد إذا حصلنا على نظام جديد عن طريق استبدال معادلة واحدة في النظام القديم بمعادلة مكافئة ، فإن النظامين متكافئين.
الطريقة التي نقدمها هنا لإيجاد الحل الدقيق x = 1-2y أيون تسمى طريقة الاستبدال.

ضع في اعتبارك النظام العام
(1) a_1x + b_1y = c_1
a_2x + b_2y = c_2
كما في السابق ، نفترض أن أحد المعاملات على الأقل a_1 و a_2 و b_1 و b_2 يختلف عن الصفر. إذا كانت b_1! = 0 ، فسنحل المعادلة الأولى لـ y ، للحصول على المعادلة المكافئة
ص = - (a_1 / b_1) x + c_1 + b_1
وبالتالي ، فإن النظام (1) يعادل
(2) y = - (a_1 / b_1) x + c_1 / b_1

a_2x + b_2y = c_2
إذا كانت (س ، ص) هي حل (2) ، فإن ص تُعطى بدلالة س في المعادلة الأولى. بالتعويض عن هذا التعبير في المعادلة الثانية نحصل على النظام المكافئ
y = - (a_1 / b_1) x + c_1 / b_1

a_2x + b_2 (- (a_1 / b_1) x + c_1 / b_1) = c_2
يمكن حل المعادلة الثانية من أجل x ويمكن الحصول على القيمة المقابلة لـ y من المعادلة الأولى. يتم التعامل مع الحالات الأخرى بطريقة مماثلة.

مثال 1. حل النظام
2 س ص = 4

حل المعادلة الأولى للحصول على y
ص = -2 س +4
النظام
ص = -2 س +4
س ص = 2
يعادل النظام الأصلي.
الاستبدال ، نحصل على النظام المكافئ
ص = -2 س +4

الاستعاضة ، نحصل عليها
ص = -2 (2) +4

لذلك فإن مجموعة الحلول هي
S = <(2 ، 0)>
مثال 2. حل النظام
2 س - ص = 3
4 س -2 ص = 6
حل المعادلة الأولى لـ y للحصول على النظام المكافئ
ص = 2 س -3
4 س - 2 ص = 6
الاستعاضة ، نحصل عليها
ص = 2 س -3
4 س -2 (2 س -3) = 6
أو
ص = 2 س -3
6 = 6
نظرًا لأن المعادلة الثانية مرضية للجميع (س ، ص) ، فإن هذا النظام لديه مجموعة الحلول الخاصة به

لذلك فإن النظام الأصلي يعتمد.

مثال 3. حل النظام
س + 2 ص = 3
س = 1-2 ص
نظرًا لأن المعادلة الثانية تم حلها من أجل x ، فإننا نعوض في الحصول على المعادلة الأولى
(1-2 س) + 2 ص = 3

أو
1 = 3
س = 1-2 ص
بما أن المعادلة الأولى لها مجموعة الحلول الخاصة بها ، مجموعة حلول النظام هي
S =
لذلك فإن النظام الأصلي غير متسق.

دع & rsquos نرى كيف يحل محلل الرياضيات لدينا هذه المشكلة والمشكلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

8.4 الحل بالتخلص

تعتمد طريقة الحل عن طريق الحذف على العمليات الأولية E1 و E2 و E3 أدناه ، والتي تغير نظامًا معينًا إلى نظام مكافئ.

هاء 1 بدّل أي معادلتين في النظام.

هاء 2 اضرب أي معادلة في عدد غير صفري.

هاء -3 استبدل أي معادلة للنظام بمجموع تلك المعادلة ومضاعف معادلة أخرى للنظام.

مثال 1. حل النظام
س + ص = 4
2 س - 3 ص = 3
بتطبيق E.3 نضرب المعادلة الأولى في -2 ونضيفها إلى المعادلة الثانية للحصول على النظام
س + ص = 4
-5 ص = -5
قم بتطبيق E.2 على المعادلة الثانية بضربها في -1/5.
س + ص = 4
ص = 1
الاستبدال ، نحصل عليه
س + 1 = 4
ص = 1
أو
س = 3
ص = 1
وبالتالي فإن مجموعة حلول النظام الأصلي هي
S =

مثال 2. حل النظام.
س + 2 ص = 3
2 س + 4 ص = 1
أضف -2 مرات المعادلة الأولى إلى المعادلة الثانية للحصول على النظام
س + 2 ص = 3
0= -5
نظرًا لأنه من الواضح أن المعادلة الثانية ليس لها حل ، فإن هذا النظام ، وبالتالي النظام الأصلي ، غير متسق. وبالتالي فإن مجموعة الحل هي
S =

مثال 3. حل النظام
2 س - ص = 3

-x + 1 / 2y = - (3/2)
اضرب المعادلة الأولى في 1/2 وأضفها إلى المعادلة الثانية للحصول على النظام
2 س - ص = 3
0=0

نظرًا لأن المعادلة الثانية مرضية للجميع (س ، ص) ، فإن مجموعة حلول النظام هي نفس مجموعة حلول المعادلة الأولى ، وهي:

النظام الأصلي يعتمد.

نختتم هذا القسم بمثالين من الأنظمة التي تؤدي إلى أنظمة المعادلات الخطية.

مثال 4. حل النظام

اضرب كل معادلة في شاشة LCD الخاصة بها.

(2) 3 س -3 ص = 2 س + 2 ص
2 س + 4 ص = س - 3
تبسيط.

س -5 ص = 0
س + 4 ص = -3
اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف.
س -5 ص = 0
9 ص = -3

بالتعويض نحصل على (5/3، -1/3) كحل (2). بالانتقال من (1) إلى (2) قمنا بضرب التعبيرات x + y و x -3. الضرب بكل من هذه التعبيرات هو عملية أولية فقط إذا كان التعبير غير صفري. بالتعويض ، نرى أن أيًا من التعبيرين ليس صفرًا عند (5/3 ، -1/3).

دع & rsquos نرى كيف يحل محلل الرياضيات لدينا هذه المشكلة والمشكلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

مثال 5. حل النظام
(1) 1 / (س ص) + 2 / (س + ص) = 7/10

4 / (س ص) + 5 / (س + ص) = 5/2
ضرب كل معادلة في L.C.D. يؤدي إلى معادلات غير خطية. ومع ذلك ، نلاحظ أن المتغيرين x و y يحدثان فقط في التوليفات 1 / (x - y) و 1 / (x + y) ، بحيث تكون الاستبدالات

8.5 الحل بالمحددات

في حل النظام
(1) a_1x + b_1y = c_1
a_2x + b_2y = c_2
نواجه التعبير
a_1b_2-a_2b_1
يتم الإشارة إلى هذا التعبير بواسطة

ويسمى محدد a_1 ، b_1 ، a_2 ، b_2. نظرًا لأن هذا المحدد يتكون من صفين وعمودين ، يُقال إنه من الترتيب 2. تسمى الأرقام a_1 و b_1 و a_2 و b_2 عناصر المحدد.

على سبيل المثال،

سنعرض الآن كيف يمكن استخدام المحددات لحل النظام (1) أعلاه.
a_1x + b_1y = c_1

اضرب المعادلة الأولى في المعادلة الثانية ب -b_1 ، واجمعها لتحصل على
a_1b_2x-a_2b_1x = c_1b_2-c_2b_1

a_2x + b_2y = c_2
نحصل على المعادلة الأولى لـ x
س = (c_1b_2-c_2b_1) / (a_1b_2-a_2b_1
نرى أن البسط هو المحدد ببساطة

بينما المقام هو المحدد

ومن ثم ، قد نكتب

حيث نفترض ذلك بالطبع

نحصل على حل النظام الأصلي لـ y بدلاً من x

دع D و D_x و D_y تشير إلى المحددات التالية:

باستخدام هذا الترميز ، تصبح حلول x و y أعلاه

يُعرف استخدام المحددات بهذه الطريقة لحل نظام المعادلات الخطية بقاعدة كريمر ورسكووس ، وكان غابرييل كرامر (1704-1752) عالم رياضيات سويسريًا معروفًا.

نرى أن D هي مجموعة معاملات x و y في (1). علاوة على ذلك ، يتم الحصول على D_x من D عن طريق استبدال العمود الأول ، معاملات x ، بعمود الثوابت ، وبالمثل ، يتم الحصول على D_y من D عن طريق استبدال العمود الثاني ، معاملات y ، بعمود الثوابت.

مثال 1. استخدم قاعدة Cramer & rsquos لحل النظام التالي.
س ص = 2
س + ص = 4
نحسب D و D_x و D_y.

وبالتالي فإن مجموعة الحلول هي S = <(3 ، 1)>.

إذا كانت D = 0 في هذا الإجراء ، فإما أن تكون المعادلات تابعة أو أن النظام غير متسق ، اعتمادًا على ما إذا كانت D_x و D_y صفراً أم لا.

مثال 2. حل النظام
2 × 4 ص = 3

-x + 2y = - (3/2)
نحن لدينا

وبالتالي ، فإن النظام إما تابع أو غير متسق. حيث

و

النظام يعتمد. من الاعتبارات الهندسية ، تعتمد معادلتان إذا وفقط إذا كانتا معادلات من نفس الخط.

8.6 أنظمة خطية في أكثر من متغيرين

في كثير من الأحيان يجب أن نفكر في أنظمة المعادلات بأكثر من مجهولين. يمكن توسيع طرق الاستبدال والإقصاء وقاعدة Cramer & rsquos لحل هذه الأنظمة ذات الترتيب الأعلى.

في هذا القسم سوف نستخدم طريقة الحذف.

مثال 1. حل النظام
س + ص -4 ز = 2
3x-y-8z = -1
2 س + 3 ص + 2 ز = 3
نحذف x من المعادلة الثانية بإضافة -3 أضعاف المعادلة الأولى ، ومن المعادلة الثالثة بإضافة -2 ضعف المعادلة الأولى ، للحصول على النظام
س + ص -4 ز = 2
-4 ص + 4 ع = -7
ص + 10 ع = -1
احذف y من المعادلة الثانية بإضافة 4 أضعاف المعادلة الثالثة إلى الثانية للحصول على النظام
س + ص -4 ز = 2
44 ز = -11
ص + 10 ع = -1

يمكننا استخدام المعادلتين الأخيرتين لحل متغيرين من المتغيرات بدلالة المتغير الثالث. هكذا
س = 23-11 ز
و
ص = 14-9 ع -2 س
= 14-9z-2 (23-11z)
وبالتالي
ص = -32 + 13 ع
مجموعة الحل هي

نظرًا لأن z يأخذ جميع القيم الحقيقية ، فإن S لديه عدد لا حصر له من العناصر.
لذلك فإن النظام يعتمد.

مثال 4. حل النظام
س + ص + ض = 1
2 س - 3 ص - 2 ع = -4
4x - ص = -1
نحذف z في المعادلة الثانية التي نحصل عليها
س + ص + ض = 1
4x - ص = -2
4 س - ص = - 1
حذف y في المعادلة الأخيرة التي حصلنا عليها
س + ص + ض = 1
4x - ص = -2
0=1
نظرًا لعدم وجود حل للمعادلة الأخيرة في هذا النظام ، فإن النظام غير متناسق. ومن ثم فإن النظام الأصلي غير متسق ولديه مجموعة حلول S = .

8.7 محددات الدرجة الثالثة

نعني بمحدد الترتيب 3

إذا أعدنا كتابة هذا الرقم في الشكل

ثم يمكننا إعادة كتابته من حيث محددات الرتبة 2 على النحو التالي.

يمكننا أيضًا إعادة كتابته كـ


نحدد العنصر الثانوي لعنصر معين في المحدد ليكون المحدد المتبقي بعد حذف الصف والعمود الذي يظهر فيه العنصر. وهكذا في محدد الترتيب 3

أعلاه ، القاصر من a_1 هو

القاصر من b_2 هو

بينما قاصر c_3 هو

إذا استخدمنا الترميز m (x) للدلالة على العنصر الصغرى للعنصر x ، ثم من الأعلى ، بالتوسيع بواسطة العمود الأول ، لدينا

نتوسع في الصف الأول لدينا


مع الاستخدام الصحيح للإشارات ، من الممكن التعبير عن المحدد من حيث القصر في أي صف أو أي عمود. يعتبر الرسم البياني أدناه أداة مفيدة لتحديد العلامات المناسبة لمُحدد من الدرجة الثالثة.

يمكننا اختيار أي صف أو عمود ، وتشكيل مجموع حاصل ضرب العناصر وأجزاءها الثانوية جنبًا إلى جنب مع الإشارة المناسبة من الرسم البياني أعلاه ، وسيكون لدينا المحدد معبرًا عنه من حيث القُصّر.

مثال 1. استخدم الصف الثاني للحساب

نقوم بتوسيع D بالصف الأول للحصول على


توسيع D_x I بواسطة العمود الأول لدينا

وبالمثل نجد ذلك
D_y = -5
و
D_z = -12
لذلك،

لذلك فإن مجموعة الحل هي S = <(29/16، -5 / 16، -3/4)

إذا كانت D = 0 ، فإما أن يكون النظام تابعًا أو غير متسق ، اعتمادًا على ما إذا كانت D_x و D_y و D_z كلها صفرية أم لا.

8.8 بيان المشاكل

تؤدي العديد من مسائل البيان إلى أنظمة معادلات خطية في متغيرين أو أكثر. الطريقة العامة للهجوم هي نفسها كما في القسم 6.6 ، باستثناء أننا نقدم حرفًا مختلفًا لكل مجهول. ثم نترجم العبارات المتعلقة بهذه المجهول إلى نظام معادلات.

مثال 1. رجل لديه 2.00 دولار بالنيكل والدايمات ، مع دايمتين أكثر من النيكل. كم عدد الدايمات وكم نيكل لديه؟

الخطوة 1. لنفترض أن n هو عدد النيكل و d هو عدد الدايمات.
الخطوة 2. قيمة النيكل n هي 5n cents وقيمة الدايمات 10d. بما أن الرجل لديه 2.00 دولار بالنيكل والدايمات ، فلدينا المعادلة
5 ن + 10 د = 200
بما أن لديه سنتان أكثر من النيكل ، فلدينا
د = ن + 2
الخطوه 3. حل النظام
5 ن + 10 د = 200
د = ن + 2
عن طريق الاستبدال
5 ن + 10 (ن + 2) = 200
د = ن + 2
أو
15 ن = 180
د = ن + 2
الحل
ن = 12 نيكل
د = 14 دايم
مثال 2. كم جالونًا من المحلول الذي يحتوي على 45٪ كحول يجب مزجه بمحلول كحول 60٪ للحصول على 40 جالونًا من المحلول الذي يحتوي على 48٪ كحول؟

الخطوة 1. دع x يكون عدد غالونات المحلول 45٪ و y يكون عدد الجالونات من محلول 60٪.

الخطوة 2. بما أن إجمالي عدد الجالونات هو 40 ،
س + ص = 40
بما أن 45٪ من x عبارة عن كحول ، و 60٪ من y عبارة عن كحول ، و 48٪ من إجمالي 40 جالونًا عبارة عن كحول ،
0.45 × + 0.60 ص = (0.48) (40)
الخطوه 3. حل النظام
س + ص = 40
45 س + 60 ص = 1920
إضافة -45 مرة من المعادلة الأولى إلى المعادلة الثانية التي نحصل عليها
س + ص = 40
15 ص = 120

هكذا،
ص = 8 جالون
س = 32 جالون

مثال 3. رجل يبحر لمسافة 40 ميلاً في قاربه في ساعتين. تستغرق رحلة العودة ساعتين ونصف. ما هو متوسط ​​سرعة القارب ومتوسط ​​سرعة النهر؟

الخطوة 1. لنفترض أن x هي سرعة القارب بالنسبة إلى الشاطئ و y هي سرعة النهر.

الخطوة 2. نظرًا لأن المسافة تساوي معدل مرات الوقت وسرعة القارب و rsquos في اتجاه مجرى النهر هي x + y ، فلدينا
40 = (س + ص) (2)
المنبع لدينا
40 = (س - ص) (5/2)
الخطوه 3. حل النظام
س + ص = 20
س ص = 16
جمع المعادلتين لدينا
س + ص = 20
2 س = 36
هكذا،
س = 18 ميلا في الساعة
ص = 2 ميل في الساعة
مثال 4. رجل دفع ثمن عنصر 1.85 دولار بالنيكل والدايمات والأرباع. إذا كان هناك نفس عدد الأرباع مثل النيكل زائد الدايمات وأربعة نيكل أكثر من الدايمات ، فكم عدد كل منها؟

الخطوة 1. لنفترض أن x هو عدد النيكل ، و y هو عدد الدايمات ، و z هو عدد الأرباع.

الخطوة 2. كان هناك نفس عدد الأرباع مثل النيكل بالإضافة إلى الدايمات
ض = س + ص
كان هناك أربعة نيكل أكثر من الدايمات
س = ص + 4
قيمة x نيكل تساوي 5x سنتات ، و y dimes تساوي 10y و z ربعًا تساوي 25z ، وبالتالي
5 س + 10 ص + 25 ع = 185

الخطوة 3. حل النظام
ض = س + ص
س = ص + 4
5 س + 10 ص + 25 ع = 185
نعوض عن x في المعادلة الأولى التي نحصل عليها
ض = (ص +4) + ص
س = ص + 4
5 س + 10 ص + 25 ع = 185
نعوض الآن عن x و z في المعادلة الثالثة التي نحصل عليها
ض = 2 ص + 4
س = ص + 4
5 (ص +4) + 10 ص + 25 (2 س + 4) = 185
حل هذا النظام نحصل عليه
س = 5 نيكل
ص = 1 سنت
ض = 6 أرباع

8.9 أنظمة الدرجة الثانية في متغيرين

معادلة الشكل
(1) الفأس ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0
حيث A و B و C و D و E و F كلها ثوابت ، تسمى معادلة الدرجة الثانية العامة في x و y ، أو ببساطة المعادلة التربيعية العامة في x و y. في حالة أن A = B = C = 0 ، نرى أن (1) تختزل إلى معادلة من الدرجة الأولى يكون رسمها البياني خطًا مستقيمًا. في الفصل 7 نظرنا أيضًا في ثلاث حالات أخرى: A = C! = 0 و B = 0 ، وفي هذه الحالة يكون الرسم البياني (1) عبارة عن دائرة A = B = 0 و C! = 0 ، وفي هذه الحالة يكون الرسم البياني لـ (1) هو قطع مكافئ ذو محور أفقي و B = C = 0 و A! = 0 ، وفي هذه الحالة يكون الرسم البياني لـ (1) قطع مكافئ ذو محور عمودي. تمت دراسة جميع حالات المعادلات من النوع (1) في الهندسة التحليلية. في هذا القسم سننظر في الحل الجبري لأنظمة معينة من المعادلات من النوع (1).

يمكن أحيانًا إيجاد الحلول الحقيقية لنظام المعادلات التربيعية في متغيرين عن طريق رسم كلتا المعادلتين بيانيًا ثم تقدير الإحداثيات حيث تتقاطع الرسوم البيانية.

مثال 1. حل النظام

ص = س ^ 2-2x + 2
ص + س = 3
من أجل الرسم البياني
ص = س ^ 2-2x + 2
نكمل المربع ونكتبه كـ
ص -1 = (س -1) ^ 2

رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ برأس (1 ، 1) يفتح لأعلى. رسم بياني نحصل عليه


وبالتالي ، فإن الحلين في منزلة عشرية واحدة تقريبًا هما (-0.6 ، 3.6) و (1.6 ، 1.4).

طريقة أخرى لحل مثل هذا النظام هي طريقة الاستبدال. نطبق هذه الطريقة على النظام في المثال 1.

مثال 2. حل النظام
ص = س ^ 2-2x + 2
ص + س = 3
بحل المعادلة الثانية لـ y والتعويض ، نحصل على النظام
ص = 3 - س
3 - س = س ^ 2 - 2 س + 2
حل المعادلة الثانية لـ x: لدينا
س ^ 2-س -1 = 0
س = (1 + -sqrt (5)) / 2

نستخدم الآن المعادلة y = 3 - x للحصول على قيم y المقابلة. بالنسبة إلى x = (1 + sqrt (5)) / 2 ،
ص = 3 - س
= 3- (1 + sqrt (5)) / 2

وبالتالي فإن مجموعة حلول النظام هي
S = <(1/2 + sqrt (5) / 2،5 / 2-sqrt (5) / 2) ، (1/2-sqrt (5) / 2،5 / 2 + sqrt (5) / 2)
منذ الجذر (5) & asymp 2.2 إلى منزلة عشرية واحدة ، لدينا التقريب

وهو ما حصلنا عليه في المثال 1.

مثال 3. حل النظام
س ^ 2 + ص ^ 2 = 13
س + ص = 5
نحل المعادلة الثانية لـ y ونعوض بها في المعادلة الأولى ، وهو ما يعطينا النظام

حل المعادلة الأولى لدينا

س ^ 2 + (5-س) ^ 2 = 13
س ^ 2 + 25-10 س + س ^ 2 = 13
2 س ^ 2-10 س + 12 = 0
س ^ 2-5x + 6 = 0
س ^ 2 + (5-س) ^ 2 = 13
س = 3 أو س = 2
بالنسبة إلى x = 3 ، نجد من المعادلة الثانية أن y = 2 ، بينما بالنسبة إلى x = 2 ، y = 3. ومن ثم مجموعة الحلول لدينا
S = <(3،2) ، (2،3)>
الرسم البياني للمعادلة الأولى عبارة عن دائرة مركزها (0 ، 0) ونصف قطرها & lsquo sqrt (13) = 3.6 ، في حين أن المعادلة الثانية عبارة عن خط. نحن بالرسوم البيانية
لديك

& emsp & emsp

مثال 4. & emsp & emspحل النظام

& emsp & emsp نضرب المعادلة الأولى في 4/3 ونجمعها للحصول على النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ x لدينا

& emsp & emsp نعوض بكل قيمة x في المعادلة الأولى. بالنسبة إلى x = 3 ،

مثال 5. & emsp & emspحل نظام المعادلات

& emsp & emsp حل من أجل y في المعادلة الأولى والاستبدال في المعادلة الثانية لدينا

& emsp & emsp حل المعادلة التربيعية التي لدينا

& emsp & emsp باستخدام الصيغة التربيعية التي نحصل عليها

& emsp & emsp باستبدال هذه القيم لـ x في المعادلة y = x-4 ، وجدنا أن مجموعة الحل هي

& emsp & emsp نظرًا لأن الحلول عبارة عن أزواج من الأرقام المركبة ، فإن الرسوم البيانية للمعادلات الأصلية لا تتقاطع.

& emsp & emsp

& emsp & emsp بعض الطرق الأخرى لحل أنظمة المعادلات التربيعية في متغيرين موضحة في الأمثلة القليلة التالية.

مثال 6.& emsp & emsp حل النظام

& emsp & emsp قم بإزالة الحد الثابت في المعادلة الثانية بضرب المعادلة الأولى في 2 وإضافة. نحصل على النظام

& emsp & emsp عامل المعادلة الثانية وحل من أجل y بدلالة x.

& emsp & emsp استبدل هذه التعبيرات لـ y في المعادلة الأولى وحل من أجل x. بالنسبة إلى y = (4/5) x.

& emsp & emsp منذ y = (4/5) x ، نحصل على (5 / 3،4 / 3) و (- (5/3) ، - (4/3)). بالنسبة إلى y = 2x.

& emsp & emspS نظرًا لأن y = 2x ، نحصل على (1،2) و (-1 ، -2). وبالتالي فإن مجموعة الحلول لدينا هي

مثال 7. & emsp & emspحل النظام

& emsp & emsp اضرب المعادلة الأولى في -3 وأضفها لإزالة كل من حدي x ^ 2 و y ^ 2. نحصل على النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ y بدلالة x واستبدلها مرة أخرى في
الحصول على المعادلة الأولى

& emsp & emsp باستبدال هذه القيم لـ x في المعادلة xy = 2 نحصل على مجموعة الحلول

8.10 & emsp & emsp المزيد من مشاكل البيان

& emsp & emsp هناك مشاكل في البيان تؤدي إلى أنظمة المعادلات التربيعية في متغيرين. دعونا نتأمل بعض الأمثلة.

مثال 1. & emsp & emspأوجد جميع أزواج الأعداد الصحيحة بحيث يكون مجموع مربعاتها 170 بينما يكون الفرق بينها 4.

الخطوة 1. لنفترض أن x يكون عددًا صحيحًا و y هو الآخر.

الخطوة 2. بما أن مجموع مربعي العددين الصحيحين هو 170 ،

& emsp & emsp نظرًا لأن الاختلاف بينهما هو 4 ،

الخطوه 3. حل النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ y واستبدلها بالمعادلة الأولى للحصول عليها

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ x.

& emsp & emsp باستخدام المعادلة الأولى التي نحصل عليها كمجموعة حلول لدينا

مثال 2. & emsp & emspأوجد أبعاد مستطيل مساحته 120 قدمًا ومحيطه 46 قدمًا.

الخطوة 1. دع x يكون الطول و y يكون العرض

الخطوة 2. حيث أن المساحة 120 قدم مربع

& emsp & emsp نظرًا لأن المحيط 46 قدمًا.

الخطوه 3. حل النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ y والاستبدال في المعادلة الأولى نحصل على النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ x

& emsp & emsp باستخدام المعادلة الأولى لحل y نرى أن الأبعاد هي

مثال 3. & emsp & emspاستأجرت مجموعة معينة من الناس حافلة مقابل 240 دولارًا. إذا كان هناك 3 أشخاص أقل ، لكان كل شخص 4 دولارات إضافية. كم كان عدد الأشخاص هناك وما هي تكلفة الفرد؟

الخطوة 1. لنفترض أن x هو عدد الأشخاص في المجموعة و y هي التكلفة لكل شخص.

الخطوة 2. نظرًا لأن التكلفة 240 دولارًا ،

& emsp & emsp إذا ذهب 3 أشخاص أقل ، فسيكون هناك x-3 أشخاص وسيكلف كل شخص 4 دولارات أكثر ، أي ،

الخطوة 3. & emsp & emspحل النظام

& emsp & emsp تبسيط المعادلة الثانية واستخدام المعادلة الأولى نحصل على النظام

& emsp & emsp حل المعادلة الثانية لـ x ،

& emsp & emspClearly x = 15 شخصًا هو الحل الوحيد نظرًا لأن -12 لا يمكن أن يمثل عددًا من الأشخاص. منذ xy = 240 ، لدينا


طرق الاستبدال والجمع

حل أنظمة المعادلات بالتعويض

يعمل حل نظام خطي في متغيرين عن طريق الرسم البياني بشكل جيد عندما يتكون الحل من قيم عدد صحيح ، ولكن إذا كان الحل يحتوي على كسور عشرية أو كسور ، فهذه ليست الطريقة الأكثر دقة. سننظر في طريقتين أخريين لحل أ نظام المعادلات الخطية التي هي أكثر دقة من الرسوم البيانية. إحدى هذه الطرق هي حل نظام المعادلات بواسطة طريقة الاستبدال، حيث نحل إحدى المعادلات لمتغير واحد ثم نعوض بالنتيجة في المعادلة الثانية لحل المتغير الثاني. تذكر أنه يمكننا حل متغير واحد فقط في كل مرة ، وهذا هو السبب في أن طريقة الاستبدال قيمة وعملية.

الكيفية: بالنظر إلى نظام من معادلتين في متغيرين ، حل باستخدام طريقة التعويض.

  1. حل إحدى المعادلتين لأحد المتغيرات بدلالة الأخرى.
  2. عوّض بتعبير هذا المتغير في المعادلة الثانية ، ثم حل المتغير المتبقي.
  3. عوّض بهذا الحل في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول. إذا أمكن ، اكتب الحل كزوج مرتب.
  4. افحص الحل في كلا المعادلتين.

مثال: حل نظام المعادلات في متغيرين بالتعويض

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

[اللاتكس] ابدأ text <> -x + y = -5 hfill text <> 2x - 5y = 1 hfill end[/ اللاتكس]

أولاً ، سنحل المعادلة الأولى لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس].

[اللاتكس] ابدأ-x + y = -5 hfill text <> y = x - 5 hfill end[/ اللاتكس]

الآن يمكننا استبدال التعبير [اللاتكس] x - 5 [/ اللاتكس] عن [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في المعادلة الثانية.

[اللاتكس] ابدأ text <> 2x - 5y = 1 hfill 2x - 5 left (x - 5 right) = 1 hfill text <> 2x - 5x + 25 = 1 hfill text <> -3x = -24 hfill text <> x = 8 hfill end[/ اللاتكس]

الآن ، نحن نستبدل [latex] x = 8 [/ latex] في المعادلة الأولى ونحل مشكلة [latex] y [/ latex].

[اللاتكس] ابدأ- يسار (8 يمين) + y = -5 hfill text <> y = 3 hfill end[/ اللاتكس]

حلنا هو [اللاتكس] يسار (8،3 يمين) [/ لاتكس].

افحص الحل باستبدال [اللاتكس] left (8،3 right) [/ latex] في كلا المعادلتين.

[اللاتكس] ابدأ-x + y = -5 hfill & hfill & hfill & hfill - left (8 right) + left (3 right) = - 5 hfill & hfill & hfill & text hfill 2x - 5y = 1 hfill & hfill & hfill & hfill 2 left (8 right) -5 left (3 right) = 1 hfill & hfill & hfill & نص hfill النهاية[/ اللاتكس]

جربها

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

[اللاتكس] ابدأx = y + 3 hfill 4 = 3x - 2y hfill end[/ اللاتكس]

هل يمكن استخدام طريقة الاستبدال لحل أي نظام خطي في متغيرين؟

نعم ، لكن الطريقة تعمل بشكل أفضل إذا احتوت إحدى المعادلات على معامل 1 أو –1 بحيث لا نضطر للتعامل مع الكسور.

مدته 10 دقائق ويقدم درسًا صغيرًا حول استخدام طريقة التعويض لحل نظام المعادلات الخطية. نقدم ثلاثة أمثلة مختلفة ، ونستخدم أيضًا أداة الرسوم البيانية للمساعدة في تلخيص الحل لكل مثال.

حل نظم المعادلات في متغيرين بطريقة الجمع

هناك طريقة ثالثة لـ حل أنظمة المعادلات الخطية هل طريقة الجمع ، هذه الطريقة تسمى أيضًا طريقة القضاء. في هذه الطريقة ، نضيف حدين لهما نفس المتغير ، لكن المعاملين المعاكسين ، بحيث يكون المجموع صفرًا. بالطبع ، لم يتم إعداد كل الأنظمة باستخدام مصطلحي متغير واحد لهما معاملات معاكسة. في كثير من الأحيان يجب علينا تعديل إحدى المعادلتين أو كليهما عن طريق الضرب بحيث يتم حذف متغير واحد عن طريق الجمع.

الكيفية: باستخدام نظام المعادلات ، حلها باستخدام طريقة الجمع.

  1. اكتب كلا المعادلتين مع x& # 8211 و ذ- المتغيرات الموجودة في الجهة اليسرى من علامة التساوي والثوابت في الجهة اليمنى.
  2. اكتب معادلة واحدة فوق الأخرى ، واصطف المتغيرات المقابلة. إذا كان أحد المتغيرات في المعادلة العليا يحتوي على المعامل المعاكس لنفس المتغير في المعادلة السفلية ، أضف المعادلتين معًا ، مستبعدًا متغيرًا واحدًا. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاستخدم الضرب برقم غير صفري بحيث يكون لأحد المتغيرات في المعادلة العليا المعامل المعاكس لنفس المتغير في المعادلة السفلية ، ثم أضف المعادلات لاستبعاد المتغير.
  3. حل المعادلة الناتجة عن المتغير المتبقي.
  4. عوّض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية وحل من أجل المتغير الثاني.
  5. افحص الحل بتعويض القيم في المعادلة الأخرى.

مثال: حل نظام بطريقة الإضافة

حل نظام المعادلات المعطى عن طريق الجمع.

[اللاتكس] ابدأx + 2y = -1 hfill -x + y = 3 hfill end[/ اللاتكس]

تم تعيين كلا المعادلتين بالفعل على أساس ثابت. لاحظ أن معامل [latex] x [/ latex] في المعادلة الثانية ، –1 ، هو عكس معامل [latex] x [/ latex] في المعادلة الأولى ، 1. يمكننا إضافة المعادلتين إلى القضاء على [اللاتكس] x [/ اللاتكس] دون الحاجة إلى الضرب في ثابت.

الآن بعد أن استبعدنا [اللاتكس] x [/ اللاتكس] ، يمكننا حل المعادلة الناتجة لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس].

بعد ذلك ، نستبدل هذه القيمة بـ [اللاتكس] y [/ latex] في إحدى المعادلات الأصلية ونحل مشكلة [اللاتكس] x [/ اللاتكس].

[اللاتكس] ابدأ text <> -x + y = 3 hfill text <> -x + frac <2> <3> = 3 hfill text <> -x = 3- frac <2> <3 > hfill text <> -x = frac <7> <3> hfill text <> x = - frac <7> <3> hfill end[/ اللاتكس]
الحل لهذا النظام هو [لاتكس] يسار (- فارك <7> <3> ، فارك <2> <3> يمين) [/ لاتكس].

افحص الحل في المعادلة الأولى.

[اللاتكس] ابدأ text <> x + 2y = -1 hfill & hfill & hfill & hfill text <> left (- frac <7> <3> right) +2 left ( frac < 2> <3> right) = hfill & hfill & hfill & hfill text <> - frac <7> <3> + frac <4> <3> = hfill & hfill & hfill & hfill text <> - frac <3> <3> = hfill & hfill & hfill & hfill text <> -1 = -1 hfill & hfill & hfill & text hfill النهاية[/ اللاتكس]

تحليل الحل

نكتسب منظورًا مهمًا لأنظمة المعادلات من خلال النظر إلى التمثيل البياني. انظر إلى الرسم البياني أدناه لتجد أن المعادلات تتقاطع عند الحل. لا نحتاج إلى التساؤل عما إذا كان هناك حل ثانٍ لأن مراقبة الرسم البياني تؤكد أن النظام يحتوي على حل واحد بالضبط.


شاهد الفيديو: Using Gauss-Jordan to Solve a System of Three Linear Equations - Example 1 (شهر نوفمبر 2021).