مقالات

9: الفراغات الفرعية ومجموعات الامتداد


حان الوقت لدراسة المساحات المتجهية بعناية أكبر والعودة إلى بعض الأسئلة الأساسية:

  1. ( textit {Subspaces} ): متى تكون مجموعة فرعية من مساحة المتجه نفسها مساحة متجهية؟ (هذا هو مفهوم ( textit {subspace} ).)
  2. ( textit {Linear Independence} ): بالنظر إلى مجموعة من المتجهات ، هل هناك طريقة لمعرفة ما إذا كانت مستقلة ، أو ما إذا كان أحدها "تركيبة خطية" للآخرين؟
  3. ( textit {Dimension} ): هل يوجد تعريف متسق لمدى "حجم" مساحة المتجه؟
  4. ( textit {الأساس} ): كيف نصنف المتجهات؟ هل يمكننا كتابة أي متجه كمجموع لمجموعة أساسية من المتجهات؟ كيف نغير وجهة نظرنا من المتجهات المعنونة بطريقة ما إلى المتجهات الموصوفة بطريقة أخرى

لنبدأ من القمة!


تعليم

بواسطة Lemma 2.9 ، لمعرفة ما إذا كانت كل مجموعة فرعية من هي فضاء فرعي ، نحتاج فقط إلى التحقق مما إذا كانت غير فارغة ومغلقة.
  1. نعم ، من السهل التحقق من أنها غير فارغة ومغلقة. هذا هو حد معين. بالمناسبة ، تُظهر المعلمات أيضًا أنها فضاء فرعي ، وتُعطى على أنها امتداد مجموعة المصفوفتين ، وأي امتداد هو فضاء فرعي.
  2. نعم ، يسهل فحصها لتكون غير فارغة ومغلقة. بدلاً من ذلك ، كما هو مذكور في الإجابة السابقة ، فإن وجود معلمات يوضح أنها فضاء فرعي. بالنسبة إلى المعلمات ، يمكن إعادة كتابة الشرط كـ. ثم لدينا هذا.
  3. لا. لم يتم إغلاقه تحت الإضافة. على سبيل المثال ، ليس في المجموعة. (هذه المجموعة أيضًا ليست مغلقة في ظل الضرب القياسي ، على سبيل المثال ، لا تحتوي على مصفوفة صفرية.)
  4. نعم فعلا.
    المشكلة 2
  1. ، ، في
  2. ، ، في
  3. ، ، في
  1. نعم ، حل النظام الخطي الناشئ عن و.
  2. نعم النظام الخطي الناشئ عن يعطي ذلك.
  3. لا توجد أي مجموعة من المصفوفتين المعطاة لها صفر في أعلى اليمين.
  1. نعم هو في تلك الفترة منذ ذلك الحين.
  2. لا ، حيث لا توجد حلول قياسية تصلح للجميع. على سبيل المثال ، الإعداد ليكون ويعطي المعادلتين ، والتي لا تتوافق مع بعضها البعض.
  3. لا تنظر في ما يحدث عند الإعداد ليكون و.
  4. نعم، .
  1. نعم ، لأي معادلة لها الحل ، و.
  2. نعم ، المعادلة تؤدي إلى هذا بحيث ، في حالة وجود أي منها ، ويمكننا حساب ذلك ، و ، و.
  3. لا ، على وجه الخصوص ، لا يمكن الحصول على المتجه كمجموعة خطية نظرًا لأن كلا المتجهين المعينين لهما مكون ثالث من الصفر.
  4. نعم فعلا. المعادلة تؤدي إلى هذا التخفيض. لدينا عدد لا نهائي من الحلول. يمكننا ، على سبيل المثال ، أن نضع القيمة صفرًا ونحل من أجل ، وبدلالة ، وبالطرق المعتادة للتعويض العكسي.
  5. لا. المعادلة تؤدي إلى هذا التخفيض. هذا يدل على أنه لا يمكن التعبير عن كل متجه بطول ثلاثة. فقط المتجهات التي تلبي القيود الموجودة في النطاق. (لترى أن أي متجه يمكن التعبير عنه بالفعل ، خذ وكون صفرًا وحل من أجل ومن ناحية ، ومن خلال الاستبدال العكسي.)
  1. المجموعة الفرعية من نواقل الصفوف العريضة الثلاثة
  2. هذه المجموعة الفرعية من />
  3. هذه المجموعة الفرعية من />
  4. المجموعة الفرعية من
  5. المجموعة الفرعية من كثيرات الحدود التربيعية مثل تلك
  1. الخيار الواضح للمجموعة التي تمتد هو.
  2. مجموعة واحدة تمتد عبر هذه المساحة تتكون من تلك المصفوفات الثلاث.
  3. يعطي النظام و. لذلك وصف واحد هو هذا. هذا يدل على أن المجموعة التي تمتد عبر هذا الفضاء الجزئي تتكون من هاتين المصفوفتين.
  4. يعطي. لذا فإن الفضاء الجزئي هو امتداد المجموعة.
  5. تم تحديد مجموعة المعلمات كما تم تعيين مجموعة الامتداد
  1. الطائرة في
  2. في
  3. في
  4. في
  5. المجموعة في الفضاء
  6. /> في />

الجبر الخطي / المسافات الفرعية ومجموعات الامتداد

كان أحد الأمثلة التي دفعتنا إلى تقديم فكرة الفضاء المتجه هو مجموعة الحلول لنظام متجانس. على سبيل المثال ، رأينا في المثال 1.4 مثل هذه المساحة عبارة عن مجموعة فرعية مستوية من R 3 < displaystyle mathbb ^ <3>>. هناك ، مساحة المتجه R 3 ^ <3>> يحتوي بداخله على مساحة متجه أخرى ، الطائرة.

لأي مساحة متجهية ، أ الفضاء الجزئي هي مجموعة فرعية هي نفسها مساحة متجه ، تحت العمليات الموروثة.

الطائرة من القسم الفرعي السابق ،

كما هو مذكور أعلاه ، للتحقق من أن هذه مساحة فرعية ، نلاحظ ببساطة أنها مجموعة فرعية ثم نتحقق من أنها تفي بالشروط المحددة في تعريف الفضاء المتجه. على سبيل المثال ، يتم استيفاء شرطي الإغلاق: (1) إضافة متجهين بمكوِّن ثانٍ من الصفر ينتج عنه متجه بمكوِّن ثانٍ للصفر ، و (2) ضرب العدد القياسي في المتجه بمكون ثانٍ من النتائج الصفرية في متجه مع المكون الثاني للصفر.

تقول النتيجة التالية أن المثال 2.8 نموذجي. الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تفشل بها مجموعة فرعية في أن تكون مساحة فرعية (إذا كانت غير فارغة وتم استخدام العمليات الموروثة) هي إذا لم تكن مغلقة.

باختصار ، الطريقة التي تصبح بها المجموعة الفرعية فضاءًا فرعيًا هي بإغلاقها ضمن مجموعات خطية.

"ما يلي متكافئ" يعني أن كل زوج من العبارات متكافئ.

عمليات التحقق الخاصة بالعنصر 2 متشابهة ويتم حفظها للمشكلة 13.

نظهر عادةً أن المجموعة الفرعية هي فضاء فرعي به (2) ⟹ (1) .

في بداية هذا الفصل قدمنا ​​الفراغات المتجهة كمجموعات تكون فيها التوليفات الخطية "معقولة". النتيجة أعلاه تتحدث عن هذا.

يحتوي تعريف فضاء المتجه على عشرة شروط ولكن ثمانية منها - الشروط التي لا تتعلق بالإغلاق - تأكد ببساطة من أن الإشارة إلى العمليات على أنها "إضافة" و "ضرب عددي" أمر معقول. يتحقق الدليل أعلاه من أن هؤلاء الثمانية موروثون من مساحة المتجه المحيطة بشرط أن تفي المجموعة غير الفارغة S < displaystyle S> ببيان Lemma 2.9 (2) (على سبيل المثال ، تبديل الإضافة في S < displaystyle S> يتبع الحق من تبادلية الجمع في V ). لذلك ، في هذا السياق ، يتم إرضاء معنى "المعقول" تلقائيًا.

بتأكيدنا أن هذا المعنى الأول للكلمة قد تحقق ، فإن النتيجة تلفت انتباهنا إلى المعنى الثاني لكلمة "معقول". يتعلق الأمر بالشرطين المتبقيين ، شروط الإغلاق. أعلاه ، يتم دمج شرطي الإغلاق المنفصلين المتأصلين في العبارة (1) في العبارة (2) في حالة واحدة للإغلاق تحت جميع التركيبات الخطية من متجهين ، والتي يتم تمديدها بعد ذلك في العبارة (3) للإغلاق تحت مجموعات من أي رقم من النواقل. تقول العبارتان الأخيرتان أنه يمكننا دائمًا فهم تعبير مثل r 1 s → 1 + r 2 s → 2 < displaystyle r_ <1> < vec > _ <1> + r_ <2> < vec > _ <2>> ، بدون قيود على r < displaystyle r> - مثل هذه التعبيرات "معقولة" من حيث أن المتجه الموصوف معرف وموجود في المجموعة S < displaystyle S>.

يشير هذا المعنى الثاني إلى أن الطريقة الجيدة للتفكير في الفضاء المتجه هي مجموعة من التركيبات الخطية غير المقيدة. المثالان التاليان يأخذان بعض المسافات ويصفهما بهذه الطريقة. هذا هو ، في هذه الأمثلة ، نقوم بتحديد معلمات ، تمامًا كما فعلنا في الفصل الأول لوصف مجموعة الحلول لنظام خطي متجانس.

هي فضاء فرعي تحت عمليات الجمع والضرب القياسي المعتادة لمتجهات العمود (التحقق من أنها غير فارغة ومغلقة في مجموعات خطية من متجهين تشبه تمامًا تلك الموجودة في المثال 2.2). لتحديد المعلمات ، يمكننا اعتبار x - 2 y + z = 0 < displaystyle x-2y + z = 0> نظامًا خطيًا من معادلة واحدة والتعبير عن المتغير الرئيسي من حيث المتغيرات المجانية x = 2 y - z .

الآن يتم وصف الفضاء الجزئي على أنه مجموعة من التركيبات الخطية غير المقيدة لهذين المتجهين. بالطبع ، في أي من الوصفين ، هذا مستوى من خلال الأصل.

(من السهل التحقق من أنها غير فارغة ومغلقة ضمن مجموعات خطية). لتحديد المعلمات ، عبر عن الشرط على النحو التالي: أ = - ب - ج .

كما ذكرنا سابقًا ، وصفنا الفضاء الجزئي بأنه مجموعة من التركيبات الخطية غير المقيدة (بالصدفة ، أيضًا من عنصرين).

الباراميتريزيشن هو أسلوب سهل ، لكنه مهم. سنستخدمه كثيرًا.

إن مدى المجموعة الفرعية الفارغة لمساحة المتجه هو الفضاء الجزئي التافه.

لا يوجد تدوين للمدى قياسي تمامًا. الأقواس المربعة المستخدمة هنا شائعة ، ولكن كذلك "span (S) < displaystyle < mbox> (S)> "و" sp (S) > (S)> ".

في الفضاء المتجه ، يكون مدى أي مجموعة فرعية هو فضاء فرعي.

يحمل معكوس الليمما: أي فضاء فرعي هو امتداد مجموعة ما ، لأن الفضاء الجزئي هو بوضوح امتداد مجموعة أعضائه. وبالتالي ، فإن المجموعة الفرعية من مساحة المتجه هي مساحة فرعية إذا وفقط إذا كانت فترة. يتناسب هذا مع الحدس القائل بأن الطريقة الجيدة للتفكير في فضاء متجه هي كمجموعة تكون فيها التركيبات الخطية منطقية.

امتداد هذه المجموعة هو كل R 2 ^<2>> .

نظرًا لأن الامتدادات هي فضاءات فرعية ، ونحن نعلم أن الطريقة الجيدة لفهم الفضاء الجزئي هي تحديد وصفه ، يمكننا محاولة فهم مدى المجموعة بهذه الطريقة.

يتم وصف المجموعات الفرعية على أنها امتدادات من المجموعات ، باستخدام أقل عدد ممكن من الأعضاء ، ويتم عرضها متصلة بمجموعاتها الفائقة. لاحظ أن هذه المسافات الفرعية تقع بشكل طبيعي في مستويات - مستويات على مستوى واحد ، وخطوط على مستوى آخر ، وما إلى ذلك - وفقًا لعدد المتجهات الموجودة في مجموعة امتدادات صغيرة الحجم.

لقد رأينا حتى الآن في هذا الفصل أنه لدراسة خصائص التركيبات الخطية ، فإن الإعداد الصحيح هو مجموعة مغلقة تحت هذه المجموعات. في القسم الفرعي الأول ، قدمنا ​​مثل هذه المجموعات ، والمساحات المتجهة ، وشاهدنا مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأمثلة. في هذا القسم الفرعي ، رأينا المزيد من المساحات ، تلك التي تصادف أن تكون مساحات فرعية للآخرين. في كل التنوع رأينا قواسم مشتركة. يوضح المثال 2.19 أعلاه: من الأفضل فهم المسافات المتجهية والفراغات الفرعية على أنها امتداد ، وخاصة على أنها امتداد لعدد صغير من المتجهات. القسم التالي يدرس المجموعات التي تكون في حدها الأدنى.

قرر ما إذا كان المتجه يقع في مدى المجموعة ، داخل الفضاء.

حدّد وصف كل مساحة فرعية. ثم عبر عن كل فضاء فرعي كمساحة.

ابحث عن مجموعة لتمتد على مساحة جزئية معينة من الفضاء المحدد. (تلميح. Parametrize كل.)

حدد ما إذا كانت كل منها عبارة عن فضاء فرعي لمساحة المتجه للوظائف ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي واحد.

يوضح المثال التالي لتعريف الفضاء المتجه أن مجموعة الحلول لنظام خطي متجانس هي مساحة متجهية. في مصطلحات هذا القسم الفرعي ، إنه فضاء فرعي لـ R n < displaystyle mathbb ^> حيث يحتوي النظام على متغيرات n < displaystyle n>. ماذا عن النظام الخطي غير المتجانس هل تشكل حلوله فضاءً فرعيًا (في ظل العمليات الموروثة)؟

أظهر أن كل مساحة متجه لها مساحة جزئية تافهة واحدة فقط.

جميع المسافات الفرعية التي رأيناها تستخدم الصفر في وصفها بطريقة ما. على سبيل المثال ، الفضاء الجزئي في المثال 2.3 يتكون من جميع المتجهات من R 2 ^ <2>> مع المكون الثاني للصفر. في المقابل ، فإن مجموعة المتجهات من R 2 ^ <2>> مع المكون الثاني لأحد لا يشكل فضاءًا فرعيًا (لا يتم إغلاقه تحت الضرب القياسي). مثال آخر هو المثال 2.2 ، حيث الشرط على المتجهات هو أن المكونات الثلاثة تضاف إلى الصفر. إذا كان الشرط هو أن المكونات الثلاثة تضاف إلى واحد ، فلن تكون مساحة فرعية (مرة أخرى ، لن يتم إغلاقها). يوضح هذا التمرين أن الاعتماد على الصفر ليس ضروريًا تمامًا. ضع في اعتبارك المجموعة

  1. بين أنه ليس مسافة فرعية لـ R 3 ^<3>> . (تلميح. انظر المثال 2.5).
  2. أظهر أنها مساحة متجهية. لاحظ أنه من خلال العنصر السابق ، لا يمكن تطبيق Lemma 2.9.
  3. بيّن أن أي فضاء فرعي لـ R 3 < displaystyle mathbb يجب أن يمر ^ <3>> من خلال الأصل ، وبالتالي أي فضاء فرعي لـ R 3 < displaystyle mathbb يجب أن يتضمن ^ <3>> صفرًا في وصفه. هل العكس صحيح؟ هل أي مجموعة فرعية من R 3 ^ <3>> الذي يحتوي على الأصل يصبح مساحة فرعية عند إعطاء العمليات الموروثة؟

يمكننا تقديم تبرير للاتفاقية التي مفادها أن مجموع متجهات عدد صفر يساوي متجهًا صفريًا. ضع في اعتبارك هذا مجموع ثلاثة نواقل v → 1 + v → 2 + v → 3 > _ <1> + < vec > _ <2> + < vec >_<3>> .

  1. ما الفرق بين مجموع المتجهات الثلاثة ومجموع أول اثنين من هذه الثلاثة؟
  2. ما الفرق بين المجموع السابق ومجموع المتجه الأول فقط؟
  3. ما الفرق بين المجموع السابق لمتجه واحد ومجموع عدم وجود متجهات؟
  4. إذن ما الذي يجب أن يكون تعريف مجموع عدم وجود نواقل؟

هل يتم تحديد المساحة بواسطة فضاءاتها الفرعية؟ بمعنى ، إذا كان لمسافتين متجهتين نفس المساحات الفرعية ، فهل يجب أن يكونا متساويين؟

  1. أعط مجموعة مغلقة في ظل الضرب القياسي ولكن ليس الجمع.
  2. أعط مجموعة مغلقة تحت الجمع ولكن ليس الضرب القياسي.
  3. أعط مجموعة مغلقة تحت أي منهما.

أظهر أن مدى مجموعة من المتجهات لا يعتمد على الترتيب الذي يتم به سرد المتجهات في تلك المجموعة.

أي فضاء جزئي تافه هو امتداد المجموعة الفارغة؟ فعلا

أظهر أنه إذا كان المتجه في نطاق مجموعة ، فإن إضافة هذا المتجه إلى المجموعة لن يجعل الامتداد أكبر. هل هذا أيضًا "فقط إذا"؟

الفراغات الفرعية هي مجموعات فرعية ولذا فإننا نفكر بشكل طبيعي في كيفية تفاعل "فضاء فرعي" مع عمليات المجموعة المعتادة.

(تلميح. جرب بعض المساحات الفرعية للاختبار من المثال 2.19.)

نظرًا لأن "span of" عملية على مجموعات ، فإننا نفكر بشكل طبيعي في كيفية تفاعلها مع عمليات المجموعة المعتادة.

أعد نسخ Lemma 2.15 دون القيام بالمجموعة الفارغة بشكل منفصل.

ابحث عن بنية مغلقة تحت مجموعات خطية ، ولكنها ليست مساحة متجهية. (ملاحظة. هذا سؤال مخادع بعض الشيء.)


الجبر الخطي / الفراغات الفرعية ومجموعات / الحلول

لا ، لم يتم إغلاقه. على وجه الخصوص ، لا يتم إغلاقها تحت الضرب القياسي لأنها لا تحتوي على كثير الحدود الصفري.

قرر ما إذا كان المتجه يقع في مدى المجموعة ، داخل الفضاء.

حدّد وصف كل مساحة فرعية. ثم عبر عن كل فضاء فرعي كمساحة.

ابحث عن مجموعة لتمتد على مساحة جزئية معينة من الفضاء المحدد. (تلميح. Parametrize كل.)

كل إجابة معطاة هي واحدة فقط من بين العديد من الإجابات الممكنة.

  1. يمكننا تحديد معلمات بهذه الطريقة <(x 0 z) | x، z ∈ R> = x 0 z end> ، < big |> ، x، z in mathbb >=<>1 0 0 end> + z < start0 0 1 end> ، < big |> ، x، z in mathbb >> إعطاء هذا لمجموعة ممتدة. <(1 0 0)، (0 0 1)> 1 0 0 end> ، < start0 0 1 end>>>
  2. كطريقة لحلها ، هو التعبير عن x < displaystyle x> كـ - (2/3) y - (1/3) z to الحصول على هذه المعلمات. <(- (2/3) y - (1/3) z y z) | y ، z ∈ R> = - (2/3) ص- (1/3) z y z end> ، < big |> ، y، z in mathbb >=<>-2/3 1 0 نهاية> + z < start-1/3 0 1 نهاية> ، < big |> ، y، z in mathbb >> واحصل على هذا كمجموعة ممتدة. <(- 2/3 1 0)، (- 1/3 0 1)> -2/3 1 0 نهاية> ، < start-1/3 0 1 نهاية>>>
  3. هنا كطريقة للذهاب ، أن نلاحظ أن x < displaystyle x> و z < displaystyle z> يعتمدان على y < displaystyle y> و w < displaystyle w> ، ولكن ليس كل منهما الآخر ، مما يقترح اختيار y < displaystyle y> و w < displaystyle w> كمتغيرات حرة. ثم إعادة التعبير ، x = - (1/2) y - (1/2) w and z = - (1/2) y للحصول على هذه المعلمة. <(- (1/2) y - (1/2) w y - (1/2) y w) | ص ، ث ∈ R> = <ص (- 1/2 1 - 1/2 0) + ث (- 1/2 0 0 1) | ذ ، ث ∈ R> - (1/2) y- (1/2) w y - (1/2) y w end> ، < big |> ، y، w in mathbb >=<>-1/2 1 - 1/2 0 نهاية> + w < start-1/2 0 0 1 نهاية> ، < big |> ، y، w in mathbb >> وللمجموعة الممتدة الممكنة لدينا. <(- 1/2 1 - 1/2 0)، (- 1/2 0 0 1)> -1/2 1 - 1/2 0 نهاية> ، < start-1/2 0 0 1 نهاية>>>
  4. مرة أخرى ، كطريقة للقيام بذلك ، أعد التعبير عن أ 0 = - أ 1 < displaystyle a_ <0> = -a_ <1>> و a 2 = a 3 < displaystyle a_ <2> = a_ <3> > للحصول على البارامترات. <- أ 1 + أ 1 س + أ 3 س 2 + أ 3 × 3 | أ 1 ، أ 3 ∈ R> = <أ 1 (- 1 + س) + أ 3 (س 2 + س 3) | أ 1 ، أ 3 ∈ R >> + a_ <1> x + a_ <3> x ^ <2> + a_ <3> x ^ <3> ، ، a_ <1>، a_ <3> in mathbb >=(-1 + x) + a_ <3> (x ^ <2> + x ^ <3>) ، < big |> ، a_ <1> ، a_ <3> in mathbb > >> الذي يعطي هذا لمجموعة ممتدة. <- 1 + x، x 2 + x 3> < displaystyle <- 1 + x، ، x ^ <2> + x ^ <3> >>
  5. نظرًا لعدم وجود قيود ، يمكننا الحصول على مجموعة ممتدة على الفور ، وتخطي المعلمات. <1، x، x 2، x 3، x 4> < displaystyle <1، ، x، ، x ^ <2>، ، x ^ <3>، ، x ^ <4> > >
  6. لنفس سبب المشكلة الفرعية السابقة ، يمكننا تخطي المعلمات والانتقال إلى مجموعة ممتدة على الفور. <(1 0 0 0)، (0 1 0 0)، (0 0 1 0)، (0 0 0 1)> 1 & amp0 0 & amp0 النهاية> ، < start0 & amp1 0 & amp0 النهاية> ، < start0 & amp0 1 & amp0 النهاية> ، < start0 & amp0 0 & amp1 النهاية>>>

حدد ما إذا كانت كل منها عبارة عن فضاء فرعي لمساحة المتجه للوظائف ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي واحد.

بالطبع ، عمليات الجمع والضرب القياسي هي العمليات الموروثة من الفضاء المحيط.

  1. هذه فضاء فرعي. إنه ليس فارغًا لأنه يحتوي على الأقل على وظيفتي المثال المقدمين. إنه مغلق لأنه إذا كانت f 1، f 2 < displaystyle f_ <1>، f_ <2>> زوجية و c 1، c 2 < displaystyle c_ <1>، c_ <2>> هي مقاسات ثم لدينا هذا . (ج 1 و 1 + ص 2 و 2) (- س) = ص 1 و 1 (- س) + ص 2 و 2 (- س) = ج 1 و 1 (س) + ص 2 و 2 (س) = (ج 1 و 1 + ج 2 و 2) (س) f_ <1> + c_ <2> f_ <2>)، (- x) = c_ <1> ، f_ <1> (-x) + c_ <2> ، f_ <2> (-x) = c_ <1> ، f_ <1> (x) + c_ <2> ، f_ <2> (x) = (c_ <1> f_ <1> + c_ <2> f_ <2>) ، (x)>
  2. هذه أيضًا مساحة فرعية يكون الشيك مشابهًا للسابق.

يوضح المثال التالي لتعريف الفضاء المتجه أن مجموعة الحلول لنظام خطي متجانس هي مساحة متجهية. في مصطلحات هذا القسم الفرعي ، هو فضاء فرعي لـ R n < displaystyle mathbb ^> حيث يحتوي النظام على متغيرات n < displaystyle n>. ماذا عن النظام الخطي غير المتجانس هل تشكل حلوله فضاءً فرعيًا (في ظل العمليات الموروثة)؟

لا ، هذه المجموعة ليست مغلقة.لسبب واحد ، أنه لا يحتوي على متجه صفري.

تم التحقق من البند (1) في النص.

الشيك الخاص بالشروط الثالثة والرابعة والخامسة مشابه لشيك الشرط الثاني الذي تم تقديمه للتو.

أظهر أن كل مساحة متجه لها مساحة جزئية تافهة واحدة فقط.

يوضح التمرين في القسم الفرعي السابق أن كل مساحة متجه لها متجه صفري واحد فقط (أي ، يوجد متجه واحد فقط هو عنصر الهوية المضافة للفضاء). لكن الفضاء البسيط يحتوي على عنصر واحد فقط ويجب أن يكون هذا العنصر متجهًا صفريًا (فريدًا).

كما يوحي التلميح ، فإن السبب الأساسي هو الجمع الخطي Lemma من الفصل الأول. للإثبات الكامل ، سوف نظهر الاحتواء المتبادل بين المجموعتين.

هو مزيج خطي من عناصر S.

جميع المسافات الفرعية التي رأيناها تستخدم الصفر في وصفها بطريقة ما. على سبيل المثال ، الفضاء الجزئي في المثال 2.3 يتكون من جميع المتجهات من R 2 ^ <2>> مع المكون الثاني للصفر. في المقابل ، فإن مجموعة المتجهات من R 2 ^ <2>> مع المكون الثاني لأحد لا يشكل فضاءًا فرعيًا (لا يتم إغلاقه تحت الضرب القياسي). مثال آخر هو المثال 2.2 ، حيث الشرط على المتجهات هو أن المكونات الثلاثة تضاف إلى الصفر. إذا كان الشرط هو أن المكونات الثلاثة تضاف إلى واحد ، فلن تكون مساحة فرعية (مرة أخرى ، لن يتم إغلاقها). يوضح هذا التمرين أن الاعتماد على الصفر ليس ضروريًا تمامًا. ضع في اعتبارك المجموعة

  1. بين أنه ليس مسافة فرعية لـ R 3 ^<3>> . (تلميح. انظر المثال 2.5).
  2. أظهر أنها مساحة متجهية. لاحظ أنه من خلال العنصر السابق ، لا يمكن تطبيق Lemma 2.9.
  3. بيّن أن أي فضاء فرعي لـ R 3 < displaystyle mathbb يجب أن يمر ^ <3>> من خلال الأصل ، وبالتالي أي فضاء فرعي لـ R 3 < displaystyle mathbb يجب أن يتضمن ^ <3>> صفرًا في وصفه. هل العكس صحيح؟ هل أي مجموعة فرعية من R 3 ^ <3>> الذي يحتوي على الأصل يصبح مساحة فرعية عند إعطاء العمليات الموروثة؟
  1. إنها ليست مساحة فرعية لأن هذه ليست العمليات الموروثة. لسبب واحد ، في هذا الفضاء ، 0 ⋅ (x y z) = (1 0 0) x y z end> =1 0 0 end>> بينما هذا ، بالطبع ، لا يحمل في R 3 ^<3>> .
  2. يمكننا دمج الحجة التي تظهر الإغلاق تحت الجمع مع الوسيطة التي تظهر الإغلاق تحت الضرب القياسي في وسيطة واحدة تظهر الإغلاق تحت مجموعات خطية من متجهين. إذا كانت r 1، r 2، x 1، x 2، y 1، y 2، z 1، z 2 ، r_ <2>، x_ <1>، x_ <2>، y_ <1 >، y_ <2>، z_ <1>، z_ <2>> موجودة في R > ثم r 1 (x 1 y 1 z 1) + r 2 (x 2 y 2 z 2) = (r 1 x 1 - r 1 + 1 r 1 y 1 r 1 z 1) + (r 2 x 2 - r 2 + 1 r 2 y 2 r 2 z 2) = (r 1 x 1 - r 1 + r 2 x 2 - r 2 + 1 r 1 y 1 + r 2 y 2 r 1 z 1 + r 2 z 2 ) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + r_ <2> < startx_ <2> y_ <2> z_ <2> end> =r_ <1> x_ <1> -r_ <1> +1 r_ <1> y_ <1> r_ <1> z_ <1> end> + < ابدأr_ <2> x_ <2> -r_ <2> +1 r_ <2> y_ <2> r_ <2> z_ <2> end> =r_ <1> x_ <1> -r_ <1> + r_ <2> x_ <2> -r_ <2> +1 r_ <1> y_ <1> + r_ <2> y_ <2> r_ <1> z_ <1> + r_ <2> z_ <2> end>> (لاحظ أن تعريف الإضافة في هذا الفضاء هو أن المكونات الأولى تتحد على النحو التالي (r 1 x 1 - r 1 + 1) + (r 2 x 2 - r 2 + 1) - 1 x_ <1> -r_ <1> +1) + (r_ <2> x_ <2> -r_ <2> +1) -1> ، لذا فإن المكون الأول من المتجه الأخير لا يقول "+ 2 "). بإضافة المكونات الثلاثة للمتجه الأخير نحصل على r 1 (x 1 - 1 + y 1 + z 1) + r 2 (x 2-1 + y 2 + z 2) + 1 = r 1 ⋅ 0 + r 2 ⋅ 0 + 1 = 1 (x_ <1> -1 + y_ <1> + z_ <1>) + r_ <2> (x_ <2> -1 + y_ <2> + z_ <2 >) + 1 = r_ <1> cdot 0 + r_ <2> cdot 0 + 1 = 1>. معظم فحوصات الشروط الأخرى سهلة (على الرغم من أن العمليات الغريبة تمنعها من أن تكون روتينية). يذهب تبادلي الجمع على هذا النحو. (x 1 y 1 z 1) + (x 2 y 2 z 2) = (x 1 + x 2-1 y 1 + y 2 z 1 + z 2) = (x 2 + x 1-1 y 2 + y 1 z 2 + z 1) = (x 2 y 2 z 2) + (x 1 y 1 z 1) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + < ابدأx_ <2> y_ <2> z_ <2> end> =x_ <1> + x_ <2> -1 y_ <1> + y_ <2> z_ <1> + z_ <2> end> =x_ <2> + x_ <1> -1 y_ <2> + y_ <1> z_ <2> + z_ <1> end> =x_ <2> y_ <2> z_ <2> end> + < ابدأx_ <1> y_ <1> z_ <1> end>> ارتباط الجمع له ((x 1 y 1 z 1) + (x 2 y 2 z 2)) + (x 3 y 3 z 3) = ((x 1 + x 2-1) + x 3-1 (y 1 + y 2) + y 3 (z 1 + z 2) + z 3) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + < ابدأx_ <2> y_ <2> z_ <2> end>) + < ابدأx_ <3> y_ <3> z_ <3> end> =(x_ <1> + x_ <2> -1) + x_ <3> -1 (y_ <1> + y_ <2>) + y_ <3> (z_ <1> + z_ <2> ) + z_ <3> نهاية>> بينما (x 1 y 1 z 1) + ((x 2 y 2 z 2) + (x 3 y 3 z 3)) = (x 1 + (x 2 + x 3-1) - 1 y 1 + (y 2 + y 3) z 1 + (z 2 + z 3)) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + (<تبدأx_ <2> y_ <2> z_ <2> end> + < ابدأx_ <3> y_ <3> z_ <3> end>) = <تبدأx_ <1> + (x_ <2> + x_ <3> -1) -1 y_ <1> + (y_ <2> + y_ <3>) z_ <1> + (z_ <2> + z_ <3>) نهاية>> وهم متساوون. يعمل عنصر الهوية فيما يتعلق بعملية الإضافة هذه بهذه الطريقة (x y z) + (1 0 0) = (x + 1 - 1 y + 0 z + 0) = (x y z) x y z end> + < ابدأ1 0 0 end> =x + 1-1 y + 0 z + 0 end> =x y z end>> والمعكوس الجمعي مشابه. (x y z) + (- x + 2 - y - z) = (x + (- x + 2) - 1 y - y z - z) = (1 0 0) x y z end> + < ابدأ-x + 2 - y - z end> =x + (- x + 2) -1 y-y z-z end> =1 0 0 end>> شروط الضرب العددي سهلة أيضًا. للشرط الأول (r + s) (xyz) = ((r + s) x - (r + s) + 1 (r + s) y (r + s) z) x y z end> =(r + s) x- (r + s) +1 (r + s) y (r + s) z end>> بينما r (xyz) + s (xyz) = (rx - r + 1 ryrz) + (sx - s + 1 sysz) = ((rx - r + 1) + (sx - s + 1) - 1 ry + syrz + sz) x y z end> + s < startx y z end> =rx-r + 1 ry rz end> + < ابدأsx-s + 1 sy sz end> =(rx-r + 1) + (sx-s + 1) -1 ry + sy rz + sz end>> والاثنان متساويان. الشرط الثاني يقارن r ⋅ ((x 1 y 1 z 1) + (x 2 y 2 z 2)) = r ⋅ (x 1 + x 2-1 y 1 + y 2 z 1 + z 2) = (r (x 1 + x 2 - 1) - r + 1 r (y 1 + y 2) r (z 1 + z 2)) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + < ابدأx_ <2> y_ <2> z_ <2> end>) = r cdot < startx_ <1> + x_ <2> -1 y_ <1> + y_ <2> z_ <1> + z_ <2> end> =r (x_ <1> + x_ <2> -1) -r + 1 r (y_ <1> + y_ <2>) r (z_ <1> + z_ <2>) end>> مع r (x 1 y 1 z 1) + r (x 2 y 2 z 2) = (rx 1 - r + 1 ry 1 rz 1) + (rx 2 - r + 1 ry 2 rz 2) = ( (rx 1 - r + 1) + (rx 2 - r + 1) - 1 ry 1 + ry 2 rz 1 + rz 2) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> + r < ابدأx_ <2> y_ <2> z_ <2> end> =rx_ <1> -r + 1 ry_ <1> rz_ <1> end> + < ابدأrx_ <2> -r + 1 ry_ <2> rz_ <2> end> =(rx_ <1> -r + 1) + (rx_ <2> -r + 1) -1 ry_ <1> + ry_ <2> rz_ <1> + rz_ <2> end>> وهم متساوون. بالنسبة للشرط الثالث ، (r s) (x y z) = (r s x - r s + 1 r s y r s z) x y z end> =rsx-rs + 1 rsy rsz end>> بينما r (s (x y z)) = r ((s x - s + 1 s y s z)) = (r (s x - s + 1) - r + 1 r s y r s z) x y z end>) = r (< startsx-s + 1 sy sz end>) = < تبدأr (sx-s + 1) -r + 1 rsy rsz end>> والاثنان متساويان. لدينا هذا من أجل الضرب القياسي في 1 < displaystyle 1>. 1 ⋅ (x y z) = (1 x - 1 + 1 1 y 1 z) = (x y z) x y z end> =1x-1 + 1 1y 1z end> =x y z end>> وهكذا يتم استيفاء جميع الشروط على مساحة متجه من خلال هاتين العمليتين. ملاحظة. هناك طريقة لفهم مساحة المتجه هذه وهي التفكير فيها على أنها المستوى في R 3 < displaystyle mathbb ^ <3>> P = <(x y z) | x + y + z = 0> x y z end> ، < big |> ، x + y + z = 0 >> تم إزاحته بعيدًا عن الأصل بمقدار 1 على طول المحور x < displaystyle x>. ثم تصبح الإضافة: لإضافة عضوين من هذه المساحة ، (x 1 y 1 z 1) ، (x 2 y 2 z 2) x_ <1> y_ <1> z_ <1> end> ، < startx_ <2> y_ <2> z_ <2> end>> (مثل أن x 1 + y 1 + z 1 = 1 < displaystyle x_ <1> + y_ <1> + z_ <1> = 1> و x 2 + y 2 + z 2 = 1 + y_ <2> + z_ <2> = 1>) انقلهم للخلف بمقدار 1 لوضعهم في P وأضفهم كالمعتاد ، (x 1 - 1 y 1 z 1) + (x 2 - 1 y 2 z 2) = (x 1 + x 2 - 2 y 1 + y 2 z 1 + z 2) (in P) x_ <1> -1 y_ <1> z_ <1> end> + < ابدأx_ <2> -1 y_ <2> z_ <2> end> =x_ <1> + x_ <2> -2 y_ <1> + y_ <2> z_ <1> + z_ <2> end> qquad < text <(في >> P < text <) >>> ثم حرك النتيجة للخارج بمقدار 1 على طول المحور x < displaystyle x>. (س 1 + س 2-1 ص 1 + ص 2 ع 1 + ع 2). x_ <1> + x_ <2> -1 y_ <1> + y_ <2> z_ <1> + z_ <2> end>.> الضرب العددي مشابه.
  3. لكي يتم إغلاق الفضاء الجزئي تحت الضرب القياسي الموروث ، حيث v → < displaystyle < vec >> عضو في تلك المساحة الفرعية ، 0 ⋅ v → = (0 0 0) > =0 0 0 end>> يجب أن يكون أيضًا عضوًا. العكس لا يصمد. هنا مجموعة فرعية من R 3 ^ <3>> الذي يحتوي على الأصل <(0 0 0)، (1 0 0)> 0 0 0 end> ، < start1 0 0 end> >> (تحتوي هذه المجموعة الفرعية على عنصرين فقط) ولكنها ليست مساحة فرعية.

يمكننا تقديم تبرير للاتفاقية التي مفادها أن مجموع متجهات عدد صفر يساوي متجهًا صفريًا. ضع في اعتبارك هذا مجموع ثلاثة نواقل v → 1 + v → 2 + v → 3 > _ <1> + < vec > _ <2> + < vec >_<3>> .

  1. ما الفرق بين مجموع المتجهات الثلاثة ومجموع أول اثنين من هذه الثلاثة؟
  2. ما الفرق بين المجموع السابق ومجموع المتجه الأول فقط؟
  3. ما الفرق بين المجموع السابق لمتجه واحد ومجموع عدم وجود متجهات؟
  4. إذن ما الذي يجب أن يكون تعريف مجموع عدم وجود نواقل؟
  1. (v → 1 + v → 2 + v → 3) - (v → 1 + v → 2) = v → 3 > _ <1> + < vec > _ <2> + < vec > _ <3>) - (< vec > _ <1> + < vec > _ <2>) = < vec >_<3>>
  2. (v → 1 + v → 2) - (v → 1) = v → 2 > _ <1> + < vec > _ <2>) - (< vec > _ <1>) = < vec >_<2>>
  3. بالتأكيد ، v → 1 < displaystyle < vec >_<1>> .
  4. أخذ مجموع واحد طويل والطرح يعطي (v → 1) - v → 1 = 0 → > _ <1>) - < vec > _ <1> = < vec <0> >>.

هل يتم تحديد المساحة بواسطة فضاءاتها الفرعية؟ بمعنى ، إذا كان للمسافتين المتجهتين نفس المساحات الفرعية ، فهل يجب أن يكونا متساويين؟

نعم ، أي مساحة هي مساحة جزئية خاصة بها ، لذلك تحتوي كل مساحة على الأخرى.

  1. أعط مجموعة مغلقة في ظل الضرب القياسي ولكن ليس الجمع.
  2. أعط مجموعة مغلقة تحت الجمع ولكن ليس الضرب القياسي.
  3. أعط مجموعة مغلقة تحت أي منهما.
  1. اتحاد المحور x < displaystyle x> والمحور y < displaystyle y> -axis في R 2 < displaystyle mathbb ^ <2>> واحد.
  2. مجموعة الأعداد الصحيحة ، كمجموعة فرعية من R 1 ^ <1>> واحد.
  3. المجموعة الفرعية > >> من R 2 ^ <2>> واحد ، حيث v → < displaystyle < vec >> هو أي متجه غير صفري.

أظهر أن مدى مجموعة من المتجهات لا يعتمد على الترتيب الذي يتم به سرد المتجهات في تلك المجموعة.

نظرًا لأن إضافة مساحة المتجه تبادلية ، فإن إعادة ترتيب الملخصات تترك تركيبة خطية دون تغيير.

أي فضاء فرعي تافه هو امتداد المجموعة الفارغة؟ فعلا

نحن نعتبر دائمًا هذا الامتداد في سياق مساحة مغلقة.

أظهر أنه إذا كان المتجه في نطاق مجموعة ، فإن إضافة هذا المتجه إلى المجموعة لن يجعل الامتداد أكبر. هل هذا أيضًا "فقط إذا"؟

يكون كلاهما "إذا" و "فقط إذا".

الفراغات الفرعية هي مجموعات فرعية ولذا فإننا نفكر بشكل طبيعي في كيفية تفاعل "فضاء فرعي" مع عمليات المجموعة المعتادة.

(تلميح. جرب بعض المساحات الفرعية للاختبار من المثال 2.19.)

  1. دائما. افترض أن A ، B < displaystyle A ، B> هي مسافات فرعية لـ V . لاحظ أن تقاطعهما ليس فارغًا لأن كلاهما يحتوي على متجه صفري. إذا كان w →، v → ∈ A ∩ B < displaystyle < vec >، < vec > in A cap B> و r ، s < displaystyle r ، s> هي عدسات ثم r v → + s w → ∈ A < displaystyle r < vec > + s < vec > in A> لأن كل متجه في A < displaystyle A> وبالتالي فإن التركيبة الخطية موجودة في A < displaystyle A> و r v → + s w → ∈ B < displaystyle r < vec > + s < vec > في ب> لنفس السبب. وهكذا يتم إغلاق التقاطع. الآن يتم تطبيق Lemma 2.19.
  2. في بعض الأحيان (بشكل أكثر دقة ، فقط إذا كان A ⊆ B أو B ⊆ A ). لرؤية الإجابة ليست "دائمًا" ، خذ V < displaystyle V> ليكون R 2 < displaystyle mathbb ^ <2>> ، خذ A < displaystyle A> ليكون x < displaystyle x> -axis ، و B < displaystyle B> ليكون المحور y < displaystyle y> -axis. لاحظ أن (1 0) ∈ A و (0 1) ∈ B لكن (1 0) + (0 1) ∉ A ∪ B 1 0 نهاية> في A < text <و >> < start0 1 نهاية> في ب رباعي < نص> رباعي < ابدأ1 0 نهاية> + < ابدأ0 1 نهاية> not in A cup B> لأن المجموع ليس في A < displaystyle A> ولا B < displaystyle B>. الإجابة ليست "أبدًا" لأنه إذا كان A ⊆ B < displaystyle A subseteq B> أو B ⊆ A < displaystyle B subseteq A> فمن الواضح أن A ∪ B < displaystyle A cup B> هو فضاء فرعي. لإثبات أن A ∪ B هي مساحة فرعية فقط إذا احتوت مساحة فرعية واحدة على الأخرى ، نفترض أن A ⊈ B و B ⊈ A وإثبات أن الاتحاد ليس فضاءً فرعيًا. الافتراض بأن A < displaystyle A> ليس مجموعة فرعية من B < displaystyle B> يعني أن هناك a → ∈ A in A> مع a → ∉ B not in B>. يعطي الافتراض الآخر a b → ∈ B < displaystyle < vec > in B> مع b → ∉ A > لا في أ>. ضع في اعتبارك a → + b → < displaystyle < vec> + < vec >>. لاحظ أن المجموع ليس عنصرًا في A < displaystyle A> أو آخر (a → + b →) - a → < displaystyle (< vec> + < vec >) - سيكون < vec >> في A < displaystyle A> ، وهو ليس كذلك. وبالمثل ، فإن المجموع ليس عنصرًا من عناصر B < displaystyle B>. ومن ثم فإن المجموع ليس عنصرًا في A ∪ B < displaystyle A cup B> ، وبالتالي فإن الاتحاد ليس فراغًا فرعيًا.
  3. أبدا. بما أن A < displaystyle A> هي فضاء فرعي ، فهي تحتوي على متجه صفري ، وبالتالي فإن المجموعة التي هي مكمل A < displaystyle A> لا تحتوي على ذلك. بدون المتجه الصفري ، لا يمكن أن يكون المكمل مساحة متجهية.

نظرًا لأن "span of" عملية على مجموعات ، فإننا نفكر بشكل طبيعي في كيفية تفاعلها مع عمليات المجموعة المعتادة.

أعد نسخ Lemma 2.15 دون القيام بالمجموعة الفارغة بشكل منفصل.

ابحث عن بنية مغلقة تحت مجموعات خطية ، ولكنها ليست مساحة متجهية. (ملاحظة. هذا سؤال مخادع بعض الشيء.)

ولكي يحدث هذا ، يجب انتهاك أحد الشروط التي تعطي حساسية عمليات الجمع والضرب القياسي. ضع في اعتبارك R 2 < displaystyle mathbb ^ <2>> بهذه العمليات.


محتويات

إعطاء مساحة متجه الخامس فوق حقل ك، مدى مجموعة س من المتجهات (ليس بالضرورة لانهائي) يتم تعريفه على أنه التقاطع دبليو لجميع مساحات فرعية من الخامس التي تحتوي على س. دبليو يشار إلى الفضاء الجزئي امتدت من قبل س، أو بواسطة المتجهات في س. بالمقابل س يسمى أ مجموعة تمتد من دبليوونقول ذلك س يمتد دبليو.

بدلا من ذلك ، فإن مدى س يمكن تعريفها على أنها مجموعة من جميع التركيبات الخطية المحدودة للعناصر (النواقل) من س، والذي يتبع من التعريف أعلاه. [5] [6] [7] [8]

في حالة اللانهائية س، التوليفات الخطية اللانهائية (أي حيث قد تتضمن المجموعة مبلغًا لا نهائيًا ، بافتراض أن مثل هذه المبالغ يتم تعريفها بطريقة ما كما في ، على سبيل المثال ، مساحة Banach) يتم استبعادها من خلال التعريف التعميم الذي يسمح بهذه ليست مكافئة.

الفضاء المتجه الحقيقي ر 3 لديها <(- 1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) ، (0 ، 0 ، 1)> كمجموعة ممتدة. هذه المجموعة الممتدة الخاصة هي أيضًا أساس. إذا تم استبدال (−1 ، 0 ، 0) بـ (1 ، 0 ، 0) ، فسيشكل أيضًا الأساس القانوني لـ ر 3 .

مجموعة امتدادات أخرى لنفس المساحة مُعطاة بواسطة <(1 ، 2 ، 3) ، (0 ، 1 ، 2) ، (1 ، 1 ⁄ 2 ، 3) ، (1 ، 1 ، 1)> ، ولكن هذه المجموعة ليس أساسًا ، لأنه يعتمد خطيًا.

المجموعة <(1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) ، (1 ، 1 ، 0)> ليست مجموعة ممتدة من ر 3 ، نظرًا لأن امتداده هو مساحة جميع النواقل في ر 3 المكون الأخير لها هو صفر. تمتد هذه المساحة أيضًا بواسطة المجموعة <(1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0)> ، حيث أن (1 ، 1 ، 0) عبارة عن مجموعة خطية من (1 ، 0 ، 0) و (0 ، 1 ، 0). ومع ذلك ، فإنه يمتد ر 2. (عند تفسيرها على أنها مجموعة فرعية من ر 3 ).

المجموعة الفارغة هي مجموعة ممتدة من <(0 ، 0 ، 0)> ، نظرًا لأن المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من جميع مسافات المتجه الممكنة في ر 3 و <(0 ، 0 ، 0)> هو تقاطع كل هذه الفراغات المتجهة.

مجموعة الوظائف x ن أين ن هو عدد صحيح غير سالب يمتد على مساحة كثيرات الحدود.

النظرية 1: امتدت المسافة الجزئية بمجموعة فرعية غير فارغة س من مساحة متجه الخامس هي مجموعة كل التركيبات الخطية للمتجهات في س.

هذه النظرية معروفة جيدًا لدرجة أنه في بعض الأحيان ، يشار إليها على أنها تعريف امتداد المجموعة.

النظرية 2: كل مجموعة تمتد س من مساحة متجه الخامس يجب أن تحتوي على الأقل على عدد من العناصر مثل أي مجموعة مستقلة خطيًا من المتجهات من الخامس.

النظرية 3: يترك الخامس يكون فضاء متجهًا محدود الأبعاد. أي مجموعة من النواقل التي تمتد الخامس يمكن اختزالها إلى أساس الخامس، عن طريق تجاهل النواقل إذا لزم الأمر (أي إذا كانت هناك نواقل تابعة خطيًا في المجموعة). إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة ، فهذا صحيح دون افتراض ذلك الخامس له أبعاد محدودة.

يشير هذا أيضًا إلى أن الأساس هو الحد الأدنى من مجموعة الامتداد عندما الخامس متناهية الأبعاد.

تعميم تعريف مدى النقاط في الفضاء ، مجموعة فرعية X من مجموعة الأرض من matroid يسمى a مجموعة تمتد، إذا كانت رتبة X يساوي رتبة مجموعة الأرض بالكامل [ بحاجة لمصدر ] .

يمكن أيضًا تعميم تعريف الفضاء المتجه على الوحدات النمطية. [9] [10] أعطيت ر-وحدة أ ومجموعة من العناصر أ1, …, أن من أ، الوحدة الفرعية من أ امتدت من قبل أ1, …, أن هو مجموع الوحدات الدورية

تتكون من الكل رتركيبات خطية من العناصر أأنا. كما هو الحال مع الفراغات المتجهة ، فإن الوحدة الفرعية لـ أ امتدت من قبل أي مجموعة فرعية من أ هو تقاطع جميع الوحدات الفرعية التي تحتوي على تلك المجموعة الفرعية.

في التحليل الوظيفي ، فإن المدى الخطي المغلق لمجموعة من المتجهات هو الحد الأدنى من المجموعة المغلقة التي تحتوي على الامتداد الخطي لتلك المجموعة.

إحدى الصيغ الرياضية لهذا هي

المدى الخطي المغلق لمجموعة الوظائف x ن على الفاصل الزمني [0 ، 1] ، حيث ن هو عدد صحيح غير سالب ، ويعتمد على القاعدة المستخدمة. إذا كان إل تم استخدام المعيار 2 ، ثم الامتداد الخطي المغلق هو مساحة هيلبرت للوظائف القابلة للتكامل المربّع على الفاصل الزمني. ولكن إذا تم استخدام الحد الأقصى للمعيار ، فسيكون المدى الخطي المغلق هو مساحة الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية. في كلتا الحالتين ، يحتوي الامتداد الخطي المغلق على وظائف ليست متعددة الحدود ، وبالتالي فهي ليست في النطاق الخطي نفسه. ومع ذلك ، فإن العلاقة الأساسية لمجموعة الوظائف في المدى الخطي المغلق هي أصل السلسلة المتصلة ، وهي نفس العلاقة الأساسية لمجموعة كثيرات الحدود.

تحرير الملاحظات

المدى الخطي للمجموعة كثيف في المدى الخطي المغلق. علاوة على ذلك ، كما هو مذكور في اللمة أدناه ، فإن الامتداد الخطي المغلق هو بالفعل إغلاق الامتداد الخطي.

تعتبر الامتدادات الخطية المغلقة مهمة عند التعامل مع المساحات الجزئية الخطية المغلقة (والتي تعد في حد ذاتها مهمة للغاية ، انظر ليمما ريش).

تحرير lemma مفيد

يترك X كن مساحة معيارية ودعنا ه يكون أي مجموعة فرعية غير فارغة من X. ثم

(لذا فإن الطريقة المعتادة لإيجاد الامتداد الخطي المغلق هي إيجاد الامتداد الخطي أولاً ، ثم إغلاق ذلك الامتداد الخطي.)


قواعد المساحات الخالية والعمودية

القدرة على التعبير عن فضاء فرعي من حيث الأساس أمر قوي للغاية.

يعطينا طريقة موجزة لوصف الفضاء الجزئي.

وسنرى في المحاضرة التالية ، أنها ستسمح لنا بتقديم أفكار لأنظمة الإحداثيات والأبعاد.

وبالتالي ، سنريد غالبًا أن نكون قادرين على وصف المساحات الفرعية مثل ( operatorname أ ) أو ( اسم الملف أ ) باستخدام قواعدهم.

إيجاد أساس لـ Null Space¶

سنبدأ بإيجاد أساس للمساحة الخالية في المصفوفة.

مثال. أوجد أساسًا للمساحة الخالية في المصفوفة

حل. نود أن نصف مجموعة حلول ​​(A mathbf = < bf 0>. )

نبدأ بكتابة حل (A mathbf = < bf 0> ) في شكل حدودي:

لذا فإن (x_1 ) و (x_3 ) أساسيان ، و (x_2 ، x_4 ، ) و (x_5 ) مجانيان.

لذا فإن الحل العام هو:

ما نريد فعله الآن هو كتابة مجموعة الحل على هيئة أ مزيج مرجح من النواقل.

هذه خدعة رائعة - نحن نخلق معادلة متجهية.

الفكرة الأساسية هي أن ملف المتغيرات الحرة ستصبح الأوزان.

الآن ما لدينا هو تعبير يصف مجموعة الحلول الكاملة لـ (A mathbf = < bf 0>. )

لذلك (< operatorname> A ) هي مجموعة كل التركيبات الخطية لـ ( mathbf، mathbfو ) و (< bf w> ). هذا هو ، (< operatorname> A ) هو الفضاء الجزئي الممتد بواسطة ( < mathbf، mathbf، < bf w> >. )

علاوة على ذلك ، فإن هذا البناء يجعل ( mathbf، mathbfو ) و (< bf w> ) بشكل مستقل خطيًا.

نظرًا لأن كل وزن يظهر بمفرده في موضع واحد ، فإن الطريقة الوحيدة لكي يكون المجموع المرجح بالكامل صفرًا هي إذا كان كل وزن صفرًا - وهو تعريف الاستقلال الخطي.

الخلاصة: بإيجاد وصف حدودي لحل المعادلة (A mathbf = < bf 0>، ) يمكننا بناء أساس للمسافة الفارغة لـ (A ).

إيجاد أساس لمساحة العمود¶

لإيجاد أساس لمساحة العمود ، لدينا نقطة بداية أسهل.

نعلم أن مساحة العمود هي امتداد أعمدة المصفوفة.

لذلك ، يمكننا اختيار أعمدة المصفوفة لتشكيل الأساس.

السؤال هو: أي الأعمدة يجب أن نختار؟

نبدأ بمثال الإحماء.

لنفترض أن لدينا مصفوفة (ب ) موجودة فيها شكل مخفض المستوى:

تشير إلى أعمدة (B ) بقلم ( mathbf_1 ، النقاط ، mathbf_5) .

لاحظ أن ( mathbf_3 = -3 mathbf_1 + 2 mathbf_2 ) و ( mathbf_4 = 5 mathbf_1- mathbf_2.)

لذا فإن أي مجموعة من ( mathbf_1 ، النقاط ، mathbf_5 ) هو في الواقع مجرد مزيج من ( mathbf_1 ، mathbf_2، ) و ( mathbf_5.)

أيضا ، ( mathbf_1 ، mathbf_2، ) و ( mathbf_5 ) مستقلة خطيًا ، لأنها أعمدة من مصفوفة الهوية.

لذلك: تشكل الأعمدة المحورية لـ (B ) أساسًا لـ (< operatorname> ب )

لاحظ أن هذا يعني: لا توجد مجموعة من الأعمدة 1 و 2 و 5 تنتج متجهًا صفريًا.

(بخلاف التركيبة البسيطة بالطبع.)

لذلك ، بالنسبة للمصفوفات في شكل مرتبة الصف المختصرة ، لدينا قاعدة بسيطة لأساس مساحة العمود:

اختر الأعمدة التي تحتوي على المحاور.

الحالة العامة.

سأوضح الآن أن الأعمدة المحورية لـ (A ) تشكل أساسًا لـ (< operatorname> A ) لأي (أ) .

ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها (A mathbf = < bf 0> ) لبعض العناصر غير الصفرية ( mathbf.)

يشير هذا إلى وجود علاقة تبعية خطية بين بعض أعمدة (أ ).

إذا كان أي من الإدخالات في ( mathbf) تساوي صفرًا ، فإن هذه الأعمدة لا تشارك في علاقة التبعية الخطية.

عندما نقوم بتقليل (A ) إلى مستواه المختزل (B ) ، يتم تغيير الأعمدة ، ولكن المعادلات (A mathbf = < bf 0> ) و (B mathbf = < bf 0> ) لها نفس مجموعة الحلول.

هذا يعني أن أعمدة (أ ) وأعمدة (ب ) لديهم نفس علاقات التبعية بالضبط كأعمدة (ب ).

إذا كان من الممكن كتابة بعض أعمدة (B ) كمجموعة من أعمدة أخرى من (B ) ، فإن الأمر نفسه ينطبق على الأعمدة المقابلة لـ (A ).

إذا لم ينتج عن أي مجموعة من أعمدة معينة من (B ) المتجه الصفري ، فلن ينتج عن أي مجموعة من الأعمدة المقابلة لـ (A ) المتجه الصفري.

إذا كانت بعض مجموعة الأعمدة (B ) تمتد على مساحة العمود (B ) ، فإن نفس الأعمدة (A ) تمتد على مساحة العمود (A ).

إذا كانت بعض أعمدة (ب ) مستقلة خطيًا ، فإن نفس أعمدة (أ ) تكون مستقلة خطيًا.

لذلك ، إذا كانت بعض أعمدة (B ) أساسًا لـ (< operatorname> B ) ، فإن الأعمدة المقابلة لـ (A ) هي أساس لـ (< اسم التشغيل> A ).

مثال. النظر في المصفوفة (أ ):

إنه صف مكافئ للمصفوفة (B ) التي درسناها أعلاه. إذن لإيجاد أساسها ، نحتاج ببساطة إلى النظر إلى أساس شكل صفها المختزل. لقد حسبنا بالفعل هذا الأساس لـ (< operatorname> B ) كانت الأعمدة 1 و 2 و 5.

لذلك يمكننا أن نستنتج على الفور أن أساس (< operatorname> A ) هي أعمدة (A ) 1 و 2 و 5.

نظرية. تشكل الأعمدة المحورية للمصفوفة (A ) أساسًا لمساحة العمود (A ).

كن حذرًا هنا - لاحظ أننا نحسب شكل مستوى الصف المختزل لـ (A ) للعثور على الأعمدة التي تكون أعمدة محورية ...

لكننا نستخدم أعمدة من (أ ) نفسها كأساس لـ (< operatorname> A )!


مساحات المتجهات (2) - المجاميع المباشرة ، والاستقلالية والخطية

تركت المرة الأخيرة بمثال لمجموع المسافات الفرعية بخاصية مهمة إلى حد ما. على وجه التحديد ، كان لكل متجه في المجموع تمثيل فريد كمجموع من المتجهات في الفراغات الفرعية المكونة. لا تحتوي جميع المبالغ على هذه الخاصية ، ولكنها مهمة جدًا بحيث تستحق اهتمامًا خاصًا.

تعريف. لنفترض أن $ U $ و $ W $ فضاءان فرعيان لمساحة متجه $ V $ والتي يكون $ V = U + W $ لها. هذا المبلغ هو مبلغ مباشر إذا كان التمثيل مقابل كل $ v in V $

$ v = u + w ، $

حيث يكون $ u in U $ و $ w in W $ فريدًا. إذا كان المبلغ مباشرًا ، فيتم التعبير عنه بشكل رمزي كـ

$ V = U oplus W. $

وبالمثل ، إذا كانت $ U_1 ، U_2 ، ldots ، U_n $ هي مساحات فرعية من $ V $ والتي

$ تبدأ
الخامس & أمبير = sum_^ ن U_i
& amp = U_1 + U_2 + cdots + U_n ،
نهاية$

ثم يكون هذا المبلغ مباشرًا إذا كان التمثيل مقابل كل $ v في V $

$ تبدأ
v & amp = sum_^ n u_i
& amp = u_1 + u_2 + cdots + u_n ،
نهاية$

حيث يكون $ u_i in U_i $ لكل $ i $ فريدًا. يتم التعبير عن هذا المبلغ المباشر بشكل رمزي

$ تبدأ
V & amp = bigoplus_^ ن U_i
& amp = U_1 oplus U_2 oplus cdots oplus U_n.
نهاية$

لاحظ أن المجموع المباشر للمسافات الجزئية الخطية ليس شيئًا خاصًا به. إنه مبلغ طبيعي يصادف أن يكون له أيضًا خاصية كونه مباشرًا. لا تبدأ بمسافتين فرعيين وتأخذ مجموعهما المباشر. تأخذ مجموع المسافات الفرعية ، وقد يكون هذا المجموع مباشرًا.

لقد رأينا بالفعل مثالاً على مبلغ مباشر. قد تجده أكثر تنويرًا إذا عرضنا مثالًا لمجموع ليس مباشرة.

مثال. ضع في اعتبارك المساحات الفرعية

$ تبدأ
U & amp = set <(x، y، 0) in R ^ 3 mid x، y in R>،
W & amp = set <(0، y، z) in R ^ 3 mid y، x in R>
نهاية$

من مساحة المتجه $ R ^ 3 $. من الواضح أن $ R ^ 3 = U + W $. يمكن التعبير عن المتجه $ (1،1،1) in R ^ 3 $ كـ

$(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1),$

حيث $ (1،1،0) in U $ and $ (0،0،1) in W $. ومع ذلك ، يمكن أيضًا التعبير عنها كـ

$(1,1,1)=(1,2,0)+(0,-1,1),$

حيث $ (1،2،0) in U $ and $ (0، -1،1) in W $. في الواقع ، هناك العديد من الطرق اللانهائية لتحليل هذا إلى مثل هذا المجموع - الأرقام في المكونات الثانية تحتاج فقط إلى جمع ما يصل إلى دولار واحد. نظرًا لأن تمثيل $ (1،1،1) $ كمجموع متجه في $ U $ والمتجه في $ W $ ليس فريدًا ، فهذا يعني أن المجموع $ R ^ 3 = U + W $ ليس فريدًا مباشرة.

من الصعب أحيانًا تحديد ما إذا كان المبلغ مباشرًا باستخدام التعريف فقط. سيتطلب هذا نوعًا من البصيرة حول سبب وجوب أن يكون مباشرًا ، أو عرضًا لمثال مضاد. يعطينا هذا الاقتراح التالي طريقة مبسطة إلى حد ما للتحقق مما إذا كان مجموع الفراغات الفرعية مباشرًا.

اقتراح. لنفترض أن $ U_1 ، U_2 ، ldots ، U_n $ هي مساحات فرعية لمساحة متجه $ V $ والتي

V = sum_^ n U_i. $

ثم

V = bigoplus_^ n U_i $

إذا وفقط إذا كانت اختيارات $ u_i in U_i $ التي ترضي

$ 0 = u_1 + u_2 + cdots + u_n $

هي المتجهات $ u_1 = u_2 = cdots = u_n = 0 $.

دليل - إثبات. أولاً ، افترض ذلك

V = bigoplus_^ n U_i ، $

ولكل $ i $ اختر $ u_i in U_i $ لذلك

$ 0 = u_1 + u_2 + cdots + u_n. $

لأن المبلغ أعلاه مباشر ، يجب أن يكون هذا التمثيل $ 0 $ فريدًا. يجب أن يكون الأمر كذلك أن $ u_1 = u_2 = cdots = u_n = 0 $.

افترض بعد ذلك أن الطريقة الوحيدة للإرضاء

$ 0 = u_1 + u_2 + cdots + u_n $

حيث $ u_i in U_i $ لكل $ i $ ، عن طريق أخذ $ u_1 = u_2 = cdots = u_n = 0 $. قد نكتب أي $ v in $

$ v = v_1 + v_2 + cdots + v_n ، tag <1> $

حيث $ v_i in U_i $ لكل $ i $. افترض أنه يمكننا الكتابة أيضًا

$ v = w_1 + w_2 + cdots + w_n ، tag <2> $

حيث $ w_i in U_i $ لكل $ i $ طرح $ (2) $ من عائد $ (1) $

$ 0 = ( v_1- w_1) + ( v_2- w_2) + cdots + ( v_n- w_n). $

لكل $ i $ ، لدينا هذا $ v_i- w_i in U_i $ ، نظرًا لأن كل $ U_i $ هو مساحة فرعية وبالتالي يتم إغلاقه تحت إضافة المتجه. وبالتالي ، نظرًا لأننا افترضنا أن $ 0 $ يمتلك تعبيرًا فريدًا لهذا النموذج ، فإنه يتبع ذلك $ v_i- w_i = 0 $ لكل $ i $. وهذا يعني ، $ v_i = w_i $ لكل $ i $. لقد أظهرنا أن تعبير $ v $ فريد ، وبالتالي

V = bigoplus_^ n U_i. $

تخبرنا هذه النتيجة أن كل ما يتعين علينا القيام به للتحقق من أن مجموع المسافات الفرعية مباشر هو التأكد من وجود طريقة واحدة فقط للتعبير عن المتجه الصفري كمجموع متجهات من كل فضاء فرعي. هذا بالتأكيد أبسط من التحقق من أن كل متجه له تمثيل فريد لهذا النموذج. ومع ذلك ، في حالة وجود فئتين فرعيتين ، يمكننا أن نفعل ما هو أفضل.

اللازمة - النتيجة. لنفترض أن $ U $ و $ W $ فضاءان فرعيان لمساحة متجه $ V $ وأن $ V = U + W $. ثم $ V = U oplus W $ إذا وفقط إذا كان $ U cap W = set < 0> $.

دليل - إثبات. افترض أولاً أن $ V = U oplus W $ واختر $ v in U cap W $. ثم $ v in U $ و $ v in W $ ، لذلك لدينا أيضًا $ - v in W $ لأن $ W $ هو فضاء فرعي من $ V $ ولذا يتم إغلاقه تحت الضرب القياسي ( في هذه الحالة بمقدار $ -1 $). وهكذا يمكننا أن نكتب

$ 0 = v + (- v) ، $

وهذا التعبير فريد من نوعه من خلال الاقتراح أعلاه. ويترتب على ذلك أن $ v = - v- 0 $ ، وبالتالي $ U cap W = set < 0> $.

بعد ذلك ، افترض أن $ U cap W = set < 0> $ and let

$ 0 = u + w ، $

حيث $ u in U $ و $ w in W $. ثم $ u = - w $ وهكذا $ - w in U $ ، مما يعني أن $ w in U $. نظرًا لأن $ w in U $ و $ w in W $ ، فإنه يتبع ذلك $ w in U cap W $. من خلال الفرضية ، هذا يعني أن $ w = 0 $ وبالتالي $ u = 0 $. لقد أظهرنا أن الطريقة الوحيدة لتحليل $ 0 $ بالصيغة أعلاه هي جمع المتجهات الصفرية. وبالتالي ، فإنه يترتب على الافتراض أعلاه أن $ V = U oplus W $ ، يكمل الإثبات.

تخبرنا هذه النتيجة أن مجموع مساحتين فرعيتين يكون مباشرًا عندما يكون تقاطعهما تافهًا. لسوء الحظ ، لا يتم تعميم هذه النتيجة على مجاميع مكونة من ثلاث مسافات فرعية أو أكثر. في الواقع ، في حالة وجود ثلاث مسافات فرعية أو أكثر ، فحتى التقاطعات الزوجية التي تكون تافهة لا تكفي لضمان أن يكون المجموع مباشرًا.

مجموعات سبان وخطي

بالنظر إلى مساحة المتجه $ V $ والمتجه $ v in V $ ، ما أصغر فضاء فرعي من $ V $ يحتوي على $ v $؟ إنه ليس سؤالًا خادعًا - الإجابة واضحة إلى حد ما في الواقع. إنها المجموعة $ U = set$ لجميع المضاعفات العددية لـ $ v $.من الواضح بالتأكيد أن $ U $ يفي بمعايير الفضاء الجزئي. علاوة على ذلك ، فإن المساحة الفرعية المناسبة الوحيدة لـ $ U $ هي $ set < 0> $ ، لذا فهي بالتأكيد أصغر مساحة فرعية لـ $ V $ والتي تحتوي على $ v $. هذه فكرة مهمة للغاية ، وهي تقودنا إلى تعريفنا التالي.

تعريف. إذا كان $ V $ عبارة عن مساحة متجهية بـ $ v في V $ ، فعندئذٍ امتداد من $ v $ هو الفضاء الجزئي

$ span v = set.$

علاوة على ذلك ، إذا كانت $ ( v_1، ldots، v_n) $ قائمة من النواقل في $ V $ ، فإن امتداد $ (v_1، ldots، v_n) $ هو الفضاء الفرعي

$ تبدأ
span ( v_1، ldots، v_n) & amp = sum_^ n امتداد v_i
& amp = sum_^ n مجموعة \
& amp = bset < sum_^ n a v_i in V mid a in F>.
نهاية$

من أجل الاتساق ، نحدد مدى القائمة الفارغة لتكون

$ span () = set < 0>. $

إذا كان $ V = span ( v_1، ldots، v_n) $ ، فإننا نقول أن $ V $ هو امتد من خلال القائمة $ ( v_1 ، ldots ، v_n) $ ، أو تلك القائمة يمتد $ الخامس $.

من المهم التمييز بين القوائم و مجموعات. في القائمة ، يكون ترتيب الإدخالات مهمًا ويمكن تكرار الإدخالات أكثر من مرة.

في التعريف أعلاه ، حددنا أولاً مدى متجه واحد ليكون أصغر مساحة فرعية تحتوي على هذا المتجه. ثم حددنا مدى قائمة المتجهات لتكون مجموع امتدادات كل متجه في القائمة.

بالتساوي ، فإن امتداد قائمة المتجهات هو فضاء فرعي يحتوي على كل مجموع ممكن من المضاعفات العددية لتلك المتجهات. من أجل تجنب الاضطرار إلى تكرار العبارة & quotsum للمضاعفات العددية & quot over and ove ، فإننا نحدد مصطلحًا جديدًا يعني نفس الشيء.

تعريف. لنفترض أن $ V $ عبارة عن مساحة متجه بها $ v_1 ، v_2 ، ldots ، v_n in V $. أ تركيبة خطية من المتجهات $ v_1 ، v_2 ، ldots ، v_n $ هو تعبير عن النموذج

$ sum_^ n a_i v_i = a_1 v_1 + a_2 v_2 + cdots + a_n v_n، $

حيث $ a_1 ، a_2 ، ldots ، a_n in F $.

مثال. ضع في اعتبارك المتجهات $ (1،2) $ و $ (3،4) $ و $ (0، -1) $ في مساحة المتجه $ R ^ 2 $. تتضمن بعض التركيبات الخطية لهذه المتجهات

$ تبدأ
(9،9) & أمبير = 3 (1،2) +2 (3،4) +5 (0 ، -1) ،
(-1،0) & amp = 2 (1،2) - phantom <1> (3،4) +0 (0، -1)،
(1،2) & amp = phantom <1> (1،2) +0 (3،4) +0 (0، -1).
نهاية$

مع هذا التعريف ، يمكننا الآن التفكير في امتداد قائمة المتجهات على أنها مجموعة من جميع التركيبات الخطية لتلك المتجهات. بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا الآن أن نرى أن مساحة المتجه $ V $ ممتدة بقائمة من المتجهات إذا كان يمكن التعبير عن كل متجه في $ V $ كمجموعة خطية من المتجهات في تلك القائمة.

على الرغم من أننا لسنا مستعدين تمامًا لتعريف ملف البعد من الفضاء المتجه ، لدينا الآن الآلية اللازمة للتمييز بين الفراغات المتجهية ذات الأبعاد المحدودة واللانهائية.

تعريف. الفضاء المتجه $ V $ هو متناهية الأبعاد إذا كانت موزعة بقائمة محدودة من النواقل في $ V $.

إذا لم تكن هناك قائمة محدودة من النواقل تمتد على $ V $ ، فإن $ V $ هو الأبعاد اللانهائية.

سنهتم بشكل أساسي بالمساحات المتجهية ذات الأبعاد المحدودة. هذه لها خصائص أجمل بكثير وهي أسهل بكثير في العمل معها ووضع تصور لها. يمكن أن يتم التصرف بشكل سيء للغاية في المساحات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية ويتم التعامل معها في فرع من فروع الرياضيات يسمى التحليل الوظيفي.

مثال. لأي عدد صحيح موجب $ n $ ، فضاء المتجه $ R ^ n $ هو أبعاد محدودة. هذا بسبب

$ تبدأ
R & amp = سبان (1) ،
R ^ 2 & amp = span big ((1،0)، (0،1) big)،
R ^ 3 & amp = span big ((1،0،0)، (0،1،0)، (0،0،1) big)،
R ^ 4 & amp = span big ((1،0،0،0)، (0،1،0،0)، (0،0،1،0)، (0،0،0،1) كبير)،
& أمبير vdots
نهاية$

بالطبع ، هناك قوائم أخرى من المتجهات التي تمتد على كل $ R ^ n $ ، ولكن لإظهار أن مساحة المتجه ذات أبعاد محدودة ، نحتاج فقط إلى إثبات وجود قائمة واحدة من هذا القبيل.

مثال. لقد تم تقديمنا بالفعل إلى فضاء متجه لا نهائي ، وهو $ P ( F) $. هذه هي مجموعة كثيرات الحدود ذات المعاملات في بعض الحقول $ F $.

لإثبات أنه لا نهائي الأبعاد ، ضع في اعتبارك أي قائمة محدودة من كثيرات الحدود في $ P ( F) $ واجعل $ n $ أعلى درجة من كثيرات الحدود في القائمة. ثم كثير الحدود $ x ^$ ليس ضمن نطاق هذه القائمة ، لذا فإنه يترتب على ذلك عدم وجود قائمة محدودة من كثيرات الحدود تمتد على $ P ( F) $.

مثال. من ناحية أخرى ، فضاء المتجه $ P_n ( F) $ متعدد الحدود الذي تكون درجته على الأكثر $ n $ هو أبعاد محدودة.

من المغري محاولة تحديد أبعاد الفضاء المتجه ذي الأبعاد المحدودة باستخدام الآلية التي طورناها بالفعل. ربما يمكننا محاولة تعريف بُعد $ V $ على أنه طول قائمة المتجهات التي تمتد على $ V $. لسوء الحظ ، هذا غير محدد جيدًا لأن مساحة المتجه يمكن أن تحتوي على العديد من القوائم الممتدة ذات الأطوال المختلفة. فمثلا،

لأنه يمكن التعبير عن أي متجه في $ R ^ 2 $ كمجموعة خطية من المتجهات في كل قائمة. في الواقع ، يمكننا دائمًا أخذ قائمة تمتد على مساحة متجه $ V $ ونضيف إليها أي متجه في $ V $ ، مما ينتج عنه قائمة جديدة تمتد أيضًا على $ V $. هذا يعني أن طول القائمة الممتدة ليس فريدًا بالتأكيد ، وبالتالي لا يمكننا تحديد البعد بهذه الطريقة.

الاستقلال الخطي

ومع ذلك ، يخبرنا الحدس أننا نسير على الطريق الصحيح. يجب أن يكون واضحًا إلى حد ما أن مساحة المتجه $ R ^ 2 $ لا يمكن أن تمتد من خلال أي قائمة تحتوي على أقل من نواقل اثنين. إذا كانت هذه هي الحالة حقًا ، فمن المنطقي تحديد بُعد $ R ^ 2 $ ليكون $ 2 $. لذلك سنعمل على معرفة الحد الأدنى لطول قائمة ممتدة من المتجهات. سيساعدنا المفهوم الهام للاستقلال الخطي ، الذي سنحدده الآن ، في ذلك.

تعريف. قائمة $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ من المتجهات في مساحة متجه $ V $ هو مستقل خطيا إذا كانت الخيارات الوحيدة من $ a_i in F $ التي ترضي

$ sum_^ n a_i v_i = 0 علامة <3> $

هي المقاييس $ a_1 = a_2 = cdots = a_n = 0 $.

إذا كان هناك $ a_i in F $ ، وليس كل الصفر ، حيث $ (3) $ معلق ، فإن القائمة $ ( v_1 ، v_2 ، ldots ، v_n) $ هي تعتمد خطيا.

في كل فراغ متجه ، يجب أن تكون أي قائمة تحتوي على متجه صفري مرتبطة خطيًا. هذا لأنه يمكننا أن نأخذ المعامل $ 0 $ ليكون أي عدد.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام.

مثال. في $ R ^ 2 $ ، القائمة

$ كبير ((0،1) ، (1،0) كبير) $

مستقل خطيًا لأن

$ a_1 (0،1) + a_2 (1،0) = (0،0) $

فقط إذا كان $ a_1 = a_2 = 0 $. بغض النظر عن مدى صعوبة المحاولة ، لا يمكننا التوصل إلى أي مجموعة خطية أخرى من هذه المتجهات التي ينتج عنها المتجه الصفري.

ومع ذلك ، إذا أضفنا $ (1،0) $ إلى القائمة ، فإن القائمة الناتجة

$ big ((0،1)، (1،0)، (1،0) big) $

يعتمد خطيًا لأن

$0(0,1)+(1,0)-(1,0)=(0,0).$

مثال. كمثال أقل أهمية ، القائمة

$ big ((1،2) ، (2،3) ، (3،4) ، (4،5) كبير) $

يعتمد أيضًا على خطي لأن

$(1,1)+(2,3)-5(3,4)+3(4,5)=(0,0).$

حتى الآن ، كنا نوعا ما نسج شبكة ملتوية من الأفكار المترابطة. ترتبط نظريتنا التالية بهم جميعًا وتعطي توصيفًا بديلًا للاستقلالية الخطية من حيث الامتدادات والمجموع المباشر.

نظرية. قائمة $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ من المتجهات غير الصفرية في مساحة متجهية $ V $ مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا

$ span ( v_1، v_2، ldots، v_n) = bigoplus_^ n span v_i. $

دليل - إثبات. أولاً ، افترض أن القائمة $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ مستقلة خطياً. ثم من خلال تعريف الامتداد ، لدينا ذلك

$ span ( v_1، v_2، ldots، v_n) = sum_^ n span v_i. $

من اقتراحنا السابق ، نحتاج إلى إظهار أن خيارات $ u_i in span v_i $ فقط

$ 0 = u_1 + u_2 + cdots + u_n $

هي النواقل

$ u_1 = u_2 = cdots = u_n = 0. $

منذ $ u_i in span v_i $ لكل $ i $ ، لدينا هذا $ u_i = a_i v_i $ لبعض $ a_i in F $. بما أن $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ مستقل خطيًا ، لدينا هذا

$ تبدأ
0 & amp = a_1 v_1 + a_2 v_2 + cdots + a_n v_n
& amp = u_1 + u_2 + cdots + u_n
نهاية$

فقط إذا كان $ a_1 = a_2 = cdots = a_n = 0 $ ، مما يعني أن $ u_i = 0 $ لكل $ i $. إذا تبع ذلك فإن المبلغ المطلوب يكون مباشرًا.

افترض بعد ذلك

$ span ( v_1، v_2، ldots، v_n) = bigoplus_^ n span v_i. $

مرة أخرى من الاقتراح أعلاه ، نعلم أن الخيارات الوحيدة لـ $ u_i in span v_i $ التي ترضي

$ u_1 = u_2 = cdots = u_n = 0. $

نظرًا لأن كل $ u_i in span v_i $ ، فإنه يتبع ذلك لكل $ i $ ، هناك بعض $ a_i in F $ الذي $ u_i = a_i v_i $. نظرًا لأن كل $ v_i ne 0 $ ، يجب أن يكون كل $ a_i = 0 $. وبالتالي ، فإن القائمة $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ مستقلة خطيًا.

تؤسس هذه النظرية طريقة مختلفة إلى حد ما للتفكير في الاستقلال الخطي ، وبما أن الاثنين متكافئان ، فنحن أحرار في استخدام أي منهما كتعريف للاستقلال الخطي.

القوائم المعتمدة خطيًا لها خاصية مثيرة للاهتمام ، لكنها غير مرغوب فيها إلى حد ما ، والتي سيتم شرحها في النظرية التالية. تُسمى هذه النتيجة عمومًا بالاعتماد الخطي lemma ، وستكون ضرورية للعديد من الحجج المستقبلية. وهي تنص على أن أي قائمة تعتمد خطيًا تحتوي على متجه يقع في نطاق المتجهات السابقة في القائمة. علاوة على ذلك ، فإنه يؤكد أن إزالة هذا المتجه من القائمة لا يؤثر على مدى القائمة.

الاعتماد الخطي Lemma / Steinitz Exchange Lemma. افترض أن $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ هي قائمة تعتمد خطيًا من النواقل في مساحة متجه $ V $ والتي $ v_1 ne 0 $ لها. ثم يوجد رقم طبيعي $ i ge 2 $ له

$ (a) $ $ v_i in span ( v_1، v_2، ldots، v_n) $،
ينتج $ (b) $ remove $ v_i $ من $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ في قائمة بنفس الامتداد.

دليل - إثبات. بما أن $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ يعتمد خطيًا ، فهناك $ a_1 ، a_2 ، ldots ، a_n in F $ ، وليس كل الصفر ، والذي

$ a_1 v_1 + a_2 v_2 + cdots + a_n v_n = 0. $

لقد افترضنا أن $ v_1 ne 0 $ ، لذلك من الممكن أن $ a_1 = 0 $ ، لكن ليس كل $ a_2 ، a_3 ، ldots ، a_n $ يمكن أن يساوي صفرًا. لنفترض أن $ i $ هو أكبر مؤشر له $ a_i ne 0 $. ثم

$ a_1 v_1 + a_2 v_2 + cdots + a_i v_i = 0 ، $

حتى نكتب

$ v_i = - frac v_1- فارك v_2 - cdots - فارك<>>الخامس_.$

نظرًا لأننا عبرنا عن $ v_i $ كمجموعة خطية من $ v_1 ، v_2 ، ldots ، v_$ ، يتبع ذلك $ v_i in span ( v_1، v_2، ldots، v_n) $. يكمل هذا إثبات $ (a) $.

بعد ذلك ، اختر أي $ u in span ( v_1، v_2، ldots، v_n) $. بحكم التعريف ، يوجد $ a_1 ، a_2 ، ldots ، a_n in F $ الذي

$ u = a_1 v_1 + a_2 v_2 + cdots + a_n v_n. $

باستخدام نتيجة $ (a) $ ، يمكننا استبدال $ v_i $ في المعادلة أعلاه بمجموعة خطية من المتجهات $ v_1 ، v_2 ، ldots ، v_$. وبالتالي ، فإن $ u $ موجود أيضًا في نطاق القائمة التي تنتج عن إزالة $ v_i $.

سنثبت الآن أن القوائم المستقلة خطيًا تمتلك الخاصية التي ذكرتها سابقًا. وبالتحديد ، سنوضح أن القوائم المستقلة خطيًا هي أقصر قوائم ممتدة ممكنة.

نظرية. في أي فضاء متجه ذي أبعاد محدودة $ V $ ، لا يكون طول قائمة المتجهات التي تمتد على $ V $ أقصر من أي قائمة مستقلة خطيًا.

دليل - إثبات. افترض أن $ ( u_1، u_2، ldots، u_m) $ هي قائمة من النواقل التي تمتد على $ V $ ، وأن $ ( v_1، v_2، ldots، v_n) $ قائمة مستقلة خطيًا. هذا يعني $ v_i ne 0 $ لكل $ i $. سوف نظهر أن $ m ge n $ من خلال البناء الحسابي التالي.

الخطوة 1.
نظرًا لأن $ ( u_1، u_2، ldots، u_m) $ يمتد $ V $ ، فإن إضافة أي متجه إلى هذه القائمة يجب أن ينتج عنه قائمة تعتمد خطيًا. وهي القائمة $ L_ <1،1> = ( v_1، u_1، u_2، ldots، u_m) $ تعتمد خطيًا. يترتب على ذلك من الاعتماد الخطي lemma وجود عدد صحيح موجب $ i le m $ يؤدي إلى إزالة $ u_i $ من $ L_ <1،1> $ في قائمة جديدة $ L_ <1،2> $ الذي لا يزال يمتد على $ V $. لاحظ أن $ L_ <1،2> $ قائمة بطول $ m $. لتبسيط الأمور ، نستبدل فهرس كل $ u_j $ الذي $ j & gti $ بـ $ j-1 $ ، حتى نتمكن من كتابة

$ L_ <1،2> = ( v_1، u_1، u_2، ldots، u_).$

الخطوة ك.
لأن القائمة $ L_يمتد $ من الخطوة السابقة على $ V $ ، إضافة أي متجه إلى هذه القائمة يجب أن ينتج عنه قائمة تعتمد خطيًا. وهي القائمة $ L_تم تشكيل $ عن طريق إضافة $ v_k $ إلى بداية $ L_$ يعتمد خطيا. ويترتب على ذلك من الاعتماد الخطي lemma أنه يمكننا إزالة بعض المتجهات من $ L_$ دون التأثير على مداه. حيث

L دولار= ( v_k، v_، ldots ، v_1 ، u_1 ، u_2 ، ldots ، u_)$

و $ ( v_k، v_، ldots، v_1) $ مستقل خطيًا ، يجب أن يوجد عدد صحيح موجب $ i le m-k + 1 $ من أجل إزالة $ u_i $ من $ L_نتائج $ في قائمة جديدة $ L_$ الذي لا يزال يمتد على $ V $. لاحظ أن $ L_$ قائمة بطول $ m $. بعد ذلك ، نستبدل فهرس كل $ u_j $ الذي $ j & gti $ به $ j-1 $ ، حتى نتمكن من كتابة

L دولار= ( v_k، v_، ldots ، v_1 ، u_1 ، u_2 ، ldots ، u_).$

في نهاية الخطوة $ n $ ، استخدمنا كل $ v_i $ وهكذا تنتهي الخوارزمية. لا يمكن إنهاؤه قبل هذا لأن كل قائمة $ K_يعتمد $ خطيًا ، وبالتالي $ m-n ge 0 $. نستنتج أن $ m ge n $ ، حسب الرغبة.

البراهين الخوارزمية مثل ما سبق شائعة في الجبر الخطي. للجبر الخطي تطبيقات في كل مجال تقريبًا ، جزئيًا لأنه يفسح المجال بشكل جيد للحساب.

سأنتهي هنا الآن ، وفي المرة القادمة سأتحدث عن قواعد المساحات المتجهة.


القسم 4.1 المساحات الفرعية والامتداد

التعريف: فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ اللاتكس] هو أي مجموعة ح في [اللاتكس] mathbb^ n [/ لاتكس] له ثلاث خصائص:

أ) المتجه الصفري في ح.

ب) لكل [لاتكس] vec[/ لاتكس] و [لاتكس] vec[/ اللاتكس] في ح، مجموع [اللاتكس] vec + vec[/ اللاتكس] في ح.

ج) لكل [لاتكس] vec[/ اللاتكس] في ح وكل عددي [لاتكس] ج [/ لاتكس] في [لاتكس] mathbb[/ لاتكس] ، المتجه [اللاتكس] ج vec[/ اللاتكس] في ح.

الحقيقة: تعريف الفضاء الجزئي هندسي ، والمستوى الذي يمر عبر الأصل هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ 3 [/ لاتكس].

مثال 1 : دع [اللاتكس] H = تبدأيبدأx y end: x geq 0، y geq 0 end[/ لاتكس] الربع الأول في الطائرة [اللاتكس] xy [/ اللاتكس]. عرض (أ): إذا كان [اللاتكس] vec[/ لاتكس] و [لاتكس] vec[/ اللاتكس] في ح ثم [اللاتكس] vec + vec[/ اللاتكس] في ح، (ب): ابحث عن ناقل [لاتكس] vec[/ لاتكس] وعددي [لاتكس] ج [/ لاتكس] مثل [لاتكس] ج vec[/ لاتكس] ليس في ح ( هذا يبين الخامس ليس فضاءً فرعيًا لـ [اللاتكس] mathbb^ 2 [/ لاتكس]).

التمرين 1 : دع [اللاتكس] H = تبدأيبدأx y end: xy geq 0، end[/ latex] اتحاد الربع الأول والربع الثالث في الطائرة [اللاتكس] xy [/ اللاتكس]. عرض (أ): إذا كان [اللاتكس] vec[/ اللاتكس] في ح وأي عددي [لاتكس] ج [/ لاتكس] ، ثم [لاتكس] ج vec[/ اللاتكس] في ح، (ب): ابحث عن المتجهات [اللاتكس] vec[/ لاتكس] و [لاتكس] vec[/ اللاتكس] في ح مثل أن [اللاتكس] vec + vec[/ لاتكس] ليس في ح.

الحقيقة: 1. المجموعة لا تحتوي إلا على متجه صفري ، [اللاتكس] vec <0> [/ اللاتكس] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ latex] ونحن نسميها صفر فضاء فرعي مكتوب كـ [اللاتكس] start vec <0> نهاية[/ لاتكس].

2. [اللاتكس] mathbb^ 2 [/ latex] ليس فضاءً فرعيًا لـ [اللاتكس] mathbb^ 3 [/ لاتكس] لكن [لاتكس] H = startيبدأأ ب 0 نهاية: أ ، ب & نص & mathbb^ n النهاية[/ لاتكس] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ 3 [/ لاتكس].

النظرية: If [latex] vec>، cdots، vec<>

> [/ اللاتكس] هي نواقل في [اللاتكس] mathbb^ n [/ latex] ، ثم Span [اللاتكس] start vec>، cdots، vec<>

> النهاية[/ لاتكس] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ ن [/ لاتكس].

مثال 2 : يترك ح كن مجموعة من جميع النواقل على شكل [لاتكس] (2a + 3b، -a + 2b، 2a، -b) [/ latex] في [اللاتكس] mathbb^ 4 [/ latex] حيث توجد [اللاتكس] أ ، ب [/ اللاتكس] في [اللاتكس] mathbb[/ لاتكس]. تبين ح هي فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ 4 [/ لاتكس].

تمرين 2 : يترك ح كن مجموعة من جميع النواقل بالشكل [لاتكس] (s + 4t، -s + t، 2s + t، s - 2t) [/ latex] في [اللاتكس] mathbb^ 4 [/ latex] حيث توجد [latex] s، t [/ latex] في [اللاتكس] mathbb[/ لاتكس]. تبين ح هي فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ 4 [/ لاتكس].

مثال 3 : يترك دبليو تكون مجموعة من جميع النواقل بالشكل الموضح حيث [اللاتكس] أ ، ب ، ج [/ لاتكس] هي عدديات. إما أن تجد مجموعة من النواقل التي تمتد دبليو أو عرض دبليو ليس مساحة فرعية.

(أ) [اللاتكس] ابدأ2 أ + ب - 3 أ + ب 2 نهاية[/ لاتكس] (ب) [لاتكس] إبدأ-a + b - c 2a + b 4c 3b + c end[/ لاتكس].

التمرين 3 : يترك دبليو تكون مجموعة من جميع النواقل بالشكل الموضح حيث [اللاتكس] أ ، ب ، ج [/ لاتكس] هي عدديات. إما أن تجد مجموعة من النواقل التي تمتد دبليو أو عرض دبليو ليس مساحة فرعية.

(أ) [اللاتكس] ابدأ1 - a + b 2a-b end[/ لاتكس] (ب) [لاتكس] إبدأ-a + 2b - c a - b 0 3b + 3c end[/ لاتكس].

التعريف: مساحة العمود لمصفوفة [لاتكس] م مرات n [/ لاتكس] [لاتكس] أ [/ لاتكس] هي مجموعة العمود [لاتكس] أ [/ لاتكس] لجميع التركيبات الخطية لأعمدة [لاتكس] ا [/ لاتكس]. مساحة الصورة لمصفوفة [اللاتكس] m times n [/ latex] [latex] A [/ latex] ، تشير إلى Im [latex] A [/ latex] ، محددة بواسطة Im [اللاتكس] A = startأ vec| vec & نص & mathbb^ n النهاية[/ لاتكس]. Im [latex] A = [/ latex] العمود [اللاتكس] A [/ latex] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ ن [/ لاتكس].

الحقيقة: 1. إذا كانت [اللاتكس] A = تبدأ vec> cdots vec<>> النهاية[/ لاتكس] مع الأعمدة في [اللاتكس] mathbb^ m [/ latex] ثم Col [latex] A [/ latex] هو نفسه Span [اللاتكس] begin vec>، cdots، vec<>> النهاية[/ لاتكس] فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ م [/ لاتكس].

2. المتجه [اللاتكس] vec[/ لاتكس] هو مزيج خطي من أعمدة [اللاتكس] A [/ اللاتكس] إذا وفقط إذا [اللاتكس] vecيمكن كتابة [/ latex] كـ [اللاتكس] A vec[/ لاتكس] لبعض [اللاتكس] vec[/ لاتكس] ، أي إذا وفقط إذا كانت المعادلة [لاتكس] أ vec = vec[/ لاتكس] له حل إذا وفقط إذا كان [اللاتكس] A vec = vec[/ لاتكس] متسقة و [لاتكس] vec[/ لاتكس] في العمود [لاتكس] أ [/ لاتكس].

مثال 4 : اعرض [اللاتكس] ابدأ1 2 3 نهاية[/ لاتكس] في العمود [اللاتكس] أ [/ لاتكس] حيث [اللاتكس] أ = تبدأ1 & 2 & -1 3 & 0 & 2 0 & -1 & 2 نهاية[/ لاتكس].

التمرين 4 : اعرض [اللاتكس] ابدأ2 1 - 1 نهاية[/ لاتكس] في العمود [اللاتكس] أ [/ لاتكس] حيث [اللاتكس] أ = تبدأ2 & 1 & 1 1 & 0 & -2 0 & -1 & 2 نهاية[/ لاتكس].

مثال 5 : ابحث عن القيم [اللاتكس] h [/ latex] مثل أن [اللاتكس] vec[/ لاتكس] في الامتداد الفرعي بواسطة [اللاتكس] vec>، vec>، vec> [/ لاتكس] حيث [اللاتكس] vec = ابدأ1 2 h end، vec> = ابدأ-1 0 3 نهاية، vec> = ابدأ0 2 4 نهاية[/ لاتكس] و [لاتكس] vec> = ابدأ-2 4 14 نهاية[/ لاتكس].

التمرين 5 : ابحث عن القيم [اللاتكس] h [/ latex] مثل أن [اللاتكس] vec[/ لاتكس] في الامتداد الفرعي بواسطة [اللاتكس] vec>، vec>، vec> [/ لاتكس] حيث [اللاتكس] vec = ابدأ1 ح 3 نهاية، vec> = ابدأ0 1 3 end، vec> = ابدأ3 0 4 نهاية[/ لاتكس] و [لاتكس] vec> = ابدأ6 - 2 2 نهاية[/ لاتكس].

التعريف: الفراغ الفارغ لمصفوفة [لاتكس] A [/ لاتكس] هو مجموعة خالية [لاتكس] A [/ لاتكس]

(أو Nul [latex] A [/ latex]) لجميع حلول المعادلة المتجانسة [اللاتكس] A overrightarrow= overrightarrow <0>. [/ لاتكس]

نظرية: الفضاء الفارغ لملف [اللاتكس] m times n [/ latex] المصفوفة [اللاتكس] A [/ latex] هي فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^[/ لاتكس]. بالتساوي ، مجموعة من جميع حلول نظام [اللاتكس] أ overrightarrow= overrightarrow <0> [/ لاتكس] من [اللاتكس] م [/ لاتكس] المعادلات الخطية المتجانسة في [لاتكس] ن [/ لاتكس] المجهول هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^[/ لاتكس].

المثال 6: أوجد المساحة الفارغة لـ [اللاتكس] A = start1 & -1 & 2 - 4 & 4 & 5 - 2 & 2 & 9 نهاية[/ لاتكس].

التمرين 6: أوجد المساحة الفارغة لـ [اللاتكس] A = start3 & -1 & 1 9 & -7 & -8 2 & -2 & -3 نهاية[/ لاتكس].

ملاحظة: [اللاتكس] E _ < lambda> (A) = text(A- lambda I) [/ لاتكس] هي فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^[/ لاتكس] لكل [لاتكس] n مرات n [/ لاتكس] مصفوفة [لاتكس] أ [/ لاتكس] ورقم [لاتكس] لامدا [/ لاتكس]. [اللاتكس] lambda [/ اللاتكس] هي قيمة ذاتية لـ [اللاتكس] A [/ اللاتكس] إذا كان [اللاتكس] E _ < lambda> (A) neq < overrightarrow <0> > [/ latex] و [اللاتكس] E _ < lambda> (A) [/ لاتكس] تسمى مساحة eigenspace من [اللاتكس] A [/ اللاتكس] المقابل [اللاتكس] lambda [/ اللاتكس]. النواقل غير الصفرية في [اللاتكس] E _ < lambda> (A) [/ اللاتكس] هي المتجهات الذاتية لـ [اللاتكس] A [/ اللاتكس] المقابلة لـ [اللاتكس] لامدا [/ اللاتكس].

المثال 7: أوجد [اللاتكس] E_ <2> (A) = text(A-2I) [/ اللاتكس] حيث [اللاتكس] A = تبدأA = 2 & 0 & 0 1 & 2 & -1 1 & 3 & -2 end[/ لاتكس].

التمرين 7: أوجد [اللاتكس] E_ <-1> (A) = text(A + I) [/ لاتكس] حيث [اللاتكس] A = تبدأA = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 end[/ لاتكس].

GroupWork 1: صواب أم خطأ. برر كل إجابة:

أ. فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ latex] هي أي مجموعة [لاتكس] H [/ لاتكس] مثل (1) المتجه الصفري في [اللاتكس] H [/ اللاتكس] ، (ii) [اللاتكس] vec، vec[/ لاتكس] و [لاتكس] vec + vec[/ اللاتكس] موجود في [اللاتكس] H [/ اللاتكس] (3) [اللاتكس] ج [/ اللاتكس] عددي ، [اللاتكس] ج vec[/ لاتكس] موجود في [اللاتكس] H [/ اللاتكس].

ب. إذا كان [اللاتكس] vec>، cdots، vec<>

> [/ اللاتكس] في [اللاتكس] mathbb^ n [/ لاتكس] ، ثم امتد [لاتكس] ابدأ vec>، cdots، vec<>

> النهاية[/ latex] هي نفسها مساحة العمود في المصفوفة [اللاتكس] start vec>، cdots، vec<>

> النهاية[/ لاتكس].

ج. مجموعة كل حلول نظام [لاتكس] م [/ لاتكس] معادلات متجانسة في [لاتكس] ن [/ لاتكس] فضاء فرعي من [لاتكس] mathbb^ م [/ لاتكس].

د. المساحة الفارغة لمصفوفة [اللاتكس] m times n [/ latex] هي مساحة فرعية من [اللاتكس] mathbb^ ن [/ لاتكس].

ه. مساحة العمود في المصفوفة [اللاتكس] A [/ اللاتكس] هي مجموعة حلول [اللاتكس] A vec = vec[/ لاتكس].

GroupWork 2: إنشاء مصفوفة غير صفرية [لاتكس] 3 مرات 3 [/ لاتكس] مصفوفة [لاتكس] A [/ لاتكس] ومتجه غير صفري [لاتكس] vec[/ لاتكس] مثل [اللاتكس] vec[/ لاتكس] في العمود [لاتكس] أ [/ لاتكس] ، لكن [لاتكس] vec[/ لاتكس] ليس هو نفسه أي عمود من أعمدة [لاتكس] أ [/ لاتكس].

GroupWork 3: افترض أن [latex] F [/ latex] عبارة عن مصفوفة [latex] 5 times 5 [/ latex] لا تساوي مساحة عمودها [latex] mathbb^ 5 [/ لاتكس]. ماذا يمكنك أن تقول عن Nul [اللاتكس] F [/ اللاتكس]؟

GroupWork 4: في كل حالة إما إظهار أن العبارة صحيحة أو تعطي
مثال يوضح أنه خطأ.

أ. إذا كان [اللاتكس] U neq mathbb^ n [/ latex] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ لاتكس] و [لاتكس] vec + vec[/ اللاتكس] في [اللاتكس] U [/ اللاتكس] ثم [اللاتكس] vec[/ لاتكس] و [لاتكس] vec[/ لاتكس] كلاهما في [لاتكس] يو [/ لاتكس].

ب. إذا كان [اللاتكس] U [/ اللاتكس] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ لاتكس] و [لاتكس] r vec[/ لاتكس] موجود في [اللاتكس] U [/ اللاتكس] لجميع [اللاتكس] r [/ اللاتكس] في [اللاتكس] mathbb[/ لاتكس] ثم [لاتكس] vec[/ لاتكس] في [لاتكس] يو [/ لاتكس].

ج. إذا كان [اللاتكس] U [/ اللاتكس] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ n [/ لاتكس] و [لاتكس] vec[/ اللاتكس] في [اللاتكس] U [/ اللاتكس] ثم [اللاتكس] - vec[/ لاتكس] موجود أيضًا في [اللاتكس] U [/ اللاتكس].

د. إذا كان [اللاتكس] vec[/ اللاتكس] في [اللاتكس] U [/ اللاتكس] و [اللاتكس] U = [/ اللاتكس] الامتداد [اللاتكس] البدء vec، vecنهاية[/ لاتكس] ، ثم [لاتكس] U = [/ لاتكس] تمتد [لاتكس] تبدأ vec، vec، vecنهاية[/ لاتكس].

ه. مجموعة المتجهات الفارغة في [اللاتكس] mathbb^ n [/ latex] هو فضاء فرعي من [اللاتكس] mathbb^ ن [/ لاتكس].

GroupWork 5: بناء مصفوفة غير صفرية [لاتكس] 3 مرات 3 [/ لاتكس] مصفوفة [لاتكس] A [/ لاتكس] ومتجه [لاتكس] vec[/ لاتكس] مثل [اللاتكس] vec[/ لاتكس] ليس في العمود [لاتكس] أ [/ لاتكس].

GroupWork 6: إذا كانت [latex] A [/ latex] عبارة عن مصفوفة [latex] 5 times 5 [/ latex] و Nul [latex] A [/ latex] هي المساحة الفرعية الصفرية ، فماذا يمكنك أن تقول عن حلول معادلات شكل [اللاتكس] A vec = vec[/ لاتكس] لـ [اللاتكس] vec[/ اللاتكس] في [اللاتكس] mathbb^ 5 [/ لاتكس]؟


7.2 مجموعة الأساس والامتداد

غالبًا ما تكون المصطلحات الامتداد والمجموعة الممتدة ومجموعة الأساس مصدر إرباك للطلاب. نحن نفهم بالفعل مدى مجموعة المتجهات من القسم الفرعي السابق. أ مجموعة تمتد من الفضاء الجزئي هو ببساطة أي مجموعة من النواقل لأي منهم . هناك العديد من الطرق لقول هذا والتي قد تظهر في العديد من الكتب المدرسية: مجموعة المتجهات هو مجموعة تمتد إلى عن على .

هل يمكننا أن نستنتج من الفحص ما إذا كانت مجموعة من النواقل تمتد على فضاء فرعي معين أم لا؟ لنفكر في مجموعتين من المتجهات و :

كلاهما و تتكون من متجهين. لكن لا تنخدع في التفكير في ذلك و كلا الطائرات تمتد. في ، المتجه الثاني هو مضاعف الأول (). في من المستحيل العثور على قيمة لأي منهم . وهكذا ، نقول أن المتجهات في نكون مستقل خطيا. بشكل رسمي ، تكون مجموعة المتجهات مستقلة خطيًا إذا لم يكن من الممكن كتابة أي منها كمزيج خطي للعديد من المتجهات الأخرى في المجموعة. وبُعد الفضاء الجزئي الممتد بواسطة مجموعة من المتجهات يساوي عدد المتجهات المستقلة خطيًا في تلك المجموعة. وبالتالي، و مما يعنى يمتد على خط و يمتد على متن طائرة.

تقودنا مناقشة الاستقلال الخطي إلى مفهوم أ مجموعة الأساس. الأساس هو وسيلة لتحديد فضاء فرعي بالحد الأدنى من المتجهات المطلوبة. لو هو أساس تم تعيينه لمساحة فرعية ، ثم كل متجه في () يمكن كتابتها كـ . علاوة على ذلك ، فإن سلسلة الحجميات يُعرف باسم إحداثيات لمتجه بالنسبة إلى الأساس .

نحن بالفعل على دراية كبيرة بالأساس والمجموعة المنسقة المعروفة باسم مجموعة الأساس القياسية. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، هذا هو ببساطة ملف , ، و المحاور التي تتم كتابتها على أنها متجهات معروفة باسم نواقل الأساس القياسي لـ :

إلى عن على الأبعاد ، مجموعة الأساس القياسية هي . للتلخيص ، يمكن أن يكون الأساس مفيدًا جدًا في تحديد ليس فقط مساحة فرعية بداخله ، ولكن لتحديد أي نقطة داخل تلك المساحة الفرعية بنظام مرجعي موحد يسمى الإحداثيات.

السؤال التالي الذي قد يطرحه المرء هو كيفية تحديد أبعاد مدى مجموعة المتجهات () وكيفية العثور على مجموعة الأساس في ضوء مجموعة الامتداد. للإجابة على السؤال الأول ، نتذكر تعريف رتبة المصفوفة على أنها عدد الأعمدة المحورية في المصفوفة. مع هذا التعريف ، يمكننا جمع المتجهات في في مصفوفة وذكر ما يلي:

لذلك ، امتدت أبعاد الفضاء الجزئي بواسطة المتجهات في من خلال عدد الأعمدة المحورية في . علاوة على ذلك ، فإن الأعمدة التي تحتوي على محاور في مصفوفة RREF تتوافق مع الأعمدة التي تكون متجهات مستقلة خطيًا عن المصفوفة الأصلية . تشكل المتجهات الخطية المستقلة مجموعة الأساس. يوفر Gauss-Jordan Elimination بالفعل خوارزمية قياسية للبحث وبالتالي الأساس ل . لنأخذ المجموعة التالية كمثال:

وهكذا ، امتدت الفضاء الجزئي بواسطة هي طائرة في . من المهم أيضًا ملاحظة أن شكل RREF للمصفوفة يعطينا معلومات أكثر من مجرد المتجهات المستقلة خطيًا. تخبرنا الأعمدة غير المحورية بالضبط ما هي المجموعات الخطية للمتجهات المستقلة خطيًا المطلوبة لإعطاء الأعمدة التابعة. على سبيل المثال ، بناءً على العمودين الثالث والرابع من مصفوفة RREF أعلاه يمكننا قول ذلك و .

أخيرًا ، ربما لاحظت الآن أن الأساس ليس فريدًا لمساحة فرعية معينة. إذا رتبنا أعمدة المصفوفة بشكل مختلف ، لكنا حصلنا على أساس مختلف.


9: الفراغات الفرعية ومجموعات الامتداد

الفراغات المتجهية والفراغات الفرعية ، مجموعات المتجهات المعتمدة والمستقلة خطيًا ، الفضاء الممتد بواسطة مجموعة من المتجهات ، أساس فضاء متجه ، مجموع مساحة التقاطع لمساحتين متجهتين ، أنظمة الإحداثيات في فضاءات المتجهات ، التغييرات في الإحداثيات بسبب التغيير في الأساس

ديف. الفضاء المتجه. تسمى أي مجموعة من المتجهات n على حقل F والتي يتم إغلاقها تحت كل من الجمع والضرب القياسي مساحة متجه.

الإغلاق تحت الإضافة. يقال إن مجموعة من المتجهات تكون مغلقة تحت الجمع إذا كان مجموع أي اثنين منها متجهًا للمجموعة.

إغلاق تحت الضرب العددي. يقال إن مجموعة من المتجهات تكون مغلقة في ظل الضرب القياسي إذا كان كل مضاعف عددي لمتجه المجموعة هو متجه للمجموعة.

مثال 1. لنفترض أن Q هي المجموعة المكونة من مجموعتين حقيقيتين (x1، س2). تم إغلاق هذه المجموعة Q فيما يتعلق بكل من إضافة المتجه والضرب القياسي: لأي متجهين أ و ب وأي متجهين X و Y ، فإن المتجه Z = aX + bY هو عضو في Q. وبالتالي فإن Q هو مساحة متجه. إنه Real 2-space ، V2(R) أي أنها مجموعة جميع النواقل الممتدة من الأصل إلى جميع نقاط المستوى.

مثال 2. لنفترض أن Q هي المجموعة المكونة من 3 مجموعات حقيقية (x1، س2، س3). تم إغلاق هذه المجموعة Q فيما يتعلق بكل من إضافة المتجه والضرب القياسي: لأي متجهين أ و ب وأي متجهين X و Y ، فإن المتجه Z = aX + bY هو عضو في Q. وبالتالي فإن Q هو مساحة متجه. إنه Real 3-space ، V3(R) أي أنها مجموعة جميع النواقل الممتدة من الأصل إلى جميع نقاط الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مثال 3. لنفترض أن Q هي المجموعة المكونة من 4 مجموعات حقيقية (x1، س2، س3، س4). تم إغلاق هذه المجموعة Q فيما يتعلق بكل من إضافة المتجه والضرب القياسي: لأي متجهين أ و ب وأي متجهين X و Y ، فإن المتجه Z = aX + bY هو عضو في Q. وبالتالي فإن Q هو مساحة متجه. إنه Real 4-space ، V4(ص).

مثال 4. دع X1 = (2 ، 5 ، 4) ، و X2 = (9 ، 3 ، 8) ، متجهان في Real 3-space ، V.3(ص). ثم

أين ك1، ك2و. ،كم هي فضاء متجه. إنه فضاء فرعي ثنائي الأبعاد لـ V.3(ص). إنه يتوافق مع تلك الطائرة التي تمر عبر المتجهين X1 و X2.

مزيج خطي من النواقل. المتجه ج1x1 + ج2x2 +. + جمxم مع القيم العددية التعسفية للمعاملات ج1، ج2و. ، جم يسمى مجموعة خطية من المتجهات x1، س2و. ، سم .

نظرية. إذا كان X1، X2و. ، Xم هي م ن نواقل من الخامسن(F) ، مجموعة كل التركيبات الخطية

أين ك1، ك2و. ،كم هي فضاء متجه.

إذا ، في النظرية أعلاه ، m & lt n ، المسافة المقابلة للمنتج

سيكون فضاء فرعي من الفضاء المتجه Vن(F). كمثال ، انظر المثال 4 أعلاه.

مسافات المتجهات والمساحات الفرعية & # 8211 أمثلة.

1. لنفترض أن A و B هما أي متجهين غير متصلين في المستوى x-y. ثم يمكن التعبير عن أي متجه X آخر في المستوى كمجموعة خطية من المتجهين A و B. وهذا يعني وجود أرقام k1 و ك2 مثل أن X = k1أ + ك2B لأي متجه X. على العكس من ذلك ، فإن أي مجموعة خطية من المتجهين A و B تعطي متجهًا في المستوى x-y. لاحظ فكرة الإغلاق المعنية. يمكن الحصول على أي متجه في المستوى كمجموعة خطية من A و B وأي تركيبة خطية تعطي بعض المتجه في المستوى. إنه نظام مغلق. إنها مساحة متجهية.

2. لنفترض أن A و B و C هي أي ثلاثة متجهات غير مستوية في نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. ثم يمكن التعبير عن أي متجه في نظام الإحداثيات x-y-z هذا كمجموعة خطية من A و B و C. أي توجد أرقام k1، ك2، و ك3 مثل أن X = k1أ + ك2ب + ك3C لأي متجه X. على العكس من ذلك ، فإن أي مجموعة خطية من A و B و C تعطي بعض المتجه في نظام الإحداثيات x-y-z. لاحظ فكرة الإغلاق المعنية. إنه نظام مغلق. إنها مساحة متجهية. دعونا نسميها & # 8220Vector space Q & # 8221.

3. قم بتمرير أي مستوى من خلال أصل نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. قم بالإشارة إلى المستوي بواسطة K. لنفترض أن A و B هما أي متجهين غير متصلين يقعان في المستوى K. ثم أي مجموعة خطية من المتجهات A و B هي متجه يقع في المستوى K (أي إذا كان c1 وج2 أي رقمين ، المتجه X = ج1أ + ج2تقع B في المستوى K). علاوة على ذلك ، يمكن التعبير عن أي متجه موجود في المستوى K كمجموعة خطية من المتجهات A و B (على سبيل المثال ، لأي متجه X في المستوى K توجد أرقام c1 وج2 مثل أن X = ج1أ + ج2ب ). لاحظ مفهوم الإغلاق المتضمن. إنه نظام مغلق. تشكل مجموع جميع المتجهات في المستوى K مساحة متجهية. يمثل هذا الفضاء فضاءًا فرعيًا ثنائي الأبعاد لمساحة Vector Q أعلاه.

4. قم بتمرير أي خط من خلال أصل نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. قم بالإشارة إلى الخط بواسطة L. لنفترض أن A هو أي متجه يقع في الخط. إذن ، أي مضاعف للمتجه A هو متجه يقع في الخط L. علاوة على ذلك ، يمكن التعبير عن أي متجه يقع في السطر L كمضاعف للمتجه A. لاحظ مفهوم الإغلاق المتضمن. إنه نظام مغلق. مجموع جميع المتجهات في السطر L تشكل مساحة متجه. يمثل هذا الفضاء فضاء فرعي أحادي البعد من فضاء المتجه Q أعلاه.

مجموعات متجهات تعتمد على الخطية ومستقلة. مجموعة من النواقل x1، س2و. ، سم يقال أنه يعتمد خطيًا إذا كان من الممكن التعبير عن أحد المتجهات في المجموعة كمجموعة خطية من واحد أو أكثر من المتجهات الأخرى في المجموعة. إذا لم يكن من الممكن التعبير عن أي من المتجهات في المجموعة كمجموعة خطية من أي متجهات أخرى للمجموعة ، فيُقال إن المجموعة مستقلة خطيًا.

أمثلة من الفضاء ثلاثي الأبعاد. لتوضيح المفاهيم ، دعونا ننظر في بعض الأمثلة من الفضاء ثلاثي الأبعاد.

1. لنفترض أن A و B و C هي أي ثلاثة متجهات غير مستوية في نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. ثم يمكن التعبير عن أي متجه في نظام الإحداثيات x-y-z هذا كمجموعة خطية من A و B و C. ومع ذلك ، لا يمكن التعبير عن أي من هذه المتجهات الثلاثة A و B و C كمجموعة خطية من الاثنين الآخرين. تشكل المتجهات A و B و C مجموعة مستقلة خطيًا. الآن أضف متجه آخر D إلى المجموعة. ضع في اعتبارك المجموعة A و B و C و D. هذه المجموعة هي مجموعة تابعة لأنه يمكن التعبير عن المتجه D كمجموعة خطية من A و B و C.

2. قم بتمرير أي مستوى من خلال أصل نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. قم بالإشارة إلى المستوي بواسطة K. لنفترض أن A و B هما أي متجهين غير متصلين يقعان في المستوى K. ثم أي مجموعة خطية من المتجهات A و B هي متجه يقع في المستوى K. ومع ذلك ، لا يمكن التعبير عن أي من المتجهين A أو B على أنهما مزيج خطي من الآخر. يشكل المتجهان مجموعة مستقلة خطيًا. الآن أضف متجهًا آخر C ، موجود أيضًا في المستوى K ، إلى المجموعة. المجموعة A و B و C هي مجموعة تابعة لأنه يمكن التعبير عن المتجه C كمجموعة خطية من A و B.

شرط ضروري وكافٍ للاستقلال الخطي لمجموعة من النواقل. يوجد معيار جبري مهم ، اختبار جبري ، يمكن أن يخبرنا ما إذا كانت مجموعة المتجهات مستقلة خطيًا أم لا. يتم إعطاء هذا الاختبار من خلال النظرية التالية:

نظرية. شرط ضروري وكافي لمجموعة النواقل x1، س2و. ، سم ليكون مستقلاً خطيًا هو هذا & # 160

فقط عندما تكون جميع المقاييس جأنا صفر.

ما هو المنطق الذي يؤدي إلى تأكيد هذه النظرية؟ حسنًا ، مجموعة من المتجهات س1، س2و. ، سم يعتمد خطيًا إذا كان يمكن التعبير عن بعض المتجهات في المجموعة كمجموعة خطية من واحد أو أكثر من المتجهات الأخرى في المجموعة ، أي إذا كان هناك بعض المتجهات xأنا في مجموعة من هذا القبيل

لواحد أو أكثر من النواقل xي، سك، وما إلى ذلك من المجموعة. يشير هذا الشرط إلى وجود مجموعة فرعية من المتجهات xأنا، سي، سك، وما إلى ذلك داخل المجموعة الكاملة من هذا القبيل

اين سأنا جي، جك، وما إلى ذلك ، ليست صفرية. على نحو مختلف ، فإن المجموعة تعتمد خطيًا في حالة وجود اثنين أو أكثر من غير صفري c & # 8217s والتي تعتبر المعادلة التالية صحيحة:

(على سبيل المثال ، من الممكن أن تظل المعادلة صحيحة على الرغم من أن جميع c & # 8217s ليست صفرًا). إذا لم يكن هناك اثنان أو أكثر من العناصر غير الصفرية c & # 8217s التي ستحتفظ بها ، فإن مجموعة المتجهات تكون مستقلة خطيًا. الحالة التي يكون فيها واحد فقط من c & # 8217s غير صفري مستحيل منذ cأناxأنا = 0 غير ممكن إذا كان c & # 8800 0. وبالتالي فإن مجموعة المتجهات تكون مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا

فقط عندما تكون جميع المقاييس جأنا صفر.

يتم تحديد الاعتماد الخطي أو استقلالية مجموعة من النواقل من رتبة المصفوفة المتكونة منها. اعتبر مصفوفة مكونة من متجهات m n مع كل متجه يقابل صفًا في المصفوفة. إذا كانت رتبة المصفوفة m تكون مجموعة المتجهات مستقلة خطيًا. إذا كانت الرتبة أقل من م ، فإن مجموعة المتجهات تعتمد خطيًا. إذا كانت الرتبة r أقل من m ، فهناك متجهات r بالضبط في المجموعة تكون مستقلة خطيًا والمتجهات المتبقية c1x1 + ج2x2 +. + جمxم يمكن التعبير عنها كمجموعة خطية من هذه النواقل المستقلة.

امتد الفضاء بواسطة مجموعة من النواقل. دع x1، س2و. ، سم تكون مجموعة من المتجهات n في الفضاء ذي البعد n. قد تكون مجموعة مستقلة خطيًا أو مجموعة متجهات تعتمد خطيًا ، ولا يهم. تتوافق مجموعة جميع التركيبات الخطية لهذه المتجهات إما مع كل الفضاء ذي البعد n أو مع بعض الفضاء الجزئي للفضاء ذي الأبعاد n. مساحة المتجه التي تم إنشاؤها بواسطة جميع التركيبات الخطية لـ x1، س2و. ، سم يسمى الفضاء الجزئي الممتد بواسطة x1، س2و. ، سم .

مثال . دعونا نوضح المفهوم بمثال من الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مرر أي مستوى من خلال أصل نظام إحداثيات ديكارتي x-y-z. قم بالإشارة إلى المستوى بواسطة K. لنفترض أن A و B و C و D و E هي خمسة نواقل غير خطية تقع في المستوى K. هذه المتجهات الخمسة تشكل مجموعة تمتد على المستوى K ، وهو فضاء فرعي من الفضاء ثلاثي الأبعاد. أي مجموعة خطية من هذه المتجهات تقع في المستوى K ولا توجد مجموعة خطية تقع خارج المستوى. أضف الآن إلى هذه المجموعة المتجه F الذي يقع خارج هذا المستوى. المجموعة الجديدة من المتجهات (المتجهات A و B و C و D و E و F) تغطي كل الفضاء ثلاثي الأبعاد ، لماذا؟ لأن المجموعة تحتوي الآن على ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا وثلاثة متجهات مستقلة ستمتد على كل الفضاء ثلاثي الأبعاد.

أساس الفضاء المتجه. أساس مساحة المتجه هو أي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا التي تمتد عبر الفضاء. كل متجه للفضاء هو تركيبة خطية فريدة من نواقل هذا الأساس.

1. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تشكل أي مجموعة من ثلاثة نواقل غير متحد المستوى أساسًا للمساحة (اختر أي ثلاثة متجهات غير مستوية وتكون مؤهلة كأساس). يمكن التعبير عن أي متجه في الفضاء كمجموعة خطية من هذه المتجهات الأساسية ، وعلى العكس من ذلك ، فإن أي مجموعة خطية من هذه المتجهات الأساسية الثلاثة تقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يلعب هذا الأساس دورًا مشابهًا لمجموعة من محاور الإحداثيات (يُنظر إليه على أنه مجموعة غير متعامدة من محاور الإحداثيات التي تعمل كإطار مرجعي يمكننا من خلاله التعبير عن أي متجه آخر في الفضاء).

2. أي متجهين غير متصلين في فضاء ثلاثي الأبعاد يحددان مستويًا يشكل فضاءًا فرعيًا من الفضاء ثلاثي الأبعاد نظرًا لأن أي مجموعة خطية من هذين المتجهين تقع في المستوى ، وعلى العكس من ذلك ، يمكن التعبير عن أي متجه في المستوى على النحو التالي مزيج خطي من هذين المتجهين. وبالتالي فإن هذين المتجهين يشكلان أساسًا لفضاء فرعي ثنائي الأبعاد للفضاء ثلاثي الأبعاد. وبالمثل ، فإن متجهًا واحدًا في 3 فضاء يشكل أساسًا لفضاء جزئي أحادي البعد من 3 فضاء.

3. في الفضاء ثنائي الأبعاد ، تشكل أي مجموعة من متجهين غير متصلين أساسًا للمساحة. يعمل هذان المتجهان الأساسيان كإطار مرجعي غير متعامد يمكن من خلاله التعبير عن أي متجه آخر في الفضاء.

أبعاد الفضاء المتجه. أبعاد مساحة المتجه هي عدد النواقل المستقلة المطلوبة لتمتد الفضاء.

تدوين الفضاء الجزئي. مساحة الأبعاد N Vن(F) يحتوي على مساحات فرعية ذات أبعاد أقل. على سبيل المثال ، يحتوي الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد على مسافات فرعية ثنائية الأبعاد في شكل طائرات تمر عبر أصل نظام الإحداثيات ومساحات فرعية أحادية البعد في شكل خطوط تمر عبر الأصل. فضاء فرعي ذو أبعاد r لـ V.ن(F) يُرمز له بالرمز V.ن الترددات اللاسلكية). فضاء فرعي ثنائي الأبعاد للفضاء العادي ثلاثي الأبعاد V.3(R) ، على سبيل المثال ، سيُشار إليها بالرمز V.3 2 (ص).

مجموع مساحة مسافتين متجهتين. يتم تعريف مجموع مسافتين متجهتين P و Q على أنه مجموع كل المتجهات x + y حيث x في P و y في Q. هذا هو مساحة متجه ونسميها مجموع مساحة P و Q. المجموع يمكن اعتبار الفضاء على أنه الفضاء الممتد من خلال اتحاد قواعد الفراغين P و Q.

مساحة تقاطع مسافتين. مساحة التقاطع لمساحتين متجهتين هي مجموعة جميع المتجهات التي تنتمي إلى كلا الفراغين.

مثال. يمثل المستوى الذي يمر عبر أصل النظام الديكارتي x-y-z في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد فضاءًا فرعيًا ثنائي الأبعاد للفضاء ثلاثي الأبعاد. ضع في اعتبارك طائرتين P و Q تمران من الأصل يفترض أنهما لا يتطابقان. مجموع مساحة المستويين هو الفضاء ثلاثي الأبعاد بأكمله ومساحة التقاطع عبارة عن خط مستقيم (خط تقاطعهما).

نظرية. الأبعاد p و q لمسافتين معطاة ، وأبعاد t لمجموعها وأبعاد تقاطعها تفي بالعلاقة التالية:

نظم التنسيق في المساحات المتجهة. ضع في اعتبارك مساحة متجهية ذات أبعاد n مع متجهات الأساس A1، أ2 و. ،أن بحيث يكون للمتجه التعسفي X للفضاء تمثيل فريد

النواقل أ1، أ2 و. ،أن تسمى نظام إحداثيات أو نظام مرجعي في الفضاء و u1، ش2و. ، شن هي إحداثيات X فيما يتعلق بهذا النظام. وهكذا يمكننا استدعاء n-tuple <>1، ش2و. ، شن > متجه إحداثيات X بالنسبة إلى الأساس <>1، أ2 و. ، أن > وتدل على X بواسطة

الأساس الأولي لـ n-space. المجموعة التالية من المتجهات هي مجموعة خاصة من النواقل تسمى الأساس الأولي (الأساس الإلكتروني) لـ n-space [إما Real n-space ، Vن(R) أو مجمع n-space ، Vن(ج)]:

نظام تنسيق الأساس الإلكتروني. نواقل

تسمى المتجهات الأولية n أو متجهات الوحدة n أو متجهات الوحدة الأولية. المتجه n الأولي Eي، الذي يكون مكون j-th هو 1 ، يسمى متجه n الابتدائية j. نواقل الأولية ن1، إي2و. ، إين تشكل أساسًا مهمًا لـ V.ن(F). كل متجه X = [x1، س2و. ، سن] تي من ن الفضاء الخامسن(F) ، يمكن التعبير عنها بشكل فريد كمجموع

من النواقل الأولية. المكونات x1، س2و. ، سن من X تسمى الآن إحداثيات X بالنسبة للأساس الإلكتروني.

التغييرات في الإحداثيات بسبب التغيير في الأساس. دعونا ننظر في مشكلة كيفية تغيير إحداثيات المتجهات عند الانتقال من أساس إلى آخر في

ن ناقلات الفضاء الأبعاد.

دع الأساس الأصلي هو الأساس الإلكتروني المعتاد E1، إي2و. ، إين . دع x1، س2و. ، سن تكون إحداثيات المتجه X فيما يتعلق بالأساس الإلكتروني. دع Z1، Z2و. ، Zن بعض الأسس الأخرى التعسفية. ثم توجد أرقام فريدة أ1، أ2و. ،أن مثل ذلك

هذه الأرقام أ1، أ2و. ،أن تمثل إحداثيات X بالنسبة إلى Z- الأساس. خطيا

حيث Z هي المصفوفة [Z1، Z2و. ، Zن ] أعمدتها هي النواقل الأساسية Z1، Z2و. ، Zن .

وبالتالي لدينا النتيجة التالية: إحداثيات المتجه X فيما يتعلق بالأساس E مرتبطة بإحداثياته ​​فيما يتعلق ببعض القواعد Z الأخرى بواسطة

حيث المصفوفة Z ، التي تمثل أعمدتها متجهات الأساس الجديد Z1، Z2و. ، Zن ، تسمى & # 8220 matrix لتحويل الإحداثيات & # 8221.

الآن دعونا نسأل ماذا يحدث لإحداثيات نقطة ما إذا انتقلنا من قاعدة Z التي قدمناها <>1، Z2و. ، Zن > إلى بعض أسس W الأخرى التي قدمها <>1، دبليو2و. ، دبليون >. نعلم

نظرية. إذا كان ناقل V.ن(F) لها إحداثيات Xض و Xدبليو نسبة إلى القواعد <>1، Z2و. ، Zن > و <>1، دبليو2و. ، دبليون > من V.ن(F) ، هناك مخارج مصفوفة غير لغوية P ، يتم تحديدها فقط بواسطة القاعدتين وتعطى بواسطة P = W -1 Z ، بحيث أن Xدبليو = PXض .


شاهد الفيديو: الفضاء الجزئي part 1 (ديسمبر 2021).