مقالات

2: مقدمة في الأعداد المركبة - الرياضيات


لنفترض أن ( mathbb {R} ) يشير إلى مجموعة ( textbf {الأرقام الحقيقية} ) ، والتي يجب أن تكون مجموعة مألوفة من الأرقام لأي شخص درس التفاضل والتكامل. في هذا الفصل ، نستخدم ( mathbb {R} ) لبناء مجموعة متساوية الأهمية من ما يسمى بالأرقام المركبة.


1. الجذر التربيعي لعلامة ناقص واحد!

إذا أردنا حساب الجذر التربيعي لعدد سالب ، يتضح سريعًا أنه لا يوجد رقم موجب أو سالب يمكنه القيام بذلك.

على سبيل المثال ، & radic & minus1 & ne & plusmn1 ، منذ 1 2 = (& minus1) 2 = +1.

لإيجاد & radic & minus1 ، يجب علينا إدخال كمية جديدة ، i ، مُعرَّفة على أنها كذلك أنا 2 = & ناقص 1. (لاحظ أن المهندسين غالبًا ما يستخدمون الرمز j.)

& جذر & ناقص 25 = 5أنا
منذ (5أنا) 2 = 5 2 مرات أنا 2
= 25 & مرات (& ناقص 1)
= & ناقص 25

& جذر & ناقص 16/9 = 4 / 3 أنا
منذ (4/3 أنا ) 2 = 16/9 مرات (أنا) 2
= & ناقص 16/9


2: مقدمة في الأعداد المركبة - الرياضيات

بنهاية هذا الدرس ستكون قادرًا على:

  • عبر عن الجذور التربيعية للأرقام السالبة كمضاعفات i.
  • ارسم الأعداد المركبة على المستوى المركب.
  • جمع وطرح الأعداد المركبة.
  • اضرب وقسم الأعداد المركبة.

تعتمد دراسة الرياضيات على نفسها باستمرار. الأعداد الصحيحة السالبة ، على سبيل المثال ، تملأ الفراغ الذي تتركه مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. مجموعة الأعداد المنطقية ، بدورها ، تملأ الفراغ الذي تركته مجموعة الأعداد الصحيحة. مجموعة الأعداد الحقيقية تملأ الفراغ الذي تركته مجموعة الأعداد المنطقية. ليس من المستغرب أن مجموعة الأعداد الحقيقية بها فراغات أيضًا. على سبيل المثال ، لا يزال لدينا حل للمعادلات مثل

قد تكون أفضل التخمينات لدينا هي +2 أو –2. ولكن إذا اختبرنا +2 في هذه المعادلة ، فلن تنجح. إذا اختبرنا –2 ، فلن يعمل. إذا أردنا الحصول على حل لهذه المعادلة ، فسيتعين علينا الذهاب إلى أبعد مما لدينا حتى الآن. بعد كل شيء ، حتى هذه النقطة وصفنا الجذر التربيعي لعدد سالب بأنه غير معرف. لحسن الحظ ، هناك نظام آخر للأرقام يقدم حلولاً لمثل هذه المشاكل. في هذا القسم سوف نستكشف نظام الأرقام هذا وكيفية العمل فيه.


2: مقدمة في الأعداد المركبة - الرياضيات

أولاً نقدم الأعداد التخيلية.


فيما يلي بعض الأمثلة على الحساب بأرقام تخيلية. يوضح المثال الأول كيف يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لأي رقم سالب كمضاعف للوحدة التخيلية أنا. يوضح المثال الثاني أن تربيع رقم وهمي يعطي رقمًا سالبًا. يوضح المثال الأخير كيف أن أي قوة أنا يمكن تبسيطها.

ارقام مركبة

أين أ و ب كلاهما أرقام حقيقية. أ يسمى الجزء الحقيقي من ض و ب يسمى الجزء التخيلي من ض. نكتب هذا كـ أ = إعادة (ض) و ب = ايم (ض).


مثال: إذا كانت z = & ناقص 5 & ناقص 7 أنا ثم إعادة (ض) = & ناقص 5 و أنا (ض) = & ناقص 7.


ال المكورات معقدة من أي عدد مركب أ + ب أنا يعرف بأنه أ & ناقص ب ط. (الجزء التخيلي فقط علامته معكوسة.) المرافق المركب لـ ض يشار إليه ض*. على سبيل المثال إذا ض = & ناقص 5 & ناقص 7 أنا ومن بعد ض* = & ناقص 5 + 7 أنا.


ارقام مركبة

نظرة عامة: تبحث هذه المقالة في كيفية استخدام الأرقام المعقدة للنموذج $ a + bi $ لوصف حركة زنبرك متذبذب مع التخميد.

تتأرجح الينابيع

[مثال رقم مجمع العالم الحقيقي]

عندما يتم ربط كتلة بنهاية الربيع ثم يتم شد الربيع لأسفل وتحريره ، نتوقع أن تتحرك الكتلة والربيع لأعلى ولأسفل. في النهاية يتلاشى التذبذب وينقطع نظام الكتلة الزنبركية (انظر الشكل أدناه الشكل 1).

شكل 1

إذا استخرجنا المسار الموضح أعلاه فقط ، وقمنا برسمه على محاور إحداثيات ، فلدينا الرسم البياني لوظيفة ما (انظر الشكل 2 أدناه).

ما هو المذبذب المخمد؟

يسمى هذا النوع من الوظائف بالمذبذب المخمد.

التذبذب يعني التحرك ذهابًا وإيابًا أو لأعلى ولأسفل بشكل متكرر.

تعني الرطوبة أن الاهتزازات ستنخفض بسبب نوع من الاحتكاك ، أي أن الزنبرك سوف يرتد لأعلى ولأسفل أقل وأقل حتى يتوقف في النهاية - وهذا "التباطؤ" هو التخميد.

وتظهر المذبذبات المخففة في الكثير من المجالات المهمة والمثيرة للاهتمام في العلوم والهندسة. تتضمن بعض الأمثلة الدوائر الكهربائية ، اهتزازات الجسيمات المشحونة (مثل الإلكترونات والبروتونات) ، البندولات ، القفز بالحبال ، الاهتزازات الميكانيكية ، وامتصاص الصدمات في المركبات ، على سبيل المثال لا الحصر.

الرياضيات وراء التذبذبات المخمدة

يتم إنشاء دالة مذبذب مخمد بضرب دوال الانحلال الأسي بوظائف الجيب وجيب التمام (انظر الأشكال أدناه).

لذا ، فإن الوظيفة الأساسية التي تصف مذبذبًا مخمدًا تبدو كالتالي:

في الوظيفة ، ستلاحظ أربع معاملات: $ a $ و $ b $ و $ c $ و $ d $. هذه مجرد أرقام تتحكم في أجزاء مختلفة من المذبذب المخمد أو تصفها. يتم تحديد قيم $ c $ و $ d $ من خلال بداية ارتفاع وسرعة المذبذب. لن نلعب مع هؤلاء الموجودين في هذه المقالة.

حيث هناك حاجة إلى الأعداد المعقدة

$ y = e ^ < red a t> cdot Big [c cdot sin ( red b t) + d cdot cos ( red b t) Big] $

ومع ذلك ، فإن المعلمتين الأخريين هما المكان الذي تدخل فيه الأعداد المركبة في مناقشتنا. تحدد المعلمة a مدى سرعة تباطؤ التذبذبات وتحدد b مدى سرعة ارتداد التذبذبات لأعلى ولأسفل.

لإيجاد قيمتي a و b لنظام الكتلة الزنبركية ، علينا حل المعادلة التربيعية التي تبدو كالتالي:

حيث يمثل $ m $ الكتلة (بالكيلوجرام) ، ويمثل $ k $ صلابة الزنبرك ، و $ r $ هو قياس الأشياء التي تسبب التخميد مثل مقاومة الهواء والاحتكاك وما إلى ذلك.

الأرقام المركبة هي جزء من هذا الحل الواقعي

لنقم بمثال سريع بالأرقام الفعلية حتى تتمكن من رؤية كيفية عمل ذلك. لنفترض أن كتلة 4 كيلوغرامات متصلة بنابض بصلابة قياسها $ k = 53 $ والتخميد $ r = 8 $. المعادلة التربيعية التي نحتاج إلى حلها هي

الإجابات على هذه المعادلة هي أعداد مركبة بالصيغة $ a + bi $. في هذه الحالة ، ($ a = blue <-1> $) و ($ b = red <3.5> $) هما بالضبط القيم التي نحتاجها لوظيفة المذبذب المخمد:

تذكر ، للحصول على قيم $ c $ و $ d $ ، نحتاج إلى معلومات حول الموقع والسرعة. نحتاج أيضًا إلى حساب التفاضل والتكامل ، لذا يجب أن يكون هذا الجزء مناقشة لوقت لاحق.

هذا رسم بياني للدالة التي وجدناها أعلاه حيث كان الموضع الأولي $ y = -3 $ والسرعة الأولية 10 m / s.

المذبذبات المخمدة هي منطقة واحدة فقط حيث يتم استخدام الأعداد المركبة في العلوم والهندسة. تتضمن العديد من تطبيقات العالم الحقيقي رياضيات متقدمة جدًا ، ولكن بدون الأرقام المعقدة ، ستكون الحسابات شبه مستحيلة. حتى في هذه المناقشة ، كان عليّ أن أتخطى كل الرياضيات التي تشرح لماذا تعطينا الأعداد المركبة للمعادلة التربيعية القيم الضرورية لـ $ a $ و $ b $. هذه أشياء سوف تتعلمها عند دراسة التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية والجبر الخطي والمزيد من الفيزياء. ومع ذلك ، تلعب الأعداد المعقدة دورًا مهمًا في قدرتنا على دراسة وفهم العالم من حولنا.


2: مقدمة في الأعداد المركبة - الرياضيات

بنهاية هذا الدرس ستكون قادرًا على:

  • عبر عن الجذور التربيعية للأرقام السالبة كمضاعفات i.
  • ارسم الأعداد المركبة على المستوى المركب.
  • جمع وطرح الأعداد المركبة.
  • اضرب وقسم الأعداد المركبة.

تعتمد دراسة الرياضيات على نفسها باستمرار. الأعداد الصحيحة السالبة ، على سبيل المثال ، تملأ الفراغ الذي تتركه مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. مجموعة الأعداد المنطقية ، بدورها ، تملأ الفراغ الذي تركته مجموعة الأعداد الصحيحة. مجموعة الأعداد الحقيقية تملأ الفراغ الذي تركته مجموعة الأعداد المنطقية. ليس من المستغرب أن مجموعة الأعداد الحقيقية بها فراغات أيضًا. على سبيل المثال ، لا يزال لدينا حل للمعادلات مثل

قد تكون أفضل التخمينات لدينا هي +2 أو –2. ولكن إذا اختبرنا +2 في هذه المعادلة ، فلن تنجح. إذا اختبرنا –2 ، فلن يعمل. إذا أردنا الحصول على حل لهذه المعادلة ، فسيتعين علينا الذهاب إلى أبعد مما لدينا حتى الآن. بعد كل شيء ، حتى هذه النقطة وصفنا الجذر التربيعي لعدد سالب بأنه غير معرف. لحسن الحظ ، هناك نظام آخر للأرقام يقدم حلولاً لمثل هذه المشاكل. في هذا القسم سوف نستكشف نظام الأرقام هذا وكيفية العمل فيه.


التمهيدي للأرقام المعقدة

قبل أن أبدأ في هذا ، اسمحوا لي أولاً أن أوضح أن هذا المستند لا يهدف إلى تعليمك كل ما يمكن معرفته عن الأعداد المركبة. هذا موضوع يمكن (ويفعل) أن يأخذ دورة كاملة لتغطيته. الغرض من هذا المستند هو إعطائك نظرة عامة موجزة عن الأعداد المركبة ، والترميز المرتبط بالأرقام المركبة ، وبعض العمليات الأساسية التي تتضمن أرقامًا مركبة.

تمت كتابة هذا المستند بافتراض أنك رأيت أرقامًا مركبة في وقت ما في الماضي ، واعلم (أو على الأقل عرفت في وقت ما) أن الأرقام المركبة يمكن أن تكون حلولًا للمعادلات التربيعية ، تعرف (أو تذكر) (i = sqrt <-1> ) ، وأنك رأيت كيفية إجراء العمليات الحسابية الأساسية باستخدام الأعداد المركبة. إذا كنت لا تتذكر كيفية إجراء الحساب ، فسأعرض مثالاً أو مثالين لتذكيرك بكيفية إجراء الحساب ، لكنني سأفترض أنك لست بحاجة إلى أكثر من ذلك كتذكير.

بالنسبة لمعظم الطلاب ، فإن الافتراضات التي قدمتها أعلاه حول تعرضهم للأرقام المركبة هي مدى تعرضهم. ومع ذلك ، تميل المشكلات إلى الظهور نظرًا لأن معظم المدرسين يفترضون على ما يبدو أن الطلاب سيرون ما وراء هذا التعرض في فصل لاحق أو أنهم قد رأوا بالفعل ما وراء ذلك في فصل دراسي سابق. يُتوقع من الطلاب فجأة أن يعرفوا أكثر من مجرد الحساب الأساسي للأعداد المركبة ولكنهم غالبًا لا يروها في أي مكان وعليهم أن يلتقطوها بسرعة بأنفسهم من أجل البقاء في الفصل.

هذا هو الغرض من هذه الوثيقة. سوف نتجاوز الأساسيات التي شاهدها معظم الطلاب في مرحلة ما ونعرض لك بعض الملاحظات والعمليات التي تتضمن أرقامًا معقدة لا يراها العديد من الطلاب بمجرد تعلم كيفية التعامل مع الأرقام المعقدة كحلول للمعادلات التربيعية. سنرى أيضًا طريقة مختلفة قليلاً للنظر في بعض الأساسيات التي ربما لم تراها عندما تعرفت لأول مرة على الأعداد المركبة وإثبات بعض الحقائق الأساسية.

القسم الأول هو تعريف رياضي أكثر للأرقام المركبة وليس مطلوبًا حقًا لفهم باقي المستند. يتم تقديمه فقط لأولئك الذين قد يكونون مهتمين.

يُفترض أن القسم الثاني (الحساب) هو في الغالب مراجعة لأولئك الذين يقرؤون هذا المستند ويمكن قراءته إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات سريع حول كيفية إجراء العمليات الحسابية الأساسية باستخدام الأعداد المركبة. يتضمن هذا القسم أيضًا تعريفًا أكثر دقة للطرح والقسمة مما يُعطى عادةً عندما يتم تعريف الشخص لأول مرة على الأعداد المركبة. مرة أخرى ، فهم هذه التعريفات ليس مطلوبًا لبقية المستند التي تم تقديمها فقط ، لذا يمكنك القول أنك شاهدتها.

الأقسام المتبقية هي النقطة الحقيقية لهذا المستند وتتضمن الموضوعات التي لا يتم تدريسها عادةً عندما يتعرض الطلاب لأول مرة للأرقام المركبة.


المدرسة الثانوية: العدد والكمية & مقدمة

خلال السنوات من رياض الأطفال إلى الصف الثامن ، يجب على الطلاب توسيع مفهومهم للعدد بشكل متكرر. في البداية ، يعني & # 8220number & # 8221 & # 8220 رقم العد & # 8221: 1 ، 2 ، 3 ، ... بعد ذلك بقليل ، يتم استخدام 0 لتمثيل & # 8220none & # 8221 ويتم تشكيل الأعداد الصحيحة بواسطة أرقام العد مع الصفر . الامتداد التالي هو الكسور. في البداية ، الكسور بالكاد أرقام وترتبط بقوة بالتمثيلات التصويرية. ومع ذلك ، بحلول الوقت الذي يفهم فيه الطلاب تقسيم الكسور ، يكون لديهم مفهوم قوي للكسور كأرقام وربطها ، عبر تمثيلاتها العشرية ، بنظام الأساس العشري المستخدم لتمثيل الأعداد الصحيحة. خلال المرحلة الإعدادية ، يتم زيادة الكسور بواسطة كسور سالبة لتكوين الأعداد المنطقية. في الصف الثامن ، يوسع الطلاب هذا النظام مرة أخرى ، ويزيدون الأرقام المنطقية بالأرقام غير المنطقية لتكوين الأعداد الحقيقية. في المدرسة الثانوية ، سيتعرض الطلاب لتمديد آخر للعدد ، عندما يتم زيادة الأرقام الحقيقية بواسطة الأرقام التخيلية لتكوين الأعداد المركبة.

هذا الصعود عبر أنظمة الأرقام يجعل من العدل التساؤل: ماذا يعني رقم الكلمة أنه يمكن أن يعني كل هذه الأشياء؟ إحدى الإجابات المحتملة هي أن الرقم هو شيء يمكن استخدامه في الرياضيات: حساب أو حل المعادلات أو تمثيل القياسات.

على الرغم من أن فكرة الرقم تتغير ، تظل العمليات الأربع كما هي من نواحٍ مهمة. تعمل الخصائص التبادلية والترابطية والتوزيعية على توسيع خصائص العمليات إلى الأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية والأرقام الحقيقية والأرقام المركبة. يؤدي توسيع خصائص الأسس إلى تدوين جديد ومنتج على سبيل المثال ، حيث تشير خصائص الأسس إلى أن (5 1/3) 3 = 5 (1/3) · 3 = 5 1 = 5 ، نحدد 5 1/3 إلى يكون الجذر التكعيبي لـ 5.

تعتبر الآلات الحاسبة مفيدة في هذا الشريط لتوليد بيانات للتجارب العددية ، وللمساعدة في فهم طريقة عمل جبر المصفوفة والمتجه والأعداد المعقدة ، وللتجربة مع الأسس غير الصحيحة.


المعادلات التربيعية ذات الحلول المعقدة

الآن بعد أن تم تحديد الأعداد المركبة ، يمكننا إكمال دراستنا لحلول المعادلات التربيعية. غالبًا ما تكون حلول المعادلات التربيعية غير حقيقية.

المثال 9: حل باستخدام الصيغة التربيعية: x 2 - 2 x + 5 = 0

حل: ابدأ بالتعريف أ, ب، و ج. هنا

عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية ثم بسّطها.

افحص هذه الحلول بالتعويض عنها في المعادلة الأصلية.

الجواب: الحلول هي 1 - 2 أنا و 1 + 2 ط.

قد لا يتم إعطاء المعادلة في شكل قياسي. تم توضيح الخطوات العامة لحل باستخدام الصيغة التربيعية في المثال التالي.

المثال 10: حل: (2 س + 1) (س - 3) = س - 8.

الخطوة 1: اكتب المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

الخطوة 2: تحديد أ, ب، و ج لاستخدامها في الصيغة التربيعية. هنا

الخطوه 3: عوّض بالقيم المناسبة في الصيغة التربيعية ثم بسّط.

الجواب: الحل هو 3 2 ± 1 2 i. الشيك اختياري.

المثال 11: حل: x (x + 2) = - 19.

حل: ابدأ بإعادة كتابة المعادلة بالصيغة القياسية.

هنا أ = 1 ، ب = 2 ، ج = 19. عوّض بهذه القيم في الصيغة التربيعية.

الجواب: الحلول هي - 1 - 3 i 2 و - 1 + 3 i 2.

ملاحظة تدوين

كلا الرقمين متساويين و - 1 + 3 2 i في الصورة القياسية ، حيث الجزء الحقيقي هو −1 والجزء التخيلي 3 2. ومع ذلك ، غالبًا ما يتم التعبير عن هذا الرقم كـ - 1 + 3 i 2 ، على الرغم من أن هذا التعبير ليس في الشكل القياسي. مرة أخرى ، يتم ذلك لتجنب احتمال إساءة تفسير الوحدة التخيلية كجزء من الجذر.


إلى أي مدى يمكن أن تصبح الأرقام معقدة؟

ماذا يكون ارقام مركبة ؟ ما هي جيدة ل؟

طلب: أنت تصمم دائرة تيار متردد بسيطة وتحتاج إلى معرفة الجهد عبر أجزاء مختلفة من الدائرة.

ربما تحتاج إلى معرفة جهد التيار المتردد المراد تطبيقه على الدائرة ، بالنظر إلى أن التيار في الدائرة يجب أن يكون 10 أ.

نصائح البقاء

قبل محاولة دراسة الأعداد المركبة ، من الجيد الرجوع إلى هذه الموضوعات:

الجذور (وتسمى أيضًا الجذور الصماء) ، وخاصة الجمع والطرح والضرب والقسمة الجذور.

الراديان (طريقة بديلة لقياس الزوايا).

مفردات مفيدة

للحصول على قائمة كاملة بالمفردات في هذا القسم (يتضمن ذلك الكلمات التي قابلتها بالفعل والكلمات الجديدة التي ستتعلمها في هذا القسم) ، انتقل إلى:

كيف يمكنك أن تفعل ذلك؟ ماذا تريد ان تعرف؟

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة ارقام مركبة. عندما تنتهي من دراسة هذا القسم ، ستعرف الكثير عن الأعداد المركبة وتطبيقاتها.

[يمكنك معرفة كيفية حل مشكلة الإلكترونيات هذه بدءًا من تعريفات دائرة التيار المتردد.]


شاهد الفيديو: ما أهمية الأعداد التخيلية والعقدية (ديسمبر 2021).