مقالات

8.6.2: المساحات الفرعية الأساسية


8.6.2: المساحات الفرعية الأساسية

أبعاد المساحات الفرعية الأربعة كلها مرتبطة ببعضها البعض.

يمكن كتابة منتج كمجموعة خطية من أعمدة: حيث تكون معاملات المجموعة الخطية هي إدخالات. لذلك ، فإن البعد هو رتبة العمود.

وبالمثل ، يمكن اعتبار المنتج على أنه مزيج خطي من صفوف ذات معاملات. لذلك ، البعد هو رتبة الصف.

لقد أثبتنا سابقًا أن رتبة الصف والعمود تتطابق ، أي ،

من خلال الجمع بين (1) و (2) و (3) ، يمكننا الحصول على العديد من العلاقات المثيرة للاهتمام بين أبعاد المساحات الفرعية الأربعة.

على سبيل المثال ، كلاهما ومساحات فرعية من ولدينا

وبالمثل ، فالمساحات الفرعية من ولدينا

مثال في الأمثلة السابقة ، هي مصفوفة. وهكذا لدينا و. لقد أظهرنا أنه نظرًا لأن المتجهين الممتدين مستقلين خطيًا ، فلدينا علاوة على ذلك ، ما يشير إلى ذلك ،


ال مساحة الصف و غادر nullspace يتم تعريفها على أنها مساحة العمود والمسافة الفارغة لـ A T A ^ T A T ، تبديل A A ، على التوالي. بهذه الطريقة ، فهي مساحات فرعية لـ R n mathbb^ ن ص ن.

ال النظرية الأساسية للجبر الخطي يربط جميع المساحات الفرعية الأساسية الأربعة بعدد من الطرق المختلفة. هناك أجزاء رئيسية للنظرية:

الجزء 1:
الجزء الأول من النظرية الأساسية للجبر الخطي يتعلق بأبعاد الفراغات الأساسية الأربعة:

يتضح هذا من خلال المثال الوارد في الأقسام السابقة: أبعاد مساحة العمود لـ

هي 2 ، وأبعاد فراغ A A A هو n - r = 4-2 = 2 n - r = 4-2 = 2 n - r = 4-2 = 2.

يُشار أحيانًا إلى هذا الجزء الأول من النظرية الأساسية للجبر الخطي بالاسم على أنه نظرية بلاغ الرتبة.

الجزء 2:
الجزء الثاني من النظرية الأساسية للجبر الخطي يتعلق بالمساحات الجزئية الأساسية بشكل مباشر أكثر:

المسافة nullspace ومساحة الصف متعامدة. المسافة الفارغة اليسرى ومساحة العمود متعامدة أيضًا.

الجزء الثالث:
يبني الجزء الأخير من النظرية الأساسية للجبر الخطي أساسًا متعامدًا ، ويوضح تحلل القيمة المفرد: يمكن كتابة أي مصفوفة M M M على شكل U ∑ V T U sum V ^ T U ∑ V T ، حيث

يسمح هذا الجزء من النظرية الأساسية للفرد بالعثور على الفور على أساس الفضاء الجزئي المعني.

يمكن تلخيص ذلك في الجدول التالي:

أو يمكن أيضًا تلخيصها في الصورة التالية ، حيث تمثل الأسهم نتائج الضرب: العلاقة بين الفراغات الأساسية الأربعة. المصدر: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Theأربعةsubspaces.svg


مطلاب: الفراغات الأربعة والنظرية الأساسية للجبر الخطي

يعد فهم الفراغات الأساسية الأربعة للمصفوفة أمرًا أساسيًا للنظر في روح المصفوفة العامة. هنا مقال قصير بقلم جيلبرت سترانج يلخصهم.

من السهل جدًا كتابة برنامج Matlab أو GNU Octave الذي يوضح الأجزاء المختلفة من نظرية المصفوفة العامة. هنا واحد (fundaspace.m).

تأخذ أي مصفوفة كمدخلات ، وتوضح أبعاد المساحات الأربعة وأسسها وتعامدها. عندما يتم استدعاؤه بدون أي وسيطات فإنه يوضح المثال التالي.

معطى ماتريكس أ

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

عدد الصفوف ، م = 3
عدد الأعمدة ، ن = 4

الرتبة ، ص = 2

أربع فضاءات

أساس مساحة العمود
1 2
5 6
9 10

ترك مساحة فارغة
0.40825
-0.81650
0.40825

أساس مساحة الصف
1 5
2 6
3 7
4 8

أساس الفضاء الفارغ
0.044995 -0.545871
0.346875 0.761366
-0.828735 0.114882
0.436865 -0.330377


النظرية الأساسية: البعد

خافت (ColSpace) + خافت (Left NullSpace) = م ، (2 + 1 = 3)
خافت (RowSpace) + خافت (NullSpace) = n ، (2 + 2 = 4)

النظرية الأساسية: التعامد

ColSpace '* Left NullSpace

-2.2204e-16
-8.8818e-16

RowSpace '* NullSpace

-8.3267e-17 5.5511e-16
2.7756e-17 5.5511e-16


1 إجابة 1

جوهر دراسة المصفوفات هو دراسة التحولات الخطية بين الفراغات المتجهة. يمكن تحقيق ذلك كضرب مصفوفة على يسار (أو يمين) متجهات العمود (أو الصف).

إذا كنا في هذا الإعداد: $ x mapsto Ax $ لمتجه العمود $ x $ والمصفوفة المناسبة $ A $ ، فإن صورة التحويل الخطي ستمتد بواسطة أعمدة $ A $.

ال نواة من التحويل (nullspace) هي مجموعة كل $ x $ بحيث يكون $ Ax = 0 $ مهمًا لفهم حلول بعض معادلات المصفوفة. ربما تكون قد تعلمت بالفعل أنه إذا كان $ x_0 $ هو حل لـ $ Ax = b $ ، إذن كل حل آخر يتم الحصول عليها من خلال $ x_0 + k $ حيث يكون $ k $ في الفراغ.

كل هذا له تفسير مماثل على الجانب الآخر. إذا كنا في هذا الإعداد: $ x mapsto xA $ لمتجه الصف $ x $ ، فإن صورة التحويل الخطي الآن ممتدة بصفوف $ A $.

إن الحديث عن nullspace لـ $ A ^ T $ هو مجرد طريقة رائعة لتزيين "left nullspace" لـ $ A $ ، حيث أن $ xA = 0 $ iff $ A ^ T x ^ T = 0 $. تعد nullspace الآن مجموعة كل $ x $ مثل $ xA = 0 $ ، ويمكنك استخلاص نفس الاستنتاجات حول الحلول لـ $ xA = b $.

باختصار ، هذه المساحات الأربعة (حقًا مسافتان فقط ، مع نسخة يسارية ويمينية من الزوج) تحمل جميع المعلومات حول الصورة ونواة التحويل الخطي الذي يؤثر عليه $ A $ ، سواء كنت تستخدمه على يمينًا أو يسارًا.


3 إجابات 3

هذا أكثر من منظور حدسي ، بناءً على المساحات المتجهية المعنية:

المساحة الفارغة للمصفوفة هي مساحة فرعية لنفس مساحة المتجه التي تكون مساحة الصف مساحة فرعية لها. بهذا المعنى مساحة صف المصفوفة يحدد المساحة الفارغة ، حيث يمكننا تحديد المساحة الخالية لمصفوفة $ A $ على أنها $ $. هذه العلاقة التكميلية هي بالتأكيد أساسية في وصف المصفوفة.

إذا كنت تبحث عن تطبيقات تكون فيها مساحة الصف مهمة: افترض أن لدينا $ m times n $ convert $ G $ و $ k times n $ matrix $ F $ ، ونريد أن نعرف ما إذا كان $ F $ يقسم $ G $ على اليمين ، أي ما إذا كان هناك $ H $ مثل $ G = HF $. اتضح أن هذا صحيح إذا كانت مساحة الصف $ G $ هي مساحة فرعية من مساحة الصف $ F $.

ماذا عن مساحة العمود. كما هو الحال مع العلاقة بين مساحة الصف والمساحة الفارغة ، فإن المساحة التكميلية لمساحة العمود هي المساحة الخالية من $ A ^ * $ ، وسياق مساحة المتجه الأكبر (التي تكون هذه المسافات هي مساحات فرعية لها) في هذه الحالة مختلف من مساحة المتجه التي تحتوي على مساحة صف ومساحة فارغة ، في الحالة التي لا تكون فيها المصفوفة مربعة.

أحد التطبيقات المهمة جدًا لهذه المساحة المكمل لمساحة العمود ، هو تقريب المربعات الصغرى لنظام محدد أكثر من اللازم. بالنسبة إلى حل المربعات الصغرى ، لدينا $ A ^ * (Ax_0-y) = 0 ، $ هذا هو حل المربعات الصغرى $ x_0 $ يجب أن يكون لدينا $ Ax_0-y $ في النواة اليسرى! حدسيًا ، للعثور على النقطة $ Ax_0 $ حيث تكون مساحة العمود $ A $ أقرب إلى $ y $ ، يجب أن نجد متجهًا في المكمل المتعامد لمساحة العمود $ A $ الذي يحتوي على $ y $ و $ Ax_0 $ ( وبالتالي تقليل المسافة).

لذلك تركز السياقات المختلفة على فضاءات فرعية أساسية مختلفة. في معظم التطبيقات الشائعة ، من المحتمل أن يكون هناك تركيز أكبر على المساحة الخالية ومساحة العمود.


إذا الخامس هي مساحة متجهية فوق حقل ك و إذا دبليو هي مجموعة فرعية من الخامس، ومن بعد دبليو هو الفضاء الجزئي الخطي من الخامس إذا كانت تحت عمليات الخامس, دبليو هي مساحة متجهية ك. بالتساوي ، مجموعة فرعية غير فارغة دبليو هو فضاء فرعي من الخامس إذا ، في أي وقت ث1, ث2 هي عناصر دبليو و α, β هي عناصر ك، إنه يتبع هذا αw1 + βw2 في داخل دبليو. [2] [3] [4] [5] [6]

كنتيجة طبيعية ، تم تجهيز جميع الفراغات المتجهة مع فضاءين خطيين على الأقل (ربما يكونان مختلفين): فضاء متجه صفري يتكون من متجه صفري وحده وفضاء المتجه بأكمله نفسه. هذه تسمى مساحات فرعية تافهة من الفضاء المتجه. [7]

المثال الأول تحرير

دع المجال ك كن المجموعة ر من الأعداد الحقيقية ، ودع الفضاء المتجه الخامس أن تكون مساحة الإحداثيات الحقيقية ر 3. يأخذ دبليو لتكون مجموعة جميع النواقل في الخامس المكون الأخير الذي هو 0. ثم دبليو هو فضاء فرعي من الخامس.

  1. معطى ش و الخامس في دبليو، ثم يمكن التعبير عنها كـ ش = (ش1, ش2، 0) و الخامس = (الخامس1, الخامس2، 0). ثم ش + الخامس = (ش1+الخامس1, ش2+الخامس2, 0+0) = (ش1+الخامس1, ش2+الخامس2، 0). هكذا، ش + الخامس هو عنصر من دبليو، جدا.
  2. معطى ش في دبليو وعددي ج في ر، إذا ش = (ش1, ش2، 0) مرة أخرى ، إذن جش = (cu1, cu2, ج0) = (cu1, cu2، 0). هكذا، جش هو عنصر من دبليو جدا.

المثال الثاني تحرير

دع المجال يكون ر مرة أخرى ، ولكن الآن دع الفضاء المتجه الخامس تكون الطائرة الديكارتية ر 2. يأخذ دبليو لتكون مجموعة النقاط (x, ذ) من ر 2 من هذا القبيل x = ذ. ثم دبليو هو فضاء فرعي من ر 2 .

  1. يترك ص = (ص1, ص2) و ف = (ف1, ف2) تكون عناصر من دبليو، وهذا هو ، نقاط في الطائرة من هذا القبيل ص1 = ص2 و ف1 = ف2. ثم ص + ف = (ص1+ف1, ص2+ف2) حيث ص1 = ص2 و ف1 = ف2، ومن بعد ص1 + ف1 = ص2 + ف2، وبالتالي ص + ف هو عنصر من دبليو.
  2. يترك ص = (ص1, ص2) تكون عنصرًا في دبليو، وهذا هو ، نقطة في الطائرة من هذا القبيل ص1 = ص2، والسماح ج يكون عددًا في ر. ثم جص = (cp1, cp2) حيث ص1 = ص2، ومن بعد cp1 = cp2، وبالتالي جص هو عنصر من دبليو.

بشكل عام ، أي مجموعة فرعية من مساحة الإحداثيات الحقيقية ر ن التي يتم تحديدها من خلال نظام المعادلات الخطية المتجانسة سوف ينتج عنها فضاء فرعي. (المعادلة في المثال أنا كنت ض = 0 ، وكانت المعادلة في المثال الثاني x = ذ.) هندسيًا ، هذه المسافات الفرعية هي نقاط وخطوط ومستويات ومسافات تمر عبر النقطة 0.

المثال الثالث تحرير

مرة أخرى تأخذ المجال ليكون ر، ولكن الآن دع مساحة المتجه الخامس كن المجموعة ر ر من جميع الوظائف من ر ل ر. دع C (ر) تكون مجموعة فرعية تتكون من وظائف مستمرة. ثم ج (ر) هي مساحة فرعية لـ ر ر .

  1. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن 0 درجة مئوية (ر) ⊂ رر .
  2. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن مجموع الدوال المستمرة مستمر.
  3. مرة أخرى ، نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن حاصل ضرب دالة متصلة ورقم مستمر.

المثال الرابع تحرير

احتفظ بنفس المجال ومساحة المتجه كما كان من قبل ، ولكن ضع في اعتبارك الآن مجموعة Diff (ر) لجميع الوظائف القابلة للتفاضل. يُظهر نفس نوع الحجة كما كان من قبل أن هذه مساحة فرعية أيضًا.

الأمثلة التي توسع هذه الموضوعات شائعة في التحليل الوظيفي.

من تعريف الفراغات المتجهة ، يترتب على ذلك أن المسافات الفرعية غير فارغة ، ومغلقة تحت المجاميع وتحت المضاعفات العددية. [8] على قدم المساواة ، يمكن تمييز الفراغات الفرعية بخاصية إغلاقها تحت مجموعات خطية. هذا هو ، مجموعة غير فارغة دبليو هي فضاء فرعي إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة خطية تتكون من عدد محدود من عناصر دبليو ينتمي أيضا إلى دبليو. ينص التعريف المكافئ على أنه يكافئ أيضًا النظر في مجموعات خطية من عنصرين في وقت واحد.

في فضاء متجه طوبولوجي X، فضاء فرعي دبليو لا يلزم إغلاقها طوبولوجيًا ، ولكن دائمًا ما تكون المساحة الجزئية ذات الأبعاد المحدودة مغلقة. [9] وينطبق الشيء نفسه على المساحات الفرعية للترميز المحدود (على سبيل المثال ، المساحات الجزئية التي يحددها عدد محدود من الوظائف الخطية المستمرة).

تتضمن أوصاف الفراغات الفرعية مجموعة الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، والمجموعة الفرعية من الفضاء الإقليدي الموصوف بواسطة نظام المعادلات البارامترية الخطية المتجانسة ، وامتداد مجموعة من المتجهات ، والمسافة الخالية ، ومساحة العمود ، ومساحة الصف مصفوفة. هندسيًا (خاصة فوق مجال الأعداد الحقيقية وحقولها الفرعية) ، الفضاء الجزئي هو مسطح في ن- الفضاء الذي يمر عبر الأصل.

الوصف الطبيعي للفضاء الجزئي 1 هو الضرب القياسي لمتجه واحد غير صفري الخامس لجميع القيم العددية الممكنة. 1-المساحات الفرعية المحددة بواسطة متجهين متساوية إذا وفقط إذا كان بالإمكان الحصول على متجه واحد من متجه آخر باستخدام الضرب القياسي:

يتم تعميم هذه الفكرة للأبعاد الأعلى ذات الامتداد الخطي ، ولكن معايير المساواة ك-مسافات محددة بمجموعات من ك النواقل ليست بهذه البساطة.

يتم توفير وصف مزدوج مع وظائف خطية (عادة ما يتم تنفيذها كمعادلات خطية). وظيفية خطية واحدة غير صفرية F يحدد فضاء النواة الفرعي الخاص به F = 0 من codimension 1. مسافات فرعية من codimension 1 محددة بواسطة وظيفتين خطيتين متساويتان ، إذا وفقط إذا كان يمكن الحصول على وظيفة واحدة من أخرى مع الضرب القياسي (في الفراغ المزدوج):

إنه معمم للأبعاد الأعلى مع نظام المعادلات. سيقدم القسمان الفرعيان التاليان هذا الوصف الأخير بالتفصيل ، بينما تصف الأقسام الفرعية الأربعة المتبقية فكرة الامتداد الخطي.

نظم المعادلات الخطية تحرير

يتم تعيين الحل لأي نظام متجانس من المعادلات الخطية مع ن المتغيرات هي فضاء فرعي في مساحة الإحداثيات ك ن :

على سبيل المثال ، مجموعة جميع النواقل (x, ذ, ض) (على الأعداد الحقيقية أو المنطقية) تلبية المعادلات

هو فضاء فرعي أحادي البعد. بشكل عام ، وهذا يعني أنه نظرا لمجموعة من ن وظائف مستقلة ، أبعاد الفضاء الجزئي في ك ك سيكون بُعد المجموعة الفارغة من أ، المصفوفة المركبة لـ ن المهام.

مساحة خالية في المصفوفة تحرير

في الفضاء ذي الأبعاد المحدودة ، يمكن كتابة نظام متجانس من المعادلات الخطية كمعادلة مصفوفة واحدة:

تُعرف مجموعة حلول هذه المعادلة بالفراغ الفارغ للمصفوفة. على سبيل المثال ، الفضاء الجزئي الموصوف أعلاه هو الفضاء الفارغ للمصفوفة

كل فضاء فرعي من ك ن يمكن وصفه بالفراغ الفارغ لبعض المصفوفات (انظر الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

تحرير المعادلات البارامترية الخطية

المجموعة الفرعية من ك ن وصفها نظام المعادلات البارامترية الخطية المتجانسة هي فضاء فرعي:

على سبيل المثال ، مجموعة جميع النواقل (x, ذ, ض) معلمات بواسطة المعادلات

هو فضاء فرعي ثنائي الأبعاد لـ ك 3 ، إذا ك هو حقل رقمي (مثل الأرقام الحقيقية أو المنطقية). [ملاحظة 2]

مدى النواقل تحرير

في الجبر الخطي ، يمكن كتابة نظام المعادلات البارامترية كمعادلة متجهية واحدة:

يُطلق على التعبير الموجود على اليمين مجموعة خطية من المتجهات (2 ، 5 ، −1) و (3 ، −4 ، 2). ويقال أن هذين المتجهين امتداد الفضاء الجزئي الناتج.

بشكل عام ، أ تركيبة خطية من النواقل الخامس1, الخامس2, . , الخامسك هو أي متجه للنموذج

تسمى مجموعة كل التركيبات الخطية الممكنة بامتداد امتداد:

إذا كانت النواقل الخامس1, . , الخامسك لديك ن المكونات ، فإن امتدادها هو فضاء فرعي لـ ك ن . هندسيًا ، الامتداد هو المسطح من خلال الأصل في ن- مساحة الأبعاد التي تحددها النقاط الخامس1, . , الخامسك.

مساحة العمود ومساحة الصف تحرير

يمكن أيضًا كتابة نظام المعادلات البارامترية الخطية في فضاء ذي أبعاد محدودة كمعادلة مصفوفة واحدة:

في هذه الحالة ، تتكون المساحة الجزئية من جميع القيم الممكنة للمتجه x. في الجبر الخطي ، تُعرف هذه المساحة الجزئية بمساحة العمود (أو الصورة) للمصفوفة أ. إنه بالضبط الفضاء الجزئي لـ ك ن امتدت بواسطة نواقل العمود من أ.

مساحة صف المصفوفة هي الفضاء الجزئي الممتد بواسطة متجهات الصف. مساحة الصف مثيرة للاهتمام لأنها مكمل متعامد للمساحة الفارغة (انظر أدناه).

تحرير الاستقلال والأساس والبعد

بشكل عام ، هناك مساحة فرعية لـ ك ن حدد بواسطة ك المعلمات (أو امتدت بواسطة ك ناقلات) لها أبعاد ك. ومع ذلك، هناك استثناءات لهذه القاعدة. على سبيل المثال ، الفضاء الفرعي لـ ك 3 ممتدة من خلال المتجهات الثلاثة (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 1) ، و (2 ، 0 ، 3) هي فقط xz- الطائرة ، مع وصف كل نقطة على المستوى بعدد لا نهائي من القيم المختلفة لـ ر1, ر2, ر3 .

بشكل عام ، النواقل الخامس1, . , الخامسك وتسمى مستقل خطيا إذا

ل (ر1, ر2, . , رك) ≠ (ش1, ش2, . , شك). [ملاحظة 3] إذا الخامس1, . الخامسك مستقلة خطيًا ، ثم إحداثيات ر1, . رك لمتجه في الامتداد بشكل فريد.

أ أساس لمساحة فرعية س هي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا والتي يكون امتدادها س. عدد العناصر في الأساس يساوي دائمًا البعد الهندسي للفضاء الجزئي. يمكن تغيير أي مجموعة ممتدة لمساحة فرعية إلى أساس عن طريق إزالة المتجهات الزائدة (انظر § الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

تعديل التضمين

تحدد العلاقة الثنائية للتضمين النظري للمجموعة ترتيبًا جزئيًا على مجموعة جميع المسافات الفرعية (من أي بُعد).

لا يمكن أن تقع مساحة جزئية في أي فضاء جزئي ذي بُعد أقل. إذا قاتمة يو = ك، وعدد محدود ، و يودبليو، ثم خافت دبليو = ك إذا وفقط إذا يو = دبليو.

تحرير التقاطع

معطى مساحات فرعية يو و دبليو من مساحة متجه الخامس، ثم تقاطعهم يودبليو := <الخامسالخامس : الخامس هو عنصر من كليهما يو و دبليو> هي أيضًا مساحة فرعية لـ الخامس. [10]

  1. يترك الخامس و ث تكون عناصر يودبليو. ثم الخامس و ث تنتمي إلى كليهما يو و دبليو. لأن يو هو فضاء فرعي ، إذن الخامس + ث ينتمي إلى يو. وبالمثل ، منذ ذلك الحين دبليو هو فضاء فرعي ، إذن الخامس + ث ينتمي إلى دبليو. هكذا، الخامس + ث ينتمي إلى يودبليو.
  2. يترك الخامس تنتمي إلى يودبليو، والسماح ج كن عدديًا. ثم الخامس ينتمي إلى كليهما يو و دبليو. حيث يو و دبليو هي فضاءات فرعية ، جالخامس ينتمي إلى كليهما يو و دبليو.
  3. حيث يو و دبليو هي مسافات متجهة ، إذن 0 ينتمي إلى كلتا المجموعتين. هكذا، 0 ينتمي إلى يودبليو.

لكل فضاء متجه الخامس، المجموعة <0> و الخامس هي نفسها مساحات فرعية من الخامس. [11] [12]

تحرير المجموع

إذا يو و دبليو هي فضاءات فرعية ، هم مجموع هو الفضاء الجزئي

على سبيل المثال ، مجموع سطرين هو المستوى الذي يحتوي على كليهما. أبعاد المجموع ترضي عدم المساواة

max (dim ⁡ U، dim ⁡ W) dim ⁡ (U + W) dim ⁡ (U) + dim ⁡ (W).

هنا ، يحدث الحد الأدنى فقط إذا تم احتواء مساحة فرعية واحدة في الأخرى ، بينما الحد الأقصى هو الحالة الأكثر عمومية. يرتبط أبعاد التقاطع والمجموع بالمعادلة التالية:

مجموعة من المسافات الفرعية هي مستقل عندما يكون التقاطع الوحيد بين أي زوج من المسافات الفرعية هو الفضاء الجزئي البسيط. ال مبلغ مباشر هو مجموع المسافات الفرعية المستقلة ، مكتوبة كـ U ⊕ W . إعادة الصياغة المكافئة هي أن المجموع المباشر هو مجموع مساحة فرعية بشرط أن تساهم كل مساحة فرعية في امتداد المجموع. [16] [17] [18] [19]

تحرير شعرية المساحات الفرعية

تقاطع العمليات ومجموعها يجعلان مجموعة جميع المساحات الفرعية عبارة عن شبكة معيارية محدودة ، حيث يكون الفضاء الجزئي <0> ، أقل عنصر ، عنصرًا متطابقًا لعملية الجمع ، والفضاء الجزئي المتطابق الخامس، العنصر الأعظم ، هو عنصر محايد لعملية التقاطع.

متعامد يكمل تحرير

هذه العملية ، التي تُفهم على أنها نفي (¬ < displaystyle neg>) ، تجعل شبكة الفراغات الفرعية أ (ربما لانهائية) شعرية متعامدة (على الرغم من أنها ليست شبكة توزيعية). [ بحاجة لمصدر ]

في المساحات ذات الأشكال ثنائية الخطوط الأخرى ، لا تزال بعض هذه النتائج ، وليس كلها ، قائمة. في المساحات الإقليدية الزائفة والمساحات المتجهية العفوية ، على سبيل المثال ، توجد مكملات متعامدة. ومع ذلك ، قد تحتوي هذه المسافات على متجهات فارغة متعامدة مع نفسها ، وبالتالي توجد مساحات فرعية N مثل N such N ⊥ ≠ <0> neq <0 >>. نتيجة لذلك ، لا تحول هذه العملية شبكة المسافات الفرعية إلى جبر منطقي (ولا جبر Heyting). [ بحاجة لمصدر ]

تتضمن معظم الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الفراغات الفرعية تقليل الصفوف. هذه هي عملية تطبيق عمليات الصف الأولية على مصفوفة ، حتى تصل إما إلى شكل مستوى الصف أو شكل مستوى الصف المختزل. تخفيض الصف له الخصائص الهامة التالية:

  1. تحتوي المصفوفة المصغرة على نفس المساحة الخالية مثل الأصل.
  2. لا يغير تقليل الصف من امتداد متجهات الصف ، أي أن المصفوفة المختزلة لها نفس مساحة الصف مثل الأصل.
  3. لا يؤثر تقليل الصف على الاعتماد الخطي لمتجهات العمود.

أساس مساحة الصف تحرير

  1. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف الصف.
  2. تعد الصفوف غير الصفرية في نموذج المستوى أساسًا لمساحة الصف لـ أ.

راجع المقالة على مساحة الصف للحصول على مثال.

إذا وضعنا المصفوفة بدلاً من ذلك أ إلى شكل مستوى صف مختزل ، ثم يتم تحديد الأساس الناتج لمساحة الصف بشكل فريد. يوفر هذا خوارزمية للتحقق مما إذا كانت مسافات الصفوف متساوية ، وبالتالي ، ما إذا كانت مساحتان فرعيتان من ك ن متساوية.

تحرير عضوية المساحة الفرعية

  1. إنشاء (ك + 1) × ن مصفوفة أ الذين صفوفهم هي النواقل ب1, . , بك و الخامس.
  2. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف الصف.
  3. إذا كان شكل المستوى يحتوي على صف من الأصفار ، فإن المتجهات <ب1, . بك, الخامس> تعتمد خطيًا ، وبالتالي الخامسس .

أساس مساحة العمود تحرير

  1. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف الصف.
  2. حدد أعمدة نموذج المستوى التي لها محاور. الأعمدة المقابلة للمصفوفة الأصلية هي أساس مساحة العمود.

راجع المقالة الخاصة بمساحة العمود للحصول على مثال.

ينتج عن هذا أساسًا لمساحة العمود وهي مجموعة فرعية من متجهات العمود الأصلية. إنه يعمل لأن الأعمدة ذات المحاور هي أساس لمساحة العمود في نموذج المستوى ، ولا يؤدي تقليل الصف إلى تغيير علاقات التبعية الخطية بين الأعمدة.

إحداثيات لتحرير المتجه

  1. قم بإنشاء مصفوفة مكثفةأ أعمدتها ب1. بك ، مع العمود الأخير الخامس.
  2. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف صف مختزل.
  3. عبر عن العمود الأخير من نموذج المستوى المختزل كمزيج خطي من الأول ك الأعمدة. المعاملات المستخدمة هي الأرقام المرغوبة ر1, ر2, . رك . (يجب أن تكون هذه هي الأولى على وجه التحديد ك إدخالات في العمود الأخير من نموذج المستوى المختزل.)

إذا كان العمود الأخير من نموذج مستوى الصف المختزل يحتوي على محور ، فإن متجه الإدخال الخامس لا تكذب فيه س.


هذه الفراغات الأساسية الأربعة لها العديد من تطبيقات الجبر الخطي. يتضمن البحث عن مرتبة المصفوفة وتحليلها. نظرية مهمة ، تسمى نظرية البعد الرتبة - Nullity هي واحدة من نتائج الفراغات الأساسية الأربعة. أيضًا ، يتم تطبيقها في النظرية الأساسية للجبر الخطي. يمكنك الرجوع إلى قسم القراءة الإضافية النقطة 3. يخبر البروفيسور جيلبرت سترانج عن الرسوم البيانية والشبكات ومصفوفات الوقوع وكيف أن المسافات الفرعية الأساسية الأربعة
يمكن استخدامها هنا.

  1. حاول إثبات أن الفراغات الأساسية الأربعة هي مسافات متجهة.
  2. ارجع إلى طريقة إيجاد أساس مساحة الصف. فكر في سبب نجاح هذه الطريقة.
  3. إذا علمنا أن مساحة الصف والمساحة الفارغة هي مكملات متعامدة ، فحاول التوصل إلى دليل على أن مساحة العمود والمساحة الفارغة المتبقية هي مكملات متعامدة

تخيل إسقاطًا ، على سبيل المثال ، من $ mathbb بأكمله^ 3 $ إلى المستوى $ x $ - $ y $ المستوى. هو - هي ضغط كل سطر يوازي المحور $ z $ إلى نقطة على المستوى. إذن ، هناك علاقة رأس برأس بين الخطوط والنقاط. لاحظ أن السطور هي ترجمات المحور $ z $ - وهذا أيضًا ما هو حاصل القسمة يعني. والمحور $ z $ هو مجرد نواة الإسقاط ، لذا يمكننا أن نرى اسم $ operatorname أ simeq V / ker A $.

بالنسبة للبعد ، فإن بُعد $ ker A $ يقيس كم نحن ضغط، بينما أبعاد $ operatorname يقيس الدولار الأمريكي المقدار الذي نتركه - المبلغ الذي نضغطه ، بالإضافة إلى المبلغ الذي نتركه ، يساوي كل شيء بشكل بديهي.

النظرية أساسية لأنها تستند إلى فكرتين أساسيتين لحل المتجه $ x $ في معادلة جبرية خطية متجانسة $ Ax = 0 $.

تتكون النظرية الأساسية للجبر الخطي (FTLA) من جزأين ، ينشأ كل منهما من أفكار بسيطة في الجبر الجامعي ، وخاصة موضوع المعادلات الجبرية الخطية في حالة العديد من الحلول اللانهائية.

مثال سريع على نظام جبري خطي متجانس 3 مرات $ 3 في شكل عددي:

يحتوي النظام على عدد لا نهائي من الحلول ، معبرًا عنها من حيث المتغير الرئيسي $ x $ والمتغيرات المجانية $ y ، z $. الحل القياسي العام هو

حيث $ t، s $ هي رموز مخترعة للمتغيرات الحرة.

الفكرة 1: في المعادلة $ Ax = 0 $ ، العدد $ n $ للمكونات في المتجه $ x $ يساوي عدد متغير الرصاص بالإضافة إلى عدد المتغيرات الحرة.

الفكرة 2: أي حل $ x $ لـ $ Ax = 0 $ يكون عموديًا على كل صف من $ A $.

تسمى الفكرة 1 نظرية الرتبة الصفرية ، وهي جزء 1 من FTLA. الرتبة هي عدد المتغيرات الرئيسية والباطل هو عدد المتغيرات الحرة.

الفكرة 2 هي الجزء 2 من FTLA ، ويتم تقديمها في الكتب المدرسية كنتيجة أعمق باستخدام تدوين النواة والصورة والمكمل المتعامد. الجزء 2 من FTLA معتم. لكن الفكرة 2 ليست غامضة بحد ذاتها: فهي مرئية من تعريف متجه مرات المصفوفة (معنى $ Ax $). باختصار ، يمكنك اشتقاق النتيجة في Idea 2 بالنظر إلى المعادلة $ Ax = 0 $ ، تقريبًا لا توجد خلفية مطلوبة.

عندما تكون مستعدًا للانتقال إلى النتائج المجردة ، فكر في قراءة تفسيرات جيلبرت سترانج. هنا روابط ،

لنفترض أن $ V $ و $ W $ مسافات منتهية ذات أبعاد داخلية تزيد عن $ F $ (حيث $ F $ هو $ mathbb R $ أو $ mathbb C $). دع $ T: V to W $ يكون تحويلًا خطيًا.

هناك أربع مساحات فرعية مرتبطة بشكل طبيعي بـ $ T $: $ N (T) و R (T) و N (T ^ *) $ و $ R (T ^ *) $. (هنا $ T ^ * $ هو المساعد لـ $ T $. لذا $ langle T (x) ، y rangle = langle x ، T ^ * (y) rangle $ لكل $ x في V ، y in W $.)

ما يسميه سترانج النظرية الأساسية للجبر الخطي هو حقيقة أن تبدأ V = N (T) perp R (T ^ *) end و تبدأ W = N (T ^ *) perp R (T). نهاية

من السهل إثبات هذه النظرية: ابدأ & amp x in N (T) iff & amp T (x) = 0 iff & amp langle T (x) ، y rangle = 0 forall y in W iff & amp langle x ، T ^ * (y) rangle = 0 forall y in W iff & amp x in R (T ^ *) ^ < perp>. نهاية يوضح هذا أن $ N (T) $ هو المكمل المتعامد لـ $ R (T ^ *) $. وبالمثل ، $ N (T ^ *) $ هو المكمل المتعامد لـ $ R (T) $.

من الطبيعي البحث عن قواعد لهذه المساحات الفرعية الأربعة ، وربما تكون القواعد "الأكثر طبيعية" أو الأجمل هي تلك التي تنشأ في SVD بقيمة $ T $.

تحرير: من المثير للاهتمام ، كما أشارWillieWong ، أنه يمكن صياغة نظرية مماثلة في إعداد أكثر عمومية ، دون استخدام مساحات المنتج الداخلية.

دع $ V $ و $ W $ مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة فوق حقل $ F $ ودع $ T: V to W $. هناك أربع مساحات فرعية مرتبطة بشكل طبيعي بـ $ T $: $ N (T) و R (T) و N (T ^ *) $ و $ R (T ^ *) $. (الآن $ T ^ * $ هو التحويل المزدوج $ T ^ *: W ^ * إلى V ^ * $.)

قد لا يكون لدينا منتج داخلي للعمل معه ، ولكن لا يزال بإمكاننا الكتابة البدء langle T ^ * (w ^ *) ، v rangle = langle w ^ * ، T (v) rangle end إذا استخدمنا التدوين start langle x ^ *، y rangle: = x ^ * (y) end مقابل $ x ^ * in V ^ *، y in V $.

علاوة على ذلك ، قد لا يحتوي $ N (T) $ على مكمل متعامد ، ولكنه يحتوي على أداة إبادة ، وهو الشيء المماثل في بيئة أكثر عمومية. ولدينا أن $ R (T ^ *) $ هو مبيد $ N (T) $ ، وكذلك أن $ N (T ^ *) $ هو مبيد $ R (T) $. هذا هو شكل أكثر عمومية من "نظرية الأساسية" ل Strang.

لاحظ أنه بالنسبة لأي فضاء فرعي $ U $ من $ V $ ، فقد بدأنا نص ، U + نص ، U ^ < perp> = text ، الخامس النهاية حيث $ U ^ < perp> $ هو مبيد $ U $. على وجه الخصوص ، ابدأ نص ، N (T) + text ، R (T ^ *) = text ، V. النهاية لكننا نعلم أيضًا أن ابدأ نص ، N (T) + text ، R (T) = نص ، V. النهاية هذا يدل على أن تبدأ نص ، R (T) = نص ، ص (T ^ *). نهاية

تظهر هذه النظريات والبراهين السهلة والأساسية في الفصل الثاني من كتاب لاكس الجبر الخطي وتطبيقاته. (انظر النظريات 5 و 5 و 6.)


محتويات

نواة L هي فضاء فرعي خطي للمجال V. [4] [3] في الخريطة الخطية إل : الخامسدبليو ، فإن عنصرين من V لهما نفس الصورة في W إذا وفقط إذا كان الاختلاف بينهما يكمن في نواة L:

من هذا ، يترتب على ذلك أن صورة L متشابهة مع حاصل قسمة V بواسطة النواة:

في الحالة التي يكون فيها V ذات بُعد محدود ، فإن هذا يشير إلى نظرية الرتبة - الصفرية:

بواسطة رتبة نعني أبعاد صورة L ، وبواسطة بطلان أن نواة L. [5]

عندما يكون V مساحة داخلية للمنتج ، فإن الحاصل الخامس / كير (إل) مع المكمل المتعامد في V of ker (إل). هذا هو التعميم على المشغلين الخطيين لمساحة الصف ، أو coimage ، لمصفوفة.

مفهوم النواة أيضًا منطقي بالنسبة لتماثل الأشكال للوحدات النمطية ، وهي تعميمات للمساحات المتجهة حيث تكون السلالم عناصر من حلقة ، بدلاً من حقل. مجال التعيين هو وحدة نمطية ، حيث تشكل النواة وحدة فرعية. هنا ، لا تنطبق بالضرورة مفاهيم المرتبة والبطلان.

إذا الخامس و دبليو هي مساحات ناقلات طوبولوجية من هذا القبيل دبليو ذات أبعاد محدودة ، ثم عامل تشغيل خطي إل: الخامسدبليو مستمر فقط إذا وفقط إذا كانت نواة إل هي مساحة فرعية مغلقة من الخامس.

معادلة المصفوفة تعادل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية:

هكذا نواة أ هو نفس الحل الذي تم تعيينه للمعادلات المتجانسة أعلاه.

تحرير خصائص المساحة الفرعية

نواة ملف م × ن مصفوفة أ فوق حقل ك هي مساحة جزئية خطية من ك ن . وهذا هو ، نواة أ، المجموعة Null (أ) ، له الخصائص الثلاث التالية:

  1. باطل(أ) يحتوي دائمًا على المتجه الصفري ، منذ ذلك الحين أ0 = 0 .
  2. إذا x ∈ لاغية (أ) و ذ ∈ لاغية (أ) ، ومن بعد x + ذ ∈ لاغية (أ). هذا ناتج عن توزيع ضرب المصفوفة على الجمع.
  3. إذا x ∈ لاغية (أ) و ج هو عدديجك ، ومن بعد جx ∈ لاغية (أ) ، حيث أ(جx) = ج(أx) = ج0 = 0 .

مساحة صف المصفوفة تحرير

المنتج أx يمكن كتابتها من حيث المنتج النقطي للمتجهات على النحو التالي:

هنا، أ1, . , أم تشير إلى صفوف المصفوفة أ. إنه يتبع هذا x موجود في نواة أ، إذا وفقط إذا x متعامد (أو عمودي) على كل من نواقل الصف أ (حيث يتم تعريف التعامد على أنه حاصل الضرب النقطي للصفر).

مساحة الصف ، أو الصورة النمطية ، لمصفوفة أ هو امتداد نواقل الصف أ. من خلال المنطق أعلاه ، نواة أ هو المكمل المتعامد لمساحة الصف. هذا هو ، ناقل x تقع في نواة أ، فقط إذا كان متعامدًا مع كل متجه في مساحة الصف الخاصة بـ أ.

أبعاد مساحة الصف من أ يسمى رتبة أ، وبُعد نواة أ يسمى بطلان من أ. ترتبط هذه الكميات بنظرية الرتبة-العدم [5]

ترك مساحة فارغة تحرير

ال ترك مساحة فارغة، أو النواة ، لمصفوفة أ يتكون من جميع نواقل العمود x مثل ذلك x تي أ = 0 T حيث تشير T إلى تبديل مصفوفة. المسافة الفارغة اليسرى لـ أ هو نفس نواة أ تي. المسافة الفارغة اليسرى لـ أ هو المكمل المتعامد لمساحة العمود لـ أ، وهو مزدوج إلى نواة التحويل الخطي المرتبط. النواة ، ومساحة الصف ، ومساحة العمود ، والمسافة الفارغة اليسرى لـ أ هي أربع مساحات فرعية أساسية المرتبطة بالمصفوفة أ.

تعديل الأنظمة غير المتجانسة للمعادلات الخطية

تلعب النواة أيضًا دورًا في حل نظام غير متجانس من المعادلات الخطية:

إذا ش و الخامس هما حلين محتملين للمعادلة أعلاه ، إذن

وبالتالي ، فإن أي اختلاف بين حلين للمعادلة أx = ب تقع في نواة أ.

ويترتب على ذلك أي حل للمعادلة أx = ب يمكن التعبير عنها كمجموع حل ثابت الخامس وعنصر تعسفي للنواة. وهذا يعني أن الحل قد تم ضبطه على المعادلة أx = ب هو

هندسيًا ، هذا يقول أن الحل تم تعيينه لـ أx = ب هي ترجمة نواة أ بواسطة المتجه الخامس. انظر أيضا فريدهولم البديل والمسطحة (الهندسة).

فيما يلي توضيح بسيط لحساب نواة المصفوفة (انظر § الحساب عن طريق الحذف الغاوسي أدناه لمعرفة الطرق الأكثر ملاءمة للحسابات الأكثر تعقيدًا). يلامس الرسم التوضيحي أيضًا مساحة الصف وعلاقتها بالنواة.

تتكون نواة هذه المصفوفة من جميع النواقل (x, ذ, ض) ∈ ر 3 من أجل ذلك

والتي يمكن التعبير عنها كنظام متجانس من المعادلات الخطية التي تنطوي على x, ذ، و ض:

يمكن أيضًا كتابة المعادلات الخطية نفسها في شكل مصفوفة على النحو التالي:

من خلال حذف Gauss-Jordan ، يمكن اختزال المصفوفة إلى:

تؤدي إعادة كتابة المصفوفة في شكل معادلة إلى:

يمكن التعبير عن عناصر النواة بشكل أكبر في شكل حدودي ، على النحو التالي:

حيث ج هو متغير حر يتراوح بين جميع الأرقام الحقيقية ، ويمكن التعبير عن ذلك بشكل متساوٍ مثل:

نواة أ هو بالضبط الحل الذي تم تعيينه لهذه المعادلات (في هذه الحالة ، خط يمر من الأصل في ر 3). هنا ، نظرًا لأن المتجه (−1 ، −26،16) T يشكل أساسًا لنواة أ. بطلان أ هو 1.

المنتجات النقطية التالية هي صفر:

مما يوضح أن النواقل الموجودة في نواة أ متعامدة مع كل من نواقل الصف أ.

يمتد هذان متجهان الصفوف (المستقلان خطيًا) على مساحة الصف لـ أ—مستوى متعامد مع المتجه (−1، −26،16) T.

مع رتبة 2 من أ، البطلان 1 من أ، والبعد 3 من أ، لدينا توضيح لنظرية الرتبة الصفرية.

  • إذا إل: رمرن ، ثم نواة إل هي مجموعة الحل لنظام متجانس من المعادلات الخطية. كما في الرسم التوضيحي أعلاه ، إذا إل هو عامل التشغيل: L (x 1، x 2، x 3) = (2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3، - 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3) ، x_ <2>، x_ <3>) = (2x_ <1> + 3x_ <2> + 5x_ <3>، - 4x_ <1> + 2x_ <2> + 3x_ <3>)> ثم النواة من إل هي مجموعة حلول المعادلات 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 0 - 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 < displaystyle < begin<7> 2x_ <1> & amp + & amp3x_ <2> & amp + & amp5x_ <3> & amp = & amp0 - 4x_ <1> & amp + & amp2x_ <2> & amp + & amp3x_ <3 > & amp = & amp0 end>>
  • يترك ج[0،1] تشير إلى الفضاء المتجه لجميع الوظائف ذات القيمة الحقيقية المستمرة على الفترة [0،1] ، وتعرف إل: ج[0,1] → ر وفقًا للقاعدة L (f) = f (0.3). >> ثم نواة إل يتكون من جميع الوظائف Fج[0،1] من أجلها F(0.3) = 0.
  • يترك ج ∞ (ر) يكون فضاء متجه لجميع الوظائف القابلة للتفاضل اللانهائي رر، والسماح د: ج ∞ (ر) → ج ∞ (ر) يكون عامل التفاضل: D (f) = d f d x. > < text <. >>> ثم نواة د يتكون من جميع الوظائف في ج ∞ (ر) التي تكون مشتقاتها صفرًا ، أي مجموعة جميع الوظائف الثابتة.
  • يترك ر ∞ يكون نتاجًا مباشرًا لعدد لا نهائي من نسخ ر، والسماح س: ر ∞ → ر ∞ يكون عامل التحول s (x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ، ...) = (x 2 ، x 3 ، x 4 ، ...). ، x_ <2>، x_ <3>، x_ <4>، ldots) = (x_ <2>، x_ <3>، x_ <4>، ldots) < نص <. >>> ثم نواة س هو الفضاء الجزئي أحادي البعد يتكون من جميع النواقل (x1, 0, 0, …).
  • إذا الخامس هي مساحة داخلية للمنتج و دبليو هو فضاء جزئي ، نواة الإسقاط المتعامدالخامسدبليو هو المكمل المتعامد ل دبليو في الخامس.

يمكن حساب أساس نواة المصفوفة عن طريق إزالة Gaussian.

In fact, the computation may be stopped as soon as the upper matrix is in column echelon form: the remainder of the computation consists in changing the basis of the vector space generated by the columns whose upper part is zero.

Putting the upper part in column echelon form by column operations on the whole matrix gives

The last three columns of ب are zero columns. Therefore, the three last vectors of ج,

are a basis of the kernel of أ.

The problem of computing the kernel on a computer depends on the nature of the coefficients.

Exact coefficients Edit

If the coefficients of the matrix are exactly given numbers, the column echelon form of the matrix may be computed by Bareiss algorithm more efficiently than with Gaussian elimination. It is even more efficient to use modular arithmetic and Chinese remainder theorem, which reduces the problem to several similar ones over finite fields (this avoids the overhead induced by the non-linearity of the computational complexity of integer multiplication). [ citation needed ]

For coefficients in a finite field, Gaussian elimination works well, but for the large matrices that occur in cryptography and Gröbner basis computation, better algorithms are known, which have roughly the same computational complexity, but are faster and behave better with modern computer hardware. [ citation needed ]

Floating point computation Edit

For matrices whose entries are floating-point numbers, the problem of computing the kernel makes sense only for matrices such that the number of rows is equal to their rank: because of the rounding errors, a floating-point matrix has almost always a full rank, even when it is an approximation of a matrix of a much smaller rank. Even for a full-rank matrix, it is possible to compute its kernel only if it is well conditioned, i.e. it has a low condition number. [6] [ citation needed ]

Even for a well conditioned full rank matrix, Gaussian elimination does not behave correctly: it introduces rounding errors that are too large for getting a significant result. As the computation of the kernel of a matrix is a special instance of solving a homogeneous system of linear equations, the kernel may be computed by any of the various algorithms designed to solve homogeneous systems. A state of the art software for this purpose is the Lapack library. [ citation needed ]


شاهد الفيديو: رياضيات - ايجاد المساحة السطحية للاشكال -الاسطوانة 10 (ديسمبر 2021).