مقالات

3.7: مقدمة في الوظائف - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحديد وظيفة.
  • حدد مجال ومدى الدالة.
  • استخدم تدوين الوظيفة.

العلاقات والوظائف والمجال والمدى

تحدث العلاقات بين المجموعات غالبًا في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، لكل شهر في كيب كانافيرال ، يمكننا ربط متوسط ​​كمية الأمطار. في هذه الحالة ، تعتمد كمية التساقط على شهر السنة ، ويمكن كتابة البيانات في شكل جدول أو كمجموعة من الأزواج المرتبة.

شهرترسبأزواج مرتبة
يناير2.4 بوصة(يناير ، 2.4)
شهر فبراير3.3 بوصة(فبراير ، 3.3)
مارس3.1 بوصة(مارس ، 3.1)
أبريل2.0 بوصة(أبريل ، 2.0)
يمكن3.8 بوصة(مايو ، 3.8)
يونيه6.8 بوصة(يونيو ، 6.8)
تموز8.1 بوصة(يوليو ، 8.1)
أغسطس7.6 بوصة(أغسطس ، 7.6)
شهر تسعة7.3 بوصة(سبتمبر ، 7.3)
اكتوبر4.1 بوصة(أكتوبر ، 4.1)
شهر نوفمبر3.3 بوصة(نوفمبر ، 3.3)
ديسمبر2.4 بوصة(ديسمبر ، 2.4)
جدول ( PageIndex {1} )

نحدد العلاقة على أنها أي مجموعة من الأزواج المرتبة. عادة نكتب المكون المستقل للعلاقة في العمود الأول والمكون التابع في العمود الثاني. في المثال الافتتاحي ، لاحظ أنه من المنطقي ربط متوسط ​​كمية هطول الأمطار حسب الشهر من السنة. تسمى مجموعة جميع العناصر الموجودة في العمود الأول من العلاقة المجال. تسمى مجموعة جميع العناصر المكونة للعمود الثاني النطاق. في هذا المثال ، يتكون المجال من مجموعة كل شهور السنة ، ويتكون النطاق من القيم التي تمثل متوسط ​​هطول الأمطار لكل شهر.

في سياق الجبر ، فإن علاقات الاهتمام هي مجموعات من الأزواج المرتبة ((س ، ص) ) في مستوى الإحداثيات المستطيل. في هذه الحالة ، تحدد قيم (x ) - المجال وتحدد قيم (y ) - النطاق. تحظى العلاقات بأهمية خاصة حيث تتوافق كل قيمة مع (ص ) - قيمة واحدة بالضبط ؛ تسمى هذه العلاقات وظائف.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد مجال ومدى العلاقة التالية وحدد ما إذا كانت دالة أم لا:

({(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, −2)})

المحلول:

نحن هنا نفصل المجال والمدى ونصور التطابق بين القيم بالسهام.

الشكل ( PageIndex {1} )

إجابه:

المجال هو ( {- 1 ، 0 ، 2 ، 3 ، 4 } ) ، والنطاق هو ( {- 2 ، 3 ، 4 ، 7 } ). العلاقة هي دالة لأن كل قيمة (x ) - تتوافق مع قيمة (y ) - واحدة بالضبط.

مثال ( PageIndex {2} )

حدد مجال ومدى العلاقة التالية وحدد ما إذا كانت دالة أم لا:

({(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7)}).

المحلول:

الشكل ( PageIndex {2} )

إجابه:

المجال هو ( {- 4 ، −2 ، 0 ، 3 } ) ، والنطاق هو ( {- 3 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 } ). هذه العلاقة ليست دالة لأن (x ) - القيمة (3 ) لها قيمتان متطابقتان (y ) -.

في المثال السابق ، العلاقة ليست دالة لأنها تحتوي على أزواج مرتبة بنفس (س ) - القيمة ، ((3 ، 5) ) و ((3 ، 7) ). يمكننا التعرف على الدوال كعلاقات حيث لا تتكرر القيم (س ).

في الجبر ، تُعرّف المعادلات مثل (y = frac {3} {4} x − 2 ) العلاقات. يمكن رسم هذه المعادلة الخطية على النحو التالي:

الشكل ( PageIndex {3} )

يمثل الرسم البياني علاقة لأنه يمثل مجموعة لا نهائية من حلول الأزواج المرتبة لـ (y = frac {3} {4} x − 2 ). المجال هو مجموعة جميع قيم (x ) - وفي هذه الحالة يتكون من جميع الأرقام الحقيقية. النطاق هو مجموعة جميع القيم الممكنة (y ) - وفي هذه الحالة يتكون أيضًا من جميع الأرقام الحقيقية. علاوة على ذلك ، فإن الرسم البياني هو دالة لأنه لكل قيمة (س ) - هناك قيمة واحدة مقابلة (ص ) - قيمة. في الواقع ، أي خط غير عمودي أو غير أفقي هو دالة ذات مجال ونطاق يتكون من جميع الأرقام الحقيقية.

أي رسم بياني هو مجموعة من الأزواج المرتبة وبالتالي يحدد العلاقة. ضع في اعتبارك الرسم البياني التالي للدائرة:

الشكل ( PageIndex {4} )

يمثل الرسم البياني هنا علاقة حيث تتوافق العديد من القيم في المجال مع قيمتي y. إذا رسمنا خطًا رأسيًا ، كما هو موضح ، يمكننا أن نرى أن ((3، 2) ) و ((3، −2) ) زوجان مرتبان لهما نفس القيمة (x ). لذلك ، فإن (x ) - القيمة (3 ) يتوافق مع قيمتين (y ) - ؛ ومن ثم فإن الرسم البياني لا يمثل وظيفة. يقترح الرسم التوضيحي أنه إذا تقاطع أي خط رأسي مع رسم بياني أكثر من مرة ، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة. وهذا ما يسمى باختبار الخط العمودي.

مثال ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى الرسم البياني التالي ، حدد المجال والمدى وحدد ما إذا كانت دالة أم لا.

الشكل ( PageIndex {5} )

المحلول:

يسمى الشكل المعطى القطع المكافئ ويمتد إلى أجل غير مسمى إلى اليسار واليمين كما هو موضح بواسطة الأسهم. يشير هذا إلى أننا إذا اخترنا أي قيمة (س ) ، فسنكون قادرين على إيجاد نقطة مقابلة على الرسم البياني ؛ لذلك ، يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية. علاوة على ذلك ، يوضح الرسم البياني أن (- 1 ) هو الحد الأدنى (ص ) - القيمة ، وأي قيمة (ص ) - أكبر من تلك التي يتم تمثيلها في العلاقة. ومن ثم فإن النطاق يتكون من جميع القيم (y ) - أكبر من أو تساوي (- 1 ) ، أو في تدوين الفاصل ، ([- 1 ، ∞) ).

الشكل ( PageIndex {6} )

أخيرًا ، سيتقاطع أي خط رأسي مع الرسم البياني مرة واحدة فقط ؛ لذلك ، إنها دالة.

إجابه:

المجال هو جميع الأرقام الحقيقية (R = (−∞، ∞) ) ، والنطاق هو ([- 1 ، ∞) ). يمثل الرسم البياني دالة لأنه يجتاز اختبار الخط العمودي.

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى الرسم البياني ، حدد المجال والنطاق واذكر ما إذا كانت وظيفة أم لا:

الشكل ( PageIndex {7} )

إجابه

المجال: ([- 4 ، ∞) ) ؛ النطاق: ((- ∞ ، ∞) ) ؛ الوظيفة: لا

ترميز الوظيفة والوظائف الخطية

مع تعريف الوظيفة يأتي تدوين خاص. إذا اعتبرنا أن كل قيمة (x ) هي المدخلات التي تنتج ناتجًا واحدًا بالضبط ، فيمكننا استخدام الترميز

[f (x) = y ]

التدوين (f (x) ) يقرأ " (f ) لـ (x )" ويجب عدم الخلط بينه وبين الضرب. تتضمن معظم دراستنا للجبر وظائف ، لذلك تصبح التدوين مفيدة جدًا عند أداء المهام الشائعة. يمكن تسمية الوظائف بأحرف مختلفة ؛ بعض الأسماء الشائعة للوظائف هي (g (x) و h (x) و C (x) ) و (R (x) ). أولاً ، ضع في اعتبارك الخطوط غير العمودية التي نعلم أنه يمكن التعبير عنها باستخدام صيغة الميل والمقطع ، (y = mx + b ). لأي أرقام حقيقية (م ) و (ب ) ، تحدد المعادلة دالة ، ويمكننا استبدال (ص ) بالتدوين الجديد (و (س) ) على النحو التالي:

[y = mx + b ]

[f (x) = mx + b ]

لذلك ، فإن الوظيفة الخطية هي أي وظيفة يمكن كتابتها بالصيغة (f (x) = mx + b ). على وجه الخصوص ، يمكننا كتابة ما يلي:

يُظهر الترميز أيضًا القيم المراد تقييمها في المعادلة. إذا كانت قيمة (x ) معطاة كـ (8 ) ، فإننا نعلم أنه يمكننا إيجاد القيمة المقابلة (y ) - عن طريق استبدال (8 ) في (x ) والتبسيط . باستخدام تدوين الوظيفة ، يتم الإشارة إلى هذا (f (8) ) ويمكن تفسيره على النحو التالي:

أخيرًا ، قم بالتبسيط:

لدينا (و (8) = 4 ). يخبرنا هذا الترميز أنه عندما (س = 8 ) (المدخل) ، ينتج عن الوظيفة (4 ) (الإخراج).

مثال ( PageIndex {4} )

بالنظر إلى الدالة الخطية (f (x) = - 5x + 7 ) ، أوجد (f (−2) ).

المحلول:

في هذه الحالة ، يشير (f (−2) ) إلى أنه يجب علينا تقييم الوقت (x = −2 ).

( begin {align} f (x) & = - 5x + 7 f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} & = - 5 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 7} & color {Cerulean} {Replace : x : with : - 2.} & = 10 + 7 & = 17 end {align} )

إجابه:

(و (-2) = 17 )

مثال ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى الدالة الخطية (f (x) = - 5x + 7 ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 10 ).

المحلول:

في هذه الحالة ، يشير (f (x) = 10 ) إلى أن الوظيفة يجب أن تكون مساوية لـ (10 ​​).

( begin {align} f (x) & = - 5x + 7 color {OliveGreen} {10} & = - 5x + 7 & color {Cerulean} {Replace : f (x) : with : 10.} 10 color {Cerulean} {- 7} & = - 5x + 7 color {Cerulean} {- 7} & color {Cerulean} {Solve : for : x.} 3 & = - 5x frac {3} { color {Cerulean} {- 5}} & = frac {-5x} { color {Cerulean} {- 5}} - frac {3} {5} & = x end {align} )

إجابه:

هنا (x = - frac {3} {5} ) ويمكننا كتابة (f (- frac {3} {5}) = 10 ).

مثال ( PageIndex {6} )

بالنظر إلى الرسم البياني للدالة الخطية (g (x) ) ،

  1. ابحث عن (g (2) ).
  2. أوجد (x ) عندما (g (x) = 3 ).

الشكل ( PageIndex {8} )

المحلول:

أ. التدوين (g (2) ) يعني أن (x = 2 ). استخدم الرسم البياني لتحديد القيمة المقابلة (y ).

الشكل ( PageIndex {9} )

ب. يشير التدوين (g (x) = 3 ) إلى أن القيمة (y ) - تُعطى كـ (3 ). استخدم الرسم البياني لتحديد القيمة المقابلة (x ).

الشكل ( PageIndex {10} )

إجابه:

  1. (ز (2) = 1 )
  2. (س = 4 )

مثال ( PageIndex {7} )

ارسم الدالة الخطية (f (x) = - frac {5} {3} x + 6 ) وحدد المجال والنطاق.

المحلول:

من الوظيفة ، نرى أن (ب = 6 ) وبالتالي فإن التقاطع (ص ) - هو ((0 ، 6) ). يمكننا أيضًا ملاحظة أن الميل هو (m = frac {−5} {3} = - frac {5} {3} = frac {height} {run} ). بدءًا من (y ) - التقاطع ، ضع علامة على النقطة الثانية لأسفل (5 ) الوحدات واليمين (3 ) الوحدات.

الشكل ( PageIndex {11} )

بالنظر إلى أي إحداثي على المحور (س ) ، يمكننا إيجاد نقطة مقابلة على الرسم البياني ؛ يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية. أيضًا ، لأي إحداثي على المحور (ص ) ، يمكننا إيجاد نقطة على الرسم البياني ؛ النطاق يتكون من جميع الأرقام الحقيقية.

إجابه:

يتكون كل من المجال والنطاق من جميع الأرقام الحقيقية (R ).

تمرين ( PageIndex {2} )

بالنظر إلى الدالة الخطية (g (x) = - x + 5 ) ،

  1. ابحث عن (g (- frac {1} {2}) ).
  2. أوجد (x ) عندما (g (x) = 18 ).
إجابه

أ. (g (- frac {1} {2}) = frac {1} {12} )

ب. (س = -13 )

الماخذ الرئيسية

  • العلاقة هي أي مجموعة من الأزواج المرتبة. ومع ذلك ، في سياق هذه الدورة ، سنعمل مع مجموعات من الأزواج المرتبة ((س ، ص) ) في نظام إحداثيات المستطيل. تحدد مجموعة (x ) - القيم المجال ومجموعة القيم (y ) - تحدد النطاق.
  • علاقات خاصة حيث كل (س ) - القيمة (إدخال) يتوافق مع قيمة (y ) واحدة بالضبط (انتاج) تسمى وظائف.
  • يمكننا بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة تمثل دالة عن طريق إجراء اختبار الخط العمودي على الرسم البياني الخاص بها. إذا تقاطع أي خط رأسي مع الرسم البياني أكثر من مرة ، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة. في هذه الحالة ، سيكون هناك أكثر من نقطة بنفس القيمة (x ).
  • أي خط غير عمودي أو غير أفقي هو دالة ويمكن كتابتها باستخدام تدوين الوظيفة (f (x) = mx + b ). يتكون كل من المجال والمدى من جميع الأرقام الحقيقية.
    • إذا طُلب منك البحث عن (f (a) ) ، فإننا نستبدل (a ) بالمتغير ثم نبسطه.
    • إذا طُلب منك العثور على (x ) عند (f (x) = a ) ، فإننا نضبط الدالة مساوية لـ (a ) ثم نحل قيمة (x ).

تمرين ( PageIndex {3} ) وظائف

لكل مشكلة أدناه ، هل تمثل المراسلات وظيفة؟

  1. طلاب الجبر لدرجاتهم في الامتحان الأول.
  2. أفراد الأسرة لأعمارهم.
  3. معمل أجهزة الكمبيوتر لمستخدميها.
  4. طلاب المدارس التي التحقوا بها.
  5. الناس على جنسياتهم.
  6. الشركات المحلية لعدد موظفيها.
إجابه

1. نعم

3. لا

5. لا

تمرين ( PageIndex {4} ) وظائف

حدد المجال والمدى وحدد ما إذا كانت العلاقة دالة أم لا.

  1. ({(3, 2), (5, 3), (7, 4)})
  2. ({(−5, −3), (0, 0), (5, 0)})
  3. ({(−10, 2), (−8, 1), (−8, 0)})
  4. ({(9, 12), (6, 6), (6, 3)})

5.

الشكل ( PageIndex {12} )

6.

الشكل ( PageIndex {13} )

7.

الشكل ( PageIndex {1} )4

8.

الشكل ( PageIndex {15} )

9.

الشكل ( PageIndex {16} )

10.

الشكل ( PageIndex {17} )

11.

الشكل ( PageIndex {18} )

12.

الشكل ( PageIndex {19} )

13.

الشكل ( PageIndex {20} )

14.

الشكل ( PageIndex {21} )

15.

الشكل ( PageIndex {22} )

16.

الشكل ( PageIndex {23} )

17.

الشكل ( PageIndex {24} )

18.

الشكل ( PageIndex {25} )

19.

الشكل ( PageIndex {26} )

20.

الشكل ( PageIndex {27} )

إجابه

1. المجال: ( {3، 5، 7 } )؛ النطاق: ( {2 ، 3 ، 4 } ) ؛ الوظيفة: نعم

3. المجال: ( {- 10، −8 } )؛ النطاق: ( {0، 1، 2 } ) ؛ الوظيفة: لا

5. المجال: ( {- 4، −1، 2 } )؛ النطاق: ( {1، 2، 3 } ) ؛ الوظيفة: نعم

7. المجال: ( {- 2 ، 2 } ) ؛ النطاق: ( {2 ، 3 ، 5 } ) ؛ الوظيفة: لا

9. المجال: ((- ∞، ∞) )؛ النطاق: ( {2 } ) ؛ الوظيفة: نعم

11. المجال: ((- ∞، ∞) )؛ النطاق: ((- ∞ ، ∞) ) ؛ الوظيفة: نعم

13. المجال: ([- 2، ∞) )؛ النطاق: ((- ∞ ، ∞) ) ؛ الوظيفة: لا

15. المجال: ([- 4، ∞) )؛ النطاق: ([0، ∞) ) ؛ الوظيفة: نعم

17. المجال: ((- ∞، ∞) )؛ النطاق: ([0، ∞) ) ؛ الوظيفة: نعم

19. المجال: ((- ∞، ∞) )؛ النطاق: ([2، ∞) ) ؛ الوظيفة: نعم

تمرين ( PageIndex {5} ) تدوين الوظيفة

بالنظر إلى الوظائف التالية ، ابحث عن قيم الدالة.

  1. (f (x) = 3x ) ، ابحث عن (f (−2) ).
  2. (f (x) = - 5x + 1 ) ، أوجد (f (−1) ).
  3. (f (x) = frac {3} {5} x − 4 ) ، أوجد (f (15) ).
  4. (f (x) = frac {2} {5} x− frac {1} {5} ) ، ابحث عن (f (3) ).
  5. (f (x) = frac {5} {2} x− frac {1} {3} ) ، أوجد (f (- frac {1} {3}) ).
  6. (f (x) = - 6 ) ، ابحث عن (f (7) ).
  7. (g (x) = 5 ) ، ابحث عن (g (−4) ).
  8. (g (x) = - 5x ) ، ابحث عن (g (−3) ).
  9. (g (x) = - frac {1} {8} x + frac {5} {8} ) ، أوجد (g ( frac {5} {8}) ).
  10. (g (x) = frac {5} {3} x − 5 ) ، أوجد (g (3) ).
  11. (f (x) = 5x − 9 ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 1 ).
  12. (f (x) = - 7x + 2 ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 0 ).
  13. (f (x) = - frac {7} {5} x − 2 ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = - 9 ).
  14. (f (x) = - x − 4 ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 12 ).
  15. (g (x) = x ) ، ابحث عن (x ) عندما (g (x) = 12 ).
  16. (g (x) = - x + 1 ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = frac {2} {3} ).
  17. (g (x) = - 5x + frac {1} {3} ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = - frac {1} {2} ).
  18. (g (x) = - frac {5} {8} x + 3 ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = 3 ).
إجابه

1. (و (−2) = - 6 )

3. (و (15) = 5 )

5. (f (- frac {1} {3}) = - frac {7} {6} )

7. (ز (−4) = 5 )

9. (g ( frac {5} {8}) = frac {35} {64} )

11. (س = 2 )

13. (س = 5 )

15. (س = 12 )

17. (س = فارك {1} {6} )

تمرين ( PageIndex {6} ) تدوين الوظيفة

إذا كان (f (x) = frac {2} {3} x − 1 ) و (g (x) = - 3x + 2 ) احسب ما يلي.

  1. (و (6) )
  2. (f (- frac {1} {2}) )
  3. (و (0) )
  4. (و (1) )
  5. (g ( frac {2} {3}) )
  6. (ز (0) )
  7. (ز (−1) )
  8. (g (- frac {1} {2}) )
  9. أوجد (x ) عندما (f (x) = 0 ).
  10. أوجد (x ) عندما (f (x) = - 3 ).
  11. أوجد (x ) عندما (g (x) = - 1 ).
  12. أوجد (x ) عندما (g (x) = 0 ).
إجابه

1. (و (6) = 3 )

3. (و (0) = - 1 )

5. (g ( frac {2} {3}) = 0 )

7. (ز (-1) = 5 )

9. (س = فارك {3} {2} )

11. (س = 1 )

تمرين ( PageIndex {7} ) تدوين الوظيفة

بالنظر إلى الرسم البياني ، أوجد قيم الدالة.

1. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، ابحث عن (f (−4) و f (−1) و f (0) و ) و (f (2) ).

الشكل ( PageIndex {28} )

2. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، ابحث عن (g (−3) و g (−1) و g (0) و ) و (g (1) ).

الشكل ( PageIndex {29} )

3. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، ابحث عن (f (−4) و f (−1) و f (0) و ) و (f (2) ).

الشكل ( PageIndex {30} )

4. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (g (−4) و g (−1) و g (0) ) و (g (2) ).

الشكل ( PageIndex {31} )

5. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، ابحث عن (f (−1) و f (0) و f (1) ) و (f (3) ).

الشكل ( PageIndex {32} )

6. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (g (−2) و g (0) و g (2) ) و (g (6) ).

الشكل ( PageIndex {33} )

7. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، ابحث عن (g (−4) و g (−3) و g (0) ) و (g (4) ).

الشكل ( PageIndex {34} )

8. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، ابحث عن (f (−4) و f (0) و f (1) و ) و (f (3) ).

الشكل ( PageIndex {35} )

إجابه

1. (و (−4) = - 3 ، و (−1) = 0 ، و (0) = 1 ، ) و (و (2) = 3 )

3. (و (−4) = - 4 ، و (−1) = - 4 ، و (0) = - 4 ، ) و (و (2) = - 4 )

5. (و (−1) = 1 ، و (0) = - 2 ، و (1) = - 3 ، ) و (و (3) = 1 )

7. (ز (−4) = 0 ، ز (−3) = 1 ، ج (0) = 2 ، ) و (ز (4) = 3 )

تمرين ( PageIndex {8} ) تدوين الوظيفة

بالنظر إلى الرسم البياني ، أوجد قيم (x ) -.

1. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 3 ، f (x) = 1 ، ) و (f (x) = - 3 ).

الشكل ( PageIndex {36} )

2. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = - 1، g (x) = 0، ) و (g (x) = 1 ).

الشكل ( PageIndex {37} )

3. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = 3 ).

الشكل ( PageIndex {38} )

4. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = - 2 ، g (x) = 0 ) ، و (g (x) = 4 ).

الشكل ( PageIndex {39} )

5. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = - 16 ، f (x) = - 12 ) ، و (f (x) = 0 ).

الشكل ( PageIndex {40} )

6. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = - 3 ، g (x) = 0 ) ، و (g (x) = 1 ).

الشكل ( PageIndex {41} )

7. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) ، أوجد (x ) عندما (f (x) = - 4 ، f (x) = 0 ) ، و (f (x) = - 2 ).

الشكل ( PageIndex {42} )

8. بالنظر إلى الرسم البياني لـ (g (x) ) ، أوجد (x ) عندما (g (x) = 5 ، g (x) = 3 ) ، و (g (x) = 2 ).

الشكل ( PageIndex {43} )

9. يتم الحصول على التكلفة بالدولار لإنتاج أقلام تحمل شعار الشركة من خلال الوظيفة (C (x) = 1.65x + 120 ) ، حيث (x ) هو عدد الأقلام المنتجة. استخدم الدالة لحساب تكلفة إنتاج أقلام (200 ).

10. الإيرادات بالدولار من بيع القمصان الرياضية تعطى بالدالة (R (x) = 29.95x ) ، حيث (x ) هو عدد قمصان العرق المباعة. استخدم الوظيفة لتحديد الإيرادات إذا تم بيع (20 ) قمصان رياضية.

11. يتم الحصول على قيمة السيارة الجديدة بالدولار من خلال الدالة (V (t) = - 2500t + 18000 ) ، حيث (t ) يمثل عمر السيارة بالسنوات. استخدم الدالة لتحديد قيمة السيارة عندما يكون عمرها 5 سنوات. كم كانت قيمة السيارة عندما كانت جديدة؟

12. يتم الحصول على الدخل الشهري بالدولار لبائع سيارات مفوض من خلال الوظيفة (I (n) = 550n + 1،250 ) ، حيث (n ) يمثل عدد السيارات المباعة في الشهر. استخدم الوظيفة لتحديد الدخل الشهري للبائع إذا باع (3 ) سيارات هذا الشهر. ما هو دخله إذا لم يبيع أي سيارات في شهر؟

13. يُعطى محيط مثلث متساوي الساقين بقاعدة قياس (10 ​​) سم من خلال الدالة (P (x) = 2x + 10 ) ، حيث يمثل (x ) طول كل متساوٍ. الجوانب. أوجد طول كل ضلع إذا كان المحيط (40 ) سم.

14. يعتمد محيط المربع على طول كل جانب ( s ) ويتم تشكيله من خلال الوظيفة (P (s) = 4s ). إذا كان محيط المربع يساوي (140 ) مترًا ، فاستخدم الدالة لحساب طول كل ضلع.

15. تتقاضى خطة هاتف خلوي معينة (18 ) دولار شهريًا و $ (0.10 ) لكل دقيقة استخدام. تكلفة الخطة على غرار الوظيفة (C (x) = 0.10x + 18 ) ، حيث يمثل (x ) عدد دقائق الاستخدام شهريًا. تحديد دقائق الاستخدام إذا كانت تكلفة الشهر $ (36 ).

16. يتم تحديد الإيرادات الشهرية الناتجة عن بيع الاشتراكات إلى موقع ويب تعليمي بواسطة الوظيفة (R (x) = 29x ) ، حيث يمثل (x ) عدد مبيعات الاشتراكات شهريًا. ما هو عدد الاشتراكات التي تم بيعها إذا بلغ إجمالي إيرادات الشهر $ (1،508 )؟

إجابه

1. (و (−1) = 3 ، و (0) = 1 ، ) و (و (2) = - 3 )

3. (f (1) = 3 ) (قد تختلف الإجابات)

5. (و (−4) = - 16 ) ؛ (و (−6) = - 12 ) و (و (−2) = - 12 ) ؛ (و (−8) = 0 ) و (و (0) = 0 )

7. (و (−4) = - 4 ) و (و (4) = - 4 ) ؛ (و (0) = 0 ) ؛ (و (2) = - 2 ) و (و (2) = - 2 )

9. $(450)

11. جديد: $ (18000 ) ؛ 5 سنوات: $ (5،500 )

13. (15 ) سم

15. (180 ) دقيقة

تمرين ( PageIndex {9} ) تدوين الوظيفة

ارسم الدالة الخطية واذكر المجال والمدى.

  1. (f (x) = - frac {5} {2} x + 10 )
  2. (و (س) = فارك {3} {5} س − 10 )
  3. (ز (س) = 6 س + 2 )
  4. (ز (س) = - 4x + 6 )
  5. (h (t) = frac {1} {2} t − 3 )
  6. (h (t) = - frac {3} {4} t + 3 )
  7. (ج (س) = 100 + 50 س )
  8. (ج (س) = 50 + 100 س )
إجابه

1. المجال والمدى: (R )

الشكل ( PageIndex {44} )

3. المجال والنطاق: (R )

الشكل ( PageIndex {45} )

5. المجال والمدى: (R )

الشكل ( PageIndex {46} )

7. المجال والمدى: (R )

الشكل ( PageIndex {47} )

تمرين ( PageIndex {10} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. هل الخط العمودي دالة؟ ما هو مجال ومدى الخط العمودي؟
  2. هل الخط الأفقي دالة؟ ما هو مجال ومدى الخط الأفقي؟
  3. ابتكر مراسلاتك الخاصة بين مجموعات العالم الحقيقي. اشرح سبب كونها تمثل دالة أو لا تمثلها.
  4. هل يمكن أن تحتوي الدالة على أكثر من (y ) - اعتراض؟ يشرح.
إجابه

1. قد تختلف الإجابات

3. قد تختلف الإجابات


3.7: مقدمة في الوظائف - الرياضيات

تقوم الدالة بتعيين مجموعة من المدخلات على مجموعة من المخرجات المسموح بها. يتوافق كل إدخال مع مخرج واحد فقط

أهداف التعلم

اربط تدوين الدوال بتدوين المعادلات وافهم معايير الدالة الصالحة

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • الدوال هي علاقة بين مجموعة من المدخلات ومجموعة من المخرجات مع الخاصية التي يرسمها كل إدخال لمخرج واحد بالضبط.
  • عادةً ما يتم تسمية الوظائف بحرف واحد مثل F.
  • يمكن اعتبار الوظائف كآلة في صندوق مفتوح من طرفين. تضع شيئًا ما في أحد طرفي الصندوق ، ويتم تغييره بطريقة ما داخل الصندوق ، ثم تنبثق النتيجة من الطرف الآخر.
  • جميع الوظائف هي علاقات ، لكن ليست كل العلاقات وظائف.

الشروط الاساسية

  • انتاج: الناتج هو النتيجة أو الإجابة من دالة.
  • علاقة: العلاقة هي علاقة بين أرقام في مجموعة وأرقام في مجموعة أخرى.
  • وظيفة: الوظيفة هي العلاقة التي يرتبط فيها كل عنصر من عناصر الإدخال بعنصر واحد بالضبط من المخرجات.

المهام

في الرياضيات ، أ وظيفة هي علاقة بين مجموعة من المدخلات ومجموعة من المخرجات المسموح بها. الدوال لها خاصية أن كل مدخلات مرتبطة بمخرج واحد بالضبط. على سبيل المثال ، في الوظيفة [latex] f (x) = x ^ 2 [/ latex] ، فإن أي إدخال لـ [latex] x [/ latex] سيعطي ناتجًا واحدًا فقط.

تتم تسمية الوظائف عادةً بحرف واحد ، مثل [اللاتكس] f [/ اللاتكس]. [لاتكس] f (x) [/ لاتكس] يُقرأ & # 8221 [لاتكس] و [/ لاتكس] من [لاتكس] x [/ لاتكس] & # 8220 ، ويمثل ناتج الوظيفة [لاتكس] و [/ اللاتكس] المقابل لمدخل [لاتكس] x [/ لاتكس].
يُشار أحيانًا إلى متغير (متغيرات) الإدخال على أنها وسيطة (وسائط) الوظيفة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

[لاتكس] displaystyle f (-3) = (- 3) ^ 2 [/ latex]

في المثال أعلاه ، الوسيطة هي [latex] x = -3 [/ latex] والإخراج هو [latex] 9 [/ latex]. نكتب الوظيفة على النحو التالي: [اللاتكس] f (-3) = 9 [/ اللاتكس].

في حالة دالة ذات متغير إدخال واحد فقط ، يمكن التعبير عن مدخلات ومخرجات الوظيفة كزوج مرتب. الترتيب بحيث يكون العنصر الأول هو الوسيطة والعنصر الثاني هو الناتج. في المثال أعلاه ، [اللاتكس] f (x) = x ^ 2 [/ latex] ، لدينا الزوج المرتب [اللاتكس] (- 3 ، 9) [/ اللاتكس]. إذا كان كل من المدخلات والمخرجات أرقامًا حقيقية ، فيمكن رؤية الزوج المرتب على أنه إحداثيات ديكارتية لنقطة على الرسم البياني للوظيفة.

تدوين آخر شائع الاستخدام للدالة هو [اللاتكس] f: X rightarrow Y [/ latex] ، والذي يُقرأ على أنه يقول أن [اللاتكس] f [/ اللاتكس] هي وظيفة ترسم القيم من المجموعة [اللاتكس] X [/ اللاتكس] على قيم المجموعة [اللاتكس] Y [/ اللاتكس].

وظائف كآلة

غالبًا ما توصف الوظائف بأنها آلة في صندوق مفتوح من طرفين. تضع شيئًا ما في أحد طرفي الصندوق ، ويتم تغييره داخل الصندوق ، ثم تنبثق النتيجة من الطرف الآخر. الوظيفة هي الآلة الموجودة داخل الصندوق ويتم تحديدها من خلال ما تفعله بكل ما تضعه فيه.

آلة الوظيفة: دالة [لاتكس] f [/ لاتكس] تأخذ مدخلات [لاتكس] x [/ لاتكس] وتعيد مخرجات [لاتكس] و (س) [/ لاتكس]. يصف أحد الاستعارات الدالة على أنها & # 8220machine & # 8221 ، والتي تُرجع مخرجات مقابلة لكل إدخال.

لنقول & # 8217s أن الآلة بها شفرة تقطع كل ما تضعه إلى قسمين وترسل نصف هذا الكائن إلى الطرف الآخر. إذا وضعت موزة ستحصل على نصف موزة. إذا وضعت تفاحة ستحصل على نصف تفاحة.

وظيفة نصفي الفاكهة: يُظهر هذا دالة تأخذ الفاكهة كمدخلات وتحرر نصف الفاكهة كمخرجات.

دع & # 8217s تحدد الوظيفة لأخذ ما تضعه فيه وتقطعه إلى نصفين. أي أن الوظيفة تقسم المدخلات على اثنين. إذا أدخلت [لاتكس] 2 [/ لاتكس] فستعود [لاتكس] 1 [/ لاتكس]. إذا أدخلت [لاتكس] 57 [/ لاتكس] فستعود [لاتكس] 28.5 [/ لاتكس]. آلة الوظيفة تسمح لنا بتغيير التعبيرات. في هذا المثال ، ستتم كتابة الوظيفة على النحو التالي:

الوظائف كعلاقة

يمكن أيضًا اعتبار الوظائف على أنها مجموعة فرعية من العلاقات. أ علاقة هو اتصال بين القيم في مجموعة والقيم في مجموعة أخرى. بمعنى آخر ، يرتبط كل رقم تدخله بكل رقم تحصل عليه. في إحدى الوظائف ، يرتبط كل رقم إدخال برقم إخراج واحد بالضبط في علاقة ، قد يرتبط رقم الإدخال بأرقام إخراج متعددة أو بدون أرقام. هذه حقيقة مهمة حول الوظائف التي لا يمكن التأكيد عليها بشكل كافٍ: يجب أن يكون لكل مدخلات ممكنة للدالة ناتج واحد فقط. جميع الوظائف هي علاقات ، لكن ليست كل العلاقات وظائف.


مقدمة في الوظائف

قرب نهاية القرن العشرين ، ارتفعت قيمة أسهم شركات الإنترنت والتكنولوجيا بشكل كبير. ونتيجة لذلك ، ارتفع متوسط ​​سوق الأسهم في ستاندرد آند بورز أيضًا. يتتبع قيمة هذا الاستثمار الأولي الذي يقل قليلاً عن 100 دولار على مدار 40 عامًا. إنه يوضح أن الاستثمار الذي كان أقل من 500 دولار حتى عام 1995 قد ارتفع إلى حوالي 1100 دولار في بداية عام 2000. أصبحت فترة الخمس سنوات هذه تعرف باسم "فقاعة دوت كوم" لأن العديد من الشركات الناشئة على الإنترنت قد تشكلت. ومع ذلك ، كما تميل الفقاعات إلى ذلك ، انفجرت فقاعة الإنترنت في النهاية. نمت العديد من الشركات بسرعة كبيرة ثم توقفت فجأة عن العمل. تسببت النتيجة في حدوث انخفاض حاد يمثله الرسم البياني بداية من نهاية عام 2000.

لاحظ ، كما نأخذ في الاعتبار هذا المثال ، أن هناك علاقة محددة بين العام ومتوسط ​​سوق الأسهم. لأي سنة نختارها ، يمكننا تحديد القيمة المقابلة لمتوسط ​​سوق الأسهم. في هذا الفصل ، سوف نستكشف هذه الأنواع من العلاقات وخصائصها.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Precalculus
    • تاريخ النشر: 23 أكتوبر 2014
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    مقدمة في الوظائف

    أ علاقة يصف التطابق بين متغيرين أو أكثر. كل مما يلي هو مثال على العلاقة.

    ال نطاق العلاقة هي مجموعة جميع الإحداثيات الأولى الممكنة. عندما نرسم ، نفكر في أول إحداثي بدلالة x .

    ال نطاق العلاقة هي مجموعة جميع الإحداثيات الثانية المحتملة. عندما نرسم ، نفكر في الإحداثي الثاني بدلالة ذ .

    أوجد مجال ومدى العلاقة:

    يتكون المجال من مجموعة جميع الإحداثيات الأولى: <7 ، –3 ، 1 ، 4>.

    يتكون النطاق من مجموعة كل الإحداثيات الثانية: <4 ، –3 ، –2 ، –6>.

    تحديد الوظائف

    أ وظيفة يتم تعريفه على أنه علاقة يتم فيها مطابقة كل عضو في المجال مع عضو واحد بالضبط في النطاق. بعبارة أخرى ، لا يمكن لزوجين مرتبين أن يكون لهما نفس الإحداثي الأول والإحداثي الثاني المختلف.

    العلاقة الموضحة في المثال 1 هي مثال لدالة حيث لا يوجد أزواج مرتبة لها نفس الإحداثي الأول.

    حدد أيًا من العلاقات التالية يمثل دالة. إذا كانت العلاقة تمثل وظيفة ، فامنح مجال الوظيفة.

    لا يمثل وظيفة منذ كل x -القيمة التي استبدلت بها في المعادلة ستنتج قيمة مختلفة ذ -القيمة.

    لتحديد مجال الدالة ، علينا التفكير في الجذر التربيعي. مجال الوظيفة هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية التي تعتبر بدائل ذات مغزى لـ x . للعثور على المجال ، حدد أولاً ما إذا كانت هناك أية قيم لـ x هذه ليست بدائل ذات مغزى.

    في هذه الدورة ، أنواع التعبيرات التي سننظر فيها والتي لها قيم x التي ليست لها معنى هي كسور ، لأنها غير معرفة عندما يكون المقام يساوي صفرًا ، والجذور التربيعية ، لأن الجذر التربيعي لعدد سالب خيالي.

    في هذه الحالة ، نحتاج إلى تحديد قيم س ، التعبير حقيقي.

    للقيام بذلك ، اضبط التعبير الموجود أسفل علامة الجذر (الجذر) ليكون مبشرًا أو يساوي صفرًا ، وحل من أجل x .

    سيكون المجال هو الحل الذي تم تعيينه على x + 5 & GT 0. لذلك ، مجال هو x & GT –5. في تدوين الفاصل ، يُعطى المجال كـ [–5، ∞).

    س = ص ² - 3 لا يمثل دالة لأنه من الممكن إيجاد x -القيمة التي تتوافق مع نوعين مختلفين ذ -القيم.

    إذا اخترت x = 1 ، واستبدلها في المعادلة ، تصبح المعادلة 1 = ذ ² - 3 له حلين. كلاهما ذ = 2 و ذ = –2 هي الحلول.

    لتحديد مجال الدالة ، علينا النظر في الكسر. سيمثل مجال الوظيفة جميع القيم ذات المعنى لـ x التي يمكن استبدالها في هذه المعادلة.

    في هذه الحالة، x لا يمكن أن يساوي 2 لأن الرقم 2 سيجعل المقام يساوي صفرًا وسيكون الكسر غير معرف.

    تدوين الوظيفة

    تدوين الوظيفة ، مثل ص = و ( x ) ، يوضح عملية الإدخال والإخراج لوظيفة ما.

    ص = و ( x ) يقرأ " F من x , " أين F هو اسم الوظيفة و x هي القيمة المستخدمة كمدخلات في الوظيفة.

    ال القيمة للدالة هو ناتج الوظيفة ، أو ملف ذ - القيمة التي تتوافق مع قيمة الإدخال ، x .

    لو F ( x ) = 5 x - 7 إذن F (4) = 5(4) – 7 = 20 – 7 = 13. F (4) = 13.

    لحساب قيمة دالة لأي معين x -value ، فقط أدخل رقمًا في الدالة وقم بالتبسيط.


    تدوين الوظيفة

    نكتب عادةً الدوال على النحو التالي: `f (x)` ونقرأها كـ "وظيفة" F من x".

    يمكننا استخدام أحرف أخرى لوظائف ، مثل ز(x) أو ذ(x).

    عندما نحل مشاكل حقيقية ، فإننا نستخدم أحرف ذات معنى مثل

    ص(ر) إلى عن على قوة في الوقت ر,

    F(ر) إلى عن على فرض في الوقت ر,

    ح(x) إلى عن على ارتفاع من كائن ، x الوحدات الأفقية من نقطة ثابتة.

    مثال 6

    غالبًا ما نصادف وظائف مثل: ذ = 2x 2 + 5x + 3 في الرياضيات.

    يمكننا كتابة هذا باستخدام تدوين الوظيفة:

    ذ = F(x) = 2x 2 + 5x + 3

    تدوين الوظيفة هو كل شيء عن الاستبدال.

    قيمة هذه الوظيفة F(x) عندما تتم كتابة `x = 0` بالشكل` f (0) `. نحسب قيمتها بالتعويض على النحو التالي:

    F(0) = 2(0) 2 + 5(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3


    مقدمة في الوظائف

    تم تصميم هذا الدرس لتعريف الطلاب بفكرة الوظائف وتمثيلاتها كقواعد وجداول بيانات ، بما في ذلك المفاهيم الرياضية للمتغيرات المستقلة والتابعة.

    أهداف

    • تم تقديمه للوظائف
    • تعلمت المصطلحات المستخدمة مع الوظائف
    • تدربوا على وصف الوظائف من خلال عملية واحدة في الجمل الإنجليزية وجداول البيانات وبتعبيرات جبرية بسيطة

    المعايير الموجهة:

    • الوظائف والعلاقات
      • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
      • يوضح الطالب التفكير الجبري.
      • الوظائف والعلاقات
        • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات.
        • يوضح الطالب التفكير الجبري.
        • الوظائف والعلاقات
          • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
          • يوضح الطالب التفكير الجبري.
          • الوظائف والعلاقات
            • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
            • يوضح الطالب التفكير الجبري.
            • الوظائف والعلاقات
              • يوضح الطالب الفهم المفاهيمي للوظائف أو الأنماط أو التسلسلات بما في ذلك تلك الممثلة في مواقف العالم الحقيقي.
              • يوضح الطالب التفكير الجبري.
              • الجبر والوظائف
                • 1.0 يستخدم الطلاب المتغيرات في التعبيرات البسيطة ، ويحسبون قيمة التعبير للقيم المحددة للمتغير ، ويرسمون النتائج ويفسرونها
                • 1.0 يحسب الطلاب بأعداد كبيرة وصغيرة جدًا وأعداد صحيحة موجبة وكسور عشرية وكسور ويفهمون العلاقة بين الكسور العشرية والكسور والنسب المئوية. يفهمون المقادير النسبية للأرقام
                • الجبر والوظائف
                  • 1.0 يكتب الطلاب التعبيرات والجمل اللفظية كتعبيرات ومعادلات جبرية ، يقومون بتقييم التعبيرات الجبرية ، وحل المعادلات الخطية البسيطة ، ورسم الرسم البياني وتفسير النتائج
                  • الجبر والوظائف
                    • 3.0 يرسم الطلاب ويفسرون الدوال الخطية وغير الخطية
                    • التعبيرات والمعادلات
                      • تحليل وحل المعادلات الخطية وأزواج المعادلات الخطية المتزامنة.
                      • تحديد وتقييم ومقارنة الوظائف.
                      • استخدم الدوال لنمذجة العلاقات بين الكميات.
                      • وظائف البناء
                        • قم ببناء دالة تشكل علاقة بين كميتين
                        • افهم مفهوم الدالة واستخدم تدوينها
                        • بناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المشكلات
                        • التعبيرات والمعادلات
                          • استخدم خصائص العمليات لتوليد التعبيرات المكافئة.
                          • التعبيرات والمعادلات
                            • تطبيق وتوسيع المفاهيم السابقة للحساب على التعبيرات الجبرية.
                            • الجبر
                              • تمثيل وتحليل المواقف والتراكيب الرياضية باستخدام الرموز الجبرية
                              • الجبر
                                • تمثيل وتحليل المواقف والتراكيب الرياضية باستخدام الرموز الجبرية
                                • الجبر
                                  • هدف الكفاءة 4: سيستخدم المتعلم العلاقات والوظائف لحل المشكلات.
                                  • الجبر
                                    • هدف الكفاءة 4: سيستخدم المتعلم العلاقات والوظائف لحل المشكلات.
                                    • العدد والعمليات والقياس والهندسة وتحليل البيانات والاحتمالية والجبر
                                      • هدف الكفاءة 5: سيُظهر المتعلم فهمًا للعلاقات الخطية والمفاهيم الجبرية الأساسية.
                                      • العدد والعمليات والقياس والهندسة وتحليل البيانات والاحتمالية والجبر
                                        • هدف الكفاءة 5: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                                        • الجبر
                                          • هدف الكفاءة 4: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                                          • هدف الكفاءة 5: سوف يفهم المتعلم ويستخدم العلاقات والوظائف الخطية.
                                          • الجبر
                                            • المعيار 4-3: سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للأنماط الرقمية وغير الرقمية ، وتمثيل العلاقات الرياضية البسيطة ، وتطبيق الإجراءات للعثور على قيمة المجهول.
                                            • الجبر
                                              • سيُظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للكتابة والتفسير واستخدام التعبيرات الرياضية والمعادلات والمتباينات.
                                              • الجبر
                                                • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم المعادلات وعدم المساواة والوظائف الخطية.
                                                • الجبر الابتدائي
                                                  • معيار EA-3: سيظهر الطالب من خلال العمليات الرياضية فهمًا للعلاقات والوظائف.
                                                  • المعيار EA-5: سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم الرسوم البيانية وخصائص المعادلات الخطية وعدم المساواة.
                                                  • الجبر
                                                    • سيوضح الطالب من خلال العمليات الرياضية فهم التعبيرات الجبرية والوظائف غير الخطية.
                                                    • الأنماط والعلاقات والتفكير الجبري
                                                      • 6. يصف الطالب العلاقات رياضياً. يتوقع من الطالب أن يختار من ويستخدم الرسوم البيانية والمعادلات مثل y = 5 + 3 لتمثيل مواقف مشكلة ذات مغزى.
                                                      • الأنماط والعلاقات والتفكير الجبري
                                                        • 4. يستخدم الطالب الحروف كمتغيرات في التعبيرات الرياضية لوصف كيف تتغير كمية واحدة عندما تتغير الكمية ذات الصلة.
                                                        • الأنماط والعلاقات والتفكير الجبري
                                                          • 3. يحل الطالب مسائل تتعلق بالعلاقات النسبية المباشرة.
                                                          • الحساب والتقدير
                                                            • 8.4 سيطبق الطالب ترتيب العمليات لتقييم التعبيرات الجبرية لقيم استبدال معينة للمتغيرات. المشاكل ستقتصر على الأس الموجبة.
                                                            • 8.14 أ سيقوم الطالب بوصف العلاقات والوظائف وتمثيلها باستخدام الجداول والرسوم البيانية والقواعد و
                                                            • 8.14 إرادة الطالب
                                                            • الجبر الثاني
                                                              • AII.04 يحل الطالب معادلات القيمة المطلقة والمتباينات بيانياً وجبرياً. سيتم استخدام حاسبات الرسوم البيانية كطريقة أولية للحل وللتحقق من الحلول الجبرية.
                                                              • AII.05 سيقوم الطالب بتحديد وعامل كثيرات الحدود تمامًا التي تمثل اختلاف المربعات وثلاثيات الحدود التربيعية الكاملة ومجموع وفرق المكعبات وثلاثيات الحدود العامة.
                                                              • AII.06 سيختار الطالب ويبرر ويطبق أسلوبًا لحل المعادلة التربيعية على مجموعة الأعداد المركبة. سيتم استخدام حاسبات الرسوم البيانية لحل الحلول الجبرية وتأكيدها.
                                                              • AII.07 سيحل الطالب المعادلات التي تحتوي على تعبيرات منطقية ومعادلات تحتوي على تعبيرات جذرية جبريًا وبيانيًا. سيتم استخدام حاسبات الرسوم البيانية لحل الحلول الجبرية وتأكيدها.
                                                              • AII.08 يتعرف الطالب على تمثيلات متعددة للوظائف (خطية ، تربيعية ، قيمة مطلقة ، وظائف خطوة وأسية) ويتحول بين رسم بياني وجدول وشكل رمزي. سيتم استخدام نهج تحويلي للرسم البياني من خلال استخدام حاسبات الرسوم البيانية.
                                                              • AII.09 سيجد الطالب المجال والمدى والأصفار ومعكوس دالة وقيمة دالة لعنصر معين في مجاله وتكوين وظائف متعددة. ستتضمن الوظائف الأسية واللوغاريتمية وتلك التي لها مجالات ونطاقات محدودة و / أو غير متصلة. سيتم استخدام حاسبة الرسوم البيانية كأداة للمساعدة في التحقيق في الوظائف.
                                                              • AII.14 سيقوم الطالب بحل أنظمة المعادلات غير الخطية ، بما في ذلك الخطي التربيعي والتربيعي التربيعي والجبر والرسوم البيانية. سيتم استخدام حاسبة الرسوم البيانية كأداة لتصور الرسوم البيانية والتنبؤ بعدد الحلول.
                                                              • AII.17 سيقوم الطالب بإجراء عمليات على الأعداد المركبة ويعبر عن النتائج في أبسط صورة. سيشمل تبسيط النتائج استخدام أنماط قوى i.
                                                              • AII.18 سيحدد الطالب المقاطع المخروطية (دائرة ، قطع ناقص ، قطع مكافئ ، قطع زائد) من معادلاته. بالنظر إلى المعادلات في شكل (ح ، ك) ، سيقوم الطالب برسم الرسوم البيانية للمقاطع المخروطية ، باستخدام التحويلات.
                                                              • AII.4
                                                              • AII.5
                                                              • AII.6
                                                              • AII.7
                                                              • AII.8
                                                              • AII.9
                                                              • AII.14
                                                              • AII.17
                                                              • AII.18

                                                              محاذاة الكتب المدرسية:

                                                              • السابع
                                                                • [الوحدة 1 - البحث والإنقاذ] القسم 4: نماذج الوظائف
                                                                  • سبب المحاذاة: يعد درس مقدمة إلى الوظائف بداية رائعة ويجب أن يكون تدريبًا إضافيًا للكتاب المدرسي. يتم شرح المصطلحات ، مثل المدخلات والمخرجات ، وهي تتماشى جيدًا مع المفاهيم والمصطلحات الأساسية للقسم 4. يتم شرح نشاط آلة الوظيفة المستخدم في الدرس واستخدامه.

                                                                  متطلبات الطالب

                                                                  • علم الحساب: يجب أن يكون الطالب قادرًا على:
                                                                    • إجراء العمليات الحسابية الصحيحة والكسرية
                                                                    • إجراء عمليات التلاعب الأساسية بالماوس مثل الإشارة والنقر والسحب
                                                                    • استخدم متصفحًا لتجربة الأنشطة

                                                                    اعداد المعلم

                                                                    • الوصول إلى المتصفح
                                                                    • قلم رصاص وورقة
                                                                    • نسخ من المواد التكميلية للأنشطة:
                                                                      • ورقة عمل الآلة الوظيفية

                                                                      الشروط الاساسية

                                                                      وظيفةالدالة f للمتغير x هي قاعدة تخصص لكل رقم x في مجال الوظيفة عددًا واحدًا f (x). كلمة "واحدة" في هذا التعريف مهمة للغاية
                                                                      الإدخالالرقم أو القيمة التي يتم إدخالها ، على سبيل المثال ، في آلة دالة. الرقم الذي يدخل الجهاز هو المدخل
                                                                      دالة خطيةدالة بالصيغة f (x) = mx + b حيث m و b بعض الأرقام الثابتة. الأسماء "م" و "ب" تقليدية. تسمى الوظائف من هذا النوع "الخطية" لأن رسومها البيانية عبارة عن خطوط مستقيمة
                                                                      انتاجالرقم أو القيمة التي تخرج من العملية. على سبيل المثال ، في آلة دالة ، يدخل رقم ، ويتم عمل شيء له ، والرقم الناتج هو الناتج

                                                                      مخطط الدرس

                                                                      ذكّر الطلاب بما تم تعلمه في الدروس السابقة والذي سيكون وثيق الصلة بهذا الدرس و / أو اجعلهم يبدأون في التفكير في الكلمات والأفكار الواردة في هذا الدرس.

                                                                      دع الطلاب يعرفون ما الذي سيفعلونه ويتعلمونه اليوم. قل شيئًا كهذا:

                                                                      • اليوم ، الفصل ، سوف نتعلم عن الوظائف وتمثيلاتها
                                                                      • سنستخدم أجهزة الكمبيوتر للتعرف على الوظائف وعروضها ، ولكن من فضلك لا تشغل أجهزة الكمبيوتر الخاصة بك حتى أطلب منك ذلك. أريد أن أريكم القليل عن هذا النشاط أولاً

                                                                      قدم فكرة الوظائف كآلات ، من خلال قيادة مناقشة صفية حول الوظائف.

                                                                        اطلب من الطلاب بناء آلات لاختبار بعضهم البعض. ابدأهم بآلات التشغيل الفردي ، واقترح عليهم إنشاء جداول لأزواج الإدخال / الإخراج. عزز التقاليد القائلة بأن علماء الرياضيات يتجنبون الالتباس من خلال وضع المدخلات دائمًا أولاً في ملف زوج مرتب محاطة بأقواس ومفصولة بفواصل:

                                                                      • عامل حرف يقف لرقم غير معروف أو متغير
                                                                      • متغير مستقل الإدخال في دالة ، غالبًا ما يتم تمثيله بواسطة x.
                                                                      • المتغير التابع ناتج دالة ، غالبًا ما يتم تمثيلها بواسطة y.
                                                                      • المهام عملية تأخذ رقمًا واحدًا أو أكثر كمدخلات وتنتج رقمًا واحدًا كإخراج
                                                                      • اطلب من الطلاب ممارسة مهاراتهم الجديدة في بناء الوظائف والتعرف على الأنماط باستخدام لعبة Function Machine. تأكد من قيام الطلاب بتسجيل عدد الأرقام التي يحتاجون إلى النظر إليها قبل تخمين بنية الوظيفة بشكل صحيح. اطلب منهم كتابة الوظائف التي عملوا معها بثلاث طرق:
                                                                        • الجملة الإنجليزية
                                                                        • جدول القيم
                                                                        • قاعدة الجبر
                                                                        • قد ترغب في إعادة الفصل معًا لمناقشة النتائج. بمجرد السماح للطلاب بمشاركة ما وجدوه ، قم بتلخيص نتائج الدرس.

                                                                        مخطط بديل

                                                                        يمكن إعادة ترتيب هذا الدرس بعدة طرق.

                                                                        • أضف مسابقة "اسم تلك الوظيفة" (على غرار اسم ذلك اللحن) حيث تتنافس فرق الطلاب لمعرفة الوظيفة. فيما يلي مجموعة من القواعد المحتملة لمثل هذه اللعبة:
                                                                          • اعرض زوجي الإدخال / الإخراج لكلا الفريقين - يعمل طالبان في الفريق بشكل جيد للغاية.
                                                                          • اطلب من كل فريق أن يذكر عدد الأزواج الإضافية التي يعتقدون أنهم سيحتاجون إلى رؤيتها "لتسمية هذه الوظيفة". الفريق الذي يدعي أقل عدد من الأزواج المطلوبة يذهب أولاً.
                                                                          • إذا خمن الفريق خطأً ، سيحاول الفريق الآخر ، بعد رؤية زوج آخر. يتناوب الفرق بالتناوب حتى يخمن المرء بشكل صحيح.

                                                                          المتابعة المقترحة

                                                                          بعد هذه المناقشات والأنشطة ، سيكون لدى الطلاب فهم بديهي للوظائف وسيشاهدون العديد من الأمثلة للوظائف الخطية. سيقدم الدرس التالي المزيد من الوظائف المعقدة للطلاب المزيد من الوظائف الخطية العامة.


                                                                          متوسطات ومقاييس الموقع المركزي

                                                                          تحسب هذه الدالات قيمة متوسطة أو نموذجية من مجتمع أو عينة.

                                                                          يعني()المتوسط ​​الحسابي ("المتوسط") للبيانات.
                                                                          fmean ()متوسط ​​حسابي سريع للفاصلة العائمة.
                                                                          متوسط ​​هندسي ()الوسط الهندسي للبيانات.
                                                                          الوسط التوافقي()متوسط ​​توافقي للبيانات.
                                                                          الوسيط()متوسط ​​(القيمة الوسطى) للبيانات.
                                                                          متوسط_لاو ()متوسط ​​منخفض للبيانات.
                                                                          متوسط_عالي ()متوسط ​​مرتفع للبيانات.
                                                                          median_grouped ()متوسط ​​أو 50 بالمائة من البيانات المجمعة.
                                                                          الوضع()الوضع الفردي (القيمة الأكثر شيوعًا) للبيانات المنفصلة أو الاسمية.
                                                                          متعدد ()قائمة الأوضاع (القيم الأكثر شيوعًا) للبيانات المنفصلة أو الاسمية.
                                                                          الكميات ()قسّم البيانات إلى فترات ذات احتمالية متساوية.


                                                                          محتويات

                                                                          بشكل بديهي ، الوظيفة هي عملية تربط كل عنصر من عناصر المجموعة X ، لعنصر واحد من المجموعة ص .

                                                                          رسميا ، وظيفة F من مجموعة X لمجموعة ص يتم تعريفه بواسطة مجموعة G من الأزواج المرتبة (x, ذ) مع xX, ذص ، بحيث يكون كل عنصر من عناصر X هو المكون الأول من زوج واحد مرتب بالضبط في G. [6] [ملاحظة 3] وبعبارة أخرى ، لكل x في X ، هناك عنصر واحد بالضبط ذ بحيث يكون الزوج المرتب (x, ذ) ينتمي إلى مجموعة الأزواج التي تحدد الوظيفة F . المجموعة G تسمى الرسم البياني للوظيفة. من حين لآخر ، قد يتم تحديدها مع الوظيفة ، لكن هذا يخفي التفسير المعتاد للوظيفة كعملية. لذلك ، في الاستخدام الشائع ، يتم تمييز الوظيفة بشكل عام عن الرسم البياني الخاص بها.

                                                                          تسمى الوظائف أيضًا خرائط أو التعيينات، على الرغم من أن بعض المؤلفين يميزون بين "الخرائط" و "الوظائف" (انظر § مصطلحات أخرى).

                                                                          حقيقة F كونها وظيفة من المجموعة X إلى المجموعة ص يرمز رسميا بواسطة F: Xص . في تعريف الوظيفة ، X و ص تسمى على التوالي نطاق و ال المجال المشترك من وظيفة و. [7] إذا (x, ذ) ينتمي إلى المجموعة التي تحدد f ، ثم y هو صورة من x تحت f ، أو ال القيمة من و يطبق على جدال x. في سياق الأرقام على وجه الخصوص ، يقول المرء أيضًا أن y هي قيمة f لـ قيمة x لمتغيرها، أو بشكل أكثر إيجازًا ، أن y هو قيمة ال F من x ، يشار إليها باسم ذ = F(x) .

                                                                          وظيفتان f و g متساويتان ، إذا كانت مجموعات المجال والمجال الخاص بهما متطابقة وقيم مخرجاتهما تتفق على المجال بأكمله. أكثر رسميا، F = ز إذا F(x) = ز(x) للجميع xX ، أين F:Xص و ز:Xص . [8] [9] [الملاحظة 4]

                                                                          لا يتم دائمًا تقديم المجال والمجال البرمجي بشكل صريح عند تحديد وظيفة ، وبدون بعض الحسابات (التي قد تكون صعبة) ، قد يعرف المرء فقط أن المجال موجود في مجموعة أكبر. يحدث هذا عادةً في التحليل الرياضي ، حيث تشير عبارة "دالة من X إلى Y" غالبًا إلى وظيفة قد تحتوي على مجموعة فرعية مناسبة [الملاحظة 5] من X كنطاق. على سبيل المثال ، قد تشير "دالة من القيم الحقيقية إلى الحقيقة" إلى دالة ذات قيمة حقيقية لمتغير حقيقي. ومع ذلك ، فإن "دالة من الحقيقة إلى الحقيقة" لا تعني أن مجال الوظيفة هو المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية ، ولكن فقط أن المجال عبارة عن مجموعة من الأرقام الحقيقية التي تحتوي على فاصل مفتوح غير فارغ. ثم تسمى هذه الوظيفة وظيفة جزئية. على سبيل المثال ، إذا كانت f دالة تحتوي على أرقام حقيقية كمجال ومجال رمزي ، فعندئذٍ تقوم دالة بتعيين القيمة x إلى القيمة ز(x) = 1 / F(x) هي دالة g من الواقعية إلى الحقيقية ، ومجالها هو مجموعة القيم الحقيقية x ، على هذا النحو F(x) ≠ 0 .

                                                                          نطاق الوظيفة هو مجموعة صور جميع العناصر في المجال. [10] [11] [12] [13] ومع ذلك ، نطاق يستخدم أحيانًا كمرادف للنطاق المشترك ، [13] [14] بشكل عام في الكتب المدرسية القديمة. [ بحاجة لمصدر ]

                                                                          نهج العلائقية تحرير

                                                                          أي مجموعة فرعية من حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين X و ص يحدد العلاقة الثنائية صX × ص بين هاتين المجموعتين. من الضروري أن تحتوي العلاقة التعسفية على أزواج تنتهك الشروط اللازمة لوظيفة مذكورة أعلاه.

                                                                          العلاقة الثنائية وظيفية (وتسمى أيضًا حق فريد) إذا

                                                                          ∀ س ∈ س ، ∀ ص ∈ ص ، ∀ ض ∈ ص ، ((س ، ص) ∈ ص ∧ (س ، ض) ∈ ص) ⟹ ص = ع.

                                                                          تكون العلاقة الثنائية تسلسلية (تسمى أيضًا إجمالي اليسار) إذا

                                                                          الوظيفة الجزئية هي علاقة ثنائية وظيفية.

                                                                          الوظيفة هي علاقة ثنائية وظيفية ومتسلسلة. يمكن إعادة صياغة الخصائص المختلفة للوظائف وتكوين الوظائف في لغة العلاقات. [15] على سبيل المثال ، الوظيفة هي حقنة إذا كانت العلاقة العكسية ص تي ⊆ ص × X وظيفية ، حيث يتم تعريف العلاقة العكسية على أنها R T = <(y، x) ∣ (x، y) ∈ R> = <(y، x) mid (x، y) in R >>.

                                                                          كعنصر في منتج ديكارتي على نطاق تحرير

                                                                          يتم أحيانًا تحديد مجموعة جميع الوظائف من مجال معين إلى مجال مشفر مع المنتج الديكارتي لنسخ المجال المشترك ، المفهرسة بواسطة المجال. وهي مجموعات معينة X و ص ، أي وظيفة F: Xص هو عنصر من عناصر المنتج الديكارتي لنسخ ص ق على مجموعة الفهرس X

                                                                          F ∈ ∏X ص = ص X .

                                                                          المعاينة F مثل tuple مع الإحداثيات ، ثم لكل منها xX ، ال x الإحداثي الخامس لهذه المجموعة هو القيمة F(x) ∈ ص . هذا يعكس الحدس الذي لكل منهما xX ، الوظيفة مختارات بعض العناصر ذص ، يسمى، F(x). (تُستخدم وجهة النظر هذه على سبيل المثال في مناقشة وظيفة الاختيار.)

                                                                          غالبًا ما يتم "تعريف" المنتجات الديكارتية اللانهائية على أنها مجموعات من الوظائف. [16]

                                                                          هناك طرق قياسية مختلفة للدلالة على الوظائف. التدوين الأكثر استخدامًا هو الترميز الوظيفي ، والذي يحدد الوظيفة باستخدام معادلة تعطي أسماء الوظيفة والوسيطة صراحة. يؤدي هذا إلى ظهور نقطة دقيقة غالبًا ما يتم تجاهلها في المعالجات الأولية للوظائف: المهام تختلف عن القيم. وبالتالي ، وظيفة F يجب تمييزه عن قيمته F(x0) بالقيمة x0 في مجالها. إلى حد ما ، حتى علماء الرياضيات العاملين سوف يخلطون بين الاثنين في أماكن غير رسمية للراحة ، وتجنب الظهور المتحذلق. ومع ذلك ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، من إساءة استخدام التدوين كتابة "let f: R → R < displaystyle f Colon mathbb إلى mathbb > كن الوظيفة F(x) = x 2 "، منذ ذلك الحين F(x) و x 2 يجب فهمهما على أنهما القيمة من F في x، بدلا من الوظيفة نفسها. بدلاً من ذلك ، من الصحيح ، على الرغم من أنه طويل الأمد ، كتابة "let f: R → R < displaystyle f colon mathbb إلى mathbb > أن تكون الوظيفة التي تحددها المعادلة F(x) = x 2 للجميع x في R > ". الصياغة المدمجة هي" دع f: R → R < displaystyle f Colon mathbb إلى mathbb > مع F(x) = x 2 ، "حيث يتم حذف" be the function "الزائدة ، ووفقًا للاتفاقية ، يتم فهم" x < displaystyle x> في مجال f < displaystyle f> ".

                                                                          يمكن أن يصبح هذا التمييز في اللغة والتدوين مهمًا ، في الحالات التي تعمل فيها الوظائف نفسها كمدخلات لوظائف أخرى. (تسمى الوظيفة التي تأخذ وظيفة أخرى كمدخل أ وظيفي.) الأساليب الأخرى لتدوين الوظائف ، المفصلة أدناه ، تتجنب هذه المشكلة ولكنها أقل استخدامًا.

                                                                          تدوين وظيفي تحرير

                                                                          كما استخدم لأول مرة بواسطة ليونارد أويلر في عام 1734 ، [17] يتم الإشارة إلى الوظائف برمز يتكون عمومًا من حرف واحد بخط مائل ، وغالبًا ما تكون الأحرف الصغيرة F, ز, ح . [1] يتم تمثيل بعض الوظائف المستخدمة على نطاق واسع برمز يتكون من عدة أحرف (عادةً حرفان أو ثلاثة ، وعادةً ما يكون اختصارًا لاسمها). في هذه الحالة ، يتم استخدام النوع الروماني عادةً بدلاً من ذلك ، مثل "sin" لوظيفة الجيب ، على عكس الخط المائل للرموز أحادية الحرف.

                                                                          التدوين (نصه: "y يساوي f لـ x")

                                                                          يعني أن الزوج (x, ذ) ينتمي إلى مجموعة الأزواج التي تحدد الوظيفة f. إذا كان X هو مجال f ، فإن مجموعة الأزواج التي تحدد الوظيفة هي بالتالي ، باستخدام تدوين set-builder ،

                                                                          في كثير من الأحيان ، يتم تقديم تعريف للدالة من خلال ما تفعله f للحجة الصريحة x. على سبيل المثال ، يمكن تعريف الدالة f بالمعادلة

                                                                          لجميع الأعداد الحقيقية x. في هذا المثال ، يمكن اعتبار f مركبًا لعدة وظائف أبسط: التربيع ، إضافة 1 ، وأخذ الجيب. ومع ذلك ، من بين هؤلاء ، فقط دالة الجيب لها رمز صريح مشترك (الخطيئة) ، في حين أن الجمع بين التربيع ثم إضافة 1 يوصف بالتعبير متعدد الحدود x 2 + 1. للإشارة صراحة إلى وظائف مثل التربيع أو إضافة 1 دون إدخال أسماء وظائف جديدة (على سبيل المثال عن طريق تعريف الوظيفة g و h بواسطة ز(x) = x 2 و ح(x) = x + 1) ، يمكن استخدام إحدى الطرق أدناه (تدوين السهم أو تدوين النقطة).

                                                                          عندما يتكون الرمز الذي يشير إلى الوظيفة من عدة أحرف ولا يمكن أن ينشأ أي غموض ، فقد يتم حذف أقواس التدوين الوظيفي. على سبيل المثال ، من الشائع كتابة الخطيئة x بدلا من الخطيئة (x) .

                                                                          تحرير تدوين السهم

                                                                          للتعبير الصريح عن المجال X والمجال المشترك Y للدالة f ، غالبًا ما يتم استخدام تدوين السهم (مثل: "الوظيفة f من X إلى Y" أو "وظيفة f تعيين عناصر X إلى عناصر Y"):

                                                                          غالبًا ما يستخدم هذا فيما يتعلق بتدوين السهم للعناصر (اقرأ: "f Maps x to F (x) ") ، غالبًا ما تكون مكدسة أسفل رمز السهم مباشرة مع إعطاء رمز الوظيفة والمجال والمجال البرمجي:

                                                                          على سبيل المثال ، إذا تم تحديد عملية الضرب على مجموعة X ، فسيتم تعريف دالة المربع sqr على X بشكل لا لبس فيه بواسطة (اقرأ: "الدالة sqr من X إلى X التي تعين x إلى xx ")

                                                                          يتم كتابة السطر الأخير بشكل أكثر شيوعًا

                                                                          تحرير تدوين الفهرس

                                                                          غالبًا ما يستخدم تدوين الفهرس بدلاً من التدوين الوظيفي. هذا هو ، بدلا من الكتابة F (x) ، يكتب المرء f x. .>

                                                                          هذا هو الحال عادةً بالنسبة للدوال التي يكون مجالها هو مجموعة الأعداد الطبيعية. تسمى هذه الوظيفة بالتسلسل ، وفي هذه الحالة العنصر f n < displaystyle f_> يسمى العنصر n من التسلسل.

                                                                          غالبًا ما يستخدم تدوين الفهرس للتمييز بين بعض المتغيرات التي تسمى المعلمات من "المتغيرات الحقيقية". في الواقع ، المعلمات هي متغيرات محددة يتم اعتبارها ثابتة أثناء دراسة مشكلة ما.على سبيل المثال ، الخريطة x ↦ f (x، t) < displaystyle x mapsto f (x، t)> (انظر أعلاه) سيتم الإشارة إليها f t < displaystyle f_> باستخدام تدوين الفهرس ، إذا حددنا مجموعة الخرائط f t < displaystyle f_> بالصيغة f t (x) = f (x، t) < displaystyle f_(x) = f (x، t)> لكل x، t ∈ X .

                                                                          تعديل تدوين النقطة

                                                                          في الترميز x ↦ f (x) ، < displaystyle x mapsto f (x) ،> لا يمثل الرمز x أي قيمة ، فهو ببساطة عنصر نائب يعني أنه إذا تم استبدال x بأي قيمة على يسار السهم ، يجب استبداله بنفس القيمة على يمين السهم. لذلك ، يمكن استبدال x بأي رمز ، غالبًا ما يكون "⋅". قد يكون هذا مفيدًا لتمييز الوظيفة F (⋅) من قيمتها F (x) في x.

                                                                          تدوينات متخصصة تحرير

                                                                          هناك رموز أخرى متخصصة للوظائف في التخصصات الفرعية للرياضيات. على سبيل المثال ، في الجبر الخطي والتحليل الوظيفي ، يتم الإشارة إلى الأشكال الخطية والمتجهات التي تعمل عليها باستخدام زوج مزدوج لإظهار الازدواجية الأساسية. هذا مشابه لاستخدام ترميز bra-ket في ميكانيكا الكم. في المنطق ونظرية الحساب ، يتم استخدام تدوين دالة حساب لامدا للتعبير صراحة عن المفاهيم الأساسية لتجريد الوظيفة وتطبيقها. في نظرية الفئات والجبر المتماثل ، يتم وصف شبكات الوظائف من حيث كيفية تنقلها وتركيباتها مع بعضها البعض باستخدام مخططات تبادلية تمد وتعمم تدوين السهم للوظائف الموضحة أعلاه.

                                                                          شرط التمييز عن "الوظيفة"
                                                                          الخريطة / رسم الخرائط لا توجد مصطلحات مترادفة. [18]
                                                                          يمكن أن تحتوي الخريطة أي مجموعة كمجال لها ، بينما ، في بعض السياقات ، عادةً في الكتب القديمة ، يكون المجال المشترك للدالة هو على وجه التحديد مجموعة الأرقام الحقيقية أو المركبة. [19]
                                                                          بدلاً من ذلك ، ترتبط الخريطة بـ هيكل خاص (على سبيل المثال ، من خلال تحديد مجال رمزي منظم بشكل صريح في تعريفه). على سبيل المثال ، خريطة خطية. [20]
                                                                          تشابه الشكل دالة بين هيكلين من نفس النوع تحافظ على عمليات الهيكل (على سبيل المثال ، تماثل المجموعة). [21] [22]
                                                                          الصرف تعميم للتشابهات على أي فئة ، حتى عندما لا تكون كائنات الفئة مجموعات (على سبيل المثال ، تحدد المجموعة فئة بها كائن واحد فقط ، والتي تحتوي على عناصر المجموعة كما هو الحال مع الأشكال ، انظر الفئة (الرياضيات) § أمثلة على هذا مثال وأمثلة أخرى مماثلة). [23] [21] [24]

                                                                          غالبًا ما تسمى الوظيفة أيضًا خريطة أو أ رسم الخرائط، لكن بعض المؤلفين يميزون بين المصطلحين "الخريطة" و "الوظيفة". على سبيل المثال ، مصطلح "خريطة" غالبًا ما يكون محجوزًا لـ "وظيفة" بنوع من البنية الخاصة (مثل خرائط المشعبات). بخاصة خريطة كثيرا ما تستخدم بدلا من تشابه الشكل من أجل الإيجاز (على سبيل المثال ، الخريطة الخطية أو الخريطة من G إلى H. بدلا من تشابه المجموعة من G إلى H. ). بعض المؤلفين [25] يحتفظون بالكلمة رسم الخرائط للحالة التي ينتمي فيها هيكل المجال المشترك صراحة إلى تعريف الوظيفة.

                                                                          يستخدم بعض المؤلفين ، مثل سيرج لانج ، [26] "وظيفة" فقط للإشارة إلى الخرائط التي يكون المجال الشفري لها مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية أو المركبة ، ويستخدمون المصطلح رسم الخرائط لمزيد من الوظائف العامة.

                                                                          أيهما تعريف خريطة يستخدم ، المصطلحات ذات الصلة مثل نطاق, المجال المشترك, عن طريق الحقن, مستمر لها نفس المعنى لوظيفة.

                                                                          من خلال سرد قيم الوظيفة تحرير

                                                                          في مجموعة محدودة ، يمكن تحديد وظيفة من خلال سرد عناصر المجال المشترك المرتبطة بعناصر المجال. على سبيل المثال ، إذا كان A = <1، 2، 3> < displaystyle A = <1،2،3 >> ، فيمكن عندئذٍ تعريف دالة f: A → R < displaystyle f Colon A to ماثب > بواسطة f (1) = 2 ، f (2) = 3 ، f (3) = 4.

                                                                          بواسطة صيغة تحرير

                                                                          غالبًا ما يتم تعريف الوظائف بواسطة صيغة تصف مجموعة من العمليات الحسابية والوظائف المحددة مسبقًا ، مثل هذه الصيغة تسمح بحساب قيمة الوظيفة من قيمة أي عنصر في المجال. على سبيل المثال ، في المثال أعلاه ، يمكن تعريف f < displaystyle f> بالصيغة f (n) = n + 1 < displaystyle f (n) = n + 1> ، لـ n ∈ <1، 2، 3 > < displaystyle n in <1،2،3 >>.

                                                                          عندما يتم تعريف وظيفة بهذه الطريقة ، يكون تحديد مجالها صعبًا في بعض الأحيان. إذا كانت الصيغة التي تحدد الوظيفة تحتوي على أقسام ، فيجب استبعاد قيم المتغير الذي يكون قاسمه صفرًا من المجال وبالتالي ، بالنسبة للدالة المعقدة ، يمر تحديد المجال من خلال حساب أصفار الوظائف المساعدة. وبالمثل ، إذا حدثت الجذور التربيعية في تعريف دالة من R > إلى R ، ،> يتم تضمين المجال في مجموعة قيم المتغير التي تكون فيها وسيطات الجذور التربيعية غير سالبة.

                                                                          غالبًا ما يتم تصنيف الوظائف حسب طبيعة الصيغ التي تحددها:

                                                                          • الوظيفة التربيعية هي دالة يمكن كتابتها f (x) = a x 2 + b x + c، + bx + c> حيث أ, ب, ج ثوابت.
                                                                          • بشكل أكثر عمومية ، دالة كثيرة الحدود هي دالة يمكن تعريفها بواسطة صيغة تتضمن فقط عمليات الجمع والطرح والضرب والأس على الأعداد الصحيحة غير السالبة. على سبيل المثال ، f (x) = x 3 - 3 x - 1، < displaystyle f (x) = x ^ <3> -3x-1،> و f (x) = (x - 1) (x 3 + 1) + 2 x 2 - 1. +1) + 2x ^ <2> -1.>
                                                                          • الوظيفة المنطقية هي نفسها ، مع السماح أيضًا بالأقسام ، مثل f (x) = x - 1 x + 1، < displaystyle f (x) = < frac > و> و f (x) = 1 x + 1 + 3 x - 2 x - 1. > + < فارك <3>> - < فارك <2>>.>
                                                                          • الوظيفة الجبرية هي نفسها ، مع السماح أيضًا بالجذور n والجذور من كثيرات الحدود.
                                                                          • الوظيفة الأولية [الملاحظة 6] هي نفسها ، مع السماح باللوغاريتمات والدوال الأسية.

                                                                          تحرير الدالات المعكوسة والضمنية

                                                                          الوظيفة f: X → Y، < displaystyle f Colon X to Y،> مع المجال X والمجال المشترك Y ، هي bijective ، إذا كان لكل y في Y ، هناك عنصر واحد فقط x في X مثل ذلك ذ = F(x). في هذه الحالة ، الدالة العكسية لـ f هي الدالة f - 1: Y → X < displaystyle f ^ <-1> Colon Y to X> التي ترسم y ∈ Y < displaystyle y in Y> العنصر x ∈ X < displaystyle x in X> هكذا ذ = F(x). على سبيل المثال ، اللوغاريتم الطبيعي هو دالة حيوية من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية. وبالتالي ، فإن لها معكوسًا ، يسمى الوظيفة الأسية ، يقوم بتعيين الأرقام الحقيقية على الأرقام الموجبة.

                                                                          إذا كانت الدالة f: X → Y < displaystyle f Colon X to Y> ليست حيوية ، فقد يحدث أنه يمكن للمرء تحديد مجموعات فرعية E ⊆ X و F ⊆ Y بحيث أن تقييد f إلى E هو انحراف من E إلى F ، وبالتالي يكون له معكوس. يتم تعريف الدوال المثلثية العكسية بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، تؤدي وظيفة جيب التمام ، عن طريق التقييد ، إلى انحراف من الفاصل الزمني [0 ، π] على الفاصل الزمني [–1 ، 1] ، ووظيفته العكسية ، المسماة arccosine ، خرائط [–1 ، 1] إلى [0 ، π]. يتم تعريف الدوال المثلثية العكسية الأخرى بشكل مشابه.

                                                                          توفر نظرية الوظيفة الضمنية شروط تفاضل معتدلة لوجود وظيفة ضمنية وتفردها في المنطقة المجاورة للنقطة.

                                                                          استخدام التفاضل في حساب التفاضل والتكامل تحرير

                                                                          يمكن تعريف العديد من الوظائف على أنها مشتقة عكسية لدالة أخرى. هذه هي حالة اللوغاريتم الطبيعي ، وهو المشتق العكسي لـ 1 /x هذا هو 0 من أجل x = 1. مثال شائع آخر هو دالة الخطأ.

                                                                          بشكل عام ، يمكن تعريف العديد من الوظائف ، بما في ذلك معظم الوظائف الخاصة ، على أنها حلول للمعادلات التفاضلية. ربما يكون أبسط مثال على ذلك هو الدالة الأسية ، والتي يمكن تعريفها على أنها الوظيفة الفريدة التي تساوي مشتقها وتأخذ القيمة 1 من أجل x = 0 .

                                                                          بالتكرار تحرير

                                                                          غالبًا ما يتم تعريف الدالات التي يكون مجالها الأعداد الصحيحة غير السالبة ، والمعروفة باسم التسلسلات ، من خلال علاقات التكرار.

                                                                          والحالة الأولية

                                                                          يشيع استخدام الرسم البياني لإعطاء صورة بديهية لوظيفة ما. كمثال على كيفية مساعدة الرسم البياني في فهم دالة ، من السهل أن ترى من الرسم البياني ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص. قد يتم أيضًا تمثيل بعض الوظائف بواسطة المخططات الشريطية.

                                                                          تحرير الرسوم البيانية والمؤامرات

                                                                          في الحالة المتكررة حيث تكون X و Y مجموعات فرعية من الأرقام الحقيقية (أو يمكن تحديدها بمثل هذه المجموعات الفرعية ، مثل الفواصل الزمنية) ، قد يكون العنصر (x ، y) ∈ G تم تحديدها بنقطة لها إحداثيات x, ذ في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، على سبيل المثال الطائرة الديكارتية. قد تؤدي أجزاء من هذا إلى إنشاء مخطط يمثل (أجزاء من) الوظيفة. استخدام المؤامرات منتشر في كل مكان لدرجة أنهم يطلق عليهم أيضًا اسم الرسم البياني للوظيفة. التمثيلات الرسومية للوظائف ممكنة أيضًا في أنظمة إحداثيات أخرى. على سبيل المثال ، الرسم البياني لوظيفة التربيع

                                                                          تحرير الجداول

                                                                          يمكن تمثيل الدالة كجدول قيم. إذا كان مجال الوظيفة محدودًا ، فيمكن تحديد الوظيفة تمامًا بهذه الطريقة. على سبيل المثال ، دالة الضرب f: <1،…، 5> 2 → R < displaystyle f Colon <1، ldots، 5 > ^ <2> to mathbb > يُعرّف على أنه f (x، y) = x y < displaystyle f (x، y) = xy> يمكن تمثيله بواسطة جدول الضرب المألوف

                                                                          من ناحية أخرى ، إذا كان مجال الوظيفة مستمرًا ، فيمكن للجدول أن يعطي قيم الوظيفة عند قيم محددة للمجال. إذا كانت هناك حاجة إلى قيمة وسيطة ، فيمكن استخدام الاستيفاء لتقدير قيمة الوظيفة. على سبيل المثال ، يمكن إعطاء جزء من جدول لدالة الجيب على النحو التالي ، مع تقريب القيم إلى 6 منازل عشرية:

                                                                          x الخطيئة x
                                                                          1.289 0.960557
                                                                          1.290 0.960835
                                                                          1.291 0.961112
                                                                          1.292 0.961387
                                                                          1.293 0.961662

                                                                          قبل ظهور الآلات الحاسبة المحمولة وأجهزة الكمبيوتر الشخصية ، غالبًا ما تم تجميع هذه الجداول ونشرها لوظائف مثل اللوغاريتمات والوظائف المثلثية.

                                                                          تحرير المخطط الشريطي

                                                                          غالبًا ما تُستخدم المخططات الشريطية لتمثيل الوظائف التي يكون مجالها عبارة عن مجموعة محدودة أو الأعداد الطبيعية أو الأعداد الصحيحة. في هذه الحالة ، يتم تمثيل العنصر x من المجال بفاصل x -axis ، والقيمة المقابلة للدالة ، F(x) ، يمثله مستطيل قاعدته هي الفترة المقابلة لـ x وارتفاعه F(x) (من المحتمل أن يكون سالبًا ، وفي هذه الحالة يمتد الشريط أسفل المحور x).

                                                                          يصف هذا القسم الخصائص العامة للوظائف المستقلة عن الخصائص المحددة للمجال والمجال.

                                                                          الوظائف القياسية تحرير

                                                                          هناك عدد من الوظائف القياسية التي تحدث بشكل متكرر:

                                                                          • لكل مجموعة X ، هناك وظيفة فريدة تسمى وظيفة فارغة من المجموعة الفارغة إلى X. الرسم البياني للدالة الفارغة هو المجموعة الفارغة. [ملحوظة 7] إن وجود الوظيفة الفارغة هو اصطلاح مطلوب لتماسك النظرية ولتجنب الاستثناءات المتعلقة بالمجموعة الفارغة في العديد من البيانات.
                                                                          • لكل مجموعة X وكل مجموعة فردية <س> ، هناك وظيفة فريدة من X إلى <س> ، الذي يقوم بتعيين كل عنصر من X إلى s. هذا تخمين (انظر أدناه) ما لم تكن X هي المجموعة الفارغة.
                                                                          • بالنظر إلى الدالة f: X → Y، < displaystyle f Colon X to Y،> the رفض الكنسي من f على صورتها f (X) = > هي الوظيفة من X إلى F(X) التي تعين x إلى F(x) .
                                                                          • لكل مجموعة فرعية A من مجموعة X ، فإن خريطة تضمين A في X هي وظيفة الحقن (انظر أدناه) التي تعين كل عنصر من A على نفسه.
                                                                          • وظيفة الهوية في مجموعة X ، غالبًا ما يُشار إليها بالمعرفX ، هو تضمين X في نفسه.

                                                                          تحرير تكوين الوظيفة

                                                                          ح ∘ ز ∘ و = (ح ∘ ز) ∘ و = ح ∘ (ز ∘ و).

                                                                          دالة مركبة ز(F(x)) يمكن تصورها على أنها مزيج من "جهازين".

                                                                          مثال بسيط لتكوين الوظيفة

                                                                          تكوين آخر. في هذا المثال، (زF ) (ج) = #.

                                                                          تحرير الصورة و preimage

                                                                          دع f: X → Y. < displaystyle f Colon X to Y.> ملف صورة تحت f لعنصر x من المجال X هو F(x). [10] إذا أ هي أي مجموعة فرعية من X ، ثم صورة من A تحت f ، يُشار إليها F(أ) ، هي مجموعة فرعية من المجال المشترك ص تتكون من جميع صور عناصر A ، [10] أي ،

                                                                          ال صورة من F هي صورة المجال بأكمله ، أي F(X). [14] ويسمى أيضًا نطاق f ، [10] [11] [12] [13] على الرغم من المصطلح نطاق قد يشير أيضًا إلى المجال المشترك. [13] [14] [27]

                                                                          من ناحية أخرى ، فإن صورة معكوسة أو بريماج تحت f لعنصر y من المجال المشترك Y هي مجموعة كل عناصر المجال X الذين صورهم تحت f يساوي y. [10] في الرموز ، يتم الإشارة إلى الصورة الأولية لـ y بواسطة f - 1 (y) < displaystyle f ^ <-1> (y)> وتعطى بواسطة المعادلة

                                                                          وبالمثل ، فإن الصورة المسبقة لمجموعة فرعية ب من المجال ص هي مجموعة الصور المسبقة لعناصر ب ، أي أنها مجموعة فرعية من المجال X تتكون من جميع عناصر X الذين تنتمي صورهم ب . [10] يُرمز إليها بـ f - 1 (B) < displaystyle f ^ <-1> (B)> وتُعطى بواسطة المعادلة

                                                                          من خلال تعريف الوظيفة ، صورة العنصر x من المجال هو دائمًا عنصر واحد من المجال المشترك. ومع ذلك ، فإن الصورة السابقة f - 1 (y) < displaystyle f ^ <-1> (y)> لعنصر y من المجال المشترك قد تكون فارغة أو تحتوي على أي عدد من العناصر. على سبيل المثال ، إذا كانت f هي الوظيفة من الأعداد الصحيحة لأنفسهم والتي تعين كل عدد صحيح إلى 0 ، فإن f - 1 (0) = Z (0) = mathbb > .

                                                                          أحيانًا ما يُطلق على الصورة الأولية لـ f لعنصر y من المجال المشترك ، في بعض السياقات ، ألياف ذ تحت F .

                                                                          تحرير الدوال الحَقِية والخطيرة والحيوية

                                                                          الوظيفة f هي متحيز (أو هو انحراف أو أ مراسلة شخص لشخص [30]) إذا كان عن طريق الحقن والتخمين. [14] [31] أي أن f bijective إذا ، لأي y ∈ Y ، < displaystyle y in Y ،> the preimage f - 1 (y) (y)> يحتوي على عنصر واحد بالضبط.تكون الوظيفة f bijective إذا وفقط إذا كانت تسمح بوظيفة عكسية ، أي دالة g: Y → X مثل ذلك g ∘ f = id X _> و f ∘ g = id Y. _.> [31] (على عكس حالة التخمينات ، فإن هذا لا يتطلب بديهية الاختيار والدليل واضح ومباشر).

                                                                          "واحد لواحد" و "على" هي المصطلحات التي كانت أكثر شيوعًا في أدب اللغة الإنجليزية الأقدم "حقنة" و "تخريبية" و "متحيزة" تمت صياغتها في الأصل ككلمات فرنسية في الربع الثاني من القرن العشرين بواسطة مجموعة Bourbaki واستيرادها إلى اللغة الإنجليزية. [ بحاجة لمصدر ] ككلمة تحذير ، "وظيفة واحد لواحد" هي الوظيفة التي يتم حقنها ، بينما تشير "مراسلة واحد لواحد" إلى وظيفة حيوية. كما أن البيان " F خرائط X على ص " يختلف عن " F خرائط X إلى ب "، من حيث أن السابق يعني ذلك F غير متوقع ، في حين أن الأخير لا يؤكد طبيعة F . في التفكير المعقد ، يمكن بسهولة تفويت اختلاف الحرف الواحد. نظرًا للطبيعة المربكة لهذه المصطلحات القديمة ، فقد انخفضت شعبية هذه المصطلحات مقارنة بمصطلحات بورباك ، والتي لها أيضًا ميزة كونها أكثر تناسقًا.

                                                                          القيود والتحرير التمديد

                                                                          للجميع x في س. يمكن استخدام القيود لتعريف وظائف معكوسة جزئية: إذا كانت هناك مجموعة فرعية س لمجال الوظيفة f < displaystyle f> مثل f | ق > هي حقنة ، ثم الطعن الكنسي لـ f | ق > على صورتها و | S (S) = f (S) (S) = f (S)> هو انحراف ، وبالتالي لديه وظيفة عكسية من f (S) إلى س. تطبيق واحد هو تعريف الدوال المثلثية العكسية. على سبيل المثال ، وظيفة جيب التمام هي حقنة عندما تقتصر على الفترة [0 ، π]. صورة هذا القيد هي الفاصل الزمني [–1 ، 1] ، وبالتالي فإن التقييد له وظيفة عكسية من [–1 ، 1] إلى [0 ، π] ، وهو ما يسمى arccosine ويرمز له arccos.

                                                                          ان تمديد للدالة f هي دالة g بحيث تكون f قيدًا على g. الاستخدام النموذجي لهذا المفهوم هو عملية الاستمرار التحليلي ، الذي يسمح بتوسيع الوظائف التي يكون مجالها جزءًا صغيرًا من المستوى المعقد إلى وظائف يكون مجالها تقريبًا المستوى المعقد بأكمله.

                                                                          أ دالة متعددة المتغيرات، أو دالة من عدة متغيرات هي وظيفة تعتمد على عدة وسيطات. يتم مواجهة هذه الوظائف بشكل شائع. على سبيل المثال ، يعد موضع السيارة على الطريق دالة للوقت الذي يتم قطعه ومتوسط ​​سرعته.

                                                                          بشكل أكثر رسمية ، دالة المتغيرات n هي دالة مجالها عبارة عن مجموعة من n -tuples. على سبيل المثال ، يعد ضرب الأعداد الصحيحة دالة لمتغيرين ، أو دالة ثنائية المتغير، الذي مجاله هو مجموعة من كل أزواج (2-tuples) من الأعداد الصحيحة ، ومجالها هو مجموعة الأعداد الصحيحة. وينطبق الشيء نفسه على كل عملية ثنائية. بشكل عام ، يتم تعريف كل عملية رياضية على أنها دالة متعددة المتغيرات.

                                                                          حيث المجال U لديه النموذج

                                                                          عند استخدام تدوين الوظيفة ، عادةً ما يحذف المرء الأقواس المحيطة بالبطاقات ، ويكتب f (x 1، x 2) ، x_ <2>)> بدلاً من f ((x 1، x 2)) . ، x_ <2>)).>

                                                                          من الشائع أيضًا مراعاة الوظائف التي يكون مجالها المشترك نتاج مجموعات. على سبيل المثال ، تقوم القسمة الإقليدية بتعيين كل زوج (أ, ب) من الأعداد الصحيحة ذات ب ≠ 0 لزوج من الأعداد الصحيحة يسمى حاصل القسمة و ال بقية:

                                                                          قد يكون المجال المشترك أيضًا مساحة متجهية. في هذه الحالة ، يتحدث المرء عن دالة ذات قيمة متجهة. إذا كان المجال موجودًا في مساحة إقليدية ، أو بشكل عام في متشعب ، فإن الوظيفة ذات القيمة المتجهية غالبًا ما تسمى حقل متجه.

                                                                          كانت فكرة الوظيفة ، التي بدأت في القرن السابع عشر ، أساسية في حساب التفاضل والتكامل الجديد المتناهي الصغر (انظر تاريخ مفهوم الوظيفة). في ذلك الوقت ، تم النظر فقط في الوظائف ذات القيمة الحقيقية للمتغير الحقيقي ، وكان من المفترض أن تكون جميع الوظائف سلسة. ولكن سرعان ما تم توسيع التعريف ليشمل وظائف متعددة المتغيرات ووظائف متغير معقد. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، تم تقديم التعريف الدقيق للوظيفة رياضيًا ، وتم تحديد الوظائف ذات المجالات التعسفية والمجالات المشتركة.

                                                                          تُستخدم الدوال الآن في جميع مجالات الرياضيات. في حساب التفاضل والتكامل التمهيدية ، عند الكلمة وظيفة يستخدم بدون مؤهل ، فهذا يعني دالة ذات قيمة حقيقية لمتغير حقيقي واحد. عادةً ما يتم تقديم التعريف الأكثر عمومية للوظيفة لطلاب السنة الثانية أو الثالثة من الكلية الحاصلين على تخصصات في العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات (STEM) ، وفي السنة الأخيرة يتم تعريفهم بحساب التفاضل والتكامل في بيئة أكبر وأكثر صرامة في دورات مثل التحليل الحقيقي والتحليل المعقد.


                                                                          دخول المدخلات

                                                                          في دفتر Wolfram على سطح المكتب أو الويب ، ما عليك سوى كتابة إدخال ، ثم الضغط على SHIFT + ENTER لحساب:

                                                                          في[ن] و خارجا[ن] تسمية المدخلات والمخرجات المتتالية. يشير الرمز٪ إلى أحدث إخراج:

                                                                          بعد إجراء عملية حسابية ، سيوفر شريط الاقتراحات خيارات لمزيد من العمليات الحسابية:

                                                                          تعمل الرموز القياسية للعمليات الرياضية:

                                                                          (استخدم مسافة أو * لإجراء الضرب ، وليس الحرف & # 8220x & # 8221.)

                                                                          استخدم الأقواس (وليس الأقواس أو الأقواس) لإظهار مستويات التجميع:

                                                                          تحتوي لغة ولفرام على ما يقرب من 6000 وظيفة مدمجة تغطي العديد من مجالات الرياضيات.

                                                                          يتم فصل وسيطات الدوال المضمنة بفاصلات ومحاطة بأقواس مربعة:

                                                                          إذا كنت لا تعرف الوظيفة التي تريد استخدامها ، فاكتب = في بداية السطر لإدخال اللغة الطبيعية:

                                                                          تمثل القوائم مجموعات من العناصر ويشار إليها بواسطة:

                                                                          يتم ترتيب القوائم. يمكن أن تحتوي على أرقام أو متغيرات أو حسابات أو حتى قوائم أخرى.


                                                                          3.7: مقدمة في الوظائف - الرياضيات

                                                                          يبحث هذا القسم في الوظائف ضمن موضوع الجبر الأوسع.

                                                                          أ وظيفة يمكن اعتبارها قاعدة تأخذ كل عضو x من مجموعة ويقوم بتعيينها أو تعيينها لنفس القيمة ذ معروف على صورته.

                                                                          x → الوظيفة → y

                                                                          خطاب مثل f أو g أو h غالبًا ما يستخدم للدلالة على وظيفة. يمكن كتابة الوظيفة التي تربّع رقمًا وتضيفها إلى 3 و (س) = س 2 + 5. يمكن أيضًا استخدام نفس الفكرة لإظهار كيفية تأثير دالة على قيم معينة.

                                                                          F(4) = 4 2 + 5 =21, F(-10) = (-10) 2 +5 = 105 أو كبديل لذلك F: س ← س 2 + 5.

                                                                          العبارة "y هي دالة x" تعني أن قيمة y تعتمد على قيمة x ، لذلك:

                                                                          • يمكن كتابة y بدلالة x (على سبيل المثال ، y = 3x).
                                                                          • إذا كانت f (x) = 3x ، و y دالة في x (أي y = f (x)) ، فإن قيمة y عندما تكون x هي 4 هي f (4) ، والتي يمكن إيجادها عن طريق استبدال x "s بـ 4 "س .

                                                                          إذا كانت f (x) = 3x + 4 ، فأوجد f (5) و f (x + 1).

                                                                          و (5) = 3 (5) + 4 = 19
                                                                          و (س + 1) = 3 (س + 1) + 4 = 3x + 7

                                                                          المجال والمدى

                                                                          ال نطاق من دالة هي مجموعة القيم التي يُسمح لك بوضعها في الوظيفة (بحيث يمكن لجميع القيم التي يمكن أن تأخذها x). ال نطاق الدالة هي مجموعة جميع القيم التي يمكن أن تأخذها الوظيفة ، وبعبارة أخرى جميع القيم الممكنة لـ y عندما تكون y = f (x). لذا إذا كانت y = x 2 ، فيمكننا اختيار المجال ليكون جميع الأعداد الحقيقية. النطاق هو كل الأعداد الحقيقية الأكبر من (أو تساوي) الصفر ، لأنه إذا كانت y = x 2 ، فإن y لا يمكن أن تكون سالبة.

                                                                          نقول أن الوظيفة هي واحد لواحد إذا ، لكل نقطة y في نطاق الدالة ، هناك قيمة واحدة فقط لـ x مثل y = f (x). f (x) = x 2 ليست واحدًا لواحد لأنه ، على سبيل المثال ، هناك قيمتان لـ x مثل أن f (x) = 4 (أي –2 و 2). على الرسم البياني ، تكون الوظيفة من واحد إلى واحد إذا كان أي خط أفقي يقطع الرسم البياني مرة واحدة فقط.

                                                                          وظائف التركيب

                                                                          fg تعني تنفيذ الوظيفة g ، ثم الوظيفة f. في بعض الأحيان ، يتم كتابة fg على شكل ضباب

                                                                          إذا كانت f (x) = x 2 و g (x) = x - 1 إذن
                                                                          gf (x) = g (x 2) = x 2-1
                                                                          fg (x) = f (x - 1) = (x - 1) 2

                                                                          كما ترى ، fg لا يساوي بالضرورة gf

                                                                          عكس الوظيفة

                                                                          عكس الوظيفة هو الوظيفة التي تعكس تأثير الوظيفة الأصلية. على سبيل المثال ، معكوس y = 2x هو y = ½ x.
                                                                          لإيجاد معكوس دالة ، بدل x "s و y" s واجعل y موضوع الصيغة.

                                                                          أوجد معكوس f (x) = 2x + 1
                                                                          دع y = f (x) ، وبالتالي y = 2x + 1
                                                                          استبدل x و y:
                                                                          س = 2 ص + 1
                                                                          اجعل y موضوع الصيغة:
                                                                          2 ص = س - 1 ، إذن ص = ½ (س - 1)
                                                                          لذلك f -1 (x) = ½ (× - 1)

                                                                          f -1 (x) هو الرمز القياسي لعكس f (x). يُقال أن المعكوس موجود إذا كان هناك فقط دالة f -1 مع ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

                                                                          لاحظ أن الرسم البياني لـ f -1 سيكون انعكاسًا لـ f في الخط y = x.

                                                                          يشرح هذا الفيديو المزيد عن معكوس الدالة

                                                                          يمكن رسم وظائف بيانية. الوظيفة هي مستمر إذا كان الرسم البياني الخاص به لا يحتوي على فواصل فيه. مثال على الرسم البياني غير المستمر هو y = 1 / x ، حيث لا يمكن رسم الرسم البياني دون إزالة قلمك من الورق:

                                                                          الوظيفة هي دوري إذا كان الرسم البياني يكرر نفسه على فترات منتظمة ، فإن هذه الفترة تُعرف باسم الفترة.

                                                                          الوظيفة هي حتى في إذا لم يتغير عند استبدال x بـ -x. سيكون الرسم البياني لمثل هذه الوظيفة متماثلًا في المحور ص. الدوال الزوجية متعددة الحدود لها درجات زوجية (مثل y = x²).
                                                                          الوظيفة هي غريب إذا تم تغيير علامة الوظيفة عند استبدال x بـ -x. سيكون للرسم البياني للوظيفة تناظر دوراني حول الأصل (على سبيل المثال y = x³).

                                                                          وظيفة المعامل

                                                                          مقياس العدد هو مقدار هذا العدد. على سبيل المثال ، مقياس -1 (| -1 |) هو 1. مقياس x ، | x | ، هو x لقيم x الموجبة و -x لقيم x التي تكون سالبة. لذا فإن التمثيل البياني لـ y = | x | هي y = x لجميع القيم الموجبة لـ x و y = -x لجميع القيم السلبية لـ x:

                                                                          تحويل الرسوم البيانية

                                                                          إذا كانت y = f (x) ، فسيكون الرسم البياني لـ y = f (x) + c (حيث c ثابت) هو الرسم البياني لـ y = f (x) المزاحة c وحدات لأعلى (في اتجاه المحور y ).
                                                                          إذا كانت y = f (x) ، فسيكون التمثيل البياني لـ y = f (x + c) هو التمثيل البياني لـ y = f (x) المنقولة c إلى اليسار.
                                                                          إذا كانت y = f (x) ، فسيكون التمثيل البياني لـ y = f (x - c) هو التمثيل البياني لـ y = f (x) المنقولة c إلى اليمين.
                                                                          إذا كانت y = f (x) ، فإن الرسم البياني لـ y = af (x) هو امتداد للرسم البياني لـ y = f (x) ، عامل القياس (1 / a) ، الموازي للمحور x. [يعني عامل المقياس 1 / a أن "الامتداد" يتسبب في الواقع في ضغط الرسم البياني إذا كان a رقمًا أكبر من 1]

                                                                          الرسم البياني لـ y = | x - 1 | سيكون مماثلاً للرسم البياني أعلاه ، ولكن تم إزاحة وحدة واحدة إلى اليمين (لذا ستصل نقطة V إلى المحور x عند 1 بدلاً من 0).


                                                                          شاهد الفيديو: مقدمة بسيطة في تعلم مادة الرياضيات (ديسمبر 2021).