مقالات

1: نظم المعادلات الخطية - الرياضيات


1: نظم المعادلات الخطية - الرياضيات

القسم الفرعي 1.1.1 خط ، طائرة ، مسافة ، إلخ ¶ الرابط الثابت

للدلالة على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، أي خط الأعداد. هذا يحتوي على أرقام مثل

تعريف

يكون عددًا صحيحًا موجبًا. نحدد

- مضاعفة الأعداد الحقيقية تسمى أ هدف من

هي مجرد مجموعة من كل قوائم (مرتبة) من

أرقام حقيقية. سنقوم برسم صور

في لحظة ، ولكن ضع في اعتبارك ذلك هذا هو التعريف. فمثلا،

مثال (خط الأعداد)

هندسيًا ، هذا هو خط الأعداد.

مثال (الطائرة الإقليدية)

-طائرة. يمكننا القيام بذلك لأن كل نقطة على المستوى يمكن تمثيلها بزوج مرتب من الأعداد الحقيقية ، أي رقمها

مثال (3 مسافات)

مثل الفراغ (يبدو أننا) نعيش فيه. يمكننا القيام بذلك لأن كل نقطة في الفضاء يمكن تمثيلها بثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية ، وهي

تفاعلي: نقاط في 3 مسافات

يصعب تصورها ، لذا عليك العودة إلى التعريف:

هي مجموعة الكل مرتبة

إنها لا تزال مساحات "هندسية" ، بمعنى أن حدسنا لها

سنضع تعريفات ونذكر نظريات تنطبق على أي منها

لكننا سنرسم فقط صورًا لـ

قوة استخدام هذه المساحات هي القدرة على ضع الكلمة المناسبة كائنات مختلفة مثيرة للاهتمام ، مثل الأشياء الهندسية وحلول أنظمة المعادلات ، من خلال نقاط

مثال (مساحة اللون)
مثال (تدفق حركة المرور)
مثال (رموز QR)

في الأمثلة أعلاه ، كان من المفيد من منظور نفسي استبدال قائمة من أربعة أرقام (تمثل تدفق حركة المرور) أو 841 رقمًا (تمثل رمز الاستجابة السريعة) بقطعة واحدة من البيانات: نقطة في بعض

هذا مفهوم قوي بدءًا من القسم 2.2 ، وسنقوم بشكل حصري تقريبًا بتسجيل حلول أنظمة المعادلات الخطية بهذه الطريقة.


طريقة الحذف لحل الأنظمة الخطية

هناك طريقة أخرى لحل نظام خطي وهي استخدام طريقة الحذف. في طريقة الحذف ، إما أن تضيف أو تطرح المعادلات للحصول على معادلة في متغير واحد.

عندما تكون معاملات أحد المتغيرات متناقضة ، فأنت تضيف المعادلات لإزالة المتغير وعندما تتساوى معاملات متغير واحد ، يمكنك طرح المعادلات للتخلص من المتغير.

يمكننا حذف المتغير x عن طريق جمع المعادلتين.

يمكن الآن التعويض بقيمة y في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة x

حل النظام الخطي هو (0، 2).

لتجنب الأخطاء ، تأكد من أن جميع المصطلحات المتشابهة وعلامات المساواة موجودة في نفس الأعمدة قبل البدء في الإزالة.

إذا لم يكن لديك معادلات حيث يمكنك استبعاد متغير عن طريق الجمع أو الطرح ، يمكنك البدء مباشرة بضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بثابت للحصول على نظام خطي مكافئ حيث يمكنك إزالة أحد المتغيرات عن طريق الجمع أو الطرح.

ابدأ بضرب المعادلة الأولى في -4 بحيث تكون معاملات y متناقضة

عوّض بـ x في أي من المعادلتين الأصليتين للحصول على قيمة y

حل النظام الخطي هو (2، 3)


1: نظم المعادلات الخطية - الرياضيات

2. نظم المعادلات الخطية

لا شك أنك واجهت معادلات خطية عدة مرات خلال مسيرتك المهنية كطلاب. على الأرجح ، كانت المعادلة الأولى التي كان عليك حلها خطية. ومع ذلك ، على الرغم من بساطتها ، فإن أنظمة المعادلات الخطية لها أهمية كبيرة في الرياضيات وتطبيقاتها في مجالات العلوم الفيزيائية والاقتصاد والهندسة وغيرها الكثير. أحد أغراض الجبر الخطي هو إجراء دراسة منهجية للمعادلات الخطية. في هذا المعمل ، سنستخدم MATLAB لحل أنظمة المعادلات الخطية. سوف نتعلم أيضًا عن تطبيق مفيد جدًا لأنظمة المعادلات الخطية في الاقتصاد وعلوم الكمبيوتر.

2.2.2 أنظمة المعادلات الخطية

لقد رأينا الآن كيف يمكن تحويل نظام المعادلات الخطية إلى معادلة مصفوفة ، مما يجعل حل النظام أسهل. على سبيل المثال ، النظام

يمكن كتابتها بالطريقة التالية:

الآن ، من خلال زيادة المصفوفة مع المتجه على اليمين واستخدام عمليات الصف ، يمكن حل هذه المعادلة يدويًا بسهولة. ومع ذلك ، إذا لم يكن لدى نظامنا إدخالات أعداد صحيحة جيدة ، فقد يصبح حل النظام يدويًا باستخدام تقليل الصف صعبًا للغاية. يوفر لنا MATLAB طريقة أسهل للحصول على إجابة.

نظام من هذا النوع له الشكل أx = ب، حتى نتمكن من إدخال هذه الأرقام في MATLAB باستخدام الأوامر التالية:

(لاحظ ذلك لمتجه العمود ب، نقوم بتضمين الفواصل المنقوطة بعد كل إدخال للتأكد من أن الإدخالات موجودة في صفوف مختلفة من الأمر

سوف ينتج متجه صف ، وهو ليس نفس الشيء.)

سيجد الحل (إن وجد) لمعادلتنا أx = ب. في هذه الحالة ، تخبرنا MATLAB

ملاحظة 2.1 الرجاء توخي الحذر عند إدخال الأمر "A b". إنه يحتوي على شرطة مائلة للخلف "" ، وليس شرطة مائلة للأمام "/".

ملاحظة 2.2 التناقض في الجزء (ج) من التمرين أعلاه يرجع ببساطة إلى خطأ التقريب. ستلاحظ أن الخطأ عبارة عن متجه مضروب في عدد صغير جدًا ، واحد بترتيب 10-15. لكن لماذا يوجد خطأ على الإطلاق؟ بعد كل شيء ، الحل عن طريق الاختزال الصفري أعطى أرقامًا جيدة جدًا ، أليس كذلك؟ يكمن السبب في طريقة تخزين MATLAB للأرقام. في هذا الحساب ، تمثل MATLAB الأرقام في "شكل الفاصلة العائمة" ، مما يعني أنها تمثلها في تدوين علمي بدقة 10 ^ (- 14). وهكذا عندما ترى 10 ^ (- 14) مطبوعة في العمليات الحسابية ، فإنها تكافئ الصفر.

ومع ذلك ، هناك عيب في حل أنظمة المعادلات باستخدام الأمر "x = C d". دعونا نستكشف ذلك أكثر.

تمرين 2.2 ضع في اعتبارك نظام المعادلات التالي:

كما فعلت في التمرين السابق ، أدخل المصفوفة المقابلة ج وناقل العمود دفي MATLAB. ثم اكتب

لاحظ الإخراج الغريب. قم بتضمينه في كتابتك. تفضل الآن وحل هذا النظام يدويًا. كم عدد المتغيرات الحرة التي تحتاجها لكتابة الحل؟ بناءً على إجابتك ، هل يمكنك توضيح سبب ظهور رسالة الخطأ عند محاولة استخدام الأمر "x = C d"؟

للتعامل مع حالة الأنظمة أو الأنظمة غير المتسقة مع العديد من الحلول اللانهائية ، قد يكون من الأفضل أحيانًا استخدام MATLAB لتقليل المصفوفة ببساطة ثم قراءة الحلول. لقد كنا محظوظين جدًا نظرًا لأن MATLAB لديها أمر يؤدي إلى إزالة Gaussian من أجلك.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس التالي:

أدخل المصفوفة المقابلة ج وناقل العمود دفي MATLAB. نريد الآن إجراء تخفيض الصف على المصفوفة المعززة [ج | د]. الأمر الذي ينفذ تصغير الصفوف في MATLAB يسمى "rref" (وهو يرمز إلى "شكل مستوى الصف المختزل"). ثم اكتب

1.0000 0 -3.5000 0
0 1.0000 12.0000 0
0 0 0 0

تذكر من الفصل أنه يمكننا بعد ذلك استخدام النموذج المصغر للصف للحصول على ذلك

x3 ها هو المتغير الحر ، ويمكن اختياره ليكون أي قيمة. بمجرد الاختيار ، تحدد المعادلتان أعلاه قيم x1 و x2. على سبيل المثال ، إذا اخترنا x3= 2 إذن x1= 7 و x2= 24. بهذه الطريقة يمكننا كتابة جميع الحلول (التي يوجد منها عدد لا نهائي) للنظام أعلاه.

(أ) ضع في اعتبارك نظام المعادلات المتجانس التالي:

2.3 تطبيق على الاقتصاد: نماذج Leontief

كان واسيلي ليونتيف (1906-1999) اقتصاديًا أمريكيًا روسي المولد ، كان يتمتع أيضًا بصيد سمك السلمون المرقط والباليه والنبيذ الفاخر ، إلى جانب تطوير النظريات الاقتصادية المتطورة للغاية. حصل على جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1973 عن عمله في ابتكار نماذج رياضية لوصف مختلف الظواهر الاقتصادية. في الجزء المتبقي من هذا المعمل ، سنلقي نظرة على حالة خاصة بسيطة جدًا لعمله تسمى نموذج التبادل المغلق. هنا هو الافتراض:

لنفترض أنه في أرض بعيدة في إيجنبازستان ، في بلدة ريفية صغيرة تسمى ماتريكسفيل ، عاش هناك مزارع وخياط ونجار وعامل مناجم فحم وسلاكر بوب. أنتج المزارع طعامًا للخياط ، وملابس للنجار ، وإيواء عامل منجم الفحم الذي زودته بالطاقة ، وصنع سلاكر بوب لغو 100 عالي الجودة ، وشرب نصفه بنفسه. دعونا نفترض الافتراضات التالية:

الجميع يشتري ويبيع من التجمع المركزي (أي لا يوجد عرض وطلب خارجي)

يتم استهلاك كل ما يتم إنتاجه

لهذه الأسباب يسمى هذا مغلق نموذج الصرف. بعد ذلك ، يجب أن نحدد الجزء الذي يستهلكه كل شخص في مدينتنا من كل سلعة. فيما يلي جدول يحتوي على هذه المعلومات:

طعام ملابس الإسكان طاقة جودة عالية 100 لغو برهان
مزارع 0.25 0.15 0.25 0.18 0.20
خياط 0.15 0.28 0.18 0.17 0.05
النجار 0.22 0.19 0.22 0.22 0.10
عامل منجم الفحم 0.20 0.15 0.20 0.28 0.15
المتهرب بوب 0.18 0.23 0.15 0.15 0.50

لذلك على سبيل المثال ، يستهلك النجار 22٪ من جميع المواد الغذائية ، و 19٪ من جميع الملابس ، و 22٪ من إجمالي المساكن ، و 22٪ من إجمالي الطاقة ، و 10٪ من إجمالي 100 ضوء القمر عالي الجودة.

تمرين 2.4 لاحظ أن جميع الأعمدة في هذا الجدول تضيف ما يصل إلى 1. اشرح سبب حدوث ذلك.

الآن دع صF, صتي, صج, صسم, صSBتشير إلى دخل المزارع ، والخياط ، والنجار ، وعامل مناجم الفحم ، والسلاكر بوب ، على التوالي. لاحظ أن كل من هذه الكميات لا تدل فقط على دخل كل مواطن من مواطنينا المحترمين ، بل تشير أيضًا إلى تكلفة السلع المقابلة. على سبيل المثال ، صFهو دخل المزارع بالإضافة إلى تكلفة جميع المواد الغذائية. لذلك إذا أنتج المزارع ما قيمته 100 دولار من الطعام ، فسيكون دخله أيضًا 100 دولار نظرًا لأن كل هذا الطعام يتم شراؤه وتذهب الأرباح إلى المزارع.

الفكرة هي ، بالطبع ، أن نكون قادرين على معرفة كيف يجب علينا تسعير البضائع حتى يتمكن مواطنو ماتريكسفيل من البقاء على قيد الحياة ، أي يجب أن نجد صF, صتي, صج, صسم، و صSB تخضع للشروط التالية:

0.25 صF + 0.15 صتي + 0.25 صج + 0.18 صسم + 0.20 صSB = صF
0.15 صF + 0.28 صتي + 0.18 صج + 0.17 صسم + 0.05 صSB = صتي
0.22 صF + 0.19 صتي + 0.22 صج + 0.22 صسم + 0.10 صSB = صج
0.20 صF + 0.15 صتي + 0.20 صج + 0.28 صسم + 0.15 صSB = صسم
0.18 صF + 0.23 صتي + 0.15 صج + 0.15 صسم + 0.50 صSB = صSB

تمرين 2.5 اشرح من أين جاء نظام المعادلات هذا وماذا يعني. (فكر فيما يعنيه الجانب الأيسر والجانب الأيمن من كل معادلة.)

دعونا نشير إلى متجه العمود (صF, صتي, صج, صسم ، صSB) T بواسطة ص، والسماح ج تكون مصفوفة المعامل للنظام أعلاه. يمكننا الآن إعادة كتابة هذا النظام كـ

جص = ص

جص - ص = جص - أناص = (ج - أنا)ص = 0

أين أنا هي المصفوفة 5x5 مع 1 على القطر و 0 في كل مكان آخر. خاصية المصفوفة أنا نحن نستخدم ذلك أناالخامس= الخامس لأي ناقل الخامس.

& gt & gt C = [0.25 0.15 0.25 0.18 0.20
0.15 0.28 0.18 0.17 0.05
0.22 0.19 0.22 0.22 0.10
0.20 0.15 0.20 0.28 0.15
0.18 0.23 0.15 0.15 0.50]

لاحظ أن الأمر "eye (n)" ينشئ مصفوفة n x n مع 1 على القطر و 0 في مكان آخر.


2.4 كيف يعمل بحث Google

بداية هذه القصة هي في الواقع نظرية لبيرون وفروبينيوس من أوائل القرن العشرين ، لكننا سنناقش هذا لاحقًا في حكايتنا. بدلاً من ذلك ، نبدأ بمشكلة كلمات لطيفة توضح النظرية ، والتي كانت مسلية لطلاب الجبر الخطي على الأقل منذ سبعينيات القرن العشرين. المشكلة هي: في مجموعة معينة من الناس ، من هو الأكثر شعبية؟

تتمثل إحدى الطرق الممكنة في مطالبة كل فرد في المجموعة بإدراج أصدقائه في تلك المجموعة. لنفترض أن هناك 4 أشخاص ، اسمه جين وتشارلي وماري وفريد ​​، نلقبهم بمودة J و C و M و F. قائمة الأصدقاء هي:

تسرد جين C و M.
تشارلي يسرد J و M و F.
تسرد ماري J و C و F.
يسرد فريد J و M.

(هذه التجربة خطيرة. يجب ألا تجربها في مسكنك.) بياناتنا بشكل طبيعي تصل إلى مصفوفة 4x4 من 0 و 1:

يميل بعض الأشخاص إلى سرد كل شخص قابلوه ، والبعض الآخر يسرد الأصدقاء المقربين فقط ، لذلك للتعويض عن ذلك ، نقوم بتطبيع المصفوفة بقسمة كل قائمة على عدد الأشخاص فيها:

يجب أن نسمي هذا مصفوفة ربط والدلالة عليه إل
الآن بعد أن قمنا بجمع البيانات ، نرغب في تحديد رقم غير سالب مرتبط بكل شخص يطلق عليه شعبية مجتمعة يعطون ناقلات شعبية للمجموعة. الخاصية الأساسية لها هي

شعبية الشخص هي المجموع المرجح لشعبية الأشخاص الذين يشيرون إلى ذلك الشخص.

نرى ما هي الأوزان وما يعنيه هذا بالمثال ،

والذي يبدو معقولاً عندما يعتبر المرء أن مساهمة تشارلي في شعبية جين هي ، لأن جين تشكل ثلث أصدقاء تشارلي وهي شعبية تشارلي. في شكل متجه المصفوفة هذه المعادلات هي بالضبط

إلص = ص (المعادلة A.1)

أين أنا هي مصفوفة هوية 4x4. لحل هذه المعادلة ، يمكننا تحديد "الشعبية" النسبية لجين وتشارلي وماري آن فريد. قمنا بتشغيل MATLAB باستخدام الأمر rref كما في التمرين 2.6 وقمنا بتعيينه (بشكل تعسفي ، بالطبع) صF = 1 لتحصل على صي = 1.5, صج = 1.3125, صم = 1.6875 و صF = 1. إذن ، ترتيب الشعبية ، من الأعلى إلى الأدنى ، هو: ماري ، وجين ، وتشارلي ، وأخيراً فريد.

توصل بعض طلاب الدراسات العليا في جامعة ستانفورد إلى فكرة أنه يمكن استخدام هذا النوع من الطرق لتصنيف مجموعة من صفحات الويب. تكتب بعض الكلمات الرئيسية (والتي سنشير إليها بالمجموعة ك) ويحدد البرنامج عددًا كبيرًا من صفحات الويب دبليوك (معظمها قمامة بالنسبة لك) تحتوي على الكلمات الموجودة في ك. التحدي الكبير هو العثور تلقائيًا على عدد قليل من صفحات الويب الجيدة (الشائعة). ما فعله مؤسسو Google هو إلقاء نظرة على البرنامج في كل صفحة ويب ث في دبليوك وتحديد صفحات الويب الأخرى الموجودة في دبليوك الصفحة ث روابط إلى ، وبالتالي ربط كل صفحة ويب ث ناقل إلث من 0 و 1 ، تمامًا كما فعلنا أعلاه مع قائمة الطلاب. بعد ذلك ، تبني مصفوفة إل أعمدتها هي النواقل الطبيعية إلث ويستمر كما فعلنا في مشكلة الشعبية. جوجل يحسب ص بسرعة كبيرة وسرد لك ، للمستخدم ، صفحات الويب بالترتيب من الشهرة العالية إلى المنخفضة.

تبدو خطة جيدة ، ولكن إذا كنت ستؤسس شركة على هذا الأساس وتخصص الكثير من الأموال لدعمها ، فهناك بعض الأشياء التي تريد بالتأكيد معرفتها:
(أ) هل المعادلة L.ص = ص أعلاه دائمًا لديك حل (ما الذي تعرفه من الدورة حتى الآن يجعلك تعتقد أنه نادرًا ما يحدث؟)
(ب) هل سيتضمن الحل إدخالات غير سلبية؟
(ج) هل الحل فريد من نوعه؟ إذا لم يكن كذلك ، سيكون لدينا ترتيب متضارب.

لحسن الحظ ، عرف مؤسسو Google

نظرية (Perron-Frobenious) لأي مصفوفة إل وجود جميع المدخلات غير سالبة وكل عمود يلخص الرقم 1 ، المعادلة إلص = ص له حل غير سلبي ص.

وهكذا تخبرنا نظرية بيرون-فروبينيوس أن هناك دائمًا حل لمشكلة الشعبية. في حين أننا لا ندخلها ، تخبرنا النظرية أيضًا أن التفرد هو الصحيح عادةً ، وتشرح الظروف عندما لا يكون الأمر كذلك.

في أواخر التسعينيات ، كانت بوابة الإنترنت الرائدة هي Yahoo ، التي وظفت مستودعات مليئة بالأشخاص للاطلاع على صفحات الويب وتصنيفها. باستخدام هذا النموذج الحسابي البسيط (مع إضافة عدد قليل من الأجراس والصفارات) ، حلت Google بسرعة محل موقع Yahoo. غالبًا ما يُطلق على الترتيب الذي رأيته للتو اسم Page Rank نسبة إلى لاري بيدج ، مؤسس شركة Google ، والذي أصبح في غضون بضع سنوات واحدًا من أغنى 10 أمريكيين. كل هذا هو بالفعل مثال أساسي في قلب منطقة سريعة النمو لتحليل الشبكات.

هناك العديد من الأخلاق لرسمها. النظريات هي طرق فعالة لتذكر الأفكار الرئيسية. ما يسميه عالم الرياضيات دليلاً قد يُترجم إلى الصناعة على أنها رقابة على الجودة. أخيرًا ، إذا تعلمت الجبر الخطي جيدًا ، فمن المحتمل أن تصبح ثريًا.

حان الوقت الآن لبعض التدرب على خوارزمية PageRank. لنفترض أن لدينا خمسة مواقع ويب ، وهي مواقع أصدقائك المقربين ، آلان ، وبيث ، وتشارلي ، ودانا ، وإليانور ، والتي سنشير إليها ببساطة على أنها A و B و C و D و E. لنفترض أيضًا أن الروابط بين المواقع المختلفة من خلال الرسم البياني أدناه:

يعني السهم الذي يشير من C إلى D أن موقع Charlie يرتبط بموقع Dana وما إلى ذلك. بالنسبة للمجموعات الصغيرة من الكائنات ، تعد الرسوم البيانية مثل هذه وسيلة فعالة لإظهار الروابط بين المواقع.

التمرين 2.7
(أ) قم بإنشاء مصفوفة ربط L تحتوي على المعلومات الخاصة بأي موقع يرتبط بها تمامًا كما فعلنا في مثال الشعبية. تذكر التسوية ، وتأكد من أن الإدخال دقيق (على سبيل المثال ، تأكد من إدخال 1/3 بدلاً من .333 - وهذا مهم للجزء ب ، حيث يجب أن يكون مجموع الأعمدة الخاصة بنا هو 1). قم بتضمين كل المدخلات والمخرجات من ماتلاب.
(ب) استخدم الأمر rref لإيجاد كل الحلول x إلى معادلة المصفوفة (L - I)x = 0. قم بتضمين كل المدخلات والمخرجات من Matlab (إذا حصلت على شيء مثل "Empty matrix: 5-by-0" ، تأكد من إعادة التحقق من إجابتك للجزء أ!).
(ج) من موقع الويب الذي حصل على أعلى تصنيف للصفحات؟ اشرح إجابتك ، خاصة في ضوء أي أرقام سلبية قد تكون نشأت في الجزء (ب). ضع قائمة بالمواقع المتبقية بترتيب تقليل نظام ترتيب الصفحات.

في التمرين إل غالبًا ما يكون ضخمًا. إذن ، السؤال الذي يجب التفكير فيه هو كيف يمكننا حلها Lr = ص لمشاكل ضخمة الحجم؟ العمل لصالحنا هو حقيقة أن معظم إدخالات إل هي 0. مثل إل تسمى مصفوفة متفرقة ، ويستغل فرع رئيسي من أبحاث الرياضيات هذا لإيجاد حل. ماذا نفعل؟ تلميح: لن يعمل القضاء الغاوسي (تقليل الصف). في وقت لاحق في هذه المهام ، سوف نحصل على لمحة عن شيء ما.

لقد انتهينا تقريبًا ، ولكن قبل أن ننتهي ، نود الحصول على بعض التعليقات (الاختيارية) منك حتى نتمكن من تحسين هذا المعمل. إذا كان لديك أي تعليقات ، فاكتبها (باليد إذا أردت) على أ صفحة منفصلة في نهاية مهمتك ، حتى نتمكن من تمزيقها قبل أن نعيد مهمتك.


فقط للمتعة . افعلها مرة أخرى!

من أجل المتعة (ولمساعدتك على التعلم) ، دعونا نفعل كل هذا مرة أخرى ، لكن ضع المصفوفة & quotX & quot أولاً.

أريد أن أريكم بهذه الطريقة ، لأن الكثير من الناس يعتقدون أن الحل أعلاه أنيق للغاية ويجب أن يكون هو السبيل الوحيد.

لذلك سنحلها على النحو التالي:

وبسبب طريقة ضرب المصفوفات ، نحتاج الآن إلى إعداد المصفوفات بشكل مختلف. يجب تبديل الصفوف والأعمدة (& quottransposed & quot):

و XA = B تبدو هكذا:


1: نظم المعادلات الخطية - الرياضيات

نظم المعادلات الخطية: التعاريف (صفحة 1 من 7)

& quotsystem & quot of المعادلات هي مجموعة أو مجموعة من المعادلات التي تتعامل معها معًا في وقت واحد. المعادلات الخطية (تلك التي ترسم خطوطًا مستقيمة) أبسط من المعادلات غير الخطية ، وأبسط نظام خطي هو واحد مع معادلتين ومتغيرين.

فكر في العودة إلى المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة الخطية ذ = 3x & - 5. & quotolution & quot لهذه المعادلة كانت موجودة x, ذ - الإشارة إلى أن & الاقتباس & quot في المعادلة. إذن (2 ، 1) كان حلاً لأن التعويض بـ 2 من أجل x:

3x & ndash 5 = 3 (2) & ndash 5 = 6 & ndash 5 = 1 = ذ

من ناحية أخرى ، (1 ، 2) لم يكن حلاً ، لأن توصيل 1 من أجل x :

. الذي لا يساوي ذ (الذي كان 2 لهذه النقطة). بالطبع ، من الناحية العملية ، لم تجد حلولًا لمعادلة عن طريق اختيار نقاط عشوائية ، وتعويضها ، والتحقق لمعرفة ما إذا كانت & quot ؛ تعمل & quot في المعادلة. بدلا من ذلك ، اخترت x - القيم ثم حسبت المقابل ذ -القيم. واستخدمت نفس الإجراء لرسم المعادلة بيانيًا. يشير هذا إلى حقيقة مهمة: كل نقطة على الرسم البياني كانت حلاً للمعادلة ، وأي حل للمعادلة كان نقطة على الرسم البياني.

الآن ضع في اعتبارك النظام ثنائي المتغير التالي من المعادلات الخطية:

ذ = 3 x & - 2
ذ = & - x & - 6


نظرًا لأن المعادلتين أعلاه في نظام ، فإننا نتعامل معهم معًا في نفس الوقت. على وجه الخصوص ، يمكننا رسمها معًا على نفس نظام المحور ، مثل هذا:


حل ل غير مرتبطة المعادلة هي أي نقطة تقع على خط تلك المعادلة. حل ل النظام من المعادلات هي أي نقطة تقع على كل سطر في النظام. على سبيل المثال ، النقطة الحمراء الموجودة على اليمين ليست حلاً للنظام ، لأنها ليست على أي من الخطين:


النقطة الزرقاء على اليمين ليست حلاً للنظام ، لأنها تقع على خط واحد فقط ، وليس عليه على حد سواء منهم:


النقطة الأرجوانية على اليمين هي حل للنظام ، لأنها تقع في كلا الخطين:

على وجه الخصوص ، تشير هذه النقطة الأرجوانية إلى تقاطع الخطين. نظرًا لأن هذه النقطة على كلا الخطين ، فإنها تحل كلا المعادلتين ، لذا فهي تحل نظام المعادلة بأكمله. وهذه العلاقة صحيحة دائمًا: بالنسبة لأنظمة المعادلات ، فإن & quot & quot ؛ حلول الاقتباس & quot. يمكنك تأكيد الحل عن طريق إدخاله في نظام المعادلات والتأكد من أن الحل يعمل في كل معادلة.

    تحديد ما إذا كان أي من النقاط(& ndash1، & ndash5)و(0 ، & ndash2)هو حل لنظام المعادلات المحدد.

ذ = 3 x & - 2
ذ = & - x & - 6

للتحقق من الحلول الممكنة المحددة ، أقوم فقط بتوصيل x - و ذ - قم بالتنسيق في المعادلات ، وتحقق لمعرفة ما إذا كانت تعمل. حقوق النشر ونسخ إليزابيث ستابيل 2003-2011 جميع الحقوق محفوظة

نظرًا لأن النقطة المعينة تعمل في كل معادلة ، فهي حل للنظام. الآن سوف أتحقق من النقطة الأخرى (التي نعلم بالفعل ، من خلال النظر إلى الرسم البياني ، أنها ليست حلاً):

إذن ، الحل يعمل في إحدى المعادلات. ولكن لحل النظام ، يجب أن يعمل في كلا المعادلتين. استمرار الشيك:

لكن & ndash2 لا يساوي & ndash6 ، لذا فإن هذا & quotsolution & quot لا يتحقق. ثم الجواب:

فقط النقطة (& ndash1، & ndash5) هو حل للنظام


أنظمة المعادلات الخطية - متغيرين (أ)

معلمون يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات كاختبارات أو مهام تدريبية أو أدوات تعليمية (على سبيل المثال في العمل الجماعي أو للسقالات أو في مركز التعلم). آباء يمكن أن يعملوا مع أطفالهم لمنحهم مزيدًا من الممارسة ، أو لمساعدتهم على تعلم مهارة رياضيات جديدة أو للحفاظ على مهاراتهم جديدة خلال فترات الراحة المدرسية. طلاب يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات لإتقان مهارة في الرياضيات من خلال الممارسة ، في مجموعة دراسة أو لتعليم الأقران.

استخدم الأزرار أدناه لطباعة أو فتح أو تنزيل إصدار PDF من ملف أنظمة المعادلات الخطية - ورقة عمل الرياضيات متغيرين (أ). حجم ملف PDF هو 40702 بايت. يتم عرض صور المعاينة للصفحتين الأولى والثانية (إن وجدت). إذا كان هناك المزيد من الإصدارات من ورقة العمل هذه ، فستتوفر الإصدارات الأخرى أسفل صور المعاينة. لمزيد من المعلومات المشابهة ، استخدم شريط البحث للبحث عن بعض أو كل هذه الكلمات الرئيسية: الجبر ، الرياضيات ، الرياضيات ، أنظمة المعادلات ، المعادلات الخطية .

ال مطبعة سيبدأ الزر مربع حوار الطباعة الخاص بالمستعرض الخاص بك. ال يفتح الزر سيفتح ملف PDF الكامل في علامة تبويب جديدة في متصفحك. ال معلم سيبدأ الزر في تنزيل ملف PDF الكامل بما في ذلك الأسئلة والأجوبة (إن وجدت). اذا كان طالب الزر موجود ، فسيبدأ تنزيل صفحة (صفحات) الأسئلة فقط. قد تتوفر خيارات إضافية عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على زر (أو الضغط على شاشة تعمل باللمس). لا أرى الأزرار!

أنظمة المعادلات الخطية - متغيرين (أ) ورقة عمل الرياضيات الصفحة 1 أنظمة المعادلات الخطية - متغيرين (أ) ورقة عمل الرياضيات صفحة 2

نظم المتباينات الخطية

يتكون نظام المتباينات الخطية في متغيرين من متباينتين خطيتين على الأقل في نفس المتغيرات. حل المتباينة الخطية هو الزوج المرتب الذي يمثل حلًا لجميع المتباينات في النظام ويمثل الرسم البياني للمتباينة الخطية الرسم البياني لجميع حلول النظام.

ارسم نظام المتباينات

ارسم خطًا واحدًا في الوقت نفسه في نفس مستوى الإحداثي وقم بتظليل نصف المستوى الذي يحقق المتباينة.

منطقة الحل التي تقاطع أنصاف المستويات تظهر في ظل أغمق

عادةً ما تكون منطقة الحل فقط مظللة مما يسهل معرفة المنطقة التي تمثل منطقة الحل


رسم نظام من المعادلات الخطية

يمكن تحديد حل نظام المعادلات الخطية بيانياً. الشيء الوحيد الذي عليك القيام به هو رسم الخطوط بناءً على المعادلات المحددة ثم تحديد النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط بشكل مرئي. يمكنك تعلم القيام بذلك من خلال النقر على رابط لمقالنا حول رسم المعادلات الخطية.


إذا كنت ترغب في التدرب على حل أنظمة المعادلات الخطية والرسوم البيانية ، فلا تتردد في استخدام أوراق عمل الرياضيات أدناه.


شاهد الفيديو: نظام المعادلات الخطية من ثلاثة متغيرات 1. الرياضيات. نظام المعادلات (ديسمبر 2021).